MATEMATIIKAN HARJOITTELUMATERIAALI

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "MATEMATIIKAN HARJOITTELUMATERIAALI"

Transkriptio

1 SAVONIA-AMMATTIKORKEAKOULU Tekniikk Infrrkentmisen j kivnnisln työnjohdon koulutus (ESR) MATEMATIIKAN HARJOITTELUMATERIAALI Ari Tuomenlehto - 0 -

2 Lusekkeen käsittelyä Luseke j lusekkeen rvo Näkyviin merkittyä lskutoimitust snotn lusekkeeksi. Jos lusekkeess esiintyvillä symoleill on numerorvot, voidn lske lusekkeen rvo. Lusekkeit ovt esimerkiksi ) 5,4m + 6,7m + 1,55m summluseke, joss on yhteenlskettv ) x 5x summluseke, joss on yhteenlskettv c) d) e) π r h tulo joss on tekijää sin 56,7 45,7 m sin75, osmäärä + x potenssiluseke ( ) Trkk rvo j likirvo Lusekkeen rvo lskettess on huomioitv lsketnko trkoill rvoill vi mittmll ti pyöristämällä sduill likirvoill. Trkkoin rvoin voidn useimmiten pitää esimerkiksi lukumäärää 6 henkilöä ti kupplskun summ - 456, - koskevi rvoj. Likirvoj ovt tyypillisesti eriliset mittustulokset. Likirvon trkkuus voidn ilmist eri tvoin: Likirvo 45,75m on ilmistu - neljällä numeroll - khdell desimlill yksikkönä metri - senttimetrin trkkuudell Likirvon trkkuutt ilmiseviksi numeroiksi ei lsket desimliluvun luss eikä (yleensä) kokonisluvun lopuss olevi nolli. Desimliluvun lopuss olevt nollt ovt trkkuutt ilmisevi numeroit

3 Likirvon 5,0 kg trkkuus on - neljä numero - kolme desimli yksikkönä kg - 1g Lskutuloksen trkkuus likirvoill lskettess Toimintsäännöt: Yhteen- j vähennyslskuiss tulokseen otetn yhtä mont yksikköä (desimli) kuin niitä on lähtötilnteess epätrkimmss likirvoss. Muit lskutoimituksi sisältävissä lusekkeiss tulokseen otetn yhtä mont numero kuin niitä on lähtötilnteess numeromäärältään epätrkimmss likirvoss. ) 5,4m 6,7m 1,55m 1,16 m + + ),4m 6,7 m 7,m Hrjoitustehtäviä 1. ) lske lusekkeen rvo ) lske lusekkeen (+ 4) 7 rvo.. Lske lusekkeen 11, 61+ 1, ,0 + 0,11 rvo j pyöristä tulos lähtörvojen trkkuutt vstvksi.. Lske lusekkeen, 456 1,945,4 + 0, 0678 rvo j pyöristä tulos lähtörvojen trkkuutt vstvksi. 4. Lske lusekkeen vstvksi. 15,6, rvo j pyöristä tulos lähtörvojen trkkuutt 1, 86 1,6 +, Lske lusekkeen 4xy y 4x 0 trkk rvo (murtoluku) kun x = 10 j y =. 6. Lske lusekkeen 1+ d 1 d trkk rvo (murtoluku) kun 1 d =. - -

4 7. Khden neliön sivujen pituudet mitttiin j tuloksiksi stiin 9,4 m j 11,41m. Kuink suuri on neliöiden yhteenlskettu pint-l? 8. Merkitse lusekkeeksi lukujen j erotus kerrottun lukujen c j d erotuksell. 9. Merkitse lusekkeeksi lukujen j osmäärä jettun lukujen c j d summll. Sieventäminen Lusekkeiss olevill symoleill voidn suoritt lskutoimituksi kuten numeroillkin. Useimmiten lusekett ei kuitenkn void muokt yhtä yksinkertiseksi yhdeksi luvuksi kuin numeroill lskettess. Luseke pyritään kuitenkin sttmn mhdollisimmn yksinkertisen muotoon. Lusekkeen yksinkertistmist snotn sieventämiseksi. Lusekett sievennettäessä, kuten numerolskennsskin, suoritetn kerto- j jkolskut ennen yhteen- j vähennyslskuj ellei suluill toisin osoitet. Sievennettäessä voidn käyttää seurvi relilukujen lskutoimitusten ominisuuksi: + = + yhteenlskun vihdntlki + ( + c) = ( + ) + c yhteenlskun liitäntälki = kertolskun vihdntlki ( c) = ( ) c kertolskun liitäntälki ( + c) = + c osittelulki Summlusekkeet Summlusekkeess oleviä termejä snotn smnmuotoisiksi, jos niillä on täsmälleen sm kirjinos. Toimintsääntö: Smnmuotoiset termit voidn yhdistää numerokertoimien yhteen/vähennyslskuill. ) + 5 = ( + 5) = 8 ) x + 4y x + y = ( ) x + (4 + 1) y = x + 5y c) = ( 4 6) + + ( + 6) = d) = (4 6) + ( + 6) + ( 4 + 6) = x xy y xy x y x xy y x xy y - -

5 Sulkujen poistminen summlusekkeest Toimintsäännöt: + merkin edeltämät sulut poistetn säilyttämällä kikkien suluiss olevien termien merkit. merkin edeltämät sulut poistetn vihtmll kikkien suluiss olevien termin merkit. ) x + 4 y + (x 6 y) = x + 4y + x 6y = 5x y ) x + 4 y (y 7 x) = x + 4y y + 7x = 4x + y Summn kertominen ti jkminen luvull Toimintsäännöt: Summ voidn kerto luvull kertomll jokinen yhteenlskettv erikseen j lskemll tulot yhteen. Summ voidn jk luvull jkmll jokinen yhteenlskettv erikseen j lskemll osmäärät yhteen. ) (5x + 4y 5 z) = 5x + 4y + ( 5 z) = 15x + 1y 15z ) c c = + = 4 + c Soveltmll kertolskun sääntöä toistuvsti voidn kerto summlusekkeit keskenään: ) ( + ) ( x + 5 z) = x + 5z + x + 5z = x + 5z + x + 15z ) ( + c)(4 y) = ( ) 4 + ( ) ( y) + c 4 + c ( y) = 1 + y + 4c cy Tekijän erottminen Edellä esitettyä osittelulki ( + c) = + c voidn sovelt myös oikelt vsemmlle, jolloin on kyse tekijän erottmisest. Toimintsääntö: Jos summlusekkeen jokisess termissä on sm tekijä, se voidn erott koko lusekkeen yhteiseksi tekijäksi sulkumerkkejä käyttämällä

6 ) + = ( + ) ) mx nx + x = x( m n + 1) c) ( x + y) + ( x + y) = ( x + y)( + ) d) x y = 1( x + y) Knntt huomt että tekijäksi voidn erott myös summ (edellisen esimerkin c-koht) ti luku 1 (edellisen esimerkin d-koht). Hrjoitustehtäviä 10. Sievennä seurvt lusekkeet. ) 4x + 8y 5x + 6y ) Poist sulut j sievennä seurvt lusekkeet. ) x + 1 (4 5 x) ) x(1 + y) + y( x) c) x x x x x x 1+ ( 4 + 7) 1. Suorit kertolskut. ) (4 5x 4 y) ) ( x + y)( + 4 z) 1. Suorit jkolskut. 0 5x 40y ) 5 10z 6xz + yz ) z 14. Erot yhteiset tekijät. ) 4mn 6n + n ) ( + c) x + y( + c) c) y xz - 5 -

7 Murtolusekkeet Murtolusekkeess ( 0 ) luku snotn osoittjksi (jettvksi) j luku nimittäjäksi (jkjksi). Luvun käänteisluku on luku ( 0 ). Erikoisesti luvun ( 0 ) käänteisluku on luku 1. ) luvun 4 7 käänteisluku on ) luvun käänteisluku on = Murtolusekkeiden kerto- j jkolskut Toimintsäännnöt: Murtolusekkeet voidn kerto keskenään siten, että osoittjien tulo jetn nimittäjien tuloll. Murtolusekkeet voidn jk keskenään siten, että jettvll kerrotn jkjn käänteisluku. ) 4 4 = = x y x w x w xw ) = = = z y z y z yz w c) d) = = = 7 = = - 6 -

8 Supistminen j lventminen Toimintsäännnöt: Murtoluseke, jonk osoittjss j nimittäjässä on sm tulon tekijä, voidn supist tällä tekijällä. Murtoluseke voidn lvent millä thns nollst erovll lusekkeell. Lventminen trkoitt sitä, että jettv j jkj kerrotn lventjll. ) c) d) d) e) (5 10 = ) 15 m( n ) n ( n ( x xy zx = m y = z ( y ( x+ 1 ( x + 1) yz ( x + 1) z z = = xy( x + 1) x( x + 1) x ) ) = y y x + ( x + ) = z z Murtolusekkeiden summ Toimintsäännnöt: Smnnimiset murtolusekkeet (joill on siis täsmälleen sm nimittäjä) voidn lske yhteen siten, että summn osoittj on yhteenlskettvien osoittjien summ j nimittäjä on yhteenlskettvien yhteinen nimittäjä. ) 5 x x = = x ) + ( ) + + ( + ) + = = = = = Jos murtolusekkeet, joill on eri nimittäjä, hlutn lske yhteen, pitää ne ensin lvent smnnimisiksi. (

