2017 = = = = = = 26 1

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "2017 = = = = = = 26 1"

Transkriptio

1 JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 2, MALLIRATKAISUT Tehtävä 1. Sovella Eukleiden algoritmia ja (i) etsi s.y.t(2017, 753) (ii) etsi kaikki kokonaislukuratkaisut yhtälölle 405x + 141y = 12. Ratkaisu 1. (i) Käytetään Eukleideen algoritmia luvuille 2017 ja 753. Siten s.y.t(2017, 753) = = = = = = = 26 1 (ii) Käytetään ensin Eukleideen algoritmia ja etsitään lukujen 405 ja 141 suurin yhteinen tekijä. 405 = = = = = 5 3 Etsitään tämän avulla ensin yhtälölle 405x + 141y = 3 ratkaisu. 123 = = 141 ( ) = = ( ) 6 ( ) = = ( ) ( ) = Yhtälöllä 405x + 141y = 3 on siis ratkaisu x = 8, y = 23. Koska 12 = 4 3, yhtälölle 405x + 141y = 12 saadaan neljällä kertomalla yksittäisratkaisu (x 0, y 0 ) = ( 32, 92). Yhtälön yleinen ratkaisu on luentojen lauseen 1.13 nojalla { x = t, y = t missä t Z. 1

2 Tehtävä 2. (i) Kirjoita ylös renkaiden Z 5 ja Z 8 yhteenlasku- ja kertolaskutaulut. (ii) Tutki milla luvuilla [a] Z 5 on neliöjuuri ja etsi ne kaikki (eli yhtälön x 2 = [a] ratkaisut x Z 5 ). Tee sama renkaassa Z 8. Ratkaisu 2. (i) Renkaan Z 5 yhteenlaskutaulu: Renkaan Z 5 kertolaskutaulu: Renkaan Z 8 yhteenlaskutaulu: Renkaan Z 8 kertolaskutaulu: + [0] [1] [2] [3] [4] [0] [0] [1] [2] [3] [4] [1] [1] [2] [3] [4] [0] [2] [2] [3] [4] [0] [1] [3] [3] [4] [0] [1] [2] [4] [4] [0] [1] [2] [3] [0] [1] [2] [3] [4] [0] [0] [0] [0] [0] [0] [1] [0] [1] [2] [3] [4] [2] [0] [2] [4] [1] [3] [3] [0] [3] [1] [4] [2] [4] [0] [4] [3] [2] [1] + [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [0] [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [1] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [0] [2] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [0] [1] [3] [3] [4] [5] [6] [7] [0] [1] [2] [4] [4] [5] [6] [7] [0] [1] [2] [3] [5] [5] [6] [7] [0] [1] [2] [3] [4] [6] [6] [7] [0] [1] [2] [3] [4] [5] [7] [7] [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [0] [0] [0] [0] [0] [0] [0] [0] [0] [1] [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [2] [0] [2] [4] [6] [0] [2] [4] [6] [3] [0] [3] [6] [1] [4] [7] [2] [5] [4] [0] [4] [0] [4] [0] [4] [0] [4] [5] [0] [5] [2] [7] [4] [1] [6] [3] [6] [0] [6] [4] [2] [0] [6] [4] [2] [7] [0] [7] [6] [5] [4] [3] [2] [1] 2

3 (ii) Renkaan Z 5 kertolaskutaulusta nähdään, että täsmälleen diagonaalilla olevilla luvuilla on neliöjuuri. Ne ovat siis [0], [1] ja [4]. Taulusta nähdään myös vastaavat neliöjuuret. Luvun [0] ainoa neliöjuuri on [0]. Luvun [1] kaksi neliöjuurta ovat [1] ja [4]. Luvun [4] kaksi neliöjuurta ovat [2] ja [3]. Vastaavasti renkaassa Z 8 voidaan kertolaskutaulun diagonaalilta nähdä, millä luvuilla on neliöjuuri, ja ne ovat sielläkin [0], [1] ja [4]. Taulusta myös nähdään, mitkä ovat vastaavat neliöjuuret. Luvun [0] kaksi neliöjuurta ovat [0] ja [4]. Luvun [1] neljä neliöjuurta ovat [1], [3], [5] ja [7]. Luvun [4] kaksi neliöjuurta ovat [2] ja [6]. Tehtävä 3. (i) Etsi kaikki luvut x joille 5x 7 (mod 37). (ii) Mikä on luvun viimeinen numero? Ratkaisu 3. (i) On löydettävät kaikki kokonaisluvut x, joille 37 (7 5x) eli 7 5x = 37y. Tämä on lineaarinen Diofantoksen yhtälö 5x + 37y = 7, joka voidaan ratkaista Eukleideen algoritmilla. (Keksiliäs lukija saattaa nähdä yksittäisratkaisun x = 6, y = 1 suoraan.) 37 = = (2 = 2 1) Yhtälölle 5x + 37y = 1 löytyy siis ratkaisu purkamalla algoritmi. 2 = = 5 2 (37 7 5) = Kertomalla seitsemällä saadaan, että yhtälön 5x + 37y = 7 yksi ratkaisu on x = 105, y = 14. Sen yleinen ratkaisu on siis luentojen lauseen 1.13 nojalla { x = t, y = 14 5t missä t Z. Luvut x ovat siis aina muotoa t jollain t Z. (ii) Luvun viimeinen numero kymmenjärjestelmässä on jakojäännös jaettaessa kymmenellä. Selvitetään, mitä on modulo 10. Tätä käyttämällä saadaan, että 17 7, (mod 10) (17 2 ) ( 1) (mod 10). Luvun viimeinen numero on siis 7. 3

