9. laskuharjoituskierros, vko 12-13, ratkaisut

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "9. laskuharjoituskierros, vko 12-13, ratkaisut"

Transkriptio

1 9. laskuharjoituskierros, vko 12-13, ratkaisut D1. Olkoot X i, i = 1, 2,..., n riippumattomia, samaa eksponenttijakaumaa noudattavia satunnaismuuttujia, joiden odotusarvo E(X i = β, toisin sanoen X i :t muodostavat yksinkertaisen satunnaisotoksen eksponenttijakaumasta, jonka parametri on 1/β. Määrää parametrin β estimaattori momentti- sekä suurimman uskottavuuden menetelmän avulla. E(X = β joten momenttimenetelmällä estimaattori saadaan asettamalla E(X = x ˆβ = x = 1 n Suurimman uskottavuuden estimaattoria varten tarvitaan vähän enemmän työtä. Merkitään: Satunnaismuuttujan X i tiheysfunktio: f(x i ; β, uskottavuusfunktio: L(x 1, x 2,..., x n ; β, logaritminen uskottavuusfunktio: l(x 1, x 2,..., x n ; β = log L(x 1, x 2,..., x n ; β Suurimman uskottavuuden estimaattori parametrille β saadaan uskottavuusfunktion maksimin antavana β:n arvona. Koska logaritmi on monotoninen funktio, voidaan maksimin antava β:n arvo etsiä yhtäpitävästi logaritmoidusta uskottavuusfunktiosta. Etsimme siis logaritmisen uskottavuusfunktion derivaatan nollakohdat: f(x i ; β = 1 β e 1 β xi, x i i = 1, 2,..., n L(x 1, x 2,..., x n ; β = f(x 1 ; β f(x 2 ; β f(x n ; β = 1 1 P β n e β xi l(x 1, x 2,..., x n ; β = log L(x 1, x 2,...,x n ; β = 1 β l(x 1, x 2,..., x n ; β β = 1 β 2 ˆβ = 1 n x i n 1 β = 0 x i = x x i n log(β Se, että kyseessä on todella maksimi, nähdään esimerkiksi derivoimalla toiseen kertaan. D2. Tehdas valmistaa nauloja. Naulojen pituus vaihtelee satunnaisesti noudattaen normaalijakaumaa. Naulojen joukosta poimittiin yksinkertainen satunnaisotos, jonka koko oli 30. Otoskeskiarvoksi saatiin 9.99 cm ja otosvarianssiksi 0.01 cm 2. Määrää 95%:n luottamusväli naulojen pituuden odotusarvolle. Jos X i N(µ, σ 2, i = 1, 2,..., n ja X i :t ovat riippumattomia niin otoskeskiarvo X N (µ, σ2 n Koska varianssi σ 2 on tuntematon ja se pitää estimoida, odotusarvon µ luottamusväli on muotoa X ± t α/2 s n

2 Luottamuskerroin t α/2 saadaan ehdosta Pr(T > t α/2 = α/2, jossa T T(n 1 ja 1 α on luottamustaso. Tässä tehtävässä X = 9.99, s = 0.1, α = 0.05 ja T-jakauman taulukosta saadaan: t α/2 = Siten luottamusväliksi saadaan: X ± t α/2 s n = 9.99 ± = (9.953, D3. Kuntaan suunnitellaan ydinvoimalan rakentamista. Kunnan asukkaiden mielipiteet halutaan selvittää yksinkertaiseen satunnaisotantaan perustuvalla kyselytutkimuksella. Kuinka suuri otos kuntalaisten joukosta on poimittava, jotta saataisiin 99% varmuus siitä, että otoksesta laskettu kannattajien suhteellinen osuus ei poikkea enempää kuin 0.5%-yksikköä todellisesta kannattajien osuudesta? Suhteellisen osuuden p luottamusväli on tyyppiä ˆp ± a, jossa ˆp on otoksesta laskettu suhteellinen osuus. Luottamusvälin lausekkeesta (kts. Kaavat ja taulukot saadaan yhtälö: josta n voidaan ratkaista: z α/2 ˆpˆq n = a ( zα/2 ˆpˆq n = a Haluttu varmuus saavutetaan (edellyttäen, että varianssi on arvioitu oikein, jos n:ksi valitaan pienin kaavan antamaa arvoa suuremmista kokonaisluvuista. Koska ˆp on tuntematon (sen arvo saadaan selville vasta, kun otos on poimittu, korvataan ˆp sillä arvolla, joka antaa maksimaalisen n:n arvon. Eli ˆp = 1/2. Otoskoon lauseke saa siis muodon: n = ( 2 zα/2 Tässä tehtävässä a = 0.005, 1 α = 0.99 ja z α/2 = 2.58 joten n = Voi siis olla tarpeen kysyä kaikilta kunnan asukkailta (jos kunnan koko on alle 66564, jotta saadaan tarkka tulos. 2a 2 P4. (Jatkoa tehtävälle D1. Estimoi β momenttimenetelmällä otoksesta 0.5, 0.3, 0.1, 0.1 ja 0.2. Mikä on estimoidun jakauman tiheysfunktio? Niille, jotka eivät käy laskuharjoituksissa, kerrottakoon, että tarvittava estimaattori on: 1 p. ˆβ M = x = 1 n x i (= ˆβ SU Ja se on muodostettu asettamalla jakauman 1. origomomentti (odotusarvo ja otoksen 1. origomomentti (aritmeettinen keskiarvo keskenään yhtä suuriksi ja ratkaisemalla yhtälö estimoitavan parametrin suhteen. Estimaattorin arvoksi saadaan: ˆβ M = x = 1 n x i = 0.24

