Kompleksitermiset jonot ja sarjat

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Kompleksitermiset jonot ja sarjat"

Transkriptio

1 Kompleksitermiset jonot ja sarjat Aalto MS-C300, 205, v., Kari Eloranta Tutkitaan kompleksitermisten jonojen ja sarjojen ominaisuuksia. Päätavoite on kompleksifunktioiden sarjakehitelmien ymmärrys. Määritelmä Kompleksilukujono {z k } k=0 suppenee (konvergoi) kohti rajaa z jos jokaiselle ǫ > 0 on olemassa k 0 siten, että kaikille k k 0 pätee z k z < ǫ. Jono, joka ei suppene, hajaantuu (divergoi). Sarja k=0 z k suppenee/hajaantuu, jos osasummien S n = n k=0 z k jono suppenee/hajaantuu ylläolevassa mielessä. Jos sarja k=0 z k suppenee, sanotaan, että alkuperäinen sarja suppenee itseisesti (absoluuttisesti). Lause Jono suppenee joss sen reaali- ja imaginaariosat suppenevat. Määritelmä Piste z on jonon kasaantumispiste, jos jokaiselle ǫ > 0 pätee z k z < ǫ äärettömän monelle indeksin k arvolle.

2 Jonot ja sarjat 2 Lause (Bolzano-Weierstrass) Rajoitetulla äärettömällä jonolla on ainakin yksi kasaantumispiste. Lause (Cauchyn suppenemiskriteeri) Jono {z k } suppenee joss jokaiselle ǫ > 0 on olemassa N(ǫ) siten, että z n z m < ǫ kun min{n,m} > N. Lause Jos sarja 0 z k suppenee, niin välttämättä z k 0. Siten jos jono {z k } ei suppene nollaan, sarja väistamättä hajaantuu. Jos z k 0 niin siitä ei välttämättä seuraa sarjan 0 z k suppeneminen. Todistukset esim. Kreyszigissa.

3 Konvergenssikriteereja 3 Lause (Vertailutesti) Jos kompleksitermiselle sarjalle 0 z k löytyy reaaliterminen suppeneva sarja 0 r k ja pätee z k r k, k suppenee kompleksiterminen sarja absoluuttisesti. Esimerkki: Tarkastellaan kompleksista geometrista sarjaa k=0 zk. Jos q = z, eivät termit lähesty nollaa, joten sarja hajaantuu. Jos q <, niin kompleksisen sarjan suppenevuus palautuu reaalisen sarjan k=0 qk suppenevuuteen, joka on tunnettu. Jos määritellään S n = n k=0 zk, pätee S n+ = +zs n, joten summan raja-arvon S on toteutettava yhtälö S = +zs, josta edelleen S =. Siten ainakin avoimessa yksikköympyrässä pätee z sarjakehitelmä z = z k. k=0 Mieti, mitä summalle tapahtuu yksikköympyrällä, kun z on riittävän yksinkertainen, esimerkiksi yksikköjuuri.

4 Konvergenssikriteerejä 4 Lause (Suhdetesti) Jos jonon {z k } termit ovat nollasta eroavia ja pätee z k+ L, z k niin sarja 0 z k suppenee itseisesti, jos L < ja hajaantuu, jos L >. Jos L =, ei testi anna tulosta. Hieman yleisemmin, jos on olemassa q <, k 0 ja jokaiselle k k 0 pätee z k+ z k q, niin sarja suppenee itseisesti. Samoin jos asymptoottisesti pätee z k+ z k, niin sarja hajaantuu. Esimerkkejä:. Sarja (+i) k k=0 suppenee, sillä k! z k+ 2 z = k k + 0 eli L = 0 toimii suhdetestissa (tai mielivaltainen 0 < q < ).

5 Konvergenssikriteerejä 5 Jos yllä olevassa testissä L =, voi sarja olla joko suppeneva tai hajaantuva - asia on tutkittava muilla keinoin. Esimerkiksi harmoniselle sarjalle pätee S n ln(n +) eli sarja hajaantuu (reaalisella) integraalitestillä. k= 2. Samalla testilla muutkin reaaliset p-sarjat k p, p > (joille kaikille L = ) voidaan osoittaa suppeneviksi. Tästä seuraa välittömästi se hyödyllinen toisiasia, että sarja z k k p k= k, on suppeneva yksikköympyrässä (edellinen testi).

6 Konvergenssikriteerejä 5 Jos yllä olevassa testissä L =, voi sarja olla joko suppeneva tai hajaantuva - asia on tutkittava muilla keinoin. Esimerkiksi harmoniselle sarjalle pätee S n ln(n +) eli sarja hajaantuu (reaalisella) integraalitestillä. k= 2. Samalla testilla muutkin reaaliset p-sarjat k p, p > (joille kaikille L = ) voidaan osoittaa suppeneviksi. Tästä seuraa välittömästi se hyödyllinen toisiasia, että sarja z k k p k= k, on suppeneva yksikköympyrässä (edellinen testi). Lause (Juuritesti) Jos k z k L, niin sarja z k suppenee itseisesti, jos L < ja hajaantuu, jos L >.

7 Potenssisarjat 6 Lause (Abel) Jos potenssisarja k=0 c k(z a) k, z,a,c k C, k suppenee kun z = z 0, suppenee se itseisesti joukossa {z z a < z 0 a }. Jos sarja hajaantuu z 0 :ssa hajaantuu se kaikilla z a > z 0 a. Tod.: Koska sarja suppenee z 0 :ssä, pätee c k (z 0 a) k 0. Siten on olemassa M < siten että c k (z 0 a) k M, k. Niinpä ( ) c k (z a) k z a k = c k(z 0 a) k z 0 a M z a k z 0 a joten k=0 c k(z a) k M k=0 z a z 0 a k. Koska z a z 0 a <, suppenee sarja vertailutestin nojalla (geometriseen sarjaan). Jos sarja suppenisi jollain z siten, että z a > z 0 a, niin edellisen nojalla sarja suppenisi kaikilla z a < z a eli erityisesti z 0 :ssä, ristiriita. QED

8 Potenssisarjat 7 Määritelmä Jos potenssisarja 0 c k(z a) k suppenee, kun z a < R, mutta hajaantuu, kun z a > R, on R sarjan suppenevuussäde. Selvästi R 0. Jos R = 0, suppenee sarja vain pisteessä a, sarjan kehityskeskipisteessä. Lause (Cauchy-Hadamardin kaava) Jos { n c n } 0 suppenee rajaan L, pätee R = /L. Jos L =, suppenee sarja vain sarjan kehityskeskipisteessä. Tod., idea: Jos n c n L 0, pätee n cn (z a) n = z a n c n z a L. Siten juuritestin nojalla sarja suppenee kun z a L < ja hajaantuu kun z a L >, joista väite seuraa. (Kriteeria voidaan hieman terävöittää, katso esim. Kreyszig.)

9 Potenssisarjat 8 Toisaalta voidaan huomata, että Suhdetestissä z n+ z n = c n+ (z a) n+ c n (z a) n = c n+ c n z a L z a. Siten L (s) = L z a, josta voidaan päätellä toinen tapa laskea suppenemisympyrän säde: R = L = lim c n. n c n+ Summa summarum, potenssisarjalle n=0 c n(z a) n pätee: Jos 0 < R <, niin sarja suppenee itseisesti, kun z a < R ja hajaantuu, kun z a > R. Jos R =, niin sarja suppenee itseisesti koko C:ssä ja jos R = 0, niin sarja suppenee vain kehityskeskipisteessä a.

