KULMAMODULOITUJEN SIGNAALIEN SPEKTRIN LASKEMINEN
|
|
- Tapio Uotila
- 6 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 1 KULMMODULOITUEN SIGNLIEN SPEKTRIN LSKEMINEN Mie laskea eroaa lieaarise odulaaioide apauksesa? Milä spekri äyää epälieaarise prosessi jälkee? Tieoliikeeekiikka I Osa 15 Kari Kärkkäie Kevä 015
2 SPEKTRIN LSKENT SINISNOMLLE Kulaodulaaio spekri johaie o lieaarisii odulaaioihi verraua paljo hakalapaa epälieaarisuude vuoksi. Lieaarisilla oeii vai kaoaallo ja saoa spekrie kovoluuio aajuusalueessa kaoaallo ja saoa ulo aika-alueessa Ny spekri laskeavissa helposi vai yksikeraiselle sii-uooiselle saoalle si si siπf, jossa odulaaioideksi. Modulaaioideksi esieävä sekä PM- eä FM-odulaaioille: PM FM k p πf d fd FM lauseke ulee siiä, eä saoasigaali jouduaa iegroiaa siis sisäfukio derivaaasa f φ k x [ + k ] k p vaihedeviaaiovakio [rad/v], f d aajuusdeviaaiovakio [Hz/V] p os x os + πf d α dα p Tieoliikeeekiikka I Osa 15 Kari Kärkkäie Kevä 015
3 SPEKTRIN LSKENT SINISNOMLLE Iegraalia ei voida esiää suljeussa uodossa, vaa se ilaisaa 1. laji, -asee ja arguei Besseli fukioilla, eli päädyii lopula iegraali ueerisee rakaisuu arvo aulukoiu. Kevä Tieoliikeeekiikka I Osa 15 Kari Kärkkäie 3 [ ] e e x e e dx e e e e e x j j j j x x j j j j j os Re 1 Re si os si si si / / si si π π φ π π π π + + +
4 BESSELIN FUNKTIOT Besseli fukio arvo o laskeu ieraiivisesi rekursiokaavalla. Riiää, eä iegraali o laskeu ueerisesi -arvoille 0 ja 1. Kevä Tieoliikeeekiikka I Osa 15 Kari Kärkkäie 4 1od, 0od, 1 1 +
5 VIIVSPEKTRI BESSELIN FUNKTIOIST 5 Periodise saoa apauksessa o luoollisa, eä ap. spekrisä ulee viivaspekri. Viivoje korkeusarvo äärieii Besseli fukioide avulla aikaaso esiyksesä spekriviivoje väli Tieoliikeeekiikka I Osa 15 Kari Kärkkäie Kevä 015
6 MODULTIOINDEKSIN VIKUTUS SINISNOMLLE 6 PM k p PM-odulaaioideksi: πf d fd FM FM-odulaaioideksi, ku si : f os 0 0, aioasaa 0 0 kaikki eho kaoaallossa. oillaki : arvoilla kaoaaloeho kaoaa äysi sivukeiloihi. Kaoaalokopoeia ei esiiy äillä : arvoilla Tieoliikeeekiikka I Osa 15 Kari Kärkkäie Kevä 015
7 MODULTIOINDEKSIN VIKUTUS SINISNOMLLE 7 o FM:llä oduloiva aajuude fukio ja PM:lla ei. Suurilla f : arvoilla sigaali o kapeakaisaie ku f d o vakio, sillä aioasaa kaksi sivukaisaa ova erkiäviä piei. Pieillä f : arvoilla suuri oilla kopoeeilla o erkiävä arvo jolloi FM-sigaali o leveäkaisaie. Viivoje väli. PM k p Spekri o kapeakaisaie. Se uisuaa DSB/M: spekriä, ku saoasigaalia o siiuooie sigaali, s. uolloi BW W. Usea sivukaisa syyvä epälieaarise prosessi seurauksea. Ku saoa apliudi kasvaa ai f pieeee kasvaa kaisaleveys kasvaa FM πf fd f d fd f huippuaajuusdeviaaio f Tieoliikeeekiikka I Osa 15 Kari Kärkkäie Kevä 015
8 MODULTIOINDEKSIN VIKUTUS SINISNOMLLE 8 Kapeakaisaie LSB USB Leveäkaisaie Tieoliikeeekiikka I Osa 15 Kari Kärkkäie Kevä 015
9 FM-SPEKTRI KUN φ 3COSπ 5 9 Spekri voidaa laskea Fourier-sarja sijaa käevii FFT-algoiilla. Se o käyäössä aioa keio, jos saoa ei ole deeriisie aeaaisesi äärielävissä oleva sigaali. f 00 Hz, f 5 Hz Spekriviivoje väli 5 Hz Tieoliikeeekiikka I Osa 15 Kari Kärkkäie Kevä 015
10 10 KULMMODULOITUEN SIGNLIEN TEHO KISTNLEVEYS Mie eoriassa ääreöä kaisaleveyde oaava PM & FM-sigaali kaisa ääriellää äärelliseksi? Tieoliikeeekiikka I Osa 15 Kari Kärkkäie Kevä 015
11 KULMMODULTION KESKIMÄÄRÄINEN TEHO 11 Kulaodulaaiolla o vakioverhokäyrä C, ikä o eu läheie ehovahvisie oeuukse kaala, koska hyvä hyöysuhee oaavilla vahvisiilla o sauroiuu epäli. vahvisuskäyrä. Iegroialla voidaa laskea keskiääräie läheyseho: x x os [ + φ ] os [ + φ ] + os[ + φ ] i. Kulaoduloidu sigaali keskiääräie eho ei siis riipu laikaa saoasigaalisa, koska kulaoduloiu sigaali o vakioverhokäyräie kosii-uooie sigaali Tieoliikeeekiikka I Osa 15 Kari Kärkkäie Kevä 015
12 KISTNLEVEYDEN MÄÄRITELMIÄ 1 Kaisaleveydellä o useia äärieliä, joka ileevä seuraavasa kuvasa ei siis ole yksikäsieisä äärielää. Kulaodulaaio apauksessa käyeää %-osuua läheysehosa. Saa äärielä soveluva yös diskreeeille viivaspekreille Tieoliikeeekiikka I Osa 15 Kari Kärkkäie Kevä 015
