z-muunnos ja differenssiyhtälöt
|
|
- Reijo Mikkonen
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Martti Helenius z-muunnos ja differenssiyhtälöt Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Joulukuu 204
2 Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden yksikkö HELENIUS, MARTTI: z-muunnos ja differenssiyhtälöt Pro gradu -tutkielma, 32 s. Matematiikka Joulukuu 204 Tiivistelmä Tämä on tutkielma z-muunnoksesta, jota voidaan käyttää diskreettejä systeemejä kuvaavien differenssiyhtälöiden ratkaisemisessa. Muunnoksen avulla voidaan differenssiyhtälö muuttaa algebralliseen muotoon, jonka ratkaisusta käänteisellä muunnoksella saadaan differenssiyhtälön ratkaisu. Tutkielmassa lähdetään liikkeelle kompleksianalyysin perustuloksista ja päädytään residylaskentaan, joka tarjoaa käänteistä muunnosta varten tärkeän apuvälineen. Näiden jälkeen esitetään z-muunnoksen määritelmä sekä useita differenssilaskennan kannalta tärkeitä lauseita. Lopuksi sovelletaan z- muunnosta differenssiyhtälöiden ratkaisemiseen. Ratkaisumenetelmiä kuvattaessa tuodaan esille yhtymäkohtia perinteiseen differenssiyhtälöiden ratkaisemiseen. Lukijalta vaaditaan kompleksianalyysin ja differenssilaskennan perusteiden hallintaa. Kompleksianalyysin osalta lähdeteoksena on käytetty J.H. Mathewsin ja H.W. Russellin kirjaa Complex Analysis for Mathematics and Engineering, jota käytetään myös z-muunnosta ja sen soveltamista koskevissa osissa. W.G. Kelleyn ja A.C. Petersonin kirja Difference Equations: An Introduction with Applications sekä R. Vichin kirja Z Transform Theory and Applications ovat merkittävät lähdeteokset z-muunnoksen ja differenssiyhtälöiden tarkastelussa. 2
3 Sisältö Johdanto 4 2 Kompleksianalyysin esitietoja 5 2. Potenssisarjafunktion suppeneminen Erikoispisteet Residy z-muunnos 3. Määritelmä ja suppenemisalue Käänteinen z-muunnos z-muunnoksen ominaisuuksia Differenssiyhtälöiden ratkaiseminen 2 4. Differenssiyhtälöistä Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differenssiyhtälöt Kertalukua p olevat differenssiyhtälöt Siirtofunktio ja konvoluutio Viitteet 32 3
4 Johdanto Differenssiyhtälöitä voidaan ratkaista joko differenssilaskennan menetelmin tai jonojen funktionaalisilla muunnoksilla. Tässä tutkielmassa tarkastellaan z-muunnosta, joka on tärkeä apuväline monella sovelletun matematiikan alalla kuten signaalinkäsittelyssä, väestötieteissä, taloustieteissä sekä muilla aloilla, joissa on ratkaistava aikadiskreettejä malleja. Aluksi luvussa 2 esitetään joitakin kompleksianalyysin määritelmiä ja lauseita. Tärkeitä ovat residylaskentaan liittyvät tulokset, joita tarvitaan myöhemmin käänteisen z-muunnoksen löytämiseksi. Luvussa 3 määritellään z-muunnos, jolla annetun lukujonon tarkastelusta voidaan siirtyä käsittelemään kompleksista potenssisarjaa. Muunnos on olemassa kyseisen sarjan suppenemisalueessa, joka on ratkaistavissa suppenemista koskevien testien avulla. Myös käänteinen muunnos määritellään tässä luvussa. Perusideahan on matematiikassa tyypillinen. Vaikea tehtävä muunnetaan toiseen muotoon, jolloin voidaan soveltaa uusia tehokkaampia keinoja edetä ratkaisussa. Käänteisen muunnoksen avulla palataan sitten alkuperäiseen esitystapaan. z-muunnosta voikin pitää jatkuvien funktioiden Laplacemuunnoksen vastineena diskreetissä maailmassa. Tässä luvussa käydään läpi ja todistetaan myös useita differenssiyhtälöiden ratkaisemisessa tarvittavia lauseita. Diskreettien aikasysteemien kuvauksista saatuja malleja ratkaistaan differenssiyhtälöiden avulla samaan tapaan, kuin differentiaaliyhtälöitä käytetään jatkuvien muuttujien tapauksessa. Viimeisessä luvussa tarkastellaan z- muunnosta hyödyntäviä keinoja lineaaristen vakiokertoimisten differenssiyhtälöiden ratkaisemisessa. Lukijalta edellytetään kompleksianalyysin hallintaa. Lähtökohtana on, että lukija on tutustunut analyyttisiin funktioihin ja siten tuntee esimerkiksi holomorfiset funktiot, kompleksiset potenssisarjat sekä niiden välisen yhteyden merkityksen. Kompleksianalyyttisestä perustasta joudutaan pakostakin osa sivuuttamaan vain maininnalla. Tarvittavia tuloksia esitetään ja niihin viitataan, kun se asian selkeyttämiseksi on erityisen tarpeellista. Tutkielmassa differenssiyhtälöitä käsitellään muunnoksen sovellusalueena, joten lukijan tulee olla perehtynyt myös differenssilaskentaan ja sen peruskäsitteisiin. Tässä työssä, kompleksianalyysin osalta yksinomaan, on merkittävänä lähdeteoksena käytetty J.H. Mathewsin ja H.W. Russellin kirjaa Complex Analysis for Mathematics and Engineering. W.G. Kelleyn ja A.C. Petersonin kirjalla Difference Equations: An Introduction with Applications sekä R. Vichin kirjalla Z Transform Theory and Applications on ollut tärkeä osansa z-muunnosta ja differenssiyhtälöitä käsiteltäessä. 4
5 2 Kompleksianalyysin esitietoja Johdannossa todettiin, että lukijalta edellytetään kompleksianalyysin hallintaa. On kuitenkin tarpeellista käydä läpi joitakin keskeisiä määritelmiä ja tuloksia, joita jatkossa tarvitaan. 2. Potenssisarjafunktion suppeneminen Selvennetään aluksi, että kiekolla D r tarkoitetaan avointa kiekkoa (2.) D r = D r (z 0 ) = {z C : z z 0 < r}, missä z 0 C on kiekon keskipiste ja reaaliluku r > 0 on kiekon säde. Punkteeratulla kiekolla D r tarkoitetaan kiekkoa (2.2) D r = D r(z 0 ) = {z C : 0 < z z 0 < r}. Lisäksi renkaalla A(z 0, r, R) tarkoitetaan avointa rengasta (2.3) A(z 0, r, R) = {z C : r < z z 0 < R}, jonka keskipiste on z 0, ja missä reaaliluvuille r ja R, jotka ovat renkaan säteitä, pätee 0 r < R. Funktioiden esittäminen potenssisarjojen avulla (potenssisarjafunktiot) on kompleksianalyysin yksi peruspiirteistä, ja ensimmäinen lause koskeekin kompleksisen potenssisarjan suppenemista. Kun myöhemmin tarkastellaan z-muunnoksen suppenemista, voidaan palata seuraaviin lauseisiin. Lause 2.. Olkoon funktio f(z) määritelty potenssisarjana f(z) = c n (z z 0 ) n, missä muuttuja z sekä vakiot z 0 ja c n ovat kompleksilukuja. Tällöin niiden pisteiden joukko, joissa sarja suppenee on yksi seuraavista: (i) yksi piste z = z 0, (ii) kiekko D ρ (z 0 ) = {z : z z 0 < ρ} mahdollisesti mukaanlukien koko ympyrän kehä tai osa kehästä C ρ = {z : z z 0 = ρ}, (iii) koko kompleksitaso. Todistus. Ks. [3, s. 48]. Yllä olevan perusteella voidaan myös sanoa, että kohdassa (ii) potenssisarja f(z) = c n (z z 0 ) n suppenee, kun z z 0 < ρ, ja hajaantuu, kun z z 0 > ρ (kehällä C ρ potenssisarja voi joko supeta tai hajaantua). Nyt reaaliluku ρ on potenssisarjan suppenemissäde. Lisäksi sovitaan, että kohdassa (i) suppenemissäde ρ = 0 ja kohdassa (iii) ρ =. Vrt. [3, s. 48]. 5
6 Lause 2.2. Funktiolle f(z) = c n (z z 0 ) n voidaan löytää suppenemissäde ρ seuraavilla tavoilla: (i) Cauchyn juuritestillä, jolloin ρ = lim n cn /n, (ii) Cauchy-Hadamardin kaavalla, jolloin ρ = lim sup n (iii) d Alembertin suhdetestillä, jolloin ρ = lim c n+ n cn c n /n, edellyttäen, että kohtien (i) ja (iii) raja-arvot ovat olemassa. Lisäksi asetetaan ρ =, jos raja-arvo on nolla, ja ρ = 0, jos raja-arvo on ääretön. Todistus. Ks. [3, s. 49]. Koska edellä kohdan (ii) raja-arvo on aina olemassa, voidaan suppenemissäde aina määrittää, jos potenssisarjan kertoimet tunnetaan. Huomautettakoon lisäksi, että (d Alembertin) suhdetestillä usein viitataan yleisesti kompleksisen sarjan suppenemiseen. Seuraavaksi tähän liittyvä lause, jonka todistus voidaan samanlaisena kuin reaalinen vastineensa nyt sivuuttaa. Lause 2.3. Vrt. [3, s. 43] (d Alembertin suhdetesti). Jos kompleksisarjalle ζ n pätee ζ n+ lim n ζ n = L, niin sarja suppenee itseisesti, kun L <, ja hajaantuu, kun L >. 2.2 Erikoispisteet Kompleksifunktiolla f(z), z C, sanotaan olevan erikoispiste z 0 C, jos f ei ole analyyttinen pisteessä z 0, mutta jonka jokainen R-säteinen ympäristö D R (z 0 ) sisältää vähintään yhden pisteen, jossa f on analyyttinen. Pistettä z 0 sanotaan eristetyksi erikoispisteeksi, jos on olemassa R > 0, siten että funktio f on analyyttinen punkteeratussa kiekossa D R(z 0 ). Vrt. [3, s. 276]. Tarkastellaan Laurentin sarjaa (2.4) c n (z z 0 ) n = c n (z z 0 ) n + c 0 + c n (z z 0 ) n, n= n= n= missä kertoimet c n (n = 0, ±, ±2, ±3,... ) ovat kompleksisia vakioita. Nyt eristetyt erikoispisteet voidaan luokitella seuraavasti. Määritelmä 2.. Vrt. [3, s. 277]. Olkoon funktiolla f(z) eristetty erikoispiste z 0 ja Laurentin sarjan esitys f(z) = n= c n (z z 0 ) n. Tällöin erotetaan kolme tyyppiä erikoispisteelle z 0 seuraavasti. 6
