on Abelin ryhmä kertolaskun suhteen. Tämän joukon alkioiden lukumäärää merkitään

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "on Abelin ryhmä kertolaskun suhteen. Tämän joukon alkioiden lukumäärää merkitään"

Transkriptio

1 5. Primitiivinen alkio 5.1. Täydennystä lukuteoriaan. Olkoon n Z, n 2. Palautettakoon mieleen, että kokonaislukujen jäännösluokkarenkaan kääntyvien alkioiden muodostama osajoukko Z n := {x Z n x on kääntyvä} on Abelin ryhmä kertolaskun suhteen. Tämän joukon alkioiden lukumäärää merkitään ϕ(n). Näin määriteltyä funktiota ϕ kutsutaan Eulerin ϕ-funktioksi (englanninkielessä myös Euler s totient). Kun palautetaan mieleen kääntyvyyden karakterisointi suurimman yhteisen tekijän avulla, saadaan myös ϕ(n) = joukon {a {1, 2,..., n 1} syt(a, n) = 1} alkioiden lukumäärä. Olkoon nyt äärellinen K kunta, jossa on q alkiota. Tällöin sen kääntyvien alkioiden joukko K = K \ {0} on kertolaskun suhteen Abelin ryhmä. Ryhmän (K, ) kertaluku on q 1. Palautetaan mieleen, että (multiplikatiivinen) ryhmä on G syklinen, jos on olemassa alkio g G siten, että G = g = {g k k Z}. Osoitetaan seuraavaksi, että äärellisen kunnan multiplikatiivinen ryhmä K on syklinen. Tämän todistamiseksi riittää osoittaa, että on olemassa ainakin yksi alkio g K, jonka kertaluku on q 1. Väitteen todistus tulee antamaan hieman enemmän: jokaista luvun q 1 tekijää d kohti on olemassa alkioita, joiden kertaluku on d. Lisäksi tällaisten alkioiden lukumäärä pystytään laskemaan. Väitteen todistamiseksi tarvitaan Eulerin ϕ-funktioon liittyvä kaunis kaava: Lause 5.1. Olkoon n positiivinen kokonaisluku. Tällöin ϕ(d) = n, d Z + d n missä summa lasketaan kaikille sellaisille luvuille d Z +, jotka jakavat luvun n. Ennen lauseen todistamista yleisesti tarkastellaan yksinkertaista numeerista esimerkkiä, josta todistuksen idea selviää. Luvun n = 6 jakajat ovat d {1, 2, 3, 6} =: D. Osamäärät j, missä j {1,..., 6}, voidaan esittää supistetussa muodossa ja sen jälkeen ne voidaan ryhmitellä nimittäjän mukaan 6 seuraavasti: T := { j 6 j {1,..., 6}} = { 1 6, 1 3, 1 2, 2 3, 5 6, 1 1 } = S 1 S 2 S 3 S 6, missä S 1 = { 1}, S 1 2 = { 1}, S 2 3 = { 1, 2} ja S = { 1, 5 }, t.s. yleisesti jokaiselle d D 6 6 on S d := { t t {1,..., d} ja syt(t, d) = 1}. Tässä esimerkkitilanteessa joukko d T jakautuu pistevieraisiin osiin S d, joten joukkojen alkioiden lukumääriä on helppo verrrata. Vastaava voidaan tehdä yleisesti. Todistus. Olkoot D := {d Z + d n}, T := { j j {1,..., n}} ja n S d := { t t {1,..., d} ja syt(t, d) = 1}, kun d D. d Tällöin joukon T alkioiden lukumäärä on n ja joukon S d vastaavasti ϕ(d). Osoitetaan, että T = d D S d, ja että joukot S d ovat pistevieraita. Kun tämä osoitettu, väite seuraa välittömsti. 12 Viimeksi muutettu

2 T d D S d: Joukon T jokainen luku on muotoa j jollekin j {1,..., n}. Olkoon n s := syt(j, n). Tällöin on olemassa kokonaisluvut t ja d siten, että j = t s ja n = d s. Luvuille t ja d on syt(t, d) = 1, t {1,..., d}, d {1,..., n} ja d n, joten d D ja j = t S n d d. T d D S d: Olkoot d D, jolloin tyypillinen joukon S d luku on muotoa t, missä d t {1,..., d}. Olkoot s := n ja j := t s. Tällöin s Z d +, j {1,..., n} ja t = j, d n joten t T. d S d S d =, kun d d : Tehdään antiteesi: on olemassa d, d D siten, että d d, mutta S d S d. Olkoon r S d S d. Tällöin on olemassa t {1,..., d} ja t {1,..., d } siten, että r = t = t ja syt(t, d) = 1 ja syt(t, d ) = 1. Tällöin d d t d = t d. Koska syt(t, d) = 1 ja d t d = t d, on d d, joten on olemassa k Z + siten, että d = k d. Siis t d = t d = t k d, joten t = t d = t k. Mutta tällöin luvuilla t ja d on yhteinen tekijä k, mikä on vastoin oletusta lukuunottamatta sitä tilannetta, että k = 1. Mutta jos k = 1, olisi d = d, mikä on vastoin oletusta. Siis antiteesi on väärä, ja S d S d = Täydennystä ryhmäteoriaan. Lauseen 5.7 ( K on syklinen ryhmä ) todistuksessa tarvitaan ryhmän alkion kertalukuun liittyviä tuloksia, ennen kaikkea lauseen 5.6 tulosta, ja muistin virkistämiseksi seuraavaan on kerätty tärkeimmät käsitteet ja tulokset (hieman täydentäen) Algebran kurssilta. Olkoon G äärellinen ryhmä (siis ryhmä, jossa on äärellisen monta alkiota; ryhmän laskutoimitus merkittäköön tässä kertolaskuna ja neutraalialkio e). Ryhmän G kertaluku on sen alkioiden lukumäärä. Ryhmän G alkion g kertaluku on joukon g := {g k k Z} alkioiden lukumäärä. Joukko g on itse asiassa helppo todeta ryhmäksi (laskutoimituksena alkuperäinen kertolasku). Tätä varten pitää lähinnä huomata, että ryhmän G alkion g potensseille g k on voimassa g k g l = g k+l. Muotoa g = {g k k Z} olevaa ryhmän osajoukkoa kutsutaan alkion g virittämäksi sykliseksi aliryhmäksi. Yleisemmin ryhmän G osajoukko H on aliryhmä, jos se sisältää neutraalialkion e, ja jos kaikille g, h H on voimassa g h 1 H. Yhtäpitäväksi ehdoksi voidaan osoittaa: e H ja kaikille g, h H on voimassa g h H ja h 1 H. Kun tarkastellaan äärellisen ryhmän G alkion g virittämää aliryhmää g = {g k k Z}, on selvää, että alkiot g k eivät voi olla keskenään erisuuria, vaan on olemassa k, l Z, siten, että g k = g l ja k l. Oletetaan, että k > l. Koska alkiolla g l on käänteisalkio g l, saadaan g k l = g k g l = e. Siis jokaiselle alkiolla g on olemassa k Z siten, että g k = e ja k > 0. Olkoon nyt d pienin positiivinen kokonaisluku, jolle g d = e. Osoitetaan, että alkion g kertaluku on d, tarkemmin, että g = {g k k {1, 2,..., d}}. Riittää osoittaa, että jokainen h g on esitettävissä muodossa h = g k, missä k {1, 2,..., d}. Olkoon h = g k, missä k Z. Jakoyhtälön nojalla on olemassa q, r Z siten, että k = q d + r, missä 0 r < d. Koska g d = e, saadaan g k = g q d g r = (g d ) q g r = e q g r = g r. Jos r > 0, on g k = g r vaadittua muotoa. Jos taas r = 0, on g k = g 0 = e = g d, joten g k voidaan nytkin esittää halutussa muodossa. Todetaan lisäksi, että alkiot g k, k {1, 2,..., d}, ovat kaikki keskenään erisuuria. Nimittäin, jos olisi g k = g l joillekin k, l {1, 2,..., d}, joille k l, saataisiin g k l = e. Jos k > l, on 0 < k l < d, joten g k l = e eksponentille, joka on aidosti pienempi 30

