Liite 2. Ryhmien ja kuntien perusteet
|
|
- Timo Niemelä
- 9 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Liite 2. Ryhmien ja kuntien perusteet 1. Ryhmät 1.1 Johdanto Erilaisissa matematiikan probleemoissa törmätään usein muotoa a + x = b tai a x = b oleviin yhtälöihin, joissa tuntematon muuttuja on x. Lukujoukkoja koskevissa tarkasteluissa edellinen yhtälö johtaa negatiivisten lukujen määrittelyyn, jälkimmäinen johtaa rationaalilukujen määrittelyyn. Vastaavia yhtälöitä esiintyy myös matriiseilla. Jos A on neliömatriisi, jonka determinantti on nollasta eroava, voidaan yhtälön AX = B ratkaisu esittää muodossa X = A -1 B. Yhtälön 5 + x = 2 ratkaisu perustuu eräisiin laskusääntöihin, jotka yleistettynä muodostavat ryhmän määritelmän: 5 + x = (5 + x) = (lisätään alkio 5) ( 5 + 5) + x = (liitäntä- eli assosiatiivisuusominaisuus a + (b + c) = (a + b) + c ) 0 + x = 5 +2 (laskettu 5 + 5) x = (luvun 0 ominaisuus) x = 3 (lasketaan ) Ratkaisussa käytettiin seuraavia kokonaislukujen ominaisuuksia: Jokaisella kokonaisluvulla a on vastaluku a, jolle a + a = 0. Kokonaislukujen joukossa on neutraalialkio 0, jolle 0 + a = a + 0 = a kaikilla a Z. Lisäksi yhteenlasku on assosiatiivinen, eli a + (b + c) = (a + b) + c. Yhteenlaskussa ei laskujen suoritusjärjestyksellä ole siis väliä. Yllä mainituja ominaisuuksia on monilla matemaattisilla objekteilla, mm. matriiseilla. Niitä sanotaan ryhmäominaisuuksiksi. 1.2 Ryhmän määritelmä ja esimerkkejä ryhmistä. Määritelmä 1. (Ryhmä, Group) Olkoon G ei-tyhjä joukko ja * tässä joukossa määritelty binäärioperaatio. Pari < G, * > on ryhmä, jos seuraavat ominaisuudet ovat voimassa: 1) a*b G aina kun a ja b G (G on suljettu operaation * suhteen) 2) (a*b)*c = a*(b*c) kaikilla a,b,c G (assosiatiivisuus) 3) on olemassa neutraalialkio e, jolle e*a = a*e = a kaikilla a G 4) kaikilla a G on olemassa käänteisalkio a -1, jolle a -1 *a = a*a -1 = e Huomautus. Jatkossa binäärioperaatiota ei ole aina kaikissa yhteyksissä tarpeen tarkalleen yksilöidä. Niissä tapauksissa, joissa binäärioperaatio voidaan ymmärtää asiayhteyden perusteella, voidaan myös pelkkää joukkoa G nimittää ryhmäksi. Esimerkki 1. <Z, +> on ryhmä, koska siinä on neutraalialkio 0 ja jokaisella luvulla on vastaluku a. Sen sijaan <Z, *> ei ole ryhmä, koska esimerkiksi luvulla 2 ei ole käänteisalkiota kertolaskun suhteen (luku 1/2 ei kuulu kokonaislukuihin). Esimerkki 2. {0} on ryhmä kertolaskun suhteen, koska luku 1 on neutraalialkio ja kuuluu rationaalilukuihin. Lisäksi jokaisella rationaaliluvulla a b ( 0) on käänteisluku b a, jolle b a * a b = 1.
2 Salakirjoitus 2 Määritelmä 2. (Abelin ryhmä) Ryhmää <G, *> sanotaan Abelin ryhmäksi, jos a*b = b*a kaikilla a, b G (kommutatiivisuus). Esimerkki 3. <Z, +> on Abelin ryhmä, koska a + b = b + a kaikille kokonaisluvuille a ja b. Esimerkki 4. Ei-singulaaristen 2x2 neliömatriisien joukko ei ole Abelin ryhmä, koska yleensä AB BA (tulo ei ole kommutatiivinen) A = ; B = ; tulo1 = A.B // MatrixForm tulo2 = B.A // MatrixForm Esimerkki 5. Joukko Z 5 = {[0], [1], [2], [3], [4]} on ryhmä kun laskutoimituksena on yhteenlasku modulo 5. Seuraavasta yhteenlaskutaulusta nähdään kaikkien alkioiden vasta-alkiot. Taulukko on symmetrinen diagonaalin suhteen, joten ryhmä on Abelin ryhmä. taulukko = Table[Mod[x + y, 5], {x, 0, 4}, {y, 0, 4}] // MatrixForm Esimerkki 6. Joukko Z 7 {0} eli {[1], [2], [3], [4], [5], [6]} on Abelin ryhmä kertolaskun (mod 7) suhteen. Kertotaulu: taulukko = Table[Mod[x y, 7], {x, 1, 6}, {y, 1, 6}] // MatrixForm Mitkä ovat alkioiden [4] ja [5] käänteisalkiot tässä ryhmässä?
3 Salakirjoitus 3 2. Ryhmien perusominaisuudet Lause 1. Olkoon <G, *> ryhmä sekä a, b ja c joukon G alkioita. Seuraavat implikaatiot ovat voimassa: 1) jos a*b = a*c, niin b = c, 2) jos b*a = c*a, niin b = c. Todistus. Olkoon a*b = a*c. Koska a G, alkiolla a on olemassa käänteisalkio a -1, jolle a -1 *a = e. Nyt a -1 *(a*b) = a -1 *(a*c), josta assosiatiivisuuden perusteella (a -1 *a)*b = (a -1 *a)*c ja edelleen e*b = e*c, josta saadaan väite b = c. Vastaavasti osoitetaan lauseen toinen osa. Lause 2. Olkoon <G, *> ryhmä. Tällöin yhtälöillä a*x = b ja y*a = b on yksikäsitteiset ratkaisut x, y G. Todistus. Olkoon a*x = b. Tällöin a -1 *(a*x) = (a -1 *a)*x = e*x = x. Siis x = a -1 *(a*x) = a -1 b. Ratkaisu on siten x = a -1 b. Osoitetaan vielä ratkaisun yksikäsitteisyys. Olkoon x ja x' ratkaisuja, ts. a*x = b ja a*x' = b. Tällöin a*x = a*x' ja Lauseen 1 nojalla x = x'. Vastaavasti osoitetaan, että (yksikäsitteisesti) y = b*a -1. Lause 3. Ryhmän <G, *> neutraalialkio e on yksikäsitteinen. Alkion a käänteisalkio a -1 on yksikäsitteinen. Todistus jätetään harjoitustehtäväksi. Seuraus 1. Olkoot a ja b ryhmän <G, *> alkioita. Tällöin (a*b) -1 = b -1 * a -1. Todistus. (b -1 *a -1 )*(a*b) = b -1 *(a -1 *(a*b)) = b -1 *((a -1 *a)*b) = b -1 *(e*b) = b -1 *b = e. Vastaavalla tavalla osoitetaan, että (a*b)*(b -1 *a -1 ) = e. Harjoitus. Abelin ryhmässä <G, *> on 3 alkiota: neutraalialkio e, sekä a ja b. Kirjoita ryhmän kertotaulu. 3. Aliryhmät Määritelmä 3. (Ryhmän kertaluku) Äärellisen ryhmän G alkioiden lukumäärää sanotaan ryhmän G kertaluvuksi ja merkitään G tai #G. (Yleisemmin joukon S alkioiden lukumäärää sanotaan sen kertaluvuksi ja merkitään S. Myös termejä kardinaaliluku ja mahtavuus käytetään.) Määritelmä 4. (Aliryhmä) Olkoon ryhmän <G, *> osajoukko H suljettu operaation * suhteen (ts. a,b H a*b H) ja olkoon H (tarkemmin sanottuna <H, *>) itsessään ryhmä operaation * suhteen. Tällöin joukkoa H sanotaan ryhmän G aliryhmäksi ja merkitään H G. Määritelmä 5. (Aito ja triviaali aliryhmä) Jos H on ryhmän G aliryhmä ja H G, sanotaan että H on ryhmän G aito aliryhmä. Ryhmä {e} on ryhmän G triviaali aliryhmä. Esimerkki 1. Joukko H = {..., 4, 2, 0, 2, 4,... } on kokonaislukujen joukon aliryhmä, kun laskutoimituksena on yhteenlasku. Perustelu. Ryhmäaksiomit toteutuvat, koska joukossa H on neutraalialkio 0 ja jokaisella luvulla on vasta-alkio
