Kompleksitermiset jonot ja sarjat
|
|
- Sari Saarinen
- 6 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Kompleksitermiset jonot ja sarjat Aalto MS-C300, 205, v., Kari Eloranta Tutkitaan kompleksitermisten jonojen ja sarjojen ominaisuuksia. Päätavoite on kompleksifunktioiden sarjakehitelmien ymmärrys. Määritelmä Kompleksilukujono {z k } k=0 suppenee (konvergoi) kohti rajaa z jos jokaiselle ǫ > 0 on olemassa k 0 siten, että kaikille k k 0 pätee z k z < ǫ. Jono, joka ei suppene, hajaantuu (divergoi). Sarja k=0 z k suppenee/hajaantuu, jos osasummien S n = n k=0 z k jono suppenee/hajaantuu ylläolevassa mielessä. Jos sarja k=0 z k suppenee, sanotaan, että alkuperäinen sarja suppenee itseisesti (absoluuttisesti). Lause Jono suppenee joss sen reaali- ja imaginaariosat suppenevat. Määritelmä Piste z on jonon kasaantumispiste, jos jokaiselle ǫ > 0 pätee z k z < ǫ äärettömän monelle indeksin k arvolle.
2 Jonot ja sarjat 2 Lause (Bolzano-Weierstrass) Rajoitetulla äärettömällä jonolla on ainakin yksi kasaantumispiste. Lause (Cauchyn suppenemiskriteeri) Jono {z k } suppenee joss jokaiselle ǫ > 0 on olemassa N(ǫ) siten, että z n z m < ǫ kun min{n,m} > N. Lause Jos sarja 0 z k suppenee, niin välttämättä z k 0. Siten jos jono {z k } ei suppene nollaan, sarja väistamättä hajaantuu. Jos z k 0 niin siitä ei välttämättä seuraa sarjan 0 z k suppeneminen. Todistukset esim. Kreyszigissa.
3 Konvergenssikriteereja 3 Lause (Vertailutesti) Jos kompleksitermiselle sarjalle 0 z k löytyy reaaliterminen suppeneva sarja 0 r k ja pätee z k r k, k suppenee kompleksiterminen sarja absoluuttisesti. Esimerkki: Tarkastellaan kompleksista geometrista sarjaa k=0 zk. Jos q = z, eivät termit lähesty nollaa, joten sarja hajaantuu. Jos q <, niin kompleksisen sarjan suppenevuus palautuu reaalisen sarjan k=0 qk suppenevuuteen, joka on tunnettu. Jos määritellään S n = n k=0 zk, pätee S n+ = +zs n, joten summan raja-arvon S on toteutettava yhtälö S = +zs, josta edelleen S =. Siten ainakin avoimessa yksikköympyrässä pätee z sarjakehitelmä z = z k. k=0 Mieti, mitä summalle tapahtuu yksikköympyrällä, kun z on riittävän yksinkertainen, esimerkiksi yksikköjuuri.
4 Konvergenssikriteerejä 4 Lause (Suhdetesti) Jos jonon {z k } termit ovat nollasta eroavia ja pätee z k+ L, z k niin sarja 0 z k suppenee itseisesti, jos L < ja hajaantuu, jos L >. Jos L =, ei testi anna tulosta. Hieman yleisemmin, jos on olemassa q <, k 0 ja jokaiselle k k 0 pätee z k+ z k q, niin sarja suppenee itseisesti. Samoin jos asymptoottisesti pätee z k+ z k, niin sarja hajaantuu. Esimerkkejä:. Sarja (+i) k k=0 suppenee, sillä k! z k+ 2 z = k k + 0 eli L = 0 toimii suhdetestissa (tai mielivaltainen 0 < q < ).
5 Konvergenssikriteerejä 5 Jos yllä olevassa testissä L =, voi sarja olla joko suppeneva tai hajaantuva - asia on tutkittava muilla keinoin. Esimerkiksi harmoniselle sarjalle pätee S n ln(n +) eli sarja hajaantuu (reaalisella) integraalitestillä. k= 2. Samalla testilla muutkin reaaliset p-sarjat k p, p > (joille kaikille L = ) voidaan osoittaa suppeneviksi. Tästä seuraa välittömästi se hyödyllinen toisiasia, että sarja z k k p k= k, on suppeneva yksikköympyrässä (edellinen testi).
6 Konvergenssikriteerejä 5 Jos yllä olevassa testissä L =, voi sarja olla joko suppeneva tai hajaantuva - asia on tutkittava muilla keinoin. Esimerkiksi harmoniselle sarjalle pätee S n ln(n +) eli sarja hajaantuu (reaalisella) integraalitestillä. k= 2. Samalla testilla muutkin reaaliset p-sarjat k p, p > (joille kaikille L = ) voidaan osoittaa suppeneviksi. Tästä seuraa välittömästi se hyödyllinen toisiasia, että sarja z k k p k= k, on suppeneva yksikköympyrässä (edellinen testi). Lause (Juuritesti) Jos k z k L, niin sarja z k suppenee itseisesti, jos L < ja hajaantuu, jos L >.
7 Potenssisarjat 6 Lause (Abel) Jos potenssisarja k=0 c k(z a) k, z,a,c k C, k suppenee kun z = z 0, suppenee se itseisesti joukossa {z z a < z 0 a }. Jos sarja hajaantuu z 0 :ssa hajaantuu se kaikilla z a > z 0 a. Tod.: Koska sarja suppenee z 0 :ssä, pätee c k (z 0 a) k 0. Siten on olemassa M < siten että c k (z 0 a) k M, k. Niinpä ( ) c k (z a) k z a k = c k(z 0 a) k z 0 a M z a k z 0 a joten k=0 c k(z a) k M k=0 z a z 0 a k. Koska z a z 0 a <, suppenee sarja vertailutestin nojalla (geometriseen sarjaan). Jos sarja suppenisi jollain z siten, että z a > z 0 a, niin edellisen nojalla sarja suppenisi kaikilla z a < z a eli erityisesti z 0 :ssä, ristiriita. QED
8 Potenssisarjat 7 Määritelmä Jos potenssisarja 0 c k(z a) k suppenee, kun z a < R, mutta hajaantuu, kun z a > R, on R sarjan suppenevuussäde. Selvästi R 0. Jos R = 0, suppenee sarja vain pisteessä a, sarjan kehityskeskipisteessä. Lause (Cauchy-Hadamardin kaava) Jos { n c n } 0 suppenee rajaan L, pätee R = /L. Jos L =, suppenee sarja vain sarjan kehityskeskipisteessä. Tod., idea: Jos n c n L 0, pätee n cn (z a) n = z a n c n z a L. Siten juuritestin nojalla sarja suppenee kun z a L < ja hajaantuu kun z a L >, joista väite seuraa. (Kriteeria voidaan hieman terävöittää, katso esim. Kreyszig.)