13 TEHOSUHDE SIGNLIN KISTNLEVEYS 13 Kulaoduloidu sigaali kaisaleveys o eoriassa ääreö. Voidaa osoiaa, eä spekri o kuieki keskiyy kaoaallo lähellä olevii aajuuskopoeeihi, sillä Z&T ppedix G.3: L 0 << 1 4,! ! Kaisaleveys voidaa ääriellä iide Besseli fukio erie eliösua peruseella, jossa o iey osa kokoaisläheysehosa. Tehosuhde: P r 1 + k + k k Ehdolle P r 0.98 luku k o luvu +1 kokoaisosa, jolloi siiuooisella saoasigaalilla oduloidulle FM:lle saadaa arvio: B kf + 1 f Tieoliikeeekiikka I Osa 15 Kari Kärkkäie Kevä 015
14 KISTNLEVEYS BESSELIN FUNKTIOILL Besseli fukioide aulukossa o esiey e : arvo, joilla P r 0.7 yksi alaviiva ja P r 0.98 kaksi alaviivaa. Kevä Tieoliikeeekiikka I Osa 15 Kari Kärkkäie k k k r P
15 KISTNLEVEYS CRSONIN KVLL 15 Edellä yksiaajuie siisaoa valoi kulaodulaaio spekri syyprosessia oiukaisea epälieaarisea iliöä. Muilla saoilla esi. puhe voidaa saoasigaali spekri ajaella koosuva hyvi suuresa ääräsä hyvi lähellä oisiaa olevisa spekriviivoisa. Ku saoasigaalia o uu kui siisigaali, FM: kaisaleveys ääriellää Carsoi kaavalla deviaaiosuhee D avulla: Suuiellaa UL-FM:llä 75 khz/v D B huippuaajuusdeviaaio saoasigaalikais a leveys D + 1 W fd f huippuaajuusdeviaaio f f d [ ax ] W Tiedeää UL-FM:llä W 15 khz Tieoliikeeekiikka I Osa 15 Kari Kärkkäie Kevä 015
16 KISTNLEVEYS CRSONIN KVLL 16 D:llä o Carsoi kaavassa saa rooli kui :llä siisaoasigaali apauksessa. W puolesaa vasaa paraeria f kaavassa B +1f. D: suuruuee vaikueaa käyäössä f d : valialla, koska uu paraeri ova saoasa riippuvia suureia iihi ei voida vaikuaa uue kui rajoiaalla saoasigaalia apliudi ja kaisa osala. os D << 1, ii B W kapeakaisaie kulaodulaaio os D >>1, ii B DW f d [ax ] leveäkaisaie kulaodulaaio, jolloi kaisa o kaksikeraie huippuaajuusdeviaaioo f d [ax ] verraua. Esi. UL-FM-radiolla salliu kaisaleveys 00 khz Tieoliikeeekiikka I Osa 15 Kari Kärkkäie Kevä 015
17 17 ESIMERKKEÄ KULMMODULOITUEN SIGNLIEN SPEKTREISTÄ Tieoliikeeekiikka I Osa 15 Kari Kärkkäie Kevä 015
18 ESIMERKKI 1: 5 COSπ Tieoliikeeekiikka I Osa 15 Kari Kärkkäie Kevä 015
19 ESIMERKKI : COSπ f 1 + B COSπ f 19 Nähdää, eä kulaoodulaaio o epälieaarie prosessi, jossa vai kahdesa saoa perusaajuudesa f 1 ja f syyy ääreö äärä erilaisia keskeisodulaaiokopoeeja aajuuksille f + f 1 + f Tieoliikeeekiikka I Osa 15 Kari Kärkkäie Kevä 015
20 ESIMERKKI 3: COSπ 50 + COSπ 5 0 Nähdää: Koska käyäössä saoasigaali kaaaajuie spekri koosuu hyvi suuresa ääräsä vierekkäisiä piseaajuuksia, äyyy oduloidu FM-sigaali spekri lopula keskeisodulaaioaajuuksisa kuva 3.30 periaaee ukaisesi Tieoliikeeekiikka I Osa 15 Kari Kärkkäie Kevä 015
KULMAMODULOITUJEN SIGNAALIEN SPEKTRIN LASKEMINEN
KULMMODULOITUJEN SIGNLIEN SPEKTRIN LSKEMINEN 1 (3) (3) Spekri laskeie siisaoalle Kulaoduloidu sigaali spekri johaie o yöläsä epälieaarisuudesa johue (epälieaarise aalyysi ova yleesä hakalia). Se voidaa
LisätiedotLUKU 7 KOHINAN VAIKUTUS ANALOGISTEN MODULAATIOIDEN SUORITUSKYKYYN A Tietoliikennetekniikka I Osa 24 Kari Kärkkäinen Kevät 2015
1 LUKU 7 KOHINAN VAIKUUS ANALOGISEN MODULAAIOIDEN SUORIUSKYKYYN 51357A ieoliikeeekiikka I Osa 4 Kari Kärkkäie Kevä 15 LUKU 7 KOHINA ANALOGISISSA MODULAAIOISSA Johdao aalyysieeelii Sigaali-kohiasuhee ääriäie
LisätiedotLUKU 6 KOHINAN VAIKUTUS ANALOGISTEN MODULAATIOIDEN SUORITUSKYKYYN
LUKU 6 KOHINN VIKUUS NLOGISEN MOULIOIEN SUORIUSKYKYYN ieoliikeeekiikka I 5359 Kari Kärkkäie Osa 6 Luku 6 Kohia vaikuus aalogisii odulaaioihi Johdao aalyysieeelii Sigaali-kohiasuhee ääriäie Kaaaajuie järjeselä
LisätiedotEPÄLINEAARISET KULMAMODULAATIOT VAIHEMODULAATIO (PM) JA TAAJUUSMODULAATIO (FM)
1 EPÄLINERISET KULMMODULTIOT VIHEMODULTIO PM J TJUUSMODULTIO FM Mien PM a FM eroava oisisaan? Millainen on kapeakaisainen kulmamodulaaori? 521357 Tieoliikenneekniikka I Osa 14 Kari Kärkkäinen Kevä 2015
LisätiedotKOHINA KULMAMODULAATIOISSA
OHI ULMMOULIOISS ioliikkiikka I 559 ai äkkäi Osa 4 7 ulaoulaaio ouloii kohia vallissa iskiiaaoi koosuu ivaaoisa ja vhokäyäilaisisa. ivaaoi suaa -sigaali vaihkula uuosopua aajuu uuosa kskiaajuu C ypäillä.
