x j x k Tällöin L j (x k ) = 0, kun k j, ja L j (x j ) = 1. Alkuperäiselle interpolaatio-ongelmalle saadaan nyt ratkaisu

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "x j x k Tällöin L j (x k ) = 0, kun k j, ja L j (x j ) = 1. Alkuperäiselle interpolaatio-ongelmalle saadaan nyt ratkaisu"

Transkriptio

1 2 Interpolointi Olkoon annettuna n+1 eri pistettä x 0, x 1, x n R ja n+1 lukua y 0, y 1,, y n Interpoloinnissa etsitään funktiota P, joka annetuissa pisteissä x 0,, x n saa annetut arvot y 0,, y n, (21) P (x j ) = y j, 0 j n Myöhemmin tarkasteltavissa approksimointiongelmissa etsitään funktiota P, jolle virhe P (x j ) y j, 0 j n, on pieni Yksinkertaisimmassa lineaarisessa interpoloinnissa n = 1 ja etsitään funktiota P, joka kahdessa annetussa pisteessä x 0 ja x 1 saa annetut arvot y 0 ja y 1, ts jonka kuvaaja kulkee annettujen pisteiden (x 0, y 0 ) ja (x 1, y 1 ) kautta Eräs ratkaisu, luonnollisin, on näiden pisteiden kautta kulkeva suora, ts P (x) = y 1 y 0 x 1 x 0 (x x 0 ) + y 0 = y 1 (x x 0 ) x 1 x 0 + y 0 (x x 1 ) x 0 x 1 21 Lagrangen interpolaatiopolynomi [4, luku 5, AII], [11, 91], [12, luku 8], [7, 52 53], [5, luku IX, liite] Osoitetaan seuraavaksi, että interpolaatio-ongelma voidaan aina ratkaista polynomien avulla Osoitetaan aluksi, että on olemassa polynomi L j, joka pisteessä x j saa arvon yksi, ja arvon nolla muissa pisteissä x k, k j Tätä varten olkoon P j (x) := k j(x x k ) = (x x 0 ) (x x 1 ) (x x j 1 ) (x x j+1 ) (x x n ) Tällöin P j (x k ) = 0, kun k j, ja P j (x j ) = k j (x j x k ) 0, koska pisteet x k ovat keskenään erisuuria Asetetaan (22) L j (x) := P j(x) P j (x j ) = x x k x j x k k j Tällöin L j (x k ) = 0, kun k j, ja L j (x j ) = 1 Alkuperäiselle interpolaatio-ongelmalle saadaan nyt ratkaisu n (23) P (x) := y j L j (x) j=0 Tätä polynomia kutsutaan pisteiden (x 0, y 0 ),, (x n, y n ) määräämäksi Lagrangen interpolaatiopolynomiksi Koska jokaisen polynomin L j aste on n, on n + 1 pisteen määräämän Lagrangen interpolaatiopolynomin aste enintään n Osoitetaan seuraavaksi, että n + 1 pisteen interpolaatio-ongelmalla on ainoastaan yksi enintään astetta n oleva polynomiratkaisu Olkoot P ja Q polynomeja, joille deg P n ja P (x j ) = y j, kun 0 j n, sekä deg Q n ja Q(x j ) = y j, kun 0 j n Olkoon R := P Q Tällöin R on polynomi, jonka aste on enintään n ja joka saa arvon R(x j ) = P (x j ) Q(x j ) = y j y j = 0 n + 1 eri pisteessä Tämä on mahdollista vain, kun R(x) 0, ts P = Q Kirjataan edellisten päätelmien yhteenvetona 7 Viimeksi muutettu

2 Lause 21 Olkoot x 0, x 1, x n R keskenään erisuuria ja y 0, y 1,, y n R Tällöin on olemassa yksi ja vain yksi polynomi P siten, että deg P n ja P (x j ) = y j, kun 0 j n Huomautus 22 Edellisissä laskuissa, joilla määrättiin polynomit L j ja interpolaatio-ongelman ratkaiseva Lagrangen interpolaatiopolynomi P, käytettiin ainoastaan yhteen-, vähennys-, kerto- ja jakolaskua Näinollen vastaavat päättelyt voidaan tehdä, vaikka reaalilukujen kunnan R tilalla olisi mikä tahansa kunta F Siis: Olkoon F kunta, x 0, x 1, x n F keskenään erisuuria ja y 0, y 1,, y n F Tällöin on olemassa yksi ja vain yksi F-kertoiminen polynomi P siten, että deg P n ja P (x j ) = y j, kun 0 j n Kun tätä sovelletaan erityisesti äärelliseen kuntaan Z p = Z/p Z (p alkuluku, tai Galois n kuntaan F q, missä q = p d, p alkuluku ja d positiivinen kokonaisluku), saadaan menetelmä, jota voidaan käyttää salaisuuden jakamiseen Oletetaan, että alkio a 0 F pitäisi jakaa n + 1 henkilölle niin, että kaikki yhdessä pystyvät suureen a 0 selvittämään, mutta mikään enintään n henkilön osajoukko ei (muuten kuin käymällä läpi kaikki kunnan F alkiot) Tämä voidaan tehdä seuraavasti: Valitaan satunnaisesti n + 1 keskenään erisuurta, nollasta eroavaa alkiota x 0, x 1, x n F ja satunnaiset a 1,, a n F Asetetaan P (x) := a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0, ja y j := P (x j ), 0 j n Henkilölle j annetaan (x j, y j ) Kun kaikki tieto (x j, y j ), 0 j n, on käytettävissä, saadaan polynomi P selville Lagrangen interpolaatiopolynomina ja salattu suure a 0 = P (0) Harjoitustehtäväksi jää selvittää, miksi yhdenkin tiedon (x j, y j ) puuttuessa polynomia P ei saada selville Täsmällisemmin tätä voidaan lähestyä seuraavasti: Oletetaan, että (x j, y j ), 0 j n 1, on käytettävissä, mutta (x n, y n ) ei ole Jokaiselle c F olkoon Q c polynomi, jolle deg Q c n, Q c (x j ) = y j, kun 0 j n 1, ja Q c (0) = c Tässä siis interpolaatiodatan viimeisen parin (x n, y n ) tilalle on vaihdettu (0, c) Etsittyä polynomia P vastaa tapaus c = a 0 Koska n + 1 pisteen data määrää polynomin P yksikäsitteisesti, on P = Q a0, ja eri arvoja c F vastaavat polynomit Q c ovat eri polynomeja (onhan Q c (0) = c) Näin konstruoituja polynomeja Q c on siis täsmälleen yhtä monta kuin kunnassa F on alkioita Kun kunnan F alkioiden lukumäärä on riittävän iso, on polynomin P määrääminen puutteellisen datan avulla kuin neulan etsimistä heinäsuovasta Edellistä salaisuuden jakomentelmää on helppo muuntaa siten, että salaisuus a 0 F jaetaan n+1 henkilölle niin, että mikä tahansa k +1 henkilön ryhmä, k n, pystyy suureen a 0 selvittämään, mutta mikään pienempi osajoukko ei 22 Virheen arviointi Interpolointia voidaan käyttää myös annetun funktion likiarvojen määräämiseen seuraavasti: 8 Olkoot I R väli ja f : I R annettu 8 Interpolointi on aikoinaan syntynyt tarpeesta laskea hankalien funktioiden arvoja taulukkoarvojen (vrt [1]) väliin jäävissä pisteissä Jos min{x 0, x 1, x n } < x < max{x 0, x 1, x n }, on P (x) funktiolle f interpoloitu arvo, ja jos x [min{x 0, x 1, x n }, max{x 0, x 1, x n }], on P (x) funktiolle f extrapoloitu arvo 15