4 Salakirjoitus 4 Ryhmäaksiomit joukossa ja jokaisella joukossa H. Lisäksi H on suljettu yhteenlaskun suhteen, koska parillisten lukujen summakin on parillinen. Lause 4. Ryhmän G osajoukko H on ryhmän aliryhmä jos ja vain jos 1) H on suljettu ryhmän G ryhmäoperaation suhteen, 2) neutraalialkio e kuuluu joukkoon H, 3) jokaisella joukon H alkiolla a on käänteisalkio a -1 joukossa H. Todistus. Kohta "vain jos, ts. ": Oletetaan, että H on ryhmän G aliryhmä. Tällöin ominaisuuksien 1 3 täytyy toteutua aliryhmän määritelmästä. Kohta "jos, ts. ": Oletetaan, että ominaisuudet 1 3 ovat voimassa. Tällöin riittää osoittaa, että joukossa H ovat voimassa ryhmäaksiomit. Ehdot 2 3 takaavat neutraalialkion ja käänteisalkion olemassaolon. Assosiatiivisuusominaisuus seuraa siitä, että joukon H alkiot ovat samalla joukon G alkioita, joilla assosiatiivisuus on voimassa, koska G on ryhmä. 4. Sykliset ryhmät ja ryhmän generaattori Määritelmä 6. (Alkion potenssi) Olkoon G ryhmä ja a sen alkio sekä m Z +. Tällöin määritellään a m = a*a*a* *a (m tekijää) a 0 = e (neutraalialkio) a -m = a -1 m = a -1 *a -1 *a -1 * * a -1 (m tekijää) Huomautus. Jatkossa lasketaan ilman välivaiheita siten, että seuraavat yhtäsuurudet ajatellaan tunnetuiksi: a m *a n = a m+n (a m ) n = a mn a n *a -n = a -n *a n = e. Totea, että nämä sinällään varsin ilmeiset tulokset ovat voimassa aina kun m, n Z. Sykliset ryhmät Lause 5. Olkoon G ryhmä ja a sen alkio. Tällöin H = {a n n Z } on ryhmän G aliryhmä ja samalla pienin ryhmän G aliryhmä, joka sisältää alkion a. Todistus. Osoitetaan, että Lauseen 4 ominaisuudet 1 3 ovat voimassa. 1) Jos x ja y kuuluvat joukkoon H, niin niiden muoto on: x = a n ja y = a m. Tällöin x*y = a n *a m = a n+m joten tulo x*y H. 2) a 0 = e, joten neutraalialkio e H. 3) Jos x H, niin x = a n. Tällöin alkio a -n H ja a n *a -n = a -n *a n = e, joten a -n on alkion x käänteisalkio. Osoitetaan vielä, että H on pienin ryhmän G aliryhmä, joka sisältää alkion a. Tätä varten olkoon K ryhmän G aliryhmä, joka sisältää alkion a. Sulkeutuvuusominaisuuden perusteella myös a -1 K, ja a*a, a*a*a,..., eli yleisesti alkion a positiivisen eksponentin omaavat potenssit a n K. Vastaavasti alkion a -1 potenssit a -m kuuluvat joukkoon K. Koska K on ryhmä, myös neutraalialkio e = a 0 K. Siis K sisältää kaikki potenssit a n, missä n Z. Siten H K. Näin ollen H on pienin ryhmän G aliryhmä, joka sisältää alkion a.
5 Salakirjoitus 5 Määritelmä 7. (Syklinen aliryhmä <a>) Ryhmää H = { a n n Z } sanotaan alkion a generoimaksi ryhmän G sykliseksi aliryhmäksi ja merkitään <a>. Ryhmän generaattori Määritelmä 8. (Ryhmän generaattori g) Jos alkion a G generoima syklinen aliryhmä on itse G, ts. jos < a > = G, niin alkiota a sanotaan ryhmän G generaattoriksi. Ryhmää G sanotaan sykliseksi, jos on olemassa alkio a G, joka generoi ryhmän G. Esimerkki 1. Alkio [3] generoi ryhmän Z 7 = {[1], [2], [3], [4], [5], [6]}, kun operaationa on kertolasku modulo 7 (huom. tässä ja alla merkintä Z m tarkoittaa alkion [0] puuttumisen takia eri joukkoa, kuin päätekstin Kappaleessa 3). Tuloksen, että alkio [3] generoi ryhmän Z 7, voi todeta oikeaksi laskemalla käsin, tai käyttämällä Mathematicakomentoa PowerMod[3,n,7]. Tässä laskennallisesti helpossa tapauksessa voisi myös käyttää yksinkertaista kutsua Mod[3 n,7]. Table[PowerMod[3, n, 7], {n, 1, 6}] {3, 2, 6, 4, 5, 1} Esimerkki 2. Alkio [2] sen sijaan ei ole ryhmän Z 7 generaattori, vaan generoi sen aliryhmän {[1], [2], [4]}. Table[PowerMod[2, n, 7], {n, 1, 6}] {2, 4, 1, 2, 4, 1} Tehtävä. Olkoon G = Z 13 ={[1], [2],..., [12]}, missä ryhmäoperaationa on kertolasku modulo 13. Etsi ryhmän G generaattorit. Nimityksiä. Olkoon a ryhmän G alkio. Jos syklinen aliryhmä <a> on äärellinen, niin alkion a kertaluvuksi sanotaan sen määrittämän syklisen aliryhmän kertalukua <a>. Muutoin sanotaan, että alkion a kertaluku on ääretön. Alkion a kertaluvusta käytetään merkintää ord(a). 5. Syklisten ryhmien ominaisuuksia Lause 6. Jokainen syklinen ryhmä on Abelin ryhmä. Todistus. Kuten Kappaleen 1 Määritelmä 2 esitti, ryhmä G on Abelin ryhmä, jos a*b = b*a kaikilla a, b G. Olkoon nyt G syklinen ryhmä ja a sen generaattori. Jos x ja y G, on olemassa n, m Z siten, että x = a m ja y = a n. Tällöin x*y = a m *a n = a m+n = a n *a m = y*x. Lause 7. Syklisen ryhmän aliryhmä on syklinen. Todistus. Olkoon G syklinen ryhmä, a sen generaattori ja olkoon H ryhmän G aliryhmä. Jos H = {e}, niin H = <e> on syklinen. Muutoin a n H eräällä n Z. Olkoon m pienin positiivinen kokonaisluku, jolle a m H. Osoitamme, että g = a m generoi aliryhmän H, eli että <g> = H. Osoitetaan siis, että
6 Salakirjoitus 6 jolle g generoi aliryhmän g jokainen b H on alkion g potenssi. Koska b H, ja H on ryhmän G aliryhmä, on b = a n jollekin n Z. Jakoalgoritmin mukaan n = qm + r joillekin kokonaisluvuille q ja r, missä 0 r < m. Siten a n = a qm + r = (a m ) q *a r. Tästä seuraa, että a r = (a m ) -q *a n, joka kuuluu joukkoon H, koska (a m ) -q ja a n ovat aliryhmän H alkioita. Koska 0 r < m ja m oli pienin positiivinen kokonaisluku, jolle a m H, täytyy olla r = 0. Siten b = a n = a qm + r = (a m ) q = g q, joten g = a m generoi aliryhmän H. Näin ollen H on syklinen. Seuraus 2. Kokonaislukujen joukon sykliset aliryhmät yhteenlaskun suhteen ovat ryhmät nz = {na a Z }. Esimerkki 1. Ryhmä 3Z = {..., 6, 3, 0, 3, 6,...