9 Potenssisarjat 8 Toisaalta voidaan huomata, että Suhdetestissä z n+ z n = c n+ (z a) n+ c n (z a) n = c n+ c n z a L z a. Siten L (s) = L z a, josta voidaan päätellä toinen tapa laskea suppenemisympyrän säde: R = L = lim c n. n c n+ Summa summarum, potenssisarjalle n=0 c n(z a) n pätee: Jos 0 < R <, niin sarja suppenee itseisesti, kun z a < R ja hajaantuu, kun z a > R. Jos R =, niin sarja suppenee itseisesti koko C:ssä ja jos R = 0, niin sarja suppenee vain kehityskeskipisteessä a.
10 Potenssisarjat 9 Uusien potenssisarjojen muodostamiseksi jo tunnetuista, on hyödyllistä tietää, että konvergoivat potenssisarjat voidaan summata termeittäin yhteen (helppo todistus osasummia tarkastelemalla). Jos määritellään sarjojen k=0 a kz k ja m=0 b mz m Cauchy-tulo ( n ) a k b n k z n voidaan todistaa n=0 k=0 Lause Kahden potenssisarjan Cauchy-tulo suppenee itseisesti molempien sarjojen suppenevuusympyröiden leikkauksessa. Jos sarjojen summia merkitään g(z) ja h(z), on Cauchy-tulo funktio g(z)h(z).
11 Potenssisarjat 0 Esimerkki: Tiedetään, että yksikköympyrässä pätee z = k=0 zk. Jos sarja kerrotaan itsellään, on Cauchy-tulon konvoluutiokertoimet helppo laskea: n k=0 = n +, joten ( ) 2 = z (n +)z n = +2z +3z 2 +4z 3 + n=0 joka siis suppenee niinikään yksikköympyrässä. ( ) Huomaa, että yllä vasen puoli on d ja toisaalta oikea puoli on alkuperäinen dz z sarja termeittäin derivoituna. Yleisemmin, jos tarkastellaan sarjoja n=0 cnzn ja n=0 (n +)cnzn, Juuritesti sovellettuna jälkimmäiseen antaa n (n +)cn = n n + n c n. Koska n (n +), nähdään, että molemmille sarjoille kriteeri antaa saman rajan L, ergo saman suppenemissäteen R = L. Integroidun sarjan kertoimet ovat muotoa cn ja sama argumentti toimii. Siten on n osoitettu ensimmäinen puolisko seuraavasta Lause Termeittäin derivoidun tai integroidun sarjan suppenemissäde on sama kuin alkuperäisen. Potenssisarja, jolla on positiivinen suppenemissäde, on analyyttinen funktio suppenemisympyrässä.
12 Taylorin ja Maclaurinin sarjat Edellisen lauseen todistus ei ole kovinkaan vaikea (esim. Kr.). Kiinnostavampaa on se, että se itse asiassa täydentyy: jokaisella analyyttisella funktiolla on suppeneva potenssisarja. Osoittautuu, että reaalinen teoria yleistyy ja saadaan Lause (Taylorin lause) Olkoon f analyyttinen alueessa D. Jos a D, on olemassa yksikäsitteinen potenssisarja kehityskeskuksena a: f(z) = n=0 b n (z a) n, jossa b n = f (n) (a), n = 0,,2,... n! Sarja suppenee D:n suurimmassa a-keskisessä ympyrässä. Edelleen pätee b n M r n, jossa M = max {z z a =r} f(z). Todistus edellyttää kompleksi-integrointia ja siihen palataan. Jos a = 0, on kyseessä f:n Maclaurinin sarja.
13 Potenssisarjat 2 Analyyttiselle funktiolle on siis aina olemassa suppeneva potenssisarja. Reaalifunktiolla, vaikka se olisi äärettömän monta kertaa derivoituva, ei välttämättä ole ole olemassa suppenevaa sarjakehitelmää. Piste, jossa analyyttinen funktio lakkaa olemasta analyyttinen on erikois- eli singulaaripiste. Yleinen periaate on, että suppenemisympyrä ulottuu kehityskeskipisteestä a lähimpään erikoispisteeseen s saakka. Kuitenkin jos kehityskeskipistettä muutetaan (kuvassa a b), voidaan funktion uusi kehitelmä usein saada suppenemaan alkuperäisen ympyrän ulkopuolella. Tätä menettelyä kutsutaan analyyttiseksi jatkamiseksi. s a b
14 Potenssisarjat 3 Esimerkkejä:. Geometrinen sarja n=0 zn, z < suppenee funktioon z, jonka Maclaurinin sarja se siis yksikäsitteisyyden nojalla on. Funktiolla on singulariteetti arvolla z =, joten suppenemisympyrän on rajoituttava siihen. ( 2. Eksponenttifunktio on itsensä derivaatta, joten d n dz n e )(0) z =, n = 0,,2,... ja koko kompleksitasossa suppeneneva Maclaurinin sarja saadaan helposti: e z = n=0 z n n!. Huomataan erityisesti, että puhtaasti imaginaariselle argumentille saadaan summan reaali- ja imaginaariosat erotellen ( ) e iy = ( ) k y2k (2k)! +i ( ) k y 2k+ (2k +)!. k=0 k=0 Toisaalta ( d 2k+ sinz dz2k+ ) (0) = ( ) k, ja ( d 2k ) cosz (0) = ( ) k,k = 0,,2,..., dz2k muuten evaluaatiot nollia, joten nähdään, että ( ) on Eulerin kaava: e iy = cosy +i siny.
15 Potenssisarjat 4 3. Koska d dz ln( z) = ja koska geometrinen sarja voidaan integroida, saadaan z ) ln( z) = (z + z2 2 + z , z <. Jos sijoitetaan z z, saadaan tästä zn n= ( )n, funktion ln(+z) n Maclaurinin sarja. Edelleen, sijoittamalla z + z päädytään esitykseen lnz = ( ) n (z )n n n=, joka on logaritmin Taylorin sarja kehityskeskipisteenä a = ja suppenemissäteenä. 4. Tunnettua sarjakehitelmää voidaan hyödyntää monin tavoin. Jos tiedetään, että d dz arctanz = +z 2 (funktion ja käänteisfunktion derivaattojen esitykset ovat d reaalitapauksesta tutussa suhteessa: dz (f )(z) = f (f ), saadaan sijoittamalla (z)) geometriseen sarjaan z z 2 ja integroimalla: arctanz = ( ) n z2n+, z <. 2n + n=0 Arctan on moniarvoinen funktio, tässä sen päähaaran esitys.
16 Potenssisarjat 5 /(-z 5 ) Arg(/(-z 5 )) z y x z y x ( ) z ja Arg 5 z 5 kiekossa z Yksinkertaiset navat viidensissä yksikköjuurissa.