3 funktio Olkoot x 0, x 1, x n I keskenään erisuuria ja y j := f(x j ), 0 j n Soveltamalla Lagrangen interpolaatiomenetelmää pisteisiin (x j, y j ), 0 j n, saadaan polynomi P, jolle P (x j ) = f(x j ), 0 j n Kuinka suuri virhe tehdään, jos välillä I funktion f sijasta käytetään polynomia P, ts kuinka suuri on f(x) P (x)? Esimerkki 23 Olkoot f : [ 1, 1] R, f(x) := cos(π x) ja {x 0, x 1,, x 4 } = { 1, 1, 0, 1, 1} Tällöin {y , y 1,, y 4 } = {0, 1, 1, 1, 0} ja x4 49 x2 P (x) = Seuraavasta kuvasta ilmenee, että erotus f(x) P (x) on pieni ainakin osalla väliä [ 1, 1]: 16 1 cos(%pi*x) 18*x 4 /5-49*x 2 / Lause 24 Olkoot I R väli, x 0, x 1, x n I keskenään erisuuria ja f : I R C n+1 -funktio Olkoon P pisteiden (x j, f(x j )), 0 j n, määräämä Lagrangen interpolaatiopolynomi Tällöin jokaiselle x I on olemassa ξ x I siten, että 9 missä L(x) := f(x) P (x) = f (n+1) (ξ x ) (n + 1)! x L(x), n (x x k ) = (x x 0 ) (x x 1 ) (x x n ) k=0 Todistus Jos x on jokin pisteistä x j, häviävät väitetyn kaavan molemmt puolet Kiinnitetään piste x niin, että x x j kaikille j {0, 1,, n} Asetetaan F (t) := f(t) P (t) c L(t), missä luku c valitaan niin, että F (x) = 0, ts c := f(x) P (x) L(x) 9 Piste ξ x sijaitsee suppeimmalla pisteiden x, x 0, x 1, x n määräämällä välillä, ts min{x, x 0, x 1, x n } < ξ x < max{x, x 0, x 1, x n }

4 Interpolaatio-ominaisuuden nojalla kaikille j {0, 1,, n} on F (x j ) = f(x j ) P (x j ) c L(x j ) = 0 Soveltamalla Rollen lausetta pisteiden x, x 0, x 1, x n määräämiin n + 1 osaväliin nähdään, että derivaatalla F on nollakohta jokaiselle näistä osaväleistä, ts derivaatalla F on ainakin n+1 eri nollakohtaa pisteiden x, x 0, x 1, x n määräämällä välillä Toistamalla tämä päättely derivaatan F nollakohtien määräämiin n osaväliin nähdään, että toisella derivaatalla F on ainakin n eri nollakohtaa Induktiolla (jonka yksityiskohdat jätetään lukijan tehtäväksi) nähdään, että derivaatalla F (n+1) on ainakin yksi nollakohta pisteiden x, x 0, x 1, x n määräämällä välillä Olkoon ξ x jokin näistä nollakohdista Lasketaan funktion F kertaluvun n + 1 derivaatta tässä pisteessä Koska P on polynomi, jonka aste on enintään n, on P (n+1) (t) = 0 Polynomi L on astettta n + 1 ja sen johtava termi on x n+1, joten L (n+1) (t) = (n + 1)! Siis 0 = F (n+1) (ξ x ) = f (n+1) (ξ x ) P (n+1) (ξ x ) c L (n+1) (ξ x ) = f (n+1) (ξ x ) c (n + 1)! Kun tähän sijoitetaan vakion c arvo, saadaan f(x) P (x) = c L(x) = f (n+1) (ξ x ) (n + 1)! L(x) Esimerkki 25 Jatketaan edellisen esimerkin tarkastelua Funktion f kertaluvun n + 1 = 5 derivaatta on f (5) (x) = π 5 sin(π x) Polynomi L(x) = (x ) (x ) x (x 1 3 ) (x 1 2 ) = x (x2 1 9 ) (x2 1 4 ) Virheelle f(x) P (x) saadaan siis yläraja π5 L(x) Seuraavaan kuvaan on piirretty 5! virhe f(x) P (x) ja sen yläraja π5 L(x) välillä [ 1, 1]: 5! cos(%pi*x)-18*x 4 /5+49*x 2 /10-1 %pi 5 *x*(1/4-x 2 )*(x 2-1/9)/ x 23 Rungen ilmiö Olkoot f : I R jatkuva funktio ja P n pisteiden (x j, f(x j )), 0 j n, määräämä Lagrangen interpolaatiopolynomi (I R väli, x 0, x 1, x n I keskenään erisuuria) Kun n on iso ja pisteet x 0, x 1, x n I ovat tiheässä, voisi jatkuvuuden nojalla olettaa, että polynomin P n arvot ovat kaikkialla lähellä funktion f arvoja; pisteissä x 0, x 1, x n arvot ovat samat ja jatkuvuuden nojalla funktion f arvo pisteen x j

5 x Kuva 21 Rungen ilmiö funktiolle f(x) = 1 1+x 2 Kuvassa n = 16 lähellä ei poikkea paljoa arvosta f(x j ) = P n (x j ) Näin ei kuitenkaan ole Funktion differentioituus ei tässä auta lainkaan Esimerkiksi funktiolle f : R R, f(x) := x 2, välille I := [ 5, 5] ja pisteille x n,j := 5 + j 10, 0 j n, on n sup f(x) P n (x), kun n x I Tämä interpoloinnin ei-approksimointiominaisuus tunnetaan Rungen ilmiönä Huomaa, että tässä f on C -funktio 10 ja pisteet x n,j, 0 j n, ovat tasaväliset Todistuksen osalta katso [13, luku 6, 34] tai [5, luvun IX liite] 24 Newtonin interpolaatiomenetelmä Jos interpolointiin käytettyä pisteistöä (x 0, y 0 ),, (x n, y n ) laajennetaan, joudutaan Lagrangen interpolaatiopolynomin määräämiseksi tarvittavat polynomit P j ja L j laskemaan täysin uudestaan Newtonin interpolaatiomenetelmä ratkaisee saman interpolaatio-ongelman kuin Lagrangen interpolaatiopolynomi, mutta pisteistön laajentamisen suhteen Newtonin menetelmä on joustavampi Jos interpolaatiopisteitä on vain yksi, piste (x 0, y 0 ), interpolaatiopolynomi on vakiopolynomi N 0 (x) y 0 Jos interpolaatiopisteitä on kaksi, pisteet (x 0, y 0 ) ja (x 1, y 1 ), interpolaatiopolynomi on muotoa N 1 (x) = y 0 + a 1 (x x 0 ) Pisteessä x 0 polynomin N 1 arvo on y 0, ja jotta N 1 (x 1 ) = y 1, kertoimen a 1 on oltava (y 1 y 0 )/(x 1 x 0 ) Jos interpolaatiopisteistöön lisätään kolmas piste (x 2, y 2 ), interpolaatiopolynomi on muotoa N 2 (x) = y 0 + a 1 (x x 0 ) + a 2 (x x 0 ) (x x 1 ) Pisteissä x 0 ja x 1 polynomi N 2 saa arvot y 0 ja y 1, ja jotta N 2 (x 2 ) = y 2, kertoimen a 2 on oltava (y 2 y 0 a 1 (x 2 x 0 ))/((x 1 x 0 ) (x 2 x 1 )) 10 Itse asiassa f on vieläpä reaalianalyyttinen: sen Taylorin sarja minkä tahansa pisteen suhteen suppenee kohti funktiota f Jälkimmäisessä viitteessä [5, luvun IX liite] Rungen ilmiötä tarkastellaan kompleksianalyysin apuvälinein

