10. Jännitysten ja muodonmuutosten yhteys; vaurioteoriat

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "10. Jännitysten ja muodonmuutosten yhteys; vaurioteoriat"

Transkriptio

1 TAVOITTEET Esitetään vastaavalla tavalla kuin jännitystilan yhteydessä venymätilan muunnosyhtälöt Kehitetään materiaaliparametrien yhteyksiä; yleistetty Hooken laki Esitetään vaurioteoriat, joilla normaali- ja leikkausjännityksen alainen rasitustila yhdistetään vetokokeesta saatuun materiaalin lujuuteen SISÄLTÖ. Tasovenymä. Tasovenymätilan muunnosyhtälöt 3. Jännitys/muodonmuutos: yleistetty Hooken laki 4. Vaurioteoriat

2 0. TASOVENYMÄ Yleinen venymätila käsittää 3 normaalivenymä komponenttia (ε x, ε y, ε z ) ja 3 leikkausvenymä- (liukuma)komponenttia (γ xy, γ xz, γ yz ). Kokeellisesti tasovenymätilan venymät sadaan venymäliuskoilla kappaleen pinnasta. Tasovenymätilassa on kaksi normaalivenymäkomponenttia (ε x, ε y ) ja yksi leikkausvenymäkomponentti γ xy TASOVENYMÄ Kuvissa on esitetty siirtymät graafisesti. Huomaa, että normaalivenymät aiheuttavat elementin pituusmuutoksen x ja y -suuntiin ja leikkausvenymä (liukuma) aiheuttaa kahden vierekkäisen sivun suhteellisen kiertymän. Normaalivenymä ε x Normaalivenymä ε y Liukuma γ xy 4

3 0. TASOVENYMÄ Huomaa, että tasovenymätila ei välttämättä tarkoita tasojännitystilaa. Yleisessä tapauksessa, ellei υ 0, Poissonin efekti estää samanaikaisen tasojännitys- ja tasovenymätilan. Koska leikkausjännitykseen ja liukumaan ei vaikuta Poissonin vakio, ehto τ xz τ yz 0 edellyttää, että γ xz γ yz 0. Tasojännitystila ei aiheuta tasovenymätilaa x-y- tasossa, koska ε z TASOVENYMÄTILAN MUUNNOSYHTÄLÖT Merkkisääntö Normaalivenymät ε xz ja ε yz ovat positiivisia jos ne aiheuttavat venymiä x ja y akselien positiivisiin suuntiin Liukuma γ xy on positiivinen, jos kulma AOB on pienempi kuin

4 0. TASOVENYMÄTILAN MUUNNOSYHTÄLÖT Normaali- ja leikkausvenymät Vastaavalla tavalla kuin aiemmin jännitysten kanssa, voidaan johtaa muunnoskaavat venymille: ε x + ε y ε x ε y γ ε x ' + cosθ + ε y' xy sin θ ε x + ε y ε x ε y γ xy cosθ sin θ ( 0-5) ( 0-6) γ xy ' ' ε x ε y γ sin θ + xy cos θ 0-7 ( ) 7 0. TASOVENYMÄTILAN MUUNNOSYHTÄLÖT Normaali- ja leikkausvenymät Graafisesti Positiivinen normaalivenymä ε x Positiivinen leikkausvenymä γ x y 8 4

5 0. TASOVENYMÄTILAN MUUNNOSYHTÄLÖT Päävenymät Elementtiä voidaan kiertää siten, että sen muodonmuutos on ainoastaan venymiä ilman liukumia. Materiaalin pitää olla isotrooppista (joka suuntaan samanlaista) ja koordinaattiakselien tulee yhtyä pääakseleihin. Siten yhtälöistä 9-4 ja 9-5 saadaan γ xy tan θ p - ε ε x y ( 0 8) 9 0. TASOVENYMÄTILAN MUUNNOSYHTÄLÖT Päävenymät ε x + ε y ε x ε y γ xy ε, ± + Maksimi tasovenymä Soveltaen yhtälöitä 9-6, 9-7 ja 9-8 saadaan ε tan x ε y θ s - γ xy ( 0 0) ( 0-9) γ max in -plane ε x ε y γ + xy ( 0 -) 0 5

6 0. TASOVENYMÄTILAN MUUNNOSYHTÄLÖT Maksimi tasovenymä Soveltaen yhtälöitä 9-6, 9-7 ja 9-8 saadaan ε avg ε x + ε y ( 0 -) 0. TASOVENYMÄTILAN MUUNNOSYHTÄLÖT YHTEENVETOA Poissonin efektin vuoksi tasovenymätila ei ole tasojännitystila ja päinvastoin. Kappaleen piste on tasojännitystilassa, jos se sijaitsee kappaleen pinnalla, joka on jännityksetän pinnan normaalin suunnassa. Tasovenymätila voidaan analysoida esim. venymäliuskoilla mitatussa tasojännitystilassa. On kuitenkin muistettava, että tällöin esiintyy myös venymää pinnan normaalin suunnassa. Päävenymätilassa ei esiinny leikkausvenymiä (liukumia). 6

7 0. TASOVENYMÄTILAN MUUNNOSYHTÄLÖT YHTEENVETOA Pisteen venymätila voidaan esittää myös maksimi tasovenymillä. Tällöin vaikuttaa myös tasovenymä elementissä. Elementti, jossa esiintyy maksimi tasovenymä ja sitä vastaava normaalivenymä on 45 kulmassa päävenymien suhteen. 3 ESIMERKKI 0. Materiaalin differentiaalielementti on tasovenymätilassa, jossa vaikuttaa venymät ε x 350(0-6 ), ε y 00(0-6 ), γ xy 80(0-6 ), jotka aiheuttavat kuvan mukaisen muodonmuutoksen. Määritä päävenymät ja niitä vastaavat kiertymäkulmat. 4 7

8 ESIMERKKI 0. (RATKAISU) Elementin suunta Yhtälöstä 0-8 saadaan 6 γ xy 80(0 ) tan θ p 6 ε ε (0 ) x y ( ) Siten θ 8.8 ja , joten p p θ 4.4 ja 85.9 Positiivinen suunta on vastapäivään, joten elementti kiertyy kuvan mukaisesti: 5 ESIMERKKI 0. (RATKAISU) Päävenymät Yhtälöstä 0-9, ε, ε 030 ε x + ε y 6 ( )( 0 ) ± + ( 0 ) 6 6 ( ) ± 77.9( 0 ) 6 6 ( ) ε 3530 ( ) ± ε x ε y + γ xy 6 8

9 ESIMERKKI 0. (RATKAISU) Päävenymät Tarkistetaan kumpi näistä venymistä vaikuttaa x suuntaan soveltamalla yhtälöä 0-5 kun θ 4.4. Siten ε x + ε y ε x ε y γ xy ε x' + cosθ + sin θ cos 4.4 ε x' 3530 ( ) ( ) ( ) 6 ( ) sin ( 4.4 ) 6 ( ) ESIMERKKI 0. (RATKAISU) Päävenymät Siten ε x ε. Päävenymät aiheuttavat kuvan mukaisen muodonmuutoksen. 8 9

10 0.6 JÄNNITYS/MUODONMUUTOS:YLEISTETTY HOOKEN LAKI Yleistetty Hooken laki Materiaalissa oleva piste asetetaan kolmiaksiaaliseen jännitystilaan. Sovelletaan superpositioperiaatetta, Poissonin vakiota (ε lat υε long ) ja Hooken lakia (ε σ E) jolloin saadaan jännityksien ja venymien yhteys aina yhden akselin suunnassa. Asetetaan σ x vaikuttamaan, jolloin elementti venyy x suunnassa ja venymä on tähän suuntaan on σ ε ' x x E JÄNNITYS/MUODONMUUTOS:YLEISTETTY HOOKEN LAKI Yleistetty Hooken laki Asetetaan σ y, jolloin elementti kuroutuu venymällä ε x x -suuntaan, σ y ε' ' x υ E Vastaavasti jännityksellä σ z, kurouma x suuntaan on σ ε z ' ' ' x υ E 0 0

11 0.6 JÄNNITYS/MUODONMUUTOS:YLEISTETTY HOOKEN LAKI Yleistetty Hooken laki Superpositioperiaatteella soveltaen samaa kahteen muuhun suuntaan saadaan ε ε ε x y z E E E [ σ υ( σ + σ )] x [ σ υ( σ + σ )] ( 0-8) y [ σ υ( σ + σ )] z y x x z z y 0.6 JÄNNITYS/MUODONMUUTOS:YLEISTETTY HOOKEN LAKI Yleistetty Hooken laki Asetetaan leikkausjännitys τ xy elementtiin, jolloin havaitaan kokeellisesti, että muodonmuutos on ainoastaan liukuma γ xy. Asetetaan vastaavasti τ xz ja γ xy, sekä τ yz ja γ yz. Hooken laki leikkaukselle on siis γ xy τ xy γ yz τ yz γ xz τ G G G xz ( 0-9)

