Ota tämä paperi mukaan, merkkaa siihen omat vastauksesi ja tarkista oikeat vastaukset klo 11:30 jälkeen osoitteesta

Koko: px

Aloita esitys sivulta:

Download "Ota tämä paperi mukaan, merkkaa siihen omat vastauksesi ja tarkista oikeat vastaukset klo 11:30 jälkeen osoitteesta"

Heidi Elstelä
8 vuotta sitten
Katselukertoja:

1 MAA5.2 Loppukoe Jussi Tyni Valitse 6 tehtävää Muista merkitä vastauspaperiin oma nimesi ja tee etusivulle pisteytysruudukko Kaikkiin tehtävien ratkaisuihin välivaiheet näkyviin! 1. Olkoon vektorit a 2i j 3k ja 3i 2 j k a) Laske a ja ) Laske vektorien a ja välinen kulma. 2. Olkoon vektorit a 4i 6 j 8k ja 14i 21j 28k a) Osoita matemaattisesti (pelkkä piirros ei riitä), että vektorit a ja ovat yhdensuuntaisia. ) Jos vektorit a ja ovat yhdensuuntaiset, ovatko ne vastakkaissuuntaiset vai samansuuntaiset? Kumpi on pitempi? Perustele. 3. a) Määritä komponenttimuodossa sellainen vektori, joka on samansuuntainen vektorin a i 2j 2k kanssa ja jonka pituus on 18. ) Jatkoa a) -kohtaan: Jos edellisen tehtävän vektorin päätepiste on (-174, 43, 4), määritä alkupisteen koordinaatit. 4. a) Suora kulkee pisteiden A=(2,-5,3) ja B=(1,-3,-2) kautta. Missä pisteessä suora leikkaa xytason? ) Kuinka suuressa kulmassa pisteiden (6, -3, 2) ja (-2,1,2) välinen jana näkyy origosta katsottuna? 5. Pienkone ilmestyy lennonjohdon tutkaan ja etenee tutkassa ensin vektorin a 3i 6 j 2k suuntaisesti 2000 metriä. Sen jälkeen kone vaihtaa suuntaa ja etenee vektorin 4i 4 j 2k suuntaisesti 4000 metriä. (yksi askel koordinaatistossa vastaa yhtä metriä ) Jos kone ilmestyi tutkaan pisteessä P = (300, 520, 1905), missä se on liikkeidensä jälkeen? Kuvaile koneen tilaa. s 6. Suora 1 s kulkee pisteiden A = (1,-1,2) ja B = (2,2,-1) kautta. Suora 2 kulkee pisteiden C = (3,1,-1) ja D = (-1,5,-4) kautta. Leikkaavatko suorat toisensa? Jos leikkaavat, niin missä pisteessä? 7. Piste D jakaa kolmion ABC sivun AB suhteessa 2:1 ja piste E sivun BC suhteessa 3:2. Määritä missä suhteessa janat AE ja CD leikkaavat toisensa? 8. Määritä pisteen P = (1,1,1) etäisyys pisteiden A = (0,1,-1) ja B = (1,-1,0) kautta kulkevasta suorasta. Ota tämä paperi mukaan, merkkaa siihen omat vastauksesi ja tarkista oikeat vastaukset klo 11:30 jälkeen osoitteesta

2 Ratkaisut. 1. a) a 2 ( 1) ( 2) ( 1) 14 a 23 ( 1) ( 2) 3 ( 1) 5 cos( a, ) a ) 5 1 cos( a, ) cos ( a, ) 69, a) Jotta vektorit ovat yhdensuuntaisia, täytyy olla ta t(4i 6 j 8 k) 14i 21j 28k 4ti 6t j 8tk 14i 21j 28k 4t 14 6t 21 8t Tästä yhtälöryhmästä ratkaistaan ekalta riviltä, että t 3,5 4 2 Tarkastetaan, että toteuttaako tämä kahta muuta yhtälöä! Toteuttaa, joten vektorit ovat yhdensuuntaisia, koska vektorista a saadaan vektori pidentämällä sitä kertojalla -3,5. ) Vektori on pitempi, koska a :ta pitää kertoa 3,5 kertaiseksi, jotta saadaan. Vektorit ovat vastakkaissuuntaiset, koska kertoja on negatiivinen. 3. a) a ( 1) Jotta saadaan a :n suuntainen vektori, jonka pituus on 18, vektori a pitää kertoa 6:lla. => 6( i 2 j 2 k) 6i 12 j 12k ) Ajo-ohjeet vektorin alkupisteestä vektorin loppupisteeseen (-174, 43, 4) saadaan vektorista. Lähtöpisteestä on pitänyt liikkua x-akselilla -6 pykälää, joten on lähdetty pisteestä x=-168 (-174-(-6)). Lähtöpisteestä on pitänyt liikkua y-akselilla +12 pykälää, joten on lähdetty pisteestä y=31. Lähtöpisteestä on pitänyt liikkua z-akselilla -12 pykälää, joten on lähdetty pisteestä 16. Lähtöpiste on siis (-168,31,16) 4. Suoran suuntavektori on AB v (1 2) i ( 3 ( 5)) j ( 2 3) k i 2 j 5k. xy-tason leikkauspiste X=(x,y,0) on samalla suoralla, joten voidaan muodostaa vektori AX: AX ( x 2) i ( y ( 5)) j (0 3) k ( x 2) i ( y 5) j 3k