3 Estimoidun jakauman tiheysfunktio on siten: x f(x = 1ˆβ x e ˆβ 1 = 0.24 e 0.24 P5. Tehdas valmistaa ruuveja. Ruuvien paino vaihtelee satunnaisesti noudattaen normaalijakaumaa. Ruuvien joukosta poimittiin yksinkertainen satunnaisotos. Otoskeskiarvoksi saatiin tällöin 25 g. Oletetaan (epärealistisesti, että normaalijakauman varianssi 0.25 g 2 on tunnettu. Määrää 95% luottamusvälit painon odotusarvolle, jos otoskokona oli a 4 b 400 c d Vertaa saatujen luottamusvälien pituuksia toisiinsa. Miten luottamusvälin pituus käyttäytyy otoskoon funktiona? 2 p. Jos X i N(µ, σ 2, i = 1, 2,..., n ja X i :t ovat riippumattomia niin otoskeskiarvo X N (µ, σ2 n Jos varianssi σ 2 oletetaan tunnetuksi, odotusarvon µ luottamusväli on muotoa X ± z α/2 s n Luottamuskerroin z α/2 saadaan ehdosta Pr(Z > z α/2 = α/2, jossa Z N(0, 1 ja 1 α on luottamustaso. Tässä tehtävässä X = 25, s = 0.5, α = 0.05 ja normaalijakauman taulukosta saadaan: z α/2 = z = a n = 4, Luottamusväli: 25 ± 0.49 = (24.51, b n = 400, Luottamusväli: 25 ± = (24.051, c n = 40000, Luottamusväli: 25 ± = ( , d Luottamusvälin pituus on käänteisesti verrrannollinen otoskoon neliöjuureen. P6. Tuoremehun C-vitamiinipitoisuus (mg/dl vaihtelee jonkin verran valmistuserästä toiseen. Laboratorio haluaa selvittää erään tuoremehumerkin keskimääräisen C-vitamiinipitoisuuden mittaamalla pitoisuuden myynnissä olevista tuoremehupakkauksista poimitusta yksinkertaisesta satunnaisotoksesta. Arvion pitäisi olla niin tarkka, että 99% varmuudella voidaan päätellä, että otoksesta laskettu keskimääräinen C-vitamiinipitoisuus ei poikkea todellisesta C-vitamiinipitoisuudesta enempää kuin 0.5 mg. Määrää tarvittava otoskoko, kun aikaisempien tutkimusten perusteella tiedetään että C-vitamiinipitoisuuden otoshajonta on tavallisesti 3 mg. 1 p.

4 Odotusarvon µ luottamusväli on tyyppiä x ± a, jossa x on otoksesta laskettu aritmeettinen keskiarvo. Luottamusvälin lausekkeesta (kts. Kaavat ja taulukot saadaan yhtälö: z α/2 σ 2 n = a josta n voidaan ratkaista: ( zα/2 σ n = a 2 Haluttu varmuus saavutetaan (edellyttäen, että varianssi on arvioitu oikein, jos n:ksi valitaan pienin kaavan antamaa arvoa suuremmista kokonaisluvuista. Tässä tehtävässä a = 0.5, 1 α = 0.99, σ = 3 ja z α/2 = 2.58 joten n eli otoskoon on oltava vähintään 240. L7. Kolme tutkijaa A, B ja C ovat määrittäneet erään teollisuuslaitoksen jätevesistä ph-arvoja tavoitteenaan estimoida jätevesien keskimääräinen ph-arvo µ havaintojen perusteella. Määritykset tehtiin ottamalla vesinäytteitä ja määräämällä näytekohtaisten ph-arvojen keskiarvot. Tutkijoiden saamat tulokset: Tutkija Näytteiden lkm ph-lukujen ka A B C a Näytä että estimaattorit x A, x B, x C ja ( x A + x B + x C /3 ovat harhattomia keskimääräisen pharvon µ estimaattoreita. b Mikä estimaattoreista on luotettavin siinä mielessä, että sen varianssi on pienin? c Näytä, että vielä pienempi kuin yhdenkään yllä mainitun estimaattorin varianssi on estimaattorilla, joka saadaan laskemalla näytteiden lukumäärillä painotettu aritmeettinen keskiarvo eli a Kaikki estimaattorit ovat harhattomia, koska x = n A x A + n B x B + n C x C E( X A = E( X B = E( X C = µ ja ( 1 E 3 ( X A XB XC = 1 (µ + µ + µ = µ. 3

5 b Estimaattoreiden varianssit ovat ( 1 Var 3 ( X A XB XC Var( X A = σ2 10 = 0.1σ2 Var( X B = σ σ2 Var( X C = σ2 200 = 0.005σ2 pienin = 1 ( σ σ 2 Luotettavin estimaattoreista on siis X C, koska siinä havaintojen lukumäärä on suurin. c Painotettu aritmeettisen keskiarvon odotusarvo on ( E( X na XA + n B XB + n C XC = E = n AE( X A + n B E( X B + n C E( X C = n Aµ + n B µ + n C µ = µ eli painotettu aritemeettinen keskiarvo on harhaton estimaattori parametrille µ ja sen varianssi on ( Var( X na XA + n B XB + n C XC = Var = n2 A Var( X A + n 2 B Var( X B + n 2 C Var( X C ( 2 = 1 ( 10 2 σ = σ σ2 joka on pienempi kuin mikään em. variansseista. (Hyvä huomata x = L8. Satunnaismuuttujan X tiheysfunktio on f(x = (1 + θx θ, 0 < x < 1 Miksi parametrin θ pitää toteuttaa ehto θ > 1? Satunnaismuuttujasta X on saatu havainnot 0.5, 0.3, 0.1, 0.1 ja 0.2. a Hahmottele tiheysfunktion kuvaaja parametrin θ arvoilla -0.5, 0, 1 sekä 2 ja arvioi mikä arvoista sopisi parhaiten havaintoihin. b Estimoi θ momenttimenetelmällä. c Estimoi θ suurimman uskottavuuden menetelmällä. Vertaa tulosta b -kohdan tulokseen. Koska f(x on tiheysfunktio, sen on toteutettava ehto: + f(x dx = 1 0 (1 + θx θ dx = 1, mikä on mahdollista vain, jos (1 + θ > 0 eli θ > 1. a Havainnot sopivat parhaiten jakaumaan, jossa θ < 0, koska tällöin suurin osa jakauman todennäköisyysmassasta on välin (0,1 vasemmassa päässä kuten tehdy havainnotkin.