} on kokonaislukujen joukon syklinen aliryhmä yhteenlaskun suhteen. Syklisten ryhmien rakenne Olkoon G syklinen ryhmä ja a sen generaattori. Tarkastellaan tilanteita, jossa kertaluku G (tai #G) on 1) ääretön ja 2) äärellinen: 1) Jos G on ääretön, kaikki generaattorin a potenssit ovat keskenään erisuuria. Vastaoletus: On olemassa erisuuret h ja k (h > k) siten, että a h = a k. Tällöin kertomalla alkiolla a -k saadaan a h-k = e. Olkoon m pienin positiivinen luku, jolle a m = e. Osoitetaan, että ryhmällä G on tällöin vain m erisuurta alkiota e, a, a 2,..., a m-1. Olkoon a n G. Tällöin jakoalgoritmin nojalla n = qm + r, missä 0 r < m, ja a n = a qm+r = (a m ) q *a r = e q *a r = a r. Siis a n on jokin alkioista e, a,..., a m-1 ja G on äärellinen. Vastaoletus on väärä ja siten kaikki alkion a potenssit ovat erisuuria. 2) Jos G on äärellinen, kaikki generaattorin a potenssit eivät voi olla erisuuria, vaan on olemassa h ja k (h > k), joille a h = a k, josta a h-k = e. Olkoon m pienin positiivinen kokonaisluku, jolle a m = e (m on olemassa, koska edellä a h-k = e, h > k). Tällöin ryhmä G koostuu alkioista e, a, a 2,..., a m-1 ja m on sen kertaluku. Lause 8. Joukko Z n = {[0], [1], [2],..., [n 1]} laskutoimituksena yhteenlasku modulo n, on syklinen ryhmä. Perustelu. Esimerkiksi alkio [1] on ryhmän generaattori, sillä jokainen joukon alkio voidaan esittää muodossa k [1] = [1] + [1] + + [1] (k termiä), missä k on kokonaisluku väliltä [0, n 1]. Neutraalialkio on [0], koska [0] + x = x + [0] = x kaikilla x Z n. Alkion x käänteisalkio on [n] x, sillä x + ([n] x) = ([n] x) + x = [n] = [0] modulo n. Huomautus. Olemme lainanneet merkintätavan kertolaskuoperaation yhdeydessä käytetystä tavasta. Aina kun operaatio * on yhteenlasku (+), niin a n ; n > 0; tulkitaan monikertana na = a + a + a + + a (n termiä), a 0 = e ja a -n ; n > 0; tulkitaan monikertana n(-a) = (-a) + (-a) + (-a) + + (-a) (n termiä). Äärellisten syklisten ryhmien aliryhmistä Lause 9. Olkoon G äärellinen syklinen ryhmä, jonka kertaluku on n ja olkoon a sen generaattori. Olkoon b = a s. Tällöin b generoi ryhmän G syklisen aliryhmän H, jossa on n/d alkiota, missä d = syt(n, s). Todistus. Se, että b generoi syklisen aliryhmän H, on osoitettu Lauseessa 7. Osoitetaan, että aliryhmässä H on n/d alkiota. Seuraten Lauseen 7 todistusta, aliryhmässä H on m alkiota, missä m on pienin positiivinen luku, jolle b m = e. Nyt b = a s ja b m = a sm = e, joten n ms. Mikä on pienin positiivinen kokonaisluku m, jolle n ms? Olkoon d = syt(n, s). Tällöin d voidaan esittää lineaarikombinaationa muodossa d = un + vs, missä u,v Z. Koska d on tekijänä sekä luvuissa n ja s, niin 1 = u (n/d) + v (s/d), missä sekä n/d ja s/d ovat kokonaislukuja. Tällöin n/d ja s/d ovat suhteellisia alkulukuja. Olkoon m pienin sellainen luku, että m s = m s / d n n/d kokonaisluku. Nyt n/d on tekijänä osamäärässä ms/d ja tästä seuraa, että n/d on luvun m tekijä. Pienin tällainen luku m = n/d. Siten aliryhmän H kertaluku on n/d. on
7 Salakirjoitus 7 Seuraus 3. Jos a on äärellisen syklisen ryhmän G generaattori ja G = n, niin kaikki muut generaattorit ovat muotoa a r, missä syt(r, n) = Sivuluokat ja Lagrangen teoreema Sivuluokat Määritelmä 9. (Sivuluokka) Olkoon H ryhmän G aliryhmä. Joukon G osajoukkoa ah = {a*h h H }, missä a G, sanotaan alkion a generoimaksi ryhmän H vasemmaksi sivuluokaksi. Vastaavasti joukkoa Ha = {h*a h H }, a G, sanotaan alkion a generoimaksi ryhmän H oikeaksi sivuluokaksi. Jos H on ryhmän G aliryhmä, jokainen ryhmän G alkio kuuluu johonkin ryhmän H sivuluokkaan. (Jos x on mielivaltainen ryhmän G alkio, niin x = x*h -1 * h, missä h H on mielivaltainen. Tällöin x kuuluu ryhmän H sivuluokkaan ah, missä a = x *h -1.) Lause 10. Ryhmän G aliryhmän H jokaisella sivuluokalla on yhtä monta alkiota. Todistus. Olkoon G ryhmä ja H sen aliryhmä. Olkoon g ryhmän G alkio. Määritellään kuvaus f: H gh siten, että f(x) = g*x kaikilla x H. Osoitetaan, että f on bijektio. Olkoot g*x ja g*y kaksi sivuluokan gh alkiota ja g*x = g*y. Koska G on ryhmä, kertomalla alkion g käänteisalkiolla saadaan x = y. Kuvaus f on siis bijektio ja siten kaikilla aliryhmän H vasemmanpuolisilla sivuluokilla on sama määrä alkioita. Samoin todistetaan väite oikeanpuolisille sivuluokille. Näin ollen aliryhmän H sivuluokat muodostavat ryhmän G osituksen (partition), ts. näiden sivuluokkien unioni on G ja jokaisen sivuluokkaparin leikkausjoukko on tyhjä joukko. Lause 11. (Lagrangen teoreema) Äärellisen ryhmän G aliryhmän H kertaluku on ryhmän G kertaluvun tekijä. Todistus. Olkoon n ryhmän G kertaluku ja m aliryhmän H kertaluku. Lauseen 10 mukaan jokaisessa aliryhmän H sivuluokassa on täsmälleen m alkiota. Olkoon r ryhmän H sivuluokkien lukumäärä, kun luokat on muodostettu ryhmän G vasemmista sivuluokista. Tällöin Lauseen 10 todistuksen perusteella n = rm, joten m on todellakin kertaluvun n tekijä. Seuraus 4. Jokainen ryhmä, jonka kertaluku on alkuluku, on syklinen. Todistus. Olkoon G ryhmä ja alkuluku p sen kertaluku. Olkoon a e ryhmän G alkio ja <a> sen virittämä syklinen aliryhmä. Tällöin aliryhmässä <a> on ainakin alkiot e ja a. Lauseen 10 nojalla syklisen aliryhmän <a> kertaluku m on tekijänä ryhmän G kertaluvussa p, mutta koska p on alkuluku, m = p ja <a> on G, joten ryhmä G on syklinen. Lause 12. Äärellisen ryhmän jokaisen alkion kertaluku on tekijänä ryhmän kertaluvussa. Todistus. Olkoon G äärellinen ryhmä, jonka kertaluku on n ja olkoon a ryhmän G alkio. Tällöin alkion a kertaluku (siis ord(a)) on määritelmän mukaan sen generoiman syklisen aliryhmän <a> kertaluku ja <a> on ryhmän G aliryhmä. Lauseen 11 nojalla alkion a kertaluku on tekijänä ryhmän G kertaluvussa. Onko Lause 12 voimassa myös toiseen suuntaan? Voidaan osoittaa, että jos G on Abelin ryhmä, sen kertaluvun jokaista tekijää k kohden löytyy ryhmän G alkio, jonka kertaluku on k.
