Mat Matematiikan peruskurssi L4, osa II, todistuksia ym
|
|
- Harri Juusonen
- 5 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Mat-.4 Matematiikan peruskurssi L4, osa II, todistuksia ym G. Gripenberg Aalto-yliopisto 4. maaliskuuta 2 G. Gripenberg Aalto-yliopisto L4, osa II, todistuksia ym. 4. maaliskuuta 2 / 68 Poissonin yhtälö Perusratkaisu Greenin funktio Energia- ja variaatioperiaate Lämpöyhtälö Perusratkaisu Laplace-operaattorin ominaisarvot Duhamelin periaate Maksimiperiaate Lämpöyhtälön ratkaisun säännöllisyys Lämpöyhtälön energia-arvio Aaltoyhtälö Schrödingerin yhtälö Säilymislait G. Gripenberg Aalto-yliopisto L4, osa II, todistuksia ym. 4. maaliskuuta 2 2 / 68
2 Jos Poissonin yhtälö R d :ssä ja perusratkaisu niin eli Φx = 2π ln x, d = 2 d 2aS d x d 2, d 3 u = δ, ux = Φx yf y dy R n u = f. Tässä as d on R d :n yksikköpallon B, reunan pinta-ala ja väite pätee ainakin oletulksella f C 2 c R d. Huomaa lisäksi, että Φ on harmoninen kaikkialla paitsi origossa. G. Gripenberg Aalto-yliopisto L4, osa II, todistuksia ym. 4. maaliskuuta 2 3 / 68 Kaksi perusratkaisua koskevaa aputulosta Jos f on jatkuvasti derivoituva joukossa Bx, ɛ niin lim Φx ydf y n dsy = lim ΦyDf y+x n dsy =, ɛ ɛ Bx,ɛ ja jos f on jatkuva joukossa Bx, ɛ niin B,ɛ lim f ydφx y n dsy ɛ Bx,ɛ = lim f x + ydφy n dsy = f x. ɛ B,ɛ G. Gripenberg Aalto-yliopisto L4, osa II, todistuksia ym. 4. maaliskuuta 2 4 / 68
3 Kaksi aputulosta, todistus Muuttujan vaihdoilla todetaan että eri lausekkeet ovat samat. Nyt ΦyDf y + x n dsy B,ɛ sup Df y Φy dsy y Bx,ɛ B,ɛ sup Df y ɛ lnɛ, y Bx,ɛ jos ɛ, ɛ ja saadaan ensimmäinen väite. Määritelmästä seuraa, että DΦy = as d y d+ y y, joten jos y B, ɛ niin DΦy n = as d y d+ = as d ɛ d+. Koska B,ɛ dsy = as d ɛ d niin f x + ydφy n dsy f x B,ɛ as d ɛ d f x + y f x dsy B,ɛ sup f x+y f x, y B,ɛ ja väite seuraa f :n jatkuvuudesta. G. Gripenberg Aalto-yliopisto L4, osa II, todistuksia ym. 4. maaliskuuta 2 5 / 68 Poissonin yhtälö R d :ssä ja perusratkaisu, todistus Oletetaan, että f Cc 2 R d, eli f x = kun x r f ja määritellään u kaavalla ux = R d Φx yf y dy. Koska Φ on intgeroituva rajoitetuissa joukoissa ja f on kaksi kertaa jatkuvasti derivoituva, niin myös u on kaksi kertaa jatkuvasti derivoituva ja u = Φ y f x + y dy = Φy f x + y dy R d B,ɛ + Φy f x + y dy, R d \B,ɛ missä ɛ, e on mielivaltainen. Nyt Φy f x + y dy B,ɛ sup f y y R d joten tämä termi suppenee kohti kun ɛ. B,ɛ Φy dy sup y R d f y ɛ 2 lnɛ, G. Gripenberg Aalto-yliopisto L4, osa II, todistuksia ym. 4. maaliskuuta 2 6 / 68
4 Poissonin yhtälö R d :ssä ja perusratkaisu, todistus jatkuu Nyt R d \B,ɛ Φy f x + y dy = B,R\B,ɛ Φy f x + y dy jollakin R koska f x + y = kun y on riittävän iso ja kun suoritetaan osittaisintegrointi niin sijoitustermi pallon B, R reunalla on nolla ja Φy f x + y dy = ΦyDf x + y n dsy R d \B,ɛ B,ɛ R d \B,ɛ DΦyDf x + y dy. Aputuloksen nojalla pätee lim ɛ B,ɛ ΦyDf x + y n dsy =. Osittaisintegroinnilla saadaan R d \B,ɛ DΦyDf x + y dy = B,ɛ + DΦy nf x + y dsy R d \B,ɛ koska sijoitustermi äärettömyydessä on taas nolla. div DΦyf x + y dy, G. Gripenberg Aalto-yliopisto L4, osa II, todistuksia ym. 4. maaliskuuta 2 7 / 68 Poissonin yhtälö R d :ssä ja perusratkaisu, todistus jatkuu Tässä n on pallon B, ɛ reunan normaali ulospäin. Koska Φ on harmoninen kaikkialla paitsi origossa, niin jälkimmäinen termi häviää. Aputuloksen jälkimmäisen osan perusteella tiedetään, että lim ɛ B,ɛ Näin olle väite on todistettu. DΦy nf x + y dsy = f x. G. Gripenberg Aalto-yliopisto L4, osa II, todistuksia ym. 4. maaliskuuta 2 8 / 68
5 Reunan säännöllisyys Avoimella joukolla R d on on jatkuvasti derivoituva reuna eli on C jos jokaisella x on olemassa r >, avoin joukko U R d ja bijektio Ψ : Bx, r U siten, että Ψ Bx, r = U { x R d : x d > } ja siten että, Ψ : Bx, r U ja Ψ : U Bx, r ovat jatkuvasti derivoituvia G. Gripenberg Aalto-yliopisto L4, osa II, todistuksia ym. 4. maaliskuuta 2 9 / 68 Greenin funktio Jos R d avoin ja rajoitettu ja sen reuna on C ja u C 2 on yhtälön ratkaisu niin ux = missä ux = f x, ux = gx, Gx, yf y dy x x D y Gx, y ngy dsy, x, Gx, y = Φx y φ x y edellyttäen, että löytyy funktio φ y x siten, että φ x y =, y, φ x y = Φx y, y. jolloin lisäksi pätee Gx,y = Gy, x ja erikoisesti φ x y = φ y x kun x y. G. Gripenberg Aalto-yliopisto L4, osa II, todistuksia ym. 4. maaliskuuta 2 / 68
6 Greenin funktio, todistus Valitaan mielivaltainen x ja ɛ > siten, että Bx, ɛ. Suorittamalla osittaisintegrointi todetaan, että uy Φy x Φy x uy dy \Bx,ɛ = \Bx,ɛ uy DΦy x n Φy x Duy n dsy. Nyt Φy x = kun y x ja perusratkaisuun liittyvien aputulosten nojalla todetaan, että Φy x Duy n dsy =, lim ɛ Bx,ɛ ja lim uy DΦy x n dsy = ux. ɛ Bx,ɛ G. Gripenberg Aalto-yliopisto L4, osa II, todistuksia ym. 4. maaliskuuta 2 / 68 Greenin funktio, todistus jatkuu Näin ollen saadaan, ottamalla huomioon, että normaali ulospäin joukon Bx, ɛ reunalla on normaali sisäänpäin joukon \ Bx, ɛ reunalla, ux = Φy xduy n uydφy x n dsy Φy x uy dy. Jos nyt φ x on harmoninen :ssa ja φ x y = Φy x kun y niin osittaisintegroinnilla saadaan toteuttaa ehdot φ x y = kun y niin saadaan taas osittaisintegroimalla φ x y uy dy = φ x yuy φ x y uy dy = uydφ x y n φ x yduy n dsy = uydφ x y n Φy xyduy n dsy G. Gripenberg Aalto-yliopisto L4, osa II, todistuksia ym. 4. maaliskuuta 2 2 / 68
7 Greenin funktio, todistus jatkuu Tästä voidaan ratkaista Φy xyduy n dsy ja kun se sijoitetaan edellä olevaan yhtälöön saadaan haluttu esitys ux:lle. Osoitetaan lopuksi, että Gx, y = Gy, x kun x ja y ja x y. Määritellään funktiot vz = Gx, z ja wz = Gy, z. Funktion G määritelmän nojalla v on harmoninen joukossa \ {x} ja w on harmoninen joukossa \ {y} ja v = w = reunalla. Samanlaisella osittaisintegroinnilla kuten edellä saadaan kun ɛ > on riittävän pieni wzdvz n vzdwz n dsz Bx,ɛ = By,ɛ vzdwz n wzdvz n dsz. Osoitetaan seuraavaksi, että vasemman puolen raja-arvo kun ɛ on wx jolloin vastaavanlaisella päättelyllä todetaan, että oikean puolen raja-arvo on vy ja väite seuraa. G. Gripenberg Aalto-yliopisto L4, osa II, todistuksia ym. 4. maaliskuuta 2 3 / 68 Greenin funktio, todistus jatkuu φ x on jatkuvasti derivoituva :ssa ja funktio w on jatkuvasti derivoituva joukossa Bx, ɛ missä ɛ on niin pieni, että Bx, ɛ \ {y} ja näin ollen lim wzdφ x z n φ x zdwz n dsz = ɛ Bx,ɛ Väite seuraa nyt funkioden v ja G määritelmistä perusratkaisuja koskevien aputulosten nojalla. G. Gripenberg Aalto-yliopisto L4, osa II, todistuksia ym. 4. maaliskuuta 2 4 / 68
8 Energia- ja variaatioperiaate I Jos R d on avoin ja rajoitettu, ja sen reuna on paloittain C, g C, f C, u C 2 ja u = g reunalla niin seuraavat ehdot ovat ekvivalentteja: u = f joukossa. Ju Jv kaikilla v C joilla v = g reunalla missä Jv = 2 Dvx 2 vxf x dx. Du Dv fv dx = kaikilla v C joilla v = reunalla. G. Gripenberg Aalto-yliopisto L4, osa II, todistuksia ym. 4. maaliskuuta 2 5 / 68 Energia- ja variaatioperiaate, todistus Oletetaan ensin, että u = f joukossa ja että v C ja v = g reunalla. Silloin saadaan osittaisintegroinnilla = u f u v dx = Du nu v ds + Du Du Dv f u v dx. Koska u = v reunalla ja Du Dv Du Dv 2 Du Dv 2 niin Du 2 uf dx = Du Dv vf dx 2 Du 2 dx + 2 Dv 2 vf dx, ja vähentämällä termi Ju Jv. 2 Du 2 dx molemmilta puolilta saadaan G. Gripenberg Aalto-yliopisto L4, osa II, todistuksia ym. 4. maaliskuuta 2 6 / 68
