Testit järjestysasteikollisille muuttujille

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Testit järjestysasteikollisille muuttujille"

Transkriptio

1 Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testit järjestysasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1

2 Testit järjestysasteikollisille muuttujille >> Järjestysasteikollisten muuttujien testit Merkkitesti Wilcoxonin rankitesti Mannin ja Whitneyn testi Wilcoxonin rankisummatesti TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 2

3 Järjestysasteikollisten muuttujien testit Testit järjestysasteikollisille muuttujille Tarkastelemme seuraavia testejä (jatkuville) järjestysasteikollisille muuttujille: Merkkitesti Wilcoxonin rankitesti Mannin ja Whitneyn testi eli Wilcoxonin rankisummatesti On syytä huomata, että testejä saa ja on usein myös järkevää käyttää välimatka-ja suhdeasteikollisille muuttujille. Mitta-asteikot: ks. lukua Tilastollisten aineistojen kerääminen ja mittaaminen. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 3

4 Järjestysasteikollisten muuttujien testit Testit järjestysasteikollisille muuttujille: Huomautuksia Tässä käsiteltäviä testejä kutsutaan ei-parametrisiksi tai jakaumista riippumattomiksi, koska testi eivät kohdistu minkään tarkasti määritellyn todennäköisyysjakauman parametreihin. Merkkitesti ja Wilcoxonin rankitesti ovat luonteeltaan yhden otoksen testejä, mutta niitä voidaan soveltaa myös parivertailuasetelmissa. Mannin ja Whitneyn testi eli Wilcoxonin rankisummatesti on luonteeltaan kahden otoksen testi. Kaikissa käsiteltävissä testeissä testataan tarkemmin määrittelemättömän todennäköisyysjakauman sijaintiparametria (mediaania) koskevia hypoteeseja TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 4

5 Testit järjestysasteikollisille muuttujille Järjestysasteikollisten muuttujien testit >> Merkkitesti Wilcoxonin rankitesti Mannin ja Whitneyn testi Wilcoxonin rankisummatesti TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 5

6 Merkkitesti Testausasetelma Olkoon X1, X2,, X n yksinkertainen satunnaisotos perusjoukosta S, jonka jakauma on symmetrinen. Asetetaan jakauman mediaanille Me nollahypoteesi H 0 :Me= Me0 Testausongelma: Ovatko havainnot sopusoinnussa nollahypoteesin H 0 kanssa? Erään ratkaisun tarjoaa merkkitesti, joka on yhden otoksen t-testin ei-parametrinen vastine. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 6

7 Merkkitesti Testisuureet Määritellään erotukset D i = X i Me 0, i = 1, 2,, n ja olkoon n n niiden erotusten D i lukumäärä, jotka ovat 0. Jos nollahypoteesi H 0 pätee, positiivisten ja negatiivisten erotusten on jakauduttava suunnilleen tasan. Määritellään testisuureet S ja S + : S = negatiivisten erotusten D i = X i Me 0 lukumäärä S + = positiivisten erotusten D i = X i Me 0 lukumäärä TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 7

8 Merkkitesti Testisuureiden S ja S + ominaisuudet (i) S + S + = n (ii) Jos nollahypoteesi H 0 pätee, testisuureet S ja S + noudattavat binomijakaumaa Bin(n, q) parametrein n ja q = 1/2: S ~ Bin(n, 1/2) S + ~Bin(n, 1/2) (iii) Jos nollahypoteesi H 0 pätee, + 1 E( S ) = E( S ) = nq = 2 n (iv) Jos nollahypoteesi H 0 pätee, D( S ) = D( S ) = nq(1 q) = n 4 TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 8

