Dihedraalinen ryhmä Pro gradu Elisa Sonntag Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2013

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Dihedraalinen ryhmä Pro gradu Elisa Sonntag Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2013"

Transkriptio

1 Dihedraalinen ryhmä Pro gradu Elisa Sonntag Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2013

2 Sisältö Johdanto 2 1 Ryhmä 3 2 Symmetrinen ryhmä 6 3 Symmetriaryhmä 10 4 Dihedraalinen ryhmä 19 Lähdeluettelo 28 1

3 Johdanto Tutkielmassa tutustutaan dihedraaliseen ryhmään kahdella eri tavalla lähestyen. Ensimmäisessä luvussa esitellään ryhmiin liittyviä määritelmiä, joita tarvitaan myöhemmin tutkielmassa. Luvussa kerrataan ryhmän ja aliryhmän määritelmät, sekä ryhmien ominaisuuksia. Lausetta 1.5 käytetään useammassa todistuksessa myöhemmin tutkielmassa. Luvun päälähteenä on käytetty luentomonistetta [1] sekä muistiinpanoja kyseiseltä kurssilta. Toisessa luvussa esitellään permutaatioihin liittyviä määritelmiä ja merkintöjä sekä symmetrinen ryhmä ja sen kertaluku. Luvun lopussa esitellään symmetrinen ryhmä S 3. Luvun päälähteenä on käytetty luentomonistetta [2]. Luvussa kolme edetään symmetrioiden kautta symmetriaryhmään. Symmetriaryhmää havainnollistetaan esimerkein. Luvun lopussa esitellään ensimmäisen kerran dihedraalinen ryhmä perustuen säännöllisten monikulmioiden symmetrioihin. Luvun lähteenä on käytetty teosta [3]. Luvun neljä alussa määritellään siirtoja säännölliselle monikulmiolle. Näille siirroille esitellään muutamia ominaisuuksia. Tämän jälkeen luvussa esitellään ryhmä, jolla on tietynlaisia ominaisuuksia. Tämän ryhmän avulla päästään taas dihedraaliseen ryhmään. Luvun lähteenä on käytetty teosta [4]. 2

4 1 Ryhmä Tässä luvussa esitellään ryhmiin liittyviä määritelmiä ja tuloksia, joita tarvitaan myöhemmin tutkielmassa. Määritelmä 1.1. Olkoon S ei-tyhjä joukko. Kuvaus : S S S, (a, b) a b on joukon S binäärinen operaatio eli a b S aina, kun a, b S. Lisäksi binäärinen operaatio ( ) on 1. kommutatiivinen eli vaihdannainen joukossa S, jos a b = b a aina, kun a, b S; 2. assosiatiivinen eli liitännäinen, jos a (b c) = (a b) c aina, kun a, b, c S. Määritelmä 1.2. Olkoot G ei-tyhjä joukko ja ( ) joukon G binäärinen operaatio. Pari (G, ) on ryhmä, mikäli seuraavat kolme ehtoa toteutuvat: 1. operaatio ( ) on assosiatiivinen eli (a b) c = a (b c) aina, kun a, b, c G; 2. joukossa G on sellainen alkio e, että a e = e a = a aina, kun a G. Alkiota e kutsutaan ykkös eli neutraalialkioksi; 3. kaikilla a G, on olemassa sellainen alkio a 1 G, että a a 1 = a 1 a = e. Alkiota a 1 kutsutaan alkion a käänteisalkioksi. Määritelmä 1.3. Olkoon (G, ) ryhmä. Jos a b = b a aina, kun a, b G eli operaatio ( ) on kommutatiivinen, niin sanotaan, että (G, ) on Abelin ryhmä eli kommutatiivinen ryhmä. Määritelmä 1.4. Olkoot (G, ) ryhmä ja H ryhmän (G, ) ei-tyhjä osajoukko. Jos (H, ) on ryhmä, niin sitä sanotaan ryhmän (G, ) aliryhmäksi ja merkitään H G. 3

5 Lause 1.5 (Aliryhmäkriteeri). Olkoot (G, ) ryhmä ja H ryhmän (G, ) eityhjä osajoukko. Nyt H G jos ja vain jos seuraavat ehdot toteutuvat: 1. jos a, b H, niin a b H; 2. jos a H, niin a 1 H. Todistus. Oletetaan ensin, että H G eli H on ryhmän G aliryhmä. Tällöin H on ryhmä, joten ehdot 1 ja 2 toteutuvat. Oletetaan seuraavaksi, että ehdot 1 ja 2 ovat voimassa. Ehdosta 1 seuraa, että kyseessä on binäärinen operaatio joukossa H. Koska operaatio ( ) on assosiatiivinen joukossa G ja H G, niin operaatio ( ) on assosiatiivinen myös joukossa H. Jos alkio a H, niin ehdon 2 nojalla myös a 1 H. Ehdon 1 nojalla a a 1 = e H. Siis joukko H on ryhmä ja H G. Määritelmä 1.6. Olkoon (G, ) ryhmä. Ryhmän (G, ) alkioiden lukumäärää sanotaan ryhmän G kertaluvuksi ja merkitään G. Määritelmä 1.7. Olkoot (G, ) ja (J, ) ryhmiä. Kuvausta f : G J sanotaan ryhmähomomorf ismiksi ryhmältä G ryhmälle J, mikäli f(a b) = f(a) f(b) aina, kun a, b G. Määritelmä 1.8. Kuvaus f : A B on 1. surjektio, jos R f = {f(x) x A} = B eli kuvauksen f arvojoukko on koko joukko B; 2. injektio, jos x 1, x 2 A ja x 1 x 2, niin f(x 1 ) f(x 2 ). Eli joukon A eri alkioilla on aina eri kuvapisteet; 3. bijektio, jos f on surjektio ja injektio. 4

6 Määritelmä 1.9. Ryhmät (G, ) ja (J, ) ovat isomorfiset eli rakenneyhtäläiset, mikäli on olemassa bijektio f : G J, joka toteuttaa ehdon f(a b) = f(a) f(b) aina, kun a, b G eli kuvaus f on bijektiivinen homomorfismi. Tällöin merkitään G = J ja sanotaan, että kuvaus f on ryhmäisomorf ismi. 5

7 2 Symmetrinen ryhmä Tässä luvussa esitellään permutaatioihin ja symmetriseen ryhmään liittyviä määritelmiä ja tuloksia, joita tarvitaan myöhemmin tutkielmassa. Ensimmäinen määritelmä on esitelty jo edellisessä luvussa, mutta se toistetaan tässä sen tärkeyden vuoksi. Määritelmä 2.1. Kuvaus f : A B on 1. surjektio, jos R f = {f(x) x A} = B eli kuvauksen f arvojoukko on koko joukko B; 2. injektio, jos x 1, x 2 A ja x 1 x 2, niin f(x 1 ) f(x 2 ). Eli joukon A eri alkioilla on aina eri kuvapisteet; 3. bijektio, jos f on surjektio ja injektio. Määritelmä 2.2. Olkoon f : A B bijektio. Kuvauksen f käänteiskuvaus f 1 : B A liittää jokaiseen alkioon y B sen alkukuvan x A eli x = f 1 (y) y = f(x). Lause 2.3. Käänteiskuvaus on myös bijektio. Todistus. Osoitetaan, että bijektiivisen kuvauksen f : A B käänteiskuvaus f 1 on olemassa ja se on bijektio. Olkoon alkiot x A ja y B ja olkoon f 1 (y) = x jos ja vain jos f(x) = y. Osoitetaan, että f 1 on kuvaus B A. Nyt koska kuvaus f on surjektio, niin jokaista alkiota y B kohti on olemassa sellainen alkukuva x A, että f(x) = y. Nyt kuvaus f on myös injektio, jolloin jokaiselle alkiolle y B on olemassa täsmälleen yksi alkukuva x A. Näin ollen f 1 on kuvaus B A. Osoitetaan seuraavaksi, että kuvaus f 1 on bijektio. Olkoon alkio x A mielivaltainen ja olkoon f(x) = y. Tällöin f 1 (y) = x ja y B eli f 1 on 6

8 surjektio B A. Olkoon f 1 (y 1 ) = f 1 (y 2 ) joillakin y 1, y 2 B. Tällöin f(f 1 (y 1 )) = f(f 1 (y 2 )) eli y 1 = y 2, joten f 1 on injektio. Täten f 1 : B A on bijektio. Määritelmä 2.4. Olkoon X ei-tyhjä joukko. Jos α : X X on bijektio, niin α on permutaatio joukon X suhteen. Lause 2.5. Olkoon S X ei-tyhjän joukon X kaikkien permutaatioiden joukko. Jos ( ) on kuvausten yhdistämisoperaatio, niin (S X, ) on ryhmä. Todistus. Olkoon kuvaukset α ja β joukon S X alkioita eli α : X X on bijektio ja β : X X on bijektio. Tällöin kuvaus α β on kahden bijektion yhdisteenä bijektio. Nyt α β : X X, joten α β S X ja ( ) on binäärinen operaatio joukossa S X. Kuvausten yhdistämisoperaatio on assosiatiivinen eli (α β) γ = α (β γ), aina kun α, β, γ S X. Olkoon I identiteettikuvaus. Nyt I : X X on bijektio eli I S X. Kaikilla kuvauksilla α S X pätee I α = α = α I. Näin ollen identiteettikuvaus I on neutraalialkio joukossa S X. Koska kuvaus α : X X on bijektio, sillä on olemassa käänteiskuvaus α 1 : X X, joka on bijektio. Siis α 1 S X. Lisäksi α α 1 = α 1 α = I. Näin ollen kuvaus α 1 on kuvauksen α käänteisalkio. 7