7 (i) Jos c n = 0, kun n =, 2, 3,..., niin funktiolla f on poistuva erikoispiste pisteessä z 0. (ii) Jos positiivisella kokonaisluvulla k pätee c k 0, mutta c n = 0, kun n < k, niin funktiolla f on k-kertainen napa pisteessä z 0. (iii) Jos c n 0 äärettömän monella negatiivisella kokonaisluvulla n, niin funktiolla f on oleellinen erikoispiste pisteessä z 0. Esimerkki 2.. (Vrt. [3, s. 278], kohta ii.) Jos funktiolla f on k-kertainen napa pisteessä z 0, sen Laurentin sarjan esitys on f(z) = n= k c n (z z 0 ) n, missä c k 0. Tiedetään, että sin z voidaan esittää sarjana Täten siis funktiolla sin z = z z3 3! + z5 5! z7 7! +. f(z) = sin z z 3 on kaksinkertainen napa pisteessä z = 0. = z 2 3! + z2 5! z4 7! + Jatkossa merkittävin erikoispiste on nimenomaan napa, joten on perusteltua esittää kaksi sitä koskevaa lausetta. Lause 2.4. Olkoon funktio f(z) analyyttinen punkteeratussa kiekossa D r(z 0 ). Tällöin funktiolla f on k-kertainen napa pisteessä z 0, jos ja vain jos funktio f voidaan esittää muodossa f(z) = h(z) (z z 0 ) k, missä funktio h(z) on analyyttinen pisteessä z 0, ja h(z 0 ) 0. Todistus. Ks. [3, s ]. Funktion raja-arvon avulla voidaan todeta, onko kyseessä napa, poistuva erikoispiste vai oleellinen erikoispiste (ks. [3, s ]). Lause 2.5. Olkoon funktio f(z) analyyttinen punkteeratussa kiekossa D r(z 0 ). Tällöin funktiolla f on k-kertainen napa pisteessä z 0, jos ja vain jos Todistus. Ks. [3, s. 288]. lim f(z) =. z z 0 7
8 2.3 Residy Kohta esitettävä määritelmä liittyy sekin Laurentin sarjaan, johon tässä vaiheessa on syytä liittää seuraava lause. Lause 2.6. Olkoon renkaassa z A(z 0, r, R) funktio f analyyttinen ja funktiolla Laurentin sarjan esitys f(z) = Tällöin seuraavat ovat voimassa. (i) Jos kaikilla z A(z 0, r, R) f(z) = niin b n = c n kaikilla n Z. n= c n (z z 0 ) n. n= b n (z z 0 ) n, (ii) Kaikilla z A(z 0, r, R) funktion f(z) derivaatat f (n) (z) saadaan derivoimalla termeittäin funktion f Laurentin sarja. Todistus. Ks. [3, s. 272]. Lause kertoo, että Laurentin sarja on yksikäsitteinen ja että kaikki sen derivaatat ovat olemassa ja termeittäin derivoimalla löydettävissä. Määritelmä 2.2. Vrt. [3, s. 29]. Olkoon funktiolla f(z) ei-poistettavissa oleva eristetty erikoispiste pisteessä z 0 C. Tällöin jossakin punkteeratussa kiekossa D R(z 0 ) funktiolla f on kaikilla z D R(z 0 ) Laurentin sarjan esitys f(z) = n= a n (z z 0 ) n. Kerroin a on funktion residy pisteessä z 0 ja merkitään Res[f, z 0 ] = a. Seuraavien kahden lauseen avulla voidaan myöhemmin helpottaa huomattavasti käänteisen z-muunnoksen löytämistä. Lause 2.7 (Cauchyn residylause). Olkoon D yhdesti yhtenäinen alue, joka sisältää positiivisesti suunnistetun yksinkertaisen suljetun polun C. Jos f(z) on analyyttinen polulla C ja polun C sisäpuolella lukuunottamatta pisteitä z, z 2,..., z n, jotka ovat polun C sisäpuolella, niin C n f(z) dz = 2πi Res[f, z k ]. k= 8
9 Todistus. Ks. [3, s. 293]. Residyjen laskentaan on johdettavissa hyödyllinen apuväline. Lause 2.8. (Napojen residy). (i) Jos funktiolla f on yksinkertainen napa pisteessä z 0, niin Res[f, z 0 ] = lim z z0 (z z 0 )f(z). (ii) Jos funktiolla f on kaksinkertainen napa pisteessä z 0, niin d [ Res[f, z 0 ] = z z0 lim (z z0 ) 2 f(z) ]. dz (iii) Jos funktiolla f on k-kertainen napa pisteessä z 0, niin Res[f, z 0 ] = (k )! lim d k [ z z (z z0 ) k f(z) ]. 0 dz k Todistus. Vrt. [3, s ]. Jos funktiolla f on yksinkertainen napa pisteessä z 0, sen Laurentin sarjan esitys on f(z) = a z z 0 + a 0 + a (z z 0 ) + a 2 (z z 0 ) 2 +. Kerrotaan yhtälön molemmat puolet tekijällä (z z 0 ) ja otetaan raja-arvo z z 0. Nyt ( lim (z z 0 )f(z) = lim a + a 0 (z z 0 ) + a (z z 0 ) 2 + ) z z 0 z z0 = a = Res[f, z 0 ], jolloin (i) on todistettu. Kohta (ii) on kohdan (iii) erikoistapaus, joten todistetaan vain jälkimmäinen. Oletetaan siis, että funktiolla f on k-kertainen napa pisteessä z 0. Tällöin funktiolla f on esitys f(z) = a k (z z 0 ) k + a k+ (z z 0 ) k + + a z z 0 + a 0 + a (z z 0 ) +. Kertomalla molemmat puolet tekijällä (z z 0 ) k päästään yhtälöön (z z 0 ) k f(z) = a k + a k+ (z z 0 ) + + a (z z 0 ) k + a 0 (z z 0 ) k +. Lauseen 2.6 perusteella Laurentin sarjan derivaatat ovat olemassa ja ne saadaan derivoimalla termeittäin, joten derivoidaan (k ) kertaa. Tällöin yhtälön oikean puolen alkupään termit katoavat ja jäljelle jää d k dz k [ (z z0 ) k f(z) ] = (k )!a + k!! a 0(z z 0 )+ 9 (k + )! a (z z 0 ) !
10 Nyt raja-arvo z z 0 nollaa yhtälön oikean puolen termit ensimmäistä lukuunottamatta. Täten päädytään tulokseen lim z z 0 d k dz k [ (z z0 ) k f(z) ] = (k )!a = (k )!Res[f, z 0 ], mistä nähdään kohdan (iii) tulleen todistetuksi. Esimerkki 2.2. (Vrt. [3, s. 296], esim. 8.5.) Etsitään integraali C + 3 (0) z 4 + z 3 2z 2 dz. Merkinnällä C r + (0) tarkoitetaan integrointia pitkin origokeskeistä ympyrää {z : z = r} positiiviseen suuntaan (vastapäivään). Kirjoitetaan integroitava funktiona f(z) = z 2 (z + 2)(z ). Nyt funktion erikoispisteet ovat yksinkertaiset navat pisteissä ja 2 sekä kaksinkertainen napa origossa. Nämä sijaisevat ympyrän C + 3 (0) sisäpuolella, joten voidaan laskea residyt. Kaksinkertaiselle navalle saadaan Res[f, 0] = lim z 0 d dz ((z 0)2 f(z)) = lim z 0 = lim z 0 ( )(2z + ) (z 2 + z 2) 2 = 4. Yksinkertaisille navoille puolestaan lasketaan d dz z 2 + z 2 Res[f, ] = lim(z )f(z) = lim z z z 2 (z + 2) = ja 3 Res[f, 2] = lim (z + 2)f(z) lim z 2 z 2 z 2 (z ) = 2. Täten residylauseen nojalla C + 3 (0) ( z 4 + z 3 2z dz = 2πi ) =
11 3 z-muunnos 3. Määritelmä ja suppenemisalue Differenssiyhtälön tarkastelussa voidaan z-muunnoksen avulla siirtyä kompleksifunktion tutkimiseen ja hyödyntää kompleksianalyysin tuloksia. Tehdään siis muunnos, sovelletaan muunnoksen tuomia uusia mahdollisuuksia ja lopuksi käänteisen muunnoksen avulla saadaan ratkaisu alkuperäiseen ongelmaan. Tässä työssä lähtökohtana on usein, että reaalilukujen maailmasta siirrytään kompleksilukujen pariin, jolloin z-muunnos voitaisiin määritellä vain reaalilukujonoille (vrt. [3, s. 337]). Toisaalta differenssiyhtälöiden ratkaisu voi olla kompleksinen, joten z-muunnoksen soveltaminen näihin yhtälöihin edellyttää kompleksista määritelmää. Lisäksi on huomattava, että z-muunnoksen määrittely koskemaan kompleksijonoja on perusteltua senkin takia, että trigonometristen funktioiden kohdalla siirrytään yleensä kompleksilukuesitykseen (ks. esimerkki 3.5). Määritelmä 3.. Vrt. [4, s. 5]. Kompleksisen lukujonon {x n } z-muunnos on funktio Z(x n ) = X(z) = x n z n kaikilla niillä z C, joilla sarja suppenee. Kyseessä on yksipuolinen z-muunnos, jolloin siis x n = 0 kaikilla n < 0. Tarkasteltavien differenssiyhtälöiden näkökulmasta rajoittuminen yksipuoliseen muunnokseen on riittävä. Todettakoon myös, että tilanteen mukaan jonosta {x n } voidaan jatkossa jättää indeksointi pois tai käyttää vain lyhyesti merkintää x n. Viimeksi mainittua käytetään erityisesti differenssiyhtälöiden yhteydessä. Suppenemissäteen löytämiseksi voidaan soveltaa lausetta 2.2, missä potenssisarjan muuttujana on käänteisluku /z. Voidaan käyttää esim. Cauchy- Hadamardin kaavaa (3.) ρ = lim sup x n, /n n missä potenssisarja suppenee, kun z < ρ. Täten z-muunnoksessa /z < ρ ja siis /ρ < z. Nyt suppenemissäde on /ρ ja merkitsemällä sitä reaaliluvulla R saadaan z-muunnoksen suppenemissäteeksi (3.2) R = lim sup x n /n n ja sarja suppenee, kun z > R. Suppenemisalue on siis R-säteisen kiekon ulkopuolinen alue. Kun z = R, sarja voi supeta tai hajaantua. Jos R = 0, niin sarja suppenee kaikkialla kompleksitasossa mahdollisesti origoa lukuunottamatta. Toisaalta, jos R =, niin z-muunnos hajaantuu kaikkialla.
