MATEMATIIKAN HARJOITTELUMATERIAALI

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "MATEMATIIKAN HARJOITTELUMATERIAALI"

Transkriptio

1 SAVONIA-AMMATTIKORKEAKOULU Tekniikk Infrrkentmisen j kivnnisln työnjohdon koulutus (ESR) MATEMATIIKAN HARJOITTELUMATERIAALI Ari Tuomenlehto - 0 -

2 Lusekkeen käsittelyä Luseke j lusekkeen rvo Näkyviin merkittyä lskutoimitust snotn lusekkeeksi. Jos lusekkeess esiintyvillä symoleill on numerorvot, voidn lske lusekkeen rvo. Lusekkeit ovt esimerkiksi ) 5,4m + 6,7m + 1,55m summluseke, joss on yhteenlskettv ) x 5x summluseke, joss on yhteenlskettv c) d) e) π r h tulo joss on tekijää sin 56,7 45,7 m sin75, osmäärä + x potenssiluseke ( ) Trkk rvo j likirvo Lusekkeen rvo lskettess on huomioitv lsketnko trkoill rvoill vi mittmll ti pyöristämällä sduill likirvoill. Trkkoin rvoin voidn useimmiten pitää esimerkiksi lukumäärää 6 henkilöä ti kupplskun summ - 456, - koskevi rvoj. Likirvoj ovt tyypillisesti eriliset mittustulokset. Likirvon trkkuus voidn ilmist eri tvoin: Likirvo 45,75m on ilmistu - neljällä numeroll - khdell desimlill yksikkönä metri - senttimetrin trkkuudell Likirvon trkkuutt ilmiseviksi numeroiksi ei lsket desimliluvun luss eikä (yleensä) kokonisluvun lopuss olevi nolli. Desimliluvun lopuss olevt nollt ovt trkkuutt ilmisevi numeroit

3 Likirvon 5,0 kg trkkuus on - neljä numero - kolme desimli yksikkönä kg - 1g Lskutuloksen trkkuus likirvoill lskettess Toimintsäännöt: Yhteen- j vähennyslskuiss tulokseen otetn yhtä mont yksikköä (desimli) kuin niitä on lähtötilnteess epätrkimmss likirvoss. Muit lskutoimituksi sisältävissä lusekkeiss tulokseen otetn yhtä mont numero kuin niitä on lähtötilnteess numeromäärältään epätrkimmss likirvoss. ) 5,4m 6,7m 1,55m 1,16 m + + ),4m 6,7 m 7,m Hrjoitustehtäviä 1. ) lske lusekkeen rvo ) lske lusekkeen (+ 4) 7 rvo.. Lske lusekkeen 11, 61+ 1, ,0 + 0,11 rvo j pyöristä tulos lähtörvojen trkkuutt vstvksi.. Lske lusekkeen, 456 1,945,4 + 0, 0678 rvo j pyöristä tulos lähtörvojen trkkuutt vstvksi. 4. Lske lusekkeen vstvksi. 15,6, rvo j pyöristä tulos lähtörvojen trkkuutt 1, 86 1,6 +, Lske lusekkeen 4xy y 4x 0 trkk rvo (murtoluku) kun x = 10 j y =. 6. Lske lusekkeen 1+ d 1 d trkk rvo (murtoluku) kun 1 d =. - -

4 7. Khden neliön sivujen pituudet mitttiin j tuloksiksi stiin 9,4 m j 11,41m. Kuink suuri on neliöiden yhteenlskettu pint-l? 8. Merkitse lusekkeeksi lukujen j erotus kerrottun lukujen c j d erotuksell. 9. Merkitse lusekkeeksi lukujen j osmäärä jettun lukujen c j d summll. Sieventäminen Lusekkeiss olevill symoleill voidn suoritt lskutoimituksi kuten numeroillkin. Useimmiten lusekett ei kuitenkn void muokt yhtä yksinkertiseksi yhdeksi luvuksi kuin numeroill lskettess. Luseke pyritään kuitenkin sttmn mhdollisimmn yksinkertisen muotoon. Lusekkeen yksinkertistmist snotn sieventämiseksi. Lusekett sievennettäessä, kuten numerolskennsskin, suoritetn kerto- j jkolskut ennen yhteen- j vähennyslskuj ellei suluill toisin osoitet. Sievennettäessä voidn käyttää seurvi relilukujen lskutoimitusten ominisuuksi: + = + yhteenlskun vihdntlki + ( + c) = ( + ) + c yhteenlskun liitäntälki = kertolskun vihdntlki ( c) = ( ) c kertolskun liitäntälki ( + c) = + c osittelulki Summlusekkeet Summlusekkeess oleviä termejä snotn smnmuotoisiksi, jos niillä on täsmälleen sm kirjinos. Toimintsääntö: Smnmuotoiset termit voidn yhdistää numerokertoimien yhteen/vähennyslskuill. ) + 5 = ( + 5) = 8 ) x + 4y x + y = ( ) x + (4 + 1) y = x + 5y c) = ( 4 6) + + ( + 6) = d) = (4 6) + ( + 6) + ( 4 + 6) = x xy y xy x y x xy y x xy y - -

5 Sulkujen poistminen summlusekkeest Toimintsäännöt: + merkin edeltämät sulut poistetn säilyttämällä kikkien suluiss olevien termien merkit. merkin edeltämät sulut poistetn vihtmll kikkien suluiss olevien termin merkit. ) x + 4 y + (x 6 y) = x + 4y + x 6y = 5x y ) x + 4 y (y 7 x) = x + 4y y + 7x = 4x + y Summn kertominen ti jkminen luvull Toimintsäännöt: Summ voidn kerto luvull kertomll jokinen yhteenlskettv erikseen j lskemll tulot yhteen. Summ voidn jk luvull jkmll jokinen yhteenlskettv erikseen j lskemll osmäärät yhteen. ) (5x + 4y 5 z) = 5x + 4y + ( 5 z) = 15x + 1y 15z ) c c = + = 4 + c Soveltmll kertolskun sääntöä toistuvsti voidn kerto summlusekkeit keskenään: ) ( + ) ( x + 5 z) = x + 5z + x + 5z = x + 5z + x + 15z ) ( + c)(4 y) = ( ) 4 + ( ) ( y) + c 4 + c ( y) = 1 + y + 4c cy Tekijän erottminen Edellä esitettyä osittelulki ( + c) = + c voidn sovelt myös oikelt vsemmlle, jolloin on kyse tekijän erottmisest. Toimintsääntö: Jos summlusekkeen jokisess termissä on sm tekijä, se voidn erott koko lusekkeen yhteiseksi tekijäksi sulkumerkkejä käyttämällä

6 ) + = ( + ) ) mx nx + x = x( m n + 1) c) ( x + y) + ( x + y) = ( x + y)( + ) d) x y = 1( x + y) Knntt huomt että tekijäksi voidn erott myös summ (edellisen esimerkin c-koht) ti luku 1 (edellisen esimerkin d-koht). Hrjoitustehtäviä 10. Sievennä seurvt lusekkeet. ) 4x + 8y 5x + 6y ) Poist sulut j sievennä seurvt lusekkeet. ) x + 1 (4 5 x) ) x(1 + y) + y( x) c) x x x x x x 1+ ( 4 + 7) 1. Suorit kertolskut. ) (4 5x 4 y) ) ( x + y)( + 4 z) 1. Suorit jkolskut. 0 5x 40y ) 5 10z 6xz + yz ) z 14. Erot yhteiset tekijät. ) 4mn 6n + n ) ( + c) x + y( + c) c) y xz - 5 -

7 Murtolusekkeet Murtolusekkeess ( 0 ) luku snotn osoittjksi (jettvksi) j luku nimittäjäksi (jkjksi). Luvun käänteisluku on luku ( 0 ). Erikoisesti luvun ( 0 ) käänteisluku on luku 1. ) luvun 4 7 käänteisluku on ) luvun käänteisluku on = Murtolusekkeiden kerto- j jkolskut Toimintsäännnöt: Murtolusekkeet voidn kerto keskenään siten, että osoittjien tulo jetn nimittäjien tuloll. Murtolusekkeet voidn jk keskenään siten, että jettvll kerrotn jkjn käänteisluku. ) 4 4 = = x y x w x w xw ) = = = z y z y z yz w c) d) = = = 7 = = - 6 -

8 Supistminen j lventminen Toimintsäännnöt: Murtoluseke, jonk osoittjss j nimittäjässä on sm tulon tekijä, voidn supist tällä tekijällä. Murtoluseke voidn lvent millä thns nollst erovll lusekkeell. Lventminen trkoitt sitä, että jettv j jkj kerrotn lventjll. ) c) d) d) e) (5 10 = ) 15 m( n ) n ( n ( x xy zx = m y = z ( y ( x+ 1 ( x + 1) yz ( x + 1) z z = = xy( x + 1) x( x + 1) x ) ) = y y x + ( x + ) = z z Murtolusekkeiden summ Toimintsäännnöt: Smnnimiset murtolusekkeet (joill on siis täsmälleen sm nimittäjä) voidn lske yhteen siten, että summn osoittj on yhteenlskettvien osoittjien summ j nimittäjä on yhteenlskettvien yhteinen nimittäjä. ) 5 x x = = x ) + ( ) + + ( + ) + = = = = = Jos murtolusekkeet, joill on eri nimittäjä, hlutn lske yhteen, pitää ne ensin lvent smnnimisiksi. (