6 b Estimointi momenttimenetelmällä: E(X = 1 Momenttiestimaattori saadaan yhtälöstä 0 x(1 + θx θ dx = 1 + θ 2 + θ Otoksessa x = 0.24, joten josta siis saamme ˆθ MM = E(X = x eli 1 + θ 2 + θ = x 1 + ˆθ = ˆθ c Estimointi suurimman uskottavuuden menetelmällä: Riippumattoman otoksen X i, i = 1, 2,...,n uskottavuusfunktio on L(θ = f(x 1, X 2,...,X n ; θ = f(x 1, θ f(x 2, θ f(x n, θ = (1 + θx θ 1 (1 + θxθ 2 (1 + θxθ n = (1 + θ n U θ missä U = X 1 X 2 X n. Uskottavuusfunktion maksimi saadaan derivaatan nollakohtana: Josta L (θ = 0 θ (1 + θn U θ = (1 + θ n 1 u θ (n + (1 + θlnu = 0 n + (1 + θln u = 0 ˆθ SU = 1 n lnu Näin ollen ˆθ SU = 0.384, koska n = 5 ja u = L9. Tehdas väittää, että sen valmistamista tuotteista korkeintaan 5% on viallisia. Asiakas poimii tuotteiden joukosta yksinkertaisen satunnaisotoksen, jonka koko on 150 ja löytää 15 viallista tuotetta. Voidaanko tehtaan väitettä viallisten suhteellisesta osuudesta pitää oikeutettuna? Ohje: Määrää otoksesta 95%:n ja 99%:n luottamusvälit ja tarkastele peittävätkö välit tuotteiden oletetun suhteellisen osuuden. Tarkoituksena on siis tarkastella Bernoulli-jakauman parametrin p luottamusväliä eli suhteellisen osuuden luottamusväliä. Kaavakokoelman mukaan kyseinen luottamusväli on muotoa: ˆp ± z α/2 ˆpˆp n, missä ˆp = 15/150 = 0.1 on estimoitu suhteellinen osuus, ˆq = 1 ˆp = 0.9, z α/2 on normaalijakaumasta määrätty luottamuskerroin ja n = 150 on otoskoko.

7 95%:n ja 99%:n luottamusvälejä vastaavat luottamuskertoimet saadaan seuraavasti: Luottamusvälit ovat siis: 1 α = 0.95 z α/2 = z = α = 0.99 z α/2 = z = % : 0.1 ± = (0.052, % : 0.1 ± = (0.037, Näistä siis 99% luottamusväli peittää valmistajan ilmoittaman p:n arvon, mutta 95% luottamusväli puolestaan ei. Tämä antaa jonkin verran syytä epäillä valmistajan väitteen oikeellisuutta. Asiaa tarkastellaan enemmän tilastollisen testauksen yhteydessä.

Estimointi. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Estimointi. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Estimointi Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Tilastollisessa tutkimuksessa oletetaan jonkin jakauman generoineen tutkimuksen kohteena olevaa ilmiötä koskevat havainnot Tämän mallina käytettävän todennäköisyysjakauman

Lisätiedot

Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos /Malmivuori MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi,

Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos /Malmivuori MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi, Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos /Malmivuori MS-A050 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi, kesä 017 Laskuharjoitus 4, Kotitehtävien palautus Mycourses:iin PDF-tiedostona

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Väliestimointi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus tilastotieteeseen Väliestimointi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus tilastotieteeseen Väliestimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Väliestimointi Todennäköisyysjakaumien parametrien estimointi Luottamusväli Normaalijakauman odotusarvon luottamusväli Normaalijakauman

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 30. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 30. lokakuuta 2007 1 / 23 1 Otos ja otosjakaumat (jatkoa) Frekvenssi ja suhteellinen frekvenssi Frekvenssien odotusarvo

Lisätiedot

Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi

Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Estimointi >> Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin

Lisätiedot

MTTTP5, luento Otossuureita ja niiden jakaumia (jatkuu)

MTTTP5, luento Otossuureita ja niiden jakaumia (jatkuu) 21.11.2017/1 MTTTP5, luento 21.11.2017 Otossuureita ja niiden jakaumia (jatkuu) 4) Olkoot X 1, X 2,..., X n satunnaisotos (, ):sta ja Y 1, Y 2,..., Y m satunnaisotos (, ):sta sekä otokset riippumattomia.

Lisätiedot

tilastotieteen kertaus

tilastotieteen kertaus tilastotieteen kertaus Keskiviikon 24.1. harjoitukset pidetään poikkeuksellisesti klo 14-16 luokassa Y228. Heliövaara 1 Mitä tilastotiede on? Tilastotiede kehittää ja soveltaa menetelmiä, joiden avulla

Lisätiedot

Väliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1

Väliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1 Väliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1 Bernoulli-jakauman odotusarvon luottamusväli 1/2 Olkoon havainnot X 1,..., X n yksinkertainen satunnaisotos Bernoulli-jakaumasta parametrilla p. Eli X Bernoulli(p).

Lisätiedot

Tilastolliset menetelmät. Osa 1: Johdanto. Johdanto tilastotieteeseen KE (2014) 1

Tilastolliset menetelmät. Osa 1: Johdanto. Johdanto tilastotieteeseen KE (2014) 1 Tilastolliset menetelmät Osa 1: Johdanto Johdanto tilastotieteeseen KE (2014) 1 Mitä tilastotiede on? Tilastotiede kehittää ja soveltaa menetelmiä ja malleja, joiden avulla reaalimaailman ilmiöistä voidaan

Lisätiedot

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 4A Parametrien estimointi Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016, periodi

Lisätiedot

Tilastollinen aineisto Luottamusväli

Tilastollinen aineisto Luottamusväli Tilastollinen aineisto Luottamusväli Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta Matematiikan jaos Tilastollinen aineisto p.1/20 Johdanto Kokeellisessa tutkimuksessa tutkittavien suureiden

Lisätiedot

/1. MTTTP1, luento Normaalijakauma (jatkoa) Olkoon Z ~ N(0, 1). Määritellään z siten, että P(Z > z ) =, graafisesti:

/1. MTTTP1, luento Normaalijakauma (jatkoa) Olkoon Z ~ N(0, 1). Määritellään z siten, että P(Z > z ) =, graafisesti: 4.10.2016/1 MTTTP1, luento 4.10.2016 7.4 Normaalijakauma (jatkoa) Olkoon Z ~ N(0, 1). Määritellään z siten, että P(Z > z ) =, graafisesti: Samoin z /2 siten, että P(Z > z /2 ) = /2, graafisesti: 4.10.2016/2

Lisätiedot

Estimointi populaation tuntemattoman parametrin arviointia otossuureen avulla Otossuure satunnaisotoksen avulla määritelty funktio

Estimointi populaation tuntemattoman parametrin arviointia otossuureen avulla Otossuure satunnaisotoksen avulla määritelty funktio 17.11.2015/1 MTTTP5, luento 17.11.2015 Luku 5 Parametrien estimointi 5.1 Piste-estimointi Estimointi populaation tuntemattoman parametrin arviointia otossuureen avulla Otossuure satunnaisotoksen avulla

Lisätiedot

Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi

Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 1 Estimointi >> Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Estimointi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus tilastotieteeseen Estimointi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus tilastotieteeseen Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Estimointi Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin ominaisuudet TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 2 Estimointi:

Lisätiedot

Estimointi. Estimointi. Estimointi: Mitä opimme? 2/4. Estimointi: Mitä opimme? 1/4. Estimointi: Mitä opimme? 3/4. Estimointi: Mitä opimme?