3 kuin d, mikä on vastoin luvun d valintaa. Vastaavasti, jos k < l, olisi g l k = e ja 0 < l k < d. Aliryhmän g = {g k k Z} lisänimi syklinen selittyy edellisellä ominaisuudella: kuvaus Z, k g k, on d-jaksoinen. Äärellisen ryhmän alkion kertaluvun käyttäytymistä rajaa seuraava: Lause 5.2. Olkoot G äärellinen ryhmä ja g G. a) Tällöin alkion g kertaluku jakaa ryhmän G kertaluvun. b) Jos ryhmän G kertaluku on D, on g D = e kaikille g G. Todistus. a) Olkoot H := g ja x H := {x h h H}, kun x G. Osoitetaan aluksi, että jos x G ja y G, niin joko (x H) (y H) = tai x H = y H. Tätä varten oletetaan, että (x H) (y H). Olkoon g (x H) (y H). Tällöin on olemassa h H ja h H siten, että g = x h = y h. Osoitetaan, että x H y H. Tätä varten olkoon z x H. Olkoon h H siten, että z = x h. Pitäisi osoittaa, että z voidaan esittää muodossa y h, missä h H. Ehdosta x h = y h saadaan x = y h h 1, joten z = x h = y h h 1 h. Koska H on ryhmän G aliryhmä, on h h 1 h H, joten alkiolla z on vaadittu esitys. Todetaan seuraavaksi, että jokaisessa joukossa x H, x G, on yhtä monta alkiota kuin joukossa H, jossa niitä on alkion g kertaluvun osoittama määrä. Tämä seuraa siitä, että kuvaus f x : H x H, f x (h) := x h, on bijektio; sen käänteiskuvaus on (f x ) 1 = f x 1. Joukko G voidaan esittää yhdisteenä G = x G x H (huomaa: x x H, koska e H ja x e = x). Olkoon N keskenään eri joukkojen x H, x G, lukumäärä (todistuksen alun nojalla kaksi joukkoa x H ovat joko samat tai pistevieraat). Valitaan nyt jokaisesta joukosta x H, x G, yksi edustaja x j siten, että vastaavat joukot x j H, 1 j N, ovat pistevieraita. Tällöin G = N j=1 x j H on pistevieraiden joukkojen yhdiste, joten 31 joukon G alkioiden lukumäärä = N joukon x j H alkioiden lukumäärä, j=1 t.s. ryhmän G kertaluku = N joukon H alkioiden lukumäärä. Koska joukon H alkioiden lukumäärä on alkion g kertaluku, väite seuraa tästä. b) Jos alkion g kertaluku on d, on a-kohdan nojalla d D, t.s. D = d k jollekin k Z +. Tällöin g D = (g d ) k = e k = e. Huomautus 5.3. Edellisellä lauseella ja sen todistuksella on seuraava luonnollisemman oloinen yleistys, joka tunnetaan Lagrangen lauseena: Olkoot G äärellinen ryhmä ja H sen aliryhmä. Tällöin aliryhmän H kertaluku jakaa ryhmän G kertaluvun. Tämän osoittamiseksi määritellään joukkoon G relaatio asettamalla x y, jos y 1 x H. Aliryhmältä vaadittujen ominaisuuksien nojalla on helppo todeta, että relaatio on ekvivalenssirelaatio (todistus jätetään lukijan tehtäväksi). Alkion

4 x ekvivalenssiluokka on joukko [x] = {y G y x} = {y G x 1 y H} = {y G y = x h jollekin h H} =: x H Tässä määriteltyä joukkoa x H = {x h h H} kutsutaan alkion x määräämäksi vasemmaksi sivuluokaksi. Ekvivalenssirelaation yleisten ominaisuuksien nojalla sivuluokat x H, x G, muodostavat joukon G osituksen, G = x G x H, missä kahdelle eri alkiolle x G ja x G sivuluokat x H ja x H ovat joko samat tai pistevieraat. Lauseen todistuksen mukaan kuvaus f x : H x H, f x (h) := x h, on bijektio, joten kaikissa sivuluokissa on yhtä monta alkiota kuin aliryhmässä H. Päättely päätetään kuten lauseen todistuksessa. Lause 5.4. Olkoot G äärellinen ryhmä, g G ja k Z. Tällöin g k = e, jos ja vain jos alkion g kertaluku jakaa luvun k. Todistus. Olkoon alkion g kertaluku d. Jos d k, on olemassa l Z siten, että k = d l. Tällöin g k = (g d ) l = e l = e. Oletetaan kääntäen, että g k = e. Jakoyhtälön nojalla on olemassa q, r Z siten, että k = q d + r ja 0 r < d. Tällöin e = g k = (g d ) q g r = e q g r = g r. Koska g r = e ja 0 r < d, on alkion g kertaluvun määritelmän nojalla oltava r = 0. Siis k = q d, joten d k. Seuraus 5.5. Olkoot G äärellinen ryhmä, g G ja l, m Z. Tällöin g l = g m, jos ja vain jos l m mod d, missä d on alkion g kertaluku. Todistus. Sovelletaan edellistä lausetta lukuun k := l m. Lause 5.6. Olkoot G äärellinen ryhmä, g G ja k Z. Tällöin alkion g k kertaluku on d/ syt(d, k), missä d on alkion g kertaluku. Todistus. Olkoon alkion g k kertaluku c. Merkitään d := d/ syt(d, k) ja k := k/ syt(d, k). Ensinnäkin (huomaa: k/ syt(d, k) Z) (g k ) d/ syt(d,k) = (g d ) k/ syt(d,k) = e k/ syt(d,k) = e. Lauseen 5.4 nojalla alkion g k kertaluku c jakaa luvun d = d/ syt(d, k). Jos taas (g k ) l = e, on g k l = e, joten lauseen 5.4 nojalla alkion g kertaluku d jakaa luvun k l. Tällöin d jakaa luvun k l. Koska syt(d, k ) = 1, jakaa d luvun l. Pienin positiivinen kokonaisluku l, jolle (g k ) l = e, on alkion g k kertaluku c. Siis d jakaa myös luvun c. Koska c jakaa luvun d ja d jakaa luvun c, on c = d. Lauseesta kannattaa tulevaa ajatellen huomata seuraava: Jos alkion g G kertaluku on d, niin myös alkion g k kertaluku on d, jos ja vain jos syt(d, k) = 1. Lisäksi, koska potenssit g k, 1 k d, ovat keskenään erisuuria, on ryhmässä G ainakin ϕ(d) alkiota, jonka kertaluku on d Primitiivinen alkio. Palataan äärellisen kunnan K nollasta eroavien alkioiden muodostamaan Abelin ryhmään K. Seuraava lause kertoo alkioiden kertaluvun avulla, millaisia alkioita joukossa K on, ja Eulerin ϕ-funktio puolestaan paljonko kyseisiä alkioita on. 32

