Aluksi.1. Integrointia

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Aluksi.1. Integrointia"

Transkriptio

1 TT/TV Iegraalimuuokse Meropolia/. Koivumäki Tässä iedosossa ova kaikki uilla esille ullee ehävä. (Tosi iha kaikkia ehäviä ei välämää ole uilla mey läpi kovi arkasi, jos ollekaa.) Esimmäisellä uilla ollee arviava maemaiika perusasoihi liiyee kerausehävä umeroiii 1:sä lähie ja sie varsiaise kurssii liiyvä ehävä umeroiii aas 1:sä lähie. Siksi ässä uo alu johdaoehävä o merkiy lisämääreellä "luksi". luksi.1. Iegroiia a) xdx = b) x dx = c) x dx = dx = e) si( x)dx = 4 d) ( 5x 7x + 9) f) cos( x)dx = g) e x dx = h) e 4 x dx = 3 dx = i) [ si(4x ) 5cos( x / 3) ] luksi.. Kompleksimaemaiikkaa a) Mie kompleksiluku a+jb lausuaa muodossa r e jϕ? b) Mie kompleksiluku r e jϕ lausuaa muodossa a+jb? c) Esiä a- ja b-kohda asia kuvaa kompleksiasossa: Im b a Re d) Mie e jx lausuaa rigoomerise fukioide avulla? e) Miä o e jπ, missä o mikä ahasa kokoaisluku? f) Mikä o kompleksiluvu cos(x) + j si(x) iseisarvo? jπf luksi.3. a) e d = b) 4e jx cos(5 x) dx = 1 c) e 1 jπ f d =

2 Täsä alkava "Tuilla vasaavaksi arkoieuja ehäviä" yyppise ehävä. 1. Piirrä äide siisigaalie kuvaaja: a) Taajuus 1 Hz, ampliudi 1, vaihekulma. b) Taajuus 5 Hz, ampliudi 35 V, vaihekulma 18. c) Samaa kuvaa: Taajuus 1 khz, ampliudi 1, vaihekulma 9. Taajuus 1 khz, ampliudi 1, vaihekulma 9.. Mikä o ämä kolmioaallo a) perusaajuus b) viides harmoie aajuus? Vasaus: Koska T =, o 4 / µ s a) f = b) 3. Erää jaksollise sigaali jaksopiuus o 1 ms. Sigaali :e harmoise aajuuskompoei 1 ampliudi o ja :e harmoise aajuuskompoei vaihekulma = 9. Kirjoia sigaali yhälö Fourier-sarjaa. Vasaus: v ( =, missä f = (Täydeä ylläoleva.)

3 4. Sakara-aallo - T T yhälö o 4 si(π 3 f si(π 5 f si(π 7 f v = si(π f π Koska si( x ) = cos( x 9 ), ämä voidaa kirjoiaa kosiie summaa: ( = +... Täsä ähdää suoraa, mikä o sakara-aallo Fourier-sarjassa = = cos(π f + ϕ ) :e harmoise aajuuskompoei ampliudi lauseke: = ja :e harmoise aajuuskompoei vaihekulma ϕ lauseke: ϕ = Joe sakara-aallo yhälö voidaa kirjoiaa Fourier-sarja -muodossa: v ( = (Täydeä sigma ylä- ja alapuolelle ja perää.) 5. Tässä erää jaksollise sigaali ampliudi- ja vaihespekri: mpliudi f/khz Vaihe/as Sigaali spekrisä ähdää ämä asia: Miä aajuuksia sigaalii sisälyy? mpliudispekri Mikä o kuki sigaalii sisälyvä aajuude ampliudi? Vaihespekri Mikä o kuki sigaalii sisälyvä aajuude vaihe? Kerää oide kysymyse vasaukse ähä aulukkoo: f/khz

4 Taajuus mpliudi Vaihe Joe sigaali yhälö voidaa kirjoiaa kosiie summaa: = 6. Edelläoleva ampliudispekri o esiey ampliudie absoluuiarvoja käyäe. Silloi pysyakseli lukuarvo ova esim. voleja. Käyäössä ampliudispekri arvo esieää usei desibeleiä, yleesä ii, eä suuri esiiyvä db-arvo o db, jolloi kaikki muua arvo ova egaiivisia db-arvoja. Jos absoluuiarvoi esiey ampliudispekri suuri ampliudiarvo o max, ii silloi ampliudiarvo desibeliarvo o log 1 db. lla olevassa kuvassa o ylläoleva ampliudispekri desibeleiä. max Laske aulukkoo spekriviivoje db-arvo kahde desimaali arkkuudella. Taajuus mpl. mpl./db (abs.) mpliudi/db f/khz Mie laski auluko arvo? Kirjoia kaavoja ähä alle. 7. a) Piirrä sakara-aallo (jaksopiuus µs) ampliudispekri desibeleiä. Oa mukaa spekriviiva db: asoo asi. Vasaus: Esimmäie laskeava asia: Koska jaksopiuus T =, o perusaajuus f = Seuraavaksi kaaaa äyää ällaie aulukko:

5 Moesko harmoie Taajuus /MHz mpliudi (kalvoje sivu 8 peruseella) mpliudi desibeleiä suheessa suurimpaa ampliudiarvoo * ** Ja edellee ääreömää asi Kirjoia ähä, mie laski *:llä ja **:llä merkiyje kohie lukuarvo: *: **: Pohja ampliudispekri piirämiselle. b) Millä aajuudella ämä sakara-aallo ampliudispekri aso aliaa 4 db? Vasaus: Sakara-aallo :e harmoise ampliudi o: = Ku äsä rakaisaa, millä : arvolla ämä db-arvo (verraua ampliudi maksimiarvoo, joka oeuuu : arvolla ja o ), aliaa 4 db, piää rakaisa ämä yhälö: Rakaisu: Esimmäie : arvo, jolla aliaa 4 db o =, joka vasaa aajuua MHz.

6 8. Kolmioaallo T - yhälö o 8 si(π 3 f si(π 5 f si(π 7 f = si(π f + π Koska si( x ) = cos( x 9 ), ämä voidaa kirjoiaa kosiie summaa: = Täsä ähdää, mikä o kolmioaallo Fourier-sarjassa = = cos(π f + ϕ ) :e harmoise aajuuskompoei ampliudi lauseke: = ja :e harmoise aajuuskompoei vaihekulma ϕ lauseke: ϕ = Joe kolmioaallo yhälö voidaa kirjoiaa Fourier-sarja -muodossa: v ( = (Täydeä sigma ylä- ja alapuolelle ja perää.) a) Piirrä kolmioaallo (jaksopiuus µs) ampliudispekri desibeleiä. Oa mukaa spekriviiva 4 db: asoo asi. Vasaus: Jaksopiuus o sama kui ehävä 7 sakara-aallolla, joe perusaajuuski o sama: T =, f = Täyeää samalaie aulukko kui ehävässä 7 sakara-aallolle: Moesko harmoie Taajuus /MHz mpliudi (ehävä 8 peruseella) mpliudi desibeleiä suheessa suurimpaa ampliudiarvoo * ** Ja edellee ääreömää asi

7 Kirjoia ähä, mie laski *:llä ja **:llä merkiyje kohie lukuarvo: *: **: Piirrä kolmioaallo spekri samaa kuvaa aiemmi piirrey sakara-aallo spekri kassa: mpl./db f/mhz 6 b) Millä aajuudella ämä kolmioaallo ampliudispekri aso aliaa 4 db? Vasausha o ähävissä spekri kuvasa ilma se kummempia laskuoimiuksia: MHz. (Sakara-aallollaha vasaavaksi aajuudeksi saaii 5.5 MHz.) 1. Piirrä allaolevaa kuvaa siiaallo seuraksi sama jaksopiuude ja ampliudi omaava sakara-aalo ja kolmioaalo. T Kumpi muisuaa eemmä siiaaloa? Mie ämä asia o ähävissä ehävässä 9 olevia spekrejä ukimalla?

8 11. Puheliverkko pääsää läpi aajuude 3 Hz Hz. Milä äyää aajuusasossa (= spekri) ja aikaasossa (= aalomuoo) a) sakara-aalo, joka jaksopiuus o.5 ms b) sakara-aalo, joka jaksopiuus o 5 ms ku kyseie sakara-aalo o väliey puhelimise paikasa oisee? 1. Sovella ää maemaiika peruskaavaa 1 jx jx cos( x) = e + e ( ) ii, eä muua siisigaali = cos( π f + ϕ ) yhälö kompleksisee ekspoeimuooo. Siis: ( π + ϕ ) = cos f = Sieveä lauseke sovelae ää: e ( π + ϕ ) a+ b = e a e b. Siis: = cos f = 13. Edellä saaii kahde ajasa riippuva kompleksise ekspoeilausekkee summa. Piirrä alle kompleksiasoo, mie oide kahde kompleksise lausekkee arvo käyäyyy, ku aika kasvaa: Vikki: Piirrä kumpaaki lausekea vasaava osoii hekellä =, ja sie miei, miä osoiimelle apahuu, ku kasvaa. Im Im Re Re Seliysä: 14. Miä arkoiikaa siisigaali v = cos( π f + ϕ ) ( aajuus f? Siä eä Mie ulkise aajuude f arkoiava edellisessä ehävässä piirämissäsi kuvissa? Vasemmapuoleisessa kuvasssa: Oikeapuoleisessa kuvasssa:

9 15. Edellä ehävässä 1 odeii, eä cos jϕ jπf jϕ jπf ( πf + ϕ) = e e + e e Ja sie o aiemmi odeu (kalvo, s. 6), eä jos sigaali o jaksollie, ii se aalomuodo yhälö aja fukioa voidaa lausua Fourier-sarjaa: = = cos ( π f + ϕ ) Siis jaksollie sigaali o f -aajuise siimuooise kompoeie summa. Ku uo kaksi edelläolevaa yhdiseää, ii voidaa pääyä jaksollise sigaali kompleksise Fourier-sarja yhälöö: j π f = c e = Siis jaksollie sigaali o aajuudella f pyörivie kompleksise vekorie (osoiimie) summa. iemmi o kerrou, eä jos o sakara-aalo, ii se Fourier-sarjassa = = 4 = π = 9 ϕ cos ( f + ϕ ) π ampliudi ja vaihee ϕ saadaa äi: ku o pario ku o parillie Misä uo iedeää? Ne o laskeu sovelamalla Fourier-aalyysi maemaiikkaa. Millaisa se o? Emme y uusu siihe, mie reaalise Fourier-sarja ampliudi ja vaihee saadaa, vaa meää suoraa kompleksisee Fourier-sarjaa. Ilma se kummempia johamisia, ämä päee: Jos sigaali o jaksollie, ii se voidaa lausua Fourier-sarjaa sarjassa esiiyvä kompleksie kerroi c saadaa äi: c 1 = T j π f = c e = T e j π f d ja Tässä merkiä arkoiaa määräyä iegraalia T : piuise ajajakso yli. Iegroii alaraja o T vapaasi valiavissa, mua yläraja o alaraja+t. Joissaki apauksissa c : saa laskeuksi helpoie iegroimalla T /:sa T /:ee, oisissa apauksissa iegroii :sa T :aa johaa helpommi sieveyvää c : lausekkeesee. Tehävä: Määriä sakara-aallo Fourier-sarja keroime c lauseke. (Tehdää uilla ii eä opeaja aaa liiuaululla vikkejä, mie edeää ja jokaie aiaki yriää selviyyä ehäväsä, mielellää aapurie kassa asiaa mieimällä.) 16. Mie edellä saadusa sakara-aallo c : lausekkeesa saadaa jo moee keraa esiey sakara-aallo ja vaihee ϕ : lausekkee? Vasaus:

10 17. Määriä kolmioaallo (kuvassa) kompleksise Fourier-sarjakehielmä v = c e j πf ( ) keroime c. Kirjoia sie lauseke ampliudispekri määriäville arvoille = c ja vaihespekri määriäville arvoilla arg(c ). T - Keroime iegraalilausekkee laskemisa vare arviavaksi jakso piuiseksi ajaksi kaaaa valia T T aikaväli L. Tuolla välillähä kolmioaalo koosuu kolmesa suorapäkäsä, joide yhälö piää selviää. Sie laskeaa F-sarja keroime aava iegraali väli T... T yli kolmessa osassa: T... T, T... T ja T... T. Osoiauuu, eä iegroii o se verra suuriöie homma, eä ei siä kaaa kokoaa ehdä aiakaa liiuaululla. Tuilla kasellaa, mihi yriys johaa. 18. Määriä oheise pulssijoo kompleksise Fourier-sarjakehielmä keroime c.pulssijoossa siis oisuu τ : piuie : korkuie pulssi jaksopiuudella T. -T T τ Nyki iegroiiväliksi kaaaa valia T... T. 19. Piirrä ehävässä 18 määrielly pulssijoo ampliudispekri, ku a) T = 4 ms, = 1, τ = 1 ms b) T = 4 ms, = 1, τ = ms c) T = 4 ms, = eriäi suuri (lähesyy ääreöä), τ = 1 s d) T = 4 ms, = 1, τ = 4 ms. Jos sigaali aalomuoo ei ole jaksollie, voidaa ajaella, eä se jaksopiuus o (lähes) ääreö, jolloi se perusaajuus o (lähes) olla. Silloi se harmoise aajuuskompoei ova (lähes) ääreömä iheässä. Näi päädyää siihe, eä ku jaksollise sigaali spekrissä esiiyy ollasa poikkeavia arvoja vai ieyillä (harmoisilla) aajuuksilla:

11 ii ei-jaksollise sigaali spekrissä voi esiiyä ollasa poikkeavia arvoja kaikilla aajuuksilla: Jos sigaali (jaksollise ai ei-jaksollise) aalomuodo yhälö o, ii se spekri yhälö saadaa Fourier-muuoksella: V ( f ) j πf = e d Merkiäapa: aalomuodo imi pieellä kirjaimella (v, x, y,...) Fourier-muuos isolla kirjaimella (V, X, Y,...) Tehävä: Määriä yksiäise suorakulmaise jäiepulssi τ/ τ/ spekri.

12 Rakaisu askelee: Mie pulssi yhälö voidaa kirjoiaa? Täydeä: ku < < v ( = muualla Siispä ku iegroidaa :sä + :ää, o iegroiava arvo melkei koko aja olla. Vai iha origo eli heke = ympärisössä iegroidaa joai ollasa poikkeavaa. Jää siis laskeavaksi määräy iegraali (äydeä alleviivau kohda: V j πf ( f ) = e d = Suorakulmaie pulssi o yksi ieoliikeee perussigaaleisa. Nimiäi digiaalisessa siirrossa voidaa ajaella, eä bii kulkeva kaapelissa jäiepulsseia, esim. äi: Jäie ika (Tosi käyäö iedosiirrossa aika harvoi ilae o iha äi yksikeraie.) Suorakulmaiselle pulssille oki käyössä eriyie merkiäapa. Tehävä kuvassa oleva : korkuie ja τ: kesoie pulssi voidaa kirjoiaa yhälöä äi: v ( = Π τ Pulssi symbolia käyey merkki o iso pii-kirjai. Tehävä: Piirrä kolmesa pulssisa koosuva sigaali a) = B =, τ = 1 ms, T = 3 ms b) =, B = 1, τ = ms, T = 4 ms T v ( = Π + BΠ kuvaaja, ku τ τ. Edellisessä ehävässä uli esille käsie viive. Jos sigaalia viiväseää, se aalomuoo siiryy muoosa säilyäe aika-akselilla viivee verra joko oikealle (posiiivie viive) ai vasemmalle (egaiivie viive). Koska ämä o maemaiika kurssi, oeaa edes yksi odisamisehävä: Osoia, eä jos sigaali jπft Fourier-muuos o V(f), ii viiväsey sigaali T) Fourier-muuos o V ( f ) e. 3. Kirjoia ehävä 1 a-kohda sigaali Fourier-muuokse yhälö. V(f) =

13 4. Varsi helppoa o osoiaa oikeaksi ämä superposiioeoreema: 1 v1( + 1 V1 ( f ) + V ( f ) Tuossa äkyy yksi käyössä oleva merkiäapa eli kaksipäie uoli. Jos V(f) o sigaali Fouriermuuos, ii merkiää V ( f ). Tehävä: Määriä oheise kuva sigaali Fourier-muuos. Rakaisu askelee: Kirjoia sigaali yhälö kahde viiväsey suorakulmaise pulssi summaa. Superposiioeoreema mukaa sigaali F-muuos o -T oide pulssie F-muuose summa. Kirjoia uo summa oae viivee huomioo ehävässä osoieulla avalla. 1 jx cos( x) = e jx Sieveä lauseke. Käyä hyväksi ää uua kaavaa: ( + e ) τ τ T 5. Sama ehävä kui 4, mua sigaali o eri: τ -T T - τ 1 jx jx Tässä voi sieveämisessä käyää hyväksi ää oisa uua kaavaa: si( x) = ( e e ) Huom! Tuilla 8.. jaeussa ehävie paperiversiossa uo ylläoleva siikaava oli vääri (leikepöyäkirous iski), siiä oli sulkuje sisällä plus-merkki. Korjaa paperii, jos se vielä o allella. 6. Sigaalikäsielyssä (sekä laieiso- eä ohjelmisoperuseisessa, sekä digiaalisessa eä aalogisessa) derivoii ja iegroii ova varsi hyödyllisiä sigaalii kohdiseavia oimepieiä. Ilma johamisa äide merkiys Fourier-aalyysissä: Jos V ( f ) ii d jπ f V ( f ) d V ( f ) λ) dλ jπf Siis: Sigaali derivoii aiheuaa se, eä sigaali spekri ulee kerrouksi jπf:llä ja sigaali iegroii aiheuaa se, eä sigaali spekri ulee jaeuksi jπf:llä. Merkiä λ) dλ seliysä: Sigaali iegroii o aloieu joskus meeisyydessä, esim. silloi ku o kykey päälle se laie, jossa esiiyy. Siksi määräy iegraali alarajaa ei ole merkiy. Iegroii yläraja o ykyheki, joka ieeki koko aja kasvaa, koska ii aika ekee. Muuuja λ o apumuuuja, joa käyeää siksi, eä merkiä v ( d saaaisi hämää. Kuluva aika o imeomaa iegroii ylärajaa, joe aalomuodo v lausekkeessa o syyä käyää joai muua muuujaa. Josai syysä λ:aa käyeää usei ällaisessa yheydessä. j