9 Määritelmä 2.6. Olkoon i k X, missä k = 1,..., n ja olkoon α S X permutaatio, jolla α(i 1 ) = i 2, α(i 2 ) = i 3,..., α(i r 1 ) = i r, α(i r ) = i 1 ja α säilyttää muut joukon X alkiot. Tällöin merkitään α = i 1 i 2... i r 1 i r = (i 1 i 2... i r 1 i r ) i 2 i 3... i r i 1 ja sanotaan, että α on r sylki. Olkoon joukot X = {1, 2, 3,..., n} ja Y = {a 1, a 2, a 3,..., a n } eli X = Y. Tällöin on olemassa permutaatioryhmät S X ja S Y. Koska joukoissa X ja Y on yhtä monta alkiota, löydetään kaikille ryhmän S X permutaatioille vastaavat permutaatiot ryhmästä S Y. Näissä permutaatioissa vain permutoitavat alkiot on nimetty eri tavoin. Ryhmät S X ja S Y ovat siis rakenneyhtäläiset. Näin ollen permutaatioryhmät S X ja S Y voidaan samaistaa. Määritelmä 2.7. Olkoon joukko X, jonka alkioiden lukumäärä on n eli X = n. Merkitään (S X, ) = (S n, ) ja sanotaan, että (S n, ) on astetta n oleva symmetrinen ryhmä. Lause 2.8. Symmetrisen ryhmän S n S n = n!. kertaluku on n-kertoma. Merkitään Todistus. Olkoon kuvaus α S n. Tällöin α(1) = k, missä 1 k n eli k voidaan valita n eri tavalla. Koska kuvaus α on bijektio, voidaan α(2) valita (n 1) eri tavalla ja α(3) voidaan valita (n 2) eri tavalla. Näin jatkamalla kuvaus α(n 1) voidaan valita kahdella eri tavalla ja α(n) voidaan valita vain yhdellä tavalla. Näin ollen ryhmän S n kertaluku S n = n (n 1) (n 2) 2 1 = n!. 8

10 Esimerkki 2.9. Symmetrisen ryhmän S 3 alkiot ovat I = (1), (1 2 3), (1 3 2), (2 3), (1 3) ja (1 2). Ryhmän S 3 ryhmätaulu: I (1 2 3) (1 3 2) (2 3) (1 3) (1 2) I I (1 2 3) (1 3 2) (2 3) (1 3) (1 2) (1 2 3) (1 2 3) (1 3 2) I (1 2) (2 3) (1 3) (1 3 2) (1 3 2) I (1 2 3) (1 3) (1 2) (2 3) (2 3) (2 3) (1 3) (1 2) I (1 2 3) (1 3 2) (1 3) (1 3) (1 2) (2 3) (1 3 2) I (1 2 3) (1 2) (1 2) (2 3) (1 3) (1 2 3) (1 3 2) I Symmetrinen ryhmä S 3 ei ole kommutatiivinen, koska esimerkiksi (1 2 3) (2 3) = (1 2) mutta (2 3) (1 2 3) = (1 3). Ryhmä S 3 ei siis ole Abelin ryhmä. 9

11 3 Symmetriaryhmä Tässä luvussa esitellään symmetriaryhmä (Ω). Ryhmää havainnollistetaan useilla esimerkeillä. Luvun lopussa esitellään myös dihedraalinen ryhmä D 2n. Määritelmä 3.1. Bijektiivinen kuvaus ϕ : R 2 R 2 on siirto, jos se säilyttää etäisyyden. Tällöin kaikilla pisteillä P = (a, b) R 2 ja Q = (c, d) R 2 ϕ(p ) ϕ(q) = P Q, missä P Q = (a c) 2 + (b d) 2. Lause 3.2. Olkoon M kaikkien tason R 2 siirtojen joukko ja olkoon ( ) kuvausten yhdistämisoperaatio. Tällöin (M, ) on ryhmä. Todistus. Olkoon ϕ ja ϕ siirtoja eli ϕ, ϕ M. Tällöin kaikille pisteille P, Q R 2 pätee (ϕ ϕ )(P ) (ϕ ϕ )(Q) = ϕ(ϕ (P )) ϕ(ϕ (Q)) = ϕ (P ) ϕ (Q) = P Q. Lisäksi ϕ ϕ on kahden bijektion yhdisteenä bijektio. Näin ollen ϕ ϕ M ja ( ) on binäärinen operaatio joukossa M. Kuvausten yhdistämisoperaatio on assosiatiivinen eli (ϕ 1 ϕ 2 ) ϕ 3 = ϕ 1 (ϕ 2 ϕ 3 ) aina, kun ϕ 1, ϕ 2, ϕ 3 M. Olkoon I identiteettikuvaus eli I(P ) = P kaikilla P R 2. Tällöin I(P ) I(Q) = P Q. 10

12

13

14 Esimerkki 3.5. Siirrot säilyttävät eräitä geometrisia kuvioita. 1. Olkoon kuvaus ϕ siirto ja olkoon P Q jana, jonka päätepisteet ovat P ja Q. Tällöin ϕ(p Q) on jana, jonka päätepisteet ovat ϕ(p ) ja ϕ(q). 2. Olkoon Ω monikulmio, jonka kärkipisteet ovat v 1, v 2,..., v n. Tällöin ϕ(ω) on monikulmio, jonka kärkipisteet ovat ϕ(v 1 ), ϕ(v 2 ),..., ϕ(v n ). Määritelmä 3.6. Monikulmion Ω R 2 symmetriaryhmä (Ω) on kaikkien sellaisten siirtojen ϕ joukko, joille pätee ϕ(ω) = Ω. Joukon (Ω) alkioita sanotaan kuvion Ω symmetrioiksi. Lause 3.7. Symmetriaryhmä (Ω) on ryhmä. Todistus. Selvästi (Ω) M. Lisäksi (Ω), sillä identiteettikuvaus I (Ω). 1. Olkoon ϕ 1, ϕ 2 (Ω) eli ϕ 1 (Ω) = Ω ja ϕ 2 (Ω) = Ω. Tällöin (ϕ 1 ϕ 2 )(Ω) = ϕ 1 (ϕ 2 (Ω)) = ϕ 1 (Ω) = Ω. Siis myös ϕ 1 ϕ 2 (Ω). 2. Siirto ϕ (Ω) on määritelmän 3.1 nojalla bijektio, joten käänteiskuvaus ϕ 1 on olemassa. Nyt ϕ 1 (Ω) = ϕ 1 (ϕ(ω)) = (ϕ 1 ϕ)(ω) = I(Ω) = Ω, joten ϕ 1 (Ω). Lauseen 1.5 nojalla (Ω) M eli (Ω) on ryhmä. Esimerkki 3.8. Olkoon kolmio, jonka kärkipisteet ovat P, Q ja U sekä olkoon ϕ siirto. Tällöin ϕ( ) on kolmio, jonka kärkipisteet ovat ϕ(p ), ϕ(q) ja ϕ(u). Jos ϕ( ) =, niin sanotaan, että siirto ϕ permutoi kärkipisteitä P, Q ja U. Olkoon kolmion keskipiste O. 13

15

16

17

18

19

20

21 Todistus. Kierto R n vastaa 360 kiertoa origon O ympäri, jolloin kaikki kärkipisteet kuvautuvat takaisin itselleen. Tämä vastaa identiteettikuvausta I. Peilaus A 2 vastaa peilausta kaksi kertaa halkaisijan suhteen, jolloin kaikki kärkipisteet kuvautuvat takaisin itselleen ja A 2 = A 0 = I. Permutaatioiden avulla merkitään 1 R = (n 1) n ja A = n n 1 1 n (n 1)... 2 Tällöin 1 RA = (n 1) n n n 1 1 n (n 1)... 2 = n 2 1 n... 3 ja 1 AR 1 = (n 1) n n 1 n (n 1) n (n 1). = n 2 1 n... 3 Siis RA = AR 1. Seuraus 4.3. Säännölliselle n-kulmiolle on voimassa R k A = AR k. Todistus. Nyt R, A (π n ), joten lauseen 4.2 ja ryhmän (π n ) assosiatiivisuuden nojalla R k A = R }.{{.. R} A = R }.{{.. R} AR 1 =... = AR k. k k 1 20

