Vektorit. Kertausta Seppo Lustig (Lähde: avoinoppikirja.fi)

Transkriptio

1 Vektorit Kertausta Seppo Lustig (Lähde: avoinoppikirja.fi)

2 Sisällys Vektorit Nimeäminen Vektorien kertolasku Vektorien yhteenlasku Suuntasopimus Esimerkki: laivan nopeus

3 Vektorit Vektoreilla eli nuolilla kuvataan suureita, joihin liittyy suuruuden lisäksi myös suunta Nuolen pituus kuvaa suureen suuruutta ja nuolen kärki osoittaa suunnan Vektorisuureita ovat esimerkiksi nopeus ja voima Jos auto ajaa tietyllä nopeudella, voidaan aina ilmoittaa mihin suuntaan se on ajamassa Nopeutta ei voi olla olemassa ilman suuntaa

4 Vektorit ja skalaarisuureet Skalaarisuureilla on ainoastaan suuruus ja ne ilmoitetaan mittaluvun sekä yksikön avulla Skalaarisuureita ovat esimerkiksi massa, aika ja pinta-ala. Jos kahta pistettä A ja B yhdistävälle janalle AB annetaan suunta eli sovitaan, että toinen pisteistä on janan alkupiste ja toinen sen loppupiste eli kärki, saadaan suuntajana. Vektoriksi kutsutaan mitä tahansa edellisen suuntajanan pituista ja suuntaista nuolta.

5 Vektorien nimeäminen Jos vektorin nimeämiseen käytetään alku- ja loppupistettä, merkitään nämä isoilla kirjaimilla, joiden päällä on nuoli Nuoli piirretään vasemmalta oikealle, jolloin loogisesti ensiksi mainitaan alkupiste ja seuraavaksi loppupiste Vakiintunut käytäntö on myös nimetä vektorit pienellä kirjaimella, jonka päällä on joko nuoli tai pelkkä viiva Vektorin pituus ilmaistaan joko laittamalla vektorisymboli itseisarvomerkkeihin tai jättämällä symbolista nuoli tai viiva pois

6 Vektorin nimeäminen

7 Yhdensuuntaisuus Vektorit voivat olla yhdensuuntaisia tai erisuuntaisia Yhdensuuntaiset vektorit voivat lisäksi olla samansuuntaisia tai vastakkaissuuntaisia Kaksi vektoria ovat samat, kun ne ovat yhtä pitkät ja samansuuntaiset. Vektorit, jotka ovat yhtä pitkät ja vastakkaissuuntaiset, ovat toistensa vastavektoreita. Jos vektorin alkupiste ja loppupiste yhtyvät, kutsutaan vektoria nollavektoriksi ja sitä merkitään Nollavektorin pituus on nolla ja sen suunta on määrittelemätön

8 Erilaisia vektoreita

9 Yksikkövektori Vektoreita kuvataan yleensä koordinaatistossa Samoin kun pituudessa tutkitaan, montako kertaa tietty mitta sisältyy tutkittavaan kohteeseen, on vektoriesityksenkin pohjauduttava johonkin mittaan Koordinaatistossa vektoriesitys perustuu yksikkövektoreihin, joiden pituudet ovat 1 Yksikkövektori on x-akselin suuntainen ja y- akselin suuntainen. Molempien vektoreiden kärjet osoittavat akseleiden positiiviseen suuntaan.

10 Vektorien kertolasku Vektori voidaan kertoa reaaliluvulla, jolloin saadaan alkuperäisen vektorin kanssa yhdensuuntainen vektori Jos vektori kerrotaan negatiivisella luvulla, muodostuu alkuperäisen vektorin kanssa vastakkaissuuntainen vektori eli vastavektori

11 Vektorit koordinaatistossa

12 Esimerkki

13 Vektoreilla laskeminen Yhdensuuntaisten vektoreiden laskeminen yhteen ja vähentäminen toisistaan vastaa reaaliluvuilla laskemista Erisuuntaisten vektoreiden yhdistämisessä on oltava tarkkana, sillä tällöin on huomioitava myös vektoreiden suunnat

14 Vektorien yhteenlasku Vektoreille merkitsevää ovat ainoastaan niiden pituus ja suunta, ei se, missä ne ovat. Siksi vektoreiden paikkaa voidaan vaihtaa kunhan niiden pituus ja suunta säilytetään. Vektoreita lasketaan yhteen siten, että vektorit asetetaan peräkkäin suuntansa ja suuruutensa säilyttäen Summavektori on lyhyin reitti ensimmäisen vektorin alkupisteestä viimeisen vektorin loppupisteeseen Vektorit voidaan asettaa peräkkäin missä järjestyksessä tahansa, sillä vektorien yhteenlasku noudattaa vaihdantalakia

15 Summavektori

16 Suuntasopimus Kun tarkastellaan vektoreiden avulla esimerkiksi nopeuksia, on tehtävä aluksi suuntasopimus. Laskuissa varustetaan valittuun suuntaan osoittavan vektorisuureen arvo plusmerkillä ja vastakkaiseen suuntaan osoittavan miinusmerkillä. Suuntasopimus tehdään yleensä siten, että laskut voidaan suorittaa positiivisilla luvuilla. Kiihtyvyys on vektorisuure, joka suoraviivaisessa liikkeessä on samansuuntainen tai vastakkaissuuntainen nopeuteen nähden Nopeuttaan lisäävän traktorin kiihtyvyys on nopeuden suuntainen, mutta hidastuvan traktorin kiihtyvyys on nopeudelle vastakkainen.

17 Esimerkki: laivan nopeus Laiva seilaa kohti länttä nopeudella 60 km/h. Yllättäen siihen vaikuttaa etelätuuli, jonka nopeus on 20 km/h. Mikä on laivan uusi kulkusuunta ja nopeus?

18 Esimerkki: laivan nopeus, jatkoa

19 Esimerkki: laivan nopeus, ratkaisu