14 Tehävä: Määriä oheise kolmiopulssi Fourier-muuos. Tehävä voisi ehdä sovelamalla Fourier-muuokse määrielmää j πf = e d V ( f ), mua uloksea olisi aika yölääsi sieveyvä lauseke. Helpommalla pääsee käyämällä hyväksi ähä meessä opiuja asioia. τ τ Rakaisu askelee: Derivoi kolmiopulssi, piirrä derivaaa kuvaaja ähä: x(=d/d Toea, eä derivaaa o käyäössä sama kui ehävä 5 sigaali. Ny vaa ehävässä 5 olevie paramerie, T ja τ ilalla o joai muua. (Paisi eä τ arkoiaa kyllä y derivaaa kuvaajassa samaa asiaa kui ehävässä 5.) Voi siis kirjoiaa suoraa kolmiopulssi derivaaa x( F-muuokse yhälö, koska ehävä 5 vasaus o käyeävissä. Sie voi sovelaa ehävässä 6 kerroua derivaaalausekea ja äi saada V(f):lle lausekkee. Vaaii si(π x) hiema sieveämisä. Sic-fukio ulee vasaa, sehä määriellää: sic( x) =. πx 7. Sigaali spekri V(f) o ohessa. Sigaalia iegroidaa. Piirrä iegraalisigaali ampliudispekri suheellisia arvoia (mikä arkoiaa, eä spekri maksimiarvo = 1). V(f) f/mhz 8. Mikä o sigaali = cos(π f Fourier-muuos? d Mikä o sigaali = cos(π f derivaaasigaali x( =? d Mikä o derivaaasigaali x( Fourier-muuos? d Oko ulos sopusoiussa aiemmi esilläollee derivoiisääö jπ f V ( f ) kassa? d 9. Erillisessä eksissä (hp://users.meropolia.fi/~koiva/s14/tv13k-iegr/7.modulaaio.pdf) o käsiely ärkeää ieoliikeeekiika sigaalikäsielyoimepideä eli modulaaioa. Tämä ehävä liiyy siihe: Mikä o oheise sigaali Fourier-muuos? Vaaka-akselilla o aika mikrosekueia. [Tuka saaaa läheää suuillee ällaisia sigaaleja. Tää kusuaa esim. ukapulssiksi, myös ermi "purske" saaaa esiiyä ässä yheydessä.] 3. Suorakulmaise pulssi leveys (keso) = τ ja se ampliudi (korkeus) = 1/τ. (Ei kaaa vaivaa pääää yksiköillä, ehä uossa meee iha pipariksi.)

15 a) Mie pulssi yhälö kirjoieaa? (Siis käyäe suorakulmaise pulssi symboliksi soviua isoa piikirjaia.) b) Mikä o pulssi Fourier-muuos? Piirrä F-muuokse kuvaaja. c) Ku pulssi lyheee (jolloi se samalla kasvaa korkeua), ii mie se F-muuokse yhälö muuuu? d) Eä mie pulssi F-muuokse kuvaaja muuuu, ku pulssi lyheee? e) Milä pulssi äyää, ku se o aiva älyömä lyhy, eli keso = melkei olla? f) Milä äyää pulssi spekri, ku pulssi keso = melkei olla. Kaksi viimeisä kohaa parempaa maemaaisa kielä käyäe: Mie pulssi ja se spekri muuuva, ku pulssi keso lähesyy arvoa τ =? Edellisessä ehävässä päädyii impulssii. Teoriassa impulssi o ääreömä luhy ääreömä korkea pulssi, joka pia-ala (leveys keraa korkeus) = 1. Käyäössä impulssiksi kusuaa eriäi lyhyä pulssia (joka muoo voi olla muuaki kui suorakulmaie). Impulssia käsiellää eoriaeksissä (hp://users.meropolia.fi/~koiva/s14/tv13k-iegr/6_fourieraalyysi.ieoliikeeorieoiueesi.pdf#page=31). Pari impulsseihi liiyvää ehävää. 31. Piirrä sigaali = δ ( 1s) 3δ ( 3 s) kuvaaja. 3. Johda suorakulmaise pulssi Fourier-muuos derivoimalla pulssi. 33. Johda kolmiopulssi Fourier-muuos derivoimalla pulssi kahee keraa. 34. Laske ehävä 4 derivoii kaua.

Silloin voidaan suoraan kirjoittaa spektrin yhtälö käyttämällä hyväksi suorakulmaisen pulssin Fouriermuunnosta sekä viiveen vaikutusta: ( ) (

Silloin voidaan suoraan kirjoittaa spektrin yhtälö käyttämällä hyväksi suorakulmaisen pulssin Fouriermuunnosta sekä viiveen vaikutusta: ( ) ( TT/TV Inegraalimuunnokse Fourier-muunnos, ehäviä : Vasauksia Meropolia/. Koivumäki v(. Määriä oheisen signaalin Fourier-muunnos. Vinkki: Superposiio, viive. Voidaan sovelaa superposiioperiaaea, koska signaalin

Lisätiedot

Tietoliikennesignaalit

Tietoliikennesignaalit ieoliikennesignaali 1 ieoliikenne inormaaion siiroa sähköisiä signaaleja käyäen. Signaali vaiheleva jännie ms., jonka vaiheluun on sisällyey inormaaioa. Signaalin ominaisuuksia voi ukia a aikaasossa ime

Lisätiedot

( ) ( ) x t. 2. Esitä kuvassa annetun signaalin x(t) yhtälö aikaalueessa. Laske signaalin Fourier-muunnos ja hahmottele amplitudispektri.

( ) ( ) x t. 2. Esitä kuvassa annetun signaalin x(t) yhtälö aikaalueessa. Laske signaalin Fourier-muunnos ja hahmottele amplitudispektri. ELEC-A7 Signaali ja järjeselmä Laskuharjoiukse LASKUHARJOIUS Sivu 1/11 1. Johda anneun pulssin Fourier-muunnos ja hahmoele ampliudispekri. Käyä esim. derivoinieoreemaa, ja älä unohda 1. derivaaan epäjakuvuuskohia!

Lisätiedot

Kojemeteorologia. Sami Haapanala syksy Fysiikan laitos, Ilmakehätieteiden osasto

Kojemeteorologia. Sami Haapanala syksy Fysiikan laitos, Ilmakehätieteiden osasto Kojemeeorologia Sami Haapaala syksy 03 Fysiika laios, Ilmakehäieeide osaso Mialaieide dyaamise omiaisuude Dyaamise uusluvu määriävä mie mialaie käyäyyy syöeide muuuessa Apua käyeää differeiaaliyhälöiä,

Lisätiedot

( ) ( ) 2. Esitä oheisen RC-ylipäästösuotimesta, RC-alipäästösuotimesta ja erotuspiiristä koostuvan lineaarisen järjestelmän:

( ) ( ) 2. Esitä oheisen RC-ylipäästösuotimesta, RC-alipäästösuotimesta ja erotuspiiristä koostuvan lineaarisen järjestelmän: ELEC-A700 Signaali ja järjeselmä Laskuharjoiukse LASKUHARJOIUS 3 Sivu /8. arkasellaan oheisa järjeselmää bg x Yksikköviive + zbg z bg z d a) Määriä järjeselmän siirofunkio H Y = X b) Määriä järjeselmän

Lisätiedot

KULMAMODULOITUJEN SIGNAALIEN SPEKTRIN LASKEMINEN

KULMAMODULOITUJEN SIGNAALIEN SPEKTRIN LASKEMINEN KULMMODULOITUJEN SIGNLIEN SPEKTRIN LSKEMINEN 1 (3) (3) Spekri laskeie siisaoalle Kulaoduloidu sigaali spekri johaie o yöläsä epälieaarisuudesa johue (epälieaarise aalyysi ova yleesä hakalia). Se voidaa

Lisätiedot

Juuri 13 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus. K1. A: III, B: I, C: II ja IV.

Juuri 13 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus. K1. A: III, B: I, C: II ja IV. Juuri Tehävie rakaisu Kusausosakeyhiö Oava päiviey 9.8.8 Keraus K. A: III, B: I, C: II ja IV Kuvaaja: I II III IV Juuri Tehävie rakaisu Kusausosakeyhiö Oava päiviey 9.8.8 K. a) lim ( ) Nimiäjä ( ) o aia

Lisätiedot

S Signaalit ja järjestelmät Tentti

S Signaalit ja järjestelmät Tentti S-7. Signaali ja järjeselmä eni..6 Vasaa ehävään, ehävisä 7 oeaan huomioon neljä parhaien suorieua ehävää.. Vasaa lyhyesi seuraaviin osaehäviin, käyä arviaessa kuvaa. a) Mikä kaksi ehoa kanaunkioiden φ

Lisätiedot

Luento 3. Fourier-sarja

Luento 3. Fourier-sarja Fourier-muuos Rayleigh eoreema Spekriiheys Lueo 3 4..7 Fourier-sarja Fourier-sarja avulla pysyii esiämää jaksollie sigaali, joka jaksoaika o. Fourier-sarja Fourier-kompoei Eäpä aperiodise sigaali, joilla

Lisätiedot

Luento 3. Fourier-sarja

Luento 3. Fourier-sarja Fourier muuos Rayleigh eoreema Spekriiheys Lueo 3 4..6 Fourier-sarja Fourier-sarja avulla pysyii esiämää jaksollie sigaali, joka jaksoaika o. Fourier-sarja Fourier-kompoei Eäpä aperiodise sigaali, joilla

Lisätiedot

9. Epäoleelliset integraalit; integraalin derivointi parametrin suhteen. (x + y)e x y dxdy. e (ax+by)2 da. xy 2 r 4 da; r = x 2 + y 2. b) A.

