Koodausteoria, Kesä 2014

Transkriptio

1 Koodausteoria, Kesä 2014 Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos

2 6. Ryöppyvirheitä korjaavat koodit Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 2 / 34

3 6.1 Peruskäsitteitä Aiemmin on implisiittisesti oletettu, että virheet esiintyvät toisistaan riippumatta. Useissa tapauksissa virheet esiintyvät kuitenkin ryöppyinä (error burst) eivätkä toisistaan riippumattomina yksittäisinä virheinä. Tällöin on tarpeen tarkastella koodeja, jotka kykenevät korjaamaan tällaisia virheitä. Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 3 / 34

4 6.1 Peruskäsitteitä Aiemmin on implisiittisesti oletettu, että virheet esiintyvät toisistaan riippumatta. Useissa tapauksissa virheet esiintyvät kuitenkin ryöppyinä (error burst) eivätkä toisistaan riippumattomina yksittäisinä virheinä. Tällöin on tarpeen tarkastella koodeja, jotka kykenevät korjaamaan tällaisia virheitä. Määritelmä Vektoria (0,..., 0, e i,..., e i+b 1, 0,..., 0), missä e i 0, e i+b 1 0, sanotaan b-ryöpyksi tai b-pituiseksi ryöpyksi. Koodia, joka korjaa kaikki enintään b-pituiset ryöpyt, mutta ei kaikkia (b + 1)-pituisia, sanotaan b-ryöpyt korjaavaksi koodiksi. Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 3 / 34

5 6.1 Peruskäsitteitä Aiemmin on implisiittisesti oletettu, että virheet esiintyvät toisistaan riippumatta. Useissa tapauksissa virheet esiintyvät kuitenkin ryöppyinä (error burst) eivätkä toisistaan riippumattomina yksittäisinä virheinä. Tällöin on tarpeen tarkastella koodeja, jotka kykenevät korjaamaan tällaisia virheitä. Määritelmä Vektoria (0,..., 0, e i,..., e i+b 1, 0,..., 0), missä e i 0, e i+b 1 0, sanotaan b-ryöpyksi tai b-pituiseksi ryöpyksi. Koodia, joka korjaa kaikki enintään b-pituiset ryöpyt, mutta ei kaikkia (b + 1)-pituisia, sanotaan b-ryöpyt korjaavaksi koodiksi. Esim on 6-ryöppy. Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 3 / 34

6 Lineaaristen koodien ryöppyvirheenkorjauskyvylle saadaan helposti seuraavat rajat. Lause (Reiger-raja) a) Jos [n, k]-koodi paljastaa kaikki enintään b-pituiset ryöppyvirheet, niin n k b. b) Jos [n, k]-koodi korjaa kaikki enintään b-pituiset ryöppyvirheet, niin n k 2b. Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 4 / 34

7 Todistus: a) Olkoon C [n, k]-koodi kunnan Fq suhteen. Palautetaan mieleen, että joukko F n q jakautuu pistevieraisiin sivuluokkiin koodin C suhteen ja näitä sivuluokkia on q n k kappaletta. Tarkastellaan sellaisia joukon F n q enintään b-pituisia ryöppyjä, joiden viimeiset n b komponenttia ovat 0, ja merkitään niiden muodostamaa joukkoa B. Tällöin joukossa B on q b vektoria. Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 5 / 34

8 Todistus: a) Olkoon C [n, k]-koodi kunnan Fq suhteen. Palautetaan mieleen, että joukko F n q jakautuu pistevieraisiin sivuluokkiin koodin C suhteen ja näitä sivuluokkia on q n k kappaletta. Tarkastellaan sellaisia joukon F n q enintään b-pituisia ryöppyjä, joiden viimeiset n b komponenttia ovat 0, ja merkitään niiden muodostamaa joukkoa B. Tällöin joukossa B on q b vektoria. Jos C paljastaa kaikki enintään b-pituiset ryöpyt, niin mitään koodisanaa c 1 ei voi esittää muodossa c 2 + b 1, missä c 2 C ja b 1 B. Tällöin joukon B vektorien on oltava koodin C eri sivuluokissa. Jos nimittäin a, b B ja a ja b ovat samassa sivuluokassa, niin a b C, joten a b olisi enintään b-pituinen ryöppy ja c + (a b) olisi koodisana kaikilla c C. Siis sivuluokkien lukumäärä on q n k q b, joten n k b. Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 5 / 34