12 Suppenemisäteen ratkaisemisessa voidaan käyttää myös kompleksisarjojen yleistä suppenemista koskevaa lausetta 2.3. Tällöin pätee z-muunnoksen suppenemiselle x n+ z (n+) lim n x n z n < ja edelleen lim n x n+ x n < z. Tässä raja-arvosta saadaan suppenemissäde R ja suppenemisalue on R-säteisen kiekon ulkopuolinen alue. Tähän samaan tulokseen päädyttäisiin tietenkin myös lauseen 2.2 suhdetestin avulla. Vrt. [, s. 222]. Esimerkki 3.. (Vrt. [, s ], esim. 5..) Etsitään z-muunnos ja sen suppenemisalue jonolle {a n }, missä vakio a R. Nyt jonon {a n } z-muunnos on Nähdään heti, että suppenemissäde Z(a n ) = a n z n. n R = lim a n+ a n = a. Geometrisen sarjan summakaavaa hyödyntäen saadaan joka siis suppenee, kun z > a. ( ) a n Z(a n ) = = z (a/z) = z z a, Lopuksi kaksi myöhemmin varsin hyödyllisiksi osoittautuvaa erikoistapausta. Esimerkki 3.2. (Vrt. [3, 34], esim. 9.2.) Etsitään z-muunnos ja suppenemisalue yksikköaskeljonolle u n = {, kun n 0 0, kun n < 0. Nähdään, että muunnos on geometrinen sarja X(z) = x n (z ) n = (z ) n = joka suppenee, kun /z < eli z >. 2 z = z z,
13 Huomautettakoon, että yksikköaskeljono voidaan esittää myös yksinkertaisesti ykkösjonona {u n } = {}, jolle tietenkin pätee myös Z() = z z (vrt. [2, s. 07], esim. 3.3). Esimerkki 3.3. (Vrt. [3, s ], esim. 9..) Lasketaan z-muunnos impulssijonolle {, kun n = 0 δ n = 0, muutoin. Suoraan z-muunnoksen määritelmästä nähdään, että X(z) = x n z n = + 0 z n =. n= 3.2 Käänteinen z-muunnos Edellä määriteltiin z-muunnos, jolla voidaan siirtyä tarkastelemaan kompleksifunktiota ja hyödyntämään kompleksianalyysin menetelmiä. Luonnollisesti tarvitaan käänteinen muunnos, jolla päästään takaisin alkuperäisen ongelman ratkaisemiseen. Lause 3.. Olkoon X(z) jonon {x n } z-muunnos, joka suppenee, kun R < z, ja olkoon C positiivisesti suunnistettu yksinkertainen suljettu polku, joka kiertää origoa ja sisältyy alueeseen R < z. Tällöin (3.3) x n = 2πi C X(z) z n dz. Sanotaan, että yhtälö (3.3) on käänteinen z-muunnoskaava ja merkitään (3.4) x n = Z [X(z)]. Todistus. Vrt. [3, s ]. Suoraan z-muunnoksen määritelmästä 3. kertomalla yhtälön molemmat puolet tekijällä z n voidaan kirjoittaa X(z)z n = ( x k z k )z n = = = k=0 k=0 k=n+ k=n+ x k z k+n x k z k+n + x n n z + x k z k+n x k z k n+ + x n n z + k=0 k=0 x k z k+n. 3
14 Nyt integroimalla termeittäin pitkin käyrää C saadaan C X(z)z n dz = (x k k=n+ C z dz) + k n+ C x n n z dz + (x k k=0 C z k+n ) dz. Kompleksianalyysin perusteella tiedetään (ks. esim. [3, s. 224]), että pitkin polkua C integraali C dz (z z 0 ) t = 0 (nyt z 0 = 0, t Z), paitsi, kun t =, jolloin se saa arvon 2πi. Täten voidaan kirjoittaa C n X(z)z n dz = (x k 0) + 2πix n + (x k 0) k=n+ k=0 = 2πix n. Nähdään siis, että x n = 2πi C X(z)z n dz (n = 0,, 2,... ). Nyt saadaan käänteistä muunnosta varten kaksi seurauslausetta, joista ensimmäinen yhdistää z-muunnoksen ja residy-laskennan. Edellisen lauseen ja Cauchyn residylauseen 2.7 perusteella seuraava tulos on ilmeinen. Seurauslause 3.. Olkoon X(z) jonon {x n } z-muunnos. Tällöin pätee k x n = Z [X(z)] = Res[X(z)z n, z j ], j= missä z, z 2,..., z k ovat funktion f(z) = X(z)z n navat. Mikäli siis kyseessä olisivat yksinkertaiset navat, käänteinen muunnos saataisiin napojen residyjen avulla suoraviivaisesti edellisen seurauslauseen ja lauseen 2.8 perusteella. Seurauslause 3.2. Jos z-muunnoksella X(z) on yksinkertaiset navat z, z 2,..., z k, niin k ( ) x n = Z [X(z)] = lim (z z i )X(z)z n. z z i Vrt. [3, s. 340]. i= 4
15 Käänteisen z-muunnoksen löytämiseksi residylaskenta on usein hyvä vaihtoehto, varsinkin jos z-muunnoksella on vain yksinkertaisia napoja. Joskus helpoin tapa on käyttää valmiita taulukoita, joissa on lueteltu jonoja ja niiden muunnoksia (ks. esim. [, s. 255] tai [3, s. 342, 345]). On myös mahdollista käyttää erilaisia sarjoihin liittyviä keinoja. Esimerkki 3.4. Etsitään käänteinen z-muunnos x n = Z [ 4z 4z ] kehittämällä X(z) geometriseksi sarjaksi. Nyt X(z) = 4z 4z = z z 4 = = ( 4 z 4 z ) n = 4 n z n, josta nähdään, että määritelmän 3. mukainen x n = 4 n. Tässä voisi jo aikaisemmin huomata, että kyseessä on jonon {a n } (esimerkki 3.) z-muunnos. Usein edellisen kaltaiset perustapaukset löytyvät kaikista muunnostaulukoista. Huomattavaa on myös, että tavallisimpien funktioiden z-muunnos on rationaalifunktio (ks. [3, s. 342]). Kun z-muunnos X(z) on (supistetussa muodossa oleva) rationaalifunktio eli se on muotoa X(z) = P (z) Q(z) = b 0 + b z + + b p z p + b p z p a 0 + a z + + a q z q + a q z q, missä P (z) ja Q(z) ovat astetta p ja q olevat polynomit (a 0,..., a q ja b 0,..., b p vakioita), ne ovat analyyttisia kompleksitasossa lukuunottamatta äärellistä määrää eristettyjä singulariteetteja, jotka ovat nimittäjän nollakohdista Q(z) = 0 löytyviä napoja. [3, s ]. 3.3 z-muunnoksen ominaisuuksia Seuraavaksi esitetään joitakin erityisesti differenssiyhtälöiden ratkaisemisessa hyödyllisiä lauseita. Lause 3.2 (Lineaarisuus). Olkoon jonon {x n } z-muunnos Z(x n ) ja sen suppenemissäde R, ja olkoon jonon {y n } muunnoksen Z(y n ) suppenemissäde R 2. Tällöin kaikilla vakioilla c, c 2 C pätee kun z > max (R, R 2 ). Z(c x n + c 2 y n ) = c Z(x n ) + c 2 Z(y n ), 5
16 Todistus. Vrt. [2, s. 08]. Suoraan z-muunnoksen määritelmästä saadaan Z(c x n + c 2 y n ) = = c c x n + c 2 y n z n x n z n + c 2 y n z n = c Z(x n ) + c 2 Z(y n ). Nyt Z(x n ) suppenee, kun z > R, ja Z(y n ) suppenee, kun z > R 2. Täten Z(c x n + c 2 y n ) suppenee, kun z > max (R, R 2 ). Esimerkki 3.5. (Vrt. [, s. 224], esim. 5.4.) Etsitään jonon {sin(ωn)} z- muunnos. Käytetään sinifunktiolle eksponenttiesitystä ja vastaavasti kosinille esitystä Nyt edellisen olevan lauseen nojalla sin ω = eiω e iω 2i cos ω = eiω + e iω 2 Z(sin (ωn)) = 2i [Z(eiωn ) Z(e iωn )]. Esimerkin 3. perusteella Z(sin (ωn)) = ( ) z 2i z e z iω z e iω z sin ω = (z e iω )(z e iω ) z sin ω = z 2 (e iω + e iω )z + z sin ω = z 2 2z cos ω +, joka suppenee, kun z >, koska e iω = e iω =. Seuraavissa kahdessa lauseessa on kyse siirroista (shifting). Signaalinkäsittelyssä, josta monet z-muunnokseen liittyvät termit ovat peräisin, käytetään nimityksiä aikaistus ja viive. Lause 3.3 (Aikaistus). Kaikilla positiivisilla kokonaisluvuilla k pätee Z(x n+k ) = z k X(z) 6 k m=0. x m z k m.
17 Todistus. Vrt. [2, s. 2]. Todetaan ensiksi, että ja x n+k z n = x k z 0 + x +k z + x 2+k z 2 + x n z n+k = x k z 0 + x k+ z + x k+2 z 2 + n=k ovat samat sarjat. Suoraan z-muunnoksen määritelmästä saatua sarjaa muokkaamalla nähdään, että Z(x n+k ) = x n+k z n = x n z n+k n=k ( = z k x n z n = z k X(z) k m=0 k m=0 x m z k m. x m z m ) Edellisen lauseen perusteella saadaan ensimmäisille kolmelle k:n arvolle tulokset tilanteessa, jossa alkuarvot x 0, x ja x 2 tunnetaan: (i) Z(x n+ ) = z(x(z) x 0 ), (ii) Z(x n+2 ) = z 2 (X(z) x 0 x z ), (iii) Z(x n+3 ) = z 3 (X(z) x 0 x z x 2 z 2 ). Lause 3.4 (Viive). Olkoon viivästetty yksikköaskeljono u n k määritelty seuraavasti {, n k u n k = 0, n < k. Tällöin kaikilla positiivisilla kokonaisluvuilla k pätee Todistus. Vrt. [2, s. 2]. Määritelmän mukaan Z(x n k u n k ) = z k X(z). Z(x n k u n k ) = x n k u n k z n. 7
18 Nyt kaikki termit, joissa n < k, nollautuvat, ja edelleen sarjan indeksointeja muokkaamalla päädytään tulokseen Z(x n k u n k ) = x n k z n n=k = x n z n k = z k x n z n = z k X(z). Esimerkki 3.6. (Vrt. [2, 2], esim ) Viivästetyn yksikköaskeljonon u n k z-muunnos voidaan laskea edellisen lauseen avulla, jolloin Z(u n k ) = Z( u n k ) = z k Z() = z k z z = z k z. Lauseen 3.4 perusteella nähdään helposti myös tulos (3.5) Z(a n u n ) = z z z a = z a. Seuraavassa lauseessa käytetään Cauchyn tulosarjaa (ks. [3, s. 30]) ja potenssisarjan ominaisuuksia (ks. [3, s. 262]), jotka oletetaan tunnetuiksi. Lause 3.5 (Konvoluutio). Olkoot {x n } ja {y n } jonoja, joita vastaavat z-muunnokset ovat X(z) ja Y (z) sekä niiden suppenemisalueet z > R ja z > R 2. Tällöin, kun z > max{r, R 2 }, pätee Z(x n y n ) = X(z)Y (z), missä konvoluutio x n y n on määritelty summana n i=0 x i y n i. Todistus. Vrt. [3, s. 344]. Nyt z-muunnoksiin X(z) = x n z n ja Y (z) = y n z n voidaan sijoittaa d = z, jolloin Cauchyn tulosarjan perusteella Nähdään, että ( ) ( ) ( X(z)Y (z) = x n d n ) y n d n n = ( x i y n i )d n. i=0 ( ) ( n n ) X(z)Y (z) = ( x i y n i )z n = Z x i y n i, i=0 i=0 kun z > max{r, R 2 }. 8