9. Epäoleelliset integraalit; integraalin derivointi parametrin suhteen. (x + y)e x y dxdy. e (ax+by)2 da. xy 2 r 4 da; r = x 2 + y 2. b) A. 9. Epäoleellise inegraali; inegraalin derivoini paramerin suheen 9.. Epäoleellise aso- ja avaruusinegraali 27. Olkoon = {(x, y) x, y }. Osoia hajaanuminen ai laske arvo epäoleelliselle asoinegraalille

Lisätiedot

x v1 y v2, missä x ja y ovat kokonaislukuja.

x v1 y v2, missä x ja y ovat kokonaislukuja. Digiaalinen videonkäsiel Harjoius, vasaukse ehäviin 4-0 Tehävä 4. Emämariisi a: V A 0 V B 0 Hila saadaan kanavekorien (=emämariisin sarakkee) avulla. Kunkin piseen paikka hilassa on kokonaisluvulla kerroujen

Lisätiedot

KULMAMODULOITUJEN SIGNAALIEN SPEKTRIN LASKEMINEN

KULMAMODULOITUJEN SIGNAALIEN SPEKTRIN LASKEMINEN 1 KULMMODULOITUEN SIGNLIEN SPEKTRIN LSKEMINEN Mie laskea eroaa lieaarise odulaaioide apauksesa? Milä spekri äyää epälieaarise prosessi jälkee? 51357 Tieoliikeeekiikka I Osa 15 Kari Kärkkäie Kevä 015 SPEKTRIN

Lisätiedot

W dt dt t J.

W dt dt t J. DEE-11 Piirianalyysi Harjoius 1 / viikko 3.1 RC-auon akku (8.4 V, 17 mah) on ladau äyeen. Kuinka suuri osa akun energiasa kuluu ensimmäisen 5 min aikana, kun oleeaan mooorin kuluavan vakiovirran 5 A? Oleeaan

Lisätiedot

TKK Tietoliikennelaboratorio Seppo Saastamoinen Sivu 1/5 Konvoluution laskeminen vaihe vaiheelta

TKK Tietoliikennelaboratorio Seppo Saastamoinen Sivu 1/5 Konvoluution laskeminen vaihe vaiheelta KK ieoliikennelaboraorio 7.2.27 Seppo Saasamoinen Sivu /5 Konvoluuion laskeminen vaihe vaiheela Konvoluuion avulla saadaan laskeua aika-alueessa järjeselmän lähösignaali, kun ulosignaali ja järjeselmän

Lisätiedot

Luento 4. Fourier-muunnos

Luento 4. Fourier-muunnos Lueno 4 Erikoissignaalien Fourier-muunnokse Näyeenoo 4..6 Fourier-muunnos Fourier-muunnos Kääneismuunnos Diricle n edo Fourier muunuvalle energiasignaalille I: Signaali on iseisesi inegroiuva v ( d< II:

Lisätiedot

Konvoluution laskeminen vaihe vaiheelta Sivu 1/5

Konvoluution laskeminen vaihe vaiheelta Sivu 1/5 S-72. Signaali ja järjeselmä Laskuharjoiukse, syksy 28 Konvoluuion laskeminen vaihe vaiheela Sivu /5 Konvoluuion laskeminen vaihe vaiheela Konvoluuion avulla saadaan laskeua aika-alueessa järjeselmän lähösignaali,

Lisätiedot

Mittaustekniikan perusteet, piirianalyysin kertausta

Mittaustekniikan perusteet, piirianalyysin kertausta Miausekniikan perusee, piirianalyysin kerausa. Ohmin laki: =, ai = Z ( = ännie, = resisanssi, Z = impedanssi, = vira). Kompleksiluvu Kompleksilukua arviaan elekroniikassa analysoiaessa piireä, oka sisälävä

Lisätiedot

Diskreetillä puolella impulssi oli yksinkertainen lukujono:

Diskreetillä puolella impulssi oli yksinkertainen lukujono: DEE-00 ineaarise järjeselmä Harjoius 5, rakaisuehdoukse [johdano impulssivaseeseen] Jakuva-aikaisen järjeselmän impulssivase on vasaavanlainen järjeselmäyökalu kuin diskreeillä puolellakin: impulssivase

Lisätiedot

Rahoitusriskit ja johdannaiset Matti Estola. luento 13 Black-Scholes malli optioiden hinnoille

Rahoitusriskit ja johdannaiset Matti Estola. luento 13 Black-Scholes malli optioiden hinnoille Rahoiusriski ja johannaise Mai Esola lueno 3 Black-choles malli opioien hinnoille . Ion lemma Japanilainen maemaaikko Kiyoshi Iō oisi seuraavana esieävän lemman vuonna 95 arikkelissaan: On sochasic ifferenial

Lisätiedot

DEE Lineaariset järjestelmät Harjoitus 4, ratkaisuehdotukset

DEE Lineaariset järjestelmät Harjoitus 4, ratkaisuehdotukset D-00 ineaarise järjeselmä Harjoius 4, rakaisuehdoukse nnen kuin mennään ämän harjoiuksen aihepiireihin, käydään läpi yksi huomionarvoinen juu. Piirianalyysin juuri suorianee opiskelija saaava ihmeellä,

Lisätiedot

2. Taloudessa käytettyjä yksinkertaisia ennustemalleja. ja tarkasteltavaa muuttujan arvoa hetkellä t kirjaimella y t

2. Taloudessa käytettyjä yksinkertaisia ennustemalleja. ja tarkasteltavaa muuttujan arvoa hetkellä t kirjaimella y t Tilasollinen ennusaminen Seppo Pynnönen Tilasoieeen professori, Meneelmäieeiden laios, Vaasan yliopiso. Tausaa Tulevaisuuden ennusaminen on ehkä yksi luoneenomaisimpia piireiä ihmiselle. On ilmeisesi aina

Lisätiedot

b) Ei ole. Todistus samaan tyyliin kuin edellinen. Olkoon C > 0 ja valitaan x = 2C sekä y = 0. Tällöin pätee f(x) f(y)

b) Ei ole. Todistus samaan tyyliin kuin edellinen. Olkoon C > 0 ja valitaan x = 2C sekä y = 0. Tällöin pätee f(x) f(y) Maemaiikan ja ilasoieeen osaso/hy Differeniaaliyhälö II Laskuharjoius 1 malli Kevä 19 Tehävä 1. Ovako seuraava funkio Lipschiz-jakuvia reaaliakselilla: a) f(x) = x 1/3, b) f(x) = x, c) f(x) = x? a) Ei

Lisätiedot

A-osio. Ei laskinta! Valitse seuraavista kolmesta tehtävästä vain kaksi joihin vastaat!

A-osio. Ei laskinta! Valitse seuraavista kolmesta tehtävästä vain kaksi joihin vastaat! MAA Koe 7..03 A-osio. Ei laskina! Valise seuraavisa kolmesa ehäväsä vain kaksi joihin vasaa! A. a) Mikä on funkion f(x) määrieljoukko, jos f( x) x b) Muua ulomuooon: 4a 8a 4 A. a) Rakaise hälö: x 4x b)

Lisätiedot

5. Vakiokertoiminen lineaarinen normaaliryhmä

5. Vakiokertoiminen lineaarinen normaaliryhmä 1 MAT-145 LAAJA MATEMATIIKKA 5 Tampereen eknillinen yliopiso Riso Silvennoinen Kevä 21 5. Vakiokeroiminen lineaarinen normaaliryhmä Todeaan ensin ilman odisuksia (ulos on syvällinen) rakaisujen olemassaoloa

Lisätiedot

Ensin vastaukset tehtäviin, "joihin vastaamisen pitäisi onnistua tähänastisten matematiikan opintojen pohjalta".

Ensin vastaukset tehtäviin, joihin vastaamisen pitäisi onnistua tähänastisten matematiikan opintojen pohjalta. V Igraalimuuoks Mropolia. Koivumäki Kaikki uilla käsilly hävä vasauksi. Esi vasauks hävii, "oihi vasaamis piäisi oisua ähäasis mamaiika opio pohala". x luksi.. a xdx C, missä C o vakio. (äsä päi okais

Lisätiedot

Huomaa, että aika tulee ilmoittaa SI-yksikössä, eli sekunteina (1 h = 3600 s).

Huomaa, että aika tulee ilmoittaa SI-yksikössä, eli sekunteina (1 h = 3600 s). DEE- Piirianalyysi Ykkösharkan ehävien rakaisuehdoukse. askeaan ensin, kuinka paljon äyeen ladaussa akussa on energiaa. Tämä saadaan laskeua ehäväpaperissa anneujen akun ieojen 8.4 V ja 7 mah avulla. 8.4

Lisätiedot

Puolijohdekomponenttien perusteet A Ratkaisut 2, Kevät 2017

Puolijohdekomponenttien perusteet A Ratkaisut 2, Kevät 2017 OY/PJKOMP R 017 Puolijohdekomoeie erusee 571A Rakaisu, Kevä 017 1. Massavaikuuslai mukaisesi eemmisö- ja vähemmisövarauksekuljeajie ulo o vakio i, joka riiuu uolijohdemaeriaalisa ja lämöilasa. Kuvasa 1

Lisätiedot

VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 18: Yhden vapausasteen pakkovärähtely, transienttikuormituksia

VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 18: Yhden vapausasteen pakkovärähtely, transienttikuormituksia 8/ VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 8: Yhen vapausaseen paovärähely, ransieniuormiusia JOHDANTO c m x () Kuva. Syseemi. Transieniuormiusella aroieaan uormiusheräeä, joa aiheuaa syseemiin lyhyaiaisen liieilan.