6 19 Newtonin interpolaatiopolynomi pisteille (x 0, y 0 ),, (x n, y n ) on (24) N n (x) := a 0 + a 1 (x x 0 ) + a 2 (x x 0 ) (x x 1 ) + + a n (x x 0 ) (x x 1 ) (x x n 1 ) Kertoimet a 0, a 1, a 2,, a n määrätään seuraavan yhtälöryhmän mukaisesti: y 0 = a 0 y 1 = a 0 + a 1 (x 1 x 0 ) y 2 = a 0 + a 1 (x 2 x 0 ) + a 2 (x 2 x 0 ) (x 2 x 1 ) y n = a 0 + a 1 (x n x 0 ) + a 2 (x n x 0 ) (x n x 1 ) + + a n (x n x 0 ) (x n x 1 ) (x n x n 1 ) Tämän yhtälöryhmän lukemista helpottaa, sen n viimeistä riviä esitetään erotusosamäärinä y 0 = a 0 y 1 y 0 x 1 x 0 = a 1 y 2 y 0 x 2 x 0 = a 1 + a 2 (x 2 x 1 ) y n y 0 = a 1 + a 2 (x n x 1 ) + + a n (x n x 1 ) (x n x n 1 ) x n x 0 Yhtäpitävästi polynomin N n määräävät ehdot N n (x 0 ) = y 0 ja erotusosamääräpolynomi N n (x) y 0 x x 0 = a 1 + a 2 (x x 1 ) + + a n (x x 1 ) (x x n 1 ) =: Ñ n 1 (x), ts Ñn 1 on pisteisiin (x j, y j y 0 x j x 0 ), 1 j n, liittyvä Newtonin interpolaatiopolynomi Tämä mahdollistaa Newtonin interpolaatiopolynomin määräämisen rekursiivisesti Jos pisteet (x 0, y 0 ),, (x n, y n ) ovat tasaväliset, x j = x 0 +j h, voidaan yllä esitetty erotusosamääräkaavio täydentää seuraavasti: Merkitään y j := y j+1 y j, 2 y j := y j+1 y j,, 3 y j := 2 y j+1 2 y j, jne

7 20 Esitetään erotukset k y j kaaviona y 0 y 0 y 1 2 y 0 y 1 3 y 0 y 2 2 y 1 y 2 3 y 1 y 3 2 y 2 y 3 y n 1 y n 1 y n Tällöin a j = 1 j y j! h j 0 (todistus induktiolla/ht) Kun piste x esitetään muodossa x = x 0 + h ξ, vastaa väliä x 0 x x n väli 0 ξ n, ja x x j = h (ξ j) Siis (x x 0 )(x x 1 ) (x x j ) = ξ(ξ 1) (ξ j) h j+1 Newtonin interpolaatiopolynomi saa siis muodon ( ) ξ N n (x) = N n (x 0 + h ξ) = y 0 + y ( ξ 2 ) 2 y ( ) ξ n y 0 n Ks [4, luku 5, AII], [9, luku 6, 2], [10, luku 1, 1] Jos pisteet (x 0, y 0 ),, (x n, y n ) eivät ole tasaväliset, erotusosamäärille käytettävät merkinnät vaihtelevat paljon Jos kyse on funktion f arvojen y j = f(x j ) interpoloinnista, käytetään merkintöjä ([9, luku 6, 2]) f(x j, x j+1 ) = f(x j) f(x j+1 ) x j x j+1, f(x j, x j+1, x j+2 ) = f(x j, x j+1 ) f(x j+1, x j+2 ) x j x j+2, jne tai ([12, 23]) f[x j, x j+1 ] = f(x j) f(x j+1 ) x j x j+1, f[x j, x j+1, x j+2 ] = f[x j, x j+1 ] f[x j+1, x j+2 ] x j x j+2, jne Jos kyse on vain pisteistöstä (x 0, y 0 ),, (x n, y n ), käytetään merkintöjä (joissa tosin x-arvot eivät näy lainkaan) [y j, y j+1 ] = y j y j+1 x j x j+1, [y j, y j+1, y j+2 ] = [y j, y j+1 ] [y j+1, y j+2 ] x j x j+2, jne 25 Hermiten interpolaatiomenetelmä [9, luku 6, 2] Kun Lagrangen interpolaatiomenetelmässä määrätään usean eri pisteen kautta kulkeva polynomi, voidaan Taylorin polynomeja pitää yhden pisteen korkeamman kertaluvun interpolaationa Kurssilla Analyysi 3 [A3] Taylorin polynomeja tosin käsitellään enemmän approksimaatio-ominaisuuteensa nojaten, mutta ne voidaan määritellä seuraavastikin: Olkoon f välillä (a, b) n kertaa differentioituva funktio ja x 0 (a, b) Funktion f n Taylorin polynomi on enintään astetta n oleva polynomi T, jolle D k T (x 0 ) = D k f(x 0 ), kun 0 k n Hermiten interpolaatiopolynomi yhdistää Lagrangen interpolaatiopolynomin ja Taylorin polynomin omminaisuudet seuraavasti:

8 Olkoon annettuna n + 1 eri pistettä x 0, x 1, x n R ja jokaista pistettä x j kohti olkoon annettuna luku r j Z + ja luvut y j,d, 0 d r j 1 On määrättävä polynomi H siten, että (25) D d H(x j ) = y j,d, kun 0 d r j 1 ja 0 j n Tällaisen polynomin H konstruoimiseksi mentellään vastaavalla tavalla kuin Lagrangen interpolaatiopolynomin kohdalla Määrätään polynomit H j siten, että D d H j (x j ) = y j,d, kun 0 d r j 1, ja D d H j (x k ) = 0 kun k j Tällöin polynomilla H := n j=0 H j on vaaditut ominaisuudet Polynomit H j määräämiseksi asetetaan Q j (x) := k j(x x k ) r k 21 Olkoon P j (x) := a j,0 + a j,1 (x x j ) + +a j,2 (x x j ) a j,rj 1 (x x j ) r j 1 Tässä kertoimet a j,d määrätään niin, että vaadittu derivaattaehto toteutuu polynomille H j := P j Q j Koska Q j (x j ) = k j (x j x k ) r k 0 ja Pj (x j ) = a j,0, kerroin a j,0 määräytyy ehdosta a j,0 Q j (x j ) = y j,0 Oletetaan nyt, että kertoimet a j,0,, a j,d 1 on määrätty niin, että D c (P j Q j )(x j ) = y j,c, kun 0 c d 1 Koska D c P j (x j ) = c! a j,c, saadaan tulon derivoimiskaavalla 11 d 1 ( ) d D d (P j Q j )(x j ) = d! a j,d Q j (x j ) + D c P j (x j ) D d c Q j (x j ) c Koska tässä Q j (x j ) 0 ja D c P j (x j ) = c! a j,c, 0 c d 1, tunnetaan, voidaan kerroin a j,d määrätä niin, että D d (P j Q j )(x j ) = y j,d Edellisestä konstruktiosta käy ilmi, että polynomin H j aste on enintään r j 1 + k j r k = n k=0 r k 1 Vastaavaan tapaan kuin Lagrangen interpolaatiopolynomin voidaan osoittaa, että jos Hermiten interpolaatiopolynomille asetetaan lisäehto n deg H r k 1, niin ehdot (25) määräävät tällaisen polynomin yksikäsitteisesti k=0 Lause 26 Olkoot I R väli, x 0, x 1, x n I keskenään erisuuria Jokaiselle j {0,, n} olkoot r j Z +, r; = n k=0 r k 1, f : I R C r+1 -funktio ja c=0 y j,d := D d f(x j ), 0 d r j 1 Olkoon H arvojen (x j, y j,d ) määräämä Hermiten interpolaatiopolynomi 11 D d (f g)(x) = d c=0 ( d c) D c f(x) D d c g(x)

