Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "http://www.math.helsinki.fi/solmu/"

Transkriptio

1 1/

2 Solmu Solmu Solmu 1/ Mtemtiikn litos PL 4 (Yliopistonktu 5) Helsingin yliopisto Päätoimittj Pekk Alestlo Toimitussihteerit Jouni Seppänen j Mik Koskenoj Sähköposti Toimituskunt: Heikki Apiol Mtti Lehtinen Kullervo Nieminen Mrjtt Näätänen Grfinen vustj Mrjn Beddrd Seurvn lehteen trkoitetut kirjoitukset pyydämme lähettämään syyskuun loppuun mennessä. Lehden loittmisen tekivät tloudellisell tuelln mhdolliseksi Noki (http://www.noki.com/) j Tloudellinen Tiedotustoimisto (http://www.tt.fi/). Opetusministeriö (http://www.minedu.fi/) on keväästä 1997 lken vustnut tloudellisesti Solmu. Huom! Solmun pperiversio postitetn nykyisin vin niihin kouluihin, jotk ovt sitä erikseen pyytäneet. Solmun Internet-sivuilt stv pperiversio on mhdollist tulost omll kirjoittimell. Toivomme, että lehti ei jää vin opettjien luettvksi, vn sitä kopioidn kikille hlukkille.

3 Solmu 1/ Sisällys Pääkirjoitus Kolmnnen steen yhtälöä rtkisemss Geometrikulm 10: Mikä on pint? Roomliset numerot lskento ilmn kertotulu Pythgorn luse Englnniss kohotetn mtemtiikn kouluopetuksen tso

4 Solmu Solmu Pääkirjoitus Mtemtiikn ylioppilskokeen uudistuminen viime keväänä jäi tuskin keneltäkään mtemtiikn priss työskentelevältä huommtt. Mistään rdiklist uudistuksest ei tosin ollut kysymys, sillä inkin päällisin puolin trksteltun voisi jtell, että entisten kokeiden vlinniset - j b-kohdt muuttuivt omiksi tehtävikseen. Tustll lienee kuitenkin suuntus, jonk mukn loppupään tehtävien ihepiiri koskettelee ikisemp enemmän myös vlinnisten kurssien sioit. Sen sijn relikokeen kohdll on julkisuudess esitetty pljon suurempi muutosvtimuksi, joiden keskeisenä sisältönä on ollut kokeen jkminen luonnontieteelliseen j humnistiseen osn. Nähdäkseni nämä esitykset tuntuvt hyvin perustelluilt, sillä reliineiden sekmelsk ylioppilskokeess on ihmetyttänyt itseänikin in lukiojst lähtien. Toislt olisin vlmis menemään vieläkin pidemmälle, sillä mielestäni fysiikk, kemi j biologi nsitsisivt omn kokeens siinä missä espnj, itli j portugli, millään tvll väheksymättä näitä hienoj kieliä. Tämän tpinen jko vhvistisi mtemttisesti suuntutuneiden lukiolisten sem. Toisen ktsntoknnn mukn koko ylioppilskoe on trpeeton, sillä esimerkiksi useimmt korkekoulut vlitsevt opiskelijns omien vlintkokeidens perusteell, eikä ylioppilskokeen rvosnoj tsoittv vikutust näin ollen trvittisi. Yliopistoiss näyttää kuitenkin olevn suuntuksen pikemminkin suorn opiskelijvlinnn lisääminen kuin siitä luopuminen. Jos tämä suuntus jtkuu, korostuu ylioppilstutkinnon merkitys entisestään. Tätä kirjoitettess olln opetusministeriössä ryhtymässä tositoimiin relikokeen uudistmiseksi; jäämme odottmn tuloksi. Pekk Alestlo

5 Solmu 1/ Kolmnnen steen yhtälöä rtkisemss Tustn trinllemme on tämän kevään lyhyen mtemtiikn yo-tehtävä, joss käskettiin osoittmn, että yhtälöllä f(x) = x 3 4x 2 = 0 on juuri välillä (2,3) j pyydettiin hrukoimn kyseiselle juurelle kksidesimlinen likirvo. Moni kokels yritti vhingoss sovelt probleemn toisen steen yhtälön rtkisukv, toki huonoll seuruksell. Tietystikään tehtävän rtkisuss ei trvit juuren trkn rvon määräämistä juuren olemssolo nnetull välillä seur polynomifunktion f jtkuvuudest j hvinnost f(2)f(3) < 0 (merkin vihtuminen). Mutt meitä motivoikin uteliisuus: olisihn jännittävää tietää trkk luseke kyseiselle juurelle! Johdmme seurvss yleisen rtkisukvn kolmnnen steen yhtälölle sekä kerromme lyhyesti sin liittyvästä historist. Esitiedoiksi riittää lukion pitkän mtemtiikn kurssi, liitteessä kertmme lyhyesti kompleksilukujen juurtmist. Myöhemmässä kirjoituksess trkoitukseni on käsittelellä hiemn yleisemmin likirvomtemtiikk, eli kuink esimerkiksi yllä minittu juuri voidn lske tehokksti niin trksti kuin hlutn. 1. Relijuurten lukumäärä. Lähdetään liikkeelle yleisestä kolmnnen steen yhtälöstä 3 z z z + 0 = 0, missä oletmme, että kertoimet ovt mielivltisi relilukuj j 3 0. Voimme olett, että 3 = 1, kosk tähän tilnteeseen päästään jkmll puolittin luvull 3. Yhtälö yksinkertistuu, kun vlitsemme uudeksi tuntemttomksi luvun x settmll z = x 2 /3. Päädymme yhtälöön (x 2 /3) (x 2 /3) (x 2 /3) + 0 = 0, mikä sieventyy muotoon (trkist itse väliviheet!) Tässä luvuill p j q on lusekkeet x 3 + px + q = 0. (1) p = , q =

6 Solmu Solmu Jos osmme rtkist jokisen muoto (1) olevn yhtälön, osmme silloin rtkist kikki kolmnnen steen yhtälöt. Johdnnoss minittu yhtälö x 3 4x 2 = 0 onkin jo vlmiiksi tätä muoto. Yhtälön x 3 +6x 2 3x 7 = 0 juuret sdn puolestn lisäämällä luku 2 yhtälön x 3 15x + 15 = 0 juuriin. Jtkoss trkstelemmekin inostn yhtälöä (1). Lukion kurssiss minitn yleinen tieto lgebrn perusluse jonk mukn n:nnen steen yhtälöllä on in tsn n juurt, kun usemmnkertiset juuret lsketn kertlukuns mukn j juuret voivt sd kompleksilukurvoj. Erityisesti kolmnnen steen yhtälöllä (1) on in enintään kolme erisuurt juurt. Merkitään f(x) = x 3 +px+q. Funktio f on polynomifunktion jtkuv j helposti nähdään, että lim x + f(x) = + j lim x f(x) =. Kosk f viht merkkiä relikselill, on sillä oltv inkin yksi relinen nollkoht, olkoon se. Tiedämme silloin, että polynomi f on jollinen polynomill x j voimme kirjoitt f(x) = (x )(x 2 + dx + e). Toisen steen yhtälöllä x 2 + dx + e on tutun rtkisukvn mukn juuret d/2 ± (d/2) 2 e, jotk joko ovt kumpikin relisi ti sitten erisuuri (liitto-)kompleksilukuj. Pätee siis: Jos yhtälön (1) kikki juuret ovt reliset, niin erisuuri juuri on 1 3 kpplett. Muuss tpuksess yksi juurist on relinen j kksi muut ovt (ei-relisi) liittokompleksilukuj. Toisen steen yhtälön x 2 + bx + c = 0 juurten relisuuden voimme selvittää ilmn että rtkisemme yhtälöä: riittää pelkästään trkstell diskriminntin b 2 4c merkkiä. Näytämme seurvss, että myös kolmnnen steen yhtälölle on olemss vstv keino selvittää relijuurten lukumäärä. Kun otmme käyttöön hiemn differentililskent, ei meidän trvitse ensin rtkist kyseistä yhtälöä! Trkstelln tätä vrten funktion f derivtt f (x) = 3x 2 + p j jetn käsittely eri tpuksiin luvun p merkin mukn. Jos p > 0 niin f (x) p > 0 kikill x, joten f on idosti ksvv koko relikselill. Siispä funktioll f : R R on enintään yksi nollkoht j iempien hvintojemme nojll sellinen todell löytyy. Tpuksess p < 0 derivtll f (x) = 3x 2 + p on kksi erisuurt relist nollkoht x = ± p/3. Trkstelemll derivtn merkkiä (tee merkkikvio!) näemme, että f on idosti ksvv väleillä (, p/3) j ( p/3, ) sekä idosti vähenevä välillä ( p/3, p/3). Erityisesti f( p/3) > f( p/3). Lisäksi totesimme jo iemmin, että lim x + f(x) = + j lim x f(x) =. Jos nyt esimerkiksi kumpikin luvuist f(± p/3) on (idosti) positiivinen, niin f viht merkkiä inostn välillä (, p/3), jolloin voimme iemmn nojll päätellä, että f:llä on täsmälleen yksi nollkoht välillä (, p/3) j muit nollkohti ei ole (piirrä hhmotelm kuvjst trkn päättelysi tueksi). Vstvsti relijuuri on vin yksi, jos luvut f(± p/3) ovt negtiivisi. Jos ts luvut f(± p/3) ovt eri merkkisiä, näemme että f:n kuvj leikk relikselin kerrn jokisell yllä käsittellyistä kolmest välistä, joten tässä tpuksess nollkohti on kolme. Trkstelln vielä vihtoehto, joss jompi kumpi luvuist f(± p/3) on noll. Kyseisessä tilnteess kuvj sivu relikseli vstvss kohdss, jolloin päättelemme, että yhtälöllä (1) on kksi relist juurt (iemmn mukn myös kolms juuri on relinen, joten nyt yhtälöllä on kksoisjuuri). 6 y 4 2 x Kuv 1: Kolme eri vihtoehto tpuksess p < 0.

7 Solmu 1/ Hvintomme voidn kiteyttää yksinkertisesti: kun p < 0, on relijuuri mksimimäärä vin jos luvut f(± p/3) ovt eri merkkiset, eli niiden tulo on negtiivinen. Lsketn f( p/3)f( ( p/3) = p/3( p/3) + p( ) ( ) p/3) + q p/3( p/3) + p p/3 + q ( = q 2 ) ( 3 p p/3 q + 2 ) ( 3 p p/3 = 4 ( q 2 )2 + ( p 3 )3). Otetn käyttöön merkintä (huom miinus-merkki!) ( D = ( q 2 )2 + ( p 3 )3) = ( q 2 ) 4 + p3. 27 Luku D snotn yhtälön (1) diskriminntiksi, j olemme juuri näyttäneet, että (inkin tpuksess p < 0) se näyttelee smnlist rooli kuin toisen steen yhtälön diskriminntti. Nimittäin, edellä tekemiemme hvintojen mukn yhtälöllä (1) on kolme juurt jos D > 0, kksi juurt jos D = 0 j vin yksi relijuuri jos D < 0. Tutkitn lopuksi, miten edellä johdettu diskriminnttiehto toimii tpuksess p 0. Jos p > 0, niin ikisemmn mukn relijuuri on yksi j toislt myös D < 0, kosk in q 2 0 j siis D p 3 /27. Tpuksess p = 0 yhtälö s muodon x 3 = q, joll on yksi relijuuri j kksi (ito) kompleksijuurt, jos q 0, jolloin myös D < 0. Jos q = 0, niin yhtälöllä on yksi (kolmois)juuri x = 0. Jälkimmäinen vihtoehto vst tpust D = p = 0. Voimme koot tuloksemme seurvsti: Luse 1. Jos diskriminntti on positiivinen, eli D > 0, on relikertoimisell yhtälöllä (1) kolme keskenään erisuurt relijuurt. Jos D < 0, on relijuuri yksi, j lisäksi yhtälöllä on kksi (ito) kompleksijuurt, jotk ovt toistens liittolukuj. Tpuksess D = 0 yhtälön juuret ovt reliset, j niitä on kksi erisuurt jos lisäksi p 0, j inostn yksi (kolmoisjuuri) jos lisäksi p = 0. Esimerkki. Ylioppilstehtävän yhtälölle x 3 4x 2 = 0 smme D = (( 2 2 )2 + ( 4 3 )3 ) = sillä on kolme erisuurt relijuurt. > 0, joten Hrj. 1. Montko relijuurt on yhtälöllä x 3 + 3x 2 5x 7 = 0? Entä yhtälöllä x 3 300x = 0? Hrj. 2. Olkoot luvut x 1, x 2, x 3 yhtälön x 3 + rx 2 + px + q = 0 juuret. Osoit, että r = (x 1 + x 2 + x 3 ), p = x 1 x 2 + x 2 x 3 + x 3 x 1 j q = x 1 x 2 x 3. Muodost kolmnnen steen yhtälö, jonk juurin ovt luvut 3,2 j 7. Hrj. 3. Tiedämme että luvut u, v ovt muoto x 3 + px + q = 0 olevn yhtälön juuri. Voitko päätellä kolmnnen juuren, vikket tiedäkään lukuj p j q? Sm kysymys, jos yhtälö on muoto x 3 + rx 2 + q = Rtkisukv. Rtkisukvn löytäminen kolmnnen steen yhtälölle ei ole linkn niin helppo kuin toisen steen yhtälölle. Otten huomioon lgebrllisten merkintöjen puutteellisuuden ei olekn ihme, ettei sitä keksitty ennen luku. Luonnollinen jtus olisi yrittää täydentää yhtälön (1) vsen puoli kuutioksi, mutt tämä lähestymistp ei sellisenn toimi. Eteenpäin pääsemiseen trvitn uusi ide. Sellisen trjo sijoitus x = u + v. Yhtälö (1) s sievennysten jälkeen muodon (trkist se) (u 3 + v 3 + q) + (3uv + p)(u + v) = 0. Selvästikin tämä yhtälö toteutuu mikäli u j v toteuttvt yhtälöprin { u 3 + v 3 = q uv = p/3. (2)

