Liite 2. Ryhmien ja kuntien perusteet

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Liite 2. Ryhmien ja kuntien perusteet"

Transkriptio

1 Liite 2. Ryhmien ja kuntien perusteet 1. Ryhmät 1.1 Johdanto Erilaisissa matematiikan probleemoissa törmätään usein muotoa a + x = b tai a x = b oleviin yhtälöihin, joissa tuntematon muuttuja on x. Lukujoukkoja koskevissa tarkasteluissa edellinen yhtälö johtaa negatiivisten lukujen määrittelyyn, jälkimmäinen johtaa rationaalilukujen määrittelyyn. Vastaavia yhtälöitä esiintyy myös matriiseilla. Jos A on neliömatriisi, jonka determinantti on nollasta eroava, voidaan yhtälön AX = B ratkaisu esittää muodossa X = A -1 B. Yhtälön 5 + x = 2 ratkaisu perustuu eräisiin laskusääntöihin, jotka yleistettynä muodostavat ryhmän määritelmän: 5 + x = (5 + x) = (lisätään alkio 5) ( 5 + 5) + x = (liitäntä- eli assosiatiivisuusominaisuus a + (b + c) = (a + b) + c ) 0 + x = 5 +2 (laskettu 5 + 5) x = (luvun 0 ominaisuus) x = 3 (lasketaan ) Ratkaisussa käytettiin seuraavia kokonaislukujen ominaisuuksia: Jokaisella kokonaisluvulla a on vastaluku a, jolle a + a = 0. Kokonaislukujen joukossa on neutraalialkio 0, jolle 0 + a = a + 0 = a kaikilla a Z. Lisäksi yhteenlasku on assosiatiivinen, eli a + (b + c) = (a + b) + c. Yhteenlaskussa ei laskujen suoritusjärjestyksellä ole siis väliä. Yllä mainituja ominaisuuksia on monilla matemaattisilla objekteilla, mm. matriiseilla. Niitä sanotaan ryhmäominaisuuksiksi. 1.2 Ryhmän määritelmä ja esimerkkejä ryhmistä. Määritelmä 1. (Ryhmä, Group) Olkoon G ei-tyhjä joukko ja * tässä joukossa määritelty binäärioperaatio. Pari < G, * > on ryhmä, jos seuraavat ominaisuudet ovat voimassa: 1) a*b G aina kun a ja b G (G on suljettu operaation * suhteen) 2) (a*b)*c = a*(b*c) kaikilla a,b,c G (assosiatiivisuus) 3) on olemassa neutraalialkio e, jolle e*a = a*e = a kaikilla a G 4) kaikilla a G on olemassa käänteisalkio a -1, jolle a -1 *a = a*a -1 = e Huomautus. Jatkossa binäärioperaatiota ei ole aina kaikissa yhteyksissä tarpeen tarkalleen yksilöidä. Niissä tapauksissa, joissa binäärioperaatio voidaan ymmärtää asiayhteyden perusteella, voidaan myös pelkkää joukkoa G nimittää ryhmäksi. Esimerkki 1. <Z, +> on ryhmä, koska siinä on neutraalialkio 0 ja jokaisella luvulla on vastaluku a. Sen sijaan <Z, *> ei ole ryhmä, koska esimerkiksi luvulla 2 ei ole käänteisalkiota kertolaskun suhteen (luku 1/2 ei kuulu kokonaislukuihin). Esimerkki 2. {0} on ryhmä kertolaskun suhteen, koska luku 1 on neutraalialkio ja kuuluu rationaalilukuihin. Lisäksi jokaisella rationaaliluvulla a b ( 0) on käänteisluku b a, jolle b a * a b = 1.

2 Salakirjoitus 2 Määritelmä 2. (Abelin ryhmä) Ryhmää <G, *> sanotaan Abelin ryhmäksi, jos a*b = b*a kaikilla a, b G (kommutatiivisuus). Esimerkki 3. <Z, +> on Abelin ryhmä, koska a + b = b + a kaikille kokonaisluvuille a ja b. Esimerkki 4. Ei-singulaaristen 2x2 neliömatriisien joukko ei ole Abelin ryhmä, koska yleensä AB BA (tulo ei ole kommutatiivinen) A = ; B = ; tulo1 = A.B // MatrixForm tulo2 = B.A // MatrixForm Esimerkki 5. Joukko Z 5 = {[0], [1], [2], [3], [4]} on ryhmä kun laskutoimituksena on yhteenlasku modulo 5. Seuraavasta yhteenlaskutaulusta nähdään kaikkien alkioiden vasta-alkiot. Taulukko on symmetrinen diagonaalin suhteen, joten ryhmä on Abelin ryhmä. taulukko = Table[Mod[x + y, 5], {x, 0, 4}, {y, 0, 4}] // MatrixForm Esimerkki 6. Joukko Z 7 {0} eli {[1], [2], [3], [4], [5], [6]} on Abelin ryhmä kertolaskun (mod 7) suhteen. Kertotaulu: taulukko = Table[Mod[x y, 7], {x, 1, 6}, {y, 1, 6}] // MatrixForm Mitkä ovat alkioiden [4] ja [5] käänteisalkiot tässä ryhmässä?

3 Salakirjoitus 3 2. Ryhmien perusominaisuudet Lause 1. Olkoon <G, *> ryhmä sekä a, b ja c joukon G alkioita. Seuraavat implikaatiot ovat voimassa: 1) jos a*b = a*c, niin b = c, 2) jos b*a = c*a, niin b = c. Todistus. Olkoon a*b = a*c. Koska a G, alkiolla a on olemassa käänteisalkio a -1, jolle a -1 *a = e. Nyt a -1 *(a*b) = a -1 *(a*c), josta assosiatiivisuuden perusteella (a -1 *a)*b = (a -1 *a)*c ja edelleen e*b = e*c, josta saadaan väite b = c. Vastaavasti osoitetaan lauseen toinen osa. Lause 2. Olkoon <G, *> ryhmä. Tällöin yhtälöillä a*x = b ja y*a = b on yksikäsitteiset ratkaisut x, y G. Todistus. Olkoon a*x = b. Tällöin a -1 *(a*x) = (a -1 *a)*x = e*x = x. Siis x = a -1 *(a*x) = a -1 b. Ratkaisu on siten x = a -1 b. Osoitetaan vielä ratkaisun yksikäsitteisyys. Olkoon x ja x' ratkaisuja, ts. a*x = b ja a*x' = b. Tällöin a*x = a*x' ja Lauseen 1 nojalla x = x'. Vastaavasti osoitetaan, että (yksikäsitteisesti) y = b*a -1. Lause 3. Ryhmän <G, *> neutraalialkio e on yksikäsitteinen. Alkion a käänteisalkio a -1 on yksikäsitteinen. Todistus jätetään harjoitustehtäväksi. Seuraus 1. Olkoot a ja b ryhmän <G, *> alkioita. Tällöin (a*b) -1 = b -1 * a -1. Todistus. (b -1 *a -1 )*(a*b) = b -1 *(a -1 *(a*b)) = b -1 *((a -1 *a)*b) = b -1 *(e*b) = b -1 *b = e. Vastaavalla tavalla osoitetaan, että (a*b)*(b -1 *a -1 ) = e. Harjoitus. Abelin ryhmässä <G, *> on 3 alkiota: neutraalialkio e, sekä a ja b. Kirjoita ryhmän kertotaulu. 3. Aliryhmät Määritelmä 3. (Ryhmän kertaluku) Äärellisen ryhmän G alkioiden lukumäärää sanotaan ryhmän G kertaluvuksi ja merkitään G tai #G. (Yleisemmin joukon S alkioiden lukumäärää sanotaan sen kertaluvuksi ja merkitään S. Myös termejä kardinaaliluku ja mahtavuus käytetään.) Määritelmä 4. (Aliryhmä) Olkoon ryhmän <G, *> osajoukko H suljettu operaation * suhteen (ts. a,b H a*b H) ja olkoon H (tarkemmin sanottuna <H, *>) itsessään ryhmä operaation * suhteen. Tällöin joukkoa H sanotaan ryhmän G aliryhmäksi ja merkitään H G. Määritelmä 5. (Aito ja triviaali aliryhmä) Jos H on ryhmän G aliryhmä ja H G, sanotaan että H on ryhmän G aito aliryhmä. Ryhmä {e} on ryhmän G triviaali aliryhmä. Esimerkki 1. Joukko H = {..., 4, 2, 0, 2, 4,... } on kokonaislukujen joukon aliryhmä, kun laskutoimituksena on yhteenlasku. Perustelu. Ryhmäaksiomit toteutuvat, koska joukossa H on neutraalialkio 0 ja jokaisella luvulla on vasta-alkio

