koska 2 toteuttaa rationaalikertoimisen yhtälön x 2 2 = 0. Laajennuskunnan
|
|
- Elsa Siitonen
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 4. Äärellisten kuntien yleisiä ominaisuuksia 4.1. Laajenuskunnat. Tarkastellaan aluksi yleistä kuntaparia F ja K, missä F on kunnan K alikunta. Tällöin sanotaan, että kunta K on kunnan F laajennuskunta (tai kuntalaajennus). (Muista: kunnat ovat tietyn tyyppisiä renkaita; F on kunnan K alikunta tarkoittaa, että renkaan F on renkaan K alirengas ja F on myös kunta.) Hyviä, tuttuja esimerkkejä ovat parit F = R, K = C ja F = Q, K = R. Vähemmän tuttu on pari F = Q, Q[ 2] := {a + b 2 a, b Q}. Kun a F ja x, y K, on a x K ja x + y K. Lisäksi kunnan ominaisuuksien nojalla on helppo tarkistaa, että joukko K on F -kertoiminen vektoriavaruus (ks. määritelmä 3.5). Määritelmä 4.1. Kunnan F laajennuskunnan K alkio α on algebrallinen alikunnan F suhteen, jos on on olemassa nollasta eroava F -kertoiminen polynomi f(x) F [x] siten, että f(α) = 0, t.s. on olemassa n Z + ja alkiot a 0,..., a n F siten, että a n α n +... a 0 = 0. Jos laajennuskunnan K jokainen alkio on algebrallinen alikunnan F suhteen, sanotaan, että laajennuskunta K on algebrallinen alikunnan F suhteen. Jos alkio α ei ole algebrallinen alikunnan F suhteen, sanotaan, että alkio α on transkendenttinen alikunnan F suhteen. Jos kunnan F laajennuskunta K on F -kertoimisena vektoriavaruutena äärellisulotteinen, sanotaan, että K on alikunnan F äärellinen laajennus. F -kertoimisen vektoriavaruuden K dimensiota merkitään tällöin [K : F ] := dim F K. Luku [K : F ] on laajennuskunnan K laajennusaste alikunnan F suhteen. Esimerkkejä 4.2. a) Imaginaariyksikkö i C on algebrallinen alikunnan R suhteen, koska i toteuttaa reaalikertoimisen yhtälön x = 0. Kompleksilukujen kunnan dimensio reaalisena vektoriavaruutena on kaksi, koska kantavektoreiksi käyvät 1 ja i: jokainen z C voidaan esittää muodossa z = a + b i, missä a, b R, ja ehdosta a + b i = 0 (a, b R) seuraa, että a = b = 0 (t.s. 1 ja i ovat lineaarisesti riippumattomat). Siis laajennusaste [C : R] = 2. b) Kunta F on aina itsensä laajennuskunta; laajennusaste [F : F ] = 1. c) Luku 2 Q[ 2] = {a + b 2 a, b Q} on algebrallinen alikunnan Q suhteen, koska 2 toteuttaa rationaalikertoimisen yhtälön x 2 2 = 0. Laajennuskunnan K dimensio rationaalikertoimisena vektoriavaruutena on kaksi, koska kantavektoreiksi käyvät 1 ja 2: jokainen x Q[ 2] voidaan esittää muodossa x = a + b 2, missä a, b Q (joukon Q[ 2] määritelmä), ja ehdosta a + b 2 = 0 (a, b Q) seuraa, että a = b = 0 (t.s. 1 ja 2 ovat lineaarisesti riippumattomat). (Huomaa: vaikka merkintä Q[ 2] näyttää hieman samalta kuin polynomirenkaalle käytetty F [x], ei kyse ole samasta asiasta; polynomirenkaan x on vapaa muuttuja (tarkemmin toisaalla).) d) Neperin luku e R ja pii π R ovat transkendenttisia alikunnan Q suhteen. Näiden osoittaminen ei ole lainkaan yksinkertaista. Hieman yleisemmin asiaa on tarkasteltu kirjassa [6, app. 1]. 10 Viimeksi muutettu
2 Lause 3.14 antaa yhden laajennuskuntakonstruktion: jos m F [x] jaoton, on jäännösluokkarengas F [x]/(m) kunta, joka sisältää kunnan F alikuntanaan (ainakin, kun F ja sen kuva kuvauksessa F F [x] F [x]/(m), a 0 a 0 [a 0 ] m, samastetaan). Lauseella on vielä sellainen lisäanti, että polynomille m löydetään juuri laajennuskunnasta F [x]/(m). Toisenlainen kuntalaajennus saataisiin muuttujan x murtolausekkeiden avulla. Kokonaisalueeen F [x] murtokunta F (x) määritellään seuraavalla tavalla (vertaa rationaalilukujen kunnan konstruointiin kokonaislukujen renkaan avulla): Renkaan F [x] alkiopareille (f(x), g(x)), missä g(x) 0, määritelty relaatio (f(x), g(x)) (p(x), q(x)), kun f(x) q(x) = g(x) p(x), on helppo todeta ekvivalenssirelaatioksi. Ekvivalenssiluokkien joukkoa merkitään F (x) ja ekvivalenssiluokille otetaan käyttöön merkintä f(x) g(x) := [(f(x), g(x))]. Kannattaa muistaa, että ekvivalenssiluokat f(x) ja p(x) ovat samat, jos ja vain jos g(x) q(x) luokkien edustajat (f(x), g(x)) ja (p(x), q(x)) ovat ekvivalentit, t.s. f(x) g(x) = p(x), jos ja vain jos f(x) q(x) = g(x) p(x). q(x) Kun ekvivalenssiluokille määritellään yhteen- ja kertolasku asettamalla f(x) g(x) + p(x) q(x) := f(x) q(x) + g(x) p(x) g(x) q(x) ja f(x) g(x) p(x) q(x) := f(x) p(x) g(x) q(x), on F (x) kunta, muuttujan x murtolausekkeiden muodostama kunta (tarkistus on suoraviivainen lasku ja jätetään lukijalle). Alkuperäinen polynomirengas voivaan upottaa murtolausekkeiden kuntaan kuvauksella (joka on injektiivinen rengashomomorfismi; todistus: HT) F [x] F (x), f(x) f(x) 1. Tässäkin tilanteessa F on kunnan F (x) alikunta: F F [x] F (x), a a a 1. Jos F on äärellinen kunta, esimerkiksi F = Z p, on Z p (x) kuitenkin ääretön joukko, kun taas jaottoman polynomin m Z p [x] avulla saatu laajennus Z p [x]/(m) on äärellinen joukko. Tarkastellaan seuraavaa ongelmaa: Annettuna on jonkin kunnan E alikunta F ja α E. Millainen on (inkluusion mielessä) suppein kunnan E alikunta K, joka sisältää kunnan F ja alkion α? Siis F K E, α K, ja jos F E on alikunta, jolle F K ja α F, niin K F. Jos α F, niin tällainen kunta K = F. Lauseen 3.14 antama kunta F [x]/(m) on haluttu kunta, jos α voidaan esittää jaottoman polynomin m F [x] juurena muodossa α = [x] m kunnassa E, jonka alikunta F [x]/(m) on. Ominaisuus F F [x]/(m) seuraa lauseesta ja α = [x] m F [x]/(m) on selvä. Jos nyt F jokin kunta, jolle F F ja α F, on F [x]/(m) F, koska kunnan F [x]/(m) jokainen alkio on muotoa [r 0 + r 1 x + + r d 1 x d 1 ] m = r 0 + r 1 α + + r d 1 α d 1 F, missä d := deg m ja r 0, r 1,..., r d 1 F. 22