8 Solmu Solmu Korottmll jälkimmäisen yhtälön kolmnteen potenssiin smme yhtälön u 3 v 3 = (p/3) 3. (3) Siispä tiedämme mitä ovt lukujen u 3 j v 3 summ j tulo. Toisen steen yhtälön teorist (sievennä (y u 3 )(y v 3 )) tiedämme silloin, että luvut u 3 j v 3 toteuttvt toisen steen yhtälön y 2 + qy (p/3) 3, jot kutsutn yhtälöä (1) vstvksi resolventtiyhtälöksi. Tämän osmme rtkist tutull rtkisukvll j smme u 3 = q/2 + (q/2) 2 + (p/3) 3 = q/2 + D, missä D = (q/2) 2 (p/3) 3 on yhtälön diskriminntti. Vstvsti v 3 = q/2 D. Toki edellä u j v ovt symmetrisessä semss, eli merkit sttisivt oll toisinkin päin. Tässä viheess tiedämme, että rtkisemmme luvut u 3, v 3 toteuttvt yhtälöprin (2), joss jälkimmäinen yhtälö on korvttu yhtälöllä (3). Olkoon sitten u 0 = 3 q/2 + D (mikä thns kuutiojuuren rvo kelp tässä). Tämän jälkeen vlitsemme kuutiojuuren v 0 = q/2 3 D rvon niin, että yhtälöprin (2) jälkimmäinen yhtälö toteutuu, eli u 0 v 0 = p/3. Tämä on mhdollist, kosk suorn lskemll voimme trkist, että vlint v 0 = p/3u 0 toimii, tpuksen u 0 = 0 olless yksinkertinen. Silloin pri (u 0, v 0 ) selvästikin toteutt yhtälöprin (2) j siis u 0 + v 0 on yhtälön (1) rtkisu. Olemme selättäneet kolmnnen steen yhtälön! Yhtälön muiden juurien löytämiseksi merkitsemme ρ = 1/2 + i 3/2, jolloin siis pätee ρ 3 = 1; vrt. Liite lopuss. Hvitsemme suorn lskemll että myös lukuprit (ρu 0, ρ 2 v 0 ) j (ρ 2 u 0, ρv 0 ) toteuttvt yhtälöprin (2). Etsimämme rtkisukv s muodon: Luse 2. Merkitään D = (q/2) 2 (p/3) 3 j ρ = 1/2 + i 3/2. Yhtälön (1) juuret ovt luvut u 0 + v 0, ρu 0 + ρ 2 v 0 j ρ 2 u 0 + ρv 0, missä u 0 = 3 q/2 + D, v 0 = 3 q/2 D j kuutiojuuren vlinnt on tehty niin, että yhtälö u 0 v 0 = p/3 toteutuu. Johtmmme rtkisukvt tunnetn Crdnon kvojen nimellä, kosk ne julkistiin ensimmäisen kerrn vuonn 1545 Geronimo Crdnon teoksess Ars mgn. Hrj. 4. Edellinen päättely ei vielä näytä, että nämä kvt ntvt kikki juuret. Tämän todistmiseksi sievennä luseke (x (u 0 + v 0 ))(x (ρu 0 + ρ 2 v 0 ))(x (ρ 2 u 0 + ρv 0 )), j osoit että st lkuperäisen yhtälön (1) vsemmn puolen. Esimerkki. Testtksemme johtmmme rtkisukv trkstelemme yksinkertist yhtälöä x 3 + x = 0. Kosk x 3 +x = x(x 2 +1) = x(x+i)(x i), ovt juuret 0, ±i. Nyt D = 1/27 j voimme vlit u 0 = 3 1/27 = 1/ 3, missä siis vlitsemme kuutiojuurelle relisen rvon. Silloin v 0 = 1/3u 0 = 1/ 3, joten u 0 + v 0 = 0, j muut kksi juurt svt muodon 1 (( 1/2 ± i 3/2) ( 1/2 i ) 3/2). 3 Sievennysten jälkeen luseke tuott luvut ±i, kuten pitääkin. Hrj. 5. Rtkise yhtälöt x x = 316 j x 3 4x 2 + 6x 4 = 0. Hrj. 6. Todist yllättävä yhtäsuuruus = 1 osoittmll, että vsen puoli toteutt kolmnnen steen yhtälön, jonk ino relijuuri on 1. Keksi itse lisää vstvi identiteettejä.

9 Solmu 1/ Csus irreducibilis: trigonometri stuu näyttämölle. Oletetn nyt, että ylioppilskokels tuntee rtkisukvn j sovelt sitä em. tehtävään j rtkisee yhtälön x 3 4x 2 = 0. Hän lskee ensin D = ( 2 2 )2 ( 4 3 )3 = 37/27, j pränttää sitten sumeilemtt pperille kvn x = / /27. Stt siinä kokeen trkstjlt tipht punkynä kädestä! Mutt sormi menisi helposti suuhun kokelltkin. Kvthn vtivt ottmn kolmnnen juuren idost kompleksiluvust, j tämä osoittutuukin erikoisltuisell tvll hnklksi tehtäväksi. Voidn nimittäin osoitt, ettei kyseisiä kolmnsi juuri yleisessä tpuksess void lusu lusekkein pelkästään relisist juurroksist! Yhtälön (1) kohdll tpus D > 0, jok siis joht kompleksilukujen kuutiojuuriin, tunnetn nimellä csus irreducibilis ( jkutumton tpus ). Csus irreducibilis jäi vrsin mystiseksi Crdnolle j hänen iklisilleen, vrsinkin kun etukäteen olisi luultv, että juuri tpus D > 0, jolloin yhtälöllä on kolme eri suurt relijuurt, olisi helpompi kuin tpus, joss os juurist on kompleksisi. Liiteessä on näytetty, kuink de Moivren kvn vull kompleksiluvust voidn ott kolms juuri trigonometristen funktioiden vull j Crdnon kvt säilyvät sikäli käyttökelpoisin. Osoitmme kuitenkin seurvss, kuink tpuksess D > 0 voidn yhtälö (1) rtkist suorn trigonometristen funktioiden yhteenlskukvn vull ilmn Crdnon kvoj! Nyt p < 0 j voimme tehdä yhtälössä (1) sijoituksen x = 2y p/3, jolloin se s muodon 4y 3 3y = q, missä q = q/2 ( p/3) 3/2. Plutmme mieleen kolminkertisen kulmn kosinin kvn: kosk cos(2x) = 2cos 2 x 1 j sin(2x) = 2sin xcos x, smme kosinin yhteenlskukvn vull cos(3x) = cos(x + 2x) = cos x(2cos 2 x 1) sin x(2sin xcos x) = 4cos 3 x 3cos x, (4) missä käytimme tieto sin 2 x = 1 cos 2 x. Sijoitmme lisäksi y = cos(t) j q = cos(φ), missä φ = rccos(q ). Jälkimmäinen sijoitus on mhdollinen, sillä tpuksess D > 0 on välttämättä q < 1. Tällöin myös y < 1, sillä tpuksess y 1 on lusekkeen 4y 3 3y itseisrvo vähintään 1. Suorittmll viimeiset sijoitukset yhtälö s muodon 4cos 3 (t) 3cos(t) = cos(φ), mikä yhteenlskukvn nojll on yhtäpitävä yksinkertisen yhtälön cos(3t) = cos(φ) knss. Pienen lskun jälkeen näemme, että tämän yhtälön rtkisuiksi (mod 2π) soveltuvt luvut t {±φ/3, ±(φ/3 + 2π/3), ±(φ/3 + 4π/3)}. Kun näistä otetn kosinit, ei merkillä ole väliä, joten puolet vihtoehdoist tippuu pois. Siispä: Luse 3. Jos D > 0, niin yhtälön (1) juuret ovt luvut ( missä φ = rccos q/2 ( p/3) 3/2 p 2 3 cos(φ 3 ), p 2 3 cos(φ 3 + 2π 3 ) j p 2 3 cos(φ 3 + 4π 3 ), ). Selvästi sdut juuret ovt kikki erisuuret. Yllättäen trvitsimmekin trigonometriset funktiot vuksi lgebrllisen yhtälön rtkisemisess! Hrj. 7. Trkstele tpust joss diskriminntti häviää, D = 0. Näytä, että Crdnon kvoiss voidn vlit u 0 = v 0 = 3 q/2 = 3 q/2, joten yksi juuri on 2 3 q/2, j tote, että muut kksi juurt yhtyvät kosk ρ 2 + ρ = 1, j että niiden rvo on 3 q/2.

10 Solmu Solmu Yhteenveton kertmme vielä: Tpuksess D > 0 on erisuuri relijuuri kolme j rtkisu on mhdollist esittää trignometristen funktioiden vull relisess muodoss. Tpuksess D < 0 relijuuri on yksi j se sdn suorn Crdnon kvojen vull relisill juurroksill, lisäksi kompleksijuuret sdn kyseisistä juurroksist kertomll sopivsti luvuill 1/2 ± i 3/2. Jos diskriminntti on noll, niin juuret ovt reliset j os niistä yhtyy. Voidn osoitt, että Crdnon kvt ovt voimss, vikk yhtälön kertoimet olisivt kompleksilukuj. Jop tässä osioss johtmmme kvt pätevät yleisesti, kun ne tulkitn oikein tällöin joudutn lskemn trigonometrisi funktioit kompleksilukurvoill, mikä olisi mielenkiintoisen trinn ihe sinänsä. Esimerkki. Trkstelln yhtälöä x 3 x = 0, jonk rtkisuiksi hvitn helposti luvut 0, ±1. Nyt q = 0, eli voimme vlit φ = π/2 j siis φ/3 = π/6. Lisäksi 2 p/3 = 2/ 3 j juuret svt muodon 2cos(t)/ 3, missä t {π/6,5π/6,3π/2}, eli smme täsmälleen oiket luvut. Hrj. 8. Rtkise yhtälö x 3 63x = 162. Keksi itse lisää esimerkkejä j test lskimell smisi juuri. Hrj. 9. Tote vihdoin, että ylioppilskirjoitustehtävän yhtälön x 3 4x 2 = 0 välillä (2,3) olev juuri voidn kirjoitt muotoon ( ( x = cos 1 3 rccos 3 )) 3. 8 Mitkä ovt yhtälön muut juuret? 4. Histori. Kolmnnen steen yhtälön rtkisutrin on kiehtov pl mtemtiikn histori. Jo ntiikin kreikkliset kohtsivt kolmnnen steen yhtälöitä, koskp monet ikkuden keskeiset ongelmt kuten kuution khdennus ti kulmn kolmijko johtvt selliseen. Arkhimedes kykeni esittämään geometrisen rtkisun, jok väistämättä johti konstruktioon, jot ei voi suoritt pelkästään hrppi j viivotint käyttäen. Geometrisen rtkisun esittivät myös eräät muut mtemtikot kuten kuuluis runoilij-mtemtikko Omr Khym 1200-luvull. Algebrllinen rtkisu kolmnnen steen yhtälölle keksittiin lopult 1500-luvull. Muoto (1) olevn yhtälön rtkisun löysi noin v Scipione del Ferro ( ), mtemtiikn professori Bolognn yliopistoss. Pidetään mhdollisen, että hän olisi snut rtkisevn iden vnhemmist rbilisist lähteistä. Ferro ei julkissut tulost, mutt pljsti suuren slisuutens oppillleen Antonio Mri Fiorille. Noin vuonn 1535 mtemtikko Niccolo Fontn lis Trtgli löysi ilmeisestikin itsenäisesti rtkisun yhtälölle, jok on muoto x 3 + rx 2 + q = 0. Fior hstoi Trtglin julkiseen kksintisteluun kolmnnen steen yhtälöiden rtkisemisess, seenn Ferron rtkisukv. Kumpikin osllistuj setti toisen rtkistvksi tukun yhtälöitä. Päivää ennen määräik yötä päivää uurstnut Trtgli lopult löysi rtkisukeinon myös Fiorin edustmlle yhtälötyypille. Lopputuloksen oli, että Trtgli rtkisi kikki hänelle nnetut tehtävät, Fior ei inuttkn. Voitoks Trtgli hlusi puolestn pitää mineens vimet omn tietonn j päätti oll pljstmtt rtkisun muille kunnes ehtisi julkist sen kirjn muodoss. Monitieteilijä Geronimo Crdno si kuitenkin houkuteltu Trtglin pljstmn rtkisukvn itselleen, tosin ensin runomuotoon puettun! Tähän liittyi vkuutus oll pljstmtt slisuutt. Lupuksestn huolimtt Crdno julkisi Trtglin tulokset suuress teoksessn Ars Mgn (Suuri Tide/Tiede). Lisäksi hän sisällytti tähän teokseen neljännen steen yhtälön rtkisun, jonk oli keksinyt hänen lhjks oppilns Ludovico Ferrri ( ). On ymmärrettävää, että Trtgli oli ktker Crdnolle, j tilnteest kehkeytyikin mtemtiikn historin ensimmäisiä tunnettuj prioriteettikiistoj. Käydyssä kiistss Ferrri puolusti kiihkeästi opettjns. Crdnon j Ferrrin hyväksi on luettv se seikk, että he sivt käsiinsä myös Fiorin lkuperäisen rtkisun Fiorin vävyltä. Crdnon kunniksi on myös snottv, että hän ei väittänyt keksineensä itse rtkisukvoj, vn tunnusti tässä suhteess täysin muiden nsiot. Kolmnnen steen yhtälön rtkiseminen oli suuri läpimurto lgebrss, jok toi tekijöilleen kuuluisuutt. Tuon hetkenä euroopplinen mtemtiikk ylitti ntiikin svutukset. Kvojen käytännöllinen rvo on huomttvsti vähäisempi (toisen steen yhtälön rtkisukv sen sijn on mtemtiikn perustyökluj) kuin itse rtkisemisen peritteellinen j psykologinen merkitys.

