Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Ratkaisut viikko 3

Transkriptio

1 MS-A35 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3, I/27 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Ratkaisut viikko 3 Tehtävä : Hahmottele seuraavat vektorikentät ja piirrä niiden kenttäviivat. a) F(x, y) = yi + xj b) F(x, y) = e x i + e x j a) Kuva : Vektorikenttä F(x, y) = yi + xj b)

2 MS-A35 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3, I/ Kuva 2: Vektorikenttä F(x, y) = e x i + e x j Kenttäviivoille dr = i + dyj (.) pätee dr F. Tämän perusteella saadaan kenttäviivoille pätevä yhtälö joka voidaan ratkaista separoimalla. a) Eli a-kohdan kentän kenttäviivat ovat hyperboleja. F = dy F 2 (.2) y = dy x (.3) x = y dy (.4) 2 x2 = 2 y2 + C (.5) x 2 y 2 = D (.6) 2

3 MS-A35 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3, I/27 b) B-kohdan kenttäviivat saadaan samalla tavalla. e = dy x e x (.7) e 2x = dy (.8) e 2x = dy (.9) y = 2 e 2x + C (.) (.) Tehtävä 2: Päättele, onko vektorikenttä konservatiivinen. Mikäli on, etsi sen potentiaalifunktio. a) F(x, y, z) = yi + (x + z)j yk, b) F(x, y, z) = y sin z i + x sin z j + xy cos z k. Välttämätön ehto vektorikentän F : D R 3, D R 3, F(x, y, z) = F (x, y, z)i + F 2 (x, y, z)j + F 3 (x, y, z)k konservatiivisuudelle on, että F = F 2, F 2 z = F 3, F 3 = F z. a) Nyt F(x, y, z) = yi + (x + z)j yk, jolle joten se ei voi olla konservatiivinen. b) F(x, y, z) = y sin zi + x sin zj + xy cos zk ja F 2 z = F 3 =, F = sin z = F 2, F 2 z = x cos z = F 3, F 3 = y cos z = F z, joten vektorikenttä F voi olla konservatiivinen. (Koska F:n määrittelyjoukko on koko R 3, joka on yhdesti yhtenäinen, niin vektorikenttä F on konservatiivinen.) Lähdetään hakemaan potentiaalia Φ : R 3 R, joka toteuttaa F(x, y, z) = Φ(x, y, z) = i + j + k, z integroimalla ensimmäistä komponenttiyhtälöä puolittain x:n suhteen = F (x, y, z) = y sin z = Φ(x, y, z) = y sin z = xy sin z + C (y, z). 3

4 MS-A35 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3, I/27 Sijoitetaan tämä toiseen komponenttiyhtälöön, josta = x sin z + C (y, z) = F 2 (x, y, z) = x sin z = C (y, z) = = C (y, z) = C 2 (z). Nyt siis Φ(x, y, z) = xy sin z + C 2 (z), joka sijoitetaan viimeiseen komponenttiyhtälöön z = xy cos z + C 2(z) = F 3 (x, y, z) = xy cos z = C 2(z) = = C 2 (z) = C = vakio. Siis potentiaali on muotoa Φ(x, y, z) = xy sin z + C, C R. 4

