Salausmenetelmät. Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006)

Transkriptio

1 Salausmenetelmät Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) LUKUTEORIAA JA ALGORITMEJA 3. Kongruenssit à 3.1 Jakojäännös ja kongruenssi Määritelmä 3.1 Kaksi lukua a ja b ovat keskenään kongruentteja (tai a on kongruentti luvun b kanssa) modulo m, jos m jakaa niiden erotuksen a - b, ts. a - b = q m, eräälle q œ. Tätä merkitään kirjoittamalla a ª b Hmod ml. Jakoalgoritmin (Lause 1.1) mukaan luvut a ja b voidaan esittää yksikäsitteisesti muodossa a = q 1 m + r 1 ja b = q 2 m + r 2, 0 r 1, r 2 < m. Tässä a - r 1 = q 1 m ja b - r 2 = q 2 m, joten Määritelmän 3.1 nojalla luku a on kongruentti jakojäännöksen r 1 kanssa ja luku b jakojäännöksen r 2 kanssa. Toisin sanoen on voimassa a ª r 1 Hmod ml ja b ª r 2 Hmod ml, missä r 1 ja r 2 ovat ko. jakojäännökset modulo m. Lisäksi (3.1) a ª b Hmod ml jos ja vain jos jakojäännökset r 1 ja r 2 ovat samat. Perustellaan (3.1) käyttäen edellä esitettyjä merkintöjä seuraavasti: a ª b Hmod ml ñ a - b = q m ñ ( q 1 m + r 1 ) ( q 2 m + r 2 ) = q m ñ r 1 r 2 = (q q 1 + q 2 ) m (tässä kerroin (q q 1 + q 2 ) œ ) ñ r 1 r 2 = 0 (koska 0 r 1, r 2 < m) ñ r 1 = r 2 Näin ollen a ª b Hmod ml täsmälleen silloin, kun luvuilla a ja b on sama jakojäännös modulo m. Mathematica-funktio Mod@a, md antaa jakoalgoritmin a = q 1 m + r 1 mukaisen jakojäännöksen r 1 modulo m.

2 Salakirjoitus 2 Esimerkki 3.1 a = 36; m = 17; Mod@a, md 2 a = 17015; m = 17; Mod@a, md 15 Todellakin 36 = 2* ja = 1000* Seuraavassa esimerkissä testataan ovatko kaksi suurehkoa lukua a ja b keskenään kongruentteja modulo m ( = 17): Esimerkki 3.2 m = 17; a = ; b = ; Mod@a b, md == 0 H vp op palauttaa arvon True jos vp ja op ovat samat L True Vastauksena saatiin siis, että nämä luvut a = ja b = todella ovat kongruentteja keskenään modulo m = 17, ts. a ª b Hmod ml. Näin on koska jakojäännös on = 0, kun a - b jaetaan luvulla m = 17 (ks. Määritelmä 3.1). Osoittautuu, että tässä tapauksessa a - b = *17. Tarkistetaan vielä toisella tavalla, että lukujen a ja b jakojäännökset ovat samat, kun ne jaetaan luvulla m = 17: Mod@a, 17D Mod@b, 17D 9 9 Molemmat jakojäännökset ovat siis = 9. Vielä voidaan laskemalla todeta, että a = * ja b = * Yleisesti jakojäännökset (mod m) ovat 0, 1, 2,..., m - 1. Jokainen kokonaisluku on siis kongruentti (mod m) täsmälleen yhden luvun 0, 1, 2,..., m - 1 kanssa. Kuten aiemmin kohdassa (3.1) todettiin, a ª b Hmod ml täsmälleen silloin, kun luvuilla a ja b on sama jakojäännös r (mod m).