22 Lause 4.4. Olkoon (G, ) ryhmä, jossa on alkiot r ja a joille on voimassa yhtälöt 1. r n = a 2 = e ja r k e, kun 0 < k < n, missä n Z, n > 2 ja a e; 2. ra = ar 1. Tällöin ryhmässä G on 2n alkiota muodossa r k a d, missä 0 k < n ja d = 0 tai d = 1. Alkioiden kertolaskusääntö on tällöin r k+h a f, kun d = 0 3. (r k a d )(r h a f ) = r k h a d+f, kun d = 1. Todistus. Yhtälöstä 2 saadaan ryhmän G assosiatiivisuuden nojalla r h a = r }.{{.. r} a = r }.{{.. r} ar 1 =... = ar h. h h 1 Kertomalla puolittain vasemmalta alkiolla r h ja oikealta alkiolla r h saadaan ar h = r h a. Osoitetaan tämän yhtälön avulla kertolaskusääntö 3. Olkoon ensin d = 0. Tällöin a d = e ja (r k a d )(r h a f ) = r k r h a f = r k+h a f. Olkoon seuraavaksi d = 1. Tällöin a d = a ja (r k a d )(r h a f ) = r k (a d r h )a f = r k (r h a d )a f = r k h a d+f. Osoitetaan seuraavaksi, että ryhmän G muodossa r k a d olevien alkioiden lukumäärä on 2n. Nyt k voidaan valita n eri tavalla ja d voidaan valita kahdella eri tavalla. Siis alkioiden r k lukumäärä on n ja alkioiden a d lukumäärä on kaksi. Näiden tuloja on n 2 = 2n kappaletta. Osoitetaan vielä, että ryhmän (G, ) 2n alkiota muotoa r k a d ovat erillisiä. Olkoon r k a d = r h a f, missä h k. Kertomalla puolittain vasemmalta alkiolla r h ja oikealta alkiolla a f, saadaan r k h a d f = e. 21

23 Merkitään k h = x ja d f = y. Osoitetaan, että jos r x a y = e, niin r x = e ja a y = e. Olkoon ensin y = 0. Tällöin r x a 0 = r x e = r x = e. Olkoon seuraavaksi y = ±1. Koska a 2 = e, niin a y = a. Tällöin r x a 1 = e jos ja vain jos r x a = e eli r x = a ja r x a 1 = e jos ja vain jos r x = a. Tällöin ra = rr x = r x r = ar. Yhtälöstä 2 saadaan ra = ar 1. Täytyy siis olla r = r 1 eli r 2 = e. Tämä on ristiriidassa yhtälön 1 kanssa. Täytyy siis olla y = 0 eli d f = 0. Tällöin siis r x = r k h = e. Yhtälöstä 1 seuraa, että jos 0 h k < n ja jos r k h = e, niin täytyy olla k h = 0 eli k = h. Vastaavasti jos d f = 0, niin d = f. Näin ollen yhtälö r k a d = r h a f on tosi vain, kun k = h ja d = f. Lause 4.5. Olkoon (G, ) ryhmä, jossa on alkiot r ja a joille on voimassa yhtälöt 1. r n = a 2 = e ja r k e, kun 0 < k < n, missä n Z, n > 2 ja a e; 2. ra = ar 1. Tällöin joukko D = {r k a d 0 k < n, d = 0, 1} muodostaa ryhmän kertolaskun suhteen. Todistus. Osoitetaan, että muodostuva joukko D = {r k a d 0 k < n, d = 0, 1} on ryhmän G aliryhmä. Selvästi joukko D = {r k a d 0 k < n, d = 0, 1} G. Osoitetaan ensin, että ( ) on binäärinen operaatio joukossa D. Olkoon alkiot r k a d, r h a f D ja olkoon ensin d = 0. Tällöin lauseen

24 kertolaskusäännön 3 mukaisesti (r k a d )(r h a f ) = r k+h a f. Jos k + h n, niin r k+h a f = r k+h n a f D. Olkoon seuraavaksi d = 1. Tällöin lauseen 4.4 kertolaskusäännön 3 mukaisesti (r k a d )(r h a f ) = r k h a d+f. Jos k h < 0, niin r k h a d+f = r k h+n a d+f D. Näin ollen ( ) on binäärinen operaatio joukossa D. Osoitetaan seuraavaksi, että alkiolla r k a d D on olemassa käänteisalkio (r k a d ) 1 D. Nyt (r k a d ) 1 = (a d ) 1 (r k ) 1 = a d r k = a d er k = a d r n r k = a d r n k. Olkoon ensin d = 0. Tällöin (r k a d ) 1 = a d r n k = a 0 r n k = r n k = r n k a 0 D. Olkoon seuraavaksi d = 1. Tällöin (r k a d ) 1 = a d r n k = a 1 r n k = ar n k = r (n k) a = r n (n k) a = r k a D. r n k a 0, kun d = 0 Siis alkion r k a d käänteisalkio (r k a d ) 1 = r k a 1, kun d = 1. Lauseen 1.5 nojalla joukko D = {r k a d 0 k < n, d = 0, 1} varustettuna kertolaskulla on ryhmän G aliryhmä ja siten ryhmä. Lause 4.6. Jokaista kokonaislukua n > 2 kohti on olemassa ryhmä D = {r k a d 0 k < n, d = 0, 1}, jonka kertaluku on 2n ja jonka alkioilla r ja a on voimassa yhtälöt 1. r n = a 2 = e ja r k e, kun 0 < k < n, missä n Z, n > 2 ja a e; 2. ra = ar 1. Ryhmä on yksikäsitteinen. 23

25 Todistus. Määritelmässä 4.1 on esitelty symmetriaryhmän (π n ) alkiot R ja A, joilla on lauseen 4.2 mukaisesti ominaisuudet R n = I = A 2 ja RA = AR 1. Nyt identiteettikuvaus I on symmetriaryhmän (π n ) neutraalialkio, joten alkiot R, A (π n ) toteuttavat lauseen 4.4 ehdot 1 ja 2. Näin ollen lauseen 4.4 ehdot toteuttavia ryhmiä ja siten myös alkioita r ja a on olemassa. Olkoon nyt r ja a lauseen 4.4 ehdot 1. ja 2. toteuttavia alkioita. Nyt lauseen 4.5 nojalla on olemassa ryhmä D = {r k a d 0 k < n, d = 0, 1}, jonka alkiot r ja a toteuttavat lauseen 4.4 ehdot 1 ja 2. Lauseen 4.4 todistuksessa on osoitettu, että tällaisen ryhmän kertaluku on 2n. Näin ollen väitteen mukainen ryhmä D on olemassa. Osoitetaan vielä, että ryhmä on yksikäsitteinen. Olkoon ryhmät D = {r k a d 0 k < n, d = 0, 1} ja E = {s k b d 0 k < n, d = 0, 1}, jotka toteuttavat ehdot 1. r n = a 2 = e ja r k e, kun 0 < k < n, missä n Z, n > 2 ja a e, s n = b 2 = e ja s k e, kun 0 < k < n, missä n Z, n > 2 ja b e; 2. ra = ar 1 ja sb = bs 1. Osoitetaan, että ryhmät D ja E ovat isomorfiset eli D = E. Määritellään kuvaus F : D E siten, että F (r k a d ) = s k b d. Osoitetaan, että kuvaus F on bijektio. Olkoon alkio s k b d E. Tällöin F (r k a d ) = s k b d, missä r k a d D. Näin ollen kuvaus F antaa alkukuvan jokaiselle joukon E alkiolle joukosta D eli kuvaus F on surjektio. Olkoon alkiot r k a d, r h a f D sellaiset, että h k ja F (r k a d ) = F (r h a f ) eli s k b d = s h b f. Kertomalla puolittain vasemmalta alkiolla s h ja oikealta alkiolla b f, saadaan s k h b d f = e. Merkitään k h = x ja d f = y. Osoitetaan, että jos s x b y = e, niin s x = e ja b y = e. Olkoon ensin y = 0. Tällöin s x b 0 = s x e = s x = e. Olkoon seuraavaksi y = ±1. Koska b 2 = e, niin 24

26 b y = b. Tällöin s x b 1 = e jos ja vain jos s x b = e eli s x = b ja s x b 1 = e jos ja vain jos s x = a. Tällöin sb = ss x = s x s = bs. Yhtälöstä 2 saadaan sb = bs 1. Täytyy siis olla s = s 1 eli s 2 = e. Tämä on ristiriidassa yhtälön 1 kanssa. Täytyy siis olla y = 0 eli d f = 0. Tällöin siis s x = s k h = e. Yhtälöstä 1 seuraa, että jos 0 h k < n ja jos s k h = e, niin täytyy olla k h = 0 eli k = h. Vastaavasti jos d f = 0, niin d = f. Näin ollen yhtälö s k b d = s h b f on tosi vain, kun k = h ja d = f. Tällöin myös alkiot r k a d, r h a f D ovat samat. Siis kuvaus f on injektio. Näin ollen kuvaus F : D E on bijektio. Osoitetaan vielä, että kuvaus F on homomorfismi. Olkoon ensin d = 0. Nyt lauseen 4.4 kertolaskusäännön 3 nojalla F ((r k a d )(r h a f )) = F (r k+h a f ) = s k+h b f ja F (r k a d )F (r h a f ) = (s k b d )(s h b f ) = s k+h b f. Olkoon sitten d = 1. Nyt lauseen 4.4 kertolaskusäännön 3 nojalla F ((r k a d )(r h a f )) = F (r k h a d+f ) = s k h b d+f ja F (r k a d )F (r h a f ) = (s k b d )(s h b f ) = s k h b d+f. Siis kuvaus F : D E on homomorfismi. Näin ollen kuvaus F : D E on isomorfismi ja siten D = E eli ryhmä on yksikäsitteinen. 25