9 ) ) c) 4) 7) = + = = = ) 4) ) = + = = = y y 4y 1y 1y 1y 1y 1y 1y ) ) = = Sopivin luku yhteiseksi nimittäjäksi on lkuperäisten nimittäjien pienin yhteinen jettv (pyj) eli luku ti luseke jok on jollinen kikill yhteenlskettvien jkjill, mutt joss on mhdollisimmn vähän tekijöitä (vrt edellisen esimerkin )- j c)-kohdt). Hrjoitustehtäviä 15. Sievennä seurvt lusekkeet. ) 4 x 5y 4 ) p 7w c) : 5 x 5z d) : 5y w 16. Supist seurvt lusekkeet. ) 4 c 8xy ) 64 xyz 16xz + c c) + c + c d) x + xc - 8 -

10 17. Suorit yhteenlskut j sievennä (jos mhdollist). ) ) c) d) e) 1 1+ x + x + 1 x + 1 x + x y y 1 z + 1 z + Potenssilusekkeet Jos n on positiivinen kokonisluku, käytetään tulolle... lyhennysmerkintää n kpl tekijöitä n, jok on potenssiluseke j luetn potenssiin n ti :n n :s potenssi. Luku on kntluku j luku n eksponentti. Potenssimerkintä on kirjoitettv siten että kntluku on yksikäsitteinen. Toimintsääntö: Negtiivisen luvun, summn, osmäärän ti tulon potenssi on in kirjoitettv sulkujen vull. ) ) c) d) e) f) 4 ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) = 81 4 = ( ) = 81 4 ( x + y) = ( x + y) ( x + y) ( x + y) ( x + y) 4 x + y = x + y y y y ( xy) = ( xy) ( xy) ( xy) xy = x y y y - 9 -

11 Potenssikvt Potenssilusekkeiden sieventämisessä trvitn seurvi sääntöjä: ( ) n = n n ( ) n n = ( 0 ) n m n m n = + m m n = n ( m n ( ) = m n m n > ) ) ( x) = x = 16x 8 ) ( ) = = x x x + + c) y y = y = y = y 5 x 5 d) = x = x x x x x e) ( e ) = e = e Jos lisäksi sovitn että = 1 0 = 1 ( 0 ) n 1 =, n voidn edellä esitettyjä potenssisääntöjä käyttää kikill kokonislukueksponenteill. Smll ne ntvt oikeuden siirtää tulon tekijä osoittjst nimittäjään ti päinvstoin kun smll muutetn eksponentin etumerkki. Potenssilusekkeiden rvojen lskemist vrten lskimiss on erilliset näppäimet. 1 1 ) = = 9 5 y ) = y = y = 7 y y 0 c) ( + ) ( + ) = ( + ) + = ( + ) = 1 ( ) 6 d) ( x ) = x = x

12 e) x z x x x x = = = z x z z z z Hrjoitustehtäviä 18. Lske seurvien lusekkeiden rvot. ) ) c) ( ) Sievennä seurvt lusekkeet. ) ) c) d) x y x y ( 1) ( 1) x + y 4 5x + y 0. Sievennä seurvt lusekkeet. ) ) c) ( z) (4 y) ( c ) ( x y z ) x y z : ( c ) c

13 Rtionlilusekkeet Lusekett, joss esiintyy vi yhteen-, vähennys-, kerto- j jkolskuj, snotn rtionlilusekkeeksi. Rtionlilusekkeit voi sieventää edellä esitettyjen lusekkeenkäsittelyn sääntöjen vull. Hrjoitustehtäviä 1. Sievennä seurvt lusekkeet. ) x ( + ) 4 x( + ) c ) + + c c 1 c) (1 x )( x ) x + x d) ( + ) : ( + ) e) ( + ) : f) ( + )( ). Suorit lskutoimitukset. + ) + 1 ) (1 )( ) y y 1 1 c) ( x ) : 1 x x d) ( )( x + y) y x e)

14 Juurilusekkeet Ei-negtiivisen luvun (siis 0 ) neliöjuurell trkoitetn luku jolle pätee: 0 ( ) = Merkinnässä luku snotn juurrettvksi. Määrittelystä seur ominisuus: jos 0 = =...(Huom! luku snot luvun itseisrvoksi) jos < 0 ) 9 =, kosk 0 j ) 196 = 14, kosk 14 0 j 14 = 196 = 9 (Huom! myös luvulle pätee ( ) = 9, mutt < 0 ) Luvun kuutiojuurell trkoitetn luku jolle pätee: ( ) = Määrittelystä seur ominisuus: = ) 64 = 4, kosk ) 1 1 =, kosk 8 4 = = 8 Juurilusekkeiden rvojen likirvoj vrten lskimiss on erilliset näppäimet

15 Juurilusekkeit sievennettäessä voidn käyttää seurvi käsittelysääntöjä: = = = = Hrjoitustehtäviä. Päättele ilmn lskint seurvien juurilusekkeiden rvot. ) 0,5 ) c) Sievennä seurvt lusekkeet. ) ( x + 1) ) c) 9x x y 6 9 d) ( )

16 Yhtälö Khden lusekkeen keskinäistä yhtäsuuruutt snotn yhtälöksi. yhtälöitä ovt esimerkiksi ) 5x + 7 = 4 ) x + y = 6z + 7 c) V = π r h d) v = v0 + t e) 1 h = v0t gt Käytännössä yhtälö sisältää in tuntemttomn suureen, jonk rvo ei tunnet. Tätä suurett snotn tuntemttomksi. Tuntemttomn rvoj, jotk toteuttvt yhtälön, snotn yhtälön juuriksi. Luku 5 on yhtälön x 14 = x + 6 juuri kosk yhtälö toteutuu (vsen j oike puoli svt smn rvon) kun niihin sijoitetn kyseinen luku: vp: 5 14 = 5 14 = 11 op: = 11 Huom! yhtälöllä on myös toinen juuri (jok on luku 4 ). Yhtälön rtkiseminen trkoitt yhtälön kikkien juurien määrittämistä. Kvoiss olevi suureit merkitään in omill vkiintuneill symoleilln. Tällöin tuntemton määräytyy in tilnteen mukn. Yhtälössä (kvss) v = v0 + t voi tilnteest riippuen mikä thns suureist v, v 0, ti t oll tuntemton. Yhtälössä (kvss) oll tuntemton. V π = r h voi tilnteest riippuen mikä thns suureist V, r ti h Yhtälöä rtkistess tvoitteen on pelkistää yhtälö selliseen muotoon, että juuret sdn selville. Pelkistäminen on tehtävä siten, että väliviheet ovt keskenään yhtäpitäviä. Väliviheitten yhtäpitävyyttä merkitään usein ekvivlenssinuolell. Yhtälöä pelkistettäessä on käytettävissä toimintsääntöjä, joist muutmi seurvss

17 Toimintsääntöjä: Yhtälön molemmt puolet voidn kerto ti jk smll nollst erovll luvull ti lusekkeell. Yhteenlskettv voidn siirtää yhtälön toiselle puolen kun sen etumerkki smll vihdetn (sm hiemn toisin: yhtälön molemmille puolille voidn lisätä ti niistä voidn vähentää sm luku ti luseke). Huom! yhtälön vsen j oike puoli voidn viht keskenään (vihtmtt etumerkkejä). x 7 = x + 1 siirretään 7 oikelle j x vsemmlle x x = 1+ 7 sievennetään x = 8 : jetn puolittin luvull x 8 = sievennetään x = 4 sdn rtkisu (eli yhtälön kikki juuret) rtkistn v 0 yhtälöstä 1 h = v0t gt 1 h v t gt 1 1 v0t gt = h siirretään gt oikelle 1 v0t = h + gt : t jetn puolittin t :llä ( t 0) = 0 vihdetn yhtälön eri puolet keskenään 1 h + gt v0t = sievennetään t t v 0 1 gt gt h h = + = + sievennetään t t t t h gt h gt v0 = + = + sdn rtkisu t t t

18 Ensimmäisen steen yhtälö Yhtälöä rtkistess pyritään pelkistämään yhtälö muotoon, jost eteenpäin eteneminen tunnetn (lgoritmin omisesti). Edellä rtkistut yhtälöt ovt olleet erästä tällist muoto ensimmäisen steen yhtälöitä. Yhtälöä jok pelkistyy muotoon x =, missä 0 ( x tuntemton), snotn ensimmäisen steen yhtälöksi. Yhtälö voidn tällöin rtkist jkmll yhtälö puolittin tuntemttomn kertoimell x = : x = 4x = 8 : 4 x = Hrjoitustehtäviä 5. Rtkise x seurvist yhtälöistä. ) 7x = 5 ) kx = m c) 7x + = 11x 5 d) x + = cx + d 6. Rtkise seurvt yhtälöt. Vstuksen trkt rvot. ) + 4 = 1 x x 1 ) = x + 4 x 7. ) Rtkise kvst F = m 1 ) Rtkise C kvst W = CU U c) Rtkise R kvst P = R d) Rtkise T kvst Q = mc T