12 0.6 JÄNNITYS/MUODONMUUTOS:YLEISTETTY HOOKEN LAKI E, υ, ja G välinen yhteys Aiemmin todettiin: E G +υ ( ) ( 0-0) Päävenymien ja leikkausjännityksen yhteys on τ xy ε + υ 0 E ( ) ( ) max - Koska σ x σ y σ z 0, yhtälön 0-8 mukaan ε x ε y 0. Sijoitetaan 0-9, jolloin saadaan ε ε max γ xy JÄNNITYS/MUODONMUUTOS:YLEISTETTY HOOKEN LAKI E, υ, ja G välinen yhteys Hooken lain mukaan, γ xy τ xy /G. Siten ε max τ xy /G. Sijoitetaan tulos yhtälöön0- ja järjestetään uudelleen jolloin saadaan G E ( +υ) ( 0-0) 4

13 0.6 JÄNNITYS/MUODONMUUTOS:YLEISTETTY HOOKEN LAKI YHTEENVETOA Homogeenisilla ja isotrooppisilla materiaaleilla, jotka ovat kolmiaksiaalisessa jännitystilassa, venymän suuruus yhteen suuntaan on riippuvainen kaikista jännityksistä. Tämä johtuu Poissonin efektistä ja se voidaan tiivistää yleistetyksi Hooken laiksi. Homogeenisilla ja isotrooppisilla materiaaleilla leikkausjännitys aiheuttaa liukuman ainoastaan samassa tasossa. Materiaalivakiot E, G ja υ ovat matemaattisesti sidoksissa toisiinsa. 5 ESIMERKKI 0.0 Kuparitanko on kuvan jännitystilassa. Sen mitat ovat a 300 mm, b 50 mm ja t 0 mm ennen kuormituksen asettamista. Määritä uudet mitat kuorman asettamisen jälkeen. Materiaaliparametrit ovat E cu 0 GPa, υ cu

14 ESIMERKKI 0.0 (RATKAISU) Tanko on tasojännitystilassa. Kuormituksen perusteella σ x 800 MPa σ y 500 MPa τ xy 0 σ z 0 Yleistetystä Hooken laista saadaan vastaavat venymät σ x υ ε x v E E 800 MPa 0 03 ( σ + σ ) z ( ) MPa ( ) ( 500 ) MPa 7 ESIMERKKI 0.0 (RATKAISU) Yleistetystä Hooken laista saadaan vastaavat venymät σ y υ ε y ( σ x + σ z ) E E 500 MPa MPa MPa 0 03 ( ) ( ) ( ) ( σ + σ ) σ z υ ε z x E E y ( ) ( 800 MPa 500 MPa )

15 ESIMERKKI 0.0 (RATKAISU) Tangon uudet mitat ovat siis a' 300 mm b' 50 mm + t' 0 mm ( 300 mm) 30.4 mm ( )( 50 mm) mm ( )( 0 mm) 9.98 mm 9 Suunnittelussa on materiaalille asetettava jännityksen yläraja, jolla se vaurioituu (myötää/murtuu). Sitkeillä materiaaleille vaurio alkaa myötämisellä. Haurailla materiaaleilla vaurion määrittää murtuminen. Suunnittelijoilla on kuitenkin käytössään vain yksiaksiaalisen vetokokeen tulos, joka ei suoraan sovellu kaksi- tai kolmiaksiaalisen jännitystilan vauriotyyppiin. Eri materiaalityypeille on johdettu lujuushypoteeseja (oletuksia), joilla arvioidaan kriittisiä jännitystasoja. 30 5

16 A. Sitkeät materiaalit. Maksimileikkausjännityshypoteesi (MLJH) Sitkeät materiaalit myötävät tyypillisesti liukumalla. Liukupinnat muodostuvat materiaalin raerajoille. Liukupintoja kutsutaan Lüderin viivoiksi. Kuvan mukaisesti liukupinnat ovat n. 45 asteen kulmassa vetosuunnan suhteen. 3 A. Sitkeät materiaalit. Maksimileikkausjännityshypoteesi Aiemmin on johdettu tulos maksimileikkausjännitystasolle τ σ Y ( 0 6) max - Vuonna 868 Henri Tresca esitti maksimileikkausjännityshypoteesin tai ns. Trescan vaurioteorian. 3 6

17 A. Sitkeät materiaalit. Maksimileikkausjännityshypoteesi Mikäli tasojännitystilan jännitykset ovat samanmerkkiset, on vaurioraja τ σ max abs max Mikäli tasojännitystilan jännitykset ovat erimerkkiset, on vaurioraja τ abs max σ max σ min 33 A. Sitkeät materiaalit. Maksimileikkausjännityshypoteesi Siten voidaan maksimileikkausjännitys tiivistää kahden pääjännityksen perusteella muotoon: σ σ } σ, σ pääjännitykset samanmerkkiset. Y Y Y ( ) σ σ } σ, σ pääjännitykset samanmerkkiset. 0-7 σ σ σ } σ, σ pääjännitykset erimerkkiset. 34 7

18 A. Sitkeät materiaalit. Maksimileikkausjännityshypoteesi 35 A. Sitkeät materiaalit. Vakiomuodonvääristymishypoteesi (VMVH) Energiaa yksikkötilavuuselementissä kutsutaan venymäenergiatiheydeksi. Yksiaksiaalisessa ja kolmiaksiaalisessa jännitystilassa venymäenergiatiheys on u σε ( 0-8) u σ ε + σ ε + σ3ε

19 A. Sitkeät materiaalit. Vakiomuodonvääristymishypoteesi Lineaarielastisella alueella Hooken lain mukaan σ + σ + σ u 3 ( 0-9) E υ ( σσ + σσ 3 + σ3σ ) Vakiomuodonvääristymishypoteesin mukaan sitkeä aine myötää, kun vääristymisenergia tilavuusyksikköä kohti on sama tai suurempi kuin vääristymisenergia tilavuusyksikköä kohti yksiaksiaalisessa vetokokeessa. 37 A. Sitkeät materiaalit. Vakiomuodonvääristymishypoteesi Määritetään vääristymisenergia + υ u d σ σ + σ σ3 6E Tasojännitystilassa + υ u d σ 3 E [( ) ( ) + ( σ σ ) ] ( σ σ + σ ) Vetokokeessa σ σ Y, σ σ 3 0 +ν ( ud ) Y σy 3E

20 A. Sitkeät materiaalit. Vakiomuodonvääristymishypoteesi Koska hypoteesin mukaan u d (u d ) Y, saadaan tasojännitystilassa ( 0 30) σσ + σ σ Y - σ 39 A. Sitkeät materiaalit. Vakiomuodonvääristymishypoteesi Verrataan hypoteeseja graafisesti. 40 0

21 B. Hauraat materiaalit 3. Maksiminormaalijännityshypoteesi Hauraat materiaalit murtuvat kuvien mukaisesti. 4 B. Hauraat materiaalit 3. Maksiminormaalijännityshypoteesi (MNJH) Maksiminormaalijännityshypoteesin mukaan hauras materiaali murtuu kun pääjännitys σ saavuttaa yksinkertaisessa vetokokeessa saadun murtorajan. Tasojännitystilassa σ σ σ σ ult ult ( 0-3) 4

22 B. Hauraat materiaalit 3. Maksiminormaalijännityshypoteesi Kokeellisesti on havaittu hypoteesin toimivan varsin hyvin materiaaleilla, joiden vetopuristusmurtoraja on (suunnilleen) sama. 43 B. Hauraat materiaalit 4. Mohrin vauriokriteeri Mohrin vauriokriteeriä käytetään hauraille materiaaleille, joiden veto-puristusmurtorajat ovat erilaiset. Materiaalille on tehtävä kolme testiä kriteerin määrittämiseksi. 44

23 B. Hauraat materiaalit 4. Mohrin vauriokriteeri Yksiaksiaalinen vetokoe, jolla saadaan vetomurtolujuus (σ ult ) t Yksiaksiaalinen puristuskoe, jolla saadaan puristusmurtolujuus(σ ult ) c Vääntökoe, jolla saadaan leikkausmurtolujuus τ ult. Tuloksena saadaan pääjännitystasossa kuvaaja: 45 YHTEENVETOA Sitkeä materiaali vaurioituu myötämällä ja hauras materiaali murtumalla. Sitkeän materiaalin vauriossa muodostuu liukupintoja materiaalin raerajoille. Liukupinnat aiheutuvat leikkausjännityksistä, joten maksimileikkausjännityshypoteesi perustuu tähän ideaan. Normaalijännityksen alaiseen materiaaliin varastoituu venymäenergiaa. 46 3