9 ) ) c) 4) 7) = + = = = ) 4) ) = + = = = y y 4y 1y 1y 1y 1y 1y 1y ) ) = = Sopivin luku yhteiseksi nimittäjäksi on lkuperäisten nimittäjien pienin yhteinen jettv (pyj) eli luku ti luseke jok on jollinen kikill yhteenlskettvien jkjill, mutt joss on mhdollisimmn vähän tekijöitä (vrt edellisen esimerkin )- j c)-kohdt). Hrjoitustehtäviä 15. Sievennä seurvt lusekkeet. ) 4 x 5y 4 ) p 7w c) : 5 x 5z d) : 5y w 16. Supist seurvt lusekkeet. ) 4 c 8xy ) 64 xyz 16xz + c c) + c + c d) x + xc - 8 -

10 17. Suorit yhteenlskut j sievennä (jos mhdollist). ) ) c) d) e) 1 1+ x + x + 1 x + 1 x + x y y 1 z + 1 z + Potenssilusekkeet Jos n on positiivinen kokonisluku, käytetään tulolle... lyhennysmerkintää n kpl tekijöitä n, jok on potenssiluseke j luetn potenssiin n ti :n n :s potenssi. Luku on kntluku j luku n eksponentti. Potenssimerkintä on kirjoitettv siten että kntluku on yksikäsitteinen. Toimintsääntö: Negtiivisen luvun, summn, osmäärän ti tulon potenssi on in kirjoitettv sulkujen vull. ) ) c) d) e) f) 4 ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) = 81 4 = ( ) = 81 4 ( x + y) = ( x + y) ( x + y) ( x + y) ( x + y) 4 x + y = x + y y y y ( xy) = ( xy) ( xy) ( xy) xy = x y y y - 9 -

11 Potenssikvt Potenssilusekkeiden sieventämisessä trvitn seurvi sääntöjä: ( ) n = n n ( ) n n = ( 0 ) n m n m n = + m m n = n ( m n ( ) = m n m n > ) ) ( x) = x = 16x 8 ) ( ) = = x x x + + c) y y = y = y = y 5 x 5 d) = x = x x x x x e) ( e ) = e = e Jos lisäksi sovitn että = 1 0 = 1 ( 0 ) n 1 =, n voidn edellä esitettyjä potenssisääntöjä käyttää kikill kokonislukueksponenteill. Smll ne ntvt oikeuden siirtää tulon tekijä osoittjst nimittäjään ti päinvstoin kun smll muutetn eksponentin etumerkki. Potenssilusekkeiden rvojen lskemist vrten lskimiss on erilliset näppäimet. 1 1 ) = = 9 5 y ) = y = y = 7 y y 0 c) ( + ) ( + ) = ( + ) + = ( + ) = 1 ( ) 6 d) ( x ) = x = x

12 e) x z x x x x = = = z x z z z z Hrjoitustehtäviä 18. Lske seurvien lusekkeiden rvot. ) ) c) ( ) Sievennä seurvt lusekkeet. ) ) c) d) x y x y ( 1) ( 1) x + y 4 5x + y 0. Sievennä seurvt lusekkeet. ) ) c) ( z) (4 y) ( c ) ( x y z ) x y z : ( c ) c

13 Rtionlilusekkeet Lusekett, joss esiintyy vi yhteen-, vähennys-, kerto- j jkolskuj, snotn rtionlilusekkeeksi. Rtionlilusekkeit voi sieventää edellä esitettyjen lusekkeenkäsittelyn sääntöjen vull. Hrjoitustehtäviä 1. Sievennä seurvt lusekkeet. ) x ( + ) 4 x( + ) c ) + + c c 1 c) (1 x )( x ) x + x d) ( + ) : ( + ) e) ( + ) : f) ( + )( ). Suorit lskutoimitukset. + ) + 1 ) (1 )( ) y y 1 1 c) ( x ) : 1 x x d) ( )( x + y) y x e)

14 Juurilusekkeet Ei-negtiivisen luvun (siis 0 ) neliöjuurell trkoitetn luku jolle pätee: 0 ( ) = Merkinnässä luku snotn juurrettvksi. Määrittelystä seur ominisuus: jos 0 = =...(Huom! luku snot luvun itseisrvoksi) jos < 0 ) 9 =, kosk 0 j ) 196 = 14, kosk 14 0 j 14 = 196 = 9 (Huom! myös luvulle pätee ( ) = 9, mutt < 0 ) Luvun kuutiojuurell trkoitetn luku jolle pätee: ( ) = Määrittelystä seur ominisuus: = ) 64 = 4, kosk ) 1 1 =, kosk 8 4 = = 8 Juurilusekkeiden rvojen likirvoj vrten lskimiss on erilliset näppäimet

15 Juurilusekkeit sievennettäessä voidn käyttää seurvi käsittelysääntöjä: = = = = Hrjoitustehtäviä. Päättele ilmn lskint seurvien juurilusekkeiden rvot. ) 0,5 ) c) Sievennä seurvt lusekkeet. ) ( x + 1) ) c) 9x x y 6 9 d) ( )

16 Yhtälö Khden lusekkeen keskinäistä yhtäsuuruutt snotn yhtälöksi. yhtälöitä ovt esimerkiksi ) 5x + 7 = 4 ) x + y = 6z + 7 c) V = π r h d) v = v0 + t e) 1 h = v0t gt Käytännössä yhtälö sisältää in tuntemttomn suureen, jonk rvo ei tunnet. Tätä suurett snotn tuntemttomksi. Tuntemttomn rvoj, jotk toteuttvt yhtälön, snotn yhtälön juuriksi. Luku 5 on yhtälön x 14 = x + 6 juuri kosk yhtälö toteutuu (vsen j oike puoli svt smn rvon) kun niihin sijoitetn kyseinen luku: vp: 5 14 = 5 14 = 11 op: = 11 Huom! yhtälöllä on myös toinen juuri (jok on luku 4 ). Yhtälön rtkiseminen trkoitt yhtälön kikkien juurien määrittämistä. Kvoiss olevi suureit merkitään in omill vkiintuneill symoleilln. Tällöin tuntemton määräytyy in tilnteen mukn. Yhtälössä (kvss) v = v0 + t voi tilnteest riippuen mikä thns suureist v, v 0, ti t oll tuntemton. Yhtälössä (kvss) oll tuntemton. V π = r h voi tilnteest riippuen mikä thns suureist V, r ti h Yhtälöä rtkistess tvoitteen on pelkistää yhtälö selliseen muotoon, että juuret sdn selville. Pelkistäminen on tehtävä siten, että väliviheet ovt keskenään yhtäpitäviä. Väliviheitten yhtäpitävyyttä merkitään usein ekvivlenssinuolell. Yhtälöä pelkistettäessä on käytettävissä toimintsääntöjä, joist muutmi seurvss

17 Toimintsääntöjä: Yhtälön molemmt puolet voidn kerto ti jk smll nollst erovll luvull ti lusekkeell. Yhteenlskettv voidn siirtää yhtälön toiselle puolen kun sen etumerkki smll vihdetn (sm hiemn toisin: yhtälön molemmille puolille voidn lisätä ti niistä voidn vähentää sm luku ti luseke). Huom! yhtälön vsen j oike puoli voidn viht keskenään (vihtmtt etumerkkejä). x 7 = x + 1 siirretään 7 oikelle j x vsemmlle x x = 1+ 7 sievennetään x = 8 : jetn puolittin luvull x 8 = sievennetään x = 4 sdn rtkisu (eli yhtälön kikki juuret) rtkistn v 0 yhtälöstä 1 h = v0t gt 1 h v t gt 1 1 v0t gt = h siirretään gt oikelle 1 v0t = h + gt : t jetn puolittin t :llä ( t 0) = 0 vihdetn yhtälön eri puolet keskenään 1 h + gt v0t = sievennetään t t v 0 1 gt gt h h = + = + sievennetään t t t t h gt h gt v0 = + = + sdn rtkisu t t t

18 Ensimmäisen steen yhtälö Yhtälöä rtkistess pyritään pelkistämään yhtälö muotoon, jost eteenpäin eteneminen tunnetn (lgoritmin omisesti). Edellä rtkistut yhtälöt ovt olleet erästä tällist muoto ensimmäisen steen yhtälöitä. Yhtälöä jok pelkistyy muotoon x =, missä 0 ( x tuntemton), snotn ensimmäisen steen yhtälöksi. Yhtälö voidn tällöin rtkist jkmll yhtälö puolittin tuntemttomn kertoimell x = : x = 4x = 8 : 4 x = Hrjoitustehtäviä 5. Rtkise x seurvist yhtälöistä. ) 7x = 5 ) kx = m c) 7x + = 11x 5 d) x + = cx + d 6. Rtkise seurvt yhtälöt. Vstuksen trkt rvot. ) + 4 = 1 x x 1 ) = x + 4 x 7. ) Rtkise kvst F = m 1 ) Rtkise C kvst W = CU U c) Rtkise R kvst P = R d) Rtkise T kvst Q = mc T