5 MS-A35 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3, I/27 Tehtävä 3: Laske viivaintegraali + 4x2 z 2 ds, kun c on pintojen y = x 2 ja x 2 + z 2 = leikkauskäyrä. c Pinta x 2 + z 2 = vastaa lieriötä, jonka poikkileikkaus on xz-tason yksikköympyrä. Tämä on mukavinta parametrisoida valitsemalla x = cos t ja z = sin t, missä t [, 2π]. Toisella pinnalla pätee y = x 2 eli leikkauskäyrälle saadaan parametrisaatio r = cos ti + cos 2 tj + sin tk. Lasketaan jälleen dr dt sin = sin ti 2 cos t sin tj + cos tk = 2 t + 4 cos 2 t sin 2 t + cos 2 t = + 4 cos 2 t sin 2 t. Integraaliksi saadaan 2π + 4x2 z 2 ds = C = = 2π 2π Tehtävä 4: Määritä vektorikentän kenttäviivat parametrisoituina käyrinä. ( + 4 cos 2 t sin 2 t ( + sin 2 2t) dt = (3 cos 4t) dt = 2 2π ) 2 2π dt = ( + 4 cos 2 t sin 2 t) dt ( + 2 ) ( cos 4t) dt 2π F(x, y, z) = i + 2xj + xk 2 (3t sin 4t) = 3π. 4 Kenttäviivoille dr = i + dyj + dzk pätee dr F. Tästä seuraa, että täytyy olla F (x, y, z) = Nyt kun lasketaan ensimmäinen yhtäsuuruus: = dy 2x 2x = dy 2x = dy dy F 2 (x, y, z) = dz F 3 (x, y, z). y = x 2 + C, jossa C on vakio. 5

6 MS-A35 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3, I/27 Sitten jälkimmäinen yhtäsuuruus: = dz x x = dz x = dz z = 2 x2 + C 2, jossa C 2 on vakio. Nyt voidaan merkitä x = t, jolloin y = t 2 + C ja z = 2 t2 + C 2. Näin ollen dr(t) = tdi + (t 2 + C )j + ( 2 t2 + C 2 )k Kuvat piirretty komennolla 6

7 MS-A35 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3, I/27 ParametricPlot3D[{{t, t^2, t^2/2}, {t, t^2 + 3, t^2/2}, {t, t^2, t^2/2} + 3}, {t,, 4}, PlotStyle -> {Red, Green, Blue}, AxesLabel -> {x, y, z}] Tehtävä 5: Määritä funktio f(x, y, z), jolla vektorikenttä F: R 3 R 3, F(x, y, z) = 2xzi + z 2 j + f(x, y, z)k on konservatiivinen. Mikä on tällöin kentän F potentiaalifunktio? Etsitään funktio f(x, y, z), jolla vektorikentän F(x, y, z) = 2xzi + z 2 j + f(x, y, z)k konservatiivisuuden välttämätön ehto toteutuu, eli F = = F 2, F 2 z = 2z = F 3 = f, F 3 = f = F z = 2x. Toisesta yhtälöstä saadaan, että f = 2z = f(x, y, z) = 2z dy = 2yz + C (x, z). Sijoitetaan tämä kolmanteen yhtälöön, jolloin f = C (x, z) = F z = 2x = C (x, z) = 2x = x 2 + C 2 (z) Muotoa f(x, y, z) = x 2 +2yz +C 2 (z) olevat funktiot toteuttavat konservatiivisuuden välttämättömän ehdon. Voidaan valita esimerkiksi C 2 (z) =, jolloin kysytty funktio on f(x, y, z) = x 2 + 2yz. (Koska F:n määrittelyjoukko on koko R 3, joka on yhdesti yhtenäinen, niin vektorikenttä F on konservatiivinen.) Etsitään potentiaalifunktio Φ : R 3 R, joka toteuttaa ehdon F(x, y, z) = Φ(x, y, z) = i + j + k. z Integroidaan ensimmäistä komponenttiyhtälöä puolittain x:n suhteen: = F (x, y, z) = 2xz = Φ(x, y, z) = 2xz = x 2 z + C 3 (y, z). Sijoitetaan tämä toiseen komponenttiyhtälöön, josta = F 2 (x, y, z) = z 2 = C 3 (y, z) = = C 3(y, z) z 2 dy = yz 2 + C 4 (z). 7