9 Energia- ja variaatioperiaate, todistus jatkuu Oletetaan seuraavaksi, että Ju Jv kaikilla v C joilla v = g reunalla ja valitaan mielivaltainen v C 2 siten, että v = reunalla. Jos nyt jt = Ju + tv niin j saavuttaa minimin pisteessä t = josta seuraa, että j = ja koska jt = 2 Du + tdv Du + tdv u + tvf dx = 2 Du 2 uf dx + t Du Dv vf dx + t 2 2 Dv 2 dx, niin ehto j = on Du Dv fv dx =. G. Gripenberg Aalto-yliopisto L4, osa II, todistuksia ym. 4. maaliskuuta 2 7 / 68 Energia- ja variaatioperiaate, todistus jatkuu Lopuksi oletetaan, että Du Dv fv dx = kaikilla v C joilla v = reunalla. Osittaisintegroinnilla saadaan nyt = Du nv ds u f v dx = u f v dx, koska v = reunalla. Koska v on mielivaltainen, niin tästä seuraa, että u = f. G. Gripenberg Aalto-yliopisto L4, osa II, todistuksia ym. 4. maaliskuuta 2 8 / 68
10 Céan lauseen todistus Oletuksen mukaan au, w = Lw kaikilla w H ja erityisesti kaikilla w H h. Samoin pätee au h, w = Lw kaikilla w H h. Nyt u h H h joten jos v H h voidaan valita w = v u h jolloin saadaan au u h, v u h = au, v u h au h, v u h = Lv u h Lv u h =. Tämän tulkosen avulla nähdään, että Lax-Milgramin lauseen oletuksista seuraa, että u u h 2 H α au u h, u u h = α au u h, u u h v + v = α au u h, u v + α au u h, v u h β α u u h H u v H Jakamalla u u h H :lla saadaan u u h H β α u v H ja koska v H h oli mielivaltainen saadaan väite. G. Gripenberg Aalto-yliopisto L4, osa II, todistuksia ym. 4. maaliskuuta 2 9 / 68 Lax-Milgramin lauseen todistus Tässä todistuksessa oletetaan tunnetuksi että jos H on Hilbert-avaruus ja L : H R on lineaarinen ja jatkuva niin on olemassa b H siten, että Lv = v, b ; Jos V H on suljettu aliavaruus ja V H niin on olemassa w H \ {} siten, että w, v = kaikilla v V. Oletuksista seuraa, että funktio v H au, v on lineaarinen ja jatkuva kaikilla u H joten löytyy Au H siten, että au, v = v, Au. Bilineaarisuudesta ja ehdosta au, v β u H v H seuraa, että A on jatkuva. Oletuksista ja A:n määritelmästä seuraa, että α u 2 H au, u = u, Au, ja tästä epäyhtälöstä seuraa, että α u H Au H. G. Gripenberg Aalto-yliopisto L4, osa II, todistuksia ym. 4. maaliskuuta 2 2 / 68
11 Lax-Milgramin lauseen todistus jatkuu Tämän epäyhtälön perusteella voidaan osoittaa että { Au : u H } on suljettu ja että A on injektio. Jos w H on sellainen, että w, Au = kaikilla niin valitsemalla u = w saadaan edellä olevista epäyhtälöistä, että w =. Tästä seuraa, että { Au : u H } = H Näin ollen A on bijektio eli löytyy u H siten, että Au = b ja tästä seuraa väite. G. Gripenberg Aalto-yliopisto L4, osa II, todistuksia ym. 4. maaliskuuta 2 2 / 68 Lämpöyhtälön perusratkaisu Yhtälön u t x, t = x ux, t, x R d, t >, ux, = u x, x R d, missä u on esimerkiksi jatkuva ja rajoitetun ja integroituvan funktion summa on ux, t = Φx y, tu y dy, R d x R d, t >, missä lämpöyhtälön perusratkaisu Φx, t on Φx, t = 4πt d 2 e x 2 4t, x R d, t >. G. Gripenberg Aalto-yliopisto L4, osa II, todistuksia ym. 4. maaliskuuta 2 22 / 68
12 Lämpöyhtälön perusratkaisu, johto Oletetaan, että u on lämpöyhtälön ratkaisu, joka on integroituva ensimmäisen muuttujan suhteen kaikilla t >. Olkoon ûω, t = R d e i2πω x ux, t dx sen Fourier-muunnos muuttujan x suhteen. Osittaisintegroinnilla eli käyttämällä derivaatan Fourier+muunnosta koskevaa tulosta todetaan, että F uω, t = i2πω i2πωûω, t = 4π ω 2 ûω, t. Jos nyt otetaan Fourier-muunnos yhtälön u t = u molemmilta puolilta, niin saadaan, olettaen, että voidaan derivoida integraalimerkin sisäpuolella, û t ω, t = 4π 2 ω 2 ûω, t, t >. Tämä on differentiaaliyhtälö ja sen ratkaisu on ûω, t = e 4π2 ω 2tûω, = e 4π2 ω 2tû ω, ω R d. G. Gripenberg Aalto-yliopisto L4, osa II, todistuksia ym. 4. maaliskuuta 2 23 / 68 Lämpöyhtälön perusratkaisu, johto jatkuu Tunnetusti funktion h x = e π x 2 Fourier-muunnos on h joten funktio e 4π2 ω 2t = h ω 4πt on funktion h 4πt d x = Φx, t 2 4πt Fourier-muunnos. Koska konvoluution Fourier-muunnos on Fourier-muunnosten tulo niin saadaan väite. G. Gripenberg Aalto-yliopisto L4, osa II, todistuksia ym. 4. maaliskuuta 2 24 / 68
13 Laplace-operaattorin ominaisarvoista Olkoon V avaruuden H ääretönulotteinen suljettu aliavaruus missä on avoin ja rajoitettu, käytännössä joko H itse tai H, olkoon a symmetrinen bilineaarinen funktio V V R siten että α v 2 H av, v ja au, v β u H v H. Nyt λ on funktion a määräämän operaattorin ominaisarvo jos on olemassa ominaisfunktio ϕ V \ {} siten, että aϕ, v = λ ϕ, v L 2, v V, Jos nyt λ λ 2 ovat ominaisarvoja ja ϕ ja ϕ 2 ovat vastaavat ominaisfunktiot niin a:n ja sisätulon symmetrisyydestä seuraa, että λ ϕ, ϕ 2 = aϕ, ϕ 2 = aϕ 2, ϕ = λ 2 ϕ, ϕ 2. Edellisestä yhtälöstä seuraa, että λ λ 2 ϕ, ϕ 2 = ja koska λ λ 2 niin ϕ, ϕ 2 = eli eri ominaisarvoihin kuuluvat ominaisfunktiot ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan. G. Gripenberg Aalto-yliopisto L4, osa II, todistuksia ym. 4. maaliskuuta 2 25 / 68 Laplace-operaattorin ominaisarvoista, jatkuu Seuraavaksi osoitetaan, että on olemassa äärettömän monta ominaisarvoa < λ λ 2... ja lim m λ m = ja ominaisfunktiot voidaan valita siten että ϕ m m= on L2 :n ortonormaali kanta. Määritellään induktiivisesti V m = { v V : v, ϕ j L 2 =, j =,..., m } λ m = inf { av, v : v V m, v L 2 = }, ja sitten osoitetaan, että löytyy funktio ϕ m V m siten, että aϕ m, ϕ m = λ m ja ϕ m L 2 =, eli minimi λ m saavutetaan funktiolla { ϕ m. Huomaa, että } λ m voidaan myös määritellä kaavalla λ m = inf : v V m \ {}. av,v v 2 L 2 Luvut λ m ovat selvästikin hyvin määriteltyjä ja ei-negatiivisia ja koska V on ääretönulotteinen niin V m {}. G. Gripenberg Aalto-yliopisto L4, osa II, todistuksia ym. 4. maaliskuuta 2 26 / 68
14 Laplace-operaattorin ominaisarvoista, jatkuu Oletetaan seuraavaksi, että ominaisfunktiot ϕ j, j =,... m on löydetty ja että ϕ m on sellainen että aϕ m, ϕ m = λ m ja ϕ m L 2 =. Jos v V m niin λ m :n määritelmän mukaan aϕ m + tv, ϕ m + tv λ m ϕ m + tv 2 L 2. Tästä seuraa ϕ m :n ominaisuuksien ja a:n symmetrisyyden nojalla, että λ m + 2taϕ m, v + t 2 av, v λ m + 2t ϕm, v L 2 + t2 v 2 L 2. Valitsemalla t = sign aϕ m, v λ m ϕ m, v L 2 s missä s < ja jakamalla s:lla saadaan raja-arvona kun s tulokseksi aϕ m, v ϕ m, v L 2 joten aϕ m, v λ m ϕ m, v L 2, v V m. Jos v V \ V m niin v on lineaarikombinaatio ominaisfunktioista ϕ j, J =,..., m ja koska ϕ m, ϕ j L 2 = ja aϕ j, ϕ m = λ j ϕ m, ϕ j L 2 = niin nähdään, että ϕ m on ominaisarvoon λ m liittyvä ominaisfunktio. G. Gripenberg Aalto-yliopisto L4, osa II, todistuksia ym. 4. maaliskuuta 2 27 / 68 Laplace-operaattorin ominaisarvoista, jatkuu Olkoon nyt v n n= jono elementtejä avaruudessa V m siten, että av n, v n λ m ja v n L 2 =. Koska v n 2 H 2 av n, v n λ m < niin ns. Rellichin lemman perusteella löytyy osajono v nk k= ja funktio v L 2 siten, että lim k v nk v L 2 =. Poistamalla turhat termit voidaan olettaa, että alkuperäinenkin jono v n n= suppenee. Nyt v L 2 = ja ϕ j, v L 2 = kun j =,..., m joten on vain osoitettava että v H ja v n v tässäkin avaruudessa koska silloin seuraa myös, että v V m, ja av, v = λ m. Funkion a bilinearisuuden nojalla av n v k, v n v k = 2av n, v n + 2av k, v k 4a 2 v n + v k, 2 v n + v k. Luvun λ m määritelmän nojalla joten a 2 v n + v k, 2 v n + v k λ m 2 v n + v k 2 L 2, G. Gripenberg Aalto-yliopisto L4, osa II, todistuksia ym. 4. maaliskuuta 2 28 / 68