Estimointi. Estimointi. Estimointi: Mitä opimme? 2/4. Estimointi: Mitä opimme? 1/4. Estimointi: Mitä opimme? 3/4. Estimointi: Mitä opimme? TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus tilastotieteeseen TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 2 Mitä opimme? 1/4 Tilastollisen tutkimuksen tavoitteena on tehdä johtopäätöksiä prosesseista, jotka generoivat reaalimaailman

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: Lokaatio ja hajonta

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: Lokaatio ja hajonta Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: ja hajonta Sisältö Havaittujen arvojen jakauma Havaittujen arvojen jakaumaa voidaan kuvailla ja esitellä tiivistämällä havaintoarvot sopivaan muotoon. Jakauman

Lisätiedot

Otoskeskiarvo on otossuure, jonka todennäköisyysjakauma tiedetään. Se on normaalijakauma, havainnollistaminen simuloiden

Otoskeskiarvo on otossuure, jonka todennäköisyysjakauma tiedetään. Se on normaalijakauma, havainnollistaminen simuloiden 1 KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ Luento 30.9.2014 Olkoon satunnaisotos X 1, X 2,, X n normaalijakaumasta N(µ, σ 2 ), tällöin ~ N(µ, σ 2 /n), kaava (6). Otoskeskiarvo on otossuure, jonka todennäköisyysjakauma

Lisätiedot

3.11.2006. ,ܾ jaü on annettu niin voidaan hakea funktion 0.1 0.2 0.3 0.4

3.11.2006. ,ܾ jaü on annettu niin voidaan hakea funktion 0.1 0.2 0.3 0.4 Ü µ ½ ¾Ü¾µ Ü¾Ê 3.11.2006 1. Satunnaismuuttujan tiheysfunktio on ¼ ļ ܽ ܾ ÜÒµ Ä Ü½ ÜÒµ Ò Ä Ü½ ܾ ÜÒµ ܽ µ ܾ µ ÜÒ µ Ò missä tietenkin vaaditaan, että ¼. Muodosta :n ¾Ä ܽ ÜÒµ Ò ½¾ ܾ Ò ½ ¾Ü¾½µ ½ ¾Ü¾Òµ

Lisätiedot

Testejä suhdeasteikollisille muuttujille

Testejä suhdeasteikollisille muuttujille Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testejä suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Testejä suhdeasteikollisille muuttujille >> Testit normaalijakauman

Lisätiedot

Maximum likelihood-estimointi Alkeet

Maximum likelihood-estimointi Alkeet Maximum likelihood-estimointi Alkeet Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta Matematiikan jaos Maximum likelihood-estimointi p.1/20 Maximum Likelihood-estimointi satunnaismuuttujan X

Lisätiedot

Teema 8: Parametrien estimointi ja luottamusvälit

Teema 8: Parametrien estimointi ja luottamusvälit Teema 8: Parametrien estimointi ja luottamusvälit Todennäköisyyslaskennan perusteet (Teemat 6 ja 7) antavat hyvän pohjan siirtyä kurssin viimeiseen laajempaan kokonaisuuteen, nimittäin tilastolliseen päättelyyn.

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 18. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 18. lokakuuta 2007 1 / 19 1 Tilastollinen aineisto 2 Tilastollinen malli Yksinkertainen satunnaisotos 3 Otostunnusluvut

Lisätiedot

806109P TILASTOTIETEEN PERUSMENETELMÄT I Hanna Heikkinen Esimerkkejä estimoinnista ja merkitsevyystestauksesta, syksy (1 α) = 99 1 α = 0.

806109P TILASTOTIETEEN PERUSMENETELMÄT I Hanna Heikkinen Esimerkkejä estimoinnista ja merkitsevyystestauksesta, syksy (1 α) = 99 1 α = 0. 806109P TILASTOTIETEEN PERUSMENETELMÄT I Hanna Heikkinen Esimerkkejä estimoinnista ja merkitsevyystestauksesta, syksy 2012 1. Olkoon (X 1,X 2,...,X 25 ) satunnaisotos normaalijakaumasta N(µ,3 2 ) eli µ

Lisätiedot

Tilastollinen testaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Tilastollinen testaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Tilastollinen testaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Viime luennolla: havainnot generoineen jakauman muoto on usein tunnettu, mutta parametrit tulee estimoida Joskus parametreista on perusteltua esittää

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 8. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 8. marraskuuta 2007 1 / 15 1 Tilastollisia testejä Z-testi Normaalijakauman odotusarvon testaus, keskihajonta tunnetaan

Lisätiedot

10. laskuharjoituskierros, vko 14, ratkaisut

10. laskuharjoituskierros, vko 14, ratkaisut 10. laskuharjoituskierros, vko 14, ratkaisut D1. Eräässä kokeessa verrattiin kahta sademäärän mittaukseen käytettävää laitetta. Kummallakin laitteella mitattiin sademäärät 10 sadepäivän aikana. Mittaustulokset

Lisätiedot

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku 9. harjoitukset/ratkaisut. Luottamusvälit

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku 9. harjoitukset/ratkaisut. Luottamusvälit Mat-.09 Sovellettu todeäköisyyslasku Mat-.09 Sovellettu todeäköisyyslasku /Ratkaisut Aiheet: Estimoiti Luottamusvälit Avaisaat: Aritmeettie keskiarvo, Beroulli-jakauma, Estimaattori, Estimoiti, Frekvessi,

Lisätiedot

Tilastotieteen kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Tilastotieteen kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Tilastotieteen kertaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Reaalimaailman ilmiöihin liittyy tyypillisesti satunnaisuutta ja epävarmuutta Ilmiöihin liittyvien havaintojen ajatellaan usein olevan peräisin

Lisätiedot

https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=6909&i dx=5&uilang=fi&lang=fi&lvv=2014

https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=6909&i dx=5&uilang=fi&lang=fi&lvv=2014 1 MTTTP3 Tilastollisen päättelyn perusteet 2 Luennot 8.1.2015 ja 13.1.2015 1 Kokonaisuudet johon opintojakso kuuluu https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=6909&i dx=5&uilang=fi&lang=fi&lvv=2014