8 Salakirjoitus 8 7. Renkaat ja kunnat Useimmat lukijat tuntevat rationaali-, reaali ja kompleksilukujoukkojen yhteen- ja kertolaskua koskevat ominaisuudet, ts. niiden algebralliset rakenteet. Näistä joukoista, yhdessä niissä määriteltyjen laskutoimitusten kanssa, käytetään nimitystä kunta. Diskreetissä matematiikassa, erityisesti kryptologiassa ja koodausteoriassa, äärellisten kuntien teoria on keskeinen. Esittelemme seuraavassa lyhyesti tarvittavat käsitteet. Kunnan määritelmä pohjautuu ryhmän käsitteeseen, jota käsittelimme edellä. Ennen kuin esitämme kunnan määritelmän, on kuitenkin käytännöllistä ensin määritellä rakenne nimeltä rengas. Esimerkiksi kokonaislukujen joukko Z muodostaa renkaan, mutta ei muodosta kuntaa, koska nollasta eroavilla alkioilla ei yleensä ole kertolaskun käänteisalkiota. Käytämme alla kahdesta binäärioperaatiosta tarkoituksella merkintöjä + ja, koska niitä käytetään tutujen joukkojen Z, Z m,, ja C yhteydessä. Kuitenkin merkintöjen tarkoitus on olla voimassa yleisesti mitä erilaisempien joukkojen ja niissä määriteltyjen operaatioiden yhteydessä. Vaikka yleinen abstrakti rakenne on yhteinen, nämä operaatiot voivat ensi näkemältä poiketa paljonkin siitä, mikä tähän saakka on ollut tuttua yhten- ja vähennyslaskuoperaattoreiden yhteydestä. Näihin (abstraktin algebran) rakenteisiin voi perehtyä lisää lukemalla esimerkiksi kirjoja Nicholson [8] ja van Tilborg [11]. Rengas Määritelmä 10. (Rengas, Ring) Kolmikko (R, +, ) on rengas, jos 1) < R, + > on kommutatiivinen (vaihdannainen) ryhmä (siis Abelin ryhmä). Tässä yksikköalkiosta (ts. neutraalialkiosta) käytetään merkintää 0. 2) Operaatio on assosiatiivinen (liitännäinen). 3) Distributiivisuus (osittelu) on voimassa, ts. kaikille r, s, t R on voimassa r (s + t) = r s + r t ja (r + s) t = r t + s t. Ryhmän < R, + > alkion a käänteisalkiota sanotaan vasta-alkioksi ja siitä käytetään merkintää -a, samoin kirjoitamme 2 a yhteenlaskun a + a asemasta, ja 3 a tarkoittaa a + a + a, jne. Myös a b on lyhennysmerkintä, joka tarkoittaa samaa kuin a + (-b). Huomattakoon myös, että 0 todellakin käyttäytyy kuten nolla-alkio, koska kaikilla r R on voimassa 0 r = (r + (-r)) r = r 2 - r 2 = 0 ja vastaavasti r 0 = 0. Olkoon (R, +, ) rengas ja S joukon R osajoukko siten, että (S, +, ) on itsekin rengas. Tällöin rengasta (S, +, ) sanotaan renkaan (R, +, ) alirenkaaksi. Esimerkiksi (6 Z, +, ) on renkaan (2 Z, +, ) alirengas, ja tämä puolestaan on renkaan (Z, +, ) alirengas. Olettakaamme, että operaatio on kommutatiivinen (vaihdannainen) joukossa R\{0}. Tällöin sanomme, että rengas (R, +, ) on kommutatiivinen. Esimerkkeinä kommutatiivisista renkaista ovat (, +, ), (, +, ), (Z, +, ), ja myös (m Z, +, ), kun m 0. Tarkastellaan rengasta (R, +, ). Käytetään merkintää R * niistä joukon R alkioista, joilla on käänteisalkio kertolaskun suhteen. Tapauksessa, jossa R {0} ja R * = R\{0}, ts. kun jokaisella nollasta eroavalla joukon R alkiolla on käänteisalkio kertolaskun suhteen, sanotaan että rengas (R, +, ) on jakorengas (divison ring, skew field). Kommutatiivisesta jakorenkaasta käytetään nimitystä kunta. Alla muotoilemme kunnan määritelmän vielä toisellakin tavalla. Ennen sen esittämistä mainitaan vielä, että Wedderburn'in lauseen mukaan jokainen äärellinen jakorengas on kunta (ks. Nicholson [8]). Tämä näyttäisi viittaavan siihen, että epäkommutatiiviset jakokunnat olisivat harvinaisia. Kuitenkin esimerkki sellaisesta, nimittäin kvaternionit, on tunnettu jo vuodesta 1843.
9 Salakirjoitus 9 Kunta Määritelmä 11. (Kunta, Field) Kolmikko (F, +, ) on kunta, jos 1) < F, + > on kommutatiivinen ryhmä (siis Abelin ryhmä). Yksikköalkiosta (ts. neutraalialkiosta) käytetään merkintää 0. 2) < F \ {0}, > on kommutatiivinen ryhmä (siis Abelin ryhmä). Kertolaskun yksikköalkiosta käytetään merkintää e. 3) Distributiivisuus (osittelu) on voimassa kuten renkaan tapauksessa yllä. Päinvastoin kuin joissakin renkaissa, kunnassa ei voi olla niin sanottuja nollan tekijöitä (zero-divisors), ts. alkioita a 0 ja b 0, joiden tulo a b = 0. Todellakin, oletetaan, että olisi voimassa a b = 0 ja a 0. Tällöin, b = e b = a -1 a b =a -1 (a b) = a -1 0 = 0, joten jokainen kunnan F alkio olisi nolla. Jos kunnan (F, +, ) alirenkaalla (K, +, ) on kunnan rakenne, kutsumme sitä kunnan (F, +, ) alikunnaksi. Esimerkkejä kunnista ovat muun muassa rationaaliluvut (, +, ), reaaliluvut (, +, ) ja kompleksiluvut (C, +, ). Näistä jokainen on aina seuraavan lukujoukon alikunta. Sanomme, että äärellisen ryhmän < G, * >, renkaan (R, +, ), tai kunnan (F, +, ) kertaluku on n, jos G, vastaavasti R ja F, ovat äärellisiä joukkoja, joiden alkioiden määrä (kardinaaliluku) on n. Äärellisten kuntien tapauksessa on tapana merkitä kertalukua luvulla q. Osoittautuu, että kertalukua q olevia äärellisiä kuntia on olemassa vain, jos q on jonkin alkuluvun potenssi, ts. q = p n jollekin alkuluvulle p ja kokonaisluvulle n 1. Lisäksi nämä äärelliset kunnat ovat itse asiassa yksikäsitteiset (isomorfiset) jokaista kiinnitettyä alkuluvun potenssia q kohti. Tämän vuoksi kertalukua q olevista äärellisistä kunnista käytetään yleisesti merkintää q tai GF(q) (missä GF tarkoittaa Galoisin kuntaa (Galois Field) ranskalaisen Galoisin mukaan). Esimerkiksi lähteissä Nicholson [8] ja van Tilborg [11] esitetään tärkeitä algebran tuloksia runsaasti lisää. Ne tulokset ovat usein hyvin merkittäviä myös salakirjoitusten kannalta, esimerkkinä elliptisiä käyriä koskevat sovellutukset. Kirjan van Tilborg [11] mukana tulevalla CD-levyllä koko kirja [11] on toteutettu hypertekstimuodossa Mathematica-ympäristössä, jossa algoritmitmeja voidaan lisäksi heti kokeilla muutetuilla lähtöarvoilla. Muidenkin ympäristöjen ohjelmoitsijat voivat löytää tuon toteutuksen algoritmeista kiinnostavia ja hyödyllisiä rakenteita sekä yksityiskohtia.
Esimerkki A1. Jaetaan ryhmä G = Z 17 H = 4 = {1, 4, 4 2 = 16 = 1, 4 3 = 4 = 13, 4 4 = 16 = 1}.
Jaetaan ryhmä G = Z 17 n H = 4 sivuluokkiin. Ratkaisu: Koska 17 on alkuluku, #G = 16, alkiona jäännösluokat a, a = 1, 2,..., 16. Määrätään ensin n H alkiot: H = 4 = {1, 4, 4 2 = 16 = 1, 4 3 = 4 = 13, 4
Lisätiedot802355A Algebralliset rakenteet Luentorunko Syksy Markku Niemenmaa Kari Myllylä Topi Törmä Marko Leinonen
802355A Algebralliset rakenteet Luentorunko Syksy 2016 Markku Niemenmaa Kari Myllylä Topi Törmä Marko Leinonen Sisältö 1 Kertausta kurssilta Algebran perusteet 3 2 Renkaat 8 2.1 Renkaiden teoriaa.........................
LisätiedotSyklinen ryhmä Pro Gradu -tutkielma Taava Kuha Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2016
Syklinen ryhmä Pro Gradu -tutkielma Taava Kuha Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Ryhmäteoriaa 4 1.1 Ryhmän määritelmä....................... 4 1.2 Kertaluku.............................