9 Merkkitesti Eksakti testi Testisuureiden S ja S + jakaumat on taulukoitu ja monet tietokoneohjelmat laskevat testin p-arvoja. Merkkitestin p-arvot määrätään seuraavilla kaavoilla, joissa s (s + ) on testisuureen S (S + ) havaittu arvo: (i) Vaihtoehtoinen hypoteesi H 1 : Me > Me 0 Testin p-arvo: p = Pr(S + > s + ) (ii) Vaihtoehtoinen hypoteesi H 1 : Me < Me 0 Testin p-arvo: p = Pr(S < s ) (iii) Vaihtoehtoinen hypoteesi: H 1 : Me Me 0 Testin p-arvo: p = 2 min{pr(s + > s + ), Pr(S < s )} TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 9

10 Merkkitesti Standardoitu S-testisuure ja sen jakauma 1/2 Jos nollahypoteesi H 0 pätee, + 1 E( S ) = E( S ) = n D( S ) = D( S ) = 4 n Määritellään testisuure z = S E( S ) * * * D( S ) jossa S * = S tai S +. 2 TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 10

11 Merkkitesti Standardoitu S-testisuure ja sen jakauma 2/2 Jos nollahypoteesi H 0 pätee, niin testisuure * * S E( S ) z = * D( S ) noudattaa suurissa otoksissa approksimatiivisesti standardoitua normaalijakaumaa N(0,1): z ~ a N(0,1) Approksimaatio on tavallisesti riittävän hyvä, jos n > 20. Pienissä otoksissa nojataan testisuureen S * tarkkaan jakaumaan. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 11

12 Merkkitesti Asymptoottinen testi Testisuureen * * S E( S ) z = * D( S ) normaaliarvo = 0, koska nollahypoteesin H 0 pätiessä E(z) = 0 Siten itseisarvoltaan suuret testisuureen z arvot viittaavat siihen, että nollahypoteesi H 0 ei päde. Nollahypoteesi H 0 hylätään, jos testin p-arvo on kyllin pieni. Hylkäysalueen valinta ja p-arvon määrääminen: ks. lukua Tilastollinen testaus. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 12

13 Merkkitesti Kommentteja Merkkitesti voidaan tulkita yhden otoksen t-testin eiparametriseksi vastineeksi. Merkkitestissä ei tehdä toisin kuin yhden otoksen t-testissä mitään oletuksia perusjoukon jakauman tyypistä. Merkkitestin testisuureen arvo ei riipu havaintoarvoista, vaan ainoastaan niiden keskinäisestä järjestyksestä. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 13

14 Merkkitesti Merkkitestin soveltaminen parivertailuasetelmiin 1/2 Merkkitestiä voidaan soveltaa parivertailuasetelmiin, joissa havainnot muodostuvat toisistaan riippumattomista mittauspareista (X i, Y i ), i = 1, 2,, n Oletetaan, että X-ja Y-mittausten jakaumat ovat muuten samat, mutta niiden mediaaneilla (sijaintiparametreilla) saattaa olla eri arvot. Määritellään havaintojen X i ja Y i erotukset D i = X i Y i, i = 1, 2,, n ja olkoon n niiden erotusten D i lukumäärä, jotka ovat 0. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 14

15 Merkkitesti Merkkitestin soveltaminen parivertailuasetelmiin 2/2 Tehdään oletus, että erotusten D i = X i Y i, i = 1, 2,, n jakauma on symmetrinen. Määritellään testisuureet S ja S + erotuksille D i kuten edellä. Olkoon Me D erotusten D i = X i Y i, i = 1, 2,, n mediaani. Tällöin nollahypoteesin H 0 : Me D = 0 testaamiseen voidaan soveltaa merkkitestiä. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 15

16 Testit järjestysasteikollisille muuttujille Järjestysasteikollisten muuttujien testit Merkkitesti >> Wilcoxonin rankitesti Mannin ja Whitneyn testi Wilcoxonin rankisummatesti TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 16