9 b) Oletetaan koodin C korjaavan kaikki enintään b-pituiset ryöpyt. Jokainen enintään 2b-pituinen (ja vähintään 2-pituinen) ryöppy e voidaan esittää muodossa e = e 1 e 2, missä e 1 ja e 2 ovat enintään b-pituisia ryöppyjä. Jos e C, niin C ei pystyisi korjaamaan kaikkia enintään b-pituisia ryöppyjä, sillä tällöin saatua viestiä 0 + e 1 = e + e 2 ei kyettäisi dekoodaamaan. Siis koodin on havaittava kaikki enintään 2b-pituiset ryöpyt, ja a-kohdan nojalla n k 2b. Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 6 / 34

10 b) Oletetaan koodin C korjaavan kaikki enintään b-pituiset ryöpyt. Jokainen enintään 2b-pituinen (ja vähintään 2-pituinen) ryöppy e voidaan esittää muodossa e = e 1 e 2, missä e 1 ja e 2 ovat enintään b-pituisia ryöppyjä. Jos e C, niin C ei pystyisi korjaamaan kaikkia enintään b-pituisia ryöppyjä, sillä tällöin saatua viestiä 0 + e 1 = e + e 2 ei kyettäisi dekoodaamaan. Siis koodin on havaittava kaikki enintään 2b-pituiset ryöpyt, ja a-kohdan nojalla n k 2b. Sellaisia [n, k]-koodeja, joilla on voimassa yhtäsuuruus Reiger-rajassa, sanotaan Reiger-optimaalisiksi. Jos [n, k]-koodi korjaa kaikki enintään b-pituiset ryöppyvirheet, mutta ei korjaa kaikkia (b + 1)-pituisia, niin lukua 2b/(n k) sanotaan koodin ryöppykorjaussuhteeksi. Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 6 / 34

11 Määritelmä Sykliseksi b-ryöpyksi sanotaan Määritelmän mukaisia b-ryöppyjä ja muotoa (e 0,..., e b (n i) 1, 0,..., 0, e i,..., e n 1 ), missä e i e b (n i) 1 0, olevia ryöppyjä (eli tavallisen b-ryöpyn sykliset siirrot). Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 7 / 34

12 Määritelmä Sykliseksi b-ryöpyksi sanotaan Määritelmän mukaisia b-ryöppyjä ja muotoa (e 0,..., e b (n i) 1, 0,..., 0, e i,..., e n 1 ), missä e i e b (n i) 1 0, olevia ryöppyjä (eli tavallisen b-ryöpyn sykliset siirrot). Määritelmä Sykliseksi b-ryöppyvirheet korjaavaksi koodiksi sanotaan syklistä koodia, joka korjaa kaikki enintään b-pituiset sykliset ryöpyt. Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 7 / 34

13 Määritelmä Sykliseksi b-ryöpyksi sanotaan Määritelmän mukaisia b-ryöppyjä ja muotoa (e 0,..., e b (n i) 1, 0,..., 0, e i,..., e n 1 ), missä e i e b (n i) 1 0, olevia ryöppyjä (eli tavallisen b-ryöpyn sykliset siirrot). Määritelmä Sykliseksi b-ryöppyvirheet korjaavaksi koodiksi sanotaan syklistä koodia, joka korjaa kaikki enintään b-pituiset sykliset ryöpyt. Lause Jos C on syklinen b-ryöppyvirheet korjaava [n, k]-koodi kunnan Fq suhteen ja 1 k n 1, niin n(q 1) q n k b+1 1. Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 7 / 34

14 Todistus: Lasketaan kuinka monta syklistä enintään b-pituista ryöppyvirhettä on: mahdollisia aloituskohtia on n kappaletta, alkupaikalle e i 0 on q 1 vaihtoehtoa ja muille b 1 paikalle on yhteensä q b 1 vaihtoehtoa. Yhteensä tällaisia ryöppyjä on siis n(q 1)q b 1 kappaletta (huomaa, että Lauseen b-kohdan nojalla b < n 2 ). Näillä kaikilla ja nollavektorilla 0 tulee olla eri syndromi eli niiden on oltava eri sivuluokissa, joten q n k n(q 1)q b Tämän perusteella q n k b+1 n(q 1) + 1. Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 8 / 34