9 22 Tällöin jokaiselle x I on olemassa ξ x I siten, että f(x) P (x) = f (r+1) (ξ x ) n (x x k ) r k (r + 1)! Todistuksen osalta ks [9, luku 6, 2] k=0

Funktioiden approksimointi ja interpolointi

Funktioiden approksimointi ja interpolointi Funktioiden approksimointi ja interpolointi Keijo Ruotsalainen Division of Mathematics interpolaatio-ongelma 8 Eksponenttifunktion exp(x) interpolointi 3.5 Funktion e^{0.25x} \sin(x) interpolointi 7 3

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 6. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 6 () Numeeriset menetelmät / 33

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 6. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 6 () Numeeriset menetelmät / 33 Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 6 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 6 () Numeeriset menetelmät 4.4.2013 1 / 33 Luennon 6 sisältö Interpolointi ja approksimointi Polynomi-interpolaatio: Vandermonden

Lisätiedot

7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi

7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi 7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi Z p [x]/(m), missä m on polynomirenkaan Z p [x] jaoton polynomi (ks. määritelmä 3.19).

Lisätiedot

k=0 saanto jokaisen kolmannen asteen polynomin. Tukipisteet on talloin valittu

k=0 saanto jokaisen kolmannen asteen polynomin. Tukipisteet on talloin valittu LIS AYKSI A kirjaan Reaalimuuttujan analyysi 1.6. Numeerinen integrointi: Gaussin kaavat Edella kasitellyt numeerisen integroinnin kaavat eli kvadratuurikaavat Riemannin summa, puolisuunnikassaanto ja

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät

Numeeriset menetelmät Numeeriset menetelmät Luento 7 Ti 27.9.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 7 Ti 27.9.2011 p. 1/39 p. 1/39 Interpolointi Ei tunneta funktion f : R R lauseketta, mutta tiedetään funktion

Lisätiedot

6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset

6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 51 6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt Määritelmä 6.1. Olkoon I R avoin väli. Olkoot p i : I R, i = 0, 1, 2,..., n, ja q : I R jatkuvia

Lisätiedot

Epälineaaristen yhtälöiden ratkaisumenetelmät

Epälineaaristen yhtälöiden ratkaisumenetelmät Epälineaaristen yhtälöiden ratkaisumenetelmät Keijo Ruotsalainen Division of Mathematics Perusoletus Lause 3.1 Olkoon f : [a, b] R jatkuva funktio siten, että f(a)f(b) < 0. Tällöin funktiolla on ainakin

Lisätiedot

1 Määrittelyjä ja aputuloksia

1 Määrittelyjä ja aputuloksia 1 Määrittelyjä ja aputuloksia 1.1 Supremum ja infimum Aluksi kerrataan pienimmän ylärajan (supremum) ja suurimman alarajan (infimum) perusominaisuuksia ja esitetään muutamia myöhemmissä todistuksissa tarvittavia

Lisätiedot

Numeerinen integrointi ja derivointi

Numeerinen integrointi ja derivointi Numeerinen integrointi ja derivointi Keijo Ruotsalainen Division of Mathematics Interpolaatiokaavat Approksimoitava integraali I = b a f(x)dx. Tasavälinen hila: x i = a+ (b a)i n, i = 0,...,n Funktion

Lisätiedot

on Abelin ryhmä kertolaskun suhteen. Tämän joukon alkioiden lukumäärää merkitään

on Abelin ryhmä kertolaskun suhteen. Tämän joukon alkioiden lukumäärää merkitään 5. Primitiivinen alkio 5.1. Täydennystä lukuteoriaan. Olkoon n Z, n 2. Palautettakoon mieleen, että kokonaislukujen jäännösluokkarenkaan kääntyvien alkioiden muodostama osajoukko Z n := {x Z n x on kääntyvä}

Lisätiedot

Mitään muita operaatioita symbolille ei ole määritelty! < a kaikilla kokonaisluvuilla a, + a = kaikilla kokonaisluvuilla a.

Mitään muita operaatioita symbolille ei ole määritelty! < a kaikilla kokonaisluvuilla a, + a = kaikilla kokonaisluvuilla a. Polynomit Tarkastelemme polynomirenkaiden teoriaa ja polynomiyhtälöiden ratkaisemista. Algebrassa on tapana pitää erillään polynomin ja polynomifunktion käsitteet. Polynomit Tarkastelemme polynomirenkaiden

Lisätiedot

5 Differentiaalilaskentaa

5 Differentiaalilaskentaa 5 Differentiaalilaskentaa 5.1 Raja-arvo Esimerkki 5.1. Rationaalifunktiota g(x) = x2 + x 2 x 1 ei ole määritelty nimittäjän nollakohdassa eli, kun x = 1. Funktio on kuitenkin määritelty kohdan x = 1 läheisyydessä.

Lisätiedot

13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista. Muodosta viidennen asteen Taylorin polynomi kehityskeskuksena origo funktiolle

13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista. Muodosta viidennen asteen Taylorin polynomi kehityskeskuksena origo funktiolle 13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista 13.1. Taylorin polynomi 552. Muodosta funktion f (x) = x 4 + 3x 3 + x 2 + 2x + 8 kaikki Taylorin polynomit T k (x, 2), k = 0,1,2,... (jolloin siis potenssien

Lisätiedot

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Kotitehtävät, tammikuu 2011 Vaikeampi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisut (w, x, y, z)

Lisätiedot

Reaalilukuvälit, leikkaus ja unioni (1/2)

Reaalilukuvälit, leikkaus ja unioni (1/2) Luvut Luonnolliset luvut N = {0, 1, 2, 3,... } Kokonaisluvut Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,... } Rationaaliluvut (jaksolliset desimaaliluvut) Q = {m/n m, n Z, n 0} Irrationaaliluvut eli jaksottomat desimaaliluvut

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 12. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 12 () Numeeriset menetelmät / 33

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 12. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 12 () Numeeriset menetelmät / 33 Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 12 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 12 () Numeeriset menetelmät 25.4.2013 1 / 33 Luennon 2 sisältö Tavallisten differentiaaliyhtälöiden numeriikasta Rungen

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät

Numeeriset menetelmät Numeeriset menetelmät Luento 8 To 29.9.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 8 To 29.9.2011 p. 1/36 p. 1/36 Interpolointi kuutiosplinillä Osavälit: I i = [t i 1,t i ], i = 1,2,...,n