Lisätiedot

Kotitehtävät 1-6: Vastauksia

Kotitehtävät 1-6: Vastauksia /V Integraalimuunnokset Metropolia/. Koivumäki Kotitehtävät -6: Vastauksia. Merkitse kompleksitasoon näiden kompleksilukujen sijainti: a = 3 j b = 3 35 (3 kulmassa 35 ) jπ / c = d = 3 e j 9.448 e cos(

Lisätiedot

1. Todista/Prove (b) Lause 2.4. käyttäen Lausetta 2.3./by using Theorem b 1 ; 1 b + 1 ; 1 b 1 1

1. Todista/Prove (b) Lause 2.4. käyttäen Lausetta 2.3./by using Theorem b 1 ; 1 b + 1 ; 1 b 1 1 KETJUMURTOLUVUT Harjoiuksia 209. Todisa/Prove Lause 2.2. käyäen Lausea 2.3./by using Theorem 2.3. Lause 2.4. käyäen Lausea 2.3./by using Theorem 2.3. 2. Määrää Canorin kehielmä luvuille 0,, 2, 3, 4, 5,

Lisätiedot

z = Amplitudi = itseisarvo ja vaihe = argumentti (arg). arg Piirretään vielä amplitudi- ja vaihespektri:

z = Amplitudi = itseisarvo ja vaihe = argumentti (arg). arg Piirretään vielä amplitudi- ja vaihespektri: Määriä suraavi komplksiluku/siaali ampliudi- a vaiharvo. Piirrä b-kohdassa ampliudi a vaih aauud fukioa ampliudi- a vaihspkri. 6p 8 a z 7, z 8 a z. { } b z cos. Ampliudi isisarvo a vaih arumi ar. a z 7

Lisätiedot

Tietoliikennesignaalit & spektri

Tietoliikennesignaalit & spektri Tietoliikennesignaalit & spektri 1 Tietoliikenne = informaation siirtoa sähköisiä signaaleja käyttäen. Signaali = vaihteleva jännite (tms.), jonka vaihteluun on sisällytetty informaatiota. Signaalin ominaisuuksia

Lisätiedot

Copyright Isto Jokinen MATEMATIIKKA. Matematiikkaa pintakäsittelijöille Ongelmanratkaisu Isto Jokinen 2017

Copyright Isto Jokinen MATEMATIIKKA. Matematiikkaa pintakäsittelijöille Ongelmanratkaisu Isto Jokinen 2017 AEAKKA aeaiikkaa piakäsielijöille Ogelarakaisu so Jokie 207 SSÄLÖ. aeaaise ogelie rakaisu laskukaaoilla 2. ekijäyhälö 3. Laskukaaoje yhdisäie 4. Yhälöide uodosaie aeaaisee ogelaa Käyöoikeus opeuksessa

Lisätiedot

Sopimuksenteon dynamiikka: johdanto ja haitallinen valikoituminen

Sopimuksenteon dynamiikka: johdanto ja haitallinen valikoituminen Soimukseneon dynamiikka: johdano ja haiallinen valikoiuminen Ma-2.442 Oimoinioin seminaari Elise Kolola 8.4.2008 S yseemianalyysin Laboraorio Esielmä 4 Elise Kolola Oimoinioin seminaari - Kevä 2008 Esiyksen

Lisätiedot

( ) 5 t. ( ) 20 dt ( ) ( ) ( ) ( + ) ( ) ( ) ( + ) / ( ) du ( t ) dt

( ) 5 t. ( ) 20 dt ( ) ( ) ( ) ( + ) ( ) ( ) ( + ) / ( ) du ( t ) dt SMG-500 Verolasennan numeerise meneelmä Ehdouse harjoiusen 4 raaisuisi Haeaan ensin ehävän analyyinen raaisu: dx 0 0 0 0 dx 00e = 0 = 00e 00 x = e + = 5e + alueho: x(0 = 0 0 x 0 = 5e + = 0 = 5 0 0 0 5

Lisätiedot

Mallivastaukset KA5-kurssin laskareihin, kevät 2009

Mallivastaukset KA5-kurssin laskareihin, kevät 2009 Mallivasaukse KA5-kurssin laskareihin, kevä 2009 Harjoiukse 2 (viikko 6) Tehävä 1 Sovelleaan luenokalvojen sivulla 46 anneua kaavaa: A A Y Y K α ( 1 α ) 0,025 0,5 0,03 0,5 0,01 0,005 K Siis kysyy Solowin

Lisätiedot

Taustaa KOMPLEKSILUVUT, VÄRÄHTELIJÄT JA RADIOSIGNAALIT. Jukka Talvitie, Toni Levanen & Mikko Valkama TTY / Tietoliikennetekniikka

Taustaa KOMPLEKSILUVUT, VÄRÄHTELIJÄT JA RADIOSIGNAALIT. Jukka Talvitie, Toni Levanen & Mikko Valkama TTY / Tietoliikennetekniikka IMA- Exurso: Kompleksluvu ja radosgnaal / KOMPLEKSILUVUT, VÄRÄHTELIJÄT JA RADIOSIGNAALIT Tausaa IMA- Exurso: Kompleksluvu ja radosgnaal / Kakk langaon vesnä ja radoeolkenne (makapuhelme, WLAN, ylesrado

Lisätiedot

LUKU 6 KOHINAN VAIKUTUS ANALOGISTEN MODULAATIOIDEN SUORITUSKYKYYN

LUKU 6 KOHINAN VAIKUTUS ANALOGISTEN MODULAATIOIDEN SUORITUSKYKYYN LUKU 6 KOHINN VIKUUS NLOGISEN MOULIOIEN SUORIUSKYKYYN ieoliikeeekiikka I 5359 Kari Kärkkäie Osa 6 Luku 6 Kohia vaikuus aalogisii odulaaioihi Johdao aalyysieeelii Sigaali-kohiasuhee ääriäie Kaaaajuie järjeselä

Lisätiedot

6 JÄYKÄN KAPPALEEN TASOKINETIIKKA

6 JÄYKÄN KAPPALEEN TASOKINETIIKKA Dyamiia 6. 6 JÄYKÄN KAPPALEEN TASKINETIIKKA 6. Yleisä Jäyä appalee ieiiassa arasellaa appaleesee aiuaie uloise oimie ja seurausea olea liiee (raslaaio ja roaaio) älisiä yheysiä. Voimie äsielyssä ariaa

Lisätiedot

ETERAN TyEL:n MUKAISEN VAKUUTUKSEN ERITYISPERUSTEET

ETERAN TyEL:n MUKAISEN VAKUUTUKSEN ERITYISPERUSTEET TRAN TyL:n MUKASN AKUUTUKSN RTYSPRUSTT Tässä peruseessa kaikki suuree koskea eraa, ellei oisin ole määriely. Tässä peruseessa käyey lyhenee: LL Lyhyaikaisissa yösuheissa oleien yönekijäin eläkelaki TaL

Lisätiedot

SATE2140 Dynaaminen kenttäteoria syksy /7 Laskuharjoitus 4 / Sähkömagneettiset aaltojen polarisoituminen

SATE2140 Dynaaminen kenttäteoria syksy /7 Laskuharjoitus 4 / Sähkömagneettiset aaltojen polarisoituminen SATE14 Dnaainen kenäeoia sks 16 1 /7 Laskuhajoius 4 / Sähköagneeise aalojen polaisoiuinen Tehävä 1. Vapaassa ilassa väähelevän piseläheen aiheuaan palloaallon sähkökenän voiakkuus on A V E, sincos k e.

Lisätiedot

(x) (tasaisesti suppeneva sarja)

(x) (tasaisesti suppeneva sarja) 6.3 MATEMAATTISET OPERAATIOT SARJOIE Jos srjss o äärellie äärä erejä, void derivoii i iegroii suori huole ereiäi. Ääreöä srj puksess ereiäi operoii o slliu, jos srj suppeee sisesi. Esi. Trksell ääreöä

Lisätiedot

PK-YRITYKSEN ARVONMÄÄRITYS. KTT, DI TOIVO KOSKI elearning Community Ltd

PK-YRITYKSEN ARVONMÄÄRITYS. KTT, DI TOIVO KOSKI elearning Community Ltd PK-YRITYKSEN ARVONMÄÄRITYS KTT, DI TOIVO KOSKI elearning Communiy Ld Yriyksen arvonmääriys 1. Yriyksen ase- eli subsanssiarvo Arvioidaan yriyksen aseen vasaavaa puolella olevan omaisuuden käypäarvo, josa

Lisätiedot

MAT-02450 Fourier n menetelmät. Merja Laaksonen, TTY 2014

MAT-02450 Fourier n menetelmät. Merja Laaksonen, TTY 2014 MAT-45 Fourier n meneelmä Merja Laaksonen, TTY 4..4 Sisälö Johano 3. Peruskäsieiä................................... 4.. Parillinen ja parion funkio....................... 7.. Heavisien funkio............................