19 Edellisen lauseen perusteella voidaan nähdä, että jos Z(x n ) suppenee, kun z > R ja kirjoitetaan n i=0 x i = x n, niin ( n ) (3.6) Z x i = Z()Z(x n ) = z i=0 z Z(x n), joka suppenee, kun z > max{, R}. Vrt. [2, s. 23]. Tässä on syytä huomauttaa, että konvoluutio on vaihdannainen (ks. esim. [4, s. 2]). Tällöin siis (3.7) x n y n = y n x n ja kahta eri summausjärjestystä voidaan käyttää, jolloin n n (3.8) x n y n = x i y n i = y i x n i. i=0 i=0 Joskus z-muunnosta ratkaistaessa joudutaan integroimaan, jolloin seuraava lause voi auttaa löytämään integrointivakion. Lause 3.6 (Alkuarvolause). Jos on olemassa X(z), kun z > R, niin tällöin x 0 = lim z X(z). Todistus. Vrt. [2, s. 4]. Suoraan määritelmän nojalla kirjoitetaan X(z) = x 0 + x z + x 2 z 2 +, mistä väite seuraa, kun z lähestyy ääretöntä. Kartutetaan lausevalikoimaa vielä yhdellä, jonka jälkeen ollaan valmiita siirtymään differenssiyhtälöiden pariin. Lause 3.7. Olkoon X(z) = Z(x n ), joka suppenee, kun z > r. Tällöin Z((n(n + ) (n + k )) x n ) = ( ) k z k Todistus. Vrt. [2, s. 09 0]. Määritelmän mukaan Nyt derivoimalla saadaan d k X(z) = ( )k dzk dk dz k X(z) X(z) = x n z n, kun z > r. = ( )k z k ( z > r). n(n + ) (n + k )x n z n k (n(n + ) (n + k )) x n z n = ( )k z k Z((n(n + ) (n + k )) x n ). 9
20 Nähdään, että Z((n(n + )... (n + k )) x n ) = ( ) k z k dk dz k X(z) ( z > r). Edellisen lauseen tapauksessa k = on selvää, että (3.9) Z(nx n ) = z d dz X(z). Vrt. [2, s. 0]. Esimerkki 3.7. Etsitään muunnos Z(n). Edellisen yhtälön perusteella nähdään, että Z(n) = Z(n ) = z d dz Z(). Aikaisemmin on laskettu ykkösjonon z-muunnos, joten ratkaistaan Z(n) = z d dz ( z z ) = z (z ) 2 z = (z ). 2 Esitetään vielä esimerkin 3.7 ja lauseen 3.4 perusteella saatava tulos (3.0) Z((n ) u n ) = z Z(n) = z z (z ) = 2 (z ). 2 Yhtälö osoittautuu myöhemmin hyödylliseksi, kun ratkaistaan käänteisiä muunnoksia. 20
21 4 Differenssiyhtälöiden ratkaiseminen 4. Differenssiyhtälöistä Laplace-muunnos on usein käytetty menetelmä lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisemisessa. Vastaavasti z-muunnosta voidaan soveltaa diskreettien systeemien ja differenssiyhtälöiden tapauksessa. Tarkastellaan kertalukua p olevaa lineaarista vakiokertoimista ei-homogeenista differenssiyhtälöä, joka voidaan esittää muodossa (4.) a p y n+p + a p y n+p + + a 0 y n = x n, missä kertoimet a 0,..., a p ovat reaalisia vakioita ja a 0 0 sekä a p 0. Jono {x n } on annettu ja jono {y n } on tuntematon. Differenssilaskennan perusteista tiedetään, että tämän yhtälön ratkaisu on muotoa (4.2) y n = y (h) n + y (e) n, missä y n (h) on vastaavan homogeenisen differenssiyhtälön yleinen ratkaisu ja y n (e) on täydellisen yhtälön erityisratkaisu. Tavallisesti yhtälö (4.) voidaan ratkaista kaksivaiheisesti etsimällä homogeeninen ratkaisu ja erityisratkaisu sekä yhdistämällä saadut tulokset. Yhtälöön (4.) liittyvä homogeeninen yhtälö voidaan kirjoittaa muodossa (vakio a p voidaan jakaa pois) (4.3) y n+p + a p y n+p + + a 0 y n = 0, jolloin sen karakteristisen yhtälön (4.4) r p + a p r p + + a 0 = 0 juurien r,..., r k C avulla voidaan homogeeninen yhtälö ratkaista. Erityisratkaisu y n (e) puolestaan pyritään etsimään tilanteeseen sopivien yritteiden avulla. Vrt. [2, s , 70]. Kun käytetään z-muunnosta, differenssiyhtälön käsittelyä ei tarvitse eriyttää. Lineaarisuutta ja aikaistusta koskevat lauseet 3.2 ja 3.3 mahdollistavat suoraviivaisen etenemisen. Toisaalta muunnoksen avulla saadusta tuloksesta ei suoraan voi tietää, mikä on erityisratkaisu ja mikä ratkaisun homogeeninen osa, joskin se usein on helposti pääteltävissä. Sovellettaessa z-muunnosta differenssiyhtälön ratkaisemisessa voidaan erottaa seuraavat vaiheet. Ensiksi yhtälön (4.) kaikille termeille tehdään z- muunnos. Tällöin differenssiyhtälö muuttuu algebralliseksi yhtälöksi, jossa muuttujana on z. Lisäksi lauseen 3.3 avulla päädytään käsittelemään vain muunnosta Y (z). Tämän jälkeen saadusta yhtälöstä ratkaistaan Y (z) ja tarvittaessa muokataan tulosta. Viimeisessä vaiheessa sovelletaan tarkoituksenmukaista menetelmää käänteismuunnoksen Z [Y (z)] löytämiseksi. 2
22 4.2 Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differenssiyhtälöt Edellisessä alaluvussa esiteltiin z-muunnoksen käyttöä yleisellä tasolla, mutta paremman käsityksen muunnoksen mahdollisuuksista saa, kun lähdetään tarkastelemaan differenssiyhtälöiden perustapauksia. Tässä vaiheessa on hyvä todeta, että z-muunnoksen ratkaisuvaiheet pysyvät samoina kertaluvusta riippumatta. Asioiden esittäminen kertaluvun mukaisessa järjestyksessä perustuu etupäässä haluun saada vertailukohtaa perinteiseen differenssilaskentaan. Tarkastellaan aluksi ensimmäisen kertaluvun lineaarista differenssiyhtälöä (4.5) y n+ ay n = x n, missä a on vakio. Homogeeninen yhtälö (4.6) y n+ ay n = 0 voidaan ratkaista esim. sijoittamalla y n = cr n (c R) ja sitten jakamalla tekijällä r n, jolloin nähdään, että r = a. Täten homogeenisen yhtälön ratkaisu on (4.7) y (h) n = ca n. Erityisratkaisun y n (e) etsimisen hankaluus riippuu tietenkin annetusta jonosta x n, mutta siirrytään nyt z-muunnokseen. Katsotaan, miten ratkaisumenetelmää sovelletaan homogeeniseen yhtälöön (4.6). Esimerkki 4.. Ratkaistaan z-muunnoksella homogeeninen yhtälö y n+ ay n = 0. Kuten aikaisemmin on jo todettu, lausetta 3.3 hyödyntämällä saadaan yhtälö Ratkaistaan Y (z) yhtälöstä z(y (z) y 0 ) ay (z) = 0. (z a)y (z) = zy 0, jolloin z Y (z) = y 0 z a. Esimerkin 3. perusteella löydetään käänteismuunnos Z [Y (z)]. Tällöin differenssiyhtälön ratkaisu on y n = y 0 a n, joka kertoo samalla, että tietenkin yhtälössä (4.7) vakio c = y 0. 22
23 Annettu x n vaikeuttaa tehtävää, mutta z-muunnoksessa ei tarvitse muistella tarvittavia yritteitä. Seuraava esimerkki valottaakin jo kahta eri perustapaa löytää käänteismuunnos Z [Y (z)]. Toisessa päädytään usein osamurtokehitelmiin ja ratkaisu löydetään luvussa 3.3 esitettyjen lauseiden avulla. Toinen tapa perustuu residylaskentaan. Esimerkki 4.2. Ratkaistaan differenssiyhtälö Jälleen lauseen 3.3 perusteella y n+ 3 y n = 4n alkuarvolla y 0 =. z(y (z)) y 0 ) 3Y (z) = Z(4n). Yhtälön oikeaksi puoleksi saadaan esimerkin 3.7 mukaisesti Z(4n) = 4 Z(n ) 4z = (z ). 2 Seuraavaksi sijoitetaan alkuehto ja ryhmitellään hieman, jolloin Ratkaistaan (z 3)Y (z) = 4z (z ) 2 + z. 4z + z(z )2 Y (z) = (z ) 2 (z 3) = z3 2z 2 + 5z (z ) 2 (z 3). Tälle tarvitaan osamurtokehitelmä, ja jakolaskulla aloittamalla saadaan Nyt yhtälöstä Y (z) = + 3z2 2z + 3 (z ) 2 (z 3). Y (z) = + A z 3 + B z + voidaan ratkaista kertoimet A, B ja C, jolloin C (z ) 2 Y (z) = + 6 z 3 3 z 2 (z ) 2. Tässä olisi mahdollista yrittää etsiä taulukoista kullekin termille käänteinen z-muunnos Z [Y (z)], mutta aikaisemmin esitetyn esimerkin 3.3 sekä yhtälöiden (3.5) ja (3.0) perusteella Z [Y (z)] = y n = δ n n u n 3 n u n 2(n )u n. 23
24 Nyt kun n = 0, nähdään siis, että y 0 = =. Kun sitten n, niin y n = n 3 2(n ) = 2 3 n 2n, josta huomataan, että tämä on ratkaisu myös arvolla n = 0. Lasketaan käänteinen muunnos seuraavaksi residyjen avulla. Varmistetaan ensiksi, että seuraavassa yhtälössä z = ja z = 3 ovat napoja. Lauseen 2.4 perusteella näin on, kun havaitaan, että osoittajan nollakohdat ovat z = 0 ja z = ± 2i. Sovelletaan siis seurauslausetta 3. yhtälöön Y (z)z n = (z3 2z 2 + 5z) z n (z ) 2 (z 3) = (z2 2z + 5) z n (z ) 2 (z 3), jolloin voidaan kirjoittaa y n = Z [Y (z)] = Res[Y (z)z n, ] + Res[Y (z)z n, 3]. Lasketaan kummatkin residyt erikseen ja käytetään lausetta 2.8. Kaksinkertainen napa vaatii hieman pidemmän laskutoimituksen, jolloin Res[Y (z)z n, ] = Res[ z3 2z 2 + 5z (z ) 2 (z 3) zn, ] ( z = lim (z ) 2 z3 2z 2 ) + 5z z dz (z ) 2 (z 3) zn ( z z 3 2z 2 ) + 5z = lim z n z dz (z 3) ( z z n+2 2z n+ + 5z n ) = lim z dz (z 3) ( ((n + 2)z n+ 2(n + )z n + 5nz n )(z 3) (z n+2 2z n+ + 5z n ) ) = lim z (z 3) 2 ( (n + )z n+2 (5n + 6)z n+ + (n + )z n 5nz n ) = lim z (z 3) 2 ( (n + )z 3 (5n + 6)z 2 ) + (n + )z 5n = lim z n z (z 3) 2 = 8n 4 = 2n. 4 24