11 Solmu 1/ Lisäksi on merkittävää, että Crdnon kvojen löytäminen johti kompleksilukujen keksimiseen: erityisesti edellä trksteltu csus irreducibilis näytti, että puhtsti relisten ilmiöiden käsittelyyn trvitn kompleksilukuj. Jo Crdno lski formlisti imginääriluvuill, vikkei hän hyväksynytkään niitä oikesti olemss oleviksi suureiksi. Teoksess Ars Mgn hän lskee formlisti tulon (5+ 15)(5 15) sden tulokseksi korrektisti 40. Mhdollisesti Crdono hrrst tässä yhteydessä snleikkiä, sillä hän minitsee kyseisestä lskutoimituksest dimissis incrucitionibus, jonk voi kääntää unohten henkiset kärsimykset ti yhtä hyvin ristitulojen supistuttu pois (vrt. viite [C], s. 238). Itlilinen Rfel Bombelli ( ) ymmärsi, että Crdnon kvt toimivt myös csus irreducibilisin kohdll; hän itse kuvsi oivllustn villiksi jtukseksi. Frnçois Viete ( ) keksi yllä esittämämme trigonometrisen rtkisun kyseiselle tpukselle. Trksteltvn jnjkson huomttv kehitystä tphtui myös mtemtiikn symbolisess esityksessä: Crdno muotoili lgebrlliset kvt snllisess muodoss, mikä nykyktsnnoss rskutt suuress määrin esityksen ymmärtämistä. Viete puolestn sovelsi symboleit tvll, jok jo jossin määrin lähentelee nykyikist merkitsemistp. GERONIMO CARDANO ( ) syntyi Pviss Itliss. Hän oli ikkutens tunnetuimpi lääkäreitä j toimi huomttviss yliopistollisiss viroiss Pviss j Bolognss. Myös keksijänä Crdnon nimi on säilynyt: voimnsiirron perusrkenne krdnikseli on nimetty hänen mukns. Mtemtikkon hänet tunnetn ennen muut merkittävästä teoksestn Ars Mgn [GC], jok kokosi yhteen tunnetun lgebrn j nosti sen uudelle tsolle kolmnnen j neljännen steen yhtälöiden rtkisukvojen myötä. Lisäksi teoksess sllitn negtiiviset (Crdnon kielessä kuvitellut ) rtkisut yhtälöille j myös viittn imginääristen rtkisujen mhdollisuuteen. Monipuolisuuden puutteest Crdno ei voi syyttää: eräässä viheess hänet tuomittiin jumlnpilkst, myöhemmin hän kuitenkin toimi Roomss pvin hovistrologin. Elämä oli tuohon ikn värikkäämpää kuin Kuniiss j rohkeiss tänään: Crdnon vnhempi poik surmsi omn vimons rsenikill, Crdnon oppiln Ferrrin puolestn myrkytti hänen om sisrens. NICCOLO FONTANA lis TARTAGLIA ( ) syntyi Bresciss Itliss. Hän si melkein surmns miekniskust rnsklisten sotiliden vlltess Brescin v Trtgli prni (trinn mukn hänen äitinsä pelsti poikns mtkimll koirn tp hoit hvoj: nuolemll ne säännöllisesti!), mutt kärsi tphtuneen johdost vkvst änkytyksestä loppuikänsä, mistä lempinimi Trtgli (änkyttäjä) juont juurens. Köyhyyden vuoksi Trtgli joutui opettelemn kirjoittmist yksin käyttäen sl kirjoituslustn läheisen hutusmn hutkiviä! Trtgli opetti mtemtiikk useiss Itlin kupungeiss. Kolmnnen steen yhtälöiden lisäksi hän teki pioneeritutkimuss muun muss bllistiikss. Viitteet. Esitetty rtkisukvn johto seur Klle Väisälän miniot teost [V, 81 ], jost myös löytyy (82 ) neljännen steen yhtälön rtkisukv sekä todistus sille, että viidennen ti korkemmn steen yhtälöille ei ole olemss yleistä rtkisukv. Mtemtiikn historin erinominen yleisesitys [B] sekä erikoistuneempi lähdeteos [E] sisältävät lisää tieto kolmnnen steen yhtälöön liittyvästä historist. [B] Crl Boyer: Tieteiden kuningtr I-II. Art House, [C] Ronld Clinger: Clssics of mthemtics. Moore Publishing Compny, [GC] Geronimo Crdno: The gret rt (Ars mgne), [E] Howrd Eves: Gret moments in mthemtics (before 1650). The Mthemticl Assocition of Americ, [V] Klle Väisälä: Lukuteorin j korkemmn lgebrn lkeet. Otv, (toinen pinos) 1961.

12 Solmu Solmu Liite: Juurenotto j toisen steen yhtälö kompleksiluvuille. Plutmme mieleen, että mielivltinen kompleksiluku z voidn kirjoitt muotoon z = + ib, missä j b ovt mielivltisi relilukuj j i on niin snottu imginääriyksikkö, jok toteutt yhtälön i 2 = 1. Luku on luvun z relios j b imginäärios. Luvun z konjugttiluku on ib. Luku j sen konjugtti ovt keskenään liittokompleksilukuj tästä esimerkkinä luvut 1 ± i. Kompleksiluvuill hrrstetn lgebrllisi lskutoimituksi (j moni muitkin) ivn kuin tvllisill luvuill; lisäksi termit i 2 voidn in sieventää luvuksi 1. Esimerkiksi ( + ib)(c + id) = c + di + bci + bdi 2 = c bd + (d + bc)i. Toisen steen relikertoimiselle (itse siss jop kompleksikertoimiselle) yhtälölle x 2 + bx + c = 0 juuret sdn tvllisest rtkisukvst: jos diskriminntti D = b 2 4c on negtiivinen, svt juuret muodon ( b ± i D)/2. Hrj. 10. Osoit että toisen steen yhtälön x 2 + bx + c = 0 juurten summ on b j tulo c vikk juuret olisivt kompleksiset. Test tämä osoittmll rtkisukv käyttäen, että yhtälön x 2 6x + 13 = 0 juuret ovt luvut 3 ± 2i. Trkist juuret myös suorn yhtälöön sijoittmll. Algebrn perusluseen mukn yhtälöllä z n = w, missä w on kompleksiluku, on tsn n juurt. Tpuksess n = 2 juurten (siis luvun neliöjuuren) lskeminen ekplisiittisessä muodoss relisill juurilusekkeill luvun w reli- j imginääriosist on mhdollist (vrt. hrj. 13 ll). Kun n 3, tämä ei ole yleisesti tott. Juuret voidn kuitenkin helposti lske käyttämällä kompleksiluvuille polriesitystä: z = x + iy = r(cos θ + isin θ), missä r = x 2 + y 2 on luvun w moduli j θ on vihekulm. Luku r 0 on yksikäsitteisesti määrätty j θ on yksikäsitteinen modulo 2π. Vihekulm voidn rtkist vikkp yhtälöstä tn(θ) = y/x, missä rtkisuist on vlittv ne jotk ntvt oiket merkit trigonometrisille funktioille cos θ j sin θ. de Moivren kv snoo, että z n = r n (cos(nθ) + isin(nθ)), eli korotettess potenssiin n moduli korotetn vstvn potenssiin j vihekulm kerrotn n:llä. de Moivren kvn vull voimme helposti ott kompleksiluvust w n:nnen juuren kirjoittmll sille ensin polriesityksen w = R(cos φ + isin φ), jolloin näemme että juurell z = n w on n eri rvo (kun w 0) z = n ( R cos( φ n + k2π n ) + isin( φ n + k2π ) n ), k = 0,..., n 1. Esim. Kun nyt osmme ott juuri myös kompleksiluvuist (tosin trigonometrin vull), tutkimme miten Crdnon kvt toimivt yhtälölle. x 3 x = 0, jonk juuret ovt 0, ±1 (kyseessä on csus irreducibilis). Crdnon kvt ntvt yhdeksi juureksi luvun 1/27 x = /27 = 1 1 ( ) = 1 ( 3 i + 3 i) 3 3 Luvun 3 i määrittämiseksi kirjoitmme i = cos(π/2) + isin(π/2), jolloin smme kuutiojuurelle rvot cos φ + isin φ, missä φ {π/6, π/6 + 2π/3, π/6 + 4π/3}. Kyseisten kulmien trigonometriset funktiot osmme lske trksti j päädymme lukuihin i, (± 3+i)/2. Vstvsti lskemme että juuri 3 i s rvot i, (± 3 i)/2. Crdnon kvoiss voimme vikkp vlit u 0 = i/ 3 j v 0 = i/ 3, jolloin myös ehto u 0 v 0 = ( 1/3) toteutuu. Summ u 0 + v 0 = 0 nt yhden juuren, trkist itse että kvt ntvt oikein muut juuret. Hrj. 11. Rtkise yhtälö z 3 = 1. (Vihje: voit joko käyttää de Moivren kv ti sitten kirjoitt z 3 1 = (z 1)(z 2 + z + 1) j rtkist toisen steen yhtälön z 2 + z + 1 = 0 rtkisukvll) Hrj. 12. Jos luku z on luvun w kuutiojuuri, näytä että muut juuret ovt ρz, ρ 2 z, missä ρ = ( 1 + i 3)/2. Hrj. 13. Osoit, että neliöjuuri kompleksiluvust w = u + iv (tässä u, v ovt relilukuj) voidn lusu eksplisiittisesti relisten juurrosten vull. Merkitse (x+iy) 2 = u+iv j tote, että reliluvut x j y toteuttvt yhtälöprin x 2 y 2 = u, 2xy = v. Rtkise tämä korottmll jälkimmäinen yhtälö neliöön, jolloin st selville lukujen x 2 j y 2 summn j tulon, eli voit kirjoitt toisen steen yhtälön, jonk nämä luvut toteuttvt. Eero Sksmn

13 Solmu 1/ Geometrikulm 10: Mikä on pint? Khdekss geometrikulm (Solmu 2/ ) pyrki määrittelemään käyrän. Pintoj voidn käsitellä smn tpn. Melko luontevlt inkin liik pohtimtt tuntuu kutsu pinnksi khden muuttujn funktion f(x, y) kuvj, so. niiden pisteiden (x, y, z) joukko, jotk toteuttvt yhtälön z = f(x, y). Tässähän xy-tson pisteen (x, y) yläpuolelle (ti l-) korkeuteen f(x, y) setetn yksi pinnn piste. Jos funktio f on jtkuv, pisteet ilmeisestikin sijitsevt siten, että niiden voidn kuvitell muodostvn pinnn. Tilnne on verrttviss muodoss y = f(x) nnettuun käyrään. Selvyyden vuoksi todettkoon, että lukujen x, y j z jtelln tällöin olevn suorkulmisi koordinttej. Välttämätöntähän tämä ei ole. (Pllokoordinttej tuntev lukij pohtikoon, mitä edellä snotust tulisi, jos kyseessä olisivtkin pllokoordintit z = r = etäisyys origost, x = ϑ = mntieteellinen leveys, y = ϕ = mntieteellinen pituus.) Yksinkertisen esimerkkinä olkoon suorkulmisiss koordinteiss nnettu pint z = xy x 2 + y 2, jok on määritelty kikkill muull pitsi origoss. Oheinen kuvio osoitt, että origon kohdll pint käyttäytyy hiemn erikoisell tvll. Funktiost ei sd origoss jtkuv, nnetnp sille origoss mikä thns rvo. Lukij miettiköön, onko hän vlmis kutsumn funktion kuvj pinnksi. (Määritelmäthän ovt tietyssä määrin mielivltisi: ne setetn täsmällistämään jokin intuitiivinen ide.) Kuvio on smll esimerkki siitä, että funktion epäjtkuvuus voi oll monimutkisemp, kuin yhden muuttujn funktioiden ntmn mielikuvn pohjlt voi kuvitell.