Lisätiedot

031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 4

031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 4 031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 4 Jukka Kemppainen Mathematics Division Tilastollinen aineisto Tilastolliset menetelmät ovat eräs keino tutkia numeerista havaintoaineistoa todennäköisyyslaskentaa

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 8. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 8. marraskuuta 2007 1 / 18 1 Kertausta: momenttimenetelmä ja suurimman uskottavuuden menetelmä 2 Tilastollinen

Lisätiedot

Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät. Osa 3: Tilastolliset testit. Tilastollinen testaus. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1

Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät. Osa 3: Tilastolliset testit. Tilastollinen testaus. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Tilastollinen testaus TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Tilastolliset testit >> Tilastollinen testaus Tilastolliset hypoteesit Tilastolliset

Lisätiedot

P(X = x T (X ) = t, θ) = p(x = x T (X ) = t) ei riipu tuntemattomasta θ:sta. Silloin uskottavuusfunktio faktorisoituu

P(X = x T (X ) = t, θ) = p(x = x T (X ) = t) ei riipu tuntemattomasta θ:sta. Silloin uskottavuusfunktio faktorisoituu 1. Tyhjentävä tunnusluku (sucient statistics ) Olkoon (P(X = x θ) : θ Θ) todennäköisyysmalli havainnolle X. Datan funktio T (X ) on Tyhjentävä tunnusluku jos ehdollinen todennäköisyys (ehdollinen tiheysfunktio)

Lisätiedot

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 4B Tilastolliset luottamusvälit Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016,

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Viikko 5 Tilastollisten hypoteesien testaaminen Lasse Leskelä, Heikki Seppälä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu

Lisätiedot

Gripenberg. MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Tentti ja välikoeuusinta

Gripenberg. MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Tentti ja välikoeuusinta MS-A00 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Tentti ja välikoeuusinta 7.. Gripenberg Kirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi ym. tiedot ja minkä kokeen suoritat! Laskin,

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 6A Tilastolliset luottamusvälit Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016,

Lisätiedot

Uskottavuuden ominaisuuksia

Uskottavuuden ominaisuuksia Luku 9 Uskottavuuden ominaisuuksia 9.1 Tyhjentävyys T yhjentävyys (Fisher 1922) luonnehtii täsmällisesti havaintoihin sisältyvän informaation kvantitatiivisesti. Parametrin θ estimaatti T(x) on tyhjentävä

Lisätiedot

Harjoitus 2: Matlab - Statistical Toolbox

Harjoitus 2: Matlab - Statistical Toolbox Harjoitus 2: Matlab - Statistical Toolbox Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen tavoitteet Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat

Lisätiedot

Otoskoko 107 kpl. a) 27 b) 2654

Otoskoko 107 kpl. a) 27 b) 2654 1. Tietyllä koneella valmistettavien tiivisterenkaiden halkaisijan keskihajonnan tiedetään olevan 0.04 tuumaa. Kyseisellä koneella valmistettujen 100 renkaan halkaisijoiden keskiarvo oli 0.60 tuumaa. Määrää

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: Lokaatio ja hajonta

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: Lokaatio ja hajonta Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: ja hajonta Sisältö Havaittujen arvojen jakauma Havaittujen arvojen jakaumaa voidaan kuvailla ja esitellä tiivistämällä havaintoarvot sopivaan muotoon. Jakauman

Lisätiedot

4. laskuharjoituskierros, vko 7, ratkaisut

4. laskuharjoituskierros, vko 7, ratkaisut 4. laskuharjoituskierros, vko 7, ratkaisut D1. Kone valmistaa kuulalaakerin kuulia, joiden halkaisija vaihtelee satunnaisesti. Halkaisijan on oltava tiettyjen rajojen sisällä, jotta kuula olisi käyttökelpoinen.

Lisätiedot

Jos nyt on saatu havaintoarvot Ü ½ Ü Ò niin suurimman uskottavuuden

Jos nyt on saatu havaintoarvot Ü ½ Ü Ò niin suurimman uskottavuuden 1.12.2006 1. Satunnaisjakauman tiheysfunktio on Ü µ Üe Ü, kun Ü ja kun Ü. Määritä parametrin estimaattori momenttimenetelmällä ja suurimman uskottavuuden menetelmällä. Ratkaisu: Jotta kyseessä todella

Lisätiedot

edellyttää valintaa takaisinpanolla Aritmeettinen keskiarvo Jos, ½ Ò muodostavat satunnaisotoksen :n jakaumasta niin Otosvarianssi Ë ¾

edellyttää valintaa takaisinpanolla Aritmeettinen keskiarvo Jos, ½ Ò muodostavat satunnaisotoksen :n jakaumasta niin Otosvarianssi Ë ¾ ËØÙ ÓØÓ Ø Mitta-asteikot Nominaali- eli laatueroasteikko Ordinaali- eli järjestysasteikko Intervalli- eli välimatka-asteikko ( nolla mielivaltainen ) Suhdeasteikko ( nolla ei ole mielivaltainen ) Otos

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Tilastolliset testit. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus tilastotieteeseen Tilastolliset testit. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus tilastotieteeseen Tilastolliset testit TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Tilastolliset testit Tilastollinen testaus Tilastolliset hypoteesit Tilastolliset testit ja testisuureet Virheet testauksessa

Lisätiedot

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE Ratkaisut ja arvostelu < X 170

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE Ratkaisut ja arvostelu < X 170 VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 4.6.2013 Ratkaisut ja arvostelu 1.1 Satunnaismuuttuja X noudattaa normaalijakaumaa a) b) c) d) N(170, 10 2 ). Tällöin P (165 < X < 175) on likimain

Lisätiedot

Tilastollinen päättömyys, kevät 2017 Harjoitus 6B

Tilastollinen päättömyys, kevät 2017 Harjoitus 6B Tilastollinen päättömyys, kevät 7 Harjoitus 6B Heikki Korpela 8. helmikuuta 7 Tehtävä. Monisteen teht. 6... Olkoot Y,..., Y 5 Nµ, σ, ja merkitään S 5 i Y i Y /4. Näytä, että S/σ on saranasuure eli sen

Lisätiedot

Tilastolliset testit. Tilastolliset testit. Tilastolliset testit: Mitä opimme? 2/5. Tilastolliset testit: Mitä opimme? 1/5