24 YHTEENVETOA Vakiomuodonvääristymishypoteesi perustuu ideaan, jonka mukaan materiaali vääristävä energia johtaa myötämiseen. Hauraan materiaalin murtuminen aiheutuu maksimivetojännityksestä materiaalissa. Tällöin voidaan käyttää maksimijännityshypoteesia vaurion määrittämiseen, kun materiaalin veto- ja puristuslujuudet ovat suunnilleen samat. 47 YHTEENVETOA Mikäli materiaalin veto- ja puristuskäyttäytyminen eroaa merkittävästi, voidaan käyttää Mohrin vauriokriteeriä. Materiaalin virheistä johtuen hauraiden materiaalien murtuminen on vaikeaa ennakoida, joten hauraiden materiaalien vaurioteorioita on syytä soveltaa varovaisuudella. 48 4

25 ESIMERKKI 0. Teräsputken sisäsäde on 60 mm ja ulkosäde 80 mm. Kun siihen vaikuttaa kuvan kuormitus, myötääkö materiaali kun sovelletaan vakiomuodonvääristymishypoteesia (VMVH)? Myötöraja vetotestin mukaan on σ Y 50 MPa. 49 ESIMERKKI 0. (RATKAISU) Rasitus on vakio koko putken pituudella. Otetaan mielivaltainen leikkaus, jolloin saadaan kuvan jännitysjakaumat. 50 5

26 ESIMERKKI 0. (RATKAISU) Pisteet A ja B ovat saman jännitystilan alaisia. Pisteessä A Tc ( 8000 N m)( 0.04 m) τ A 6.4 MPa J 4 4 π 0.04 m 0.03 m σ A Mc I ( ) ( ) ( ) ( 3500 N m)( 0.04 m) 4 ( π 4) ( 0.04 m) ( 0.03 m) Pääjännitykset ovat [ ] 4 [ ] σ MPa σ MPa 0.9 MPa 5 ESIMERKKI 0. (RATKAISU) VMVH:n mukaan Is ( σ σσ + σ ) σy [( 76.) ( 76.)( 78.0) + ( 78.0) ] 5,00 < 6,500 OK! σ Y Koska VMVH:n mukainen vertailujännitys on pienempi kuin yksiaksiaalisen vetokokeen mukainen myötöraja, ei materiaali vaurioidu annetulla kuormituksella.? 5 6

27 ESIMERKKI 0.4 Akselin säde on 0.5 cm ja sen materiaalin (teräs) myötöraja on σ Y 360 MPa. Määritä vaurioituuko akseli a) MLJH:n b) VMVH:n mukaan. 53 ESIMERKKI 0.4 (RATKAISU) Suurin leikkausjännitys vaikuttaa ulkopinnalla, joten suurimmat normaali- ja leikkausjännityskomponentit ovat σ τ τ x xy xy P A Tc J 5 kn π 6.55 kn/cm ( 0.5 cm) cm( 0.5 cm) 4 π ( 0.5 cm) 3.5 kn 9.0 kn/cm 65.5 MPa 9 MPa 54 7

28 ESIMERKKI 0.4 (RATKAISU) Tutkitaan elementtiä pisteessä A. Pääjännitykset ovat σ σ σ, σ x + σ y ± 95.5 ± MPa ± 86.6 MPa σ x + σ y + τ + xy ( 65.5) 55 ESIMERKKI 0.4 (RATKAISU) Maksimileikkausjännityshypoteesi (MLJH) Koska pääjännitykset ovat erimerkkiset sovelletaan yhtälöä 0-7, σ σ σ Y ( ) Is ? 38. > 360 Vaurio! Materiaali siis myötää MLJH:n mukaan. 56 8

29 ESIMERKKI 0.4 (RATKAISU) Vakiomuodonvääristymishypoteesi Soveltaen yhtälöä 0-30 saadaan Is ( σ σσ + σ ) σy [( 95.6) ( 95.6)( 86.6) ( 86.6) ] ( 360) 8, ,600 OK! VMVH:n mukaan materiaali ei myödä. Miksi?? 57 YHTEENVETO Kun materiaalin elementissä vaikuttaa muodonmuutoksia yhdessä tasossa, on kysessä tasovenymätila. Mikäli venymäkomponentit ε x, ε y, ja γ xy tunnetaan, voidaan muunnosyhtälöillä laskea venymät missä muussa koordinaatistossa tahansa. Myös päävenymätasot ja suurin tasoleikkausvenymä voidaan laskea muunnosyhtälöillä. 58 9

30 YHTEENVETO Mikäli päävenymät ovat samanmerkkiset, suurin leikkausvenymä on γ max ε max /. Hooken lakia voidaan soveltaa avaruustapauksessa, jolloin saadaan yleistetty Hooken laki (0-8). Jos E ja υ tunnetaan, voidaan G laskea yhteydestä G E/[( + υ]. 59 YHTEENVETO Mikäli materiaalin pääjännitykset tunnetaan, voidaan suunnittelua varten lujuushypoteeseilla arvioida materiaalin kestävyyttä kun tunnetaan vetokokeen myötö/murtolujuus. Sitkeät materiaalit vaurioituvat leikkautumalla, jolloin voidaan soveltaa joko maksimileikkausjännitys- tai vakiomuodonvääristymishypoteesia. Molemmilla hypoteeseilla saadaan vertailujännitys, jota voidaan verrata yksiaksiaalisen vetokokeen tulokseen

31 YHTEENVETO Hauraat materiaalit vaurioituvat murtumalla kun suurin vetojännitys saavuttaa raja-arvon. Tällöin voidaan soveltaa joko maksiminormaalijännityshypoteesia tai Mohrin vauriokriteeriä. Saatua vertailujännityksen arvoa verrataan materiaalin vetokokeesta saatuun murtolujuuteen. 6 3

normaali- ja leikkaus jännitysten laskemiseen pisteessä Määritetään ne tasot, joista suurimmat normaali- ja leikkausjännitykset löytyvät

normaali- ja leikkaus jännitysten laskemiseen pisteessä Määritetään ne tasot, joista suurimmat normaali- ja leikkausjännitykset löytyvät TAVOITTEET Johdetaan htälöt, joilla muutetaan jännitskomponentit koordinaatistosta toiseen Kätetään muunnoshtälöitä suurimpien normaali- ja leikkaus jännitsten laskemiseen pisteessä Määritetään ne tasot,

Lisätiedot

SISÄLTÖ Venymän käsite Liukuman käsite Venymä ja liukuma lujuusopin sovelluksissa

SISÄLTÖ Venymän käsite Liukuman käsite Venymä ja liukuma lujuusopin sovelluksissa SISÄLTÖ Venymän käsite Liukuman käsite Venymä ja liukuma lujuusopin sovelluksissa 1 SISÄLTÖ 1. Siirtymä 2 1 2.1 MUODONMUUTOS Muodonmuutos (deformaatio) Tapahtuu, kun kappaleeseen vaikuttaa voima/voimia

Lisätiedot

SISÄLTÖ 1. Veto-puristuskoe 2. Jännitys-venymäpiirros 3. Sitkeitten ja hauraitten materiaalien jännitysvenymäkäyttäytyminen

SISÄLTÖ 1. Veto-puristuskoe 2. Jännitys-venymäpiirros 3. Sitkeitten ja hauraitten materiaalien jännitysvenymäkäyttäytyminen TAVOITTEET Jännitysten ja venymien yhteys kokeellisin menetelmin: jännitysvenymäpiirros Teknisten materiaalien jännitys-venymäpiirros 1 SISÄLTÖ 1. Veto-puristuskoe 2. Jännitys-venymäpiirros 3. Sitkeitten

Lisätiedot

2 LUJUUSOPIN PERUSKÄSITTEET 25 2.1 Suoran sauvan veto tai puristus 25. 2.2 Jännityksen ja venymän välinen yhteys 34

2 LUJUUSOPIN PERUSKÄSITTEET 25 2.1 Suoran sauvan veto tai puristus 25. 2.2 Jännityksen ja venymän välinen yhteys 34 SISÄLLYSLUETTELO Kirjallisuusluettelo 12 1 JOHDANTO 13 1.1 Lujuusopin sisältö ja tavoitteet 13 1.2 Lujuusopin jako 15 1.3 Mekaniikan mallin muodostaminen 16 1.4 Lujuusopillisen suunnitteluprosessin kulku

Lisätiedot

KJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet

KJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet KJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet Luento 23.11.2015 Susanna Hurme, Yliopistonlehtori, TkT Luennon sisältö Hooken laki lineaaris-elastiselle materiaalille (Reddy, kpl 6.2.3) Lujuusoppia: sauva (Reddy,