14 Solmu Solmu z x 1 1 y Toislt muoto F(x, y, z) = 0 olev yhtälö tuntuisi inkin ik usein esittävän pint. Esimerkiksi x 2 + y 2 + z 2 R 2 = 0 esittää R-säteistä origokeskistä pllo. Muodoss z = f(x, y) esitetty pint on tämän esitystvn erikoistpus: z f(x, y) = 0. Toislt mikä thns kolmen muuttujn funktio F ei kelp määrittelemään pint: x 2 + y 2 + z 2 +1 = 0 ei esitä mitään; x 2 + y 2 + z 2 = 0 on yksi ino piste; (x y) 2 +(y z) 2 = 0 toteutuu vin, kun x = y = z, ts. kyseessä on origon kutt kulkev suor. Helpoin j monikäyttöisin tp pinnn esittämiseen on kuitenkin sen prmetriesitys: Olkoon nnettun funktiot x(u, v), y(u, v) j z(u, v). Kun prmetrit u j v svt kikki prmetrilueen rvot, so. piste (u, v) sijitsee eräässä uv-tson joukoss, määrittävät funktiot xyz-vruuden pisteen (x(u, v), y(u, v), z(u, v)). Tämä on pinnn piste. Funktioilt x, y j z on edellytettävä jonkinlist säännöllisyyttä, jott syntyvää pistejoukko olisi järkevää kutsu pinnksi. Jtkuvi niiden tulee inkin oll. Tämä ei kuitenkn riitä: jos esimerkiksi x(u, v) = y(u, v) = z(u, v) = u + v 2 + sin(uv), on in x = y = z, j pisteet sijitsevt suorll. Mitä funktioist itse siss on oletettv, ei ole ivn yksinkertist eikä täysin vkiintunutt mtemttisess kirjllisuudesskn. Lisätietoj kipv lukij etsiköön käsiinsä jonkin (hyvän) usen muuttujn nlyysi käsittelevän oppikirjn. Muodoss z = f(x, y) nnetulle pinnlle on prmetriesitys helposti kirjoitettviss: prmetreiksi vlitn u = x j v = y, jolloin trvittvt kolme funktiot ovt x(u, v) = u, y(u, v) = v, z(u, v) = f(u, v). Prmetriesityksen etsiminen pllopinnlle x 2 +y 2 +z 2 = R 2 ei ole ivn yhtä suorviivist. Mhdollisuuksikin on useit. Pllokoordinttien perusteell stisiin x = R cos ϑcos ϕ, y = R cos ϑsin ϕ, z = R sin ϑ, missä prmetrilueen on π/2 ϑ π/2, π ϕ π. Lusekkeet tulevt ymmärrettäviksi pohtimll niitä lkeistrigonometrin j oheisen kuvion vloss. Lukij voi myös lskemll todet, että lusekkeiden neliösumm todellkin on R 2. z (x, y, z) R sin ϑ R R cos ϑcos ϕ ϕ ϑ R cos ϑsin ϕ x y

15 Solmu 1/ Tällä pllon prmetriesityksellä on heikkoutens: Pllo tvlln sdn tivuttelemll prmetritson suorkulmio {(ϑ, ϕ) π/2 ϑ π/2, π ϕ π} pllopinnksi j liimmll reunt ϕ = π j ϕ = π yhteen; liimuskoht on pllon meridinikäyrä. Liimuskohdn eri puolill sijitsevt pllopinnn pisteet voivt oll hyvinkin lähellä toisin, mutt niitä vstvt prmetritson pisteet (ϑ, ϕ) ovt toisistn kukn. Lukij miettikööön myös, mitkä pllopinnn pisteet syntyvät prmetritson suorkulmion khdest muust sivust ϑ = π/2, ϑ = π/2. Hiemn yksinkertisempi esimerkki on ruuvipint: x = ucos v, y = usin v, z = v, 0 u 1, 0 v 4π. 2π 2 z x y 1 1 Lopuksi hrjoitustehtävä: Millinen on pint x = (v 2 1)cos u, y = (v 2 1)sin u, z = v? Lukij miettiköön si ensin pelkästään yhtälöitä pohtimll. Jos käytetävissä on jokin sopiv tietokoneohjelm, pinnn voi piirtää. Tätä vrten on kuitenkin ensin löydettävä sopiv prmetrilue. Onko pinnll joitkin erikoissemss olevi pisteitä? P.S. Kuvt ovt peräisin ltimistni oppimterileist: pinnt monisteest Vektorimuuttujn nlyysi, Ottieto 1999, j pllokoordintit kirjst M niinkuin mtemtiikk, MFKA Jälkimmäinen on stviss myös verkkodokumenttin: Simo K. Kivelä

16 Solmu Solmu Roomliset numerot lskento ilmn kertotulu Vikk normliin kirjoitusjärjestelmäämme kuuluvt rbiliset numerot 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0 ovt svuttneet jokseenkin universlin semn, roomlist lukumerkintää näkee yhä kellotuluiss, juhlllisesti ilmistuiss vuosiluvuiss, kuninkllisten nimissä (Krle XVI Kust), joskus merikklisiss vähemmänkin kuninkllisiss nimissä (Henry Ford III), kirjojen lukujen ti osien järjestysnumeroiss sekä ulkomlisten kirjojen esipuheosston sivunumeroiss. Myös lääkeresepteissä on tpn ilmoitt nnoskoko roomlisin numeroin. Roomlisen numerojärjestelmä perusjtus on yhteenlsku. Se on sm kuin sormill lskemisen ti helmitulun ti tukkimiehen kirjnpidon: numero esitetään yhtä monell merkillä kuin numeron esittämä luku ilmisee. Siten 1 = I, 2 = II, 3 = III, 4 = IIII. Kosk lukujen ksvess menettely tulee kömpelöksi, otetn käyttöön lyhennysmerkinnät 5 = V, 10 = X, 50 = L, 100 = C, 500 = D j 1000 = M. Joidenkin käsitysten mukn viiden kymmenmonikertoj edustvt V, L j D olisivt peräisin muinisten roomlisten npureilt, sittemmin roomlisiin sulutuneilt etruskeilt. Antiikin roomliset muodostivt numerons yksinkertisesti kirjoittmll näitä merkkejä peräkkäin trvittvn määrän. Siten esim. 90 = DXXXX j 1492 = MCCCCLXXXXII. Keskijll tuli kuitenkin käyttöön lyhennysmerkintä, jot nykyäänkin sovelletn. Siinä symbolit I, X j C kirjoitettun jommn kummn välittömästi suuremmn symbolin eteen tulkitn vähentävästi. Siis IV = 4, IX = 9, XL = 40, XC = 90, CD = 400 j CM = 900. Siis 19 = XIX, 49 = XLIV, 1999 = MCMXCIX, 1492 = MCDXCII. Nämä nykyisin oikeiksi kiteytyneet käsitykset roomlisist numeroist ovt vähän liinkin selkeitä. Tosisiss merkintätvt ovt olleet huomttvsti kirjvmpi j käytössä olleiden numeromerkkien vlikoimkin suurempi. Roomliset numerot eivät nykyään esiinny yhteyksissä, joiss niillä pitäisi suoritt lskutoimituksi. Mutt toki roomlisill numeroill on lskettu käytiinhän ntiikisskin kupp j kerättiin veroj. Yhteenlsku lkuperäisillä ntiikin merkinnöillä on helppo: kirjoitetn vin yhteenlskettvien merkit peräkkäin j yhdistetään viiden niput: = CCCCXXXIIII + CXXXVI = CCCCCXXXXXXVIIIII = DLXVV = DLXX. Huom, että et tässä trvitse sellisi l-steell ti ikisemmin ulko oppimisi sioit kuin = 10 ti = 6. Jos käytetään modernimp merkintää, täytyy ott huomioon sievennyssääntö: vähentävän I:n, X:n ti C:n kompensoi vstv lisäävä merkki. Siis CDXXXIV + CXXXVI = CDCXXXXXXIVVI = DXXXXXXVV = DLXX. Roomlisten numeroiden kertolsku on helpoint hhmott helmitulunomisell menetelmällä. Tämä on erityisen selkeää, jos kerrottvss j kertojss ei esiinny yhtä ik etruskimerkkejä V, L ti D. Tällöin riittää,

17 Solmu 1/ kun kirjoitetn kerrottvn j kertojn MDCLVI-rkenteet llekkin käyttämällä jotin lskumerkkiä, vikkp x:ää. Jokist kertojn kvioss olev merkkiä kohden kirjoitetn kerrottvn rkenne lkmn oikelt tämän merkin kohdlt. Lsketn smss pystyrivissä olevt merkit yhteen j sievennetään trpeen mukn. Trkstetn esimerkkinä kertolsku XXVI kert CXXI eli M D C L X V I x xx x xx x x x xx x x xx x x xx x x xx x MM D CCCCC LL XXXX V I Sievennyksen jälkeen sdn tulos MMMCXLVI eli Etruskimerkkien keskinäinen kertolsku vtii omn sääntönsä. Tällisess kertolskuss kirjoitetn sinomiseen srkkeeseen edelleen yksi lskumerkki, mutt sen lisäksi seurvn vsemmnpuoleiseen kksi merkkiä. Lsketn VI kert XVI eli 6 16 j käytetään etruskilukuihin liittyvänä lskumerkkinä selvyyden vuoksi y:tä. Symbolit y j x ovt kuitenkin ihn smnrvoisi. Sievennys nt lopputuloksen XCVI eli 96. L X V I x y x y x x y x x yy yx L XXX VVV I Jos luvuiss käytetään vähennysmerkintöjä kuten IX ti XL, trvitn vielä yksi sääntö. Tällöin merkitään vähentävien symbolien srkkeeseen esimerkiksi :ll täydennetty lskumerkki. Jos kertojsrkkeess on tällinen merkki, kerrottvn siirross jokinen pilkuton merkki muutetn pilkulliseksi j pilkullinen pilkuttomksi. Yhteenlskuss pilkullinen j pilkuton merkki kumovt toisens. Esimerkki XLIV kert XLIV eli 44 2 vlisee si: M D C L X V I y x y x y x y x y x y x yy yx yy yx y x y x yy yx yy yx MM D CCCC L L XXXX V I Lskun tulos on MCMXXXVI eli Tuntuuko mutkikklt? Ehkä tämä onkin hnkl, mutt toislt huomt, että kertolskun olennist puvälinettä, kertotulu, et trvitse ollenkn. Jos siis huomt, että sellisen tiedon kuin 7 6 = 42 ti 8 7 = 56 tllentminen päässä on työlästä, voit yrittää ruvet lskemn roomlisin numeroin! Entä jkolsku? Jkolsku perustuu siihen, että selvitetään montko kert jkj voidn vähentää vähennettävästä. Lsketn esimerkiksi CCCLXXVII jettun XV:llä. C L X V I (1) x y (2) xx y (3) xx[x] (xx)x xx x xx (4) xx yy (5) x xx x xx (6) x yy y (7) xx

