g : R R, g(a) = g i a i. Alkio g(a) R on polynomin arvo pisteessä a. Jos g(a) = 0, niin a on polynomin g(x) nollakohta.

Transkriptio

1 ALGEBRA II 27 on homomorfismi. Ensinnäkin G(a + b) a + b G(a)+G(b) (f), G(ab) ab G(a)G(b) G(a) G(b) (f), ja koska kongruenssien vasempien ja oikeiden puolten asteet ovat pienempiä kuin f:n aste, niin homomorfiaehdot (1) ja (2) toteutuvat. Lisäksi G(1) = 1, joten G on homomorfismi. Se ei ole isomorfismi, sillä se ei ole injektio: esimerkiksi G(0) = G(f). Selvästi G on kuitenkin surjektio. Määritelmä 3.2.Olkoon R kokonaisalue ja g(x) := n i=1 g ix i R[x]. Polynomin g määräämä polynomifunktio on kuvaus n g : R R, g(a) = g i a i. Alkio g(a) R on polynomin arvo pisteessä a. Jos g(a) = 0, niin a on polynomin g(x) nollakohta. Huomautus. Eri polynomit voivat määrätä saman polynomifunktion. Esimerkiksi polynomit f(x) =x 2 +x+1 ja g(x) =1määrävät saman polynomifunktion F 2 F 2. Lause 3.1. Olkoon R kokonaisalue ja olkoon a R. Kuvaus i=1 e a : R[x] R, g(x) g(a) on homomorfismi (nk. sijoitushomomorfismi). Lause 3.2 (Nollakohtalause). Olkoon R kokonaisalue ja a R. Olkoong(x) R[x]. Silloin g(a) =0 x a g(x). Todistus. Jakoalgoritmi renkaassa R[x] antaa g(x) = (x a)q(x) +r(x), missä r(x) =c R. Sijoitamalla tähän yhtälöön x = a (eli kuvaamalla yhtälöä puolittain sijoitushomomorfismilla e a ) saadaan g(a) =r(a). Täten g(a) =0jossr(a) =0joss c =0jossg(x) =(x a)q(x). Seuraus. Olkoon K kunta ja g(x) K[x]. Silloin polynomilla g(x) K[x], g(x) 0, on korkeintaan deg g(x) nollakohtaa kunnassa K.

2 28 ALGEBRA II Todistus. Jos g(x):llä ei ole nollakohtia K:ssa, niin väite on tosi. Olkoon g(a) = 0, a K, jolloin välttämättä degg(x) 1. Nyt nollakohtalauseen nojalla g(x) = (x a)q(x). Jos g(x):llä ei ole muita nollakohtia nollakohtia, niin väite on todistettu. Jos taas g(b) = 0 jollakin a b K, niin 0 = g(b) =(b a)q(b). Koska K on kokonaisalue, niin q(b) = 0. Koska deg q(x) < deg g(x), niin induktiolla g(x):n asteen suhteen näemme, että q(x):llä on korkeintaan deg g(x) 1 nollakohtaa K:ssa. Täten g(x):llä on korkeintaan 1 + deg g(x) 1 nollakohtaa K:ssa. Määritelmä 3.3.Homomorfismin f : R R ydin Ker(f) =f 1 (0). Koska f on Abelin ryhmien (R, +) ja (R, +) välinen homomorfismi, niin I := Ker(f) (R, +) ja tekijäjoukko R/I on ryhmä sivuluokkien a + I,b + I R/I yhteenlaskun suhteen: (a + I)+(b + I) =a + b + I. Seuraavassa näemme, että(r/i, ) on monoidi kun sivuluokkien a+i,b+i kertolasku määritellään analogisesti yhteelaskun kanssa (a + I) (b + I) =ab + I. Todistetaan ensin pieni aputulos Lemma 3.1. ai I,ia I, a R, i I. Todistus. On siis osoitettava, että f(ai) =0=f(ia) kaikilla a R ja kaikilla i I. Koska f on homomorfismi, niin f(ai) =f(a)f(i) =f(a)0 = 0. Samoin nähdään, että f(ia) =0. Lemma 3.2. (R/I, ) on monoidi. Todistus. Osoitetaan, että operaatio on hyvin määritelty. Olkoot a, b, c, d R ja oletetaan, että a + I = a + I ja b + I = b + I. Osoitetaan, että ab + I = a b + I. Olkoon c ab + I. Nytc = ab + i, a = a + i 1, b = b + i 2, joillakin i 1,i 2,i I, joten c = ab + i =(a + i 1 )(b + i 2 )+i = a b + a i 2 + i 1 b + i 1 i 2 a b + I, Lemman 3.1 nojalla ja koska (I,+) on ryhmä. Täten ab+i a b +I ja symmetrian nojalla myös a b + I ab + I. Siispä on hyvin määritelty. Assosiatiivisuus seuraa R:n kertolaskun assosiatiivisuudesta ja netraalialkiona on 1 + I.