3 Salakirjoitus 3 Harjoituksia 13 Mitkä seuraavista kongruensseista ovat tosia? a) 19 ª 1 (mod 9) b) 19 ª 8 (mod 9) c) 18 ª 0 (mod 9) d) 29 ª 2 (mod 9) 14 Osoita, että a ª b Hmod ml täsmälleen silloin, kun kokonaisluvuilla a ja b on sama jakojäännös modulo m. à 3.2 Jäännösluokka Kokonaislukujen joukon alkiot jakautuvat erillisiin luokkiin siten, että samaan luokkaan kuuluvat luvut ovat kongruentteja keskenään (mod m) - toisin sanoen niillä on sama jakojäännös (mod m). Määritelmä 3.2 (Jäännösluokka) Luvun a määräämä jäännösluokka (mod m), merkitään [a], on joukko [a] = { x œ» x ª a Hmod ml } = { x œ» x - a = qm, q œ } = { x œ» x = a + qm, q œ }. Esimerkki 3.3 Jäännösluokat (mod 2) ovat [0] = { x œ» x ª 0 Hmod 2L } = { x œ» x - 0 = q 2, q œ } = { x œ» x = 2 q, q œ } = parilliset kokonaisluvut [1] = { x œ» x ª 1 Hmod 2L } = { x œ» x - 1 = q 2, q œ } = { x œ» x = 2 q + 1, q œ } = parittomat kokonaisluvut Jäännösluokkia (mod m) on m kappaletta ja ne ovat esimerkiksi [0], [1],..., [m - 1]. Huomaa, että [m] = [0], [m+1] = [1], jne. Lisäksi on voimassa: [a] = [b] ó a ª b Hmod ml. Esimerkki 3.4 Tarkastellaan kokonaislukujen jakautumista jäännösluokkiin modulo 5. Tässä tarvitsee kiinnittää huomio ainoastaan jakojäännökseen. Viidellä jaolliset luvut..., -10, -5, 0, 5, 10,... muodostavat jäännösluokan [0], koska niiden jakojäännös on nolla. Niiden lukujen esiintymistä lukusuoralla, joiden jakojäännös on 2, ts. jotka muodostavat jäännösluokan [2], on hahmoteltu alla:

4 Salakirjoitus 4..., -9, -8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, @2D.... Kaikkiaan on viisi erilaista jäännösluokkaa. Ne ovat seuraavat: [0] = {..., -10, -5, 0, 5, 10,... } [1] = {..., -9, -4, 1, 6, 11,... } [2] = {..., -8, -3, 2, 7, 12,... } [3] = {..., -7, -2, 3, 8, 13,... } [4] = {..., -6, -1, 4, 9, 14,... } Määritelmä 3.3 Jäännösluokkien (mod m) muodostamasta joukkosta käytetään merkintää m. Esimerkki = {[0], [1]} jakojäännökset (mod 2) ovat 0 ja 1 3 = {[0], [1], [2]} jakojäännökset (mod 3) ovat 0, 1 ja 2 4 = {[0], [1], [2], [3]} jakojäännökset (mod 4) ovat 0, 1, 2 ja 3 Harjoituksia 15 Tarkastellaan kokonaislukujen jakautumista jäännösluokkiin modulo 4, ts. tarkastellaan joukkoa 4 = {[0], [1], [2], [3]}. Esitä Esimerkin 3.4 tavalla, mitkä luvut kuuluvat seuraaviin jäännösluokkiin. a) [0] b) [1] c) [2] d) [3]. à 3.3 Täydellinen jäännössysteemi Määritelmä 3.4 Kokonaislukujen joukko {a 1, a 2,,a m } (m kpl) on täydellinen jäännössysteemi (complete residue system) modulo m, jos jokainen kokonaisluku on kongruentti täsmälleen yhden alkion a i, 1 i m, kanssa modulo m. Toisisin sanoen, joukko {a 1, a 2,,a m } on saatu ottamalla yksi luku kustakin jäännösluokkien (mod m) muodostaman joukkon m alkiosta. Muistin virkistämiseksi kerrataan vielä, että m = {@a 1 2 D,,@a m D}. Yleisimmin käytettyjä täydellisiä jäännössysteemejä modulo m ovat joukot 80, 1,, m - 1< ja 81, 2,, m<. Yhtä hyvin voitaisiin valita esim. 8m, m + 1,, 2 m - 1<. Selvästi m kokonaislukua a i, 1 i m, muodostavat täydellisen jäännössysteemin modulo m jos ja vain jos jokaista paria (i, j), 1 i, j m, kohti pätee (3.2) a i ª a j Hmod ml ï i = j. Kongruenssirelaatio ª (modulo m) määrittelee ekvivalenssirelaation (refleksiivinen, symmetrinen ja transitiivinen relaatio) kokonaislukujen joukossa. Täydellinen jäännössysteemi on ekvivalenssiluokkien (m kpl) edustajien muodostama joukko.