Lisätiedot

1 sup- ja inf-esimerkkejä

1 sup- ja inf-esimerkkejä Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Nollakohdan olemassaolo. Kaikki tuntevat

Lisätiedot

Seurauksia. Seuraus. Seuraus. Jos asteen n polynomilla P on n erisuurta nollakohtaa x 1, x 2,..., x n, niin P on muotoa

Seurauksia. Seuraus. Seuraus. Jos asteen n polynomilla P on n erisuurta nollakohtaa x 1, x 2,..., x n, niin P on muotoa Seurauksia Seuraus Jos asteen n polynomilla P on n erisuurta nollakohtaa x 1, x 2,..., x n, niin P on muotoa P(x) = a n (x x 1 )(x x 2 )... (x x n ). Seuraus Astetta n olevalla polynomilla voi olla enintään

Lisätiedot

3.1 Väliarvolause. Funktion kasvaminen ja väheneminen

3.1 Väliarvolause. Funktion kasvaminen ja väheneminen Väliarvolause Funktion kasvaminen ja väheneminen LAUSE VÄLIARVOLAUSE Oletus: Funktio f on jatkuva suljetulla välillä I: a < x < b f on derivoituva välillä a < x < b Väite: On olemassa ainakin yksi välille

Lisätiedot

8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa

8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa 8 Potenssisarjoista 8. Määritelmä Olkoot a 0, a, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.. Muotoa a 0 + a (x c) + a 2 (x c) 2 + olevaa sarjaa sanotaan c-keskiseksi potenssisarjaksi. Selvästi jokainen

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kertausluento 2. välikokeeseen Toisessa välikokeessa on syytä osata ainakin seuraavat asiat:. Potenssisarjojen suppenemissäde, suppenemisväli ja suppenemisjoukko. 2. Derivaatan

Lisätiedot

Ortogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle

Ortogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle Ortogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle Olkoon X sisätuloavaruus ja Y X äärellisulotteinen aliavaruus. Tällöin on olemassa lineaarisesti riippumattomat vektorit y 1, y 2,..., yn, jotka

Lisätiedot

Ratkaisuehdotus 2. kurssikoe

Ratkaisuehdotus 2. kurssikoe Ratkaisuehdotus 2. kurssikoe 4.2.202 Huomioitavaa: - Tässä ratkaisuehdotuksessa olen pyrkinyt mainitsemaan lauseen, johon kulloinenkin päätelmä vetoaa. Näin opiskelijan on helpompi jäljittää teoreettinen

Lisätiedot

Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos:

Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos: 8 Kanta Tässä luvussa tarkastellaan aliavaruuden virittäjävektoreita, jotka muodostavat lineaarisesti riippumattoman jonon. Merkintöjen helpottamiseksi oletetaan luvussa koko ajan, että W on vektoreiden

Lisätiedot

Harjoituskokeiden ratkaisut Painoon mennyt versio.

Harjoituskokeiden ratkaisut Painoon mennyt versio. Harjoituskokeiden ratkaisut 8.6.7 Painoon mennyt versio. PYRAMIDI NUMEERISIA JA ALGEBRALLISIA MENETELMIÄ RATKAISUT, HARJOITUSKOE SIVU.7.7 Koe a) i) =,, = kpl ii) 9,876 =,9876,99 = 9,9 iii),66,66 =,7 =,7

Lisätiedot

n. asteen polynomilla on enintään n nollakohtaa ja enintään n - 1 ääriarvokohtaa.

n. asteen polynomilla on enintään n nollakohtaa ja enintään n - 1 ääriarvokohtaa. MAA 12 kertaus Funktion kuvaaja n. asteen polynomilla on enintään n nollakohtaa ja enintään n - 1 ääriarvokohtaa. Funktion nollakohta on piste, jossa f () = 0, eli kuvaaja leikkaa -akselin. Kuvaajan avulla

Lisätiedot

4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio

4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio 4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Tutkitaan yhtälöiden ratkaisuja piirtämällä funktioiden f(x) = x, f(x) = x 3, f(x) = x 4 ja f(x) = x 5 kuvaajat. Näin nähdään, monessako

Lisätiedot

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja

Lisätiedot

ja jäännösluokkien joukkoa

ja jäännösluokkien joukkoa 3. Polynomien jäännösluokkarenkaat Olkoon F kunta, ja olkoon m F[x]. Polynomeille f, g F [x] määritellään kongruenssi(-relaatio) asettamalla g f mod m : m g f g = f + m h jollekin h F [x]. Kongruenssi

Lisätiedot

Konvergenssilauseita

Konvergenssilauseita LUKU 4 Konvergenssilauseita Lause 4.1 (Monotonisen konvergenssin lause). Olkoon (f n ) kasvava jono Lebesgueintegroituvia funktioita. Asetetaan f(x) := f n (x). Jos f n

Lisätiedot

Epälineaaristen yhtälöiden ratkaisumenetelmät

Epälineaaristen yhtälöiden ratkaisumenetelmät Epälineaaristen yhtälöiden ratkaisumenetelmät Keijo Ruotsalainen Division of Mathematics Perusoletus Lause 3.1 Olkoon f : [a, b] R jatkuva funktio siten, että f(a)f(b) < 0. Tällöin funktiolla on ainakin

Lisätiedot

Analyysi 1. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Syksy Osoita täsmällisesti perustellen, että joukko A = x 4 ei ole ylhäältä rajoitettu.

Analyysi 1. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Syksy Osoita täsmällisesti perustellen, että joukko A = x 4 ei ole ylhäältä rajoitettu. Analyysi Harjoituksia lukuihin 3 / Syksy 204. Osoita täsmällisesti perustellen, että joukko { 2x A = x ]4, [. x 4 ei ole ylhäältä rajoitettu. 2. Anna jokin ylä- ja alaraja joukoille { x( x) A = x ], [,

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi (MATY020) Harjoitus 10 to

Matematiikan peruskurssi (MATY020) Harjoitus 10 to Matematiikan peruskurssi (MATY00) Harjoitus 10 to 6.3.009 1. Määrää funktion f(x, y) = x 3 y (x + 1) kaikki ensimmäisen ja toisen kertaluvun osittaisderivaatat. Ratkaisu. Koska f(x, y) = x 3 y x x 1, niin

Lisätiedot

d Z + 17 Viimeksi muutettu

d Z + 17 Viimeksi muutettu 5. Diffien ja Hellmanin avaintenvaihto Miten on mahdollista välittää salatun viestin avaamiseen tarkoitettu avain Internetin kaltaisen avoimen liikennöintiväylän kautta? Kuka tahansahan voi (ainakin periaatteessa)

Lisätiedot

koska 2 toteuttaa rationaalikertoimisen yhtälön x 2 2 = 0. Laajennuskunnan

koska 2 toteuttaa rationaalikertoimisen yhtälön x 2 2 = 0. Laajennuskunnan 4. Äärellisten kuntien yleisiä ominaisuuksia 4.1. Laajenuskunnat. Tarkastellaan aluksi yleistä kuntaparia F ja K, missä F on kunnan K alikunta. Tällöin sanotaan, että kunta K on kunnan F laajennuskunta

Lisätiedot

Oletetaan, että funktio f on määritelty jollakin välillä ]x 0 δ, x 0 + δ[. Sen derivaatta pisteessä x 0 on