15 Esimerkki D Olkoot C 1 kunnan Z3 suhteen muodostettu [7, 3]-koodi, jonka generoijamatriisi on G 1 = , ja C 2 kunnan Z3 suhteen muodostettu [4, 2]-koodi, jonka generoijamatriisi on [ ] G 1 = Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 9 / 34

16 Tällöin koodien tarkistusmatriisit ovat H 1 = ja H 2 = [ ] sekä minimietäisyydet d min C 1 = 4 ja d min C 2 = 3. Näin ollen molemmat koodit korjaavat ainakin 1-pituiset ryöpyt, sillä molempien virheenkorjauskyky on 1. Reiger-rajan mukaan C 1 korjaa enintään 2-pituiset ryöpyt ja C 2 korjaa enintään 1-pituiset ryöpyt. Näin ollen C 2 ei korjaa 1-pituisia ryöppyjä pidempiä ryöppyvirheitä. Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 10 / 34

17 Lasketaan kaikkien 2-pituisten ryöppyjen syndromit koodin C 1 suhteen: ( )H T 1 = (1111), ( )H T 1 = (2222), ( )H T 1 = (1201), ( )H T 1 = (2102), ( )H T 1 = (2022), ( )H T 1 = (1011), ( )H T 1 = (1100), ( )H T 1 = (2200), ( )H T 1 = (0110), ( )H T 1 = (0220), ( )H T 1 = (0011), ( )H T 1 = (0022), ( )H T 1 = (1200), ( )H T 1 = (2100). Koska kaikilla 2-pituisilla ryöpyillä on eri syndromi, koodi C 1 korjaa kaikki 2-pituiset ryöpyt (viimeisen syndromirivin nojalla myös sykliset 2-pituiset ryöpyt). Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 11 / 34

18 6.2 RS-koodeista johdetut koodit Olkoon α kunnan Fp m primitiivialkio. Tarkastellaan pituutta n = p m 1 olevaa RS-koodia, jonka generoijapolynomi on d 1 g(x) = (x α i ). i=1 Tämän koodin minimietäisyys on d ja n k = d 1, sillä RS-koodit ovat maksimietäisyyskoodeja. Jos {β 1,..., β m } on kunnan Fp m kanta kunnan Z p suhteen, niin jokaisella β Fp m on yksikäsitteinen esitys β = b 1 β b m β m, b i Zp, ja saadaan vastaavuus β (b 1,..., b m ). Korvaamalla tämän vastaavuuden mukaisesti edellä olevan RS-koodin koodisanoissa jokainen komponentti m-pituisella Zp-kertoimisella vektorilla saadaan mn-pituinen lineaarinen koodi C kunnan Zp suhteen. Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 12 / 34

19 Jos b (r 1)m + 1, niin b-pituinen ryöppyvirhe voi vaikuttaa enintään r:ään alkuperäisen koodin komponenttiin. Jos d = 2t + 1 (alkuperäinen koodi on t virhettä korjaava) ja b (t 1)m + 1, (1) niin kaikki enintään b-pituiset ryöppyvirheet voidaan korjata. Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 13 / 34

20 Esimerkki Olkoon α kunnan F128 = F 2 7 primitiivialkio ja g(x) = 8 (x + α i ), i=1 jolloin n = 127, d = 9 ja t = 4. Ehto (1) saa nyt muodon b = 22, joten saatava binäärinen 889-pituinen koodi korjaa kaikki enintään 22-pituiset ryöppyvirheet. Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 14 / 34

21 6.3 Tulokoodit Määritelmä Matriisien A n1 m 1 ja B n2 m 2 Kronecker-tuloksi A B sanotaan matriisia, joka on lohkomuodossa a 11 B a 12 B... a 1m1 B a 21 B a 22 B... a 2m1 B.... a n1 1B a n1 2B... a n1 m 1 B (n 1 n 2 ) (m 1 m 2 ) Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 15 / 34

22 Esimerkki: Matriiseille I 2 = [ ] [ ] ja H = saadaan I 2 H 2 = H 2 I 2 = Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 16 / 34