19 8. ) Rtkise r kvst E R + = r e r 1+ B ) Rtkise B kvst A = C 1 B p c) Rtkise p kvst (1 + ) = 100 d) Rtkise c kvst = ( )( )( ) A p p p p c 9. Luokll oli sovittu pidettäväksi neljä mtemtiikn koett. Liis rveli pystyvänsä prntmn pistemääräänsä jok kokeess yhdellä edelliseen kokeeseen verrttun. Kuink mont pistettä hän lski trvitsevns ensimmäisestä kokeest, kun hän oli settnut tvoitteekseen yhteensä 66 pistettä? 0. Omkotitlon sähkönkulutus on 8700kWh vuodess. Kuink mont prosentti kulutuksest iheutuu vlisimest, jonk teho on 60 W j jot käytetään keskimäärin 7, tunti vuorokudess. 1. Prturimksujen ALV pienenee %:st 8%:iin. Kuink mont % prturimksut lenevt, jos koko ALV:n pienennys siirretään sikkiden hyväksi. ALV lsketn verottomst hinnst.. Kurkun mss oli 400g j sen vesipitoisuus oli tällöin 99%. Viikon kuluttu kurkust oli hihtunut vettä siten, että vesipitoisuus oli pudonnut 98%:iin. Mikä oli tällöin kurkun mss?. Astiss on 6,7 kg suolliuost, jonk suolpitoisuus (pinoprosenttein) on 15,%. Kuink pljon sellist suolliuost, jonk suolpitoisuus on 11,%, on stin lisättävä, jott syntyvän liuoksen suolpitoisuudeksi tulisi 1,%? 4. Henkilöltä A kuluu nettoplkstn 4,5% suntolinn lyhennyksiin j korkoihin. Jäljelle jääneestä summst 87, % menee erilisiin kulutusmenoihin. A säästää loput, jolloin säästöön jää 109 /kk. Mikä on A:n ruttoplkk, kun hänen ennkonpidätysprosenttins on 5,0%?

20 Toisen steen yhtälö Yhtälöä, jok pelkistyy muotoon yhtälöksi. + + = 0, missä 0, snotn toisen steen x x c Yhtälö voidn tällöin rtkist rtkisukvll: + + = 0 x x c ± 4c x = Huom! jos 4c < 0, ei yhtälöllä ole relijuuri. Rtkisukv ei knnt käyttää jos = 0 ti c = 0, tällöin menetellään seurvsti. Toimintsäännöt: Jos = 0, sdn yhtälö muotoon x =, jonk rtkisut ovt c c Jos < 0, ei yhtälöllä ole relijuuri. c x = ± Jos c = 0, sdn yhtälö muotoon x( x + ) = 0, jost edetään ns. tulon nollsäännön vull: x( x + ) = 0 x = 0 ti x + = 0 x = 0 ti x = x 8x + 6 = 0 ± x = ( 8) ( 8) ± 16 8 ± 4 x = = = x 18 = 0 x = 18 : x = 9 x = ± 9 = ±

21 x + 6x = 0 x( x + 6) = 0 x = 0 ti x + 6 = 0 x = 0 ti x = 6 Hrjoitustehtäviä 5. Rtkise seurvt yhtälöt. Vstuksen trkt rvot. ) x x + 1 = 0 ) x(x ) = 1+ x(1 x) c) x + x 4 = 1 x x + 6. Kuvss näkyvän rvirdn kenttälueen pint-l on m j kenttälueen ympärysmitt (rdn pituus) 1000m. Suort ost ovt keskenään yhdensuuntisi j krtein on puoliympyrät. Lske kenttälueen pituus s. Ohje: rtkise ensin ympyrän säde. s 7. Erästä tuotett on pkttvn 0000 kg. Pkkmiseen pitää käyttää joko pieniä ti suuri ltikoit. Suureen ltikkoon mhtuu 80,0 kg/ltikko enemmän kuin pieneen ltikkoon (ltikot pktn täyteen). Pieniä ltikoit trvittisiin 100 kpl enemmän kuin suuri. Kuink mont kg mhtuu pieneen ltikkoon? - 0 -

22 Suorkulminen kolmio c β α Suorn kulmn viereisiä sivuj snotn kteeteiksi, j suorn kulmn vstist sivu hypotenuusksi. Suorkulmisen kolmion rtkiseminen Jos kolmiost tunnetn riittävästi kulmi/sivuj, voidn loput ost rtkist Pythgorn luseen j trigonometristen funktioiden vull. Pythgorn luse: Hypotenuusn pituuden neliö on kteettien pituuksien neliöiden summ: kuvss c = + Trigonometriset funktiot: terävän kulmn sini on kulmn vstisen kteetin pituuden suhde hypotenuusn pituuteen: kuvss sinα = j sin β = c c terävän kulmn kosini on kulmn viereisen kteetin pituuden suhde hypotenuusn pituuteen: kuvss cosα = j cos β = c c terävän kulmn tngentti on kulmn vstisen kteetin pituuden suhde viereisen kteetin pituuteen: kuvss tnα = j tn β = Kun tunnetn terävän kulmn trigonometrisen funktion (sini, kosini ti tngentti) rvo, sdn kulmn rvo selville lskimen vull rcusfunktiot (lskimess joko rcsin ti sin -1 näppäin) käyttämällä

23 Jos tunnetn terävän kulmn sini, voidn kulm rtkist. sinα = 0, 56 α = rcsin 0,56 4, Rtkistn oheisen suorkulmisen kolmion tuntemttomt ost kun tiedetään, että c = 1,m j α = 8,0. sinα = c c sinα = c α = c sinα = 1,m sin 8,0 7,57 m c β cosα = c c cosα = c = c cosα = 1,m cos8,0 9,69m β = 90,0 α = 90,0 8,0 = 5,0 - -

24 Rtkistn oheisen suorkulmisen kolmion tuntemttomt ost kun tiedetään, että =,54 m j = 4,6m. c β c = + c = + α c = (,54 m) + (4,6 m) c = 1,541 m c = 1,541 m c 5,6 m tnα =,54m tnα = = 0, ,6 m,54 α = rctn = rctn 0, ,1 4,6 β = 90, 0 α 90, 0 9,1 = 50, 9 Hrjoitustehtäviä 8. Rtkise kuvss olevn suorkulmisen kolmion kikki tuntemttomt ost kun c β ) = 16,8 mm j c =,7 mm ) = 58,km j β = 5,0 c) = 1,4 mm j = 6,8mm α - -

25 9. Rtkise oheisen suorkulmisen kolmion sivut j c. c 56,6,76 m 40. Lske jnn AD pituus, kun AC = 6,0cm ; BC = 6, 68cm ; j kulmt BAC j ADC ovt suori kulmi. B D A C 41. Oheisess suorkulmisess kolmioss pätee : = :. Lske α, β, j.,95m β α 4. Lske x. 90 x

26 4. Suorkulmisen kolmion pitempi kteetti on kksi kert niin pitkä kuin lyhempi kteetti. Hypotenuusn pituus on 5,00 m. Lske kolmion pint-l. 44. Tehtn piipun vrjo vksuorll mnpinnll on 11 m pitkä. Auringon vlo tulee 6,0 kltevuudess (vktsoon nähden). Määritä piipun korkeus. 45. Merivrtiosemst etelään on mjkk, jonne etäisyys on 5,0 km. Merellä on tphtunut onnettomuus pikss, jok sijitsee mjkst suorn länteen. Merivrtiosemlt ktsottun onnettomuuspikn j mjkn suunnt poikkevt toisistn 5. Kuink pitkä mtk on merivrtiosemlt onnettomuuspiklle? 46. Hrjkttoisen rkennuksen leveys on 90 mm. Kuink pitkä on kton lpe hrjlt räystäälle, kun kton kltevuus on 1: j sivuräystäs ulkonee seinästä 500 mm? 47. Herr X osti vlmiin komeron, jonk mitt ovt 600 mm, 700 mm j 40 mm. Voiko komeron nost pystyyn purkmttomn huoneess, jonk korkeus on 50cm? - 5 -

27 Tso- j vruusgeometri Seurvss on esitetty eräitä sovelluksiss esiintyviä tso- j vruusgeometrin tuloksi pint-loj j tilvuuksi. Kolmio α c h Kolmion pint-l: h 1 A = = csinα ( on kolmion kntsivu) Ympyrä α r Kolmion jänne jk ympyrän khteen segmenttiin (kuvss toinen segmentti viivoitettun) Ympyrän pint-l: Segmentin pint-l:, missä α on segmenttiä vstv keskuskulm. A = π r 1 Asegmentti = r r 60 α π α sin - 6 -

28 Suor ympyrälieriö r h Suorn ympyrälieriön tilvuus: V = π r h Suorn ympyrälieriön vipn l: Avipp = π rh Suor ympyräkrtio h r Suorn ympyräkrtion tilvuus: 1 V = π r h - 7 -

29 Pllo r Pllon tilvuus: Pllon pint-l: 4 V = π r A = 4π r Hrjoitustehtäviä 48. Jos vuorokutinen sdemäärä on 10 mm, kuink mont kuutiometriä ( m ) vettä st vuorokudess yhden neliökilometrin ( 1km ) lueelle? 49. Kuink mont kuutiokilometriä ( km ) vettä suomliset (väkiluku 5, miljoon) kuluttvt vuodess jos keskikulutus henkilöä kohden vuorokudess on 160 l. 50. Ympyrän säde on 4,56 m j sektorin l on 15,77 m. Kuink suuri on on keskuskulm? 51. Suorkulmion muotoiseen levyyn tehdään kksi yhtä suurt ympyrän muotoist reikää, joiden yhteenlskettu pint-l s oll korkeintn 17,% levyn lst. Kuink suuri s ympyröiden säde korkeintn oll?,16 m 8,40 m - 8 -