17 Wilcoxonin rankitesti Testausasetelma Olkoon X1, X2,, X n yksinkertainen satunnaisotos perusjoukosta S, jonka jakauma on symmetrinen. Asetetaan jakauman mediaanille Me nollahypoteesi H 0 :Me= Me0 Testausongelma: Ovatko havainnot sopusoinnussa nollahypoteesin H 0 kanssa? Erään ratkaisun tarjoaa Wilcoxonin rankitesti, joka on yhden otoksen t-testin ei-parametrinen vastine. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 17

18 Wilcoxonin rankitesti Testisuure 1/2 Olkoon D i = X i Me 0, i = 1, 2,, n ja olkoon n n niiden erotusten D i lukumäärä, jotka ovat 0. Olkoot Z1, Z2,, Zn itseisarvot D i järjestettyinä suuruusjärjestykseen pienimmästä suurimpaan ja olkoon R(Z i ) = itseisarvon Z i järjestysnumero eli ranki, i = 1, 2,, n TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 18

19 Wilcoxonin rankitesti Testisuure 2/2 Määritellään testisuure W W = R( Zi ) D < 0 on niiden rankien summa, joita vastaavat erotukset D i = X i Me 0 < 0 Määritellään testisuure W + i D > 0 i on niiden rankien summa, joita vastaavat erotukset W + = R( Zi ) D i = X i Me 0 > 0 TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 19

20 Wilcoxonin rankitesti Testisuureiden W ja W + ominaisuudet (i) (ii) (iii) + 1 W + W = 2 n( n+ 1) Jos nollahypoteesi H 0 pätee, + E( W ) = E( W ) = n( n+ 1) Jos nollahypoteesi H 0 pätee, 1 4 D( W ) = D( W ) = n( n+ 1)(2n+ 1) TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 20

21 Wilcoxonin rankitesti Eksakti testi Testisuureiden W ja W + jakaumat on taulukoitu ja monet tietokoneohjelmat laskevat testin p-arvoja. Wilcoxonin rankitestin p-arvot määrätään seuraavilla kaavoilla, joissa w ja w + ovat testisuureiden W ja W + havaitut arvot: (i) Vaihtoehtoinen hypoteesi H 1 : Me > Me 0 Testin p-arvo: p = Pr(W + > w + ) (ii) Vaihtoehtoinen hypoteesi H 1 : Me < Me 0 Testin p-arvo: p = Pr(W < w ) (iii) Vaihtoehtoinen hypoteesi H 1 : Me Me 0 Testin p-arvo: p = 2 min{pr(w + > w + ), Pr(W < w )} TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 21

22 Wilcoxonin rankitesti Standardoitu W-testisuure ja sen jakauma 1/2 Jos nollahypoteesi H 0 pätee, + 1 E( W ) = E( W ) = n( n+ 1) D( W ) = D( W ) = 24 n( n+ 1)(2n+ 1) Määritellään testisuure W z = E( W ) * * * D( W ) jossa W * = W tai W +. 4 TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 22

23 Wilcoxonin rankitesti Standardoitu W-testisuure ja sen jakauma 2/2 Jos nollahypoteesi H 0 pätee, niin testisuure * * W E( W ) z = * D( W ) noudattaa suurissa otoksissa approksimatiivisesti standardoitua normaalijakaumaa N(0,1): z ~ a N(0,1) Approksimaatio on tavallisesti riittävän hyvä, jos n > 20. Pienissä otoksissa nojataan testisuureen W * tarkkaan jakaumaan. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 23

24 Wilcoxonin rankitesti Asymptoottinen testi Testisuureen * * W E( W ) z = * D( W ) normaaliarvo = 0, koska nollahypoteesin H 0 pätiessä E(z) = 0 Siten itseisarvoltaan suuret testisuureen z arvot viittaavat siihen, että nollahypoteesi H 0 ei päde. Nollahypoteesi H 0 hylätään, jos testin p-arvo on kyllin pieni. Hylkäysalueen valinta ja p-arvon määrääminen: ks. lukua Tilastollinen testaus. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 24