27 Määritelmä 4.7. Ryhmää D = {r k a d 0 k < n, d = 0, 1}, jonka alkiot r ja a toteuttavat yhtälöt 1. r n = a 2 = e ja r k e, kun 0 < k < n, missä n Z, n > 2 ja a e; 2. ra = ar 1, sanotaan dihedraaliseksi ryhmäksi, jossa on 2n alkiota ja merkitään D 2n. Esimerkki 4.8. Symmetrisen ryhmän S 3 alkiot ovat I = (1), (1 2 3), (1 3 2), (2 3), (1 3) ja (1 2). Olkoon alkiot (1 2 3) = r ja (2 3) = a. Nyt r 1 = r I, r 2 = (1 2 3)(1 2 3) = (1 3 2) I ja r 3 = (1 2 3)(1 3 2) = I. Lisäksi a 2 = (2 3)(2 3) = I. Siis määritelmän 4.7 ehto 1 on voimassa. Nyt ra = (1 2 3)(2 3) = (1 2) ja ar 1 = (2 3)(1 3 2) = (1 2), joten määritelmän 4.7 ehto 2 on voimassa. Muut symmetrisen ryhmän S 3 alkiot saadaan seuraavasti: I = (1) = r 0 a 0, (1 2 3) = r 1 a 0, (1 3 2) = r 2 a 0, (2 3) = r 0 a 1, (1 2) = r 1 a 1 ja (1 3) = r 2 a 1. Voidaan tehdä ryhmälle S 3 ryhmätaulu: r 0 a 0 r 1 a 0 r 2 a 0 r 0 a 1 r 1 a 1 r 2 a 1 r 0 a 0 r 0 a 0 r 1 a 0 r 2 a 0 r 0 a 1 r 1 a 1 r 2 a 1 r 1 a 0 r 1 a 0 r 2 a 0 r 0 a 0 r 1 a 1 r 2 a 1 r 0 a 1 r 2 a 0 r 2 a 0 r 0 a 0 r 1 a 0 r 2 a 1 r 0 a 1 r 1 a 1 r 0 a 1 r 0 a 1 r 2 a 1 r 1 a 1 r 0 a 0 r 2 a 0 r 1 a 0 r 1 a 1 r 1 a 1 r 0 a 1 r 2 a 1 r 1 a 0 r 0 a 0 r 2 a 0 r 2 a 1 r 2 a 1 r 1 a 1 r 0 a 1 r 2 a 0 r 1 a 0 r 0 a 0 Nyt symmetrinen ryhmä S 3 vastaa määritelmän 4.7 mukaista dihedraalista ryhmää D 6. Täten siis D 6 = S3. Esimerkki 4.9. Olkoon π 3 tasasivuinen kolmio, jonka keskipiste on origossa O. Kolmion kierto myötäpäivään 120 origon ympäri on kierto R ja peilaus 26

28

29 Lähdeluettelo [1] M. Niemenmaa, K. Myllylä, J-M. Tirilä: Algebra I -luentomoniste, Oulun Yliopisto, [2] M. Niemenmaa, J. Kauppi: Algebra II -luentomoniste, Oulun Yliopisto, [3] J. J. Rotman: A First Course in Abstract Algebra, Prentice-Hall, New Jersey, [4] R. A. Dean: Elements of Abstract Algebra. John Wiley & Sons, New York,

Kuvauksista ja relaatioista. Jonna Makkonen Ilari Vallivaara

Kuvauksista ja relaatioista. Jonna Makkonen Ilari Vallivaara Kuvauksista ja relaatioista Jonna Makkonen Ilari Vallivaara 20. lokakuuta 2004 Sisältö 1 Esipuhe 2 2 Kuvauksista 3 3 Relaatioista 8 Lähdeluettelo 12 1 1 Esipuhe Joukot ja relaatiot ovat periaatteessa äärimmäisen

Lisätiedot

Algebra I, Harjoitus 6, , Ratkaisut

Algebra I, Harjoitus 6, , Ratkaisut Algebra I Harjoitus 6 9. 13.3.2009 Ratkaisut Algebra I Harjoitus 6 9. 13.3.2009 Ratkaisut (MV 6 sivua 1. Olkoot M ja M multiplikatiivisia monoideja. Kuvaus f : M M on monoidihomomorfismi jos 1 f(ab = f(af(b

Lisätiedot

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) OT

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) OT Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) 31.1.-4.2.2011 OT 1. Määritellään kokonaisluvuille laskutoimitus n m = n + m + 5. Osoita, että (Z, ) on ryhmä.

Lisätiedot

Isometriset kuvaukset

Isometriset kuvaukset Isometriset kuvaukset Pro Gradu -tutkielma Esa Silomaa 2124751 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Kevät 2014 Sisältö Johdanto 2 1 Perusteita 4 1.1 Ryhmä............................... 4 1.2

Lisätiedot

802355A Algebralliset rakenteet Luentorunko Syksy Markku Niemenmaa Kari Myllylä Topi Törmä Marko Leinonen

802355A Algebralliset rakenteet Luentorunko Syksy Markku Niemenmaa Kari Myllylä Topi Törmä Marko Leinonen 802355A Algebralliset rakenteet Luentorunko Syksy 2016 Markku Niemenmaa Kari Myllylä Topi Törmä Marko Leinonen Sisältö 1 Kertausta kurssilta Algebran perusteet 3 2 Renkaat 8 2.1 Renkaiden teoriaa.........................

Lisätiedot

Abstraktin algebran rakenteista sekä näiden välisistä morfismeista

Abstraktin algebran rakenteista sekä näiden välisistä morfismeista Abstraktin algebran rakenteista sekä näiden välisistä morfismeista Pro gradu -tutkielma Kari Kostama Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Kevät 2014 Sisältö Johdanto 2 1 Kahden alkion laskutoimitus

Lisätiedot

802354A Algebran perusteet Luentorunko Kevät Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Topi Törmä

802354A Algebran perusteet Luentorunko Kevät Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Topi Törmä 802354A Algebran perusteet Luentorunko Kevät 2017 Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Topi Törmä Sisältö 1 Lukuteoriaa 3 1.1 Jakoalgoritmi ja alkuluvut.................... 3 1.2 Suurin yhteinen tekijä......................

Lisätiedot

MAT Algebra 1(s)

MAT Algebra 1(s) 8. maaliskuuta 2012 Esipuhe Tämä luentokalvot sisältävät kurssin keskeiset asiat. Kalvoja täydennetään luennolla esimerkein ja todistuksin. Materiaali perustuu Jyväskylän, Helsingin ja Turun yliopistojen

Lisätiedot

Algebra I, harjoitus 8,

Algebra I, harjoitus 8, Algebra I, harjoitus 8, 4.-5.11.2014. 1. Olkoon G ryhmä ja H sen normaali aliryhmä. Todista, että tällöin G/H on ryhmä, kun määritellään laskutoimitus joukossa G/H asettamalla aina, kun x, y G (lauseen

Lisätiedot

Luuppien ryhmistä Seminaariesitelmä Miikka Rytty Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2006

Luuppien ryhmistä Seminaariesitelmä Miikka Rytty Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2006 Luuppien ryhmistä Seminaariesitelmä Miikka Rytty Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2006 Sisältö 1 Luupeista 2 1.1 Luupit ja niiden kertolaskuryhmät................. 2 2 Transversaalit 5 3

Lisätiedot

Syklinen ryhmä Pro Gradu -tutkielma Taava Kuha Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2016

Syklinen ryhmä Pro Gradu -tutkielma Taava Kuha Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2016 Syklinen ryhmä Pro Gradu -tutkielma Taava Kuha Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Ryhmäteoriaa 4 1.1 Ryhmän määritelmä....................... 4 1.2 Kertaluku.............................

