1.7 Gradientti ja suunnatut derivaatat

Transkriptio

1 1.7 Gradientti ja suunnatut derivaatat Funktion ensimmäiset osittaisderivaatat voidaan yhdistää yhdeksi vektorifunktioksi seuraavasti: Missä tahansa pisteessä (x, y), jossa funktiolla f(x, y) on ensimmäiset osittaisderivaatat, voidaan määritellä gradienttivektori f(x, y) = gradf(x, y) = f 1 (x, y)i + f 2 (x, y)j, (1) missä (nabla) on vektoridifferentiaalioperaattori = i x + j y (2) Kun tämä operaattori operoi funktioon f(x, y), saadaan funkion gradientti: ( f(x, y) = i x + j ) f(x, y) = f 1 (x, y)i + f 2 (x, y)j (3) y 1

2 Jos f(x, y) on derivoituva pisteessä (a, b) ja f(a, b) 0, niin f(a, b) on pisteen (a, b) kautta kulkevan f:n tasokäyrän normaalivektori. Suunnattu derivaatta: Olkoon u = ui + vj yksikkövektori, ts. u 2 + v 2 = 1. Funktion f(x, y) suunnattu derivaatta pisteessä (a, b) vektorin u suuntaan on f(x, y):n muutosnopeus suhteessa pisteestä (a, b) mitattuun etäisyyteen pitkin u:n suuntaista sädettä xy tasossa. Suunnattu derivaatta saadaan lausekkeesta tai D u f(a, b) = lim h 0+ jos tämä derivaatta on olemassa. f(a + hu, b + hv) f(a, b) h (4) D u f(a, b) = d dt f(a + tu, b + tv) t=0, (5) 2

3 Jos f on derivoituva pisteessä (a, b) ja u = ui + vj yksikkövektori, niin f:n suunnattu derivaatta pisteessä (a, b) vektorin u suuntaan on D u f(a, b) = u f(a, b). (6) Vektorin v suuntainen yksikkövektori saadaan jakamalla vektori sen pituudella. Näin ollen suunnattu derivaatta vektorin v suuntaan on D v/ v f(a, b) = v v Mille tahansa yksikkövektorille u on voimassa f(a, b). (7) D u f(a, b) = u f(a, b) = f(a, b) cos θ, (8) missä θ on vektorien u ja f(a, b) välinen kulma. 3

4 Gradienttivektorin ominaisuuksia: Pisteessä (a, b) funktio f(x, y) kasvaa nopeimmin gradienttivektorin f(a, b) suuntaan. Kasvun maksiminopeus on f(a, b). Pisteessä (a, b) funktio f(x, y) vähenee nopeimmin vektorin f(a, b) suuntaan. Vähenemisen maksiminopeus on f(a, b). Funktion f(x, y) muutosnopeus pisteessä (a, b) on nolla pisteen (a, b) kautta kulkevan funktion f tasokäyrän suunnassa. Pisteen (a, b) kautta nopeudella v kulkevan havainnoitsijan mittaama funktion f(x, y) muutosnopeus pisteessä (a, b) D v f(a, b) = v f(a, b) (9) 4

5 Kolmen muuttujan funktion gradientti n:n muuttujan funktion gradientti f(x, y, z) = f x i + f y j + f z k (10) f(x 1, x 2,...,x n ) = f x 1 e 1 + f x 2 e f x n e n, (11) missä e j on yksikkövektori origosta j:nnen koordinaattiakselin suuntaan. Pisteen (a, b, c) kautta kulkevalla f(x, y, z):n tasopinnalla on tangenttitaso pisteessä (a, b, c), jos f on derivoituva pisteessä (a, b, c) ja f(a, b, c) 0. 5

6 1.8 Implisiittifunktiot Oletetaan, että piste (a, b) toteuttaa yhtälön F(x, y) = 0 ja että funktiolla F on jatkuvat ensimmäiset osittaisderivaatat kaikissa pisteissä (a, b):n lähellä. Jos tästä yhtälöstä voidaan y ratkaista x:n funktiona, y:n derivaatta x:n suhteen pisteessä x = a voidaan ratkaista derivoimalla yhtälö F(x, y) = 0 implisiittisesti x:n suhteen ja laskemalla tulos pisteessä (a, b): F 1 (x, y) + F 2 (x, y) dy dx josta saadaan (ehdolla F 2 (a, b) 0) = 0, (12) dy dx x=a = F 1(a, b) F 2 (a, b) (13) 6

7 Vastaavasti useamman muuttujan funktioille: z x (x 0,y 0 ) = F 1(x 0, y 0, z 0 ) F 3 (x 0, y 0, z 0 ) ja z y (x 0,y 0 ) = F 2(x 0, y 0, z 0 ) F 3 (x 0, y 0, z 0 ) (14) Tarkastellaan yhtälöryhmää F(x, y, z, w) = 0 G(x, y, z, w) = 0 Jos tämän ryhmän tapauksessa halutaan laskea derivaatta x/ z, täytyy pystyä erottamaan toisistaan tapaukset x = x(z, w) x = x(y, z) ja y = y(z, w) w = w(y, z) (15) (16) 7

8 Tällöin määritellään: ( ) x z w vastaa tulkintaa x = x(z, w) y = y(z, w) (17) ( ) x z y vastaa tulkintaa x = x(y, z) w = w(y, z) (18) Funktioiden u = u(x, y) ja v = v(x, y) Jacobin determinantti muuttujien x ja y suhteen on determinantti (u, v) (x, y) = u u x y v x v y (19) 8

9 Vastaavasti funktioiden F(x, y,...) ja G(x, y,...) Jacobin determinantti muuttujien x ja y suhteen (F, G) (x, y) = F F x y = F 1 F 2 G 1 G 2 G x G y (20) Yo. määritelmät voidaan yleistää n:n muuttujan funktioille ja niiden derivaatoille n:n muuttujan suhteen. Tarkastellaan kuvauksia y = f(x) ja z = g(y) ja yhdistettyä kuvausta z = g ((f(x)). Jos f:llä on käänteisfunktio g, niin z = g ((f(x)) ja (x 1 x n ) (y 1 y n ) = 1 (y 1 y n ) (x 1 x n ) (21) 9

10 1.9 Taylorin sarjat ja approksimaatiot Funktio f(x, y), jolla on vähintään n + 1:n kertaluvun jatkuvat osittaisderivaatat, voidaan kehittää Taylorin sarjaksi välillä (a, b), (a + h, b + k) h:n ja k:n potenssien mukaan: f(a + h, b + k) = m=0 m j=0 1 j!(m j)! Dj 1 Dm j 2 f(a, b)h j k m j (22) n:nnen asteen Taylorin polynomista P n (x, y) = n m m=0 j=0 1 j!(m j)! Dj 1 Dm j 2 f(a, b)(x a) j (y b) m j saadaan approksimaatio funktiolle f(x, y) pisteen (a, b) lähellä. (23) 10