8 MS-A35 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3, I/27 Nyt siis Φ(x, y, z) = x 2 z + yz 2 + C 4 (z), joka sijoitetaan viimeiseen komponenttiyhtälöön: z = x 2 + 2yz + C 4(z) = F 3 (x, y, z) = f(x, y, z) = x 2 + 2yz = C 4(z) = = C 4 (z) = C = vakio. Siis potentiaali on muotoa Φ(x, y, z) = x 2 z + yz 2 + C, C R. Tehtävä 6: Laske käyrää r(t) = 3ti + 3t 2 j + 2t 3 k, t [, ] pitkin kulkevan kaapelin massa, kun sen tiheys pisteessä r(t) on 2 t (grammaa / pituusyksikkö). Massa saadaan laskettua integraalista M = C ρ(x, y, z)ds = b a ρ(r(t)) dr dt dt, missä ρ(r(t)) on kaapelin tiheys pituusyksikköä kohden. Lasketaan dr dt = 3i + 6tj + 6t2 k = (6t) 2 + (6t 2 ) 2 = t t 4 = 9( + 4t 2 + 4t 4 ) = 3 ( + 2t 2 ) 2 = 3( + 2t 2 ). Massaksi saadaan M = (2 t) dr dt dt = 3 (2 t)( + 2t 2 ) dt = 3 ( 2t 3 + 4t 2 t + 2) dt [ = 3 2 t t3 ] 2 t2 + 2t = 3 [ ] + 2 = 7. Palautettava tehtävä 7: Näytä että vektorikenttä F(x, y) = (2xe xy + x 2 ye xy )i + (x 3 e xy + 2y)j (.2) on konservatiivinen ja määritä sen potentiaalifunktio. 8

9 MS-A35 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3, I/27 Välttämätön ehto konservatiivisuudelle on, että F = F 2 (.3) F = 2x2 e xy + x 2 e xy + x 3 ye xy = 3x 2 e xy + x 3 ye xy (.4) F 2 = 3x2 e xy + x 3 ye xy (.5) Derivaattaehto pätee ja lisäksi kenttä on määritelty R 2 :ssa, joka on yhdesti yhtenäinen. F on siis konservatiivinen. Etsitään F:lle potentiaalifunktio Φ. Φ:n tulee toteuttaa ehto eli Φ = F (.6) Φ = F (.7) Φ = F 2 (.8) (.9) Φ saadaan ulos yhtälöstä integroimalla puolittain derivoitavan muuttujan suhteen. Lisäksi huomataan, että F on tulon derivaatta. Φ = 2xe xy + x 2 ye xy = x 2 e xy + C(y) (.2) Φ = x 3 e xy + 2y dy = x 2 e xy + y 2 + C(x) (.2) Φ:ssä ei voi olla toista x:stä riippuvaa termiä, koska se näkyisi ylemmässä yhtälössä, joten C(x) = C R. Lopulliseksi potentiaaliksi saadaan siis Φ = x 2 e xy + y 2 + C (.22) Palautettava tehtävä 8: Esitä parametrisaatiot seuraaville käyrille. a) jana, joka kulkee pisteestä (,2,3) pisteeseen (4,5,6). b) ympyräkaari, jonka keskipiste on (-,2) ja säde 8. c) funktion y = sin(x) kuvaaja, kun x [ π, π] 9

10 MS-A35 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3, I/27 Eräät parametrisaatiot kysytyille käyrille: a) r(t) = ti + (t + )j + (t + 2)k, t [, 4] b) r(t) = (8 cos(t) )i + (8 sin(t) + 2)j, t [, 2π] c) r(t) = ti + sin(t)j, t [ π, π] Palautettava tehtävä 9: Metallilanka seuraa parametrisoinnin r(t) = 3ti + 3tj t 3 k, t (.23) määräämää käyrää C. Määritä langan massa, kun sen tiheys pisteess r(t) on t 3 grammaa pituusyksikköä kohden. Massa saadaan laskettua integraalista M = C ρ(x, y, z)ds = b a ρ(r(t)) dr dt dt, missä ρ(r(t)) on kaapelin tiheys pituusyksikköä kohden. Lasketaan Nyt massa saadaan integraalista dr dt = 3i + 3j 3t2 k (.24) = t 4 (.25) M = = 3 = t 4 (.26) / t t 4 dt (.27) 6 (2 + t4 ) 3 2 (.28) = 2 ( ) (.29)