SISÄLTÖ 1. Veto-puristuskoe 2. Jännitys-venymäpiirros 3. Sitkeitten ja hauraitten materiaalien jännitysvenymäkäyttäytyminen

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "SISÄLTÖ 1. Veto-puristuskoe 2. Jännitys-venymäpiirros 3. Sitkeitten ja hauraitten materiaalien jännitysvenymäkäyttäytyminen"

Transkriptio

1 TAVOITTEET Jännitysten ja venymien yhteys kokeellisin menetelmin: jännitysvenymäpiirros Teknisten materiaalien jännitys-venymäpiirros 1 SISÄLTÖ 1. Veto-puristuskoe 2. Jännitys-venymäpiirros 3. Sitkeitten ja hauraitten materiaalien jännitysvenymäkäyttäytyminen 4. Hooken laki 5. Venymäenergia 6. Poissonin vakio 7. Leikkauksen jännitys-venymäpiirros 8. *Materiaalien viruminen ja väsyminen 2 1

2 3.1 VETOKOE Materiaalien lujuus voidaan selvittää vain kokeellisesti Eräs testitapa on veto-puristuskoe (tai pelkästään vetokoe) Testi on pääasiallinen tapa löytää keskimääräisen normaalijännityksen ja venymän yhteys sellaisissa teknisissä materiaaleissa kuin metallit, keraamiset materiaalit, polymeerit ja komposiittimateriaalit VETOKOE Veto-puristuskokeen vaiheet Materiaalin vetokoekappale on standardimuotoinen ja -kokoinen Enne testiä kappaleeseen tehdään kaksi merkkiä kuvan mukaisesti pituussuunnassa Ennen testiä mitataan kappaleen poikkileikkauksen pinta-ala A 0 ja pisteiden väli L 0 4 2

3 3.1 VETOKOE Veto-puristuskokeen vaiheet Testikappale asetetaan vetolaitteeseen kuvan mukaisesti Vetolaite venyttää kappaletta hitaalla vakionopeudella kunnes kappale murtuu Vetovoima ja venymä mitataan säännöllisin väliajoin Suomessa koe perustuu normiin SFS-EN VETOKOE Veto-puristuskokeen vaiheet Venymä δ = L L 0 mitataan joko mikrometrillä tai venymämittarilla Venymällä δ määritetään testikappaleen suhteellinen venymä Joissain tapauksissa venymä voidaan suoraan mitata käyttäen ns. venymäliuskaa, joka perustuu vastuksen muuttumiseen liuskan venyessä tai puristuessa. venymäliuska 6 3

4 3.2 JÄNNITYS-VENYMÄPIIRROS Jännitys-venymäpiirros saadaan mitatuista arvoista Jännitys-venymäpiirros (σ-ε piirros) Mittaustietojen perusteella voidaan laskea nimellinen tai ns. insinöörijännitys yhteydestä σ = P A 0 Huom. oletus: Jännitys on vakio missä tahansa poikkileikkauksessa mittauspisteiden välillä JÄNNITYS-VENYMÄPIIRROS Jännitys-venymäpiirros Vastaavasti nimellinen tai insinöörivenymä saadaan suoraan venymämittauksesta eli ε = δ L 0 Huom. oletus: Venymä on vakio missä tahansa poikkileikkauksessa mittauspisteiden välillä Piirtämällä σ (oordinaatta)- ε (abskissa)-yhteys, saadaan jännitys-venymäpiirros (σ-ε piirros) 8 4

5 3.2 JÄNNITYS-VENYMÄPIIRROS Jännitysvenymäpiirros Kuvaaja osoittaa jännitysvenymäpiirroksen teräkselle, joka on tyypillinen rakenneja koneosien materiaali JÄNNITYS-VENYMÄPIIRROS Jännitys-venymäpiirros Kimmoinen käyttäytyminen Suora viiva Jännitys on suoraan verrannollinen venymään eli ns. lineaari-elastinen yhteys Ylärajana on suhteellisuusraja; σ pl Jos kuorma poistetaan ennen suhteellisuusrajan saavuttamista, rakenneosa palautuu alkuperäiseen muotoonsa 10 5

6 3.2 JÄNNITYS-VENYMÄPIIRROS Jännitys-venymäpiirros Myötäminen Materiaali muokkautuu pysyvästi; myötäminen, plastinen deformaatio Myötörajaσ Y (normeissa R e ) vrt. S235, S355 Figure 3-4 Myötöraja saavutettaessa testikappale venyy ilman voiman lisäystä Materiaalikäyttäytyminen on silloin puhtaasti plastista JÄNNITYS-VENYMÄPIIRROS Jännitys-venymäpiirros Myötölujittuminen Murtolujuus, σ u (normeissa R m ) Kun testikappale venyy, sen poikkileikkauksen pinta-ala pienenee Figure 3-4 Pituussuunnassa kappaleen pinta-alan pieneneminen on suhteellisen vakio 12 6

7 3.2 JÄNNITYS-VENYMÄPIIRROS Jännitys-venymäpiirros Kuroutuminen Murtokuormallla poikkileikkauksen pintaala pienenee paikallisesti Tuloksena on testikappaleen kuroutuminen Figure 3-4 Testikappale murtuu lopullisesti jännityksellä σ f JÄNNITYS-VENYMÄPIIRROS Jännitys-venymäpiirros Kuroutuminen Testikappale murtuu lopullisesti jännityksellä σ f ( f = fracture ) Figure 3-4 Kuroutuminen Sitkeän materiaalin murtuminen 14 7

8 3.2 JÄNNITYS-VENYMÄPIIRROS Todellinen jännitys-venymäpiirros Toinen vaihtoehto on mitata koko ajan todellinen poikkileikkauksen pinta-ala ja kappaleen pituus vetovoiman funktiona Näitä jännityksen ja venymän arvoja käyttäen piirrettyä käyrää sanotaan todelliseksi jännitysvenymäpiirrokseksi JÄNNITYS-VENYMÄPIIRROS Todellinen jännitys-venymäpiirros σ-ε piirroksen myötölujittuvalla osalla kuormitus loppuosassa pienenee todellisessa σ-ε piirroksessa materiaalin jännitys kasvaa koko ajan 16 8

9 3.2 JÄNNITYS-VENYMÄPIIRROS Todellinen jännitys-venymäpiirros Vaikka piirrokset ovat erilaiset myötämisen jälkeen, useimmat tekniset sovellukset pysyvät kimmoisella alueella, jossa Hooken laki pätee 1. Materiaali on jäykkää, esim. useimmat metallit 2. Venymä suhteellisuusrajalla on hyvin pieni 3. Jännityksen ja venymän insinööriarvojen virhe todellisiin arvoihin nähden on hyvin pieni (0.1 %) Sitkeän vs. hauraan materiaalin käyttäytyminen Sitkeät materiaalit Materiaali, joka venyy huomattavasti ennen murtumistaan (esim. rakenneteräkset) sanotaan sitkeäksi materiaaliksi Näitä materiaaleja suositaan siksi, että ne pystyvät absorboimaan iskuja tai energiaa ja koska ne tyypillisesti saavat suuria muodonmuutoksia ennen vaurioitumista Materiaalin sitkeys määritellään prosentuaalisella venymällä murtumiskohdassa 18 9

10 3.3 Sitkeän vs. hauraan materiaalin käyttäytyminen Sitkeät materiaalit Suhteellinen murtovenymä määritellään Murtovenymä L f L 0 L 0 (100%) Suhteellinen murtokurouma määritellään kuroutumisalueella Murtokurouma A 0 A f A 0 (100%) Sitkeän vs. hauraan materiaalin käyttäytyminen Sitkeät materiaalit Useimmat metallit eivät osoita vakiovenymää (myötöaluetta) kimmoisen alueen jälkeen, esim. alumiini Niillä ei siten ole selkeästi määritettyä myötörajaa. Standardimenettelynä on silloin käyttää venymää 0,2 % myötörajan määrittämiseksi

11 3.3 Sitkeän vs. hauraan materiaalin käyttäytyminen Sitkeät materiaalit Myötöraja 0,2 % venymän perusteella 1. Valitaan venymäksi 0,2 % 2. Venymäakselilta ε piirretään kimmoisen alueen suoran suuntainen jana jännitysvenymäkäyrälle 3. Janan päätepisteestä luetaan myötörajan arvo. Erään alumiiniseoksen jännitys-venymäpiirros Sitkeän vs. hauraan materiaalin käyttäytyminen Hauraat materiaalit Materiaalit, joilla on hyvin pieni myötöalue ovat hauraita, esim. valurauta Haurailla materiaaleilla ei ole selkeää murtolujuutta, koska testikappaleen alkusäröt ovat varsin satunnaisia Hauraan materiaalin murtuminen 22 11

