Perusidea: Jaetaan väli [a, b] osaväleihin ja muodostetaan osavälejä vastaavat suorakulmiot/palkit, joiden korkeus funktion arvot kyseisellä välillä.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Perusidea: Jaetaan väli [a, b] osaväleihin ja muodostetaan osavälejä vastaavat suorakulmiot/palkit, joiden korkeus funktion arvot kyseisellä välillä."

Transkriptio

1 Lähtötilanne

2 Lähtötilanne Tavoite: Määritellään funktion f : [a, b] R integraali siten, että integraalin arvo yhtyy funktion f kuvaajan ja x-akselin väliin jäävän alueen pinta-alaan.

3 Perusidea: Jaetaan väli [a, b] osaväleihin ja muodostetaan osavälejä vastaavat suorakulmiot/palkit, joiden korkeus funktion arvot kyseisellä välillä. Arvioidaan palkkien yhteenlaskettua pinta-alaa.

4 Kun osavälijakoa tihennetään, saadaan (rajalla) haluttu pinta-ala/integraalin arvo.

5 Kun osavälijakoa tihennetään, saadaan (rajalla) haluttu pinta-ala/integraalin arvo. Milloin tämä lähestymistapa toimii/antaa järkevän tuloksen? Miten tästä saadaan täsmällinen integraalin määritelmä...

6 Porrasfunktiot Funktio f : [a, b] R on porrasfunktio, jos on olemssa luvut a = x 0 < x 1 <... < x n = b ja a 1, a 2,..., a n R siten, että kaikille k = 1,..., n f (x) = a k kun x ]x k 1, x k [. ESIMERKKI: f : [0, 2] R, 3 kun x ]0, 1[ f (x) = 1 2 kun x ]1, 3 2 [ 1 kun x ] 3 2, 2[. (Jakopisteissä x {0, 1, 3 2, 2} arvo f (x) voidaan määritellä vapaasti.) Tässä siis P = (0, 1, 3 2, 2), a 1 = 3, a 2 = 1 2, a 3 = 1.

7 P = (0, 1, 3 2, 2), a 1 = 3, a 2 = 1 2, a 3 = 1.

8 Porrasfunktion f (alkeis-) integraali yli välin [a, b] on f (x) dx = n a k (x k x k 1 ). k=1 Esimerkkimme tilanteessa 2 x=0 f (x) dx = ( 1 2 ) =

9 Geometrinen tulkinta: 2 x=0 f (x) dx = ALA 1 ALA 2.

10 Lemma Olkoon f, g: [a, b[ R porrasfunktioita. Tällöin 1 f + g on myös porrasfunktio ja (f + g)(x) dx = 2 λf on porrasfunktio kaikille λ R ja (λf )(x) dx = λ f (x) dx + g(x) dx. 3 Jos f g, niin f (x) dx g(x) dx. 4 Kaikille a < c < b, f (x) dx = c f (x) dx. f (x) dx + f (x) dx. x=c

11 Todistus. IDEA: Tihentämällä porrasfunktioiden f ja g määrittelyssä käytettyjä jakoja löydetään välin [a, b] jako P = (x 0, x 1,..., x n ) ja luvut a 1,..., a n, b 1,..., b n R siten, että

12 Todistus. IDEA: Tihentämällä porrasfunktioiden f ja g määrittelyssä käytettyjä jakoja löydetään välin [a, b] jako P = (x 0, x 1,..., x n ) ja luvut a 1,..., a n, b 1,..., b n R siten, että f (x) = a k kun x ]x k 1, x k [, g(x) = b k kun x ]x k 1, x k [.

13 Todistus. IDEA: Tihentämällä porrasfunktioiden f ja g määrittelyssä käytettyjä jakoja löydetään välin [a, b] jako P = (x 0, x 1,..., x n ) ja luvut a 1,..., a n, b 1,..., b n R siten, että f (x) = a k kun x ]x k 1, x k [, g(x) = b k kun x ]x k 1, x k [. Esimerkiksi väite 3 seuraa tästä ja alkeisintegraalin määritelmästä, sillä f (x) dx = n a k (x k x k 1 ) k=1 n b k (x k x k 1 ) = k=1 g(x) dx, koska a k b k jos f g.

14 Todistus. IDEA: Tihentämällä porrasfunktioiden f ja g määrittelyssä käytettyjä jakoja löydetään välin [a, b] jako P = (x 0, x 1,..., x n ) ja luvut a 1,..., a n, b 1,..., b n R siten, että f (x) = a k kun x ]x k 1, x k [, g(x) = b k kun x ]x k 1, x k [. Esimerkiksi väite 3 seuraa tästä ja alkeisintegraalin määritelmästä, sillä f (x) dx = n a k (x k x k 1 ) k=1 n b k (x k x k 1 ) = k=1 g(x) dx, koska a k b k jos f g. MUISTUTUS: Harjoitustehtäviin voi saada apuja tuutortuvalta!

15 Riemann-integraali Bernhard Riemann ( )

16 Rajoitetun funktion f : [a, b] [0, + [ alaintegraali on { } b ala f := sup h(x) dx : h on porrasfunktio ja h f Yläintegraali määritellään vastaavasti yl.ȧ { } b f := inf h(x) dx : h on porrasfunktio ja h f. Jos ala f = yl.ȧ f, sanotaan että f on Riemann-integroituva yli välin [a, b], jolloin sen Riemann-integraali on f (x) dx := ala f = yl.ȧ f..

17 Arvio ala f yl.ȧ f on aina voimassa.

18 Arvio ala f yl.ȧ f on aina voimassa. f on siis Riemann integroituva jos ja vain jos on olemassa I R siten, että yl.ȧ f I ala f.

19 Arvio ala f yl.ȧ f on aina voimassa. f on siis Riemann integroituva jos ja vain jos on olemassa I R siten, että yl.ȧ f I ala f. Yleensä Riemann-integroituvuus osoitetaan seuraavalla tavalla: Jokaiselle ε > 0, etsitään porrasfunktiot h ja g s.e. h f g, h(x) dx > I ε sekä g(x) dx < I + ε.

20 Arvio ala f yl.ȧ f on aina voimassa. f on siis Riemann integroituva jos ja vain jos on olemassa I R siten, että yl.ȧ f I ala f. Yleensä Riemann-integroituvuus osoitetaan seuraavalla tavalla: Jokaiselle ε > 0, etsitään porrasfunktiot h ja g s.e. h f g, h(x) dx > I ε sekä g(x) dx < I + ε. Tällöin f on Riemann-integroituva ja f (x) dx = I

21 Yhtäpitävästi: Etsitään jonot alaporrasfunktioita h n, sekä yläporrasfunktioita g n (siis h n f g n kaikilla n), siten että lim h n (x) dx = lim g n (x) dx = I. n n

22 Yhtäpitävästi: Etsitään jonot alaporrasfunktioita h n, sekä yläporrasfunktioita g n (siis h n f g n kaikilla n), siten että lim h n (x) dx = lim g n (x) dx = I. n n Tällöin f on Riemann-integroituva ja I = f (x) dx.

23 ESIMERKKI: Lasketaan 1 x dx. x=0 Merkitään f : [0, 1] R, f (x) = x.

24 ESIMERKKI: Lasketaan 1 x=0 x dx. Merkitään f : [0, 1] R, f (x) = x. Olkoon n N ja jaetaan väli [0, 1] tasaisesti n osaan jaon P = (0, 1 n, 2 n,..., n 1 n, 1) mukaisesti. Tässä siis x k = k n, kun k = 0,..., n ja I k =] k 1 n, k n [. Määritellään porrasfunktio h asettamalla h(x) = f (x k 1 ) = x k 1 = k 1 n kaikille x I k.

25

26 ESIMERKKI: Lasketaan 1 x dx. x=0 Merkitään f : [0, 1] R, f (x) = x. Olkoon n N ja jaetaan väli [0, 1] tasaisesti n osaan jaon P = (0, 1 n, 2 n,..., n 1 n, 1) mukaisesti. Tässä siis x k = k n, kun k = 0,..., n ja I k =] k 1 n, k n [. Määritellään porrasfunktio h asettamalla Tällöin joten h(x) = f (x k 1 ) = x k 1 = k 1 n kaikille x I k. ala f h f, 1 x=0 h(x) dx.

27 Lasketaan: ala f = = 1 x=0 h(x) n l(i k )f (x k 1 ) k=1 n k=1 1 k 1 n n = 1 n 1 n 2 k k=0 = 1 n 2 n(n 1) 2,

28 Lasketaan: ala f = = 1 x=0 h(x) n l(i k )f (x k 1 ) k=1 n k=1 1 k 1 n n = 1 n 1 n 2 k k=0 = 1 n 2 n(n 1) 2 missä viimeinen yhtälö seuraa aritmeettisen summan kaavasta m k = k=0 m(m + 1) 2,.

29 Koska lim n ( 1 n(n 1) n 1 1 n 2 = lim 2 n 2n = lim n 2 1 ) = 1 2n 2, niin ala f 1 2. Määritellään sitten porrasfunktio g siten, että g(x) = f (x k ) = k n kaikille x I k, jolloin g f.

30

31 Lasketaan: kun n. yl.ȧ f = = 1 x=0 g(x) n l(i k )f (x k ) k=1 n 1 k n n k=1 = 1 n n 2 k k=1 = 1 n 2 n(n + 1) 2 = n + 1 2n 1 2,

32 Koska ala f 1 2 yl.ȧ f, niin f on Riemann integroituva ja 1 x=0 x dx = 1 2.

33 Mitä osaamme integroida? Vakiofunktiot. Porrasfunktiot. Monomit f (x) = x m kaikille m {0, 1, 2,..., }.

34 Mitä osaamme integroida? Vakiofunktiot. Porrasfunktiot. Monomit kaikille m {0, 1, 2,..., }. f (x) = x m On opettavaista yrittää integroida myös muita alkeisfunktioita suoraan määritelmää käyttäen. ex dx =? sin x dx =?

35 Mitä osaamme integroida? Vakiofunktiot. Porrasfunktiot. Monomit kaikille m {0, 1, 2,..., }. f (x) = x m On opettavaista yrittää integroida myös muita alkeisfunktioita suoraan määritelmää käyttäen. ex dx =? sin x dx =? Esimerkki ei integroituvasta funktiosta: f : [0, 1] R, { 1 kun x [0, 1] Q, f (x) = 0 kun x [0, 1] \ Q.