4 Tehtävä 4. Todista luentojen lause 2.8: Olkoon m 2 ja U Z. Silloin U on täydellinen jäännössysteemi (mod m) jos ja vain jos ainakin kaksi seuraavista ehdoista on voimassa: (i) U:ssa on m alkiota, (ii) U:n alkiot ovat keskenään epäkongruentteja (mod m), (iii) Jokaisella a Z on olemassa u U jolle a u mod m. Ratkaisu 4. Palautetaan mieleen täydellisen jäännössysteemin määritelmä. Olkoon m 2. Joukko U = {u 1,..., u m } Z on täydellinen jäännössysteemi (mod m), jos {u 1,..., u m } = Z m. Tässä ja myöhemmin merkintä u tarkoittaa kokonaisluvun u ekvivalenssiluokkaa modulo m. Suunta. Näytetään, että kaikki kolme ehtoa ovat voimassa, jos U on täydellinen jäännössysteemi. Ehto (i) on voimassa, koska täydellisessä jäännössysteemissä on m alkiota. Tehdään ehdon (ii) osoittamiseksi vastaoletus: u i = u j joillain i j. Mutta silloin joukossa {u 1,..., u m } = Z m on enintään m 1 ekvivalenssiluokkaa, mikä on ristiriitaista. Ehto (ii) on siis voimassa. Ehdon (iii) todistamiseksi oletetaan, että a Z. Silloin a Z m, joten täydellisen jäännössysteemin ehdoista seuraa, että jollakin u U pätee a = u. Siten a u mod m, joten ehto (iii) pätee. Suunta. Osoitetaan, että mistä tahansa ehtoparista seuraa, että U on täydellinen jäännössysteemi. Oletetaan, että (i) ja (iii) pätevät. Tällöin millä tahansa a Z m löytyy sellainen u U, jolle a u mod m, eli a = u. Mutta silloin U on täydellinen jäännössysteemi. Oletetaan sitten, että (i) ja (ii) pätevät. Määritellään kuvaus g : U Z m, g(u) = u. Koska ehto (ii) pätee, tämä kuvaus on injektio. Silloin kuvajoukkoon g(u) kuuluu täsmälleen m eri alkiota. Koska joukossa Z m on vain m alkiota, täytyy olla g(u) = Z m, joten U on täydellinen jäännössysteemi. Lopuksi oletetaan, että (ii) ja (iii) pätevät. Riittää osoittaa, että (i) pätee myös. Määritellään kuvaus g : U Z m, g(u) = u. Ehdosta (ii) seuraa, että kuvaus g on injektio. Lisäksi millä tahansa a Z m löytyy ehdon (iii) nojalla sellainen u U, jolle a u mod m, eli a = u. Siten kuvaus g on surjektio. Koska kuvaus g on injektio ja surjektio, se on bijektio, joten joukoissa U ja Z m on yhtä monta alkiota. Ehto (i) pätee. Tehtävä 5. Olkoon m 2 ja a Z m mielivaltainen. Näytä: (i) Jos m P, niin silloin on olemassa k 2, joille a k = a. (ii) Etsi jokin m 2 (tietysti löytämäsi m ei ole alkuluku) ja a Z m jolla (i)-kohdan väite ei ole tosi. 4

5 Ratkaisu 5. (i) Jos m a, niin silloin myös m a 2, joten silloin voidaan valita k = 2. Jos m a, niin Fermat s pienen lauseen nojalla a m 1 1 mod m. Silloin a m a, joten valinta k = m kelpaa. (ii) Valitaan m = 4, a = 2. Nyt mod 4, joten millä tahansa k 2 pätee 2 k 0 2 k mod 4. Tällä valinnalla siis kysyttyä k 2 ei ole olemassa. Tehtävä 6. Osoita, että jos p ja q ovat erisuuria parittomia alkulukuja, niin p q 1 + q p 1 1 (mod pq). Ratkaisu 6. Riittää osoittaa, että pq (p q 1 + q p 1 1). Tarkastellaan ensin lauseketta modulo p. Koska q > 1, niin p p q 1. Koska p q ja p ja q ovat alkulukuja, niin q ei ole jaollinen p:llä. Silloin Fermat n pienestä lauseesta seuraa, että p q 1 + q p 1 1 q p (mod p). Siten p (p q 1 + q p 1 1). Symmetrian nojalla myös q (p q 1 + q p 1 1). Koska p q, väite seuraa tästä. Tehtävä 7. Määritä kaikki ne luvut m jolla tehtävän 5 (i) kohta on aina voimassa. Ratkaisu 7. Olkoon m 2. Väite on: mille tahansa a Z m on olemassa k 2, jolle a k = a. Osoitetaan, että väite on voimassa täsmälleen silloin, jos millekään alkuluvulle p ei päde p 2 m. Osoitetaan ensin tapaus, jossa väite ei päde. Olkoon siis p alkuluku, jolle p 2 m. Silloin p k p = p(p k 1 1). Tässä p p k 1, kun k 2. Mutta silloin p (p k 1 1), joten p 2 ei jaa lukua p k p. Siten myöskään m ei voi jakaa tätä lukua, eikä siis millään k 2 päde a k = a. Oletetaan sitten, että m ei ole jaollinen millään alkuluvun neliöllä p 2. Silloin m voidaan esittää alkulukujen tulona n m = p j, j=1 missä p j ovat kaikki eri lukuja. Olkoon a Z m kiinteä. Riittää löytää jokin k 2, jolle p j (a k a) kaikilla 1 j n. Nyt kullakin luvulla p j on kaksi vaihtoehtoa sen mukaan, jakaako se luvun a. Tapaus 1: p j a. Tällöin p j a k, ja siten myös p j (a k a) kaikilla k 2. Tapaus 2: p j a. Silloin Fermat n pienen lauseen nojalla a d(p j 1) (a p j 1 ) d 1 d 1 (mod p j ) 5

6 kaikilla positiivisilla kokonaisluvuilla d. Tästä seuraa, että a d(p j 1)+1 a (mod p j ) kaikilla positiivisilla kokonaisluvuilla d. Tapaus 2 antaa vihjeen, että kannattaa valita k niin, että (p j 1) (k 1). Valitaan k = 1 + n (p j 1). j=1 Silloin k 2, joten p j (a k a), jos p j a. Sellaiselle p j, joka ei ole luvun a tekijä, huomataan, että k on muotoa d(p j 1) + 1, missä d = n i=1,i j (p i 1). Myös tässä tapauksessa p j (a k a). Tehdyllä valinnalla p j (a k a) kaikilla 1 j n, joten a k = a. Huomautus. Tässä osoitettiin itse asiassa, että väitteen ollessa tosi löytyy eksponentti k, joka toimii jokaisella a Z m. Lisäksi valittu k ei ole paras mahdollinen: tulon sijaan voisi ottaa pienimmän yhteisen jaettavan. 6

Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma

Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten Ratkaisuehdotelma Tehtävä 1 1. Etsi lukujen 4655 ja 12075 suurin yhteinen tekijä ja lausu se kyseisten lukujen lineaarikombinaationa ilman laskimen

Lisätiedot

Algebra I, harjoitus 5,

Algebra I, harjoitus 5, Algebra I, harjoitus 5, 7.-8.10.2014. 1. 2 Osoita väitteet oikeiksi tai vääriksi. a) (R, ) on ryhmä, kun asetetaan a b = 2(a + b) aina, kun a, b R. (Tässä + on reaalilukujen tavallinen yhteenlasku.) b)

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Osa 4: Modulaariaritmetiikka Riikka Kangaslampi 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Modulaariaritmetiikka Jakoyhtälö Määritelmä 1 Luku

Lisätiedot

Valitse kuusi tehtävää! Kaikki tehtävät ovat 6 pisteen arvoisia.