12 3.3 Sitkeän vs. hauraan materiaalin käyttäytyminen Hauraat materiaalit Haurailla materiaaleilla ilmoitetaan yleensä testitulosten keskimääräinen murtumisjännitys Tyypillinen betonin jännitys-venymäpiirros HOOKEN LAKI Useimpien koneenrakennuksen materiaalien jännitys-venymäyhteys on lineaarinen kimmoisella alueella Tämän havaitsi Robert Hooke vuonna 1676 tutkiessaan jousia. Hooken lain mukaan σ = Eε missä E on suhteellisuusvakio, nimeltään kimmokerroin tai kimmomoduli (modulus of elasticity,young s modulus) E:n yksikkö on sama kuin jännityksen, ts. pascal, MPa tai GPa

13 3.4 HOOKEN LAKI Kuvan mukaisesti useimmilla teräslaaduilla on sama kimmomoduli, E st = 200 GPa (normeissa E = MPa) Kimmomoduli on mekaaninen ominaisuus, joka kuvaa materiaalin jäykkyyttä Koneenrakennuksen perusmateriaaleilla (metallit) on suuri kimmomoduli, kun sen sijaan huokoisilla materiaaleilla, esim. vulkanisoitu kumi, se on varsin alhainen HOOKEN LAKI TÄRKEÄÄ Kimmomodulia voi käyttää vain silloin, kun materiaali käyttäytyy lineaarielastisesti (kimmoisesti) Mikäli jännitys kasvaa yli suhteellisuusrajan, ei Hooken laki enää päde 26 13

14 3.4 HOOKEN LAKI Muokkauslujittuminen Mikäli testikappale on sitkeää materiaalia, esim. teräs, ja sitä kuormitetaan plastiselle (kimmottomalle) alueelle, jää kuorman poistamisen jälkeen kappaleeseen pysyvä venymä HOOKEN LAKI Muokkauslujittuminen Testikappale kuormitetaan suhteellisuusrajan A yli pisteeseen A Kuormituksen pitää ylittää atomien sisäiset voimat, jotta kappale venyy kimmoisesti. Nämä samat voimat vetävät atomit takaisin kuorman poistamisen jälkeen Koska kimmokerroin E on sama, on suoran O A kulmakerroin sama kuin OA :n 28 14

15 3.4 HOOKEN LAKI Muokkauslujittuminen Kuormituksen palauttamisen yhteydessä atomit siirtyvät jälleen kunnes myötäminen tapahtuu pisteessä A ja plastinen alue jatkuu jännitysvenymäkäyrää myöten kuten aiemminkin Uudella käyrällä on siis korkeampi myötöraja (A ) muokkauslujittumisen johdosta Kappaleella on siis suurempi kimmoinen alue ja pienempi sitkeys HOOKEN LAKI Muokkauslujittuminen Kun testikappaletta kuormitetaan vaihtelevasti, kuormitusenergia voi muuttua lämmöksi tai energiaksi Käyrän varjostettu alue kuvaa menetettyä energiaa ja sitä kutsutaan mekaaniseksi hystereesiksi Mekaaninen hystereesi on tärkeä valittaessa esim. materiaaleja vaimentimia värähteleviin rakenteisiin 30 15

16 3.5 MUODONMUUTOSENERGIA Kun materiaali deformoituu ulkoisen kuorman alaisena, energiaa varastoituu sisäisesti yli koko kappaleen tilavuuden Sisäistä energiaa kutsutaan muodonmuutosenergiaksi Jännityksen resultantti on voima F = σ A = σ ( x y) MUODONMUUTOSENERGIA Muodonmuutosenergiatiheys on muodonmuutosenergia tilavuusyksikköä kohti: u = U V Mikäli materiaalin käyttäytyminen on lineaarielastista (kimmoinen alue), pätee Hooken laki eli = σε 2 u = σ 2 σ ( ) E = σ 2 2E 32 16

17 3.5 MUODONMUUTOSENERGIA Kimmoinen muodonmuutostyö Kimmoisella alueella on suhteellisuusrajalla muodonmuutosenergiatiheys suurimmillaan u r = σ pl ε pl 2 = σ pl 2 2E Arvo kuvaa materiaalin kykyä absorboida energiaa ilman pysyvää muodonmuutosta Kimmoinen muodonmuutostyö MUODONMUUTOSENERGIA Elastis-plastinen muodonmuutostyö Elastis-plastinen muodonmuutostyö määritetään vastaavasti kappaleen murtoon saakka Varjostettu alue kuvaa materiaalin muodonmuutoskykyä Elastis-plastinen muodonmuutosenergiatiheys Muodonmuutoskykyä tarvitaan rakenteissa, joihin voi tulla ylikuormaa 34 17

18 ESIMERKKI 3.1 Erään terässeoksen jännitys-venymäpiirros on esitetty kuvassa. Laske kimmomoduli ja myötöraja 0,2% venymän perusteella. Huomaa, että kuvassa on käyrän alkuosa suurennettu (alempi käyrä). 35 ESIMERKKI 3.1 (RATKAISU) Kimmomoduli Käytetään hyväksi suurennettua venymäpiirrosta (venymäarvot sinisellä), jossa on suora origosta A pisteeseen ( mm/mm, 345 MPa). Suoran kulmakertoimesta saadaan 345 MPa E = mm/mm = 215 GPa 36 18

19 ESIMERKKI 3.1 (RATKAISU) Myötöraja 0.2% venymästä ekstrapoloidaan katkoviivalla, joka on suoran OA suuntainen, kunnes tullaan käyrälle pisteessä A, jolloin σ YS = 469 MPa 37 ESIMERKKI 3.1 (RATKAISU) Maksimijännitys Maksimijännitys saadaan käyrältä pisteestä B, σ u = MPa 38 19

20 ESIMERKKI 3.1 (RATKAISU) Murtojännitys Materiaali murtuu pisteessä C, jossa venymä on ε f = 0.23 mm/mm. Siten σ f = 621 MPa POISSONIN VAKIO Kun kappaleeseen vaikuttaa aksiaalikuorma, se joko venyy ja kuroutuu (vasen kuva) tai puristuu ja laajenee (oikea kuva) 40 20

21 3.6 POISSONIN VAKIO Sauvan venymät pituus- ja poikittaisuunnassa ovat: ε long = δ ε L lat = δ r luvun alussa S.D. Poisson havaitsi, että kimmoisella alueella näiden kahden suhde on vakio. Poissonin vakio määritetään siten Poissonin vakio ν = ε lat ε long POISSONIN VAKIO ν on yksikäsitteinen homogeeniselle ja isotrooppiselle materiaalille Miksi negatiivinen etumerkki? Pitkittäinen venymä aiheuttaa poikittaisen kurouman ja päinvastoin. Poikittainen venymä on sama joka suuntaan Poissonin vakio on dimensioton 0 ν

22 ESIMERKKI 3.4 Kuvan sauva on materiaalia S355 ja se käyttäytyy kimmoisesti. Määritä sauvan pituuden muutos ja poikkileikkauksen dimensioiden muutos kun kuorma asetetaan sauvaan. 43 ESIMERKKI 3.4 (RATKAISU) Normaalijännitys on σ z = P A = 16.0(106 ) Pa Käyttäen kimmomodulina E st = 210 GPa, venymä z- suunnassa on ε z = σ z = 76(10 6 ) mm/mm E st Sauvan aksiaalinen venymä on δ z = ε z L z = [76(10 6 )](1500 mm) = 114 µm 44 22

23 ESIMERKKI 3.4 (RATKAISU) Käytetään teräksen Poissonin vakiona ν st = 0.32, jolloin kuroutuma x ja y suuntiin ovat ε x = ε y = ν st ε z = 0.32[76(10 6 )] = 25.6 µm/m Siten poikkileikkaus muuttuu δ x = ε x L x = [25.6(10 6 )](0.1 m) = 24.3 µm δ y = ε y L y = [25.6(10 6 )](0.05 m) = 1.22 µm LEIKKAUSJÄNNITYS-VENYMÄPIIRROS Testissä käytetään ohutta putkea, jota kuormitetaan vääntömomentilla Testikappaleesta mitataan kulmakiertymä vääntökuormituksen funktiona 46 23

24 3.6 LEIKKAUSJÄNNITYS-VENYMÄPIIRROS Materiaali käyttäytyy kimmoisesti suhteellisuusrajaan τ pl saakka Plastisella alueella muokkauslujittuminen nostaa suurimman leikkausjännityksen arvoon τ u (u = ultimate) Kappale murtuu jännityksellä τ f (f = fracture) LEIKKAUSJÄNNITYS-VENYMÄPIIRROS Hooken lain mukaan τ = Gγ missä G on liukumoduli G saadaan kimmoisen alueen kulmakertoimesta τ-γ - käyrältä eli G = τ pl / γ pl Perusmateriaalivakioiden E, ν ja G yhteys on E G = 2(1 + ν) 48 24

25 ESIMERKKI 3.5 Kappale, jonka materiaali on titaaniseosta, testataan väännöllä, jolloin saadaan kuvan mukainen leikkausjännitys-venymäpiirros. Määritä liukumoduli G, suhteellisuusraja ja suurin leikkausjännitys. Määritä myös suurin siirtymä d kuvan kappaleen yläpinnalla, kun materiaali käyttäytyy kimmoisesti. Mikä on tätä siirtymää vastaava leikkausvoima V? 49 ESIMERKKI 3.5 (RATKAISU) Liukumoduli Saadaan käyrän lineaariselta osuudelta OA τ-γ käyrältä. Pisteen A koordinaatit ovat (0.008 rad, 360 MPa) 360 MPa G = rad = 45(10 3 ) MPa 50 25