30 5. Suorn ympyrälieriön muotoisen tynnyrin pohjn säde on 0,4 m j korkeus 0,9 m. Tynnyriä täytetään vedellä nopeudell,5 l / min. Kuink kun täyttö kestää? 5. Suorn ympyrälieriön muotoisess stiss on vettä. Veteen upotetn (kokonn) pllon muotoinen kpple. Kuink pljon vedenpint nousee, kun lieriön pohjn hlkisij on 00 mm j pllon hlkisij on 180 mm. Oletetn ettei vesi virt pois lieriöstä. 54. Ympyrän hlkisij on 6,0 m. Ympyrä jetn 4,0 m pitkällä jänteellä khteen segmenttiin. Lske segmenttien lt. 55. Putkest tulee 8, 0 m inett, jok kestää vierimättä enintään 0, 0 :n kulmss vktsoon nähden. Kuink korke ks putken lle voi enintään muodostu? Alust oletetn vksuorksi. 56. Kuvss on,50cm pksuun levyyn portun reiän poikkileikkus. ) Lske reiän tilvuus, kun kulm α = 4,0 j reiän (porn) hlkisij on 1,80cm. ) Mikä pitäisi kulmn α oll jos reiän tilvuudeksi hluttisiin 0,0cm? α - 9 -

OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA

OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupil, Ktj Leinonen, Tuomo Tll, Hnn Tuhknen, Pekk Vrniemi Alkupl Tiedekeskus Tietomn torninvrtij

Lisätiedot

Ristitulo ja skalaarikolmitulo

Ristitulo ja skalaarikolmitulo Ristitulo j sklrikolmitulo Opetussuunnitelmn 00 mukinen kurssi Vektorit (MAA) sisältää vektoreiden lskutoimituksist keskeisenä ineksen yhteenlskun, vähennyslskun, vektorin kertomisen luvull j vektoreiden

Lisätiedot

Tasogeometriassa käsiteltiin kuvioita vain yhdessä tasossa. Avaruusgeometriassa tasoon tulee kolmas ulottuvuus, jolloin saadaan kappaleen tilavuus.

Tasogeometriassa käsiteltiin kuvioita vain yhdessä tasossa. Avaruusgeometriassa tasoon tulee kolmas ulottuvuus, jolloin saadaan kappaleen tilavuus. KOLMIULOTTEISI KPPLEIT Tsogeometriss käsiteltiin kuvioit vin ydessä tsoss. vruusgeometriss tsoon tulee kolms ulottuvuus, jolloin sdn kppleen tilvuus. SUORKULMINEN SÄRMIÖ Suorkulmisess särmiössä kikki kulmt

Lisätiedot

SUORAKULMAINEN KOLMIO

SUORAKULMAINEN KOLMIO Clulus Lukion Täydentävä ineisto 45 0 45 60 ( - ) + SUORKULMINEN KOLMIO Pvo Jäppinen lpo Kupiinen Mtti Räsänen Suorkulminen kolmio Suorkulminen kolmio Käsillä olev Lukion Clulus -srjn täydennysmterili

Lisätiedot

Syksyn 2015 Pitkän matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut

Syksyn 2015 Pitkän matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut Sksn 0 Pitkän mtemtiikn YO-kokeen TI-Nspire CAS -rtkisut Tekijät: Olli Krkkulinen Rtkisut on ldittu TI-Nspire CAS -tietokoneohjelmll kättäen Muistiinpnot -sovellust. Kvt j lskut on kirjoitettu Mth -ruutuihin.

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 4 Tilvuuden j vipn ln lskeminen Kuten iemmin käsittelimme, määrätyn integrlin vull voi lske pintloj j tilvuuksi. Tyypillisenä sovelluksen tilvuuden lskemisest on tpus, joss

Lisätiedot

2.4 Pienimmän neliösumman menetelmä

2.4 Pienimmän neliösumman menetelmä 2.4 Pienimmän neliösummn menetelmä Optimointimenetelmiä trvitn usein kokeellisen dtn nlysoinniss. Mittuksiin liittyy virhettä, joten mittus on toistettv useit kertoj. Oletetn, että mittn suurett c j toistetn

Lisätiedot

Integraalilaskentaa. 1. Mihin integraalilaskentaa tarvitaan? MÄNTÄN LUKIO

Integraalilaskentaa. 1. Mihin integraalilaskentaa tarvitaan? MÄNTÄN LUKIO Integrlilskent Tämä on lukion oppimterileist hiemn poikkev yksinkertistettu selvitys määrätyn integrlin lskemisest. Kerromme miksi integroidn, mitä integroiminen trkoitt, miten integrli lsketn j miten

Lisätiedot

Pythagoraan lause. Pythagoras Samoslainen. Pythagoraan lause

Pythagoraan lause. Pythagoras Samoslainen. Pythagoraan lause Pythgorn luse Pythgors Smoslinen Pythgors on legendrinen kreikklinen mtemtiikko j filosofi. Tiedot hänen elämästään ovt epävrmoj j ristiriitisi. Tärkein Pythgorst j pythgorlisi koskev lähde on Lmlihosin

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5.2.2013

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5.2.2013 Preliminäärikoe Pitkä Mtemtiikk 5..0 Kokeess s vstt enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä ( * ) merkittyjen tehtävien mksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien mksimipistemäärä on 6.. ) Rtkise yhtälö b)

Lisätiedot

1.1. Laske taskulaskimella seuraavan lausekkeen arvo ja anna tulos kolmen numeron tarkkuudella: tan 60,0 = 2,950... 2,95

1.1. Laske taskulaskimella seuraavan lausekkeen arvo ja anna tulos kolmen numeron tarkkuudella: tan 60,0 = 2,950... 2,95 9..008 (9). Lskime käyttö.. Lske tskulskimell seurv lusekkee rvo j tulos kolme umero trkkuudell: 4 + 7 t 60,0 + Rtkisu: 4 + 7 =,950...,95 t 60,0 + Huom: Lskimiss o yleesä kolme eri kulmyksikköjärjestelmää:

Lisätiedot

Esimerkki 8.1 Määritellään operaattori A = x + d/dx. Laske Af, kun f = asin(bx). Tässä a ja b ovat vakioita.

Esimerkki 8.1 Määritellään operaattori A = x + d/dx. Laske Af, kun f = asin(bx). Tässä a ja b ovat vakioita. 8. Operttorit, mtriisit j ryhmäteori Mtemttinen operttori määrittelee opertion, jonk mukn sille nnettu funktiot muoktn. Operttorit ovt erityisen tärkeitä kvnttimekniikss, kosk siinä jokist suurett vst

Lisätiedot

Tehtävä 1. Jatka loogisesti oheisia jonoja kahdella seuraavaksi tulevalla termillä. Perustele vastauksesi

Tehtävä 1. Jatka loogisesti oheisia jonoja kahdella seuraavaksi tulevalla termillä. Perustele vastauksesi Tehtävä. Jtk loogisesti oheisi jonoj khdell seurvksi tulevll termillä. Perustele vstuksesi lyhyesti. ), c, e, g, b),,, 7,, Rtkisut: ) i j k - oike perustelu j oiket kirjimet, nnetn p - oike perustelu,

Lisätiedot

10. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA

10. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA MAA0 0. Määrätyn integrlin käyttö eräiden pint-lojen lskemisess 0. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA Edellä on todettu, että f (x)dx nt x-kselin j suorien x =, x = sekä funktion

Lisätiedot

Laudatur 10 MAA10 ratkaisut kertausharjoituksiin

Laudatur 10 MAA10 ratkaisut kertausharjoituksiin Ludtur MAA rtkisut kertushrjoituksiin Integrlifunktio. ) Jokin integrli funktio on esimerkiksi F( ) b) Kikki integrlifunktiot F( ) + C, missä C on vkio Vstus: ) F( ) b) F( ) + C, C on vkio. Kikki integrlifunktiot

Lisätiedot

Painopiste. josta edelleen. x i m i. (1) m L A TEX 1 ( ) x 1... x k µ x k+1... x n. m 1 g... m n g. Kuva 1. i=1. i=k+1. i=1

Painopiste. josta edelleen. x i m i. (1) m L A TEX 1 ( ) x 1... x k µ x k+1... x n. m 1 g... m n g. Kuva 1. i=1. i=k+1. i=1 Pinopiste Snomme ts-ineiseksi kpplett, jonk mteriliss ei ole sisäisiä tiheyden vihteluj. Tällisen kppleen pinopisteen sijinti voidn joskus päätellä kppleen muodon perusteell. Esimerkiksi ts-ineisen pllon

Lisätiedot

Monikulmio on suljettu, yhtenäinen tasokuvio, jonka muodostavat pisteet ja näitä yhdistävät janat

Monikulmio on suljettu, yhtenäinen tasokuvio, jonka muodostavat pisteet ja näitä yhdistävät janat MAB: Monikulmiot Aluksi Tässä luvuss käsitellään pljon monikulmioit sekä muutmi tärkeimpiä esimerkkejä monikulmioiin liittyvistä leist. Näistä leist edottomsti tärkein ti inkin kuskntoisin on Pytgorn luse.