25 Wilcoxonin rankitesti Kommentteja Wilcoxonin rankitesti voidaan tulkita yhden otoksen t- testin ei-parametriseksi vastineeksi. Wilcoxonin rankitestissä ei tehdä toisin kuin yhden otoksen t-testissä mitään oletuksia perusjoukon jakauman tyypistä. Wilcoxonin rankitestin testisuureen arvo ei riipu havaintoarvoista, vaan ainoastaan niiden keskinäisestä järjestyksestä. Wilcoxonin rankitesti käyttää merkkitestiä enemmän informaatiota havaintojen järjestyksestä. Wilcoxonin rankitesti on voimakkaampi kuin merkkitesti. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 25

26 Wilcoxonin rankitesti Wilcoxonin rankitestin soveltaminen parivertailuasetelmiin 1/2 Wilcoxonin rankitestiä voidaan soveltaa parivertailuasetelmiin, joissa havainnot muodostuvat toisistaan riippumattomista mittauspareista (X i, Y i ), i = 1, 2,, n Oletetaan, että X-ja Y-mittausten jakaumat ovat muuten samat, mutta niiden mediaaneilla (sijaintiparametreilla) saattaa olla eri arvot. Määritellään havaintojen X i ja Y i erotukset D i = X i Y i, i = 1, 2,, n ja olkoon n niiden erotusten D i lukumäärä, jotka ovat 0. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 26

27 Wilcoxonin rankitesti Wilcoxonin rankitestin soveltaminen parivertailuasetelmiin 2/2 Oletetaan, että erotusten D i = X i Y i, i = 1, 2,, n jakauma on symmetrinen. Määritellään testisuureet W ja W + erotuksille D i kuten edellä. Olkoon Me D erotusten D i = X i Y i, i = 1, 2,, n mediaani. Tällöin nollahypoteesin H 0 : Me D = 0 testaamiseen voidaan soveltaa Wilcoxonin rankitestiä. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 27

28 Testit järjestysasteikollisille muuttujille Järjestysasteikollisten muuttujien testit Merkkitesti Wilcoxonin rankitesti >> Mannin ja Whitneyn testi Wilcoxonin rankisummatesti TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 28

29 Mannin ja Whitneyn testi Testausasetelma 1/2 Oletetaan, että X1, X2,, Xn ovat riippumattomia havaintoja satunnaismuuttujan X jakaumasta perusjoukossa S 1 (otos 1). Oletetaan, että Y1, Y2,, Ym ovat riippumattomia havaintoja satunnaismuuttujan Y jakaumasta perusjoukossa S 2 (otos 2). Olkoot otokset lisäksi toisistaan riippumattomia. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 29

30 Mannin ja Whitneyn testi Testausasetelma 2/2 Oletetaan, että satunnaismuuttujat X ja Y noudattavat muuten samaa jakaumaa, mutta niiden mediaanit (sijaintiparametrit) saattavat erota toisistaan. Asetetaan nollahypoteesi, että satunnaismuuttujilla X ja Y on sama mediaani (sijaintiparametri). Testausongelma: Ovatko havainnot sopusoinnussa nollahypoteesin H 0 kanssa? Erään ratkaisun tarjoaa Mannin ja Whitneyn testi, joka on kahden riippumattoman otoksen t-testin eiparametrinen vastine. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 30

31 Mannin ja Whitneyn testi Yleinen hypoteesi Yleinen hypoteesi H : (1) Havainnot Xi FX, i= 1,2,, n (2) Havainnot Yj FY, j = 1,2,, m (3) Kertymäfunktiot F X ja F X ovat muuten samat, mutta niiden mediaanit (sijaintiparametrit) saattavat erota toisistaan. (4) Havainnot X i ja Y j ovat riippumattomia kaikille i ja j Huomautus: Oletus (3) sisältää kolme riippumattomuusoletusta: Havainnot ovat riippumattomia otoksien 1 ja 2 sisällä. Havainnot ovat riippumattomia otoksien 1 ja 2 välillä. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 31