5 Lause 5.7. Olkoon K äärellinen kunta, jossa on q alkiota. Tällöin jokaiselle luvun q 1 jakajalle d ryhmässä K on täsmälleen ϕ(d) alkiota, jonka kertaluku on d. Erityisesti ryhmässä K on ϕ(q 1) alkiota, jonka kertaluku on q 1. Todistus. Koska ryhmässä K on q 1 alkiota, on sen jokaisen alkion kertaluku luvun q 1 tekijä (lause 5.2). Olkoon d luvun q 1 tekijä. Olkoon ψ(d) kaikkien niiden ryhmän K alkioiden lukumäärä, joiden kertaluku on d. Väite seuraa, kun osoitetaan, että ψ(d) = ϕ(d). Oletetaan aluksi, että ψ(d) > 0, ja osoitetaan tämän avulla, että ψ(d) = ϕ(d). Ehto ψ(d) > 0 merkitsee, että ryhmässä K on ainakin yksi alkio, jonka kertaluku on d. Olkoon a K, jonka kertaluku on d. Alkion potenssit a e, 0 e < d, ovat keskenään erisuuria, koska alkion a kertaluku on d. Toisaalta, jokainen potenssi a e on polynomin x d 1 nollakohta, koska (a e ) d 1 = (a d ) e 1 = 0. Koska polynomin x d 1 aste on d, on sillä enintään d nollakohtaa. (Tämä kaipaa hieman lisäperusteluja; Rabinin salaimen yhteydessä nähtiin, että alkiolla [c] n Z n voi olla neljä neliöjuurta, t.s. polynomilla voi olla astelukuaan enemmän nollakohtia.) Siis tässä tilanteessa polynomilla x d 1 on täsmälleen d nollakohtaa, ja ne ovat potenssit a e, 0 e < d. Se, että alkion kertaluku on d tarkoittaa, että se on polynomin x d 1 nollakohta, joten jokainen kertalukua d oleva alkio on jokin alkion a potenssi a e. Aiemmin todistetun nojalla alkion a potenssin a e kertaluku on d, jos ja vain jos syt(e, d) = 1. Kertalukua d olevia alkioita on siis yhtä monta kuin lukuja e, joille 0 e < d ja syt(e, d) = 1. Tällaisia lukuja on ϕ(d) kappaletta. Siis kertalukua d olevia alkioita on ϕ(d) kappaletta, jos sellaisia ylipäätään on olemassa. Osoitetaan lopuksi, että ψ(d) > 0 jokaiselle luvun q 1 tekijälle. Tehdään antiteesi: Luvulla q 1 on tekijä d siten, että ψ(d) = 0. Todistuksen alkuosassa osoitettiin, että jos ψ(d) > 0, niin ψ(d) = ϕ(d). Jos taas ψ(d) = 0, niin 0 = ψ(d) < ϕ(d). Koska ryhmän K jokaisen alkion kertaluku on luvun q 1 tekijä, antaa summa d Z +, d q 1 ψ(d) ryhmän K alkioiden lukumäärään. Siis edellisessä lauseessa Eulerin ϕ-funktiolle todistetun kaavan nojalla saadaan q 1 = ψ(d) < ϕ(d) = q 1. d Z +, d q 1 d Z +, d q 1 Päädytään ristiriitaan, jos oletetaan, että ψ(d) = 0 jollekin luvun q 1 tekijälle d. Määritelmä 5.8. Olkoon K äärellinen kunta. Alkiota g K, jonka virittämä ryhmä g = {g k k Z} on K, kutsutaan kunnan K primitiiviseksi alkioksi (tai kunnan K primitiiviseksi [(q 1). yksikkö-]juureksi, kun q := K ). Edellisen lauseen nojalla äärellisellä kunnalla, jossa on q alkiota, on ϕ(q 1) primitiivistä alkiota. Huomautus 5.9. Edellisesta lauseesta 5.7 tarvitaan ennenkaikkea tieto, että jokaisella äärellisellä kunnalla on primitiivinen alkio. Tämä voitaisiin todistaa yksinkertaisemminkin. Nimittäin, äärellisen kunnan jokaisella nollasta eroavalla alkiolla on äärellinen kertaluku. Koska näitä kertalukuja on äärellisen monta, voidaan niistä valita suurin. Olkoon se d, ja olkoon a K jokin alkio, jonka kertaluku on d. Tällöin potenssit a, a 2,..., a d = 1 ovat keskenään erisuuret. Ne ovat polynomin x d 1 nollakohtia, ja koska niitä on asteluvun mukaiset d kappaletta, muita nollakohtia polynomilla x d 1 ei ole. Jos d < q 1, on olemassa b K, joka ei ole mikään alkion 33

6 a potenssi. Suurimmalla kertaluvulla d on kuitenkin se ominaisuus, että minkä tahansa muun alkion kertaluku jakaa kertaluvun d. Erityisesti alkion b kertaluvun pitäisi jakaa d. Mutta jos alkion b kertaluku jakaa luvun b, toteuttaa b yhtälön b d 1 = 0. Tällöin b olisi polynomin x d 1 nollakohtia, joten se olisi jokin potensseista a, a 2,..., a d = 1. Päädytään ristiriitaan. Katso tarkemmin [3, luku VIII, 3] tai [2, 1.7]. Edellä esitetyn todistuksen etuna tähän päättelyyn nähden on, että se kertoo jotain erilaisten alkioiden lukumääristä Eulerin ϕ-funktion avulla. Haittapuolelle jää se, että lauseelle 5.7 esitetty todistus ei ole sen konstruktiivisempi kuin tässä esitetty todistushahmotelma Gaussin algoritmi primitiivisen alkion määräämiseksi. Seuraavassa alkion a kertalukua ryhmässä G merkitään ord G (a) tai lyhyesti ord(a). Lauseen 5.6 nojalla ryhmästä G valitun alkion a potenssien a k kertaluvut ovat enintään alkion a kertaluvun suuruisia. Etsittäessä äärelliselle kunnalla K primitiivistä alkiota, tarvitaan jokin menetelmä, jolla jo valitun alkion kertalukua voidaan nostaa. Seuraava lemma antaa idean siihen, miten kertaluku saadaan kasvamaan nopeimmin. Ryhmän laskutoimitus olkoon kertolasku, vaikka ryhmä oletetaankin kommutatiiviseksi (tulosta on tarkoitus soveltaa ryhmään (K, )). Lemma Olkoot G äärellinen Abelin ryhmä ja a, b G siten, että niiden kertaluvut ovat keskenään jaottomat, syt(ord(a), ord(b)) = 1. Tällöin ord(a b) = ord(a) ord(b). Todistus. Olkoot n := ord(a), m := ord(b) ja k := ord(a b). Tällöin joten k n m. Toisaalta (a b) n m = a n m b n m = (a n ) m (b m ) n = e m e n = e, e = e n = (a b) n k = (a n ) k b n k = e k b n k = b n k, joten m n k. Koska syt(n, m) = 1, on m k. Vastaavalla tavalla todetaan, että n k. Koska syt(n, m) = 1, on n m k. Siis k = n m. Gaussin algoritmi antaa menetelmän, jolla löydetään jono alkioita a j K siten, että ord(a 1 ) < ord(a 2 ) <.... Koska alkioiden kertaluvut ovat kokonaislukuja ja kunnassa K on vain äärellisen monta alkiota, näin saatu jono päättyy alkioon, jonka pitää olla kunnan primitiivinen alkio. 1 Valitaan a 1 K, a 1 0. Olkoon t 1 := ord(a 1 ). 2 Jos t 1 = q 1, niin a 1 on kunnan K primitiivinen alkio. 3 Jos t 1 < q 1, valitaan b K \ a 1. Olkoon s := ord(b). Jos s = q 1, niin b on kunnan K primitiivinen alkio. 4 Jos s < q 1, määrätään luvut d ja e Z + siten, että d t 1, e s, syt(d, e) = 1 ja d e = pyj(t 1, s). Asetetaan a 2 := a t 1/d 1 b s/e ja t 2 := pyj(t 1, s). Vaihdetaan edellä alion a 1 tilalle a 2 ja luvun t 1 tilalle t 2, ja toistetaan kohdasta 2. Todistuksen sijasta tyydytään muutamaan selittävään kommentiin: (i) Alkion b kertaluku s ei voi olla luvun t 1 tekijä; muutoin olisi b t 1 = 1, jolloin b olisi yhtälön x t 1 1 = 0 juuri. Mutta tällä yhtälöllä on jo t 1 eri juurta a j 1, 1 j t 1, ja b siis kuuluisi joukkoon a 1. Tästä seuraa myös, että pyj(t 1, s) > t 1. 34

7 (ii) Kohdan 4 väite luvuille d ja e on yleinen: Kun m Z + ja n Z +, niin on olemassa luvut d ja e siten, että d m, e n, syt(d, e) = 1 ja d e = pyj(m, n). Väite on helppo todistaa esimerkiksi aritmetiikan peruslauseen avulla (ja jätetään lukijan tehtäväksi). (iii) Kohdassa 4 alkion a t 1/d 1 kertaluku on d ja alkion b s/e kertaluku on e. Edellisen lemman nojalla näiden tulon kertaluku on d e = pyj(t 1, s) > t 1. 35

d Z + 17 Viimeksi muutettu

d Z + 17 Viimeksi muutettu 5. Diffien ja Hellmanin avaintenvaihto Miten on mahdollista välittää salatun viestin avaamiseen tarkoitettu avain Internetin kaltaisen avoimen liikennöintiväylän kautta? Kuka tahansahan voi (ainakin periaatteessa)

Lisätiedot

n (n 1) avainten vaihtoa. Miljoonalle käyttäjälle avainten vaihtoja tarvittaisiin

n (n 1) avainten vaihtoa. Miljoonalle käyttäjälle avainten vaihtoja tarvittaisiin 3. RSA Salausjärjestelmien käytön perusongelma oli pitkään seuraava: Kun Liisa ja Pentti haluavat vaihtaa salakirjoitettuja viestejä keskenään ja jos heidän käyttämänsä salausmenetelmä on symmetrinen,

Lisätiedot

7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi

7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi 7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi Z p [x]/(m), missä m on polynomirenkaan Z p [x] jaoton polynomi (ks. määritelmä 3.19).