Lisätiedot

2. Suoraviivainen liike

2. Suoraviivainen liike . Suoraviivainen liike . Siirymä, keskinopeus ja keskivauhi Aika: unnus, yksikkö: sekuni s Suoraviivaisessa liikkeessä kappaleen asema (paikka) ilmoieaan suoralla olevan piseen paikkakoordinaain (unnus

Lisätiedot

XII RADIOAKTIIVISUUSMITTAUSTEN TILASTOMATEMATIIKKAA

XII RADIOAKTIIVISUUSMITTAUSTEN TILASTOMATEMATIIKKAA II ADIOAKTIIVISUUSMITTAUSTEN TILASTOMATEMATIIKKAA Laskenaaajuus akiivisuus Määrieäessä radioakiivisen näyeen akiivisuua (A) uloksena saadaan käyeyn miausyseemin anama laskenaaajuus (). = [II.I] jossa =

Lisätiedot

LUKU 7 KOHINAN VAIKUTUS ANALOGISTEN MODULAATIOIDEN SUORITUSKYKYYN A Tietoliikennetekniikka I Osa 24 Kari Kärkkäinen Kevät 2015

LUKU 7 KOHINAN VAIKUTUS ANALOGISTEN MODULAATIOIDEN SUORITUSKYKYYN A Tietoliikennetekniikka I Osa 24 Kari Kärkkäinen Kevät 2015 1 LUKU 7 KOHINAN VAIKUUS ANALOGISEN MODULAAIOIDEN SUORIUSKYKYYN 51357A ieoliikeeekiikka I Osa 4 Kari Kärkkäie Kevä 15 LUKU 7 KOHINA ANALOGISISSA MODULAAIOISSA Johdao aalyysieeelii Sigaali-kohiasuhee ääriäie

Lisätiedot

Tasaantumisilmiöt eli transientit

Tasaantumisilmiöt eli transientit uku 12 Tasaanumisilmiö eli ransieni 12.1 Kelan kykeminen asajännieeseen Kappaleessa 11.2 kykeiin reaalinen kela asajännieeseen ja ukiiin energian varasoiumisa kelan magneeikenään. Tilanne on esiey uudelleen

Lisätiedot

KANTATAAJUINEN BINÄÄRINEN SIIRTOJÄRJESTELMÄ AWGN-KANAVASSA

KANTATAAJUINEN BINÄÄRINEN SIIRTOJÄRJESTELMÄ AWGN-KANAVASSA KJUI BIÄÄRI SIIROJÄRJSLMÄ WG-KVSS Kaajaajui siiro iformaaio siiro johdossa sllaisaa ilma kaoaalo- ai pulssimodulaaioa 536 ioliikkiikka II Osa 3 Kari Kärkkäi Syksy 5 JÄRJSLMÄMLLI Bii kso. Symboli {} ja

Lisätiedot

Luento 11. Stationaariset prosessit

Luento 11. Stationaariset prosessit Lueno Soasisen prosessin ehosperi Signaalin suodaus Kaisarajoieu anava 5..6 Saionaarise prosessi Auoorrelaaio φ * * (, ) ( ), { } { } jos prosessi on saionaarinen auoorrelaaio ei riipu ajasa vaan ainoasaan

Lisätiedot

Mallivastaukset KA5-kurssin laskareihin, kevät 2009

Mallivastaukset KA5-kurssin laskareihin, kevät 2009 Mallivasaukse KA5-kurssin laskareihin, kevä 2009 Harjoiukse 8 (viikko 14) Tehävä 1 LAD-käyrä siiryy ylöspäin. Ulkomaisen hinojen nousessa oman maan reaalinen vaihokurssi heikkenee 1 vaihoase vahvisuu IS-käyrä

Lisätiedot

b) Esitä kilpaileva myötöviivamekanismi a-kohdassa esittämällesi mekanismille ja vertaile näillä mekanismeilla määritettyjä kuormitettavuuksia (2p)

b) Esitä kilpaileva myötöviivamekanismi a-kohdassa esittämällesi mekanismille ja vertaile näillä mekanismeilla määritettyjä kuormitettavuuksia (2p) LUT / Teräsrakenee/Timo Björk BK80A30: Teräsrakenee II:.5.016 Oheismaeriaalin käyö EI salliua, laskimen käyö on salliua, lausekkeia ehäväosion lopussa Vasaukse laadiaan ehäväpaperille, joka palaueava,

Lisätiedot

Systeemimallit: sisältö

Systeemimallit: sisältö Syseemimalli: sisälö Malliyypi ja muuuja Inpu-oupu -kuvaus ja ilayhälömalli, ila Linearisoini Jakuva-aikaisen lineaarisen järjeselmän siirofunkio, sabiilisuus Laplace-muunnos Diskreeiaikaisen lineaarisen

Lisätiedot

BM20A Integraalimuunnokset Harjoitus 8

BM20A Integraalimuunnokset Harjoitus 8 (b)...(d) eve + eve = eve eve eve = eve BM2A57 - Itegraalimuuokset Harjoitus 8. Vastaa jokaisessa kohdassa seuraavii kysymyksii: Oko fuktio parillie? Oko fuktio parito? Huomaatko polyomie kohdalla hyvi

Lisätiedot

Ratkaisu. Virittäviä puita on kahdeksan erilaista, kun solmut pidetään nimettyinä. Esitetään aluksi verkko kaaviona:

Ratkaisu. Virittäviä puita on kahdeksan erilaista, kun solmut pidetään nimettyinä. Esitetään aluksi verkko kaaviona: Diskreei maemaiikka, sks 00 Harjoius 0, rakaisuisa. Esi viriävä puu suunaamaomalle verkolle G = (X, E, Ψ), kun X := {,,, }, E := { {, }, {, }, {, }, {, }, {, }}, ja Ψ on ieninen kuvaus. Rakaisu. Viriäviä

Lisätiedot

Tehtävä I. Vaihtoehtotehtävät.

Tehtävä I. Vaihtoehtotehtävät. Kem-9.7 Prosessiauomaaion perusee Teni 5.9.5 TÄMÄ PAPERI TÄYTYY EHDOTTOMASTI PALAUTTAA TENTIN MUKANA NIMI: (OS: ) OPINTOKIRJA: VIERAILULUENNOT KUUNNELTU: VALV. LASK: Tehävä I. Vaihoehoehävä. Oikea vasaus

Lisätiedot

12. ARKISIA SOVELLUKSIA

12. ARKISIA SOVELLUKSIA MAA. Arkiia ovellukia. ARKISIA SOVELLUKSIA Oleeaan, eä kappale liikkuu ykiuloeia raaa, eimerkiki -akelia pikin. Kappaleen nopeuden vekoriluonne riiää oaa vauhdin eumerkin avulla huomioon, ja on ehkä arkoiukenmukaiina

Lisätiedot

Luento 9. Epälineaarisuus

Luento 9. Epälineaarisuus Lueno 9 Epälineaarisuus 8..6 Epälineaarisuus Tarkasellaan passiivisa epälineaarisa komponenia u() y() f( ) Taylor-sarjakehielmä 3 y f( x) + f '( x) ( x x) + f ''( x) ( x x) + f ''( x) ( x x) +...! 3! 4!

Lisätiedot

joka on separoituva yhtälö, jolla ei ole reaalisia triviaaliratkaisuja. Ratkaistaan: z z(x) dx =

joka on separoituva yhtälö, jolla ei ole reaalisia triviaaliratkaisuja. Ratkaistaan: z z(x) dx = HY / Maemaiikan ja ilasoieeen laios Differeniaalihälö I kevä 09 Harjois 4 Rakaisehdoksia. Rakaise differeniaalihälö = (x + + Rakais: Tehdään differeniaalihälöön lineaarinen mnnos z(x = x + (x + jolloin

Lisätiedot

KYNNYSILMIÖ JA SILTÄ VÄLTTYMINEN KYNNYKSEN SIIRTOA (LAAJENNUSTA) HYVÄKSI KÄYTTÄEN

KYNNYSILMIÖ JA SILTÄ VÄLTTYMINEN KYNNYKSEN SIIRTOA (LAAJENNUSTA) HYVÄKSI KÄYTTÄEN YYSILMIÖ J SILÄ VÄLYMIE YYSE SIIRO LJEUS HYVÄSI ÄYÄE ieoliikenneekniikka I 559 ari ärkkäinen Osa 5 4 MILLOI? Milloin ja missä kynnysilmiö esiinyy? un vasaanoimen ulon SR siis esi-ilmaisusuodaimen lähdössä

Lisätiedot

Luento 9. Epälineaarisuus

Luento 9. Epälineaarisuus Lueno 9 Epälineaarisuus 9..7 Epälineaarisuus Tarkasellaan passiivisa epälineaarisa komponenia u() y() f( ) Taylor-sarjakehielmä 3 y f( x) + f '( x) ( x x) + f ''( x) ( x x) + f ''( x) ( x x) +...! 3! 4!

Lisätiedot

ẍ(t) q(t)x(t) = f(t) 0 1 z(t) +.