10 Potenssisarjat 9 Uusien potenssisarjojen muodostamiseksi jo tunnetuista, on hyödyllistä tietää, että konvergoivat potenssisarjat voidaan summata termeittäin yhteen (helppo todistus osasummia tarkastelemalla). Jos määritellään sarjojen k=0 a kz k ja m=0 b mz m Cauchy-tulo ( n ) a k b n k z n voidaan todistaa n=0 k=0 Lause Kahden potenssisarjan Cauchy-tulo suppenee itseisesti molempien sarjojen suppenevuusympyröiden leikkauksessa. Jos sarjojen summia merkitään g(z) ja h(z), on Cauchy-tulo funktio g(z)h(z).

11 Potenssisarjat 0 Esimerkki: Tiedetään, että yksikköympyrässä pätee z = k=0 zk. Jos sarja kerrotaan itsellään, on Cauchy-tulon konvoluutiokertoimet helppo laskea: n k=0 = n +, joten ( ) 2 = z (n +)z n = +2z +3z 2 +4z 3 + n=0 joka siis suppenee niinikään yksikköympyrässä. ( ) Huomaa, että yllä vasen puoli on d ja toisaalta oikea puoli on alkuperäinen dz z sarja termeittäin derivoituna. Yleisemmin, jos tarkastellaan sarjoja n=0 cnzn ja n=0 (n +)cnzn, Juuritesti sovellettuna jälkimmäiseen antaa n (n +)cn = n n + n c n. Koska n (n +), nähdään, että molemmille sarjoille kriteeri antaa saman rajan L, ergo saman suppenemissäteen R = L. Integroidun sarjan kertoimet ovat muotoa cn ja sama argumentti toimii. Siten on n osoitettu ensimmäinen puolisko seuraavasta Lause Termeittäin derivoidun tai integroidun sarjan suppenemissäde on sama kuin alkuperäisen. Potenssisarja, jolla on positiivinen suppenemissäde, on analyyttinen funktio suppenemisympyrässä.

12 Taylorin ja Maclaurinin sarjat Edellisen lauseen todistus ei ole kovinkaan vaikea (esim. Kr.). Kiinnostavampaa on se, että se itse asiassa täydentyy: jokaisella analyyttisella funktiolla on suppeneva potenssisarja. Osoittautuu, että reaalinen teoria yleistyy ja saadaan Lause (Taylorin lause) Olkoon f analyyttinen alueessa D. Jos a D, on olemassa yksikäsitteinen potenssisarja kehityskeskuksena a: f(z) = n=0 b n (z a) n, jossa b n = f (n) (a), n = 0,,2,... n! Sarja suppenee D:n suurimmassa a-keskisessä ympyrässä. Edelleen pätee b n M r n, jossa M = max {z z a =r} f(z). Todistus edellyttää kompleksi-integrointia ja siihen palataan. Jos a = 0, on kyseessä f:n Maclaurinin sarja.

13 Potenssisarjat 2 Analyyttiselle funktiolle on siis aina olemassa suppeneva potenssisarja. Reaalifunktiolla, vaikka se olisi äärettömän monta kertaa derivoituva, ei välttämättä ole ole olemassa suppenevaa sarjakehitelmää. Piste, jossa analyyttinen funktio lakkaa olemasta analyyttinen on erikois- eli singulaaripiste. Yleinen periaate on, että suppenemisympyrä ulottuu kehityskeskipisteestä a lähimpään erikoispisteeseen s saakka. Kuitenkin jos kehityskeskipistettä muutetaan (kuvassa a b), voidaan funktion uusi kehitelmä usein saada suppenemaan alkuperäisen ympyrän ulkopuolella. Tätä menettelyä kutsutaan analyyttiseksi jatkamiseksi. s a b

14 Potenssisarjat 3 Esimerkkejä:. Geometrinen sarja n=0 zn, z < suppenee funktioon z, jonka Maclaurinin sarja se siis yksikäsitteisyyden nojalla on. Funktiolla on singulariteetti arvolla z =, joten suppenemisympyrän on rajoituttava siihen. ( 2. Eksponenttifunktio on itsensä derivaatta, joten d n dz n e )(0) z =, n = 0,,2,... ja koko kompleksitasossa suppeneneva Maclaurinin sarja saadaan helposti: e z = n=0 z n n!. Huomataan erityisesti, että puhtaasti imaginaariselle argumentille saadaan summan reaali- ja imaginaariosat erotellen ( ) e iy = ( ) k y2k (2k)! +i ( ) k y 2k+ (2k +)!. k=0 k=0 Toisaalta ( d 2k+ sinz dz2k+ ) (0) = ( ) k, ja ( d 2k ) cosz (0) = ( ) k,k = 0,,2,..., dz2k muuten evaluaatiot nollia, joten nähdään, että ( ) on Eulerin kaava: e iy = cosy +i siny.

15 Potenssisarjat 4 3. Koska d dz ln( z) = ja koska geometrinen sarja voidaan integroida, saadaan z ) ln( z) = (z + z2 2 + z , z <. Jos sijoitetaan z z, saadaan tästä zn n= ( )n, funktion ln(+z) n Maclaurinin sarja. Edelleen, sijoittamalla z + z päädytään esitykseen lnz = ( ) n (z )n n n=, joka on logaritmin Taylorin sarja kehityskeskipisteenä a = ja suppenemissäteenä. 4. Tunnettua sarjakehitelmää voidaan hyödyntää monin tavoin. Jos tiedetään, että d dz arctanz = +z 2 (funktion ja käänteisfunktion derivaattojen esitykset ovat d reaalitapauksesta tutussa suhteessa: dz (f )(z) = f (f ), saadaan sijoittamalla (z)) geometriseen sarjaan z z 2 ja integroimalla: arctanz = ( ) n z2n+, z <. 2n + n=0 Arctan on moniarvoinen funktio, tässä sen päähaaran esitys.

16 Potenssisarjat 5 /(-z 5 ) Arg(/(-z 5 )) z y x z y x ( ) z ja Arg 5 z 5 kiekossa z Yksinkertaiset navat viidensissä yksikköjuurissa.

17 Laurent-sarjat 6 Funktio voidaan kehittää sarjaksi useilla eri tavoin. Esimerkiksi z 3 = z 3 z = z (+ joka suppenee kun 3 z < eli z > 3. ) 3z 32 + z 2 + = z + 3 z z 3 +, Jotta voidaan käsitellä funktioita, joilla on erilaisia singulariteettejä kompleksitasossa, yleistetään sarjakehitelmät seuraavasti Määritelmä (Laurent-sarja) Jos funktiolle on olemassa jossain alueessa suppeneva sarja f(z) = n= c n (z a) n, c n C, sanotaan sen olevan f:n Laurent-sarja kehityskeskipisteenä a.

18 Laurent-sarjat 7 Sarjan suppenemiseen vaikuttaa kaksi tekijää: (i) ei-negatiivisten potenssien summautuminen jossain kiekossa z a < R 2 ja toisaalta (ii) z a :n potenssien muodostaman vasemman hännän suppeneminen, kun z a < R. Jos R < R 2, saadaan Laurent-sarjan suppenemisalueeksi rengas (annulus). R R2 Esimerkkejä:. Funktion f(z) = z 2 Laurent-kehitelmä origossa löytyy (z+) geometrisen sarjan avulla: f(z) = z 2 [ ( z)] = z 2 ( z +z 2 z 3 + ) = z 2 z + z +z2 joka suppenee punkteeratussa kiekossa {z 0 < z < }. Jos valitaan a =,

19 Laurent-sarjat 8 voidaan kehittää seuraavasti: f(z) = z + [ (z +)] 2 = ( +2(z +)+3(z +) 2 + ) z + = z (z +)+4(z +)2 + Tämä suppenee punkteeratussa kiekossa {z 0 < z + < }. 2. Tarkastellaan funktiota g(z) = e /z. Kaikkialla tasossa suppenevasta e z :n Maclaurinin kehitelmästä saadaan esitys g(z) = + z + 2!z 2 + 3!z 3 +, joka on siis g:n punkteeratussa tasossa {z z 0} suppeneva Laurent-sarja. 3. Jos on annettuna esimerkiksi h(z) = z 3 e /z, saattaa olla mielenkiintoa kehittää myös pisteen z = suhteen. Asetetaan w = z, silloin kehityskeskuksena w 0 = 0: h(z) = h( ( ) )(+w w ) = w 3 + w2 2! + w3 3! + = w 3+ w 2+ 2!w + 3! +w 4! +, joka suppenee punkteeratussa tasossa {w w 0}.