4 Salakirjoitus 4 Ryhmäaksiomit joukossa ja jokaisella joukossa H. Lisäksi H on suljettu yhteenlaskun suhteen, koska parillisten lukujen summakin on parillinen. Lause 4. Ryhmän G osajoukko H on ryhmän aliryhmä jos ja vain jos 1) H on suljettu ryhmän G ryhmäoperaation suhteen, 2) neutraalialkio e kuuluu joukkoon H, 3) jokaisella joukon H alkiolla a on käänteisalkio a -1 joukossa H. Todistus. Kohta "vain jos, ts. ": Oletetaan, että H on ryhmän G aliryhmä. Tällöin ominaisuuksien 1 3 täytyy toteutua aliryhmän määritelmästä. Kohta "jos, ts. ": Oletetaan, että ominaisuudet 1 3 ovat voimassa. Tällöin riittää osoittaa, että joukossa H ovat voimassa ryhmäaksiomit. Ehdot 2 3 takaavat neutraalialkion ja käänteisalkion olemassaolon. Assosiatiivisuusominaisuus seuraa siitä, että joukon H alkiot ovat samalla joukon G alkioita, joilla assosiatiivisuus on voimassa, koska G on ryhmä. 4. Sykliset ryhmät ja ryhmän generaattori Määritelmä 6. (Alkion potenssi) Olkoon G ryhmä ja a sen alkio sekä m Z +. Tällöin määritellään a m = a*a*a* *a (m tekijää) a 0 = e (neutraalialkio) a -m = a -1 m = a -1 *a -1 *a -1 * * a -1 (m tekijää) Huomautus. Jatkossa lasketaan ilman välivaiheita siten, että seuraavat yhtäsuurudet ajatellaan tunnetuiksi: a m *a n = a m+n (a m ) n = a mn a n *a -n = a -n *a n = e. Totea, että nämä sinällään varsin ilmeiset tulokset ovat voimassa aina kun m, n Z. Sykliset ryhmät Lause 5. Olkoon G ryhmä ja a sen alkio. Tällöin H = {a n n Z } on ryhmän G aliryhmä ja samalla pienin ryhmän G aliryhmä, joka sisältää alkion a. Todistus. Osoitetaan, että Lauseen 4 ominaisuudet 1 3 ovat voimassa. 1) Jos x ja y kuuluvat joukkoon H, niin niiden muoto on: x = a n ja y = a m. Tällöin x*y = a n *a m = a n+m joten tulo x*y H. 2) a 0 = e, joten neutraalialkio e H. 3) Jos x H, niin x = a n. Tällöin alkio a -n H ja a n *a -n = a -n *a n = e, joten a -n on alkion x käänteisalkio. Osoitetaan vielä, että H on pienin ryhmän G aliryhmä, joka sisältää alkion a. Tätä varten olkoon K ryhmän G aliryhmä, joka sisältää alkion a. Sulkeutuvuusominaisuuden perusteella myös a -1 K, ja a*a, a*a*a,..., eli yleisesti alkion a positiivisen eksponentin omaavat potenssit a n K. Vastaavasti alkion a -1 potenssit a -m kuuluvat joukkoon K. Koska K on ryhmä, myös neutraalialkio e = a 0 K. Siis K sisältää kaikki potenssit a n, missä n Z. Siten H K. Näin ollen H on pienin ryhmän G aliryhmä, joka sisältää alkion a.

5 Salakirjoitus 5 Määritelmä 7. (Syklinen aliryhmä <a>) Ryhmää H = { a n n Z } sanotaan alkion a generoimaksi ryhmän G sykliseksi aliryhmäksi ja merkitään <a>. Ryhmän generaattori Määritelmä 8. (Ryhmän generaattori g) Jos alkion a G generoima syklinen aliryhmä on itse G, ts. jos < a > = G, niin alkiota a sanotaan ryhmän G generaattoriksi. Ryhmää G sanotaan sykliseksi, jos on olemassa alkio a G, joka generoi ryhmän G. Esimerkki 1. Alkio [3] generoi ryhmän Z 7 = {[1], [2], [3], [4], [5], [6]}, kun operaationa on kertolasku modulo 7 (huom. tässä ja alla merkintä Z m tarkoittaa alkion [0] puuttumisen takia eri joukkoa, kuin päätekstin Kappaleessa 3). Tuloksen, että alkio [3] generoi ryhmän Z 7, voi todeta oikeaksi laskemalla käsin, tai käyttämällä Mathematicakomentoa PowerMod[3,n,7]. Tässä laskennallisesti helpossa tapauksessa voisi myös käyttää yksinkertaista kutsua Mod[3 n,7]. Table[PowerMod[3, n, 7], {n, 1, 6}] {3, 2, 6, 4, 5, 1} Esimerkki 2. Alkio [2] sen sijaan ei ole ryhmän Z 7 generaattori, vaan generoi sen aliryhmän {[1], [2], [4]}. Table[PowerMod[2, n, 7], {n, 1, 6}] {2, 4, 1, 2, 4, 1} Tehtävä. Olkoon G = Z 13 ={[1], [2],..., [12]}, missä ryhmäoperaationa on kertolasku modulo 13. Etsi ryhmän G generaattorit. Nimityksiä. Olkoon a ryhmän G alkio. Jos syklinen aliryhmä <a> on äärellinen, niin alkion a kertaluvuksi sanotaan sen määrittämän syklisen aliryhmän kertalukua <a>. Muutoin sanotaan, että alkion a kertaluku on ääretön. Alkion a kertaluvusta käytetään merkintää ord(a). 5. Syklisten ryhmien ominaisuuksia Lause 6. Jokainen syklinen ryhmä on Abelin ryhmä. Todistus. Kuten Kappaleen 1 Määritelmä 2 esitti, ryhmä G on Abelin ryhmä, jos a*b = b*a kaikilla a, b G. Olkoon nyt G syklinen ryhmä ja a sen generaattori. Jos x ja y G, on olemassa n, m Z siten, että x = a m ja y = a n. Tällöin x*y = a m *a n = a m+n = a n *a m = y*x. Lause 7. Syklisen ryhmän aliryhmä on syklinen. Todistus. Olkoon G syklinen ryhmä, a sen generaattori ja olkoon H ryhmän G aliryhmä. Jos H = {e}, niin H = <e> on syklinen. Muutoin a n H eräällä n Z. Olkoon m pienin positiivinen kokonaisluku, jolle a m H. Osoitamme, että g = a m generoi aliryhmän H, eli että <g> = H. Osoitetaan siis, että

6 Salakirjoitus 6 jolle g generoi aliryhmän g jokainen b H on alkion g potenssi. Koska b H, ja H on ryhmän G aliryhmä, on b = a n jollekin n Z. Jakoalgoritmin mukaan n = qm + r joillekin kokonaisluvuille q ja r, missä 0 r < m. Siten a n = a qm + r = (a m ) q *a r. Tästä seuraa, että a r = (a m ) -q *a n, joka kuuluu joukkoon H, koska (a m ) -q ja a n ovat aliryhmän H alkioita. Koska 0 r < m ja m oli pienin positiivinen kokonaisluku, jolle a m H, täytyy olla r = 0. Siten b = a n = a qm + r = (a m ) q = g q, joten g = a m generoi aliryhmän H. Näin ollen H on syklinen. Seuraus 2. Kokonaislukujen joukon sykliset aliryhmät yhteenlaskun suhteen ovat ryhmät nz = {na a Z }. Esimerkki 1. Ryhmä 3Z = {..., 6, 3, 0, 3, 6,...} on kokonaislukujen joukon syklinen aliryhmä yhteenlaskun suhteen. Syklisten ryhmien rakenne Olkoon G syklinen ryhmä ja a sen generaattori. Tarkastellaan tilanteita, jossa kertaluku G (tai #G) on 1) ääretön ja 2) äärellinen: 1) Jos G on ääretön, kaikki generaattorin a potenssit ovat keskenään erisuuria. Vastaoletus: On olemassa erisuuret h ja k (h > k) siten, että a h = a k. Tällöin kertomalla alkiolla a -k saadaan a h-k = e. Olkoon m pienin positiivinen luku, jolle a m = e. Osoitetaan, että ryhmällä G on tällöin vain m erisuurta alkiota e, a, a 2,..., a m-1. Olkoon a n G. Tällöin jakoalgoritmin nojalla n = qm + r, missä 0 r < m, ja a n = a qm+r = (a m ) q *a r = e q *a r = a r. Siis a n on jokin alkioista e, a,..., a m-1 ja G on äärellinen. Vastaoletus on väärä ja siten kaikki alkion a potenssit ovat erisuuria. 2) Jos G on äärellinen, kaikki generaattorin a potenssit eivät voi olla erisuuria, vaan on olemassa h ja k (h > k), joille a h = a k, josta a h-k = e. Olkoon m pienin positiivinen kokonaisluku, jolle a m = e (m on olemassa, koska edellä a h-k = e, h > k). Tällöin ryhmä G koostuu alkioista e, a, a 2,..., a m-1 ja m on sen kertaluku. Lause 8. Joukko Z n = {[0], [1], [2],..., [n 1]} laskutoimituksena yhteenlasku modulo n, on syklinen ryhmä. Perustelu. Esimerkiksi alkio [1] on ryhmän generaattori, sillä jokainen joukon alkio voidaan esittää muodossa k [1] = [1] + [1] + + [1] (k termiä), missä k on kokonaisluku väliltä [0, n 1]. Neutraalialkio on [0], koska [0] + x = x + [0] = x kaikilla x Z n. Alkion x käänteisalkio on [n] x, sillä x + ([n] x) = ([n] x) + x = [n] = [0] modulo n. Huomautus. Olemme lainanneet merkintätavan kertolaskuoperaation yhdeydessä käytetystä tavasta. Aina kun operaatio * on yhteenlasku (+), niin a n ; n > 0; tulkitaan monikertana na = a + a + a + + a (n termiä), a 0 = e ja a -n ; n > 0; tulkitaan monikertana n(-a) = (-a) + (-a) + (-a) + + (-a) (n termiä). Äärellisten syklisten ryhmien aliryhmistä Lause 9. Olkoon G äärellinen syklinen ryhmä, jonka kertaluku on n ja olkoon a sen generaattori. Olkoon b = a s. Tällöin b generoi ryhmän G syklisen aliryhmän H, jossa on n/d alkiota, missä d = syt(n, s). Todistus. Se, että b generoi syklisen aliryhmän H, on osoitettu Lauseessa 7. Osoitetaan, että aliryhmässä H on n/d alkiota. Seuraten Lauseen 7 todistusta, aliryhmässä H on m alkiota, missä m on pienin positiivinen luku, jolle b m = e. Nyt b = a s ja b m = a sm = e, joten n ms. Mikä on pienin positiivinen kokonaisluku m, jolle n ms? Olkoon d = syt(n, s). Tällöin d voidaan esittää lineaarikombinaationa muodossa d = un + vs, missä u,v Z. Koska d on tekijänä sekä luvuissa n ja s, niin 1 = u (n/d) + v (s/d), missä sekä n/d ja s/d ovat kokonaislukuja. Tällöin n/d ja s/d ovat suhteellisia alkulukuja. Olkoon m pienin sellainen luku, että m s = m s / d n n/d kokonaisluku. Nyt n/d on tekijänä osamäärässä ms/d ja tästä seuraa, että n/d on luvun m tekijä. Pienin tällainen luku m = n/d. Siten aliryhmän H kertaluku on n/d. on