36 Lause Olkoon f, g: [a, b] R Riemann-integroituvia. Tällöin 1 f + g on Riemann-integroituva ja (f + g)(x) dx = f (x) dx + g(x) dx.

37 Lause Olkoon f, g: [a, b] R Riemann-integroituvia. Tällöin 1 f + g on Riemann-integroituva ja (f + g)(x) dx = f (x) dx + g(x) dx. 2 λf on Riemann-integroituva kaikille λ R ja (λf )(x) dx = λ f (x) dx.

38 Lause Olkoon f, g: [a, b] R Riemann-integroituvia. Tällöin 1 f + g on Riemann-integroituva ja (f + g)(x) dx = f (x) dx + g(x) dx. 2 λf on Riemann-integroituva kaikille λ R ja (λf )(x) dx = λ f (x) dx. 3 Jos f g, niin f (x) dx g(x) dx.

39 Lause Olkoon f, g: [a, b] R Riemann-integroituvia. Tällöin 1 f + g on Riemann-integroituva ja (f + g)(x) dx = f (x) dx + g(x) dx. 2 λf on Riemann-integroituva kaikille λ R ja (λf )(x) dx = λ f (x) dx. 3 Jos f g, niin f (x) dx g(x) dx. 4 Kaikille a < c < b, f (x) dx = c f (x) dx + f (x) dx. x=c

40 Seuraus Jos a 0,..., a n R ja p(x) = n k=0 a kx k, niin kaikille a, b R, a < b. p(x) dx = n k=0 a k b k+1 a k+1 k + 1,

41 Seuraus Jos a 0,..., a n R ja p(x) = n k=0 a kx k, niin kaikille a, b R, a < b. p(x) dx = n k=0 a k b k+1 a k+1 k + 1, Todistus. Sovelletaan edellistä lausetta monomin integroimiskaavaan jolloin p(x) dx = x k = bk+1 a k+1 k + 1 n a k k=0 x k dx = n k=0, a k b k+1 a k+1 k + 1.

42 Riemannin ehto Lause Funktio f : [a, b] R on Riemann-integroituva jos ja vain jos kaikille ε > 0 löytyy porrasfunktiot h ja g siten, että h f g ja (g(x) h(x)) dx < ε.

43 Riemannin ehdon avulla osoitetaan Riemann-integroituviksi muun muassa max{f, g} ja min{f, g}, Riemann-integroituville f, g: [a, b] R. Riemann-integroituvan funktion positiivi- ja negatiiviosat (harjoitustehtävä). Monotoniset funktiot f : [a, b] R (harjoitustehtävä). Tulo fg Riemann-integroituville f, g: [a, b] R (harjoitustehtävä)....

44 Jatkuvan funktion Riemann-integroituvuus Määritelmä Olkoon A R. Funktio f : A R on jatkuva pisteessä x A, jos kaikille ε > 0 löytyy δ > 0 siten,että f (x) f (y) < ε aina kun y A ja x y < δ.

45 Jatkuvan funktion Riemann-integroituvuus Määritelmä Olkoon A R. Funktio f : A R on jatkuva pisteessä x A, jos kaikille ε > 0 löytyy δ > 0 siten,että f (x) f (y) < ε aina kun y A ja x y < δ. Määritelmä Funktio f : A R on jatkuva, jos se on jatkuva pisteessä x kaikille x A.

46 Jatkuvan funktion Riemann-integroituvuus Määritelmä Olkoon A R. Funktio f : A R on jatkuva pisteessä x A, jos kaikille ε > 0 löytyy δ > 0 siten,että f (x) f (y) < ε aina kun y A ja x y < δ. Määritelmä Funktio f : A R on jatkuva, jos se on jatkuva pisteessä x kaikille x A. Määritelmä Olkoon A R. Funktio f : A R on tasaisesti jatkuva, jos kaikille ε > 0 löytyy δ > 0 siten, että f (x) f (y) < ε aina kun x, y A ja y x < δ.

47 Ero (tavalliseen) jatkuvuuteen: sama δ kelpaa kaikille x A. Jatkuvuus on paikallinen (pisteittäinen) ominaisuus, kun taas tasainen jatkuvuus on globaali ominaisuus. Esim. f : R R, f (x) = x on tasaisesti jatkuva, sillä anetulle ε > 0 voidaan valita

48 Ero (tavalliseen) jatkuvuuteen: sama δ kelpaa kaikille x A. Jatkuvuus on paikallinen (pisteittäinen) ominaisuus, kun taas tasainen jatkuvuus on globaali ominaisuus. Esim. f : R R, f (x) = x on tasaisesti jatkuva, sillä anetulle ε > 0 voidaan valita δ = ε.

49 Ero (tavalliseen) jatkuvuuteen: sama δ kelpaa kaikille x A. Jatkuvuus on paikallinen (pisteittäinen) ominaisuus, kun taas tasainen jatkuvuus on globaali ominaisuus. Esim. f : R R, f (x) = x on tasaisesti jatkuva, sillä anetulle ε > 0 voidaan valita δ = ε. f : ]0, 1[ R, f (x) = 1 x on jatkuva,

50 Ero (tavalliseen) jatkuvuuteen: sama δ kelpaa kaikille x A. Jatkuvuus on paikallinen (pisteittäinen) ominaisuus, kun taas tasainen jatkuvuus on globaali ominaisuus. Esim. f : R R, f (x) = x on tasaisesti jatkuva, sillä anetulle ε > 0 voidaan valita δ = ε. f : ]0, 1[ R, f (x) = 1 x on jatkuva, mutta ei tasaisesti jatkuva: Vaikka 0 < δ < 1 2 valittaisiin miten pieneksi tahanssa, niin luvuille x = δ, y = 3 2δ ]0, 1[, on y x = δ 2 < δ, mutta f (x) f (y) = 1 δ 2 3δ = 1 3δ 2 3. Tasaisen jatkuvuuden vaatimaa lukua δ ei siis löydy arvolla ε = 2 3.

51 Lause Tasaisesti jatkuva funktio f : [a, b] R on Riemann-integroituva. Todistus: Olkoon ε > 0. Tavoitteena on löytää porrasfunktiot h ja g siten, että h f g ja (g(x) h(x)) dx < ε. Tarkastellaan tasvälistä jakoa P = (x 0,..., x n ), missä n N ja x k = a + k n (b a), kun k = 0,..., n. Koska f on tasaisesti jatkuva, voidaan valita δ > 0 siten, että f (x) f (y) < ε kaikille x, y [a, b] joille x y < δ Kun n > b a δ, huomataan että l(i k) = (b a) n < δ, joten tiedämme että f (x) f (y) < ε kun x, y I k.

52 Voidaan siis valita luvut a k, b k R siten, että b k a k < ε ja a k f (x) b k kaikille x I k. Määritellään porrasfunktiot h, g: [a, b] R siten, että Tällöin: h f g ja (g(x) h(x)) dx = h(x) = a k kun x I k, g(x) = b k kun x I k. n l(i k )(b k a k ) k=1 = (b a)ε. Väite seuraa Riemannin ehdosta. n k=1 ε(b a) n

53 Kun osoitamme vielä, että Lause Suljetulla ja rajoitetulla välillä määritelty jatkuva funktio f : [a, b] R on tasaisesti jatkuva. olemme lopulta osoittaneet, että Seuraus Jatkuva funktio f : [a, b] R on Riemann-integroituva.

54 Pitää siis vielä osoittaa, että jatkuva f : [a, b] R on tasaisesti jatkuva.

55 Pitää siis vielä osoittaa, että jatkuva f : [a, b] R on tasaisesti jatkuva. Todistus: Mikäli väite ei ole voimassa, niin eräälle ε > 0 löytyy välin [a, b] jonot (x n ) ja (y n ) siten, että lim x n y n = 0, n mutta f (x n ) f (y n ) ε kaikille n N.

56 Pitää siis vielä osoittaa, että jatkuva f : [a, b] R on tasaisesti jatkuva. Todistus: Mikäli väite ei ole voimassa, niin eräälle ε > 0 löytyy välin [a, b] jonot (x n ) ja (y n ) siten, että lim x n y n = 0, n mutta f (x n ) f (y n ) ε kaikille n N. Koska jono (x n ) on rajoitettu, voidaan osajonoon siirtymällä olettaa, että (x n ) suppenee.

57 Pitää siis vielä osoittaa, että jatkuva f : [a, b] R on tasaisesti jatkuva. Todistus: Mikäli väite ei ole voimassa, niin eräälle ε > 0 löytyy välin [a, b] jonot (x n ) ja (y n ) siten, että lim x n y n = 0, n mutta f (x n ) f (y n ) ε kaikille n N. Koska jono (x n ) on rajoitettu, voidaan osajonoon siirtymällä olettaa, että (x n ) suppenee. Olkoon x = lim n x n.

58 Pitää siis vielä osoittaa, että jatkuva f : [a, b] R on tasaisesti jatkuva. Todistus: Mikäli väite ei ole voimassa, niin eräälle ε > 0 löytyy välin [a, b] jonot (x n ) ja (y n ) siten, että lim x n y n = 0, n mutta f (x n ) f (y n ) ε kaikille n N. Koska jono (x n ) on rajoitettu, voidaan osajonoon siirtymällä olettaa, että (x n ) suppenee. Olkoon x = lim n x n. Tällöin myös lim y n = lim x n + lim(y n x n ) = x + 0 = x.

59 f on jatkuva, joten 0 = f (x) f (x) = lim f (x n ) lim f (y n ) n n = lim (f (x n ) f (y n )) n lim f (x n ) f (y n ) n lim ε n ε

60 f on jatkuva, joten 0 = f (x) f (x) = lim f (x n ) lim f (y n ) n n = lim (f (x n ) f (y n )) n lim f (x n ) f (y n ) n lim ε n ε... ristiriita.

61 Miten voidaan karkterisoida Riemann-integroituvat funktiot? Määritelmän avulla. Riemannin ehdon avulla. Niin sanottu Lebesguen ehto antaa vaihtoehtoisen karakterisaation funktion f epäjatkuvuuspisteiden avulla. f : [a, b] R on jatkuva jos ja vain jos sen epäjatkuvuuspisteiden joukko on "riittävän pieni". Lue lisää luentomonisteesta...