20 Erikoispisteet 9 Määritelmä Olkoon funktiolle f:lla suppeneva Laurent-kehitelmä f(z) = c n (z a) n + + c z a + c k (z a) k, c n 0. k=0 Jos n = 0, on f analyyttinen suppenemisalueessa. Jos n > 0, on sillä n:nen asteen napa a:ssa. Jos n =, on kyseessä yksinkertainen napa. Jos n = on kyseessä oleellinen singulariteetti. Esimerkkeja:. Polynomeilla, kuten ei millään muullakaan kokonaisella funktiolla ole erikoispisteitä. Polynomien osamäärät eli rationaalifunktiot, ovat analyyttisia muualla, paitsi nimittäjän nollakohdissa. Jos R(z) = P(z) Q(z) = d (z z 0)(z z ) (z z k ) (z z )(z z 2 ) (z z m), on funktiolla navat pisteissä { z i } m ja näiden kertaluvut määräävät navan asteen.

21 Erikoispisteet 20 Rationaalifunktiot ovat esimerkkeja meromorfisista funktioista. Muita sellaisia ovat esimerkiksi ei-kokonaiset trigonometriset funktiot kuten tan z, joilla on yksinkertainen napa jokaisessa pisteessä π +ikπ eli cosz nollakohdissa Edellä olevan Esimerkin 2. jatkoa... funktion g(z) = e /z Laurent-sarjaesityksen perusteella funktiolla z k e /z on origossa napa jokaisella k =,2,3... Siten g:lla on äärettömän kertaluvun napa origossa eli oleellinen singulariteetti. Funktio e /z käyttäytyy origon läheisyydessa hyvin villisti. Yhtälön e /z = a 0 ratkaisujoukko on { } z k = Ln(a)+i2kπ, k Z z k Siten kun k nähdään, että z k 0 eli origon jokaisessa ympäristössä on ääretön määrä yhtälön ratkaisuja. Tämä on itse asiassa tyypillinen tilanne: Lause (Picard) Oleellisen singulariteetin ympäristössä funktio saa kaikki kompleksilukuarvot mahdollisesti yhtä lukuunottamatta äärettömän monta kertaa. Huomaa, että Esimerkin 2 kohdalla tiedämme myös poikkeusarvon: 0.

22 Erikoispisteet ja residyt 2 Jatkossa erityisen oleelliseksi osoittautuu Laurent-kehitelmän kerroin c. Sitä kutsutaan kehitelmän residyksi pisteessä a. Jos funktiolla f on vain ensimmäisen kertaluvun (yksinkertainen) napa, pätee f(z) = c z a +c 0 +c (z a)+c 2 (z a) , joten residy voidaan laskea kaavalla Res z=a f(z) = c = lim z a (z a)f(z). Huomataan myös, että jos tunnetaan esitys f(z) = g(z) h(z), g ja h analyyttisia a:n ympäristössä, g(a) 0, pätee Taylor-kehittämällä h(z) = h (a)(z a)+ h (a) 2 (z a)2 +...

23 Erikoispisteet ja residyt 22 Siten residylle yksinkertaisessa navassa pätee myös usein käyttökelpoinen esitys: Res z=a f(z) = lim z a g(z) h (z), Yleinen laskukaava residylle korkeampiasteisessa navassa: Lause Jos funktiolla f on m:nnen asteen napa pisteessä a, ratkaistaan residy eli kerroin c kaavasta { } d m Res z=a f(z) = (m )! lim z a dz m [(z a)m f(z)].

24 Erikoispisteet ja residyt 23 Esimerkkejä:. Funktio sinz on origossa määrittelemätön 0, mutta koska z 0 sinz z = z ) (z z3 3! + z5 5! = = z2 3! + z4 5! +, voidaan erikoispisteessä z = 0 määritellä funktion arvoksi ja siitä tulee silloin analyyttinen myös origossa. Tällöin sanotaan, että origo on poistuva erikoispiste. z 2. Rationaalifunktiolla 2 2z (z+) 2 (z 2 on yksinkertaiset navat pisteissä ±2i ja +4) kaksinkertainen napa pisteessä. Edellisissä residyt ovat z 2 2z lim (z (±2i)) z ±2i (z +) 2 (z 2 +4) = 4 (±4i) (±2i +) 2 (±4i) = 25 (7+(±i)) ja kolmannessa { d lim (z +) 2 z 2 } 2z (z 2 +4)(2z 2) (z 2 2z)(2z)! z dz (z +) 2 (z 2 = lim +4) z (z 2 +4) = 4 25.

25 Nollakohdat 24 Koska usein on annetun funktion erikoispisteiden ymmärtämisen kannalta oleellista ymmärtää jonkun muun funktion nollakohdat, esitetään lopuksi eräänlainen summaus aiheesta. Olkoon Z(f) = {a C a D,f(a) = 0} alueessa D määritellyn kompleksifunktion f nollakohtien joukko. Lause Jos f on analyyttinen alueessa D, niin pätee sille täsmalleen yksi seuraavista: Z(f) = 2 Z(f) = D 3 Z(f) = {a,a 2,...,a n } 4 Z(f) = {a j } j= a j D. ( D siis tarkoittaa joukon D reunaa)

Kompleksianalyysi, viikko 5

Kompleksianalyysi, viikko 5 Kompleksianalyysi, viikko 5 Jukka Kemppainen Mathematics Division Kompleksiset jonot Aloitetaan jonon suppenemisesta. Määr. 1 Kompleksiluvuista z 1,z 2,...,z n,... koostuva jono suppenee kohti raja-arvoa

Lisätiedot

Potenssisarja, suppenemissäde. Potenssisarja ja derivointi. Potenssisarja ja analyyttiset funktiot. Potenssisarja ja integrointi.

Potenssisarja, suppenemissäde. Potenssisarja ja derivointi. Potenssisarja ja analyyttiset funktiot. Potenssisarja ja integrointi. Matematiikan peruskurssi KP3 I OSA 4: Taylorin sarja, residymenetelmä A.Rasila J.v.Pfaler 26. syyskuuta 2007 Kompleksista sarjoista Jono, suppeneminen, summasarja Potenssisarja, suppenemissäde ja analyyttiset

Lisätiedot

1. Viikko. K. Tuominen MApu II 1/17 17

1. Viikko. K. Tuominen MApu II 1/17 17 1. Viikko Keskeiset asiat ja tavoitteet: 1. Kompleksiluvut, kompleksitaso, polaariesitys, 2. Kompleksilukujen peruslaskutoimitukset, 3. Eulerin ja De Moivren kaavat, 4. Potenssi ja juuret, kompleksinen

Lisätiedot

Kompleksianalyysi, viikko 6

Kompleksianalyysi, viikko 6 Kompleksianalyysi, viikko 6 Jukka Kemppainen Mathematics Division Funktion erikoispisteet Määr. 1 Jos f on analyyttinen pisteen z 0 aidossa ympäristössä 0 < z z 0 < r jollakin r > 0, niin sanotaan, että

Lisätiedot

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 2. Kompleksitason topologiaa Kompleksianalyysi on kompleksiarvoisten kompleksimuuttujien funktioiden teoriaa. Tällä kurssilla käsittelemme vain

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 5: Taylor-polynomi ja sarja

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 5: Taylor-polynomi ja sarja MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 5: Taylor-polynomi ja sarja Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 26.9.2016 Pekka Alestalo,

Lisätiedot

8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa

8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa 8 Potenssisarjoista 8. Määritelmä Olkoot a 0, a, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.. Muotoa a 0 + a (x c) + a 2 (x c) 2 + olevaa sarjaa sanotaan c-keskiseksi potenssisarjaksi. Selvästi jokainen

Lisätiedot

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY exp z., k = 1, 2,... Eksponenttifunktion z exp(z) Laurent-sarjan avulla

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY exp z., k = 1, 2,... Eksponenttifunktion z exp(z) Laurent-sarjan avulla KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 11. Integrointi erillisen erikoispisteen ympäri Olkoot f analyyttinen punkteeratussa kiekossa D(z 0.r\{z 0 }. Funktiolla f on erikoispiste z 0.