Valitse kuusi tehtävää! Kaikki tehtävät ovat 6 pisteen arvoisia. MAA11 Koe 8.4.013 5 5 1. Luvut 6 38 ja 43 4 jaetaan luvulla 17. Osoita, että tällöin jakojäännökset ovat yhtäsuuret. Paljonko tämä jakojäännös on?. a) Tutki onko 101 alkuluku. Esitä tutkimuksesi tueksi

Lisätiedot

Diofantoksen yhtälön ratkaisut

Diofantoksen yhtälön ratkaisut Diofantoksen yhtälön ratkaisut Matias Mäkelä Matemaattisten tieteiden tutkinto-ohjelma Oulun yliopisto Kevät 2017 Sisältö Johdanto 2 1 Suurin yhteinen tekijä 2 2 Eukleideen algoritmi 4 3 Diofantoksen yhtälön

Lisätiedot

LUKUTEORIA A. Harjoitustehtäviä, kevät 2013. (c) Osoita, että jos. niin. a c ja b c ja a b, niin. niin. (e) Osoita, että

LUKUTEORIA A. Harjoitustehtäviä, kevät 2013. (c) Osoita, että jos. niin. a c ja b c ja a b, niin. niin. (e) Osoita, että LUKUTEORIA A Harjoitustehtäviä, kevät 2013 1. Olkoot a, b, c Z, p P ja k, n Z +. (a) Osoita, että jos niin Osoita, että jos niin (c) Osoita, että jos niin (d) Osoita, että (e) Osoita, että a bc ja a c,

Lisätiedot

Lukuteorian kertausta

Lukuteorian kertausta Lukuteorian kertausta Jakoalgoritmi Jos a, b Z ja b 0, niin on olemassa sellaiset yksikäsitteiset kokonaisluvut q ja r, että a = qb+r, missä 0 r < b. Esimerkki 1: Jos a = 60 ja b = 11, niin 60 = 5 11 +

Lisätiedot

rm + sn = d. Siispä Proposition 9.5(4) nojalla e d.

rm + sn = d. Siispä Proposition 9.5(4) nojalla e d. 9. Renkaat Z ja Z/qZ Tarkastelemme tässä luvussa jaollisuutta kokonaislukujen renkaassa Z ja todistamme tuloksia, joita käytetään jäännösluokkarenkaan Z/qZ ominaisuuksien tarkastelussa. Jos a, b, c Z ovat

Lisätiedot

1 Lukujen jaollisuudesta

1 Lukujen jaollisuudesta Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 1 1 Lukujen jaollisuudesta Lukujoukoille käytetään seuraavia merkintöjä: N = {1, 2, 3, 4,... } Luonnolliset luvut Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,... } Kokonaisluvut Kun

Lisätiedot

Testaa taitosi 1: Lauseen totuusarvo

Testaa taitosi 1: Lauseen totuusarvo Testaa taitosi 1: Lauseen totuusarvo 1. a) Laadi lauseen A (B A) totuustaulu. b) Millä lauseiden A ja B totuusarvoilla a-kohdan lause on tosi? c) Suomenna a-kohdan lause, kun lause A on olen vihainen ja

Lisätiedot

(iv) Ratkaisu 1. Sovelletaan Eukleideen algoritmia osoittajaan ja nimittäjään. (i) 7 = , 7 6 = = =

(iv) Ratkaisu 1. Sovelletaan Eukleideen algoritmia osoittajaan ja nimittäjään. (i) 7 = , 7 6 = = = JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 07) HARJOITUS 7, MALLIRATKAISUT Tehtävä Etsi seuraavien rationaalilukujen ketjumurtokehitelmät: (i) 7 6 (ii) 4 7 (iii) 65 74 (iv) 63 74 Ratkaisu Sovelletaan Eukleideen algoritmia

Lisätiedot

Salausmenetelmät. Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006)

Salausmenetelmät. Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) Salausmenetelmät Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) LUKUTEORIAA JA ALGORITMEJA 3. Kongruenssit à 3.1 Jakojäännös ja kongruenssi Määritelmä 3.1 Kaksi lukua a ja b ovat keskenään kongruentteja (tai

Lisätiedot

Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 7

Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 7 Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 7 2 Alkuluvuista 2.1 Alkuluvut Määritelmä 2.1 Positiivinen luku a 2 on alkuluku, jos sen ainoat positiiviset tekijät ovat 1 ja a. Jos a 2 ei ole alkuluku, se on yhdistetty

Lisätiedot

Juuri 11 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 11 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus K1. a) 72 = 2 36 = 2 2 18 = 2 2 2 9 = 2 2 2 3 3 = 2 3 3 2 252 = 2 126 = 2 2 63 = 2 2 3 21 = 2 2 3 3 7 = 2 2 3 2 7 syt(72, 252) = 2 2 3 2 = 36 b) 252 = 72 3 + 36 72 = 36 2 syt(72, 252) = 36 c) pym(72,

Lisätiedot

a 2 ba = a a + ( b) a = (a + ( b))a = (a b)a, joten yhtälö pätee mielivaltaiselle renkaalle.

a 2 ba = a a + ( b) a = (a + ( b))a = (a b)a, joten yhtälö pätee mielivaltaiselle renkaalle. Harjoitus 10 (7 sivua) Ratkaisuehdotuksia/Martina Aaltonen Tehtävä 1. Mitkä seuraavista yhtälöistä pätevät mielivaltaisen renkaan alkioille a ja b? a) a 2 ba = (a b)a b) (a + b + 1)(a b) = a 2 b 2 + a

Lisätiedot

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti!