23 Kronecker-tulolle pätevät seuraavat perusominaisuudet. 1. Jos tulot AC ja BD ovat määriteltyjä, niin myös (A B)(C D) on määritelty ja 2. (A B) T = A T B T. 3. Jos A + B on määritelty, niin (A B)(C D) = (AC) (BD). (A + B) C = A C + B C ja C (A + B) = C A + C B. Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 17 / 34

24 Kronecker-tulolle pätevät seuraavat perusominaisuudet. 1. Jos tulot AC ja BD ovat määriteltyjä, niin myös (A B)(C D) on määritelty ja 2. (A B) T = A T B T. 3. Jos A + B on määritelty, niin (A B)(C D) = (AC) (BD). (A + B) C = A C + B C ja C (A + B) = C A + C B. 4. c(a B) = (ca) B = A (cb) kaikilla c F. A 1 A 1 B 5.. B =.. A n B A n 6. Jos matriisin A rivit ovat lineaarisesti vapaat, samoin matriisin B rivit, niin myös matriisin A B rivit ovat lineaarisesti vapaat. Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 17 / 34

25 Jokainen n 1 n 2 -pituinen vektori c voidaan kirjoittaa n 1 n 2 -matriisiksi C jakamalla c n 2 -pituisiin osiin ja kirjoittamalla ne allekkain. Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 18 / 34

26 Jokainen n 1 n 2 -pituinen vektori c voidaan kirjoittaa n 1 n 2 -matriisiksi C jakamalla c n 2 -pituisiin osiin ja kirjoittamalla ne allekkain. Esimerkiksi vektorista saadaan matriisit 0 1 [ ] ja Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 18 / 34

27 Jokainen n 1 n 2 -pituinen vektori c voidaan kirjoittaa n 1 n 2 -matriisiksi C jakamalla c n 2 -pituisiin osiin ja kirjoittamalla ne allekkain. Esimerkiksi vektorista saadaan matriisit 0 1 [ ] ja Määritelmä Saman kunnan suhteen olevien [n i, k i ]-koodien C i, i = 1, 2, muodostamaksi tulokoodiksi sanotaan kaikkien niiden n 1 n 2 -pituisten vektorien c muodostamaa koodia, joita vastaavien n 1 n 2 -matriisien vaakarivit ovat koodin C 2 ja pystyrivit koodin C 1 koodisanoja. Tällaiselle tulokoodille käytetään merkintää C 1 C 2. Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 18 / 34

28 Lause Jos d min C 1 = d 1 ja d min C 2 = d 2, niin C 1 C 2 on lineaarinen koodi ja d min (C 1 C 2 ) = d 1 d 2. Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 19 / 34

29 Lause Jos d min C 1 = d 1 ja d min C 2 = d 2, niin C 1 C 2 on lineaarinen koodi ja d min (C 1 C 2 ) = d 1 d 2. Todistus: Koodin C 1 C 2 lineaarisuus on helppo todeta (Jos c 1, c 2 C 1 C 2 ja a F, niin c 1 + c 2 C 1 C 2 ja ac 1 C 1 C 2. ) Jos c 0 on koodin C 1 C 2 sana, niin vastaavan matriisin C jokaisen nollasta eroavan rivin paino on vähintään d min C 2 = d 2 ja näitä rivejä on ainakin d min C 1 = d 1 kappaletta. Siten wt(c) d 1 d 2 ja d min (C 1 C 2 ) d 1 d 2. Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 19 / 34

30 Lause Jos d min C 1 = d 1 ja d min C 2 = d 2, niin C 1 C 2 on lineaarinen koodi ja d min (C 1 C 2 ) = d 1 d 2. Todistus: Koodin C 1 C 2 lineaarisuus on helppo todeta (Jos c 1, c 2 C 1 C 2 ja a F, niin c 1 + c 2 C 1 C 2 ja ac 1 C 1 C 2. ) Jos c 0 on koodin C 1 C 2 sana, niin vastaavan matriisin C jokaisen nollasta eroavan rivin paino on vähintään d min C 2 = d 2 ja näitä rivejä on ainakin d min C 1 = d 1 kappaletta. Siten wt(c) d 1 d 2 ja d min (C 1 C 2 ) d 1 d 2. Jos c 1 C 1, c 2 C 2 ja wt(c i ) = d i, niin c T 1 c 2 C 1 C 2 ja lisäksi wt(c T 1 c 2) = wt(c 1 ) wt(c 2 ) = d 1 d 2, joten d min (C 1 C 2 ) d 1 d 2. Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 19 / 34