7 Salakirjoitus 7 Seuraus 3. Jos a on äärellisen syklisen ryhmän G generaattori ja G = n, niin kaikki muut generaattorit ovat muotoa a r, missä syt(r, n) = Sivuluokat ja Lagrangen teoreema Sivuluokat Määritelmä 9. (Sivuluokka) Olkoon H ryhmän G aliryhmä. Joukon G osajoukkoa ah = {a*h h H }, missä a G, sanotaan alkion a generoimaksi ryhmän H vasemmaksi sivuluokaksi. Vastaavasti joukkoa Ha = {h*a h H }, a G, sanotaan alkion a generoimaksi ryhmän H oikeaksi sivuluokaksi. Jos H on ryhmän G aliryhmä, jokainen ryhmän G alkio kuuluu johonkin ryhmän H sivuluokkaan. (Jos x on mielivaltainen ryhmän G alkio, niin x = x*h -1 * h, missä h H on mielivaltainen. Tällöin x kuuluu ryhmän H sivuluokkaan ah, missä a = x *h -1.) Lause 10. Ryhmän G aliryhmän H jokaisella sivuluokalla on yhtä monta alkiota. Todistus. Olkoon G ryhmä ja H sen aliryhmä. Olkoon g ryhmän G alkio. Määritellään kuvaus f: H gh siten, että f(x) = g*x kaikilla x H. Osoitetaan, että f on bijektio. Olkoot g*x ja g*y kaksi sivuluokan gh alkiota ja g*x = g*y. Koska G on ryhmä, kertomalla alkion g käänteisalkiolla saadaan x = y. Kuvaus f on siis bijektio ja siten kaikilla aliryhmän H vasemmanpuolisilla sivuluokilla on sama määrä alkioita. Samoin todistetaan väite oikeanpuolisille sivuluokille. Näin ollen aliryhmän H sivuluokat muodostavat ryhmän G osituksen (partition), ts. näiden sivuluokkien unioni on G ja jokaisen sivuluokkaparin leikkausjoukko on tyhjä joukko. Lause 11. (Lagrangen teoreema) Äärellisen ryhmän G aliryhmän H kertaluku on ryhmän G kertaluvun tekijä. Todistus. Olkoon n ryhmän G kertaluku ja m aliryhmän H kertaluku. Lauseen 10 mukaan jokaisessa aliryhmän H sivuluokassa on täsmälleen m alkiota. Olkoon r ryhmän H sivuluokkien lukumäärä, kun luokat on muodostettu ryhmän G vasemmista sivuluokista. Tällöin Lauseen 10 todistuksen perusteella n = rm, joten m on todellakin kertaluvun n tekijä. Seuraus 4. Jokainen ryhmä, jonka kertaluku on alkuluku, on syklinen. Todistus. Olkoon G ryhmä ja alkuluku p sen kertaluku. Olkoon a e ryhmän G alkio ja <a> sen virittämä syklinen aliryhmä. Tällöin aliryhmässä <a> on ainakin alkiot e ja a. Lauseen 10 nojalla syklisen aliryhmän <a> kertaluku m on tekijänä ryhmän G kertaluvussa p, mutta koska p on alkuluku, m = p ja <a> on G, joten ryhmä G on syklinen. Lause 12. Äärellisen ryhmän jokaisen alkion kertaluku on tekijänä ryhmän kertaluvussa. Todistus. Olkoon G äärellinen ryhmä, jonka kertaluku on n ja olkoon a ryhmän G alkio. Tällöin alkion a kertaluku (siis ord(a)) on määritelmän mukaan sen generoiman syklisen aliryhmän <a> kertaluku ja <a> on ryhmän G aliryhmä. Lauseen 11 nojalla alkion a kertaluku on tekijänä ryhmän G kertaluvussa. Onko Lause 12 voimassa myös toiseen suuntaan? Voidaan osoittaa, että jos G on Abelin ryhmä, sen kertaluvun jokaista tekijää k kohden löytyy ryhmän G alkio, jonka kertaluku on k.

8 Salakirjoitus 8 7. Renkaat ja kunnat Useimmat lukijat tuntevat rationaali-, reaali ja kompleksilukujoukkojen yhteen- ja kertolaskua koskevat ominaisuudet, ts. niiden algebralliset rakenteet. Näistä joukoista, yhdessä niissä määriteltyjen laskutoimitusten kanssa, käytetään nimitystä kunta. Diskreetissä matematiikassa, erityisesti kryptologiassa ja koodausteoriassa, äärellisten kuntien teoria on keskeinen. Esittelemme seuraavassa lyhyesti tarvittavat käsitteet. Kunnan määritelmä pohjautuu ryhmän käsitteeseen, jota käsittelimme edellä. Ennen kuin esitämme kunnan määritelmän, on kuitenkin käytännöllistä ensin määritellä rakenne nimeltä rengas. Esimerkiksi kokonaislukujen joukko Z muodostaa renkaan, mutta ei muodosta kuntaa, koska nollasta eroavilla alkioilla ei yleensä ole kertolaskun käänteisalkiota. Käytämme alla kahdesta binäärioperaatiosta tarkoituksella merkintöjä + ja, koska niitä käytetään tutujen joukkojen Z, Z m,, ja C yhteydessä. Kuitenkin merkintöjen tarkoitus on olla voimassa yleisesti mitä erilaisempien joukkojen ja niissä määriteltyjen operaatioiden yhteydessä. Vaikka yleinen abstrakti rakenne on yhteinen, nämä operaatiot voivat ensi näkemältä poiketa paljonkin siitä, mikä tähän saakka on ollut tuttua yhten- ja vähennyslaskuoperaattoreiden yhteydestä. Näihin (abstraktin algebran) rakenteisiin voi perehtyä lisää lukemalla esimerkiksi kirjoja Nicholson [8] ja van Tilborg [11]. Rengas Määritelmä 10. (Rengas, Ring) Kolmikko (R, +, ) on rengas, jos 1) < R, + > on kommutatiivinen (vaihdannainen) ryhmä (siis Abelin ryhmä). Tässä yksikköalkiosta (ts. neutraalialkiosta) käytetään merkintää 0. 2) Operaatio on assosiatiivinen (liitännäinen). 3) Distributiivisuus (osittelu) on voimassa, ts. kaikille r, s, t R on voimassa r (s + t) = r s + r t ja (r + s) t = r t + s t. Ryhmän < R, + > alkion a käänteisalkiota sanotaan vasta-alkioksi ja siitä käytetään merkintää -a, samoin kirjoitamme 2 a yhteenlaskun a + a asemasta, ja 3 a tarkoittaa a + a + a, jne. Myös a b on lyhennysmerkintä, joka tarkoittaa samaa kuin a + (-b). Huomattakoon myös, että 0 todellakin käyttäytyy kuten nolla-alkio, koska kaikilla r R on voimassa 0 r = (r + (-r)) r = r 2 - r 2 = 0 ja vastaavasti r 0 = 0. Olkoon (R, +, ) rengas ja S joukon R osajoukko siten, että (S, +, ) on itsekin rengas. Tällöin rengasta (S, +, ) sanotaan renkaan (R, +, ) alirenkaaksi. Esimerkiksi (6 Z, +, ) on renkaan (2 Z, +, ) alirengas, ja tämä puolestaan on renkaan (Z, +, ) alirengas. Olettakaamme, että operaatio on kommutatiivinen (vaihdannainen) joukossa R\{0}. Tällöin sanomme, että rengas (R, +, ) on kommutatiivinen. Esimerkkeinä kommutatiivisista renkaista ovat (, +, ), (, +, ), (Z, +, ), ja myös (m Z, +, ), kun m 0. Tarkastellaan rengasta (R, +, ). Käytetään merkintää R * niistä joukon R alkioista, joilla on käänteisalkio kertolaskun suhteen. Tapauksessa, jossa R {0} ja R * = R\{0}, ts. kun jokaisella nollasta eroavalla joukon R alkiolla on käänteisalkio kertolaskun suhteen, sanotaan että rengas (R, +, ) on jakorengas (divison ring, skew field). Kommutatiivisesta jakorenkaasta käytetään nimitystä kunta. Alla muotoilemme kunnan määritelmän vielä toisellakin tavalla. Ennen sen esittämistä mainitaan vielä, että Wedderburn'in lauseen mukaan jokainen äärellinen jakorengas on kunta (ks. Nicholson [8]). Tämä näyttäisi viittaavan siihen, että epäkommutatiiviset jakokunnat olisivat harvinaisia. Kuitenkin esimerkki sellaisesta, nimittäin kvaternionit, on tunnettu jo vuodesta 1843.