26 ESIMERKKI 3.5 (RATKAISU) Suhteellisuusraja Kuvan mukaisesti kuvaajan lineaarisuus päättyy pisteessä A, eli τ pl = 360 MPa Maksimijännitys Käyrältä saadaan τ u = 504 MPa 51 ESIMERKKI 3.5 (RATKAISU) Suurin kimmoinen siirtymä ja leikkausvoima Pisteessä A kimmoinen alue päättyy, joten tan (0.008 rad) rad = d = 0.4 mm d 50 mm τ avg = V A V 360 MPa = (75 mm)(100 mm) V = 2700 kn 52 26

27 *3.7 Materiaalien viruminen ja väsyminen Viruminen Virumista ilmenee, kun materiaalia kuormitetaan pitkällä aikavälillä. Tällöin muodonmuutos jatkuu kunnes rakenne murtuu tai tulee muuten käyttökelvottomaksi Viruminen on syytä ottaa huomioon rakenneosilla, jotka ovat alttiita korkeille lämpötiloille (metalli- ja keramiikkamateriaalit) Määrätyt materiaalit, kuten polymeerit ja komposiitit, voivat virua myös ilman lämpötilan vaikutusta 53 *3.7 Materiaalien viruminen ja väsyminen Viruminen Jännitystaso ja/tai lämpötila vaikuttavat merkittävästi materiaalin virumisasteeseen Virumislujuus kertoo suurimman alkujännityksen, jonka materiaali kestää annetussa ajassa ilman määrättyä virumisvenymää Virumislujuuden määritys Useita kappaleita testataan samanaikaisesti Vakiolämpötilassa, mutta erilaisilla aksiaalijännityksillä 54 27

28 *3.7 Materiaalien viruminen ja väsyminen Viruminen Virumislujuuden määritys Mitataan aika, joka tarvitaan määrätyn venymän tai murtumisen aikaan saamiseen jokaisella testikappaleella Piirrä jännitysvenymäpiirros Virumislujuus in kääntäen verrannollinen lämpötilaan ja jännitykseen σ-t-piirros ruostumattomalle teräkselle 650º lämpötilassa ja 1% virumisvenymällä 55 *3.7 Materiaalien viruminen ja väsyminen Väsyminen Materiaalin väsymisellä tarkoitetaan vaihtelevan kuormituksen alaisen rakenteen vaurioitumista Väsyminen on otettava huomioon rakenneosilla ja kone-elimillä, jotka ovat vaihtelevan kuorman alaisia, esim. turbiinien siivet, siltarakenteet, nosturit, liikennevälineiden akselit jne. Väsyminen tapahtuu myötörajaa pienemmillä jännityksen arvoilla 56 28

29 *3.7 Materiaalien viruminen ja väsyminen Väsyminen Väsymisrajalla (vaihtolujuudella) tarkoitetaan jännitysamplitudia, jonka alapuolella oleva vaihteleva jännitys ei aiheuta materiaalin väsymistä Väsytyskoe Sarja testikappaleita asetetaan erilaisten jännitysamplitudien alaiseksi ja kuormitetaan murtumiseen saakka Sarjan tulokset piirretään logaritmiseen jännityskuormanvaihtopiirrokseen (S-Npiirros) 57 YHTEENVETO Vetokoe on tärkein materiaalien lujuustesti. Jännityksen ja venymän yhteys voidaan esittää graafisesti jännitys-venymäpiirroksena. Useimmat tekniset materiaalit käyttäytyvät kimmoisesti (lineaarielastisesti), jolloin jännitys on suoraan suhteessa venymään Hooken lain σ = Eε mukaisesti. Kimmomoduli E määritetään jännitys-venymäyhteyden kulmakertoimesta. Kun materiaalia kuormitetaan yli suhteellisuusrajan, jää rakenteeseen pysyvä muodonmuutos

30 YHTEENVETO Muokkauslujittuminen nostaa materiaalin myötörajaa Murtojännityksellä määrätty alue testikappaleessa alkaa kuroutua ja materiaali murtuu. Sitkeillä materiaaleilla on sekä kimmoista että kimmotonta (plastista) muodonmuutoskykyä. Haurailla materiaaleilla on vähän tai ei lainkaan myötöaluetta ennen murtumista 59 YHTEENVETO Myötörajaa voidaan materiaalilla nostaa hyödyntämällä muokkauslujittumista. Silloin kuormitusta nostetaan niin paljon, että materiaali myötää ja lujittuu, jonka jälkeen kuormitus poistetaan. Suurin jännityksen arvo on uusi myötöraja. Materiaalin muodonmuutos sitoo venymä- eli muodonmuutosenergiaa rakenteeseen. Muodonmuutosenergia saadaan jännitysvenymäpiirroksesta käyrän rajoittamasta pinta-alasta

31 YHTEENVETO Poissonin vakio (ν) on dimensioton suure, joka määrittää poikittaisvenymän suuruuden pitkittäisvenymään [0 ν 0.5] Leikkausjännitys-venymäpiirroksessa kimmoisella alueella pätee Hooken lain mukaan τ = Gγ, jossa G on liukumoduli, joka saadaan kimmoisen alueen kulmakertoimesta Liukumoduli G saadaan myös yhteydestä G = E/[2(1+ ν)] 61 YHTEENVETO Mikäli materiaali käytetään rakenneosissa, jotka ovat tarkoitettuja pitkän aikavälin käyttöön, on joissain tilanteissa otettava huomioon myös materiaalin viruminen ja väsyminen Viruminen on muodonmuutosnopeus, joka voi tapahtua korkeassa lämpötilassa ja/tai korkeassa jännitystasossa. Suunnittelussa viruminen otretaan huomioon siten, että jännitystaso ei saa ylittää virumislujuutta 62 31

32 YHTEENVETO Väsyminen on mahdollista materiaaleilla, jotka joutuvat vaihtelevan kuormituksen alaiseksi. Tällöin materiaaliin muodostuu mikrosäröjä, jotka johtavat murtumiseen. Materiaalin jännitys ei saa ylittää määrättyä väsymisrajaa 63 32

10. Jännitysten ja muodonmuutosten yhteys; vaurioteoriat

10. Jännitysten ja muodonmuutosten yhteys; vaurioteoriat TAVOITTEET Esitetään vastaavalla tavalla kuin jännitystilan yhteydessä venymätilan muunnosyhtälöt Kehitetään materiaaliparametrien yhteyksiä; yleistetty Hooken laki Esitetään vaurioteoriat, joilla normaali-

Lisätiedot

Ratkaisut 3. KJR-C2001 Kiinteän aineen mekaniikan perusteet, IV/2016

Ratkaisut 3. KJR-C2001 Kiinteän aineen mekaniikan perusteet, IV/2016 Kotitehtävät palautetaan viimeistään keskiviikkoisin ennen luentojen alkua eli klo 14:00 mennessä. Muistakaa vastaukset eri tehtäviin palautetaan eri lokeroon! Joka kierroksen arvostellut kotitehtäväpaperit

Lisätiedot

SISÄLTÖ Venymän käsite Liukuman käsite Venymä ja liukuma lujuusopin sovelluksissa

SISÄLTÖ Venymän käsite Liukuman käsite Venymä ja liukuma lujuusopin sovelluksissa SISÄLTÖ Venymän käsite Liukuman käsite Venymä ja liukuma lujuusopin sovelluksissa 1 SISÄLTÖ 1. Siirtymä 2 1 2.1 MUODONMUUTOS Muodonmuutos (deformaatio) Tapahtuu, kun kappaleeseen vaikuttaa voima/voimia

Lisätiedot

Analysoidaan lämpöjännitysten, jännityskeskittymien, plastisten muodonmuutosten ja jäännösjännityksien vaikutus

Analysoidaan lämpöjännitysten, jännityskeskittymien, plastisten muodonmuutosten ja jäännösjännityksien vaikutus TAVOITTEET Määritetään aksiaalisesti kuormitetun sauvan muodonmuutos Esitetään menetelmä, jolla ratkaistaan tukireaktiot tapauksessa, jossa statiikan tasapainoehdot eivät riitä Analysoidaan lämpöjännitysten,

Lisätiedot

TAVOITTEET Määrittää taivutuksen normaalijännitykset Miten määritetään leikkaus- ja taivutusmomenttijakaumat

TAVOITTEET Määrittää taivutuksen normaalijännitykset Miten määritetään leikkaus- ja taivutusmomenttijakaumat TAVOITTEET Määrittää taivutuksen normaalijännitykset Miten määritetään leikkaus- ja taivutusmomenttijakaumat Lasketaan suurimmat leikkaus- ja taivutusrasitukset Analysoidaan sauvoja, jotka ovat suoria,

Lisätiedot

Määritetään vääntökuormitetun sauvan kiertymä kimmoisella kuormitusalueella Tutkitaan staattisesti määräämättömiä vääntösauvoja