Lisätiedot

Yläkoulun geometriaa. Yläkoulun geometriaa

Yläkoulun geometriaa. Yläkoulun geometriaa Yläkoulun geometri Tämä tehtäväkokoelm nt yläkoulun oppillle mhdollisuuden syventää kouluss opittv geometrin oppimäärää. Se on erityisen hyödyllinen niille, jotk ikovt lukioss vlit pitkän mtemtiikn. Kokoelmn

Lisätiedot

5.4 Ellipsi ja hyperbeli (ei kuulu kurssivaatimuksiin, lisätietoa)

5.4 Ellipsi ja hyperbeli (ei kuulu kurssivaatimuksiin, lisätietoa) 5.4 Ellipsi j hypereli (ei kuulu kurssivtimuksiin, lisätieto) Aurinkokuntmme plneett kiertävät Aurinko ellipsin (=litistyneen ympyrän) muotoist rt, jonk toisess polttopisteessä Aurinko on. Smoin Mt kiertävät

Lisätiedot

11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS

11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS 11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS Tilvuus on sen verrn rkielämässä viljelty käsite, että useimmiten sen syvemmin edes miettimättä ymmärretään, mitä juomlsin ti pikkuvuvn kylpymmeen tilvuudell trkoitetn.

Lisätiedot

TYÖ 30. JÄÄN TIHEYDEN MÄÄRITYS. Tehtävänä on määrittää jään tiheys.

TYÖ 30. JÄÄN TIHEYDEN MÄÄRITYS. Tehtävänä on määrittää jään tiheys. TYÖ 30 JÄÄN TIHEYDEN MÄÄRITYS Tehtävä älineet Tusttietoj Tehtävänä on äärittää jään tiheys Byretti (51010) ti esi 100 l ittlsi (50016) j siihen sopivi jääploj, lkoholi (sopii jäähdytinneste lsol), nlyysivk

Lisätiedot

Polynomien laskutoimitukset

Polynomien laskutoimitukset Polyomie lskutoimitukset Polyomi o summluseke, joss jokie yhteelskettv (termi) sisältää vi vkio j muuttuj välisiä kertolskuj. Esimerkki 0. Mm., 6 j ovt polyomej. Polyomist, joss o vi yksi termi, käytetää

Lisätiedot

Riemannin integraalista

Riemannin integraalista Lebesguen integrliin sl. 2007 Ari Lehtonen Riemnnin integrlist Johdnto Tämän luentomonisteen trkoituksen on tutustutt lukij Lebesgue n integrliin j sen perusominisuuksiin mhdollisimmn yksinkertisess tpuksess:

Lisätiedot

Kertaustehtävien ratkaisut

Kertaustehtävien ratkaisut Rtkisuist Nämä Trigoometriset fuktiot j lukujoot kurssi kertustehtävie j -srjoje rtkisut perustuvt oppikirj tietoihi j meetelmii. Kustki tehtävästä o yleesä vi yksi rtkisu, mikä ei kuitek trkoit sitä,

Lisätiedot

Analyysin perusteet kauppatieteilijöille 800118P

Analyysin perusteet kauppatieteilijöille 800118P Anlyysin perusteet kupptieteilijöille 800118P Luentomoniste Kri Myllylä Niin Korteslhti Topi Törmä Oulun yliopisto Mtemttisten tieteiden litos Kevät 2015 Sisältö 1 Derivtt 3 1.1 Määritelmä..............................

Lisätiedot

AVOIN MATEMATIIKKA 7 lk. Osio 3: Potensseja ja polynomeja

AVOIN MATEMATIIKKA 7 lk. Osio 3: Potensseja ja polynomeja Mrik Toivol j Tiin Härkönen AVOIN MATEMATIIKKA lk. Osio : Potenssej j polynomej Sisältö on lisensoitu voimell CC BY.0 -lisenssillä. Osio : Potenssej j polynomej. Smnkntisten potenssien tulo.... Smnkntisten

Lisätiedot

9 A I N. Alkuperäinen piiri. Nortonin ekvivalentti R T = R N + - U T = I N R N. Théveninin ekvivalentti DEE-11110 SÄHKÖTEKNIIKAN PERUSTEET

9 A I N. Alkuperäinen piiri. Nortonin ekvivalentti R T = R N + - U T = I N R N. Théveninin ekvivalentti DEE-11110 SÄHKÖTEKNIIKAN PERUSTEET DEE11110 SÄHKÖTEKNIIKAN PERUSTEET http://www.tut.fi/smg/course.php?id=57 Rtkisut Hrjoitukset 3, 2014 Tehtävä 1. Pyydetään muodostmn nnetun piirin Nortonin ekvivlentti. Nortonin, smoin kuin Theveninin,

Lisätiedot

θ 1 θ 2 γ γ = β ( n 2 α + n 2 β = l R α l s γ l s 22 LINSSIT JA LINSSIJÄRJESTELMÄT 22.1 Linssien kuvausyhtälö

θ 1 θ 2 γ γ = β ( n 2 α + n 2 β = l R α l s γ l s 22 LINSSIT JA LINSSIJÄRJESTELMÄT 22.1 Linssien kuvausyhtälö 22 LINSSIT JA LINSSIJÄRJSTLMÄT 22. Linssien kuvusyhtälö Trkstelln luksi vlon tittumist pllopinnll (krevuussäde R j krevuuskeskipiste C) kuvn mukisess geometriss. Tässä vlo siis tulee ineest ineeseen 2

Lisätiedot

LINSSI- JA PEILITYÖ TEORIAA. I Geometrisen optiikan perusaksioomat

LINSSI- JA PEILITYÖ TEORIAA. I Geometrisen optiikan perusaksioomat (0) LINSSI- JA PEILITYÖ MOTIVOINTI Tutustutn linsseihin j peileihin geometrisen optiikn mittuksiss Tutkitn vlon käyttäytymistä linsseissä j peileissä Määritetään linssien j peilien polttopisteet Optiset

Lisätiedot

Sähkömagneettinen induktio

Sähkömagneettinen induktio ähkömgneettinen inuktio Kun johinsilmukn läpi menevä mgneettikentän vuo muuttuu, silmukkn inusoituu jännite j silmukss lk kulke sähkövit. Mgneettikentässä liikkuvn johtimeen syntyy myös jännite. Näitä

Lisätiedot

6 Kertausosa. 6 Kertausosa

6 Kertausosa. 6 Kertausosa Kertusos Kertusos. ) b). ) b). ) ( ( ) : ) ( : ) b) { : [ ( ) ]} { :[ - ]} { : } -{ - } -{} c) ( ) : - ( ) ( ) ( ) ( 9) 9 9 Kertusos. ) ( ) b) ( ). ) ) ) b) / / c) : 7 7. ) ) ) b) Kertusos c) : 7 ( 9)

Lisätiedot

( ) Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 321 Päivitetty 19.2.2006. Saadaan yhtälö. 801 Paraabeli on niiden pisteiden ( x,

( ) Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 321 Päivitetty 19.2.2006. Saadaan yhtälö. 801 Paraabeli on niiden pisteiden ( x, Pyrmidi Anlyyttinen geometri tehtävien rtkisut sivu Päivitetty 9..6 8 Prbeli on niiden pisteiden (, y) joukko, jotk ovt yhtä kukn johtosuorst j polttopisteestä. Pisteen (, y ) etäisyys suorst y = on d

Lisätiedot

Neliömatriisin A determinantti on luku, jota merkitään det(a) tai A. Se lasketaan seuraavasti: determinantti on

Neliömatriisin A determinantti on luku, jota merkitään det(a) tai A. Se lasketaan seuraavasti: determinantti on 4. DETERINANTTI JA KÄÄNTEISATRIISI 6 4. Neliömtriisi determitti Neliömtriisi A determitti o luku, jot merkitää det(a) ti A. Se lsket seurvsti: -mtriisi A determitti o det(a) () -mtriisi A determitti void

Lisätiedot

Kirjallinen teoriakoe

Kirjallinen teoriakoe 11 Kirjllinen teorikoe Päivämäärä: Osllistujn nimi: Kirjllinen teorikoe Arviointi koostuu khdest osst: "yleiset kysymykset "j lskutehtävät" Kokeen hyväksytty rj on 51% molemmist osioist erikseen. St 1

Lisätiedot

3.3 KIELIOPPIEN JÄSENNYSONGELMA Ratkaistava tehtävä: Annettu yhteydetön kielioppi G ja merkkijono x. Onko

3.3 KIELIOPPIEN JÄSENNYSONGELMA Ratkaistava tehtävä: Annettu yhteydetön kielioppi G ja merkkijono x. Onko 3.3 KILIOPPIN JÄSNNYSONGLMA Rtkistv tehtävä: Annettu yhteydetön kielioppi G j merkkijono x. Onko x L(G)? Rtkisumenetelmä = jäsennyslgoritmi. Useit vihtoehtoisi menetelmiä, erityisesti kun G on jotin rjoitettu

Lisätiedot

8.4 Gaussin lause Edellä laskettiin vektorikentän v = rf(r) vuo R-säteisen pallon pinnan läpi, tuloksella

8.4 Gaussin lause Edellä laskettiin vektorikentän v = rf(r) vuo R-säteisen pallon pinnan läpi, tuloksella H 8.3.2 uontegrlt: vektoreden pntntegrlt Tvllsn tpus pntntegrlest on lske vektorkentän vuo pnnn läp: Trkstelln pnt j sllä psteessä P (x, y, z olev pnt-lkot d. Määrtellään vektorlnen pnt-lko d sten, että