Lisätiedota b 1 c b n c n
Algebra Syksy 2007 Harjoitukset 1. Olkoon a Z. Totea, että aina a 0, 1 a, a a ja a a. 2. Olkoot a, b, c, d Z. Todista implikaatiot: a) a b ja c d ac bd, b) a b ja b c a c. 3. Olkoon a b i kaikilla i =
Lisätiedotkaikille a R. 1 (R, +) on kommutatiivinen ryhmä, 2 a(b + c) = ab + ac ja (b + c)a = ba + ca kaikilla a, b, c R, ja
Renkaat Tarkastelemme seuraavaksi rakenteita, joissa on määritelty kaksi binääristä assosiatiivista laskutoimitusta, joista toinen on kommutatiivinen. Vaadimme muuten samat ominaisuudet kuin kokonaisluvuilta,
Lisätiedoton Abelin ryhmä kertolaskun suhteen. Tämän joukon alkioiden lukumäärää merkitään
5. Primitiivinen alkio 5.1. Täydennystä lukuteoriaan. Olkoon n Z, n 2. Palautettakoon mieleen, että kokonaislukujen jäännösluokkarenkaan kääntyvien alkioiden muodostama osajoukko Z n := {x Z n x on kääntyvä}
LisätiedotÄärellisesti generoitujen Abelin ryhmien peruslause
Tero Harju (2008/2010) Äärellisesti generoitujen Abelin ryhmien peruslause Merkintä X on joukon koko ( eli #X). Vapaat Abelin ryhmät Tässä kappaleessa käytetään Abelin ryhmille additiivista merkintää.
LisätiedotAlgebran perusteet. 44 ϕ(105) = (105). Näin ollen
Algebran perusteet Harjoitus 4, ratkaisut kevät 2016 1 a) Koska 105 = 5 21 = 3 5 7 ja 44 = 2 2 11, niin syt(44, 105) = 1 Lisäksi ϕ(105) = ϕ(3 5 7) = (3 1)(5 1)(7 1) = 2 4 6 = 48, joten Eulerin teoreeman
LisätiedotAlgebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) OT
Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) 31.1.-4.2.2011 OT 1. Määritellään kokonaisluvuille laskutoimitus n m = n + m + 5. Osoita, että (Z, ) on ryhmä.
LisätiedotAlgebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 (7 sivua)
Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin ( sivua).... Nämä ovat kurssin Algebra I harjoitustehtävien ratkaisuehdoituksia. Ratkaisut koostuvat kahdesta osiosta,
Lisätiedotrenkaissa. 0 R x + x =(0 R +1 R )x =1 R x = x
8. Renkaat Tarkastelemme seuraavaksi rakenteita, joissa on määritelty kaksi assosiatiivista laskutoimitusta, joista toinen on kommutatiivinen. Vaadimme näiltä kahdella laskutoimituksella varustetuilta
Lisätiedota 2 ba = a a + ( b) a = (a + ( b))a = (a b)a, joten yhtälö pätee mielivaltaiselle renkaalle.
Harjoitus 10 (7 sivua) Ratkaisuehdotuksia/Martina Aaltonen Tehtävä 1. Mitkä seuraavista yhtälöistä pätevät mielivaltaisen renkaan alkioille a ja b? a) a 2 ba = (a b)a b) (a + b + 1)(a b) = a 2 b 2 + a
Lisätiedot802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET Merkintöjä ja Algebrallisia rakenteita
802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET Merkintöjä ja Algebrallisia rakenteita Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LUKUTEORIA 1 / 25 Lukujoukkoja N = {0, 1, 2,..., GOOGOL 10,...} = {ei-negatiiviset
LisätiedotEsko Turunen Luku 3. Ryhmät
3. Ryhmät Monoidia rikkaampi algebrallinen struktuuri on ryhmä: Määritelmä (3.1) Olkoon joukon G laskutoimitus. Joukko G varustettuna tällä laskutoimituksella on ryhmä, jos laskutoimitus on assosiatiivinen,
LisätiedotLUKUTEORIA A. Harjoitustehtäviä, kevät 2013. (c) Osoita, että jos. niin. a c ja b c ja a b, niin. niin. (e) Osoita, että
LUKUTEORIA A Harjoitustehtäviä, kevät 2013 1. Olkoot a, b, c Z, p P ja k, n Z +. (a) Osoita, että jos niin Osoita, että jos niin (c) Osoita, että jos niin (d) Osoita, että (e) Osoita, että a bc ja a c,
LisätiedotAlgebra I, harjoitus 5,
Algebra I, harjoitus 5, 7.-8.10.2014. 1. 2 Osoita väitteet oikeiksi tai vääriksi. a) (R, ) on ryhmä, kun asetetaan a b = 2(a + b) aina, kun a, b R. (Tässä + on reaalilukujen tavallinen yhteenlasku.) b)
LisätiedotAlgebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 9 (6 sivua) OT
Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 9 (6 sivua) 28.3.-1.4.2011 OT 1. a) Osoita, että rengas R = {[0] 10, [2] 10, [4] 10, [6] 10, [8] 10 } on kokonaisalue. Mikä
LisätiedotLukuteorian kertausta
Lukuteorian kertausta Jakoalgoritmi Jos a, b Z ja b 0, niin on olemassa sellaiset yksikäsitteiset kokonaisluvut q ja r, että a = qb+r, missä 0 r < b. Esimerkki 1: Jos a = 60 ja b = 11, niin 60 = 5 11 +
LisätiedotJarkko Peltomäki. Aliryhmän sentralisaattori ja normalisaattori
Jarkko Peltomäki Aliryhmän sentralisaattori ja normalisaattori Matematiikan aine Turun yliopisto Syyskuu 2009 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Määritelmiä ja perusominaisuuksia 3 2.1 Aliryhmän sentralisaattori ja
Lisätiedot802354A Algebran perusteet Luentorunko Kevät Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Topi Törmä
802354A Algebran perusteet Luentorunko Kevät 2017 Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Topi Törmä Sisältö 1 Lukuteoriaa 3 1.1 Jakoalgoritmi ja alkuluvut.................... 3 1.2 Suurin yhteinen tekijä......................
LisätiedotALGEBRA KEVÄT 2013 JOUNI PARKKONEN
ALGEBRA KEVÄT 2013 JOUNI PARKKONEN Algebra käsittelee laskemista. Osin tämä tarkoittaa numeroilla laskemista lukualueissa N, Z, Q, R, C laskutoimituksilla + ja ja niiden käänteisoperaatioilla ja / siinä
LisätiedotAlgebran ja lukuteorian harjoitustehtäviä. 1. Tutki, ovatko seuraavat relaatiot ekvivalenssirelaatioita joukon N kaikkien osajoukkojen
Algebran ja lukuteorian harjoitustehtäviä Versio 1.0 (27.1.2006) Turun yliopisto Lukuteoria 1. Tutki, ovatko seuraavat relaatiot ekvivalenssirelaatioita joukon N kaikkien osajoukkojen joukolla: a) C D
LisätiedotKuvauksista ja relaatioista. Jonna Makkonen Ilari Vallivaara
Kuvauksista ja relaatioista Jonna Makkonen Ilari Vallivaara 20. lokakuuta 2004 Sisältö 1 Esipuhe 2 2 Kuvauksista 3 3 Relaatioista 8 Lähdeluettelo 12 1 1 Esipuhe Joukot ja relaatiot ovat periaatteessa äärimmäisen
LisätiedotH = : a, b C M. joten jokainen A H {0} on kääntyvä matriisi. Itse asiassa kaikki nollasta poikkeavat alkiot ovat yksiköitä, koska. a b.
10. Kunnat ja kokonaisalueet Määritelmä 10.1. Olkoon K rengas, jossa on ainakin kaksi alkiota. Jos kaikki renkaan K nollasta poikkeavat alkiot ovat yksiköitä, niin K on jakorengas. Kommutatiivinen jakorengas
LisätiedotLineaariset ryhmät Pro gradu -tutkielma Miia Lillstrang Matematiikan yksikkö Oulun yliopisto 2016
Lineaariset ryhmät Pro gradu -tutkielma Miia Lillstrang 2187044 Matematiikan yksikkö Oulun yliopisto 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Esitietoja 3 1.1 Ryhmät.............................. 3 1.1.1 Ryhmä ja aliryhmä....................