31 Lause Jos G i on [n i, k i ]-koodin C i, i = 1, 2, generoijamatriisi, niin G 1 G 2 on tulokoodin C 1 C 2 generoijamatriisi. Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 20 / 34

32 Lause Jos G i on [n i, k i ]-koodin C i, i = 1, 2, generoijamatriisi, niin G 1 G 2 on tulokoodin C 1 C 2 generoijamatriisi. Todistus: Matriisin G 1 G 2 rivit ovat koodin C 1 C 2 koodisanoja, niitä on k 1 k 2 kappaletta ja ominaisuuden 6 nojalla ne ovat lineaarisesti vapaita. Jos c 1 = m 1 G 1 ja c 2 = m 2 G 2, niin ominaisuuden 1 nojalla (m 1 m 2 )(G 1 G 2 ) = (m 1 G 1 ) (m 2 G 2 ) = c 1 c 2, joten vektorit c 1 c 2 ovat matriisin G 1 G 2 rivien lineaariyhdisteitä. Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 20 / 34

33 Lisäksi tulokoodin C 1 C 2 jokainen koodivektori c on lausuttavissa muotoa c 1 c 2 olevien vektoreiden lineaariyhdisteenä. Tässä ideana on tehdä sanaa c vastaavalle matriisille C hajotelma 0 c 11 0 c 21 C =. = c dt 1 c 11 = c 33 + d T 1 c 11 + d T 2 c 22. c n1,1 c n1,2 n 1 = = d T i c ii, i=1 c n1,3 missä d i C 1 ja c ii C 2 kaikilla i = 1,..., n 1. Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 21 / 34

34 Lisäksi tulokoodin C 1 C 2 jokainen koodivektori c on lausuttavissa muotoa c 1 c 2 olevien vektoreiden lineaariyhdisteenä. Tässä ideana on tehdä sanaa c vastaavalle matriisille C hajotelma 0 c 11 0 c 21 C =. = c dt 1 c 11 = c 33 + d T 1 c 11 + d T 2 c 22. c n1,1 c n1,2 n 1 = = d T i c ii, i=1 c n1,3 missä d i C 1 ja c ii C 2 kaikilla i = 1,..., n 1. Huom! Kronecker-tulon ominaisuuden 6 nojalla tulokoodin C 1 C 2 dimensio on k 1 k 2. Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 21 / 34

35 Esimerkki D jatkuu Koodien C 1 ja C 2 muodostaman tulokoodin C 1 C 2 generoijamatriisi on G = G 1 G = Lauseen nojalla d min (C 1 C 2 ) = d min C 1 d min C 2 = 4 3 = 12. Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 22 / 34

36 Olkoon H i [n i, k i ]-koodin C i, i = 1, 2, tarkistusmatriisi. Matriisi H 1 H 2 ei yleensä ole koodin C 1 C 2 tarkistusmatriisi, sillä sen rivien lukumäärä on (n 1 k 1 )(n 2 k 2 ) = n 1 n 2 k 1 n 2 k 2 n 1 + k 1 k 2 < n 1 n 2 k 1 k 2 ellei k 1 = k 2 = 0 tai k i = n i. Koodille C 1 C 2 saadaan tarkistusmatriisi seuraavasti. Olkoot koodin C i, i = 1, 2, generoija- ja tarkistusmatriisi sekä G 1 = [ I k1 P 1 ], G2 = [ I k2 P 2 ], H 1 = [ P T 1 I n1 k 1 ], H2 = [ P T 2 I n2 k 2 ] A 1 = [ I k1 0 k1 (n 1 k 1 )], A2 = [ I k2 0 k2 (n 2 k 2 )]. Tällöin koodin C 1 C 2 tarkistusmatriisi on H 1 H 2 H = H 1 A 2. A 1 H 2 Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 23 / 34