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi. Hannu Kivimäki

Matematiikan tukikurssi. Hannu Kivimäki Mtemtiikn tukikurssi Hnnu Kivimäki Sisältö I Ensimmäinen välikoe Integrointi 2 Osittisintegrointi 5 3 Osmurtohjotelm 4 Lisää osmurtoj 4 5 Sijoituskeino 9 6 Määrätty integrli 2 7 Ylä- j lsumm 22 8 Määrätyn

Lisätiedot

Matematiikan perusteet taloustieteilijöille 2 800118P

Matematiikan perusteet taloustieteilijöille 2 800118P Mtemtiikn perusteet tloustieteilijöille 2 800118P Luentomoniste Kri Myllylä Niin Korteslhti Oulun yliopisto Mtemttisten tieteiden litos Kevät 2014 Sisältö 1 Mtriisilgebr j optimointi 4 11 Määritelmä 4

Lisätiedot

2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot

2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot 2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot 2.2 Kulman tangentti 2.3 Sivun pituus tangentin avulla 2.4 Kulman sini ja kosini 2.5 Trigonometristen funktioiden käyttöä 2.7 Avaruuskappaleita 2.8 Lieriö 2.9

Lisätiedot

521. 522. 523. 524. 525. 526. 527. 12. Lisää määrätystä integraalista. 12.1. Integraalin arvioimisesta. Osoita: VASTAUS: Osoita: Osoita:

521. 522. 523. 524. 525. 526. 527. 12. Lisää määrätystä integraalista. 12.1. Integraalin arvioimisesta. Osoita: VASTAUS: Osoita: Osoita: 12. Lisää määrätystä integrlist 12.1. Integrlin rvioimisest 521. Osoit: 1 + x 2 22 1 < < 1 + x21 21. 522. Osoit: x 3 < 5 x 6 + 8x + 9 < 15 1 5. 523. Osoit: 2 2 < e x2 x < 2e 2. e 524. Olkoon k >. Osoit:

Lisätiedot

VEKTORILASKENTA. Timo Mäkelä SISÄLTÖ: 1 VEKTORIN KÄSITE...1

VEKTORILASKENTA. Timo Mäkelä SISÄLTÖ: 1 VEKTORIN KÄSITE...1 VEKTORILASKENTA Timo Mäkelä SISÄLTÖ: VEKTORIN KÄSITE VEKTOREIDEN ERUSLASKUTOIMITUKSET VEKTOREIDEN YHTEENLASKU VEKTOREIDEN VÄHENNYSLASKU 4 VEKTORIN KERTOMINEN LUVULLA6 4 VEKTORILAUSEKKEIDEN KÄSITTELY7 TASON

Lisätiedot

Matematiikkaolympialaiset 2008 kuusi vaikeaa tehtävää

Matematiikkaolympialaiset 2008 kuusi vaikeaa tehtävää Solmu 3/2008 Mtemtiikkolympiliset 2008 kuusi vike tehtävää Mtti Lehtinen Mnpuolustuskorkekoulu 49. Knsinväliset mtemtiikkolympiliset pidettiin Mdridiss 4. 22. heinäkuut 2008. Kilpilijoit oli 535 j he edustivt

Lisätiedot

4 Taso- ja avaruuskäyrät

4 Taso- ja avaruuskäyrät P2-luentoj kevät 2008, Pekk Alestlo 4 Tso- j vruuskäyrät Tässä luvuss tutustutn tso- j vruuskäyriin, niiden krenpituuteen j krevuuteen. Konkreettisin sovelluksin trkstelln nnettu rt pitkin liikkuvn hiukksen

Lisätiedot

15. Suorakulmaisen kolmion geometria

15. Suorakulmaisen kolmion geometria 15. Suorakulmaisen kolmion geometria 15.1 Yleistä kolmioista - kolmion kulmien summa on 180⁰ α α + β + γ = 180⁰ β γ 5.1.1 Tasasivuinen kolmio - jos kaikki kolmion sivut ovat yhtä pitkät, on kolmio tasasivuinen

Lisätiedot

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.2014 Ratkaisut ja arvostelu

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.2014 Ratkaisut ja arvostelu VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.4 Rtkisut j rvostelu. Koululisen todistuksen keskirvo x on lskettu ) b) c) d) kymmenen ineen perusteell. Jos koululinen nostisi neljän ineen

Lisätiedot

Mikrotalousteoria 2, 2008, osa III

Mikrotalousteoria 2, 2008, osa III Sisältö Mikrotlousteori 2, 2008, os III Yrityksen tuotntofunktiost 2 Pnosten substituoitvuus 2 3 Yrityksen teori 3 4 Mittkvedut tuotnnoss 5 5 Yksikkökustnnusten j skltuottojen steen välinen yhteys 5 6

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

Geometrian kertausta. MAB2 Juhani Kaukoranta Raahen lukio

Geometrian kertausta. MAB2 Juhani Kaukoranta Raahen lukio Geometrian kertausta MAB2 Juhani Kaukoranta Raahen lukio Ristikulmat Ristikulmat ovat yhtä suuret keskenään Vieruskulmien summa 180 Muodostavat yhdessä oikokulman 180-50 =130 50 Samankohtaiset kulmat Kun

Lisätiedot

Riemannin integraalista

Riemannin integraalista TAMPEREEN YLIOPISTO Pro grdu -tutkielm Aij Stenberg Riemnnin integrlist Mtemtiikn j tilstotieteen litos Mtemtiikk Syyskuu 2010 2 Tmpereen yliopisto Mtemtiikn j tilstotieteen litos STENBERG, AIJA: Riemnnin

Lisätiedot

Kertausosa. Kertausosa. 3. Merkitään. Vastaus: 2. a) b) 600 g. 4. a)

Kertausosa. Kertausosa. 3. Merkitään. Vastaus: 2. a) b) 600 g. 4. a) Kertusos Kertusos ). ) : j 7 0 7 ) 0 :( ) c) :( ). Merkitää merirosvorht (kg) sukltrffelit (kg) ) 7, 0 hit: /kg hit: 7 /kg ) 00 g 0,kg 7 0,,0,,0, 0, (kg) :. ) Vstus: ) 7, 0 ( ) ) 00 g. ) 0 7 9 7 0 0 Kertusos

Lisätiedot

1.3 Toispuoleiset ja epäoleelliset raja-arvot

1.3 Toispuoleiset ja epäoleelliset raja-arvot . Toisuoleiset j eäoleelliset rj-rvot Rj-rvo lim f () A olemssolo edellyttää että muuttuj täytyy void lähestyä rvo kummst suust hyväsä. Jos > ii sot että lähestyy rvo oikelt ositiivisest suust. Jos ts

Lisätiedot

Numeerinen integrointi

Numeerinen integrointi Pitkärnt: Lj mtemtiikk IX9 Numeerinen integrointi IX9 Numeerinen integrointi Numeerisell integroinnill trkoitetn määrätyn integrlin, eli reliluvun I(f,,b) = f(x)dx lskemist numeerisin keinoin (likimäärin)

Lisätiedot

Suorakulmainen kolmio

Suorakulmainen kolmio Suorakulmainen kolmio 1. Määritä terävä kulma α, β ja γ, kun sinα = 0,5782, cos β = 0,745 ja tanγ = 1,222. π 2. Määritä trigonometristen funktioiden sini, kosini ja tangentti, kun kulma α = ja 3 β = 73,2

Lisätiedot

Kuva 1. n i n v. (2 p.) b) Laske avaimiesi etäisyys x altaan seinämästä. (4 p.) c) Kuinka paljon lunta voi sulaa enintään Lassen suksien alla?

Kuva 1. n i n v. (2 p.) b) Laske avaimiesi etäisyys x altaan seinämästä. (4 p.) c) Kuinka paljon lunta voi sulaa enintään Lassen suksien alla? TKK, TTY, LTY, OY, ÅA, TY j VY insinööriosstojen vlintkuulustelujen fysiikn koe 26.5.2004 Merkitse jokiseen koepperiin nimesi, hkijnumerosi j tehtäväsrjn kirjin. Lske jokinen tehtävä siististi omlle sivulleen.

Lisätiedot

B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja?