LisätiedotMAT-41150 Algebra I (s) periodilla IV 2012 Esko Turunen
MAT-41150 Algebra I (s) periodilla IV 2012 Esko Turunen Tehtävä 1. Onko joukon X potenssijoukon P(X) laskutoimitus distributiivinen laskutoimituksen suhteen? Onko laskutoimitus distributiivinen laskutoimituksen
Lisätiedot802355A Renkaat, kunnat ja polynomit Luentorunko Syksy 2013
802355A Renkaat, kunnat ja polynomit Luentorunko Syksy 2013 Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Juha-Matti Tirilä, Antti Torvikoski, Topi Törmä Sisältö 1 Kertausta kurssilta Lukuteoria ja ryhmät
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet
MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Osa 4: Modulaariaritmetiikka Riikka Kangaslampi 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Modulaariaritmetiikka Jakoyhtälö Määritelmä 1 Luku
LisätiedotLaitos/Institution Department Matematiikan ja tilastotieteen laitos. Aika/Datum Month and year Huhtikuu 2014
Tiedekunta/Osasto Fakultet/Sektion Faculty Matemaattis-luonnontieteellinen tiedekunta Laitos/Institution Department Matematiikan ja tilastotieteen laitos Tekijä/Författare Author Anna-Mari Pulkkinen Työn
Lisätiedot802354A Algebran perusteet Luentorunko Kevät Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Topi Törmä
802354A Algebran perusteet Luentorunko Kevät 2018 Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Topi Törmä Sisältö 1 Lukuteoriaa 3 1.1 Jakoalgoritmi ja alkuluvut.................... 3 1.2 Suurin yhteinen tekijä......................
Lisätiedot{I n } < { I n,i n } < GL n (Q) < GL n (R) < GL n (C) kaikilla n 2 ja
5. Aliryhmät Luvun 4 esimerkeissä esiintyy usein ryhmä (G, ) ja jokin vakaa osajoukko B G siten, että (B, B ) on ryhmä. Määrittelemme seuraavassa käsitteitä, jotka auttavat tällaisten tilanteiden käsittelyssä.
LisätiedotMitään muita operaatioita symbolille ei ole määritelty! < a kaikilla kokonaisluvuilla a, + a = kaikilla kokonaisluvuilla a.
Polynomit Tarkastelemme polynomirenkaiden teoriaa ja polynomiyhtälöiden ratkaisemista. Algebrassa on tapana pitää erillään polynomin ja polynomifunktion käsitteet. Polynomit Tarkastelemme polynomirenkaiden
LisätiedotAlgebra II. Syksy 2004 Pentti Haukkanen
Algebra II Syksy 2004 Pentti Haukkanen 1 Sisällys 1 Ryhmäteoriaa 3 1.1 Ryhmän määritelmä.... 3 1.2 Aliryhmä... 3 1.3 Sivuluokat...... 4 1.4 Sykliset ryhmät... 7 1.5 Ryhmäisomorfismi..... 11 2 Polynomeista
Lisätiedotjonka laskutoimitus on matriisien kertolasku. Vastaavasti saadaan K-kertoiminen erityinen lineaarinen ryhmä
4. Ryhmät Tässä luvussa tarkastelemme laskutoimituksella varustettuja joukkoja, joiden laskutoimitukselta oletamme muutamia yksinkertaisia ominaisuuksia: Määritelmä 4.1. Laskutoimituksella varustettu joukko
Lisätiedotrm + sn = d. Siispä Proposition 9.5(4) nojalla e d.
9. Renkaat Z ja Z/qZ Tarkastelemme tässä luvussa jaollisuutta kokonaislukujen renkaassa Z ja todistamme tuloksia, joita käytetään jäännösluokkarenkaan Z/qZ ominaisuuksien tarkastelussa. Jos a, b, c Z ovat
LisätiedotMAT Algebra 1(s)
8. maaliskuuta 2012 Esipuhe Tämä luentokalvot sisältävät kurssin keskeiset asiat. Kalvoja täydennetään luennolla esimerkein ja todistuksin. Materiaali perustuu Jyväskylän, Helsingin ja Turun yliopistojen
Lisätiedotja jäännösluokkien joukkoa
3. Polynomien jäännösluokkarenkaat Olkoon F kunta, ja olkoon m F[x]. Polynomeille f, g F [x] määritellään kongruenssi(-relaatio) asettamalla g f mod m : m g f g = f + m h jollekin h F [x]. Kongruenssi
Lisätiedot1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus
1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus
LisätiedotTekijäryhmät ja homomorsmit
Tekijäryhmät ja homomorsmit LuK-tutkielma Henna Isokääntä 1953004 henna.isokaanta@gmail.com Matemaattiset tieteet Oulun yliopisto Kevät 2019 Sisältö Johdanto 1 1 Tekijäryhmät 1 2 Homomorsmit 3 Lähdeluettelo
LisätiedotEsko Turunen MAT Algebra1(s)
Määritelmä (4.1) Olkoon G ryhmä. Olkoon H G, H. Jos joukko H varustettuna indusoidulla laskutoimituksella on ryhmä, se on ryhmän G aliryhmä. Jos H G on ryhmän G aliryhmä, merkitään usein H G, ja jos H
Lisätiedot[a] ={b 2 A : a b}. Ekvivalenssiluokkien joukko
3. Tekijälaskutoimitus, kokonaisluvut ja rationaaliluvut Tässä luvussa tutustumme kolmanteen tapaan muodostaa laskutoimitus joukkoon tunnettujen laskutoimitusten avulla. Tätä varten määrittelemme ensin
Lisätiedotk=1 b kx k K-kertoimisia polynomeja, P (X)+Q(X) = (a k + b k )X k n+m a i b j X k. i+j=k k=0
1. Polynomit Tässä luvussa tarkastelemme polynomien muodostamia renkaita polynomien ollisuutta käsitteleviä perustuloksia. Teemme luvun alkuun kaksi sopimusta: Tässä luvussa X on muodollinen symboli, jota
Lisätiedot6. Tekijäryhmät ja aliryhmät
6. Tekijäryhmät ja aliryhmät Tämän luvun tavoitteena on esitellä konstruktio, jota kutsutaan tekijäryhmän muodostamiseksi. Konstruktiossa lähdetään liikkeelle jostakin isosta ryhmästä, samastetaan alkioita,
LisätiedotLuuppien ryhmistä Seminaariesitelmä Miikka Rytty Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2006
Luuppien ryhmistä Seminaariesitelmä Miikka Rytty Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2006 Sisältö 1 Luupeista 2 1.1 Luupit ja niiden kertolaskuryhmät................. 2 2 Transversaalit 5 3
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA I
802320A LINEAARIALGEBRA OSA I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 72 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä
LisätiedotHN = {hn h H, n N} on G:n aliryhmä.
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8, 23.27.3.2009 5 sivua Rami Luisto 1. Osoita, että kullakin n N + lukujen n 5 ja n viimeiset numerot kymmenkantaisessa
LisätiedotLuupit Pro gradu Anni Keränen Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2014
Luupit Pro gradu Anni Keränen Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2014 Sisältö Johdanto 2 1 Perusteita 3 1.1 Kuvauksista............................ 3 1.2 Relaatioista............................
Lisätiedot1 Algebralliset perusteet
1 Algebralliset perusteet 1.1 Renkaat Tämän luvun jälkeen opiskelijoiden odotetaan muistavan, mitä ovat renkaat, vaihdannaiset renkaat, alirenkaat, homomorfismit, ideaalit, tekijärenkaat, maksimaaliset
Lisätiedot2017 = = = = = = 26 1
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 2, MALLIRATKAISUT Tehtävä 1. Sovella Eukleiden algoritmia ja (i) etsi s.y.t(2017, 753) (ii) etsi kaikki kokonaislukuratkaisut yhtälölle 405x + 141y = 12. Ratkaisu
LisätiedotRationaaliluvun desimaaliesitys algebrallisesta ja lukuteoreettisesta näkökulmasta
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Liisa Lampinen Rationaaliluvun desimaaliesitys algebrallisesta ja lukuteoreettisesta näkökulmasta Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Kesäkuu 2016 Tampereen
Lisätiedot1 Lukujen jaollisuudesta
Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 1 1 Lukujen jaollisuudesta Lukujoukoille käytetään seuraavia merkintöjä: N = {1, 2, 3, 4,... } Luonnolliset luvut Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,... } Kokonaisluvut Kun
LisätiedotR : renkaan R kääntyvien alkioiden joukko; R kertolaskulla varustettuna on
0. Kertausta ja täydennystä Kurssille Äärelliset kunnat tarvittavat esitiedot löytyvät Algebran kurssista [Alg]. Hyödyksi voivat myös olla (vaikka eivät välttämättömiä) Lukuteorian alkeet [LTA] ja Salakirjoitukset
Lisätiedot802354A Lukuteoria ja ryhmät Luentorunko Kevät Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Juha-Matti Tirilä, Antti Torvikoski, Topi Törmä
802354A Lukuteoria ja ryhmät Luentorunko Kevät 2014 Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Juha-Matti Tirilä, Antti Torvikoski, Topi Törmä Sisältö 1 Ekvivalenssirelaatio 3 2 Lukuteoriaa 4 2.1 Lukuteorian
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II LM2, Kesä 2012 1/141 Kertausta: avaruuden R n vektorit Määritelmä Oletetaan, että n {1, 2, 3,...}. Avaruuden R n alkiot ovat jonoja, joissa on n kappaletta reaalilukuja.