Lisätiedot

Analysoidaan lämpöjännitysten, jännityskeskittymien, plastisten muodonmuutosten ja jäännösjännityksien vaikutus

Analysoidaan lämpöjännitysten, jännityskeskittymien, plastisten muodonmuutosten ja jäännösjännityksien vaikutus TAVOITTEET Määritetään aksiaalisesti kuormitetun sauvan muodonmuutos Esitetään menetelmä, jolla ratkaistaan tukireaktiot tapauksessa, jossa statiikan tasapainoehdot eivät riitä Analysoidaan lämpöjännitysten,

Lisätiedot

2 LUJUUSOPIN PERUSKÄSITTEET Suoran sauvan veto tai puristus Jännityksen ja venymän välinen yhteys

2 LUJUUSOPIN PERUSKÄSITTEET Suoran sauvan veto tai puristus Jännityksen ja venymän välinen yhteys SISÄLLYSLUETTELO Kirjallisuusluettelo 12 1 JOHDANTO 13 1.1 Lujuusopin sisältö ja tavoitteet 13 1.2 Lujuusopin jako 15 1.3 Mekaniikan mallin muodostaminen 16 1.4 Lujuusopillinen suunnittelu 18 1.5 Lujuusopin

Lisätiedot

Materiaalien mekaniikka

Materiaalien mekaniikka Materiaalien mekaniikka 3. harjoitus jännitys ja tasapainoyhtälöt 1. Onko seuraava jännityskenttä tasapainossa kun tilavuusvoimia ei ole: σ x = σ 0 ( 3x L + 4xy 8y ), σ y = σ 0 ( x L xy + 3y ), τ xy =

Lisätiedot

TAVOITTEET Määrittää taivutuksen normaalijännitykset Miten määritetään leikkaus- ja taivutusmomenttijakaumat

TAVOITTEET Määrittää taivutuksen normaalijännitykset Miten määritetään leikkaus- ja taivutusmomenttijakaumat TAVOITTEET Määrittää taivutuksen normaalijännitykset Miten määritetään leikkaus- ja taivutusmomenttijakaumat Lasketaan suurimmat leikkaus- ja taivutusrasitukset Analysoidaan sauvoja, jotka ovat suoria,

Lisätiedot

Määritetään vääntökuormitetun sauvan kiertymä kimmoisella kuormitusalueella Tutkitaan staattisesti määräämättömiä vääntösauvoja

Määritetään vääntökuormitetun sauvan kiertymä kimmoisella kuormitusalueella Tutkitaan staattisesti määräämättömiä vääntösauvoja TAVOITTEET Tutkitaan väännön vaikutusta suoraan sauvaan Määritetään vääntökuormitetun sauvan jännitysjakauma Määritetään vääntökuormitetun sauvan kiertymä kimmoisella kuormitusalueella Tutkitaan staattisesti

Lisätiedot

8. Yhdistetyt rasitukset

8. Yhdistetyt rasitukset TAVOITTEET Analysoidaan ohutseinäisten painesäiliöiden jännitystilaa Tehdään yhteenveto edellisissä luennoissa olleille rasitustyypeille eli aksiaalikuormalle, väännölle, taivutukselle ja leikkausvoimalle.

Lisätiedot

Aksiaalisella tai suoralla leikkauksella kuormitettujen rakenneosien lujuusopillinen analyysi ja suunnittelu

Aksiaalisella tai suoralla leikkauksella kuormitettujen rakenneosien lujuusopillinen analyysi ja suunnittelu TAVOITTEET Statiikan kertausta Kappaleen sisäiset rasitukset Normaali- ja leikkausjännitys Aksiaalisella tai suoralla leikkauksella kuormitettujen rakenneosien lujuusopillinen analyysi ja suunnittelu 1

Lisätiedot

Harjoitus 1. KJR-C2001 Kiinteän aineen mekaniikan perusteet, IV/2016. Tehtävä 1 Selitä käsitteet kohdissa [a), b)] ja laske c) kohdan tehtävä.

Harjoitus 1. KJR-C2001 Kiinteän aineen mekaniikan perusteet, IV/2016. Tehtävä 1 Selitä käsitteet kohdissa [a), b)] ja laske c) kohdan tehtävä. Kotitehtävät palautetaan viimeistään keskiviikkona 2.3. ennen luentojen alkua eli klo 14:00 mennessä puiseen kyyhkyslakkaan, jonka numero on 9. Arvostellut kotitehtäväpaperit palautetaan laskutuvassa.

Lisätiedot

Tartuntakierteiden veto- ja leikkauskapasiteettien

Tartuntakierteiden veto- ja leikkauskapasiteettien TUTKIMUSSELOSTUS Nro RTE3261/4 8..4 Tartuntakierteiden veto- ja leikkauskapasiteettien mittausarvojen määritys Tilaaja: Salon Tukituote Oy VTT RAKENNUS- JA YHDYSKUNTATEKNIIKKA TUTKIMUSSELOSTUS NRO RTE3261/4

Lisätiedot

Muodonmuutostila hum 30.8.13

Muodonmuutostila hum 30.8.13 Muodonmuutostila Tarkastellaan kuvan 1 kappaletta Ω, jonka pisteet siirtvät ulkoisen kuormituksen johdosta siten, että siirtmien tapahduttua ne muodostavat kappaleen Ω'. Esimerkiksi piste A siirt asemaan

Lisätiedot

a) Piirrä hahmotelma varjostimelle muodostuvan diffraktiokuvion maksimeista 1, 2 ja 3.

a) Piirrä hahmotelma varjostimelle muodostuvan diffraktiokuvion maksimeista 1, 2 ja 3. Ohjeita: Tee jokainen tehtävä siististi omalle sivulleen/sivuilleen. Merkitse jos tehtävä jatkuu seuraavalle konseptille. Kirjoita ratkaisuihin näkyviin tarvittavat välivaiheet ja perustele lyhyesti käyttämästi

Lisätiedot

Tietoa sähkökentästä tarvitaan useissa fysikaalisissa tilanteissa, esimerkiksi jos halutaan

Tietoa sähkökentästä tarvitaan useissa fysikaalisissa tilanteissa, esimerkiksi jos halutaan 3 Sähköstatiikan laskentamenetelmiä Tietoa sähkökentästä tavitaan useissa fysikaalisissa tilanteissa, esimekiksi jos halutaan tietää missäläpilyönti on todennäköisin suujännitelaitteessa tai mikä on kahden

Lisätiedot

Hitsaustekniikkaa suunnittelijoille koulutuspäivä Hitsattujen rakenteiden lujuustarkastelu Tatu Westerholm

Hitsaustekniikkaa suunnittelijoille koulutuspäivä Hitsattujen rakenteiden lujuustarkastelu Tatu Westerholm Hitsaustekniikkaa suunnittelijoille koulutuspäivä 27.9.2005 Hitsattujen rakenteiden lujuustarkastelu Tatu Westerholm HITSAUKSEN KÄYTTÖALOJA Kehärakenteet: Ristikot, Säiliöt, Paineastiat, Koneenrungot,

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta Eksponenttifuntio Palautetaan mieliin, että Neperin luvulle e pätee: e ) n n n ) n n n n n ) n. Tästä määritelmästä seuraa, että eksponenttifunktio e x voidaan määrittää

Lisätiedot

Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta

Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö Funktion kasvavuus ja vähenevyys; paikalliset ääriarvot Jos derivoituvan reaalifunktion f derivaatta tietyssä pisteessä on positiivinen, f (x 0 ) > 0, niin funktion tangentti

Lisätiedot

7. Suora leikkaus TAVOITTEET 7. Suora leikkaus SISÄLTÖ

7. Suora leikkaus TAVOITTEET 7. Suora leikkaus SISÄLTÖ TAVOITTEET Kehitetään menetelmä, jolla selvitetään homogeenisen, prismaattisen suoran sauvan leikkausjännitysjakauma kun materiaali käyttäytyy lineaarielastisesti Menetelmä rajataan määrätyn tyyppisiin

Lisätiedot

9. Vektorit. 9.1 Skalaarit ja vektorit. 9.2 Vektorit tasossa

9. Vektorit. 9.1 Skalaarit ja vektorit. 9.2 Vektorit tasossa 9. Vektorit 9.1 Skalaarit ja vektorit Skalaari on koon tai määrän mitta. Tyypillinen esimerkki skalaarista on massa. Lukumäärä on toinen hyvä esimerkki skalaarista. Vektorilla on taas suuruus ja suunta.