Lisätiedot

R 1 = Q 2 R 2 + R 3,. (2.1) R l 2 = Q l 1 R l 1 + R l,

R 1 = Q 2 R 2 + R 3,. (2.1) R l 2 = Q l 1 R l 1 + R l, 2. Laajennettu Eukleideen algoritmi Määritelmä 2.1. Olkoot F kunta ja A, B, C, D F [x]. Sanotaan, että C jakaa A:n (tai C on A:n jakaja), jos on olemassa K F [x] siten, että A = K C; tällöin merkitään

Lisätiedot

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Jarmo Niemelä. Primitiivisistä juurista ja. alkuluokkaryhmistä

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Jarmo Niemelä. Primitiivisistä juurista ja. alkuluokkaryhmistä TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Jarmo Niemelä Primitiivisistä juurista ja alkuluokkaryhmistä Matematiikan, tilastotieteen ja filosofian laitos Matematiikka Marraskuu 2000 2 TAMPEREEN YLIOPISTO

Lisätiedot

R : renkaan R kääntyvien alkioiden joukko; R kertolaskulla varustettuna on

R : renkaan R kääntyvien alkioiden joukko; R kertolaskulla varustettuna on 0. Kertausta ja täydennystä Kurssille Äärelliset kunnat tarvittavat esitiedot löytyvät Algebran kurssista [Alg]. Hyödyksi voivat myös olla (vaikka eivät välttämättömiä) Lukuteorian alkeet [LTA] ja Salakirjoitukset

Lisätiedot

Fermat n pieni lause. Heikki Pitkänen. Matematiikan kandidaatintutkielma

Fermat n pieni lause. Heikki Pitkänen. Matematiikan kandidaatintutkielma Fermat n pieni lause Heikki Pitkänen Matematiikan kandidaatintutkielma Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kevät 2009 Sisältö Johdanto 3 1. Fermat n pieni lause 3 2. Pseudoalkuluvut

Lisätiedot

rm + sn = d. Siispä Proposition 9.5(4) nojalla e d.

rm + sn = d. Siispä Proposition 9.5(4) nojalla e d. 9. Renkaat Z ja Z/qZ Tarkastelemme tässä luvussa jaollisuutta kokonaislukujen renkaassa Z ja todistamme tuloksia, joita käytetään jäännösluokkarenkaan Z/qZ ominaisuuksien tarkastelussa. Jos a, b, c Z ovat

Lisätiedot

Esko Turunen MAT Algebra1(s)

Esko Turunen MAT Algebra1(s) Määritelmä (4.1) Olkoon G ryhmä. Olkoon H G, H. Jos joukko H varustettuna indusoidulla laskutoimituksella on ryhmä, se on ryhmän G aliryhmä. Jos H G on ryhmän G aliryhmä, merkitään usein H G, ja jos H

Lisätiedot

a 2 ba = a a + ( b) a = (a + ( b))a = (a b)a, joten yhtälö pätee mielivaltaiselle renkaalle.

a 2 ba = a a + ( b) a = (a + ( b))a = (a b)a, joten yhtälö pätee mielivaltaiselle renkaalle. Harjoitus 10 (7 sivua) Ratkaisuehdotuksia/Martina Aaltonen Tehtävä 1. Mitkä seuraavista yhtälöistä pätevät mielivaltaisen renkaan alkioille a ja b? a) a 2 ba = (a b)a b) (a + b + 1)(a b) = a 2 b 2 + a

Lisätiedot

ALKULUKUJA JA MELKEIN ALKULUKUJA

ALKULUKUJA JA MELKEIN ALKULUKUJA ALKULUKUJA JA MELKEIN ALKULUKUJA MINNA TUONONEN Versio: 12. heinäkuuta 2011. 1 2 MINNA TUONONEN Sisältö 1. Johdanto 3 2. Tutkielmassa tarvittavia määritelmiä ja apulauseita 4 3. Mersennen alkuluvut ja

Lisätiedot

Jarkko Peltomäki. Aliryhmän sentralisaattori ja normalisaattori

Jarkko Peltomäki. Aliryhmän sentralisaattori ja normalisaattori Jarkko Peltomäki Aliryhmän sentralisaattori ja normalisaattori Matematiikan aine Turun yliopisto Syyskuu 2009 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Määritelmiä ja perusominaisuuksia 3 2.1 Aliryhmän sentralisaattori ja

Lisätiedot

Äärellisesti generoitujen Abelin ryhmien peruslause

Äärellisesti generoitujen Abelin ryhmien peruslause Tero Harju (2008/2010) Äärellisesti generoitujen Abelin ryhmien peruslause Merkintä X on joukon koko ( eli #X). Vapaat Abelin ryhmät Tässä kappaleessa käytetään Abelin ryhmille additiivista merkintää.

Lisätiedot

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 9 (6 sivua) OT

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 9 (6 sivua) OT Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 9 (6 sivua) 28.3.-1.4.2011 OT 1. a) Osoita, että rengas R = {[0] 10, [2] 10, [4] 10, [6] 10, [8] 10 } on kokonaisalue. Mikä

Lisätiedot

Mitään muita operaatioita symbolille ei ole määritelty! < a kaikilla kokonaisluvuilla a, + a = kaikilla kokonaisluvuilla a.

Mitään muita operaatioita symbolille ei ole määritelty! < a kaikilla kokonaisluvuilla a, + a = kaikilla kokonaisluvuilla a. Polynomit Tarkastelemme polynomirenkaiden teoriaa ja polynomiyhtälöiden ratkaisemista. Algebrassa on tapana pitää erillään polynomin ja polynomifunktion käsitteet. Polynomit Tarkastelemme polynomirenkaiden

Lisätiedot

a b 1 c b n c n

a b 1 c b n c n Algebra Syksy 2007 Harjoitukset 1. Olkoon a Z. Totea, että aina a 0, 1 a, a a ja a a. 2. Olkoot a, b, c, d Z. Todista implikaatiot: a) a b ja c d ac bd, b) a b ja b c a c. 3. Olkoon a b i kaikilla i =

Lisätiedot

koska 2 toteuttaa rationaalikertoimisen yhtälön x 2 2 = 0. Laajennuskunnan

koska 2 toteuttaa rationaalikertoimisen yhtälön x 2 2 = 0. Laajennuskunnan 4. Äärellisten kuntien yleisiä ominaisuuksia 4.1. Laajenuskunnat. Tarkastellaan aluksi yleistä kuntaparia F ja K, missä F on kunnan K alikunta. Tällöin sanotaan, että kunta K on kunnan F laajennuskunta

Lisätiedot

Liite 2. Ryhmien ja kuntien perusteet

Liite 2. Ryhmien ja kuntien perusteet Liite 2. Ryhmien ja kuntien perusteet 1. Ryhmät 1.1 Johdanto Erilaisissa matematiikan probleemoissa törmätään usein muotoa a + x = b tai a x = b oleviin yhtälöihin, joissa tuntematon muuttuja on x. Lukujoukkoja

Lisätiedot

Esimerkki A1. Jaetaan ryhmä G = Z 17 H = 4 = {1, 4, 4 2 = 16 = 1, 4 3 = 4 = 13, 4 4 = 16 = 1}.