LisätiedotANALOGISEN VÄRITELEVISION RAKENNE JA TOIMINTA
ANALOGISEN VÄRITELEVISION RAKENNE JA TOIMINTA Tieoliikenneekniikka I 521359A Kari Kärkkäinen Osa 8 1 23 Videosignaalin VSB-odulaaio analogisessa TV-järj. Värielevision videosignaalin siirrossa käyeään
LisätiedotLuento 3. Fourier-sarja
Fourier-muuos Rayleigh eoreema Spekriiheys Lueo 3 4..7 Fourier-sarja Fourier-sarja avulla pysyii esiämää jaksollie sigaali, joka jaksoaika o. Fourier-sarja Fourier-kompoei Eäpä aperiodise sigaali, joilla
LisätiedotINTERFERENSSIN VAIKUTUS LINEAARISISSA MODULAATIOISSA
1 INTERFERENSSIN VIKUTUS LINERISISS MOULTIOISS Men yksaajunen häökanoaalo haaa lasua? 521357 Teolkenneeknkka I Osa 18 Ka Käkkänen Kevä 2015 KERTUST 2 Kanoaaloodulaaolle: os[2πf φ] Lneaanen odulaao Vahee
LisätiedotLuento 3. Fourier-sarja
Fourier muuos Rayleigh eoreema Spekriiheys Lueo 3 4..6 Fourier-sarja Fourier-sarja avulla pysyii esiämää jaksollie sigaali, joka jaksoaika o. Fourier-sarja Fourier-kompoei Eäpä aperiodise sigaali, joilla
LisätiedotJuuri 13 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus. K1. A: III, B: I, C: II ja IV.
Juuri Tehävie rakaisu Kusausosakeyhiö Oava päiviey 9.8.8 Keraus K. A: III, B: I, C: II ja IV Kuvaaja: I II III IV Juuri Tehävie rakaisu Kusausosakeyhiö Oava päiviey 9.8.8 K. a) lim ( ) Nimiäjä ( ) o aia
LisätiedotS Signaalit ja järjestelmät Tentti
S-7. Signaali ja järjeselmä eni..6 Vasaa ehävään, ehävisä 7 oeaan huomioon neljä parhaien suorieua ehävää.. Vasaa lyhyesi seuraaviin osaehäviin, käyä arviaessa kuvaa. a) Mikä kaksi ehoa kanaunkioiden φ
LisätiedotSilloin voidaan suoraan kirjoittaa spektrin yhtälö käyttämällä hyväksi suorakulmaisen pulssin Fouriermuunnosta sekä viiveen vaikutusta: ( ) (
TT/TV Inegraalimuunnokse Fourier-muunnos, ehäviä : Vasauksia Meropolia/. Koivumäki v(. Määriä oheisen signaalin Fourier-muunnos. Vinkki: Superposiio, viive. Voidaan sovelaa superposiioperiaaea, koska signaalin
LisätiedotKOHINAN JA VAIHEVIRHEEN VAIKUTUS VAIHEKOHERENTEILLA JÄRJESTELMILLÄ
KOHINAN JA VAIHVIRHN VAIKUTUS VAIHKOHRNTILLA JÄRJSTLMILLÄ Mie vaihee epävaruu vaikuaa kohereia ilaiua? Mikä o piloiigaali? 557A Tieoliikeeekiikka I Oa 6 Kari Kärkkäie Kevä 05 VAIHVIRHN YLINN ANALYYSI QSB
LisätiedotLuento 9. Epälineaarisuus
Lueno 9 Epälineaarisuus 8..6 Epälineaarisuus Tarkasellaan passiivisa epälineaarisa komponenia u() y() f( ) Taylor-sarjakehielmä 3 y f( x) + f '( x) ( x x) + f ''( x) ( x x) + f ''( x) ( x x) +...! 3! 4!
Lisätiedot( ) ( ) 2. Esitä oheisen RC-ylipäästösuotimesta, RC-alipäästösuotimesta ja erotuspiiristä koostuvan lineaarisen järjestelmän:
ELEC-A700 Signaali ja järjeselmä Laskuharjoiukse LASKUHARJOIUS 3 Sivu /8. arkasellaan oheisa järjeselmää bg x Yksikköviive + zbg z bg z d a) Määriä järjeselmän siirofunkio H Y = X b) Määriä järjeselmän
LisätiedotTelecommunication engineering I A Exercise 3
Teleouao egeerg I 5359A xere 3 Proble elaodulaaor lohkokaavo o eey oppkrja kuvaa 3.63. Pulodulaaor ääuloa o aoagaal ja reeregaal erou d. Tää gaal kerroaa pulgeeraaor gaallla rajouke, el erouke erk elväe,
Lisätiedot(x) (tasaisesti suppeneva sarja)
6.3 MATEMAATTISET OPERAATIOT SARJOIE Jos srjss o äärellie äärä erejä, void derivoii i iegroii suori huole ereiäi. Ääreöä srj puksess ereiäi operoii o slliu, jos srj suppeee sisesi. Esi. Trksell ääreöä
LisätiedotKojemeteorologia. Sami Haapanala syksy Fysiikan laitos, Ilmakehätieteiden osasto
Kojemeeorologia Sami Haapaala syksy 03 Fysiika laios, Ilmakehäieeide osaso Mialaieide dyaamise omiaisuude Dyaamise uusluvu määriävä mie mialaie käyäyyy syöeide muuuessa Apua käyeää differeiaaliyhälöiä,
LisätiedotYKSISIVUKAISTAMODULAATIO (SSB)
YKSISIVUKAISTAODULAATIO SSB ien kaisaa voi sääsää verrauna DSB- a A-modulaaioihin? ikä on Hilber-munnin? 5357A Tieoliikenneekniikka I Osa 9 Kari Kärkkäinen Kevä 05 YKSISIVUKAISTAODULAATION IDEA DSB & A-inormaaio
Lisätiedot4 YHDEN VAPAUSASTEEN HARMONINEN PAKKOVÄ- RÄHTELY