ẍ(t) q(t)x(t) = f(t) 0 1 z(t) +. Diffrniaaliyhälö II, harjoius 3, 8 228, rakaisu JL, kuusi sivua a On muunnava linaarinn oisn kraluvun diffrniaaliyhälö ẍ qx f yhäpiäväksi nsimmäisn kraluvun linaarisksi kahdn skalaariyhälön sysmiksi Rak

Lisätiedot

Kompleksilukujen alkeet

Kompleksilukujen alkeet Kompleksilukuje alkeet Samuli Reuae Soja Kouva Kuva 1: Abraham De Moivre (1667-175) Sisältö 1 Kompleksiluvut ja kompleksitaso 1.1 Yhtee- ja väheyslasku...................... 1. Kertolasku ja z = x + yi

Lisätiedot

a) Esitä piirtämällä oheisen kaksoissymmetrisen ulokepalkkina toimivan kotelopalkin kaksi täysin erityyppistä plastista rajatilamekanismia (2p).

a) Esitä piirtämällä oheisen kaksoissymmetrisen ulokepalkkina toimivan kotelopalkin kaksi täysin erityyppistä plastista rajatilamekanismia (2p). LUT / Teräsrakenee/Timo Björk BK80A30: Teräsrakenee II: 9.9.016 Oheismaeriaalin käyö EI salliua, laskimen käyö on salliua, lausekkeia ehäväosion lopussa Vasaukse laadiaan ehäväpaperille, joka palaueava,

Lisätiedot

YKSISIVUKAISTAMODULAATIO (SSB)

YKSISIVUKAISTAMODULAATIO (SSB) YKSISIVUKAISTAODULAATIO SSB ien kaisaa voi sääsää verrauna DSB- a A-modulaaioihin? ikä on Hilber-munnin? 5357A Tieoliikenneekniikka I Osa 9 Kari Kärkkäinen Kevä 05 YKSISIVUKAISTAODULAATION IDEA DSB & A-inormaaio

Lisätiedot

DEE Lineaariset järjestelmät Harjoitus 3, harjoitustenpitäjille tarkoitetut ratkaisuehdotukset

DEE Lineaariset järjestelmät Harjoitus 3, harjoitustenpitäjille tarkoitetut ratkaisuehdotukset DEE- ineaarise järjeselmä Harjoius 3, harjoiusenpiäjille arkoieu rakaisuehdoukse Ennen kuin mennään ämän harjoiuksen aihepiireihin, käydään läpi yksi huomionarvoinen juu Piirianalyysin juuri suorianee

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 4.9.4 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vasausen piireiden, sisälöjen ja piseiysen luonnehdina ei sido ylioppilasukinolauakunnan arvoselua. Lopullisessa arvoselussa

Lisätiedot

Dynaaminen optimointi ja ehdollisten vaateiden menetelmä

Dynaaminen optimointi ja ehdollisten vaateiden menetelmä Dynaaminen opimoini ja ehdollisen vaaeiden meneelmä Meneelmien keskinäinen yheys S yseemianalyysin Laboraorio Esielmä 10 - Peni Säynäjoki Opimoiniopin seminaari - Syksy 2000 / 1 Meneelmien yhäläisyyksiä

Lisätiedot

Lineaaristen järjestelmien teoriaa II

Lineaaristen järjestelmien teoriaa II Lieaarise järjeselmie eoriaa II Ohjaavuus Tarkkailavuus havaiavuus Lisää sabiilisuudesa Tilaesimoii, Kalma-suodi TKK/Syseemiaalyysi laboraorio Mielekiioisia kysymyksiä Oko syseemi rakeeelaa sellaie, eä

Lisätiedot

3 SIGNAALIN SUODATUS 3.1 SYSTEEMIN VASTE AIKATASOSSA

3 SIGNAALIN SUODATUS 3.1 SYSTEEMIN VASTE AIKATASOSSA S I G N A A L I T E O R I A, O S A I I I TL98Z SIGNAALITEORIA, OSA III 44 3 Signaalin suodaus...44 3. Sysmin vas aikaasossa... 44 3. Kausaalisuus a sabiilisuus... 46 3.3 Vas aauusasossa... 46 3.4 Ampliudivas

Lisätiedot

a) Miksi signaalin jaksollisuus on tärkeä ominaisuus? Miten jaksollisuus vaikuttaa signaalin taajuussisältöön?

a) Miksi signaalin jaksollisuus on tärkeä ominaisuus? Miten jaksollisuus vaikuttaa signaalin taajuussisältöön? L53, Sinaalioria J. Laiinn..5 E3SN, E3SN5Z Väliko, rakaisu Vasaa lyhysi suraaviin kysymyksiin. 6p a Miksi sinaalin aksollisuus on ärkä ominaisuus? Min aksollisuus vaikuaa sinaalin aauussisälöön? b Miä

Lisätiedot

a) Ortogonaalinen, koska kantafunktioiden energia 1

a) Ortogonaalinen, koska kantafunktioiden energia 1 S-7.060 Signaali ja järjeselmä Teni 14.5.001 1. Vasaa lyhyesi seuraaviin saehäviin, käyä arviaessa kuvaa. a) Mikä minaisuuksisa rgnaalinen ja rnrmaalinen kuvaa paremmin Furier-sarjaa ja miksi? b) Esiä

Lisätiedot

Suunnitteluharjoitus s-2016 (...k-2017)

Suunnitteluharjoitus s-2016 (...k-2017) 1 Suunnieluharjoius s-2016 (...k-2017) HAKKURITEHOLÄHDE Seuraavan push-pull-yyppisen hakkurieholäheen komponeni ulisi valia (muunajaa lukuunoamaa). V1 iin 230 V ± 10 % 50 Hz V3 Perusieoja kykennäsä Verkkoasasuunauksen

Lisätiedot

F E . 1. a!? # % b &., @ $ c + ± = e < > [ \ ] ^ g λ Ø ø φ " 1 / 2 h Á á É. j À à È è Ì ì Ò k ò ù Ä ä Ë ë Ï. o à ã Ñ ñ Õ õ F` = 6mm = 9/12mm = 19mm

F E . 1. a!? # % b &., @ $ c + ± = e < > [ \ ] ^ g λ Ø ø φ  1 / 2 h Á á É. j À à È è Ì ì Ò k ò ù Ä ä Ë ë Ï. o à ã Ñ ñ Õ õ F` = 6mm = 9/12mm = 19mm : A ➎ C ➎ B D = 6mm = 9/12mm = a!? # % b &., @ $ c + ± = d * / : ; ( ) e < > [ \ ] ^ f { } ~ µ ß Ω g λ Ø ø φ " 1 / 2 h Á á É i é Í í Ó ó Ú ú j À à È è Ì ì Ò k ò ù Ä ä Ë ë Ï l ï Ö ö Ü ü ÿ  m â Ê ê î ô

Lisätiedot

SIGNAALITEORIAN KERTAUSTA 2. Tietoliikennetekniikka I A Kari Kärkkäinen Osa 3

SIGNAALITEORIAN KERTAUSTA 2. Tietoliikennetekniikka I A Kari Kärkkäinen Osa 3 SIGNAALITEORIAN KERTAUSTA 2 Tieoliikenneekniikka I 521359A Kari Kärkkäinen Osa 3 Konvoluuio ja kerolasku ajassa ja aajuudessa Kanaaajuussignaali baseband sanomasignaali sellaisenaan ilman modulaaioa Kaisanpääsösignaali

Lisätiedot

Käyttövarmuuden ja kunnossapidon perusteet, KSU-4310: Tentti ma

Käyttövarmuuden ja kunnossapidon perusteet, KSU-4310: Tentti ma KSU-430/Ten 4..2008/Prof. Seppo Vranen /3 Käyövarmuuden ja kunnossapdon perusee, KSU-430: Ten ma 4..2008 Huom. Vasaus van veen kysymykseen. Funko- ja/a ohjelmoavan laskmen, musnpanojen, luenomonseden ja

Lisätiedot

Tiedonhakumenetelmät Tiedonhakumenetelmät Helsingin yliopisto / TKTL. H.Laine 1. Todennäköisyyspohjainen rankkaus

Tiedonhakumenetelmät Tiedonhakumenetelmät Helsingin yliopisto / TKTL. H.Laine 1. Todennäköisyyspohjainen rankkaus Tieonhakumeneelmä Helsingin yliopiso / TKTL.4.04 Toennäköisyyeen perusuva rankkaus Tieonhakumeneelmä Toennäköisyyspohjainen rankkaus Dokumenien haussa ongelmana on löyää käyäjän kyselynä ilmaiseman ieoarpeen

Lisätiedot

MATA172 Sami Yrjänheikki Harjoitus Totta vai Tarua? Lyhyt perustelu tai vastaesimerkki!

MATA172 Sami Yrjänheikki Harjoitus Totta vai Tarua? Lyhyt perustelu tai vastaesimerkki! MATA17 Sami Yrjäheikki Harjoitus 7 1.1.018 Tehtävä 1 Totta vai Tarua? Lyhyt perustelu tai vastaesimerkki! (a) Jokaie jatkuva fuktio f : R R o tasaisesti jatkuva. (b) Jokaie jatkuva fuktio f : [0, 1[ R

Lisätiedot

X(t) = X 0 + tx 1 + t 2 X 2 + t 3 X ,

X(t) = X 0 + tx 1 + t 2 X 2 + t 3 X , Ma-1.1332 Mariisiksponnifunkio, KP3-II, syksy 2007 Pkka Alsalo Johdano. Tämä monis sisälää kurssilla arviava ido mariisiksponnifunkiosa. Mariisiksponnifunkio. Suraavassa A on raalinn n n-mariisi, jonka

Lisätiedot

PUOMIN NOSTOLIIKKEEN MALLINNUKSESTA

PUOMIN NOSTOLIIKKEEN MALLINNUKSESTA PUOMIN NOSOLIIKKEEN MALLINNUKSESA H. MARJAMÄKI, J. MÄKINEN amperee ekillie yliopiso PL 589, 33 AMPERE s-posi: heikki.marjamaki@u.fi s-posi: jari.m.makie@u.fi IIVISELMÄ Koeerakeuksessa käyeää rusaasi osopuomeja,

Lisätiedot

f x dx y dy t dt f x y t dx dy dt O , (4b) . (4c) f f x = ja x (4d)

f x dx y dy t dt f x y t dx dy dt O , (4b) . (4c) f f x = ja x (4d) Tehävä 1. Oleeaan, eä on käössä jakuva kuva, jossa (,, ) keroo harmaasävn arvon paikassa (, ) ajanhekenä. Dnaaminen kuva voidaan esiää Talor sarjana: d d d d d d O ( +, +, + ) = (,, ) + + + + ( ). (4a)

Lisätiedot

Johda jakauman momenttiemäfunktio ja sen avulla jakauman odotusarvo ja varianssi.