Lisätiedot

Matemaattinen Analyysi

Matemaattinen Analyysi Vaasan yliopisto, 009-010 / ORMS1010 Matemaattinen Analyysi 7 harjoitus 1 Määritä seuraavien potenssisarjojen suppenemissäteet a) k k x 5)k b) k=1 k x 5)k = k k 1) k ) 1) Suppenemissäteen R käänteisarvo

Lisätiedot

Diskreetin LTI-systeemin stabiilisuus

Diskreetin LTI-systeemin stabiilisuus Diskreetin LTI-systeemin stabiilisuus LuK-tutkielma Johannes Ylitalo 2372956 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Kevät 2016 Sisältö Johdanto 2 Merkintöjä 2 1 Kompleksifunktiot 3 2 Signaalianalyysi

Lisätiedot

2. Funktiot. Keijo Ruotsalainen. Mathematics Division

2. Funktiot. Keijo Ruotsalainen. Mathematics Division 2. Funktiot Keijo Ruotsalainen Mathematics Division Kompleksimuuttujan funktio Kompleksimuuttujan z kompleksiarvoinen funktio f(z) voi olla yksiarvoinen tai moniarvoinen, esimerkiksi f(z) = e z f(z) =

Lisätiedot

MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 2: Sarjat

MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 2: Sarjat MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 2: Sarjat Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos September 13, 2017 Pekka Alestalo,

Lisätiedot

Sarja. Lukujonosta (a k ) k N voi muodostaa sen osasummien jonon (s n ): s 1 = a 1, s 2 = a 1 + a 2, s 3 = a 1 + a 2 + a 3,...,

Sarja. Lukujonosta (a k ) k N voi muodostaa sen osasummien jonon (s n ): s 1 = a 1, s 2 = a 1 + a 2, s 3 = a 1 + a 2 + a 3,..., Sarja Lukujonosta (a k ) k N voi muodostaa sen osasummien jonon (s n ): Määritelmä 1 s 1 = a 1, s 2 = a 1 + a 2, s 3 = a 1 + a 2 + a 3,..., n s n = a k. Jos osasummien jonolla (s n ) on raja-arvo s R,

Lisätiedot

Reaalisten funktioiden integrointia kompleksianalyysin keinoin

Reaalisten funktioiden integrointia kompleksianalyysin keinoin TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Mervi Paavola Reaalisten funktioiden integrointia kompleksianalyysin keinoin Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 6 Sarjojen suppeneminen Kiinnostuksen kohteena on edelleen sarja a k = a + a 2 + a 3 + a 4 +... k= Tämä summa on mahdollisesti äärellisenä olemassa, jolloin sanotaan

Lisätiedot

nyky-ymmärryksemme mukaan hajaantuvaan sarjaan luvun 1 2 kun n > N Huom! Määritelmä on aivan sama C:ssä ja R:ssä. (Kuva vain on erilainen.

nyky-ymmärryksemme mukaan hajaantuvaan sarjaan luvun 1 2 kun n > N Huom! Määritelmä on aivan sama C:ssä ja R:ssä. (Kuva vain on erilainen. Sarjaoppia Käsitellään kompleksi- ja reaalisarjat yhdessä. Reaalilukujen ominaisuuksista (kuten järjestys) riippuvat asiat tulevat lisämausteena mukaan. Kirjallisuutta: 1. [KRE] Kreyszig: Advanced Engineering

Lisätiedot

Kompleksianalyysi Funktiot

Kompleksianalyysi Funktiot Kompleksianalyysi Funktiot Jukka Kemppainen Mathematics Division Kompleksimuuttujan funktio Aloitetaan funktion määritelmällä. Määr. 1 Kompleksimuuttujan funktio f : C C on sääntö, joka liittää joukkoon

Lisätiedot

Kompleksianalyysi viikko 3

Kompleksianalyysi viikko 3 Kompleksianalyysi viikko 3 Jukka Kemppainen Mathematics Division Derivaatta Oletetaan seuraavassa, että joukko A C on avoin, eli jokaista z 0 A kohti on olemassa sellainen ǫ > 0, että z z 0 < ǫ z A. f

Lisätiedot

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 8. Integraalilauseiden sovelluksia 1. Analyyttisen funktion sarjaesitys. (eli jokainen analyyttinen funktio on lokaalisti suppenevan potenssisarjan

Lisätiedot

Vastausehdotukset analyysin sivuainekurssin syksyn välikokeeseen

Vastausehdotukset analyysin sivuainekurssin syksyn välikokeeseen Vastausehdotukset analyysin sivuainekurssin syksyn 015 1. välikokeeseen Heikki Korpela November 1, 015 1. Tehtävä: funktio f : R R toteuttaa ehdot ax, kun x 1 f(x) x + 1, kun x < 1 Tutki, millä vakion

Lisätiedot

Funktiojonot ja funktiotermiset sarjat Funktiojono ja funktioterminen sarja Pisteittäinen ja tasainen suppeneminen

Funktiojonot ja funktiotermiset sarjat Funktiojono ja funktioterminen sarja Pisteittäinen ja tasainen suppeneminen 4. Funktiojonot ja funktiotermiset sarjat 4.1. Funktiojono ja funktioterminen sarja 60. Tutki, millä muuttujan R arvoilla funktiojono f k suppenee, kun Mikä on rajafunktio? a) f k () = 2k 2k + 1, b) f

Lisätiedot

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kertausluento 2. välikokeeseen Toisessa välikokeessa on syytä osata ainakin seuraavat asiat:. Potenssisarjojen suppenemissäde, suppenemisväli ja suppenemisjoukko. 2. Derivaatan

Lisätiedot

3.3 Funktion raja-arvo

3.3 Funktion raja-arvo 3.3 Funktion raja-arvo Olkoot A ja B kompleksitason joukkoja ja f : A B kuvaus. Kuvauksella f on pisteessä z 0 A raja-arvo c, jos jokaista ε > 0 vastaa δ > 0 siten, että 0 < z z 0 < δ ja z A f(z) c < ε.

Lisätiedot

Residylaskenta ja sen sovelluksena äärettömien sarjojen summien laskeminen ja Mittag-Leerin laajennuslause

Residylaskenta ja sen sovelluksena äärettömien sarjojen summien laskeminen ja Mittag-Leerin laajennuslause Residylaskenta ja sen sovelluksena äärettömien sarjojen summien laskeminen ja Mittag-Leerin laajennuslause Pro Gradu-tutkielma Urho Erkkilä Matemaattisten tieteiden laitos Oulun Yliopisto Kevät 03 Sisältö

Lisätiedot

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 01 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 5. Eksponenttifunktio ja sini- ja kosinifunktiot Kertausta. (1 Reaaliselle eksponenttifunktiolle e x : R R + pätee e x x k = kaikilla x R. k! (

Lisätiedot

Analyysi III. Jari Taskinen. 28. syyskuuta Luku 1

Analyysi III. Jari Taskinen. 28. syyskuuta Luku 1 Analyysi III Jari Taskinen 28. syyskuuta 2002 Luku Sisältö Sarjat 2. Lukujonoista........................... 2.2 Rekursiivisesti määritellyt lukujonot.............. 8.3 Sarja ja sen suppenminen....................