Väähelyekaiikka 4. 4 YHDEN VAPAUSASTEEN HARMONINEN PAKKOVÄ- RÄHTELY 4. Johdao Mekaaise syseei ulkoisisa kuoiuksisa aiheuuvaa väähelyä saoaa akkoväähelyksi. Jos syseeissä o vaieusa, o kyseessä vaieeva akkoväähely,
LisätiedotYKSISIVUKAISTAMODULAATIO (SSB)
YKSISIVUKISTODULTIO SSB Tieoliikenneekniikka I 5359 Kari Kärkkäinen Osa 6 0 Yksisivukaisamodulaaion idea DSB:ssa inormaaio on redundanisesi kaheen keraan, s. LSB & USB. Toisen kaisan läheys riiää, olloin
LisätiedotLineaaristen järjestelmien teoriaa II
Lieaarise järjeselmie eoriaa II Ohjaavuus Tarkkailavuus havaiavuus Lisää sabiilisuudesa Tilaesimoii, Kalma-suodi TKK/Syseemiaalyysi laboraorio Mielekiioisia kysymyksiä Oko syseemi rakeeelaa sellaie, eä
LisätiedotKYNNYSILMIÖ JA SILTÄ VÄLTTYMINEN KYNNYKSEN SIIRTOA (LAAJENNUSTA) HYVÄKSI KÄYTTÄEN
YYSILMIÖ J SILÄ VÄLYMIE YYSE SIIRO LJEUS HYVÄSI ÄYÄE ieoliikenneekniikka I 559 ari ärkkäinen Osa 5 4 MILLOI? Milloin ja missä kynnysilmiö esiinyy? un vasaanoimen ulon SR siis esi-ilmaisusuodaimen lähdössä
LisätiedotBM20A Integraalimuunnokset Harjoitus 8
(b)...(d) eve + eve = eve eve eve = eve BM2A57 - Itegraalimuuokset Harjoitus 8. Vastaa jokaisessa kohdassa seuraavii kysymyksii: Oko fuktio parillie? Oko fuktio parito? Huomaatko polyomie kohdalla hyvi
LisätiedotLuento 4. Fourier-muunnos
Lueno 4 Erikoissignaalien Fourier-muunnokse Näyeenoo 4..6 Fourier-muunnos Fourier-muunnos Kääneismuunnos Diricle n edo Fourier muunuvalle energiasignaalille I: Signaali on iseisesi inegroiuva v ( d< II:
LisätiedotVÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 14: Yhden vapausasteen vaimeneva pakkovärähtely, harmoninen kuormitusheräte
4/ VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 4: Yhden vaausaseen vaieneva akkvärähely, harninen kuriusheräe LIIKEYHTÄLÖN JOHTO JA RATKAISU Kuvassa n esiey visksisi vaienneun yhden vaausaseen harnisen akkvärähelijän erusalli.
Lisätiedot( ) ( ) x t. 2. Esitä kuvassa annetun signaalin x(t) yhtälö aikaalueessa. Laske signaalin Fourier-muunnos ja hahmottele amplitudispektri.
ELEC-A7 Signaali ja järjeselmä Laskuharjoiukse LASKUHARJOIUS Sivu 1/11 1. Johda anneun pulssin Fourier-muunnos ja hahmoele ampliudispekri. Käyä esim. derivoinieoreemaa, ja älä unohda 1. derivaaan epäjakuvuuskohia!
Lisätiedota) Ortogonaalinen, koska kantafunktioiden energia 1
S-7.060 Signaali ja järjeselmä Teni 14.5.001 1. Vasaa lyhyesi seuraaviin saehäviin, käyä arviaessa kuvaa. a) Mikä minaisuuksisa rgnaalinen ja rnrmaalinen kuvaa paremmin Furier-sarjaa ja miksi? b) Esiä
Lisätiedot4.3 Signaalin autokorrelaatio
5 4.3 Sigaali autokorrelaatio Sigaali autokorrelaatio kertoo kuika paljo sigaali eri illä korreloi itsesä kassa (josta imiki). Se o Fourier-muuokse ohella yksi käyttökelpoisimmista sigaalie aalysoitimeetelmistä.
LisätiedotKANTATAAJUINEN BINÄÄRINEN SIIRTOJÄRJESTELMÄ AWGN-KANAVASSA
KJUI BIÄÄRI SIIROJÄRJSLMÄ WG-KVSS Kaajaajui siiro iformaaio siiro johdossa sllaisaa ilma kaoaalo- ai pulssimodulaaioa 536 ioliikkiikka II Osa 3 Kari Kärkkäi Syksy 5 JÄRJSLMÄMLLI Bii kso. Symboli {} ja
Lisätiedotẍ(t) q(t)x(t) = f(t) 0 1 z(t) +.
Diffrniaaliyhälö II, harjoius 3, 8 228, rakaisu JL, kuusi sivua a On muunnava linaarinn oisn kraluvun diffrniaaliyhälö ẍ qx f yhäpiäväksi nsimmäisn kraluvun linaarisksi kahdn skalaariyhälön sysmiksi Rak
LisätiedotLuento 2. Jaksolliset signaalit
Luento Jaksollisten signaalien Fourier-sarjat Viivaspektri S-.7. Signaalit ja järjestelmät 5 op KK ietoliikennelaboratorio Jaksollinen (periodinen) Jaksolliset signaalit Jaksonaika - / / Perusjakso Amplitudi
LisätiedotAluksi.1. Integrointia
TT/TV Iegraalimuuokse Meropolia/. Koivumäki Tässä iedosossa ova kaikki uilla esille ullee ehävä. (Tosi iha kaikkia ehäviä ei välämää ole uilla mey läpi kovi arkasi, jos ollekaa.) Esimmäisellä uilla ollee
LisätiedotSATE2140 Dynaaminen kenttäteoria syksy /7 Laskuharjoitus 4 / Sähkömagneettiset aaltojen polarisoituminen
SATE14 Dnaainen kenäeoia sks 16 1 /7 Laskuhajoius 4 / Sähköagneeise aalojen polaisoiuinen Tehävä 1. Vapaassa ilassa väähelevän piseläheen aiheuaan palloaallon sähkökenän voiakkuus on A V E, sincos k e.