3 Tällainen etsitty kunta K on aina olemassa: K = F F F, missä F on kaikkien sellaisten kunnan E alikuntien F joukko, joille F F (alikuntana) ja α F. Kuntaa K merkitään jatkossa F (α). Sanotaan, että kunta K = F (α) on saatu liittämällä kuntaan F alkio α. Lauseen 3.14 tilanne on itse asiassa melko yleinen. Nimittäin, olkoon F kunnan E alikunta ja α E kunnan F suhteen algebrallinen alkio. Olkoon I := {f F [x] f(α) = 0}. Tällöin I on renkaan F [x] ideaali, joten lauseen 1.6 ja sen jälkeisen huomautuksen nojalla I on yhden polynomin g F [x] virittämä, I = (g). Kun virittäjäksi g valitaan pääpolynomi, kutsutaan polynomia g alkion α mimimipolynomiksi kunnan F suhteen (tai alkion α redusoitumattomaksi polynomiksi kunnan F suhteen). Alkion α aste alikunnan F suhteen on polynomin g aste. Polynomi g on siis alinta astetta oleva nollasta eroava F -kertoiminen polynomi, jolle g(α) = 0. Lause 4.3. Olkoot F kunnan E alikunta, α E algebrallinen, g alkion α mimimipolynomi kunnan F suhteen ja d alkion α aste alikunnan F suhteen. Tällöin (i) g on jaoton; (ii) polynomille f F [x] on f(α) = 0, jos ja vain jos g f; (iii) F (α) on isomorfinen kunnan F [x]/(g) kanssa; (iv) [F (α); F ] = d ja {1, α,..., α d 1 } on F -vektoriavaruuden F (α) kanta. Todistus. (i): Jos g = g 1 g 2 ja g(α) = 0, on g 1 (α) = 0 tai g 2 (α) = 0. Koska polynomi g on alinta astetta oleva F -kertoiminen polynomi, jolle g(α) = 0, on g 1 tai g 2 vakio. Siis g on jaoton. (ii): Seuraa polynomin g määritelmästä. (iii): Kuvaus ϕ: F [x] E, ϕ(f(x)) := f(α), t.s. ϕ(f(x)) := a a 1 α + + a d 1 α d 1, kun f(x) = a a 1 x + + a d 1 x d 1, on rengashomomorfismi, jonka ydin on {f F [x] f(α) = 0} = (g). Rengasisomorfismilauseen 11 nojalla F [x]/(g) on isomorfinen kuvajoukon ϕ(f [x]) kanssa. Kun f(x) := a 0 (= vakio a 0 F ), on ϕ(a 0 ) = a 0. Kun f(x) := x, saadaan ϕ(x) = f(α) = α. Siis F ϕ(f [x]) ja α ϕ(f [x]). Koska ϕ on rengasisomorfismi ja F [x]/(g) kunta, on sen kuvajoukko ϕ(f [x]) kunta. Kunnan F (α) määritelmän nojalla F (α) ϕ(f [x]). Toisaalta, koska α F (α) ja F (α) on kunta, on jokaiselle polynomille f(x) F [x], f(α) F (α). Siis ϕ(f [x]) F (α). (iv): Seuraa ennen määritelmää 3.5 olleista tarkasteluista. Edellinen lause ja lause 3.14 ovat jossakin mielessä saman asian kaksi eri puolta. Edellisessä lauseessa kunnan F oletetaan olevan jonkin laajennuskunnan alikunta ja annetulle algebralliselle alkiolle α etsitään jaoton F -kertoiminen polynomi, jonka juuri α on. Lauseessa 3.14 jaoton polynomi on annettuna ja konstruoidaan laajennuskunta, jossa annetulla polynomilla on juuri. On hyvä huomata, että lauseen todistuksen kuvauksessa ϕ polynomi x kuvautuu alkioksi α, ja että homomorfismin ϕ indusoima isomorfimi F [x]/(g) F (α) on itse asiassa [f(x)] g f(α), joten [x] g α. Siis 11 Rengasisomorfialause (ks. [Alg, Renkaiden isomorfismilause 11.20]): Kun ϕ: R S on renkaiden R ja S välinen rengashomomorfismi, indusoi kuvaus ϕ rengasisomorfismin R/ ker ϕ ϕ(r), r + ker ϕ ϕ(r). 23
4 homomorfismin ϕ indusoima isomorfimi kuvaa lauseen 3.14 jaottoman polynomin g juuren [x] m lauseen 4.3 jaottoman polynomin m := g juureksi α. Olkoot nyt g F [x] jaoton, E kunnan F laajennuskunta ja α, β E polynomin juuria laajennuskunnassa E. Missä määrin kunta F (α) riippuu valitusta juuresta α? Eipä paljoa: Lause 4.4 (Yleinen konjugointilause). Yllä olevin oletuksin kunnat F (α) ja F (β) ovat isomorfiset vieläpä niin, että kyseisen isomorfismin ψ : F (α) F (β) rajoittuma alikuntaan F on identtinen kuvaus, ψ(a 0 ) = a 0 kaikille a 0 F, ja että se kuvaa alkion α alkioksi β, ψ(α) = β. Todistus. Olkoot ψ α : F [x]/(g) F (α) ja ψ β : F [x]/(g) F (β) lauseen 4.3 todistuksen kohdan (iii) mukaiset isomorfismit. Tällöin ψ := ψ β ψ 1 α : F (α) ψ 1 α F [x]/(g) ψ β F (β) on etsitty isomorfismi: α [x] g β ja a 0 [a 0 ] g a 0. Lause 4.5. Jos K on kunnan F äärellisasteinen laajennuskunta, niin jokainen kunnan K alkion on algebrallinen kunnan F suhteen. Todistus. Olkoon n := [K : F ] = dim F K. Olkoon α K. Tällöin alkiot 1, α, α 2,..., α n 1 ja α n eivät voi olla F -lineaarisesti riippumattomat. On siis olemassa a 0, a 1,..., a n F siten, että a n α n +... a 0 = 0. Tämä tarkoittaa, että α on algebrallinen kunnan F suhteen. Lause 4.6. Olkoot E kunnan F äärellinen laajennus ja K kunnan E äärellinen laajennus. Tällöin K on kunnan F äärellinen laajennus, ja laajennusasteille on voimassa [K : F ] = [K : E] [E : F ]. Todistus. Olkoot m := [E : F ] = dim F E ja n := [K : E] = dim E K. Olkoot α 1,..., α m E F -vektoriavaruuden E kanta ja β 1,..., β n K E- vektoriavaruuden K kanta. Tällöin jokainen c K voidaan esittää muodossa c = b 1 β b n β n, missä b 1,..., b n E. Vastaavasti jokainen b j voidaan esittää muodossa b j = a j,1 α a j,m α m, missä a j,1,..., a j,m F. Siis jokainen c K voidaan esittää muodossa n n m c = b j β j = a j,k β j α k. j=1 j=1 k=1 Siis alkiot β j α k, 1 j n, 1 k m, virittävät F -vektoriavaruuden K. Alkiot β j α k, 1 j n, 1 k m, ovat myös lineaarisesti riippumattomat, sillä jos on olemassa a j,k F siten, että n m a j,k β j α k = 0, j=1 k=1 24