Lisätiedot

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Kotitehtävät, tammikuu 2011 Vaikeampi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisut (w, x, y, z)

Lisätiedot

4.1 Kaksi pistettä määrää suoran

4.1 Kaksi pistettä määrää suoran 4.1 Kaksi pistettä määrää suoran Kerrataan aluksi kurssin MAA1 tietoja. Geometrisesti on selvää, että tason suora on täysin määrätty, kun tunnetaan sen kaksi pistettä. Joskus voi tulla vastaan tilanne,

Lisätiedot

1. kotitehtäväsarja - Einsteinin summaussääntö ja jännitystila - malliratkaisut

1. kotitehtäväsarja - Einsteinin summaussääntö ja jännitystila - malliratkaisut . kotitehtäväsarja - Einsteinin summaussääntö ja jännitystila - malliratkaisut Tehtävä. Ovatko seuraavat indeksimuotoiset lausekkeet karteesisessa suorakulmaisessa koordinaatistossa oikein, perustelu?

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 12 1 Eksponenttifuntio Palautetaan mieliin, että Neperin luvulle e pätee: e ) n n n ) n n n n n ) n. Tästä määritelmästä seuraa, että eksponenttifunktio e x voidaan

Lisätiedot

LAPPEENRANNAN TEKNILLINEN YLIOPISTO Teknillinen tiedekunta Konetekniikan koulutusohjelma BK10A0401 Kandidaatintyö ja seminaari

LAPPEENRANNAN TEKNILLINEN YLIOPISTO Teknillinen tiedekunta Konetekniikan koulutusohjelma BK10A0401 Kandidaatintyö ja seminaari LAPPEENRANNAN TEKNILLINEN YLIOPISTO Teknillinen tiedekunta Konetekniikan koulutusohjelma BK10A0401 Kandidaatintyö ja seminaari VÄÄNTÖRASITETUN RAKENNEOSAN EURONORMIIN PERUSTUVA KESTÄVYYSLASKENTAYHTÄLÖIDEN

Lisätiedot

Jänneterästen katkeamisen syyn selvitys

Jänneterästen katkeamisen syyn selvitys 1 (3) Tilaaja Onnettomuustutkintakeskus, Kai Valonen, Sörnäisten rantatie 33C, 00500 Helsinki Tilaus Sähköpostiviesti Kai Valonen 4.12.2012. Yhteyshenkilö VTT:ssä Johtava tutkija Jorma Salonen VTT, PL

Lisätiedot

DYNAMIIKKA II, LUENTO 5 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi

DYNAMIIKKA II, LUENTO 5 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi DYNAMIIKKA II, LUENTO 5 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi LUENNON SISÄLTÖ Kertausta edelliseltä luennolta: Suhteellisen liikkeen nopeuden ja kiihtyvyyden yhtälöt. Jäykän kappaleen partikkelin liike. Jäykän

Lisätiedot

Luvun 5 laskuesimerkit

Luvun 5 laskuesimerkit Luvun 5 laskuesimerkit Huom: luvun 4 kohdalla luennolla ei ollut laskuesimerkkejä, vaan koko luvun 5 voi nähdä kokoelmana sovellusesimerkkejä edellisen luvun asioihin! Esimerkki 5.1 Moottori roikkuu oheisen

Lisätiedot

Lujuusopin jatkokurssi IV.1 IV. KUORIEN KALVOTEORIAA

Lujuusopin jatkokurssi IV.1 IV. KUORIEN KALVOTEORIAA Lujuusoin jatkokussi IV. IV. KUORIE KALVOTEORIAA Kuoien kalvoteoiaa Lujuusoin jatkokussi IV. JOHDATO Kuoiakenteen keskiinta on jo ennen muoonmuutoksia kaaeva inta. Kaaevasta muoosta seuaa että keskiinnan

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 9.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Palkin leikkausvoima- ja taivutusmomenttijakaumat ja kuviot (Kirjan luvut 7.2 ja 7.3) Osaamistavoitteet: Ymmärtää, miten leikkausvoima

Lisätiedot

3. SUUNNITTELUPERUSTEET

3. SUUNNITTELUPERUSTEET 3. SUUNNITTELUPERUSTEET 3.1 MATERIAALIT Myötölujuuden ja vetomurtolujuuden arvot f R ja f R y eh u m tuotestandardista tai taulukosta 3.1 Sitkeysvaatimukset: - vetomurtolujuuden ja myötörajan f y minimiarvojen

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Lue tehtävänannot huolellisesti. Tee pisteytysruudukko B-osion konseptin yläreunaan!

Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Lue tehtävänannot huolellisesti. Tee pisteytysruudukko B-osion konseptin yläreunaan! MAA4 koe 1.4.2016 Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Lue tehtävänannot huolellisesti. Tee pisteytysruudukko B-osion konseptin yläreunaan! Jussi Tyni A-osio: Ilman laskinta. Laske kaikki

Lisätiedot

Pullon venymän mittaaminen KON-C3004 Kone- ja rakennustekniikan laboratoriotyöt. Henri Järlström ja Olli Sarainmaa

Pullon venymän mittaaminen KON-C3004 Kone- ja rakennustekniikan laboratoriotyöt. Henri Järlström ja Olli Sarainmaa Pullon venymän mittaaminen KON-C3004 Kone- ja rakennustekniikan laboratoriotyöt Henri Järlström 355690 ja Olli Sarainmaa 220013 Sisällysluettelo 1 Johdanto...2 2 Teoria...2 3 Tutkimusmenetelmät...3 3.1

Lisätiedot

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö 3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö Yhtälön (tai funktion) y = a + b + c, missä a 0, kuvaaja ei ole suora, mutta ei ole yhtälökään ensimmäistä astetta. Funktioiden

Lisätiedot

Fy06 Koe 20.5.2015 Kuopion Lyseon lukio (KK) 1/7

Fy06 Koe 20.5.2015 Kuopion Lyseon lukio (KK) 1/7 Fy06 Koe 0.5.015 Kuopion Lyseon lukio (KK) 1/7 alitse kolme tehtävää. 6p/tehtävä. 1. Mitä mieltä olet seuraavista väitteistä. Perustele lyhyesti ovatko väitteet totta vai tarua. a. irtapiirin hehkulamput

Lisätiedot

Koesuunnitelma KON-C3004 Kone-ja rakennustekniikan laboratoriotyöt. 16.10.2015 Aleksi Purkunen (426943) Joel Salonen (427269)

Koesuunnitelma KON-C3004 Kone-ja rakennustekniikan laboratoriotyöt. 16.10.2015 Aleksi Purkunen (426943) Joel Salonen (427269) Koesuunnitelma KON-C3004 Kone-ja rakennustekniikan laboratoriotyöt 16.10.2015 Aleksi Purkunen (426943) Joel Salonen (427269) Sisällysluettelo 1. Johdanto... 2 2. Tutkimusmenetelmät... 2 2.1 Kokeellinen

Lisätiedot

on hidastuvaa. Hidastuvuus eli negatiivinen kiihtyvyys saadaan laskevan suoran kulmakertoimesta, joka on siis

on hidastuvaa. Hidastuvuus eli negatiivinen kiihtyvyys saadaan laskevan suoran kulmakertoimesta, joka on siis Fys1, moniste 2 Vastauksia Tehtävä 1 N ewtonin ensimmäisen lain mukaan pallo jatkaa suoraviivaista liikettä kun kourun siihen kohdistama tukivoima (tässä tapauksessa ympyräradalla pitävä voima) lakkaa

Lisätiedot

FYSP105/2 VAIHTOVIRTAKOMPONENTIT. 1 Johdanto

FYSP105/2 VAIHTOVIRTAKOMPONENTIT. 1 Johdanto FYSP105/2 VAIHTOVIRTAKOMPONENTIT Työn tavoitteet o Havainnollistaa vaihtovirtapiirien toimintaa o Syventää ymmärtämystä aiheeseen liittyvästä fysiikasta 1 Johdanto Tasavirta oli 1900 luvun alussa kilpaileva

Lisätiedot

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion

Lisätiedot

7. Resistanssi ja Ohmin laki

7. Resistanssi ja Ohmin laki Nimi: LK: SÄHKÖ-OPPI Tarmo Partanen Teoria (Muista hyödyntää sanastoa) 1. Millä nimellä kuvataan sähköisen komponentin (laitteen, johtimen) sähkön kulkua vastustavaa ominaisuutta? 2. Miten resistanssi

Lisätiedot

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA. PÄIVÄMÄÄRÄ: 8. kesäkuuta 2009

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA. PÄIVÄMÄÄRÄ: 8. kesäkuuta 2009 EB-TUTKINTO 2009 MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA PÄIVÄMÄÄRÄ: 8. kesäkuuta 2009 KOKEEN KESTO: 4 tuntia (240 minuuttia) SALLITUT APUVÄLINEET: Eurooppa-koulun antama taulukkovihkonen Funktiolaskin, joka ei saa