Määritetään vääntökuormitetun sauvan kiertymä kimmoisella kuormitusalueella Tutkitaan staattisesti määräämättömiä vääntösauvoja TAVOITTEET Tutkitaan väännön vaikutusta suoraan sauvaan Määritetään vääntökuormitetun sauvan jännitysjakauma Määritetään vääntökuormitetun sauvan kiertymä kimmoisella kuormitusalueella Tutkitaan staattisesti

Lisätiedot

MEKAANINEN AINEENKOETUS

MEKAANINEN AINEENKOETUS MEKAANINEN AINEENKOETUS KOVUUSMITTAUS VETOKOE ISKUSITKEYSKOE 1 Kovuus Kovuus on kovuuskokeen antama tulos! Kovuus ei ole materiaaliominaisuus samalla tavalla kuin esimerkiksi lujuus tai sitkeys Kovuuskokeen

Lisätiedot

Työ 4B8B S4h. AINEEN PITUUDEN MUUTOKSISTA

Työ 4B8B S4h. AINEEN PITUUDEN MUUTOKSISTA TURUN AMMATTIKORKEAKOULU TYÖOHJE 1/5 Työ 4B8B S4h. AINEEN PITUUDEN MUUTOKSISTA TYÖN TAVOITE Tavoitteena on ymmärtää aineen kimmoisuuteen liittyviä käsitteitä sekä aineen lämpölaajenemista. Sovelluksena

Lisätiedot

Harjoitus 1. KJR-C2001 Kiinteän aineen mekaniikan perusteet, IV/2016. Tehtävä 1 Selitä käsitteet kohdissa [a), b)] ja laske c) kohdan tehtävä.

Harjoitus 1. KJR-C2001 Kiinteän aineen mekaniikan perusteet, IV/2016. Tehtävä 1 Selitä käsitteet kohdissa [a), b)] ja laske c) kohdan tehtävä. Kotitehtävät palautetaan viimeistään keskiviikkona 2.3. ennen luentojen alkua eli klo 14:00 mennessä puiseen kyyhkyslakkaan, jonka numero on 9. Arvostellut kotitehtäväpaperit palautetaan laskutuvassa.

Lisätiedot

2 LUJUUSOPIN PERUSKÄSITTEET 25 2.1 Suoran sauvan veto tai puristus 25. 2.2 Jännityksen ja venymän välinen yhteys 34

2 LUJUUSOPIN PERUSKÄSITTEET 25 2.1 Suoran sauvan veto tai puristus 25. 2.2 Jännityksen ja venymän välinen yhteys 34 SISÄLLYSLUETTELO Kirjallisuusluettelo 12 1 JOHDANTO 13 1.1 Lujuusopin sisältö ja tavoitteet 13 1.2 Lujuusopin jako 15 1.3 Mekaniikan mallin muodostaminen 16 1.4 Lujuusopillisen suunnitteluprosessin kulku

Lisätiedot

Murtumismekaniikka III LEFM => EPFM

Murtumismekaniikka III LEFM => EPFM Murtumismekaniikka III LEFM => EPFM LEFM Rajoituksia K on validi, kun plastisuus rajoittuu pienelle alueelle särön kärkeen mitattavat TMMT-tilassa Hauraille materiaaleille Validiteetti Standardin kokeellinen

Lisätiedot

3. SUUNNITTELUPERUSTEET

3. SUUNNITTELUPERUSTEET 3. SUUNNITTELUPERUSTEET 3.1 MATERIAALIT Myötölujuuden ja vetomurtolujuuden arvot f R ja f R y eh u m tuotestandardista tai taulukosta 3.1 Sitkeysvaatimukset: - vetomurtolujuuden ja myötörajan f y minimiarvojen

Lisätiedot

BK10A3500 Materiaalitekniikka

BK10A3500 Materiaalitekniikka BK10A3500 Materiaalitekniikka Raimo Suoranta I periodi h. 1215 F Timo Kärki II periodi Materiaalit muokkaavat ihmiskunnan kehitystä Ihmisen selviytyminen on materiaalien kehittymisen ansiota? Kivikausi

Lisätiedot

Ratkaisut 2. KJR-C2001 Kiinteän aineen mekaniikan perusteet, IV/2016. Tehtävä 1 Selitä käsitteet kohdissa a) ja b) sekä laske c) kohdan tehtävä.

Ratkaisut 2. KJR-C2001 Kiinteän aineen mekaniikan perusteet, IV/2016. Tehtävä 1 Selitä käsitteet kohdissa a) ja b) sekä laske c) kohdan tehtävä. Kotitehtävät palautetaan viimeistään keskiviikkoisin ennen luentojen alkua eli klo 14:00 mennessä. Muistakaa vastaukset eri tehtäviin palautetaan eri lokeroon! Joka kierroksen arvostellut kotitehtäväpaperit

Lisätiedot

Fysikaaliset ominaisuudet

Fysikaaliset ominaisuudet Fysikaaliset ominaisuudet Ominaisuuksien alkuperä Mistä materiaalien ominaisuudet syntyvät? Minkälainen on materiaalin rakenne? Onko rakenteellisesti samankaltaisilla materiaaleilla samankaltaiset ominaisuudet?

Lisätiedot

7. Suora leikkaus TAVOITTEET 7. Suora leikkaus SISÄLTÖ

7. Suora leikkaus TAVOITTEET 7. Suora leikkaus SISÄLTÖ TAVOITTEET Kehitetään menetelmä, jolla selvitetään homogeenisen, prismaattisen suoran sauvan leikkausjännitysjakauma kun materiaali käyttäytyy lineaarielastisesti Menetelmä rajataan määrätyn tyyppisiin

Lisätiedot

4.1 Kaksi pistettä määrää suoran

4.1 Kaksi pistettä määrää suoran 4.1 Kaksi pistettä määrää suoran Kerrataan aluksi kurssin MAA1 tietoja. Geometrisesti on selvää, että tason suora on täysin määrätty, kun tunnetaan sen kaksi pistettä. Joskus voi tulla vastaan tilanne,

Lisätiedot

KJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet

KJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet KJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet Luento 23.11.2015 Susanna Hurme, Yliopistonlehtori, TkT Luennon sisältö Hooken laki lineaaris-elastiselle materiaalille (Reddy, kpl 6.2.3) Lujuusoppia: sauva (Reddy,

Lisätiedot

Vaatimukset. Rakenne. Materiaalit ja niiden ominaisuudet

Vaatimukset. Rakenne. Materiaalit ja niiden ominaisuudet Vaurioituminen I Vaatimukset Rakenne Materiaalit ja niiden ominaisuudet 3 Vaurioituminen Miksi materiaalit murtuvat? Miten materiaalit murtuvat? Timo Kiesi 18.9.2013 4 Miksi insinöörin pitää tietää vauriomekanismeista?

Lisätiedot

Aksiaalisella tai suoralla leikkauksella kuormitettujen rakenneosien lujuusopillinen analyysi ja suunnittelu

Aksiaalisella tai suoralla leikkauksella kuormitettujen rakenneosien lujuusopillinen analyysi ja suunnittelu TAVOITTEET Statiikan kertausta Kappaleen sisäiset rasitukset Normaali- ja leikkausjännitys Aksiaalisella tai suoralla leikkauksella kuormitettujen rakenneosien lujuusopillinen analyysi ja suunnittelu 1

Lisätiedot

3. SUUNNITTELUPERUSTEET

3. SUUNNITTELUPERUSTEET 3. SUUNNITTELUPERUSTEET 3.1 MATERIAALIT Rakenneterästen myötörajan f y ja vetomurtolujuuden f u arvot valitaan seuraavasti: a) käytetään suoraan tuotestandardin arvoja f y = R eh ja f u = R m b) tai käytetään

Lisätiedot

Valetun valukappaleelle on asetettu usein erilaisia mekaanisia ominaisuuksia, joita mitataan aineenkoestuksella.

Valetun valukappaleelle on asetettu usein erilaisia mekaanisia ominaisuuksia, joita mitataan aineenkoestuksella. K. Aineen koestus Pekka Niemi Tampereen ammattiopisto Valetun valukappaleelle on asetettu usein erilaisia mekaanisia ominaisuuksia, joita mitataan aineenkoestuksella. K. 1 Väsyminen Väsytyskokeella on

Lisätiedot

Koesuunnitelma Kimmokertoimien todentaminen

Koesuunnitelma Kimmokertoimien todentaminen KON-C3004 Kone-ja rakennustekniikan laboratoriotyöt Koesuunnitelma Kimmokertoimien todentaminen Ryhmä S: Pekka Vartiainen 427971 Jari Villanen 69830F Anssi Petäjä 433978 Sisällysluettelo 1 Johdanto...

Lisätiedot

Kon-41.4005 Kokeelliset menetelmät. Koesuunnitelma. 3D-tulostetun muovin materiaaliominaisuuksien mittaus. Janica Aula. Qiongge Tai.