9 Salakirjoitus 9 Kunta Määritelmä 11. (Kunta, Field) Kolmikko (F, +, ) on kunta, jos 1) < F, + > on kommutatiivinen ryhmä (siis Abelin ryhmä). Yksikköalkiosta (ts. neutraalialkiosta) käytetään merkintää 0. 2) < F \ {0}, > on kommutatiivinen ryhmä (siis Abelin ryhmä). Kertolaskun yksikköalkiosta käytetään merkintää e. 3) Distributiivisuus (osittelu) on voimassa kuten renkaan tapauksessa yllä. Päinvastoin kuin joissakin renkaissa, kunnassa ei voi olla niin sanottuja nollan tekijöitä (zero-divisors), ts. alkioita a 0 ja b 0, joiden tulo a b = 0. Todellakin, oletetaan, että olisi voimassa a b = 0 ja a 0. Tällöin, b = e b = a -1 a b =a -1 (a b) = a -1 0 = 0, joten jokainen kunnan F alkio olisi nolla. Jos kunnan (F, +, ) alirenkaalla (K, +, ) on kunnan rakenne, kutsumme sitä kunnan (F, +, ) alikunnaksi. Esimerkkejä kunnista ovat muun muassa rationaaliluvut (, +, ), reaaliluvut (, +, ) ja kompleksiluvut (C, +, ). Näistä jokainen on aina seuraavan lukujoukon alikunta. Sanomme, että äärellisen ryhmän < G, * >, renkaan (R, +, ), tai kunnan (F, +, ) kertaluku on n, jos G, vastaavasti R ja F, ovat äärellisiä joukkoja, joiden alkioiden määrä (kardinaaliluku) on n. Äärellisten kuntien tapauksessa on tapana merkitä kertalukua luvulla q. Osoittautuu, että kertalukua q olevia äärellisiä kuntia on olemassa vain, jos q on jonkin alkuluvun potenssi, ts. q = p n jollekin alkuluvulle p ja kokonaisluvulle n 1. Lisäksi nämä äärelliset kunnat ovat itse asiassa yksikäsitteiset (isomorfiset) jokaista kiinnitettyä alkuluvun potenssia q kohti. Tämän vuoksi kertalukua q olevista äärellisistä kunnista käytetään yleisesti merkintää q tai GF(q) (missä GF tarkoittaa Galoisin kuntaa (Galois Field) ranskalaisen Galoisin mukaan). Esimerkiksi lähteissä Nicholson [8] ja van Tilborg [11] esitetään tärkeitä algebran tuloksia runsaasti lisää. Ne tulokset ovat usein hyvin merkittäviä myös salakirjoitusten kannalta, esimerkkinä elliptisiä käyriä koskevat sovellutukset. Kirjan van Tilborg [11] mukana tulevalla CD-levyllä koko kirja [11] on toteutettu hypertekstimuodossa Mathematica-ympäristössä, jossa algoritmitmeja voidaan lisäksi heti kokeilla muutetuilla lähtöarvoilla. Muidenkin ympäristöjen ohjelmoitsijat voivat löytää tuon toteutuksen algoritmeista kiinnostavia ja hyödyllisiä rakenteita sekä yksityiskohtia.

Syklinen ryhmä Pro Gradu -tutkielma Taava Kuha Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2016

Syklinen ryhmä Pro Gradu -tutkielma Taava Kuha Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2016 Syklinen ryhmä Pro Gradu -tutkielma Taava Kuha Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Ryhmäteoriaa 4 1.1 Ryhmän määritelmä....................... 4 1.2 Kertaluku.............................

Lisätiedot

a b 1 c b n c n

a b 1 c b n c n Algebra Syksy 2007 Harjoitukset 1. Olkoon a Z. Totea, että aina a 0, 1 a, a a ja a a. 2. Olkoot a, b, c, d Z. Todista implikaatiot: a) a b ja c d ac bd, b) a b ja b c a c. 3. Olkoon a b i kaikilla i =

Lisätiedot

802355A Algebralliset rakenteet Luentorunko Syksy Markku Niemenmaa Kari Myllylä Topi Törmä Marko Leinonen

802355A Algebralliset rakenteet Luentorunko Syksy Markku Niemenmaa Kari Myllylä Topi Törmä Marko Leinonen 802355A Algebralliset rakenteet Luentorunko Syksy 2016 Markku Niemenmaa Kari Myllylä Topi Törmä Marko Leinonen Sisältö 1 Kertausta kurssilta Algebran perusteet 3 2 Renkaat 8 2.1 Renkaiden teoriaa.........................

Lisätiedot

Esimerkki A1. Jaetaan ryhmä G = Z 17 H = 4 = {1, 4, 4 2 = 16 = 1, 4 3 = 4 = 13, 4 4 = 16 = 1}.

Esimerkki A1. Jaetaan ryhmä G = Z 17 H = 4 = {1, 4, 4 2 = 16 = 1, 4 3 = 4 = 13, 4 4 = 16 = 1}. Jaetaan ryhmä G = Z 17 n H = 4 sivuluokkiin. Ratkaisu: Koska 17 on alkuluku, #G = 16, alkiona jäännösluokat a, a = 1, 2,..., 16. Määrätään ensin n H alkiot: H = 4 = {1, 4, 4 2 = 16 = 1, 4 3 = 4 = 13, 4

Lisätiedot

on Abelin ryhmä kertolaskun suhteen. Tämän joukon alkioiden lukumäärää merkitään

on Abelin ryhmä kertolaskun suhteen. Tämän joukon alkioiden lukumäärää merkitään 5. Primitiivinen alkio 5.1. Täydennystä lukuteoriaan. Olkoon n Z, n 2. Palautettakoon mieleen, että kokonaislukujen jäännösluokkarenkaan kääntyvien alkioiden muodostama osajoukko Z n := {x Z n x on kääntyvä}

Lisätiedot

kaikille a R. 1 (R, +) on kommutatiivinen ryhmä, 2 a(b + c) = ab + ac ja (b + c)a = ba + ca kaikilla a, b, c R, ja

kaikille a R. 1 (R, +) on kommutatiivinen ryhmä, 2 a(b + c) = ab + ac ja (b + c)a = ba + ca kaikilla a, b, c R, ja Renkaat Tarkastelemme seuraavaksi rakenteita, joissa on määritelty kaksi binääristä assosiatiivista laskutoimitusta, joista toinen on kommutatiivinen. Vaadimme muuten samat ominaisuudet kuin kokonaisluvuilta,

Lisätiedot

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) OT

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) OT Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) 31.1.-4.2.2011 OT 1. Määritellään kokonaisluvuille laskutoimitus n m = n + m + 5. Osoita, että (Z, ) on ryhmä.

Lisätiedot

Algebran perusteet. 44 ϕ(105) = (105). Näin ollen

Algebran perusteet. 44 ϕ(105) = (105). Näin ollen Algebran perusteet Harjoitus 4, ratkaisut kevät 2016 1 a) Koska 105 = 5 21 = 3 5 7 ja 44 = 2 2 11, niin syt(44, 105) = 1 Lisäksi ϕ(105) = ϕ(3 5 7) = (3 1)(5 1)(7 1) = 2 4 6 = 48, joten Eulerin teoreeman

Lisätiedot

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 (7 sivua)

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 (7 sivua) Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin ( sivua).... Nämä ovat kurssin Algebra I harjoitustehtävien ratkaisuehdoituksia. Ratkaisut koostuvat kahdesta osiosta,

Lisätiedot

Äärellisesti generoitujen Abelin ryhmien peruslause

Äärellisesti generoitujen Abelin ryhmien peruslause Tero Harju (2008/2010) Äärellisesti generoitujen Abelin ryhmien peruslause Merkintä X on joukon koko ( eli #X). Vapaat Abelin ryhmät Tässä kappaleessa käytetään Abelin ryhmille additiivista merkintää.