B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja? Nimi Koulutus Ryhmä Jokaisessa tehtävässä on vain yksi vastausvaihtoehto oikein. Laske tehtävät ilman laskinta.. Missä pisteessä suora y = 3x 6 leikkaa x-akselin? A. 3 D. B. E. en tiedä C. 6. Mitkä luvuista,,,

Lisätiedot

Suorakaidekanavat. lindab suorakaidekanavat

Suorakaidekanavat. lindab suorakaidekanavat Suorkideknvt lind suorkideknvt lind suorkideknvt Sisällysluettelo Suorkideknvt Knv LKR... Liitosost Liitoslist LS... Liitoslist LS-... Kulmyhde LBR... Liitoslist LS... S-mutk LBXR... LBSR... Liitoslist

Lisätiedot

Runkovesijohtoputket

Runkovesijohtoputket Runkovesijohtoputket PUTKET JA PUTKEN OSAT SSAB:n vlmistmi pinnoitettuj putki j putken osi käytetään lähinnä runkovesijohtolinjoihin, joiden hlkisij on DN 400-1200. Ost vlmistetn teräksisistä pineputkist

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä matematiikka 7.2.2012

PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä matematiikka 7.2.2012 PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä mtemtiikk 7 Kokeess s vstt enintään kymmeneen tehtävään Tähdellä (*) merkittyjen tehtävien mksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien mksimipistemäärä on 6 Jos tehtävässä on usempi kohti

Lisätiedot

* Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa * Trigonometristen funktioiden kuvaajat

* Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa * Trigonometristen funktioiden kuvaajat Trigonometria. a) Määrittele trigonometriset funktiot. b) Vertaa trigonometristen funktioiden ominaisuuksia määritys- ja arvojoukko sekä perusjakso). * Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa

Lisätiedot

Laudatur. Lukion pitkän matematiikan kertausta ylioppilastehtävien avulla Otava

Laudatur. Lukion pitkän matematiikan kertausta ylioppilastehtävien avulla Otava Ludtur Lukio pitkä mtemtiik kertust ylioppilstehtävie vull Otv Ylioppilstehtävät vuositti Mtemtiik koe 6.. Pitkä oppimäärä Perustitoj. Sieveä lusekkeet ), b) y y + y y. Geometri. Tssivuise kolmio ympäri

Lisätiedot

Näytä tai jätä tarkistettavaksi tämän jakson tehtävät viimeistään tiistaina 18.6. ylimääräisessä tapaamisessa.

Näytä tai jätä tarkistettavaksi tämän jakson tehtävät viimeistään tiistaina 18.6. ylimääräisessä tapaamisessa. Jkso 12. Sähkömgneettinen induktio Tässä jksoss käsitellään sähkömgneettist induktiot, jok on tärkeimpiä sioit sähkömgnetismiss. Tätä tphtuu koko jn rkisess ympäristössämme, vikk emme sitä välttämättä

Lisätiedot

Kappaleiden tilavuus. Suorakulmainensärmiö.

Kappaleiden tilavuus. Suorakulmainensärmiö. Kappaleiden tilavuus Suorakulmainensärmiö. Tilavuus (volyymi) V = pohjan ala kertaa korkeus. Tankomaisista kappaleista puhuttaessa nimitetään korkeutta tangon pituudeksi. Pohjan ala A = b x h Korkeus (pituus)

Lisätiedot

http://www.math.helsinki.fi/solmu/

http://www.math.helsinki.fi/solmu/ 1/2000 2001 http://www.mth.helsinki.fi/solmu/ Solmu Solmu Solmu 1/2000 2001 Mtemtiikn litos PL 4 (Yliopistonktu 5) 00014 Helsingin yliopisto http://www.mth.helsinki.fi/solmu/ Päätoimittj Pekk Alestlo Toimitussihteerit

Lisätiedot

Vastaa tehtäviin 1-4 ja valitse toinen tehtävistä 5 ja 6. Vastaat siis enintään viiteen tehtävään.

Vastaa tehtäviin 1-4 ja valitse toinen tehtävistä 5 ja 6. Vastaat siis enintään viiteen tehtävään. S-8. Sähkönsiirtoärstlmät Tntti 8..7 Vst thtäviin -4 vlits toinn thtävistä 5 6. Vstt siis nintään viitn thtävään.. Tutkitn ll piirrttyä PV-käyrää, ok kuv sllist vrkko, oss on tuotntolu kuormituslu niidn

Lisätiedot

Suorat, käyrät ja kaarevuus

Suorat, käyrät ja kaarevuus Suort, käyrät j krevuus Jukk Tuomel Professori Mtemtiikn litos, Joensuun yliopisto Suor? Tämä kirjoitus on eräänlinen jtko Timo Tossvisen suorn määritelmää koskevn kirjoitukseen Solmun numeross 2/2002.

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta Eksponenttifuntio Palautetaan mieliin, että Neperin luvulle e pätee: e ) n n n ) n n n n n ) n. Tästä määritelmästä seuraa, että eksponenttifunktio e x voidaan määrittää

Lisätiedot

3.7. Rekursiivisista lukujonoista

3.7. Rekursiivisista lukujonoista .7 Rekursiivisist lukujooist.7. Rekursiivisist lukujooist Kerrt vielä, että lukujoo void määritellä khdell eri tvll, joko käyttämällä lyyttistä säätöä ti rekursiivist säätöä. Joo määrittelemie rekursiivisesti

Lisätiedot

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti!

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti! MAA3 Koe 1.4.2014 Jussi Tyni Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti! A-Osio: Ei saa käyttää laskinta. MAOL saa olla alusta asti käytössä. Maksimissaan

Lisätiedot

Sisältö. Integraali 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 20

Sisältö. Integraali 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 20 Integrli 10. syyskuut 2005 sivu 1 / 20 Sisältö 1 Määrätty integrli j integrlifunktio 2 1.1 Integroituvist funktioit 3 1.2 Määrätyn integrlin ominisuuksi 4 1.3 Integrlifunktio 5 1.4 Integrlilskennn tärkeimmät

Lisätiedot

5 Jatkuvan funktion integraali

5 Jatkuvan funktion integraali 5 Jkuvn funkion inegrli Derivlle kääneisä käsieä kusun inegrliksi. Aloien inegrliin uusuminen esimerkillä. Esimerkki 5.. Tuonolioksess on phunu kemiklivuoo. Määriellään funkio V sien, eä V () on vuoneen

Lisätiedot

ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2015

ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2015 ICS-C2 Tietojenkäsittelyteori Kevät 25 Kierros 3, 26. 3. tmmikuut Demonstrtiotehtävien rtkisut D: Ldi epädeterministinen äärellinen utomtti, jok test onko nnetun inäärijonon kolmnneksi viimeinen merkki,

Lisätiedot

SALAINEN KIRJASTO. Harjoitusvihkon. Eija Lehtiniemi OPETTAJAN OHJEET. Erityisopetus

SALAINEN KIRJASTO. Harjoitusvihkon. Eija Lehtiniemi OPETTAJAN OHJEET. Erityisopetus E i j L e h t i n i e m i M e r v i Wä r e S L I N E N P I N E N H R J O I T U S V I H K O SLINEN KIRJSTO Hrjoitusvihkon Eij Lehtiniemi OPETTJN OHJEET Erityisopetus HRJOITUSVIHKON SISÄLTÖ Vlmiushrjoitukset

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi. Seppo Hassi

Matematiikan peruskurssi. Seppo Hassi Mtemtiikn peruskurssi Seppo Hssi Syksy 2014 iii Esipuhe Tämä on 1. versio Mtemtiikn peruskurssin opetusmonisteest, jonk sisältö noudttelee pitkälti Vsn yliopistoss iemmin luennoimni Mtemttiset menetelmät

Lisätiedot

Maa-57.290, Fotogrammetrian erikoistyö. Monoplotting. Anna Erving 58394J

Maa-57.290, Fotogrammetrian erikoistyö. Monoplotting. Anna Erving 58394J M-57.29, Fotogrmmetrin erikoistyö Monoplotting Ann Erving 58394J Sisällysluettelo Sisällysluettelo... 2 1. Johdnto... 3 2. Perusperite j histori... 3 3. Trvittvt ineistot... 4 3.1 Vlokuv kohteest... 4

Lisätiedot

Jouni Sampo. 28. marraskuuta 2012

Jouni Sampo. 28. marraskuuta 2012 A2 Jouni Smpo 28. mrrskuut 2012 Sisältö 1 Integrointitekniikoit 2 1.1 Osittisintegrointi (Integrtion by prts)...................... 2 1.2 Sijoitus (Method of Substitution).......................... 2 1.3

Lisätiedot

Viivaintegraali: "Pac- Man" - tulkinta. Viivaintegraali: "Pac- Man" - tulkinta. "Perinteisempi" tulkinta: 1D 3/19/13

Viivaintegraali: Pac- Man - tulkinta. Viivaintegraali: Pac- Man - tulkinta. Perinteisempi tulkinta: 1D 3/19/13 Viivintegrli: "Pc- Mn" - tulkint Otetn funk:o f(,), jok riippuu muudujist j. Jokiselle, tson pisteellä funk:oll on siis joku rvo. Tpillisiä fsiklis- kemillisi esimerkkejä voisivt oll esimerkiksi mss:hes

Lisätiedot

Geometrinen algebra: kun vektorien maailma ei riitä

Geometrinen algebra: kun vektorien maailma ei riitä Geometrinen lgebr: kun vektorien milm ei riitä Risto A. Pju 4. huhtikuut 2003 Tiivistelmä Geometrinen lgebr on viime vuosin ksvttnut suosiotn luonnontieteiden mtemttisen menetelmänä. Sen juuret ovt vektori-

Lisätiedot

Johdatus fraktaaliderivaattoihin ja niiden sovelluksiin

Johdatus fraktaaliderivaattoihin ja niiden sovelluksiin Jodtus frktliderivttoiin j niiden sovelluksiin Hnn Hlinen Mtemtiikn pro grdu Jyväskylän yliopisto Mtemtiikn j tilstotieteen litos Kesä 4 Tiivistelmä: Hnn Hlinen, Jodtus frktliderivttoiin j niiden sovelluksiin