5 Salakirjoitus 5 Lemma 3.1 Olkoon kaª kbhmod ml ja sythk, ml = d (> 0), missä k, m > 0. Tällöin a ª b Hmod m ê dl. Todistus: Kirjoitetaan k = k ' d ja m = m' d, missä d = syt(k, m) ja siis sythk ', m'l = 1. Oletuksesta kaª kbhmod ml seuraa Määritelmän 3.1 nojalla, että ka-kb= xm, jollekin x œ. Toisin sanoen Hk ' dl a - Hk ' dl b = x Hm' dl. Ottamalla d puolittain tekijäksi, saadaan d Hk ' a - k ' bl = d Hxm'L, ts. k ' Ha - bl = xm'. Koska sythm', k 'L = 1, seuraa Lemmasta 1.5, että m'»ha-bl, ts. a ª b Hmod m'l. Lemma 3.2 Olkoon {a 1, a 2,,a m } täydellinen jäännössysteemi modulo m ja olkoon sythk, ml = 1. Tällöin {ka 1, ka 2,,ka m } on myös täydellinen jäännössysteemi modulo m. Todistus: Käytetään kriteeriä (3.2). Lemman 3.1 nojalla ehdosta ka i ª ka j Hmod ml seuraa, että a i ª a j Hmod ml, josta edelleen seuraa, että i = j. Harjoituksia 16 Kertaa Lemman 3.1 todistus: Olkoon kaª kbhmod ml ja sythk, ml = d. Tällöin a ª b Hmod m ê dl. 17 Kertaa Lemman 3.2 todistus: Olkoon {a 1, a 2,,a m } täydellinen jäännössysteemi modulo m ja olkoon sythk, ml = 1. Tällöin {ka 1, ka 2,,ka m } on myös täydellinen jäännössysteemi modulo m. à 3.4 Kongruenssien laskusääntöjä Seuraavassa lauseessa saamme kongruensseille mukavia laskusääntöjä. Erityisesti kohtaa 4) tarvitaan hyvin usein tässä kurssissa. Lause 3.3 Olkoon m annettu positiivinen kokonaisluku. Kongruenssi (mod m) toteuttaa seuraavat ehdot: 1) a ª a (mod m) (refleksiivisyys) 2) Jos a ª b (mod m), niin b ª a (mod m) (symmetrisyys) 3) Jos a ª b (mod m) ja b ª c (mod m), niin a ª c (mod m) (transitiivisuus) 4) Jos a ª b (mod m), c ª d (mod m), r œ ja n œ +, niin seuraavat kongruenssit ovat voimassa: (i) (a c) ª (b d) (mod m) (ii) r a ª r b (mod m) (iii) a c ª b d (mod m) (iv) a n ª b n (mod m) 5) Jos k a ª k b (mod m) ja syt(k, m) = 1, niin a ª b (mod m). Todistus: 1) Koska a a = 0 = 0 ÿ m, niin määritelmän nojalla a ª a (mod m).