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti! MAA11 Koe.4.014 Jussi Tyni Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti! A-Osio: Ei saa käyttää laskinta. MAOL saa olla alusta asti käytössä. Maksimissaan

Lisätiedot

(d) 29 4 (mod 7) (e) ( ) 49 (mod 10) (f) (mod 9)

(d) 29 4 (mod 7) (e) ( ) 49 (mod 10) (f) (mod 9) 1. Pätevätkö seuraavat kongruenssiyhtälöt? (a) 40 13 (mod 9) (b) 211 12 (mod 2) (c) 126 46 (mod 3) Ratkaisu. (a) Kyllä, sillä 40 = 4 9+4 ja 13 = 9+4. (b) Ei, sillä 211 on pariton ja 12 parillinen. (c)

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1 1 Joukko-oppia Matematiikassa joukko on mikä tahansa kokoelma objekteja. Esimerkiksi joukkoa A, jonka jäseniä ovat numerot 1, 2 ja 5 merkitään A = {1, 2, 5}. Joukon

Lisätiedot

R : renkaan R kääntyvien alkioiden joukko; R kertolaskulla varustettuna on

R : renkaan R kääntyvien alkioiden joukko; R kertolaskulla varustettuna on 0. Kertausta ja täydennystä Kurssille Äärelliset kunnat tarvittavat esitiedot löytyvät Algebran kurssista [Alg]. Hyödyksi voivat myös olla (vaikka eivät välttämättömiä) Lukuteorian alkeet [LTA] ja Salakirjoitukset

Lisätiedot

a b 1 c b n c n

a b 1 c b n c n Algebra Syksy 2007 Harjoitukset 1. Olkoon a Z. Totea, että aina a 0, 1 a, a a ja a a. 2. Olkoot a, b, c, d Z. Todista implikaatiot: a) a b ja c d ac bd, b) a b ja b c a c. 3. Olkoon a b i kaikilla i =

Lisätiedot

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) OT

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) OT Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) 31.1.-4.2.2011 OT 1. Määritellään kokonaisluvuille laskutoimitus n m = n + m + 5. Osoita, että (Z, ) on ryhmä.

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Lukuteoria ja logiikka. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Lukuteoria ja logiikka. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion 6 MAA11 Lukuteoria ja logiikka Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Lukuteoria ja logiikka (MAA11) Pikatesti ja kertauskokeet

Lisätiedot

Salausmenetelmät LUKUTEORIAA JA ALGORITMEJA. Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) 3. Kongruenssit. à 3.4 Kongruenssien laskusääntöjä

Salausmenetelmät LUKUTEORIAA JA ALGORITMEJA. Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) 3. Kongruenssit. à 3.4 Kongruenssien laskusääntöjä Salausmenetelmät Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) LUKUTEORIAA JA ALGORITMEJA 3. Kongruenssit à 3.4 Kongruenssien laskusääntöjä Seuraavassa lauseessa saamme kongruensseille mukavia laskusääntöjä.

Lisätiedot

H = : a, b C M. joten jokainen A H {0} on kääntyvä matriisi. Itse asiassa kaikki nollasta poikkeavat alkiot ovat yksiköitä, koska. a b.

H = : a, b C M. joten jokainen A H {0} on kääntyvä matriisi. Itse asiassa kaikki nollasta poikkeavat alkiot ovat yksiköitä, koska. a b. 10. Kunnat ja kokonaisalueet Määritelmä 10.1. Olkoon K rengas, jossa on ainakin kaksi alkiota. Jos kaikki renkaan K nollasta poikkeavat alkiot ovat yksiköitä, niin K on jakorengas. Kommutatiivinen jakorengas

Lisätiedot

2.1. Tehtävänä on osoittaa induktiolla, että kaikille n N pätee n = 1 n(n + 1). (1)

2.1. Tehtävänä on osoittaa induktiolla, että kaikille n N pätee n = 1 n(n + 1). (1) Approbatur 3, demo, ratkaisut Sovitaan, että 0 ei ole luonnollinen luku. Tällöin oletusta n 0 ei tarvitse toistaa alla olevissa ratkaisuissa. Se, pidetäänkö nollaa luonnollisena lukuna vai ei, vaihtelee

Lisätiedot

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja

Lisätiedot

Kuvauksista ja relaatioista. Jonna Makkonen Ilari Vallivaara

Kuvauksista ja relaatioista. Jonna Makkonen Ilari Vallivaara Kuvauksista ja relaatioista Jonna Makkonen Ilari Vallivaara 20. lokakuuta 2004 Sisältö 1 Esipuhe 2 2 Kuvauksista 3 3 Relaatioista 8 Lähdeluettelo 12 1 1 Esipuhe Joukot ja relaatiot ovat periaatteessa äärimmäisen

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 2 3 Joukko-oppia Tässä luvussa tarkastellaan joukko-opin

Lisätiedot

Johdatus matematiikkaan

Johdatus matematiikkaan Johdatus matematiikkaan Luento 7 Mikko Salo 11.9.2017 Sisältö 1. Funktioista 2. Joukkojen mahtavuus Funktioista Lukiomatematiikassa on käsitelty reaalimuuttujan funktioita (polynomi / trigonometriset /

Lisätiedot

Diskreetin matematiikan perusteet Malliratkaisut 2 / vko 38

Diskreetin matematiikan perusteet Malliratkaisut 2 / vko 38 Diskreetin matematiikan perusteet Malliratkaisut 2 / vko 38 Tuntitehtävät 11-12 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 15-16 loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 13-14 tarkastetaan loppuviikon

Lisätiedot

Primitiiviset juuret: teoriaa ja sovelluksia

Primitiiviset juuret: teoriaa ja sovelluksia TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Outi Sutinen Primitiiviset juuret: teoriaa ja sovelluksia Matematiikan, tilastotieteen ja filosofian laitos Matematiikka Huhtikuu 2006 Tampereen yliopisto Matematiikan,

Lisätiedot

on Abelin ryhmä kertolaskun suhteen. Tämän joukon alkioiden lukumäärää merkitään

on Abelin ryhmä kertolaskun suhteen. Tämän joukon alkioiden lukumäärää merkitään 5. Primitiivinen alkio 5.1. Täydennystä lukuteoriaan. Olkoon n Z, n 2. Palautettakoon mieleen, että kokonaislukujen jäännösluokkarenkaan kääntyvien alkioiden muodostama osajoukko Z n := {x Z n x on kääntyvä}

Lisätiedot

Kaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle.

Kaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle. Kombinatoriikka, kesä 2010 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia (RT (5 sivua Kaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle. 1. Osoita, että vuoden

Lisätiedot

MATP153 Approbatur 1B Ohjaus 2 Keskiviikko torstai

MATP153 Approbatur 1B Ohjaus 2 Keskiviikko torstai MATP15 Approbatur 1B Ohjaus Keskiviikko 4.11. torstai 5.11.015 1. (Opiskeluteht. 6 s. 0.) Määritä sellainen vakio a, että polynomilla x + (a 1)x 4x a on juurena luku x = 1. Mitkä ovat tällöin muut juuret?.

Lisätiedot

Tehtävä 2. Osoita, että seuraavat luvut ovat algebrallisia etsimällä jokin kokonaislukukertoiminen yhtälö jonka ne toteuttavat.