Esimerkki A1. Jaetaan ryhmä G = Z 17 H = 4 = {1, 4, 4 2 = 16 = 1, 4 3 = 4 = 13, 4 4 = 16 = 1}. Jaetaan ryhmä G = Z 17 n H = 4 sivuluokkiin. Ratkaisu: Koska 17 on alkuluku, #G = 16, alkiona jäännösluokat a, a = 1, 2,..., 16. Määrätään ensin n H alkiot: H = 4 = {1, 4, 4 2 = 16 = 1, 4 3 = 4 = 13, 4

Lisätiedot

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 (7 sivua)

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 (7 sivua) Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin ( sivua).... Nämä ovat kurssin Algebra I harjoitustehtävien ratkaisuehdoituksia. Ratkaisut koostuvat kahdesta osiosta,

Lisätiedot

H = H(12) = {id, (12)},

H = H(12) = {id, (12)}, 7. Normaali aliryhmä ja tekijäryhmä Tarkastelemme luvun aluksi ryhmän ja sen aliryhmien suhdetta. Olkoon G ryhmä ja olkoon H G. Alkiong G vasen sivuluokka (aliryhmän H suhteen) on gh = {gh : h H} ja sen

Lisätiedot

2.1. Tehtävänä on osoittaa induktiolla, että kaikille n N pätee n = 1 n(n + 1). (1)

2.1. Tehtävänä on osoittaa induktiolla, että kaikille n N pätee n = 1 n(n + 1). (1) Approbatur 3, demo, ratkaisut Sovitaan, että 0 ei ole luonnollinen luku. Tällöin oletusta n 0 ei tarvitse toistaa alla olevissa ratkaisuissa. Se, pidetäänkö nollaa luonnollisena lukuna vai ei, vaihtelee

Lisätiedot

ja jäännösluokkien joukkoa

ja jäännösluokkien joukkoa 3. Polynomien jäännösluokkarenkaat Olkoon F kunta, ja olkoon m F[x]. Polynomeille f, g F [x] määritellään kongruenssi(-relaatio) asettamalla g f mod m : m g f g = f + m h jollekin h F [x]. Kongruenssi

Lisätiedot

Algebra I, harjoitus 5,

Algebra I, harjoitus 5, Algebra I, harjoitus 5, 7.-8.10.2014. 1. 2 Osoita väitteet oikeiksi tai vääriksi. a) (R, ) on ryhmä, kun asetetaan a b = 2(a + b) aina, kun a, b R. (Tässä + on reaalilukujen tavallinen yhteenlasku.) b)

Lisätiedot

Kuvauksista ja relaatioista. Jonna Makkonen Ilari Vallivaara

Kuvauksista ja relaatioista. Jonna Makkonen Ilari Vallivaara Kuvauksista ja relaatioista Jonna Makkonen Ilari Vallivaara 20. lokakuuta 2004 Sisältö 1 Esipuhe 2 2 Kuvauksista 3 3 Relaatioista 8 Lähdeluettelo 12 1 1 Esipuhe Joukot ja relaatiot ovat periaatteessa äärimmäisen

Lisätiedot

Shorin algoritmin matematiikkaa Edvard Fagerholm

Shorin algoritmin matematiikkaa Edvard Fagerholm Edvard Fagerholm 1 Määritelmiä Määritelmä 1 Ryhmä G on syklinen, jos a G s.e. G = a. Määritelmä 2 Olkoon G ryhmä. Tällöin alkion a G kertaluku ord(a) on pienin luku n N \ {0}, jolla a n = 1. Jos lukua

Lisätiedot

LUKUTEORIA A. Harjoitustehtäviä, kevät 2013. (c) Osoita, että jos. niin. a c ja b c ja a b, niin. niin. (e) Osoita, että

LUKUTEORIA A. Harjoitustehtäviä, kevät 2013. (c) Osoita, että jos. niin. a c ja b c ja a b, niin. niin. (e) Osoita, että LUKUTEORIA A Harjoitustehtäviä, kevät 2013 1. Olkoot a, b, c Z, p P ja k, n Z +. (a) Osoita, että jos niin Osoita, että jos niin (c) Osoita, että jos niin (d) Osoita, että (e) Osoita, että a bc ja a c,

Lisätiedot

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) OT

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) OT Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) 31.1.-4.2.2011 OT 1. Määritellään kokonaisluvuille laskutoimitus n m = n + m + 5. Osoita, että (Z, ) on ryhmä.

Lisätiedot

k=1 b kx k K-kertoimisia polynomeja, P (X)+Q(X) = (a k + b k )X k n+m a i b j X k. i+j=k k=0

k=1 b kx k K-kertoimisia polynomeja, P (X)+Q(X) = (a k + b k )X k n+m a i b j X k. i+j=k k=0 1. Polynomit Tässä luvussa tarkastelemme polynomien muodostamia renkaita polynomien ollisuutta käsitteleviä perustuloksia. Teemme luvun alkuun kaksi sopimusta: Tässä luvussa X on muodollinen symboli, jota

Lisätiedot

2 j =

2 j = 1. Modulaariaritmetiikkaa Yksinkertaisissa salausjärjestelmissä käytettävä matematiikka on paljolti lukuteoriaan pohjautuvaa suurten lukujen modulaariaritmetiikkaa (lasketaan kokonaisluvuilla modulo n).

Lisätiedot

[a] ={b 2 A : a b}. Ekvivalenssiluokkien joukko

[a] ={b 2 A : a b}. Ekvivalenssiluokkien joukko 3. Tekijälaskutoimitus, kokonaisluvut ja rationaaliluvut Tässä luvussa tutustumme kolmanteen tapaan muodostaa laskutoimitus joukkoon tunnettujen laskutoimitusten avulla. Tätä varten määrittelemme ensin

Lisätiedot

Tekijäryhmiä varten määritellään aluksi sivuluokat ja normaalit aliryhmät.

Tekijäryhmiä varten määritellään aluksi sivuluokat ja normaalit aliryhmät. 3 Tekijäryhmät Tekijäryhmän käsitteen avulla voidaan monimutkainen ryhmä jakaa osiin. Ideana on, että voidaan erikseen tarkastella, miten laskutoimitus vaikuttaa näihin osiin kokonaisuuksina, ja jättää

Lisätiedot

Algebra II. Syksy 2004 Pentti Haukkanen

Algebra II. Syksy 2004 Pentti Haukkanen Algebra II Syksy 2004 Pentti Haukkanen 1 Sisällys 1 Ryhmäteoriaa 3 1.1 Ryhmän määritelmä.... 3 1.2 Aliryhmä... 3 1.3 Sivuluokat...... 4 1.4 Sykliset ryhmät... 7 1.5 Ryhmäisomorfismi..... 11 2 Polynomeista

Lisätiedot

Esko Turunen Luku 3. Ryhmät

Esko Turunen Luku 3. Ryhmät 3. Ryhmät Monoidia rikkaampi algebrallinen struktuuri on ryhmä: Määritelmä (3.1) Olkoon joukon G laskutoimitus. Joukko G varustettuna tällä laskutoimituksella on ryhmä, jos laskutoimitus on assosiatiivinen,

Lisätiedot

Syklinen ryhmä Pro Gradu -tutkielma Taava Kuha Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2016

Syklinen ryhmä Pro Gradu -tutkielma Taava Kuha Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2016 Syklinen ryhmä Pro Gradu -tutkielma Taava Kuha Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Ryhmäteoriaa 4 1.1 Ryhmän määritelmä....................... 4 1.2 Kertaluku.............................

Lisätiedot

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto 3. Oletetaan, että kunnan K karakteristika on 3. Tutki,

Lisätiedot

802354A Lukuteoria ja ryhmät Luentorunko Kevät Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Juha-Matti Tirilä, Antti Torvikoski, Topi Törmä

802354A Lukuteoria ja ryhmät Luentorunko Kevät Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Juha-Matti Tirilä, Antti Torvikoski, Topi Törmä 802354A Lukuteoria ja ryhmät Luentorunko Kevät 2014 Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Juha-Matti Tirilä, Antti Torvikoski, Topi Törmä Sisältö 1 Ekvivalenssirelaatio 3 2 Lukuteoriaa 4 2.1 Lukuteorian

Lisätiedot

[E : F ]=[E : K][K : F ].