17 Laurent-sarjat 6 Funktio voidaan kehittää sarjaksi useilla eri tavoin. Esimerkiksi z 3 = z 3 z = z (+ joka suppenee kun 3 z < eli z > 3. ) 3z 32 + z 2 + = z + 3 z z 3 +, Jotta voidaan käsitellä funktioita, joilla on erilaisia singulariteettejä kompleksitasossa, yleistetään sarjakehitelmät seuraavasti Määritelmä (Laurent-sarja) Jos funktiolle on olemassa jossain alueessa suppeneva sarja f(z) = n= c n (z a) n, c n C, sanotaan sen olevan f:n Laurent-sarja kehityskeskipisteenä a.
18 Laurent-sarjat 7 Sarjan suppenemiseen vaikuttaa kaksi tekijää: (i) ei-negatiivisten potenssien summautuminen jossain kiekossa z a < R 2 ja toisaalta (ii) z a :n potenssien muodostaman vasemman hännän suppeneminen, kun z a < R. Jos R < R 2, saadaan Laurent-sarjan suppenemisalueeksi rengas (annulus). R R2 Esimerkkejä:. Funktion f(z) = z 2 Laurent-kehitelmä origossa löytyy (z+) geometrisen sarjan avulla: f(z) = z 2 [ ( z)] = z 2 ( z +z 2 z 3 + ) = z 2 z + z +z2 joka suppenee punkteeratussa kiekossa {z 0 < z < }. Jos valitaan a =,
19 Laurent-sarjat 8 voidaan kehittää seuraavasti: f(z) = z + [ (z +)] 2 = ( +2(z +)+3(z +) 2 + ) z + = z (z +)+4(z +)2 + Tämä suppenee punkteeratussa kiekossa {z 0 < z + < }. 2. Tarkastellaan funktiota g(z) = e /z. Kaikkialla tasossa suppenevasta e z :n Maclaurinin kehitelmästä saadaan esitys g(z) = + z + 2!z 2 + 3!z 3 +, joka on siis g:n punkteeratussa tasossa {z z 0} suppeneva Laurent-sarja. 3. Jos on annettuna esimerkiksi h(z) = z 3 e /z, saattaa olla mielenkiintoa kehittää myös pisteen z = suhteen. Asetetaan w = z, silloin kehityskeskuksena w 0 = 0: h(z) = h( ( ) )(+w w ) = w 3 + w2 2! + w3 3! + = w 3+ w 2+ 2!w + 3! +w 4! +, joka suppenee punkteeratussa tasossa {w w 0}.
20 Erikoispisteet 9 Määritelmä Olkoon funktiolle f:lla suppeneva Laurent-kehitelmä f(z) = c n (z a) n + + c z a + c k (z a) k, c n 0. k=0 Jos n = 0, on f analyyttinen suppenemisalueessa. Jos n > 0, on sillä n:nen asteen napa a:ssa. Jos n =, on kyseessä yksinkertainen napa. Jos n = on kyseessä oleellinen singulariteetti. Esimerkkeja:. Polynomeilla, kuten ei millään muullakaan kokonaisella funktiolla ole erikoispisteitä. Polynomien osamäärät eli rationaalifunktiot, ovat analyyttisia muualla, paitsi nimittäjän nollakohdissa. Jos R(z) = P(z) Q(z) = d (z z 0)(z z ) (z z k ) (z z )(z z 2 ) (z z m), on funktiolla navat pisteissä { z i } m ja näiden kertaluvut määräävät navan asteen.
21 Erikoispisteet 20 Rationaalifunktiot ovat esimerkkeja meromorfisista funktioista. Muita sellaisia ovat esimerkiksi ei-kokonaiset trigonometriset funktiot kuten tan z, joilla on yksinkertainen napa jokaisessa pisteessä π +ikπ eli cosz nollakohdissa Edellä olevan Esimerkin 2. jatkoa... funktion g(z) = e /z Laurent-sarjaesityksen perusteella funktiolla z k e /z on origossa napa jokaisella k =,2,3... Siten g:lla on äärettömän kertaluvun napa origossa eli oleellinen singulariteetti. Funktio e /z käyttäytyy origon läheisyydessa hyvin villisti. Yhtälön e /z = a 0 ratkaisujoukko on { } z k = Ln(a)+i2kπ, k Z z k Siten kun k nähdään, että z k 0 eli origon jokaisessa ympäristössä on ääretön määrä yhtälön ratkaisuja. Tämä on itse asiassa tyypillinen tilanne: Lause (Picard) Oleellisen singulariteetin ympäristössä funktio saa kaikki kompleksilukuarvot mahdollisesti yhtä lukuunottamatta äärettömän monta kertaa. Huomaa, että Esimerkin 2 kohdalla tiedämme myös poikkeusarvon: 0.
22 Erikoispisteet ja residyt 2 Jatkossa erityisen oleelliseksi osoittautuu Laurent-kehitelmän kerroin c. Sitä kutsutaan kehitelmän residyksi pisteessä a. Jos funktiolla f on vain ensimmäisen kertaluvun (yksinkertainen) napa, pätee f(z) = c z a +c 0 +c (z a)+c 2 (z a) , joten residy voidaan laskea kaavalla Res z=a f(z) = c = lim z a (z a)f(z). Huomataan myös, että jos tunnetaan esitys f(z) = g(z) h(z), g ja h analyyttisia a:n ympäristössä, g(a) 0, pätee Taylor-kehittämällä h(z) = h (a)(z a)+ h (a) 2 (z a)2 +...
23 Erikoispisteet ja residyt 22 Siten residylle yksinkertaisessa navassa pätee myös usein käyttökelpoinen esitys: Res z=a f(z) = lim z a g(z) h (z), Yleinen laskukaava residylle korkeampiasteisessa navassa: Lause Jos funktiolla f on m:nnen asteen napa pisteessä a, ratkaistaan residy eli kerroin c kaavasta { } d m Res z=a f(z) = (m )! lim z a dz m [(z a)m f(z)].
24 Erikoispisteet ja residyt 23 Esimerkkejä:. Funktio sinz on origossa määrittelemätön 0, mutta koska z 0 sinz z = z ) (z z3 3! + z5 5! = = z2 3! + z4 5! +, voidaan erikoispisteessä z = 0 määritellä funktion arvoksi ja siitä tulee silloin analyyttinen myös origossa. Tällöin sanotaan, että origo on poistuva erikoispiste. z 2. Rationaalifunktiolla 2 2z (z+) 2 (z 2 on yksinkertaiset navat pisteissä ±2i ja +4) kaksinkertainen napa pisteessä. Edellisissä residyt ovat z 2 2z lim (z (±2i)) z ±2i (z +) 2 (z 2 +4) = 4 (±4i) (±2i +) 2 (±4i) = 25 (7+(±i)) ja kolmannessa { d lim (z +) 2 z 2 } 2z (z 2 +4)(2z 2) (z 2 2z)(2z)! z dz (z +) 2 (z 2 = lim +4) z (z 2 +4) = 4 25.