Tehtävä 2. Osoita, että seuraavat luvut ovat algebrallisia etsimällä jokin kokonaislukukertoiminen yhtälö jonka ne toteuttavat. JOHDATUS LUKUTEORIAAN syksy 017) HARJOITUS 6, MALLIRATKAISUT Tehtävä 1. Etsi Pellin yhtälön x Dy = 1 pienin positiivinen ratkaisu kun D {,, 5, 6, 7, 8, 10}. Ratkaisu 1. Tehtävässä annetuilla D:n arvoilla

Lisätiedot

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 1 / vko 8

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 1 / vko 8 Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 1 / vko 8 Tuntitehtävät 1-2 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 5- loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 3-4 tarkastetaan loppuviikon

Lisätiedot

811120P Diskreetit rakenteet

811120P Diskreetit rakenteet 811120P Diskreetit rakenteet 2016-2017 6. Alkeislukuteoria 6.1 Jaollisuus Käsitellään kokonaislukujen perusominaisuuksia: erityisesti jaollisuutta Käytettävät lukujoukot: Luonnolliset luvut IN = {0,1,2,3,...

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 3 Joukko-oppia 4 Funktioista Funktio eli kuvaus on matematiikan

Lisätiedot

Tenttiin valmentavia harjoituksia

Tenttiin valmentavia harjoituksia Tenttiin valmentavia harjoituksia Alla olevissa harjoituksissa suluissa oleva sivunumero viittaa Juha Partasen kurssimonisteen siihen sivuun, jolta löytyy apua tehtävän ratkaisuun. Funktiot Harjoitus.

Lisätiedot

Tehtävä 1. Oletetaan että uv on neliö ja (u, v) = 1. Osoita, että kumpikin luvuista u ja v on. p 2j i. p j i

Tehtävä 1. Oletetaan että uv on neliö ja (u, v) = 1. Osoita, että kumpikin luvuista u ja v on. p 2j i. p j i JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 07) HARJOITUS 8, MALLIRATKAISUT Tehtävä. Oletetaan että uv on neliö ja (u, v) =. Osoita, että kumpikin luvuista u ja v on neliö. Ratkaisu. Olkoon p i alkuluku, joka jakaa luvun

Lisätiedot

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9 Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9 Tuntitehtävät 9-10 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 13-14 loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 11-12 tarkastetaan loppuviikon

Lisätiedot

Jokaisen parittoman kokonaisluvun toinen potenssi on pariton.

Jokaisen parittoman kokonaisluvun toinen potenssi on pariton. 3 Todistustekniikkaa 3.1 Väitteen kumoaminen vastaesimerkillä Monissa tilanteissa kohdataan väitteitä, jotka koskevat esimerkiksi kaikkia kokonaislukuja, kaikkia reaalilukuja tai kaikkia joukkoja. Esimerkkejä

Lisätiedot

HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 5 Ratkaisuehdotuksia

HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 5 Ratkaisuehdotuksia HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 015 Harjoitus 5 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan väitteiden todistamista tai kumoamista vastaesimerkin

Lisätiedot

4. Eulerin ja Fermat'n lauseet

4. Eulerin ja Fermat'n lauseet 4. Eulerin ja Fermat'n lauseet 4.1 Alkuluokka ja Eulerin φ-funktio Yleensä olemme kiinnostuneita vain niistä jäännösluokista modulo m, joiden alkiot ovat suhteellisia alkulukuja luvun m kanssa. Näiden

Lisätiedot

JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 1, MALLIRATKAISUT

JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 1, MALLIRATKAISUT JOHDATUS LUKUTEORIAAN (sysy 2017) HARJOITUS 1, MALLIRATKAISUT Tehtävä 1. (i) Etsi luvun 111312 aii teijät. (ii) Oloot a ja b positiivisia oonaisluuja joilla a b ja b a. Osoita, että silloin a = b. Rataisu

Lisätiedot

Ensimmäinen induktioperiaate

Ensimmäinen induktioperiaate Ensimmäinen induktioperiaate Olkoon P(n) luonnollisilla luvuilla määritelty predikaatti. (P(n) voidaan lukea luvulla n on ominaisuus P.) Todistettava, että P(n) on tosi jokaisella n N. ( Kaikilla luonnollisilla

Lisätiedot

Ensimmäinen induktioperiaate

Ensimmäinen induktioperiaate 1 Ensimmäinen induktioperiaate Olkoon P(n) luonnollisilla luvuilla määritelty predikaatti. (P(n) voidaan lukea luvulla n on ominaisuus P.) Todistettava, että P(n) on tosi jokaisella n N. ( Kaikilla luonnollisilla

Lisätiedot

Esimerkki A1. Jaetaan ryhmä G = Z 17 H = 4 = {1, 4, 4 2 = 16 = 1, 4 3 = 4 = 13, 4 4 = 16 = 1}.

Esimerkki A1. Jaetaan ryhmä G = Z 17 H = 4 = {1, 4, 4 2 = 16 = 1, 4 3 = 4 = 13, 4 4 = 16 = 1}. Jaetaan ryhmä G = Z 17 n H = 4 sivuluokkiin. Ratkaisu: Koska 17 on alkuluku, #G = 16, alkiona jäännösluokat a, a = 1, 2,..., 16. Määrätään ensin n H alkiot: H = 4 = {1, 4, 4 2 = 16 = 1, 4 3 = 4 = 13, 4

Lisätiedot

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Liisa Ilonen. Primitiiviset juuret

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Liisa Ilonen. Primitiiviset juuret TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Liisa Ilonen Primitiiviset juuret Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Joulukuu 2009 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos ILONEN,

Lisätiedot

Kurssikoe on maanantaina Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla.

Kurssikoe on maanantaina Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla. HY / Avoin ylioisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 05 Harjoitus 6 Ratkaisut palautettava viimeistään tiistaina.6.05 klo 6.5. Huom! Luennot ovat salissa CK maanantaista 5.6. lähtien. Kurssikoe on

Lisätiedot

Johdatus matematiikkaan

Johdatus matematiikkaan Johdatus matematiikkaan Luento 8 Mikko Salo 13.9.2017 Sisältö 1. Kertausta Kurssin suorittaminen Kurssi suoritetaan lopputentillä (20.9. tai 4.10.). Arvostelu hyväksytty/hylätty. Tentissä on aikaa 4 h,

Lisätiedot

3. Kongruenssit. 3.1 Jakojäännös ja kongruenssi

3. Kongruenssit. 3.1 Jakojäännös ja kongruenssi 3. Kongruenssit 3.1 Jakojäännös ja kongruenssi Tässä kappaleessa esitellään kokonaislukujen modulaarinen aritmetiikka (ns. kellotauluaritmetiikka), jossa luvut tyypillisesti korvataan niillä jakojäännöksillä,