Lisätiedot

renkaissa. 0 R x + x =(0 R +1 R )x =1 R x = x

renkaissa. 0 R x + x =(0 R +1 R )x =1 R x = x 8. Renkaat Tarkastelemme seuraavaksi rakenteita, joissa on määritelty kaksi assosiatiivista laskutoimitusta, joista toinen on kommutatiivinen. Vaadimme näiltä kahdella laskutoimituksella varustetuilta

Lisätiedot

LUKUTEORIA A. Harjoitustehtäviä, kevät 2013. (c) Osoita, että jos. niin. a c ja b c ja a b, niin. niin. (e) Osoita, että

LUKUTEORIA A. Harjoitustehtäviä, kevät 2013. (c) Osoita, että jos. niin. a c ja b c ja a b, niin. niin. (e) Osoita, että LUKUTEORIA A Harjoitustehtäviä, kevät 2013 1. Olkoot a, b, c Z, p P ja k, n Z +. (a) Osoita, että jos niin Osoita, että jos niin (c) Osoita, että jos niin (d) Osoita, että (e) Osoita, että a bc ja a c,

Lisätiedot

a 2 ba = a a + ( b) a = (a + ( b))a = (a b)a, joten yhtälö pätee mielivaltaiselle renkaalle.

a 2 ba = a a + ( b) a = (a + ( b))a = (a b)a, joten yhtälö pätee mielivaltaiselle renkaalle. Harjoitus 10 (7 sivua) Ratkaisuehdotuksia/Martina Aaltonen Tehtävä 1. Mitkä seuraavista yhtälöistä pätevät mielivaltaisen renkaan alkioille a ja b? a) a 2 ba = (a b)a b) (a + b + 1)(a b) = a 2 b 2 + a

Lisätiedot

Algebra I, harjoitus 5,

Algebra I, harjoitus 5, Algebra I, harjoitus 5, 7.-8.10.2014. 1. 2 Osoita väitteet oikeiksi tai vääriksi. a) (R, ) on ryhmä, kun asetetaan a b = 2(a + b) aina, kun a, b R. (Tässä + on reaalilukujen tavallinen yhteenlasku.) b)

Lisätiedot

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 9 (6 sivua) OT

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 9 (6 sivua) OT Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 9 (6 sivua) 28.3.-1.4.2011 OT 1. a) Osoita, että rengas R = {[0] 10, [2] 10, [4] 10, [6] 10, [8] 10 } on kokonaisalue. Mikä

Lisätiedot

Lukuteorian kertausta

Lukuteorian kertausta Lukuteorian kertausta Jakoalgoritmi Jos a, b Z ja b 0, niin on olemassa sellaiset yksikäsitteiset kokonaisluvut q ja r, että a = qb+r, missä 0 r < b. Esimerkki 1: Jos a = 60 ja b = 11, niin 60 = 5 11 +

Lisätiedot

Esko Turunen Luku 3. Ryhmät

Esko Turunen Luku 3. Ryhmät 3. Ryhmät Monoidia rikkaampi algebrallinen struktuuri on ryhmä: Määritelmä (3.1) Olkoon joukon G laskutoimitus. Joukko G varustettuna tällä laskutoimituksella on ryhmä, jos laskutoimitus on assosiatiivinen,

Lisätiedot

802354A Algebran perusteet Luentorunko Kevät Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Topi Törmä

802354A Algebran perusteet Luentorunko Kevät Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Topi Törmä 802354A Algebran perusteet Luentorunko Kevät 2017 Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Topi Törmä Sisältö 1 Lukuteoriaa 3 1.1 Jakoalgoritmi ja alkuluvut.................... 3 1.2 Suurin yhteinen tekijä......................

Lisätiedot

Jarkko Peltomäki. Aliryhmän sentralisaattori ja normalisaattori

Jarkko Peltomäki. Aliryhmän sentralisaattori ja normalisaattori Jarkko Peltomäki Aliryhmän sentralisaattori ja normalisaattori Matematiikan aine Turun yliopisto Syyskuu 2009 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Määritelmiä ja perusominaisuuksia 3 2.1 Aliryhmän sentralisaattori ja

Lisätiedot

Kuvauksista ja relaatioista. Jonna Makkonen Ilari Vallivaara

Kuvauksista ja relaatioista. Jonna Makkonen Ilari Vallivaara Kuvauksista ja relaatioista Jonna Makkonen Ilari Vallivaara 20. lokakuuta 2004 Sisältö 1 Esipuhe 2 2 Kuvauksista 3 3 Relaatioista 8 Lähdeluettelo 12 1 1 Esipuhe Joukot ja relaatiot ovat periaatteessa äärimmäisen

Lisätiedot

H = : a, b C M. joten jokainen A H {0} on kääntyvä matriisi. Itse asiassa kaikki nollasta poikkeavat alkiot ovat yksiköitä, koska. a b.

H = : a, b C M. joten jokainen A H {0} on kääntyvä matriisi. Itse asiassa kaikki nollasta poikkeavat alkiot ovat yksiköitä, koska. a b. 10. Kunnat ja kokonaisalueet Määritelmä 10.1. Olkoon K rengas, jossa on ainakin kaksi alkiota. Jos kaikki renkaan K nollasta poikkeavat alkiot ovat yksiköitä, niin K on jakorengas. Kommutatiivinen jakorengas

Lisätiedot

Algebran ja lukuteorian harjoitustehtäviä. 1. Tutki, ovatko seuraavat relaatiot ekvivalenssirelaatioita joukon N kaikkien osajoukkojen

Algebran ja lukuteorian harjoitustehtäviä. 1. Tutki, ovatko seuraavat relaatiot ekvivalenssirelaatioita joukon N kaikkien osajoukkojen Algebran ja lukuteorian harjoitustehtäviä Versio 1.0 (27.1.2006) Turun yliopisto Lukuteoria 1. Tutki, ovatko seuraavat relaatiot ekvivalenssirelaatioita joukon N kaikkien osajoukkojen joukolla: a) C D

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Osa 4: Modulaariaritmetiikka Riikka Kangaslampi 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Modulaariaritmetiikka Jakoyhtälö Määritelmä 1 Luku

Lisätiedot

MAT-41150 Algebra I (s) periodilla IV 2012 Esko Turunen

MAT-41150 Algebra I (s) periodilla IV 2012 Esko Turunen MAT-41150 Algebra I (s) periodilla IV 2012 Esko Turunen Tehtävä 1. Onko joukon X potenssijoukon P(X) laskutoimitus distributiivinen laskutoimituksen suhteen? Onko laskutoimitus distributiivinen laskutoimituksen

Lisätiedot

Lineaariset ryhmät Pro gradu -tutkielma Miia Lillstrang Matematiikan yksikkö Oulun yliopisto 2016

Lineaariset ryhmät Pro gradu -tutkielma Miia Lillstrang Matematiikan yksikkö Oulun yliopisto 2016 Lineaariset ryhmät Pro gradu -tutkielma Miia Lillstrang 2187044 Matematiikan yksikkö Oulun yliopisto 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Esitietoja 3 1.1 Ryhmät.............................. 3 1.1.1 Ryhmä ja aliryhmä....................

Lisätiedot

802355A Renkaat, kunnat ja polynomit Luentorunko Syksy 2013

802355A Renkaat, kunnat ja polynomit Luentorunko Syksy 2013 802355A Renkaat, kunnat ja polynomit Luentorunko Syksy 2013 Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Juha-Matti Tirilä, Antti Torvikoski, Topi Törmä Sisältö 1 Kertausta kurssilta Lukuteoria ja ryhmät

Lisätiedot

802354A Algebran perusteet Luentorunko Kevät Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Topi Törmä

802354A Algebran perusteet Luentorunko Kevät Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Topi Törmä 802354A Algebran perusteet Luentorunko Kevät 2018 Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Topi Törmä Sisältö 1 Lukuteoriaa 3 1.1 Jakoalgoritmi ja alkuluvut.................... 3 1.2 Suurin yhteinen tekijä......................

Lisätiedot

Laitos/Institution Department Matematiikan ja tilastotieteen laitos. Aika/Datum Month and year Huhtikuu 2014

Laitos/Institution Department Matematiikan ja tilastotieteen laitos. Aika/Datum Month and year Huhtikuu 2014 Tiedekunta/Osasto Fakultet/Sektion Faculty Matemaattis-luonnontieteellinen tiedekunta Laitos/Institution Department Matematiikan ja tilastotieteen laitos Tekijä/Författare Author Anna-Mari Pulkkinen Työn

Lisätiedot

{I n } < { I n,i n } < GL n (Q) < GL n (R) < GL n (C) kaikilla n 2 ja

{I n } < { I n,i n } < GL n (Q) < GL n (R) < GL n (C) kaikilla n 2 ja 5. Aliryhmät Luvun 4 esimerkeissä esiintyy usein ryhmä (G, ) ja jokin vakaa osajoukko B G siten, että (B, B ) on ryhmä. Määrittelemme seuraavassa käsitteitä, jotka auttavat tällaisten tilanteiden käsittelyssä.

Lisätiedot

Algebra II. Syksy 2004 Pentti Haukkanen

Algebra II. Syksy 2004 Pentti Haukkanen Algebra II Syksy 2004 Pentti Haukkanen 1 Sisällys 1 Ryhmäteoriaa 3 1.1 Ryhmän määritelmä.... 3 1.2 Aliryhmä... 3 1.3 Sivuluokat...... 4 1.4 Sykliset ryhmät... 7 1.5 Ryhmäisomorfismi..... 11 2 Polynomeista

Lisätiedot

jonka laskutoimitus on matriisien kertolasku. Vastaavasti saadaan K-kertoiminen erityinen lineaarinen ryhmä

jonka laskutoimitus on matriisien kertolasku. Vastaavasti saadaan K-kertoiminen erityinen lineaarinen ryhmä 4. Ryhmät Tässä luvussa tarkastelemme laskutoimituksella varustettuja joukkoja, joiden laskutoimitukselta oletamme muutamia yksinkertaisia ominaisuuksia: Määritelmä 4.1. Laskutoimituksella varustettu joukko

Lisätiedot

Esko Turunen MAT Algebra1(s)

Esko Turunen MAT Algebra1(s) Määritelmä (4.1) Olkoon G ryhmä. Olkoon H G, H. Jos joukko H varustettuna indusoidulla laskutoimituksella on ryhmä, se on ryhmän G aliryhmä. Jos H G on ryhmän G aliryhmä, merkitään usein H G, ja jos H

Lisätiedot

MAT Algebra 1(s)

MAT Algebra 1(s) 8. maaliskuuta 2012 Esipuhe Tämä luentokalvot sisältävät kurssin keskeiset asiat. Kalvoja täydennetään luennolla esimerkein ja todistuksin. Materiaali perustuu Jyväskylän, Helsingin ja Turun yliopistojen

Lisätiedot

ja jäännösluokkien joukkoa

ja jäännösluokkien joukkoa 3. Polynomien jäännösluokkarenkaat Olkoon F kunta, ja olkoon m F[x]. Polynomeille f, g F [x] määritellään kongruenssi(-relaatio) asettamalla g f mod m : m g f g = f + m h jollekin h F [x]. Kongruenssi

Lisätiedot

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus

Lisätiedot

rm + sn = d. Siispä Proposition 9.5(4) nojalla e d.

rm + sn = d. Siispä Proposition 9.5(4) nojalla e d. 9. Renkaat Z ja Z/qZ Tarkastelemme tässä luvussa jaollisuutta kokonaislukujen renkaassa Z ja todistamme tuloksia, joita käytetään jäännösluokkarenkaan Z/qZ ominaisuuksien tarkastelussa. Jos a, b, c Z ovat

Lisätiedot

Mitään muita operaatioita symbolille ei ole määritelty! < a kaikilla kokonaisluvuilla a, + a = kaikilla kokonaisluvuilla a.