15 Laplace-operaattorin ominaisarvoista, jatkuu α v n v k 2 H av n v k, v n v k + 2av n, v n + 2av k, v k 4λ m 2 v n + v k 2 L 2. Jonon v n n= määritelmän perusteella ja koska lim n v n = v avaruudessa L 2 niin lim 2avn, v n + 2av k, v k 4λ m n,k 2 v n + v k 2 L 2 = 2λ m + 2λ m 4λ m v 2 L 2 = joten v n n= on Cauchy-jono H :ssa joten se suppenee ja raja-arvon täytyy olla v joka siten kelpaa funktioksi ϕ m koska V m on suljettu. Koska V m+ V m niin λ m λ m+. Jos nyt sup m λ m < niin epäyhtälösta α ϕ m 2 H aϕ m, ϕ m = λ m ja Rellichin lemmasta seuraa, että jonolla ϕ m m= löytyy osajono joka suppenee avaruudessa L 2. Mutta tämä on mahdotonta koska ϕ m, ϕ k L 2 = jos m k ja ϕ m, ϕ m L 2 =. G. Gripenberg Aalto-yliopisto L4, osa II, todistuksia ym. 4. maaliskuuta 2 29 / 68 Laplace-operaattorin ominaisarvoista, jatkuu Konstruktiosta seuraa, että ϕ m m= on ortonormaali jono L2 :ssa ja seuraavaksi osoitetaan, että se on myös ortonormaali kanta. Avaruudessa V voidaan määritellä sisätuloksi au, v jolloin saadaan ekvivalentti normi. Koska aϕ m, ϕ m = λ m > ja aϕ m, ϕ k = λ m ϕ m, ϕ k L 2 = jos m k niin λm ϕ m m= on ortonormaali jono avaruudessa V sisätulon a suhteen. Koska aϕ m, v = λ m ϕ m, v L 2 kaikilla v V niin jos v V on sellainen, että aϕ m, v = kaikilla m niin v = koska muussa tapauksessa sup λ m m av, v v 2 L 2 Näin ollen λm ϕ m m= on ortonormaali kanta V :ssa.. G. Gripenberg Aalto-yliopisto L4, osa II, todistuksia ym. 4. maaliskuuta 2 3 / 68
16 Laplace-operaattorin ominaisarvoista, jatkuu Näin ollen jokainen v V voidaan esittää muodossa v = n= av, ϕ m aϕ m, ϕ m ϕ m = m= λ v, ϕ m L 2 λ m ϕ m = v, ϕ m L 2 ϕ m. m= Tämä sarja suppenee V :ssa ja siten myös L 2 :ssa joten v, v = m= v, ϕ m 2 L 2 ja koska V on tiheä L 2 :ssa tästä seuraa, että ϕ m m= on ortonormaali kanta l 2 :ssa. G. Gripenberg Aalto-yliopisto L4, osa II, todistuksia ym. 4. maaliskuuta 2 3 / 68 Duhamelin periaate ja lämpöyhtälö R d :ssä Oletetaan, että f C 2, R d [, eli f x, t on kaksi kertaa jatkuvasti derivoituva x-muuttujan suhteen ja funktio ja osittaisderivaatat suppenevat kohti kun x jokaisella t. Nyt osoitetaan, että jos ux, t = t niin u C 2, R d [, ja R d Φy, sf x y, t s dy ds, x R d, t, u t x, t = ux, t + f x, t, x R d, t >. Koska f on kaksi kertaa jatkuvasti derivoituva ensimmäisen muuttujan suhteen voidaan osoittaa, että sama pätee funktiolle u ja lisäksi t ux, t = Φy, s f x y, t s dy ds. R d G. Gripenberg Aalto-yliopisto L4, osa II, todistuksia ym. 4. maaliskuuta 2 32 / 68
17 Duhamelin periaate ja lämpöyhtälö R d :ssä, jatkuu Olkoon F x, t = t f x, s ds ja valitaan t > ja x Rd mielivaltaisesti jolloin myös nähdään, että että t t ux, s ds = Φy, s F x y, t s dy ds, x R d, t >. R d Olkoon ɛ, t mielivaltainen. Osittaisintegroinnilla y:n suhteen todetaan, että t t Φy, s F x y, t s dy ds = Φy, sf x y, t s dy ds. ɛ R d ɛ R d Koska Φ on lämpöyhtälön ratkaisu niin Φy, s = Φ s y, s ja t ɛ R d Φy, sf x y, t s dy ds= t ɛ R d Φ s y, sf x y, t s dy ds G. Gripenberg Aalto-yliopisto L4, osa II, todistuksia ym. 4. maaliskuuta 2 33 / 68 Duhamelin periaate ja lämpöyhtälö R d :ssä, jatkuu Osittaisintegroinnilla nyt s:n suhteen saadaan t Φ s y, sf x y, t s dy ds = Φy, sf x y, t s dy ɛ R d ɛ R d t + Φy, sf x y, t s dy ds ɛ R d t = Φy, ɛf x y, t ɛ dy + Φy, sf x y, t s dy ds. R d ɛ R d Nyt / t t lim Φy, s F x y, t s dy ds ɛ ɛ R d t = Φy, s F x y, t s dy ds = R d t ux, s ds, G. Gripenberg Aalto-yliopisto L4, osa II, todistuksia ym. 4. maaliskuuta 2 34 / 68
18 Duhamelin periaate ja lämpöyhtälö R d :ssä, jatkuu t lim Φy, ɛf x y, t ɛ dy = F x, t = f x, s ds, ɛ R d ja t lim Φy, sf x y, t s dy ds ɛ ɛ R d t = Φy, sf x y, t s dy ds = ux, t. R d Näin ollen ja tästä seuraa väite. ux, t = t ux, s + f x, s ds G. Gripenberg Aalto-yliopisto L4, osa II, todistuksia ym. 4. maaliskuuta 2 35 / 68 Lämpöyhtälön maksimiperiaate rajoitetussa joukossa, todistus Oletetaan, että epäyhtälö ei päde vaan, että löytyy piste x, t, T siten, että ux, t > max y,s Γt uy, s. Jos nyt α > niin myös funktio vx, t = e αt ux, t max y,s Γt uy, s saavuttaa positiivisen maksiminsa joukossa [, t ] pistessä x, t, t ]. Tästä seuraa erityisesti että x on funktion x vx, t maksimipiste jolloin D 2 vx, t eli kaikki ominaisarvot ja siten myös niiden summa on ei-positiivinen, eli vx, t. Samoin funktion t vx, t suurin arvo välillä [, t ] saavutetaan pisteessä t joten v t x, t missä epäyhtälö tulee kyseeseen ainoastaan kun t = t. Nyt v t x, t = αvx, t + e αt u t x, t = αvx, t +e αt ux, t = αvx, t + vx, t αvx, t <, koska oletuksen mukaan vx, t >. Tästä ristiriidasta seuraa väite. G. Gripenberg Aalto-yliopisto L4, osa II, todistuksia ym. 4. maaliskuuta 2 36 / 68
19 Lämpöyhtälön maksimiperiaate rajoittamattomassa joukossa, todistus Olkoon T = 8a ja oletetaan, että väite pätee jos t, nt ] ja osoitetaan että se silloin pätee kun t, n + T ], jolloin tarkastelemalla funktiota x, t ux, t nt ja käyttämällä induktio-oletusta voidaan yhtä hyvin olettaa, että n =. Olkoon T 2 = 3 2 T, β >, y, τ, T ] ja vx, t = ux, t β T 2 t d 2 e x y 2 4T 2 t, x, t, T 2. Suora lasku osoittaa, että v on lämpöyhtälön ratkaisu joukossa, T 2. Seuraavaksi valitaan r > siten, että Ae a y +r2 β4a d 2 e 4 3 ar 2 sup z,s Γ τ uz, s. G. Gripenberg Aalto-yliopisto L4, osa II, todistuksia ym. 4. maaliskuuta 2 37 / 68 Lämpöyhtälön maksimiperiaate rajoittamattomassa joukossa, todistus jatkuu Kun x By, r ja t [, T 2 niin β vx, t Ae a x 2 β e T 2 t d 2 r 2 4T 2 t Ae a y +r2 β4a d 2 e 4 3 ar 2 sup z,s Γ τ uz, s, ja lisäksi vx, t ux, t kun x, t Γ τ. Tästä seuraa, että kun sovelletaan lämpöyhtälön maksimiperiaatetta joukossa By, r, T 2 funktioon vx, t niin saadaan uy, τ = vy, τ + β T 2 τ d 2 sup uz, s + β6a d 2. z,s Γ τ Koska β >, y ja τ, T ] olivat mielivaltaisia saadaan väite. G. Gripenberg Aalto-yliopisto L4, osa II, todistuksia ym. 4. maaliskuuta 2 38 / 68
20 Aputulos Jos R d on avoin, T >, V, T on avoin ja V, T ja u C 2,, T on lämpöyhtälön ratkaisu joukossa, T niin on olemassa jono funktioita u n C V siten, että u n on lämpöyhtälön ratkaisu joukossa V ja lim n sup x,t V u n x, t ux, t =. Aputuloksen todistus Olkoon ψx, t = ce x 2 t 2 kun x < ja t < ja muuten missä c on valittu niin, että R R d ψx, t dt dx =. Nyt valitaan n riittävän isoksi ja u n x, t = n d+ ψnx y, nt suy, s ds dy R d R = n d+ ψny, nsux y, t s ds dy. R d Edellisestä muodosta nähdään, että u n C V ja jälkimmäisestä, että se on lämpöyhtälön ratkaisu. G. Gripenberg Aalto-yliopisto L4, osa II, todistuksia ym. 4. maaliskuuta 2 39 / 68 R Lämpöyhtälön ratkaisun säännöllisyys, todistus Olkoon x, t, T mielivaltanen. Valitaan r > siten, että Bx, 5r ja t 5r > ja t + 5r < T ja ψx, t = η x x η t t missä, s 2r, ηs = + e 9r 2 s 2 + 4r 2 s 2, 2r < s < 3r,, s 3r. Aputuloksen nojalla on olemassa jono u n n= siten, että u n on äärettömän monta kertaa jatkuvasti derivoituva joukossa R d R ja u n on lämpöyhtälön ratkaisu joukossa Bx, 4r t 4r, t + 4r joka suppenee kohti funktiota u tässä joukossa. Olkoon n mielivaltainen ja määritellään vx, t = ψx, tu n x, t, x, t R. Silloin v on yhtälön v t = v + f ratkaisu joukossa R d, missä G. Gripenberg Aalto-yliopisto L4, osa II, todistuksia ym. 4. maaliskuuta 2 4 / 68