18 Solmu Solmu Kvioon on riville (1) merkitty jkj j riville (3) jettv. Osmäärä kertyy riville (2). Riville (4) on kirjoitettu jkj siirrettynä khdesti. Kosk L-srkkeess oli lkun vin yksi merkki, ei kht L:ää voisi vähentää. Tämän vuoksi C-srkkeen kolmest merkistä yksi on linttu L-srkkeeseen, joss sitä vst kksi merkkiä. Linusopertio on hvinnollistettu hksulkein j tvllisin sulkein. Osmäärään on siirretyn luvun ykkössrkkeeseen merkitty yhtä mont merkkiä kuin (4)- riviltä näkyvä jkjn monikert (tässä siis kksi). Rivi (4) on sitten vähennetty rivistä (3). Kosk seurv siirto johtisi siirretyn jonon ykköset etruskimerkin piklle, kirjoitetn riville (6) rivin (1) siirron sijst rivi, jok ott huomioon etruskikertosäännön. Vähennys voidn tehdä vin kerrn, joten siirretyn jkjn ykkössrkkeeseen eli srkkeeseen V tulee vin yksi merkki. Vähennyslskun tulos rivillä (7) nt jkojäännöksen. Vstus luetn riveiltä (2) j (7): CCCLXXVII jettun XV:llä on XXV, jää II. Roomlisen numerojärjestelmän perusjtus, lukuun sisältyvien kymmenpotenssien lukumäärän ilmiseminen kutkin kymmenpotenssi vstvn merkin lukumäärällä, esiintyy moniss eri kulttuureiss, jo egyptiläisestä hieroglyfikirjoituksest lken. Muiniskreikklisten khdest lukujärjestelmästä toinen, ns. ttiklinen järjestelmä, on hyvin smnlinen kuin roomlisten lukujärjestelmä. Eri kulttuureiss esiintyi myös toisenlisi lukujenmerkitsemisjtuksi. Muinisess Kksoisvirtinmss, nuolenpääkirjoituksen lueell, tuli käyttöön järjestelmä, joss luvuille 1,...,59 oli kullekin om merkkinsä, mutt luvuille 60 j 60 2 käytettiin sm merkkiä kuin luvulle 1, j kksi rinnkkin olev ykkösen j kkkosen merkkiä trkoitti joko luku 62 = ti 121 = Tämä on vrhisin pikkjärjestelmä, lukujärjestelmä, joss sm merkki trkoitt eri luku riippuen siitä, missä semss se on muihin numeromerkkeihin nähden. Muinisill kiinlisill oli käytössä lähes nykyikinen pikkjärjestelmä, jok kuitenkin toimi niin, että ykkösiä osoittvt merkit sttoivt osoitt myös stoj, kymmeniä tuhnsi jne., kun ts kymmeniä osoittvt merkit trkoittivt myös tuhnsi j stoj tuhnsi. Meidän kymmenjärjestelmämme juuret johtvt Intin, joss inkin jo vrhiskeskijll noin 500 jkr. oli käytössä pikkjärjestelmä, joss lkuun yhdeksällä numeromerkillä osoitettiin kikki positiiviset luvut. Näillä luvuill lskeminen vti omt tekniikkns j kertotulun. Tärkeän plveluksen intilisten numeroiden milmnvlloitusmtklle teki Bgddiss 800-luvun lkupuolell vikuttnut Muhmmd ibn Mus Al-Khowrizmi. Hän kirjoitti rbin kielellä intilisten numeroiden käyttöoppn, jok myöhemmin käännettiin ltinksi. Al- Khowrizmin nimi vääntyi muotoon lgorismi, joll trkoitettiin uutt tp lske, j intilisist numeroist lettiin puhu rbilisin. (Al-Khowrizmin kirjn ltinnkielinen nimi oli kyllä De numero indorum) Ei ole vike tunnist Al-Khowrizmist myös lgoritmi-snn lkuperää. Nyt päättymässä olevn vuosituhntemme (sehän kikest millenniumkohust huolimtt päättyy vst vuoden 2000 lopuss!) ensimmäisten vuosistojen ikn uutt lskutp knnttneet lgoristit j roomlisi numeroit sekä helmitulun eli bkuksen käyttöä puolustneet bbkistit kiistelivät menetelmien premmuudest. Algoristien voitto tuli hitsti ennkkoluulot olivt voimkkit. Vielä vuonn 1299 nnettiin Firenzessä setus, jok kielsi rhnvihtji käyttämästä liiketoimissn rbilisi numeroit. Mtti Lehtinen

19 Solmu 1/ Pythgorn luse Pythgors Smoslinen Pythgors on legendrinen kreikklinen mtemtiikko j filosofi. Tiedot hänen elämästään ovt epävrmoj j ristiriitisi. Tärkein Pythgorst j pythgorlisi koskev lähde on Lmblichosin (n. 300 ekr.) kirjoittm Pythgorn elämä. Suori sikirjoj ei ole säilynyt vikk ntiikiss kirjoitettiin useit Pythgorn elämäkertoj. Seurv kuvus on peräisin E. S. Loomisilt, jok vuonn 1940 kokosi yhteen 370 todistust Pythgorn luseest. Pythgors syntyi Tyroksess 569 ekr., mutt ksvoi Smoksell. Vuonn 549 hän mtkusti Miletokseen, joss hn tpsi Thleen j Anksimndroksen, joist ensimmäinen oli tuolloin 75-vuotis. Miletoksess Pythgors opiskeli kosmogrfi, jok trkoitti fysiikk j mtemtiikk. Pri vuott myöhemmin hän mtkusti Egyptiin, joss hänest tuli Thebn uskonnollisen seurn jäsen. Kun persiliset vuonn 526 vlloittivt Egyptin, Pythgors mtkusti edelleen Bbylonin, joss hän tpsi intilisi, kiinlisi j juutlisi. Kymmenisen vuott myöhemmin hän plsi Smokselle. Kun Pythgors vuonn 510 joutui tyrnni Polykrteen epäsuosioon Smoksell, hän lähti Krotoniin Mgn Greciss. Siellä hän piti puheit nuorille j perusti koulun. Hän sikin melko pin suuren joukon oppilit, joiden knss hän keskusteli etiikst, sielun kuolemttomuudest j trnsmigrtiost eli sielunvelluksest. Vuonn 490 Pythgors jätti Krotonin j muutti Trsiin. Hän kuoli 99-vuotin vuonn 469 ekr. Metpontioniss. Prokloksen mukn Pythgors j Thles toivt mtemtiikn idäst Kreikkn. [TM93, s. 321] Pythgorn luse Tämä mtemtiikn kuuluisin j tunnetuin luse snoo: Suorkulmisen kolmion hypotenuusn neliö on kteettien neliöiden summ, eli kuvn 1 merkinnöin c 2 = 2 + b 2.

20 Solmu Solmu b c Kuv 1. Pythgorn lusett hvinnollistvi plpelejä j niihin liittyviä todistuksi Plpeli 1 [Väi64, s. 48] Kuvss 2 neliön sivun pituus on + b kuten myös kuvss 3, joten molemmt neliöt ovt smnkokoisi. Molempiin neliöhin on sijoitettu neljä suorkulmist kolmiot, joiden kteetit ovt j b, hypotenuus c j terävät kulmt α j β. Kolmioiden ulkopuoliset lueet ovt siis yhtäsuuret. Kuvn 2 nelikulmion sivut ovt kikki yhtä pitkiä. Jokinen kulm on 180 (α + β) = = 90. Nelikulmio on siis neliö j sen l on c 2. Kuvss 3 yhteneviä kolmioit on siirrelty siten, että muotostuu kksi neliötä, joiden pint-lt ovt 2 j b 2. Siispä c 2 = 2 + b 2. b c Kuv 2.

Pythagoraan lause. Pythagoras Samoslainen. Pythagoraan lause

Pythagoraan lause. Pythagoras Samoslainen. Pythagoraan lause Pythgorn luse Pythgors Smoslinen Pythgors on legendrinen kreikklinen mtemtiikko j filosofi. Tiedot hänen elämästään ovt epävrmoj j ristiriitisi. Tärkein Pythgorst j pythgorlisi koskev lähde on Lmlihosin

Lisätiedot

OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA

OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupil, Ktj Leinonen, Tuomo Tll, Hnn Tuhknen, Pekk Vrniemi Alkupl Tiedekeskus Tietomn torninvrtij

Lisätiedot

Riemannin integraalista

Riemannin integraalista Lebesguen integrliin sl. 2007 Ari Lehtonen Riemnnin integrlist Johdnto Tämän luentomonisteen trkoituksen on tutustutt lukij Lebesgue n integrliin j sen perusominisuuksiin mhdollisimmn yksinkertisess tpuksess:

Lisätiedot

Syksyn 2015 Pitkän matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut

Syksyn 2015 Pitkän matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut Sksn 0 Pitkän mtemtiikn YO-kokeen TI-Nspire CAS -rtkisut Tekijät: Olli Krkkulinen Rtkisut on ldittu TI-Nspire CAS -tietokoneohjelmll kättäen Muistiinpnot -sovellust. Kvt j lskut on kirjoitettu Mth -ruutuihin.

Lisätiedot

2.1 Vaillinaiset yhtälöt

2.1 Vaillinaiset yhtälöt .1 Villiniset yhtälöt Yhtälö, jok sievenee muotoon x + bx + c = 0 (*) on yleistä normlimuoto olev toisen steen yhtälö. Tämän rtkiseminen ei olekn enää yhtä meknist kuin normlimuotoisen ensisteen yhtälön

Lisätiedot

11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS

11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS 11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS Tilvuus on sen verrn rkielämässä viljelty käsite, että useimmiten sen syvemmin edes miettimättä ymmärretään, mitä juomlsin ti pikkuvuvn kylpymmeen tilvuudell trkoitetn.

Lisätiedot

Esimerkki 8.1 Määritellään operaattori A = x + d/dx. Laske Af, kun f = asin(bx). Tässä a ja b ovat vakioita.

Esimerkki 8.1 Määritellään operaattori A = x + d/dx. Laske Af, kun f = asin(bx). Tässä a ja b ovat vakioita. 8. Operttorit, mtriisit j ryhmäteori Mtemttinen operttori määrittelee opertion, jonk mukn sille nnettu funktiot muoktn. Operttorit ovt erityisen tärkeitä kvnttimekniikss, kosk siinä jokist suurett vst

Lisätiedot

Integraalilaskentaa. 1. Mihin integraalilaskentaa tarvitaan? MÄNTÄN LUKIO

Integraalilaskentaa. 1. Mihin integraalilaskentaa tarvitaan? MÄNTÄN LUKIO Integrlilskent Tämä on lukion oppimterileist hiemn poikkev yksinkertistettu selvitys määrätyn integrlin lskemisest. Kerromme miksi integroidn, mitä integroiminen trkoitt, miten integrli lsketn j miten

Lisätiedot

1. Derivaatan Testi. Jos funktio f on jatkuva avoimella välillä ]a, b[ ja x 0 ]a, b[ on kriit. tai singul. piste niin. { f (x) > 0, x ]a, x 0 [

1. Derivaatan Testi. Jos funktio f on jatkuva avoimella välillä ]a, b[ ja x 0 ]a, b[ on kriit. tai singul. piste niin. { f (x) > 0, x ]a, x 0 [ 1. Derivtn Testi Jos funktio f on jtkuv voimell välillä ], b[ j x 0 ], b[ on kriit. ti singul. piste niin { f (x) < 0, x ], x 0 [ f x (x) > 0, x ]x 0, b[ 0 on lokli minimipiste (1) { f (x) > 0, x ], x

Lisätiedot

Kuvausta f sanotaan tällöin isomorfismiksi.