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 3 Joukko-oppia 4 Funktioista Funktio eli kuvaus on matematiikan

Lisätiedot

Algebra I, harjoitus 5,

Algebra I, harjoitus 5, Algebra I, harjoitus 5, 7.-8.10.2014. 1. 2 Osoita väitteet oikeiksi tai vääriksi. a) (R, ) on ryhmä, kun asetetaan a b = 2(a + b) aina, kun a, b R. (Tässä + on reaalilukujen tavallinen yhteenlasku.) b)

Lisätiedot

802354A Lukuteoria ja ryhmät Luentorunko Kevät Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Juha-Matti Tirilä, Antti Torvikoski, Topi Törmä

802354A Lukuteoria ja ryhmät Luentorunko Kevät Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Juha-Matti Tirilä, Antti Torvikoski, Topi Törmä 802354A Lukuteoria ja ryhmät Luentorunko Kevät 2014 Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Juha-Matti Tirilä, Antti Torvikoski, Topi Törmä Sisältö 1 Ekvivalenssirelaatio 3 2 Lukuteoriaa 4 2.1 Lukuteorian

Lisätiedot

TIIVISTELMÄ OPINNÄYTETYÖSTÄ (liite FM-tutkielmaan) Luonnontieteellinen tiedekunta

TIIVISTELMÄ OPINNÄYTETYÖSTÄ (liite FM-tutkielmaan) Luonnontieteellinen tiedekunta Oulun yliopisto TIIVISTELMÄ OPINNÄYTETYÖSTÄ (liite FM-tutkielmaan) Luonnontieteellinen tiedekunta Maisterintutkinnon kypsyysnäyte Laitos: Matemaattisten tieteiden laitos Tekijä (Sukunimi ja etunimet) Isopahkala

Lisätiedot

Algebran perusteet. 44 ϕ(105) = (105). Näin ollen

Algebran perusteet. 44 ϕ(105) = (105). Näin ollen Algebran perusteet Harjoitus 4, ratkaisut kevät 2016 1 a) Koska 105 = 5 21 = 3 5 7 ja 44 = 2 2 11, niin syt(44, 105) = 1 Lisäksi ϕ(105) = ϕ(3 5 7) = (3 1)(5 1)(7 1) = 2 4 6 = 48, joten Eulerin teoreeman

Lisätiedot

Ratkeavista ryhmistä: teoriaa ja esimerkkejä

Ratkeavista ryhmistä: teoriaa ja esimerkkejä Ratkeavista ryhmistä: teoriaa ja esimerkkejä Pro Gradu-tutkielma Lauri Kangas 2192712 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Kevät 2015 Sisältö 1 Perusteita 3 1.1 Ryhmät ja aliryhmät.......................

Lisätiedot

Johdanto 2. 2 Osamääräkunnan muodostaminen 7. 3 Osamääräkunnan isomorfismit 16. Lähdeluettelo 20

Johdanto 2. 2 Osamääräkunnan muodostaminen 7. 3 Osamääräkunnan isomorfismit 16. Lähdeluettelo 20 Osamääräkunta LuK-tutkielma Lauri Aalto Opiskelijanumero: 2379263 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Kevät 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Käsitteitä ja merkintöjä 3 2 Osamääräkunnan muodostaminen

Lisätiedot

5.6 Yhdistetty kuvaus

5.6 Yhdistetty kuvaus 5.6 Yhdistetty kuvaus Määritelmä 5.6.1. Oletetaan, että f : æ Y ja g : Y æ Z ovat kuvauksia. Yhdistetty kuvaus g f : æ Z määritellään asettamalla kaikilla x œ. (g f)(x) =g(f(x)) Huomaa, että yhdistetty

Lisätiedot

Mikäli huomaat virheen tai on kysyttävää liittyen malleihin, lähetä viesti osoitteeseen

Mikäli huomaat virheen tai on kysyttävää liittyen malleihin, lähetä viesti osoitteeseen Mikäli huomaat virheen tai on kysyttävää liittyen malleihin, lähetä viesti osoitteeseen anton.mallasto@aalto.fi. 1. 2. Muista. Ryhmän G aliryhmä H on normaali aliryhmä, jos ah = Ha kaikilla a G. Toisin

Lisätiedot

Sanomme, että kuvaus f : X Y on injektio, jos. x 1 x 2 f (x 1 ) f (x 2 ) eli f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2.

Sanomme, että kuvaus f : X Y on injektio, jos. x 1 x 2 f (x 1 ) f (x 2 ) eli f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2. Sanomme, että kuvaus f : X Y on injektio, jos x 1 x 2 f (x 1 ) f (x 2 ) eli f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2. Siis kuvaus on injektio, jos eri alkiot kuvautuvat eri alkioille eli maalijoukon jokainen alkio

Lisätiedot

1. Tarkastellaan esimerkissä 4.9 esiintynyttä neliön symmetriaryhmää

1. Tarkastellaan esimerkissä 4.9 esiintynyttä neliön symmetriaryhmää Ryhmäteoreettinen näkökulma Rubikin kuutioon Matematiikan ja tilastotieteen laitos Syksy 2010 Harjoitus 2 Ratkaisuehdotus 1. Tarkastellaan esimerkissä 4.9 esiintynyttä neliön symmetriaryhmää D 8 = { id,

Lisätiedot

HN = {hn h H, n N} on G:n aliryhmä.

HN = {hn h H, n N} on G:n aliryhmä. Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8, 23.27.3.2009 5 sivua Rami Luisto 1. Osoita, että kullakin n N + lukujen n 5 ja n viimeiset numerot kymmenkantaisessa

Lisätiedot

Esko Turunen MAT Algebra1(s)

Esko Turunen MAT Algebra1(s) Määritelmä (4.1) Olkoon G ryhmä. Olkoon H G, H. Jos joukko H varustettuna indusoidulla laskutoimituksella on ryhmä, se on ryhmän G aliryhmä. Jos H G on ryhmän G aliryhmä, merkitään usein H G, ja jos H

Lisätiedot

jonka laskutoimitus on matriisien kertolasku. Vastaavasti saadaan K-kertoiminen erityinen lineaarinen ryhmä

jonka laskutoimitus on matriisien kertolasku. Vastaavasti saadaan K-kertoiminen erityinen lineaarinen ryhmä 4. Ryhmät Tässä luvussa tarkastelemme laskutoimituksella varustettuja joukkoja, joiden laskutoimitukselta oletamme muutamia yksinkertaisia ominaisuuksia: Määritelmä 4.1. Laskutoimituksella varustettu joukko

Lisätiedot

Luonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen

Luonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen Luonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen LuK-tutkielma Jussi Piippo Matemaattisten tieteiden yksikkö Oulun yliopisto Kevät 2017 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Esitietoja 3 2.1 Joukko-opin perusaksioomat...................

Lisätiedot

Laitos/Institution Department Matematiikan ja tilastotieteen laitos. Aika/Datum Month and year Huhtikuu 2014

Laitos/Institution Department Matematiikan ja tilastotieteen laitos. Aika/Datum Month and year Huhtikuu 2014 Tiedekunta/Osasto Fakultet/Sektion Faculty Matemaattis-luonnontieteellinen tiedekunta Laitos/Institution Department Matematiikan ja tilastotieteen laitos Tekijä/Författare Author Anna-Mari Pulkkinen Työn

Lisätiedot

g : R R, g(a) = g i a i. Alkio g(a) R on polynomin arvo pisteessä a. Jos g(a) = 0, niin a on polynomin g(x) nollakohta.

g : R R, g(a) = g i a i. Alkio g(a) R on polynomin arvo pisteessä a. Jos g(a) = 0, niin a on polynomin g(x) nollakohta. ALGEBRA II 27 on homomorfismi. Ensinnäkin G(a + b) a + b G(a)+G(b) (f), G(ab) ab G(a)G(b) G(a) G(b) (f), ja koska kongruenssien vasempien ja oikeiden puolten asteet ovat pienempiä kuin f:n aste, niin homomorfiaehdot

Lisätiedot

Esko Turunen Luku 3. Ryhmät

Esko Turunen Luku 3. Ryhmät 3. Ryhmät Monoidia rikkaampi algebrallinen struktuuri on ryhmä: Määritelmä (3.1) Olkoon joukon G laskutoimitus. Joukko G varustettuna tällä laskutoimituksella on ryhmä, jos laskutoimitus on assosiatiivinen,

Lisätiedot

Kvasiryhmistä ja niiden sovelluksista

Kvasiryhmistä ja niiden sovelluksista TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Suvi Pasanen Kvasiryhmistä ja niiden sovelluksista Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Maaliskuu 2016 Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden yksikkö PASANEN,

Lisätiedot

ei ole muita välikuntia.

ei ole muita välikuntia. ALGEBRA II 41 Lause 4.15. F q m on polynomin x qm x hajoamiskunta kunnan F q suhteen. Todistus. Olkoon α kunnan F q m primitiivialkio. Nyt F qm =< α > muodostuu täsmälleen polynomin x qm 1 1nollakohdistajatäten

Lisätiedot

on Abelin ryhmä kertolaskun suhteen. Tämän joukon alkioiden lukumäärää merkitään

on Abelin ryhmä kertolaskun suhteen. Tämän joukon alkioiden lukumäärää merkitään 5. Primitiivinen alkio 5.1. Täydennystä lukuteoriaan. Olkoon n Z, n 2. Palautettakoon mieleen, että kokonaislukujen jäännösluokkarenkaan kääntyvien alkioiden muodostama osajoukko Z n := {x Z n x on kääntyvä}

Lisätiedot

= 5! 2 2!3! = = 10. Edelleen tästä joukosta voidaan valita kolme särmää yhteensä = 10! 3 3!7! = = 120