Lisätiedot

Ensimmäisen asteen polynomifunktio

Ensimmäisen asteen polynomifunktio Ensimmäisen asteen polnomifunktio Yhtälön f = a+ b, a 0 määrittelemää funktiota sanotaan ensimmäisen asteen polnomifunktioksi. Esimerkki. Ensimmäisen asteen polnomifuktioita ovat esimerkiksi f = 3 7, v()

Lisätiedot

x = π 3 + nπ, x + 1 f (x) = 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 = 2x2 + 2x x 2 = x2 + 2x f ( 3) = ( 3)2 + 2 ( 3) ( 3) + 1 3 1 + 4 2 + 5 2 = 21 21 = 21 tosi

x = π 3 + nπ, x + 1 f (x) = 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 = 2x2 + 2x x 2 = x2 + 2x f ( 3) = ( 3)2 + 2 ( 3) ( 3) + 1 3 1 + 4 2 + 5 2 = 21 21 = 21 tosi Mallivastaukset - Harjoituskoe F F1 a) (a + b) 2 (a b) 2 a 2 + 2ab + b 2 (a 2 2ab + b 2 ) a 2 + 2ab + b 2 a 2 + 2ab b 2 4ab b) tan x 3 x π 3 + nπ, n Z c) f(x) x2 x + 1 f (x) 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 2x2

Lisätiedot

Kitka ja Newtonin lakien sovellukset

Kitka ja Newtonin lakien sovellukset Kitka ja Newtonin lakien sovellukset Haarto & Karhunen Tavallisimpia voimia: Painovoima G Normaalivoima, Tukivoima Jännitysvoimat Kitkavoimat Voimat yleisesti F f T ja s f k N Vapaakappalekuva Kuva, joka

Lisätiedot

KJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet

KJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet KJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet Luento 25.11.2015 Susanna Hurme, Yliopistonlehtori, TkT Tämän päivän luento Aiemmin ollaan johdettu palkin voimatasapainoyhtälöt differentiaaligeometrisella tavalla

Lisätiedot

2.3 Voiman jakaminen komponentteihin

2.3 Voiman jakaminen komponentteihin Seuraavissa kappaleissa tarvitaan aina silloin tällöin taitoa jakaa voima komponentteihin sekä myös taitoa suorittaa sille vastakkainen operaatio eli voimien resultantin eli kokonaisvoiman laskeminen.

Lisätiedot

Etunimi. Sukunimi. Oppimistavoite: ymmärtää, kuinka positiiviset ja negatiiviset magneettiset navat tuottavat työntö- ja vetovoimaa.

Etunimi. Sukunimi. Oppimistavoite: ymmärtää, kuinka positiiviset ja negatiiviset magneettiset navat tuottavat työntö- ja vetovoimaa. 1 Magneettiset navat Oppimistavoite: ymmärtää, kuinka positiiviset ja negatiiviset magneettiset navat tuottavat työntö- ja vetovoimaa. 1. Nimeä viisi esinettä, joihin magneetti kiinnittyy. 2. Mitä magneetin

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 24.3.2016 Susanna Hurme Rotaatioliikkeen liike-energia, teho ja energiaperiaate (Kirjan luku 18) Osaamistavoitteet Ymmärtää, miten liike-energia määritetään kiinteän

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 1 Funktion kuperuussuunnat Derivoituva funktio f (x) on pisteessä x aidosti konveksi, jos sen toinen derivaatta on positiivinen f (x) > 0. Vastaavasti f (x) on aidosti

Lisätiedot

Fysiikan perusteet. Voimat ja kiihtyvyys. Antti Haarto

Fysiikan perusteet. Voimat ja kiihtyvyys. Antti Haarto Fysiikan perusteet Voimat ja kiihtyvyys Antti Haarto.05.01 Voima Vuorovaikutusta kahden kappaleen välillä tai kappaleen ja sen ympäristön välillä (Kenttävoimat) Yksikkö: newton, N = kgm/s Vektorisuure

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka 4.2.2014 1 / 3

Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka 4.2.2014 1 / 3 Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka / Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Tähdellä (* merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6 Jos tehtävässä

Lisätiedot

Koesuunnitelma Kimmokertoimien todentaminen

Koesuunnitelma Kimmokertoimien todentaminen KON-C3004 Kone-ja rakennustekniikan laboratoriotyöt Koesuunnitelma Kimmokertoimien todentaminen Ryhmä S: Pekka Vartiainen 427971 Jari Villanen 69830F Anssi Petäjä 433978 Sisällysluettelo 1 Johdanto...

Lisätiedot

Koordinaatistot 1/6 Sisältö ESITIEDOT: reaaliluvut

Koordinaatistot 1/6 Sisältö ESITIEDOT: reaaliluvut Koordinaatistot 1/6 Sisältö Koordinaatiston ja koordinaattien käsite Geometrisissa tehtävissä ja siten mös monissa kätännön ongelmissa on usein tarpeen ilmoittaa pisteiden sijainti jonkin kiinteän vertailussteemin

Lisätiedot

1.7 Gradientti ja suunnatut derivaatat

1.7 Gradientti ja suunnatut derivaatat 1.7 Gradientti ja suunnatut derivaatat Funktion ensimmäiset osittaisderivaatat voidaan yhdistää yhdeksi vektorifunktioksi seuraavasti: Missä tahansa pisteessä (x, y), jossa funktiolla f(x, y) on ensimmäiset

Lisätiedot

Funktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot

Funktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot 3. Funktion raja-arvo ja jatkuvuus 3.1. Reaali- ja kompleksifunktiot 43. Olkoon f monotoninen ja rajoitettu välillä ]a,b[. Todista, että raja-arvot lim + f (x) ja lim x b f (x) ovat olemassa. Todista myös,

Lisätiedot

Matemaattisten menetelmien hallinnan tason testi.

Matemaattisten menetelmien hallinnan tason testi. Matemaattisten menetelmien hallinnan tason testi. Jokaisessa tehtävässä on vain yksi vaihtoehto oikein.. Laskutoimitusten a) yhteen- ja vähennyslaskun b) kerto- ja jakolaskun c) potenssiin korotuksen järjestys

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1 1 Joukko-oppia Matematiikassa joukko on mikä tahansa kokoelma objekteja. Esimerkiksi joukkoa A, jonka jäseniä ovat numerot 1, 2 ja 5 merkitään A = {1, 2, 5}. Joukon

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus

Lisätiedot

Liike pyörivällä maapallolla

Liike pyörivällä maapallolla Liike pyörivällä maapallolla Voidaan olettaa: Maan pyöriminen tasaista Maan rataliikkeen näennäisvoimat tasapainossa Auringon vetovoiman kanssa Riittää tarkastella Maan tasaisesta pyörimisestä akselinsa

Lisätiedot

Ryhmä T. Koesuunnitelma. Kone- ja rakennustekniikan laboratoriotyöt, KON-C3004

Ryhmä T. Koesuunnitelma. Kone- ja rakennustekniikan laboratoriotyöt, KON-C3004 Ryhmä T Koesuunnitelma Kone- ja rakennustekniikan laboratoriotyöt, KON-C3004 Henri Makkonen 430450, Iivari Sassi 311582, Alexander Hopsu 429005 12.10.2015 Sisällys Tutkimusongelma ja tutkimuksen tavoite...

Lisätiedot

Ylioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden

Ylioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden Ylioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ.9.013 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden ja sisältöjen luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan

Lisätiedot

Monikulmiot 1/5 Sisältö ESITIEDOT: kolmio

Monikulmiot 1/5 Sisältö ESITIEDOT: kolmio Monikulmiot 1/5 Sisältö Monikulmio Monikulmioksi kutsutaan tasokuviota, jota rajaa perättäisten janojen muodostama monikulmion piiri. Janat ovat monikulmion sivuja, niiden päätepisteet monikulmion kärkipisteitä.

Lisätiedot

Valetun valukappaleelle on asetettu usein erilaisia mekaanisia ominaisuuksia, joita mitataan aineenkoestuksella.