LisätiedotMittaustekniikan perusteet, piirianalyysin kertausta
Miausekniikan perusee, piirianalyysin kerausa. Ohmin laki: =, ai = Z ( = ännie, = resisanssi, Z = impedanssi, = vira). Kompleksiluvu Kompleksilukua arviaan elekroniikassa analysoiaessa piireä, oka sisälävä
LisätiedotCopyright Isto Jokinen MATEMATIIKKA. Matematiikkaa pintakäsittelijöille Ongelmanratkaisu Isto Jokinen 2017
AEAKKA aeaiikkaa piakäsielijöille Ogelarakaisu so Jokie 207 SSÄLÖ. aeaaise ogelie rakaisu laskukaaoilla 2. ekijäyhälö 3. Laskukaaoje yhdisäie 4. Yhälöide uodosaie aeaaisee ogelaa Käyöoikeus opeuksessa
LisätiedotSIGNAALITEORIAN KERTAUSTA 2. Tietoliikennetekniikka I A Kari Kärkkäinen Osa 3
SIGNAALITEORIAN KERTAUSTA 2 Tieoliikenneekniikka I 521359A Kari Kärkkäinen Osa 3 Konvoluuio ja kerolasku ajassa ja aajuudessa Kanaaajuussignaali baseband sanomasignaali sellaisenaan ilman modulaaioa Kaisanpääsösignaali
LisätiedotYhden selittäjän lineaarinen regressiomalli
Moimuuujameeelmä Yhde seliäjä lieaarie regressiomalli Moimuuujameeelmä: Yhde seliäjä lieaarie regressiomalli Ilkka Melli. Yhde seliäjä lieaarie regressiomalli, se esimoii ja esaus.. Yhde seliäjä lieaarie
Lisätiedot4 KORKEAMMAN KERTALUVUN LINEAARISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT. Kertaluvun n lineaarinen differentiaaliyhtälö ns. standardimuodossa on
4 4 KORKEAAN KERTAUVUN INEAARISET DIFFERENTIAAIYHTÄÖT Kertalukua olevassa differetiaalihtälössä F(x,,,, () ) = 0 esiit :e kertaluvu derivaatta () = d /dx ja mahdollisesti alempia derivaattoja, :tä ja x:ää.
LisätiedotINTERFERENSSIN VAIKUTUS LINEAARISESSA MODULAATIOSSA
INTERFERENSSIN VIUTUS LINERISESS MOULTIOSS Teolkenneeknkka I 521359 a äkkänen Osa 15 1 19 Inefeenssn vakuus lneaasessa odulaaossa Radoaausa nefeenssä RFI sn usa äeselsä, kun oa kanoaaloaauus on lähellä
LisätiedotSopimuksenteon dynamiikka: johdanto ja haitallinen valikoituminen
Soimukseneon dynamiikka: johdano ja haiallinen valikoiuminen Ma-2.442 Oimoinioin seminaari Elise Kolola 8.4.2008 S yseemianalyysin Laboraorio Esielmä 4 Elise Kolola Oimoinioin seminaari - Kevä 2008 Esiyksen
LisätiedotKULMAMODULOITUJEN SIGNAALIEN ILMAISU DISKRIMINAATTORILLA
1 KULMMOULOITUJEN SIGNLIEN ILMISU ISKRIMINTTORILL Millaisia keinoja on PM & FM -ilmaisuun? 51357 Tieoliikenneekniikka I Osa 17 Kai Käkkäinen Kevä 015 ISKRIMINTTORIN TOIMINTKÄYRÄ J -YHTÄLÖ FM-signaalin
Lisätiedot6.4 Variaatiolaskennan oletusten rajoitukset. 6.5 Eulerin yhtälön ratkaisuiden erikoistapauksia
6.4 Variaaiolaskennan oleusen rajoiukse Sivu ss. 27 31 läheien Kirk, ss. 13 143] ja KS, Ch. 5] pohjala Lähökoha oli: jos J:llä on eksremaali (), niin J:n variaaio δj( (), δ()) ():ä pikin on nolla. 1. Välämäön
LisätiedotTietoliikennesignaalit
ieoliikennesignaali 1 ieoliikenne inormaaion siiroa sähköisiä signaaleja käyäen. Signaali vaiheleva jännie ms., jonka vaiheluun on sisällyey inormaaioa. Signaalin ominaisuuksia voi ukia a aikaasossa ime
LisätiedotTietoliikennesignaalit & spektri
Tietoliikennesignaalit & spektri 1 Tietoliikenne = informaation siirtoa sähköisiä signaaleja käyttäen. Signaali = vaihteleva jännite (tms.), jonka vaihteluun on sisällytetty informaatiota. Signaalin ominaisuuksia
LisätiedotXII RADIOAKTIIVISUUSMITTAUSTEN TILASTOMATEMATIIKKAA
II ADIOAKTIIVISUUSMITTAUSTEN TILASTOMATEMATIIKKAA Laskenaaajuus akiivisuus Määrieäessä radioakiivisen näyeen akiivisuua (A) uloksena saadaan käyeyn miausyseemin anama laskenaaajuus (). = [II.I] jossa =
LisätiedotSatunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat. Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat
TKK (c) Ilkka Melli (4) Satuaismuuttujie muuokset ja iide jakaumat Satuaismuuttujie muuoste jakaumat Kaksiulotteiste satuaismuuttujie muuoste jakaumat Riippumattomie satuaismuuttujie summa jakauma Riippumattomie
Lisätiedot3 10 ei ole rationaaliluku.
Harjoitukset / 011 RATKAISUT Lukuteoria 1. Etsi Eratostheee seulalla samatie kaikki lukua 400 pieemmät alkuluvut. (Tai ohjelmoi tietokoeesi etsimää paljo lisää.) Kirjoita rivii kaikki luvut 1-00. Poista
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiika tukikurssi Kurssikerta 3 1 Lisää iduktiota Jatketaa iduktio tarkastelua esimerki avulla. Yritetää löytää kaava : esimmäise (positiivise) parittoma luvu summalle eli summalle 1 + 3 + 5 + 7 +...
LisätiedotAnalyysi 1. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Syksy Osoita täsmällisesti perustellen, että joukko A = x 4 ei ole ylhäältä rajoitettu.