25 Jälkimmäiselle residylle saadaan Res[Y (z)z n, 3] = Res[ z3 2z 2 + 5z (z ) 2 (z 3) zn, 3] = lim z 3 (z 3) z3 2z 2 + 5z (z ) 2 (z 3) zn z 3 2z 2 + 5z = lim z n z 3 (z ) 2 = 6 3 n = 2 3 n. Laskemalla residyt yhteen päädytään ratkaisuun y n = 2 3 n 2n, joka on tietysti sama kuin osamurtokehitelmällä saatu tulos. Tarkastellaan seuraavaksi toisen kertaluvun lineaarista vakiokertoimista homogeenista differenssiyhtälöä (4.8) y n+2 + a y n+ + a 0 y n = 0. Tällöin yhtälön (4.4) mukainen karakteristinen yhtälö on (4.9) r 2 + a r + a 0 = 0, jonka juuret ovat r ja r 2. Tämän jälkeen ratkaisu riippuu siitä, onko karakterisella yhtälöllä yksi (r = r 2 ) vai kaksi reaalista juurta, vai ovatko juuret kompleksisia. Tässä on tarpeetonta käydä kaikkia tapauksia läpi. Voidaan esimerkiksi olettaa tunnetuksi, että reaalisten juurien ollessa kyseessä ratkaisu on muotoa (4.0) y n = c r n + c 2 r n 2, missä vakiot c ja c 2 ovat reaalilukuja. Differenssilaskennan perusteoksissa lukija voi perehtyä tarkemmin homogeenisen yhtälön yleiseen ratkaisuun (ks. esim. [2, s ]). Käytettäessä z-muunnosta ratkaisutapa ei olennaisesti eroa ensimmäisen kertaluvun yhtälöstä, mutta ratkaistavan yhtälön termien lukumäärä alkaa kasvaa. Esimerkki 4.3. Ratkaistaan differenssiyhtälö y n+2 3y n+ + 2y n = 0 alkuarvoilla y 0 = 2 ja y = 5. Nyt karakteristisen yhtälön r 2 3r + 2 = 0 juuret ovat r = ja r 2 = 2. Molemmat juuret ovat reaalisia, joten yhtälön ratkaisu on y n = c n + c 2 2 n. 25
26 Alkuarvoista voidaan ratkaista, että c = ja c 2 = 3. Tehdään sama z- muunnoksella, jolloin Tästä edelleen saadaan z 2 (Y (z) 2 5z ) 3(z(Y (z) 2)) + 2 Y (z) = 0. joka voidaan kirjoittaa muodossa Y (z)(z 2 3z + 2) 2z 2 + z = 0, Y (z) = 2z 2 z (z )(z 2). Tässä voidaan huomata, että karakteristisen yhtälön juuret ovat z-muunnoksen napoja. Tämä saa selityksen myöhemmin. Residylaskennalla saadaan Res[Y (z)z n, ] = lim z 2z 2 z z 2 zn = n = Res[Y (z)z n, 2] = lim z 2 2z 2 z z zn = 6 2 n = 3 2 n. Ratkaisu on siis molemmilla tavoilla laskettuna ja y n = n. Tarkastellaan luvun lopuksi hieman yleisemmin diskreettiä systeemiä, jonka käyttäytymistä kuvataan toisen kertaluvun differenssiyhtälöllä (4.) a 2 y n+2 + a y n+ + a 0 y n = b 2 x n+2 + b x n+ + b 0 x n, missä alkuarvot y 0, y, x 0 ja x tunnetaan. Katsotaan, miten tämän yhtälön homogeeninen ja ei-homogeeninen ratkaisu löydetään. Käytetään homogeenisen yhtälön ratkaisun z-muunnokselle merkintää Y h (z) (vastaavasti erityisratkaisun muunnokselle Y e (z)), jolloin homogeenisen yhtälön ratkaisu y n (h) saadaan käänteisellä muunnoksella Z [Y h (z)]. Aikaistusta koskevan lauseen 3.3 perusteella saadaan (4.2) a 2 (z 2 Y (z) z 2 y 0 zy ) + a (zy (z) zy 0 ) + a 0 Y (z) = b 2 (z 2 X(z) z 2 x 0 zx ) + b (zx(z) zx 0 ) + b 0 X(z). Ryhmitellään tämä muotoon (4.3) Y (z) = b 2z 2 + b z + b 0 a 2 z 2 + a z + a 0 X(z) + z2 (a 2 y 0 b 2 x 0 ) + z(a 2 y + a y 0 b 2 x b x 0 ) a 2 z 2 + a z + a 0. 26
27 Homogeenisen yhtälön ratkaisuun päästään, kun x n = 0 kaikilla arvoilla n. Tällöin homogeenisen yhtälön muunnos on (4.4) Y h (z) = z2 a 2 y 0 + z(a 2 y + a y 0 ) a 2 z 2 + a z + a 0, josta käänteisellä muunnoksella saadaan homogeenisen yhtälön ratkaisu y (h) n. Erityisratkaisun löytämiseksi oletetaan, että systeemi on levossa, kun n < 0. Tällöin x n = y n = 0, kun n < 0. Täten arvoilla n = 2 ja n = voidaan yhtälöstä (4.) ratkaista (4.5) y 0 = b 2 x 0 /a 2 ja y = (b x 0 + b 2 x a y 0 )/a 2. Sijoittamalla nähdään, että (4.6) Y e (z) = b 2z 2 + b z + b 0 X(z) a 2 z 2 + a z + a 0 2j=0 b j z j = 2j=0 a j z X(z), j joka on ratkaistavan differenssiyhtälön erityisratkaisun muunnos, josta käänteisen muunnoksen avulla saadaan erityisratkaisu y (e) n. Vrt. [4, s ]. 4.3 Kertalukua p olevat differenssiyhtälöt Kuten edellä on jo mainittu, kertaluvun kasvattaminen ei tuo olennaista muutosta ratkaisumenetelmään, mutta teknisesti se vaikeuttaa lopputulokseen pääsyä. Tarkastellaan yleistä kertalukua p olevaa lineaarista differenssiyhtälöä (4.7) a p y n+p + a p y n+p + + a 0 y n = b p x n+p + b p x n+p + + b 0 x n, missä kertoimet a 0,..., a p (a 0 0, a p 0) ja b 0,..., b p ovat reaalisia vakioita. Lasketaan aluksi z-muunnos homogeeniselle yhtälölle (4.8) a p y n+p + a p y n+p + + a 0 y n = 0. Aikaistusta koskevan lauseen 3.3 mukaan (4.9) Z(y n+p ) = z p (Y (z) p m=0 y m z m ), 27
28 jolloin yhtälön (4.8) z-muunnos voidaan hieman ryhmitellen esittää muodossa (4.20) a p z p ( Y (z) y 0 y z... y p z p+) + a p z ( p Y (z) y 0 y z y p 2 z p+2) + a 2 z 2 (Y (z) y 0 y z )+ a z (Y (z) y 0 )+ a 0 z 0 Y (z) = 0. Tästä nähdään, että homogeenisen yhtälön ratkaisun muunnos on (4.2) Y h (z) = p j= a j z j j k=0 y kz k p k=0 a kz k. Yhtälö (4.2) selittää osaltaan, miksi karakteristisen yhtälön juuret ovat z- muunnoksen napoja. Nimittäjänä olevan polynomin kertoimet ovat samat kuin karakteristisessa yhtälössä, joten nimittäjän nollakohdat ovat myös karakteristisen yhtälön juuria. 4.4 Siirtofunktio ja konvoluutio Seuraavaksi käsitellään differenssiyhtälön ratkaisemista tavalla, joka hieman muistuttaa perinteistä differenssilaskentaa. Tarkastellaan yleistä lineaarista vakiokertoimista kertalukua p olevaa differenssiyhtälöä, joka on muotoa (4.22) a 0 y n + a y n + + a p y n p+ + a p y n p = b 0 x n + b x n + + b q x n q+ + b q x n q, missä kertoimet a 0,..., a p ja b 0,..., b q ovat reaalisia vakioita. Tässä voidaan asettaa, että a 0 =. Lisäksi oletetaan, että q p. Tässä on hyvä huomauttaa yhtälön kertoimien indeksoinnista, joka poikkeaa aikaisemmin esim. yhtälössä (4.7) käytetystä. Tämä helpottaa indeksointia, kun lähdetään käsittelemään edellistä yhtälöä viiveen avulla. Kirjoitetaan yhtälö lyhyemmin ilmaistuna, jolloin p q (4.23) y n + a k y n k = b k x n k. k= k=0 Viiveelle (lause 3.4) on johdettu (4.24) Z(x n k u n k ) = z k X(z), 28
29 joten yhtälölle (4.23) saadaan p q (4.25) Y (z) + a k Y (z)z k = b k X(z)z k k= k=0 ja edelleen p q (4.26) Y (z)( + a k z k ) = X(z) b k z k. k= k=0 Nyt osamäärää (4.27) H(z) = Y (z) X(z) = q k=0 b kz k q ( + p k= a kz k ) = k=0 b kz k p k=0 a kz k sanotaan kertalukua p olevan differenssiyhtälön siirtofunktioksi ja siirtofunktion käänteismuunnosta h n = Z [H(z)] kutsutaan impulssivasteeksi (ks. [3, s. 380]). Nähdään, ettei siirtofunktiota ole määritelty, mikäli yhtälö (4.22) on homogeeninen. Vrt. [3, s ]. Mikäli lähdettäisiin liikkeelle yhtälöstä (4.28) a p y n+p + a p y n+p + + a 0 y n = b q x n+q + b q x n+q + + b 0 x n ja ratkaistaisiin se aikaistuksen avulla, saataisiin siirtofunktio muodossa (4.29) H(z) = Y (z) q X(z) = k=0 b kz k p k=0 a kz. k Yhtälöstä (4.28) voidaan toisen kertaluvun tapaan (ks. yhtälö (4.6)) ratkaista z-muunnoksen erityisratkaisu Y e (z). Pitkähkö indeksien käsittely voidaan tässä yhteydessä kuitenkin sivuuttaa, ja todeta siirtofunktion sekä erityisratkaisun muunnoksen yhteys q k=0 (4.30) Y e (z) = b kz k p k=0 a X(z) = H(z)X(z). k kz Vrt. [4, s. 80 8]. Nyt havaitaan erityisratkaisun, siirtofunktion ja konvoluution yhteys, koska lauseen 3.5 perusteella (4.3) y (e) n = Z [Y e (z)] = Z [H(z)X(z)] n = h n x n = h n i x i. i=0 Vrt. [3, s ]. Kun homogeeninen ja ei-homogeeninen osa ratkaistaan erikseen, ratkaisutapa muistuttaa hieman perinteistä differenssilaskentaa. Erottelua ei kuitenkaan välttämättä tarvitse tehdä, mutta toisaalta siirtofunktion käyttö voi nopeuttaa tuloksen löytymistä. Tällöin voidaan erottaa neljä vaihetta. 29
30 (i) Ratkaistaan homogeeninen yhtälö ja saadaan y (h) n. (ii) Rakennetaan siirtofunktio H(z) ja ratkaistaan h n. (iii) Annetaan erityisratkaisu joko siirtofunktion avulla muodossa y (e) n = Z [H(z)X(z)] tai konvoluutiolla (iv) Yleinen ratkaisu on y (e) n = y n = y (h) n n h n i x i. i=0 + y (e) n. [3, s. 368]. Ratkaisun antaminen konvoluutiomuodossa ei usein ole kovin havainnollista, mutta siirtofunktio on hyödyllinen erityisesti, jos homogeeninen osa tunnetaan tai on helposti ratkaistavissa. Usein differenssiyhtälön (4.22) oikealla puolella on vain yksi termi, jolloin yhtälössä (4.32) a 0 y n + a y n + a 2 y n a p y n p+ + a p y n p = b q x n p voidaan indeksejä siirtämällä päästä yhtälötyyppiin (4.33) a 0 y n+p + a y n+p + + a p y n = b q x n (vrt. [3, s. 36]). Esityksen lopuksi vielä tähän liittyvä esimerkki siirtofunktion käytöstä. Esimerkki 4.4. Ratkaistaan differenssiyhtälö y n+2 3y n+ + 2y n = 3 n alkuarvoilla y 0 = 2 ja y = 5. Esimerkin 4.3 perusteella homogeenisen yhtälön ratkaisu on y n (h) = n. Nyt siirtofunktioksi saadaan H(z) = Y (z) X(z) = = q k=0 b kz k p k=0 a kz k = z 2 3z + 2 = (z )(z 2). z 2 + ( 3)z + 2z 2 Toisaalta tiedetään, että Z[3 n ] = X(z) = z z 3. 30
31 Tällöin voidaan ratkaista Lasketaan navoille residyt Y (z) = H(z)X(z) = Res[Y (z)z n, ] = lim z Res[Y (z)z n, 2] = lim z 2 Res[Y (z)z n, 3] = lim z 3 Täten saadaan erityisratkaisu Yleinen ratkaisu on siis y n = y (h) n = z (z )(z 2) (z 3) z (z )(z 2)(z 3). z (z 2)(z 3) zn = 2, z (z )(z 3) zn = 2 2 n ja z (z )(z 2) zn = 3 2 3n. y (e) n = Z [Y (z)] = 2 2n + 2 3n. + y (e) n = n + 2 2n + 2 3n = n + 2 3n = 2 (2n n ). 3