25 Nollakohdat 24 Koska usein on annetun funktion erikoispisteiden ymmärtämisen kannalta oleellista ymmärtää jonkun muun funktion nollakohdat, esitetään lopuksi eräänlainen summaus aiheesta. Olkoon Z(f) = {a C a D,f(a) = 0} alueessa D määritellyn kompleksifunktion f nollakohtien joukko. Lause Jos f on analyyttinen alueessa D, niin pätee sille täsmalleen yksi seuraavista: Z(f) = 2 Z(f) = D 3 Z(f) = {a,a 2,...,a n } 4 Z(f) = {a j } j= a j D. ( D siis tarkoittaa joukon D reunaa)
Kompleksianalyysi, viikko 5
Kompleksianalyysi, viikko 5 Jukka Kemppainen Mathematics Division Kompleksiset jonot Aloitetaan jonon suppenemisesta. Määr. 1 Kompleksiluvuista z 1,z 2,...,z n,... koostuva jono suppenee kohti raja-arvoa
LisätiedotPotenssisarja, suppenemissäde. Potenssisarja ja derivointi. Potenssisarja ja analyyttiset funktiot. Potenssisarja ja integrointi.
Matematiikan peruskurssi KP3 I OSA 4: Taylorin sarja, residymenetelmä A.Rasila J.v.Pfaler 26. syyskuuta 2007 Kompleksista sarjoista Jono, suppeneminen, summasarja Potenssisarja, suppenemissäde ja analyyttiset
Lisätiedot1. Viikko. K. Tuominen MApu II 1/17 17
1. Viikko Keskeiset asiat ja tavoitteet: 1. Kompleksiluvut, kompleksitaso, polaariesitys, 2. Kompleksilukujen peruslaskutoimitukset, 3. Eulerin ja De Moivren kaavat, 4. Potenssi ja juuret, kompleksinen
LisätiedotKompleksianalyysi, viikko 6
Kompleksianalyysi, viikko 6 Jukka Kemppainen Mathematics Division Funktion erikoispisteet Määr. 1 Jos f on analyyttinen pisteen z 0 aidossa ympäristössä 0 < z z 0 < r jollakin r > 0, niin sanotaan, että
LisätiedotKompleksiset sarjat ja potenssisarjat
MS-C1300 Kompleksianalyysi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto K Kytölä & A Gutiérrez Syksy 2018 Ratkaisut 3A 3A Kompleksiset sarjat ja potenssisarjat 3A1 Laske seuraavien sarjojen
LisätiedotKOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012
KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 2. Kompleksitason topologiaa Kompleksianalyysi on kompleksiarvoisten kompleksimuuttujien funktioiden teoriaa. Tällä kurssilla käsittelemme vain
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 5: Taylor-polynomi ja sarja
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 5: Taylor-polynomi ja sarja Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 26.9.2016 Pekka Alestalo,
Lisätiedot8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa
8 Potenssisarjoista 8. Määritelmä Olkoot a 0, a, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.. Muotoa a 0 + a (x c) + a 2 (x c) 2 + olevaa sarjaa sanotaan c-keskiseksi potenssisarjaksi. Selvästi jokainen
LisätiedotMatemaattinen Analyysi
Vaasan yliopisto, 009-010 / ORMS1010 Matemaattinen Analyysi 7 harjoitus 1 Määritä seuraavien potenssisarjojen suppenemissäteet a) k k x 5)k b) k=1 k x 5)k = k k 1) k ) 1) Suppenemissäteen R käänteisarvo
LisätiedotKOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY exp z., k = 1, 2,... Eksponenttifunktion z exp(z) Laurent-sarjan avulla
KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 11. Integrointi erillisen erikoispisteen ympäri Olkoot f analyyttinen punkteeratussa kiekossa D(z 0.r\{z 0 }. Funktiolla f on erikoispiste z 0.
LisätiedotV. POTENSSISARJAT. V.1. Abelin lause ja potenssisarjan suppenemisväli. a k (x x 0 ) k M
V. POTENSSISARJAT Funtioterminen sarja V.. Abelin lause ja potenssisarjan suppenemisväli P a x x, missä a, a, a 2,... R ja x R ovat vaioita, on potenssisarja, jona ertoimet ovat luvut a, a,... ja ehitysesus
LisätiedotDiskreetin LTI-systeemin stabiilisuus
Diskreetin LTI-systeemin stabiilisuus LuK-tutkielma Johannes Ylitalo 2372956 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Kevät 2016 Sisältö Johdanto 2 Merkintöjä 2 1 Kompleksifunktiot 3 2 Signaalianalyysi
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 2: Sarjat
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 2: Sarjat Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 14.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo Malinen
Lisätiedot2. Funktiot. Keijo Ruotsalainen. Mathematics Division
2. Funktiot Keijo Ruotsalainen Mathematics Division Kompleksimuuttujan funktio Kompleksimuuttujan z kompleksiarvoinen funktio f(z) voi olla yksiarvoinen tai moniarvoinen, esimerkiksi f(z) = e z f(z) =
LisätiedotMS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 2: Sarjat
MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 2: Sarjat Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos September 13, 2017 Pekka Alestalo,
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 6 Sarjojen suppeneminen Kiinnostuksen kohteena on edelleen sarja a k = a + a 2 + a 3 + a 4 +... k= Tämä summa on mahdollisesti äärellisenä olemassa, jolloin sanotaan
LisätiedotSarja. Lukujonosta (a k ) k N voi muodostaa sen osasummien jonon (s n ): s 1 = a 1, s 2 = a 1 + a 2, s 3 = a 1 + a 2 + a 3,...,
Sarja Lukujonosta (a k ) k N voi muodostaa sen osasummien jonon (s n ): Määritelmä 1 s 1 = a 1, s 2 = a 1 + a 2, s 3 = a 1 + a 2 + a 3,..., n s n = a k. Jos osasummien jonolla (s n ) on raja-arvo s R,
LisätiedotReaalisten funktioiden integrointia kompleksianalyysin keinoin
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Mervi Paavola Reaalisten funktioiden integrointia kompleksianalyysin keinoin Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden
LisätiedotKompleksianalyysi viikko 3
Kompleksianalyysi viikko 3 Jukka Kemppainen Mathematics Division Derivaatta Oletetaan seuraavassa, että joukko A C on avoin, eli jokaista z 0 A kohti on olemassa sellainen ǫ > 0, että z z 0 < ǫ z A. f
LisätiedotKOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012
KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 8. Integraalilauseiden sovelluksia 1. Analyyttisen funktion sarjaesitys. (eli jokainen analyyttinen funktio on lokaalisti suppenevan potenssisarjan
LisätiedotVastausehdotukset analyysin sivuainekurssin syksyn välikokeeseen
Vastausehdotukset analyysin sivuainekurssin syksyn 015 1. välikokeeseen Heikki Korpela November 1, 015 1. Tehtävä: funktio f : R R toteuttaa ehdot ax, kun x 1 f(x) x + 1, kun x < 1 Tutki, millä vakion
Lisätiedotnyky-ymmärryksemme mukaan hajaantuvaan sarjaan luvun 1 2 kun n > N Huom! Määritelmä on aivan sama C:ssä ja R:ssä. (Kuva vain on erilainen.