Lisätiedot

Approbatur 3, demo 5, ratkaisut

Approbatur 3, demo 5, ratkaisut Approbatur 3, demo 5, ratkaisut 51 Tehtävänä on luetella kaikki joukon S 4 alkiot eli neljän alkion permutaatiot Tämä tarkoittaa kaikkia eri tapoja kuvata joukko {1, 2, 3, 4} bijektiivisesti itselleen

Lisätiedot

3. Kirjoita seuraavat joukot luettelemalla niiden alkiot, jos mahdollista. Onko jokin joukoista tyhjä joukko?

3. Kirjoita seuraavat joukot luettelemalla niiden alkiot, jos mahdollista. Onko jokin joukoista tyhjä joukko? HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät luentokalvoihin 1 14. Erityisesti esimerkistä 4 ja esimerkin

Lisätiedot

Nimittäin, koska s k x a r mod (p 1), saadaan Fermat n pienen lauseen avulla

Nimittäin, koska s k x a r mod (p 1), saadaan Fermat n pienen lauseen avulla 6. Digitaalinen allekirjoitus Digitaalinen allekirjoitus palvelee samaa tarkoitusta kuin perinteinen käsin kirjotettu allekirjoitus, t.s. Liisa allekirjoittaessaan Pentille lähettämän viestin, hän antaa

Lisätiedot

= 3 = 1. Induktioaskel. Induktio-oletus: Tehtävän summakaava pätee jollakin luonnollisella luvulla n 1. Induktioväite: n+1

= 3 = 1. Induktioaskel. Induktio-oletus: Tehtävän summakaava pätee jollakin luonnollisella luvulla n 1. Induktioväite: n+1 Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka tutuksi Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia 4-810 1 Osoita induktiolla, että luku 15 jakaa luvun 4 n 1 aina, kun n Z + Todistus Tarkastellaan ensin väitettä

Lisätiedot

ja jäännösluokkien joukkoa

ja jäännösluokkien joukkoa 3. Polynomien jäännösluokkarenkaat Olkoon F kunta, ja olkoon m F[x]. Polynomeille f, g F [x] määritellään kongruenssi(-relaatio) asettamalla g f mod m : m g f g = f + m h jollekin h F [x]. Kongruenssi

Lisätiedot

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 9 (6 sivua) OT

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 9 (6 sivua) OT Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 9 (6 sivua) 28.3.-1.4.2011 OT 1. a) Osoita, että rengas R = {[0] 10, [2] 10, [4] 10, [6] 10, [8] 10 } on kokonaisalue. Mikä

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä Luonnollisten lukujen joukko N on joukko N = {1, 2, 3,...} ja kokonaislukujen

Lisätiedot

R 1 = Q 2 R 2 + R 3,. (2.1) R l 2 = Q l 1 R l 1 + R l,

R 1 = Q 2 R 2 + R 3,. (2.1) R l 2 = Q l 1 R l 1 + R l, 2. Laajennettu Eukleideen algoritmi Määritelmä 2.1. Olkoot F kunta ja A, B, C, D F [x]. Sanotaan, että C jakaa A:n (tai C on A:n jakaja), jos on olemassa K F [x] siten, että A = K C; tällöin merkitään

Lisätiedot

Johdatus diskreettiin matematiikkaan (syksy 2009) Harjoitus 3, ratkaisuja Janne Korhonen

Johdatus diskreettiin matematiikkaan (syksy 2009) Harjoitus 3, ratkaisuja Janne Korhonen Johdatus diskreettiin matematiikkaan (syksy 009) Harjoitus 3, ratkaisuja Janne Korhonen 1. Väite: Funktio f : [, ) [1, ), missä on bijektio. f(x) = x + 4x + 5, Todistus: Luentomateriaalissa todistettujen

Lisätiedot

802354A Algebran perusteet Luentorunko Kevät Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Topi Törmä

802354A Algebran perusteet Luentorunko Kevät Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Topi Törmä 802354A Algebran perusteet Luentorunko Kevät 2017 Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Topi Törmä Sisältö 1 Lukuteoriaa 3 1.1 Jakoalgoritmi ja alkuluvut.................... 3 1.2 Suurin yhteinen tekijä......................

Lisätiedot

6 Relaatiot. 6.1 Relaation määritelmä

6 Relaatiot. 6.1 Relaation määritelmä 6 Relaatiot 6. Relaation määritelmä Määritelmä 6... Oletetaan, että X ja Y ovat joukkoja. Jos R µ X Y, sanotaan, että R on joukkojen X ja Y välinen relaatio. Jos R µ X X, sanotaan, että R on joukon X relaatio.

Lisätiedot

Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 11 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma

Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 11 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma Johdatus lukuteoriaan Harjoitus syksy 008 Eemeli Blåsten Ratkaisuehdotelma Tehtävä Todista ketjumurtoluvun peräkkäisille konvergenteille kaava ( ) n induktiolla käyttämällä jonojen ( ) ja ( ) rekursiokaavaa.

Lisätiedot

HN = {hn h H, n N} on G:n aliryhmä.

HN = {hn h H, n N} on G:n aliryhmä. Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8, 23.27.3.2009 5 sivua Rami Luisto 1. Osoita, että kullakin n N + lukujen n 5 ja n viimeiset numerot kymmenkantaisessa

Lisätiedot

Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos:

Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos: 8 Kanta Tässä luvussa tarkastellaan aliavaruuden virittäjävektoreita, jotka muodostavat lineaarisesti riippumattoman jonon. Merkintöjen helpottamiseksi oletetaan luvussa koko ajan, että W on vektoreiden

Lisätiedot

Esko Turunen Luku 3. Ryhmät

Esko Turunen Luku 3. Ryhmät 3. Ryhmät Monoidia rikkaampi algebrallinen struktuuri on ryhmä: Määritelmä (3.1) Olkoon joukon G laskutoimitus. Joukko G varustettuna tällä laskutoimituksella on ryhmä, jos laskutoimitus on assosiatiivinen,

Lisätiedot

1. Esitä rekursiivinen määritelmä lukujonolle

1. Esitä rekursiivinen määritelmä lukujonolle Matematiikan laitos Johdatus Diskrettiin Matematiikkaan Harjoitus 4 24.11.2011 Ratkaisuehdotuksia Aleksandr Pasharin 1. Esitä rekursiivinen määritelmä lukujonolle (a) f(n) = (2 0, 2 1, 2 2, 2 3, 2 4,...)