21 Lämpöyhtälön ratkaisun säännöllisyys, todistus f x, t = ψ t x, tu n x, t 2Dψx, t Du n x, t ψx, tu n x, t, koska u n on lämpöyhtälön ratkaisu joukossa missä ψx, t. Koska vx, = niin Duhamelin periatteen ja maksimperiaatteen nojalla vx, t = t R d Φx y, t sf y, s ds. Oletetaan nyt, että x, t Bx, r t r, t + r. Koska f y, s = kun y, s Bx, 2r t 2r, t + 2r se on nolla funktion Φ singulariteetin läheisyydessa ja osittaisintegroinnilla saadaan ψx, tu n x, t = t R d Φx y, t sψs y, s + ψy, s 2DΦx y, t s Dψy, s u n y, s ds. G. Gripenberg Aalto-yliopisto L4, osa II, todistuksia ym. 4. maaliskuuta 2 4 / 68 Lämpöyhtälön ratkaisun säännöllisyys, todistus Tässä voidaan ottaa raja-arvo kun n ja koska ψx, t = kun oletetaan, että x, t Bx, r t r, t + r ja kun otetaan huomioon missä joukossa ψ s, ψ ja Dψ on nolla niin todetaan, että ux, t = Kx, y, t, suy, s dy ds, t 3r x,3r missä K : Bx, r Bx, 3r t r, t + r t 3r, t + 3r R on äärettömän monta kertaa jatkuvasti derivoituva funktio kaikkien muuttujien suhteen ja D m t D n x Kx, y, t, t = kaikilla m, n. Tästä voidaan päätellä, että u on äärettöman monta kertaa jatkuvasti dervoituva kun x, t Bx, r t r, t + r. Koska x, t oli mielivaltainen saadaan väite. G. Gripenberg Aalto-yliopisto L4, osa II, todistuksia ym. 4. maaliskuuta 2 42 / 68
22 Lämpöyhtälön energia-arvio, todistus Kerrotaan yhtälön u t = u + f molemmat puolet funtiolla ux, t ja integroidaan x:n suhteen :n yli. Osittaisintegroinnilla saadaan silloin kaikilla t > d 2 dt ux, t 2 dx = Dux, t n ux, t dsx Dux, t 2 dx + f x, tux, t dx. Reunaehdoista ja oletuksessta, että αβ seuraa, että Dux, t n ux, t dsx. Hölderin epäyhtälön nojalla f x, tux, t dx f x, t 2 dx ux, t 2 dx, joten jos valitaan ɛ > ja määritellään yt = ux, t2 dx + 2 t Dux, s 2 dx ds + ɛ niin saadaan yhtälö G. Gripenberg Aalto-yliopisto L4, osa II, todistuksia ym. 4. maaliskuuta 2 43 / 68 Lämpöyhtälön energia-arvio, todistus jatkuu 2 y s f x, s 2 dx ys, s, T. Jos nyt jaetaan yhtäl;ön molemmat puolet funktiolla yt joka on positiivinen koska ɛ > ja integroidaan välin, t yli, niin saadaan yt y + t f x, s 2 dx ds. Ottamalla raja-arvo kun ɛ saadaan väite. G. Gripenberg Aalto-yliopisto L4, osa II, todistuksia ym. 4. maaliskuuta 2 44 / 68
23 Lämpöyhtälö ja maksimaalinen säännöllisyys, todistus Kerrotaan yhtälön u t u = f molemmat puolet funktiolla ux, s ja integroidaan, t:n yli. Osittaisintegroinnilla saadaan u s x, s ux, s dx = u s x, sdux, s n dsx + 2 s Dux, s 2 dx. Jos ux, s = kun x niin myös u s x, s = joten reunaehdoista seuraa, että u sx, sdux, s n dsx = ja saadaan t 2 s Dux, s 2 dx ds + t ux, s 2 dx ds t = f x, s ux, s dx ds. G. Gripenberg Aalto-yliopisto L4, osa II, todistuksia ym. 4. maaliskuuta 2 45 / 68 Lämpöyhtälö ja maksimaalinen säännöllisyys, todistus jatkuu Koska ab 2 a2 + 2 b2 niin Hölderin epäyhtälön avulla saadaan t f x, s ux, s dx ds 2 t f x, s 2 dx ds t ux, s 2 dx ds, + 2 ja siten t 2 Dux, t 2 dx + 2 ja tästä seuraa väite. 2 ux, s 2 dx ds Dux, 2 dx + 2 t f x, s 2 dx ds, G. Gripenberg Aalto-yliopisto L4, osa II, todistuksia ym. 4. maaliskuuta 2 46 / 68
24 F x ± ct on aaltoyhtälön ratkaisu distribuutiomielessä Olkoon F jatkuva funktio ja ux, t = F x + ct tapaus F x ct käsitellään samalla tavalla. Määritelmän mukaan u on yhtälön u tt = c 2 u xx ratkaisu distribuutiomielessä jos jokaisella φ C c R 2 pätee u tt c 2 u xx φ =. Distribuutioderivaatan märitelmän nojalla u tt c 2 u xx φ = uφ tt c 2 uφ xx = uφ tt c 2 φ xx = ux, tφ tt x, t c 2 φ xx x, t dx dt R 2 = F x ctφ tt x, t c 2 φ xx x, t dx dt. R 2 Seuraavaksi tehdään muuttujanvaihto x ct = 2τ, x + ct = 2σ jolloin x = σ + τ, t = c σ τ. dx dt = 2 c dτ dσ ja u tt c 2 u xx φ = 2 c R 2 F 2τ φ tt σ + τ, c σ τ c2 φ xx σ + τ, c σ τ dτ dσ. G. Gripenberg Aalto-yliopisto L4, osa II, todistuksia ym. 4. maaliskuuta 2 47 / 68 F x ± ct on aaltoyhtälön ratkaisu distribuutiomielessä, jatkuu Jos nyt ψσ, τ = φσ + τ, c σ τ niin jolloin ψ σ σ, τ = φ x σ + τ, c σ τ + c φ tσ + τ, c σ τ ψ στ σ, τ = φ xx σ + τ, c σ τ c φ xtσ + τ, c σ τ + c φ txσ + τ, c σ τ φ c 2 tt σ + τ, c σ τ, joten φ tt σ + τ, c σ τ c2 φ xx σ + τ, c σ τ = c2 ψ στ σ, τ, ja u tt c 2 u xx φ = 2c R F 2τ R = 2c ψ τσ σ, τ dσ / R F 2τ dτ ψ τ σ, τ koska ψσ, τ ja siten myös ψ τ σ, τ on kun σ on riittävän iso. dτ = G. Gripenberg Aalto-yliopisto L4, osa II, todistuksia ym. 4. maaliskuuta 2 48 / 68
25 Aaltoyhtälö ja keskiarvofunktiot, todistus Voimme kirjoittaa Ur, t = jolloin saadaan U r r, t = = as d = r d as d r d ux + rz, t dsz, B, B, r d as d a Bx, r = = Dux + rz, t z dsz B, a Bx, r Bx,r a Bx, r r d Dux + rz, t z dsz Bx,r Duy, t y x dsy r Bx,r = Duy, t n dsy divduy, t dy r d as d Bx,r uy, t dy. G. Gripenberg Aalto-yliopisto L4, osa II, todistuksia ym. 4. maaliskuuta 2 49 / 68 Aaltoyhtälö ja keskiarvofunktiot, todistus jatkuu Koska u on aaltoyhtälön ratkaisu edellisen yhtälön perusteella r d U r r, t = u tt y dy a Bx, Bx,r r = a Bx, Tästä yhtälöstä taas seuraa, että r r d U r r, t = a Bx, = r d r d Bx, Bx,r Bx,r = r d a Bx, r Bx,ρ u tt y, t dsy u tt y, t dsy Bx,r u tt y, t dsy dρ. u tt y, t dsy. G. Gripenberg Aalto-yliopisto L4, osa II, todistuksia ym. 4. maaliskuuta 2 5 / 68
26 Aaltoyhtälö ja keskiarvofunktiot, todistus jatkuu Funktion U:n määritelmän mukaan pätee silloin eli r r d U r r, t = r d U tt r, t, U tt = U rr + d U r. r G. Gripenberg Aalto-yliopisto L4, osa II, todistuksia ym. 4. maaliskuuta 2 5 / 68 Aaltoyhtälö ja keskiarvofunktiot, tekninen yksitysikohta Koska u on kahdesti jatkuvasti derivoituva funktio niin u on jatkuva ja lim r U r r, t =. Koska r uy, t dy = uz, t dsz dρ, Bx,r Bx,ρ niin Lisäksi r r Bx,r uy, t dy = Bx,r r d as d = d r d as d = d uy, t dsy. vbx, r, missä vbx, r = Bx,,r vbx, r = r d d as d. dx koska integroimalla todetaan, että G. Gripenberg Aalto-yliopisto L4, osa II, todistuksia ym. 4. maaliskuuta 2 52 / 68
27 Aaltoyhtälö ja keskiarvofunktiot, tekninen yksitysikohta jatkuu Kaavasta U r r, t = r d as d Bx,r uy, t dy saadaan nyt derivoimalla U rr r, t = uy dsy a Bx, r Bx,r + d uy dy, vbx, r Bx,r ja erityisesti saadaan lim r U rr r, t = d ux, t. josta voidaan päätellä että U on todella kaksi kertaa jatkuvasti derivoituva r:n suhteen. G. Gripenberg Aalto-yliopisto L4, osa II, todistuksia ym. 4. maaliskuuta 2 53 / 68 Aaltoyhtälö ja keskiarvofunktiot kun d = 3, perustelu Määritellään V r, t = rur, t. Silloin V tt = ru tt = r U rr + 2 r U r = ru rr + 2U r = U + ru r r = V rr. Oletuksista seuraa, että V, t = joten soveltamalla aikaisemmin laskettuja tuloksia -ulotteisesta aaltoyhtälöstä kun x, saadaan kun r < t jolloin ei siis tarvitse välittää siitä mitä V r, ja V t r, ovat kun r < eli V r, t = 2 r+t V r + t, V t r, + V t y, dy, 2 r+t Ur, t = r + tur + t, t rut r, 2r + 2r t+r t r yu t y, dy. G. Gripenberg Aalto-yliopisto L4, osa II, todistuksia ym. 4. maaliskuuta 2 54 / 68
28 Aaltoyhtälön ratkaisukaava R 3, :ssä, johto Olkoon x R 3 mielivaltainen. Edellisten tehtävien nojalla tiedämme, että jos merkitään Ur, t = uy, t dsy, a Bx, r Bx,r niin Ur, t = r + tur + t, t rut r, 2r Olettaen, että u on jatkuva pätee tietenkin + 2r t+r t r yu t y, dy. ux, t = lim Ur, t = tut, + tut t, r t = t uy, dsy t a Bx, t Bx,t t + u t y, dsy. a Bx, t Bx,t G. Gripenberg Aalto-yliopisto L4, osa II, todistuksia ym. 4. maaliskuuta 2 55 / 68 Aaltoyhtälön ratkaisukaava R 3, :ssä, johto jatkuu Mutta koska niin a Bx, t t Bx,t a Bx, t = uy, dsy = Bx,t a B, = uy, dsy B, a Bx, t as d ux + tz dsz, B, Dux + tz, z dsz Bx,t Duy, y x t dsy. Näin ollen tulokseksi saadaan ux, t= uy, + Duy, y x + tu t y, dsy. a Bx, t Bx,t G. Gripenberg Aalto-yliopisto L4, osa II, todistuksia ym. 4. maaliskuuta 2 56 / 68