3 ALGEBRA II 29 Lause 3.3. (R/I, +, ) on rengas. Jos R on kommutatiivinen, niin myös R/I on kommutatiivinen. Todistus. Koska (R/I, +) on Abelin ryhmä ja(r/i, +, ) on monoidi niin riittää osoittaa distributiivisuus. Mutta tämä seuraar:n operaatioiden distributiivisuudesta. Kommutatiivisuutta koskeva väite seuraa R:n komutatiivisudesta. Abstrahoidaan nyt Lemman 3.1 antama ytimen ominaisuus: Määritelmä 3.4.Renkaan R osajoukko I on vasen (vast. oikea) ihanne jos seuraavat kaksi ehtoa ovat voimassa: (1) (I,+) (R, +), (2) ri I (vast. ir I) r R, i I. Jos R on sekä vasen että oikea ihanne, niin sanotaan lyhyesti, että I on ihannne. Huomautus. Jatkossa tarkastelemme kommutatiivisia renkaita ja täten ihanteita. Esimerkki 3.3. Jokaisella renkaalla R {0} onvähintään kaksi ihannetta, nimittäin triviaalit ihanteet R ja {0}. Esimerkki 3.4. Jokaisella kunnalla on vain triviaalit ihanteet. Tämä seuraavälittömästi siitä, että jokainen kunnan ihanne {0} sisältää yksiköitä jatäten koko kunnan. Esimerkki 3.5. Lemman 3.1 nojalla jokaisen homomorfismin ydin on ihanne. Ihanteita on helppo generoida samaan tapaan kuin vektoriavaruuksia kuten seuraavassa nähdään. Lause 3.4. Olkoon S renkaan R epätyhjä osajoukko. Silloin (S) :={r 1 s r n s n n Z 0,s i S, r i R i =1,...,n} on renkaan R ihanne. Määritelmä 3.5.Olkoon S renkaan R epätyhjä osajoukko. Ihanne I on joukon S generoima jos I =(S). Jos S on äärellinen, S = {s 1,...,s n }, niin I on äärellisesti generoitu, merkitään I = (s 1,...,s n ). Jos I = (s 1 ), niin I on pääihanne. Jos jokainen R:n ihanne on pääihanne, niin R on pääihannealue eli PID.

4 30 ALGEBRA II Esimerkki 3.6. Z on PID. Perustelu: olkoon I {0} renkaan Z ihannne. Olkoon m pienin positiivinen luku joka kuuluu joukkoon I. Osoitetaan, että I =(m). Olkoon a (m). Nyt a = bm jollakin b Z. KoskaI on ihanne ja m I, niin myös a = bm I. Olkoon i I. Nyt jakoalgoritmin nojalla i = mq + r missä 0 r<m. Täten r = i mq I. Nyt luvun m määritelmän nojalla r =0jatäten i = mq. Siispä i (m). Esimerkki 3.7. K[x] onpid, josk on kunta. Perustelu: harjoitustehtävä. Tarvitsemme jatkossa seuraavaa pientä tulosta: Lemma 3.3. Olkoon R kokonaisalue ja a, b R. Silloin pätee (a) =(b) a = ub jollakin u R Todistus. Jos (a) = (b), niin a = rb ja b = r a. Siispä a = rr a joten supistamissäännönnojalla1=rr ja näin ollen r R. Oletetaan sitten, että a = ub jollakin u R.Nyta (b) jab = u 1 a (a), ja täten (a) =(b). Olkoon I renkaan R ihanne. Koska (I,+) (R, +), niin voimme muodostaa tekijäryhmän (R/I, +) jossa sivuluokkien yhteenlasku tapahtuu siis edustajittain: (a + I)+(b + I) =a + b + I. Määritellään sivuluokkien kertolasku myös edustajien avulla (a + I)(b + I) =ab + I. Lause 3.5. (R, +, ) on rengas. Jos R on kommutatiivinen, niin R/I on kommutatiivinen. Todistus. Ks. Lauseen 3.3 todistus. Määritelmä 3.6.(R/I, +, )onrenkaan R jäännösluokkarengas ihanteen I suhteen (tai modulo I) jar + I on alkion r määräämä jäännösluokka. Esimerkki 3.8. Olkoon m Z, m>0. Nyt jäännösluokkarengas Z/(m) =Z m.

5 ALGEBRA II 31 Kuten ryhmäteoriassa, myös rengasteoriassa jokainen homomorfismi voidaan pilkkoa kahden homomorfismin kuvaustuloksi joista toinen on surjektivinen ja toinen injektiivinen. Ensin aputulos: Lemma 3.4. Olkoon f : R R rengashomomorfismi. Silloin f(r) on renkaan R alirengas. Olkoon f : R R homomorfismi ja olkoon I = Ker(f). Määritellään kuvaukset π ja F seuraavasti π : R R/I, π(a) =a + I, F : R/I R,F(a + I) =f(a). Lause 3.6. π on surjektiivinen homomorfismi, F on injektiivinen homomorfismi ja f = F π. Todistus. Selvästi π on surjektio. Se on myös homomorfismi: (1) π(a + b) =a + b + I =(a + I)+(b + I)π(a)+π(b), (2) π(ab) =ab + I =(a + I)(b + I) =π(a)π(b), (3) π(1 R )=1+I =1 R/I. F on hyvin määritelty: jos a + I = b + I, niin a = b + i jollakin b I. Nyt f(a) =f(b + i) =f(b) +f(i) =f(b), joten F (a + I) =F (b + I). Injektiivisyys: Koska F (a + I) =0 f(a) =0 a I a + I =0+I, F on injektio (Algebra I). Homomorfisuuden toteaminen jätetään harjoitustetäväksi. Olkoon a R. Nyt(F π)(a) =F (π(a)) = F (a + I) =f(a). Täten F π = f. Seuraus (Ensimmäinen isomorfialause). R/Ker(f) f(r). Todistus. Lemman 3.4 ja Lauseen 3.6 nojalla F : R/Ker(f) Im(F ) on bijektiivinen homomorfismi. Mutta Im(F )=Im(f).