37 Lause Jos C 1 korjaa kaikki enintään b-pituiset ryöppyvirheet ja C 2 on n 2 -pituinen, niin tulokoodi C 1 C 2 korjaa kaikki enintään bn 2 -pituiset ryöppyvirheet. Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 24 / 34

38 Lause Jos C 1 korjaa kaikki enintään b-pituiset ryöppyvirheet ja C 2 on n 2 -pituinen, niin tulokoodi C 1 C 2 korjaa kaikki enintään bn 2 -pituiset ryöppyvirheet. Todistus: Kun koodisana c kirjoitetaan n 1 n 2 -matriisiksi C, niin sen sarakkeet ovat koodin C 1 koodisanoja. Tällöin enintään bn 2 -pituinen ryöppyvirhe voi aiheuttaa enintään b-pituisen ryöppyvirheen kuhunkin sarakkeeseen, joten C 1 korjaa nämä ryöpyt. Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 24 / 34

39 Lause Jos C 1 korjaa kaikki enintään b-pituiset ryöppyvirheet ja C 2 on n 2 -pituinen, niin tulokoodi C 1 C 2 korjaa kaikki enintään bn 2 -pituiset ryöppyvirheet. Todistus: Kun koodisana c kirjoitetaan n 1 n 2 -matriisiksi C, niin sen sarakkeet ovat koodin C 1 koodisanoja. Tällöin enintään bn 2 -pituinen ryöppyvirhe voi aiheuttaa enintään b-pituisen ryöppyvirheen kuhunkin sarakkeeseen, joten C 1 korjaa nämä ryöpyt. Edellisestä todistuksessa käy ilmi myös dekoodausmenettely: Muutetaan saatu sana n 1 n 2 -matriisiksi ja dekoodataan jokainen sarake koodin C 1 dekoodausmenettelyllä. Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 24 / 34

40 6.4 Kiedotut koodit Määritelmä Annetusta n-pituisesta koodista C muodostettu l-kertaisesti kiedottu koodi (interleaved to depth l) C (l) koostuu kaikista ln-pituisista koodisanoista, jotka saadaan seuraavasti: Otetaan l kappaletta koodin C sanoja c i = c i1 c i2... c in, i = 1,..., l, ja muodostetaan niistä matriisi c 1 c 11 c c 1n c 2. = c 21 c c 2n.... c l1 c l2... c ln c l Tällöin koodin C (l) koodisana on sana, joka saadaan lukemalla ylläoleva matriisi pystyriveittäin eli sana c 11 c c l1 c 12 c c l2... c 1n c 2n... c ln. Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 25 / 34

41 Jos C on [n, k]-koodi, niin C (l) on [ln, lk]-koodi. Polynomimuodossa yllä oleva koodisana on c 11 + c 21 x + + c l1 x l 1 + c 12 x l + c 22 x l c l2 x 2l c 1n x (n 1)l + c 2n x (n 1)l c ln x nl 1 = (c 11 + c 12 x l + + c 1n x (n 1)l ) + x(c 21 + c 22 x l + + c 2n x (n 1)l ) + + x l 1 (c l1 + c l2 x l + + c ln x (n 1)l ) = c 1 (x l ) + xc 2 (x l ) + + x l 1 c l (x l ). Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 26 / 34

42 Lause Jos C korjaa kaikki enintään b-pituiset ryöppyvirheet, niin C (l) korjaa kaikki enintään lb-pituiset ryöppyvirheet. Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 27 / 34

43 Lause Jos C korjaa kaikki enintään b-pituiset ryöppyvirheet, niin C (l) korjaa kaikki enintään lb-pituiset ryöppyvirheet. Todistus: Korkeintaan lb-pituinen ryöppyvirhe aiheuttaa enintään b-pituisen ryöppyvirheen sanaa vastaavan matriisin riveihin. Tämä on mahdollista korjata, koska C korjaa b-ryöpyt. Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 27 / 34

44 Lause Jos C korjaa kaikki enintään b-pituiset ryöppyvirheet, niin C (l) korjaa kaikki enintään lb-pituiset ryöppyvirheet. Todistus: Korkeintaan lb-pituinen ryöppyvirhe aiheuttaa enintään b-pituisen ryöppyvirheen sanaa vastaavan matriisin riveihin. Tämä on mahdollista korjata, koska C korjaa b-ryöpyt. Lause Jos C on syklinen [n, k]-koodi, jonka generoijapolynomi on g(x) ja tarkistuspolynomi h(x) = (x n 1)/g(x), niin C (l) on syklinen [ln, lk]-koodi, jonka generoijapolynomi on g(x l ) ja tarkistuspolynomi h(x l ). Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 27 / 34