32 Viitteet [] Elaydi, Saber N. An Introduction to Difference Equations, New York: Springer-Verlag New York, Inc., 996. [2] Kelley, Walter G. and Peterson, Allan C. Difference Equations: An Introduction with Applications, San Diego, CA: Academic Press, Inc., 99. [3] Mathews, John H. and Russell, Howell W. Complex Analysis for Mathematics and Engineering 5th ed., Sudbury, MA: Jones and Bartlett Publishers, Inc., [4] Vich, Robert. Z Transform Theory and Applications, Dordrecht, Holland: D. Reidel Publishing Company,
Lukujonot Z-muunnos Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt. Z-muunnos. 1. joulukuuta Z-muunnos
Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt 1. joulukuuta 2015 Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt Lukujono Lukujono on diskreetti funktio
LisätiedotLukujonot Z-muunnos Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt. Z-muunnos. 5. joulukuuta Z-muunnos
Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt 5. joulukuuta 2016 Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt Lukujonot Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia
LisätiedotKompleksianalyysi, viikko 5
Kompleksianalyysi, viikko 5 Jukka Kemppainen Mathematics Division Kompleksiset jonot Aloitetaan jonon suppenemisesta. Määr. 1 Kompleksiluvuista z 1,z 2,...,z n,... koostuva jono suppenee kohti raja-arvoa
Lisätiedot5. Z-muunnos ja lineaariset diskreetit systeemit. z n = z
5. Z-muunnos ja lineaariset diskreetit systeemit Jono: (x(n)) n=0 = (x(0), x(1), x(2),..., x(n),...) Z-muunnos: X(z) = n=0 x(n)z n, jos sarja suppenee jossain kompleksitason osassa. Esim. 4. Ykkösjonon
Lisätiedotz muunnos ja sen soveltaminen LTI järjestelmien analysointiin
z muunnos ja sen soveltaminen LTI järjestelmien analysointiin muunnoksella (eng. transform) on vastaava asema diskreettiaikaisten signaalien ja LTI järjestelmien analyysissä kuin Laplace muunnoksella jatkuvaaikaisten
LisätiedotPotenssisarja, suppenemissäde. Potenssisarja ja derivointi. Potenssisarja ja analyyttiset funktiot. Potenssisarja ja integrointi.
Matematiikan peruskurssi KP3 I OSA 4: Taylorin sarja, residymenetelmä A.Rasila J.v.Pfaler 26. syyskuuta 2007 Kompleksista sarjoista Jono, suppeneminen, summasarja Potenssisarja, suppenemissäde ja analyyttiset
LisätiedotKOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY exp z., k = 1, 2,... Eksponenttifunktion z exp(z) Laurent-sarjan avulla
KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 11. Integrointi erillisen erikoispisteen ympäri Olkoot f analyyttinen punkteeratussa kiekossa D(z 0.r\{z 0 }. Funktiolla f on erikoispiste z 0.
LisätiedotKompleksitermiset jonot ja sarjat
Kompleksitermiset jonot ja sarjat Aalto MS-C300, 205, v., Kari Eloranta Tutkitaan kompleksitermisten jonojen ja sarjojen ominaisuuksia. Päätavoite on kompleksifunktioiden sarjakehitelmien ymmärrys. Määritelmä
LisätiedotDiskreetin LTI-systeemin stabiilisuus
Diskreetin LTI-systeemin stabiilisuus LuK-tutkielma Johannes Ylitalo 2372956 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Kevät 2016 Sisältö Johdanto 2 Merkintöjä 2 1 Kompleksifunktiot 3 2 Signaalianalyysi
LisätiedotKompleksianalyysi, viikko 6
Kompleksianalyysi, viikko 6 Jukka Kemppainen Mathematics Division Funktion erikoispisteet Määr. 1 Jos f on analyyttinen pisteen z 0 aidossa ympäristössä 0 < z z 0 < r jollakin r > 0, niin sanotaan, että
LisätiedotReaalisten funktioiden integrointia kompleksianalyysin keinoin
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Mervi Paavola Reaalisten funktioiden integrointia kompleksianalyysin keinoin Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden
Lisätiedot8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa
8 Potenssisarjoista 8. Määritelmä Olkoot a 0, a, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.. Muotoa a 0 + a (x c) + a 2 (x c) 2 + olevaa sarjaa sanotaan c-keskiseksi potenssisarjaksi. Selvästi jokainen
LisätiedotKOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012
KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 2. Kompleksitason topologiaa Kompleksianalyysi on kompleksiarvoisten kompleksimuuttujien funktioiden teoriaa. Tällä kurssilla käsittelemme vain
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 6 Sarjojen suppeneminen Kiinnostuksen kohteena on edelleen sarja a k = a + a 2 + a 3 + a 4 +... k= Tämä summa on mahdollisesti äärellisenä olemassa, jolloin sanotaan
LisätiedotOsa IX. Z muunnos. Johdanto Diskreetit funktiot
Osa IX Z muunnos A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-.33 Matematiikan peruskurssi KP3-i 9. lokakuuta 2007 298 / 322 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-.33 Matematiikan peruskurssi KP3-i 9. lokakuuta 2007 299 / 322 Johdanto
Lisätiedot1. Viikko. K. Tuominen MApu II 1/17 17
1. Viikko Keskeiset asiat ja tavoitteet: 1. Kompleksiluvut, kompleksitaso, polaariesitys, 2. Kompleksilukujen peruslaskutoimitukset, 3. Eulerin ja De Moivren kaavat, 4. Potenssi ja juuret, kompleksinen
LisätiedotKOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012
KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 8. Integraalilauseiden sovelluksia 1. Analyyttisen funktion sarjaesitys. (eli jokainen analyyttinen funktio on lokaalisti suppenevan potenssisarjan
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 5: Taylor-polynomi ja sarja
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 5: Taylor-polynomi ja sarja Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 26.9.2016 Pekka Alestalo,
Lisätiedot2.2.1 Ratkaiseminen arvausta sovittamalla
2.2.1 Ratkaiseminen arvausta sovittamalla Esimerkki: lomitusjärjestäminen (edellä) Yleistys: Ratkaistava T (1) c T (n) g(t (1),..., T (n 1), n) missä g on n ensimmäisen parametrin suhteen kasvava. (Ratkaisu
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 4 Jatkuvuus Jatkuvan funktion määritelmä Tarkastellaan funktiota f x) jossakin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jatkuva tai epäjatkuva. Jatkuvuuden
LisätiedotAnalyysi III. Jari Taskinen. 28. syyskuuta Luku 1
Analyysi III Jari Taskinen 28. syyskuuta 2002 Luku Sisältö Sarjat 2. Lukujonoista........................... 2.2 Rekursiivisesti määritellyt lukujonot.............. 8.3 Sarja ja sen suppenminen....................
LisätiedotKompleksinen Laplace-muunnos
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Päivikki Mäki Kompleksinen Laplace-muunnos Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Kesäkuu 212 Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden yksikkö MÄKI, PÄIVIKKI:
LisätiedotRollen lause polynomeille
Rollen lause polynomeille LuK-tutkielma Anna-Helena Hietamäki 7193766 Matemaattisten tieteiden tutkinto-ohjelma Oulun yliopisto Kevät 015 Sisältö 1 Johdanto 1.1 Rollen lause analyysissä.......................
LisätiedotJohdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 5, Ratkaise rekursioyhtälö
Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 5, 14.10.2015 1. Ratkaise rekursioyhtälö x n+4 2x n+2 + x n 16( 1) n, n N, alkuarvoilla x 1 2, x 2 14, x 3 18 ja x 4 42. Ratkaisu. Vastaavan homogeenisen
Lisätiedot3.3 Funktion raja-arvo
3.3 Funktion raja-arvo Olkoot A ja B kompleksitason joukkoja ja f : A B kuvaus. Kuvauksella f on pisteessä z 0 A raja-arvo c, jos jokaista ε > 0 vastaa δ > 0 siten, että 0 < z z 0 < δ ja z A f(z) c < ε.
LisätiedotIV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n
IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee
Lisätiedot1 Kompleksiluvut. Kompleksiluvut 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 7
Kompleksiluvut 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 7 1 Kompleksiluvut Lukualueiden laajennuksia voi lähestyä polynomiyhtälöiden ratkaisemisen kautta. Yhtälön x+1 = 0 ratkaisemiseksi tarvitaan negatiivisia lukuja.
LisätiedotMat-1.1331 Matematiikan pk KP3-i - kertaus
Mat-.33 Matematiikan pk KP3-i - kertaus J.v.Pfaler TKK 24. lokakuuta 2007 Kurssin ensimmäisen puoliskon selkäranka on Kompleksitason funktioiden teoria, sisältäen analyyttiset funktiot, auchy integraali
LisätiedotTenttiin valmentavia harjoituksia
Tenttiin valmentavia harjoituksia Alla olevissa harjoituksissa suluissa oleva sivunumero viittaa Juha Partasen kurssimonisteen siihen sivuun, jolta löytyy apua tehtävän ratkaisuun. Funktiot Harjoitus.