19 8. ) Rtkise r kvst E R + = r e r 1+ B ) Rtkise B kvst A = C 1 B p c) Rtkise p kvst (1 + ) = 100 d) Rtkise c kvst = ( )( )( ) A p p p p c 9. Luokll oli sovittu pidettäväksi neljä mtemtiikn koett. Liis rveli pystyvänsä prntmn pistemääräänsä jok kokeess yhdellä edelliseen kokeeseen verrttun. Kuink mont pistettä hän lski trvitsevns ensimmäisestä kokeest, kun hän oli settnut tvoitteekseen yhteensä 66 pistettä? 0. Omkotitlon sähkönkulutus on 8700kWh vuodess. Kuink mont prosentti kulutuksest iheutuu vlisimest, jonk teho on 60 W j jot käytetään keskimäärin 7, tunti vuorokudess. 1. Prturimksujen ALV pienenee %:st 8%:iin. Kuink mont % prturimksut lenevt, jos koko ALV:n pienennys siirretään sikkiden hyväksi. ALV lsketn verottomst hinnst.. Kurkun mss oli 400g j sen vesipitoisuus oli tällöin 99%. Viikon kuluttu kurkust oli hihtunut vettä siten, että vesipitoisuus oli pudonnut 98%:iin. Mikä oli tällöin kurkun mss?. Astiss on 6,7 kg suolliuost, jonk suolpitoisuus (pinoprosenttein) on 15,%. Kuink pljon sellist suolliuost, jonk suolpitoisuus on 11,%, on stin lisättävä, jott syntyvän liuoksen suolpitoisuudeksi tulisi 1,%? 4. Henkilöltä A kuluu nettoplkstn 4,5% suntolinn lyhennyksiin j korkoihin. Jäljelle jääneestä summst 87, % menee erilisiin kulutusmenoihin. A säästää loput, jolloin säästöön jää 109 /kk. Mikä on A:n ruttoplkk, kun hänen ennkonpidätysprosenttins on 5,0%?

20 Toisen steen yhtälö Yhtälöä, jok pelkistyy muotoon yhtälöksi. + + = 0, missä 0, snotn toisen steen x x c Yhtälö voidn tällöin rtkist rtkisukvll: + + = 0 x x c ± 4c x = Huom! jos 4c < 0, ei yhtälöllä ole relijuuri. Rtkisukv ei knnt käyttää jos = 0 ti c = 0, tällöin menetellään seurvsti. Toimintsäännöt: Jos = 0, sdn yhtälö muotoon x =, jonk rtkisut ovt c c Jos < 0, ei yhtälöllä ole relijuuri. c x = ± Jos c = 0, sdn yhtälö muotoon x( x + ) = 0, jost edetään ns. tulon nollsäännön vull: x( x + ) = 0 x = 0 ti x + = 0 x = 0 ti x = x 8x + 6 = 0 ± x = ( 8) ( 8) ± 16 8 ± 4 x = = = x 18 = 0 x = 18 : x = 9 x = ± 9 = ±

21 x + 6x = 0 x( x + 6) = 0 x = 0 ti x + 6 = 0 x = 0 ti x = 6 Hrjoitustehtäviä 5. Rtkise seurvt yhtälöt. Vstuksen trkt rvot. ) x x + 1 = 0 ) x(x ) = 1+ x(1 x) c) x + x 4 = 1 x x + 6. Kuvss näkyvän rvirdn kenttälueen pint-l on m j kenttälueen ympärysmitt (rdn pituus) 1000m. Suort ost ovt keskenään yhdensuuntisi j krtein on puoliympyrät. Lske kenttälueen pituus s. Ohje: rtkise ensin ympyrän säde. s 7. Erästä tuotett on pkttvn 0000 kg. Pkkmiseen pitää käyttää joko pieniä ti suuri ltikoit. Suureen ltikkoon mhtuu 80,0 kg/ltikko enemmän kuin pieneen ltikkoon (ltikot pktn täyteen). Pieniä ltikoit trvittisiin 100 kpl enemmän kuin suuri. Kuink mont kg mhtuu pieneen ltikkoon? - 0 -

22 Suorkulminen kolmio c β α Suorn kulmn viereisiä sivuj snotn kteeteiksi, j suorn kulmn vstist sivu hypotenuusksi. Suorkulmisen kolmion rtkiseminen Jos kolmiost tunnetn riittävästi kulmi/sivuj, voidn loput ost rtkist Pythgorn luseen j trigonometristen funktioiden vull. Pythgorn luse: Hypotenuusn pituuden neliö on kteettien pituuksien neliöiden summ: kuvss c = + Trigonometriset funktiot: terävän kulmn sini on kulmn vstisen kteetin pituuden suhde hypotenuusn pituuteen: kuvss sinα = j sin β = c c terävän kulmn kosini on kulmn viereisen kteetin pituuden suhde hypotenuusn pituuteen: kuvss cosα = j cos β = c c terävän kulmn tngentti on kulmn vstisen kteetin pituuden suhde viereisen kteetin pituuteen: kuvss tnα = j tn β = Kun tunnetn terävän kulmn trigonometrisen funktion (sini, kosini ti tngentti) rvo, sdn kulmn rvo selville lskimen vull rcusfunktiot (lskimess joko rcsin ti sin -1 näppäin) käyttämällä

23 Jos tunnetn terävän kulmn sini, voidn kulm rtkist. sinα = 0, 56 α = rcsin 0,56 4, Rtkistn oheisen suorkulmisen kolmion tuntemttomt ost kun tiedetään, että c = 1,m j α = 8,0. sinα = c c sinα = c α = c sinα = 1,m sin 8,0 7,57 m c β cosα = c c cosα = c = c cosα = 1,m cos8,0 9,69m β = 90,0 α = 90,0 8,0 = 5,0 - -

24 Rtkistn oheisen suorkulmisen kolmion tuntemttomt ost kun tiedetään, että =,54 m j = 4,6m. c β c = + c = + α c = (,54 m) + (4,6 m) c = 1,541 m c = 1,541 m c 5,6 m tnα =,54m tnα = = 0, ,6 m,54 α = rctn = rctn 0, ,1 4,6 β = 90, 0 α 90, 0 9,1 = 50, 9 Hrjoitustehtäviä 8. Rtkise kuvss olevn suorkulmisen kolmion kikki tuntemttomt ost kun c β ) = 16,8 mm j c =,7 mm ) = 58,km j β = 5,0 c) = 1,4 mm j = 6,8mm α - -

25 9. Rtkise oheisen suorkulmisen kolmion sivut j c. c 56,6,76 m 40. Lske jnn AD pituus, kun AC = 6,0cm ; BC = 6, 68cm ; j kulmt BAC j ADC ovt suori kulmi. B D A C 41. Oheisess suorkulmisess kolmioss pätee : = :. Lske α, β, j.,95m β α 4. Lske x. 90 x

26 4. Suorkulmisen kolmion pitempi kteetti on kksi kert niin pitkä kuin lyhempi kteetti. Hypotenuusn pituus on 5,00 m. Lske kolmion pint-l. 44. Tehtn piipun vrjo vksuorll mnpinnll on 11 m pitkä. Auringon vlo tulee 6,0 kltevuudess (vktsoon nähden). Määritä piipun korkeus. 45. Merivrtiosemst etelään on mjkk, jonne etäisyys on 5,0 km. Merellä on tphtunut onnettomuus pikss, jok sijitsee mjkst suorn länteen. Merivrtiosemlt ktsottun onnettomuuspikn j mjkn suunnt poikkevt toisistn 5. Kuink pitkä mtk on merivrtiosemlt onnettomuuspiklle? 46. Hrjkttoisen rkennuksen leveys on 90 mm. Kuink pitkä on kton lpe hrjlt räystäälle, kun kton kltevuus on 1: j sivuräystäs ulkonee seinästä 500 mm? 47. Herr X osti vlmiin komeron, jonk mitt ovt 600 mm, 700 mm j 40 mm. Voiko komeron nost pystyyn purkmttomn huoneess, jonk korkeus on 50cm? - 5 -

27 Tso- j vruusgeometri Seurvss on esitetty eräitä sovelluksiss esiintyviä tso- j vruusgeometrin tuloksi pint-loj j tilvuuksi. Kolmio α c h Kolmion pint-l: h 1 A = = csinα ( on kolmion kntsivu) Ympyrä α r Kolmion jänne jk ympyrän khteen segmenttiin (kuvss toinen segmentti viivoitettun) Ympyrän pint-l: Segmentin pint-l:, missä α on segmenttiä vstv keskuskulm. A = π r 1 Asegmentti = r r 60 α π α sin - 6 -

28 Suor ympyrälieriö r h Suorn ympyrälieriön tilvuus: V = π r h Suorn ympyrälieriön vipn l: Avipp = π rh Suor ympyräkrtio h r Suorn ympyräkrtion tilvuus: 1 V = π r h - 7 -

29 Pllo r Pllon tilvuus: Pllon pint-l: 4 V = π r A = 4π r Hrjoitustehtäviä 48. Jos vuorokutinen sdemäärä on 10 mm, kuink mont kuutiometriä ( m ) vettä st vuorokudess yhden neliökilometrin ( 1km ) lueelle? 49. Kuink mont kuutiokilometriä ( km ) vettä suomliset (väkiluku 5, miljoon) kuluttvt vuodess jos keskikulutus henkilöä kohden vuorokudess on 160 l. 50. Ympyrän säde on 4,56 m j sektorin l on 15,77 m. Kuink suuri on on keskuskulm? 51. Suorkulmion muotoiseen levyyn tehdään kksi yhtä suurt ympyrän muotoist reikää, joiden yhteenlskettu pint-l s oll korkeintn 17,% levyn lst. Kuink suuri s ympyröiden säde korkeintn oll?,16 m 8,40 m - 8 -