[E : F ]=[E : K][K : F ]. ALGEBRA II 35 Lause 4.4 (Astelukulause). Olkoot E/K/Fäärellisiä kuntalaajennuksia. Silloin [E : F ]=[E : K][K : F ]. Todistus. Olkoon {α 1,...,α n } kanta laajennukselle E/K ja {β 1,...,β m } kanta laajennukselle

Lisätiedot

Seurauksia. Seuraus. Seuraus. Jos asteen n polynomilla P on n erisuurta nollakohtaa x 1, x 2,..., x n, niin P on muotoa

Seurauksia. Seuraus. Seuraus. Jos asteen n polynomilla P on n erisuurta nollakohtaa x 1, x 2,..., x n, niin P on muotoa Seurauksia Seuraus Jos asteen n polynomilla P on n erisuurta nollakohtaa x 1, x 2,..., x n, niin P on muotoa P(x) = a n (x x 1 )(x x 2 )... (x x n ). Seuraus Astetta n olevalla polynomilla voi olla enintään

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 2 3 Joukko-oppia Tässä luvussa tarkastellaan joukko-opin

Lisätiedot

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 6 (8 sivua) OT. 1. a) Määritä seuraavat summat:

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 6 (8 sivua) OT. 1. a) Määritä seuraavat summat: Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 6 (8 sivua) 21.2.-25.2.2011 OT 1. a) Määritä seuraavat summat: [2] 4 + [3] 4, [2] 5 + [3] 5, [2] 6 + [2] 6 + [2] 6, 7 [3]

Lisätiedot

Algebran ja lukuteorian harjoitustehtäviä. 1. Tutki, ovatko seuraavat relaatiot ekvivalenssirelaatioita joukon N kaikkien osajoukkojen

Algebran ja lukuteorian harjoitustehtäviä. 1. Tutki, ovatko seuraavat relaatiot ekvivalenssirelaatioita joukon N kaikkien osajoukkojen Algebran ja lukuteorian harjoitustehtäviä Versio 1.0 (27.1.2006) Turun yliopisto Lukuteoria 1. Tutki, ovatko seuraavat relaatiot ekvivalenssirelaatioita joukon N kaikkien osajoukkojen joukolla: a) C D

Lisätiedot

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Jussi Tervaniemi. Primitiiviset juuret

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Jussi Tervaniemi. Primitiiviset juuret TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Jussi Tervaniemi Primitiiviset juuret Matematiikan, tilastotieteen ja filosofian laitos Matematiikka Heinäkuu 2006 Sisältö Johdanto 3 1 Lukuteorian peruskäsitteitä

Lisätiedot

Dihedraalinen ryhmä Pro gradu Elisa Sonntag Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2013

Dihedraalinen ryhmä Pro gradu Elisa Sonntag Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2013 Dihedraalinen ryhmä Pro gradu Elisa Sonntag Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2013 Sisältö Johdanto 2 1 Ryhmä 3 2 Symmetrinen ryhmä 6 3 Symmetriaryhmä 10 4 Dihedraalinen ryhmä 19 Lähdeluettelo

Lisätiedot

Luonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen

Luonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen Luonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen LuK-tutkielma Jussi Piippo Matemaattisten tieteiden yksikkö Oulun yliopisto Kevät 2017 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Esitietoja 3 2.1 Joukko-opin perusaksioomat...................

Lisätiedot

Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 7

Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 7 Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 7 2 Alkuluvuista 2.1 Alkuluvut Määritelmä 2.1 Positiivinen luku a 2 on alkuluku, jos sen ainoat positiiviset tekijät ovat 1 ja a. Jos a 2 ei ole alkuluku, se on yhdistetty

Lisätiedot

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus

Lisätiedot

= 5! 2 2!3! = = 10. Edelleen tästä joukosta voidaan valita kolme särmää yhteensä = 10! 3 3!7! = = 120

= 5! 2 2!3! = = 10. Edelleen tästä joukosta voidaan valita kolme särmää yhteensä = 10! 3 3!7! = = 120 Tehtävä 1 : 1 Merkitään jatkossa kirjaimella H kaikkien solmujoukon V sellaisten verkkojen kokoelmaa, joissa on tasan kolme särmää. a) Jokainen verkko G H toteuttaa väitteen E(G) [V]. Toisaalta jokainen

Lisätiedot

x j x k Tällöin L j (x k ) = 0, kun k j, ja L j (x j ) = 1. Alkuperäiselle interpolaatio-ongelmalle saadaan nyt ratkaisu

x j x k Tällöin L j (x k ) = 0, kun k j, ja L j (x j ) = 1. Alkuperäiselle interpolaatio-ongelmalle saadaan nyt ratkaisu 2 Interpolointi Olkoon annettuna n+1 eri pistettä x 0, x 1, x n R ja n+1 lukua y 0, y 1,, y n Interpoloinnissa etsitään funktiota P, joka annetuissa pisteissä x 0,, x n saa annetut arvot y 0,, y n, (21)

Lisätiedot

Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos:

Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos: 8 Kanta Tässä luvussa tarkastellaan aliavaruuden virittäjävektoreita, jotka muodostavat lineaarisesti riippumattoman jonon. Merkintöjen helpottamiseksi oletetaan luvussa koko ajan, että W on vektoreiden

Lisätiedot

Koodausteoria, Kesä 2014

Koodausteoria, Kesä 2014 Koodausteoria, Kesä 2014 Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos Koodausteoria 10 op Kontaktiopetusta 50 h, 26.5. - 26.6. ma 10-14, ti 10-13, to 10-13 Aloitusviikolla poikkeuksellisesti ke 10-13 torstain

Lisätiedot

jonka laskutoimitus on matriisien kertolasku. Vastaavasti saadaan K-kertoiminen erityinen lineaarinen ryhmä

jonka laskutoimitus on matriisien kertolasku. Vastaavasti saadaan K-kertoiminen erityinen lineaarinen ryhmä 4. Ryhmät Tässä luvussa tarkastelemme laskutoimituksella varustettuja joukkoja, joiden laskutoimitukselta oletamme muutamia yksinkertaisia ominaisuuksia: Määritelmä 4.1. Laskutoimituksella varustettu joukko

Lisätiedot

Ideaalit ja tekijärenkaat Ryhmähomomorfismin φ : G G ydin on ryhmän G normaali aliryhmä. Esko Turunen Luku 7. Ideaalit ja tekijärenkaat

Ideaalit ja tekijärenkaat Ryhmähomomorfismin φ : G G ydin on ryhmän G normaali aliryhmä. Esko Turunen Luku 7. Ideaalit ja tekijärenkaat Ideaalit ja tekijärenkaat Ryhmähomomorfismin φ : G G ydin on ryhmän G normaali aliryhmä. Ideaalit ja tekijärenkaat Ryhmähomomorfismin φ : G G ydin on ryhmän G normaali aliryhmä. Rengashomomorfismi ψ :

Lisätiedot

MAT Algebra 1(s)

MAT Algebra 1(s) 8. maaliskuuta 2012 Esipuhe Tämä luentokalvot sisältävät kurssin keskeiset asiat. Kalvoja täydennetään luennolla esimerkein ja todistuksin. Materiaali perustuu Jyväskylän, Helsingin ja Turun yliopistojen

Lisätiedot

1 Algebralliset perusteet

1 Algebralliset perusteet 1 Algebralliset perusteet 1.1 Renkaat Tämän luvun jälkeen opiskelijoiden odotetaan muistavan, mitä ovat renkaat, vaihdannaiset renkaat, alirenkaat, homomorfismit, ideaalit, tekijärenkaat, maksimaaliset

Lisätiedot

Lineaariset ryhmät Pro gradu -tutkielma Miia Lillstrang Matematiikan yksikkö Oulun yliopisto 2016

Lineaariset ryhmät Pro gradu -tutkielma Miia Lillstrang Matematiikan yksikkö Oulun yliopisto 2016 Lineaariset ryhmät Pro gradu -tutkielma Miia Lillstrang 2187044 Matematiikan yksikkö Oulun yliopisto 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Esitietoja 3 1.1 Ryhmät.............................. 3 1.1.1 Ryhmä ja aliryhmä....................