Lisätiedot

Mika Hirvensalo. Insinöörimatematiikka B 2014

Mika Hirvensalo. Insinöörimatematiikka B 2014 Mik Hirvenslo Insinöörimtemtiikk B 4 Sisältö Rj-rvo j jtkuvuus....................................................... 5. Differentili- j integrlilskennn kehityksestä............................. 5. Relilukujen

Lisätiedot

Laskentaa kirjaimilla

Laskentaa kirjaimilla MAB1 Polynomit Laskentaa kirjaimilla Tähän asti olemme laskeneet luvuilla, jotka on esitetty numeroiden avulla. Matematiikan säännöt, laskentamenetelmät, kaavat samoin kuin fysiikan ja itse asiassa kaikkien

Lisätiedot

MAA3 HARJOITUSTEHTÄVIÄ

MAA3 HARJOITUSTEHTÄVIÄ MAA3 HARJOITUSTEHTÄVIÄ 1. Selosta, miten puolitat (jaat kahtia) annetun koveran kulman pelkästään harppia ja viivoitinta käyttäen. 2. Piirrä kolmio, kun tunnetaan sen kaksi kulmaa (α ja β) sekä näiden

Lisätiedot

Kenguru 2012 Student sivu 1 / 8 (lukion 2. ja 3. vuosi)

Kenguru 2012 Student sivu 1 / 8 (lukion 2. ja 3. vuosi) Kenguru 2012 Student sivu 1 / 8 Nimi Ryhmä Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta

Lisätiedot

Kertausosa. Kertausosa. Verrattuna lähtöarvoon kurssi oli laskenut. Kalliimman tukkuhinta 1,2 480 = 576 Kalliimman myyntihinta 1,3

Kertausosa. Kertausosa. Verrattuna lähtöarvoon kurssi oli laskenut. Kalliimman tukkuhinta 1,2 480 = 576 Kalliimman myyntihinta 1,3 Kertusos. ) Edullisemm hit 480, = 64 Klliimm tukkuhit, 480 = 576 Klliimm myytihit, 576 = 748,80 b) 748,80 64 = 0,666... = 6,66% 7% 748,80. Liittymä puhelimell mks khde vuode ik 4 8,50 = 684. Liittymä ilm

Lisätiedot

Trigonometriset funktiot

Trigonometriset funktiot Peruskäsitteet Y-peilaus X-peilaus Pistepeilaus Muistikulmat Muistikolmio 1 Muistikolmio 2 Jaksollisuus Esimerkki 5.A Esimerkki 5.B1 Esimerkki 5.B2 Esimerkki 5C.1 Esimerkki 5C.2 (1/2) (2/2) Muunnelmia

Lisätiedot

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK- a) Dsin3 us ( ) cos3 3 us( ) s( ) 3cos3 s( ) 3 ja s( ) 3 u( ) sin ja u( ) cos b) Dsin 3 3 Dsin us ( ) s( ) sin ja s( ) cos 3 u( ) ja u( ) 3 3sin

Lisätiedot

Matemaattiset menetelmät I. Seppo Hassi

Matemaattiset menetelmät I. Seppo Hassi Mtemttiset menetelmät I Seppo Hssi Syksy 2011 iii Esipuhe Tämä on 1. versio Mtemttiset menetelmät I-kurssin opetusmonisteest, jok perustuu Vsn yliopistoss luennoimni vstvn nimiseen kurssiin. Sisältö noudtt

Lisätiedot

Jäykän kappaleen tasokinetiikka harjoitustehtäviä

Jäykän kappaleen tasokinetiikka harjoitustehtäviä ynmiikk 1 Liite lukuun 6. Jäykän kppleen tskinetiikk - hrjitustehtäviä 6.1 vlvpkettiutn mss n 1500 kg. ut lähtee levst liikkeelle 10 % ylämäkeen j svutt vkikiihtyvyydellä npeuden 50 km / h 1 10 60 m mtkll.

Lisätiedot

OUML7421B3003. Jänniteohjattu venttiilimoottori KÄYTTÖKOHTEET TEKNISET TIEDOT OMINAISUUDET SOPIVAT VENTTIILIT TUOTETIEDOT. i OUV5049 i OUV5050

OUML7421B3003. Jänniteohjattu venttiilimoottori KÄYTTÖKOHTEET TEKNISET TIEDOT OMINAISUUDET SOPIVAT VENTTIILIT TUOTETIEDOT. i OUV5049 i OUV5050 OUML7421B3003 Jänniteohjttu venttiilimoottori TUOTETIEDOT OMINAISUUDET Helppo j nope sent Ei trvitse erillistä sennustelinettä Ei trvitse liikepituuden säätöä Momenttirjkytkimet Käsikäyttömhdollisuus Mikroprosessorin

Lisätiedot

Kolmio 1/11 Sisältö ESITIEDOT: piste, suora, kulma

Kolmio 1/11 Sisältö ESITIEDOT: piste, suora, kulma Kolmio 1/11 Sisältö ESITIEDOT: piste, suor, kulm Hkemisto KATSO MYÖS: geometriset proleemt, Pythgorn luse, monikulmiot Kolmio: perusominisuudet Yksinkertisin monikulmio on kolmio, jok muodostuu kolmest

Lisätiedot

Öljysäiliö maan alla

Öljysäiliö maan alla Kaigasniemen koulu Öljysäiliö maan alla Yläkoulun ketaava ja syventävä matematiikan tehtävä Vesa Maanselkä 009 Ostat talon jossa on öljylämmitys. Takapihalle on kaivettu maahan sylintein muotoinen öljysäiliö

Lisätiedot

MATEMATIIKKA PAOJ2 Harjoitustehtävät

MATEMATIIKKA PAOJ2 Harjoitustehtävät MATEMATIIKKA PAOJ2 Harjoitustehtävät 6. Laske kuvan suorakulmion pinta-ala. ( T ) 1. Täytä taulukko m 12 1,45 0,805 2. Täytä taulukko mm 12345 4321 765 23,5 7. Laske kuvan suorakulmion pinta-ala.( T )

Lisätiedot

Tasogeometria. Tasogeometrian käsitteitä ja osia. olevia pisteitä. Piste P on suoran ulkopuolella.

Tasogeometria. Tasogeometrian käsitteitä ja osia. olevia pisteitä. Piste P on suoran ulkopuolella. Tasogeometria Tasogeometrian käsitteitä ja osia Suora on äärettömän pitkä. A ja B ovat suoralla olevia pisteitä. Piste P on suoran ulkopuolella. Jana on geometriassa kahden pisteen välinen suoran osuus.

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 24.9.2014 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 24.9.2014 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 4.9.04 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa

Lisätiedot

Helsingin, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 9.6.2014 klo 10 13

Helsingin, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 9.6.2014 klo 10 13 Helsingin, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 9.6.014 klo 10 13 1. Ratkaise seuraavat yhtälöt ja epäyhtälöt: x + a) 3 x + 1 > 0 c) x x + 1 = 1 x 3 4 b) e x + e x 3

Lisätiedot

6.2 Algoritmin määritelmä

6.2 Algoritmin määritelmä 6.2 Algoritmin määritelmä Mitä lgoritmill yleensä trkoitetn? Peritteess: Yksiselitteisesti kuvttu jono (tietojenkäsittely)opertioit, jotk voidn toteutt meknisesti. Käytännössä: luonnollist kieltä, pseudokoodi

Lisätiedot

Pythagoraan polku 16.4.2011

Pythagoraan polku 16.4.2011 Pythagoraan polku 6.4.20. Todista väittämä: Jos tasakylkisen kolmion toista kylkeä jatketaan omalla pituudellaan huipun toiselle puolelle ja jatkeen päätepiste yhdistetään kannan toisen päätepisteen kanssa,

Lisätiedot

2.2 Neliöjuuri ja sitä koskevat laskusäännöt

2.2 Neliöjuuri ja sitä koskevat laskusäännöt . Neliöjuuri ja sitä koskevat laskusäännöt MÄÄRITELMÄ 3: Lukua b sanotaan luvun a neliöjuureksi, merkitään a b, jos b täyttää kaksi ehtoa: 1o b > 0 o b a Esim.1 Määritä a) 64 b) 0 c) 36 a) Luvun 64 neliöjuuri

Lisätiedot

Ylioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden

Ylioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden Ylioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ.9.013 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden ja sisältöjen luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan

Lisätiedot

OSA 3: GEOMETRIAA. Alkupala. Kokoa neljästä alla olevasta palasesta M kirjain.

OSA 3: GEOMETRIAA. Alkupala. Kokoa neljästä alla olevasta palasesta M kirjain. OSA 3: GEOMETRIAA Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupila, Katja Leinonen, Tuomo Talala, Hanna Tuhkanen, Pekka Vaaraniemi Alkupala Kokoa neljästä alla olevasta palasesta M kirjain. G. GEOMETRIAA Hannu ja

Lisätiedot

SISÄLTÖ Venymän käsite Liukuman käsite Venymä ja liukuma lujuusopin sovelluksissa

SISÄLTÖ Venymän käsite Liukuman käsite Venymä ja liukuma lujuusopin sovelluksissa SISÄLTÖ Venymän käsite Liukuman käsite Venymä ja liukuma lujuusopin sovelluksissa 1 SISÄLTÖ 1. Siirtymä 2 1 2.1 MUODONMUUTOS Muodonmuutos (deformaatio) Tapahtuu, kun kappaleeseen vaikuttaa voima/voimia

Lisätiedot