Kuvausta f sanotaan tällöin isomorfismiksi. Määritelmä..12. Oletetn, että 1 =(V 1,E 1 ) j 2 =(V 2,E 2 ) ovt yksinkertisi verkkoj. Verkot 1 j 2 ovt isomorfiset, jos seurvt ehdot toteutuvt: (1) on olemss bijektio f : V 1 V 2 (2) kikill, b V 1 pätee,

Lisätiedot

3.5 Kosinilause. h a c. D m C b A

3.5 Kosinilause. h a c. D m C b A 3.5 Kosiniluse Jos kolmiost tunnetn kksi sivu j näien välinen kulm, sinilusett on sngen vike sovelt kolmion rtkisemiseen. Luse on työklun vuton myös kolmion kulmien rtkisemiseen tpuksess, jolloin kolmion

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 5 1 Jtkuvuus Trkstelln funktiot fx) josskin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jtkuv ti epäjtkuv. Jtkuvuuden ymmärtää prhiten trkstelemll epäjtkuv

Lisätiedot

LINSSI- JA PEILITYÖ TEORIAA. I Geometrisen optiikan perusaksioomat

LINSSI- JA PEILITYÖ TEORIAA. I Geometrisen optiikan perusaksioomat (0) LINSSI- JA PEILITYÖ MOTIVOINTI Tutustutn linsseihin j peileihin geometrisen optiikn mittuksiss Tutkitn vlon käyttäytymistä linsseissä j peileissä Määritetään linssien j peilien polttopisteet Optiset

Lisätiedot

3.3 KIELIOPPIEN JÄSENNYSONGELMA Ratkaistava tehtävä: Annettu yhteydetön kielioppi G ja merkkijono x. Onko

3.3 KIELIOPPIEN JÄSENNYSONGELMA Ratkaistava tehtävä: Annettu yhteydetön kielioppi G ja merkkijono x. Onko 3.3 KILIOPPIN JÄSNNYSONGLMA Rtkistv tehtävä: Annettu yhteydetön kielioppi G j merkkijono x. Onko x L(G)? Rtkisumenetelmä = jäsennyslgoritmi. Useit vihtoehtoisi menetelmiä, erityisesti kun G on jotin rjoitettu

Lisätiedot

6 Integraalilaskentaa

6 Integraalilaskentaa 6 Integrlilskent 6. Integrlifunktio Funktion f integrlifunktioksi snotn funktiot F, jonk derivtt on f. Siis F (x) = f (x) määrittelyjoukon jokisell muuttujn rvoll x. Merkitään F(x) = f (x) dx. Integrlifunktion

Lisätiedot

A-Osio. Valitse seuraavista kolmesta tehtävästä kaksi, joihin vastaat. A-osiossa ei saa käyttää laskinta.

A-Osio. Valitse seuraavista kolmesta tehtävästä kaksi, joihin vastaat. A-osiossa ei saa käyttää laskinta. MAA Loppukoe 5.. Jussi Tyni Tee pisteytysruudukko konseptin yläreunn! Vstuksiin väliviheet, jotk perustelevt vstuksesi! Lue ohjeet huolellisesti! A-Osio. Vlitse seurvist kolmest tehtävästä kksi, joihin

Lisätiedot

T Syksy 2002 Tietojenkäsittelyteorian perusteet Harjoitus 5 Demonstraatiotehtävien ratkaisut. ja kaikki a Σ ovat säännöllisiä lausekkeita.

T Syksy 2002 Tietojenkäsittelyteorian perusteet Harjoitus 5 Demonstraatiotehtävien ratkaisut. ja kaikki a Σ ovat säännöllisiä lausekkeita. T-79.8 Syksy 22 Tietojenkäsittelyteorin perusteet Hrjoitus 5 Demonstrtiotehtävien rtkisut Säännölliset lusekkeet määritellään induktiivisesti: j kikki Σ ovt säännöllisiä lusekkeit. Mikäli α j β ovt säännöllisiä

Lisätiedot

sin θ θ θ r 2 sin 2 θ φ 2 = 0.

sin θ θ θ r 2 sin 2 θ φ 2 = 0. Mtemtiikn j tilstotieteen litos Osittisdifferentiliyhtälöt Kevät 21 Hrjoitus 9 Rtkisuj Jussi Mrtin 1. Osoit, että Lplce-yhtälö pllokoordinteiss on 2 u 1 r 2 2 u r r 1 r 2 sin θ u 1 2 u sin θ θ θ r 2 sin

Lisätiedot

lim + 3 = lim = lim (1p.) (3p.) b) Lausekkeen täytyy supistua (x-2):lla, joten osoittajan nollakohta on 2.

lim + 3 = lim = lim (1p.) (3p.) b) Lausekkeen täytyy supistua (x-2):lla, joten osoittajan nollakohta on 2. Mtemtiikk III 0600 Kurssi / Differetili- j itegrlilske jtkokurssi Tee 7 tehtävää ) Määritä lim ( ) ) + b) Määritä vkio site, että luseke ( ) + + ( )( ) ( + + ) + + + + + lim + lim lim (p) o jtkuv myös

Lisätiedot

VEKTOREILLA LASKEMINEN

VEKTOREILLA LASKEMINEN 3..07 VEKTOREILLA LASKEMINEN YHTEENLASKU VEKTORIT, MAA Vektoreiden j summ on vektori +. Tämän summvektorin + lkupiste on vektorin lkupiste j loppupiste vektorin loppupiste, kun vektorin lkupisteenä on

Lisätiedot

ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2016

ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2016 ICS-C2 Tietojenkäsittelyteori Kevät 2 Kierros,. 5. helmikuut Demonstrtiotehtävien rtkisut D: Sievennä seurvi säännöllisiä lusekkeit (so. konstruoi yksinkertisemmt lusekkeet smojen kielten kuvmiseen): ()

Lisätiedot

Kertymäfunktio. Kertymäfunktio. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 2/2. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 1/2. Kertymäfunktio: Esitiedot

Kertymäfunktio. Kertymäfunktio. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 2/2. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 1/2. Kertymäfunktio: Esitiedot TKK (c) Ilkk Mellin (24) 1 Johdtus todennäköisyyslskentn TKK (c) Ilkk Mellin (24) 2 : Mitä opimme? 1/2 Jos stunnisilmiötä hlutn mllint mtemttisesti, on ilmiön tulosvihtoehdot kuvttv numeerisess muodoss.

Lisätiedot

601 Olkoon tuntematon kateetti a ja tuntemattomat kulmat α ja β Ratkaistaan kulmat. 8,4 = 12. Ratkaistaan varjon pituus x. 14 x = 44,

601 Olkoon tuntematon kateetti a ja tuntemattomat kulmat α ja β Ratkaistaan kulmat. 8,4 = 12. Ratkaistaan varjon pituus x. 14 x = 44, Pyrmidi 3 Geometri tehtävien rtkisut sivu 08 60 Olkoon tuntemton kteetti j tuntemttomt kulmt j β Rtkistn kulmt. 8,4 cos 8,4 cos 45,579... 46 β 90 60 4 Rtkistn vrjon pituus 3 44,470... 44 Rtkistn kteetti.

Lisätiedot

Polynomien laskutoimitukset

Polynomien laskutoimitukset Polyomie lskutoimitukset Polyomi o summluseke, joss jokie yhteelskettv (termi) sisältää vi vkio j muuttuj välisiä kertolskuj. Esimerkki 0. Mm., 6 j ovt polyomej. Polyomist, joss o vi yksi termi, käytetää

Lisätiedot

763333A KIINTEÄN AINEEN FYSIIKKA Ratkaisut 1 Kevät 2014

763333A KIINTEÄN AINEEN FYSIIKKA Ratkaisut 1 Kevät 2014 763333A KIINTEÄN AINEEN FYSIIKKA Rtkisut 1 Kevät 014 1. Tehtävä: Lske, kuink mont hilpistettä on yksikkökopiss ) yksinkertisess kuutiollisess, b) tkk:ss j c) pkk:ss. (Ot huomioon, että esimerkiksi yksikkökopin

Lisätiedot

Riemannin integraalista

Riemannin integraalista TAMPEREEN YLIOPISTO Pro grdu -tutkielm Aij Stenberg Riemnnin integrlist Mtemtiikn j tilstotieteen litos Mtemtiikk Syyskuu 2010 2 Tmpereen yliopisto Mtemtiikn j tilstotieteen litos STENBERG, AIJA: Riemnnin

Lisätiedot

Sarjaratkaisun etsiminen Maplella

Sarjaratkaisun etsiminen Maplella Srjrtkisun etsiminen Mplell Olkoon trksteltvn ensimmäisen kertluvun differentiliyhtälö: > diffyht:= diff(y(x, x=1y(x^; d diffyht := = dx y( x 1 y( x Tälle pyritään etsimään srjrtkisu origokeskisenä potenssisrjn.

Lisätiedot

( ) Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 321 Päivitetty 19.2.2006. Saadaan yhtälö. 801 Paraabeli on niiden pisteiden ( x,

( ) Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 321 Päivitetty 19.2.2006. Saadaan yhtälö. 801 Paraabeli on niiden pisteiden ( x, Pyrmidi Anlyyttinen geometri tehtävien rtkisut sivu Päivitetty 9..6 8 Prbeli on niiden pisteiden (, y) joukko, jotk ovt yhtä kukn johtosuorst j polttopisteestä. Pisteen (, y ) etäisyys suorst y = on d

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus

Lisätiedot

a = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b f(x) dx = I. lim f(x k ) x k=1

a = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b f(x) dx = I. lim f(x k ) x k=1 5 Integrli 5.1 Määritelmä j ominisuudet Olkoon f : [, b] R jtkuv. Muodostetn välin [, b] jko = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b j siihen liittyvä yläsumm S = n M k (x k x k 1 ), M k = mx{f(x) x k 1 x x k },

Lisätiedot

Tehtävä 1. Jatka loogisesti oheisia jonoja kahdella seuraavaksi tulevalla termillä. Perustele vastauksesi

Tehtävä 1. Jatka loogisesti oheisia jonoja kahdella seuraavaksi tulevalla termillä. Perustele vastauksesi Tehtävä. Jtk loogisesti oheisi jonoj khdell seurvksi tulevll termillä. Perustele vstuksesi lyhyesti. ), c, e, g, b),,, 7,, Rtkisut: ) i j k - oike perustelu j oiket kirjimet, nnetn p - oike perustelu,

Lisätiedot

TEHTÄVÄ 1. Olkoon (f n ) jono jatkuvia funktioita f n : [a, b] R, joka suppenee välillä [a, b] tasaisesti kohti funktiota f : [a, b] R.

TEHTÄVÄ 1. Olkoon (f n ) jono jatkuvia funktioita f n : [a, b] R, joka suppenee välillä [a, b] tasaisesti kohti funktiota f : [a, b] R. Topologi I Hrjoitus 10, rtkisuj AP TEHTÄVÄ 1. Olkoon (f n ) jono jtkuvi funktioit f n : [, b] R, jok suppenee välillä [, b] tsisesti kohti funktiot f : [, b] R. Osoit, että tällöin f n (x) dx f(x) dx.

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 3 Määrätyn integrlin lskeminen Aiemmin määrittelimme määrätyn integrlin f (x)dx funktion f (x) l- j yläsummien rj-rvon. Määrätyllä integrlill on kksi intuitiivist tulkint:.

Lisätiedot

Analyysi 2. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Kevät Anna sellainen välillä ] 2, 2[ jatkuva ja rajoitettu funktio f, että

Analyysi 2. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Kevät Anna sellainen välillä ] 2, 2[ jatkuva ja rajoitettu funktio f, että Anlyysi Hrjoituksi lukuihin 3 / Kevät 5. Ann sellinen välillä ], [ jtkuv j rjoitettu funktio f, että () sup A m A j inf A min A, (b) sup A m A j inf A = min A, (c) sup A = m A j inf A min A, (d) sup A

Lisätiedot

MITEN MÄÄRITÄN ASYMPTOOTIT?

MITEN MÄÄRITÄN ASYMPTOOTIT? MITEN MÄÄRITÄN ASYMPTOOTIT? Asmptootti Asmptootti on suor ti muu kärä, jot funktion kuvj f() rjtt lähest, kun muuttujn rvot lähestvät tiettä luku ti ääretöntä. Rjoitutn luksi niihin tpuksiin, joiss smptootti

Lisätiedot

8.4 Gaussin lause Edellä laskettiin vektorikentän v = rf(r) vuo R-säteisen pallon pinnan läpi, tuloksella

8.4 Gaussin lause Edellä laskettiin vektorikentän v = rf(r) vuo R-säteisen pallon pinnan läpi, tuloksella H 8.3.2 uontegrlt: vektoreden pntntegrlt Tvllsn tpus pntntegrlest on lske vektorkentän vuo pnnn läp: Trkstelln pnt j sllä psteessä P (x, y, z olev pnt-lkot d. Määrtellään vektorlnen pnt-lko d sten, että

Lisätiedot

Suorat, käyrät ja kaarevuus

Suorat, käyrät ja kaarevuus Suort, käyrät j krevuus Jukk Tuomel Professori Mtemtiikn litos, Joensuun yliopisto Suor? Tämä kirjoitus on eräänlinen jtko Timo Tossvisen suorn määritelmää koskevn kirjoitukseen Solmun numeross 2/2002.