6 Salakirjoitus 6 2) Jos a ª b (mod m), niin m» a b, ts. a b = k ÿ m Hk œ L. Siis b a = H kl ÿ m, ts. m» b a, ts. b ª a (mod m). 3) Jos a ª b (mod m) ja b ª c (mod m), niin eräille k, l œ pätee a b = k ÿ m ja b c = l ÿ m. Nyt a c = (a b) + (b c) = H k + l L ÿ m, jossa ( k + l ) œ. Siis a ª c (mod m). 4) Olkoon a ª b (mod m), c ª d (mod m), r œ ja n œ +. Tällöin eräille k, l œ pätee a b = k ÿ m ja c d = l ÿ m. (i) Meillä on Ha cl Hb dl = Ha bl Hc dl = k ÿ m l ÿ m = H k l L ÿ m, missä ( k ± l ) œ. Siis Ha cl ª Hb dl (mod m). (ii) Tässä ra rb = r ÿ Ha bl = r ÿ Hk ÿ ml = Hr ÿ kl ÿ m, ja siis ra ª rb (mod m). (iii) Luvut a ja c voidaan kirjoittaa myös muotoon a = b + k ÿ m ja c = d + l ÿ m. Näin ollen ac = Hb + k ÿ ml Hd + l ÿ ml = bd + Hbl + kd + klml ÿ m, joten ac bd = Hbl + kd + klml ÿ m, ja siis ac ª bd (mod m). (iv) Kun n = 1, on oletuksen a ª b (mod m) nojalla a n = a 1 = a ª b = b 1 = b n (mod m). Tehdään induktio-oletus, että a k ª b k (mod m), ts. oletetaan, että väite on tosi, kun n = k. Valitaan nyt kohdassa (iii) c = a k ja d = b k. Tällöin kohdan (iii) ja induktio-oletuksen nojalla saadaan: a k+1 = a(a k ) = ac ª bd = b(b k ) = b k+1 (mod m). Näin ollen väite on induktioperiaatteen nojalla tosi aina kun n œ +. 5) Tulos seuraa suoraan Lemmasta 3.1, koska tässä tapauksessa on d = sythk, ml = 1. Kun [a] ja [b] œ m, voidaan määritellä (3.3) [a] + [b] = [a+b] [a]ÿ[b] = [a ÿ b] Osoitetaan, että nämä yhteen- ja kertolaskuoperaatiot ovat hyvin määriteltyjä, toisin sanoen laskutoimitukset kohdassa (3.3) ovat riippumattomia jäännösluokkien edustajista. Todistus: Edustakoot a 1 ja a keskenään samaa jäännösluokkaa, samoin b 1 ja b. Tällöin siis [a 1 ] = [a] ja [b 1 ] = [b], ts. a 1 ª a (mod m) ja b 1 ª b (mod m). Lauseen 3.3 (kohta 4) nojalla a 1 + b 1 ª a + b (mod m) a 1 ÿ b 1 ª a ÿ b (mod m). Näin 1 + b 1 D + 1 ÿ b 1 D ÿ bd

7 Salakirjoitus 7 ja siis HMäär. 3.3L HMäär. 1 D 1 D + b 1 D + bd HMäär. 3.3L HMäär. 1 D 1 D ÿ b 1 D ÿ bd Täten laskutoimitukset kohdassa (3.3) ovat riippumattomia jäännösluokkien edustajista ja määritely (3.3) on ristiriidattomasti tehty. Esimerkki 3.6 Esitetään jäännösluokkien avulla joukkojen 2 ja 5 yhteen- ja kertolaskutaulut: 2 -» @1D -» 5 @4D -» » Esimerkki 3.7 Ratkaise joukossa 5 = {[0], [1], [2], [3], [4]} yhtälö [3] x + [2] = [4]. Ratkaisu: [3] x + [2] = [4] + [3] ó [3] x + [2] + [3] = [4] + [3] Tässä [2] + [3] = [5] = [0] ja [4] + [3] = [7] = [2]. ó [3] x + [0] = [2] ó [3] x = [2] Edellisen Esimerkin 3.6 kertotaulun neljännen rivin mukaisesti on jäännösluokalla [3] kerrottaessa @4D -» Näin ollen [3] ÿ[4] = [2], toisin sanoen [3] x = [2] täsmälleen silloin kun x = [4].