29 Aaltoyhtälön ratkaisukaava R 2, :ssä, johto Määritellään funktio v : R 3 R + R kaavalla vx, x 2, x 3, t = ux.x 2, t. Silloin v on selvästikin aaltoyhtälön ratkaisu joukossa R 3, ja aikaisemman tehtävän nojalla tälle ratkaisulle löytyy ratkaisukaava jossa integroidaan 3-ulotteisen pallon pinnan yli. Jos pallon keskipiste on x = x, ja otetaan käyttöön pallokoordinaatteja niin pallon B 3 x, t pinnan B 3 x, t pinta-ala elementti on t 2 sinθ dθ dϕ missä ϕ 2π ja θ π. Jos nyt integroitava funktio k riippuu ainoastaan kahdesta ensimmäisestä koordinaatista, niin saadaan G. Gripenberg Aalto-yliopisto L4, osa II, todistuksia ym. 4. maaliskuuta 2 57 / 68 Aaltoyhtälön ratkaisukaava R 2, :ssä, johto jatkuu B 3 x,t 2π π = = 2 ky dsy kx + t sinθ cosϕ, x 2 + t sinθ sinϕt 2 sinθ dθ dϕ 2π π 2 2π t t sinθ = s = 2 kx + t sinθ cosϕ, x 2 + t sinθ sinϕ t cosθ t sinθ dθ dϕ sinθ 2 t kx + s cosϕ, x 2 + s sinϕ s ds dϕ t 2 s2 t = 2 ky t 2 y x dy. 2 Bx,t G. Gripenberg Aalto-yliopisto L4, osa II, todistuksia ym. 4. maaliskuuta 2 58 / 68
30 Aaltoyhtälön ratkaisukaava R 2, :ssä, johto jatkuu Kun nyt käytetään hyväksi kolme-ulotteisessa tapauksessa johdettua kaavaa ja muistetaan, että v x x, x 2, x 3, = u x x, x 2,, eli kolmas komponentti on niin saadaan ux, t = = t 2 2t 4πt 2 Bx,t vbx, t Bx,t t 2 y x 2 ux, + Dux, y x + tu t y, dy t 2 y x 2 ux, + Dux, y x + tu t y, dy. G. Gripenberg Aalto-yliopisto L4, osa II, todistuksia ym. 4. maaliskuuta 2 59 / 68 Energiaperiaate ja yksikäsitteisyys, todistus Määritellään et = 2 Nyt pätee tietenkin josta seuraa, että d dt joten saadaan e t = Bx,t t Bx,t t Bx,t t Bx,t t u t x, t 2 + Dux, t 2 dx, t t. kx dx = t t kx dx = Bx,r Bx,t t kx dsx dr, kx dsx, u t x, tu tt x, t + Dux, t Du t x, t dx 2 Bx,t t u t x, t 2 + Dux, t 2 dsx. G. Gripenberg Aalto-yliopisto L4, osa II, todistuksia ym. 4. maaliskuuta 2 6 / 68
31 Energiaperiaate ja yksikäsitteisyys, todistus jatkuu Koska divdux, tu t x, t = Dux, t Du t x, t + ux, tu t x, t niin saadaan divergenssilauseen nojalla e t = u t x, tu tt x, t ux, t dx = 2 Bx,t t 2 Bx,t t + ja koska n = niin Bx,t t Bx,t t u t x, tdux, t n dsx u t x, t 2 + Dux, t 2 dsx 2u t x, tdux, t n u t x, t 2 Dux, t 2 dsx, 2u t x, tdux, t n u t x, t 2 Dux, t 2, joten e t. Koska et niin ehdosta e = seuraa, että et = kun t [, t ] joten u t x, t = kun t t x x ja koska ux, = niin tästä seuraa, että myös ux, t = kun t t x x. G. Gripenberg Aalto-yliopisto L4, osa II, todistuksia ym. 4. maaliskuuta 2 6 / 68 Aputuloksen todistus Valitaan oikeastaan vain tapausta Re α = varten δ > siten, että Re αδ < ja määritellään h λ x = e α δαπx2. Oletuksista seuraa, että Re α δα > joten h δ SR. Funktion h δ Fourier-muunnos on ĥ δ ω = e i2πωx e α δαπx2 dx R = e α δαπx+ i α δα ω2 dx e π ω 2 α δα R = e πα δαx+a+ib2 dx e π ω 2 α δα, R missä a + ib = i α δα ω. G. Gripenberg Aalto-yliopisto L4, osa II, todistuksia ym. 4. maaliskuuta 2 62 / 68
32 Aputuloksen todistus jatkuu Jos f z = e πα δαz2 niin f on kompleksitasossa analyyttinen funktio ja koska Re α δα > niin lim Re z sup Im z b f z = josta Cauchyn integraalilauseen nojalla seuraa, että e πα δαx+a+ib2 dx = e πα δαx2 dx. R R Standardipäättelyn avulla saadaan 2π e πα δαx2 dx = R e πα δαr 2 r dr dθ = α δα. Funktion h δ Fourier-muunnos on siten ĥ δ ω = α δα e π ω 2 α δα, ω R, ja kertolaskukaavan nojalla saadaan väite kun otetaan raja-arvo kun δ. G. Gripenberg Aalto-yliopisto L4, osa II, todistuksia ym. 4. maaliskuuta 2 63 / 68 Schrödingerin yhtälö ja alkuarvo, todistus Oletetaan, että t >, muuten otetaan kompleksikonjugaatti. Muuttujanvaihdolla saadaan e i x y 2 i4πt d 4t gy dy = i d e iπ y 2 gx 4πty dy. 2 R d R d Koska funktio y gx 4πty on funktion 4πt d 2 e i2π 4πt ω xĝ 4πt ω Fourier-muunnos saadaan aikaisemman tuloksen ja muuttujanvaihdon avulla i d Rd e iπ y 2 gx 4πty dy = e iπ ω 2 4πt d i2π 2 e 4πt ω xĝ ω dω R d 4πt = e i2πω x ĝω dω. i4π2t ω 2 e R d G. Gripenberg Aalto-yliopisto L4, osa II, todistuksia ym. 4. maaliskuuta 2 64 / 68
33 Rankine-Hugoniotin ehto, tekninen versio Olkoon δ > ja olkoon ht jatkuvasti derivoituva funktio välillä t δ, t + δ ja merkitään x = ht. Olkoot ax, t ja bx, t tasaisesti jatkuvia ja jatkuvasti derivoituvia joukoissa V = { x, t : x, t x, t < δ, x < ht } ja O = { x, t : x, t x, t < δ, x > ht } jolloin voidaan määritellä a V t = lim x ht ax, t, b V t = lim x ht bx, t, a V t = lim x ht ax, t ja b O t = lim x ht bx, t. Oletetaan lisäksi, että Silloin a t x, t + b x x, t =, x, t V O. ax, tφt x, t + bx, tφ x x, t dx dt, Bx,t,δ missä Bx, t, δ = { x, t : x, t st, t < δ }, kaikilla ei-negatiivisilla funktioilla φ C R 2 ; R + joiden kantaja sisältyy joukkoon Bx, t, δ jos ja vain jos aina kun ht, t ht, t < δ pätee b V t b O t h t a V t a O t. G. Gripenberg Aalto-yliopisto L4, osa II, todistuksia ym. 4. maaliskuuta 2 65 / 68 Rankine-Hugoniotin ehto, tekninen versio, todistus Olkoon φ mielivaltainen ei-negatiivinen jatkuvasti derivoituva funktio, joka on identtisesti joukon Bx, t, δ ulkopuolella missä δ < δ. Silloin pätee tietenkin myös a t x, tφx, t + b x x, tφx, t =, x, t V O, joten saadaan ax, tφt x, t + bx, tφ x x, t dx dt S ɛ = div b S x, tφx, t, a S x, tφx, t dx dt. S = V, O, S ɛ missä V ɛ = { x, t V : x < ht ɛ } ja O ɛ = { x, t O : x > ht + ɛ } Kun sovelletaan divergenssilausetta voidaan käyttää hyväksi tietoa, että φx, t = kun x, t x, t δ jollakin eli joukoissa V \ Γ ɛ ja O \ Γ +ɛ missä Γ ±ɛ = { x, t : x = ht ± ɛ, x, t Bx, t, δ }. G. Gripenberg Aalto-yliopisto L4, osa II, todistuksia ym. 4. maaliskuuta 2 66 / 68
34 Rankine-Hugoniotin ehto, tekninen versio, todistus Divergenssilauseen nojalla saadaan siten div bx, tφx, t, ax, tφx, t dx dt V ɛ = t +δ t δ bht ɛ, tφht ɛ, t, aht ɛ, tφht ɛ, t, h t dt, ja O ɛ = div bx, tφx, t, ax, tφx, t dx dt t +δ t δ bht + ɛ, tφht + ɛ, t, aht + ɛ, tφht + ɛ, t, h t dt. G. Gripenberg Aalto-yliopisto L4, osa II, todistuksia ym. 4. maaliskuuta 2 67 / 68 Rankine-Hugoniotin ehto, tekninen versio, todistus Laskemalla yhteen ja ottamalla raja-arvo kun ɛ saadaan Bx,t,δ t +δ = ax, tφt x, t + bx, tφ x x, t dx dt t δ φht, t b V t b O t h t a V t a O t dt. Nyt väite seuraa, siitä että b V t b O t h t a V t a O t kaikissa pisteissä t missä ht, t x, t < δ jos ja vain jos t +δ t δ φht, t b V t b O t h t a V t a O t dt kaikilla jatkuvasti derivoituvilla funktioilla φ, jotka ovat identtisesti nolla joukon Bx, t, δ ulkopuolella jollakin δ < δ. G. Gripenberg Aalto-yliopisto L4, osa II, todistuksia ym. 4. maaliskuuta 2 68 / 68
Mat Matematiikan peruskurssi L4, osa II
Mat-.040 Matematiikan peruskurssi L4, osa II G. Gripenberg Aalto-yliopisto 26. maaliskuuta 200 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa II 26. maaliskuuta 200 / 70 Poissonin yhtälö................... 4
LisätiedotMS-C1350 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Harjoitukset 5, syksy Mallivastaukset
MS-C350 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Haroitukset 5, syksy 207. Oletetaan, että a > 0 a funktio u on yhtälön u a u = 0 ratkaisu. a Osoita, että funktio vx, t = u x, t toteuttaa yhtälön a v = 0. b Osoita,
LisätiedotKirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi ym. tiedot! Laskin (yo-kirjoituksissa hyväksytty) on sallittu apuväline tässä kokeessa!