5 on n ( m ) a j,k α k β j = 0, j=1 k=1 joten m k=1 a j,k α k = 0 (koska β j ovat E-lineaarisesti riippumatomat), ja edelleen a j,k = 0 (koska α k ovat F -lineaarisesti riippumatomat) Äärelliset kunnat. Lause 4.7. Olkoon K äärellinen kunta, t.s. kunta, jossa on äärellisen monta alkiota. Tällöin on olemassa alkuluku p ja n Z + siten, että kunnan K alkioiden lukumäärä on p n. Tällöin kunnalla K on alikuntanaan jäännösluokkakunta Z p. Todistus. Tarkastellaan kunnan ykkösalkion kokonaislukumonikertoja k 1 = (k kpl). Koska kunnassa K on äärelllisen monta alkiota, eivät alkiot k 1 voi olla keskenään erisuuria. Siis on olemassa k, k Z + siten, että k 1 = k 1 ja k k. Oletetaan, että k > k. Tällöin (k k ) 1 = 0 ja k k Z +. Valitaan luku k nyt erityisesti niin, että k on pienin mahdollinen luku, jolle k > k ja (k k ) 1 = 0. Osoitetaan, että luku p := k k on alkuluku. Tehdään antiteesi: On olemassa a, b Z + siten, että a > 1, b > 1 ja p = a b. Koska kunnassa 1 0, seuraa luvun k valinnasta ( pienin... ), että j 1 0, kun j = 1, 2..., p 1, ja p 1 = 0. Kun p = a b, on 0 = p 1 = (a b) 1 = (a 1) (b 1), joten a 1 = 0 tai b 1 = 0 (a 1 ja b 1 ovat kunnan K alkioita). Mutta tällöin olisi j 1 = 0 jollekin lukua p aidosti pienemmälle luvulle j. Tämä on vastoin luvun p valintaa. Siis p on alkuluku. Olkoon F := {j 1 j {0, 1,..., p 1}}. Tällöin F on kunnan K alikunta. Perustellaan lyhyesti, miksi F on suljettu yhteenja kertolaskun suhteen; kuntaehtojen tarkistaminen on suoraviivainen toimenpide ja jätetään lukijan tehtäväksi. Olkoot x = j 1 ja y = j 1 F. Tällöin x + y = (j + j ) 1 ja x y = (j j ) 1. Kun käytetään kokonaislukujen jakoyhtälöä, voidaan summa j + j ja tulo j j esittää muodoissa j + j = q p + r ja j j = q p + r, missä 0 r < p ja 0 r < p. Koska p 1 = 0, saadaan x + y = (j + j ) 1 = q p 1 + r 1 = r 1 F ja x y = (j j ) 1 = q p 1 + r 1 = r 1 F. Itse asiassa, kun tätä päättelyä tarkastelee tarkemmin, huomataan, että alikunnan F alkioilla j 1 lasketaan kuten luvuilla j modulo p. Lukijalle jätetään osoitettavaksi, että kuvaus ϕ: Z p F, ϕ([j] p ) := j 1, on hyvin määritelty, ja lisäksi rengasisomorfismi. Koska F on kunnan K alikunta, on K F -kertoiminen vektoriavaruus. Koska K on äärellinen, on K äärellisulotteinen F -kertoimisena vektoriavaruutena, t.s. vektoriavaruudella K on äärellinen kanta {e 1,..., e n } K. Tällöin jokainen x K voidaan esittää yksikäsitteisellä tavalla muodossa x = x 1 e x n e n, missä x 1,..., x n F. Tällöin kuvaus L: F n K, L(x 1,..., x n ) := x 1 e 1 + +x n e n, on F -lineaarinen bijektio, joten joukossa K on yhtä monta alkiota kuin joukossa F n, jossa niitä on p n kappaletta. 25
6 Huomautuksia 4.8. a) Todistuksessa löydetty luku p on kunnan K karakteristika. Sen siis karakterisoi ehto, että p on pienin positiivinen kokonaisluku, jolle p 1 = 0. Merkitään char K := p. Jos tällaista lukua p ei ole, sanotaan, että kunnan karakteristika on nolla. Tällaisia kuntia ovat tutut Q, R ja C. b) Äärellinen kunta F, jonka alkioiden lukumäärä on laajennuskunnan K karakteristika, on kunnan K alkukunta. Jos kunnan K karakteristika on nolla, on sillä alikuntana Q ja jokainen K:n alikunta sisältää alikuntanaan Q:n. Tässä tilanteessa K:n alkukunta on Q. c) Lauseen väite kunnalla K on alikuntanaan Z p pitäisi tarkemmin ilmaista muodossa kunnalla K on alikuntanaan jäännösluokkakunnan Z p kanssa isomorfinen alikunta F. Tämän tyyppisissä tilanteissa kunnat F ja Z p kuitenkin yleensä samastetaan keskenään, lasketaanhan molempien alkioilla samalla tavalla eli modulo p. d) Lauseen todistuksen loppuosasta saadaan yleisemmin: Jos F on kunnan K alikunta ja laajennusaste n := [K : F ] on äärellinen, on K vektoriavaruusisomorfinen vektoriavaruuden F n kanssa. (Tämä tarkoittaa, että on olemassa F -lineaarinen bijektio F n K; tähän käy samanlainen kuvaus kuin lauseen todistuksessa.) e) Eräs matematiikan historian ensimmäisiä abstrakteja vektoriavaruuksia oli R, ei kuitenkaan reaalikertoimisen vektoriavaruutena, vaan Q-kertoimisena. Kannattaa yrittää miettiä, miksi R on ääretönulotteinen Q-kertoimisena vektoriavaruutena. Edellisen lauseen todistuksesta voidaan lukea todistus myös seuraavalle väitteelle (missä d = dim F K): Lause 4.9. Olkoot F ja K äärellisiä kuntia. Olkoon q := F. Jos F on kunnan K alikunta, on olemassa d Z + siten, että K = q d. Nimittäin, laajennuskunta K on F -kertoiminen vektoriavaruus. Kun K:lle valitaan kanta {e 1,..., e n }, on kuvaus L: F n K, L(x 1,..., x n ) := x 1 e x n e n, F - lineaarinen bijektio, joten joukossa K on yhtä monta alkiota kuin joukossa F n, jossa niitä on q n kappaletta. Jos kunnassa F on p k alkiota, on sen äärellisisten laajennuskuntien K alkioiden lukumäärä siis muotoa p k n. Erityisesti siis kunta, jossa on 4 = 2 2 alkiota ei voi olla alikunta kunnalle, jossa on 8 = 2 3 alkiota. Palautetaan mieleen äärellisen ryhmän G alkion kertaluku. Alkion a kertaluku on pienin positiivinen kokonaisluku k, jolle a k = 1 (= ryhmän ykkösalkio). Tämä on sama kuin alkion a virittämän aliryhmän {a k k Z} kertaluku. Lause 4.10 (Fermat n pieni lause). Olkoon K äärellinen kunta, jossa on q alkiota. Tällöin a q = a kaikille a K. Todistus. Jos a = 0, on väite selvä. Olkoon a K = K\{0} =: G. Joukko G kertolaskulla varustettuna on äärellinen ryhmä, joten Lagrangen lauseen ( aliryhmän kertaluku jakaa ryhmän kertaluvun ) nojalla alkion a virittämän aliryhmän {a k k Z} kertaluku jakaa luvun K = q 1. Jos alkion a kertaluku on k, on siis q 1 = k l jollekin l Z. Tällöin q q 1 = q k l = (a k ) l = 1 l = 1. 26