Mitään muita operaatioita symbolille ei ole määritelty! < a kaikilla kokonaisluvuilla a, + a = kaikilla kokonaisluvuilla a. Polynomit Tarkastelemme polynomirenkaiden teoriaa ja polynomiyhtälöiden ratkaisemista. Algebrassa on tapana pitää erillään polynomin ja polynomifunktion käsitteet. Polynomit Tarkastelemme polynomirenkaiden

Lisätiedot

6. Tekijäryhmät ja aliryhmät

6. Tekijäryhmät ja aliryhmät 6. Tekijäryhmät ja aliryhmät Tämän luvun tavoitteena on esitellä konstruktio, jota kutsutaan tekijäryhmän muodostamiseksi. Konstruktiossa lähdetään liikkeelle jostakin isosta ryhmästä, samastetaan alkioita,

Lisätiedot

k=1 b kx k K-kertoimisia polynomeja, P (X)+Q(X) = (a k + b k )X k n+m a i b j X k. i+j=k k=0

k=1 b kx k K-kertoimisia polynomeja, P (X)+Q(X) = (a k + b k )X k n+m a i b j X k. i+j=k k=0 1. Polynomit Tässä luvussa tarkastelemme polynomien muodostamia renkaita polynomien ollisuutta käsitteleviä perustuloksia. Teemme luvun alkuun kaksi sopimusta: Tässä luvussa X on muodollinen symboli, jota

Lisätiedot

Luuppien ryhmistä Seminaariesitelmä Miikka Rytty Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2006

Luuppien ryhmistä Seminaariesitelmä Miikka Rytty Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2006 Luuppien ryhmistä Seminaariesitelmä Miikka Rytty Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2006 Sisältö 1 Luupeista 2 1.1 Luupit ja niiden kertolaskuryhmät................. 2 2 Transversaalit 5 3

Lisätiedot

[a] ={b 2 A : a b}. Ekvivalenssiluokkien joukko

[a] ={b 2 A : a b}. Ekvivalenssiluokkien joukko 3. Tekijälaskutoimitus, kokonaisluvut ja rationaaliluvut Tässä luvussa tutustumme kolmanteen tapaan muodostaa laskutoimitus joukkoon tunnettujen laskutoimitusten avulla. Tätä varten määrittelemme ensin

Lisätiedot

802320A LINEAARIALGEBRA OSA I

802320A LINEAARIALGEBRA OSA I 802320A LINEAARIALGEBRA OSA I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 72 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä

Lisätiedot

HN = {hn h H, n N} on G:n aliryhmä.

HN = {hn h H, n N} on G:n aliryhmä. Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8, 23.27.3.2009 5 sivua Rami Luisto 1. Osoita, että kullakin n N + lukujen n 5 ja n viimeiset numerot kymmenkantaisessa

Lisätiedot

1 Algebralliset perusteet

1 Algebralliset perusteet 1 Algebralliset perusteet 1.1 Renkaat Tämän luvun jälkeen opiskelijoiden odotetaan muistavan, mitä ovat renkaat, vaihdannaiset renkaat, alirenkaat, homomorfismit, ideaalit, tekijärenkaat, maksimaaliset

Lisätiedot

2017 = = = = = = 26 1

2017 = = = = = = 26 1 JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 2, MALLIRATKAISUT Tehtävä 1. Sovella Eukleiden algoritmia ja (i) etsi s.y.t(2017, 753) (ii) etsi kaikki kokonaislukuratkaisut yhtälölle 405x + 141y = 12. Ratkaisu

Lisätiedot

Rationaaliluvun desimaaliesitys algebrallisesta ja lukuteoreettisesta näkökulmasta

Rationaaliluvun desimaaliesitys algebrallisesta ja lukuteoreettisesta näkökulmasta TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Liisa Lampinen Rationaaliluvun desimaaliesitys algebrallisesta ja lukuteoreettisesta näkökulmasta Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Kesäkuu 2016 Tampereen

Lisätiedot

Teema 4. Homomorfismeista Ihanne ja tekijärengas. Teema 4 1 / 32

Teema 4. Homomorfismeista Ihanne ja tekijärengas. Teema 4 1 / 32 1 / 32 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.2 Esimerkki 4B.1 Esimerkki 4B.2 Esimerkki 4B.3 Esimerkki 4C.1 Esimerkki 4C.2 Esimerkki 4C.3 2 / 32 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.2 Esimerkki 4B.1 Esimerkki

Lisätiedot

1 Lukujen jaollisuudesta

1 Lukujen jaollisuudesta Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 1 1 Lukujen jaollisuudesta Lukujoukoille käytetään seuraavia merkintöjä: N = {1, 2, 3, 4,... } Luonnolliset luvut Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,... } Kokonaisluvut Kun

Lisätiedot

R : renkaan R kääntyvien alkioiden joukko; R kertolaskulla varustettuna on

R : renkaan R kääntyvien alkioiden joukko; R kertolaskulla varustettuna on 0. Kertausta ja täydennystä Kurssille Äärelliset kunnat tarvittavat esitiedot löytyvät Algebran kurssista [Alg]. Hyödyksi voivat myös olla (vaikka eivät välttämättömiä) Lukuteorian alkeet [LTA] ja Salakirjoitukset

Lisätiedot

802354A Lukuteoria ja ryhmät Luentorunko Kevät Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Juha-Matti Tirilä, Antti Torvikoski, Topi Törmä

802354A Lukuteoria ja ryhmät Luentorunko Kevät Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Juha-Matti Tirilä, Antti Torvikoski, Topi Törmä 802354A Lukuteoria ja ryhmät Luentorunko Kevät 2014 Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Juha-Matti Tirilä, Antti Torvikoski, Topi Törmä Sisältö 1 Ekvivalenssirelaatio 3 2 Lukuteoriaa 4 2.1 Lukuteorian

Lisätiedot

pdfmark=/pages, Raw=/Rotate 90 1 LUKUTEORIAA JA MUITA TYÖKALUJA SALAUKSEEN Lukujoukot Sekalaisia merkintöjä...

pdfmark=/pages, Raw=/Rotate 90 1 LUKUTEORIAA JA MUITA TYÖKALUJA SALAUKSEEN Lukujoukot Sekalaisia merkintöjä... pdfmark=/pages, Raw=/Rotate 90 Sisältö 1 LUKUTEORIAA JA MUITA TYÖKALUJA SALAUKSEEN 0-2 2 Merkintöjä 0-3 2.1 Lukujoukot................... 0-3 2.2 Sekalaisia merkintöjä.............. 0-4 2.3 Tärkeitä kaavoja................

Lisätiedot

H = H(12) = {id, (12)},

H = H(12) = {id, (12)}, 7. Normaali aliryhmä ja tekijäryhmä Tarkastelemme luvun aluksi ryhmän ja sen aliryhmien suhdetta. Olkoon G ryhmä ja olkoon H G. Alkiong G vasen sivuluokka (aliryhmän H suhteen) on gh = {gh : h H} ja sen

Lisätiedot

4. Ryhmien sisäinen rakenne

4. Ryhmien sisäinen rakenne 4. Ryhmien sisäinen rakenne Tässä luvussa tarkastellaan joitakin tapoja päästä käsiksi ryhmien sisäiseen rakenteeseen. Useimmat tuloksista ovat erityisen käyttökelpoisia äärellisten ryhmien tapauksessa.