Sarjaoppia Käsitellään kompleksi- ja reaalisarjat yhdessä. Reaalilukujen ominaisuuksista (kuten järjestys) riippuvat asiat tulevat lisämausteena mukaan. Kirjallisuutta: 1. [KRE] Kreyszig: Advanced Engineering
LisätiedotKompleksianalyysi Funktiot
Kompleksianalyysi Funktiot Jukka Kemppainen Mathematics Division Kompleksimuuttujan funktio Aloitetaan funktion määritelmällä. Määr. 1 Kompleksimuuttujan funktio f : C C on sääntö, joka liittää joukkoon
LisätiedotFunktiojonot ja funktiotermiset sarjat Funktiojono ja funktioterminen sarja Pisteittäinen ja tasainen suppeneminen
4. Funktiojonot ja funktiotermiset sarjat 4.1. Funktiojono ja funktioterminen sarja 60. Tutki, millä muuttujan R arvoilla funktiojono f k suppenee, kun Mikä on rajafunktio? a) f k () = 2k 2k + 1, b) f
LisätiedotIV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n
IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee
LisätiedotMS-A010{2,3,4,5} (SCI, ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 2: Sarjat
M-A010{2,3,4,5} (CI, ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 2: arjat Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos eptember 12, 2018 Pekka
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kertausluento 2. välikokeeseen Toisessa välikokeessa on syytä osata ainakin seuraavat asiat:. Potenssisarjojen suppenemissäde, suppenemisväli ja suppenemisjoukko. 2. Derivaatan
Lisätiedot3.3 Funktion raja-arvo
3.3 Funktion raja-arvo Olkoot A ja B kompleksitason joukkoja ja f : A B kuvaus. Kuvauksella f on pisteessä z 0 A raja-arvo c, jos jokaista ε > 0 vastaa δ > 0 siten, että 0 < z z 0 < δ ja z A f(z) c < ε.
LisätiedotSarjoja ja analyyttisiä funktioita
3B Sarjoja ja analyyttisiä funktioita 3B a Etsi funktiolle z z 5 potenssisarjaesitys kiekossa B0, 5. b Etsi funktiolle z z potenssisarjaesitys kiekossa, jonka keskipiste on z 0 4. Mikä on tämän potenssisarjan
LisätiedotKOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012
KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 01 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 5. Eksponenttifunktio ja sini- ja kosinifunktiot Kertausta. (1 Reaaliselle eksponenttifunktiolle e x : R R + pätee e x x k = kaikilla x R. k! (
LisätiedotResidylaskenta ja sen sovelluksena äärettömien sarjojen summien laskeminen ja Mittag-Leerin laajennuslause
Residylaskenta ja sen sovelluksena äärettömien sarjojen summien laskeminen ja Mittag-Leerin laajennuslause Pro Gradu-tutkielma Urho Erkkilä Matemaattisten tieteiden laitos Oulun Yliopisto Kevät 03 Sisältö
Lisätiedot2.2.1 Ratkaiseminen arvausta sovittamalla
2.2.1 Ratkaiseminen arvausta sovittamalla Esimerkki: lomitusjärjestäminen (edellä) Yleistys: Ratkaistava T (1) c T (n) g(t (1),..., T (n 1), n) missä g on n ensimmäisen parametrin suhteen kasvava. (Ratkaisu
LisätiedotMS-A0104 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ELEC2) MS-A0106 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ENG2)
MS-A4 Differentiaali- ja integraalilaskenta (ELEC2) MS-A6 Differentiaali- ja integraalilaskenta (ENG2) Harjoitukset 3L, syksy 27 Tehtävä. a) Määritä luvun π likiarvo käyttämällä Newtonin menetelmää yhtälölle
Lisätiedotfunktiojono. Funktiosarja f k a k (x x 0 ) k
SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 3 4. Funtiosarjat Tässä luvussa esitettävissä funtiosarjojen tulosissa yhdistämme luujen 3 teoriaa. Esimeri 4.. Geometrinen sarja x suppenee aiilla x ], [ ja hajaantuu
LisätiedotAnalyysi III. Jari Taskinen. 28. syyskuuta Luku 1
Analyysi III Jari Taskinen 28. syyskuuta 2002 Luku Sisältö Sarjat 2. Lukujonoista........................... 2.2 Rekursiivisesti määritellyt lukujonot.............. 8.3 Sarja ja sen suppenminen....................
LisätiedotSisältö. Sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 17
Sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 17 Sisältö 1 Peruskäsitteistöä 2 1.1 Määritelmiä 2 1.2 Perustuloksia 4 2 Suppenemistestejä positiivitermisille sarjoille 5 3 Itseinen ja ehdollinen suppeneminen 8 4 Alternoivat
LisätiedotMatematiikan tukikurssi, kurssikerta 5
Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 5 1 Jonoista Matematiikassa jono (x n ) on yksinkertaisesti järjestetty, päättymätön sarja numeroita Esimerkiksi (1,, 3, 4, 5 ) on jono Jonon i:ttä jäsentä merkitään
Lisätiedot1 Määritelmä ja perusominaisuuksia. 2 Laskutoimitukset kompleksiluvuilla. 3 Reaaliluvut ja kompleksiluvut. 4 Kompleksilukujen algebraa
1 ja perusominaisuuksia 2 Laskutoimitukset kompleksiluvuilla 3 Reaaliluvut ja kompleksiluvut Matematiikan peruskurssi KP3 I OSA 1: Johdatus kompleksilukuihin 4 Kompleksilukujen algebraa 5 Kompleksitaso
Lisätiedot1 Kompleksitason geometriaa ja topologiaa
1 Kompleksitason geometriaa ja topologiaa Tavallisessa analyyttisessä geometriassa käyrien yhtälöt esitetään x-koordinaattien ja y-koordinaattien avulla, esimerkiksi y = 1 x esittää tasasivuista hyperbeliä,
Lisätiedot5. Z-muunnos ja lineaariset diskreetit systeemit. z n = z
5. Z-muunnos ja lineaariset diskreetit systeemit Jono: (x(n)) n=0 = (x(0), x(1), x(2),..., x(n),...) Z-muunnos: X(z) = n=0 x(n)z n, jos sarja suppenee jossain kompleksitason osassa. Esim. 4. Ykkösjonon
LisätiedotMATEMATIIKAN PERUSKURSSI II kevät 2018 Ratkaisut 1. välikokeen preppaustehtäviin. 1. a) Muodostetaan osasummien jono. S n =
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI II kevät 208 Ratkaisut. välikokeen preppaustehtäviin. a) Muodostetaan osasummien jono S n = n ( k k) k= josta saadaan = ( 0 ) + ( 2) + ( 2 3) + ( n 2 n ) + ( n n) = n, n =, 2,...,
Lisätiedotinfoa Viikon aiheet Potenssisarja a n = c n (x x 0 ) n < 1
infoa Viikon aiheet Tentti ensi viikolla ma 23.0. klo 9.00-3.00 Huomaa, alkaa tasalta! D0 (Sukunimet A-) E204 (Sukunimet S-Ö) Mukaan kynä ja kumi. Ei muuta materiaalia. Tentissä kaavakokoelma valmiina.