7 Fermat n alkuperäisessä väitteessä q = p on alkuluku, joten väite koski (nykykielellä ilmaistuna) kuntaa Z p. Fermat lla ei myöskään ollut käytössä modulaariaritmetiikkaa, ja väitteen Fermat esitti jaollisuusominaisuutena: p jakaa luvun a p 1 1 aina kun p on alkuluku ja a ja p ovat keskenään jaottomia kokonaislukuja. Kongruenssikäsite on peräisin Gaussilta vuodelta 1801 (Disquisitiones arithmeticae). Seuraus Olkoon K äärellinen kunta, jossa on q alkiota, ja F kunnan K alikunta. Tällöin polynomi x q x F [x] hajoaa renkaassa K[x] ensimmäisen asteen tekijöiden tuloksi x q x = a K(x a). Todistus. Fermat n pienen lauseen nojalla jokainen a K on polynomin x q x nollakohta. Tällöin jokainen x a, a K, jakaa polynomin x q x. Koska väitteessä esintyvien polynomien aste on q ja molemmissa johtava kerroin on ykkönen, seuraa väite. Lause Olkoot F äärellinen kunta, jossa on q alkiota, ja K kunnan F äärellinen laajennuskunta. Tällöin alkio β K on alikunnan F alkio, jos ja vain jos β toteuttaa yhtälön β q β = 0. Todistus. Fermat n pienen lauseen nojalla jokainen β F toteuttaa yhtälön β q β = 0. Polynomilla x q x F [x] on siis astelukunsa osoittama määrä juuria kunnassa F. Kuntakertoimisessa tilanteessa juuria ei voi olla enempää, joten mikään kunnan K alikuntaan F kuulumaton alkio ei voi olla polynomin x q x juuri. Lause Olkoon F kunta, jonka karakteristika on p. Tällöin kaikille α 1,..., α n F ja kaikille k Z + on voimassa (α α n ) pk = α pk α pk n. Todistus. Todistetaan väite tapauksessa n = 2; yleinen tapaus jää lukijan tehtäväksi (induktiolla). Binomikaavan nojalla kaikille α, β F on p ( ) k (α + β) p = α p k β k. p k=0 Koska p on alkuluku, on binomikerroin ( ) k p (p 1) ((p k + 1) = p k (k 1) 1 jaollinen luvulla p, kun 1 k p 1. Tällöin ( k p) α p k β k = 0, kun 1 k p 1, joten (α + β) p = α p + β p. Väite tapausessa k = 1 seuraa tästä. Kun saatu kaava korotetaan puolittain p. potenssiin, saadaan väite tapauksessa k = 2. Yleinen tapaus saadaan induktiolla. Lause 4.14 (Alikuntaehto). Olkoon K äärellinen kunta, jossa on q = p n alkiota. Tällöin jokaisessa kunnan K alikunnassa F on p m alkiota jollekin m n. Kääntäen, jokaiselle m Z +, jolle m n, kunnalla K on täsmälleen yksi alikunta F, jossa on p m alkiota. 27
8 Todistus. Olkoon kunnan F alikoiden lukumäärä q. Tällöin lauseen 4.9 nojalla q = (q ) d. Lauseen 4.7 nojalla q = p m jollekin m Z +. (Huomaa: p on sama kunnille F ja K.) Siis p n = (p m ) d, joten n = m d ja siis m n. Kääntäen, olkoon m n, n = m d. Lause 4.12 kertoo, miten alikunta F pitää määritellä: asetetaan F := {β K β m = β}. Koska m n, on x pm x x pn x. Koska lauseen 4.11 nojalla x pn x = a K (x a), on polynomilla x pm x tasan p m juurta kunnassa K, t.s. joukossa F on p m alkiota. Osoitetaan, että F on kunnan K alikunta. Tätä varten olkoot α, β F. Edellisen lauseen 4.13 avulla (α + β) pm = α pm + β pm = α + β (α β) pm = α pm β pm = α β (α 1 ) pm = ( α pm ) 1 = α 1 Siis α + β F, α β F ja α 1 F, joten F on kunnan K alikunta. Lauseen 4.12 nojalla kunnan K ainoa p m -alkioinen alikunta on juuri F. Esimerkki Koska luvun 12 tekijät ovat 1, 2, 3, 4, 6 ja 12, joten esimerkiksi kunnalla F 3 12 on alikunnat (inkluusio tarkoittaa alikuntaa) F 3 12 F 3 6 F 3 3 F 3 F 3 4 F 3 2 F 3 28
ja jäännösluokkien joukkoa
3. Polynomien jäännösluokkarenkaat Olkoon F kunta, ja olkoon m F[x]. Polynomeille f, g F [x] määritellään kongruenssi(-relaatio) asettamalla g f mod m : m g f g = f + m h jollekin h F [x]. Kongruenssi
Lisätiedot7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi
7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi Z p [x]/(m), missä m on polynomirenkaan Z p [x] jaoton polynomi (ks. määritelmä 3.19).
Lisätiedot[E : F ]=[E : K][K : F ].
ALGEBRA II 35 Lause 4.4 (Astelukulause). Olkoot E/K/Fäärellisiä kuntalaajennuksia. Silloin [E : F ]=[E : K][K : F ]. Todistus. Olkoon {α 1,...,α n } kanta laajennukselle E/K ja {β 1,...,β m } kanta laajennukselle
Lisätiedoton Abelin ryhmä kertolaskun suhteen. Tämän joukon alkioiden lukumäärää merkitään
5. Primitiivinen alkio 5.1. Täydennystä lukuteoriaan. Olkoon n Z, n 2. Palautettakoon mieleen, että kokonaislukujen jäännösluokkarenkaan kääntyvien alkioiden muodostama osajoukko Z n := {x Z n x on kääntyvä}
Lisätiedot14. Juurikunnat Määritelmä ja olemassaolo.
14. Juurikunnat Mielivaltaisella polynomilla ei välttämättä ole juuria tarkasteltavassa kunnassa. Tässä luvussa tutkitaan sellaisia algebrallisia laajennoksia, jotka saadaan lisäämällä polynomeille juuria.
Lisätiedot1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus
1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus
LisätiedotR 1 = Q 2 R 2 + R 3,. (2.1) R l 2 = Q l 1 R l 1 + R l,
2. Laajennettu Eukleideen algoritmi Määritelmä 2.1. Olkoot F kunta ja A, B, C, D F [x]. Sanotaan, että C jakaa A:n (tai C on A:n jakaja), jos on olemassa K F [x] siten, että A = K C; tällöin merkitään
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA I
802320A LINEAARIALGEBRA OSA I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 72 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä
Lisätiedotei ole muita välikuntia.
ALGEBRA II 41 Lause 4.15. F q m on polynomin x qm x hajoamiskunta kunnan F q suhteen. Todistus. Olkoon α kunnan F q m primitiivialkio. Nyt F qm =< α > muodostuu täsmälleen polynomin x qm 1 1nollakohdistajatäten
Lisätiedot(x + I) + (y + I) = (x + y)+i. (x + I)(y + I) =xy + I. kaikille x, y R.
11. Ideaalit ja tekijärenkaat Rengashomomorfismi φ: R R on erityisesti ryhmähomomorfismi φ: (R, +) (R, +) additiivisten ryhmien välillä. Rengashomomorfismin ydin määritellään tämän ryhmähomomorfismin φ
LisätiedotÄärelliset kunnat ja polynomien jako alkutekijöihin
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Heidi Kananoja Äärelliset kunnat ja polynomien jako alkutekijöihin Matematiikan, tilastotieteen ja filosofian laitos Matematiikka Syyskuu 2007 Tampereen yliopisto
LisätiedotKoodausteoria, Kesä 2014
Koodausteoria, Kesä 2014 Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos Koodausteoria 10 op Kontaktiopetusta 50 h, 26.5. - 26.6. ma 10-14, ti 10-13, to 10-13 Aloitusviikolla poikkeuksellisesti ke 10-13 torstain
LisätiedotBijektio. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin jokaiselle alkiolle kuvautuu tasan yksi lähdön alkio.