Lisätiedot

MS-A0104 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ELEC2) MS-A0106 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ENG2)

MS-A0104 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ELEC2) MS-A0106 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ENG2) MS-A4 Differentiaali- ja integraalilaskenta (ELEC2) MS-A6 Differentiaali- ja integraalilaskenta (ENG2) Harjoitukset 3L, syksy 27 Tehtävä. a) Määritä luvun π likiarvo käyttämällä Newtonin menetelmää yhtälölle

Lisätiedot

2.2.1 Ratkaiseminen arvausta sovittamalla

2.2.1 Ratkaiseminen arvausta sovittamalla 2.2.1 Ratkaiseminen arvausta sovittamalla Esimerkki: lomitusjärjestäminen (edellä) Yleistys: Ratkaistava T (1) c T (n) g(t (1),..., T (n 1), n) missä g on n ensimmäisen parametrin suhteen kasvava. (Ratkaisu

Lisätiedot

funktiojono. Funktiosarja f k a k (x x 0 ) k

funktiojono. Funktiosarja f k a k (x x 0 ) k SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 3 4. Funtiosarjat Tässä luvussa esitettävissä funtiosarjojen tulosissa yhdistämme luujen 3 teoriaa. Esimeri 4.. Geometrinen sarja x suppenee aiilla x ], [ ja hajaantuu

Lisätiedot

Sisältö. Sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 17

Sisältö. Sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 17 Sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 17 Sisältö 1 Peruskäsitteistöä 2 1.1 Määritelmiä 2 1.2 Perustuloksia 4 2 Suppenemistestejä positiivitermisille sarjoille 5 3 Itseinen ja ehdollinen suppeneminen 8 4 Alternoivat

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 5

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 5 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 5 1 Jonoista Matematiikassa jono (x n ) on yksinkertaisesti järjestetty, päättymätön sarja numeroita Esimerkiksi (1,, 3, 4, 5 ) on jono Jonon i:ttä jäsentä merkitään

Lisätiedot

1 Kompleksitason geometriaa ja topologiaa

1 Kompleksitason geometriaa ja topologiaa 1 Kompleksitason geometriaa ja topologiaa Tavallisessa analyyttisessä geometriassa käyrien yhtälöt esitetään x-koordinaattien ja y-koordinaattien avulla, esimerkiksi y = 1 x esittää tasasivuista hyperbeliä,

Lisätiedot

5. Z-muunnos ja lineaariset diskreetit systeemit. z n = z

5. Z-muunnos ja lineaariset diskreetit systeemit. z n = z 5. Z-muunnos ja lineaariset diskreetit systeemit Jono: (x(n)) n=0 = (x(0), x(1), x(2),..., x(n),...) Z-muunnos: X(z) = n=0 x(n)z n, jos sarja suppenee jossain kompleksitason osassa. Esim. 4. Ykkösjonon

Lisätiedot

1 Määritelmä ja perusominaisuuksia. 2 Laskutoimitukset kompleksiluvuilla. 3 Reaaliluvut ja kompleksiluvut. 4 Kompleksilukujen algebraa

1 Määritelmä ja perusominaisuuksia. 2 Laskutoimitukset kompleksiluvuilla. 3 Reaaliluvut ja kompleksiluvut. 4 Kompleksilukujen algebraa 1 ja perusominaisuuksia 2 Laskutoimitukset kompleksiluvuilla 3 Reaaliluvut ja kompleksiluvut Matematiikan peruskurssi KP3 I OSA 1: Johdatus kompleksilukuihin 4 Kompleksilukujen algebraa 5 Kompleksitaso

Lisätiedot

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI II kevät 2018 Ratkaisut 1. välikokeen preppaustehtäviin. 1. a) Muodostetaan osasummien jono. S n =

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI II kevät 2018 Ratkaisut 1. välikokeen preppaustehtäviin. 1. a) Muodostetaan osasummien jono. S n = MATEMATIIKAN PERUSKURSSI II kevät 208 Ratkaisut. välikokeen preppaustehtäviin. a) Muodostetaan osasummien jono S n = n ( k k) k= josta saadaan = ( 0 ) + ( 2) + ( 2 3) + ( n 2 n ) + ( n n) = n, n =, 2,...,

Lisätiedot

z-muunnos ja differenssiyhtälöt

z-muunnos ja differenssiyhtälöt TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Martti Helenius z-muunnos ja differenssiyhtälöt Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Joulukuu 204 Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden yksikkö HELENIUS,

Lisätiedot

infoa Viikon aiheet Potenssisarja a n = c n (x x 0 ) n < 1

infoa Viikon aiheet Potenssisarja a n = c n (x x 0 ) n < 1 infoa Viikon aiheet Tentti ensi viikolla ma 23.0. klo 9.00-3.00 Huomaa, alkaa tasalta! D0 (Sukunimet A-) E204 (Sukunimet S-Ö) Mukaan kynä ja kumi. Ei muuta materiaalia. Tentissä kaavakokoelma valmiina.

Lisätiedot

Residylause ja sen sovelluksia

Residylause ja sen sovelluksia TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Henry Joutsijoki Residylause ja sen sovelluksia Matematiikan, tilastotieteen ja filosofian laitos Matematiikka Marraskuu 7 Tampereen yliopisto Matematiikan, tilastotieteen

Lisätiedot

Sarjojen suppenemisesta

Sarjojen suppenemisesta TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Terhi Mattila Sarjojen suppenemisesta Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Huhtikuu 008 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos

Lisätiedot

RIEMANNIN KUVAUSLAUSE. Sirpa Patteri

RIEMANNIN KUVAUSLAUSE. Sirpa Patteri RIEMANNIN KUVAUSLAUSE Sirpa Patteri 2 RIEMANNIN KUVAUSLAUSE Johdanto Georg Bernhard Riemann (826-866) esitti kuvauslauseen väitöskirjassaan vuonna 85. Hän käytti todistuksessaan Dirichlet n periaatetta,

Lisätiedot

Tenttiin valmentavia harjoituksia

Tenttiin valmentavia harjoituksia Tenttiin valmentavia harjoituksia Alla olevissa harjoituksissa suluissa oleva sivunumero viittaa Juha Partasen kurssimonisteen siihen sivuun, jolta löytyy apua tehtävän ratkaisuun. Funktiot Harjoitus.

Lisätiedot

z muunnos ja sen soveltaminen LTI järjestelmien analysointiin

z muunnos ja sen soveltaminen LTI järjestelmien analysointiin z muunnos ja sen soveltaminen LTI järjestelmien analysointiin muunnoksella (eng. transform) on vastaava asema diskreettiaikaisten signaalien ja LTI järjestelmien analyysissä kuin Laplace muunnoksella jatkuvaaikaisten

Lisätiedot

Mat-1.1331 Matematiikan pk KP3-i - kertaus

Mat-1.1331 Matematiikan pk KP3-i - kertaus Mat-.33 Matematiikan pk KP3-i - kertaus J.v.Pfaler TKK 24. lokakuuta 2007 Kurssin ensimmäisen puoliskon selkäranka on Kompleksitason funktioiden teoria, sisältäen analyyttiset funktiot, auchy integraali

Lisätiedot

(a) avoin, yhtenäinen, rajoitettu, alue.