Lisätiedot

3 Integraali ja derivaatta

3 Integraali ja derivaatta 3 Integrli j erivtt 3.1 Integrli ylärjns funktion Olkoon funktio f Riemnn-integroituv välin I jokisell suljetull osvälillä j välin I jokin kiinteä luku. Tällöin integrli määrittelee funktion G(): I R,

Lisätiedot

2.6 SÄÄNNÖLLISET LAUSEKKEET Automaattimalleista poikkeava tapa kuvata yksinkertaisia kieliä. Olkoot A ja B aakkoston Σ kieliä. Perusoperaatioita:

2.6 SÄÄNNÖLLISET LAUSEKKEET Automaattimalleista poikkeava tapa kuvata yksinkertaisia kieliä. Olkoot A ja B aakkoston Σ kieliä. Perusoperaatioita: 2.6 SÄÄNNÖLLISET LAUSEKKEET Automttimlleist poikkev tp kuvt yksinkertisi kieliä. Olkoot A j B kkoston Σ kieliä. Perusopertioit: Yhdiste: A B = {x Σ x A ti x B}; Ktentio: AB = {xy Σ x A, y B}; Potenssit:

Lisätiedot

4 DETERMINANTTI JA KÄÄNTEISMATRIISI

4 DETERMINANTTI JA KÄÄNTEISMATRIISI 4 DETERMINANTTI JA KÄÄNTEISMATRIISI Neliömtriisin determinntti Neliömtriisin A determinntti on luku, jot merkitään det(a) ti A. Lskeminen: -mtriisin A determinntti: det(a) -mtriisin A determinntti esim.

Lisätiedot

Vastaa tehtäviin 1-4 ja valitse toinen tehtävistä 5 ja 6. Vastaat siis enintään viiteen tehtävään.

Vastaa tehtäviin 1-4 ja valitse toinen tehtävistä 5 ja 6. Vastaat siis enintään viiteen tehtävään. S-8. Sähkönsiirtoärstlmät Tntti 8..7 Vst thtäviin -4 vlits toinn thtävistä 5 6. Vstt siis nintään viitn thtävään.. Tutkitn ll piirrttyä PV-käyrää, ok kuv sllist vrkko, oss on tuotntolu kuormituslu niidn

Lisätiedot

1.1. Laske taskulaskimella seuraavan lausekkeen arvo ja anna tulos kolmen numeron tarkkuudella: tan 60,0 = 2,950... 2,95

1.1. Laske taskulaskimella seuraavan lausekkeen arvo ja anna tulos kolmen numeron tarkkuudella: tan 60,0 = 2,950... 2,95 9..008 (9). Lskime käyttö.. Lske tskulskimell seurv lusekkee rvo j tulos kolme umero trkkuudell: 4 + 7 t 60,0 + Rtkisu: 4 + 7 =,950...,95 t 60,0 + Huom: Lskimiss o yleesä kolme eri kulmyksikköjärjestelmää:

Lisätiedot

TYÖ 30. JÄÄN TIHEYDEN MÄÄRITYS. Tehtävänä on määrittää jään tiheys.

TYÖ 30. JÄÄN TIHEYDEN MÄÄRITYS. Tehtävänä on määrittää jään tiheys. TYÖ 30 JÄÄN TIHEYDEN MÄÄRITYS Tehtävä älineet Tusttietoj Tehtävänä on äärittää jään tiheys Byretti (51010) ti esi 100 l ittlsi (50016) j siihen sopivi jääploj, lkoholi (sopii jäähdytinneste lsol), nlyysivk

Lisätiedot

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja

Lisätiedot

Kognitiivinen mallintaminen I, kevät Harjoitus 1. Joukko-oppia. MMIL, luvut 1-3 Ratkaisuehdotuksia, MP

Kognitiivinen mallintaminen I, kevät Harjoitus 1. Joukko-oppia. MMIL, luvut 1-3 Ratkaisuehdotuksia, MP Kognitiivinen mllintminen I, kevät 007 Hrjoitus. Joukko-oppi. MMIL, luvut -3 Rtkisuehdotuksi, MP. Määritellään joukot: A = {,,, 3, 4, 5} E = {, {}, } B = {, 4} F = C = {, } G = {{, }, {,, 4}} D = {, }

Lisätiedot

ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2016

ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2016 ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteori Kevät 2016 Kierros 5, 8. 12. helmikuut Demonstrtiotehtävien rtkisut D1: Hhmolusekkeet ovt esimerkiksi UN*X-järjestelmien tekstityökluiss käytetty säännöllisten lusekkeiden

Lisätiedot

3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö

3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.8.016 3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) x + x + 1 = 4 (x + 1) = 4 Luvun x + 1 tulee olla tai, jotta sen

Lisätiedot

PERUSASIOITA ALGEBRASTA

PERUSASIOITA ALGEBRASTA PERUSASIOITA ALGEBRASTA Matti Lehtinen Tässä luetellut lauseet ja käsitteet kattavat suunnilleen sen mitä algebrallisissa kilpatehtävissä edellytetään. Ns. algebrallisia struktuureja jotka ovat nykyaikaisen

Lisätiedot

LYHYEN MATEMATIIKAN SIMULOITU YO-KOE 2 RATKAISUT

LYHYEN MATEMATIIKAN SIMULOITU YO-KOE 2 RATKAISUT Lyhyt mtemtiikk YO-vlmennus 8. mliskuut 00 LYHYEN MATEMATIIKAN SIMULOITU YO-KOE RATKAISUT. Trkstelln yhtälöpri, polynomin sievennöstä j lusekkeeseen sijoittmist. ) Rtkistn jälkimmäisestä yhtälöstä x, jolle

Lisätiedot

Olkoon. M = (Q, Σ, δ, q 0, F)

Olkoon. M = (Q, Σ, δ, q 0, F) T 79.148 Tietojenkäsittelyteorin perusteet 2.4 Äärellisten utomttien minimointi Voidn osoitt, että jokisell äärellisellä utomtill on yksikäsitteinen ekvivlentti (so. smn kielen tunnistv) tilmäärältään

Lisätiedot

{ 2v + 2h + m = 8 v + 3h + m = 7,5 2v + 3m = 7, mistä laskemmalla yhtälöt puolittain yhteen saadaan 5v + 5h + 5m = 22,5 v +

{ 2v + 2h + m = 8 v + 3h + m = 7,5 2v + 3m = 7, mistä laskemmalla yhtälöt puolittain yhteen saadaan 5v + 5h + 5m = 22,5 v + 9. 0. ÄÙ ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø ÐÔ ÐÙÒ Ð Ù ÐÔ ÐÙÒ Ö Ø ÙØ 009 È ÖÙ Ö P. Olkoon vadelmien hinta v e, herukoiden h e ja mustikoiden m e rasialta. Oletukset voidaan tällöin kirjoittaa yhtälöryhmäksi v + h + m = 8 v +

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi 2

Matematiikan peruskurssi 2 Matematiikan peruskurssi Tentti, 9..06 Tentin kesto: h. Sallitut apuvälineet: kaavakokoelma ja laskin, joka ei kykene graaseen/symboliseen laskentaan Vastaa seuraavista viidestä tehtävästä neljään. Saat

Lisätiedot

Digitaalinen videonkäsittely Harjoitus 5, vastaukset tehtäviin 25-30

Digitaalinen videonkäsittely Harjoitus 5, vastaukset tehtäviin 25-30 Digitlinen videonkäsittely Hrjoitus 5, vstukset tehtäviin 5-30 Tehtävä 5. ) D DCT sdn tekemällä ensin D DCT kullekin riville, j toistmll D DCT tuloksen sdun kuvn srkkeill. -D N-pisteen DCT:, k 0 N ( k),

Lisätiedot

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45 MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus / vko 5 Tehtävä 1 (L): Hahmottele kompleksitasoon ne pisteet, jotka toteuttavat a) z 3 =, b) z + 3 i < 3, c) 1/z >. Yleisesti: ehto z = R, z C muodostaa kompleksitasoon

Lisätiedot

Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta

Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö Funktion kasvavuus ja vähenevyys; paikalliset ääriarvot Jos derivoituvan reaalifunktion f derivaatta tietyssä pisteessä on positiivinen, f (x 0 ) > 0, niin funktion tangentti

Lisätiedot

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion

Lisätiedot

Kirjallinen teoriakoe

Kirjallinen teoriakoe 11 Kirjllinen teorikoe Päivämäärä: Osllistujn nimi: Kirjllinen teorikoe Arviointi koostuu khdest osst: "yleiset kysymykset "j lskutehtävät" Kokeen hyväksytty rj on 51% molemmist osioist erikseen. St 1

Lisätiedot

a b c d

a b c d 1. 11. 011!"$#&%(')'+*(#-,.*/103/465$*784 /(9:*;9."$ *;5> *@9 a b c d 1. + +. 3. 4. 5. 6. + + + + + + + + + + P1. 5 140 8 47 = 5 140 ( 3 ) 47 = 5 140 3 47 = 5 140 141 = (5 ) 140 = 10 140, jossa on

Lisätiedot

1 Kompleksiluvut. Kompleksiluvut 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 7

1 Kompleksiluvut. Kompleksiluvut 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 7 Kompleksiluvut 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 7 1 Kompleksiluvut Lukualueiden laajennuksia voi lähestyä polynomiyhtälöiden ratkaisemisen kautta. Yhtälön x+1 = 0 ratkaisemiseksi tarvitaan negatiivisia lukuja.

Lisätiedot

Tämän luvun tarkoituksena on antaa perustaidot kompleksiluvuilla laskemiseen sekä niiden geometriseen tulkintaan. { (a, b) a, b œ R }

Tämän luvun tarkoituksena on antaa perustaidot kompleksiluvuilla laskemiseen sekä niiden geometriseen tulkintaan. { (a, b) a, b œ R } 7 Kompleksiluvut Tämän luvun tarkoituksena on antaa perustaidot kompleksiluvuilla laskemiseen sekä niiden geometriseen tulkintaan. 7.1 Kompleksilukujen määritelmä Määritelmä 7.1.1. Kompleksilukujen joukko

Lisätiedot

Yhtälönratkaisusta. Johanna Rämö, Helsingin yliopisto. 22. syyskuuta 2014

Yhtälönratkaisusta. Johanna Rämö, Helsingin yliopisto. 22. syyskuuta 2014 Yhtälönratkaisusta Johanna Rämö, Helsingin yliopisto 22. syyskuuta 2014 Yhtälönratkaisu on koulusta tuttua, mutta usein sitä tehdään mekaanisesti sen kummempia ajattelematta. Jotta pystytään ratkaisemaan

Lisätiedot

Näytä tai jätä tarkistettavaksi tämän jakson tehtävät viimeistään tiistaina 18.6. ylimääräisessä tapaamisessa.

Näytä tai jätä tarkistettavaksi tämän jakson tehtävät viimeistään tiistaina 18.6. ylimääräisessä tapaamisessa. Jkso 12. Sähkömgneettinen induktio Tässä jksoss käsitellään sähkömgneettist induktiot, jok on tärkeimpiä sioit sähkömgnetismiss. Tätä tphtuu koko jn rkisess ympäristössämme, vikk emme sitä välttämättä

Lisätiedot

Ympyrä 1/6 Sisältö ESITIEDOT: käyrä, kulma, piste, suora

Ympyrä 1/6 Sisältö ESITIEDOT: käyrä, kulma, piste, suora Ympyrä 1/6 Sisältö Ympyrä ja sen yhtälö Tason pisteet, jotka ovat vakioetäisyydellä kiinteästä pisteestä, muodostavat ympyrän eli ympyräviivan. Kiinteä piste on ympyrän keskipiste ja vakioetäisyys sen

Lisätiedot

3. Kirjoita seuraavat joukot luettelemalla niiden alkiot, jos mahdollista. Onko jokin joukoista tyhjä joukko?

3. Kirjoita seuraavat joukot luettelemalla niiden alkiot, jos mahdollista. Onko jokin joukoista tyhjä joukko? HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät luentokalvoihin 1 14. Erityisesti esimerkistä 4 ja esimerkin

Lisätiedot

Geometrinen algebra: kun vektorien maailma ei riitä

Geometrinen algebra: kun vektorien maailma ei riitä Geometrinen lgebr: kun vektorien milm ei riitä Risto A. Pju 4. huhtikuut 2003 Tiivistelmä Geometrinen lgebr on viime vuosin ksvttnut suosiotn luonnontieteiden mtemttisen menetelmänä. Sen juuret ovt vektori-

Lisätiedot

Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 2015

Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 2015 Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 015 Avoimen sarjan tehtävät ja niiden ratkaisuja 1. Olkoot a ja b peräkkäisiä kokonaislukuja, c = ab ja d = a + b + c. a) Osoita, että d on kokonaisluku. b) Mitä

Lisätiedot

Hilbertin aksioomat ja tarvittavat määritelmät Tiivistelmä Geometria-luentomonisteesta Heikki Pitkänen

Hilbertin aksioomat ja tarvittavat määritelmät Tiivistelmä Geometria-luentomonisteesta Heikki Pitkänen Hilbertin aksioomat ja tarvittavat määritelmät Tiivistelmä Geometria-luentomonisteesta Heikki Pitkänen 1. Hilbertin aksioomat 1-3 Oletetaan tunnetuiksi peruskäsitteet: piste, suora ja suora kulkee pisteen

Lisätiedot

Matematiikan taito 9, RATKAISUT. , jolloin. . Vast. ]0,2] arvot.