Määritelmä Bijektio Oletetaan, että f : X Y on kuvaus. Sanotaan, että kuvaus f on bijektio, jos se on sekä injektio että surjektio. Huom. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin
LisätiedotEsko Turunen MAT Algebra1(s)
Määritelmä (4.1) Olkoon G ryhmä. Olkoon H G, H. Jos joukko H varustettuna indusoidulla laskutoimituksella on ryhmä, se on ryhmän G aliryhmä. Jos H G on ryhmän G aliryhmä, merkitään usein H G, ja jos H
LisätiedotMitään muita operaatioita symbolille ei ole määritelty! < a kaikilla kokonaisluvuilla a, + a = kaikilla kokonaisluvuilla a.
Polynomit Tarkastelemme polynomirenkaiden teoriaa ja polynomiyhtälöiden ratkaisemista. Algebrassa on tapana pitää erillään polynomin ja polynomifunktion käsitteet. Polynomit Tarkastelemme polynomirenkaiden
LisätiedotEsko Turunen Luku 3. Ryhmät
3. Ryhmät Monoidia rikkaampi algebrallinen struktuuri on ryhmä: Määritelmä (3.1) Olkoon joukon G laskutoimitus. Joukko G varustettuna tällä laskutoimituksella on ryhmä, jos laskutoimitus on assosiatiivinen,
LisätiedotH = : a, b C M. joten jokainen A H {0} on kääntyvä matriisi. Itse asiassa kaikki nollasta poikkeavat alkiot ovat yksiköitä, koska. a b.
10. Kunnat ja kokonaisalueet Määritelmä 10.1. Olkoon K rengas, jossa on ainakin kaksi alkiota. Jos kaikki renkaan K nollasta poikkeavat alkiot ovat yksiköitä, niin K on jakorengas. Kommutatiivinen jakorengas
LisätiedotAlgebran ja lukuteorian harjoitustehtäviä. 1. Tutki, ovatko seuraavat relaatiot ekvivalenssirelaatioita joukon N kaikkien osajoukkojen
Algebran ja lukuteorian harjoitustehtäviä Versio 1.0 (27.1.2006) Turun yliopisto Lukuteoria 1. Tutki, ovatko seuraavat relaatiot ekvivalenssirelaatioita joukon N kaikkien osajoukkojen joukolla: a) C D
Lisätiedot2 Renkaat ja kunnat. toteutuvat: 1. pari (K, +) on Abelin ryhmä, jonka neutraalialkio on 0 K,
1 Ryhmät Olkoot S on joukko ja X S. Jos kuvaus : S S S, (x, y) x y toteuttaa ehdon x y X kaikilla x, y X, niin sanotaan, että binäärinen operaatio on suljettu joukon X suhteen. Määritelmä 1. Olkoot G joukko
LisätiedotMatematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto 3. Oletetaan, että kunnan K karakteristika on 3. Tutki,
Lisätiedot{I n } < { I n,i n } < GL n (Q) < GL n (R) < GL n (C) kaikilla n 2 ja
5. Aliryhmät Luvun 4 esimerkeissä esiintyy usein ryhmä (G, ) ja jokin vakaa osajoukko B G siten, että (B, B ) on ryhmä. Määrittelemme seuraavassa käsitteitä, jotka auttavat tällaisten tilanteiden käsittelyssä.
LisätiedotMAT-41150 Algebra I (s) periodilla IV 2012 Esko Turunen
MAT-41150 Algebra I (s) periodilla IV 2012 Esko Turunen Tehtävä 1. Onko joukon X potenssijoukon P(X) laskutoimitus distributiivinen laskutoimituksen suhteen? Onko laskutoimitus distributiivinen laskutoimituksen
Lisätiedotg : R R, g(a) = g i a i. Alkio g(a) R on polynomin arvo pisteessä a. Jos g(a) = 0, niin a on polynomin g(x) nollakohta.
ALGEBRA II 27 on homomorfismi. Ensinnäkin G(a + b) a + b G(a)+G(b) (f), G(ab) ab G(a)G(b) G(a) G(b) (f), ja koska kongruenssien vasempien ja oikeiden puolten asteet ovat pienempiä kuin f:n aste, niin homomorfiaehdot
LisätiedotMAT Algebra I (s) periodeilla IV ja V/2009. Esko Turunen
MAT-41150 Algebra I (s) periodeilla IV ja V/2009. Esko Turunen Tämä tiedosto sisältää kurssin kaikki laskuharjoitukset. viikottain uusia tehtäviä. Tiedostoon lisätään To 05.02.09 pidetyt harjoitukset.
Lisätiedot1. Hiukan lineaarialgebraa
ÁÎ ÃÓ Ø ÐÓ ³Ò Ø ÓÖ 1. Hiukan lineaarialgebraa 1.1. Määritelmä. Olkoon K = (K, +, ) kunta (ns. kerroinkunta). Joukko V varustettuna yhteenlaskulla +:V V V ja skalaarikerronnalla :K V V on K- vektoriavaruus,
LisätiedotPolynomien suurin yhteinen tekijä ja kongruenssi
Polynomien suurin yhteinen tekijä ja kongruenssi Pro gradu -tutkielma Outi Aksela 2117470 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Renkaat 3 1.1 Rengas...............................
Lisätiedot13.3. Transkendenttisuudesta. 14. Juurikunnat Määritelmä ja olemassaolo.
13.3. Transkendenttisuudesta. Luvun todistamiseksi algebralliseksi riittää löytää polynomi, jonka juuri kyseinen luku on. Transkendenttisuuden todistaminen on sen sijaan työläämpää. Jotkut tapaukset ovat
Lisätiedotk=1 b kx k K-kertoimisia polynomeja, P (X)+Q(X) = (a k + b k )X k n+m a i b j X k. i+j=k k=0
1. Polynomit Tässä luvussa tarkastelemme polynomien muodostamia renkaita polynomien ollisuutta käsitteleviä perustuloksia. Teemme luvun alkuun kaksi sopimusta: Tässä luvussa X on muodollinen symboli, jota
LisätiedotIdeaalit ja tekijärenkaat Ryhmähomomorfismin φ : G G ydin on ryhmän G normaali aliryhmä. Esko Turunen Luku 7. Ideaalit ja tekijärenkaat
Ideaalit ja tekijärenkaat Ryhmähomomorfismin φ : G G ydin on ryhmän G normaali aliryhmä. Ideaalit ja tekijärenkaat Ryhmähomomorfismin φ : G G ydin on ryhmän G normaali aliryhmä. Rengashomomorfismi ψ :
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Vektoriavaruudet Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 17 R. Kangaslampi Vektoriavaruudet Vektoriavaruus
LisätiedotTAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Tommi Kuusisto
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Tommi Kuusisto Äärellisistä kunnista Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Huhtikuu 2008 Tampereen yliopisto Matematiikan, tilastotieteen ja filosofian
LisätiedotAlgebrallisista käyristä
Tampereen yliopisto Pro gradu -tutkielma Heidi Kalliojärvi Algebrallisista käyristä Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Elokuu 2009 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos
Lisätiedota b 1 c b n c n
Algebra Syksy 2007 Harjoitukset 1. Olkoon a Z. Totea, että aina a 0, 1 a, a a ja a a. 2. Olkoot a, b, c, d Z. Todista implikaatiot: a) a b ja c d ac bd, b) a b ja b c a c. 3. Olkoon a b i kaikilla i =
Lisätiedot(xa) = (x) (a) = (x)0 = 0
11. Ideaalit ja tekijärenkaat Rengashomomorfismi : R! R 0 on erityisesti ryhmähomomorfismi :(R, +)! (R 0, +) additiivisten ryhmien välillä. Rengashomomorfismin ydin määritellään tämän ryhmähomomorfismin
LisätiedotLineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44
Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44 Tehtävät 1-3 lasketaan alkuviikon harjoituksissa, verkkotehtävien dl on lauantaina aamuyöllä. Tehtävät 4 ja 5 lasketaan loppuviikon harjoituksissa.