(a) avoin, yhtenäinen, rajoitettu, alue. 1. Hahmottele seuraavat tasojoukot. Mitkä niistä ovat avoimia, suljettuja, kompakteja, rajoitettuja, yhtenäisiä, alueita? (a) {z C 1 < 2z + 1 < 2} (b) {z C z i + z + i = 4} (c) {z C z + Im z < 1} (d) {z

Lisätiedot

1 Kompleksiluvut 1. y z = (x, y) Kuva 1: Euklidinen taso R 2

1 Kompleksiluvut 1. y z = (x, y) Kuva 1: Euklidinen taso R 2 Sisältö 1 Kompleksiluvut 1 1.1 Määritelmä............................ 1 1. Kertolasku suorakulmaisissa koordinaateissa.......... 4 1.3 Käänteisluku ja jakolasku..................... 9 1.4 Esimerkkejä.............................

Lisätiedot

Lukujonot Z-muunnos Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt. Z-muunnos. 5. joulukuuta Z-muunnos

Lukujonot Z-muunnos Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt. Z-muunnos. 5. joulukuuta Z-muunnos Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt 5. joulukuuta 2016 Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt Lukujonot Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia

Lisätiedot

1 Reaaliset lukujonot

1 Reaaliset lukujonot Jonot 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 5 1 Reaaliset lukujonot Reaaliset lukujonot ovat funktioita f : Z + R. Lukujonosta käytetään merkintää (a k ) k=1 tai lyhyemmin vain (a k). missä a k = f(k). Täten lukujonot

Lisätiedot

Matemaattisen analyysin tukikurssi

Matemaattisen analyysin tukikurssi Matemaattisen analyysin tukikurssi 5. Kurssikerta Petrus Mikkola 10.10.2016 Tämän kerran asiat Raja-arvo ja toispuolinen raja-arvo Funktion suurin ja pienin arvo Lukujono Lukujonon suppeneminen Kasvava

Lisätiedot

13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista. Muodosta viidennen asteen Taylorin polynomi kehityskeskuksena origo funktiolle

13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista. Muodosta viidennen asteen Taylorin polynomi kehityskeskuksena origo funktiolle 13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista 13.1. Taylorin polynomi 552. Muodosta funktion f (x) = x 4 + 3x 3 + x 2 + 2x + 8 kaikki Taylorin polynomit T k (x, 2), k = 0,1,2,... (jolloin siis potenssien

Lisätiedot

Reaalimuuttujan kompleksiarvoisen funktion integraali

Reaalimuuttujan kompleksiarvoisen funktion integraali Reaalimuuttujan kompleksiarvoisen funktion integraali Määritelmä 1 Olkoon f(t) = u(t) + jv(t) jatkuva funktio välillä [a, b]. Tällöin (1) b b b f(t)dt = u(t)dt + j v(t)dt. a a a Jatkossa oletetaan, että

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiian tuiurssi Kurssierta 5 Sarjojen suppeneminen Kiinnostusen ohteena on edelleen sarja a n = a + a 2 + a 3 + a 4 + n= Tämä summa on mahdollisesti äärellisenä olemassa, jolloin sanotaan että sarja

Lisätiedot

Kompleksiluvut Kompleksitaso Kompleksifunktiot ja kuvaukset Funktioiden raja-arvo, jatkuvuus ja derivaatta Eräitä kompleksifun.

Kompleksiluvut Kompleksitaso Kompleksifunktiot ja kuvaukset Funktioiden raja-arvo, jatkuvuus ja derivaatta Eräitä kompleksifun. 17. lokakuuta 2016 Kompleksiluvut Kompleksiluku Kompleksiluku z on järjestetty reaalilukupari missä x ja y ovat reaalilukuja. z = (x, y), Lukuparin reaaliosa on x ja imaginaariosa on y. Lukuparin reaaliosa

Lisätiedot

VI. TAYLORIN KAAVA JA SARJAT. VI.1. Taylorin polynomi ja Taylorin kaava

VI. TAYLORIN KAAVA JA SARJAT. VI.1. Taylorin polynomi ja Taylorin kaava VI. TAYLORIN KAAVA JA SARJAT VI.. Taylorin polynomi ja Taylorin kaava Olkoon n N ja x, c, c, c 2,..., c n R. Tehtävä: Etsittävä sellainen R-kertoiminen polynomi P, että sen aste deg P n ja P (x ) = c,

Lisätiedot

H7 Malliratkaisut - Tehtävä 1

H7 Malliratkaisut - Tehtävä 1 H7 Malliratkaisut - Tehtävä Eelis Mielonen 7. lokakuuta 07 a) Palautellaan muistiin Maclaurin sarjan määritelmä (Taylorin sarja origon ympäristössä): f n (0) f(x) = (x) n Nyt jos f(x) = ln( + x) saadaan

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kertausta 2. välikokeeseen Toisessa välikokeessa on syytä osata ainakin seuraavat asiat: 1. Potenssisarjojen suppenemissäe, suppenemisväli ja suppenemisjoukko. 2. Derivaatan laskeminen

Lisätiedot

1 Analyyttiset funktiot

1 Analyyttiset funktiot Analyyttiset funktiot. Kompleksimuuttujan kompleksiarvoinen funktio Olkoot A ja B kompleksitason C osajoukkoja. Kuvausta f : A B sanotaan kompleksimuuttujan kompleksiarvoiseksi funktioksi. Usein on B C..Vakiokuvaus.

Lisätiedot

Lukujonot Z-muunnos Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt. Z-muunnos. 1. joulukuuta Z-muunnos

Lukujonot Z-muunnos Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt. Z-muunnos. 1. joulukuuta Z-muunnos Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt 1. joulukuuta 2015 Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt Lukujono Lukujono on diskreetti funktio

Lisätiedot

KOMPLEKSILUVUT C. Rationaaliluvut Q. Irrationaaliluvut

KOMPLEKSILUVUT C. Rationaaliluvut Q. Irrationaaliluvut KOMPLEKSILUVUT C Luonnolliset luvut N Kokonaisluvut Z Rationaaliluvut Q Reaaliluvut R Kompleksi luvut C Negat kokonaisluvut Murtoluvut Irrationaaliluvut Imaginaariluvut Erilaisten yhtälöiden ratkaiseminen

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 4 Jatkuvuus Jatkuvan funktion määritelmä Tarkastellaan funktiota f x) jossakin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jatkuva tai epäjatkuva. Jatkuvuuden

Lisätiedot

Sarjat ja differentiaaliyhtälöt, harjoitustehtäviä

Sarjat ja differentiaaliyhtälöt, harjoitustehtäviä Sarjat ja differentiaaliyhtälöt, harjoitustehtäviä. L Hospitalin sääntö on tuttu Analyysi :n kurssilta. Se on näppärä keino laskea tiettyjä raja-arvoja, mutta sen käytössä on oltava kuitenkin varovainen.

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 1. viikolle /

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 1. viikolle / MS-A8 Differentiaali- ja integraalilasenta, V/27 Differentiaali- ja integraalilasenta Rataisut. viiolle /. 3.4. Luujonot Tehtävä : Mitä ovat luujonon viisi ensimmäistä termiä, un luujono on a) (a n ) n=,

Lisätiedot

Derivaatta. Joukko A C on avoin, jos jokaista z 0 A kohti on olemassa ǫ > 0: jos z z 0 < ǫ, niin z A. f : A C on yksiarvoinen.

