Esimerkki A1. Jaetaan ryhmä G = Z 17 H = 4 = {1, 4, 4 2 = 16 = 1, 4 3 = 4 = 13, 4 4 = 16 = 1}.

Transkriptio

1 Jaetaan ryhmä G = Z 17 n H = 4 sivuluokkiin. Ratkaisu: Koska 17 on alkuluku, #G = 16, alkiona jäännösluokat a, a = 1, 2,..., 16. Määrätään ensin n H alkiot: H = 4 = {1, 4, 4 2 = 16 = 1, 4 3 = 4 = 13, 4 4 = 16 = 1}. Huomaamme, että #H = 4 16 = #G, kuten Lagrangen lause lupaakin. Sitten voidaankin käydä läpi G:n alkiot. Vältetään toistot. 1H = H = 4H = 1H = 4H 2H = {2, 8, 15, 9} = 8H = 15H = 9H 3H = {3, 12, 14, 5} = 12H = 14H = 5H 6H = {6, 7, 11, 10} = 7H = 11H = 10H 1 / 15

2 G ryhmä, x G. Sanotaan, että alkion x kertaluku ryhmässä G,ord G x on sen generoiman n kertaluku: ord G x := # x. ord Zm 1 = m. ord R 1 = 2. ord G x = m on pienin positiivinen eksponentti, jolle x m = 1 jos tällainen on olemassa. ord Z 1 =. x m = 1 ord G x m. ord Z 17 4 = 4 ks. Esimerkki A. 2 / 15

3 Äärellisessä ryhmässä G, ord G x #G kaikille x G. Erityisesti ryhmässä Z m on siis voimassa a ϕm = 1 = a ϕm 1 mod m aina, kun syta.m = 1. Erityisesti, jos p on alkuluku, niin aina, kun p a on voimassa Fermat n pieni lause a p 1 1 mod p. 3 / 15

4 Tehtävä: Laske luvun jakojäännös modulo 29. Ratkaisu: Liikutaan ryhmässä G = Z 29. Tässä 123 = mod 29. Koska 29 on alkuluku, niin ϕ29 = 28, ja tiedämme, että ord G Lisäksi Näin ollen 312 = mod = = = 7 4 = = mod / 15

5 Osoita, että G = Z 257 = 3. Ratkaisu: Koska 257 on alkuluku, niin #Z 257 = = 256 = 28. Näin ollen jäännösluokan 3 kertaluku on luvun 2 8 tekijä eli 2 k, missä k = 0, 1,..., 8. Peräkkäinen neliöinti hoitaa tämän nopeasti: 3 1 = 3 1, mod 257, 3 4 = mod 257, 3 8 = 81 2 = mod 257, 5 / 15

6 Lasketaan: = mod 257, = 64 1 mod 257, = mod 257, = mod 257. Jos siis tässä 0 k < 8, niin 3 2k 1 mod 257. Näin ollen mikään niistä ei ole = ord G 3. On siis oltava ord G 3 = 256, eli alkion 3 potensseina saadaan ryhmässä G 256 eri alkiota. MOT. 6 / 15

7 Oletetaan N G. Sanotaan, että N on ryhmän G normaali, merkitään N G, jos kaikille a G an = Na. Jos G on Abelin ryhmä, niin sen kaikki t ovat G:n normaaleja aliryhmiä. Jos N:llä on kaksi vasenta sivuluokkaa ryhmässä G indeksi [G : N] = 2, niin N G: Jos a N, niin an = N = Na, joten an = Na. Jos a / N, niin tällöin an = G \ N, koska kaikki ne G:n alkiot, jotka eivät kuulu än N ovat samassa vasemmassa sivuluokassa. Samasta syystä a / N = Na = G \ N. Kummassakin tapauksessa an = N a, joten väite seuraa. 7 / 15

8 Tarkastellaan 2 2 matriisien joukkoja ja B = { a b 0 d U = { 1 x a, b, d R, ad 0 x R Osoitetaan, että U B, mutta U GL 2 R. Ratkaisu: Viikon 4 keskiviikon Esimerkissä G osoitimme, että B GL 2 R, joten se on ryhmä. Osoitetaan sitten, että U B. Selvästi U. }. } 8 / 15

9 Olkoot A 1 = 1 x, A 2 = mielivaltaisia U:n alkioita. Näemme, että A 1 2 = 1 y ja joten A 1 A 1 2 U. Siis U B. A 1 A 1 2 = 1 y 1 x y, 9 / 15

10 Seuraavaksi osoitetaan, että U B. Olkoot A = a b 0 d mielivaltaisia. Tällöin joten B ja X = A 1 = 1 ad AXA 1 = d b 0 a 1 ax d 1 x U. U Väite seuraa. 10 / 15

11 Lopuksi osoitetaan, ettei U ole ryhmän GL 2 R normaali. Valitaan A = 1 0 Tällöin A = A 1 ja GL 2 R ja X = AXA 1 = / U. 1 1 U. suuskriteeri ei siis ole voimassa ja väite seuraa. 11 / 15

12 Oletetaan, että G on ryhmä ja N G. Merkitään sivuluokkien joukkoa G/N = {an a G}. Joukossa G/N voidaan määritellä operaatio an bn = abn. Hyvinmääritelty: jos an = a N ja bn = b N, niin abn = a b N. Ei onnistu jos N ei ole normaali! perii ryhmäaksioomat ryhmältä G, kunhan operaatio on hyvinmääritely G0. Saatua ryhmää kutsutaan tekijäryhmäksi. Esimerkki Z/mZ = Z m. 12 / 15

13 Tehtävä: Olkoon G = Z 17 ja H = 4. Osoita, että H G ja kirjoita näkyviin tekijäryhmän G/H ryhmätaulu. Selvitä, onko ryhmä G/H syklinen. Ratkaisu: Koska G on Abelin ryhmä, niin sen jokainen, erityisesti siis H on normaali. Esimerkissä A1 näimme, että H = {1, 4, 16, 13} ja että G/H = {H, 2H, 3H, 6H}. 13 / 15

14 Ryhmätauluksi saadaan G/H H 2H 3H 6H H H 2H 3H 6H 2H 2H 4H = H 6H 12H = 3H 3H 3H 6H 9H = 2H 18H = H 6H 6H 12H = 3H 18H = H 36H = 2H Kokeilemalla näemme, että sivuluokka 3H generoi ryhmän G/H, sillä sen potensseina 3H 2 = 2H, 3H 3 = 6H saatiin muut neutraalialkiosta eroavat sivuluokat. Ryhmä G/H on siis syklinen. 14 / 15

15 Oletetaan, että G, ja G, ovat ryhmiä. Jos funktio f : G G toteuttaa ehdon fxy = fx fy kaikille x, y G, niin sitä kutsutaan ryhmähomomorfismiksi. Tällöin: 1 G f1 G = f1 G = f1 G 1 G = f1 G f1 G, joten supistamissäännön nojalla f1 G = 1 G. fx fx 1 = fxx 1 = f1 G = 1 G, joten fx 1 = fx 1. Induktiolla nähdään, että fx n = fx n kaikille x G ja n Z. 15 / 15