Lisätiedotz-muunnos ja differenssiyhtälöt
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Martti Helenius z-muunnos ja differenssiyhtälöt Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Joulukuu 204 Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden yksikkö HELENIUS,
LisätiedotResidylause ja sen sovelluksia
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Henry Joutsijoki Residylause ja sen sovelluksia Matematiikan, tilastotieteen ja filosofian laitos Matematiikka Marraskuu 7 Tampereen yliopisto Matematiikan, tilastotieteen
LisätiedotSarjojen suppenemisesta
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Terhi Mattila Sarjojen suppenemisesta Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Huhtikuu 008 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos
LisätiedotRIEMANNIN KUVAUSLAUSE. Sirpa Patteri
RIEMANNIN KUVAUSLAUSE Sirpa Patteri 2 RIEMANNIN KUVAUSLAUSE Johdanto Georg Bernhard Riemann (826-866) esitti kuvauslauseen väitöskirjassaan vuonna 85. Hän käytti todistuksessaan Dirichlet n periaatetta,
LisätiedotTenttiin valmentavia harjoituksia
Tenttiin valmentavia harjoituksia Alla olevissa harjoituksissa suluissa oleva sivunumero viittaa Juha Partasen kurssimonisteen siihen sivuun, jolta löytyy apua tehtävän ratkaisuun. Funktiot Harjoitus.
Lisätiedotz muunnos ja sen soveltaminen LTI järjestelmien analysointiin
z muunnos ja sen soveltaminen LTI järjestelmien analysointiin muunnoksella (eng. transform) on vastaava asema diskreettiaikaisten signaalien ja LTI järjestelmien analyysissä kuin Laplace muunnoksella jatkuvaaikaisten
Lisätiedot(a) avoin, yhtenäinen, rajoitettu, alue.
1. Hahmottele seuraavat tasojoukot. Mitkä niistä ovat avoimia, suljettuja, kompakteja, rajoitettuja, yhtenäisiä, alueita? (a) {z C 1 < 2z + 1 < 2} (b) {z C z i + z + i = 4} (c) {z C z + Im z < 1} (d) {z
LisätiedotMat-1.1331 Matematiikan pk KP3-i - kertaus
Mat-.33 Matematiikan pk KP3-i - kertaus J.v.Pfaler TKK 24. lokakuuta 2007 Kurssin ensimmäisen puoliskon selkäranka on Kompleksitason funktioiden teoria, sisältäen analyyttiset funktiot, auchy integraali
LisätiedotPositiivitermisten sarjojen suppeneminen
Positiivitermisten sarjojen suppeneminen Jono (b n ) n= on kasvava, jos b n+ b n kaikilla n =, 2,... Lemma Jokainen ylhäältä rajoitettu kasvava jono (b n ) n= raja-arvo on lim n b n = sup n Z+ b n. suppenee
Lisätiedot1 Reaaliset lukujonot
Jonot 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 5 1 Reaaliset lukujonot Reaaliset lukujonot ovat funktioita f : Z + R. Lukujonosta käytetään merkintää (a k ) k=1 tai lyhyemmin vain (a k). missä a k = f(k). Täten lukujonot
Lisätiedot1 Kompleksiluvut 1. y z = (x, y) Kuva 1: Euklidinen taso R 2
Sisältö 1 Kompleksiluvut 1 1.1 Määritelmä............................ 1 1. Kertolasku suorakulmaisissa koordinaateissa.......... 4 1.3 Käänteisluku ja jakolasku..................... 9 1.4 Esimerkkejä.............................
LisätiedotLukujonot Z-muunnos Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt. Z-muunnos. 5. joulukuuta Z-muunnos
Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt 5. joulukuuta 2016 Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt Lukujonot Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia
Lisätiedot13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista. Muodosta viidennen asteen Taylorin polynomi kehityskeskuksena origo funktiolle
13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista 13.1. Taylorin polynomi 552. Muodosta funktion f (x) = x 4 + 3x 3 + x 2 + 2x + 8 kaikki Taylorin polynomit T k (x, 2), k = 0,1,2,... (jolloin siis potenssien
LisätiedotMatemaattisen analyysin tukikurssi
Matemaattisen analyysin tukikurssi 5. Kurssikerta Petrus Mikkola 10.10.2016 Tämän kerran asiat Raja-arvo ja toispuolinen raja-arvo Funktion suurin ja pienin arvo Lukujono Lukujonon suppeneminen Kasvava
LisätiedotReaalimuuttujan kompleksiarvoisen funktion integraali
Reaalimuuttujan kompleksiarvoisen funktion integraali Määritelmä 1 Olkoon f(t) = u(t) + jv(t) jatkuva funktio välillä [a, b]. Tällöin (1) b b b f(t)dt = u(t)dt + j v(t)dt. a a a Jatkossa oletetaan, että
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiian tuiurssi Kurssierta 5 Sarjojen suppeneminen Kiinnostusen ohteena on edelleen sarja a n = a + a 2 + a 3 + a 4 + n= Tämä summa on mahdollisesti äärellisenä olemassa, jolloin sanotaan että sarja
LisätiedotKompleksiluvut Kompleksitaso Kompleksifunktiot ja kuvaukset Funktioiden raja-arvo, jatkuvuus ja derivaatta Eräitä kompleksifun.