30 5. Suorn ympyrälieriön muotoisen tynnyrin pohjn säde on 0,4 m j korkeus 0,9 m. Tynnyriä täytetään vedellä nopeudell,5 l / min. Kuink kun täyttö kestää? 5. Suorn ympyrälieriön muotoisess stiss on vettä. Veteen upotetn (kokonn) pllon muotoinen kpple. Kuink pljon vedenpint nousee, kun lieriön pohjn hlkisij on 00 mm j pllon hlkisij on 180 mm. Oletetn ettei vesi virt pois lieriöstä. 54. Ympyrän hlkisij on 6,0 m. Ympyrä jetn 4,0 m pitkällä jänteellä khteen segmenttiin. Lske segmenttien lt. 55. Putkest tulee 8, 0 m inett, jok kestää vierimättä enintään 0, 0 :n kulmss vktsoon nähden. Kuink korke ks putken lle voi enintään muodostu? Alust oletetn vksuorksi. 56. Kuvss on,50cm pksuun levyyn portun reiän poikkileikkus. ) Lske reiän tilvuus, kun kulm α = 4,0 j reiän (porn) hlkisij on 1,80cm. ) Mikä pitäisi kulmn α oll jos reiän tilvuudeksi hluttisiin 0,0cm? α - 9 -

OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA

OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupil, Ktj Leinonen, Tuomo Tll, Hnn Tuhknen, Pekk Vrniemi Alkupl Tiedekeskus Tietomn torninvrtij

Lisätiedot

Ristitulo ja skalaarikolmitulo

Ristitulo ja skalaarikolmitulo Ristitulo j sklrikolmitulo Opetussuunnitelmn 00 mukinen kurssi Vektorit (MAA) sisältää vektoreiden lskutoimituksist keskeisenä ineksen yhteenlskun, vähennyslskun, vektorin kertomisen luvull j vektoreiden

Lisätiedot

Tasogeometriassa käsiteltiin kuvioita vain yhdessä tasossa. Avaruusgeometriassa tasoon tulee kolmas ulottuvuus, jolloin saadaan kappaleen tilavuus.

Tasogeometriassa käsiteltiin kuvioita vain yhdessä tasossa. Avaruusgeometriassa tasoon tulee kolmas ulottuvuus, jolloin saadaan kappaleen tilavuus. KOLMIULOTTEISI KPPLEIT Tsogeometriss käsiteltiin kuvioit vin ydessä tsoss. vruusgeometriss tsoon tulee kolms ulottuvuus, jolloin sdn kppleen tilvuus. SUORKULMINEN SÄRMIÖ Suorkulmisess särmiössä kikki kulmt

Lisätiedot

SUORAKULMAINEN KOLMIO

SUORAKULMAINEN KOLMIO Clulus Lukion Täydentävä ineisto 45 0 45 60 ( - ) + SUORKULMINEN KOLMIO Pvo Jäppinen lpo Kupiinen Mtti Räsänen Suorkulminen kolmio Suorkulminen kolmio Käsillä olev Lukion Clulus -srjn täydennysmterili

Lisätiedot

Sinilause ja kosinilause

Sinilause ja kosinilause Siniluse j kosiniluse GEOMETRI M3 Mikäli kolmion korkeus j knt tiedetään, voidn pint-l lske. Esimerkki: Lske kolmion l, kun 38 kulmn viereiset sivut ovt 8, j 6,8. Nyt knt tiedetään, korkeutt ei! 38 8,

Lisätiedot

Reaalinen lukualue. Millainen on luku, jossa on päättymätön ja jaksoton desimaalikehitelmä?

Reaalinen lukualue. Millainen on luku, jossa on päättymätön ja jaksoton desimaalikehitelmä? Relinen lukulue POLYNOMIFUNKTIOT JA -YHTÄLÖT, MAA Millinen on luku, joss on päättymätön j jksoton desimlikehitelmä? Onko sellisi? Trkstelln Pythgorn luseest stv yksikköneliön lävistäjää, luku + = x x =.

Lisätiedot

Syksyn 2015 Pitkän matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut

Syksyn 2015 Pitkän matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut Sksn 0 Pitkän mtemtiikn YO-kokeen TI-Nspire CAS -rtkisut Tekijät: Olli Krkkulinen Rtkisut on ldittu TI-Nspire CAS -tietokoneohjelmll kättäen Muistiinpnot -sovellust. Kvt j lskut on kirjoitettu Mth -ruutuihin.

Lisätiedot

601 Olkoon tuntematon kateetti a ja tuntemattomat kulmat α ja β Ratkaistaan kulmat. 8,4 = 12. Ratkaistaan varjon pituus x. 14 x = 44,

601 Olkoon tuntematon kateetti a ja tuntemattomat kulmat α ja β Ratkaistaan kulmat. 8,4 = 12. Ratkaistaan varjon pituus x. 14 x = 44, Pyrmidi 3 Geometri tehtävien rtkisut sivu 08 60 Olkoon tuntemton kteetti j tuntemttomt kulmt j β Rtkistn kulmt. 8,4 cos 8,4 cos 45,579... 46 β 90 60 4 Rtkistn vrjon pituus 3 44,470... 44 Rtkistn kteetti.

Lisätiedot

VEKTOREILLA LASKEMINEN

VEKTOREILLA LASKEMINEN ..07 VEKTOREILL LSKEMINEN YHTEENLSKU VEKTORIT, M4 Vektoreiden j summ on vektori +. Tämän summvektorin + lkupiste on vektorin lkupiste j loppupiste vektorin loppupiste, kun vektorin lkupisteenä on vektorin

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 4 Tilvuuden j vipn ln lskeminen Kuten iemmin käsittelimme, määrätyn integrlin vull voi lske pintloj j tilvuuksi. Tyypillisenä sovelluksen tilvuuden lskemisest on tpus, joss

Lisätiedot

2.4 Pienimmän neliösumman menetelmä

2.4 Pienimmän neliösumman menetelmä 2.4 Pienimmän neliösummn menetelmä Optimointimenetelmiä trvitn usein kokeellisen dtn nlysoinniss. Mittuksiin liittyy virhettä, joten mittus on toistettv useit kertoj. Oletetn, että mittn suurett c j toistetn

Lisätiedot

VEKTOREILLA LASKEMINEN

VEKTOREILLA LASKEMINEN 3..07 VEKTOREILLA LASKEMINEN YHTEENLASKU VEKTORIT, MAA Vektoreiden j summ on vektori +. Tämän summvektorin + lkupiste on vektorin lkupiste j loppupiste vektorin loppupiste, kun vektorin lkupisteenä on

Lisätiedot

Integraalilaskentaa. 1. Mihin integraalilaskentaa tarvitaan? MÄNTÄN LUKIO

Integraalilaskentaa. 1. Mihin integraalilaskentaa tarvitaan? MÄNTÄN LUKIO Integrlilskent Tämä on lukion oppimterileist hiemn poikkev yksinkertistettu selvitys määrätyn integrlin lskemisest. Kerromme miksi integroidn, mitä integroiminen trkoitt, miten integrli lsketn j miten

Lisätiedot

Pythagoraan lause. Pythagoras Samoslainen. Pythagoraan lause

Pythagoraan lause. Pythagoras Samoslainen. Pythagoraan lause Pythgorn luse Pythgors Smoslinen Pythgors on legendrinen kreikklinen mtemtiikko j filosofi. Tiedot hänen elämästään ovt epävrmoj j ristiriitisi. Tärkein Pythgorst j pythgorlisi koskev lähde on Lmlihosin

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ PISTEYTYSKOKOUS

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ PISTEYTYSKOKOUS 0 MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 30 PISTEYTYSKOKOUS 0 ) Sijoitetn x 0 Rtkistn = 0/04,0000 b) Jos neliön sivu on s, niin lävistäjä on s Ehto: s 6 s + s = 6, s 6 3 4s 6,70, joten piiri ) Suorn yhtälö

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5.2.2013

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5.2.2013 Preliminäärikoe Pitkä Mtemtiikk 5..0 Kokeess s vstt enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä ( * ) merkittyjen tehtävien mksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien mksimipistemäärä on 6.. ) Rtkise yhtälö b)

Lisätiedot

A-Osio. Valitse seuraavista kolmesta tehtävästä kaksi, joihin vastaat. A-osiossa ei saa käyttää laskinta.

A-Osio. Valitse seuraavista kolmesta tehtävästä kaksi, joihin vastaat. A-osiossa ei saa käyttää laskinta. MAA Loppukoe 5.. Jussi Tyni Tee pisteytysruudukko konseptin yläreunn! Vstuksiin väliviheet, jotk perustelevt vstuksesi! Lue ohjeet huolellisesti! A-Osio. Vlitse seurvist kolmest tehtävästä kksi, joihin

Lisätiedot

2.1 Vaillinaiset yhtälöt

2.1 Vaillinaiset yhtälöt .1 Villiniset yhtälöt Yhtälö, jok sievenee muotoon x + bx + c = 0 (*) on yleistä normlimuoto olev toisen steen yhtälö. Tämän rtkiseminen ei olekn enää yhtä meknist kuin normlimuotoisen ensisteen yhtälön

Lisätiedot

10. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA

10. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA MAA0 0. Määrätyn integrlin käyttö eräiden pint-lojen lskemisess 0. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA Edellä on todettu, että f (x)dx nt x-kselin j suorien x =, x = sekä funktion

Lisätiedot

1.1. Laske taskulaskimella seuraavan lausekkeen arvo ja anna tulos kolmen numeron tarkkuudella: tan 60,0 = 2,950... 2,95

1.1. Laske taskulaskimella seuraavan lausekkeen arvo ja anna tulos kolmen numeron tarkkuudella: tan 60,0 = 2,950... 2,95 9..008 (9). Lskime käyttö.. Lske tskulskimell seurv lusekkee rvo j tulos kolme umero trkkuudell: 4 + 7 t 60,0 + Rtkisu: 4 + 7 =,950...,95 t 60,0 + Huom: Lskimiss o yleesä kolme eri kulmyksikköjärjestelmää:

Lisätiedot

Esimerkki 8.1 Määritellään operaattori A = x + d/dx. Laske Af, kun f = asin(bx). Tässä a ja b ovat vakioita.