Lisätiedot

(mod 71), 2 1(mod 71) (3 ) 3 (2 ) 2

(mod 71), 2 1(mod 71) (3 ) 3 (2 ) 2 46. Väite: Luku 3 1 704 71 on jaollinen luvulla 71. Todistus: 1704 71 70 4+ 4 70 3+ 31 70 4 4 70 3 31 70 70 3 3 3 1(mod 71), 1(mod 71) 1 3 4 4 1 3 3 31 4 31 (3 ) 3 ( ) 36 40 67(mod 71) Luku 3 1 704 71

Lisätiedot

Johdatus matematiikkaan

Johdatus matematiikkaan Johdatus matematiikkaan Luento 4 Mikko Salo 4.9.2017 Sisältö 1. Rationaali ja irrationaaliluvut 2. Induktiotodistus Rationaaliluvut Määritelmä Reaaliluku x on rationaaliluku, jos x = m n kokonaisluvuille

Lisätiedot

Tehtävä 4 : 2. b a+1 (mod 3)

Tehtävä 4 : 2. b a+1 (mod 3) Tehtävä 4 : 1 Olkoon G sellainen verkko, jonka solmujoukkona on {1,..., 9} ja jonka särmät määräytyvät oheisen kuvan mukaisesti. Merkitään lisäksi kirjaimella A verkon G kaikkien automorfismien joukkoa,

Lisätiedot

kaikille a R. 1 (R, +) on kommutatiivinen ryhmä, 2 a(b + c) = ab + ac ja (b + c)a = ba + ca kaikilla a, b, c R, ja

kaikille a R. 1 (R, +) on kommutatiivinen ryhmä, 2 a(b + c) = ab + ac ja (b + c)a = ba + ca kaikilla a, b, c R, ja Renkaat Tarkastelemme seuraavaksi rakenteita, joissa on määritelty kaksi binääristä assosiatiivista laskutoimitusta, joista toinen on kommutatiivinen. Vaadimme muuten samat ominaisuudet kuin kokonaisluvuilta,

Lisätiedot

Lukuteoria. Eukleides Aleksandrialainen (n. 300 eaa)

Lukuteoria. Eukleides Aleksandrialainen (n. 300 eaa) Lukuteoria Lukuteoria on eräs vanhimmista matematiikan aloista. On sanottu, että siinä missä matematiikka on tieteiden kuningatar, on lukuteoria matematiikan kuningatar. Perehdymme seuraavassa luonnollisten

Lisätiedot

ALKULUVUISTA (mod 6)

ALKULUVUISTA (mod 6) Oulun Yliopisto Kandidaatintutkielma ALKULUVUISTA (mod 6) Marko Moilanen Opiskelijanro: 1681871 17. joulukuuta 2014 Sisältö 1 Johdanto 2 1.1 Tutkielman sisältö........................ 2 1.2 Alkulukujen

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 01 Tero Vedenjuoksu Sisältö 1 Johdanto 3 Esitietoja ja merkintöjä 4 3 Todistamisesta 5 3.1 Suora todistus.............................

Lisätiedot

802354A Algebran perusteet Luentorunko Kevät Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Topi Törmä

802354A Algebran perusteet Luentorunko Kevät Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Topi Törmä 802354A Algebran perusteet Luentorunko Kevät 2018 Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Topi Törmä Sisältö 1 Lukuteoriaa 3 1.1 Jakoalgoritmi ja alkuluvut.................... 3 1.2 Suurin yhteinen tekijä......................

Lisätiedot

5.6 Yhdistetty kuvaus

5.6 Yhdistetty kuvaus 5.6 Yhdistetty kuvaus Määritelmä 5.6.1. Oletetaan, että f : æ Y ja g : Y æ Z ovat kuvauksia. Yhdistetty kuvaus g f : æ Z määritellään asettamalla kaikilla x œ. (g f)(x) =g(f(x)) Huomaa, että yhdistetty

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 1 1 Matemaattisesta päättelystä Matemaattisen analyysin kurssin (kuten minkä tahansa matematiikan kurssin) seuraamista helpottaa huomattavasti, jos opiskelija ymmärtää

Lisätiedot

1 sup- ja inf-esimerkkejä

1 sup- ja inf-esimerkkejä Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Kaarenpituus. Olkoon r: [a, b] R

Lisätiedot

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 6 (8 sivua) OT. 1. a) Määritä seuraavat summat:

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 6 (8 sivua) OT. 1. a) Määritä seuraavat summat: Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 6 (8 sivua) 21.2.-25.2.2011 OT 1. a) Määritä seuraavat summat: [2] 4 + [3] 4, [2] 5 + [3] 5, [2] 6 + [2] 6 + [2] 6, 7 [3]

Lisätiedot

= 5! 2 2!3! = = 10. Edelleen tästä joukosta voidaan valita kolme särmää yhteensä = 10! 3 3!7! = = 120

= 5! 2 2!3! = = 10. Edelleen tästä joukosta voidaan valita kolme särmää yhteensä = 10! 3 3!7! = = 120 Tehtävä 1 : 1 Merkitään jatkossa kirjaimella H kaikkien solmujoukon V sellaisten verkkojen kokoelmaa, joissa on tasan kolme särmää. a) Jokainen verkko G H toteuttaa väitteen E(G) [V]. Toisaalta jokainen

Lisätiedot

Algebra I, Harjoitus 6, , Ratkaisut

Algebra I, Harjoitus 6, , Ratkaisut Algebra I Harjoitus 6 9. 13.3.2009 Ratkaisut Algebra I Harjoitus 6 9. 13.3.2009 Ratkaisut (MV 6 sivua 1. Olkoot M ja M multiplikatiivisia monoideja. Kuvaus f : M M on monoidihomomorfismi jos 1 f(ab = f(af(b

Lisätiedot

pdfmark=/pages, Raw=/Rotate 90 1 LUKUTEORIAA JA MUITA TYÖKALUJA SALAUKSEEN Lukujoukot Sekalaisia merkintöjä...

pdfmark=/pages, Raw=/Rotate 90 1 LUKUTEORIAA JA MUITA TYÖKALUJA SALAUKSEEN Lukujoukot Sekalaisia merkintöjä... pdfmark=/pages, Raw=/Rotate 90 Sisältö 1 LUKUTEORIAA JA MUITA TYÖKALUJA SALAUKSEEN 0-2 2 Merkintöjä 0-3 2.1 Lukujoukot................... 0-3 2.2 Sekalaisia merkintöjä.............. 0-4 2.3 Tärkeitä kaavoja................