Lisätiedot15. Laajennosten väliset homomorfismit
15. Laajennosten väliset homomorfismit Rakenteiden väliset homomorfismit auttavat selvittämään rakenteiden suhteita toisiinsa. Rakenteen sisäiset isomorfismit niin sanotut automorfismit auttavat vastaavasti
Lisätiedotkaikille a R. 1 (R, +) on kommutatiivinen ryhmä, 2 a(b + c) = ab + ac ja (b + c)a = ba + ca kaikilla a, b, c R, ja
Renkaat Tarkastelemme seuraavaksi rakenteita, joissa on määritelty kaksi binääristä assosiatiivista laskutoimitusta, joista toinen on kommutatiivinen. Vaadimme muuten samat ominaisuudet kuin kokonaisluvuilta,
Lisätiedot[a] ={b 2 A : a b}. Ekvivalenssiluokkien joukko
3. Tekijälaskutoimitus, kokonaisluvut ja rationaaliluvut Tässä luvussa tutustumme kolmanteen tapaan muodostaa laskutoimitus joukkoon tunnettujen laskutoimitusten avulla. Tätä varten määrittelemme ensin
Lisätiedotx j x k Tällöin L j (x k ) = 0, kun k j, ja L j (x j ) = 1. Alkuperäiselle interpolaatio-ongelmalle saadaan nyt ratkaisu
2 Interpolointi Olkoon annettuna n+1 eri pistettä x 0, x 1, x n R ja n+1 lukua y 0, y 1,, y n Interpoloinnissa etsitään funktiota P, joka annetuissa pisteissä x 0,, x n saa annetut arvot y 0,, y n, (21)
LisätiedotAlgebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 (7 sivua)
Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin ( sivua).... Nämä ovat kurssin Algebra I harjoitustehtävien ratkaisuehdoituksia. Ratkaisut koostuvat kahdesta osiosta,
Lisätiedot1 Algebralliset perusteet
1 Algebralliset perusteet 1.1 Renkaat Tämän luvun jälkeen opiskelijoiden odotetaan muistavan, mitä ovat renkaat, vaihdannaiset renkaat, alirenkaat, homomorfismit, ideaalit, tekijärenkaat, maksimaaliset
Lisätiedot800333A Algebra I Luentorunko Kevät Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Juha-Matti Tirilä
800333A Algebra I Luentorunko Kevät 2010 Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Juha-Matti Tirilä Sisältö 1 Lukuteorian alkeita 3 1.1 Kongruenssiin liittyviä perustuloksia.............. 7 2 Ekvivalenssirelaatio
LisätiedotTOOLS. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO TOOLS 1 / 28
TOOLS Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO 2018 TOOLS 1 / 28 Merkintöjä ja algebrallisia rakenteita Lukujoukkoja N = {0, 1, 2,..., GOOGOL 10,...} = {ei-negatiiviset kokonaisluvut}. TOOLS
LisätiedotPrimitiiviset juuret: teoriaa ja sovelluksia
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Outi Sutinen Primitiiviset juuret: teoriaa ja sovelluksia Matematiikan, tilastotieteen ja filosofian laitos Matematiikka Huhtikuu 2006 Tampereen yliopisto Matematiikan,
LisätiedotÄärellisesti generoitujen Abelin ryhmien peruslause
Tero Harju (2008/2010) Äärellisesti generoitujen Abelin ryhmien peruslause Merkintä X on joukon koko ( eli #X). Vapaat Abelin ryhmät Tässä kappaleessa käytetään Abelin ryhmille additiivista merkintää.
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Vektoriavaruudet Riikka Kangaslampi kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Idea Lineaarisen systeemin ratkaiseminen Olkoon
Lisätiedotd Z + 17 Viimeksi muutettu
5. Diffien ja Hellmanin avaintenvaihto Miten on mahdollista välittää salatun viestin avaamiseen tarkoitettu avain Internetin kaltaisen avoimen liikennöintiväylän kautta? Kuka tahansahan voi (ainakin periaatteessa)
LisätiedotR : renkaan R kääntyvien alkioiden joukko; R kertolaskulla varustettuna on
0. Kertausta ja täydennystä Kurssille Äärelliset kunnat tarvittavat esitiedot löytyvät Algebran kurssista [Alg]. Hyödyksi voivat myös olla (vaikka eivät välttämättömiä) Lukuteorian alkeet [LTA] ja Salakirjoitukset
Lisätiedot= 5! 2 2!3! = = 10. Edelleen tästä joukosta voidaan valita kolme särmää yhteensä = 10! 3 3!7! = = 120
Tehtävä 1 : 1 Merkitään jatkossa kirjaimella H kaikkien solmujoukon V sellaisten verkkojen kokoelmaa, joissa on tasan kolme särmää. a) Jokainen verkko G H toteuttaa väitteen E(G) [V]. Toisaalta jokainen
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II LM2, Kesä 2012 1/141 Kertausta: avaruuden R n vektorit Määritelmä Oletetaan, että n {1, 2, 3,...}. Avaruuden R n alkiot ovat jonoja, joissa on n kappaletta reaalilukuja.
Lisätiedotjonka laskutoimitus on matriisien kertolasku. Vastaavasti saadaan K-kertoiminen erityinen lineaarinen ryhmä
4. Ryhmät Tässä luvussa tarkastelemme laskutoimituksella varustettuja joukkoja, joiden laskutoimitukselta oletamme muutamia yksinkertaisia ominaisuuksia: Määritelmä 4.1. Laskutoimituksella varustettu joukko
Lisätiedot2017 = = = = = = 26 1
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 2, MALLIRATKAISUT Tehtävä 1. Sovella Eukleiden algoritmia ja (i) etsi s.y.t(2017, 753) (ii) etsi kaikki kokonaislukuratkaisut yhtälölle 405x + 141y = 12. Ratkaisu
Lisätiedot15. Laajennosten väliset homomorfismit
15. Laajennosten väliset homomorfismit Rakenteiden väliset homomorfismit auttavat selvittämään rakenteiden suhteita toisiinsa. Rakenteen sisäiset isomorfismit eli niin sanotut automorfismit auttavat vastaavasti
Lisätiedot4. Ryhmien sisäinen rakenne
4. Ryhmien sisäinen rakenne Tässä luvussa tarkastellaan joitakin tapoja päästä käsiksi ryhmien sisäiseen rakenteeseen. Useimmat tuloksista ovat erityisen käyttökelpoisia äärellisten ryhmien tapauksessa.