Kon-41.4005 Kokeelliset menetelmät. Koesuunnitelma. 3D-tulostetun muovin materiaaliominaisuuksien mittaus. Janica Aula. Qiongge Tai. Kon-41.4005 Kokeelliset menetelmät Koesuunnitelma 3D-tulostetun muovin materiaaliominaisuuksien mittaus Janica Aula Qiongge Tai Hans Koskinen Tuomas Isomaa Aleksi Kinnunen Sisällysluettelo 1 Tutkimusongelma

Lisätiedot

Vauriomekanismi: Väsyminen

Vauriomekanismi: Väsyminen Vauriomekanismi: Väsyminen Väsyminen Väsyminen on vaihtelevan kuormituksen aiheuttamaa vähittäistä vaurioitumista. Erään arvion mukaan 90% vaurioista on väsymisen aiheuttamaa. Väsymisikää voidaan kuvata

Lisätiedot

Stabiliteetti ja jäykistäminen

Stabiliteetti ja jäykistäminen Stabiliteetti ja jäykistäminen Lommahdusjännitykset ja -kertoimet Lommahdus normaalijännitysten vuoksi: Leikkauslommahdus: Eulerin jännitys Lommahduskerroin normaalijännitykselle, pitkä jäykistämätön levy:

Lisätiedot

2 LUJUUSOPIN PERUSKÄSITTEET Suoran sauvan veto tai puristus Jännityksen ja venymän välinen yhteys

2 LUJUUSOPIN PERUSKÄSITTEET Suoran sauvan veto tai puristus Jännityksen ja venymän välinen yhteys SISÄLLYSLUETTELO Kirjallisuusluettelo 12 1 JOHDANTO 13 1.1 Lujuusopin sisältö ja tavoitteet 13 1.2 Lujuusopin jako 15 1.3 Mekaniikan mallin muodostaminen 16 1.4 Lujuusopillinen suunnittelu 18 1.5 Lujuusopin

Lisätiedot

normaali- ja leikkaus jännitysten laskemiseen pisteessä Määritetään ne tasot, joista suurimmat normaali- ja leikkausjännitykset löytyvät

normaali- ja leikkaus jännitysten laskemiseen pisteessä Määritetään ne tasot, joista suurimmat normaali- ja leikkausjännitykset löytyvät TAVOITTEET Johdetaan htälöt, joilla muutetaan jännitskomponentit koordinaatistosta toiseen Kätetään muunnoshtälöitä suurimpien normaali- ja leikkaus jännitsten laskemiseen pisteessä Määritetään ne tasot,

Lisätiedot

Pienahitsien materiaalikerroin w

Pienahitsien materiaalikerroin w Pienahitsien materiaalikerroin w Pienahitsien komponenttimenettely (SFS EN 1993-1-8) Seuraavat ehdot pitää toteutua: 3( ) ll fu w M ja 0,9 f u M f u = heikomman liitettävän osan vetomurtolujuus Esimerkki

Lisätiedot

Materiaali on lineaarinen, jos konstitutiiviset yhtälöt ovat jännitys- ja muodonmuutostilan suureiden välisiä lineaarisia yhtälöitä.

Materiaali on lineaarinen, jos konstitutiiviset yhtälöt ovat jännitys- ja muodonmuutostilan suureiden välisiä lineaarisia yhtälöitä. JÄNNITYS-JAMUODONMUUTOSTILANYHTYS Materiaalimalleista Jännitys- ja muodonmuutostila ovat kytkennässä toisiinsa ja kytkennän antavia yhtälöitä sanotaan materiaaliyhtälöiksi eli konstitutiivisiksi yhtälöiksi.

Lisätiedot

Murtumismekanismit: Väsyminen

Murtumismekanismit: Väsyminen KJR-C2004 Materiaalitekniikka Murtumismekanismit: Väsyminen 11.2.2016 Väsyminen Väsyminen on dynaamisen eli ajan suhteen aiheuttamaa vähittäistä vaurioitumista. Väsymisvaurio ilmenee särön, joka johtaa

Lisätiedot

8. Yhdistetyt rasitukset

8. Yhdistetyt rasitukset TAVOITTEET Analysoidaan ohutseinäisten painesäiliöiden jännitystilaa Tehdään yhteenveto edellisissä luennoissa olleille rasitustyypeille eli aksiaalikuormalle, väännölle, taivutukselle ja leikkausvoimalle.

Lisätiedot

Luento 14: Ääniaallot ja kuulo

Luento 14: Ääniaallot ja kuulo Luento 14: Ääniaallot ja kuulo Pikajohdanto elastisuusteoriaan Ääniaallot Luennon sisältö Pikajohdanto elastisuusteoriaan Ääniaallot Miksi pikajohdanto? Osa ääniaaltojen käsittelystä perustuu elastisuusteoriaan

Lisätiedot

KJR-C2004 materiaalitekniikka. Harjoituskierros 2

KJR-C2004 materiaalitekniikka. Harjoituskierros 2 KJR-C2004 materiaalitekniikka Harjoituskierros 2 Pienryhmäharjoitusten aiheet 1. Materiaaliominaisuudet ja tutkimusmenetelmät 2. Metallien deformaatio ja lujittamismekanismit 3. Faasimuutokset 4. Luonnos:

Lisätiedot

TERÄKSEN KÄYTTÄYTYMINEN ÄÄRIOLOSUHTEISSA.

TERÄKSEN KÄYTTÄYTYMINEN ÄÄRIOLOSUHTEISSA. 1 SAVONIA-AMK TEKNIIKKA/ KUOPIO HitSavonia- projekti Seppo Vartiainen Esitelmä paineastiat / hitsausseminaarissa 1.11.05 TERÄKSEN KÄYTTÄYTYMINEN ÄÄRIOLOSUHTEISSA. Kylmät olosuhteet. Teräksen transitiokäyttäytyminen.

Lisätiedot

CHEM-A1410 Materiaalitieteen perusteet

CHEM-A1410 Materiaalitieteen perusteet CHEM-A1410 Materiaalitieteen perusteet Laskuharjoitus 18.9.2017, Materiaalien ominaisuudet Tämä harjoitus ei ole arvioitava, mutta tämän tyyppisiä tehtäviä saattaa olla tentissä. Tehtävät perustuvat kurssikirjaan.

Lisätiedot

KAASUJEN YLEISET TILANYHTÄLÖT ELI IDEAALIKAASUJEN TILANYHTÄLÖT (Kaasulait) [pätevät ns. ideaalikaasuille]

KAASUJEN YLEISET TILANYHTÄLÖT ELI IDEAALIKAASUJEN TILANYHTÄLÖT (Kaasulait) [pätevät ns. ideaalikaasuille] KAASUJEN YLEISET TILANYHTÄLÖT ELI IDEAALIKAASUJEN TILANYHTÄLÖT (Kaasulait) [pätevät ns. ideaalikaasuille] A) p 1, V 1, T 1 ovat paine tilavuus ja lämpötila tilassa 1 p 2, V 2, T 2 ovat paine tilavuus ja

Lisätiedot

Väsyminen. Amanda Grannas

Väsyminen. Amanda Grannas Väsyminen Amanda Grannas Väsyminen Materiaalin struktuurin heikentyminen vaihtelevan kuormitusten tai jännitysten seurauksena Lähtee usein säröstä leviää kasvaa (syklinen jännityskuormitus jatkuu) murtuma

Lisätiedot

LAPPEENRANNAN TEKNILLINEN YLIOPISTO Teknillinen tiedekunta Konetekniikan koulutusohjelma BK10A0401 Kandidaatintyö ja seminaari

LAPPEENRANNAN TEKNILLINEN YLIOPISTO Teknillinen tiedekunta Konetekniikan koulutusohjelma BK10A0401 Kandidaatintyö ja seminaari LAPPEENRANNAN TEKNILLINEN YLIOPISTO Teknillinen tiedekunta Konetekniikan koulutusohjelma BK10A0401 Kandidaatintyö ja seminaari VÄÄNTÖRASITETUN RAKENNEOSAN EURONORMIIN PERUSTUVA KESTÄVYYSLASKENTAYHTÄLÖIDEN

Lisätiedot

Palkki ja laatta toimivat yhdessä siten, että laatta toimii kenttämomentille palkin puristuspintana ja vetoteräkset sijaitsevat palkin alaosassa.