32 Mannin ja Whitneyn testi Nollahypoteesi ja vaihtoehtoinen hypoteesi Nollahypoteesi H 0 : H 0 : F X = F Y Vaihtoehtoinen hypoteesi H 1 : H 1 : F X F Y TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 32

33 Mannin ja Whitneyn testi Testin idea Yhdistetään X-ja Y-havainnot yhdeksi otokseksi ja järjestetään yhdistetyn otoksen havainnot suuruusjärjestykseen pienimmästä suurimpaan. Tarkastellaan sitä, miten X-ja Y-havainnot seuraavat yhdistetyssä otoksessa toisiaan. Jos kaikki X-havainnot (Y-havainnot) edeltävät kaikkia Y-havaintoja (X-havaintoja), ei ole uskottavaa, että nollahypoteesi H 0 pätee. Jos satunnaismuuttujat X ja Y noudattavat samaa jakaumaa, on ilmeistä, että X-ja Y-havaintojen on sekoituttava sopivasti toisiinsa. Mannin ja Whitneyn testisuure mittaa tätä sekoittumista. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 33

34 Mannin ja Whitneyn testi Testisuure U 1 muoto 1 Määritellään satunnaismuuttujat (1) 1, jos Xi < Yj Dij = 0, jos Xi > Yj i = 1, 2,, n, j = 1, 2,, m ja testisuure U 1 n m = i= 1 j= 1 D (1) ij TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 34

35 Mannin ja Whitneyn testi Testisuure U 1 muoto 2 Määritellään satunnaismuuttujat R(X i ) = havainnon X i järjestysnumero eli ranki yhdistetyssä otoksessa i = 1, 2,, n ja testisuure n 1 U1 = nm+ 2 n( n+ 1) R( Xi ) Testisuureen U 1 muodot 1 ja 2 ovat ekvivalentteja. i= 1 TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 35

36 Mannin ja Whitneyn testi Testisuureen U 1 ominaisuudet Testisuureen U 1 arvo ei riipu X-ja Y-havaintoarvojen suuruudesta, vaan ainoastaan niiden keskinäisestä järjestyksestä. Aina pätee 0 U 1 nm ja erityisesti U 1 = 0, jos X i > Y j kaikille i ja j U 1 = nm, jos X i < Y j kaikille i ja j TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 36

37 Mannin ja Whitneyn testi Testisuure U 2 muoto 1 Määritellään satunnaismuuttujat (2) 1, jos Yj < Xi D ji = 0, jos Yj > Xi j = 1, 2,, m, i = 1, 2,, n ja testisuure U 2 m n = j= 1 i= 1 D (2) ji TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 37

38 Mannin ja Whitneyn testi Testisuure U 2 muoto 2 Määritellään satunnaismuuttujat R(Y j ) = havainnon Y j järjestysnumero eli ranki yhdistetyssä otoksessa j = 1, 2,, m ja testisuure m 1 U2 = nm+ 2 m( m+ 1) R( Yj ) Testisuureen U 2 muodot 1 ja 2 ovat ekvivalentteja. j= 1 TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 38

39 Mannin ja Whitneyn testi Testisuureen U 2 ominaisuudet Testisuureen U 2 arvo ei riipu X-ja Y-havaintoarvojen suuruudesta, vaan ainoastaan niiden keskinäisestä järjestyksestä. Aina pätee 0 U 2 nm ja erityisesti U 2 = 0, jos Y j > X i kaikille i ja j U 2 = nm, jos Y j < X i kaikille i ja j TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 39

40 Mannin ja Whitneyn testi Testisuureiden U 1 ja U 2 ominaisuudet (i) (ii) (iii) U 1 + U 2 = nm Jos nollahypoteesi H 0 pätee, E( U ) = E( U ) = nm Jos nollahypoteesi H 0 pätee, D( U ) = D( U ) = nm( n+ m+ 1) TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 40