62 Riemannin summat Jos P = (x 0,..., x n ) on välin [a, b] jako, olkoon P pisimmän jakovälin pituus, eli P := max k=1,...,n x k x k 1.

63 Riemannin summat Jos P = (x 0,..., x n ) on välin [a, b] jako, olkoon P pisimmän jakovälin pituus, eli P := max k=1,...,n x k x k 1. Lause Olkoon f : [a, b] R Riemann-integroituva, sekä P m välin [a, b] jako kaikille m N siten, että lim P m = 0. m

64 Riemannin summat Jos P = (x 0,..., x n ) on välin [a, b] jako, olkoon P pisimmän jakovälin pituus, eli P := max k=1,...,n x k x k 1. Lause Olkoon f : [a, b] R Riemann-integroituva, sekä P m välin [a, b] jako kaikille m N siten, että lim P m = 0. m Olkoon lisäksi jokaiselle m, ξ k [x k 1, x k ], sekä S(P m ) = n m k=1 kun merkitään P m = (x 0,..., x nm ). f (ξ k )(x k x k 1 ),

65 Riemannin summat Jos P = (x 0,..., x n ) on välin [a, b] jako, olkoon P pisimmän jakovälin pituus, eli P := max k=1,...,n x k x k 1. Lause Olkoon f : [a, b] R Riemann-integroituva, sekä P m välin [a, b] jako kaikille m N siten, että lim P m = 0. m Olkoon lisäksi jokaiselle m, ξ k [x k 1, x k ], sekä S(P m ) = n m k=1 f (ξ k )(x k x k 1 ), kun merkitään P m = (x 0,..., x nm ). Tällöin f (x) dx = lim m S(P m).

66 Riemannin summista on hyötyä erityiseti silloin jos jo etukäteen tiedetään, että f on RIemann-integroituva. Tällöin integraalin f (x) dx arvo voidaan laskea haluamaamme jonoon (tihentyviä) jakoja P m liittyvien Riemannin summien avulla. Huomaa, että pisteet ξ k voidaan vapaasti valita jakoväliltä [x k 1, x k ].

67 TEHTÄVÄ: Mitkä seuraavista funktioista ovat Riemann-integroituvia? Perustele! f : [0, 100] R, 3 kun x ]0, 1[, f (x) = π kun x ]1, 99[, 1 kun x ]99, 100[. g(x) = sin(e x + 80x 2 ), [ 100, 0] R. x f (x) + g( x), [0, 100] R. h: [0, 3] R, h(x) = { 8 jos x on muotoa x = 1 n, n N, x muuten.

68 v: [0, 3] R, x kun x [0, 1], v(x) = cos x kun x ]1, 2[, log x kun x [2, 3]. u: [0, 1] R 1 jos luvun x desimaaliesityksessä on u(x) = äärettömän monta kolmosta, 1 muuten. 1 w, jos w: [a, b] R on Riemann-integroituva. vh: [0, 3] R.

69 Keskiarvo integraalina Riemann-integroituvan funktion f : [a, b] R keskiarvo on 1 b f (x) dx. b a

70 Keskiarvo integraalina Riemann-integroituvan funktion f : [a, b] R keskiarvo on 1 b f (x) dx. b a ESIMERKKI: Olkoon f : [0, 3] R, { x kun x [0, 1[, f (x) = 3 kun x [1, 3[.

71 Keskiarvo integraalina Riemann-integroituvan funktion f : [a, b] R keskiarvo on 1 b f (x) dx. b a ESIMERKKI: Olkoon f : [0, 3] R, { x kun x [0, 1[, f (x) = 3 kun x [1, 3[. Tällöin funktion f keskiarvo on 1 3 f (x) dx = 1 1 x dx dx = 1 ( ) 1 3 x=0 3 x=0 3 x= = 13 6.

72

73 Jatkuva funktio saavuttaa keskiarvonsa Lause (Integraalilaskennan väliarvolause) Jos f : [a, b] R on jatkuva, niin tällöin f (c) = 1 f (x) dx, eräälle c [a, b]. b a

74 Integraalifunktiot Olkoon f : [a, b] R Riemann-integroituva. Funktiota F: [a, b] R, F(x) = x y=a f (y) dy, sanotaan funktion f Integraalifunktioksi.

75 Integraalifunktiot Olkoon f : [a, b] R Riemann-integroituva. Funktiota F: [a, b] R, F(x) = x y=a f (y) dy, sanotaan funktion f Integraalifunktioksi. ESIMERKKI: Määrätään integraalifunktio F funktiolle f : [0, 3] R, { y kun y [0, 1[, f (y) = 3 kun y [1, 3[. Jos 0 x 1, niin F(x) = x y=0 f (y) dy = x y=0 y dy = x2 2.

76 Jos 1 < x 2, niin F(x) = x y=0 f (y) dy = 1 y=0 x y dy + 3 dy = 1 + 3(x 1). y=1 2

77 Jos 1 < x 2, niin F(x) = x y=0 f (y) dy = 1 y=0 x y dy + 3 dy = 1 + 3(x 1). y=1 2 Tapaukset yhdistämällä saadaan, F(x) = { x 2 kun x [0, 1[, 3x 5 2 kun y [1, 3[. Huomaa, että F on jatkuva (vaikka f on epäjatkuva)!

78 Integraalifunktion yleinen määritelmä Välillä I R määritelty funktio F: I R on funktion f : I R integraalifunktio, jos se on muotoa eräille vakioille C R, c I. x F(x) = C + f (y) dy y=c HUOMAA: Määritelmään sisältyy oletus, jonka mukaan f on Riemann-integroituva yli välin [a, b] kaikille a, b I.

79 Integraalifunktion ja Riemann-integraalin yhteys Lause Jos F on funktion f integraalifunktio välilä I, niin kaikille c, d I on voimassa d y=c f (y) dx = F(d) F(c). Mikäli G on jokin toinen funktion f integraalifunktio välillä I, niin tällöin G(x) = F(x) + C kaikille x [a, b], missä C on luvusta x riippumaton vakio.

80 Primitiivi Olkoon f : I R, missä I R on väli. Funktio G: I R on funktion f primitiivi, jos G on jatkuva ja jos G (x) = f (x) kaikille x I päätepisteitä lukuunottamatta.

81 Primitiivi Olkoon f : I R, missä I R on väli. Funktio G: I R on funktion f primitiivi, jos G on jatkuva ja jos G (x) = f (x) kaikille x I päätepisteitä lukuunottamatta. ESIMERKKI: Funktion f : R R, (eräs) primitiivi on f (x) = x 2 F(x) = arctan x. (koska D arctan x = 1 1+x 2 ). Myös jokainen funktio G(x) = arctan x + C, missä C R on vakio, on funktion f primitiivi. Muita primitiivejä ei ole.

82 Analyysin peruslause: Osa 1 Lause Olkoon f : I R Riemann integroituva kaikille [a, b] I ja olkoon G funktion f primitiivi. Tällöin G on funktion f integraalifunktio. Erityisesti f (x) dx = G(b) G(a) kaikille [a, b] I. (1)

83 Analyysin peruslause: Osa 1 Lause Olkoon f : I R Riemann integroituva kaikille [a, b] I ja olkoon G funktion f primitiivi. Tällöin G on funktion f integraalifunktio. Erityisesti f (x) dx = G(b) G(a) kaikille [a, b] I. (1) Todistus. Yhtälö (1) johdettiin luennolla Riemannin summien ja differentiaalilaskennan väliarvolauseen avulla.

84 Analyysin peruslause: Osa 1 Lause Olkoon f : I R Riemann integroituva kaikille [a, b] I ja olkoon G funktion f primitiivi. Tällöin G on funktion f integraalifunktio. Erityisesti f (x) dx = G(b) G(a) kaikille [a, b] I. (1) Todistus. Yhtälö (1) johdettiin luennolla Riemannin summien ja differentiaalilaskennan väliarvolauseen avulla. Valitaan c I. Yhtälön (1) nojalla funktiolle G saadaan lauseke: x G(x) = G(c) + (G(x) G(c)) = G(c) + f (y) dy, y=c joten G on funktion f integraalifunktio.

85 HUOMAUTUS: On olemassa funktioita f : [a, b] R, jolla on primitiivi, mutta jotka eivät silti ole Riemann-integroituvia. Edellisen lauseen oletus Riemann-integroituvuudesta on siis tarpeellinen...

86 Integroimiskaavoja Analyysin peruslauseen avulla derivoimiskaavoista saadaan integroimiskaavoja: funktio f (x) Integraalifunktio F(x) määrittelyväli I x n 1 x α 1 1 n+1 xn+1 R (n Z \ { 1}) α+1 xα+1 [0, + [ (α R \ { 1}) x log x ]0, + [ a x ax log a R (tässä a > 0) sin x cos x R cos x sin x R 1 + tan 2 x tan x ] π/2, π/2[ 1 1 x 2 arcsin x ] 1, 1[ 1 1 x 2 arccos x ] 1, 1[ 1 1+x 2 arctan x R

87 Analyysin peruslause: osa 2 Aiemman tuloksen nojalla tiedämme, että Riemann-integroituvan funktion primitiivit ovat sen integraalifunktioita.

88 Analyysin peruslause: osa 2 Aiemman tuloksen nojalla tiedämme, että Riemann-integroituvan funktion primitiivit ovat sen integraalifunktioita. Jatkuvan funktion tapauksessa tulos kääntyy (ei päde yleisesti): Lause Jos f : I R on jatkuva ja F on sen integraalifunktio, niin tällöin F (x) = f (x) kaikille välin I pisteille (päätepisteitä lukuunottamatta).

89 Lause Jos f : I R on jatkuva ja F on sen integraalifunktio, niin tällöin F (x) = f (x) kaikille välin I pisteille (päätepisteitä lukuunottamatta).

90 Analyysin peruslause: osa 2 Lause Jos f : I R on jatkuva ja F on sen integraalifunktio, niin tällöin F (x) = f (x) kaikille välin I pisteille (päätepisteitä lukuunottamatta). Analyysin peruslauseen nojalla tiedämme siis, että jatkuvalle f F on funktion f primitiivi F on funktion f integraalifunktio.