Oletetaan, että funktio f on määritelty jollakin välillä ]x 0 δ, x 0 + δ[. Sen derivaatta pisteessä x 0 on Derivaatta Erilaisia lähestymistapoja: geometrinen (käyrän tangentti sekanttien raja-asentona) fysikaalinen (ajasta riippuvan funktion hetkellinen muutosnopeus) 1 / 19 Derivaatan määritelmä Määritelmä

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 8. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 8 () Numeeriset menetelmät / 35

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 8. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 8 () Numeeriset menetelmät / 35 Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 8 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 8 () Numeeriset menetelmät 11.4.2013 1 / 35 Luennon 8 sisältö Interpolointi ja approksimointi Funktion approksimointi Tasainen

Lisätiedot

1 Peruslaskuvalmiudet

1 Peruslaskuvalmiudet 1 Peruslaskuvalmiudet 11 Lukujoukot N {1,, 3, 4,} on luonnollisten lukujen joukko (0 mukana, jos tarvitaan), Z {, 3,, 1, 0, 1,, 3,} on kokonaislukujen joukko, Q m n : m, n Z, n 0 on rationaalilukujen joukko,

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 2. viikolle /

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 2. viikolle / MS-A008 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/207 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 2. viikolle / 8. 2.4. Jatkuvuus ja raja-arvo Tehtävä : Määritä raja-arvot a) 3 + x, x Vihje: c)-kohdassa

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät

Numeeriset menetelmät Numeeriset menetelmät Luento 10 To 6.10.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 10 To 6.10.2011 p. 1/35 p. 1/35 Numeerinen integrointi Puolisuunnikassääntö b a f(x)dx = h 2 (f 0 + f

Lisätiedot

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus

Lisätiedot

1 sup- ja inf-esimerkkejä

1 sup- ja inf-esimerkkejä Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Kaarenpituus. Olkoon r: [a, b] R

Lisätiedot

x 0 x 1 x 2... x n y 0 y 1 y 2... y n Taulukko 1:

x 0 x 1 x 2... x n y 0 y 1 y 2... y n Taulukko 1: [?, Luku 10], interpolaatio.tex 6.7.04 1 Interpolaatio Olkoon annettu taulukko x 0 x 1 x 2... x n y 0 y 1 y 2... y n Taulukko 1: Voidaan ajatella, että kyse on annetun funktion taulukoiduista arvoista

Lisätiedot

Reaaliluvut. tapauksessa metrisen avaruuden täydellisyyden kohdalla. 1 fi.wikipedia.org/wiki/reaaliluku 1 / 13

Reaaliluvut. tapauksessa metrisen avaruuden täydellisyyden kohdalla. 1 fi.wikipedia.org/wiki/reaaliluku 1 / 13 Reaaliluvut Reaalilukujen joukko R. Täsmällinen konstruointi palautuu rationaalilukuihin, jossa eri mahdollisuuksia: - Dedekindin leikkaukset - rationaaliset Cauchy-jonot - desimaaliapproksimaatiot. Reaalilukujen

Lisätiedot

Luento 9: Yhtälörajoitukset optimoinnissa

Luento 9: Yhtälörajoitukset optimoinnissa Luento 9: Yhtälörajoitukset optimoinnissa Lagrangen kerroin Oletetaan aluksi, että f, g : R R. Merkitään (x 1, x ) := (x, y) ja johdetaan Lagrangen kerroin λ tehtävälle min f(x, y) s.t. g(x, y) = 0 Olkoon

Lisätiedot

Luku 4. Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia.

Luku 4. Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia. 1 MAT-1343 Laaja matematiikka 3 TTY 1 Risto Silvennoinen Luku 4 Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia Derivaatan olemassaolosta seuraa funktioille eräitä säännöllisyyksiä Näistä on jo edellisessä luvussa

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 4: Derivaatta

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 4: Derivaatta MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 4: Derivaatta Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 21.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo

Lisätiedot

Harjoitus 7 -- Ratkaisut

Harjoitus 7 -- Ratkaisut Harjoitus 7 -- Ratkaisut 1 Solve osaa ratkaista polynomiyhtälöitä, ainakin astelukuun 4 asti. Erikoistapauksissa korkeammankin asteen yhtälöt ratkeavat. Clear a, b, c, d, e, x ; Solve a x 3 b x 2 c 0,

Lisätiedot

R 1 = Q 2 R 2 + R 3,. (2.1) R l 2 = Q l 1 R l 1 + R l,

R 1 = Q 2 R 2 + R 3,. (2.1) R l 2 = Q l 1 R l 1 + R l, 2. Laajennettu Eukleideen algoritmi Määritelmä 2.1. Olkoot F kunta ja A, B, C, D F [x]. Sanotaan, että C jakaa A:n (tai C on A:n jakaja), jos on olemassa K F [x] siten, että A = K C; tällöin merkitään

Lisätiedot

Cantorin joukko LUKU 8

Cantorin joukko LUKU 8 LUKU 8 Cantorin joukko 8.. Cantorin 3 -joukko Merkitään J = J 0, = [0, ]. Poistetaan välin J keskeltä avoin väli I,, jonka pituus on /3; siis I, = (, 2). Olkoot jäljelle jäävät suljetut välit J 3 3, ja

Lisätiedot

MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 6 Maanantai

MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 6 Maanantai . (Teht. s. 93.) Määrää raja-arvo MATP53 Approbatur B Harjoitus 6 Maanantai 7..5 cos x x. Ratkaisu. Suora sijoitus antaa epämääräisen muodon (ei auta). Laventamalla päädytään muotoon ja päästään käyttämään

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät

Numeeriset menetelmät Numeeriset menetelmät Luento 6 To 22.9.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 6 To 22.9.2011 p. 1/38 p. 1/38 Ominaisarvotehtävät Monet sovellukset johtavat ominaisarvotehtäviin Yksi

Lisätiedot

min x x2 2 x 1 + x 2 1 = 0 (1) 2x1 1, h = f = 4x 2 2x1 + v = 0 4x 2 + v = 0 min x x3 2 x1 = ± v/3 = ±a x 2 = ± v/3 = ±a, a > 0 0 6x 2

min x x2 2 x 1 + x 2 1 = 0 (1) 2x1 1, h = f = 4x 2 2x1 + v = 0 4x 2 + v = 0 min x x3 2 x1 = ± v/3 = ±a x 2 = ± v/3 = ±a, a > 0 0 6x 2 TEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemianalyysin laboratorio Mat-39 Optimointioppi Kimmo Berg 6 harjoitus - ratkaisut min x + x x + x = () x f = 4x, h = x 4x + v = { { x + v = 4x + v = x = v/ x = v/4 () v/ v/4

Lisätiedot

Numeerinen analyysi Harjoitus 3 / Kevät 2017

Numeerinen analyysi Harjoitus 3 / Kevät 2017 Numeerinen analyysi Harjoitus 3 / Kevät 2017 Palautus viimeistään perjantaina 17.3. Tehtävä 1: Tarkastellaan funktion f(x) = x evaluoimista välillä x [2.0, 2.3]. Muodosta interpoloiva polynomi p 3 (x),

Lisätiedot

Analyysi 1. Harjoituksia lukuihin 4 7 / Syksy Tutki funktion f(x) = x 2 + x 2 jatkuvuutta pisteissä x = 0 ja x = 1.