8 Salakirjoitus 8 Huomautus Olkoon m anettu positiivinen kokonaisluku. Kirjallisuudessa luvun a œ edustamasta jäänösluokasta [a] œ m käytetään myös m. Usein käytetään myös lyhyempiä alle- tai päälleviivausmerkintöjä a tai ā ( modulo m). Kun jäännösluokilla lasketaan jatkuvasti, eikä sekaannuksen vaaraa ole, voidaan pelkällä luvulla merkitä sen edustamaa jäännösluokkaa. Siis esimerkiksi näin: (3.4) = 3 (mod 5). Tämän salakirjoituskurssin Osassa 2 onkin usein käytännöllistä laskea kuten kohdassa (3.4). Tässä osassa kuitenkin merkitsemme mieluummin näin: = 8 ª 3 (mod 5) tai näin: [4] + [4] = [8] = [3] (mod 5). Esimerkki 3.8 Etsi jakojäännös, kun a) jaetaan luvulla 5 b) jaetaan luvulla 11 c) jaetaan luvulla 6 d) 44( ) jaetaan luvulla 7 Ratkaisu: Käytetään Lauseen 3.3 kohtaa 4). Usein on mahdollista laskea myös hieman eri tavoilla. a) 2 2 ª 1 (mod 5) Siis = H2 2 L 1001 ª H 1L 1001 = 1 ª 4 (mod 5). Jakojäännös on 4. Huomaa, että jakojäännös ei määritelmän mukaan ole koskaan negatiivinen, b) 2 2 = 4 (mod 11) 2 3 = 8 ª 3 (mod 11) 2 4 = 2 ÿ 2 3 ª 2 ( 3) ª 6 ª 5 (mod 11) Huom: = = 2 ÿ 2 4 ª 2 5 = 10 ª 1 (mod 11) Siis = 2 5ÿ401+2 = 2 2 ÿh2 5 L 401 ª 4 ÿ H 1L 401 = 4 ( 1) = 4 ª 7 (mod 5). Huom: = 7. Jakojäännös on 7. c) 3 2 = 9 ª 3 (mod 6) 3 3 = 3 ÿ 3 2 ª 3ÿ3 ª 3 (mod 6)

9 Salakirjoitus 9 Koska 3 n = 3 ÿ 3 n-1, näemme induktiivisesti, että 3 n ª 3 (mod 6). Siis ª 3 (mod 6). Jakojäännös on 3. d) Tässä siis 44( ) jaetaan luvulla = 6ÿ7 + 2 ª 2 (mod 7) 2 3 ª 1 (mod 7) = 2 2 ÿ2 3ÿ66 = 2 2 ÿ H2 3 L 66 ª 4ÿ1 = 4 (mod 7) 3 3 = 27 ª 6 ª 1 (mod 7) = H3 3 L 1111 ª H 1L 1111 ª 1 (mod 7) Siis 44( ) ª 2(4 1) = 2ÿ3 = 6 (mod 7). Jakojäännös on 6. Harjoituksia 18 Kertaa Lauseen 3.3 kohdan 4 (iii) todistus: Olkoon m annettu positiivinen kokonaisluku, a ª b (mod m) ja c ª d (mod m). Tällöin a c ª b d (mod m). 19 Esitä joukkojen 8 ja 9 yhteen- ja kertolaskutaulut. 20 Ratkaise joukossa 7 = {[0], [1], [2], [3], [4], [5], [6]} yhtälö [2] x + [3] = [4]. 21 Etsi jakojäännös, kun a) jaetaan luvulla 7 (5) b) jaetaan luvulla 5 (2) c) jaetaan luvulla 11 (9) d) jaetaan luvulla 7 (5) e) 127 ÿ H L jaetaan luvulla 7(3) Laske sopivasti jakojäännöksillä ja merkitse kaikki välivaiheet näkyviin. Oikea vastaus on merkitty valmiiksi sulkeiden sisään. 22 Etsi jakojäännös, kun a) jaetaan luvulla 5 (3) b) jaetaan luvulla 6 (3) c) 55 ÿ H L jaetaan luvulla 7(0) Laske sopivasti jakojäännöksillä ja merkitse välivaiheet näkyviin. Oikea vastaus on tässäkin merkitty valmiiksi sulkeiden sisään. 23 Oletetaan tunnetuksi tulos P(b) ª P(c) (mod m), kun P(x) = a 0 x n + a 1 x n a n-1 x + a n ; a i œ ; ja b ª c (mod m). Olkoon lisäksi q n-numeroinen kokonaisluku ja sen peräkkäiset numerot