Analyysi Harjoituksia lukuihin 3 / Syksy 204. Osoita täsmällisesti perustellen, että joukko { 2x A = x ]4, [. x 4 ei ole ylhäältä rajoitettu. 2. Anna jokin ylä- ja alaraja joukoille { x( x) A = x ], [,
LisätiedotVÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 15: Yhden vapausasteen vaimeneva pakkovärähtely, roottorin epätasapaino ja alustan liike
15/1 VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 15: Yhde vapausastee vaieeva pakkovärähtely, roottori epätasapaio ja alusta liike ROOTTORIN EPÄTASAPAINO Kute sessiossa VMS13 tuli esille, aiheuttaa pyörivie koeeosie epätasapaio
LisätiedotIlmavirransäädin. Mitat
Ilmairransäädin Mia (MF, MP, ON, MOD, KNX) Ød nom (MF-D, MP-D, ON-D, MOD-D, KNX-D) Tuoekuaus on ilmairasäädin pyöreälle kanaalle. Se koosuu sääöpellisä ja miaaasa oimilaieesa ja siä oidaan ohjaa huonesääimen
LisätiedotDynaaminen optimointi ja ehdollisten vaateiden menetelmä
Dynaaminen opimoini ja ehdollisen vaaeiden meneelmä Meneelmien keskinäinen yheys S yseemianalyysin Laboraorio Esielmä 10 - Peni Säynäjoki Opimoiniopin seminaari - Syksy 2000 / 1 Meneelmien yhäläisyyksiä
LisätiedotMallivastaukset KA5-kurssin laskareihin, kevät 2009
Mallivasaukse KA5-kurssin laskareihin, kevä 2009 Harjoiukse 2 (viikko 6) Tehävä 1 Sovelleaan luenokalvojen sivulla 46 anneua kaavaa: A A Y Y K α ( 1 α ) 0,025 0,5 0,03 0,5 0,01 0,005 K Siis kysyy Solowin
LisätiedotANALOGISEN VÄRITELEVISION RAKENNE JA TOIMINTA
1 ANALOGISEN VÄRITELEVISION RAKENNE JA TOIMINTA Miä oiinoja & lohkoja elevisiojärjeselä sisälää? 521357A Tieoliikenneekniikka I Osa 11 Kari Kärkkäinen Kevä 2015 VIDEOSIGNAALIN VSB-MODULAATIO 2 Analogisen
Lisätiedot2. Fourier-sarjoista. Aaltoliikkeen ja lämmöjohtumisen matemaattinen tarkastelu
2. Fourier-sarjoista Fourier-analyysi: Aaltoliikkeen ja lämmöjohtumisen matemaattinen tarkastelu Matemaattisen analyysin täkein työväline "Jokainen funktio" voidaan esittää harmonisten värähtelyjen, so.
LisätiedotLuento 9. Epälineaarisuus
Lueno 9 Epälineaarisuus 9..7 Epälineaarisuus Tarkasellaan passiivisa epälineaarisa komponenia u() y() f( ) Taylor-sarjakehielmä 3 y f( x) + f '( x) ( x x) + f ''( x) ( x x) + f ''( x) ( x x) +...! 3! 4!
LisätiedotMATP153 Approbatur 1B Harjoitus 1, ratkaisut Maanantai
MATP53 Approbatur B Harjoitus, ratkaisut Maaatai..05. (Lämmittelytehtävä.) Oletetaa, että op = 7 tutia työtä. Kuika mota tutia Oili Opiskelija työsketelee itseäisesti kurssilla, joka laajuus o 4 op, ku
Lisätiedot7.1. Suurimman uskottavuuden estimointimenetelmä: Johdanto
Ma-1.361 Tilasollie pääely 7. Suurimma uskoavuude meeelmä ja asympooie eoria Tilasollie pääely 7. Suurimma uskoavuude meeelmä ja asympooie eoria 7.1. Suurimma uskoavuude esimoiimeeelmä: Johdao Aikasarja,
LisätiedotKompleksianalyysi, viikko 6
Kompleksianalyysi, viikko 6 Jukka Kemppainen Mathematics Division Funktion erikoispisteet Määr. 1 Jos f on analyyttinen pisteen z 0 aidossa ympäristössä 0 < z z 0 < r jollakin r > 0, niin sanotaan, että
LisätiedotOsittaisdifferentiaaliyhtälöt
Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Harjoituskokoelmat 4 ja 5, kevät 2011 Palautus Eemeli Blåstenille to 23.6. klo 16.00 mennessä 1. Ratkaise Dirichlet ongelma u(x, y) = 0, x 2 + y 2 < 1, u(x, y) = y + x 2,
LisätiedotRahoitusriskit ja johdannaiset Matti Estola. luento 13 Black-Scholes malli optioiden hinnoille
Rahoiusriski ja johannaise Mai Esola lueno 3 Black-choles malli opioien hinnoille . Ion lemma Japanilainen maemaaikko Kiyoshi Iō oisi seuraavana esieävän lemman vuonna 95 arikkelissaan: On sochasic ifferenial
LisätiedotHuomaa, että aika tulee ilmoittaa SI-yksikössä, eli sekunteina (1 h = 3600 s).
DEE- Piirianalyysi Ykkösharkan ehävien rakaisuehdoukse. askeaan ensin, kuinka paljon äyeen ladaussa akussa on energiaa. Tämä saadaan laskeua ehäväpaperissa anneujen akun ieojen 8.4 V ja 7 mah avulla. 8.4
Lisätiedotx v1 y v2, missä x ja y ovat kokonaislukuja.
Digiaalinen videonkäsiel Harjoius, vasaukse ehäviin 4-0 Tehävä 4. Emämariisi a: V A 0 V B 0 Hila saadaan kanavekorien (=emämariisin sarakkee) avulla. Kunkin piseen paikka hilassa on kokonaisluvulla kerroujen
LisätiedotMATA172 Sami Yrjänheikki Harjoitus Totta vai Tarua? Lyhyt perustelu tai vastaesimerkki!
MATA17 Sami Yrjäheikki Harjoitus 7 1.1.018 Tehtävä 1 Totta vai Tarua? Lyhyt perustelu tai vastaesimerkki! (a) Jokaie jatkuva fuktio f : R R o tasaisesti jatkuva. (b) Jokaie jatkuva fuktio f : [0, 1[ R
Lisätiedotja läpäisyaika lasketaan (esim) integraalilla (5.3.1), missä nyt reitti s on z-akselilla:
10 a) Valo opeus levyssä o vakio v 0 = c / 0, jote ajaksi matkalla L laskemme L t0 = = 0 L. v0 c b) Valo opeus levyssä riippuu z:sta: c c v ( z) = = ( z ) 0 (1 + 3az 3 ) ja läpäisyaika lasketaa (esim)
LisätiedotTilastollinen päättely II, kevät 2017 Harjoitus 3B
Tilastollie päättely II, kevät 7 Harjoitus 3B Heikki Korpela 3. maaliskuuta 7 Tehtävä. Jatkoa harjoitukse B tehtävii -3. Oletetaa, että x i c kaikilla i, ku c > o vakio. Näytä, että ˆβ, T ja T ovat tarketuvia.