41 Mannin ja Whitneyn testi Standardoitu U 1 -testisuure ja sen jakauma Jos nollahypoteesi H 0 pätee, niin standardoitu satunnaismuuttuja U1 E( U1) z1 = D( U ) 1 noudattaa suurissa otoksissa approksimatiivisesti standardoitua normaalijakaumaa: z 1 ~ a N(0,1) Approksimaatio on tavallisesti riittävän hyvä, jos n > 10 ja m > 10. Pienissä otoksissa nojataan testisuureen U 1 tarkkaan jakaumaan. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 41

42 Mannin ja Whitneyn testi Asymptoottinen testi muoto 1 Testisuureen U1 E( U1) z1 = D( U1) normaaliarvo = 0, koska nollahypoteesin H 0 pätiessä E(z 1 ) = 0 Siten itseisarvoltaan suuret testisuureen z 1 arvot viittaavat siihen, että nollahypoteesi H 0 ei päde. Nollahypoteesi H 0 hylätään, jos testin p-arvo on kyllin pieni. Hylkäysalueen valinta ja p-arvon määrääminen: ks. lukua Tilastollinen testaus. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 42

43 Mannin ja Whitneyn testi Standardoitu U 2 -testisuure ja sen jakauma Jos nollahypoteesi H 0 pätee, niin standardoitu satunnaismuuttuja U2 E( U2) z2 = D( U ) 2 noudattaa suurissa otoksissa approksimatiivisesti standardoitua normaalijakaumaa: z 2 ~ a N(0,1) Approksimaatio on tavallisesti riittävän hyvä, jos n > 10 ja m > 10. Pienissä otoksissa nojataan testisuureen U 2 tarkkaan jakaumaan. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 43

44 Mannin ja Whitneyn testi Asymptoottinen testi muoto 2 Testisuureen U2 E( U2) z2 = D( U 2) normaaliarvo = 0, koska nollahypoteesin H 0 pätiessä E(z 2 ) = 0 Siten itseisarvoltaan suuret testisuureen z 2 arvot viittaavat siihen, että nollahypoteesi H 0 ei päde. Nollahypoteesi H 0 hylätään, jos testin p-arvo on kyllin pieni. Hylkäysalueen valinta ja p-arvon määrääminen: ks. lukua Tilastollinen testaus. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 44

45 Mannin ja Whitneyn testi Kommentteja 1/2 Mannin ja Whitneyn testi voidaan tulkita kahden riippumattoman otoksen t-testin ei-parametriseksi vastineeksi. Mannin ja Whitneyn testissä ei tehdä toisin kuin kahden riippumattoman otoksen t-testissä mitään oletuksia perusjoukkojen jakaumasta. Mannin ja Whitneyn testisuureiden arvo ei riipu muuttujien X ja Y arvoista, vaan ainoastaan niiden keskinäisestä järjestyksestä. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 45

46 Mannin ja Whitneyn testi Kommentteja 2/2 Jos havainnot ovat normaalijakautuneita, Mannin ja Whitneyn testi ei ole yhtä voimakas kuin kahden riippumattoman otoksen t-testi. Jos havainnot eivät ole normaalijakautuneita, Mannin ja Whitneyn testi saattaa olla paljon voimakkaampi kuin kahden riippumattoman otoksen t-testi. Mannin ja Whitneyn testi on varteenotettava vaihtoehto kahden riippumattoman otoksen t-testille, jos otoskoot eivät ole kovin isoja ja perusjoukot eivät ole normaalijakautuneita. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 46

47 Testit järjestysasteikollisille muuttujille Järjestysasteikollisten muuttujien testit Merkkitesti Wilcoxonin rankitesti Mannin ja Whitneyn testi >> Wilcoxonin rankisummatesti TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 47