Aalto yliopiston teknillinen korkeakoulu Mat-1.1040 L4 Tentti ja välikokeiden uusinta 21.5.2010 Gripenberg, Arponen, Siljander Kirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi ym. tiedot! Laskin
LisätiedotMatematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus Malliratkaisut (Sauli Lindberg)
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus 4 9.4.-23.4.200 Malliratkaisut (Sauli Lindberg). Näytä, että Lusinin lauseessa voidaan luopua oletuksesta m(a)
LisätiedotOsittaisdifferentiaaliyhtälöt
Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Harjoituskokoelmat 4 ja 5, kevät 2011 Palautus Eemeli Blåstenille to 23.6. klo 16.00 mennessä 1. Ratkaise Dirichlet ongelma u(x, y) = 0, x 2 + y 2 < 1, u(x, y) = y + x 2,
Lisätiedot11. Poissonin yhtälö Perusratkaisu. Laplacen yhtälöön liittyvää epähomogeenista osittaisdifferentiaaliyhtälöä
. Poissonin yhtälö.. Perusratkaisu. Laplacen yhtälöön liittyvää epähomogeenista osittaisdifferentiaaliyhtälöä u = f kutsutaan Poissonin yhtälöksi ja siihen liittyvvää reuna-arvotehtävää { u = f :ssa, ja
Lisätiedotu = 2 u (9.1) x + 2 u
9. Poissonin integraali 9.. Poissonin integraali. Ratkaistaan Diriclet n reuna-arvotehtävä origokeskisessä, R-säteisessä ympyrässä D = {(x, y) R x +y < R }, t.s. kun f : D R on annettu jatkuva funktio,
LisätiedotMS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Tentti ja välikokeiden uusinta
MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Tentti ja välikokeiden uusinta 8..206 Gripenberg, Nieminen, Ojanen, Tiilikainen, Weckman Kirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi
LisätiedotIV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n
IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee
Lisätiedote int) dt = 1 ( 2π 1 ) (0 ein0 ein2π
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Funktionaalianalyysin peruskurssi Kevät 9) Harjoitus 7 Ratkaisuja Jussi Martin). E Hilbert avaruus L [, π]) ja gt) := t, t [, π]. Määrää funktion g Fourier kertoimet
LisätiedotMATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS
f ( n) JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS n Funktionaalianalyysi Ei harjoituksia 1.4.2015 Funktionaalista viihdettä pääsiäistauolle: viikolla 14 (ma 30.3., ti 31.3. ja ke 1.4.)
Lisätiedot7. Tasaisen rajoituksen periaate
18 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 7. Tasaisen rajoituksen periaate Täydellisyydestä puristetaan maksimaalinen hyöty seuraavan Bairen lauseen avulla. Bairen lause on keskeinen todistettaessa kahta funktionaalianalyysin
Lisätiedoty x1 σ t 1 = c y x 1 σ t 1 = y x 2 σ t 2 y x 2 x 1 y = σ(t 2 t 1 ) x 2 x 1 y t 2 t 1
1. Tarkastellaan funktiota missä σ C ja y (y 1,..., y n ) R n. u : R n R C, u(x, t) e i(y x σt), (a) Miksi funktiota u(x, t) voidaan kutsua tasoaalloksi, jonka aaltorintama on kohtisuorassa vektorin y
LisätiedotMS-C1420 Fourier-analyysi Esimerkkejä, perusteluja, osa I
MS-C140 Fourier-analyysi Esimerkkejä, perusteluja, osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 3. tammikuuta 014 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto MS-C140 Fourier-analyysiEsimerkkejä, perusteluja, osa3. I tammikuuta
LisätiedotMS-C1420 Fourier-analyysi osa I
MS-C1420 Fourier-analyysi osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 29. tammikuuta 2014 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-C1420 Fourier-analyysiosa I 29. tammikuuta 2014 1 / 29 Fourier-muunnoksia Jatkuva-aikaisen
Lisätiedot8. Avoimen kuvauksen lause
116 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 8. Avoimen kuvauksen lause Palautamme aluksi mieleen Topologian kursseilta ehkä tutut perusasiat yleisestä avoimen kuvauksen käsitteestä. Määrittelemme ensin avoimen
LisätiedotSeuraava topologisluonteinen lause on nk. Bairen lause tai Bairen kategorialause, n=1
FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 115 7. Tasaisen rajoituksen periaate Täydellisyydestä puristetaan maksimaalinen hyöty seuraavan Bairen lauseen avulla. Bairen lause on keskeinen todistettaessa kahta funktionaalianalyysin
LisätiedotMS-C1420 Fourier-analyysi osa I
MS-C142 Fourier-analyysi osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 29. tammikuuta 214 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-C142 Fourier-analyysiosa I 29. tammikuuta 214 1 / 3 1 Johdanto 2 Fourier-integraali Fourier-muunnos
LisätiedotMS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 9: Muuttujanvaihto taso- ja avaruusintegraaleissa
MS-A24 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 9: Muuttujanvaihto taso- ja avaruusintegraaleissa Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kevät 216 Antti Rasila
Lisätiedot3.3 Funktion raja-arvo
3.3 Funktion raja-arvo Olkoot A ja B kompleksitason joukkoja ja f : A B kuvaus. Kuvauksella f on pisteessä z 0 A raja-arvo c, jos jokaista ε > 0 vastaa δ > 0 siten, että 0 < z z 0 < δ ja z A f(z) c < ε.