17. lokakuuta 2016 Kompleksiluvut Kompleksiluku Kompleksiluku z on järjestetty reaalilukupari missä x ja y ovat reaalilukuja. z = (x, y), Lukuparin reaaliosa on x ja imaginaariosa on y. Lukuparin reaaliosa
LisätiedotVI. TAYLORIN KAAVA JA SARJAT. VI.1. Taylorin polynomi ja Taylorin kaava
VI. TAYLORIN KAAVA JA SARJAT VI.. Taylorin polynomi ja Taylorin kaava Olkoon n N ja x, c, c, c 2,..., c n R. Tehtävä: Etsittävä sellainen R-kertoiminen polynomi P, että sen aste deg P n ja P (x ) = c,
LisätiedotVII. KOMPLEKSILUVUT. VII.1. Laskutoimitukset
VII. KOMPLEKSILUVUT Kompleksilukujen joukko on VII.1. Laskutoimitukset C = {(x, y x R ja y R} ; siis joukkona C = taso R 2. Kun z = (x, y C, niin x R on z:n reaaliosa ja y R imaginaariosa, merkitään x
Lisätiedot1 Analyyttiset funktiot
Analyyttiset funktiot. Kompleksimuuttujan kompleksiarvoinen funktio Olkoot A ja B kompleksitason C osajoukkoja. Kuvausta f : A B sanotaan kompleksimuuttujan kompleksiarvoiseksi funktioksi. Usein on B C..Vakiokuvaus.
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kertausta 2. välikokeeseen Toisessa välikokeessa on syytä osata ainakin seuraavat asiat: 1. Potenssisarjojen suppenemissäe, suppenemisväli ja suppenemisjoukko. 2. Derivaatan laskeminen
LisätiedotH7 Malliratkaisut - Tehtävä 1
H7 Malliratkaisut - Tehtävä Eelis Mielonen 7. lokakuuta 07 a) Palautellaan muistiin Maclaurin sarjan määritelmä (Taylorin sarja origon ympäristössä): f n (0) f(x) = (x) n Nyt jos f(x) = ln( + x) saadaan
LisätiedotSarjat ja differentiaaliyhtälöt, harjoitustehtäviä
Sarjat ja differentiaaliyhtälöt, harjoitustehtäviä. L Hospitalin sääntö on tuttu Analyysi :n kurssilta. Se on näppärä keino laskea tiettyjä raja-arvoja, mutta sen käytössä on oltava kuitenkin varovainen.
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 1. viikolle /
MS-A8 Differentiaali- ja integraalilasenta, V/27 Differentiaali- ja integraalilasenta Rataisut. viiolle /. 3.4. Luujonot Tehtävä : Mitä ovat luujonon viisi ensimmäistä termiä, un luujono on a) (a n ) n=,
LisätiedotLukujonot Z-muunnos Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt. Z-muunnos. 1. joulukuuta Z-muunnos
Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt 1. joulukuuta 2015 Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt Lukujono Lukujono on diskreetti funktio
LisätiedotKOMPLEKSILUVUT C. Rationaaliluvut Q. Irrationaaliluvut
KOMPLEKSILUVUT C Luonnolliset luvut N Kokonaisluvut Z Rationaaliluvut Q Reaaliluvut R Kompleksi luvut C Negat kokonaisluvut Murtoluvut Irrationaaliluvut Imaginaariluvut Erilaisten yhtälöiden ratkaiseminen
LisätiedotRiemannin sarjateoreema
Riemannin sarjateoreema LuK-tutielma Sami Määttä 2368326 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Sysy 206 Sisältö Johdanto 2 Luujonot 3 2 Sarjat 4 2. Vuorottelevat sarjat........................
LisätiedotA = (a 2x) 2. f (x) = 12x 2 8ax + a 2 = 0 x = 8a ± 64a 2 48a x = a 6 tai x = a 2.
MATP53 Approbatur B Harjoitus 7 Maanantai..5. (Teht. s. 9.) Neliön muotoisesta pahviarkista, jonka sivun pituus on a, taitellaan kanneton laatikko niin, että pahviarkin nurkista leikataan neliön muotoiset
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 4 Jatkuvuus Jatkuvan funktion määritelmä Tarkastellaan funktiota f x) jossakin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jatkuva tai epäjatkuva. Jatkuvuuden
Lisätiedot1 Kompleksiluvut. Kompleksiluvut 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 7
Kompleksiluvut 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 7 1 Kompleksiluvut Lukualueiden laajennuksia voi lähestyä polynomiyhtälöiden ratkaisemisen kautta. Yhtälön x+1 = 0 ratkaisemiseksi tarvitaan negatiivisia lukuja.
LisätiedotDerivaatta. Joukko A C on avoin, jos jokaista z 0 A kohti on olemassa ǫ > 0: jos z z 0 < ǫ, niin z A. f : A C on yksiarvoinen.
Derivaatta Joukko A C on avoin, jos jokaista z 0 A kohti on olemassa ǫ > 0: jos z z 0 < ǫ, niin z A. f : A C on yksiarvoinen. Määritelmä Funktio f : A C on derivoituva pisteessä z 0 A jos raja-arvo (riippumatta
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 19.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo
LisätiedotDIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1. Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS
DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1 Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS Huomautus. Analyysin yksi keskeisimmistä käsitteistä on jatkuvuus! Olkoon A R mielivaltainen joukko
LisätiedotTäydellisyysaksiooman kertaus
Täydellisyysaksiooman kertaus Luku M R on joukon A R yläraja, jos a M kaikille a A. Luku M R on joukon A R alaraja, jos a M kaikille a A. A on ylhäältä (vast. alhaalta) rajoitettu, jos sillä on jokin yläraja
Lisätiedot1.4 Funktion jatkuvuus
1.4 Funktion jatkuvuus Kun arkikielessä puhutaan jonkin asian jatkuvuudesta, mielletään asiassa olevan jonkinlaista yhtäjaksoisuutta, katkeamattomuutta. Tässä ei kuitenkaan käsitellä työasioita eikä ihmissuhteita,
LisätiedotMat / Mat Matematiikan peruskurssi C3-I / KP3-I Harjoitus 5 / vko 42, loppuviikko, syksy 2008
Mat-.3 / Mat-.33 Matematiikan peruskurssi C3-I / KP3-I Harjoitus 5 / vko 4, loppuviikko, syksy 8 Ennen malliratkaisuja, muistin virkistämiseksi kaikkien rakastama osittaisintegroinnin kaava: b a u(tv (t
LisätiedotVastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus:
. Koska F( ) on jokin funktion f ( ) integraalifunktio, niin a+ a f() t dt F( a+ t) F( a) ( a+ ) b( a b) Vastaus: Kertausharjoituksia. Lukujonot 87. + n + lim lim n n n n Vastaus: suppenee raja-arvona
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 3. viikolle /
MS-A008 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/07 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 3. viikolle / 5. 7.4. Taylorin Polynomit, Taylorin sarjat, potenssisarjat, Newtonin menetelmä Tehtävä
LisätiedotMatematiikan peruskurssi 2
Matematiikan peruskurssi Tentti, 9..06 Tentin kesto: h. Sallitut apuvälineet: kaavakokoelma ja laskin, joka ei kykene graaseen/symboliseen laskentaan Vastaa seuraavista viidestä tehtävästä neljään. Saat
LisätiedotJohdatus reaalifunktioihin P, 5op
Johdatus reaalifunktioihin 802161P, 5op Osa 2 Pekka Salmi 1. lokakuuta 2015 Pekka Salmi FUNK 1. lokakuuta 2015 1 / 55 Jatkuvuus ja raja-arvo Tavoitteet: ymmärtää raja-arvon ja jatkuvuuden määritelmät intuitiivisesti
LisätiedotPerustehtävät. Kompleksitehtävät, 10/9/2005, sivu 1 / 10. Tehtävä 1. Sievennä 1.