Tilastolliset testit. Tilastolliset testit. Tilastolliset testit: Mitä opimme? 2/5. Tilastolliset testit: Mitä opimme? 1/5 TKK (c) Ilkka Mellin (4) 1 Johdatus tilastotieteeseen TKK (c) Ilkka Mellin (4) : Mitä opimme? 1/5 Tilastollisessa tutkimuksessa tutkimuksen kohteena olevasta perusjoukosta esitetään tavallisesti väitteitä

Lisätiedot

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A. Otos- ja otosjakaumat Estimointi Estimointimenetelmät Väliestimointi. Avainsanat:

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A. Otos- ja otosjakaumat Estimointi Estimointimenetelmät Väliestimointi. Avainsanat: Mat-.090 Sovellettu todeäköisyyslasku A Mat-.090 Sovellettu todeäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avaisaat: Otos- ja otosjakaumat Estimoiti Estimoitimeetelmät Väliestimoiti Aritmeettie keskiarvo, Beroulli-jakauma,

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Viikko 4 Tilastollisen aineiston kuvaileminen, mallintaminen ja estimointi Lasse Leskelä, Heikki Seppälä Matematiikan ja systeemianalyysin

Lisätiedot

5. laskuharjoituskierros, vko 8, ratkaisut

5. laskuharjoituskierros, vko 8, ratkaisut Mat-.09 Sovellettu todennäköisyyslasku, kevät -05 5. laskuharjoituskierros, vko 8, ratkaisut D. Eräässä maata kiertävällä radalla olevassa satelliitissa on ilmaisin, jonka elinikä X yksikkönä vuosi noudattaa

Lisätiedot

/1. MTTTP5, luento Normaalijakauma (jatkuu) Binomijakaumaa voidaan approksimoida normaalijakaumalla

/1. MTTTP5, luento Normaalijakauma (jatkuu) Binomijakaumaa voidaan approksimoida normaalijakaumalla 17.11.2016/1 MTTTP5, luento 17.11.2016 3.5.5 Normaalijakauma (jatkuu) Binomijakaumaa voidaan approksimoida normaalijakaumalla likimain Jos X ~ Bin(n, p), niin X ~ N(np, np(1 p)), kun n suuri. 17.11.2016/2

Lisätiedot

Tilastollinen päättely II, kevät 2017 Harjoitus 2A

Tilastollinen päättely II, kevät 2017 Harjoitus 2A Tilastollinen päättely II, kevät 07 Harjoitus A Heikki Korpela 3. tammikuuta 07 Tehtävä. (Monisteen tehtävä.3 Olkoot Y,..., Y n Exp(λ. Kirjoita vastaava tilastollisen mallin lauseke (ytf. Muodosta sitten

Lisätiedot

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Luennot, osa II

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Luennot, osa II MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Luennot, osa II G. Gripenberg Aalto-yliopisto 11. helmikuuta 2015 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen

Lisätiedot

Testit laatueroasteikollisille muuttujille

Testit laatueroasteikollisille muuttujille Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testit laatueroasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Testit laatueroasteikollisille muuttujille >> Laatueroasteikollisten

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Testit laatueroasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1

Johdatus tilastotieteeseen Testit laatueroasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus tilastotieteeseen Testit laatueroasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Testit laatueroasteikollisille muuttujille Laatueroasteikollisten muuttujien testit Testi suhteelliselle

Lisätiedot

4.1. Olkoon X mielivaltainen positiivinen satunnaismuuttuja, jonka odotusarvo on

4.1. Olkoon X mielivaltainen positiivinen satunnaismuuttuja, jonka odotusarvo on Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Otanta Poisson- Jakaumien tunnusluvut Diskreetit jakaumat Binomijakauma, Diskreetti tasainen jakauma, Geometrinen jakauma, Hypergeometrinen

Lisätiedot

Todennäköisyyden ominaisuuksia

Todennäköisyyden ominaisuuksia Todennäköisyyden ominaisuuksia 0 P(A) 1 (1) P(S) = 1 (2) A B = P(A B) = P(A) + P(B) (3) P(A) = 1 P(A) (4) P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) (5) Tapahtuman todennäköisyys S = {e 1,..., e N }. N A = A. Kun alkeistapaukset

Lisätiedot

HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Tilastollinen päättely II, kevät Ratkaisuehdotuksia

HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Tilastollinen päättely II, kevät Ratkaisuehdotuksia HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Tilastollinen päättely II, kevät 2017 14..2017 Ratkaisuehdotuksia 1. Olkoon θ positiivinen parametri, ja asetetaan 2θ 1 y exp y 2 /θ), kun y > 0 fy; θ) = 0, muuten

Lisätiedot

MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Viikko 4 Tilastollisen datan kuvaileminen, mallintaminen ja estimointi Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa : Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (7) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio

Lisätiedot

¼ ¼ joten tulokset ovat muuttuneet ja nimenomaan huontontuneet eivätkä tulleet paremmiksi.

¼ ¼ joten tulokset ovat muuttuneet ja nimenomaan huontontuneet eivätkä tulleet paremmiksi. 10.11.2006 1. Pituushyppääjä on edellisenä vuonna hypännyt keskimäärin tuloksen. Valmentaja poimii tämän vuoden harjoitusten yhteydessä tehdyistä muistiinpanoista satunnaisesti kymmenen harjoitushypyn

Lisätiedot

Parametrin estimointi ja bootstrap-otanta

Parametrin estimointi ja bootstrap-otanta Parametrin estimointi ja bootstrap-otanta Hannu Toivonen, Marko Salmenkivi, Inkeri Verkamo Tutkimustiedonhallinnan peruskurssi Parametrin estimointi ja bootstrap-otanta 1/27 Kevät 2003 Käytännön asioista

Lisätiedot

Oletetaan, että virhetermit eivät korreloi toistensa eikä faktorin f kanssa. Toisin sanoen

Oletetaan, että virhetermit eivät korreloi toistensa eikä faktorin f kanssa. Toisin sanoen Yhden faktorin malli: n kpl sijoituskohteita, joiden tuotot ovat r i, i =, 2,..., n. Olkoon f satunnaismuuttuja ja oletetaan, että tuotot voidaan selittää yhtälön r i = a i + b i f + e i avulla, missä

Lisätiedot

Harjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi

Harjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi Harjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Tilastollinen testaus Testaukseen