Lisätiedot

g : R R, g(a) = g i a i. Alkio g(a) R on polynomin arvo pisteessä a. Jos g(a) = 0, niin a on polynomin g(x) nollakohta.

g : R R, g(a) = g i a i. Alkio g(a) R on polynomin arvo pisteessä a. Jos g(a) = 0, niin a on polynomin g(x) nollakohta. ALGEBRA II 27 on homomorfismi. Ensinnäkin G(a + b) a + b G(a)+G(b) (f), G(ab) ab G(a)G(b) G(a) G(b) (f), ja koska kongruenssien vasempien ja oikeiden puolten asteet ovat pienempiä kuin f:n aste, niin homomorfiaehdot

Lisätiedot

800333A Algebra I Luentorunko Kevät Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Juha-Matti Tirilä

800333A Algebra I Luentorunko Kevät Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Juha-Matti Tirilä 800333A Algebra I Luentorunko Kevät 2010 Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Juha-Matti Tirilä Sisältö 1 Lukuteorian alkeita 3 1.1 Kongruenssiin liittyviä perustuloksia.............. 7 2 Ekvivalenssirelaatio

Lisätiedot

Dihedraalinen ryhmä Pro gradu Elisa Sonntag Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2013

Dihedraalinen ryhmä Pro gradu Elisa Sonntag Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2013 Dihedraalinen ryhmä Pro gradu Elisa Sonntag Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2013 Sisältö Johdanto 2 1 Ryhmä 3 2 Symmetrinen ryhmä 6 3 Symmetriaryhmä 10 4 Dihedraalinen ryhmä 19 Lähdeluettelo

Lisätiedot

Diofantoksen yhtälön ratkaisut

Diofantoksen yhtälön ratkaisut Diofantoksen yhtälön ratkaisut Matias Mäkelä Matemaattisten tieteiden tutkinto-ohjelma Oulun yliopisto Kevät 2017 Sisältö Johdanto 2 1 Suurin yhteinen tekijä 2 2 Eukleideen algoritmi 4 3 Diofantoksen yhtälön

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141 Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II LM2, Kesä 2012 1/141 Kertausta: avaruuden R n vektorit Määritelmä Oletetaan, että n {1, 2, 3,...}. Avaruuden R n alkiot ovat jonoja, joissa on n kappaletta reaalilukuja.

Lisätiedot

7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi

7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi 7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi Z p [x]/(m), missä m on polynomirenkaan Z p [x] jaoton polynomi (ks. määritelmä 3.19).

Lisätiedot

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto 3. Oletetaan, että kunnan K karakteristika on 3. Tutki,

Lisätiedot

Algebra I, Harjoitus 6, , Ratkaisut

Algebra I, Harjoitus 6, , Ratkaisut Algebra I Harjoitus 6 9. 13.3.2009 Ratkaisut Algebra I Harjoitus 6 9. 13.3.2009 Ratkaisut (MV 6 sivua 1. Olkoot M ja M multiplikatiivisia monoideja. Kuvaus f : M M on monoidihomomorfismi jos 1 f(ab = f(af(b

Lisätiedot

Luonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen

Luonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen Luonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen LuK-tutkielma Jussi Piippo Matemaattisten tieteiden yksikkö Oulun yliopisto Kevät 2017 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Esitietoja 3 2.1 Joukko-opin perusaksioomat...................

Lisätiedot

Transversaalit ja hajoamisaliryhmät

Transversaalit ja hajoamisaliryhmät Transversaalit ja hajoamisaliryhmät Graduseminaariesitelmä Miikka Rytty Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2006 Motivointi Esimerkki 1 (Ryhmäteorian kurssin harjoitustehtävä). Jos G on ryhmä,

Lisätiedot

Algebra kl Tapani Kuusalo

Algebra kl Tapani Kuusalo Algebra kl. 2010 Tapani Kuusalo Sisältö Luku 1. Luonnolliset luvut 1 Luku 2. Laskutoimitukset 4 1. Laskutoimitusten yleiset ominaisuudet 4 2. Neutraali- ja käänteisalkiot 6 3. Indusoidut laskutoimitukset,

Lisätiedot

Polynomien suurin yhteinen tekijä ja kongruenssi

Polynomien suurin yhteinen tekijä ja kongruenssi Polynomien suurin yhteinen tekijä ja kongruenssi Pro gradu -tutkielma Outi Aksela 2117470 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Renkaat 3 1.1 Rengas...............................

Lisätiedot

Koodausteoria, Kesä 2014

Koodausteoria, Kesä 2014 Koodausteoria, Kesä 2014 Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 4.7 Syklisen koodin jälkiesitys Olkoon F = F q ja K = F q m kunnan F laajennuskunta. Määritelmä 4.7.1. Kuntalaajennuksen K/F jälkifunktioksi

Lisätiedot

(xa) = (x) (a) = (x)0 = 0

(xa) = (x) (a) = (x)0 = 0 11. Ideaalit ja tekijärenkaat Rengashomomorfismi : R! R 0 on erityisesti ryhmähomomorfismi :(R, +)! (R 0, +) additiivisten ryhmien välillä. Rengashomomorfismin ydin määritellään tämän ryhmähomomorfismin

Lisätiedot

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Jarmo Niemelä. Primitiivisistä juurista ja. alkuluokkaryhmistä

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Jarmo Niemelä. Primitiivisistä juurista ja. alkuluokkaryhmistä TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Jarmo Niemelä Primitiivisistä juurista ja alkuluokkaryhmistä Matematiikan, tilastotieteen ja filosofian laitos Matematiikka Marraskuu 2000 2 TAMPEREEN YLIOPISTO

Lisätiedot

3 Ryhmäteorian peruskäsitteet ja pienet ryhmät, C 2

3 Ryhmäteorian peruskäsitteet ja pienet ryhmät, C 2 3 Ryhmäteorian peruskäsitteet ja pienet ryhmät, C 2 Olen valinnut kunkin luvun teemaksi yhden ryhmän. Ensimmäisen luvun teema on pienin epätriviaali ryhmä, eli ryhmä, jossa on kaksi alkiota. Merkitsen

Lisätiedot

R 1 = Q 2 R 2 + R 3,. (2.1) R l 2 = Q l 1 R l 1 + R l,

R 1 = Q 2 R 2 + R 3,. (2.1) R l 2 = Q l 1 R l 1 + R l, 2. Laajennettu Eukleideen algoritmi Määritelmä 2.1. Olkoot F kunta ja A, B, C, D F [x]. Sanotaan, että C jakaa A:n (tai C on A:n jakaja), jos on olemassa K F [x] siten, että A = K C; tällöin merkitään

Lisätiedot

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 6 (8 sivua) OT. 1. a) Määritä seuraavat summat:

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 6 (8 sivua) OT. 1. a) Määritä seuraavat summat: Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 6 (8 sivua) 21.2.-25.2.2011 OT 1. a) Määritä seuraavat summat: [2] 4 + [3] 4, [2] 5 + [3] 5, [2] 6 + [2] 6 + [2] 6, 7 [3]

Lisätiedot

Algebra 1, harjoitus 9, h = xkx 1 xhx 1. a) Käytetään molemmissa tapauksissa isomorfialausetta. Tarkastellaan kuvauksia

Algebra 1, harjoitus 9, h = xkx 1 xhx 1. a) Käytetään molemmissa tapauksissa isomorfialausetta. Tarkastellaan kuvauksia Algebra 1, harjoitus 9, 11.-12.11.2014. 1. Olkoon G ryhmä ja H G normaali aliryhmä. Tiedetään, että tällöin xhx 1 H kaikilla x G. Osoita, että itse asiassa xhx 1 = H kaikilla x G. Ratkaisu: Yritetään osoittaa,

Lisätiedot

d Z + 17 Viimeksi muutettu

d Z + 17 Viimeksi muutettu 5. Diffien ja Hellmanin avaintenvaihto Miten on mahdollista välittää salatun viestin avaamiseen tarkoitettu avain Internetin kaltaisen avoimen liikennöintiväylän kautta? Kuka tahansahan voi (ainakin periaatteessa)

Lisätiedot

MAT Algebra I (s) periodeilla IV ja V/2009. Esko Turunen

MAT Algebra I (s) periodeilla IV ja V/2009. Esko Turunen MAT-41150 Algebra I (s) periodeilla IV ja V/2009. Esko Turunen Tämä tiedosto sisältää kurssin kaikki laskuharjoitukset. viikottain uusia tehtäviä. Tiedostoon lisätään To 05.02.09 pidetyt harjoitukset.

Lisätiedot

Shorin algoritmin matematiikkaa Edvard Fagerholm

Shorin algoritmin matematiikkaa Edvard Fagerholm Edvard Fagerholm 1 Määritelmiä Määritelmä 1 Ryhmä G on syklinen, jos a G s.e. G = a. Määritelmä 2 Olkoon G ryhmä. Tällöin alkion a G kertaluku ord(a) on pienin luku n N \ {0}, jolla a n = 1. Jos lukua

Lisätiedot

Matriisipotenssi. Koska matriisikertolasku on liitännäinen (sulkuja ei tarvita; ks. lause 2), voidaan asettaa seuraava määritelmä: ja A 0 = I n.