Lisätiedot

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on 13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu

Lisätiedot

g : R R, g(a) = g i a i. Alkio g(a) R on polynomin arvo pisteessä a. Jos g(a) = 0, niin a on polynomin g(x) nollakohta.

g : R R, g(a) = g i a i. Alkio g(a) R on polynomin arvo pisteessä a. Jos g(a) = 0, niin a on polynomin g(x) nollakohta. ALGEBRA II 27 on homomorfismi. Ensinnäkin G(a + b) a + b G(a)+G(b) (f), G(ab) ab G(a)G(b) G(a) G(b) (f), ja koska kongruenssien vasempien ja oikeiden puolten asteet ovat pienempiä kuin f:n aste, niin homomorfiaehdot

Lisätiedot

Algebra I, harjoitus 8,

Algebra I, harjoitus 8, Algebra I, harjoitus 8, 4.-5.11.2014. 1. Olkoon G ryhmä ja H sen normaali aliryhmä. Todista, että tällöin G/H on ryhmä, kun määritellään laskutoimitus joukossa G/H asettamalla aina, kun x, y G (lauseen

Lisätiedot

1. Tarkastellaan esimerkissä 4.9 esiintynyttä neliön symmetriaryhmää

1. Tarkastellaan esimerkissä 4.9 esiintynyttä neliön symmetriaryhmää Ryhmäteoreettinen näkökulma Rubikin kuutioon Matematiikan ja tilastotieteen laitos Syksy 2010 Harjoitus 2 Ratkaisuehdotus 1. Tarkastellaan esimerkissä 4.9 esiintynyttä neliön symmetriaryhmää D 8 = { id,

Lisätiedot

Koodausteoria, Kesä 2014

Koodausteoria, Kesä 2014 Koodausteoria, Kesä 2014 Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 4.7 Syklisen koodin jälkiesitys Olkoon F = F q ja K = F q m kunnan F laajennuskunta. Määritelmä 4.7.1. Kuntalaajennuksen K/F jälkifunktioksi

Lisätiedot

Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma

Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten Ratkaisuehdotelma Tehtävä 1 1. Etsi lukujen 4655 ja 12075 suurin yhteinen tekijä ja lausu se kyseisten lukujen lineaarikombinaationa ilman laskimen

Lisätiedot

Algebra I, Harjoitus 6, , Ratkaisut

Algebra I, Harjoitus 6, , Ratkaisut Algebra I Harjoitus 6 9. 13.3.2009 Ratkaisut Algebra I Harjoitus 6 9. 13.3.2009 Ratkaisut (MV 6 sivua 1. Olkoot M ja M multiplikatiivisia monoideja. Kuvaus f : M M on monoidihomomorfismi jos 1 f(ab = f(af(b

Lisätiedot

Algebran perusteet. 44 ϕ(105) = (105). Näin ollen

Algebran perusteet. 44 ϕ(105) = (105). Näin ollen Algebran perusteet Harjoitus 4, ratkaisut kevät 2016 1 a) Koska 105 = 5 21 = 3 5 7 ja 44 = 2 2 11, niin syt(44, 105) = 1 Lisäksi ϕ(105) = ϕ(3 5 7) = (3 1)(5 1)(7 1) = 2 4 6 = 48, joten Eulerin teoreeman

Lisätiedot

Teema 4. Homomorfismeista Ihanne ja tekijärengas. Teema 4 1 / 32

Teema 4. Homomorfismeista Ihanne ja tekijärengas. Teema 4 1 / 32 1 / 32 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.2 Esimerkki 4B.1 Esimerkki 4B.2 Esimerkki 4B.3 Esimerkki 4C.1 Esimerkki 4C.2 Esimerkki 4C.3 2 / 32 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.2 Esimerkki 4B.1 Esimerkki

Lisätiedot

Konvergenssilauseita

Konvergenssilauseita LUKU 4 Konvergenssilauseita Lause 4.1 (Monotonisen konvergenssin lause). Olkoon (f n ) kasvava jono Lebesgueintegroituvia funktioita. Asetetaan f(x) := f n (x). Jos f n

Lisätiedot

Salausmenetelmät. Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006)

Salausmenetelmät. Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) Salausmenetelmät Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) LUKUTEORIAA JA ALGORITMEJA 3. Kongruenssit à 3.1 Jakojäännös ja kongruenssi Määritelmä 3.1 Kaksi lukua a ja b ovat keskenään kongruentteja (tai

Lisätiedot

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9 Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9 Tuntitehtävät 9-10 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 13-14 loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 11-12 tarkastetaan loppuviikon

Lisätiedot

Tekijäryhmän määrittelemistä varten määritellään aluksi sivuluokat ja normaalit aliryhmät. gh = {gh h H}.

Tekijäryhmän määrittelemistä varten määritellään aluksi sivuluokat ja normaalit aliryhmät. gh = {gh h H}. Tekijäryhmät Tekijäryhmän käsitteen avulla voidaan monimutkainen ryhmä jakaa suuriin, helpommin käsiteltäviin osiin. Tämän jälkeen voidaan erikseen tarkastella, miten laskutoimitus vaikuttaa näihin osiin

Lisätiedot

kaikille a R. 1 (R, +) on kommutatiivinen ryhmä, 2 a(b + c) = ab + ac ja (b + c)a = ba + ca kaikilla a, b, c R, ja

kaikille a R. 1 (R, +) on kommutatiivinen ryhmä, 2 a(b + c) = ab + ac ja (b + c)a = ba + ca kaikilla a, b, c R, ja Renkaat Tarkastelemme seuraavaksi rakenteita, joissa on määritelty kaksi binääristä assosiatiivista laskutoimitusta, joista toinen on kommutatiivinen. Vaadimme muuten samat ominaisuudet kuin kokonaisluvuilta,

Lisätiedot

800333A Algebra I Luentorunko Kevät Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Juha-Matti Tirilä

800333A Algebra I Luentorunko Kevät Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Juha-Matti Tirilä 800333A Algebra I Luentorunko Kevät 2010 Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Juha-Matti Tirilä Sisältö 1 Lukuteorian alkeita 3 1.1 Kongruenssiin liittyviä perustuloksia.............. 7 2 Ekvivalenssirelaatio

Lisätiedot

Luuppien ryhmistä Seminaariesitelmä Miikka Rytty Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2006

Luuppien ryhmistä Seminaariesitelmä Miikka Rytty Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2006 Luuppien ryhmistä Seminaariesitelmä Miikka Rytty Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2006 Sisältö 1 Luupeista 2 1.1 Luupit ja niiden kertolaskuryhmät................. 2 2 Transversaalit 5 3

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä Luonnollisten lukujen joukko N on joukko N = {1, 2, 3,...} ja kokonaislukujen

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 3 Joukko-oppia 4 Funktioista Funktio eli kuvaus on matematiikan

Lisätiedot

(xa) = (x) (a) = (x)0 = 0

(xa) = (x) (a) = (x)0 = 0 11. Ideaalit ja tekijärenkaat Rengashomomorfismi : R! R 0 on erityisesti ryhmähomomorfismi :(R, +)! (R 0, +) additiivisten ryhmien välillä. Rengashomomorfismin ydin määritellään tämän ryhmähomomorfismin

Lisätiedot

802355A Algebralliset rakenteet Luentorunko Syksy Markku Niemenmaa Kari Myllylä Topi Törmä Marko Leinonen

802355A Algebralliset rakenteet Luentorunko Syksy Markku Niemenmaa Kari Myllylä Topi Törmä Marko Leinonen 802355A Algebralliset rakenteet Luentorunko Syksy 2016 Markku Niemenmaa Kari Myllylä Topi Törmä Marko Leinonen Sisältö 1 Kertausta kurssilta Algebran perusteet 3 2 Renkaat 8 2.1 Renkaiden teoriaa.........................

Lisätiedot

4. Eulerin ja Fermat'n lauseet

4. Eulerin ja Fermat'n lauseet 4. Eulerin ja Fermat'n lauseet 4.1 Alkuluokka ja Eulerin φ-funktio Yleensä olemme kiinnostuneita vain niistä jäännösluokista modulo m, joiden alkiot ovat suhteellisia alkulukuja luvun m kanssa. Näiden

Lisätiedot

(x + I) + (y + I) = (x + y)+i. (x + I)(y + I) =xy + I. kaikille x, y R.

(x + I) + (y + I) = (x + y)+i. (x + I)(y + I) =xy + I. kaikille x, y R. 11. Ideaalit ja tekijärenkaat Rengashomomorfismi φ: R R on erityisesti ryhmähomomorfismi φ: (R, +) (R, +) additiivisten ryhmien välillä. Rengashomomorfismin ydin määritellään tämän ryhmähomomorfismin φ

Lisätiedot

3. Kongruenssit. 3.1 Jakojäännös ja kongruenssi

3. Kongruenssit. 3.1 Jakojäännös ja kongruenssi 3. Kongruenssit 3.1 Jakojäännös ja kongruenssi Tässä kappaleessa esitellään kokonaislukujen modulaarinen aritmetiikka (ns. kellotauluaritmetiikka), jossa luvut tyypillisesti korvataan niillä jakojäännöksillä,

Lisätiedot

DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1. Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS

DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1. Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1 Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS Huomautus. Analyysin yksi keskeisimmistä käsitteistä on jatkuvuus! Olkoon A R mielivaltainen joukko

Lisätiedot

(1) refleksiivinen, (2) symmetrinen ja (3) transitiivinen.