Lisätiedotu 2 dx, u A f siten, että D(u) = inf D(U). Tarkemmin: Tarkoitus on osoittaa seuraavat minimointitehtävä ja Dirichlet n tehtävä u A f ja
1. Dirichlet n periaatteesta 1.1. Periaate I. Dirichlet n periaate pohjautuu fysikaaliseen minimienergiaperiaatteeseen ja luo pohjaa osittaisdifferentiaaliyhtälöiden ja variaatiolaskennan välille). Yksinkertaisesti
LisätiedotJYVÄSKYLÄN YLIOPISTO. Integraalilaskenta 2 Harjoitus Olkoon A := {(x, y) R 2 0 x π, sin x y 2 sin x}. Laske käyräintegraali
JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO MTEMTIIKN J TILSTOTIETEEN LITOS Integraalilaskenta Harjoitus 4 5.4.4. Olkoon := {(x, y) R x π, sin x y sin x}. Laske käyräintegraali + (y dx + x dy) a) suoraan; ja b) Greenin lauseen
Lisätiedotpuolitasossa R 2 x e x2 /(4t). 4πt
8. Lämmönjohtumisyhtälö II 8.1. Lämpöydin. Tarkastellaan lämmönjohtumisyhtälöä reaaliakselilla, t.s. pyritään ratkaisemaan alkuarvotehtävä u (8.1) t u 2 u puolitasossa R 2 x 2 + R (, ), u(x, ) f(x) kaikille
LisätiedotMS-C1420 Fourier-analyysi Esimerkkejä, perusteluja, osa I
MS-C14 Fourier-analyysi Esimerkkejä, perusteluja, osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 3. tammikuuta 14 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto MS-C14 Fourier-analyysiEsimerkkejä, perusteluja, osa3. I tammikuuta
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle /
MS-A8 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/7 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 5. viikolle / 9..5. Integroimismenetelmät Tehtävä : Laske osittaisintegroinnin avulla a) π x sin(x) dx,
LisätiedotMS-C1420 Fourier-analyysi osa I
1 Johdanto MS-C142 Fourier-analyysi osa I G Gripenberg 2 Fourier-integraali Fourier-muunnos ja derivaatta Konvoluutio Fourier-käänteismuunnos eliöintegroituvat funktiot Aalto-yliopisto 29 tammikuuta 214
Lisätiedotu(0, t) = 0 kaikille t > 0: lämpötila pidetään vakiona pisteessä x = 0;
3. Lämmönjohtumisyhtälö I Yksiulotteisessa lämmönjohtumisyhtälössä u t = u γ x tuntematon funktio u = u(x, t) kuvaa lämpötilaa yksiulotteisen kappaleen (ohut sauva; x-akseli) kohdassa x hetkellä t. Kun
LisätiedotHarjoitus 1, tehtävä 1
Heikki Kallasjoki, 66H, htkallas@cc.hut.fi /34 Harjoitus, tehtävä Oletetaan, että f C(R) on π-jaksollinen funktio ja a R. Näytä, että f(t + a) dt f(t) dt a+π f(t) dt. a () () (3) Tarkastellaan ensin lauseketta
LisätiedotPoissonin yhtälö ja Greenin funktio
Poissonin yhtälö ja Greenin funktio Ipa Puustinen Matematiikan pro gradu Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kevät 209 Tiivistelmä: Ipa Puustinen, Poissonin yhtälö ja Greenin funktio
LisätiedotLUKU 3. Ulkoinen derivaatta. dx i 1. dx i 2. ω i1,i 2,...,i k
LUKU 3 Ulkoinen derivaatta Olkoot A R n alue k n ja ω jatkuvasti derivoituva k-muoto alueessa A Muoto ω voidaan esittää summana ω = ω i1 i 2 i k dx i 1 dx i 2 1 i 1
LisätiedotLuento 8: Epälineaarinen optimointi
Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori 0 = (0,..., 0). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään
LisätiedotKOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012
KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 8. Integraalilauseiden sovelluksia 1. Analyyttisen funktion sarjaesitys. (eli jokainen analyyttinen funktio on lokaalisti suppenevan potenssisarjan
LisätiedotTäydellisyysaksiooman kertaus
Täydellisyysaksiooman kertaus Luku M R on joukon A R yläraja, jos a M kaikille a A. Luku M R on joukon A R alaraja, jos a M kaikille a A. A on ylhäältä (vast. alhaalta) rajoitettu, jos sillä on jokin yläraja
LisätiedotF dr = F NdS. VEKTORIANALYYSI Luento Stokesin lause
91 VEKTORIANALYYI Luento 13 9. tokesin lause A 16.5 tokesin lause on kuin Gaussin lause, mutta yhtä dimensiota alempana: se liittää toisiinsa kentän derivaatasta pinnan yli otetun integraalin ja pinnan
LisätiedotSatunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Satunnaismuuttujien muunnokset ja
LisätiedotDerivaatat lasketaan komponenteittain, esimerkiksi E 1 E 2
MS-C50 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Harjoitukset syksy 07. Oletetaan että vektorikenttä E E E E : R R on kaksi kertaa jatkuvasti derivoituva E C R. Näytä että E E. Derivaatat lasketaan komponenteittain
Lisätiedot=p(x) + p(y), joten ehto (N1) on voimassa. Jos lisäksi λ on skalaari, niin
FUNKTIONAALIANALYYSI, RATKAISUT 1 KEVÄT 211, (AP) 1. Ovatko seuraavat reaaliarvoiset funktiot p : R 3 R normeja? Ovatko ne seminormeja? ( x = (x 1, x 2, x 3 ) R 3 ) a) p(x) := x 2 1 + x 2 2 + x 2 3, b)
LisätiedotDIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1. Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS
DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1 Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS Huomautus. Analyysin yksi keskeisimmistä käsitteistä on jatkuvuus! Olkoon A R mielivaltainen joukko
Lisätiedotr > y x z x = z y + y x z y + y x = r y x + y x = r
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi I, syksy 018 Harjoitus Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Osoita, että avoin kuula on avoin joukko ja suljettu kuula on suljettu joukko. Ratkaisu.
LisätiedotMS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Esimerkkejä ym., osa I
MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 21. tammikuuta 2016 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta
LisätiedotMATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS
f ( n JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS n Harjoitusten 8 ratkaisut Topologiset vektoriavaruudet 2010 8.1. Olkoon P n = {f : K K p on enintään asteen n 1 polynomi} varustettuna
LisätiedotMS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Esimerkkejä ym., osa I
Usean muuttujan funktiot MS-A7 Differentiaali- ja integraalilaskenta (Chem) Esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto Raja-arvot 3 Jatkuvat funktiot 4 Osittaisderivaatat 5 Derivaatta eli gradientti.
LisätiedotOrtogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle
Ortogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle Olkoon X sisätuloavaruus ja Y X äärellisulotteinen aliavaruus. Tällöin on olemassa lineaarisesti riippumattomat vektorit y 1, y 2,..., yn, jotka
LisätiedotSekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä
Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja
LisätiedotReuna-arvotehtävien ratkaisumenetelmät
Reuna-arvotehtävien ratkaisumenetelmät Keijo Ruotsalainen Division of Mathematics Malliprobleema Kahden pisteen reuna-arvotehtävä u (x) = f (x) (1) u() = u(1) = Jos u C ([,1]) ratkaisu, niin missä x u(x)
LisätiedotHarjoitus Etsi seuraavien autonomisten yhtälöiden kriittiset pisteet ja tutki niiden stabiliteettia:
Differentiaaliyhtälöt, Kesä 216 Harjoitus 2 1. Etsi seuraavien autonomisten yhtälöiden kriittiset pisteet ja tutki niiden stabiliteettia: (a) y = (2 y) 3, (b) y = (y 1) 2, (c) y = 2y y 2. 2. Etsi seuraavien
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause.
MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause. Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015
Lisätiedot6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset
SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 51 6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt Määritelmä 6.1. Olkoon I R avoin väli. Olkoot p i : I R, i = 0, 1, 2,..., n, ja q : I R jatkuvia
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat Satunnaismuuttujien muunnosten jakaumat
LisätiedotOletetaan sitten, että γ(i) = η(j). Koska γ ja η ovat Jordan-polku, ne ovat jatkuvia injektiivisiä kuvauksia kompaktilta joukolta, ja määrittävät
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 18 Harjoitus 6 Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Osoita, että sileille Jordan-poluille on voimassa : I R n ja : J R n (I) = (J) jos ja vain
LisätiedotRatkaisu: Tutkitaan derivoituvuutta Cauchy-Riemannin yhtälöillä: f(x, y) = u(x, y) + iv(x, y) = 2x + ixy 2. 2 = 2xy xy = 1
1. Selvitä missä tason pisteissä annetut funktiot ovat derivoituvia/analyyttisiä. Määrää funktion derivaatta niissä pisteissä, joissa se on olemassa. (a) (x, y) 2x + ixy 2 (b) (x, y) cos x cosh y i sin
LisätiedotL p -keskiarvoalueista
L p -keskiarvoalueista Jenni Alamehtä Matematiikan pro gradu Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kesäkuu 4 HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFOS UNIVESITET UNIVESITY OF HELSINKI TiedekuntaOsasto
LisätiedotOletetaan ensin, että tangenttitaso on olemassa. Nyt pinnalla S on koordinaattiesitys ψ, jolle pätee että kaikilla x V U
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 018 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Olkoon U R avoin joukko ja ϕ = (ϕ 1, ϕ, ϕ 3 ) : U R 3 kaksiulotteisen C 1 -alkeispinnan
Lisätiedoty = 3x2 y 2 + sin(2x). x = ex y + e y2 y = ex y + 2xye y2
Matematiikan ja tilastotieteen osasto/hy Differentiaaliyhtälöt I Laskuharjoitus 2 mallit Kevät 219 Tehtävä 1. Laske osittaisderivaatat f x = f/x ja f y = f/, kun f = f(x, y) on funktio a) x 2 y 3 + y sin(2x),
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kertausluento 2. välikokeeseen Toisessa välikokeessa on syytä osata ainakin seuraavat asiat:. Potenssisarjojen suppenemissäde, suppenemisväli ja suppenemisjoukko. 2. Derivaatan
Lisätiedot= vakio = λ. V (x) V (0) = V (l) = 0.