LisätiedotMatematiikan tukikurssi, kurssikerta 3
Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus
LisätiedotSarja. Lukujonosta (a k ) k N voi muodostaa sen osasummien jonon (s n ): s 1 = a 1, s 2 = a 1 + a 2, s 3 = a 1 + a 2 + a 3,...,
Sarja Lukujonosta (a k ) k N voi muodostaa sen osasummien jonon (s n ): Määritelmä 1 s 1 = a 1, s 2 = a 1 + a 2, s 3 = a 1 + a 2 + a 3,..., n s n = a k. Jos osasummien jonolla (s n ) on raja-arvo s R,
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 2: Sarjat
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 2: Sarjat Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 14.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo Malinen
LisätiedotSarjojen suppenemisesta
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Terhi Mattila Sarjojen suppenemisesta Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Huhtikuu 008 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos
Lisätiedotinfoa Viikon aiheet Potenssisarja a n = c n (x x 0 ) n < 1
infoa Viikon aiheet Tentti ensi viikolla ma 23.0. klo 9.00-3.00 Huomaa, alkaa tasalta! D0 (Sukunimet A-) E204 (Sukunimet S-Ö) Mukaan kynä ja kumi. Ei muuta materiaalia. Tentissä kaavakokoelma valmiina.
LisätiedotResidylaskenta ja sen sovelluksena äärettömien sarjojen summien laskeminen ja Mittag-Leerin laajennuslause
Residylaskenta ja sen sovelluksena äärettömien sarjojen summien laskeminen ja Mittag-Leerin laajennuslause Pro Gradu-tutkielma Urho Erkkilä Matemaattisten tieteiden laitos Oulun Yliopisto Kevät 03 Sisältö
Lisätiedotnyky-ymmärryksemme mukaan hajaantuvaan sarjaan luvun 1 2 kun n > N Huom! Määritelmä on aivan sama C:ssä ja R:ssä. (Kuva vain on erilainen.
Sarjaoppia Käsitellään kompleksi- ja reaalisarjat yhdessä. Reaalilukujen ominaisuuksista (kuten järjestys) riippuvat asiat tulevat lisämausteena mukaan. Kirjallisuutta: 1. [KRE] Kreyszig: Advanced Engineering
LisätiedotKompleksianalyysi, viikko 7
Kompleksianalyysi, viikko 7 Jukka Kemppainen Mathematics Division Fourier-muunnoksesta Laplace-muunnokseen Tarkastellaan seuraavassa kausaalisia signaaleja eli signaaleja x(t), joille x(t) 0 kaikilla t
Lisätiedot1 Reaaliset lukujonot
Jonot 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 5 1 Reaaliset lukujonot Reaaliset lukujonot ovat funktioita f : Z + R. Lukujonosta käytetään merkintää (a k ) k=1 tai lyhyemmin vain (a k). missä a k = f(k). Täten lukujonot
LisätiedotSisältö. Sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 17
Sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 17 Sisältö 1 Peruskäsitteistöä 2 1.1 Määritelmiä 2 1.2 Perustuloksia 4 2 Suppenemistestejä positiivitermisille sarjoille 5 3 Itseinen ja ehdollinen suppeneminen 8 4 Alternoivat
LisätiedotFunktiojonot ja funktiotermiset sarjat Funktiojono ja funktioterminen sarja Pisteittäinen ja tasainen suppeneminen
4. Funktiojonot ja funktiotermiset sarjat 4.1. Funktiojono ja funktioterminen sarja 60. Tutki, millä muuttujan R arvoilla funktiojono f k suppenee, kun Mikä on rajafunktio? a) f k () = 2k 2k + 1, b) f
LisätiedotKompleksiset sarjat ja potenssisarjat
MS-C1300 Kompleksianalyysi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto K Kytölä & A Gutiérrez Syksy 2018 Ratkaisut 3A 3A Kompleksiset sarjat ja potenssisarjat 3A1 Laske seuraavien sarjojen
LisätiedotMS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 2: Sarjat
MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 2: Sarjat Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos September 13, 2017 Pekka Alestalo,
LisätiedotMatemaattinen Analyysi
Vaasan yliopisto, 009-010 / ORMS1010 Matemaattinen Analyysi 7 harjoitus 1 Määritä seuraavien potenssisarjojen suppenemissäteet a) k k x 5)k b) k=1 k x 5)k = k k 1) k ) 1) Suppenemissäteen R käänteisarvo
Lisätiedot3 Toisen kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt
3 Toisen kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt 3.1 Homogeeniset lineaariset differentiaaliyhtälöt Toisen kertaluvun differentiaaliyhtälö on lineaarinen, jos se voidaan kirjoittaa muotoon Jos r(x)
Lisätiedot1 Kompleksiluvut 1. y z = (x, y) Kuva 1: Euklidinen taso R 2
Sisältö 1 Kompleksiluvut 1 1.1 Määritelmä............................ 1 1. Kertolasku suorakulmaisissa koordinaateissa.......... 4 1.3 Käänteisluku ja jakolasku..................... 9 1.4 Esimerkkejä.............................
LisätiedotMatematiikan tukikurssi, kurssikerta 5
Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 5 1 Jonoista Matematiikassa jono (x n ) on yksinkertaisesti järjestetty, päättymätön sarja numeroita Esimerkiksi (1,, 3, 4, 5 ) on jono Jonon i:ttä jäsentä merkitään
Lisätiedot1 Kompleksitason geometriaa ja topologiaa
1 Kompleksitason geometriaa ja topologiaa Tavallisessa analyyttisessä geometriassa käyrien yhtälöt esitetään x-koordinaattien ja y-koordinaattien avulla, esimerkiksi y = 1 x esittää tasasivuista hyperbeliä,
Lisätiedot6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset
SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 51 6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt Määritelmä 6.1. Olkoon I R avoin väli. Olkoot p i : I R, i = 0, 1, 2,..., n, ja q : I R jatkuvia
LisätiedotVastausehdotukset analyysin sivuainekurssin syksyn välikokeeseen
Vastausehdotukset analyysin sivuainekurssin syksyn 015 1. välikokeeseen Heikki Korpela November 1, 015 1. Tehtävä: funktio f : R R toteuttaa ehdot ax, kun x 1 f(x) x + 1, kun x < 1 Tutki, millä vakion
LisätiedotV. POTENSSISARJAT. V.1. Abelin lause ja potenssisarjan suppenemisväli. a k (x x 0 ) k M
V. POTENSSISARJAT Funtioterminen sarja V.. Abelin lause ja potenssisarjan suppenemisväli P a x x, missä a, a, a 2,... R ja x R ovat vaioita, on potenssisarja, jona ertoimet ovat luvut a, a,... ja ehitysesus
LisätiedotReaaliluvut. tapauksessa metrisen avaruuden täydellisyyden kohdalla. 1 fi.wikipedia.org/wiki/reaaliluku 1 / 13
Reaaliluvut Reaalilukujen joukko R. Täsmällinen konstruointi palautuu rationaalilukuihin, jossa eri mahdollisuuksia: - Dedekindin leikkaukset - rationaaliset Cauchy-jonot - desimaaliapproksimaatiot. Reaalilukujen
Lisätiedot6*. MURTOFUNKTION INTEGROINTI
MAA0 6*. MURTOFUNKTION INTEGROINTI Murtofunktio tarkoittaa kahden polynomin osamäärää, ja sen yleinen muoto on P() R : R(). Q() Mikäli osoittajapolynomin asteluku on nimittäjäpolynomin astelukua korkeampi
LisätiedotMS-A010{2,3,4,5} (SCI, ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 2: Sarjat
M-A010{2,3,4,5} (CI, ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 2: arjat Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos eptember 12, 2018 Pekka
LisätiedotKompleksiluvut., 15. kesäkuuta /57
Kompleksiluvut, 15. kesäkuuta 2017 1/57 Miksi kompleksilukuja? Reaaliluvut lukusuoran pisteet: Tiedetään, että 7 1 0 x 2 = 0 x = 0 1 7 x 2 = 1 x = 1 x = 1 x 2 = 7 x = 7 x = 7 x 2 = 1 ei ratkaisua reaalilukujen
LisätiedotKOMPLEKSILUVUT C. Rationaaliluvut Q. Irrationaaliluvut
KOMPLEKSILUVUT C Luonnolliset luvut N Kokonaisluvut Z Rationaaliluvut Q Reaaliluvut R Kompleksi luvut C Negat kokonaisluvut Murtoluvut Irrationaaliluvut Imaginaariluvut Erilaisten yhtälöiden ratkaiseminen
LisätiedotResidylause ja sen sovelluksia
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Henry Joutsijoki Residylause ja sen sovelluksia Matematiikan, tilastotieteen ja filosofian laitos Matematiikka Marraskuu 7 Tampereen yliopisto Matematiikan, tilastotieteen
Lisätiedotja λ 2 = 2x 1r 0 x 2 + 2x 1r 0 x 2
Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 4, 7.10.2015 1. Olkoot c 0, c 1 R siten, että polynomilla r 2 c 1 r c 0 on kaksinkertainen juuri. Määritä rekursioyhtälön x n+2 = c 1 x n+1 + c 0 x n, n N,
LisätiedotLineaarikuvauksen R n R m matriisi
Lineaarikuvauksen R n R m matriisi Lauseessa 21 osoitettiin, että jokaista m n -matriisia A vastaa lineaarikuvaus L A : R n R m, jolla L A ( v) = A v kaikilla v R n. Osoitetaan seuraavaksi käänteinen tulos:
Lisätiedot(b) = x cos x 1 ( cos x)dx. = x cos x + cos xdx. = sin x x cos x + C, C R.
Calculus Kurssikoe..7. Laske (a) x sin x, (b) x x + x. (a) Merkitään u(x) = x ja v (x) = sin x, jolloin u (x) =, v(x) = cos x ja osittaisintegroimalla saadaan x sin x = u(x)v (x) = u(x)v(x) u (x)v(x) =
LisätiedotEpäyhtälöt 1/7 Sisältö ESITIEDOT: yhtälöt
Epäyhtälöt 1/7 Sisältö Epäyhtälö Epäyhtälöllä tarkoitetaan ehtoa, missä kahdesta lausekkeesta toinen on suurempi tai mahdollisesti yhtä suuri kuin toinen: f(x) < g(x), f(x) g(x).merkit voidaan luonnollisesti
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 4 Supremum ja inmum Tarkastellaan aluksi avointa väliä, Tämä on joukko, johon kuuluvat kaikki reaaliluvut miinus yhdestä yhteen Kuitenkaan päätepisteet eli luvut ja
LisätiedotKompleksianalyysi viikko 3
Kompleksianalyysi viikko 3 Jukka Kemppainen Mathematics Division Derivaatta Oletetaan seuraavassa, että joukko A C on avoin, eli jokaista z 0 A kohti on olemassa sellainen ǫ > 0, että z z 0 < ǫ z A. f
LisätiedotLukujoukot. Luonnollisten lukujen joukko N = {1, 2, 3,... }.
Lukujoukot Luonnollisten lukujen joukko N = {1, 2, 3,... }. N 0 = {0, 1, 2, 3,... } = N {0}. Kokonaislukujen joukko Z = {0, 1, 1, 2, 2,... }. Rationaalilukujen joukko Q = {p/q p Z, q N}. Reaalilukujen
LisätiedotKompleksianalyysi, viikko 4
Kompleksianalyysi, viikko 4 Jukka Kemppainen Mathematics Division Reaalimuuttujan kompleksiarvoisen funktion integraali Aloitetaan reaalimuuttujan kompleksiarvoisen funktion integraalin määrittelyllä,
LisätiedotBM20A0900, Matematiikka KoTiB3
BM20A0900, Matematiikka KoTiB3 Luennot: Matti Alatalo Oppikirja: Kreyszig, E.: Advanced Engineering Mathematics, 8th Edition, John Wiley & Sons, 1999, luvut 1 4. 1 Sisältö Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöt
Lisätiedoty z = (x, y) Kuva 1: Euklidinen taso R 2
Kompleksiluvut. Määritelmä Tarkastellaan euklidista tasoa R = {(, y), y R}. y y z = (, y) R Kuva : Euklidinen taso R Suorakulmaisessa koordinaatistossa on -akseli ja y-akseli. Luvut ja y ovat pisteen z
LisätiedotAlkulukujen harmoninen sarja
Alkulukujen harmoninen sarja LuK-tutkielma Markus Horneman Oiskelijanumero:2434548 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun ylioisto Syksy 207 Sisältö Johdanto 2 Hyödyllisiä tuloksia ja määritelmiä 3. Alkuluvuista............................