91 Määrätty ja määräämätön integraali MUISTUTUS: Merkintä f = F, tarkoittaa sitä, että F on (eräs) funktion f integraalifunktio. Integraalifunktion määrittelevää integraalia F(x) = x y=c f (y) dy sanotaan määräämättömäksi integraaliksi. Sen erottaa määrätystä integraalista y=a f (y) dy se, että integraalin ylärajana on muuttuja x. Merkitään myös / b F(x) := F(b) F(a).

92 Lause (Osittaisintegrointi) Jos f, g: I R ovat derivoituvia ja f sekä g ovat Riemann-integroituvia jokaisella osavälillä [a, b] I, niin fg = f g + fg ja edelleen (2) a / b fg = a f g + a fg kaikille a, b I.

93 Lause (Osittaisintegrointi) Jos f, g: I R ovat derivoituvia ja f sekä g ovat Riemann-integroituvia jokaisella osavälillä [a, b] I, niin fg = f g + fg ja edelleen (2) a / b fg = a f g + a fg kaikille a, b I. Yhtälö (3) kirjoitetaan usein muotoon f g = fg fg. (3) Tämä tarkoittaa sitä, että jos H on eräs tulofunktion fg integraalifunktio, niin tällöin fg H on eräs tulofunktion f g integraalifunktio.

94 ESIMERKKI: Logaritmin integroiminen.

95 ESIMERKKI: Logaritmin integroiminen. Sovelletaan osittaisintegrointia, kun f (x) = 1 ja g(x) = log x.

96 ESIMERKKI: Logaritmin integroiminen. Sovelletaan osittaisintegrointia, kun f (x) = 1 ja g(x) = log x. Tällöin f (x) = x ja g (x) = 1 x.

97 ESIMERKKI: Logaritmin integroiminen. Sovelletaan osittaisintegrointia, kun f (x) = 1 ja g(x) = log x. Tällöin f (x) = x ja g (x) = 1 x. Saadaan log x = x 1 log x = x log x = x(log x 1). x Tuloksen voi tarkastaa derivoimalla ja toteamalla, että D (x(log x 1)) = log x.

98 ESIMERKKI: Logaritmin integroiminen. Sovelletaan osittaisintegrointia, kun f (x) = 1 ja g(x) = log x. Tällöin f (x) = x ja g (x) = 1 x. Saadaan log x = x 1 log x = x log x = x(log x 1). x Tuloksen voi tarkastaa derivoimalla ja toteamalla, että D (x(log x 1)) = log x. Siten, esimerkiksi e 2 x=1 log x dx = e 2 (log(e 2 ) 1) (log 1 1) = e

99 ESIMERKKI: Lasketaan vielä log 2 x dx, välillä x ]0, [. Muistetaan, että log x = x(log x 1) ja D log x = 1 x. Osittaisintegroimalla saadaan, log 2 x = (log x)(log x) 1 = x(log x 1) log x (x(log x 1)) x = x(log x 1) log x (log x 1) = x(log x 1) log x x(log x 1) + x ( ) = x (log x 1)

100 Muuttujanvaihto integraalissa Jos g: J I ja h: I R ovat derivoituvia, niin (h g) (x) = g (x)h (g(x))

101 Muuttujanvaihto integraalissa Jos g: J I ja h: I R ovat derivoituvia, niin (h g) (x) = g (x)h (g(x)) Tämä johtaa (välillä J) integrointikaavaan g (x)h (g(x)) dx = h g(x).

102 Muuttujanvaihto integraalissa Jos g: J I ja h: I R ovat derivoituvia, niin (h g) (x) = g (x)h (g(x)) Tämä johtaa (välillä J) integrointikaavaan g (x)h (g(x)) dx = h g(x). Tätä voidaan soveltaa suoraan silloin, kun integroitava funktio on helposti tunnistettavissa muodossa f (x) = g (x)h (g(x)). Esimerkiksi integraaleihin ja φ (x), kun φ(x) 0 φ(x) φ (x)φ(x) α, kun α > 0.

103 ESIMERKKI: Määrätään x x 3 dx.

104 ESIMERKKI: Määrätään x x 3 dx. Integrandi on määritelty, kun x 3 1/3.

105 ESIMERKKI: Määrätään x x 3 dx. Integrandi on määritelty, kun x 3 1/3. Huomataan, että integraali voidaan kirjoittaa muodossa φ (x)φ(x) 1/2, missä φ(x) = 3 + x

106 ESIMERKKI: Määrätään x x 3 dx. Integrandi on määritelty, kun x 3 1/3. Huomataan, että integraali voidaan kirjoittaa muodossa φ (x)φ(x) 1/2, missä φ(x) = 3 + x Siten Esimerkiksi x 2 = x 3 3 φ(x)1/2 = x 3 3 dx. 2 x= 1 x x 3 = 2 3 ( 11 2).

107 Muuttujanvaihto/yleinen tapaus Lause Olkoon f : I R Riemann-integroituva ja olkoon g: [a, b] I sellainen jatkuva funktio, joka on derivoituva välillä ]a, b[, ja jonka derivaatta g on Riemann-integroituva. Tällöin g(b) u=g(a) f (u) du = g (x)f (g(x)) dx. Jos F on funktion f integraalifunktio, niin ylläolevan tuloksen nojalla yhdistetty funktio F g on funktion g (f g) integraalifunktio.

108 TODISTUKSEN IDEA:

109 Sijoitusmenetelmä Merkintöjen ja laskennon kannalta muuttujanvaihtolauseessa on tapana käyttää lyhyempää merkintätapaa: Merkitään u = g(x). Tällöin g (x) = du dx. Siispä g (x)f (g(x)) dx = du f (u) dx = dx f (u) du. (4) HUOMAUTUS: Ylläoleva lasku (4) ei ole täsmällinen todistus, mutta se on hyvä muistisääntö. Sen antama kaava g (x)f (g(x)) dx = f (u) du on kuitenkin tulkittavissa täsmällisesti edellisen lauseen avulla.

110 Toisinaan on kätevämpää esittää sijoitus muodossa x = g(u). Tällöin dx du = g (u), joten dx = g (u) du. Huomaa, että merkitsemällä φ = g 1, tämä voidaan kirjoittaa muodossa du dx = 1 g (u) = φ (x), jolloin päädytään jo edellä esitettyyn kaavaan.

111 Sijoitusmenetelmä käytännössä 1 Integroitavana on funktio f, 2 eli pitää määrätä f (x) dx. 3 Korvataan "sopiva"funktion f (x) lausekkeessa esiintyvä termi g(x) muuttujalla u. 4 Integraalin lausekkeessa termi dx korvataan termillä du g (x). 5 Esitetään f (x) g (x) muodossa h(u). 6 Integroidaan h(u), eli etsitään jokin integraalifunktio H(u). 7 Sijoitetaan saatuun integraalifunktioon H(u) muuttujan u paikalle u = g 1 (x). 8 Jos ratkaistavana oli määrätty integraali f (x) voidaan kohdassa 6. laskea suoraan g(b) u=g(a) h(u) du.

112 ESIMERKKI: Lasketaan dx 1 + e x. Sijoitetaan u = e x. Tällöin du = e x dx = u dx eli yhtäpitävästi dx = du u. Integraali saa muodon ( 1 1 u(1 + u) du = u 1 ) du = log u log(1 + u). 1 + u Sijoittamalla u = e x, saadaan lopulta dx 1 + e x = x log(1 + ex ).

113 Eräiden alkeisfunktioiden integrointia 1 Integraali dx a 2 x 2, kun a 0, palautuu sijoituksella u = x a perustapaukseen = arcsin x. dx 1 x 2 2 Vastaavasti, kun a > 0. dx a 2 + x 2 = 1 ( x ) a arctan, a 3 Integraali 1 + ax 2 dx, ratkeaa sijoituksella sin u/ a = x, kun a < 0 ja sijoituksella x = tan u/ a, kun a > 0. 4 Trigonometristen funktioiden integrointiin ei ole yleispätevää menetelmää. Sijoitus u = tan( x 2 ) toimii monissa tilanteissa.

114 Rationaalifunktion integroiminen Tarkastellaan rationaalifunktiota R(x) = P(x) Q(x), missä P ja Q ovat polynomeja. Tällainen funktio R voidaan integroida pääpiirteissään seuraavasti. 1 Esitetään R(x) muodossa R(x) = p(x) + r(x) q(x), missä p, r ja q ovat polynomeja ja polynomin q aste on vähintään yhtä suuri, kuin polynomin r aste. 2 Muodostetaan osamäärälle r(x) q(x) osamurtokehitelmä, eli esitetään se muotoa α (x β) k ja αx (βx 2 + γx + θ) k sekä α (βx 2 + γx + θ) k olevien termien summana (α, β, γ, θ 0)

115 α 3 Muotoa olevat termit saadaan integroitua (x β) k peruskaavoja 1 (x β) k = { 1 (1 k)(x β) k 1 jos k 1, log x β, jos k = 1, käyttämällä. 4 Muotoa αx (βx 2 +γx+θ) k olevat termit palautuvat sijoituksella t = x + β 2γ integraaliin x (x 2 + a) k = { 1 (2 2k)(x 2 +a) k 1, kun k 1, log x 2 + a, kun k = 1. 5 Muotoa α (βx 2 +γx+θ) k olevat termit voidaan integroida peräkkäisillä osittaisintegroinneilla käyttämällä kaavaa x 2 = arctan x.

116 ESIMERKKI: Määrätään x 5 + 2x x 7 + 2x 5 Integroitava lauseke on määritelty, kun x 7 + 2x 5 = x 5 (x 2 + 2) 0, eli kun x 0. Muodostetaan osamurtokehitelmä x 5 + 2x x 7 + 2x 5 = x5 + 2x x 5 (x 2 = 1 + 2) 2 + x x 5. Integroimalla termit erikseen, x 5 + 2x x 7 + 2x 5 = x x 5 = 1 2 arctan( x 2 ) 1 2x 4.

117 Varoituksen sana Vaikka jatkuvalla funktiolla on aina integraalifunktio(ita), niitä ei läheskään aina voi esittää suljetussa muodossa alkeisfunktioiden avulla.

118 Varoituksen sana Vaikka jatkuvalla funktiolla on aina integraalifunktio(ita), niitä ei läheskään aina voi esittää suljetussa muodossa alkeisfunktioiden avulla. Esimerkiksi funktioiden g(x) = e x2, f (x) = x r 1 e x, missä r ]0, [\N, g(x) = x tan x, integraalifunktiot eivät ole alkeisfunktioita.