48 Wilcoxonin rankisummatesti Wilcoxonin rankisummatesti ja Mannin ja Whitneyn testi Wilcoxonin rankisummatesti perustuu Mannin ja Whitneyn testisuureiden muodoissa 2 esiintyviin havaintojen rankisummiin eli järjestyslukujen summiin. Wilcoxonin rankisummatesti on ekvivalentti Mannin ja Whitneyn testin kanssa. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 48

49 Wilcoxonin rankisummatesti Testisuure T 1 Määritellään satunnaismuuttujat R(X i ) = havainnon X i järjestysnumero eli ranki yhdistetyssä otoksessa i = 1, 2,, n ja testisuure T 1 n = R( Xi ) i= 1 TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 49

50 Wilcoxonin rankisummatesti Testisuure T 2 Määritellään satunnaismuuttujat R(Y j ) = havainnon Y j järjestysnumero eli ranki yhdistetyssä otoksessa j = 1, 2,, m ja testisuure T 2 m = R( Yj ) j= 1 TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 50

51 Wilcoxonin rankisummatesti Testisuureiden T 1 ja T 2 ominaisuudet (i) (ii) (iii) T + T = ( n+ m )( n+ m+ 1) Jos nollahypoteesi H 0 pätee, 1 E( T) = n( n+ m+ 1) E( T2 ) = 2 m( n+ m+ 1) Jos nollahypoteesi H 0 pätee, D( T) = D( T ) = nm( n+ m+ 1) TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 51

52 Wilcoxonin rankisummatesti Standardoitu T 1 -testisuure ja sen jakauma Jos nollahypoteesi H 0 pätee, niin standardoitu satunnaismuuttuja T1 E( T1) z1 = D( T ) 1 noudattaa suurissa otoksissa approksimatiivisesti standardoitua normaalijakaumaa: z 1 ~ a N(0,1) Approksimaatio on tavallisesti riittävän hyvä, jos n > 10 ja m > 10. Pienissä otoksissa nojataan testisuureen T 1 tarkkaan jakaumaan. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 52

53 Wilcoxonin rankisummatesti Asymptoottinen testi muoto 1 Testisuureen T1 E( T1) z1 = D( T1 ) normaaliarvo = 0, koska nollahypoteesin H 0 pätiessä E(z 1 ) = 0 Siten itseisarvoltaan suuret testisuureen z 1 arvot viittaavat siihen, että nollahypoteesi H 0 ei päde. Nollahypoteesi H 0 hylätään, jos testin p-arvo on kyllin pieni. Hylkäysalueen valinta ja p-arvon määrääminen: ks. lukua Tilastollinen testaus. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 53

54 Wilcoxonin rankisummatesti Standardoitu T 2 -testisuure ja sen jakauma Jos nollahypoteesi H 0 pätee, niin standardoitu satunnaismuuttuja T2 E( T2) z2 = D( T ) 2 noudattaa suurissa otoksissa approksimatiivisesti standardoitua normaalijakaumaa: z 2 ~ a N(0,1) Approksimaatio on tavallisesti riittävän hyvä, jos n > 10 ja m > 10. Pienissä otoksissa nojataan testisuureen T 2 tarkkaan jakaumaan. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 54

55 Wilcoxonin rankisummatesti Asymptoottinen testi muoto 2 Testisuureen T2 E( T2) z2 = D( T2 ) normaaliarvo = 0, koska nollahypoteesin H 0 pätiessä E(z 2 ) = 0 Siten itseisarvoltaan suuret testisuureen z 2 arvot viittaavat siihen, että nollahypoteesi H 0 ei päde. Nollahypoteesi H 0 hylätään, jos testin p-arvo on kyllin pieni. Hylkäysalueen valinta ja p-arvon määrääminen: ks. lukua Tilastollinen testaus. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 55

Johdatus tilastotieteeseen Testit järjestysasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1

Johdatus tilastotieteeseen Testit järjestysasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus tilastotieteeseen Testit järjestysasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Testit järjestysasteikollisille muuttujille Järjestysasteikollisten muuttujien testit Merkkitesti Wilcoxonin