LisätiedotDihedraalinen ryhmä Pro gradu Elisa Sonntag Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2013
Dihedraalinen ryhmä Pro gradu Elisa Sonntag Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2013 Sisältö Johdanto 2 1 Ryhmä 3 2 Symmetrinen ryhmä 6 3 Symmetriaryhmä 10 4 Dihedraalinen ryhmä 19 Lähdeluettelo
Lisätiedotpdfmark=/pages, Raw=/Rotate 90 1 LUKUTEORIAA JA MUITA TYÖKALUJA SALAUKSEEN Lukujoukot Sekalaisia merkintöjä...
pdfmark=/pages, Raw=/Rotate 90 Sisältö 1 LUKUTEORIAA JA MUITA TYÖKALUJA SALAUKSEEN 0-2 2 Merkintöjä 0-3 2.1 Lukujoukot................... 0-3 2.2 Sekalaisia merkintöjä.............. 0-4 2.3 Tärkeitä kaavoja................
LisätiedotMatematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto 3. Oletetaan, että kunnan K karakteristika on 3. Tutki,
LisätiedotH = H(12) = {id, (12)},
7. Normaali aliryhmä ja tekijäryhmä Tarkastelemme luvun aluksi ryhmän ja sen aliryhmien suhdetta. Olkoon G ryhmä ja olkoon H G. Alkiong G vasen sivuluokka (aliryhmän H suhteen) on gh = {gh : h H} ja sen
Lisätiedotg : R R, g(a) = g i a i. Alkio g(a) R on polynomin arvo pisteessä a. Jos g(a) = 0, niin a on polynomin g(x) nollakohta.
ALGEBRA II 27 on homomorfismi. Ensinnäkin G(a + b) a + b G(a)+G(b) (f), G(ab) ab G(a)G(b) G(a) G(b) (f), ja koska kongruenssien vasempien ja oikeiden puolten asteet ovat pienempiä kuin f:n aste, niin homomorfiaehdot
LisätiedotTeema 4. Homomorfismeista Ihanne ja tekijärengas. Teema 4 1 / 32
1 / 32 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.2 Esimerkki 4B.1 Esimerkki 4B.2 Esimerkki 4B.3 Esimerkki 4C.1 Esimerkki 4C.2 Esimerkki 4C.3 2 / 32 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.2 Esimerkki 4B.1 Esimerkki
Lisätiedot4. Ryhmien sisäinen rakenne
4. Ryhmien sisäinen rakenne Tässä luvussa tarkastellaan joitakin tapoja päästä käsiksi ryhmien sisäiseen rakenteeseen. Useimmat tuloksista ovat erityisen käyttökelpoisia äärellisten ryhmien tapauksessa.
Lisätiedot800333A Algebra I Luentorunko Kevät Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Juha-Matti Tirilä
800333A Algebra I Luentorunko Kevät 2010 Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Juha-Matti Tirilä Sisältö 1 Lukuteorian alkeita 3 1.1 Kongruenssiin liittyviä perustuloksia.............. 7 2 Ekvivalenssirelaatio
LisätiedotAlgebra I, Harjoitus 6, , Ratkaisut
Algebra I Harjoitus 6 9. 13.3.2009 Ratkaisut Algebra I Harjoitus 6 9. 13.3.2009 Ratkaisut (MV 6 sivua 1. Olkoot M ja M multiplikatiivisia monoideja. Kuvaus f : M M on monoidihomomorfismi jos 1 f(ab = f(af(b
LisätiedotKäänteismatriisi 1 / 14
1 / 14 Jokaisella nollasta eroavalla reaaliluvulla on käänteisluku, jolla kerrottaessa tuloksena on 1. Seuraavaksi tarkastellaan vastaavaa ominaisuutta matriiseille ja määritellään käänteismatriisi. Jokaisella
Lisätiedot7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi
7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi Z p [x]/(m), missä m on polynomirenkaan Z p [x] jaoton polynomi (ks. määritelmä 3.19).
LisätiedotDiofantoksen yhtälön ratkaisut
Diofantoksen yhtälön ratkaisut Matias Mäkelä Matemaattisten tieteiden tutkinto-ohjelma Oulun yliopisto Kevät 2017 Sisältö Johdanto 2 1 Suurin yhteinen tekijä 2 2 Eukleideen algoritmi 4 3 Diofantoksen yhtälön
LisätiedotLuonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen
Luonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen LuK-tutkielma Jussi Piippo Matemaattisten tieteiden yksikkö Oulun yliopisto Kevät 2017 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Esitietoja 3 2.1 Joukko-opin perusaksioomat...................
LisätiedotTransversaalit ja hajoamisaliryhmät
Transversaalit ja hajoamisaliryhmät Graduseminaariesitelmä Miikka Rytty Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2006 Motivointi Esimerkki 1 (Ryhmäteorian kurssin harjoitustehtävä). Jos G on ryhmä,
LisätiedotAlgebra kl Tapani Kuusalo
Algebra kl. 2010 Tapani Kuusalo Sisältö Luku 1. Luonnolliset luvut 1 Luku 2. Laskutoimitukset 4 1. Laskutoimitusten yleiset ominaisuudet 4 2. Neutraali- ja käänteisalkiot 6 3. Indusoidut laskutoimitukset,
LisätiedotPolynomien suurin yhteinen tekijä ja kongruenssi
Polynomien suurin yhteinen tekijä ja kongruenssi Pro gradu -tutkielma Outi Aksela 2117470 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Renkaat 3 1.1 Rengas...............................
LisätiedotKoodausteoria, Kesä 2014
Koodausteoria, Kesä 2014 Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 4.7 Syklisen koodin jälkiesitys Olkoon F = F q ja K = F q m kunnan F laajennuskunta. Määritelmä 4.7.1. Kuntalaajennuksen K/F jälkifunktioksi
Lisätiedot(xa) = (x) (a) = (x)0 = 0
11. Ideaalit ja tekijärenkaat Rengashomomorfismi : R! R 0 on erityisesti ryhmähomomorfismi :(R, +)! (R 0, +) additiivisten ryhmien välillä. Rengashomomorfismin ydin määritellään tämän ryhmähomomorfismin
LisätiedotMikäli huomaat virheen tai on kysyttävää liittyen malleihin, lähetä viesti osoitteeseen
Mikäli huomaat virheen tai on kysyttävää liittyen malleihin, lähetä viesti osoitteeseen anton.mallasto@aalto.fi. 1. 2. Muista. Ryhmän G aliryhmä H on normaali aliryhmä, jos ah = Ha kaikilla a G. Toisin
LisätiedotAlgebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 6 (8 sivua) OT. 1. a) Määritä seuraavat summat:
Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 6 (8 sivua) 21.2.-25.2.2011 OT 1. a) Määritä seuraavat summat: [2] 4 + [3] 4, [2] 5 + [3] 5, [2] 6 + [2] 6 + [2] 6, 7 [3]
Lisätiedot3 Ryhmäteorian peruskäsitteet ja pienet ryhmät, C 2
3 Ryhmäteorian peruskäsitteet ja pienet ryhmät, C 2 Olen valinnut kunkin luvun teemaksi yhden ryhmän. Ensimmäisen luvun teema on pienin epätriviaali ryhmä, eli ryhmä, jossa on kaksi alkiota. Merkitsen
LisätiedotKvasiryhmistä ja niiden sovelluksista
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Suvi Pasanen Kvasiryhmistä ja niiden sovelluksista Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Maaliskuu 2016 Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden yksikkö PASANEN,
LisätiedotAlgebra 1, harjoitus 9, h = xkx 1 xhx 1. a) Käytetään molemmissa tapauksissa isomorfialausetta. Tarkastellaan kuvauksia
Algebra 1, harjoitus 9, 11.-12.11.2014. 1. Olkoon G ryhmä ja H G normaali aliryhmä. Tiedetään, että tällöin xhx 1 H kaikilla x G. Osoita, että itse asiassa xhx 1 = H kaikilla x G. Ratkaisu: Yritetään osoittaa,
LisätiedotTAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Jarmo Niemelä. Primitiivisistä juurista ja. alkuluokkaryhmistä
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Jarmo Niemelä Primitiivisistä juurista ja alkuluokkaryhmistä Matematiikan, tilastotieteen ja filosofian laitos Matematiikka Marraskuu 2000 2 TAMPEREEN YLIOPISTO
LisätiedotLineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus
Lineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus 1 / 51 Lineaarikombinaatio Johdattelua seuraavaan asiaan (ei tarkkoja määritelmiä): Millaisen kuvan muodostaa joukko {λv λ R, v R 3 }? Millaisen
LisätiedotShorin algoritmin matematiikkaa Edvard Fagerholm
Edvard Fagerholm 1 Määritelmiä Määritelmä 1 Ryhmä G on syklinen, jos a G s.e. G = a. Määritelmä 2 Olkoon G ryhmä. Tällöin alkion a G kertaluku ord(a) on pienin luku n N \ {0}, jolla a n = 1. Jos lukua
LisätiedotMAT Algebra I (s) periodeilla IV ja V/2009. Esko Turunen
MAT-41150 Algebra I (s) periodeilla IV ja V/2009. Esko Turunen Tämä tiedosto sisältää kurssin kaikki laskuharjoitukset. viikottain uusia tehtäviä. Tiedostoon lisätään To 05.02.09 pidetyt harjoitukset.