Valetun valukappaleelle on asetettu usein erilaisia mekaanisia ominaisuuksia, joita mitataan aineenkoestuksella. K. Aineen koestus Pekka Niemi Tampereen ammattiopisto Valetun valukappaleelle on asetettu usein erilaisia mekaanisia ominaisuuksia, joita mitataan aineenkoestuksella. K. 1 Väsyminen Väsytyskokeella on

Lisätiedot

* Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa * Trigonometristen funktioiden kuvaajat

* Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa * Trigonometristen funktioiden kuvaajat Trigonometria. a) Määrittele trigonometriset funktiot. b) Vertaa trigonometristen funktioiden ominaisuuksia määritys- ja arvojoukko sekä perusjakso). * Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa

Lisätiedot

23 VALON POLARISAATIO 23.1 Johdanto. 23.2 Valon polarisointi ja polarisaation havaitseminen

23 VALON POLARISAATIO 23.1 Johdanto. 23.2 Valon polarisointi ja polarisaation havaitseminen 3 VALON POLARISAATIO 3.1 Johdanto Mawellin htälöiden avulla voidaan johtaa aaltohtälö sähkömagneettisen säteiln etenemiselle väliaineessa. Mawellin htälöiden ratkaisusta seuraa aina, että valo on poikittaista

Lisätiedot

Fysiikan laboratoriotyöt 1, työ nro: 2, Harmoninen värähtelijä

Fysiikan laboratoriotyöt 1, työ nro: 2, Harmoninen värähtelijä Fysiikan laboratoriotyöt 1, työ nro: 2, Harmoninen värähtelijä Tekijä: Mikko Laine Tekijän sähköpostiosoite: miklaine@student.oulu.fi Koulutusohjelma: Fysiikka Mittausten suorituspäivä: 04.02.2013 Työn

Lisätiedot

Lumen teknisiä ominaisuuksia

Lumen teknisiä ominaisuuksia Lumen teknisiä ominaisuuksia Lumi syntyy ilmakehässä kun vesihöyrystä tiivistyneessä lämpötila laskee alle 0 C:n ja pilven sisällä on alijäähtynyttä vettä. Kun lämpötila on noin -5 C, vesihöyrystä, jäähiukkasista

Lisätiedot

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja

Lisätiedot

Solmu 3/2001 Solmu 3/2001. Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä:

Solmu 3/2001 Solmu 3/2001. Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä: Frégier n lause Simo K. Kivelä Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä: Suorakulmaisen kolmion kaikki kärjet sijaitsevat paraabelilla y = x 2 ; suoran kulman

Lisätiedot

ELEMENTTIMENETELMÄN PERUSTEET SESSIO 05: FEM-analyysista saatavat tulokset ja niiden käyttö.

ELEMENTTIMENETELMÄN PERUSTEET SESSIO 05: FEM-analyysista saatavat tulokset ja niiden käyttö. 05/1 ELEMENTTIMENETELMÄN PERUSTEET SESSIO 05: FEM-analyysista saatavat tulokset ja niiden käyttö. YLEISTÄ Laskentamallin luonnin ja varsinaisen laskennan lisäksi FEM-analyysi sisältää myös tulosten tarkastelun

Lisätiedot

Kirsti Wright Rakenteiden Mekaniikka, Vol. 19 No 3 1986, s. 49... 61

Kirsti Wright Rakenteiden Mekaniikka, Vol. 19 No 3 1986, s. 49... 61 MXNNYN MURTUMISSITKEYS SXRnX LEIKKAAVASSA KUORMITUKSESSA Kirsti Wright Rakenteiden Mekaniikka, Vol. 19 No 3 1986, s. 49. 61 TIIVISTELMA: Tavan II mukaista murtumissitkeytta on tutkittu palkkikokein. Materiaalina

Lisätiedot

Kone- ja rakentamistekniikan laboratoriotyöt KON-C3004. Koesuunnitelma: Paineen mittaus venymäliuskojen avulla. Ryhmä C

Kone- ja rakentamistekniikan laboratoriotyöt KON-C3004. Koesuunnitelma: Paineen mittaus venymäliuskojen avulla. Ryhmä C Kone- ja rakentamistekniikan laboratoriotyöt KON-C3004 Koesuunnitelma: Paineen mittaus venymäliuskojen avulla Ryhmä C Aleksi Mäki 350637 Simo Simolin 354691 Mikko Puustinen 354442 1. Tutkimusongelma ja

Lisätiedot

Ympyrä 1/6 Sisältö ESITIEDOT: käyrä, kulma, piste, suora

Ympyrä 1/6 Sisältö ESITIEDOT: käyrä, kulma, piste, suora Ympyrä 1/6 Sisältö Ympyrä ja sen yhtälö Tason pisteet, jotka ovat vakioetäisyydellä kiinteästä pisteestä, muodostavat ympyrän eli ympyräviivan. Kiinteä piste on ympyrän keskipiste ja vakioetäisyys sen

Lisätiedot

Diplomi-insinöörien ja arkkitehtien yhteisvalinta - dia-valinta 2012 Insinöörivalinnan fysiikan koe 30.5.2012, malliratkaisut

Diplomi-insinöörien ja arkkitehtien yhteisvalinta - dia-valinta 2012 Insinöörivalinnan fysiikan koe 30.5.2012, malliratkaisut A1 Kappale, jonka massa m = 2,1 kg, lähtee liikkeelle levosta paikasta x = 0,0 m pitkin vaakasuoraa alustaa. Kappaleeseen vaikuttaa vaakasuora vetävä voima F, jonka suuruus riippuu paikasta oheisen kuvan

Lisätiedot

SIPOREX-HARKKOSEINÄÄN TUKEUTUVIEN TERÄSPALKKIEN SUUNNITTELUOHJE 21.10.2006

SIPOREX-HARKKOSEINÄÄN TUKEUTUVIEN TERÄSPALKKIEN SUUNNITTELUOHJE 21.10.2006 SIPOREX-HARKKOSEINÄÄN TUKEUTUVIEN TERÄSPALKKIEN SUUNNITTELUOHJE 21.10.2006 Tämä päivitetty ohje perustuu aiempiin versioihin: 18.3.1988 AKN 13.5.1999 AKN/ks SISÄLLYS: 1. Yleistä... 2 2. Mitoitusperusteet...

Lisätiedot

massa vesi sokeri muu aine tuore luumu b 0,73 b 0,08 b = 0,28 a y kuivattu luumu a x 0,28 a y 0,08 = 0,28 0,08 = 3,5

massa vesi sokeri muu aine tuore luumu b 0,73 b 0,08 b = 0,28 a y kuivattu luumu a x 0,28 a y 0,08 = 0,28 0,08 = 3,5 A1. Tehdään taulukko luumun massoista ja pitoisuuksista ennen ja jälkeen kuivatuksen. Muistetaan, että kuivatuksessa haihtuu vain vettä. Näin ollen sokerin ja muun aineen massa on sama molemmilla riveillä.

Lisätiedot

MAA4 - HARJOITUKSIA. 1. Esitä lauseke 3 x + 2x 4 ilman itseisarvomerkkejä. 3. Ratkaise yhtälö 2 x 7 3 + 4x = 2 (yksi ratkaisu, eräs neg. kokon.

MAA4 - HARJOITUKSIA. 1. Esitä lauseke 3 x + 2x 4 ilman itseisarvomerkkejä. 3. Ratkaise yhtälö 2 x 7 3 + 4x = 2 (yksi ratkaisu, eräs neg. kokon. MAA4 - HARJOITUKSIA 1. Esitä lauseke 3 + 4 ilman itseisarvomerkkejä.. Ratkaise yhtälö a ) 5 9 = 6 b) 6 9 = 0 c) 7 9 + 6 = 0 3. Ratkaise yhtälö 7 3 + 4 = (yksi ratkaisu, eräs neg. kokon. luku) 4. Ratkaise

Lisätiedot

SÄHKÖLEVYN MEISTON LASKENNALLINEN TARKASTELU

SÄHKÖLEVYN MEISTON LASKENNALLINEN TARKASTELU Kemian tekniikan korkeakoulu Materiaalitekniikan koulutusohjelma Arijussi Väänänen SÄHKÖLEVYN MEISTON LASKENNALLINEN TARKASTELU Diplomityö, joka on jätetty opinnäytteenä tarkastettavaksi diplomi-insinöörin

Lisätiedot

Ratkaisu: Maksimivalovoiman lauseke koostuu heijastimen maksimivalovoimasta ja valonlähteestä suoraan (ilman heijastumista) tulevasta valovoimasta:

Ratkaisu: Maksimivalovoiman lauseke koostuu heijastimen maksimivalovoimasta ja valonlähteestä suoraan (ilman heijastumista) tulevasta valovoimasta: LASKUHARJOITUS 1 VALAISIMIEN OPTIIKKA Tehtävä 1 Pistemäinen valonlähde (Φ = 1000 lm, valokappaleen luminanssi L = 2500 kcd/m 2 ) sijoitetaan 15 cm suuruisen pyörähdysparaboloidin muotoisen peiliheijastimen

Lisätiedot

Radiaanit. Kun kulman α suuruus nyt mitataan tämän kaaren pituutena, saadaan kulmaan arvo radiaaneissa.