45 Todistus: Pituus, dimensio ja lineaarisuus olivat edellä. Jos koodin C (l) sanaan c 1 c c 1n. =.. c l c l1... c ln tehdään yhden askelen syklinen siirto, niin saadaan sana c c ln c l1 c l2... c l l,n 1 c 11 c 12 c c 1n c = c 2,. c l 1,1 c l 1,2 c l 1,3... c l 1,n c l 1 missä c tarkoittaa vektorin c yhden askelen syklistä siirtoa. Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 28 / 34

46 Koska C on syklinen, niin edellä mainittu sana on koodin C (l) sana. Siten C (l) on syklinen. Koska g(x) (x n 1), niin g(x l ) (x ln 1). Olkoon m(x) viestisanana koodille C (l), jolloin m(x) = m 1 (x l ) + xm 2 (x l ) + + x l 1 m l (x l ) joillakin polynomeilla m i (x). Nämä voidaan tulkita viesteiksi koodille C, jolloin niitä vastaavat koodisanat c i (x) = m i (x)g(x), i = 1,..., l. Tällöin m(x)g(x l ) = m 1 (x l )g(x l ) + xm 2 (x l )g(x l ) + + x l 1 m l (x l )g(x l ) = c 1 (x l ) + xc 2 (x l ) + + x l 1 c l (x l ) C (l). Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 29 / 34

47 Toisaalta koodin C (l) sanat ovat muotoa c 1 (x l ) + xc 2 (x l ) + + x l 1 c l (x l ), missä c i (x) C. Siten c i (x) = m i (x)g(x) joillakin viestipolynomeilla m i (x). Koodin C (l) jokainen sana on siis muotoa m 1 (x l )g(x l ) + xm 2 (x l )g(x l ) + + x l 1 m l (x l )g(x l ) = (m 1 (x l ) + xm 2 (x l ) + + x l 1 m l (x l ))g(x l ) g(x l ). Täten koodin C (l) sanat ovat täsmälleen sanat m(x)g(x l ), ja g(x l ) on generoijapolynomi. Tarkistuspolynomi on siten (x ln 1)/g(x l ) = h(x l ). Koodin C (l) dimensiota koskeva väite saataisiin myös tästä. Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 30 / 34

48 Kietomista voidaan tehostaa ristiinkietomisella (cross-interleaving), jossa yhdistetään kaksi koodia C 1 ja C 2. Olkoon C i [n i, k i ]-koodi, i = 1, 2. Otetaan k 2 kappaletta koodin C 1 sanoja: c 11 c c 1n1. c k2 1c k c k2 n 1. Sen sijaan, että lähetettäisiin näitä sanoja vastaavan matriisin sarakkeet [c 1j,..., c k1 j] T sellaisenaan kuten (tavallisessa) kietomisessa, tulkitaan nämä sarakkeet viestisanoiksi koodille C 2. Näin saadaan koodin C 2 sanat d 11 d d 1n2,..., d n1 1d n d n1 n 2. Nämä voidaan nyt kietoa niin moninkertaisesti kuin halutaan. Tässä koodia C 1 kutsutaan sisäkoodiksi ja koodia C 2 ulkokoodiksi. Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 31 / 34

49 Esimerkki: Olkoon koodien C 1 ja C 2 generoijamatriisit ja Koodi C 1 on binäärinen Hammingin [7, 4]-koodi ja koodi C 2 on [6, 3]-koodi. Aletaan kietoa koodia C 1 kolminkertaisesti ja olkoot tarvittavat 3 koodisanaa matriisin vaakarivit. Kiedotun koodin sanana olisi nyt Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 32 / 34

50 Tämän lähettämisen sijaan koodataan ylläolevan matriisit sarakkeet edellä kuvatulla tavalla käyttämällä koodia C 2. Näin saadaan sanat Nämä voidaan nyt kietoa esimerkiksi kaksinkertaisesti, jolloin saadaan sanat , , ,... Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 33 / 34