119 Epäoleelliset integraalit: rajoittamaton funktio Olkoon f : [a, b] R sellainen, että kaikille a < c < b, funktio f on Riemann-integroituva yli välin [a, b]. Jos raja-arvo lim f (x) dx, c a + x=c on äärellisenä olemassa, niin epäoleellinen integraali suppenee, jolloin merkitään f (x) dx = lim f (x) dx. c a + x=c f (x) dx Muussa tapauksessa sanotaan, että epäoleellinen-integraali f (x) dx hajaantuu.

120 Epäoleelliset integraalit: rajoittamaton integrointiväli Olkoon a R ja f : [a, [ R integroituva yli välin [a, b] kaikille a < b <. Jos raja-arvo lim f (x) dx b on äärellisenä olemassa, niin sanotaan, että epäoleellinen Riemann-integraali f (x) dx suppenee, jolloin merkitään f (x) dx = lim b f (x) dx. Muussa tapauksessa sanotaan, että epäoleellinen integraali f (x) dx hajaantuu.

121 Epäoleelliset integraalit a x= f (x) dx x= f (x) dx, f (x) dx, missä f on integroituva yli välin [a, c] kaikille a < c < b, sekä näiden yhdistelmät määritellään vastaavalla tavalla.

122 ESIMERKKI: Olkoon h(x) = e x Huomataan, että kaikille 0 < b < on voimassa x=0 Kun b, niin e x dx = x=0 x=0 / b e x = 1 e b. e x dx 1. Siten epäoleellinen integraali x=0 e x dx suppenee ja x=0 e x dx = 1.

123 ESIMERKKI: Tarkastellaan epäoleellista integraalia 1 x=0 x α dx luvun α > 0 eri arvoilla. Kaikille 0 < c < 1, integraali { 1 1 c 1 α x α dx = 1 α, jos α 1, log(c), jos α = 1. x=c Siten { 1 lim h α (x) dx = c 0 + x=c 1 1 α, jos α < 1,, jos α 1. Epäoleellinen integraali siis suppenee jos ja vain jos α < 1, jolloin 1 x α dx = 1 1 α. x=0

124 Lause Suppenemisehtoja Olkoon f : [a, [ R ja g: [a, [ R integroituvia yli välin [a, b] kaikille a < b <. 1 Jos g(x) dx suppenee ja jos 0 f g, niin f (x) dx suppenee. f (x) 2 Jos lim x g(x) R \ {0}, niin f (x) dx suppenee f (x) 3 Jos lim x g(x) =, niin g(x) dx hajaantuu = g(x) dx suppenee. f (x) dx hajaantuu. HUOMAUTUS: Pätee myös muun tyyppisille epäoleellisille integraaleille.

125 Itseinen suppeneminen Epäoleellinen integraali f (x) dx (vast. a x= f (x) dx, f (x) dx, jne.) suppenee itseisesti, jos epäoleellinen integraali f (x) dx suppenee. Jos f (x) dx suppenee itseisesti, niin se suppenee. Suppeneva epäoleellinen integraali ei välttämättä suppene itseisesti. Esim. suppenee, mutta x=1 x=1 cos x x dx. cos x dx =. x

126 7. HARJOITUKSET ENSI VIIKOLLA HARJOITUSRYHMÄT VAIN MAANANTAINA JA KESKIVIIKKONA! TORSTAINA 28.2 EI HARJOITUSRYHMÄÄ!

127 Tentti 5.3 Kertaa harjoitustehtävät. Kertaustehtävät Nopassa (ei esimerkkiratkaisuja).

128 Tentti 5.3 Kertaa harjoitustehtävät. Kertaustehtävät Nopassa (ei esimerkkiratkaisuja). Kertaustehtävä: Alkaen Riemann-integraalin määritelmästä, esitä pääpiirteissään perustelu seuraavalle väitteelle Jos f : R [0, [ on jatkuva funktio F = f ja a < b, niin funktion f kuvaajan, suorien x = a ja x = b, sekä x-akselin väliin jäävän alueen pinta-ala on F(b) F(a).

129 Palautetta toivotaan!

Ville Suomala INTEGRAALI

Ville Suomala INTEGRAALI Ville Suomala INTEGRAALI Luentotiivistelmä kevät 2018 Aluksi Tämä on kurssin Integraali alustava luentomoniste/tiivistelmä. Klassisessa mielessä integroinnilla tarkoitetaan usein funktion kuvaajan alapuolelle

Lisätiedot

8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa

8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa 8 Potenssisarjoista 8. Määritelmä Olkoot a 0, a, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.. Muotoa a 0 + a (x c) + a 2 (x c) 2 + olevaa sarjaa sanotaan c-keskiseksi potenssisarjaksi. Selvästi jokainen

Lisätiedot

Analyysi 1. Harjoituksia lukuihin 4 7 / Syksy Tutki funktion f(x) = x 2 + x 2 jatkuvuutta pisteissä x = 0 ja x = 1.

Analyysi 1. Harjoituksia lukuihin 4 7 / Syksy Tutki funktion f(x) = x 2 + x 2 jatkuvuutta pisteissä x = 0 ja x = 1. Analyysi 1 Harjoituksia lukuihin 4 7 / Syksy 014 1. Tutki funktion x + x jatkuvuutta pisteissä x = 0 ja x = 1.. Määritä vakiot a ja b siten, että funktio a x cos x + b x + b sin x, kun x 0, x 4, kun x

Lisätiedot

Sinin jatkuvuus. Lemma. Seuraus. Seuraus. Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Sini on jatkuva funktio.

Sinin jatkuvuus. Lemma. Seuraus. Seuraus. Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Sini on jatkuva funktio. Sinin jatkuvuus Lemma Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Seuraus Sini on jatkuva funktio. Seuraus Kosini, tangentti ja kotangentti ovat jatkuvia funktioita. Pekka Salmi FUNK 19. syyskuuta 2016 22 / 53 Yhdistetyn

Lisätiedot

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 19.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo

Lisätiedot

5 Funktion jatkuvuus ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT Määritelmä ja perustuloksia

5 Funktion jatkuvuus ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT Määritelmä ja perustuloksia ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 2018 5 Funktion jatkuvuus 5.1 Määritelmä ja perustuloksia 1. Tarkastellaan väitettä a > 0: b > 0: c > 0: d U c (a): f(d) / U b (f(a)), missä a, b, c, d R. Mitä funktion

Lisätiedot

Johdatus reaalifunktioihin P, 5op

Johdatus reaalifunktioihin P, 5op Johdatus reaalifunktioihin 802161P, 5op Osa 2 Pekka Salmi 1. lokakuuta 2015 Pekka Salmi FUNK 1. lokakuuta 2015 1 / 55 Jatkuvuus ja raja-arvo Tavoitteet: ymmärtää raja-arvon ja jatkuvuuden määritelmät intuitiivisesti

Lisätiedot

1 Määrittelyjä ja aputuloksia

1 Määrittelyjä ja aputuloksia 1 Määrittelyjä ja aputuloksia 1.1 Supremum ja infimum Aluksi kerrataan pienimmän ylärajan (supremum) ja suurimman alarajan (infimum) perusominaisuuksia ja esitetään muutamia myöhemmissä todistuksissa tarvittavia

Lisätiedot

Funktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina.

Funktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Funktiot Tässä luvussa käsitellään reaaliakselin osajoukoissa määriteltyjä funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Avoin väli: ]a, b[ tai ]a, [ tai ],

Lisätiedot

Konvergenssilauseita

Konvergenssilauseita LUKU 4 Konvergenssilauseita Lause 4.1 (Monotonisen konvergenssin lause). Olkoon (f n ) kasvava jono Lebesgueintegroituvia funktioita. Asetetaan f(x) := f n (x). Jos f n

Lisätiedot

DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1. Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS

DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1. Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1 Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS Huomautus. Analyysin yksi keskeisimmistä käsitteistä on jatkuvuus! Olkoon A R mielivaltainen joukko

Lisätiedot

Analyysin peruslause

Analyysin peruslause LUKU 10 Analyysin peruslause 10.1. Peruslause I Aiemmin Cantorin funktion ψ kohdalla todettiin, että analyysin peruslause II ei päde: [0,1] ψ (x) dm(x) < ψ(1) ψ(0). Kasvavalle funktiolle analyysin peruslauseesta

Lisätiedot

4 Integrointimenetelmiä

4 Integrointimenetelmiä 4 Integrointimenetelmiä 4. Määräämätön integraali Määritelmä 4.. Olkoon funktio f jatkuva välillä I. Tällöin funktion f integraalifunktioiden (välillä I) joukkoa sanotaan funktion f määräämättömäksi integraaliksi

Lisätiedot

Johdantoa INTEGRAALILASKENTA, MAA9

Johdantoa INTEGRAALILASKENTA, MAA9 Lyhyehkö johdanto integraalilaskentaan. Johdantoa INTEGRAALILASKENTA, MAA9 Integraalilaskennan lähtökohta 1: Laskutoimitukset + ja ovat keskenään käänteisiä, samoin ja ovat käänteisiä, kunhan ei jaeta

Lisätiedot

Täydellisyysaksiooman kertaus

Täydellisyysaksiooman kertaus Täydellisyysaksiooman kertaus Luku M R on joukon A R yläraja, jos a M kaikille a A. Luku M R on joukon A R alaraja, jos a M kaikille a A. A on ylhäältä (vast. alhaalta) rajoitettu, jos sillä on jokin yläraja

Lisätiedot

1 sup- ja inf-esimerkkejä

1 sup- ja inf-esimerkkejä Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Nollakohdan olemassaolo. Kaikki tuntevat

Lisätiedot

JATKUVUUS. Funktio on jatkuva jos sen kuvaaja voidaan piirtää nostamatta kynää paperista.