Kompleksitehtävät, 10/9/2005, sivu 1 / 10 Perustehtävät Tehtävä 1. Sievennä 1. 2 5i 1+2i 2. ( 2 i 2) 150 Tehtävä 2. Olkoon P mielivaltainen reaalikertoiminen polynomi. Osoita, että jos luku z C toteuttaa
Lisätiedot(b) = x cos x 1 ( cos x)dx. = x cos x + cos xdx. = sin x x cos x + C, C R.
Calculus Kurssikoe..7. Laske (a) x sin x, (b) x x + x. (a) Merkitään u(x) = x ja v (x) = sin x, jolloin u (x) =, v(x) = cos x ja osittaisintegroimalla saadaan x sin x = u(x)v (x) = u(x)v(x) u (x)v(x) =
LisätiedotMS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1
MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Riikka Korte (Pekka Alestalon kalvojen pohjalta) Aalto-yliopisto 24.10.2016 Sisältö Käytännön asiat Jonot Sarjat 1.1 Opettajat luennoitsija Riikka Korte
LisätiedotMatematiikan tukikurssi: kurssikerta 12
Matematiikan tukikurssi: kurssikerta 2 Tenttiin valmentavia harjoituksia Huomio. Tähän tulee lisää ratkaisuja sitä mukaan kun ehin niitä kirjoittaa. Kurssilla käyään läpi tehtävistä niin monta kuin mahollista.
LisätiedotMat Matematiikan peruskurssi KP3-i. Osa I. Kompleksiluvut. TKK lokakuuta Määritelmä ja perusominaisuuksia
Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i A.Rasila J.v.Pfaler TKK27 19. lokakuuta 27 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 1 / 353 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331
LisätiedotTehtävä 3. Määrää seuraavien jonojen raja-arvot 1.
Jonotehtävät, 0/9/005, sivu / 5 Perustehtävät Tehtävä. Muotoile matemaattiset vastineet seuraavien väitteiden negaatioille (ts. vastaohdat).. Jono (a n ) suppenee ohti luua a.. Jono (a n ) on asvava. 3.
LisätiedotANALYYSI 3. Tero Kilpeläinen
ANALYYSI 3 Tero Kilpeläinen Luentomuistiinpanoja syksyltä 2005 14. helmikuuta 2014 Sisältö 1. Esitietoja 2 1.1. Riemann-integraali............................ 2 1.2. Derivaatta.................................
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 9 Korkeamman asteen derivaatat Tutkitaan nyt funktiota f, jonka kaikki derivaatat on olemassa. Kuten tunnettua, funktion toista derivaattaa pisteessä x merkitään f (x).
LisätiedotReaaliluvut. tapauksessa metrisen avaruuden täydellisyyden kohdalla. 1 fi.wikipedia.org/wiki/reaaliluku 1 / 13
Reaaliluvut Reaalilukujen joukko R. Täsmällinen konstruointi palautuu rationaalilukuihin, jossa eri mahdollisuuksia: - Dedekindin leikkaukset - rationaaliset Cauchy-jonot - desimaaliapproksimaatiot. Reaalilukujen
Lisätiedoty z = (x, y) Kuva 1: Euklidinen taso R 2
Kompleksiluvut. Määritelmä Tarkastellaan euklidista tasoa R = {(, y), y R}. y y z = (, y) R Kuva : Euklidinen taso R Suorakulmaisessa koordinaatistossa on -akseli ja y-akseli. Luvut ja y ovat pisteen z
LisätiedotLukujoukot. Luonnollisten lukujen joukko N = {1, 2, 3,... }.
Lukujoukot Luonnollisten lukujen joukko N = {1, 2, 3,... }. N 0 = {0, 1, 2, 3,... } = N {0}. Kokonaislukujen joukko Z = {0, 1, 1, 2, 2,... }. Rationaalilukujen joukko Q = {p/q p Z, q N}. Reaalilukujen
LisätiedotTehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: b) 0 e x + 1
Tehtävä : Tehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: a) a) x b) e x + Integraali voisi ratketa muuttujanvaihdolla. Integroitava on muotoa (a x ) n joten sopiva muuttujanvaihto voisi olla
LisätiedotMATP153 Approbatur 1B Harjoitus 6 Maanantai
. (Teht. s. 93.) Määrää raja-arvo MATP53 Approbatur B Harjoitus 6 Maanantai 7..5 cos x x. Ratkaisu. Suora sijoitus antaa epämääräisen muodon (ei auta). Laventamalla päädytään muotoon ja päästään käyttämään
LisätiedotMS-A0107 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (CHEM)
. Lasketaan valmiiksi derivaattoja ja niiden arvoja pisteessä x = 2: f(x) = x + 3x 3 + x 2 + 2x + 8, f(2) = 56, f (x) = x 3 + 9x 2 + 2x + 2, f (2) = 7, f (x) = 2x 2 + 8x + 2, f (2) = 86, f (3) (x) = 2x
LisätiedotRatkaisu: Tutkitaan derivoituvuutta Cauchy-Riemannin yhtälöillä: f(x, y) = u(x, y) + iv(x, y) = 2x + ixy 2. 2 = 2xy xy = 1
1. Selvitä missä tason pisteissä annetut funktiot ovat derivoituvia/analyyttisiä. Määrää funktion derivaatta niissä pisteissä, joissa se on olemassa. (a) (x, y) 2x + ixy 2 (b) (x, y) cos x cosh y i sin
LisätiedotJonot. Lukujonolla tarkoitetaan ääretöntä jonoa reaalilukuja a n R, kun indeksi n N. Merkitään. (a n ) n N = (a n ) n=1 = (a 1, a 2, a 3,... ).
Jonot Lukujonolla tarkoitetaan ääretöntä jonoa reaalilukuja a n R, kun indeksi n N. Merkitään (a n ) n N = (a n ) n=1 = (a 1, a 2, a 3,... ). Lukujonon täsmällinen tulkinta on funktio f : N R, jolle f
LisätiedotKOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012
KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 3. Kompleksinen derivointi 3.1. Määritelmä. Olkoon G kompleksitason C epätyjä osajoukko. Olkoon z 0 joukon G sisäpiste. Funktio f : G C on kompleksisesti
LisätiedotLuku 4. Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia.
1 MAT-1343 Laaja matematiikka 3 TTY 1 Risto Silvennoinen Luku 4 Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia Derivaatan olemassaolosta seuraa funktioille eräitä säännöllisyyksiä Näistä on jo edellisessä luvussa
Lisätiedot