= 5! 2 2!3! = = 10. Edelleen tästä joukosta voidaan valita kolme särmää yhteensä = 10! 3 3!7! = = 120 Tehtävä 1 : 1 Merkitään jatkossa kirjaimella H kaikkien solmujoukon V sellaisten verkkojen kokoelmaa, joissa on tasan kolme särmää. a) Jokainen verkko G H toteuttaa väitteen E(G) [V]. Toisaalta jokainen

Lisätiedot

H = H(12) = {id, (12)},

H = H(12) = {id, (12)}, 7. Normaali aliryhmä ja tekijäryhmä Tarkastelemme luvun aluksi ryhmän ja sen aliryhmien suhdetta. Olkoon G ryhmä ja olkoon H G. Alkiong G vasen sivuluokka (aliryhmän H suhteen) on gh = {gh : h H} ja sen

Lisätiedot

Tehtävä 4 : 2. b a+1 (mod 3)

Tehtävä 4 : 2. b a+1 (mod 3) Tehtävä 4 : 1 Olkoon G sellainen verkko, jonka solmujoukkona on {1,..., 9} ja jonka särmät määräytyvät oheisen kuvan mukaisesti. Merkitään lisäksi kirjaimella A verkon G kaikkien automorfismien joukkoa,

Lisätiedot

a b 1 c b n c n

a b 1 c b n c n Algebra Syksy 2007 Harjoitukset 1. Olkoon a Z. Totea, että aina a 0, 1 a, a a ja a a. 2. Olkoot a, b, c, d Z. Todista implikaatiot: a) a b ja c d ac bd, b) a b ja b c a c. 3. Olkoon a b i kaikilla i =

Lisätiedot

Ryhmäteoreettinen näkökulma Rubikin kuutioon Harjoitus 6, ratkaisuehdotus (5 sivua)

Ryhmäteoreettinen näkökulma Rubikin kuutioon Harjoitus 6, ratkaisuehdotus (5 sivua) Ryhmäteoreettinen näkökulma Rubikin kuutioon Harjoitus 6, ratkaisuehdotus (5 sivua) 10.12.2012 Tehtävä 1. Osoita, että tuloryhmän R np R sp indeksi Rubikin paikkaryhmässä R p on täsmälleen kaksi. (Tarkkaan

Lisätiedot

802355A Renkaat, kunnat ja polynomit Luentorunko Syksy 2013

802355A Renkaat, kunnat ja polynomit Luentorunko Syksy 2013 802355A Renkaat, kunnat ja polynomit Luentorunko Syksy 2013 Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Juha-Matti Tirilä, Antti Torvikoski, Topi Törmä Sisältö 1 Kertausta kurssilta Lukuteoria ja ryhmät

Lisätiedot

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto 3. Oletetaan, että kunnan K karakteristika on 3. Tutki,

Lisätiedot

Bijektio. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin jokaiselle alkiolle kuvautuu tasan yksi lähdön alkio.

Bijektio. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin jokaiselle alkiolle kuvautuu tasan yksi lähdön alkio. Määritelmä Bijektio Oletetaan, että f : X Y on kuvaus. Sanotaan, että kuvaus f on bijektio, jos se on sekä injektio että surjektio. Huom. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin

Lisätiedot

Kaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle.

Kaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle. Kombinatoriikka, kesä 2010 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia (RT (5 sivua Kaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle. 1. Osoita, että vuoden

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Osa 5: Ryhmät ja permutaatiot Riikka Kangaslampi 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Ryhmät ja permutaatiot Väritysongelma Jos meillä

Lisätiedot

Tekijäryhmiä varten määritellään aluksi sivuluokat ja normaalit aliryhmät.

Tekijäryhmiä varten määritellään aluksi sivuluokat ja normaalit aliryhmät. 3 Tekijäryhmät Tekijäryhmän käsitteen avulla voidaan monimutkainen ryhmä jakaa osiin. Ideana on, että voidaan erikseen tarkastella, miten laskutoimitus vaikuttaa näihin osiin kokonaisuuksina, ja jättää

Lisätiedot

4. Ryhmien sisäinen rakenne

4. Ryhmien sisäinen rakenne 4. Ryhmien sisäinen rakenne Tässä luvussa tarkastellaan joitakin tapoja päästä käsiksi ryhmien sisäiseen rakenteeseen. Useimmat tuloksista ovat erityisen käyttökelpoisia äärellisten ryhmien tapauksessa.

Lisätiedot

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus

Lisätiedot

kaikille a R. 1 (R, +) on kommutatiivinen ryhmä, 2 a(b + c) = ab + ac ja (b + c)a = ba + ca kaikilla a, b, c R, ja

kaikille a R. 1 (R, +) on kommutatiivinen ryhmä, 2 a(b + c) = ab + ac ja (b + c)a = ba + ca kaikilla a, b, c R, ja Renkaat Tarkastelemme seuraavaksi rakenteita, joissa on määritelty kaksi binääristä assosiatiivista laskutoimitusta, joista toinen on kommutatiivinen. Vaadimme muuten samat ominaisuudet kuin kokonaisluvuilta,

Lisätiedot

Eräitä ratkeavuustarkasteluja

Eräitä ratkeavuustarkasteluja Eräitä ratkeavuustarkasteluja Pro gradu-tutkielma Milla Jantunen 2124227 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Kevät 2014 Sisältö 1 Ryhmät ja aliryhmät 3 1.1 Ryhmä...............................

Lisätiedot

Kuvaus. Määritelmä. LM2, Kesä /160

Kuvaus. Määritelmä. LM2, Kesä /160 Kuvaus Määritelmä Oletetaan, että X ja Y ovat joukkoja. Kuvaus eli funktio joukosta X joukkoon Y on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon X alkioon täsmälleen yhden alkion, joka kuuluu joukkoon Y. Merkintä

Lisätiedot

MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet

MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Osa 5: Ryhmät ja permutaatiot Riikka Kangaslampi Syksy 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Ryhmät ja permutaatiot Väritysongelma Jos

Lisätiedot

Koodausteoria, Kesä 2014

Koodausteoria, Kesä 2014 Koodausteoria, Kesä 2014 Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 4.7 Syklisen koodin jälkiesitys Olkoon F = F q ja K = F q m kunnan F laajennuskunta. Määritelmä 4.7.1. Kuntalaajennuksen K/F jälkifunktioksi

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Osa : Relaatiot ja funktiot Riikka Kangaslampi 017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Relaatiot Relaatio Määritelmä 1 Relaatio joukosta A

Lisätiedot

800333A Algebra I Luentorunko Kevät Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Juha-Matti Tirilä

800333A Algebra I Luentorunko Kevät Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Juha-Matti Tirilä 800333A Algebra I Luentorunko Kevät 2010 Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Juha-Matti Tirilä Sisältö 1 Lukuteorian alkeita 3 1.1 Kongruenssiin liittyviä perustuloksia.............. 7 2 Ekvivalenssirelaatio

Lisätiedot

Algebra I. Jokke Häsä ja Johanna Rämö. Matematiikan ja tilastotieteen laitos Helsingin yliopisto

Algebra I. Jokke Häsä ja Johanna Rämö. Matematiikan ja tilastotieteen laitos Helsingin yliopisto Algebra I Jokke Häsä ja Johanna Rämö Matematiikan ja tilastotieteen laitos Helsingin yliopisto Kevät 2011 Sisältö 1 Laskutoimitukset 6 1.1 Työkalu: Joukot ja kuvaukset..................... 6 1.1.1 Joukko..............................

Lisätiedot

renkaissa. 0 R x + x =(0 R +1 R )x =1 R x = x

renkaissa. 0 R x + x =(0 R +1 R )x =1 R x = x 8. Renkaat Tarkastelemme seuraavaksi rakenteita, joissa on määritelty kaksi assosiatiivista laskutoimitusta, joista toinen on kommutatiivinen. Vaadimme näiltä kahdella laskutoimituksella varustetuilta

Lisätiedot

1 Algebralliset perusteet

1 Algebralliset perusteet 1 Algebralliset perusteet 1.1 Renkaat Tämän luvun jälkeen opiskelijoiden odotetaan muistavan, mitä ovat renkaat, vaihdannaiset renkaat, alirenkaat, homomorfismit, ideaalit, tekijärenkaat, maksimaaliset

Lisätiedot

{I n } < { I n,i n } < GL n (Q) < GL n (R) < GL n (C) kaikilla n 2 ja

{I n } < { I n,i n } < GL n (Q) < GL n (R) < GL n (C) kaikilla n 2 ja 5. Aliryhmät Luvun 4 esimerkeissä esiintyy usein ryhmä (G, ) ja jokin vakaa osajoukko B G siten, että (B, B ) on ryhmä. Määrittelemme seuraavassa käsitteitä, jotka auttavat tällaisten tilanteiden käsittelyssä.