10 Salakirjoitus 10 a 1, a 2,..., a n ; a i œ {0, 1,..., 9}. Osoita, että 9» q jos ja vain jos 9» (a 1 + a a n ). Onko luku jaollinen 9:llä? Kaikki etätehtävät kappaleeseen 3 3. Kongruenssit 3.1 Jakojäännös ja kongruenssi 13 Mitkä seuraavista kongruensseista ovat tosia? a) 19 ª 1 (mod 9) b) 19 ª 8 (mod 9) c) 18 ª 0 (mod 9) d) 29 ª 2 (mod 9) 14 Osoita, että a ª b Hmod ml täsmälleen silloin, kun kokonaisluvuilla a ja b on sama jakojäännös modulo m. 3.2 Jäännösluokka 15 Tarkastellaan kokonaislukujen jakautumista jäännösluokkiin modulo 4, ts. tarkastellaan joukkoa 4 = {[0], [1], [2], [3]}. Esitä Esimerkin 3.4 tavalla, mitkä luvut kuuluvat seuraaviin jäännösluokkiin. a) [0] b) [1] c) [2] d) [3]. 3.3 Täydellinen jäännössysteemi 16 Kertaa Lemman 3.1 todistus: Olkoon kaª kbhmod ml ja sythk, ml = d. Tällöin a ª b Hmod m ê dl. 17 Kertaa Lemman 3.2 todistus: Olkoon {a 1, a 2,,a m } täydellinen jäännössysteemi modulo m ja olkoon sythk, ml = 1. Tällöin {ka 1, ka 2,,ka m } on myös täydellinen jäännössysteemi modulo m. 3.4 Kongruenssien laskusääntöjä 18 Kertaa Lauseen 3.3 kohdan 4 (iii) todistus: Olkoon m annettu positiivinen kokonaisluku, a ª b (mod m) ja c ª d (mod m). Tällöin a c ª b d (mod m). 19 Esitä joukkojen 8 ja 9 yhteen- ja kertolaskutaulut. 20 Ratkaise joukossa 7 = {[0], [1], [2], [3], [4], [5], [6]} yhtälö [2] x + [3] = [4].

11 Salakirjoitus Etsi jakojäännös, kun a) jaetaan luvulla 7 (5) b) jaetaan luvulla 5 (2) c) jaetaan luvulla 11 (9) d) jaetaan luvulla 7 (5) e) 127 ÿ H L jaetaan luvulla 7(3) Laske sopivasti jakojäännöksillä ja merkitse kaikki välivaiheet näkyviin. Oikea vastaus on merkitty valmiiksi sulkeiden sisään. 22 Etsi jakojäännös, kun a) jaetaan luvulla 5 (3) b) jaetaan luvulla 6 (3) c) 55 ÿ H L jaetaan luvulla 7(0) Laske sopivasti jakojäännöksillä ja merkitse välivaiheet näkyviin. Oikea vastaus on tässäkin merkitty valmiiksi sulkeiden sisään. 23 Oletetaan tunnetuksi tulos P(b) ª P(c) (mod m), kun P(x) = a 0 x n + a 1 x n a n-1 x + a n ; a i œ ; ja b ª c (mod m). Olkoon lisäksi q n-numeroinen kokonaisluku ja sen peräkkäiset numerot a 1, a 2,..., a n ; a i œ {0, 1,..., 9}. Osoita, että 9» q jos ja vain jos 9» (a 1 + a a n ). Onko luku jaollinen 9:llä?