Lisätiedota ord 13 (a)
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 4, MALLIRATKAISUT Tehtävä 1. Etsi asteet ord p (a) luvuille a 1, 2,..., p 1 kun p = 13 ja kun p = 17. (ii) Mitkä jäännösluokat ovat primitiivisiä juuria (mod
LisätiedotAlgebran jatkokurssin demo 1,
Algebran jatkokurssin demo 1, 23.1.2014 0. Tätä nollatehtävää ei käsitellä demoissa, vaan jätetään jokaisen oman harrastuneisuuden varaan käydä läpi nämä kuviot, jotka ovat lähestulkoon identtisiä LAG:n
LisätiedotRollen lause polynomeille
Rollen lause polynomeille LuK-tutkielma Anna-Helena Hietamäki 7193766 Matemaattisten tieteiden tutkinto-ohjelma Oulun yliopisto Kevät 015 Sisältö 1 Johdanto 1.1 Rollen lause analyysissä.......................
Lisätiedot802355A Algebralliset rakenteet Luentorunko Syksy Markku Niemenmaa Kari Myllylä Topi Törmä Marko Leinonen
802355A Algebralliset rakenteet Luentorunko Syksy 2016 Markku Niemenmaa Kari Myllylä Topi Törmä Marko Leinonen Sisältö 1 Kertausta kurssilta Algebran perusteet 3 2 Renkaat 8 2.1 Renkaiden teoriaa.........................
LisätiedotMiten osoitetaan joukot samoiksi?
Miten osoitetaan joukot samoiksi? Määritelmä 1 Joukot A ja B ovat samat, jos A B ja B A. Tällöin merkitään A = B. Kun todistetaan, että A = B, on päättelyssä kaksi vaihetta: (i) osoitetaan, että A B, ts.
LisätiedotKoodausteoria, Kesä 2014
Koodausteoria, Kesä 2014 Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 4.7 Syklisen koodin jälkiesitys Olkoon F = F q ja K = F q m kunnan F laajennuskunta. Määritelmä 4.7.1. Kuntalaajennuksen K/F jälkifunktioksi
LisätiedotHN = {hn h H, n N} on G:n aliryhmä.
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8, 23.27.3.2009 5 sivua Rami Luisto 1. Osoita, että kullakin n N + lukujen n 5 ja n viimeiset numerot kymmenkantaisessa
Lisätiedot1 Tensoriavaruuksista..
1 Tensoriavaruuksista.. Käydään läpi kirjan (1) sivut 126-133. 19.02.2007 Palautetaaieleen viime kerran tärkeä määritelmä: (kirja, Määr. 5.12). Määritelmä 1.1 Olkoon T vektoriavaruus ja Φ : V 1 V 2 V m
Lisätiedota 2 ba = a a + ( b) a = (a + ( b))a = (a b)a, joten yhtälö pätee mielivaltaiselle renkaalle.
Harjoitus 10 (7 sivua) Ratkaisuehdotuksia/Martina Aaltonen Tehtävä 1. Mitkä seuraavista yhtälöistä pätevät mielivaltaisen renkaan alkioille a ja b? a) a 2 ba = (a b)a b) (a + b + 1)(a b) = a 2 b 2 + a
Lisätiedot802355A Renkaat, kunnat ja polynomit Luentorunko Syksy 2013
802355A Renkaat, kunnat ja polynomit Luentorunko Syksy 2013 Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Juha-Matti Tirilä, Antti Torvikoski, Topi Törmä Sisältö 1 Kertausta kurssilta Lukuteoria ja ryhmät
LisätiedotKannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos:
8 Kanta Tässä luvussa tarkastellaan aliavaruuden virittäjävektoreita, jotka muodostavat lineaarisesti riippumattoman jonon. Merkintöjen helpottamiseksi oletetaan luvussa koko ajan, että W on vektoreiden
LisätiedotAvainsanat Nyckelord Keywords Nullstellensatz, Hilbertin nollajoukkolause, algebrallinen geometria
HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI Tiedekunta/Osasto Fakultet/Sektion Faculty Laitos Institution Department Matemaattis-luonnontieteellinen Tekijä Författare Author Sampo
LisätiedotOrtogonaalit latinalaiset neliöt
Ortogonaalit latinalaiset neliöt M Tamminen Matematiikan pro gradu Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Syksy 2013 Tiivistelmä: M Tamminen, Ortogonaalit latinalaiset neliöt (engl
Lisätiedot1 Kertausta algebran kurssilta 1. 4 Kuntalaajennukset Kuntalaajennuksen aste Harppi-viivoitin-konstruktiot Hajoituskunnat 88
Sisältö 1 Kertausta algebran kurssilta 1 2 Lisää polynomeista 10 3 Kertausta Q:n konstruktiosta; jakokunta 20 4 Kuntalaajennukset 27 5 Kuntalaajennuksen aste 49 6 Harppi-viivoitin-konstruktiot 64 7 Galois
LisätiedotHY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina klo
HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina 10.8.2015 klo 16.15. Tehtäväsarja I Tutustu lukuun 15, jossa vektoriavaruuden
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA III
802320A LINEAARIALGEBRA OSA III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 56 Määritelmä Määritelmä 1 Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V
LisätiedotAvaruuden R n aliavaruus
Avaruuden R n aliavaruus 1 / 41 Aliavaruus Esimerkki 1 Kuva: Suora on suljettu yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen suhteen. 2 / 41 Esimerkki 2 Kuva: Suora ei ole suljettu yhteenlaskun ja skalaarilla
Lisätiedot6. Tekijäryhmät ja aliryhmät
6. Tekijäryhmät ja aliryhmät Tämän luvun tavoitteena on esitellä konstruktio, jota kutsutaan tekijäryhmän muodostamiseksi. Konstruktiossa lähdetään liikkeelle jostakin isosta ryhmästä, samastetaan alkioita,
LisätiedotMääritelmä 1. Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V. Termejä: Lineaarikuvaus, Lineaarinen kuvaus.
1 Lineaarikuvaus 1.1 Määritelmä Määritelmä 1. Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V W on lineaarinen, jos (a) L(v + w) = L(v) + L(w); (b) L(λv) = λl(v) aina, kun v, w V ja λ K. Termejä:
LisätiedotAlgebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 9 (6 sivua) OT
Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 9 (6 sivua) 28.3.-1.4.2011 OT 1. a) Osoita, että rengas R = {[0] 10, [2] 10, [4] 10, [6] 10, [8] 10 } on kokonaisalue. Mikä
LisätiedotMääritelmä Olkoon T i L (V i, W i ), 1 i m. Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L (V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m )
Määritelmä 519 Olkoon T i L V i, W i, 1 i m Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m h v 1 v 2 v m T 1 v 1 T 2 v 2 T m v m 514 sanotaan olevan kuvausten T 1,, T m indusoima ja sitä
LisätiedotKantavektorien kuvavektorit määräävät lineaarikuvauksen
Kantavektorien kuvavektorit määräävät lineaarikuvauksen Lause 18 Oletetaan, että V ja W ovat vektoriavaruuksia. Oletetaan lisäksi, että ( v 1,..., v n ) on avaruuden V kanta ja w 1,..., w n W. Tällöin
LisätiedotTranskendenttiluvuista
Transkendenttiluvuista Juuso Mattila Matematiikan pro gradu Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kevät 205 2 TIIVISTELMÄ JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO Matematiikan ja tilastotieteen laitos
Lisätiedot6 Vektoriavaruus R n. 6.1 Lineaarikombinaatio
6 Vektoriavaruus R n 6.1 Lineaarikombinaatio Määritelmä 19. Vektori x œ R n on vektorien v 1,...,v k œ R n lineaarikombinaatio, jos on olemassa sellaiset 1,..., k œ R, että x = i v i. i=1 Esimerkki 30.