Esimerkki 8.1 Määritellään operaattori A = x + d/dx. Laske Af, kun f = asin(bx). Tässä a ja b ovat vakioita. 8. Operttorit, mtriisit j ryhmäteori Mtemttinen operttori määrittelee opertion, jonk mukn sille nnettu funktiot muoktn. Operttorit ovt erityisen tärkeitä kvnttimekniikss, kosk siinä jokist suurett vst

Lisätiedot

1. Derivaatan Testi. Jos funktio f on jatkuva avoimella välillä ]a, b[ ja x 0 ]a, b[ on kriit. tai singul. piste niin. { f (x) > 0, x ]a, x 0 [

1. Derivaatan Testi. Jos funktio f on jatkuva avoimella välillä ]a, b[ ja x 0 ]a, b[ on kriit. tai singul. piste niin. { f (x) > 0, x ]a, x 0 [ 1. Derivtn Testi Jos funktio f on jtkuv voimell välillä ], b[ j x 0 ], b[ on kriit. ti singul. piste niin { f (x) < 0, x ], x 0 [ f x (x) > 0, x ]x 0, b[ 0 on lokli minimipiste (1) { f (x) > 0, x ], x

Lisätiedot

Tehtävä 1. Jatka loogisesti oheisia jonoja kahdella seuraavaksi tulevalla termillä. Perustele vastauksesi

Tehtävä 1. Jatka loogisesti oheisia jonoja kahdella seuraavaksi tulevalla termillä. Perustele vastauksesi Tehtävä. Jtk loogisesti oheisi jonoj khdell seurvksi tulevll termillä. Perustele vstuksesi lyhyesti. ), c, e, g, b),,, 7,, Rtkisut: ) i j k - oike perustelu j oiket kirjimet, nnetn p - oike perustelu,

Lisätiedot

LYHYEN MATEMATIIKAN SIMULOITU YO-KOE 2 RATKAISUT

LYHYEN MATEMATIIKAN SIMULOITU YO-KOE 2 RATKAISUT Lyhyt mtemtiikk YO-vlmennus 8. mliskuut 00 LYHYEN MATEMATIIKAN SIMULOITU YO-KOE RATKAISUT. Trkstelln yhtälöpri, polynomin sievennöstä j lusekkeeseen sijoittmist. ) Rtkistn jälkimmäisestä yhtälöstä x, jolle

Lisätiedot

Laudatur 10 MAA10 ratkaisut kertausharjoituksiin

Laudatur 10 MAA10 ratkaisut kertausharjoituksiin Ludtur MAA rtkisut kertushrjoituksiin Integrlifunktio. ) Jokin integrli funktio on esimerkiksi F( ) b) Kikki integrlifunktiot F( ) + C, missä C on vkio Vstus: ) F( ) b) F( ) + C, C on vkio. Kikki integrlifunktiot

Lisätiedot

Painopiste. josta edelleen. x i m i. (1) m L A TEX 1 ( ) x 1... x k µ x k+1... x n. m 1 g... m n g. Kuva 1. i=1. i=k+1. i=1

Painopiste. josta edelleen. x i m i. (1) m L A TEX 1 ( ) x 1... x k µ x k+1... x n. m 1 g... m n g. Kuva 1. i=1. i=k+1. i=1 Pinopiste Snomme ts-ineiseksi kpplett, jonk mteriliss ei ole sisäisiä tiheyden vihteluj. Tällisen kppleen pinopisteen sijinti voidn joskus päätellä kppleen muodon perusteell. Esimerkiksi ts-ineisen pllon

Lisätiedot

5.4 Ellipsi ja hyperbeli (ei kuulu kurssivaatimuksiin, lisätietoa)

5.4 Ellipsi ja hyperbeli (ei kuulu kurssivaatimuksiin, lisätietoa) 5.4 Ellipsi j hypereli (ei kuulu kurssivtimuksiin, lisätieto) Aurinkokuntmme plneett kiertävät Aurinko ellipsin (=litistyneen ympyrän) muotoist rt, jonk toisess polttopisteessä Aurinko on. Smoin Mt kiertävät

Lisätiedot

Monikulmio on suljettu, yhtenäinen tasokuvio, jonka muodostavat pisteet ja näitä yhdistävät janat

Monikulmio on suljettu, yhtenäinen tasokuvio, jonka muodostavat pisteet ja näitä yhdistävät janat MAB: Monikulmiot Aluksi Tässä luvuss käsitellään pljon monikulmioit sekä muutmi tärkeimpiä esimerkkejä monikulmioiin liittyvistä leist. Näistä leist edottomsti tärkein ti inkin kuskntoisin on Pytgorn luse.

Lisätiedot

Yläkoulun geometriaa. Yläkoulun geometriaa

Yläkoulun geometriaa. Yläkoulun geometriaa Yläkoulun geometri Tämä tehtäväkokoelm nt yläkoulun oppillle mhdollisuuden syventää kouluss opittv geometrin oppimäärää. Se on erityisen hyödyllinen niille, jotk ikovt lukioss vlit pitkän mtemtiikn. Kokoelmn

Lisätiedot

11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS

11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS 11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS Tilvuus on sen verrn rkielämässä viljelty käsite, että useimmiten sen syvemmin edes miettimättä ymmärretään, mitä juomlsin ti pikkuvuvn kylpymmeen tilvuudell trkoitetn.

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 3 Määrätyn integrlin lskeminen Aiemmin määrittelimme määrätyn integrlin f (x)dx funktion f (x) l- j yläsummien rj-rvon. Määrätyllä integrlill on kksi intuitiivist tulkint:.

Lisätiedot

MATEMATIIKKA. Matematiikkaa pintakäsittelijöille. Peruslaskutoimitukset. Isto Jokinen 2015

MATEMATIIKKA. Matematiikkaa pintakäsittelijöille. Peruslaskutoimitukset. Isto Jokinen 2015 MATEMATIIKKA Mtemtiikk pintkäsittelijöille Peruslskutoimitukset Isto Jokinen 01 SISÄLTÖ 1. Lskujärjestys 1. Murtoluvuill lskeminen. Suureet j mittyksiköt. Potenssi. Juuri 6. Tekijäyhtälöiden rtkiseminen

Lisätiedot

3.5 Kosinilause. h a c. D m C b A

3.5 Kosinilause. h a c. D m C b A 3.5 Kosiniluse Jos kolmiost tunnetn kksi sivu j näien välinen kulm, sinilusett on sngen vike sovelt kolmion rtkisemiseen. Luse on työklun vuton myös kolmion kulmien rtkisemiseen tpuksess, jolloin kolmion

Lisätiedot

TYÖ 30. JÄÄN TIHEYDEN MÄÄRITYS. Tehtävänä on määrittää jään tiheys.

TYÖ 30. JÄÄN TIHEYDEN MÄÄRITYS. Tehtävänä on määrittää jään tiheys. TYÖ 30 JÄÄN TIHEYDEN MÄÄRITYS Tehtävä älineet Tusttietoj Tehtävänä on äärittää jään tiheys Byretti (51010) ti esi 100 l ittlsi (50016) j siihen sopivi jääploj, lkoholi (sopii jäähdytinneste lsol), nlyysivk

Lisätiedot

7.lk matematiikka. Geometria 1

7.lk matematiikka. Geometria 1 7.lk mtemtiikk 1 Htnpään koulu 7B j 7C Kevät 2017 2 Sisällys 1. Koordintisto... 4 2. Kulmien nimeäminen j luokittelu... 8 3. Kulmien mittminen j piirtäminen... 10 4. Ristikulmt j vieruskulmt... 14 5. Suort,

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali MS-A1{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 8: Integrlifunktio j epäoleellinen integrli Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 5.1.216 Pekk Alestlo,

Lisätiedot

R4 Harjoitustehtävien ratkaisut

R4 Harjoitustehtävien ratkaisut . Mitkä seurvist lusekkeist eivät ole polynomej? Miksi eivät? Polynomin termine eksponentti on luonnollinen luku, ne lusekkeet, joiss eksponentti ei ole luonnollinen luku ei ole myöskään polynomi.. x x

Lisätiedot

Polynomien laskutoimitukset

Polynomien laskutoimitukset Polyomie lskutoimitukset Polyomi o summluseke, joss jokie yhteelskettv (termi) sisältää vi vkio j muuttuj välisiä kertolskuj. Esimerkki 0. Mm., 6 j ovt polyomej. Polyomist, joss o vi yksi termi, käytetää