Lisätiedot

ABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY

ABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY Tilastollinen testaus Tilastollinen testaus Tilastollisessa testauksessa tutkitaan tutkimuskohteita koskevien oletusten tai väitteiden paikkansapitävyyttä havaintojen avulla. Testattavat oletukset tai

Lisätiedot

MTTTP5, luento Kahden jakauman sijainnin vertailu (jatkoa) Tutkimustilanteita y = neliöhinta x = sijainti (2 aluetta)

MTTTP5, luento Kahden jakauman sijainnin vertailu (jatkoa) Tutkimustilanteita y = neliöhinta x = sijainti (2 aluetta) MTTTP5, luento 7.12.2017 7.12.2017/1 6.1.3 Kahden jakauman sijainnin vertailu (jatkoa) Tutkimustilanteita y = neliöhinta x = sijainti (2 aluetta) y = lepopulssi x = sukupuoli y = musikaalisuus x = sukupuoli

Lisätiedot

Tilastolliset menetelmät. Osa 3: Tilastolliset testit. Tilastollinen testaus KE (2014) 1

Tilastolliset menetelmät. Osa 3: Tilastolliset testit. Tilastollinen testaus KE (2014) 1 Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Tilastollinen testaus KE (2014) 1 Tilastolliset testit >> Tilastollinen testaus Tilastolliset hypoteesit Tilastolliset testit ja testisuureet Virheet

Lisätiedot

Sallitut apuvälineet: MAOL-taulukot, kirjoitusvälineet, laskin sekä itse laadittu, A4-kokoinen lunttilappu. f(x, y) = k x y, kun 0 < y < x < 1,

Sallitut apuvälineet: MAOL-taulukot, kirjoitusvälineet, laskin sekä itse laadittu, A4-kokoinen lunttilappu. f(x, y) = k x y, kun 0 < y < x < 1, Todennäköisyyslaskenta, 2. kurssikoe 7.2.22 Sallitut apuvälineet: MAOL-taulukot, kirjoitusvälineet, laskin sekä itse laadittu, A4-kokoinen lunttilappu.. Satunnaismuuttujien X ja Y yhteistiheysfunktio on

Lisätiedot

MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 5B Frekventistiset vs. bayeslaiset menetelmät Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 16. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 16. marraskuuta 2007 1 / 15 1 Epäparametrisia testejä χ 2 -yhteensopivuustesti Homogeenisuuden testaaminen Antti

Lisätiedot

Luottamisvälin avulla voidaan arvioida populaation tuntematonta parametria.

Luottamisvälin avulla voidaan arvioida populaation tuntematonta parametria. 6.10.2016/1 MTTTP1, luento 6.10.2016 KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ Luottamisvälin avulla voidaan arvioida populaation tuntematonta parametria. Muodostetaan väli, joka peittää parametrin etukäteen valitulla

Lisätiedot

Yksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Heliövaara 1

Yksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Heliövaara 1 Yksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Heliövaara 1 Odotusarvoparien vertailu Jos yksisuuntaisen varianssianalyysin nollahypoteesi H 0 : µ 1 = µ 2 = = µ k = µ hylätään tiedetään, että ainakin kaksi

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 8: Lineaarinen regressio, testejä ja luottamusvälejä

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 8: Lineaarinen regressio, testejä ja luottamusvälejä Tilastollisen analyysin perusteet Luento 8: Lineaarinen regressio, testejä ja luottamusvälejä arvon Sisältö arvon Bootstrap-luottamusvälit arvon arvon Oletetaan, että meillä on n kappaletta (x 1, y 1 ),

Lisätiedot

Lisätehtäviä ratkaisuineen luentomonisteen lukuihin 2-4 liittyen

Lisätehtäviä ratkaisuineen luentomonisteen lukuihin 2-4 liittyen MTTTP5, kevät 2016 4.2.2016/RL Lisätehtäviä ratkaisuineen luentomonisteen lukuihin 2-4 liittyen 1. Laitosneuvostoon valitaan 2 professoria, 4 muuta henkilökuntaan kuuluvaa jäsentä sekä 4 opiskelijaa. Laitosneuvostoon

Lisätiedot

Lisätehtäviä ratkaisuineen luentomonisteen lukuun 6 liittyen., jos otoskeskiarvo on suurempi kuin 13,96. Mikä on testissä käytetty α:n arvo?

Lisätehtäviä ratkaisuineen luentomonisteen lukuun 6 liittyen., jos otoskeskiarvo on suurempi kuin 13,96. Mikä on testissä käytetty α:n arvo? MTTTP5, kevät 2016 15.2.2016/RL Lisätehtäviä ratkaisuineen luentomonisteen lukuun 6 liittyen 1. Valitaan 25 alkion satunnaisotos jakaumasta N(µ, 25). Olkoon H 0 : µ = 12. Hylätään H 0, jos otoskeskiarvo

Lisätiedot

8. laskuharjoituskierros, vko 11, ratkaisut

8. laskuharjoituskierros, vko 11, ratkaisut Mat-2.091 Sovellettu todeäköisyyslasku, kevät -05 Heliövaara, Palo, Melli 8. laskuharjoituskierros, vko 11, ratkaisut D1. Oletetaa, että havaiot X i, i = 1, 2,..., 100 muodostavat yksikertaise satuaisotokse

Lisätiedot

031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 5

031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 5 031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 5 Jukka Kemppainen Mathematics Division Hypoteesin testauksesta Tilastollisessa testauksessa on kyse havainnoista tapahtuvasta päätöksenteosta. Kokeellisen tutkimuksen

Lisätiedot

11. laskuharjoituskierros, vko 15, ratkaisut

11. laskuharjoituskierros, vko 15, ratkaisut 11. laskuharjoituskierros vko 15 ratkaisut D1. Geiger-mittari laskee radioaktiivisen aineen emissioiden lukumääriä. Emissioiden lukumäärä on lyhyellä aikavälillä satunnaismuuttuja jonka voidaan olettaa

Lisätiedot

η i (θ)t i (x) A(θ) + c(x),

η i (θ)t i (x) A(θ) + c(x), 288 Luku 10. Perusmallit ja niiden sovelluksia muotoa (10.9.1) log f θ (x) = p η i (θ)t i (x) A(θ) + c(x), i=1 missä θ = (θ 1,...,θ p ) ja A(θ), c(x), η i (θ) ja T i (x) ovat tunnettuja funktioita. Lisäksi