JATKUVUUS. Funktio on jatkuva jos sen kuvaaja voidaan piirtää nostamatta kynää paperista. JATKUVAT FUNKTIOT JATKUVUUS Jatkuva funktio Epäjatkuva funktio Funktio on jatkuva jos sen kuvaaja voidaan piirtää nostamatta kynää paperista., suomennos Matti Pauna JATKUVUUS Jatkuva funktio Epäjatkuva

Lisätiedot

2 Funktion derivaatta

2 Funktion derivaatta ANALYYSI B, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 2018 2 Funktion derivaatta 1. Määritä derivaatan määritelmää käyttäen f (), kun (a), (b) 1 ( > 0). 2. Tutki, onko funktio sin(2) sin 1, kun 0, 2 0, kun = 0, derivoituva

Lisätiedot

saadaan kvanttorien järjestystä vaihtamalla ehto Tarkoittaako tämä ehto mitään järkevää ja jos, niin mitä?

saadaan kvanttorien järjestystä vaihtamalla ehto Tarkoittaako tämä ehto mitään järkevää ja jos, niin mitä? ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 208 4 Funktion raja-arvo 4 Määritelmä Funktion raja-arvon määritelmän ehdosta ε > 0: δ > 0: fx) A < ε aina, kun 0 < x a < δ, saadaan kvanttorien järjestystä vaihtamalla

Lisätiedot

Muuttujan vaihto. Viikon aiheet. Muuttujan vaihto. Muuttujan vaihto. ) pitää muistaa lausua t:n avulla. Integroimisen työkalut: Kun integraali

Muuttujan vaihto. Viikon aiheet. Muuttujan vaihto. Muuttujan vaihto. ) pitää muistaa lausua t:n avulla. Integroimisen työkalut: Kun integraali Viikon aiheet Integroimisen työkalut: Rationaalifunktioiden jako osamurtoihin Rekursio integraaleissa CDH: Luku 4, Prujut206: Luvut 4-4.2.5, Prujut2008: s. 89-6 Kun integraali h(x) ei näytä alkeisfunktioiden

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 2 Lisää osamurtoja Tutkitaan jälleen rationaalifunktion P(x)/Q(x) integrointia. Aiemmin käsittelimme tapauksen, jossa nimittäjä voidaan esittää muodossa Q(x) = a(x x

Lisätiedot

Analyysi 1. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Syksy Osoita täsmällisesti perustellen, että joukko A = x 4 ei ole ylhäältä rajoitettu.

Analyysi 1. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Syksy Osoita täsmällisesti perustellen, että joukko A = x 4 ei ole ylhäältä rajoitettu. Analyysi Harjoituksia lukuihin 3 / Syksy 204. Osoita täsmällisesti perustellen, että joukko { 2x A = x ]4, [. x 4 ei ole ylhäältä rajoitettu. 2. Anna jokin ylä- ja alaraja joukoille { x( x) A = x ], [,

Lisätiedot

Funktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot

Funktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot 3. Funktion raja-arvo ja jatkuvuus 3.1. Reaali- ja kompleksifunktiot 43. Olkoon f monotoninen ja rajoitettu välillä ]a,b[. Todista, että raja-arvot lim + f (x) ja lim x b f (x) ovat olemassa. Todista myös,

Lisätiedot

Funktiojonot ja funktiotermiset sarjat Funktiojono ja funktioterminen sarja Pisteittäinen ja tasainen suppeneminen

Funktiojonot ja funktiotermiset sarjat Funktiojono ja funktioterminen sarja Pisteittäinen ja tasainen suppeneminen 4. Funktiojonot ja funktiotermiset sarjat 4.1. Funktiojono ja funktioterminen sarja 60. Tutki, millä muuttujan R arvoilla funktiojono f k suppenee, kun Mikä on rajafunktio? a) f k () = 2k 2k + 1, b) f

Lisätiedot

1 sup- ja inf-esimerkkejä

1 sup- ja inf-esimerkkejä Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Kaarenpituus. Olkoon r: [a, b] R

Lisätiedot

4.3 Moniulotteinen Riemannin integraali

4.3 Moniulotteinen Riemannin integraali 4.3 Moniulotteinen Riemannin integraali Tässä luvussa opitaan miten integroidaan usean muuttujan reaaliarvoista tai vektoriarvoista funktiota, millaisten joukkojen yli jatkuvaa funktiota voi integroida,

Lisätiedot

Luku 4. Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia.

Luku 4. Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia. 1 MAT-1343 Laaja matematiikka 3 TTY 1 Risto Silvennoinen Luku 4 Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia Derivaatan olemassaolosta seuraa funktioille eräitä säännöllisyyksiä Näistä on jo edellisessä luvussa

Lisätiedot

Tehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: b) 0 e x + 1

Tehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: b) 0 e x + 1 Tehtävä : Tehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: a) a) x b) e x + Integraali voisi ratketa muuttujanvaihdolla. Integroitava on muotoa (a x ) n joten sopiva muuttujanvaihto voisi olla

Lisätiedot

1 Supremum ja infimum

1 Supremum ja infimum Pekka Alestalo, 2018 Tämä moniste täydentää reaalilukuja ja jatkuvia reaalifunktioita koskevaa kalvosarjaa lähinnä perustelujen ja todistusten osalta. Suurin osa määritelmistä jms. on esitetty jo kalvoissa,

Lisätiedot

5 Differentiaalilaskentaa

5 Differentiaalilaskentaa 5 Differentiaalilaskentaa 5.1 Raja-arvo Esimerkki 5.1. Rationaalifunktiota g(x) = x2 + x 2 x 1 ei ole määritelty nimittäjän nollakohdassa eli, kun x = 1. Funktio on kuitenkin määritelty kohdan x = 1 läheisyydessä.

Lisätiedot

0 kun x < 0, 1/3 kun 0 x < 1/4, 7/11 kun 1/4 x < 6/7, 1 kun x 1, 1 kun x 6/7,

0 kun x < 0, 1/3 kun 0 x < 1/4, 7/11 kun 1/4 x < 6/7, 1 kun x 1, 1 kun x 6/7, HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Todennäköisyyslaskenta II, syksy 07 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I. Mitkä seuraavista funktioista F, F, F ja F 4 ovat kertymäfunktioita? Mitkä niistä

Lisätiedot

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus Malliratkaisut (Sauli Lindberg)

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus Malliratkaisut (Sauli Lindberg) Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus 4 9.4.-23.4.200 Malliratkaisut (Sauli Lindberg). Näytä, että Lusinin lauseessa voidaan luopua oletuksesta m(a)

Lisätiedot

(b) = x cos x 1 ( cos x)dx. = x cos x + cos xdx. = sin x x cos x + C, C R.

(b) = x cos x 1 ( cos x)dx. = x cos x + cos xdx. = sin x x cos x + C, C R. Calculus Kurssikoe..7. Laske (a) x sin x, (b) x x + x. (a) Merkitään u(x) = x ja v (x) = sin x, jolloin u (x) =, v(x) = cos x ja osittaisintegroimalla saadaan x sin x = u(x)v (x) = u(x)v(x) u (x)v(x) =

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kertausluento 2. välikokeeseen Toisessa välikokeessa on syytä osata ainakin seuraavat asiat:. Potenssisarjojen suppenemissäde, suppenemisväli ja suppenemisjoukko. 2. Derivaatan

Lisätiedot

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3.

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3. Integraalilaskenta. a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. b) Mitä määrätty integraali tietyllä välillä x tarkoittaa? Vihje: * Integraali * Määrätyn integraalin

Lisätiedot

Integroimistekniikkaa Integraalifunktio

Integroimistekniikkaa Integraalifunktio . Integroimistekniikkaa.. Integraalifunktio 388. Vertaa funktioiden ln ja ln, b) arctan ja arctan + k k, c) ln( + 2 ja ln( 2, missä a >, derivaattoja toisiinsa. Tutki funktioiden erotusta muuttujan eri

Lisätiedot

LUKU 6. Mitalliset funktiot

LUKU 6. Mitalliset funktiot LUKU 6 Mitalliset funktiot Määritelmistä 3. ja 3.0 seuraa, että jokainen Lebesgue-integroituva funktio on porrasfunktiojonon raja-arvo melkein kaikkialla. Kuitenkin moni tuttu funktio ei ole Lebesgue-integroituva.

Lisätiedot

Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus:

Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus: . Koska F( ) on jokin funktion f ( ) integraalifunktio, niin a+ a f() t dt F( a+ t) F( a) ( a+ ) b( a b) Vastaus: Kertausharjoituksia. Lukujonot 87. + n + lim lim n n n n Vastaus: suppenee raja-arvona

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 2. viikolle /

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 2. viikolle / MS-A008 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/207 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 2. viikolle / 8. 2.4. Jatkuvuus ja raja-arvo Tehtävä : Määritä raja-arvot a) 3 + x, x Vihje: c)-kohdassa

Lisätiedot

Sarjat ja integraalit

Sarjat ja integraalit Sarjat ja integraalit Peter Hästö 1. huhtikuuta 2015 Matemaattisten tieteiden laitos Eteneminen pvm luku v 11 2.1, 2.2 v 12 2.3, 2.4 v 13 3.0, 3.1 v 14 3.2 v 15 4 v 16 5.1 v 17 5.2 v 18 6.1 v 19 6.2 Peter

Lisätiedot

Cantorin joukko LUKU 8

Cantorin joukko LUKU 8 LUKU 8 Cantorin joukko 8.. Cantorin 3 -joukko Merkitään J = J 0, = [0, ]. Poistetaan välin J keskeltä avoin väli I,, jonka pituus on /3; siis I, = (, 2). Olkoot jäljelle jäävät suljetut välit J 3 3, ja

Lisätiedot

MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1

MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Riikka Korte (Pekka Alestalon kalvojen pohjalta) Aalto-yliopisto 24.10.2016 Sisältö Derivaatta 1.1 Derivaatta Erilaisia lähestymistapoja: I geometrinen

Lisätiedot

H5 Malliratkaisut - Tehtävä 1

H5 Malliratkaisut - Tehtävä 1 H5 Malliratkaisut - Tehtävä Eelis Mielonen 30. syyskuuta 07 a) 3a (ax + b)3/ + C b) a cos(ax + b) + C a) Tässä tehtävässä päästään harjoittelemaan lukiosta tuttua integrointimenetelmää. Ensimmäisessä kohdassa

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 4: Derivaatta

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 4: Derivaatta MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 4: Derivaatta Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 21.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo

Lisätiedot

MS-A0107 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (CHEM)

MS-A0107 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (CHEM) MS-A17 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 CHEM) Laskuharjoitus 4lv, kevät 16 1. Tehtävä: Laske cos x dx a) osittaisintegroinnilla, b) soveltamalla sopivaa trigonometrian kaavaa. Ratkaisu: a) Osittaisintegroinnin

Lisätiedot

Yleisiä integroimissääntöjä

Yleisiä integroimissääntöjä INTEGRAALILASKENTA, MAA9 Yleisiä integroimissääntöjä Integroiminen eli annetun funktion f integraalifunktion F määrittäminen (löytäminen) on yleisesti haastavaa. Joskus joutuu jopa arvata tai kokeilla.