Lisätiedot

Riemannin integraalista

Riemannin integraalista Lebesguen integrliin sl. 2007 Ari Lehtonen Riemnnin integrlist Johdnto Tämän luentomonisteen trkoituksen on tutustutt lukij Lebesgue n integrliin j sen perusominisuuksiin mhdollisimmn yksinkertisess tpuksess:

Lisätiedot

Kertaustehtävien ratkaisut

Kertaustehtävien ratkaisut Rtkisuist Nämä Trigoometriset fuktiot j lukujoot kurssi kertustehtävie j -srjoje rtkisut perustuvt oppikirj tietoihi j meetelmii. Kustki tehtävästä o yleesä vi yksi rtkisu, mikä ei kuitek trkoit sitä,

Lisätiedot

6 Integraalilaskentaa

6 Integraalilaskentaa 6 Integrlilskent 6. Integrlifunktio Funktion f integrlifunktioksi snotn funktiot F, jonk derivtt on f. Siis F (x) = f (x) määrittelyjoukon jokisell muuttujn rvoll x. Merkitään F(x) = f (x) dx. Integrlifunktion

Lisätiedot

Analyysin perusteet kauppatieteilijöille 800118P

Analyysin perusteet kauppatieteilijöille 800118P Anlyysin perusteet kupptieteilijöille 800118P Luentomoniste Kri Myllylä Niin Korteslhti Topi Törmä Oulun yliopisto Mtemttisten tieteiden litos Kevät 2015 Sisältö 1 Derivtt 3 1.1 Määritelmä..............................

Lisätiedot

763333A KIINTEÄN AINEEN FYSIIKKA Ratkaisut 1 Kevät 2014

763333A KIINTEÄN AINEEN FYSIIKKA Ratkaisut 1 Kevät 2014 763333A KIINTEÄN AINEEN FYSIIKKA Rtkisut 1 Kevät 014 1. Tehtävä: Lske, kuink mont hilpistettä on yksikkökopiss ) yksinkertisess kuutiollisess, b) tkk:ss j c) pkk:ss. (Ot huomioon, että esimerkiksi yksikkökopin

Lisätiedot

II.1. Suppeneminen., kun x > 0. Tavallinen lasku

II.1. Suppeneminen., kun x > 0. Tavallinen lasku II. EPÄOLEELLISET INTEGRAALIT nt II.. Suppeneminen Esim. Olkoon f() =, kun >. Tvllinen lsku = / =. Kuitenkn tätä integrli ei ole ikisemmss mielessä määritelty, kosk f ei ole rjoitettu välillä [, ] (eikä

Lisätiedot

θ 1 θ 2 γ γ = β ( n 2 α + n 2 β = l R α l s γ l s 22 LINSSIT JA LINSSIJÄRJESTELMÄT 22.1 Linssien kuvausyhtälö

θ 1 θ 2 γ γ = β ( n 2 α + n 2 β = l R α l s γ l s 22 LINSSIT JA LINSSIJÄRJESTELMÄT 22.1 Linssien kuvausyhtälö 22 LINSSIT JA LINSSIJÄRJSTLMÄT 22. Linssien kuvusyhtälö Trkstelln luksi vlon tittumist pllopinnll (krevuussäde R j krevuuskeskipiste C) kuvn mukisess geometriss. Tässä vlo siis tulee ineest ineeseen 2

Lisätiedot

AVOIN MATEMATIIKKA 7 lk. Osio 3: Potensseja ja polynomeja

AVOIN MATEMATIIKKA 7 lk. Osio 3: Potensseja ja polynomeja Mrik Toivol j Tiin Härkönen AVOIN MATEMATIIKKA lk. Osio : Potenssej j polynomej Sisältö on lisensoitu voimell CC BY.0 -lisenssillä. Osio : Potenssej j polynomej. Smnkntisten potenssien tulo.... Smnkntisten

Lisätiedot

T Syksy 2002 Tietojenkäsittelyteorian perusteet Harjoitus 5 Demonstraatiotehtävien ratkaisut. ja kaikki a Σ ovat säännöllisiä lausekkeita.

T Syksy 2002 Tietojenkäsittelyteorian perusteet Harjoitus 5 Demonstraatiotehtävien ratkaisut. ja kaikki a Σ ovat säännöllisiä lausekkeita. T-79.8 Syksy 22 Tietojenkäsittelyteorin perusteet Hrjoitus 5 Demonstrtiotehtävien rtkisut Säännölliset lusekkeet määritellään induktiivisesti: j kikki Σ ovt säännöllisiä lusekkeit. Mikäli α j β ovt säännöllisiä

Lisätiedot

Kertymäfunktio. Kertymäfunktio. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 2/2. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 1/2. Kertymäfunktio: Esitiedot

Kertymäfunktio. Kertymäfunktio. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 2/2. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 1/2. Kertymäfunktio: Esitiedot TKK (c) Ilkk Mellin (24) 1 Johdtus todennäköisyyslskentn TKK (c) Ilkk Mellin (24) 2 : Mitä opimme? 1/2 Jos stunnisilmiötä hlutn mllint mtemttisesti, on ilmiön tulosvihtoehdot kuvttv numeerisess muodoss.

Lisätiedot

9 A I N. Alkuperäinen piiri. Nortonin ekvivalentti R T = R N + - U T = I N R N. Théveninin ekvivalentti DEE-11110 SÄHKÖTEKNIIKAN PERUSTEET

9 A I N. Alkuperäinen piiri. Nortonin ekvivalentti R T = R N + - U T = I N R N. Théveninin ekvivalentti DEE-11110 SÄHKÖTEKNIIKAN PERUSTEET DEE11110 SÄHKÖTEKNIIKAN PERUSTEET http://www.tut.fi/smg/course.php?id=57 Rtkisut Hrjoitukset 3, 2014 Tehtävä 1. Pyydetään muodostmn nnetun piirin Nortonin ekvivlentti. Nortonin, smoin kuin Theveninin,

Lisätiedot

( ) Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 321 Päivitetty 19.2.2006. Saadaan yhtälö. 801 Paraabeli on niiden pisteiden ( x,

( ) Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 321 Päivitetty 19.2.2006. Saadaan yhtälö. 801 Paraabeli on niiden pisteiden ( x, Pyrmidi Anlyyttinen geometri tehtävien rtkisut sivu Päivitetty 9..6 8 Prbeli on niiden pisteiden (, y) joukko, jotk ovt yhtä kukn johtosuorst j polttopisteestä. Pisteen (, y ) etäisyys suorst y = on d

Lisätiedot

S Fysiikka III (EST), Tentti

S Fysiikka III (EST), Tentti S-114.137 Fysiikk III (ES), entti 30.8.006 1. Lämpövoimkone toteutt oheisen kuvn Crnotin prosessi. Koneess on työineen yksi mooli ideliksu. Lske yksitomisen ksun kierroksen ikn tekemän työn suhde kksitomisen

Lisätiedot

6 Kertausosa. 6 Kertausosa

6 Kertausosa. 6 Kertausosa Kertusos Kertusos. ) b). ) b). ) ( ( ) : ) ( : ) b) { : [ ( ) ]} { :[ - ]} { : } -{ - } -{} c) ( ) : - ( ) ( ) ( ) ( 9) 9 9 Kertusos. ) ( ) b) ( ). ) ) ) b) / / c) : 7 7. ) ) ) b) Kertusos c) : 7 ( 9)

Lisätiedot

LINSSI- JA PEILITYÖ TEORIAA. I Geometrisen optiikan perusaksioomat

LINSSI- JA PEILITYÖ TEORIAA. I Geometrisen optiikan perusaksioomat (0) LINSSI- JA PEILITYÖ MOTIVOINTI Tutustutn linsseihin j peileihin geometrisen optiikn mittuksiss Tutkitn vlon käyttäytymistä linsseissä j peileissä Määritetään linssien j peilien polttopisteet Optiset

Lisätiedot

Sähkömagneettinen induktio

Sähkömagneettinen induktio ähkömgneettinen inuktio Kun johinsilmukn läpi menevä mgneettikentän vuo muuttuu, silmukkn inusoituu jännite j silmukss lk kulke sähkövit. Mgneettikentässä liikkuvn johtimeen syntyy myös jännite. Näitä

Lisätiedot

ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2016

ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2016 ICS-C2 Tietojenkäsittelyteori Kevät 2 Kierros,. 5. helmikuut Demonstrtiotehtävien rtkisut D: Sievennä seurvi säännöllisiä lusekkeit (so. konstruoi yksinkertisemmt lusekkeet smojen kielten kuvmiseen): ()

Lisätiedot

Neliömatriisin A determinantti on luku, jota merkitään det(a) tai A. Se lasketaan seuraavasti: determinantti on

Neliömatriisin A determinantti on luku, jota merkitään det(a) tai A. Se lasketaan seuraavasti: determinantti on 4. DETERINANTTI JA KÄÄNTEISATRIISI 6 4. Neliömtriisi determitti Neliömtriisi A determitti o luku, jot merkitää det(a) ti A. Se lsket seurvsti: -mtriisi A determitti o det(a) () -mtriisi A determitti void

Lisätiedot

MITEN MÄÄRITÄN ASYMPTOOTIT?

MITEN MÄÄRITÄN ASYMPTOOTIT? MITEN MÄÄRITÄN ASYMPTOOTIT? Asmptootti Asmptootti on suor ti muu kärä, jot funktion kuvj f() rjtt lähest, kun muuttujn rvot lähestvät tiettä luku ti ääretöntä. Rjoitutn luksi niihin tpuksiin, joiss smptootti

Lisätiedot

Kuvausta f sanotaan tällöin isomorfismiksi.