3 Nyt koska vektorista v voidaan pidentää vektori AX, niin täytyy olla voimassa yhtälö: AX tv ( x 2) i ( y 5) j 3 k t( i 2 j 5 k) ( x 2) i ( y 5) j 3k ti 2t j 5tk Seuraa yhtälöryhmä: x 2 t y 5 2t 3 5t t x ja y => Piste X=(7/5 ; -19/5 ; 0) 5. Mallikuva: Lasketaan vektorien a ja pituudet ja pidennetään niitä sopivasti, jotta saadaan kuljettua vektorit AP ja PB:

4 a 3 ( 6) ( 2) AP a 3 i ( 6) j ( 2) k i j k ( 4) ( 2) PB 4 i ( 4) j ( 2) k i j k Nyt AB AP PB i j k i j k i j k 3524i 4381 j 1905k Lentokone siis liikkuu vektori AB:n verran lennonjohdon tutkassa ja on noin pisteessä: (3824, -3861, 0). X- ja Y-koordinaattien liikkeellä ei ole niin väliä, mutta koordinaatti Z osoittaa, että kone on tällä hetkellä maassa. Toivottavasti laskeutuminen on onnistunut ja lentokenttä on koordinaateissa (3824, -3861). 6. Mallikuva: Muodostetaan suorien suuntavektorit u ja v u i 3 j 3k ja v 4i 4 j 3k Nyt vektoreita u ja v sopivasti pidentämällä kertojilla t ja s saadaan muodostettua AX tu t( i 3j 3 k) ti 3tj 3tk ja CX sv s( 4i 4 j 3 k) 4si 4s j 3sk

5 AC 2i 2 j 3k Lisäksi Jos vektorit risteävät, täytyy olla: AX AC CX tu 2i 2 j 3k sv ti 3tj 3tk 2i 2 j 3k 4si 4s j 3sk ti 3t j 3 tk (2 4 s) i (2 4 s) j ( 3 3 s) k t 24s 3t 2 4s 3t 3 3s Kahdesta ekasta yhtälöstä voi ratkaista, että t=1 ja s=1/4. Nämä eivät toteuta kolmatta yhtälöä, eli ei ole olemassa suuntavektoreille u ja v sellaisia kertoimia s ja t, että suorat saataisiin risteämään. Suorat eivät siis risteä missään pisteessä! 7. Mallikuva AX t AE ja AE a AX t( a ) ta t) CX scd ja CD a CX s( a) s sa toisaalta : AX AC CX missä AC a, joten : 1 1 AX a s sa (1 s) a (1 s) 3 3 Nyt AX:n täytyy olla sama vektori, kierreltiinpä se mitä kautta hyvänsä, joten:

6 3 1 ta t (1 s) a (1 s) t 1 s s ja t t 1s 5 Koska AX t AE, niin leikkauspiste jakaa janan AE suhteessa 5:1 ja koska CX scd, niin leikkauspiste jakaa janan CD suhteessa 1:1. 8. Ratkaisu: Olkoon piste Q pisteiden A ja B kautta kulkevalla suoralla ja olkoon Q se suoran piste, joka on lähinnä pistettä P. Tällöin PQ PA t AB ja janat PQ ja AB ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan, jolloin PQ AB 0. Nyt PQ i 2 k t( i 2 j k) ( 1 t) i 2 t j ( 2 t) k ja PQ AB ( 1 t) 1 2 t ( 2) ( 2 t) t 4t 2 t 0 1 6t 3 t Tällöin PQ ( 1 ) i 2 j ( 2 ) k i j k ja PQ ( 1) 1 1, Vastaus:Pisteen P etäisyys suorasta on 7 1,9 2.

Samankaltaiset tiedostot

A-osio. Tehdään ilman laskinta ja taulukkokirjaa! Valitse tehtävistä A1-A3 kaksi ja vastaa niihin. Maksimissaan tunti aikaa suorittaa A-osiota.

A-osio. Tehdään ilman laskinta ja taulukkokirjaa! Valitse tehtävistä A1-A3 kaksi ja vastaa niihin. Maksimissaan tunti aikaa suorittaa A-osiota. MAA5.2 Loppukoe 24.9.2013 Jussi Tyni Valitse 6 tehtävää Muista merkitä vastauspaperiin oma nimesi ja tee etusivulle pisteytysruudukko Kaikkiin tehtävien ratkaisuihin välivaiheet näkyviin! A1. A-osio. Tehdään