Lisätiedotsaadaan kvanttorien järjestystä vaihtamalla ehto Tarkoittaako tämä ehto mitään järkevää ja jos, niin mitä?
ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 208 4 Funktion raja-arvo 4 Määritelmä Funktion raja-arvon määritelmän ehdosta ε > 0: δ > 0: fx) A < ε aina, kun 0 < x a < δ, saadaan kvanttorien järjestystä vaihtamalla
Lisätiedotf x dx y dy t dt f x y t dx dy dt O , (4b) . (4c) f f x = ja x (4d)
Tehävä 1. Oleeaan, eä on käössä jakuva kuva, jossa (,, ) keroo harmaasävn arvon paikassa (, ) ajanhekenä. Dnaaminen kuva voidaan esiää Talor sarjana: d d d d d d O ( +, +, + ) = (,, ) + + + + ( ). (4a)
LisätiedotPuolijohdekomponenttien perusteet A Ratkaisut 2, Kevät 2017
OY/PJKOMP R 017 Puolijohdekomoeie erusee 571A Rakaisu, Kevä 017 1. Massavaikuuslai mukaisesi eemmisö- ja vähemmisövarauksekuljeajie ulo o vakio i, joka riiuu uolijohdemaeriaalisa ja lämöilasa. Kuvasa 1
LisätiedotSIGNAALITEORIAN KERTAUSTA 1
SIGNAALITEORIAN KERTAUSTA 1 1 (26) Fourier-muunnos ja jatkuva spektri Spektri taajuuden funktiona on kompleksiarvoinen funktio, jonka esittäminen graafisesti edellyttää 3D-kuvaajan piirtämisen. Yleensä
LisätiedotLIITTEET Liite A Stirlingin kaavan tarkkuudesta...2. Liite B Lagrangen kertoimet...3
LIITTEET... 2 Liite A Stirligi kaava tarkkuudesta...2 Liite B Lagrage kertoimet... 2 Liitteet Liitteet Liite A Stirligi kaava tarkkuudesta Luoollista logaritmia suureesta! approksimoidaa usei Stirligi
LisätiedotMATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS
f ( ) JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO Harjoituste 3 ratkaisut MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Topologiset vektoriavaruudet 3.1. Jokaie kompakti joukko K R määrää fuktioavaruudessa E = C(R ) = {f : R R f o jatkuva}
LisätiedotRyhmän osajoukon generoima aliryhmä ja vapaat ryhmät
Ryhmä osajouko geeroima aliryhmä ja vapaat ryhmät LuK-tutkielma Joose Heioe Matemaattiste tieteide tutkito-ohjelma Oulu yliopisto Kevät 2017 Sisältö Johdato 2 1 Ryhmät ja aliryhmät 2 1.1 Ryhmä.................................
LisätiedotHY, MTL / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIb, syksy 2018 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia.
HY, MTL / Matemaattiste tieteide kadiohjelma Todeäköisyyslasketa IIb, syksy 08 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Olkoot X ja X riippumattomia satuaismuuttujia, joille ja olkoo X EX, EX, var
Lisätiedot1. Todista/Prove (b) Lause 2.4. käyttäen Lausetta 2.3./by using Theorem b 1 ; 1 b + 1 ; 1 b 1 1
KETJUMURTOLUVUT Harjoiuksia 209. Todisa/Prove Lause 2.2. käyäen Lausea 2.3./by using Theorem 2.3. Lause 2.4. käyäen Lausea 2.3./by using Theorem 2.3. 2. Määrää Canorin kehielmä luvuille 0,, 2, 3, 4, 5,
Lisätiedot5. Vakiokertoiminen lineaarinen normaaliryhmä
1 MAT-145 LAAJA MATEMATIIKKA 5 Tampereen eknillinen yliopiso Riso Silvennoinen Kevä 21 5. Vakiokeroiminen lineaarinen normaaliryhmä Todeaan ensin ilman odisuksia (ulos on syvällinen) rakaisujen olemassaoloa
Lisätiedot1 Excel-sovelluksen ohje
1 (11) 1 Excel-sovelluksen ohje Seuraavassa kuvaaan jakeluverkonhalijan kohuullisen konrolloiavien operaiivisen kusannusen (SKOPEX 1 ) arvioimiseen arkoieun Excel-sovelluksen oimina, mukaan lukien sovelluksen
LisätiedotMÄNTTÄ-VILPPULAN KAUPUNKI. Mustalahden asemakaava Liikenneselvitys. Työ: E23641. Tampere 18.5.2010
MÄNÄ-VLPPULAN KAUPUNK Musalahden asemakaava Liikenneselviys yö: E ampere 8..00 ARX Ympärisö Oy PL 0 ampere Puhelin 00 000 elefax 00 00 www.airix.fi oimiso: urku, ampere, Espoo ja Oulu Mänä-Vilppulan kaupunki,
Lisätiedotb) Ei ole. Todistus samaan tyyliin kuin edellinen. Olkoon C > 0 ja valitaan x = 2C sekä y = 0. Tällöin pätee f(x) f(y)
Maemaiikan ja ilasoieeen osaso/hy Differeniaaliyhälö II Laskuharjoius 1 malli Kevä 19 Tehävä 1. Ovako seuraava funkio Lipschiz-jakuvia reaaliakselilla: a) f(x) = x 1/3, b) f(x) = x, c) f(x) = x? a) Ei
LisätiedotLuento 2. S Signaalit ja järjestelmät 5 op TKK Tietoliikenne Laboratorio 1. Jean Baptiste Joseph Fourier ( )
Luento Jasollisten signaalien Fourier-sarjat Viivaspetri S-.7. Signaalit ja järjestelmät 5 op KK ietoliienne Laboratorio Jean Baptiste Joseph Fourier (768-83) Ransalainen matemaatio ja fyysio. Esitti Fourier-sarjat
LisätiedotPUOMIN NOSTOLIIKKEEN MALLINNUKSESTA
PUOMIN NOSOLIIKKEEN MALLINNUKSESA H. MARJAMÄKI, J. MÄKINEN amperee ekillie yliopiso PL 589, 33 AMPERE s-posi: heikki.marjamaki@u.fi s-posi: jari.m.makie@u.fi IIVISELMÄ Koeerakeuksessa käyeää rusaasi osopuomeja,
LisätiedotAnalyysi A. Harjoitustehtäviä lukuun 1 / kevät 2018
Aalyysi A Harjoitustehtäviä lukuu / kevät 208 Ellei toisi maiita, tehtävissä esiityvät muuttujat ja vakiot ovat mielivaltaisia reaalilukuja.. Aa joki ylä- ja alaraja joukoille { x R x 2 + x 6 ja B = {
LisätiedotTehtävä 1. Etsi Neperin luvulle e vaihtoehtoisia esitysmuotoja joko suppenevia lukujonoja tai päättymättömiä summia eli sarjamuotoja.