Palkki ja laatta toimivat yhdessä siten, että laatta toimii kenttämomentille palkin puristuspintana ja vetoteräkset sijaitsevat palkin alaosassa. LAATTAPALKKI Palkki ja laatta toimivat yhdessä siten, että laatta toimii kenttämomentille palkin puristuspintana ja vetoteräkset sijaitsevat palkin alaosassa. Laattapalkissa tukimomentin vaatima raudoitus

Lisätiedot

Lämpötila Lämpölaajeneminen Ideaalikaasu. Luku 17

Lämpötila Lämpölaajeneminen Ideaalikaasu. Luku 17 Lämpötila Lämpölaajeneminen Ideaalikaasu Luku 17 Ch 17-1 3 Termodynaaminen tasapaino Termodynaaminen tasapaino: Tuotaessa kaksi systeemiä lämpökontaktiin niiden termodynaaminen tasapaino on saavutettu,

Lisätiedot

Hitsaustekniikkaa suunnittelijoille koulutuspäivä Hitsattujen rakenteiden lujuustarkastelu Tatu Westerholm

Hitsaustekniikkaa suunnittelijoille koulutuspäivä Hitsattujen rakenteiden lujuustarkastelu Tatu Westerholm Hitsaustekniikkaa suunnittelijoille koulutuspäivä 27.9.2005 Hitsattujen rakenteiden lujuustarkastelu Tatu Westerholm HITSAUKSEN KÄYTTÖALOJA Kehärakenteet: Ristikot, Säiliöt, Paineastiat, Koneenrungot,

Lisätiedot

Kon Luento 12 -Säteilyhaurastuminen -Mikrorakenteen vaikutus murtumiseen -Yhteenveto -CASE: Murtumismekanismien yhteisvaikutukset

Kon Luento 12 -Säteilyhaurastuminen -Mikrorakenteen vaikutus murtumiseen -Yhteenveto -CASE: Murtumismekanismien yhteisvaikutukset Kon-67.3401 Luento 12 -Säteilyhaurastuminen -Mikrorakenteen vaikutus murtumiseen -Yhteenveto -CASE: Murtumismekanismien yhteisvaikutukset Säteilyhaurastuminen Reaktoripaineastia ja sisukset 12/3/2015 3

Lisätiedot

MAA4 - HARJOITUKSIA. 1. Esitä lauseke 3 x + 2x 4 ilman itseisarvomerkkejä. 3. Ratkaise yhtälö 2 x 7 3 + 4x = 2 (yksi ratkaisu, eräs neg. kokon.

MAA4 - HARJOITUKSIA. 1. Esitä lauseke 3 x + 2x 4 ilman itseisarvomerkkejä. 3. Ratkaise yhtälö 2 x 7 3 + 4x = 2 (yksi ratkaisu, eräs neg. kokon. MAA4 - HARJOITUKSIA 1. Esitä lauseke 3 + 4 ilman itseisarvomerkkejä.. Ratkaise yhtälö a ) 5 9 = 6 b) 6 9 = 0 c) 7 9 + 6 = 0 3. Ratkaise yhtälö 7 3 + 4 = (yksi ratkaisu, eräs neg. kokon. luku) 4. Ratkaise

Lisätiedot

LUJUUSHYPOTEESIT, YLEISTÄ

LUJUUSHYPOTEESIT, YLEISTÄ LUJUUSHYPOTEESIT, YLEISTÄ Lujuushypoteesin tarkoitus: Vastataan kysymykseen kestääkö materiaali tietyn yleisen jännitystilan ( x, y, z, τxy, τxz, τyz ) vaurioitumatta. Tyypillisiä materiaalivaurioita ovat

Lisätiedot

Vanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016

Vanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016 Vanhoja koetehtäviä Analyyttinen geometria 016 1. Määritä luvun a arvo, kun piste (,3) on käyrällä a(3x + a) = (y - 1). Suora L kulkee pisteen (5,1) kautta ja on kohtisuorassa suoraa 6x + 7y - 19 = 0 vastaan.

Lisätiedot

Luento 3. Millerin indeksit Kidevirheet Röntgendiffraktio Elastisuusteoria

Luento 3. Millerin indeksit Kidevirheet Röntgendiffraktio Elastisuusteoria Luento 3 Millerin indeksit Kidevirheet Röntgendiffraktio Elastisuusteoria Luento 3 Millerin indeksit Kidevirheet Röntgendiffraktio Elastisuusteoria Kidesuunnat Kidesuuntien määrittäminen kuutiollisessa

Lisätiedot

Ch 12-4&5 Elastisuudesta ja lujuudesta

Ch 12-4&5 Elastisuudesta ja lujuudesta Ch 12-4&5 Elastisuudesta ja lujuudesta Jännitys ja venymä Hooken laki F = k l Δl = 1 k F Jousivakio k riippuu langan dimensioista Saadaan malli Δl = l o EA F k = E A l o Lisäksi tarvitaan materiaalia kuvaava

Lisätiedot

Makroskooppinen approksimaatio

Makroskooppinen approksimaatio Deformaatio 3 Makroskooppinen approksimaatio 4 Makroskooppinen mikroskooppinen Homogeeninen Isotrooppinen Elastinen Epähomogeeninen Anisotrooppinen Inelastinen 5 Elastinen anisotropia Material 2(s 11

Lisätiedot

Betonin lujuus ja rakenteiden kantavuus. Betoniteollisuuden kesäkokous Hämeenlinna prof. Anssi Laaksonen

Betonin lujuus ja rakenteiden kantavuus. Betoniteollisuuden kesäkokous Hämeenlinna prof. Anssi Laaksonen Betonin lujuus ja rakenteiden kantavuus Betoniteollisuuden kesäkokous 2017 11.8.2017 Hämeenlinna prof. Anssi Laaksonen Sisältö 1) Taustaa 2) Lujuuden lähtökohtia suunnittelussa 3) Lujuus vs. rakenteen

Lisätiedot

Harjoitus 10. KJR-C2001 Kiinteän aineen mekaniikan perusteet, IV/2016

Harjoitus 10. KJR-C2001 Kiinteän aineen mekaniikan perusteet, IV/2016 Kotitehtävät palautetaan viimeistään keskiviikkoisin ennen luentojen alkua eli klo 14:00 mennessä. Muistakaa vastaukset eri tehtäviin palautetaan eri lokeroon! Joka kierroksen arvostellut kotitehtäväpaperit

Lisätiedot

KUPARISAUVOJEN KOVUUS-, VETO-, JA VÄSYTYSKOKEET ANU VÄISÄNEN, JARMO MÄKIKANGAS, MARKKU KESKITALO, JARI OJALA

KUPARISAUVOJEN KOVUUS-, VETO-, JA VÄSYTYSKOKEET ANU VÄISÄNEN, JARMO MÄKIKANGAS, MARKKU KESKITALO, JARI OJALA KUPARISAUVOJEN KOVUUS-, VETO-, JA VÄSYTYSKOKEET 18.12.2008 ANU VÄISÄNEN, JARMO MÄKIKANGAS, MARKKU KESKITALO, JARI OJALA 1 Johdanto Muovauksen vaikutuksesta metallien lujuus usein kasvaa ja venymä pienenee.

Lisätiedot

Oheismateriaalin käyttö EI sallittua, mutta laskimen käyttö on sallittua Vastaukset tehtäväpaperiin, joka PALAUTETTAVA (vaikka vastaamattomana)!

Oheismateriaalin käyttö EI sallittua, mutta laskimen käyttö on sallittua Vastaukset tehtäväpaperiin, joka PALAUTETTAVA (vaikka vastaamattomana)! LUT-Kone Timo Björk BK80A2202 Teräsrakenteet I: 31.3.2016 Oheismateriaalin käyttö EI sallittua, mutta laskimen käyttö on sallittua Vastaukset tehtäväpaperiin, joka PALAUTETTAVA (vaikka vastaamattomana)!

Lisätiedot

Betonirakenteiden materiaaliominaisuudet

Betonirakenteiden materiaaliominaisuudet Betonirakenteiden materiaaliominaisuudet Siltaeurokoodien koulutus, 2.-3.12.29 Dipl.ins. Ulla Marttila, A-Insinöörit Suunnittelu Oy Esityksen sisältö: 1. Standardit ja ohjeet 2. Betoni Lujuus, kimmokerroin,

Lisätiedot

on hidastuvaa. Hidastuvuus eli negatiivinen kiihtyvyys saadaan laskevan suoran kulmakertoimesta, joka on siis

on hidastuvaa. Hidastuvuus eli negatiivinen kiihtyvyys saadaan laskevan suoran kulmakertoimesta, joka on siis Fys1, moniste 2 Vastauksia Tehtävä 1 N ewtonin ensimmäisen lain mukaan pallo jatkaa suoraviivaista liikettä kun kourun siihen kohdistama tukivoima (tässä tapauksessa ympyräradalla pitävä voima) lakkaa

Lisätiedot

Nopeus, kiihtyvyys ja liikemäärä Vektorit

Nopeus, kiihtyvyys ja liikemäärä Vektorit Nopeus, kiihtyvyys ja liikemäärä Vektorit Luento 2 https://geom.mathstat.helsinki.fi/moodle/course/view.php?id=360 Luennon tavoitteet: Vektorit tutuiksi Koordinaatiston valinta Vauhdin ja nopeuden ero

Lisätiedot

CHEM-A1410 Tulevaisuuden materiaalit, 2. luento, ominaisuuksista

CHEM-A1410 Tulevaisuuden materiaalit, 2. luento, ominaisuuksista CHEM-A1410, luento 2 CHEM-A1410 Tulevaisuuden materiaalit, 2. luento, ominaisuuksista Jari Aromaa, Kemian tekniikan ja metallurgian laitos 2. luento, sisällys Mitä tarkoitetaan materiaalin ominaisuuksilla

Lisätiedot

Materiaalien mekaniikka

Materiaalien mekaniikka Materiaalien mekaniikka 3. harjoitus jännitys ja tasapainoyhtälöt 1. Onko seuraava jännityskenttä tasapainossa kun tilavuusvoimia ei ole: σ x = σ 0 ( 3x L + 4xy 8y ), σ y = σ 0 ( x L xy + 3y ), τ xy =

Lisätiedot

Ohjeita fysiikan ylioppilaskirjoituksiin

Ohjeita fysiikan ylioppilaskirjoituksiin Ohjeita fysiikan ylioppilaskirjoituksiin Kari Eloranta 2016 Jyväskylän Lyseon lukio 11. tammikuuta 2016 Kokeen rakenne Fysiikan kokeessa on 13 tehtävää, joista vastataan kahdeksaan. Tehtävät 12 ja 13 ovat

Lisätiedot

Nanomateriaalien mahdollisuudet ja riskit Näkökohtia, muutoksia vuoden 2008 jälkeen?