Lisätiedotisomeerejä yhteensä yhdeksän kappaletta.
Tehtävä 2 : 1 Esitetään aluksi eräitä havaintoja. Jokaisella n Z + symbolilla H (n) merkitään kaikkien niiden verkkojen joukkoa, jotka vastaavat jotakin tehtävänannon ehtojen mukaista alkaanin hiiliketjua
Lisätiedot(1) refleksiivinen, (2) symmetrinen ja (3) transitiivinen.
Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Tietyn ominaisuuden samuus -relaatio on ekvivalenssi; se on (1) refleksiivinen,
LisätiedotJohdatus matemaattiseen päättelyyn
Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 3 Joukko-oppia 4 Funktioista Funktio eli kuvaus on matematiikan
LisätiedotAlgebra II. Syksy 2004 Pentti Haukkanen
Algebra II Syksy 2004 Pentti Haukkanen 1 Sisällys 1 Ryhmäteoriaa 3 1.1 Ryhmän määritelmä.... 3 1.2 Aliryhmä... 3 1.3 Sivuluokat...... 4 1.4 Sykliset ryhmät... 7 1.5 Ryhmäisomorfismi..... 11 2 Polynomeista
Lisätiedot2 1/ /2 ; (a) Todista, että deg P (x)q(x) = deg P (x) + deg Q(x). (b) Osoita, että jos nolla-polynomille pätisi. deg 0(x) Z, Z 10 ; Z 10 [x];
802656S ALGEBRALLISET LUVUT Harjoituksia 2017 1. Näytä, että (a) (b) (c) (d) (e) 2 1/2, 3 1/2, 2 1/3 ; 2 1/2 + 3 1/2 ; 2 1/3 + 3 1/2 ; e iπ/m, m Z \ {0}; sin(π/m), cos(π/m), tan(π/m), m Z \ {0}; ovat algebrallisia
LisätiedotKanta ja dimensio 1 / 23
1 / 23 Kuten ollaan huomattu, saman aliavaruuden voi virittää eri määrä vektoreita. Seuraavaksi määritellään mahdollisimman pieni vektorijoukko, joka virittää aliavaruuden. Jokainen aliavaruuden alkio
LisätiedotMatematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus.
Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden
LisätiedotAritmetiikan peruslause algebrallisten kokonaislukujen renkaissa
Aritmetiikan peruslause algebrallisten kokonaislukujen renkaissa Pro gradu -tutkielma Itä-Suomen yliopisto Yliopistonkatu 2, 80101 Joensuu Fysiikan ja matematiikan laitos Tuomas Manninen, 243034 11. joulukuuta
LisätiedotPERUSASIOITA ALGEBRASTA
PERUSASIOITA ALGEBRASTA Matti Lehtinen Tässä luetellut lauseet ja käsitteet kattavat suunnilleen sen mitä algebrallisissa kilpatehtävissä edellytetään. Ns. algebrallisia struktuureja jotka ovat nykyaikaisen
Lisätiedot(2n 1) = n 2
3.5 Induktiotodistus Induktiota käyttäen voidaan todistaa luonnollisia lukuja koskevia väitteitä, jotka ovat muotoa väite P (n) on totta kaikille n =0, 1, 2,... Tässä väite P (n) riippuu n:n arvosta. Todistuksessa
LisätiedotAlgebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) OT
Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) 31.1.-4.2.2011 OT 1. Määritellään kokonaisluvuille laskutoimitus n m = n + m + 5. Osoita, että (Z, ) on ryhmä.
LisätiedotTeema 4. Homomorfismeista Ihanne ja tekijärengas. Teema 4 1 / 32
1 / 32 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.2 Esimerkki 4B.1 Esimerkki 4B.2 Esimerkki 4B.3 Esimerkki 4C.1 Esimerkki 4C.2 Esimerkki 4C.3 2 / 32 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.2 Esimerkki 4B.1 Esimerkki
LisätiedotMAT Algebra 1(s)
8. maaliskuuta 2012 Esipuhe Tämä luentokalvot sisältävät kurssin keskeiset asiat. Kalvoja täydennetään luennolla esimerkein ja todistuksin. Materiaali perustuu Jyväskylän, Helsingin ja Turun yliopistojen
Lisätiedotverkkojen G ja H välinen isomorfismi. Nyt kuvaus f on bijektio, joka säilyttää kyseisissä verkoissa esiintyvät särmät, joten pari
Tehtävä 9 : 1 Merkitään kirjaimella G tehtäväpaperin kuvan vasemmanpuoleista verkkoa sekä kirjaimella H tehtäväpaperin kuvan oikeanpuoleista verkkoa. Kuvan perusteella voidaan havaita, että verkko G on
LisätiedotJohdatus matemaattiseen päättelyyn
Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 2 3 Joukko-oppia Tässä luvussa tarkastellaan joukko-opin
LisätiedotViidennen asteen yhtälön ratkaisukaavan olemassaolon mahdottomuus Galois n teorian pohjalta
Viidennen asteen yhtälön ratkaisukaavan olemassaolon mahdottomuus Galois n teorian pohjalta Teppo Lahti Matematiikan pro gradu Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kevät 2014 Tiivistelmä
LisätiedotInduktiota käyttäen voidaan todistaa luonnollisia lukuja koskevia väitteitä, jotka ovat muotoa. väite P(n) on totta kaikille n = 0,1,2,...
Induktiotodistus Induktiota käyttäen voidaan todistaa luonnollisia lukuja koskevia väitteitä, jotka ovat muotoa väite P(n) on totta kaikille n = 0,1,2,.... Tässä väite P(n) riippuu n:n arvosta. Todistuksessa
LisätiedotOsoita, että täsmälleen yksi vektoriavaruuden ehto ei ole voimassa.
LINEAARIALGEBRA Harjoituksia 2016 1. Olkoon V = R 2 varustettuna tavallisella yhteenlaskulla. Määritellään reaaliluvulla kertominen seuraavasti: λ (x 1, x 2 ) = (λx 1, 0) (x 1, x 2 ) R 2 ja λ R. Osoita,
LisätiedotMatriisiteoria Harjoitus 1, kevät Olkoon. cos α sin α A(α) = . sin α cos α. Osoita, että A(α + β) = A(α)A(β). Mikä matriisi A(α)A( α) on?
Harjoitus 1, kevät 007 1. Olkoon [ ] cos α sin α A(α) =. sin α cos α Osoita, että A(α + β) = A(α)A(β). Mikä matriisi A(α)A( α) on?. Olkoon a x y A = 0 b z, 0 0 c missä a, b, c 0. Määrää käänteismatriisi
LisätiedotLineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus
Lineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus 1 / 51 Lineaarikombinaatio Johdattelua seuraavaan asiaan (ei tarkkoja määritelmiä): Millaisen kuvan muodostaa joukko {λv λ R, v R 3 }? Millaisen
LisätiedotRenkaat ja modulit. Tässä osassa käsiteltävät renkaat ovat vaihdannaisia, ellei toisin mainita. 6. Ideaalit
Renkaat ja modulit Tässä osassa käsiteltävät renkaat ovat vaihdannaisia, ellei toisin mainita. 6. Ideaalit Tekijärenkaassa nollan ekvivalenssiluokka on alkuperäisen renkaan ideaali. Ideaalin käsitteen
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Lineaarikuvaukset Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 16 R. Kangaslampi Vektoriavaruudet Lineaarikuvaus
Lisätiedot