Kuvausta f sanotaan tällöin isomorfismiksi. Määritelmä..12. Oletetn, että 1 =(V 1,E 1 ) j 2 =(V 2,E 2 ) ovt yksinkertisi verkkoj. Verkot 1 j 2 ovt isomorfiset, jos seurvt ehdot toteutuvt: (1) on olemss bijektio f : V 1 V 2 (2) kikill, b V 1 pätee,

Lisätiedot

sin θ θ θ r 2 sin 2 θ φ 2 = 0.

sin θ θ θ r 2 sin 2 θ φ 2 = 0. Mtemtiikn j tilstotieteen litos Osittisdifferentiliyhtälöt Kevät 21 Hrjoitus 9 Rtkisuj Jussi Mrtin 1. Osoit, että Lplce-yhtälö pllokoordinteiss on 2 u 1 r 2 2 u r r 1 r 2 sin θ u 1 2 u sin θ θ θ r 2 sin

Lisätiedot

2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot

2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot 2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot 2.2 Kulman tangentti 2.3 Sivun pituus tangentin avulla 2.4 Kulman sini ja kosini 2.5 Trigonometristen funktioiden käyttöä 2.7 Avaruuskappaleita 2.8 Lieriö 2.9

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi. Hannu Kivimäki

Matematiikan tukikurssi. Hannu Kivimäki Mtemtiikn tukikurssi Hnnu Kivimäki Sisältö I Ensimmäinen välikoe Integrointi 2 Osittisintegrointi 5 3 Osmurtohjotelm 4 Lisää osmurtoj 4 5 Sijoituskeino 9 6 Määrätty integrli 2 7 Ylä- j lsumm 22 8 Määrätyn

Lisätiedot

Kirjallinen teoriakoe

Kirjallinen teoriakoe 11 Kirjllinen teorikoe Päivämäärä: Osllistujn nimi: Kirjllinen teorikoe Arviointi koostuu khdest osst: "yleiset kysymykset "j lskutehtävät" Kokeen hyväksytty rj on 51% molemmist osioist erikseen. St 1

Lisätiedot

3.3 KIELIOPPIEN JÄSENNYSONGELMA Ratkaistava tehtävä: Annettu yhteydetön kielioppi G ja merkkijono x. Onko

3.3 KIELIOPPIEN JÄSENNYSONGELMA Ratkaistava tehtävä: Annettu yhteydetön kielioppi G ja merkkijono x. Onko 3.3 KILIOPPIN JÄSNNYSONGLMA Rtkistv tehtävä: Annettu yhteydetön kielioppi G j merkkijono x. Onko x L(G)? Rtkisumenetelmä = jäsennyslgoritmi. Useit vihtoehtoisi menetelmiä, erityisesti kun G on jotin rjoitettu

Lisätiedot

8.4 Gaussin lause Edellä laskettiin vektorikentän v = rf(r) vuo R-säteisen pallon pinnan läpi, tuloksella

8.4 Gaussin lause Edellä laskettiin vektorikentän v = rf(r) vuo R-säteisen pallon pinnan läpi, tuloksella H 8.3.2 uontegrlt: vektoreden pntntegrlt Tvllsn tpus pntntegrlest on lske vektorkentän vuo pnnn läp: Trkstelln pnt j sllä psteessä P (x, y, z olev pnt-lkot d. Määrtellään vektorlnen pnt-lko d sten, että

Lisätiedot

521. 522. 523. 524. 525. 526. 527. 12. Lisää määrätystä integraalista. 12.1. Integraalin arvioimisesta. Osoita: VASTAUS: Osoita: Osoita:

521. 522. 523. 524. 525. 526. 527. 12. Lisää määrätystä integraalista. 12.1. Integraalin arvioimisesta. Osoita: VASTAUS: Osoita: Osoita: 12. Lisää määrätystä integrlist 12.1. Integrlin rvioimisest 521. Osoit: 1 + x 2 22 1 < < 1 + x21 21. 522. Osoit: x 3 < 5 x 6 + 8x + 9 < 15 1 5. 523. Osoit: 2 2 < e x2 x < 2e 2. e 524. Olkoon k >. Osoit:

Lisätiedot

15. Suorakulmaisen kolmion geometria

15. Suorakulmaisen kolmion geometria 15. Suorakulmaisen kolmion geometria 15.1 Yleistä kolmioista - kolmion kulmien summa on 180⁰ α α + β + γ = 180⁰ β γ 5.1.1 Tasasivuinen kolmio - jos kaikki kolmion sivut ovat yhtä pitkät, on kolmio tasasivuinen

Lisätiedot

Matematiikan perusteet taloustieteilijöille 2 800118P

Matematiikan perusteet taloustieteilijöille 2 800118P Mtemtiikn perusteet tloustieteilijöille 2 800118P Luentomoniste Kri Myllylä Niin Korteslhti Oulun yliopisto Mtemttisten tieteiden litos Kevät 2014 Sisältö 1 Mtriisilgebr j optimointi 4 11 Määritelmä 4

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 9: Integroimismenetelmät

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 9: Integroimismenetelmät MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 9: Integroimismenetelmät Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 10.10.2016 Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen (Alto-yliopisto,

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 5 1 Jtkuvuus Trkstelln funktiot fx) josskin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jtkuv ti epäjtkuv. Jtkuvuuden ymmärtää prhiten trkstelemll epäjtkuv

Lisätiedot

Sarjaratkaisun etsiminen Maplella

Sarjaratkaisun etsiminen Maplella Srjrtkisun etsiminen Mplell Olkoon trksteltvn ensimmäisen kertluvun differentiliyhtälö: > diffyht:= diff(y(x, x=1y(x^; d diffyht := = dx y( x 1 y( x Tälle pyritään etsimään srjrtkisu origokeskisenä potenssisrjn.

Lisätiedot

4 DETERMINANTTI JA KÄÄNTEISMATRIISI

4 DETERMINANTTI JA KÄÄNTEISMATRIISI 4 DETERMINANTTI JA KÄÄNTEISMATRIISI Neliömtriisin determinntti Neliömtriisin A determinntti on luku, jot merkitään det(a) ti A. Lskeminen: -mtriisin A determinntti: det(a) -mtriisin A determinntti esim.

Lisätiedot

Geometrian kertausta. MAB2 Juhani Kaukoranta Raahen lukio

Geometrian kertausta. MAB2 Juhani Kaukoranta Raahen lukio Geometrian kertausta MAB2 Juhani Kaukoranta Raahen lukio Ristikulmat Ristikulmat ovat yhtä suuret keskenään Vieruskulmien summa 180 Muodostavat yhdessä oikokulman 180-50 =130 50 Samankohtaiset kulmat Kun

Lisätiedot

a = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b f(x) dx = I. lim f(x k ) x k=1

a = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b f(x) dx = I. lim f(x k ) x k=1 5 Integrli 5.1 Määritelmä j ominisuudet Olkoon f : [, b] R jtkuv. Muodostetn välin [, b] jko = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b j siihen liittyvä yläsumm S = n M k (x k x k 1 ), M k = mx{f(x) x k 1 x x k },

Lisätiedot

VEKTORILASKENTA. Timo Mäkelä SISÄLTÖ: 1 VEKTORIN KÄSITE...1

VEKTORILASKENTA. Timo Mäkelä SISÄLTÖ: 1 VEKTORIN KÄSITE...1 VEKTORILASKENTA Timo Mäkelä SISÄLTÖ: VEKTORIN KÄSITE VEKTOREIDEN ERUSLASKUTOIMITUKSET VEKTOREIDEN YHTEENLASKU VEKTOREIDEN VÄHENNYSLASKU 4 VEKTORIN KERTOMINEN LUVULLA6 4 VEKTORILAUSEKKEIDEN KÄSITTELY7 TASON

Lisätiedot

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.2014 Ratkaisut ja arvostelu

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.2014 Ratkaisut ja arvostelu VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.4 Rtkisut j rvostelu. Koululisen todistuksen keskirvo x on lskettu ) b) c) d) kymmenen ineen perusteell. Jos koululinen nostisi neljän ineen

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 7: Integrli j nlyysin perusluse Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 3.10.2016 Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen

Lisätiedot

4 Taso- ja avaruuskäyrät

4 Taso- ja avaruuskäyrät P2-luentoj kevät 2008, Pekk Alestlo 4 Tso- j vruuskäyrät Tässä luvuss tutustutn tso- j vruuskäyriin, niiden krenpituuteen j krevuuteen. Konkreettisin sovelluksin trkstelln nnettu rt pitkin liikkuvn hiukksen

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

1.3 Toispuoleiset ja epäoleelliset raja-arvot

1.3 Toispuoleiset ja epäoleelliset raja-arvot . Toisuoleiset j eäoleelliset rj-rvot Rj-rvo lim f () A olemssolo edellyttää että muuttuj täytyy void lähestyä rvo kummst suust hyväsä. Jos > ii sot että lähestyy rvo oikelt ositiivisest suust. Jos ts

Lisätiedot

lim + 3 = lim = lim (1p.) (3p.) b) Lausekkeen täytyy supistua (x-2):lla, joten osoittajan nollakohta on 2.