Nanomateriaalien mahdollisuudet ja riskit Näkökohtia, muutoksia vuoden 2008 jälkeen? Nanomateriaalien mahdollisuudet ja riskit Näkökohtia, muutoksia vuoden 2008 jälkeen? OLLI IKKALA aakatemiaprofessori Department of Applied Physics, Aalto University School of Science (formerly Helsinki

Lisätiedot

Suoran yhtälöt. Suoran ratkaistu ja yleinen muoto: Suoran yhtälö ratkaistussa, eli eksplisiittisessä muodossa, on

Suoran yhtälöt. Suoran ratkaistu ja yleinen muoto: Suoran yhtälö ratkaistussa, eli eksplisiittisessä muodossa, on Suoran htälöt Suoran ratkaistu ja leinen muoto: Suoran htälö ratkaistussa, eli eksplisiittisessä muodossa, on ANALYYTTINEN GEOMETRIA MAA5 = k + b, tai = a missä vakiotermi b ilmoittaa suoran ja -akselin

Lisätiedot

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A) Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Insinöörivalinnan matematiikan koe 30..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Lukujen 9, 0, 3 ja x keskiarvo on. Määritä x. (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut

Lisätiedot

Tuukka Yrttimaa. Vaurioituminen. Sitkeä- ja haurasmurtuma. Brittle and Ductile Fracture

Tuukka Yrttimaa. Vaurioituminen. Sitkeä- ja haurasmurtuma. Brittle and Ductile Fracture Tuukka Yrttimaa Vaurioituminen Sitkeä- ja haurasmurtuma Brittle and Ductile Fracture Sitkeä- ja haurasmurtuma Metallin kyky plastiseen deformaatioon ratkaisee murtuman luonteen (kuva 1) [3] Murtumaan johtaa

Lisätiedot

Fysiikan laboratoriotyöt 1, työ nro: 2, Harmoninen värähtelijä

Fysiikan laboratoriotyöt 1, työ nro: 2, Harmoninen värähtelijä Fysiikan laboratoriotyöt 1, työ nro: 2, Harmoninen värähtelijä Tekijä: Mikko Laine Tekijän sähköpostiosoite: miklaine@student.oulu.fi Koulutusohjelma: Fysiikka Mittausten suorituspäivä: 04.02.2013 Työn

Lisätiedot

Harjoitus 6. KJR-C2001 Kiinteän aineen mekaniikan perusteet, IV/2016

Harjoitus 6. KJR-C2001 Kiinteän aineen mekaniikan perusteet, IV/2016 KJR-C001 Kiinteän aineen mekaniikan perusteet, IV/01 Kotitehtävät palautetaan viimeistään keskiviikkoisin ennen luentojen alkua eli klo 1:00 mennessä. Muistakaa vastaukset eri tehtäviin palautetaan eri

Lisätiedot

4B6A. KIMMOISUUSTUTKIMUKSIA

4B6A. KIMMOISUUSTUTKIMUKSIA FYSIIKAN LABORATORIO V. 9.0 4B6A. KIMMOISUUSTUTKIMUKSIA A. LANGAN KIMMOKERTOIMEN MÄÄRITTÄMINEN. Tavoite. Teoriaa Työssä perehdytään Hooken lakiin normaalijännityksen alaisessa kappaleessa ja määritetään

Lisätiedot

Teräsbetonipaalun mitoitus PO-2016 mukaan

Teräsbetonipaalun mitoitus PO-2016 mukaan Teräsbetonipaalun mitoitus PO-2016 mukaan Aksiaalisesti kuormitettu tukipaalu PO-2016 koulutustilaisuus 14.3.2017 Jukka Haavisto, TTY Esityksen sisältö Yleistä tb-paalujen kestävyydestä Geoteknisen kestävyyden

Lisätiedot

Teräsköyden rakenne LANKA SÄIE-RAKENTEET. Raaka-aineena on runsas hiilinen valssilanka, joka on vedetty kylmänä halutun mittaiseksi ja lujuiseksi.

Teräsköyden rakenne LANKA SÄIE-RAKENTEET. Raaka-aineena on runsas hiilinen valssilanka, joka on vedetty kylmänä halutun mittaiseksi ja lujuiseksi. Teräsköyden rakenne LANKA Raaka-aineena on runsas hiilinen valssilanka, joka on vedetty kylmänä halutun mittaiseksi ja lujuiseksi. Lanka (EN10264-2 vaatimukset). Köyden lujuusluokka Langan vetomurtolujuus

Lisätiedot

Harjoituksia MAA4 - HARJOITUKSIA. 6. Merkitse lukusuoralle ne luvut, jotka toteuttavat epäyhtälön x 2 < ½.

Harjoituksia MAA4 - HARJOITUKSIA. 6. Merkitse lukusuoralle ne luvut, jotka toteuttavat epäyhtälön x 2 < ½. MAA4 - HARJOITUKSIA 1 Esitä lauseke 3 x + x 4 ilman itseisarvomerkkejä Ratkaise yhtälö a ) 5x 9 = 6 b) 6x 9 = 0 c) 7x 9 + 6 = 0 3 Ratkaise yhtälö x 7 3 + 4x = 4 Ratkaise yhtälö 5x + = 3x 4 5 Ratkaise yhtälö

Lisätiedot

Käy vastaamassa kyselyyn kurssin pedanet-sivulla (TÄRKEÄ ensi vuotta ajatellen) Kurssin suorittaminen ja arviointi: vähintään 50 tehtävää tehtynä

Käy vastaamassa kyselyyn kurssin pedanet-sivulla (TÄRKEÄ ensi vuotta ajatellen) Kurssin suorittaminen ja arviointi: vähintään 50 tehtävää tehtynä Käy vastaamassa kyselyyn kurssin pedanet-sivulla (TÄRKEÄ ensi vuotta ajatellen) Kurssin suorittaminen ja arviointi: vähintään 50 tehtävää tehtynä (vihkon palautus kokeeseen tullessa) Koe Mahdolliset testit

Lisätiedot

tutustuttaa materiaalien lujuusominaisuuksiin luentoja perusteellisemmin

tutustuttaa materiaalien lujuusominaisuuksiin luentoja perusteellisemmin FYSP102 / K2 KIMMOKERTOIMEN MÄÄRITYS Työn tavoitteita tutustuttaa materiaalien lujuusominaisuuksiin luentoja perusteellisemmin kerrata monia toistoja sisältävien laskujen sekä suoransovituksen tekemistä

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 9.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Palkin leikkausvoima- ja taivutusmomenttijakaumat ja kuviot (Kirjan luvut 7.2 ja 7.3) Osaamistavoitteet: Ymmärtää, miten leikkausvoima

Lisätiedot

Pullon venymän mittaaminen KON-C3004 Kone- ja rakennustekniikan laboratoriotyöt. Henri Järlström ja Olli Sarainmaa

Pullon venymän mittaaminen KON-C3004 Kone- ja rakennustekniikan laboratoriotyöt. Henri Järlström ja Olli Sarainmaa Pullon venymän mittaaminen KON-C3004 Kone- ja rakennustekniikan laboratoriotyöt Henri Järlström 355690 ja Olli Sarainmaa 220013 Sisällysluettelo 1 Johdanto...2 2 Teoria...2 3 Tutkimusmenetelmät...3 3.1

Lisätiedot

Suora. Määritelmä. Oletetaan, että n = 2 tai n = 3. Avaruuden R n suora on joukko. { p + t v t R},

Suora. Määritelmä. Oletetaan, että n = 2 tai n = 3. Avaruuden R n suora on joukko. { p + t v t R}, Määritelmä Suora Oletetaan, että n = 2 tai n = 3. Avaruuden R n suora on joukko { p + t v t R}, missä p, v R n ja v 0. Tässä p on suoran jonkin pisteen paikkavektori ja v on suoran suuntavektori. v p LM1,

Lisätiedot

Koesuunnitelma KON-C3004 Kone-ja rakennustekniikan laboratoriotyöt. 16.10.2015 Aleksi Purkunen (426943) Joel Salonen (427269)

Koesuunnitelma KON-C3004 Kone-ja rakennustekniikan laboratoriotyöt. 16.10.2015 Aleksi Purkunen (426943) Joel Salonen (427269) Koesuunnitelma KON-C3004 Kone-ja rakennustekniikan laboratoriotyöt 16.10.2015 Aleksi Purkunen (426943) Joel Salonen (427269) Sisällysluettelo 1. Johdanto... 2 2. Tutkimusmenetelmät... 2 2.1 Kokeellinen

Lisätiedot

Kuparikapselin pitkäaikaiskestävyys

Kuparikapselin pitkäaikaiskestävyys Kuparikapselin pitkäaikaiskestävyys Juhani Rantala, Pertti Auerkari, Stefan Holmström & Jorma Salonen VTT, Espoo Tapio Saukkonen TKK Materiaalitekniikan laboratorio, Espoo KYT2010 Puoliväliseminaari 26.9.2008,

Lisätiedot

Kuva 1. Ohmin lain kytkentäkaavio. DC; 0 6 V.