Johda jakauman momenttiemäfunktio ja sen avulla jakauman odotusarvo ja varianssi. / Raaisu Aihee: Avaisaa: Momeiemäfuio Sauaismuuujie muuose ja iide jaauma Kovergessiäsiee ja raja-arvolausee Biomijaauma, Espoeijaauma, Geomerie jaauma, Jaaumaovergessi, Jauva asaie jaauma, Kolmiojaauma,

Lisätiedot

JLP:n käyttämättömät mahdollisuudet. Juha Lappi

JLP:n käyttämättömät mahdollisuudet. Juha Lappi JLP:n äyämäömä mahdollisuude Juha Lappi LP ehävä p z = a x + b z 0 Max or Min (.) 0 0 = = subjec o he following consrains: c a x + b z C, =,, q p q K r (.2) = = m n i ij K (.3) i= j= ij x xw= 0, =,, p

Lisätiedot

VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 16: Yhden vapausasteen vaimeneva pakkovärähtely, yleinen jaksollinen kuormitus

VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 16: Yhden vapausasteen vaimeneva pakkovärähtely, yleinen jaksollinen kuormitus 6/ VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 6: Yhde vpussee vimeev poväähely, yleie jsollie uomius YLEINEN JAKSOLLINEN KUORMITUS Hmois heäeä vsv pysyvä poväähely lusee löyyy helposi oeilemll. Hmoise heäee eoi void hyödyää

Lisätiedot

1 Excel-sovelluksen ohje

1 Excel-sovelluksen ohje 1 (11) 1 Excel-sovelluksen ohje Seuraavassa kuvaaan jakeluverkonhalijan kohuullisen konrolloiavien operaiivisen kusannusen (SKOPEX 1 ) arvioimiseen arkoieun Excel-sovelluksen oimina, mukaan lukien sovelluksen

Lisätiedot

Sisältö Sisältö Tietoliikennesignaalit ja niiden tutkiminen aika- ja taajuustasossa Tietoliikenne, informaatio, signaali...

Sisältö Sisältö Tietoliikennesignaalit ja niiden tutkiminen aika- ja taajuustasossa Tietoliikenne, informaatio, signaali... Igraalimuuoks Mropolia/. Koivumäki ässä o ksiä, oka o alupri aikoiaa kiroiu Sadia ioliikoria-kurssi mariaaliksi, mua sovluu oivallissi Igraalimuuoks-kurssi Fourir-aalyysiä käsilväksi mariaaliksi. Mamaaissi

Lisätiedot

Luento 7 Järjestelmien ylläpito

Luento 7 Järjestelmien ylläpito Luno 7 Järjslmin ylläpio Ahi Salo Tknillinn korkakoulu PL, 5 TKK Järjslmin ylläpidosa Priaallisia vaihohoja Uusiminn rplacmn Ennalahkäisvä huolo mainnanc Korjaaminn rpair ❶ Uusiminn Vioiun komponni korvaaan

Lisätiedot

KOMISSION VALMISTELUASIAKIRJA

KOMISSION VALMISTELUASIAKIRJA EUROOPAN UNIONIN NEUVOSTO Bryssel, 23. oukokuua 2007 (24.05) (OR. en) Toimielinen välinen asia: 2006/0039 (CNS) 9851/07 ADD 2 N 239 RESPR 5 CADREN 32 LISÄYS 2 I/A KOHTAA KOSKEVAAN ILMOITUKSEEN Läheäjä:

Lisätiedot

Piennopeuslaite FMP. Lapinleimu

Piennopeuslaite FMP. Lapinleimu Piennopeuslaie FMP Floormaser FMP on lieä uloilmalaie, joka on arkoieu käyeäväksi syrjäyävään ilmanjakoon Floormaser-järjeselmässä. KANSIO 4 VÄLI 6 ESITE 6 Lapinleimu.1.00 Floormaser Yleisä Floormaser

Lisätiedot

2. Matemaattinen malli ja funktio 179. a) f (-2) = -2 (-2) = = -6 b) f (-2) = 2 (-2) 2 - (-2) = (-8) + 7 = = 23

2. Matemaattinen malli ja funktio 179. a) f (-2) = -2 (-2) = = -6 b) f (-2) = 2 (-2) 2 - (-2) = (-8) + 7 = = 23 LISÄTEHTÄVÄT. Maemaainen malli ja funkio 9. a) f (-) = - (-) + = - + = -6 b) f (-) = (-) - (-) + = - (-8) + = 8 + 8 + = 80. a) f ( ) = + f ( ) = 0 + = 0 ( ) = ± = ± = ai = Vasaus: = - ai = b) + = + = 0

Lisätiedot

LIITTEET Liite A Stirlingin kaavan tarkkuudesta...2. Liite B Lagrangen kertoimet...3

LIITTEET Liite A Stirlingin kaavan tarkkuudesta...2. Liite B Lagrangen kertoimet...3 LIITTEET... 2 Liite A Stirligi kaava tarkkuudesta...2 Liite B Lagrage kertoimet... 2 Liitteet Liitteet Liite A Stirligi kaava tarkkuudesta Luoollista logaritmia suureesta! approksimoidaa usei Stirligi

Lisätiedot

KÄYTTÖOPAS. -järjestelmän sisäyksikkö HXHD125A8V1B

KÄYTTÖOPAS. -järjestelmän sisäyksikkö HXHD125A8V1B KÄYÖOPAS -järjeselmän sisäyksikkö SISÄLÖ 1. Määrielmä... 1 1.1. Merkkien ja varoiusen arkoiukse... 1 1.2. Käyeyjen ermien merkiys... 1 2. Yleise varooime... 2 3. Johdano... 2 3.1. Yleisä... 2 3.2. ämän

Lisätiedot

5 YHDEN VAPAUSASTEEN YLEINEN PAKOTETTU LIIKE

5 YHDEN VAPAUSASTEEN YLEINEN PAKOTETTU LIIKE Värähelymeaiia 5. 5 YHDEN VAPAUSASTEEN YLEINEN PAKOTETTU LIIKE 5. Johao Luvussa 4 araselii yhe vapausasee syseemii harmoisesa heräeesä aiheuuvaa vasea ja havaiii se riippuva pääasiassa syseemi vaimeusesa

Lisätiedot

Digitaalinen signaalinkäsittely Signaalit, jonot

Digitaalinen signaalinkäsittely Signaalit, jonot Digitaalie sigaalikäsittely Sigaalit, joot Teemu Saarelaie, teemu.saarelaie@kyamk.fi Lähteet: Ifeachor, Jervis, Digital Sigal Processig: A Practical Approach H.Huttue, Sigaalikäsittely meetelmät, Opitomoiste,

Lisätiedot

KANTOAALTOMODULOIDUN KAISTANPÄÄSTÖSIGNAALIN (BANDPASS) JA KANTATAAJUISEN (BASEBAND) SIGNAALIN AMPLITUDISPEKTRIT

KANTOAALTOMODULOIDUN KAISTANPÄÄSTÖSIGNAALIN (BANDPASS) JA KANTATAAJUISEN (BASEBAND) SIGNAALIN AMPLITUDISPEKTRIT KANOAALOMODULOIDUN KAISANPÄÄSÖSINAALIN BANDPASS JA KANAAAJUISEN BASEBAND SINAALIN AMPLIUDISPEKRI 536A ieoliienneeniia II Osa 5 Kari Käräinen Sysy 05 EHOIHEYSSPEKRI & KAISANLEVEYS Edellä arasellu modulaaio

Lisätiedot

KOHINA KULMAMODULAATIOISSA

KOHINA KULMAMODULAATIOISSA OHI ULMMOULIOISS ioliikkiikka I 559 ai äkkäi Osa 4 7 ulaoulaaio ouloii kohia vallissa iskiiaaoi koosuu ivaaoisa ja vhokäyäilaisisa. ivaaoi suaa -sigaali vaihkula uuosopua aajuu uuosa kskiaajuu C ypäillä.

Lisätiedot

KÄYTTÖOPAS. Ilma vesilämpöpumppujärjestelmän sisäyksikkö ja lisävarusteet RECAIR OY EKHBRD011ADV1 EKHBRD014ADV1 EKHBRD016ADV1

KÄYTTÖOPAS. Ilma vesilämpöpumppujärjestelmän sisäyksikkö ja lisävarusteet RECAIR OY EKHBRD011ADV1 EKHBRD014ADV1 EKHBRD016ADV1 EKHBRD011ADV1 EKHBRD014ADV1 EKHBRD016ADV1 EKHBRD011ADY1 EKHBRD014ADY1 EKHBRD016ADY1 KÄYÖOPAS Ilma vesilämpöpumppujärjeselmän sisäyksikkö ja lisävarusee EKHBRD011ADV1+Y1 EKHBRD014ADV1+Y1 EKHBRD016ADV1+Y1

Lisätiedot