Lisätiedot

Transversaalit ja hajoamisaliryhmät

Transversaalit ja hajoamisaliryhmät Transversaalit ja hajoamisaliryhmät Graduseminaariesitelmä Miikka Rytty Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2006 Motivointi Esimerkki 1 (Ryhmäteorian kurssin harjoitustehtävä). Jos G on ryhmä,

Lisätiedot

a 2 ba = a a + ( b) a = (a + ( b))a = (a b)a, joten yhtälö pätee mielivaltaiselle renkaalle.

a 2 ba = a a + ( b) a = (a + ( b))a = (a b)a, joten yhtälö pätee mielivaltaiselle renkaalle. Harjoitus 10 (7 sivua) Ratkaisuehdotuksia/Martina Aaltonen Tehtävä 1. Mitkä seuraavista yhtälöistä pätevät mielivaltaisen renkaan alkioille a ja b? a) a 2 ba = (a b)a b) (a + b + 1)(a b) = a 2 b 2 + a

Lisätiedot

verkkojen G ja H välinen isomorfismi. Nyt kuvaus f on bijektio, joka säilyttää kyseisissä verkoissa esiintyvät särmät, joten pari

verkkojen G ja H välinen isomorfismi. Nyt kuvaus f on bijektio, joka säilyttää kyseisissä verkoissa esiintyvät särmät, joten pari Tehtävä 9 : 1 Merkitään kirjaimella G tehtäväpaperin kuvan vasemmanpuoleista verkkoa sekä kirjaimella H tehtäväpaperin kuvan oikeanpuoleista verkkoa. Kuvan perusteella voidaan havaita, että verkko G on

Lisätiedot

Rollen lause polynomeille

Rollen lause polynomeille Rollen lause polynomeille LuK-tutkielma Anna-Helena Hietamäki 7193766 Matemaattisten tieteiden tutkinto-ohjelma Oulun yliopisto Kevät 015 Sisältö 1 Johdanto 1.1 Rollen lause analyysissä.......................

Lisätiedot

Approbatur 3, demo 5, ratkaisut

Approbatur 3, demo 5, ratkaisut Approbatur 3, demo 5, ratkaisut 51 Tehtävänä on luetella kaikki joukon S 4 alkiot eli neljän alkion permutaatiot Tämä tarkoittaa kaikkia eri tapoja kuvata joukko {1, 2, 3, 4} bijektiivisesti itselleen

Lisätiedot

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 (7 sivua)

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 (7 sivua) Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin ( sivua).... Nämä ovat kurssin Algebra I harjoitustehtävien ratkaisuehdoituksia. Ratkaisut koostuvat kahdesta osiosta,

Lisätiedot

15. Laajennosten väliset homomorfismit

15. Laajennosten väliset homomorfismit 15. Laajennosten väliset homomorfismit Rakenteiden väliset homomorfismit auttavat selvittämään rakenteiden suhteita toisiinsa. Rakenteen sisäiset isomorfismit niin sanotut automorfismit auttavat vastaavasti

Lisätiedot

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 9 (6 sivua) OT

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 9 (6 sivua) OT Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 9 (6 sivua) 28.3.-1.4.2011 OT 1. a) Osoita, että rengas R = {[0] 10, [2] 10, [4] 10, [6] 10, [8] 10 } on kokonaisalue. Mikä

Lisätiedot

MAT Algebra I (s) periodeilla IV ja V/2009. Esko Turunen

MAT Algebra I (s) periodeilla IV ja V/2009. Esko Turunen MAT-41150 Algebra I (s) periodeilla IV ja V/2009. Esko Turunen Tämä tiedosto sisältää kurssin kaikki laskuharjoitukset. viikottain uusia tehtäviä. Tiedostoon lisätään To 05.02.09 pidetyt harjoitukset.

Lisätiedot

Jarkko Peltomäki. Aliryhmän sentralisaattori ja normalisaattori

Jarkko Peltomäki. Aliryhmän sentralisaattori ja normalisaattori Jarkko Peltomäki Aliryhmän sentralisaattori ja normalisaattori Matematiikan aine Turun yliopisto Syyskuu 2009 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Määritelmiä ja perusominaisuuksia 3 2.1 Aliryhmän sentralisaattori ja

Lisätiedot

Koodausteoria, Kesä 2014

Koodausteoria, Kesä 2014 Koodausteoria, Kesä 2014 Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos Koodausteoria 10 op Kontaktiopetusta 50 h, 26.5. - 26.6. ma 10-14, ti 10-13, to 10-13 Aloitusviikolla poikkeuksellisesti ke 10-13 torstain

Lisätiedot

Relaatioista. 1. Relaatiot. Alustava määritelmä: Relaatio on kahden (tai useamman, saman tai eri) joukon alkioiden välinen ominaisuus tai suhde.

Relaatioista. 1. Relaatiot. Alustava määritelmä: Relaatio on kahden (tai useamman, saman tai eri) joukon alkioiden välinen ominaisuus tai suhde. Relaatioista 1. Relaatiot. Alustava määritelmä: Relaatio on kahden (tai useamman, saman tai eri) joukon alkioiden välinen ominaisuus tai suhde. Esimerkkejä Kokonaisluvut x ja y voivat olla keskenään mm.

Lisätiedot

Liite 2. Ryhmien ja kuntien perusteet

Liite 2. Ryhmien ja kuntien perusteet Liite 2. Ryhmien ja kuntien perusteet 1. Ryhmät 1.1 Johdanto Erilaisissa matematiikan probleemoissa törmätään usein muotoa a + x = b tai a x = b oleviin yhtälöihin, joissa tuntematon muuttuja on x. Lukujoukkoja

Lisätiedot

Tenttiin valmentavia harjoituksia

Tenttiin valmentavia harjoituksia Tenttiin valmentavia harjoituksia Alla olevissa harjoituksissa suluissa oleva sivunumero viittaa Juha Partasen kurssimonisteen siihen sivuun, jolta löytyy apua tehtävän ratkaisuun. Funktiot Harjoitus.

Lisätiedot

Teema 4. Homomorfismeista Ihanne ja tekijärengas. Teema 4 1 / 32

Teema 4. Homomorfismeista Ihanne ja tekijärengas. Teema 4 1 / 32 1 / 32 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.2 Esimerkki 4B.1 Esimerkki 4B.2 Esimerkki 4B.3 Esimerkki 4C.1 Esimerkki 4C.2 Esimerkki 4C.3 2 / 32 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.2 Esimerkki 4B.1 Esimerkki

Lisätiedot

Symmetrisistä ryhmistä symmetriaryhmiin

Symmetrisistä ryhmistä symmetriaryhmiin Symmetrisistä ryhmistä symmetriaryhmiin 16. marraskuuta 2006 1 Symmetrisistä ryhmistä... Bijektiivistä kuvausta {1,..., n} {1,..., n} kutsutaan n-permutaatioksi. Merkitään n-permutaatioden joukkoa S n.

Lisätiedot

Kantavektorien kuvavektorit määräävät lineaarikuvauksen

Kantavektorien kuvavektorit määräävät lineaarikuvauksen Kantavektorien kuvavektorit määräävät lineaarikuvauksen Lause 18 Oletetaan, että V ja W ovat vektoriavaruuksia. Oletetaan lisäksi, että ( v 1,..., v n ) on avaruuden V kanta ja w 1,..., w n W. Tällöin

Lisätiedot

Shorin algoritmin matematiikkaa Edvard Fagerholm

Shorin algoritmin matematiikkaa Edvard Fagerholm Edvard Fagerholm 1 Määritelmiä Määritelmä 1 Ryhmä G on syklinen, jos a G s.e. G = a. Määritelmä 2 Olkoon G ryhmä. Tällöin alkion a G kertaluku ord(a) on pienin luku n N \ {0}, jolla a n = 1. Jos lukua

Lisätiedot

Tekijäryhmän määrittelemistä varten määritellään aluksi sivuluokat ja normaalit aliryhmät. gh = {gh h H}.

Tekijäryhmän määrittelemistä varten määritellään aluksi sivuluokat ja normaalit aliryhmät. gh = {gh h H}. Tekijäryhmät Tekijäryhmän käsitteen avulla voidaan monimutkainen ryhmä jakaa suuriin, helpommin käsiteltäviin osiin. Tämän jälkeen voidaan erikseen tarkastella, miten laskutoimitus vaikuttaa näihin osiin

Lisätiedot

ja jäännösluokkien joukkoa

ja jäännösluokkien joukkoa 3. Polynomien jäännösluokkarenkaat Olkoon F kunta, ja olkoon m F[x]. Polynomeille f, g F [x] määritellään kongruenssi(-relaatio) asettamalla g f mod m : m g f g = f + m h jollekin h F [x]. Kongruenssi

Lisätiedot

Kurssikoe on maanantaina Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla.

Kurssikoe on maanantaina Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla. HY / Avoin ylioisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 05 Harjoitus 6 Ratkaisut palautettava viimeistään tiistaina.6.05 klo 6.5. Huom! Luennot ovat salissa CK maanantaista 5.6. lähtien. Kurssikoe on

Lisätiedot

Permutaatioryhmien radoista. Tero Suokas

Permutaatioryhmien radoista. Tero Suokas Permutaatioryhmien radoista Tero Suokas Pro Gradu -tutkielma Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2015 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Määritelmiä 3 2.1 Ryhmistä............................. 3 2.2 Homomorsmeista........................