Kuva 1. Ohmin lain kytkentäkaavio. DC; 0 6 V. TYÖ 37. OHMIN LAKI Tehtävä Tutkitaan metallijohtimen päiden välille kytketyn jännitteen ja johtimessa kulkevan sähkövirran välistä riippuvuutta. Todennetaan kokeellisesti Ohmin laki. Välineet Tasajännitelähde

Lisätiedot

H 2 O. Kuva 1. Kalorimetri. missä on kalorimetriin tuotu lämpömäärä. Lämpökapasiteetti taas määräytyy yhtälöstä

H 2 O. Kuva 1. Kalorimetri. missä on kalorimetriin tuotu lämpömäärä. Lämpökapasiteetti taas määräytyy yhtälöstä KALORIMETRI 1 TEORIAA Kalorimetri on laite, jolla voidaan mitata lämpömääriä. Mittaus voidaan suorittaa tarkastelemalla lämpömuutoksia, faasimuutoksia, kemiallisia reaktioita jne. Kun mittaus perustuu

Lisätiedot

Rakennesuunnittelu. Materiaali. Kudotut rakenteet. Komposiitit ALM. Functionally graded. Vaahdot

Rakennesuunnittelu. Materiaali. Kudotut rakenteet. Komposiitit ALM. Functionally graded. Vaahdot Komposiitit Komposiitit Useamman materiaalin / materiaaliryhmän yhdistelmä Materiaalin ja rakenteen välimaastossa Matriisi lujite (tai funktionaalisesti valitut materiaalit) Materiaali Rakennesuunnittelu

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 Väliarvolause Oletetaan, että funktio f on jatkuva jollain reaalilukuvälillä [a, b] ja derivoituva avoimella välillä (a, b). Funktion muutos tällä välillä on luonnollisesti

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 18.3.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 18.3.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 8..05 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa

Lisätiedot

Massakeskipiste Kosketusvoimat

Massakeskipiste Kosketusvoimat Massakeskipiste Kosketusvoimat Luennon tavoitteet Kosketusvoimia Kitka Tukivoima Jännitys Jousivoima Massakeskipisteen käsite ja sillä laskeminen (Resonanssi tiedottaa tarjoavansa kahvia luentotauolla)

Lisätiedot

Ensimmäisen asteen polynomifunktio

Ensimmäisen asteen polynomifunktio Ensimmäisen asteen polnomifunktio Yhtälön f = a+ b, a 0 määrittelemää funktiota sanotaan ensimmäisen asteen polnomifunktioksi. Esimerkki. Ensimmäisen asteen polnomifuktioita ovat esimerkiksi f = 3 7, v()

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 10.3.2016 Susanna Hurme Statiikan välikoe 14.3.2016 Ajankohta ma 14.3.2016 klo 14:15 17:15 Salijako Aalto-Sali: A-Q (sukunimen alkukirjaimen mukaan) Ilmoittautuminen

Lisätiedot

13 KALORIMETRI. 13.1 Johdanto. 13.2 Kalorimetrin lämmönvaihto

13 KALORIMETRI. 13.1 Johdanto. 13.2 Kalorimetrin lämmönvaihto 13 KALORIMETRI 13.1 Johdanto Kalorimetri on ympäristöstään mahdollisimman täydellisesti lämpöeristetty astia. Lämpöeristyksestä huolimatta kalorimetrin ja ympäristön välinen lämpötilaero aiheuttaa lämmönvaihtoa

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka Tekijä Pitkä matematiikka 5..017 110 Valitaan suoralta kaksi pistettä ja piirretään apukolmio, josta koordinaattien muutokset voidaan lukea. Vaakasuoran suoran kulmakerroin on nolla. y Suoran a kulmakerroin

Lisätiedot

Nimi: Muiden ryhmäläisten nimet:

Nimi: Muiden ryhmäläisten nimet: Nimi: Muiden ryhmäläisten nimet: PALKKIANTURI Työssä tutustutaan palkkianturin toimintaan ja havainnollistetaan sen avulla pienten ainepitoisuuksien havainnointia. Työn mittaukset on jaettu kolmeen osaan,

Lisätiedot

Väsymissärön ydintyminen

Väsymissärön ydintyminen Väsymissärön ydintyminen 20.11.2015 1 Vaurio alkaa särön muodostumisella Extruusio Intruusio Deformoitumaton matriisi S-N käyrät Testattu sauvan katkeamiseen Kuvaavat aikaa "engineering särön muodostumiseen"

Lisätiedot

KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4

KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4 KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + ( 1) + 3 ( 1) 3 = 3 + 3 = 4 K. a) x 3x + 7x 5x = 4x + 4x b) 5x 3 (1 x ) = 5x 3 1 + x = 6x 4 c) (x + 3)(x 4) = x 3 4x + 3x 1 = x 3 + 3x 4x 1 Vastaus: a) 4x +

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion MAA7 Derivaatta Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Derivaatta (MAA7) Pikatesti ja kertauskokeet Tehtävien ratkaisut Pikatesti

Lisätiedot

Murtumismekaniikka. Jussi Tamminen

Murtumismekaniikka. Jussi Tamminen Murtumismekaniikka Jussi Tamminen Taustaa Murtumismekaanisia kokeita kehitetty 1950-luvun lopusta asti Materiaali murtuu yleensä nimellysjännitystä pienemmällä jännityksellä Kriittisen vikakoon määrittäminen

Lisätiedot

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2.

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2. MAA4 Koe 5.5.01 Jussi Tyni Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Ota kokeesta poistuessasi tämä paperi mukaasi! Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse

Lisätiedot

PYP I / TEEMA 4 MITTAUKSET JA MITATTAVUUS

PYP I / TEEMA 4 MITTAUKSET JA MITATTAVUUS 1 PYP I / TEEMA 4 MITTAUKSET JA MITATTAVUUS Aki Sorsa 2 SISÄLTÖ YLEISTÄ Mitattavuus ja mittaus käsitteinä Mittauksen vaiheet Mittaustarkkuudesta SUUREIDEN MITTAUSMENETELMIÄ Mittalaitteen osat Lämpötilan

Lisätiedot

2 Raja-arvo ja jatkuvuus

2 Raja-arvo ja jatkuvuus Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.6 Raja-arvo ja jatkuvuus. a) Kun suorakulmion kärki on kohdassa =, on suorakulmion kannan pituus. Suorakulmion korkeus on käyrän y-koordinaatti

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π

Lisätiedot

Koesuunnitelma. Tuntemattoman kappaleen materiaalin määritys. Kon c3004 Kone ja rakennustekniikan laboratoriotyöt. Janne Mattila.

Koesuunnitelma. Tuntemattoman kappaleen materiaalin määritys. Kon c3004 Kone ja rakennustekniikan laboratoriotyöt. Janne Mattila. Kon c3004 Kone ja rakennustekniikan laboratoriotyöt Koesuunnitelma Tuntemattoman kappaleen materiaalin määritys Janne Mattila Teemu Koitto Lari Pelanne Sisällysluettelo 1. Tutkimusongelma ja tutkimuksen

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 8.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Normaalivoiman, leikkausvoiman ja taivutusmomentin käsitteet (Kirjan luku 7.1) Osaamistavoitteet: Ymmärtää, millaisia sisäisiä

Lisätiedot

Tuulen nopeuden mittaaminen

Tuulen nopeuden mittaaminen KON C3004 Kone ja rakennustekniikan laboratoriotyöt Koesuunnitelma / ryhmä K Tuulen nopeuden mittaaminen Matias Kidron 429542 Toni Kokkonen 429678 Sakke Juvonen 429270 Kansikuva: http://www.stevennoble.com/main.php?g2_view=core.downloaditem&g2_itemid=12317&g2_serialnumber=2

Lisätiedot

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6 MAA Koe, Arto Hekkanen ja Jussi Tyni 5.5.015 Loppukoe LASKE ILMAN LASKINTA. 1. Yhdistä kuvaaja ja sen yhtälö a) 3 b) 1 c) 5 d) Suoran yhtälö 1) y=3x ) 3x+y =0 3) x y 3=0 ) y= 3x 3 5) y= 3x 6) 3x y+=0 y=-3x+

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 9 Korkeamman asteen derivaatat Tutkitaan nyt funktiota f, jonka kaikki derivaatat on olemassa. Kuten tunnettua, funktion toista derivaattaa pisteessä x merkitään f (x).

Lisätiedot