Lisätiedot

Algebran ja lukuteorian harjoitustehtäviä. 1. Tutki, ovatko seuraavat relaatiot ekvivalenssirelaatioita joukon N kaikkien osajoukkojen

Algebran ja lukuteorian harjoitustehtäviä. 1. Tutki, ovatko seuraavat relaatiot ekvivalenssirelaatioita joukon N kaikkien osajoukkojen Algebran ja lukuteorian harjoitustehtäviä Versio 1.0 (27.1.2006) Turun yliopisto Lukuteoria 1. Tutki, ovatko seuraavat relaatiot ekvivalenssirelaatioita joukon N kaikkien osajoukkojen joukolla: a) C D

Lisätiedot

2 j =

2 j = 1. Modulaariaritmetiikkaa Yksinkertaisissa salausjärjestelmissä käytettävä matematiikka on paljolti lukuteoriaan pohjautuvaa suurten lukujen modulaariaritmetiikkaa (lasketaan kokonaisluvuilla modulo n).

Lisätiedot

Törmäyskurssi kilpailulukuteoriaan pienin välttämätön oppimäärä

Törmäyskurssi kilpailulukuteoriaan pienin välttämätön oppimäärä Törmäyskurssi kilpailulukuteoriaan pienin välttämätön oppimäärä Anne-Maria Ernvall-Hytönen 14. tammikuuta 2011 Sisältö 1 Jaollisuus, alkuluvut, ynnä muut perustavanlaatuiset asiat 2 1.1 Lukujen tekijöiden

Lisätiedot

4 Matemaattinen induktio

4 Matemaattinen induktio 4 Matemaattinen induktio Joidenkin väitteiden todistamiseksi pitää näyttää, että kaikilla luonnollisilla luvuilla on jokin ominaisuus P. Esimerkkejä tällaisista väitteistä ovat vaikkapa seuraavat: kaikilla

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 1 Määrittelyjoukoista Tarkastellaan funktiota, jonka määrittelevä yhtälö on f(x) = x. Jos funktion lähtöjoukoksi määrittelee vaikkapa suljetun välin [0, 1], on funktio

Lisätiedot

Algebran perusteet. 44 ϕ(105) = (105). Näin ollen

Algebran perusteet. 44 ϕ(105) = (105). Näin ollen Algebran perusteet Harjoitus 4, ratkaisut kevät 2016 1 a) Koska 105 = 5 21 = 3 5 7 ja 44 = 2 2 11, niin syt(44, 105) = 1 Lisäksi ϕ(105) = ϕ(3 5 7) = (3 1)(5 1)(7 1) = 2 4 6 = 48, joten Eulerin teoreeman

Lisätiedot

1. Osoita, että joukon X osajoukoille A ja B on voimassa toinen ns. de Morganin laki (A B) = A B.

1. Osoita, että joukon X osajoukoille A ja B on voimassa toinen ns. de Morganin laki (A B) = A B. HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan muun muassa kahden joukon osoittamista samaksi sekä joukon

Lisätiedot

a b c d + + + + + + + + +

a b c d + + + + + + + + + 28. 10. 2010!"$#&%(')'+*(#-,.*/1032/465$*784 /(9:*;9."$ *;5> *@9 a b c d 1. + + + 2. 3. 4. 5. 6. + + + + + + + + + + P1. Valitaan kannaksi sivu, jonka pituus on 4. Koska toinen jäljelle jäävistä sivuista

Lisätiedot

Lyhyt johdatus alkeelliseen lukuteoriaan. Esa V. Vesalainen

Lyhyt johdatus alkeelliseen lukuteoriaan. Esa V. Vesalainen yhyt johdatus alkeelliseen lukuteoriaan Esa V. Vesalainen Sisällysluettelo 1 Aritmetiikan peruslause 0 Jakoyhtälö.................................. 0 Jaollisuus.................................. 0 Alkuluvut..................................

Lisätiedot

Lukuteorian helmiä lukiolaisille. 0. Taustaa. Jukka Pihko Matematiikan ja tilastotieteen laitos Helsingin yliopisto

Lukuteorian helmiä lukiolaisille. 0. Taustaa. Jukka Pihko Matematiikan ja tilastotieteen laitos Helsingin yliopisto Lukuteorian helmiä lukiolaisille Jukka Pihko Matematiikan ja tilastotieteen laitos Helsingin yliopisto 0. Taustaa Sain 24.4.2007 Marjatta Näätäseltä sähköpostiviestin, jonka aihe oli Fwd: yhteistyökurssi,

Lisätiedot

Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan erilaisia todistustekniikoita. Luentokalvoista 11, sekä voi olla apua.

Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan erilaisia todistustekniikoita. Luentokalvoista 11, sekä voi olla apua. HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 2 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan erilaisia todistustekniikoita. Luentokalvoista 11, 15-17

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Osa 1: Joukko-oppi ja logiikka Riikka Kangaslampi 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kiitokset Nämä luentokalvot perustuvat Gustaf

Lisätiedot

Vapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0.

Vapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0. Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +

Lisätiedot

Lukuteoria. Eukleides Aleksandrialainen (n. 300 eaa)

Lukuteoria. Eukleides Aleksandrialainen (n. 300 eaa) Lukuteoria Lukuteoria on eräs vanhimmista matematiikan aloista. On sanottu, että siinä missä matematiikka on tieteiden kuningatar, on lukuteoria matematiikan kuningatar. Perehdymme seuraavassa luonnollisten

Lisätiedot

TIETOTEKNIIKAN MATEMATIIKKA

TIETOTEKNIIKAN MATEMATIIKKA TIETOTEKNIIKAN MATEMATIIKKA Harjoitus 4 syksy 2016 Ratkaisut 1. Mitä ehtoja joukkojen M ja N tulee täyttää (kussakin kohdassa erikseen), jotta seuraavat väittämät olisivat tosia a) M = b) N \ M = c) M

Lisätiedot

Jokainen kokonaisluku n voidaan esittää muodossa (missä d on positiivinen kok.luku) Tässä q ja r ovat kokonaislukuja ja 0 r < d.

Jokainen kokonaisluku n voidaan esittää muodossa (missä d on positiivinen kok.luku) Tässä q ja r ovat kokonaislukuja ja 0 r < d. Jakoyhtälö: Jokainen kokonaisluku n voidaan esittää muodossa (missä d on positiivinen kok.luku) n = d*q + r Tässä q ja r ovat kokonaislukuja ja 0 r < d. n = d * q + r number divisor quotient residue numero

Lisätiedot

k=1 b kx k K-kertoimisia polynomeja, P (X)+Q(X) = (a k + b k )X k n+m a i b j X k. i+j=k k=0

k=1 b kx k K-kertoimisia polynomeja, P (X)+Q(X) = (a k + b k )X k n+m a i b j X k. i+j=k k=0 1. Polynomit Tässä luvussa tarkastelemme polynomien muodostamia renkaita polynomien ollisuutta käsitteleviä perustuloksia. Teemme luvun alkuun kaksi sopimusta: Tässä luvussa X on muodollinen symboli, jota

Lisätiedot