Radiaanit. Kun kulman α suuruus nyt mitataan tämän kaaren pituutena, saadaan kulmaan arvo radiaaneissa. Radiaanit Kulmia mitataan matematiikassa paitsi asteissa, myös radiaaneissa. Radiaanien taustaideana on, että kun kulmaa α asetetaan yksikköympyrään, kulmien kylkien välille muodostuu ympyrän kehälle kaari

Lisätiedot

2.5 Liikeyhtälö F 3 F 1 F 2

2.5 Liikeyhtälö F 3 F 1 F 2 Tässä kappaleessa esittelen erilaisia tapoja, joilla voiat vaikuttavat kappaleen liikkeeseen. Varsinainen kappaleen pääteea on assan liikeyhtälön laatiinen, kun assaan vaikuttavat voiat tunnetaan. Sitä

Lisätiedot

Kuten aaltoliikkeen heijastuminen, niin myös taittuminen voidaan selittää Huygensin periaatteen avulla.

Kuten aaltoliikkeen heijastuminen, niin myös taittuminen voidaan selittää Huygensin periaatteen avulla. FYS 103 / K3 SNELLIN LAKI Työssä tutkitaan monokromaattisen valon taittumista ja todennetaan Snellin laki. Lisäksi määritetään kokonaisheijastuksen rajakulmia ja aineiden taitekertoimia. 1. Teoriaa Huygensin

Lisätiedot

PAINOPISTE JA MASSAKESKIPISTE

PAINOPISTE JA MASSAKESKIPISTE PAINOPISTE JA MASSAKESKIPISTE Kappaleen painopiste on piste, jonka kautta kappaleeseen kohdistuvan painovoiman vaikutussuora aina kulkee, olipa kappale missä asennossa tahansa. Jos ajatellaan kappaleen

Lisätiedot

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE Ratkaisut ja arvostelu < X 170

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE Ratkaisut ja arvostelu < X 170 VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 4.6.2013 Ratkaisut ja arvostelu 1.1 Satunnaismuuttuja X noudattaa normaalijakaumaa a) b) c) d) N(170, 10 2 ). Tällöin P (165 < X < 175) on likimain

Lisätiedot

4B6A. KIMMOISUUSTUTKIMUKSIA

4B6A. KIMMOISUUSTUTKIMUKSIA FYSIIKAN LABORATORIO V. 9.0 4B6A. KIMMOISUUSTUTKIMUKSIA A. LANGAN KIMMOKERTOIMEN MÄÄRITTÄMINEN. Tavoite. Teoriaa Työssä perehdytään Hooken lakiin normaalijännityksen alaisessa kappaleessa ja määritetään

Lisätiedot

Ei-inertiaaliset koordinaatistot

Ei-inertiaaliset koordinaatistot orstai 25.9.2014 1/17 Ei-inertiaaliset koordinaatistot Tarkastellaan seuraavaa koordinaatistomuunnosta: {x} = (x 1, x 2, x 3 ) {y} = (y 1, y 2, y 3 ) joille valitaan kantavektorit: {x} : (î, ĵ, ˆk) {y}

Lisätiedot

Laippa: 410, 400, 210 ja 200 EN 10130 DC01 AM 410R, 400R SFS-EN 10088 1.4301/2B 410H, 400H SFS-EN 10088 1.4404/2B

Laippa: 410, 400, 210 ja 200 EN 10130 DC01 AM 410R, 400R SFS-EN 10088 1.4301/2B 410H, 400H SFS-EN 10088 1.4404/2B TARTUNTAKIERTEIDEN KÄYTTÖOHJE(1).6.20 TARTUNTAKIERTEIDEN TOIMINTATAPA Tukituotteen tartuntakierteet siirtävät niihin kohdistuvat kuormat rungossa olevalla tartunnalla ympäröivään betonin. Tartuntakierteitä

Lisätiedot

4 LABORATORIOKOERAPORTTI. 4.1 Johdanto

4 LABORATORIOKOERAPORTTI. 4.1 Johdanto 156 4 LABORATORIOKOERAPORTTI 4.1 Johdanto Projektin Ratapenkereiden vakavuuden laskenta tehokkailla parametreilla tavoitteena on ollut selvittää, mistä eroavaisuudet tehokkaiden jännitysten ja suljetun

Lisätiedot

1/6 TEKNIIKKA JA LIIKENNE FYSIIKAN LABORATORIO V1.31 9.2011

1/6 TEKNIIKKA JA LIIKENNE FYSIIKAN LABORATORIO V1.31 9.2011 1/6 333. SÄDEOPTIIKKA JA FOTOMETRIA A. INSSIN POTTOVÄIN JA TAITTOKYVYN MÄÄRITTÄMINEN 1. Työn tavoite. Teoriaa 3. Työn suoritus Työssä perehdytään valon kulkuun väliaineissa ja niiden rajapinnoissa sädeoptiikan

Lisätiedot

Tuulen nopeuden mittaaminen

Tuulen nopeuden mittaaminen KON C3004 Kone ja rakennustekniikan laboratoriotyöt Koesuunnitelma / ryhmä K Tuulen nopeuden mittaaminen Matias Kidron 429542 Toni Kokkonen 429678 Sakke Juvonen 429270 Kansikuva: http://www.stevennoble.com/main.php?g2_view=core.downloaditem&g2_itemid=12317&g2_serialnumber=2

Lisätiedot

Väsymisanalyysi Case Reposaaren silta

Väsymisanalyysi Case Reposaaren silta Väsymisanalyysi Case Reposaaren silta TERÄSSILTAPÄIVÄT 2012, 6. 7.6.2012 Jani Meriläinen, Liikennevirasto Esityksen sisältö Lyhyet esimerkkilaskelmat FLM1, FLM3, FLM4 ja FLM5 Vanha silta Reposaaren silta

Lisätiedot

FERROMETAL OY:N BETONIRUUVIEN TARTUNTA- VETOKOKEET JA LEIKKAUSKOKEET - Koetulokset

FERROMETAL OY:N BETONIRUUVIEN TARTUNTA- VETOKOKEET JA LEIKKAUSKOKEET - Koetulokset TAMPEREEN TEKNILLINEN YLIOPISTO LIITE A NRO 1846 TUTKIMUSSELOSTUKSEEN 1839 FERROMETAL OY:N BETONIRUUVIEN TARTUNTA- VETOKOKEET JA LEIKKAUSKOKEET - Koetulokset Tampere 2010 2(5) Liite A Tampereen teknillisen

Lisätiedot

Kallioperän ruhjevyöhykkeet Nuuksiossa ja. ja lähiympäristössä

Kallioperän ruhjevyöhykkeet Nuuksiossa ja. ja lähiympäristössä Geologian Päivä Nuuksio 14.9.2013 Kallioperän ruhjevyöhykkeet Nuuksiossa ja lähiympäristössä Teemu Lindqvist Pietari Skyttä HY Geologia Taustakuva: Copyright Pietari Skyttä 1 Kallioperä koostuu mekaanisilta

Lisätiedot

Erityinen suhteellisuusteoria (Harris luku 2)

Erityinen suhteellisuusteoria (Harris luku 2) Erityinen suhteellisuusteoria (Harris luku 2) Yliopistonlehtori, TkT Sami Kujala Mikro- ja nanotekniikan laitos Kevät 2016 Ajan ja pituuden suhteellisuus Relativistinen työ ja kokonaisenergia SMG-aaltojen

Lisätiedot

5 Differentiaalilaskentaa

5 Differentiaalilaskentaa 5 Differentiaalilaskentaa 5.1 Raja-arvo Esimerkki 5.1. Rationaalifunktiota g(x) = x2 + x 2 x 1 ei ole määritelty nimittäjän nollakohdassa eli, kun x = 1. Funktio on kuitenkin määritelty kohdan x = 1 läheisyydessä.

Lisätiedot

Suuntaavuus ja vahvistus Aukkoantennien tapauksessa suuntaavuus saadaan m uotoon (luku 7.3.1 ) E a 2 ds

Suuntaavuus ja vahvistus Aukkoantennien tapauksessa suuntaavuus saadaan m uotoon (luku 7.3.1 ) E a 2 ds Suuntaavuus ja vahvistus Aukkoantennien tapauksessa suuntaavuus saadaan m uotoon (luku 7.3.1 ) Täm ä olettaa, että D = 4π λ 2 S a E a ds 2. (2 40 ) S a E a 2 ds Pääkeila aukon tasoa koh tisuoraan suuntaan

Lisätiedot

Funktion derivoituvuus pisteessä

Funktion derivoituvuus pisteessä Esimerkki A Esimerkki A Esimerkki B Esimerkki B Esimerkki C Esimerkki C Esimerkki 4.0 Ratkaisu (/) Ratkaisu (/) Mielikuva: Funktio f on derivoituva x = a, jos sen kuvaaja (xy-tasossa) pisteen (a, f(a))

Lisätiedot