Derivaatta. Joukko A C on avoin, jos jokaista z 0 A kohti on olemassa ǫ > 0: jos z z 0 < ǫ, niin z A. f : A C on yksiarvoinen. Derivaatta Joukko A C on avoin, jos jokaista z 0 A kohti on olemassa ǫ > 0: jos z z 0 < ǫ, niin z A. f : A C on yksiarvoinen. Määritelmä Funktio f : A C on derivoituva pisteessä z 0 A jos raja-arvo (riippumatta

Lisätiedot

DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1. Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS

DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1. Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1 Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS Huomautus. Analyysin yksi keskeisimmistä käsitteistä on jatkuvuus! Olkoon A R mielivaltainen joukko

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 19.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo

Lisätiedot

1.4 Funktion jatkuvuus

1.4 Funktion jatkuvuus 1.4 Funktion jatkuvuus Kun arkikielessä puhutaan jonkin asian jatkuvuudesta, mielletään asiassa olevan jonkinlaista yhtäjaksoisuutta, katkeamattomuutta. Tässä ei kuitenkaan käsitellä työasioita eikä ihmissuhteita,

Lisätiedot

Mat / Mat Matematiikan peruskurssi C3-I / KP3-I Harjoitus 5 / vko 42, loppuviikko, syksy 2008

Mat / Mat Matematiikan peruskurssi C3-I / KP3-I Harjoitus 5 / vko 42, loppuviikko, syksy 2008 Mat-.3 / Mat-.33 Matematiikan peruskurssi C3-I / KP3-I Harjoitus 5 / vko 4, loppuviikko, syksy 8 Ennen malliratkaisuja, muistin virkistämiseksi kaikkien rakastama osittaisintegroinnin kaava: b a u(tv (t

Lisätiedot

1 Kompleksiluvut. Kompleksiluvut 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 7

1 Kompleksiluvut. Kompleksiluvut 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 7 Kompleksiluvut 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 7 1 Kompleksiluvut Lukualueiden laajennuksia voi lähestyä polynomiyhtälöiden ratkaisemisen kautta. Yhtälön x+1 = 0 ratkaisemiseksi tarvitaan negatiivisia lukuja.

Lisätiedot

Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus:

Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus: . Koska F( ) on jokin funktion f ( ) integraalifunktio, niin a+ a f() t dt F( a+ t) F( a) ( a+ ) b( a b) Vastaus: Kertausharjoituksia. Lukujonot 87. + n + lim lim n n n n Vastaus: suppenee raja-arvona

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi 2

Matematiikan peruskurssi 2 Matematiikan peruskurssi Tentti, 9..06 Tentin kesto: h. Sallitut apuvälineet: kaavakokoelma ja laskin, joka ei kykene graaseen/symboliseen laskentaan Vastaa seuraavista viidestä tehtävästä neljään. Saat

Lisätiedot

(b) = x cos x 1 ( cos x)dx. = x cos x + cos xdx. = sin x x cos x + C, C R.

(b) = x cos x 1 ( cos x)dx. = x cos x + cos xdx. = sin x x cos x + C, C R. Calculus Kurssikoe..7. Laske (a) x sin x, (b) x x + x. (a) Merkitään u(x) = x ja v (x) = sin x, jolloin u (x) =, v(x) = cos x ja osittaisintegroimalla saadaan x sin x = u(x)v (x) = u(x)v(x) u (x)v(x) =

Lisätiedot

Perustehtävät. Kompleksitehtävät, 10/9/2005, sivu 1 / 10. Tehtävä 1. Sievennä 1.

Perustehtävät. Kompleksitehtävät, 10/9/2005, sivu 1 / 10. Tehtävä 1. Sievennä 1. Kompleksitehtävät, 10/9/2005, sivu 1 / 10 Perustehtävät Tehtävä 1. Sievennä 1. 2 5i 1+2i 2. ( 2 i 2) 150 Tehtävä 2. Olkoon P mielivaltainen reaalikertoiminen polynomi. Osoita, että jos luku z C toteuttaa

Lisätiedot

MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1

MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Riikka Korte (Pekka Alestalon kalvojen pohjalta) Aalto-yliopisto 24.10.2016 Sisältö Käytännön asiat Jonot Sarjat 1.1 Opettajat luennoitsija Riikka Korte

Lisätiedot

ANALYYSI 3. Tero Kilpeläinen

ANALYYSI 3. Tero Kilpeläinen ANALYYSI 3 Tero Kilpeläinen Luentomuistiinpanoja syksyltä 2005 14. helmikuuta 2014 Sisältö 1. Esitietoja 2 1.1. Riemann-integraali............................ 2 1.2. Derivaatta.................................

Lisätiedot

Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i. Osa I. Kompleksiluvut. TKK lokakuuta Määritelmä ja perusominaisuuksia

Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i. Osa I. Kompleksiluvut. TKK lokakuuta Määritelmä ja perusominaisuuksia Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i A.Rasila J.v.Pfaler TKK27 19. lokakuuta 27 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 1 / 353 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331

Lisätiedot

Tehtävä 3. Määrää seuraavien jonojen raja-arvot 1.

Tehtävä 3. Määrää seuraavien jonojen raja-arvot 1. Jonotehtävät, 0/9/005, sivu / 5 Perustehtävät Tehtävä. Muotoile matemaattiset vastineet seuraavien väitteiden negaatioille (ts. vastaohdat).. Jono (a n ) suppenee ohti luua a.. Jono (a n ) on asvava. 3.

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi: kurssikerta 12

Matematiikan tukikurssi: kurssikerta 12 Matematiikan tukikurssi: kurssikerta 2 Tenttiin valmentavia harjoituksia Huomio. Tähän tulee lisää ratkaisuja sitä mukaan kun ehin niitä kirjoittaa. Kurssilla käyään läpi tehtävistä niin monta kuin mahollista.

Lisätiedot

y z = (x, y) Kuva 1: Euklidinen taso R 2

y z = (x, y) Kuva 1: Euklidinen taso R 2 Kompleksiluvut. Määritelmä Tarkastellaan euklidista tasoa R = {(, y), y R}. y y z = (, y) R Kuva : Euklidinen taso R Suorakulmaisessa koordinaatistossa on -akseli ja y-akseli. Luvut ja y ovat pisteen z

Lisätiedot

Lukujoukot. Luonnollisten lukujen joukko N = {1, 2, 3,... }.

Lukujoukot. Luonnollisten lukujen joukko N = {1, 2, 3,... }. Lukujoukot Luonnollisten lukujen joukko N = {1, 2, 3,... }. N 0 = {0, 1, 2, 3,... } = N {0}. Kokonaislukujen joukko Z = {0, 1, 1, 2, 2,... }. Rationaalilukujen joukko Q = {p/q p Z, q N}. Reaalilukujen

Lisätiedot

MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 6 Maanantai

MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 6 Maanantai . (Teht. s. 93.) Määrää raja-arvo MATP53 Approbatur B Harjoitus 6 Maanantai 7..5 cos x x. Ratkaisu. Suora sijoitus antaa epämääräisen muodon (ei auta). Laventamalla päädytään muotoon ja päästään käyttämään

Lisätiedot

Ratkaisu: Tutkitaan derivoituvuutta Cauchy-Riemannin yhtälöillä: f(x, y) = u(x, y) + iv(x, y) = 2x + ixy 2. 2 = 2xy xy = 1

Ratkaisu: Tutkitaan derivoituvuutta Cauchy-Riemannin yhtälöillä: f(x, y) = u(x, y) + iv(x, y) = 2x + ixy 2. 2 = 2xy xy = 1 1. Selvitä missä tason pisteissä annetut funktiot ovat derivoituvia/analyyttisiä. Määrää funktion derivaatta niissä pisteissä, joissa se on olemassa. (a) (x, y) 2x + ixy 2 (b) (x, y) cos x cosh y i sin

Lisätiedot

Jonot. Lukujonolla tarkoitetaan ääretöntä jonoa reaalilukuja a n R, kun indeksi n N. Merkitään. (a n ) n N = (a n ) n=1 = (a 1, a 2, a 3,... ).