lim + 3 = lim = lim (1p.) (3p.) b) Lausekkeen täytyy supistua (x-2):lla, joten osoittajan nollakohta on 2. Mtemtiikk III 0600 Kurssi / Differetili- j itegrlilske jtkokurssi Tee 7 tehtävää ) Määritä lim ( ) ) + b) Määritä vkio site, että luseke ( ) + + ( )( ) ( + + ) + + + + + lim + lim lim (p) o jtkuv myös

Lisätiedot

Luku 1 = = = + = + 3 ( 7) = 2 + = + = = = = = + 1+ = + 1+ = + 1= = + 1 = = b) ( ) + = + = + c)

Luku 1 = = = + = + 3 ( 7) = 2 + = + = = = = = + 1+ = + 1+ = + 1= = + 1 = = b) ( ) + = + = + c) Luku ) 8 8 + = + 6 6 ) ) + = + = = b) ) 7 := 7 := 7 : ) ) 9 6 7 7 = 7 := = = ( 7) ( 7) b) 5 5 5 5 + : = + 6 6 ) + + + = + + + 9 ) 5 5 6) 5+ 5 = + = = = 6 6 6 6 = + + + = + + = + + = + = 9 9 9 ( c) ) 9

Lisätiedot

Riemannin integraalista

Riemannin integraalista TAMPEREEN YLIOPISTO Pro grdu -tutkielm Aij Stenberg Riemnnin integrlist Mtemtiikn j tilstotieteen litos Mtemtiikk Syyskuu 2010 2 Tmpereen yliopisto Mtemtiikn j tilstotieteen litos STENBERG, AIJA: Riemnnin

Lisätiedot

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. A III, B II, C ei mikään, D I. a) Kolmion kulmien summa on 80. Kolmannen kulman suuruus on 80 85 0 85. Kolmiossa on kaksi 85 :n kulmaa, joten se on tasakylkinen.

Lisätiedot

Mikrotalousteoria 2, 2008, osa III

Mikrotalousteoria 2, 2008, osa III Sisältö Mikrotlousteori 2, 2008, os III Yrityksen tuotntofunktiost 2 Pnosten substituoitvuus 2 3 Yrityksen teori 3 4 Mittkvedut tuotnnoss 5 5 Yksikkökustnnusten j skltuottojen steen välinen yhteys 5 6

Lisätiedot

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 17.10.016 Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ 1. A III, B II, C ei mikään, D I. a) Kolmion kulmien summa on 180. Kolmannen kulman

Lisätiedot

Matematiikkaolympialaiset 2008 kuusi vaikeaa tehtävää

Matematiikkaolympialaiset 2008 kuusi vaikeaa tehtävää Solmu 3/2008 Mtemtiikkolympiliset 2008 kuusi vike tehtävää Mtti Lehtinen Mnpuolustuskorkekoulu 49. Knsinväliset mtemtiikkolympiliset pidettiin Mdridiss 4. 22. heinäkuut 2008. Kilpilijoit oli 535 j he edustivt

Lisätiedot

Kertausosa. Kertausosa. 3. Merkitään. Vastaus: 2. a) b) 600 g. 4. a)

Kertausosa. Kertausosa. 3. Merkitään. Vastaus: 2. a) b) 600 g. 4. a) Kertusos Kertusos ). ) : j 7 0 7 ) 0 :( ) c) :( ). Merkitää merirosvorht (kg) sukltrffelit (kg) ) 7, 0 hit: /kg hit: 7 /kg ) 00 g 0,kg 7 0,,0,,0, 0, (kg) :. ) Vstus: ) 7, 0 ( ) ) 00 g. ) 0 7 9 7 0 0 Kertusos

Lisätiedot

Säännöllisten operaattoreiden täydentäviä muistiinpanoja

Säännöllisten operaattoreiden täydentäviä muistiinpanoja Säännöllisten operttoreiden täydentäviä muistiinpnoj Antti-Juhni Kijnho 1. huhtikuut 2011 Vnht määritelmät Määritelmä 1. Äärellinen epätyhjä joukko on merkistö, j sen lkioit kutsutn merkeiksi. Määritelmä

Lisätiedot

* Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa * Trigonometristen funktioiden kuvaajat

* Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa * Trigonometristen funktioiden kuvaajat Trigonometria. a) Määrittele trigonometriset funktiot. b) Vertaa trigonometristen funktioiden ominaisuuksia määritys- ja arvojoukko sekä perusjakso). * Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa

Lisätiedot

ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2016

ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2016 ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteori Kevät 2016 Kierros 5, 8. 12. helmikuut Demonstrtiotehtävien rtkisut D1: Hhmolusekkeet ovt esimerkiksi UN*X-järjestelmien tekstityökluiss käytetty säännöllisten lusekkeiden

Lisätiedot

Suorakulmainen kolmio

Suorakulmainen kolmio Suorakulmainen kolmio 1. Määritä terävä kulma α, β ja γ, kun sinα = 0,5782, cos β = 0,745 ja tanγ = 1,222. π 2. Määritä trigonometristen funktioiden sini, kosini ja tangentti, kun kulma α = ja 3 β = 73,2

Lisätiedot

5 ( 1 3 )k, c) AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja

5 ( 1 3 )k, c) AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Hrjoitustehtäviä syksy 4. Millä reliluvun rvoill ) 9 =, b) + +, e) 5?. Kirjoit Σ-merkkiä käyttäen summt 4, ) + 4 + 6 + +, b) 8 + 4 6 + + n n, c) + + + 4 + + 99, d)

Lisätiedot

Laudatur. Lukion pitkän matematiikan kertausta ylioppilastehtävien avulla Otava

Laudatur. Lukion pitkän matematiikan kertausta ylioppilastehtävien avulla Otava Ludtur Lukio pitkä mtemtiik kertust ylioppilstehtävie vull Otv Ylioppilstehtävät vuositti Mtemtiik koe 6.. Pitkä oppimäärä Perustitoj. Sieveä lusekkeet ), b) y y + y y. Geometri. Tssivuise kolmio ympäri

Lisätiedot

B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja?

B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja? Nimi Koulutus Ryhmä Jokaisessa tehtävässä on vain yksi vastausvaihtoehto oikein. Laske tehtävät ilman laskinta.. Missä pisteessä suora y = 3x 6 leikkaa x-akselin? A. 3 D. B. E. en tiedä C. 6. Mitkä luvuista,,,

Lisätiedot

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion

Lisätiedot

Suorakaidekanavat. lindab suorakaidekanavat

Suorakaidekanavat. lindab suorakaidekanavat Suorkideknvt lind suorkideknvt lind suorkideknvt Sisällysluettelo Suorkideknvt Knv LKR... Liitosost Liitoslist LS... Liitoslist LS-... Kulmyhde LBR... Liitoslist LS... S-mutk LBXR... LBSR... Liitoslist

Lisätiedot

b) (max 3p) Värähtelijän jaksonajan ja taajuuden välinen yhteys on T = 1/ f, eli missä k on jousen jousivakio. Neliöimällä yllä oleva yhtälö saadaan

b) (max 3p) Värähtelijän jaksonajan ja taajuuden välinen yhteys on T = 1/ f, eli missä k on jousen jousivakio. Neliöimällä yllä oleva yhtälö saadaan A1 Lbortoriokokeess keveen kierrejouseen ripustettiin eri mssisi punnuksi. Punnust vedettiin lspäin j sntneen hrmonisen värähteln jksonik mitttiin. Värähtelijän tjus f = 2π 1 k mp. Oheisess tulukoss on

Lisätiedot

LAHDEN AMMATTIKORKEAKOULU TEKNIIKAN ALA MATEMATIIKAN PREPPAUSTEHTÄVIÄ Kesä 2015

LAHDEN AMMATTIKORKEAKOULU TEKNIIKAN ALA MATEMATIIKAN PREPPAUSTEHTÄVIÄ Kesä 2015 PREPPAUSTA 05.nb LAHDEN AMMATTIKORKEAKOULU TEKNIIKAN ALA MATEMATIIKAN PREPPAUSTEHTÄVIÄ Kesä 05 MURTOLUVUT. Laske murtolukujen 3 ja 5 6 summa, tulo ja osamäärä. Summa 3 5 6 4 3 5 6 8 6 5 6 3 6 6. Laske

Lisätiedot

Kompleksiluvut., 15. kesäkuuta /57

Kompleksiluvut., 15. kesäkuuta /57 Kompleksiluvut, 15. kesäkuuta 2017 1/57 Miksi kompleksilukuja? Reaaliluvut lukusuoran pisteet: Tiedetään, että 7 1 0 x 2 = 0 x = 0 1 7 x 2 = 1 x = 1 x = 1 x 2 = 7 x = 7 x = 7 x 2 = 1 ei ratkaisua reaalilukujen

Lisätiedot

Kuva 1. n i n v. (2 p.) b) Laske avaimiesi etäisyys x altaan seinämästä. (4 p.) c) Kuinka paljon lunta voi sulaa enintään Lassen suksien alla?

Kuva 1. n i n v. (2 p.) b) Laske avaimiesi etäisyys x altaan seinämästä. (4 p.) c) Kuinka paljon lunta voi sulaa enintään Lassen suksien alla? TKK, TTY, LTY, OY, ÅA, TY j VY insinööriosstojen vlintkuulustelujen fysiikn koe 26.5.2004 Merkitse jokiseen koepperiin nimesi, hkijnumerosi j tehtäväsrjn kirjin. Lske jokinen tehtävä siististi omlle sivulleen.

Lisätiedot