Analyysi 1. Harjoituksia lukuihin 4 7 / Syksy Tutki funktion f(x) = x 2 + x 2 jatkuvuutta pisteissä x = 0 ja x = 1. Analyysi 1 Harjoituksia lukuihin 4 7 / Syksy 014 1. Tutki funktion x + x jatkuvuutta pisteissä x = 0 ja x = 1.. Määritä vakiot a ja b siten, että funktio a x cos x + b x + b sin x, kun x 0, x 4, kun x

Lisätiedot

MS-A0104 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ELEC2) MS-A0106 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ENG2)

MS-A0104 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ELEC2) MS-A0106 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ENG2) MS-A4 Differentiaali- ja integraalilaskenta (ELEC2) MS-A6 Differentiaali- ja integraalilaskenta (ENG2) Harjoitukset 3L, syksy 27 Tehtävä. a) Määritä luvun π likiarvo käyttämällä Newtonin menetelmää yhtälölle

Lisätiedot

MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1

MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Riikka Korte (Pekka Alestalon kalvojen pohjalta) Aalto-yliopisto 24.10.2016 Sisältö Derivaatta 1.1 Derivaatta Erilaisia lähestymistapoja: I geometrinen

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 5: Taylor-polynomi ja sarja

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 5: Taylor-polynomi ja sarja MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 5: Taylor-polynomi ja sarja Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 26.9.2016 Pekka Alestalo,

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 10 1 Funktion monotonisuus Derivoituva funktio f on aidosti kasvava, jos sen derivaatta on positiivinen eli jos f (x) > 0. Funktio on aidosti vähenevä jos sen derivaatta

Lisätiedot

MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 7: Pienimmän neliösumman menetelmä ja Newtonin menetelmä.

MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 7: Pienimmän neliösumman menetelmä ja Newtonin menetelmä. MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 7: Pienimmän neliösumman menetelmä ja Newtonin menetelmä. Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kevät 2016

Lisätiedot

Tenttiin valmentavia harjoituksia

Tenttiin valmentavia harjoituksia Tenttiin valmentavia harjoituksia Alla olevissa harjoituksissa suluissa oleva sivunumero viittaa Juha Partasen kurssimonisteen siihen sivuun, jolta löytyy apua tehtävän ratkaisuun. Funktiot Harjoitus.

Lisätiedot

Tee kokeen yläreunaan pisteytysruudukko. Valitse kuusi tehtävää seuraavista kahdeksasta. Perustele vastauksesi!

Tee kokeen yläreunaan pisteytysruudukko. Valitse kuusi tehtävää seuraavista kahdeksasta. Perustele vastauksesi! MAA Loppukoe 70 Jussi Tyni Tee pisteytysruudukko konseptin yläreunaan! Vastauksiin välivaiheet, jotka perustelevat vastauksesi! Lue ohjeet huolellisesti! Tee kokeen yläreunaan pisteytysruudukko Valitse

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät

Numeeriset menetelmät Numeeriset menetelmät Luento 11 Ti 11.10.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 11 Ti 11.10.2011 p. 1/34 p. 1/34 Automaattiset integrointialgoritmit Numeerisen integroinnin tarkkuuteen

Lisätiedot

Epäyhtälöt 1/7 Sisältö ESITIEDOT: yhtälöt

Epäyhtälöt 1/7 Sisältö ESITIEDOT: yhtälöt Epäyhtälöt 1/7 Sisältö Epäyhtälö Epäyhtälöllä tarkoitetaan ehtoa, missä kahdesta lausekkeesta toinen on suurempi tai mahdollisesti yhtä suuri kuin toinen: f(x) < g(x), f(x) g(x).merkit voidaan luonnollisesti

Lisätiedot

Tehtävä 1. Arvioi mitkä seuraavista väitteistä pitävät paikkansa. Vihje: voit aloittaa kokeilemalla sopivia lukuarvoja.

Tehtävä 1. Arvioi mitkä seuraavista väitteistä pitävät paikkansa. Vihje: voit aloittaa kokeilemalla sopivia lukuarvoja. Tehtävä 1 Arvioi mitkä seuraavista väitteistä pitävät paikkansa. Vihje: voit aloittaa kokeilemalla sopivia lukuarvoja. 1 Jos 1 < y < 3, niin kaikilla x pätee x y x 1. 2 Jos x 1 < 2 ja y 1 < 3, niin x y

Lisätiedot

Funktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina.

Funktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Funktiot Tässä luvussa käsitellään reaaliakselin osajoukoissa määriteltyjä funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Avoin väli: ]a, b[ tai ]a, [ tai ],

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle /

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle / MS-A8 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/7 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 5. viikolle / 9..5. Integroimismenetelmät Tehtävä : Laske osittaisintegroinnin avulla a) π x sin(x) dx,

Lisätiedot

f(x, y) = x 2 y 2 f(0, t) = t 2 < 0 < t 2 = f(t, 0) kaikilla t 0.

f(x, y) = x 2 y 2 f(0, t) = t 2 < 0 < t 2 = f(t, 0) kaikilla t 0. Ääriarvon laatu Jatkuvasti derivoituvan funktion f lokaali ääriarvokohta (x 0, y 0 ) on aina kriittinen piste (ts. f x (x, y) = f y (x, y) = 0, kun x = x 0 ja y = y 0 ), mutta kriittinen piste ei ole aina

Lisätiedot

k=1 b kx k K-kertoimisia polynomeja, P (X)+Q(X) = (a k + b k )X k n+m a i b j X k. i+j=k k=0

k=1 b kx k K-kertoimisia polynomeja, P (X)+Q(X) = (a k + b k )X k n+m a i b j X k. i+j=k k=0 1. Polynomit Tässä luvussa tarkastelemme polynomien muodostamia renkaita polynomien ollisuutta käsitteleviä perustuloksia. Teemme luvun alkuun kaksi sopimusta: Tässä luvussa X on muodollinen symboli, jota

Lisätiedot

MATP153 Approbatur 1B Ohjaus 2 Keskiviikko torstai

MATP153 Approbatur 1B Ohjaus 2 Keskiviikko torstai MATP15 Approbatur 1B Ohjaus Keskiviikko 4.11. torstai 5.11.015 1. (Opiskeluteht. 6 s. 0.) Määritä sellainen vakio a, että polynomilla x + (a 1)x 4x a on juurena luku x = 1. Mitkä ovat tällöin muut juuret?.

Lisätiedot

SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT

SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 43 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Kuva 12. Esimerkin 4.26(c kuvauksen

Lisätiedot

Vapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0.

Vapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0. Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +

Lisätiedot

4. Funktion arvioimisesta eli approksimoimisesta

4. Funktion arvioimisesta eli approksimoimisesta 4. Funktion arvioimisesta eli approksimoimisesta Vaikka nykyaikaiset laskimet osaavatkin melkein kaiken muun välttämättömän paitsi kahvinkeiton, niin joskus, milloin mistäkin syystä, löytää itsensä tilanteessa,

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 1 Funktion kuperuussuunnat Derivoituva funktio f (x) on pisteessä x aidosti konveksi, jos sen toinen derivaatta on positiivinen f (x) > 0. Vastaavasti f (x) on aidosti

Lisätiedot

f(x 1, x 2 ) = x x 1 k 1 k 2 k 1, k 2 x 2 1, 0 1 f(1, 1)h 1 = h = h 2 1, 1 12 f(1, 1)h 1 h 2

f(x 1, x 2 ) = x x 1 k 1 k 2 k 1, k 2 x 2 1, 0 1 f(1, 1)h 1 = h = h 2 1, 1 12 f(1, 1)h 1 h 2 HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi I, syksy 7 Harjoitus 6 Ratkaisuehdotukset 6.. Olkoon f : G R, G = {(x, x ) R x > }, f(x, x ) = x x. Etsi differentiaalit d k f(, ), k =,,. Ratkaisu:

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 2 Lisää osamurtoja Tutkitaan jälleen rationaalifunktion P(x)/Q(x) integrointia. Aiemmin käsittelimme tapauksen, jossa nimittäjä voidaan esittää muodossa Q(x) = a(x x

Lisätiedot

Yhden muuttujan funktion minimointi

Yhden muuttujan funktion minimointi Yhden muuttujan funktion minimointi Aloitetaan yhden muuttujan tapauksesta Tarpeellinen myös useamman muuttujan tapauksessa Tehtävä on muotoa min kun f(x) x S R 1 Sallittu alue on muotoa S = [a, b] tai

Lisätiedot

Kompleksiluvut., 15. kesäkuuta /57

Kompleksiluvut., 15. kesäkuuta /57 Kompleksiluvut, 15. kesäkuuta 2017 1/57 Miksi kompleksilukuja? Reaaliluvut lukusuoran pisteet: Tiedetään, että 7 1 0 x 2 = 0 x = 0 1 7 x 2 = 1 x = 1 x = 1 x 2 = 7 x = 7 x = 7 x 2 = 1 ei ratkaisua reaalilukujen

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi 2

Matematiikan peruskurssi 2 Matematiikan peruskurssi Tentti, 9..06 Tentin kesto: h. Sallitut apuvälineet: kaavakokoelma ja laskin, joka ei kykene graaseen/symboliseen laskentaan Vastaa seuraavista viidestä tehtävästä neljään. Saat

Lisätiedot

Koodausteoria, Kesä 2014

Koodausteoria, Kesä 2014 Koodausteoria, Kesä 2014 Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 4.7 Syklisen koodin jälkiesitys Olkoon F = F q ja K = F q m kunnan F laajennuskunta. Määritelmä 4.7.1. Kuntalaajennuksen K/F jälkifunktioksi

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kertausta 2. välikokeeseen Toisessa välikokeessa on syytä osata ainakin seuraavat asiat: 1. Potenssisarjojen suppenemissäe, suppenemisväli ja suppenemisjoukko. 2. Derivaatan laskeminen

Lisätiedot

Koodausteoria, Kesä 2014

Koodausteoria, Kesä 2014 Koodausteoria, Kesä 2014 Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 5.2 BCH-koodin dekoodaus Tarkastellaan t virhettä korjaavaa n-pituista BCH-koodia. Olkoon α primitiivinen n:s ykkösen juuri, c = c(x)

Lisätiedot

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2.1 Ensimmäisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Muuttujan x ensimmäisen asteen yhtälöksi sanotaan yhtälöä, joka voidaan kirjoittaa muotoon ax + b = 0, missä vakiot a ja b ovat reaalilukuja

Lisätiedot

Koodausteoria, Kesä 2014

Koodausteoria, Kesä 2014 Koodausteoria, Kesä 2014 Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos Koodausteoria 10 op Kontaktiopetusta 50 h, 26.5. - 26.6. ma 10-14, ti 10-13, to 10-13 Aloitusviikolla poikkeuksellisesti ke 10-13 torstain

Lisätiedot

[E : F ]=[E : K][K : F ].

[E : F ]=[E : K][K : F ]. ALGEBRA II 35 Lause 4.4 (Astelukulause). Olkoot E/K/Fäärellisiä kuntalaajennuksia. Silloin [E : F ]=[E : K][K : F ]. Todistus. Olkoon {α 1,...,α n } kanta laajennukselle E/K ja {β 1,...,β m } kanta laajennukselle

Lisätiedot

Johdatus matematiikkaan

Johdatus matematiikkaan Johdatus matematiikkaan Luento 7 Mikko Salo 11.9.2017 Sisältö 1. Funktioista 2. Joukkojen mahtavuus Funktioista Lukiomatematiikassa on käsitelty reaalimuuttujan funktioita (polynomi / trigonometriset /

Lisätiedot

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 8. Integraalilauseiden sovelluksia 1. Analyyttisen funktion sarjaesitys. (eli jokainen analyyttinen funktio on lokaalisti suppenevan potenssisarjan

Lisätiedot

DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1. Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS

DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1. Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1 Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS Huomautus. Analyysin yksi keskeisimmistä käsitteistä on jatkuvuus! Olkoon A R mielivaltainen joukko

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ

MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 1 YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 25.9.2017 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ A-osa Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät 1 4. Tehtävät arvostellaan pistein 0 6. Kunkin tehtävän ratkaisu kirjoitetaan tehtävän

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 1 1 Matemaattisesta päättelystä Matemaattisen analyysin kurssin (kuten minkä tahansa matematiikan kurssin) seuraamista helpottaa huomattavasti, jos opiskelija ymmärtää

Lisätiedot

Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus:

Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus: . Koska F( ) on jokin funktion f ( ) integraalifunktio, niin a+ a f() t dt F( a+ t) F( a) ( a+ ) b( a b) Vastaus: Kertausharjoituksia. Lukujonot 87. + n + lim lim n n n n Vastaus: suppenee raja-arvona

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 19.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo

Lisätiedot

Mikäli funktio on koko ajan kasvava/vähenevä jollain välillä, on se tällä välillä monotoninen.

Mikäli funktio on koko ajan kasvava/vähenevä jollain välillä, on se tällä välillä monotoninen. 4.1 Polynomifunktion kulun tutkiminen s. 100 digijohdanto Funktio f on kasvava jollain välillä, jos ehdosta a < b seuraa ehto f(a) < f(b). Funktio f on vähenevä jollain välillä, jos ehdosta a < b seuraa

Lisätiedot

reaalifunktioiden ominaisuutta, joiden perusteleminen on muita perustuloksia hankalampaa. Kalvoja täydentää erillinen moniste,

reaalifunktioiden ominaisuutta, joiden perusteleminen on muita perustuloksia hankalampaa. Kalvoja täydentää erillinen moniste, Reaaliluvuista Pekka Alestalo Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Nämä kalvot sisältävät tiivistelmän reaaliluvuista ja niihin liittyvistä käsitteistä.

Lisätiedot

Cantorin joukon suoristuvuus tasossa

Cantorin joukon suoristuvuus tasossa Cantorin joukon suoristuvuus tasossa LuK-tutkielma Miika Savolainen 2380207 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Cantorin joukon esittely 2 2 Suoristuvuus ja

Lisätiedot

Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos

Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Malinen/Vesanen MS-A0205/6 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2, kevät 2017 Laskuharjoitus 4A (Vastaukset) alkuviikolla

Lisätiedot

1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot

1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot Helsingin yliopisto, Itä-Suomen yliopisto, Jyväskylän yliopisto, Oulun yliopisto, Tampereen yliopisto ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe (Ratkaisut ja pisteytys) 500 Kustakin tehtävästä saa maksimissaan

Lisätiedot

Joukot. Georg Cantor ( )

Joukot. Georg Cantor ( ) Joukot Matematiikassa on pyrkimys määritellä monimutkaiset asiat täsmällisesti yksinkertaisempien asioiden avulla. Tarvitaan jokin lähtökohta, muutama yleisesti hyväksytty ja ymmärretty käsite, joista

Lisätiedot