Lisätiedot

HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI. Matematiikan ja tilastotieteen laitos. Matemaattis-luonnontieteellinen

HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI. Matematiikan ja tilastotieteen laitos. Matemaattis-luonnontieteellinen HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI Tiedekunta/Osasto Fakultet/Sektion Faculty Laitos Institution Department Matemaattis-luonnontieteellinen Tekijä Författare Author Matti

Lisätiedot

Johdatus matematiikkaan

Johdatus matematiikkaan Johdatus matematiikkaan Luento 6 Mikko Salo 6.9.2017 Sisältö 1. Kompleksitaso 2. Joukko-oppia Kompleksiluvut Edellisellä luennolla huomattiin, että toisen asteen yhtälö ratkeaa aina, jos ratkaisujen annetaan

Lisätiedot

[a] ={b 2 A : a b}. Ekvivalenssiluokkien joukko

[a] ={b 2 A : a b}. Ekvivalenssiluokkien joukko 3. Tekijälaskutoimitus, kokonaisluvut ja rationaaliluvut Tässä luvussa tutustumme kolmanteen tapaan muodostaa laskutoimitus joukkoon tunnettujen laskutoimitusten avulla. Tätä varten määrittelemme ensin

Lisätiedot

[E : F ]=[E : K][K : F ].

[E : F ]=[E : K][K : F ]. ALGEBRA II 35 Lause 4.4 (Astelukulause). Olkoot E/K/Fäärellisiä kuntalaajennuksia. Silloin [E : F ]=[E : K][K : F ]. Todistus. Olkoon {α 1,...,α n } kanta laajennukselle E/K ja {β 1,...,β m } kanta laajennukselle

Lisätiedot

Derivaattaluvut ja Dini derivaatat

Derivaattaluvut ja Dini derivaatat Derivaattaluvut Dini derivaatat LuK-tutkielma Helmi Glumo 2434483 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Taustaa 2 2 Määritelmät 4 3 Esimerkkejä lauseita 7 Lähdeluettelo

Lisätiedot

Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 1,

Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 1, Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 1, 15.9.2014 1. Hahmottele tasossa seuraavat relaatiot: a) R 1 = {(x, y) R 2 : x y 2 } b) R 2 = {(x, y) R 2 : y x Z} c) R 3 = {(x, y) R 2 : y > 0 and x 2

Lisätiedot

3 Ryhmäteorian peruskäsitteet ja pienet ryhmät, C 2

3 Ryhmäteorian peruskäsitteet ja pienet ryhmät, C 2 3 Ryhmäteorian peruskäsitteet ja pienet ryhmät, C 2 Olen valinnut kunkin luvun teemaksi yhden ryhmän. Ensimmäisen luvun teema on pienin epätriviaali ryhmä, eli ryhmä, jossa on kaksi alkiota. Merkitsen

Lisätiedot

Algebra 1, harjoitus 9, h = xkx 1 xhx 1. a) Käytetään molemmissa tapauksissa isomorfialausetta. Tarkastellaan kuvauksia

Algebra 1, harjoitus 9, h = xkx 1 xhx 1. a) Käytetään molemmissa tapauksissa isomorfialausetta. Tarkastellaan kuvauksia Algebra 1, harjoitus 9, 11.-12.11.2014. 1. Olkoon G ryhmä ja H G normaali aliryhmä. Tiedetään, että tällöin xhx 1 H kaikilla x G. Osoita, että itse asiassa xhx 1 = H kaikilla x G. Ratkaisu: Yritetään osoittaa,

Lisätiedot

KOMBINATORIIKKA JOUKOT JA RELAATIOT

KOMBINATORIIKKA JOUKOT JA RELAATIOT Heikki Junnila KOMBINATORIIKKA LUKU I JOUKOT JA RELAATIOT 0. Merkinnöistä.... 1 1. Relaatiot ja kuvaukset....3 2. Luonnolliset luvut. Äärelliset joukot...9 3. Joukon ositukset. Ekvivalenssirelaatiot......

Lisätiedot

Vastaus 1. Lasketaan joukkojen alkiot, ja todetaan, että niitä on 3 molemmissa.

Vastaus 1. Lasketaan joukkojen alkiot, ja todetaan, että niitä on 3 molemmissa. Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }? Vastaus 1. Lasketaan joukkojen alkiot, ja todetaan, että niitä on 3 molemmissa. Vastaus 2. Vertaillaan

Lisätiedot

LUKU 4. Pinnat. (u 1, u 2 ) ja E ϕ 2 (u 1, u 2 ) := ϕ u 2

LUKU 4. Pinnat. (u 1, u 2 ) ja E ϕ 2 (u 1, u 2 ) := ϕ u 2 LUKU 4 Pinnat 4.. Määritelmiä ja esimerkkejä Määritelmä 4.. Epätyhjä osajoukko M R 3 on sileä (kaksiulotteinen) pinta, jos jokaiselle pisteelle p M on olemassa ympäristö V p R 3, avoin joukko U p R 2 ja

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141 Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II LM2, Kesä 2012 1/141 Kertausta: avaruuden R n vektorit Määritelmä Oletetaan, että n {1, 2, 3,...}. Avaruuden R n alkiot ovat jonoja, joissa on n kappaletta reaalilukuja.

Lisätiedot

Ryhmäteoriaa. 2. Ryhmän toiminta

Ryhmäteoriaa. 2. Ryhmän toiminta Ryhmäteoriaa 2. Ryhmän toiminta Permutaatiot kuvaavat jonkin perusjoukon alkioita toisikseen. Eräät permutaatiot jättävät joitain alkioita paikalleen, toiset liikuttavat kaikkia joukon alkioita. Kaikki

Lisätiedot

b) Olkoon G vähintään kaksi solmua sisältävä puu. Sallitaan verkon G olevan

b) Olkoon G vähintään kaksi solmua sisältävä puu. Sallitaan verkon G olevan Tehtävä 7 : 1 a) Olkoon G jokin epäyhtenäinen verkko. Tällöin väittämä V (G) 2 pätee jo epäyhtenäisyyden nojalla. Jokaisella joukolla X on ehto X 0 voimassa, joten ehdot A < 0 ja F < 0 toteuttavilla joukoilla

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Liite 1: Joukko-oppi

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Liite 1: Joukko-oppi Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Liite 1: Joukko-oppi TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Joukko-oppi >> Joukko-opin peruskäsitteet Joukko-opin perusoperaatiot Joukko-opin laskusäännöt Funktiot Tulojoukot

Lisätiedot

Cauchyn ja Sylowin lauseista

Cauchyn ja Sylowin lauseista Cauchyn ja Sylowin lauseista Pro gradu-tutkielma Jukka Kuru Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2014 Sisältö Johdanto 2 1 Peruskäsitteet 4 1.1 Funktion käsitteitä........................ 4

Lisätiedot

1. Esitä rekursiivinen määritelmä lukujonolle

1. Esitä rekursiivinen määritelmä lukujonolle Matematiikan laitos Johdatus Diskrettiin Matematiikkaan Harjoitus 4 24.11.2011 Ratkaisuehdotuksia Aleksandr Pasharin 1. Esitä rekursiivinen määritelmä lukujonolle (a) f(n) = (2 0, 2 1, 2 2, 2 3, 2 4,...)

Lisätiedot

MAT-41150 Algebra I (s) periodilla IV 2012 Esko Turunen

MAT-41150 Algebra I (s) periodilla IV 2012 Esko Turunen MAT-41150 Algebra I (s) periodilla IV 2012 Esko Turunen Tehtävä 1. Onko joukon X potenssijoukon P(X) laskutoimitus distributiivinen laskutoimituksen suhteen? Onko laskutoimitus distributiivinen laskutoimituksen

Lisätiedot

Permutaatioista alternoivaan ryhmään

Permutaatioista alternoivaan ryhmään Permutaatioista alternoivaan ryhmään Pro Gradu-tutkielma Sini-Susanna Fetula Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2014 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Esitietoja 3 3 Permutaatioista. 6 3.1 Symmetrinen

Lisätiedot

Lukuteorian kertausta

Lukuteorian kertausta Lukuteorian kertausta Jakoalgoritmi Jos a, b Z ja b 0, niin on olemassa sellaiset yksikäsitteiset kokonaisluvut q ja r, että a = qb+r, missä 0 r < b. Esimerkki 1: Jos a = 60 ja b = 11, niin 60 = 5 11 +

Lisätiedot

Cantorin joukon suoristuvuus tasossa

Cantorin joukon suoristuvuus tasossa Cantorin joukon suoristuvuus tasossa LuK-tutkielma Miika Savolainen 2380207 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Cantorin joukon esittely 2 2 Suoristuvuus ja

Lisätiedot

Algebra II. Syksy 2004 Pentti Haukkanen

Algebra II. Syksy 2004 Pentti Haukkanen Algebra II Syksy 2004 Pentti Haukkanen 1 Sisällys 1 Ryhmäteoriaa 3 1.1 Ryhmän määritelmä.... 3 1.2 Aliryhmä... 3 1.3 Sivuluokat...... 4 1.4 Sykliset ryhmät... 7 1.5 Ryhmäisomorfismi..... 11 2 Polynomeista

Lisätiedot