Jonot. Lukujonolla tarkoitetaan ääretöntä jonoa reaalilukuja a n R, kun indeksi n N. Merkitään. (a n ) n N = (a n ) n=1 = (a 1, a 2, a 3,... ). Jonot Lukujonolla tarkoitetaan ääretöntä jonoa reaalilukuja a n R, kun indeksi n N. Merkitään (a n ) n N = (a n ) n=1 = (a 1, a 2, a 3,... ). Lukujonon täsmällinen tulkinta on funktio f : N R, jolle f

Lisätiedot

Luku 4. Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia.

Luku 4. Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia. 1 MAT-1343 Laaja matematiikka 3 TTY 1 Risto Silvennoinen Luku 4 Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia Derivaatan olemassaolosta seuraa funktioille eräitä säännöllisyyksiä Näistä on jo edellisessä luvussa

Lisätiedot

Reaaliluvut. tapauksessa metrisen avaruuden täydellisyyden kohdalla. 1 fi.wikipedia.org/wiki/reaaliluku 1 / 13

Reaaliluvut. tapauksessa metrisen avaruuden täydellisyyden kohdalla. 1 fi.wikipedia.org/wiki/reaaliluku 1 / 13 Reaaliluvut Reaalilukujen joukko R. Täsmällinen konstruointi palautuu rationaalilukuihin, jossa eri mahdollisuuksia: - Dedekindin leikkaukset - rationaaliset Cauchy-jonot - desimaaliapproksimaatiot. Reaalilukujen

Lisätiedot

Tehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: b) 0 e x + 1

Tehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: b) 0 e x + 1 Tehtävä : Tehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: a) a) x b) e x + Integraali voisi ratketa muuttujanvaihdolla. Integroitava on muotoa (a x ) n joten sopiva muuttujanvaihto voisi olla

Lisätiedot

Raja-arvot ja jatkuvuus

Raja-arvot ja jatkuvuus Raja-arvot ja jatkuvuus 30. lokakuuta 2014 10:11 Suoraa jatkoa kurssille Johdatus reaalifunktioihin (MATP311) (JRF). Oheislukemista: Kilpeläinen: Analyysi 1, luvut 3-6, Spivak: Calculus, luvut 5-8, 22,

Lisätiedot

MS-A010X Differentiaali- ja integraalilaskenta 1

MS-A010X Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 MS-A010X Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Pekka Alestalo Aalto-yliopisto 1.9.2016 Pekka Alestalo (Aalto-yliopisto) MS-A010X Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 1.9.2016 1 / 200 Sisältö Nämä

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 9 Korkeamman asteen derivaatat Tutkitaan nyt funktiota f, jonka kaikki derivaatat on olemassa. Kuten tunnettua, funktion toista derivaattaa pisteessä x merkitään f (x).

Lisätiedot

5. Potenssisarjat 5.1. Määritelmä ja suppeneminen 84. 85. 86. 87. 88. 89.

5. Potenssisarjat 5.1. Määritelmä ja suppeneminen 84. 85. 86. 87. 88. 89. 5. Potenssisarjat 5.1. Määritelmä ja suppeneminen 84. Määritä seuraavien potenssisarjojen suppenemisympyrät: a) ( ) z + 3, b) 2 [ z 2 + ( 1) ], c) a) Koo omplesitaso; b) z =, R = 1; c) z = i, R = 4. 85.

Lisätiedot

a) z 1 + z 2, b) z 1 z 2, c) z 1 z 2, d) z 1 z 2 = 4+10i 4 = 10i 5 = 2i. 4 ( 1)

a) z 1 + z 2, b) z 1 z 2, c) z 1 z 2, d) z 1 z 2 = 4+10i 4 = 10i 5 = 2i. 4 ( 1) Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Osoita, että kompleksilukujen yhteenlasku määriteltynä tasopisteiden kautta koordinaateittain on liitännäinen, so. z + (z + z ) = (z + z )

Lisätiedot

Kompleksiluvut., 15. kesäkuuta /57

Kompleksiluvut., 15. kesäkuuta /57 Kompleksiluvut, 15. kesäkuuta 2017 1/57 Miksi kompleksilukuja? Reaaliluvut lukusuoran pisteet: Tiedetään, että 7 1 0 x 2 = 0 x = 0 1 7 x 2 = 1 x = 1 x = 1 x 2 = 7 x = 7 x = 7 x 2 = 1 ei ratkaisua reaalilukujen

Lisätiedot

Derivaattaluvut ja Dini derivaatat

Derivaattaluvut ja Dini derivaatat Derivaattaluvut Dini derivaatat LuK-tutkielma Helmi Glumo 2434483 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Taustaa 2 2 Määritelmät 4 3 Esimerkkejä lauseita 7 Lähdeluettelo

Lisätiedot

Kompleksianalyysi, viikko 4

Kompleksianalyysi, viikko 4 Kompleksianalyysi, viikko 4 Jukka Kemppainen Mathematics Division Reaalimuuttujan kompleksiarvoisen funktion integraali Aloitetaan reaalimuuttujan kompleksiarvoisen funktion integraalin määrittelyllä,

Lisätiedot

Ratkaisuehdotus 2. kurssikokeeseen

Ratkaisuehdotus 2. kurssikokeeseen Ratkaisuehdotus 2. kurssikokeeseen 4.2.202 (ratkaisuehdotus päivitetty 23.0.207) Huomioitavaa: - Tässä ratkaisuehdotuksessa olen pyrkinyt mainitsemaan lauseen, johon kulloinenkin päätelmä vetoaa. Näin

Lisätiedot

termit on luontevaa kirjoittaa summamuodossa. Tällöin päädymme lukusarjojen teoriaan: a k = s.

termit on luontevaa kirjoittaa summamuodossa. Tällöin päädymme lukusarjojen teoriaan: a k = s. SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 7 3. Luusarjat Josus luujonon (b ) termit on luontevairjoittaa summamuodossa. Tällöin päädymme luusarjojen teoriaan: Määritelmä 3.. Oloon ( ), R luujono. Symboli (3.)

Lisätiedot

u = 2 u (9.1) x + 2 u

u = 2 u (9.1) x + 2 u 9. Poissonin integraali 9.. Poissonin integraali. Ratkaistaan Diriclet n reuna-arvotehtävä origokeskisessä, R-säteisessä ympyrässä D = {(x, y) R x +y < R }, t.s. kun f : D R on annettu jatkuva funktio,

Lisätiedot

Matemaattinen Analyysi

Matemaattinen Analyysi Vaasan yliopisto, evät 05 / ORMS00 Matemaattinen Analyysi 6. harjoitus. Approsimoi toisen asteen polynomilla P(x) = b 0 +b x+b x oheisen tauluon muaisia havaintoja. (Teorian löydät opetusmonisteen sivuilta

Lisätiedot

MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1

MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Riikka Korte (Pekka Alestalon kalvojen pohjalta) Aalto-yliopisto 15.11.2016 Sisältö Alkeisfunktiot 1.1 Funktio I Funktio f : A! B on sääntö, joka liittää

Lisätiedot

n. asteen polynomilla on enintään n nollakohtaa ja enintään n - 1 ääriarvokohtaa.

n. asteen polynomilla on enintään n nollakohtaa ja enintään n - 1 ääriarvokohtaa. MAA 12 kertaus Funktion kuvaaja n. asteen polynomilla on enintään n nollakohtaa ja enintään n - 1 ääriarvokohtaa. Funktion nollakohta on piste, jossa f () = 0, eli kuvaaja leikkaa -akselin. Kuvaajan avulla

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 10 1 Sarjakehitelmiä Palautetaan mieliin, että potenssisarja on sarja joka on muotoa a n (x x 0 ) n = a 0 + a 1 (x x 0 ) + a 2 (x x 0 ) 2 + a 3 (x x 0 ) 3 +. n=0 Kyseinen

Lisätiedot