Lisätiedot

peitteestä voidaan valita äärellinen osapeite). Äärellisen monen nollajoukon yhdiste on nollajoukko.

peitteestä voidaan valita äärellinen osapeite). Äärellisen monen nollajoukon yhdiste on nollajoukko. Esimerkki 4.3.9. a) Piste on nollajoukko. Suoran rajoitetut osajoukot ovat avaruuden R m, m 2, nollajoukkoja. Samoin suorakaiteiden reunat koostuvat suoran kompakteista osajoukoista. b) Joukko = Q m [0,

Lisätiedot

Oletetaan, että funktio f on määritelty jollakin välillä ]x 0 δ, x 0 + δ[. Sen derivaatta pisteessä x 0 on

Oletetaan, että funktio f on määritelty jollakin välillä ]x 0 δ, x 0 + δ[. Sen derivaatta pisteessä x 0 on Derivaatta Erilaisia lähestymistapoja: geometrinen (käyrän tangentti sekanttien raja-asentona) fysikaalinen (ajasta riippuvan funktion hetkellinen muutosnopeus) 1 / 19 Derivaatan määritelmä Määritelmä

Lisätiedot

Vastausehdotukset analyysin sivuainekurssin syksyn välikokeeseen

Vastausehdotukset analyysin sivuainekurssin syksyn välikokeeseen Vastausehdotukset analyysin sivuainekurssin syksyn 015 1. välikokeeseen Heikki Korpela November 1, 015 1. Tehtävä: funktio f : R R toteuttaa ehdot ax, kun x 1 f(x) x + 1, kun x < 1 Tutki, millä vakion

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle /

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle / MS-A8 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/7 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 5. viikolle / 9..5. Integroimismenetelmät Tehtävä : Laske osittaisintegroinnin avulla a) π x sin(x) dx,

Lisätiedot

Funktiojonon tasainen suppeneminen

Funktiojonon tasainen suppeneminen TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Taina Saari Funktiojonon tasainen suppeneminen Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Elokuu 2009 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen

Lisätiedot

Reaaliluvut. tapauksessa metrisen avaruuden täydellisyyden kohdalla. 1 fi.wikipedia.org/wiki/reaaliluku 1 / 13

Reaaliluvut. tapauksessa metrisen avaruuden täydellisyyden kohdalla. 1 fi.wikipedia.org/wiki/reaaliluku 1 / 13 Reaaliluvut Reaalilukujen joukko R. Täsmällinen konstruointi palautuu rationaalilukuihin, jossa eri mahdollisuuksia: - Dedekindin leikkaukset - rationaaliset Cauchy-jonot - desimaaliapproksimaatiot. Reaalilukujen

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi 2

Matematiikan peruskurssi 2 Matematiikan peruskurssi Demonstraatiot III, 4.5..06. Mikä on funktion f suurin mahdollinen määrittelyjoukko, kun f(x) x? Mikä on silloin f:n arvojoukko? Etsi f:n käänteisfunktio f ja tarkista, että löytämäsi

Lisätiedot

integraali Integraalifunktio Kaavoja Integroimiskeinoja Aiheet Linkkejä Integraalifunktio Kaavoja Integroimiskeinoja Määrätty integraali

integraali Integraalifunktio Kaavoja Integroimiskeinoja Aiheet Linkkejä Integraalifunktio Kaavoja Integroimiskeinoja Määrätty integraali integraali 1 Matta-projekti(Aalto yliopisto): Integraali (http://matta.hut.fi/matta2/isom/html/isomli8.html ) Johdatus korkeakoulumatematiikkaan (Tampereen teknillinen korkeakoulu): Integraali (http://matwww.ee.tut.fi/jkkm/integraa/integ01.htm

Lisätiedot

HY, MTL / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIb, syksy 2017 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia

HY, MTL / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIb, syksy 2017 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia HY, MTL / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIb, syksy 07 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Osa tämän viikon tehtävistä ovat varsin haastavia, joten ei todellakaan

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 Väliarvolause Oletetaan, että funktio f on jatkuva jollain reaalilukuvälillä [a, b] ja derivoituva avoimella välillä (a, b). Funktion muutos tällä välillä on luonnollisesti

Lisätiedot

MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 8: Newtonin iteraatio. Taso- ja avaruusintegraalit

MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 8: Newtonin iteraatio. Taso- ja avaruusintegraalit MS-A25/MS-A26 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 8: Newtonin iteraatio. Taso- ja avaruusintegraalit Jarmo Malinen Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto Kevät 216 1 Perustuu

Lisätiedot

6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset

6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 51 6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt Määritelmä 6.1. Olkoon I R avoin väli. Olkoot p i : I R, i = 0, 1, 2,..., n, ja q : I R jatkuvia

Lisätiedot

Analyysi III. Jari Taskinen. 28. syyskuuta Luku 1

Analyysi III. Jari Taskinen. 28. syyskuuta Luku 1 Analyysi III Jari Taskinen 28. syyskuuta 2002 Luku Sisältö Sarjat 2. Lukujonoista........................... 2.2 Rekursiivisesti määritellyt lukujonot.............. 8.3 Sarja ja sen suppenminen....................

Lisätiedot

3. Reaalifunktioiden määräämätön integraali

3. Reaalifunktioiden määräämätön integraali 50 3. Reaalifunktioiden määräämätön integraali Integraalifunktio Derivoinnin käänteistoimituksena on vastata kysymykseen "Mikä on se funktio, jonka derivaatta on f?" Koska vakion derivaatta 0, havaitaan

Lisätiedot

13. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: = 1 + y x + ( y ) 2 (y )

13. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: = 1 + y x + ( y ) 2 (y ) MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Differentiaaliyhtälöt, kesä 00 Tehtävät 3-8 / Ratkaisuehdotuksia (RT).6.00 3. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: y = + y + y = + y + ( y ) (y

Lisätiedot

3 Lukujonon raja-arvo

3 Lukujonon raja-arvo ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 208 3 Lukujonon raja-arvo 3 Määritelmä Osoita, että 6n + 2n + 3 3 < 4 n ja määritä jokin sellainen n 0 Z +, että 6n + 2n + 3 3 < 0 87 aina, kun n > n 0 2 Olkoon x n

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 4 Jatkuvuus Jatkuvan funktion määritelmä Tarkastellaan funktiota f x) jossakin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jatkuva tai epäjatkuva. Jatkuvuuden

Lisätiedot

V. POTENSSISARJAT. V.1. Abelin lause ja potenssisarjan suppenemisväli. a k (x x 0 ) k M

V. POTENSSISARJAT. V.1. Abelin lause ja potenssisarjan suppenemisväli. a k (x x 0 ) k M V. POTENSSISARJAT Funtioterminen sarja V.. Abelin lause ja potenssisarjan suppenemisväli P a x x, missä a, a, a 2,... R ja x R ovat vaioita, on potenssisarja, jona ertoimet ovat luvut a, a,... ja ehitysesus

Lisätiedot

funktiojono. Funktiosarja f k a k (x x 0 ) k

funktiojono. Funktiosarja f k a k (x x 0 ) k SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 3 4. Funtiosarjat Tässä luvussa esitettävissä funtiosarjojen tulosissa yhdistämme luujen 3 teoriaa. Esimeri 4.. Geometrinen sarja x suppenee aiilla x ], [ ja hajaantuu

Lisätiedot

Vektorilaskenta Luennot / 42. Vektorilaskenta Napakoordinaatit

Vektorilaskenta Luennot / 42. Vektorilaskenta Napakoordinaatit Luennot 19.09.-21.09. 1 / 42 Määritelmä (1/3) Määritelmä (2/3) Määritelmä (3/3) 2 / 42 Määritelmä (1/3) Määritelmä (1/3) Määritelmä (2/3) Määritelmä (3/3) Tason pisteen P sijainti voidaan karteesisten

Lisätiedot

Lebesguen mitta ja integraali

Lebesguen mitta ja integraali Lebesguen mitta ja integraali Olkoon m Lebesguen mitta R n :ssä. R 1 :ssä vastaa pituutta, R 2 :ssa pinta-alaa, R 3 :ssa tilavuutta. Mitallinen joukko E R n = joukko jolla on järkevästi määrätty mitta

Lisätiedot

Derivaattaluvut ja Dini derivaatat

Derivaattaluvut ja Dini derivaatat Derivaattaluvut Dini derivaatat LuK-tutkielma Helmi Glumo 2434483 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Taustaa 2 2 Määritelmät 4 3 Esimerkkejä lauseita 7 Lähdeluettelo

Lisätiedot

Analyysi I (sivuaineopiskelijoille)

Analyysi I (sivuaineopiskelijoille) Analyysi I (sivuaineopiskelijoille) Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2017 Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentoruudut 19 1 of 18 Kahden muuttujan funktioista

Lisätiedot

1. Määritä funktion f : [ 1, 3], f (x)= x 3 3x, suurin ja pienin arvo.

1. Määritä funktion f : [ 1, 3], f (x)= x 3 3x, suurin ja pienin arvo. Matematiikan ja tilastotieteen laitos Differentiaalilaskenta, syksy 01 Lisätetävät Ratkaisut 1. Määritä funktion f : [ 1, 3], suurin ja pienin arvo. f (x)= x 3 3x, Ratkaisu. Funktio f on jatkuva suljetulla

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi 2

Matematiikan peruskurssi 2 Matematiikan peruskurssi Tentti, 9..06 Tentin kesto: h. Sallitut apuvälineet: kaavakokoelma ja laskin, joka ei kykene graaseen/symboliseen laskentaan Vastaa seuraavista viidestä tehtävästä neljään. Saat

Lisätiedot

k S P[ X µ kσ] 1 k 2.

k S P[ X µ kσ] 1 k 2. HY, MTL / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIb, syksy 28 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Osa tämän viikon tehtävistä ovat varsin haastavia, joten ei todellakaan

Lisätiedot

MS-A0104 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ELEC2) MS-A0106 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ENG2)

MS-A0104 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ELEC2) MS-A0106 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ENG2) MS-A4 Differentiaali- ja integraalilaskenta (ELEC2) MS-A6 Differentiaali- ja integraalilaskenta (ENG2) Harjoitukset 3L, syksy 27 Tehtävä. a) Määritä luvun π likiarvo käyttämällä Newtonin menetelmää yhtälölle

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 5: Taylor-polynomi ja sarja

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 5: Taylor-polynomi ja sarja MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 5: Taylor-polynomi ja sarja Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 26.9.2016 Pekka Alestalo,

Lisätiedot

reaalifunktioiden ominaisuutta, joiden perusteleminen on muita perustuloksia hankalampaa. Kalvoja täydentää erillinen moniste,

reaalifunktioiden ominaisuutta, joiden perusteleminen on muita perustuloksia hankalampaa. Kalvoja täydentää erillinen moniste, Reaaliluvuista Pekka Alestalo Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Nämä kalvot sisältävät tiivistelmän reaaliluvuista ja niihin liittyvistä käsitteistä.