Lisätiedot

Mat Tilastollisen analyysin perusteet. Tilastollisten aineistojen kerääminen ja mittaaminen Tilastollisten aineistojen kuvaaminen Väliestimointi

Mat Tilastollisen analyysin perusteet. Tilastollisten aineistojen kerääminen ja mittaaminen Tilastollisten aineistojen kuvaaminen Väliestimointi Mat-2.104 Tilastollisen analyysin perusteet / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Tilastollisten aineistojen kerääminen ja mittaaminen Tilastollisten aineistojen kuvaaminen Väliestimointi Diskreetit muuttujat,

Lisätiedot

7. laskuharjoituskierros, vko 10, ratkaisut

7. laskuharjoituskierros, vko 10, ratkaisut 7. laskuharjoituskierros, vko 10, ratkaisut D1. a) Oletetaan, että satunnaismuuttujat X ja Y noudattavat kaksiulotteista normaalijakaumaa parametrein E(X) = 0, E(Y ) = 1, Var(X) = 1, Var(Y ) = 4 ja Cov(X,

Lisätiedot

Regressioanalyysi. Kuusinen/Heliövaara 1

Regressioanalyysi. Kuusinen/Heliövaara 1 Regressioanalyysi Kuusinen/Heliövaara 1 Regressioanalyysin idea ja tavoitteet Regressioanalyysin idea: Oletetaan, että haluamme selittää jonkin selitettävän muuttujan havaittujen arvojen vaihtelun joidenkin

Lisätiedot

Yksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Kuusinen/Heliövaara 1

Yksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Kuusinen/Heliövaara 1 Yksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Kuusinen/Heliövaara 1 Odotusarvoparien vertailu Jos yksisuuntaisen varianssianalyysin nollahypoteesi H 0 : µ 1 = µ 2 = = µ k = µ hylätään, tiedetään, että ainakin

Lisätiedot

4.0.2 Kuinka hyvä ennuste on?

4.0.2 Kuinka hyvä ennuste on? Luonteva ennuste on käyttää yhtälöä (4.0.1), jolloin estimaattori on muotoa X t = c + φ 1 X t 1 + + φ p X t p ja estimointivirheen varianssi on σ 2. X t }{{} todellinen arvo Xt }{{} esimaattori = ε t Esimerkki

Lisätiedot

Todennäköisyyslaskun kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Todennäköisyyslaskun kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Todennäköisyyslaskun kertaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Vilkkumaa / Kuusinen 2 Motivointi Kokeellisessa tutkimuksessa tutkittaviin ilmiöihin liittyvien havaintojen

Lisätiedot

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A TKK / Systeemianalyysin laboratorio Nordlund Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A Harjoitus 4 (vko 41/2003) (Aihe: diskreettejä satunnaismuuttujia ja jakaumia, Laininen luvut 4.1 4.7) 1. Kone tekee

Lisätiedot

MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Viikko 5 Tilastollisten hypoteesien testaaminen Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (5) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio Momenttiemäfunktio Diskreettien jakaumien momenttiemäfunktioita

Lisätiedot

Kaksisuuntainen varianssianalyysi. Heliövaara 1

Kaksisuuntainen varianssianalyysi. Heliövaara 1 Kaksisuuntainen varianssianalyysi Heliövaara 1 Kaksi- tai useampisuuntainen varianssianalyysi Kaksi- tai useampisuuntaisessa varianssianalyysissa perusjoukko on jaettu ryhmiin kahden tai useamman tekijän

Lisätiedot

Luottamisvälin avulla voidaan arvioida populaation tuntematonta parametria.

Luottamisvälin avulla voidaan arvioida populaation tuntematonta parametria. 6.10.2015/1 MTTTP1, luento 6.10.2015 KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ Luottamisvälin avulla voidaan arvioida populaation tuntematonta parametria. Muodostetaan väli, joka peittää parametrin etukäteen valitulla

Lisätiedot

Odotusarvoparien vertailu. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Odotusarvoparien vertailu. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Odotusarvoparien vertailu Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Viime luennolta: yksisuuntaisella varianssianalyysilla testataan nollahypoteesia H 0 : μ 1 = μ 2 = = μ k = μ Jos H 0 hylätään, tiedetään, että

Lisätiedot

D ( ) E( ) E( ) 2.917

D ( ) E( ) E( ) 2.917 Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku 4. harjoitukset/ratkaisut Aiheet: Diskreetit jakaumat Avainsanat: Binomijakauma, Diskreetti tasainen jakauma, Geometrinen jakauma, Hypergeometrinen jakauma, Kertymäfunktio,

Lisätiedot

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Viikko 5 Tilastollisten hypoteesien testaaminen Kalle Kytölä, Lasse Leskelä, Heikki Seppälä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden

Lisätiedot

Tilastollisia peruskäsitteitä ja Monte Carlo

Tilastollisia peruskäsitteitä ja Monte Carlo Tilastollisia peruskäsitteitä ja Monte Carlo Hannu Toivonen, Marko Salmenkivi, Inkeri Verkamo Tutkimustiedonhallinnan peruskurssi Tilastollisia peruskäsitteitä ja Monte Carlo 1/13 Kevät 2003 Tilastollisia

Lisätiedot

Tutkimustiedonhallinnan peruskurssi

Tutkimustiedonhallinnan peruskurssi Tutkimustiedonhallinnan peruskurssi Hannu Toivonen, Marko Salmenkivi, Inkeri Verkamo hannu.toivonen, marko.salmenkivi, inkeri.verkamo@cs.helsinki.fi Helsingin yliopisto Hannu Toivonen, Marko Salmenkivi,

Lisätiedot

Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia

Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia >> Johdanto χ 2 -jakauma F-jakauma

Lisätiedot

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A TKK / Systeemianalyysin laboratorio Nordlund Mat-.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A Harjoitus 7 (vko 44/003) (Aihe: odotusarvon ja varianssin ominaisuuksia, satunnaismuuttujien lineaarikombinaatioita,

Lisätiedot

Koska ovat negatiiviset. Keskihajontoja ei pystytä laskemaan mutta pätee ¾.

Koska ovat negatiiviset. Keskihajontoja ei pystytä laskemaan mutta pätee ¾. 24.11.2006 1. Oletetaan, että kaksiulotteinen satunnaismuuttuja µ noudattaa kaksiulotteista normaalijakaumaa. Oletetaan lisäksi, että satunnaismuuttujan regressiofunktio satunnaismuuttujan suhteen on ݵ

Lisätiedot