6. Aatoyhtäö I 6.1. Ratkaisu Fourier-sarjojen avua. Oetetaan, että värähteevän angan muodon hetkeä t = määrää funktio u ja nopeuden funktio u 1. Otetaan tehtäväksi määrätä seuraavan akuarvo- reuna-arvotehtävän
LisätiedotKompleksianalyysi, viikko 4
Kompleksianalyysi, viikko 4 Jukka Kemppainen Mathematics Division Reaalimuuttujan kompleksiarvoisen funktion integraali Aloitetaan reaalimuuttujan kompleksiarvoisen funktion integraalin määrittelyllä,
LisätiedotLuento 8: Epälineaarinen optimointi
Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori = (,..., ). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään
LisätiedotMat Matematiikan peruskurssi K2
Mat-.3 Matematiikan peruskurssi K Heikkinen/Tikanmäki Kolmas välikoe 6.5. Kokeessa saa käyttää ylioppilaskirjoituksiin hyväksyttyä laskinta. Sivun kääntöpuolelta löytyy integrointikaavoja.. Olkoon F(x,
LisätiedotLUKU 10. Yhdensuuntaissiirto
LUKU hdensuuntaissiirto Olkoot (M, N) suunnistettu pinta, p M ja v p R 3 p annettu vektori pisteessä p (vektorin v p ei tarvitse olla pinnan M tangenttivektori). Tällöin vektori (v p N(p)) N(p) on vektorin
LisätiedotTampere University of Technology
Tampere University of Technology EDE- Introduction to Finite Element Method. Exercise 3 Autumn 3.. Solve the deflection curve v(x) exactly for the beam shown y,v q v = q z, xxxx x E I z Integroidaan yhtälö
Lisätiedot1 Sisätulo- ja normiavaruudet
1 Sisätulo- ja normiavaruudet 1.1 Sisätuloavaruus Määritelmä 1. Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus : V V R on reaalinen sisätulo eli pistetulo, jos (a) v w = w v (symmetrisyys); (b) v + u w = v
Lisätiedot4.3.7 Epäoleellinen integraali
Esimerkki 4.3.16. (Lineaarinen muuttujien vaihto) Olkoot A R m sellainen kompakti joukko, että A on nollajoukko. Olkoon M R m m säännöllinen matriisi (eli det(m) 0) ja f : R m R jatkuva funktio. Tehdään
LisätiedotLuento 9: Yhtälörajoitukset optimoinnissa
Luento 9: Yhtälörajoitukset optimoinnissa Lagrangen kerroin Oletetaan aluksi, että f, g : R R. Merkitään (x 1, x ) := (x, y) ja johdetaan Lagrangen kerroin λ tehtävälle min f(x, y) s.t. g(x, y) = 0 Olkoon
LisätiedotMS-A0107 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (CHEM)
MS-A17 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 CHEM) Laskuharjoitus 4lv, kevät 16 1. Tehtävä: Laske cos x dx a) osittaisintegroinnilla, b) soveltamalla sopivaa trigonometrian kaavaa. Ratkaisu: a) Osittaisintegroinnin
LisätiedotV. POTENSSISARJAT. V.1. Abelin lause ja potenssisarjan suppenemisväli. a k (x x 0 ) k M
V. POTENSSISARJAT Funtioterminen sarja V.. Abelin lause ja potenssisarjan suppenemisväli P a x x, missä a, a, a 2,... R ja x R ovat vaioita, on potenssisarja, jona ertoimet ovat luvut a, a,... ja ehitysesus
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA II
802320A LINEAARIALGEBRA OSA II Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 64 Sisätuloavaruus Määritelmä 1 Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus on reaalinen
Lisätiedot= ( 1) 2 u tt (x, t) = u tt (x, t)
Harjoitukset 6, syksy 017 1. Osoita, ettei ajan suunnalla ole merkitystä aaltoyhtälössä: Jos u on ratkaisu, niin U(x, t) = u(x, t) on myös ratkaisu (toisin kuin lämpöyhtälön tapauksessa). Todistus. Funktion
Lisätiedot13. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: = 1 + y x + ( y ) 2 (y )
MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Differentiaaliyhtälöt, kesä 00 Tehtävät 3-8 / Ratkaisuehdotuksia (RT).6.00 3. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: y = + y + y = + y + ( y ) (y
LisätiedotTodista suoraan integraalin määritelmään perustuen tasointegraalin ominaisuus. λ f = λ f,
7. Taso- ja avaruusintegraali 7.1. Tasointegraalin määrittely 205. Tarkastellaan funktiota f (x,y) = x+y neliössä {(x,y) 0 x 1, 0 y 1}. Neliö jaetaan suorilla x = a ja y = b neljään osasuorakulmioon; 0
LisätiedotFunktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot
3. Funktion raja-arvo ja jatkuvuus 3.1. Reaali- ja kompleksifunktiot 43. Olkoon f monotoninen ja rajoitettu välillä ]a,b[. Todista, että raja-arvot lim + f (x) ja lim x b f (x) ovat olemassa. Todista myös,
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt, osa 1 Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 20 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista
LisätiedotTasainen suppeneminen ja sen sovellukset
Tasainen suppeneminen ja sen sovellukset Tuomas Hentunen Matematiikan pro gradu tutkielma Kesäkuu 2014 Tiivistelmä: Tuomas Hentunen, Tasainen suppeneminen ja sen sovellukset (engl. Uniform convergence
Lisätiedot, on säännöllinen 2-ulotteinen pinta. Määrää T x0 pisteessä x 0 = (0, 1, 1).
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 017 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotukset 4.1. Osoita, että tasa-arvojoukko S F (0), F : R 3 R, F (x) = 3x 1 x 3 + e x + x e x 3, on säännöllinen
LisätiedotMS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 10: Napa-, sylinteri- ja pallokoordinaatistot. Pintaintegraali.
MS-A25/MS-A26 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 1: Napa-, sylinteri- ja pallokoordinaatistot. Pintaintegraali. Jarmo Malinen Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto Kevät
LisätiedotMS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Yhteenveto ja esimerkkejä ym., osa I
MS-A007 Differentiaali- ja integraalilaskenta (Chem) Yhteenveto ja esimerkkejä ym., osa G. Gripenberg Aalto-yliopisto 1. tammikuuta 016 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A007 Differentiaali- ja integraalilaskenta
LisätiedotMS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Yhteenveto ja esimerkkejä ym., osa I
Usean muuttujan funktiot MS-A007 Differentiaali- ja integraalilaskenta (Chem) Yhteenveto ja esimerkkejä ym., osa G. Gripenberg Aalto-yliopisto Raja-arvot 3 Jatkuvat funktiot 4 Osittaisderivaatat 5 Derivaatta
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 9: Greenin lause
MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 9: Greenin lause Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015 1 / 19 Esimerkki Olkoon F : R 3 R 3 vakiofunktio
LisätiedotHarjoitus 1. Tehtävä 1. Malliratkaisut. f(t) = e (t α) cos(ω 0 t + β) L[f(t)] = f(t)e st dt = e st t+α cos(ω 0 t + β)dt.
Harjoitus Malliratkaisut Tehtävä L[f(t)] ˆ f(t) e (t α) cos(ω t + β) f(t)e st dt ˆ e st t+α cos(ω t + β)dt cos(ω t + β) 2 (ej(ωt+β) + e j(ωt+β) ) L[f(t)] 2 eα 2 ˆ ˆ e st t+α (e j(ω t+β) + e j(ω t+β) )
LisätiedotAikariippuva Schrödingerin yhtälö
Aineaaltodynamiikka Aineaaltokenttien riippuvuus ajasta aikariippuva Schrödingerin yhtälö Stationääriset ja ei-stationääriset tilat Aaltopaketit Kvanttimekaniikan postulaatit Aikariippuva Schrödingerin
LisätiedotMS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Yhteenveto ja esimerkkejä ym., osa I
MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Yhteenveto ja esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 21. tammikuuta 2016 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0207 Differentiaali- ja
LisätiedotFourier-analyysi, I/19-20, Mallivastaukset, Laskuharjoitus 7
MS-C14, Fourier-analyysi, I/19- Fourier-analyysi, I/19-, Mallivastaukset, Laskuharjoitus 7 Harjoitustehtävä 7.1. Hetkellä t R olkoon s(t) 1 + cos(4πt) + sin(6πt). Laske tämän 1-periodisen signaalin s Fourier-kertoimet
LisätiedotKompleksianalyysi, viikko 6
Kompleksianalyysi, viikko 6 Jukka Kemppainen Mathematics Division Funktion erikoispisteet Määr. 1 Jos f on analyyttinen pisteen z 0 aidossa ympäristössä 0 < z z 0 < r jollakin r > 0, niin sanotaan, että
LisätiedotMatriisilaskenta, LH4, 2004, ratkaisut 1. Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot, jotka sisältävät vain
Matriisilaskenta LH4 24 ratkaisut 1 Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot jotka sisältävät vain a) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit joilla d a + b b) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit
LisätiedotAnalyysin peruslause
LUKU 10 Analyysin peruslause 10.1. Peruslause I Aiemmin Cantorin funktion ψ kohdalla todettiin, että analyysin peruslause II ei päde: [0,1] ψ (x) dm(x) < ψ(1) ψ(0). Kasvavalle funktiolle analyysin peruslauseesta
LisätiedotMS-C1420 Fourier-analyysi osa II
MS-C142 Fourier-analyysi osa II G. Gripenberg Aalto-yliopisto 14. helmikuuta 214 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-C142 Fourier-analyysiosa II 14. helmikuuta 214 1 / 36 1 Fourier-sarjat ja Fourier-integraalit
LisätiedotOminaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus
Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus Lause 17 Oletetaan, että A on n n -matriisi. Oletetaan, että λ 1,..., λ m ovat matriisin A eri ominaisarvoja, ja oletetaan, että v 1,..., v m ovat jotkin
LisätiedotPositiivitermisten sarjojen suppeneminen
Positiivitermisten sarjojen suppeneminen Jono (b n ) n= on kasvava, jos b n+ b n kaikilla n =, 2,... Lemma Jokainen ylhäältä rajoitettu kasvava jono (b n ) n= raja-arvo on lim n b n = sup n Z+ b n. suppenee
Lisätiedot3.1 Lineaarikuvaukset. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. 3.1 Lineaarikuvaukset. 3.1 Lineaarikuvaukset
31 MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta 3 Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2292015 Lineaariset yhtälöt ovat vektoreille luonnollisia yhtälöitä, joita
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 TFM Laskuharjoitus 2L
Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 TFM Laskuharjoitus 2L Tehtävät 1-3 ovat kotitehtäviä, jotka on tarkoitus laskea ennen loppuviikon harjoitusta. Tehtävät 4-6 palautetaan kirjallisena A4-paperilla
LisätiedotMatematiikan tukikurssi, kurssikerta 3
Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät
MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 2016 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2016
Lisätiedotsin(x2 + y 2 ) x 2 + y 2
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi I, syksy 2017 Harjoitus 2 Ratkaisuedotukset 2.1. Tutki funktion g : R 2 R, g(0, 0) = 0, jatkuvuutta. g(x, y) = sin(x2 + y 2 ) x 2 + y 2, kun (x,
LisätiedotMatemaattinen Analyysi
Vaasan yliopisto, 009-010 / ORMS1010 Matemaattinen Analyysi 7 harjoitus 1 Määritä seuraavien potenssisarjojen suppenemissäteet a) k k x 5)k b) k=1 k x 5)k = k k 1) k ) 1) Suppenemissäteen R käänteisarvo
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit laskuharjoitukseen 3 /
MS-A3x Differentiaali- ja integraalilaskenta 3, IV/6 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit laskuharjoitukseen 3 / 9..-.3. Avaruusintegraalit ja muuttujanvaihdot Tehtävä 3: Laske sopivalla muunnoksella
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
Lisätiedot2 Konveksisuus ja ratkaisun olemassaolo
2 Konveksisuus ja ratkaisun olemassaolo Ratkaisun olemassaolon tutkimiseen tarvitaan perustietoja konvekseista joukoista ja lineaarialgebrasta. Niitä tarvitaan myös ratkaisualgoritmin ymmärtämiseen. Tutkitaan
LisätiedotTenttiin valmentavia harjoituksia
Tenttiin valmentavia harjoituksia Alla olevissa harjoituksissa suluissa oleva sivunumero viittaa Juha Partasen kurssimonisteen siihen sivuun, jolta löytyy apua tehtävän ratkaisuun. Funktiot Harjoitus.
Lisätiedot1 Supremum ja infimum
Pekka Alestalo, 2018 Tämä moniste täydentää reaalilukuja ja jatkuvia reaalifunktioita koskevaa kalvosarjaa lähinnä perustelujen ja todistusten osalta. Suurin osa määritelmistä jms. on esitetty jo kalvoissa,
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
Lisätiedot