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 10 1 Funktion monotonisuus Derivoituva funktio f on aidosti kasvava, jos sen derivaatta on positiivinen eli jos f (x) > 0. Funktio on aidosti vähenevä jos sen derivaatta

Lisätiedot

Kompleksianalyysi, viikko 6

Kompleksianalyysi, viikko 6 Kompleksianalyysi, viikko 6 Jukka Kemppainen Mathematics Division Funktion erikoispisteet Määr. 1 Jos f on analyyttinen pisteen z 0 aidossa ympäristössä 0 < z z 0 < r jollakin r > 0, niin sanotaan, että

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 9 Korkeamman asteen derivaatat Tutkitaan nyt funktiota f, jonka kaikki derivaatat on olemassa. Kuten tunnettua, funktion toista derivaattaa pisteessä x merkitään f (x).

Lisätiedot

Analyysi I (mat & til) Demonstraatio IX

Analyysi I (mat & til) Demonstraatio IX Analyysi I (mat & til) Demonstraatio IX 16.11. 2018 II välikoe 19.11. klo 9 salissa IX. Ilmoittaudu NettiOpsussa 12.11. mennessä. Koealue: Funktion raja-arvo, jatkuvuus ja Bolzanon lause, ts. kirjan luku

Lisätiedot

Sarjat ja differentiaaliyhtälöt

Sarjat ja differentiaaliyhtälöt Sarjat ja differentiaaliyhtälöt Johdanto Tämä luentomoniste on tarkoitettu korvaamaan luentomuistiinpanoja Sarjat ja differentiaaliyhtälöt-kurssilla. Tämä ei kuitenkaan ole oppikirja, mikä tarkoittaa sitä,

Lisätiedot

Luentoesimerkki: Riemannin integraali

Luentoesimerkki: Riemannin integraali Luentoesimerkki: Riemannin integraali Heikki Apiola, "New perpectives "-esitykseen lievästi muokattu Kurssi: Informaatioverkostot, keväällä Tässä (4..) käytetään "worksheet-modea", uudempaa "document mode"

Lisätiedot

Seurauksia. Seuraus. Seuraus. Jos asteen n polynomilla P on n erisuurta nollakohtaa x 1, x 2,..., x n, niin P on muotoa

Seurauksia. Seuraus. Seuraus. Jos asteen n polynomilla P on n erisuurta nollakohtaa x 1, x 2,..., x n, niin P on muotoa Seurauksia Seuraus Jos asteen n polynomilla P on n erisuurta nollakohtaa x 1, x 2,..., x n, niin P on muotoa P(x) = a n (x x 1 )(x x 2 )... (x x n ). Seuraus Astetta n olevalla polynomilla voi olla enintään

Lisätiedot

Määrätty integraali. Markus Helén. Mäntän lukio

Määrätty integraali. Markus Helén. Mäntän lukio Määrätty integraali Markus Helén Pinta-ala Monikulmio on tasokuvio, jota rajoittaa suljettu, itseään leikkaamaton murtoviiva. Monikulmio voidaan aina jakaa kolmioiksi. Alueen pinta-ala on näiden kolmioiden

Lisätiedot

Luku 2. Jatkuvien funktioiden ominaisuuksia.

Luku 2. Jatkuvien funktioiden ominaisuuksia. 1 MAT-1343 Laaja matematiikka 3 TTY 21 Risto Silvennoinen Luku 2. Jatkuvien funktioiden ominaisuuksia. Jatkossa väli I tarkoittaa jotakin seuraavista reaalilukuväleistä: ( ab, ) = { x a< x< b} = { x a

Lisätiedot

3.1 Väliarvolause. Funktion kasvaminen ja väheneminen

3.1 Väliarvolause. Funktion kasvaminen ja väheneminen Väliarvolause Funktion kasvaminen ja väheneminen LAUSE VÄLIARVOLAUSE Oletus: Funktio f on jatkuva suljetulla välillä I: a < x < b f on derivoituva välillä a < x < b Väite: On olemassa ainakin yksi välille

Lisätiedot

Ortogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle

Ortogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle Ortogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle Olkoon X sisätuloavaruus ja Y X äärellisulotteinen aliavaruus. Tällöin on olemassa lineaarisesti riippumattomat vektorit y 1, y 2,..., yn, jotka

Lisätiedot

MS-C1350 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Harjoitukset 5, syksy Mallivastaukset

MS-C1350 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Harjoitukset 5, syksy Mallivastaukset MS-C350 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Haroitukset 5, syksy 207. Oletetaan, että a > 0 a funktio u on yhtälön u a u = 0 ratkaisu. a Osoita, että funktio vx, t = u x, t toteuttaa yhtälön a v = 0. b Osoita,

Lisätiedot

1. Olkoon f :, Ratkaisu. Funktion f kuvaaja välillä [ 1, 3]. (b) Olkoonε>0. Valitaanδ=ε. Kun x 1 <δ, niin. = x+3 2 = x+1, 1< x<1+δ

1. Olkoon f :, Ratkaisu. Funktion f kuvaaja välillä [ 1, 3]. (b) Olkoonε>0. Valitaanδ=ε. Kun x 1 <δ, niin. = x+3 2 = x+1, 1< x<1+δ Matematiikan tilastotieteen laitos Differentiaalilaskenta, syksy 2015 Lisätehtävät 1 Ratkaisut 1. Olkoon f :, x+1, x 1, f (x)= x+3, x>1 Piirrä funktion kuvaa välillä [ 1, 3]. (a) Tutki ra-arvon (ε, δ)-määritelmän

Lisätiedot

Raja arvokäsitteen laajennuksia

Raja arvokäsitteen laajennuksia Raja arvokäsitteen laajennuksia Näitä ei ole oppikirjassa! Raja arvo äärettömyydessä: Raja arvo äärettömyydessä on luku, jota funktion arvot lähestyvät, kun muuttujan arvot kasvavat tai vähenevät rajatta.

Lisätiedot

Todista raja-arvon määritelmään perustuen seuraava lause: Jos lukujonolle a n pätee lima n = a ja lima n = b, niin a = b.

Todista raja-arvon määritelmään perustuen seuraava lause: Jos lukujonolle a n pätee lima n = a ja lima n = b, niin a = b. 2 Lukujonot 21 Lukujonon määritelmä 16 Fibonacci n luvut määritellään ehdoilla Osoita: 17 a 1 = a 2 = 1; a n+2 = a n+1 + a n, n N a n = 1 [( 1 + ) n ( 2 1 ) n ] 2 Olkoon a 1 = 3, a 2 = 6, a n+1 = 1 n (na

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi: kurssikerta 12

Matematiikan tukikurssi: kurssikerta 12 Matematiikan tukikurssi: kurssikerta 2 Tenttiin valmentavia harjoituksia Huomio. Tähän tulee lisää ratkaisuja sitä mukaan kun ehin niitä kirjoittaa. Kurssilla käyään läpi tehtävistä niin monta kuin mahollista.

Lisätiedot

7. Tasaisen rajoituksen periaate

7. Tasaisen rajoituksen periaate 18 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 7. Tasaisen rajoituksen periaate Täydellisyydestä puristetaan maksimaalinen hyöty seuraavan Bairen lauseen avulla. Bairen lause on keskeinen todistettaessa kahta funktionaalianalyysin

Lisätiedot

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY exp z., k = 1, 2,... Eksponenttifunktion z exp(z) Laurent-sarjan avulla

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY exp z., k = 1, 2,... Eksponenttifunktion z exp(z) Laurent-sarjan avulla KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 11. Integrointi erillisen erikoispisteen ympäri Olkoot f analyyttinen punkteeratussa kiekossa D(z 0.r\{z 0 }. Funktiolla f on erikoispiste z 0.

Lisätiedot

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 212 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 6.1. Poluista. 6. Kompleksinen integrointi Olkoon [α, β] suljettu reaaliakselin väli, α < β, ja olkoon A kompleksitason avoin joukko. Polku on

Lisätiedot

Tehtäväsarja I Tehtävät 1-5 perustuvat monisteen kappaleisiin ja tehtävä 6 kappaleeseen 2.8.

Tehtäväsarja I Tehtävät 1-5 perustuvat monisteen kappaleisiin ja tehtävä 6 kappaleeseen 2.8. HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIa, syksy 8 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Tehtävät -5 perustuvat monisteen kappaleisiin..7 ja tehtävä 6 kappaleeseen.8..

Lisätiedot

1.4 Funktion jatkuvuus

1.4 Funktion jatkuvuus 1.4 Funktion jatkuvuus Kun arkikielessä puhutaan jonkin asian jatkuvuudesta, mielletään asiassa olevan jonkinlaista yhtäjaksoisuutta, katkeamattomuutta. Tässä ei kuitenkaan käsitellä työasioita eikä ihmissuhteita,

Lisätiedot

13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista. Muodosta viidennen asteen Taylorin polynomi kehityskeskuksena origo funktiolle

13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista. Muodosta viidennen asteen Taylorin polynomi kehityskeskuksena origo funktiolle 13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista 13.1. Taylorin polynomi 552. Muodosta funktion f (x) = x 4 + 3x 3 + x 2 + 2x + 8 kaikki Taylorin polynomit T k (x, 2), k = 0,1,2,... (jolloin siis potenssien

Lisätiedot

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja

Lisätiedot