POHDIN rojekti Jatkuva korko ja e Eksoettifuktioille voidaa johtaa omiaisuus f ( x) f (0) f( x). Riittää ku oletetaa, että f (0) o olemassa. Nyt eksoettifuktioide f( x) 2 x ja gx ( ) 3 x välistä yritää
Lisätiedot9. Epäoleelliset integraalit; integraalin derivointi parametrin suhteen. (x + y)e x y dxdy. e (ax+by)2 da. xy 2 r 4 da; r = x 2 + y 2. b) A.
9. Epäoleellise inegraali; inegraalin derivoini paramerin suheen 9.. Epäoleellise aso- ja avaruusinegraali 27. Olkoon = {(x, y) x, y }. Osoia hajaanuminen ai laske arvo epäoleelliselle asoinegraalille
LisätiedotMS-A0107 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (CHEM)
MS-A17 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 CHEM) Laskuharjoitus 4lv, kevät 16 1. Tehtävä: Laske cos x dx a) osittaisintegroinnilla, b) soveltamalla sopivaa trigonometrian kaavaa. Ratkaisu: a) Osittaisintegroinnin
LisätiedotA B = 100, A = B = 0. D = 1.2. Ce (1.2 D. C (t D) 0, t < 0. t D. )} = Ae πjf D F{Π( t D )} = ADe πjf D sinc(df)
ELEC-A7 Signaalit ja järjestelmät Syksy 5 Tehtävä 3. a) Suoran tapauksessa ratkaistaan kaksi tuntematonta termiä, A ja B, joten tarvitaan kaksi pistettä, jotka ovat pisteet t = ja t =.. Saadaan yhtälöpari
LisätiedotRahoitusriskit ja johdannaiset Matti Estola. luento 12 Stokastisista prosesseista
Rahoiusriski ja johdannaise Mai Esola lueno Sokasisisa prosesseisa . Markov ominaisuus Markov -prosessi on sokasinen prosessi, missä ainoasaan muuujan viimeinen havaino on relevani muuujan seuraavaa arvoa
LisätiedotRadioamatöörikurssi 2016
Radioamatöörikurssi 2016 Modulaatiot Radioiden toiminta 8.11.2016 Tatu Peltola, OH2EAT 1 / 18 Modulaatiot Erilaisia tapoja lähettää tietoa radioaalloilla Esim. puhetta ei yleensä laiteta antenniin sellaisenaan
Lisätiedot1. osa, ks. Solmu 2/ Kahden positiivisen luvun harmoninen, geometrinen, aritmeettinen ja + 1 u v 2 1
Epäyhtälötehtävie ratkaisuja. osa, ks. Solmu 2/200. Kahde positiivise luvu harmoie, geometrie, aritmeettie ja kotraharmoie keskiarvo määritellää yhtälöillä H = 2 +, G = uv, A = u + v 2 u v ja C = u2 +
LisätiedotSysteemimallit: sisältö
Syseemimalli: sisälö Malliyypi ja muuuja Inpu-oupu -kuvaus ja ilayhälömalli, ila Linearisoini Jakuva-aikaisen lineaarisen järjeselmän siirofunkio, sabiilisuus Laplace-muunnos Diskreeiaikaisen lineaarisen
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiika tukikurssi Kurssikerta 1 Iduktiotodistus Iduktiotodistukse logiikka Tutkitaa tapausta, jossa haluamme todistaa joki väittee P() site, että se pätee kaikilla luoollisissa luvuilla. Eli halutaa
Lisätiedotq =, r = a b a = bq + r, b/2 <r b/2.
Luuteoria I Harjoitusia 2009 1 Osoita, että (a x = x x R, (b x x< x +1 x R, (c x + = x + x R, Z, (d x + y x + y x, y R, (e x y xy x, y R 0 2 Oloot a, b, q, r Z ja a = qb + r, 0 r< b Näytä, että a a q =,
LisätiedotVÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 12: Yhden vapausasteen vaimenematon pakkovärähtely, harmoninen
/ VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO : Yhden vapausaseen vaieneaon pakkoväähely, haoninen kuoiusheäe JOHDANTO Ulkoisisa kuoiuksisa aiheuuvaa väähelyä sanoaan pakkoväähelyksi. Jos syseeissä on vaiennusa, on kyseessä
LisätiedotKompleksilukujen alkeet
Kompleksilukuje alkeet Samuli Reuae Soja Kouva Kuva 1: Abraham De Moivre (1667-175) Sisältö 1 Kompleksiluvut ja kompleksitaso 1.1 Yhtee- ja väheyslasku...................... 1. Kertolasku ja z = x + yi
LisätiedotSGN-1200 Signaalinkäsittelyn menetelmät Välikoe
SGN-100 Signaalinkäsittelyn menetelmät Välikoe 6.4.010 Sivuilla 1- on. Älä vastaa siihen, jos et ollut ensimmäisessä välikokeessa. Tentin kysymykset ovat sivuilla 3-4. Vastaa vain jompaan kumpaan kokeeseen,
Lisätiedot3 x < < 3 x < < x < < x < 9 2.
Matematiika johdatokurssi Kertaustehtävie ratkaisuja 1. Ratkaise epäyhtälöt: a) 3 x < 3, b) 5x + 1. Ratkaisu. a) Ratkaistaa epäyhtälö poistamalla esi itseisarvot: 3 x < 3 3 < 3 x < 3 9 < x < 3 3 < x
Lisätiedot1 Johdanto 2. 2 Fourier-sarja 6
L 9 8 Z S I G N A A L I E O R I A O S A I : F O U R I E R - S A R J A Johdo. Siglie luoielu. Alouooje speri j syseeie juussee 5 Fourier-srj 6. Fourier-srj eroie 7. Jsollise sigli syerioiisuude 9.. Prillisuus..
Lisätiedot