(1) refleksiivinen, (2) symmetrinen ja (3) transitiivinen. Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Tietyn ominaisuuden samuus -relaatio on ekvivalenssi; se on (1) refleksiivinen,

Lisätiedot

Tenttiin valmentavia harjoituksia

Tenttiin valmentavia harjoituksia Tenttiin valmentavia harjoituksia Alla olevissa harjoituksissa suluissa oleva sivunumero viittaa Juha Partasen kurssimonisteen siihen sivuun, jolta löytyy apua tehtävän ratkaisuun. Funktiot Harjoitus.

Lisätiedot

Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus.

Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden

Lisätiedot

802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA III BASICS OF NUMBER THEORY PART III

802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA III BASICS OF NUMBER THEORY PART III 802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA III BASICS OF NUMBER THEORY PART III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LUKUTEORIA 1 / 77 Irrationaaliluvuista Määritelmä 1 Luku α C \ Q on

Lisätiedot

Vastaus 1. Lasketaan joukkojen alkiot, ja todetaan, että niitä on 3 molemmissa.

Vastaus 1. Lasketaan joukkojen alkiot, ja todetaan, että niitä on 3 molemmissa. Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }? Vastaus 1. Lasketaan joukkojen alkiot, ja todetaan, että niitä on 3 molemmissa. Vastaus 2. Vertaillaan

Lisätiedot

MAT-41150 Algebra I (s) periodilla IV 2012 Esko Turunen

MAT-41150 Algebra I (s) periodilla IV 2012 Esko Turunen MAT-41150 Algebra I (s) periodilla IV 2012 Esko Turunen Tehtävä 1. Onko joukon X potenssijoukon P(X) laskutoimitus distributiivinen laskutoimituksen suhteen? Onko laskutoimitus distributiivinen laskutoimituksen

Lisätiedot

Eräitä ratkeavuustarkasteluja

Eräitä ratkeavuustarkasteluja Eräitä ratkeavuustarkasteluja Pro gradu-tutkielma Milla Jantunen 2124227 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Kevät 2014 Sisältö 1 Ryhmät ja aliryhmät 3 1.1 Ryhmä...............................

Lisätiedot

Nimittäin, koska s k x a r mod (p 1), saadaan Fermat n pienen lauseen avulla

Nimittäin, koska s k x a r mod (p 1), saadaan Fermat n pienen lauseen avulla 6. Digitaalinen allekirjoitus Digitaalinen allekirjoitus palvelee samaa tarkoitusta kuin perinteinen käsin kirjotettu allekirjoitus, t.s. Liisa allekirjoittaessaan Pentille lähettämän viestin, hän antaa

Lisätiedot

H = : a, b C M. joten jokainen A H {0} on kääntyvä matriisi. Itse asiassa kaikki nollasta poikkeavat alkiot ovat yksiköitä, koska. a b.

H = : a, b C M. joten jokainen A H {0} on kääntyvä matriisi. Itse asiassa kaikki nollasta poikkeavat alkiot ovat yksiköitä, koska. a b. 10. Kunnat ja kokonaisalueet Määritelmä 10.1. Olkoon K rengas, jossa on ainakin kaksi alkiota. Jos kaikki renkaan K nollasta poikkeavat alkiot ovat yksiköitä, niin K on jakorengas. Kommutatiivinen jakorengas

Lisätiedot

verkkojen G ja H välinen isomorfismi. Nyt kuvaus f on bijektio, joka säilyttää kyseisissä verkoissa esiintyvät särmät, joten pari

verkkojen G ja H välinen isomorfismi. Nyt kuvaus f on bijektio, joka säilyttää kyseisissä verkoissa esiintyvät särmät, joten pari Tehtävä 9 : 1 Merkitään kirjaimella G tehtäväpaperin kuvan vasemmanpuoleista verkkoa sekä kirjaimella H tehtäväpaperin kuvan oikeanpuoleista verkkoa. Kuvan perusteella voidaan havaita, että verkko G on

Lisätiedot

Renkaat ja modulit. Tässä osassa käsiteltävät renkaat ovat vaihdannaisia, ellei toisin mainita. 6. Ideaalit

Renkaat ja modulit. Tässä osassa käsiteltävät renkaat ovat vaihdannaisia, ellei toisin mainita. 6. Ideaalit Renkaat ja modulit Tässä osassa käsiteltävät renkaat ovat vaihdannaisia, ellei toisin mainita. 6. Ideaalit Tekijärenkaassa nollan ekvivalenssiluokka on alkuperäisen renkaan ideaali. Ideaalin käsitteen

Lisätiedot

802645S LUKUTEORIA A (5op) Tapani Matala-aho

802645S LUKUTEORIA A (5op) Tapani Matala-aho 802645S LUKUTEORIA A (5op) Tapani Matala-aho 25. lokakuuta 2015 Sisältö 1 Johdanto 3 2 Valittuja kaavoja 4 3 Valittuja jaollisuuden tuloksia 4 4 Renkaan yksikköryhmä 6 5 Eulerin funktio 7 6 Euler-Fermat

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 01 Tero Vedenjuoksu Sisältö 1 Johdanto 3 Esitietoja ja merkintöjä 4 3 Todistamisesta 5 3.1 Suora todistus.............................

Lisätiedot

pdfmark=/pages, Raw=/Rotate 90 3 Valittuja jaollisuuden tuloksia Renkaan yksikköryhmä Eräs kongruenssiryhmä 0-17

pdfmark=/pages, Raw=/Rotate 90 3 Valittuja jaollisuuden tuloksia Renkaan yksikköryhmä Eräs kongruenssiryhmä 0-17 pdfmark=/pages, Raw=/Rotate 90 Sisältö 1 Johdanto 0-3 2 Valittuja kaavoja 0-5 3 Valittuja jaollisuuden tuloksia 0-7 4 Renkaan yksikköryhmä 0-9 5 Eulerin funktio 0-11 6 Euler-Fermat 0-16 7 Eräs kongruenssiryhmä

Lisätiedot

Approbatur 3, demo 5, ratkaisut

Approbatur 3, demo 5, ratkaisut Approbatur 3, demo 5, ratkaisut 51 Tehtävänä on luetella kaikki joukon S 4 alkiot eli neljän alkion permutaatiot Tämä tarkoittaa kaikkia eri tapoja kuvata joukko {1, 2, 3, 4} bijektiivisesti itselleen

Lisätiedot

Johdatus p-adisiin lukuihin

Johdatus p-adisiin lukuihin TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Anne Keskinen Johdatus p-adisiin lukuihin Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Maaliskuu 2010 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos

Lisätiedot

renkaissa. 0 R x + x =(0 R +1 R )x =1 R x = x

renkaissa. 0 R x + x =(0 R +1 R )x =1 R x = x 8. Renkaat Tarkastelemme seuraavaksi rakenteita, joissa on määritelty kaksi assosiatiivista laskutoimitusta, joista toinen on kommutatiivinen. Vaadimme näiltä kahdella laskutoimituksella varustetuilta

Lisätiedot

1 sup- ja inf-esimerkkejä

1 sup- ja inf-esimerkkejä Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Kaarenpituus. Olkoon r: [a, b] R

Lisätiedot

Olkoon seuraavaksi G 2 sellainen tasan n solmua sisältävä suunnattu verkko,

Olkoon seuraavaksi G 2 sellainen tasan n solmua sisältävä suunnattu verkko, Tehtävä 1 : 1 a) Olkoon G heikosti yhtenäinen suunnattu verkko, jossa on yhteensä n solmua. Määritelmän nojalla verkko G S on yhtenäinen, jolloin verkoksi T voidaan valita jokin verkon G S virittävä alipuu.

Lisätiedot

4 Abelin ryhmät. 4.1 Suorat tulot ja summat

4 Abelin ryhmät. 4.1 Suorat tulot ja summat 4 Abelin ryhmät Ensimmäisellä ryhmäteorian kurssilla käytiin läpi lähinnä syklisiä ryhmiä. Tällä kurssilla keskitymme epäkommutatiivisiin esimerkkeihin. On kuitenkin niin, että äärellisesti viritettyjen

Lisätiedot