LisätiedotMatriisipotenssi. Koska matriisikertolasku on liitännäinen (sulkuja ei tarvita; ks. lause 2), voidaan asettaa seuraava määritelmä: ja A 0 = I n.
Matriisipotenssi Koska matriisikertolasku on liitännäinen (sulkuja ei tarvita; ks. lause 2), voidaan asettaa seuraava määritelmä: Määritelmä Oletetaan, että A on n n -matriisi (siis neliömatriisi) ja k
Lisätiedot9 Matriisit. 9.1 Matriisien laskutoimituksia
9 Matriisit Aiemmissa luvuissa matriiseja on käsitelty siinä määrin kuin on ollut tarpeellista yhtälönratkaisun kannalta. Matriiseja käytetään kuitenkin myös muihin tarkoituksiin, ja siksi on hyödyllistä
LisätiedotLineaarialgebra Kerroinrenkaat. Kevät Kerkko Luosto Informaatiotieteiden yksikkö, Tampereen yliopisto
Lineaarialgebra 2 Kevät 2014 Kerkko Luosto Informaatiotieteiden yksikkö, Tampereen yliopisto Á Ë Ð Ö Ø Ú ØÓÖ Ø 1. Kerroinrenkaat 1.1. Määritelmä. Yhden laskutoimituksen rakenne(g, + on Abelin ryhmä, jos
LisätiedotEnnakkotehtävän ratkaisu
Ennakkotehtävän ratkaisu Ratkaisu [ ] [ ] 1 3 4 3 A = ja B =. 1 4 1 1 [ ] [ ] 4 3 12 12 1 0 a) BA = =. 1 + 1 3 + 4 0 1 [ ] [ ] [ ] 1 0 x1 x1 b) (BA)x = =. 0 1 x 2 x [ ] [ ] [ 2 ] [ ] 4 3 1 4 9 5 c) Bb
LisätiedotJohdatus matematiikkaan
Johdatus matematiikkaan Luento 7 Mikko Salo 11.9.2017 Sisältö 1. Funktioista 2. Joukkojen mahtavuus Funktioista Lukiomatematiikassa on käsitelty reaalimuuttujan funktioita (polynomi / trigonometriset /
Lisätiedot9. Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista
29 9 Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista Tarkastelemme kertalukua n olevia lineaarisia differentiaaliyhtälöitä y ( x) + a ( x) y ( x) + + a ( x) y( x) + a ( x) y= b( x) ( n) ( n
LisätiedotMatriisit. Määritelmä 1 Reaaliluvuista a ij, missä i = 1,..., k ja j = 1,..., n, muodostettua kaaviota a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A =
1 / 21 Määritelmä 1 Reaaliluvuista a ij, missä i 1,..., k ja j 1,..., n, muodostettua kaaviota a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A... a k1 a k2 a kn sanotaan k n matriisiksi. Usein merkitään A [a ij ]. Lukuja
LisätiedotSalausmenetelmät. Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006)
Salausmenetelmät Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) LUKUTEORIAA JA ALGORITMEJA 3. Kongruenssit à 3.1 Jakojäännös ja kongruenssi Määritelmä 3.1 Kaksi lukua a ja b ovat keskenään kongruentteja (tai
LisätiedotR 1 = Q 2 R 2 + R 3,. (2.1) R l 2 = Q l 1 R l 1 + R l,
2. Laajennettu Eukleideen algoritmi Määritelmä 2.1. Olkoot F kunta ja A, B, C, D F [x]. Sanotaan, että C jakaa A:n (tai C on A:n jakaja), jos on olemassa K F [x] siten, että A = K C; tällöin merkitään
LisätiedotLineaariavaruudet. Span. Sisätulo. Normi. Matriisinormit. Matriisinormit. aiheita. Aiheet. Reaalinen lineaariavaruus. Span. Sisätulo.
Lineaariavaruudet aiheita 1 määritelmä Nelikko (L, R, +, ) on reaalinen (eli reaalinen vektoriavaruus), jos yhteenlasku L L L, ( u, v) a + b ja reaaliluvulla kertominen R L L, (λ, u) λ u toteuttavat seuraavat
Lisätiedotei ole muita välikuntia.
ALGEBRA II 41 Lause 4.15. F q m on polynomin x qm x hajoamiskunta kunnan F q suhteen. Todistus. Olkoon α kunnan F q m primitiivialkio. Nyt F qm =< α > muodostuu täsmälleen polynomin x qm 1 1nollakohdistajatäten
Lisätiedotd Z + 17 Viimeksi muutettu
5. Diffien ja Hellmanin avaintenvaihto Miten on mahdollista välittää salatun viestin avaamiseen tarkoitettu avain Internetin kaltaisen avoimen liikennöintiväylän kautta? Kuka tahansahan voi (ainakin periaatteessa)
Lisätiedota ord 13 (a)
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 4, MALLIRATKAISUT Tehtävä 1. Etsi asteet ord p (a) luvuille a 1, 2,..., p 1 kun p = 13 ja kun p = 17. (ii) Mitkä jäännösluokat ovat primitiivisiä juuria (mod
LisätiedotKoodausteoria, Kesä 2014
Koodausteoria, Kesä 2014 Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos Koodausteoria 10 op Kontaktiopetusta 50 h, 26.5. - 26.6. ma 10-14, ti 10-13, to 10-13 Aloitusviikolla poikkeuksellisesti ke 10-13 torstain
Lisätiedotkoska 2 toteuttaa rationaalikertoimisen yhtälön x 2 2 = 0. Laajennuskunnan
4. Äärellisten kuntien yleisiä ominaisuuksia 4.1. Laajenuskunnat. Tarkastellaan aluksi yleistä kuntaparia F ja K, missä F on kunnan K alikunta. Tällöin sanotaan, että kunta K on kunnan F laajennuskunta
LisätiedotEräitä ratkeavuustarkasteluja
Eräitä ratkeavuustarkasteluja Pro gradu-tutkielma Milla Jantunen 2124227 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Kevät 2014 Sisältö 1 Ryhmät ja aliryhmät 3 1.1 Ryhmä...............................
LisätiedotAlgebra I, harjoitus 8,
Algebra I, harjoitus 8, 4.-5.11.2014. 1. Olkoon G ryhmä ja H sen normaali aliryhmä. Todista, että tällöin G/H on ryhmä, kun määritellään laskutoimitus joukossa G/H asettamalla aina, kun x, y G (lauseen
LisätiedotValitsemalla sopivat alkiot joudutaan tämän määritelmän kanssa vaikeuksiin, jotka voidaan välttää rakentamalla joukko oppi aksiomaattisesti.
Joukon määritelmä Joukko on alkioidensa kokoelma. Valitsemalla sopivat alkiot joudutaan tämän määritelmän kanssa vaikeuksiin, jotka voidaan välttää rakentamalla joukko oppi aksiomaattisesti. Näin ei tässä
Lisätiedot1. Tarkastellaan esimerkissä 4.9 esiintynyttä neliön symmetriaryhmää
Ryhmäteoreettinen näkökulma Rubikin kuutioon Matematiikan ja tilastotieteen laitos Syksy 2010 Harjoitus 2 Ratkaisuehdotus 1. Tarkastellaan esimerkissä 4.9 esiintynyttä neliön symmetriaryhmää D 8 = { id,
Lisätiedot