Matematiikan taito 9, RATKAISUT. , jolloin. . Vast. ]0,2] arvot. 7 Sovelluksia 90 a) Koska sin saa kaikki välillä [,] olevat arvot, niin funktion f ( ) = sin pienin arvo on = ja suurin arvo on ( ) = b) Koska sin saa kaikki välillä [0,] olevat arvot, niin funktion f

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla

Lisätiedot

Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma

Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten Ratkaisuehdotelma Tehtävä 1 1. Etsi lukujen 4655 ja 12075 suurin yhteinen tekijä ja lausu se kyseisten lukujen lineaarikombinaationa ilman laskimen

Lisätiedot

Kompleksiluvut. JYM, Syksy /99

Kompleksiluvut. JYM, Syksy /99 Kompleksiluvut JYM, Syksy 2014 1/99 Miksi kompleksilukuja? Reaaliluvut lukusuoran pisteet: Tiedetään, että 7 1 0 x 2 = 0 x = 0 1 7 x 2 = 1 x = 1 x = 1 x 2 = 7 x = 7 x = 7 x 2 = 1 ei ratkaisua reaalilukujen

Lisätiedot

MATEMATIIKKA. Matematiikkaa pintakäsittelijöille. Peruslaskutoimitukset. Isto Jokinen 2015

MATEMATIIKKA. Matematiikkaa pintakäsittelijöille. Peruslaskutoimitukset. Isto Jokinen 2015 MATEMATIIKKA Mtemtiikk pintkäsittelijöille Peruslskutoimitukset Isto Jokinen 01 SISÄLTÖ 1. Lskujärjestys 1. Murtoluvuill lskeminen. Suureet j mittyksiköt. Potenssi. Juuri 6. Tekijäyhtälöiden rtkiseminen

Lisätiedot

Kompleksiluvut Kompleksitaso

Kompleksiluvut Kompleksitaso . Kompleksiluvut.. Kompleksitaso 8. Todista kompleksilukujen yhteen- ja kertolaskun (lukuparien avulla annettuihin) määritelmiin perustuen osittelulaki: z (z + z ) = z z + z z. 8. Todista kompleksilukujen

Lisätiedot

= = = 1 3.

= = = 1 3. 9. 10. 2008!"$#&%(')'*,#.-/* P1. lkuperäisen punaisen kuution pinta koostuu kuudesta 3 3-neliöstä, joten sen ala on 6 3 2 = 54. Koska 3 3 =, kuutio jakautuu leikatessa yksikkökuutioksi, joiden kokonaispinta-ala

Lisätiedot

1 Kompleksiluvut 1. y z = (x, y) Kuva 1: Euklidinen taso R 2

1 Kompleksiluvut 1. y z = (x, y) Kuva 1: Euklidinen taso R 2 Sisältö 1 Kompleksiluvut 1 1.1 Määritelmä............................ 1 1. Kertolasku suorakulmaisissa koordinaateissa.......... 4 1.3 Käänteisluku ja jakolasku..................... 9 1.4 Esimerkkejä.............................

Lisätiedot

2.2 Monotoniset jonot

2.2 Monotoniset jonot Mtemtiik tito 9, RATKAISUT Mootoiset joot ) Kosk,,,, ii 0 Lukujoo ( ) o siis lhlt rjoitettu Toislt 0 Lukujoo (

Lisätiedot

Runkovesijohtoputket

Runkovesijohtoputket Runkovesijohtoputket PUTKET JA PUTKEN OSAT SSAB:n vlmistmi pinnoitettuj putki j putken osi käytetään lähinnä runkovesijohtolinjoihin, joiden hlkisij on DN 400-1200. Ost vlmistetn teräksisistä pineputkist

Lisätiedot

x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4 1,35 < ln x + 1 = ln ln u 2 3u 4 = 0 (u 4)(u + 1) = 0 ei ratkaisua

x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4 1,35 < ln x + 1 = ln ln u 2 3u 4 = 0 (u 4)(u + 1) = 0 ei ratkaisua Mallivastaukset - Harjoituskoe E E a) x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4,35 < 0 x 3 7 4 b) 0 / x + dx = 0 ln x + = ln + ln 0 + = ln 0 Vastaus: ln c) x 4 3x 4 = 0 Sijoitetaan x = u Tulon nollasääntö

Lisätiedot

Epäyhtälöt 1/7 Sisältö ESITIEDOT: yhtälöt

Epäyhtälöt 1/7 Sisältö ESITIEDOT: yhtälöt Epäyhtälöt 1/7 Sisältö Epäyhtälö Epäyhtälöllä tarkoitetaan ehtoa, missä kahdesta lausekkeesta toinen on suurempi tai mahdollisesti yhtä suuri kuin toinen: f(x) < g(x), f(x) g(x).merkit voidaan luonnollisesti

Lisätiedot

Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan erilaisia todistustekniikoita. Luentokalvoista 11, sekä voi olla apua.

Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan erilaisia todistustekniikoita. Luentokalvoista 11, sekä voi olla apua. HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 2 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan erilaisia todistustekniikoita. Luentokalvoista 11, 15-17

Lisätiedot

ANALYYSI I, kevät 2009

ANALYYSI I, kevät 2009 ANALYYSI I, kevät 009 Sisältö Relilukujen peruskäsitteitä Lukujonoist 4. Lukujonon rj-rvo....................... 4. Monotoniset jonot..........................3 Osjonot.............................. 7.4

Lisätiedot

Rekursioyhtälön ratkaisutapa #1: iteratiivinen korvaus

Rekursioyhtälön ratkaisutapa #1: iteratiivinen korvaus NodeCount(v /* lskee solmun v lipuun solmujen lukumäärän */ if solmu v on null return 0 else return + NodeCount(v.left + NodeCount(v.right Rekursio: lgoritmi kutsuu itseään Usein hjot j hllitse -perite:

Lisätiedot

SATE2140 Dynaaminen kenttäteoria syksy / 6 Laskuharjoitus 0: Siirrosvirta ja indusoitunut sähkömotorinen voima

SATE2140 Dynaaminen kenttäteoria syksy / 6 Laskuharjoitus 0: Siirrosvirta ja indusoitunut sähkömotorinen voima ATE14 Dynminen kenttäteori syksy 1 1 / skuhrjoitus : iirrosvirt j inusoitunut sähkömotorinen voim Tehtävä 1. All olevss kuvss esitetyssä pitkässä virtlngss kulkee virt i 1 (t) j sen vieressä on kuvn mukinen

Lisätiedot

Graafinen ohjeisto. Julkis- ja yksityisalojen toimihenkilöliitto Jyty

Graafinen ohjeisto. Julkis- ja yksityisalojen toimihenkilöliitto Jyty Grfinen ohjeisto Julkis- j yksityislojen toimihenkilöliitto Jyty Julkis- j yksityislojen toimihenkilöliitto Jyty Grfinen ohjeisto Sisällysluettelo: 1. Johdnto 2. Peruselementit Tunnus j versiot...2.1 Tunnuksen

Lisätiedot

Vakioiden variointi kolmannen kertaluvun yhtälölle

Vakioiden variointi kolmannen kertaluvun yhtälölle Vkioiden vriointi kolmnnen kertluvun yhtälölle Olkoon trksteltvn kolmnnen kertluvun linerinen epähomogeeninen differentiliyhtälö > diffyht:= (-1)*diff(y(), $3)-*diff(y(), $2)+diff(y(), )=ep(^2); diffyht

Lisätiedot

Sisältö. Funktiojonot ja -sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 15

Sisältö. Funktiojonot ja -sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 15 Funktiojonot j -srjt 10. syyskuut 2005 sivu 1 / 15 Sisältö 1 Funktiojonoist 2 2 Funktiosrjoist 5 3 Funktiojonojen j -srjojen derivointi j integrointi 7 4 Potenssisrjt 9 5 Tylorin polynomit j srjt 12 5.1

Lisätiedot

a b c d + + + + + + + + +

a b c d + + + + + + + + + 28. 10. 2010!"$#&%(')'+*(#-,.*/1032/465$*784 /(9:*;9."$ *;5> *@9 a b c d 1. + + + 2. 3. 4. 5. 6. + + + + + + + + + + P1. Valitaan kannaksi sivu, jonka pituus on 4. Koska toinen jäljelle jäävistä sivuista

Lisätiedot

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on 13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4 Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 06 Sivu / Laske yhteensä enintään 0 tehtävää. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. Osiossa A EI SAA käyttää laskinta. Osiossa A

Lisätiedot

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Valitse seuraaville säännöille mahdollisimman laajat lähtöjoukot ja sopivat maalijoukot niin, että syntyy kahden muuttujan funktiot (ks. monisteen

Lisätiedot

Vuokrahuoneistojen välitystä tukeva tietojärjestelmä.

Vuokrahuoneistojen välitystä tukeva tietojärjestelmä. Kertusesimerkki: Vuokrhuoneistojen välitystä tukev tietojärjestelmä. Esimerkin trkoituksen on on hvinnollist mllinnustekniikoiden käyttöä j suunnitteluprosessin etenemistä tietojärjestelmän kehityksessä.

Lisätiedot

Suorista ja tasoista LaMa 1 syksyllä 2009

Suorista ja tasoista LaMa 1 syksyllä 2009 Viidennen viikon luennot Suorista ja tasoista LaMa 1 syksyllä 2009 Perustuu kirjan Poole: Linear Algebra lukuihin I.3 - I.4 Esko Turunen esko.turunen@tut.fi Aluksi hiukan 2 ja 3 ulotteisen reaaliavaruuden

Lisätiedot

SATE.10xx Staattisen kenttäteorian laajentaminen Sähkömagneettiseksi kenttäteoriaksi

SATE.10xx Staattisen kenttäteorian laajentaminen Sähkömagneettiseksi kenttäteoriaksi ATE.1xx tttisen kenttäteorin ljentminen ähkömgneettiseksi kenttäteoriksi syksy 212 1 / 5 skuhrjoitus 1: iirrosvirt j inusoitunut sähkömotorinen voim Tehtävä 1. Määritä tjuus, millä johtvuusvirrn tiheys

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1 1 Joukko-oppia Matematiikassa joukko on mikä tahansa kokoelma objekteja. Esimerkiksi joukkoa A, jonka jäseniä ovat numerot 1, 2 ja 5 merkitään A = {1, 2, 5}. Joukon

Lisätiedot

= a sanoo vain, että jonon ensimmäinen jäsen annetaan. Merkintä a. lasketaan a :stä.

= a sanoo vain, että jonon ensimmäinen jäsen annetaan. Merkintä a. lasketaan a :stä. .. Lukujoo Aluksi Mtemtiiklle o erityise tyypillistä se, että käytäö tiltee settm ogelm bstrhoid. Käytäössä tämä trkoitt sitä, että siitä krsit lilluk vrret. Trkstelu kohteeksi jätetää vi si loogie ydi

Lisätiedot

AUTOMAATTIEN SYNKRONISAATIOSTA

AUTOMAATTIEN SYNKRONISAATIOSTA AUTOMAATTIEN SYNKRONISAATIOSTA John Kopr Pro grdu -tutkielm Huhtikuu 015 MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS TURUN YLIOPISTO TURUN YLIOPISTO Mtemtiikn j tilstotieteen litos KOPRA, JOHAN: Automttien synkronistiost

Lisätiedot

Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos:

Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos: 8 Kanta Tässä luvussa tarkastellaan aliavaruuden virittäjävektoreita, jotka muodostavat lineaarisesti riippumattoman jonon. Merkintöjen helpottamiseksi oletetaan luvussa koko ajan, että W on vektoreiden

Lisätiedot

5 Jatkuvan funktion integraali

5 Jatkuvan funktion integraali 5 Jkuvn funkion inegrli Derivlle kääneisä käsieä kusun inegrliksi. Aloien inegrliin uusuminen esimerkillä. Esimerkki 5.. Tuonolioksess on phunu kemiklivuoo. Määriellään funkio V sien, eä V () on vuoneen

Lisätiedot

1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1.

1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1. ABIKertaus.. a. Ratkaise yhtälö 8 5 4 + + 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on. 4. Jaa polynomi 8 0 5 ensimmäisen asteen tekijöihin ja ratkaise tämän avulla 4 epäyhtälö 8 0 5 0.

Lisätiedot