Lisätiedot13. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: = 1 + y x + ( y ) 2 (y )
MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Differentiaaliyhtälöt, kesä 00 Tehtävät 3-8 / Ratkaisuehdotuksia (RT).6.00 3. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: y = + y + y = + y + ( y ) (y
LisätiedotJonot. Lukujonolla tarkoitetaan ääretöntä jonoa reaalilukuja a n R, kun indeksi n N. Merkitään. (a n ) n N = (a n ) n=1 = (a 1, a 2, a 3,... ).
Jonot Lukujonolla tarkoitetaan ääretöntä jonoa reaalilukuja a n R, kun indeksi n N. Merkitään (a n ) n N = (a n ) n=1 = (a 1, a 2, a 3,... ). Lukujonon täsmällinen tulkinta on funktio f : N R, jolle f
LisätiedotEnsimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä
1 MAT-1345 LAAJA MATEMATIIKKA 5 Tampereen teknillinen yliopisto Risto Silvennoinen Kevät 9 Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä Yksi tavallisimmista luonnontieteissä ja tekniikassa
Lisätiedot4 Korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt
4 Korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt 4.1 Homogeeniset lineaariset differentiaaliyhtälöt Homogeeninen yhtälö on muotoa F(x, y,, y (n) ) = 0. (1) Yhtälö on lineaarinen, jos se voidaan
LisätiedotNumeeriset menetelmät
Numeeriset menetelmät Luento 6 To 22.9.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 6 To 22.9.2011 p. 1/38 p. 1/38 Ominaisarvotehtävät Monet sovellukset johtavat ominaisarvotehtäviin Yksi
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
LisätiedotMS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 11: Lineaarinen differentiaaliyhtälö
MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 11: Lineaarinen differentiaaliyhtälö Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos
LisätiedotMat Matematiikan peruskurssi K2
Mat-.3 Matematiikan peruskurssi K Heikkinen/Tikanmäki Kolmas välikoe 6.5. Kokeessa saa käyttää ylioppilaskirjoituksiin hyväksyttyä laskinta. Sivun kääntöpuolelta löytyy integrointikaavoja.. Olkoon F(x,
LisätiedotYhtälöryhmät 1/6 Sisältö ESITIEDOT: yhtälöt
Yhtälöryhmät 1/6 Sisältö Yhtälöryhmä Yhtälöryhmässä on useita yhtälöitä ja yleensä myös useita tuntemattomia. Tavoitteena on löytää tuntemattomille sellaiset arvot, että kaikki yhtälöt toteutuvat samanaikaisesti.
LisätiedotMS-A0104 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ELEC2) MS-A0106 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ENG2)
MS-A4 Differentiaali- ja integraalilaskenta (ELEC2) MS-A6 Differentiaali- ja integraalilaskenta (ENG2) Harjoitukset 3L, syksy 27 Tehtävä. a) Määritä luvun π likiarvo käyttämällä Newtonin menetelmää yhtälölle
Lisätiedotw + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.
Kotitehtävät, tammikuu 2011 Vaikeampi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisut (w, x, y, z)
LisätiedotFourier-analyysi, I/19-20, Mallivastaukset, Laskuharjoitus 7
MS-C14, Fourier-analyysi, I/19- Fourier-analyysi, I/19-, Mallivastaukset, Laskuharjoitus 7 Harjoitustehtävä 7.1. Hetkellä t R olkoon s(t) 1 + cos(4πt) + sin(6πt). Laske tämän 1-periodisen signaalin s Fourier-kertoimet
Lisätiedot(a) avoin, yhtenäinen, rajoitettu, alue.
1. Hahmottele seuraavat tasojoukot. Mitkä niistä ovat avoimia, suljettuja, kompakteja, rajoitettuja, yhtenäisiä, alueita? (a) {z C 1 < 2z + 1 < 2} (b) {z C z i + z + i = 4} (c) {z C z + Im z < 1} (d) {z
LisätiedotTämän luvun tarkoituksena on antaa perustaidot kompleksiluvuilla laskemiseen sekä niiden geometriseen tulkintaan. { (a, b) a, b œ R }
7 Kompleksiluvut Tämän luvun tarkoituksena on antaa perustaidot kompleksiluvuilla laskemiseen sekä niiden geometriseen tulkintaan. 7.1 Kompleksilukujen määritelmä Määritelmä 7.1.1. Kompleksilukujen joukko
Lisätiedot1. Osoita, että joukon X osajoukoille A ja B on voimassa toinen ns. de Morganin laki (A B) = A B.
HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan muun muassa kahden joukon osoittamista samaksi sekä joukon
Lisätiedotk=1 b kx k K-kertoimisia polynomeja, P (X)+Q(X) = (a k + b k )X k n+m a i b j X k. i+j=k k=0
1. Polynomit Tässä luvussa tarkastelemme polynomien muodostamia renkaita polynomien ollisuutta käsitteleviä perustuloksia. Teemme luvun alkuun kaksi sopimusta: Tässä luvussa X on muodollinen symboli, jota
Lisätiedot5. OSITTAISINTEGROINTI
5 OSITTAISINTEGROINTI Kahden funktion f ja g tulo derivoidaan kuten muistetaan seuraavasti: D (fg) f g + f Kun tämä yhtälö integroidaan puolittain, niin saadaan fg f ()g()d + f ()()d Yhtälö saattaa erota
LisätiedotLukujonon raja-arvo 1/7 Sisältö ESITIEDOT: lukujonot
Lukujonon raja-arvo 1/7 Sisältö Esimerkki lukujonon raja-arvosta Lukujonossa a 1,a 2,a 3,... (jossa on äärettömän monta termiä) voivat luvut lähestyä jotakin arvoa, kun jonossa edetään yhä pidemmälle.
Lisätiedot2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä
2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2.1 Ensimmäisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Muuttujan x ensimmäisen asteen yhtälöksi sanotaan yhtälöä, joka voidaan kirjoittaa muotoon ax + b = 0, missä vakiot a ja b ovat reaalilukuja
LisätiedotSARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT
SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 43 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Kuva 12. Esimerkin 4.26(c kuvauksen
Lisätiedoty x1 σ t 1 = c y x 1 σ t 1 = y x 2 σ t 2 y x 2 x 1 y = σ(t 2 t 1 ) x 2 x 1 y t 2 t 1
1. Tarkastellaan funktiota missä σ C ja y (y 1,..., y n ) R n. u : R n R C, u(x, t) e i(y x σt), (a) Miksi funktiota u(x, t) voidaan kutsua tasoaalloksi, jonka aaltorintama on kohtisuorassa vektorin y
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt, osa 1 Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 20 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kertausluento 2. välikokeeseen Toisessa välikokeessa on syytä osata ainakin seuraavat asiat:. Potenssisarjojen suppenemissäde, suppenemisväli ja suppenemisjoukko. 2. Derivaatan
Lisätiedot2. kl:n DY:t. Lause. Yleisesti yhtälöllä ẍ = f(ẋ, x, t) on (sopivin oletuksin) aina olemassa 1-käs. ratkaisu. (ẋ dx/dt, ẍ d 2 x/dt 2.
2. kl:n DY:t Yleisesti yhtälöllä ẍ = f(ẋ, x, t) on (sopivin oletuksin) aina olemassa 1-käs. ratkaisu. (ẋ dx/dt, ẍ d 2 x/dt 2.) Lause Olkoon f(x 2, x 1, t) funktio, ja oletetaan, että f, f/ x 1 ja f/ x
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 3 Supremum ja infimum Tarkastellaan aluksi avointa väliä, ) = { : < < }. Tämä on joukko, johon kuuluvat kaikki reaaliluvut miinus yhdestä yhteen. Kuitenkaan päätepisteet
LisätiedotEsimerkki: Tarkastellaan korkeudella h ht () putoavaa kappaletta, jonka massa on m (ks. kuva).
6 DIFFERENTIAALIYHTÄLÖISTÄ Esimerkki: Tarkastellaan korkeudella h ht () putoavaa kappaletta, jonka massa on m (ks. kuva). Newtonin II:n lain (ma missä Yhtälö dh dt m dh dt F) mukaan mg, on kiihtyvyys ja
LisätiedotLuku 4. Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia.
1 MAT-1343 Laaja matematiikka 3 TTY 1 Risto Silvennoinen Luku 4 Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia Derivaatan olemassaolosta seuraa funktioille eräitä säännöllisyyksiä Näistä on jo edellisessä luvussa
Lisätiedoty + 4y = 0 (1) λ = 0
Matematiikan ja tilastotieteen osasto/hy Differentiaaliyhtälöt I Laskuharjoitus 6 mallit Kevät 2019 Tehtävä 1. Ratkaise yhtälöt a) y + 4y = x 2, b) y + 4y = 3e x. Ratkaisu: a) Differentiaaliyhtälön yleinen
LisätiedotKolmannen ja neljännen asteen yhtälöistä
Solmu /019 7 Kolmannen neljännen asteen yhtälöistä Esa V. Vesalainen Matematik och statistik, Åbo Akademi Tämän pienen artikkelin tarkoituksena on satuilla hieman algebrallisista yhtälöistä. Erityisesti
LisätiedotMitään muita operaatioita symbolille ei ole määritelty! < a kaikilla kokonaisluvuilla a, + a = kaikilla kokonaisluvuilla a.
Polynomit Tarkastelemme polynomirenkaiden teoriaa ja polynomiyhtälöiden ratkaisemista. Algebrassa on tapana pitää erillään polynomin ja polynomifunktion käsitteet. Polynomit Tarkastelemme polynomirenkaiden
Lisätiedot(iv) Ratkaisu 1. Sovelletaan Eukleideen algoritmia osoittajaan ja nimittäjään. (i) 7 = , 7 6 = = =
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 07) HARJOITUS 7, MALLIRATKAISUT Tehtävä Etsi seuraavien rationaalilukujen ketjumurtokehitelmät: (i) 7 6 (ii) 4 7 (iii) 65 74 (iv) 63 74 Ratkaisu Sovelletaan Eukleideen algoritmia
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 Väliarvolause Oletetaan, että funktio f on jatkuva jollain reaalilukuvälillä [a, b] ja derivoituva avoimella välillä (a, b). Funktion muutos tällä välillä on luonnollisesti
LisätiedotPositiivitermisten sarjojen suppeneminen
Positiivitermisten sarjojen suppeneminen Jono (b n ) n= on kasvava, jos b n+ b n kaikilla n =, 2,... Lemma Jokainen ylhäältä rajoitettu kasvava jono (b n ) n= raja-arvo on lim n b n = sup n Z+ b n. suppenee
Lisätiedot