Matriisipotenssi. Koska matriisikertolasku on liitännäinen (sulkuja ei tarvita; ks. lause 2), voidaan asettaa seuraava määritelmä: ja A 0 = I n. Matriisipotenssi Koska matriisikertolasku on liitännäinen (sulkuja ei tarvita; ks. lause 2), voidaan asettaa seuraava määritelmä: Määritelmä Oletetaan, että A on n n -matriisi (siis neliömatriisi) ja k

Lisätiedot

Lineaarialgebra Kerroinrenkaat. Kevät Kerkko Luosto Informaatiotieteiden yksikkö, Tampereen yliopisto

Lineaarialgebra Kerroinrenkaat. Kevät Kerkko Luosto Informaatiotieteiden yksikkö, Tampereen yliopisto Lineaarialgebra 2 Kevät 2014 Kerkko Luosto Informaatiotieteiden yksikkö, Tampereen yliopisto Á Ë Ð Ö Ø Ú ØÓÖ Ø 1. Kerroinrenkaat 1.1. Määritelmä. Yhden laskutoimituksen rakenne(g, + on Abelin ryhmä, jos

Lisätiedot

9 Matriisit. 9.1 Matriisien laskutoimituksia

9 Matriisit. 9.1 Matriisien laskutoimituksia 9 Matriisit Aiemmissa luvuissa matriiseja on käsitelty siinä määrin kuin on ollut tarpeellista yhtälönratkaisun kannalta. Matriiseja käytetään kuitenkin myös muihin tarkoituksiin, ja siksi on hyödyllistä

Lisätiedot

Kvasiryhmistä ja niiden sovelluksista

Kvasiryhmistä ja niiden sovelluksista TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Suvi Pasanen Kvasiryhmistä ja niiden sovelluksista Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Maaliskuu 2016 Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden yksikkö PASANEN,

Lisätiedot

Mikäli huomaat virheen tai on kysyttävää liittyen malleihin, lähetä viesti osoitteeseen

Mikäli huomaat virheen tai on kysyttävää liittyen malleihin, lähetä viesti osoitteeseen Mikäli huomaat virheen tai on kysyttävää liittyen malleihin, lähetä viesti osoitteeseen anton.mallasto@aalto.fi. 1. 2. Muista. Ryhmän G aliryhmä H on normaali aliryhmä, jos ah = Ha kaikilla a G. Toisin

Lisätiedot

ei ole muita välikuntia.

ei ole muita välikuntia. ALGEBRA II 41 Lause 4.15. F q m on polynomin x qm x hajoamiskunta kunnan F q suhteen. Todistus. Olkoon α kunnan F q m primitiivialkio. Nyt F qm =< α > muodostuu täsmälleen polynomin x qm 1 1nollakohdistajatäten

Lisätiedot

Johdatus matematiikkaan

Johdatus matematiikkaan Johdatus matematiikkaan Luento 7 Mikko Salo 11.9.2017 Sisältö 1. Funktioista 2. Joukkojen mahtavuus Funktioista Lukiomatematiikassa on käsitelty reaalimuuttujan funktioita (polynomi / trigonometriset /

Lisätiedot

Cauchyn ja Sylowin lauseista

Cauchyn ja Sylowin lauseista Cauchyn ja Sylowin lauseista Pro gradu-tutkielma Jukka Kuru Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2014 Sisältö Johdanto 2 1 Peruskäsitteet 4 1.1 Funktion käsitteitä........................ 4

Lisätiedot

Salausmenetelmät. Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006)

Salausmenetelmät. Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) Salausmenetelmät Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) LUKUTEORIAA JA ALGORITMEJA 3. Kongruenssit à 3.1 Jakojäännös ja kongruenssi Määritelmä 3.1 Kaksi lukua a ja b ovat keskenään kongruentteja (tai

Lisätiedot

9. Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista

9. Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista 29 9 Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista Tarkastelemme kertalukua n olevia lineaarisia differentiaaliyhtälöitä y ( x) + a ( x) y ( x) + + a ( x) y( x) + a ( x) y= b( x) ( n) ( n

Lisätiedot

Eräitä ratkeavuustarkasteluja

Eräitä ratkeavuustarkasteluja Eräitä ratkeavuustarkasteluja Pro gradu-tutkielma Milla Jantunen 2124227 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Kevät 2014 Sisältö 1 Ryhmät ja aliryhmät 3 1.1 Ryhmä...............................

Lisätiedot

Algebra I, harjoitus 8,

Algebra I, harjoitus 8, Algebra I, harjoitus 8, 4.-5.11.2014. 1. Olkoon G ryhmä ja H sen normaali aliryhmä. Todista, että tällöin G/H on ryhmä, kun määritellään laskutoimitus joukossa G/H asettamalla aina, kun x, y G (lauseen

Lisätiedot

Koodausteoria, Kesä 2014

Koodausteoria, Kesä 2014 Koodausteoria, Kesä 2014 Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos Koodausteoria 10 op Kontaktiopetusta 50 h, 26.5. - 26.6. ma 10-14, ti 10-13, to 10-13 Aloitusviikolla poikkeuksellisesti ke 10-13 torstain

Lisätiedot

Valitsemalla sopivat alkiot joudutaan tämän määritelmän kanssa vaikeuksiin, jotka voidaan välttää rakentamalla joukko oppi aksiomaattisesti.

Valitsemalla sopivat alkiot joudutaan tämän määritelmän kanssa vaikeuksiin, jotka voidaan välttää rakentamalla joukko oppi aksiomaattisesti. Joukon määritelmä Joukko on alkioidensa kokoelma. Valitsemalla sopivat alkiot joudutaan tämän määritelmän kanssa vaikeuksiin, jotka voidaan välttää rakentamalla joukko oppi aksiomaattisesti. Näin ei tässä

Lisätiedot

1. Tarkastellaan esimerkissä 4.9 esiintynyttä neliön symmetriaryhmää

1. Tarkastellaan esimerkissä 4.9 esiintynyttä neliön symmetriaryhmää Ryhmäteoreettinen näkökulma Rubikin kuutioon Matematiikan ja tilastotieteen laitos Syksy 2010 Harjoitus 2 Ratkaisuehdotus 1. Tarkastellaan esimerkissä 4.9 esiintynyttä neliön symmetriaryhmää D 8 = { id,

Lisätiedot

Tekijäryhmiä varten määritellään aluksi sivuluokat ja normaalit aliryhmät.

Tekijäryhmiä varten määritellään aluksi sivuluokat ja normaalit aliryhmät. 3 Tekijäryhmät Tekijäryhmän käsitteen avulla voidaan monimutkainen ryhmä jakaa osiin. Ideana on, että voidaan erikseen tarkastella, miten laskutoimitus vaikuttaa näihin osiin kokonaisuuksina, ja jättää

Lisätiedot

Tensorialgebroista. Jyrki Lahtonen A = A n. n=0. I n, I = n=0

Tensorialgebroista. Jyrki Lahtonen A = A n. n=0. I n, I = n=0 Tensorialgebroista Esitysteorian kesäopintopiiri, Turun yliopisto, 2012 Jyrki Lahtonen Olkoon k jokin skalaarikunta. Kerrataan k-algebran käsite: A on k-algebra, jos se on sekä rengas että vektoriavaruus

Lisätiedot

4 Abelin ryhmät. 4.1 Suorat tulot ja summat

4 Abelin ryhmät. 4.1 Suorat tulot ja summat 4 Abelin ryhmät Ensimmäisellä ryhmäteorian kurssilla käytiin läpi lähinnä syklisiä ryhmiä. Tällä kurssilla keskitymme epäkommutatiivisiin esimerkkeihin. On kuitenkin niin, että äärellisesti viritettyjen

Lisätiedot

koska 2 toteuttaa rationaalikertoimisen yhtälön x 2 2 = 0. Laajennuskunnan

koska 2 toteuttaa rationaalikertoimisen yhtälön x 2 2 = 0. Laajennuskunnan 4. Äärellisten kuntien yleisiä ominaisuuksia 4.1. Laajenuskunnat. Tarkastellaan aluksi yleistä kuntaparia F ja K, missä F on kunnan K alikunta. Tällöin sanotaan, että kunta K on kunnan F laajennuskunta

Lisätiedot

Ortogonaalinen ja ortonormaali kanta

Ortogonaalinen ja ortonormaali kanta Ortogonaalinen ja ortonormaali kanta Määritelmä Kantaa ( w 1,..., w k ) kutsutaan ortogonaaliseksi, jos sen vektorit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan eli w i w j = 0 kaikilla i, j {1, 2,..., k}, missä

Lisätiedot

(x + I) + (y + I) = (x + y)+i. (x + I)(y + I) =xy + I. kaikille x, y R.

(x + I) + (y + I) = (x + y)+i. (x + I)(y + I) =xy + I. kaikille x, y R. 11. Ideaalit ja tekijärenkaat Rengashomomorfismi φ: R R on erityisesti ryhmähomomorfismi φ: (R, +) (R, +) additiivisten ryhmien välillä. Rengashomomorfismin ydin määritellään tämän ryhmähomomorfismin φ

Lisätiedot

Algebran ja lukuteorian harjoitustehtävien ratkaisut

Algebran ja lukuteorian harjoitustehtävien ratkaisut Algebran ja lukuteorian harjoitustehtävien ratkaisut Versio 1.0 (27.1.2006 Turun yliopisto Lukuteoria 1. a Tarkistetaan ekvivalenssirelaation ehdot. on refleksiivinen, sillä identiteettikuvaus, id : C

Lisätiedot

Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma

Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten Ratkaisuehdotelma Tehtävä 1 1. Etsi lukujen 4655 ja 12075 suurin yhteinen tekijä ja lausu se kyseisten lukujen lineaarikombinaationa ilman laskimen

Lisätiedot

1.1. Määritelmiä ja nimityksiä

1.1. Määritelmiä ja nimityksiä 1.1. Määritelmiä ja nimityksiä Luku joko reaali- tai kompleksiluku. R = {reaaliluvut}, C = {kompleksiluvut} R n = {(x 1, x 2,..., x n ) x 1, x 2,..., x n R} C n = {(x 1, x 2,..., x n ) x 1, x 2,..., x

Lisätiedot

Algebra I. Jokke Häsä ja Johanna Rämö. Matematiikan ja tilastotieteen laitos Helsingin yliopisto

Algebra I. Jokke Häsä ja Johanna Rämö. Matematiikan ja tilastotieteen laitos Helsingin yliopisto Algebra I Jokke Häsä ja Johanna Rämö Matematiikan ja tilastotieteen laitos Helsingin yliopisto Kevät 2011 Sisältö 1 Laskutoimitukset 6 1.1 Työkalu: Joukot ja kuvaukset..................... 6 1.1.1 Joukko..............................

Lisätiedot