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 3: Epäparametriset tilastolliset testit

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 3: Epäparametriset tilastolliset testit Tilastollisen analyysin perusteet Luento 3: Epäparametriset tilastolliset testit s t ja t kahden Sisältö t ja t t ja t kahden kahden t ja t kahden t ja t Tällä luennolla käsitellään epäparametrisia eli

Lisätiedot

Testejä suhdeasteikollisille muuttujille

Testejä suhdeasteikollisille muuttujille Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testejä suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Testejä suhdeasteikollisille muuttujille >> Testit normaalijakauman

Lisätiedot

Testit laatueroasteikollisille muuttujille

Testit laatueroasteikollisille muuttujille Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testit laatueroasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Testit laatueroasteikollisille muuttujille >> Laatueroasteikollisten

Lisätiedot

Mat-2.2104 Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007

Mat-2.2104 Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007 Mat-2.204 Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007 3. luento: Pari sanaa vielä hypoteesien formuloinneista Kai Virtanen Hypoteesien muodoista Luennolla nro. 2 muotoiltiin nollahypoteesi - H 0 : θ

Lisätiedot

Testit järjestysasteikollisille muuttujille. Testit järjestysasteikollisille muuttujille. Testit järjestysasteikollisille muuttujille: Esitiedot

Testit järjestysasteikollisille muuttujille. Testit järjestysasteikollisille muuttujille. Testit järjestysasteikollisille muuttujille: Esitiedot TKK (c Ilkka Melli (004 Johdatus tilastotieteesee TKK (c Ilkka Melli (004 : Mitä opimme? Tarkastelemme tässä luvussa seuraavia järjestysasteikolliste muuttujie testejä: ja merkkitesti parivertailuille

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Testit laatueroasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1

Johdatus tilastotieteeseen Testit laatueroasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus tilastotieteeseen Testit laatueroasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Testit laatueroasteikollisille muuttujille Laatueroasteikollisten muuttujien testit Testi suhteelliselle

Lisätiedot

Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät. Osa 3: Tilastolliset testit. Tilastollinen testaus. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1

Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät. Osa 3: Tilastolliset testit. Tilastollinen testaus. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Tilastollinen testaus TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Tilastolliset testit >> Tilastollinen testaus Tilastolliset hypoteesit Tilastolliset

Lisätiedot

Väliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1

Väliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1 Väliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1 Bernoulli-jakauman odotusarvon luottamusväli 1/2 Olkoon havainnot X 1,..., X n yksinkertainen satunnaisotos Bernoulli-jakaumasta parametrilla p. Eli X Bernoulli(p).

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 4: Testi suhteelliselle osuudelle

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 4: Testi suhteelliselle osuudelle Tilastollisen analyysin perusteet Luento 4: Sisältö Testiä suhteelliselle voidaan käyttää esimerkiksi tilanteessa, jossa tarkastellaan viallisten tuotteiden osuutta tuotantoprosessissa. Tilanne palautuu

Lisätiedot

ABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY

ABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY Tilastollinen testaus Tilastollinen testaus Tilastollisessa testauksessa tutkitaan tutkimuskohteita koskevien oletusten tai väitteiden paikkansapitävyyttä havaintojen avulla. Testattavat oletukset tai

Lisätiedot

Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007

Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007 Mat-2.2104 Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007 2. luento: Tilastolliset testit Kai Virtanen 1 Tilastollinen testaus Tutkimuksen kohteena olevasta perusjoukosta esitetään väitteitä oletuksia joita

Lisätiedot

Tilastollinen testaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Tilastollinen testaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Tilastollinen testaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Viime luennolla: havainnot generoineen jakauman muoto on usein tunnettu, mutta parametrit tulee estimoida Joskus parametreista on perusteltua esittää

Lisätiedot

Tilastolliset menetelmät. Osa 3: Tilastolliset testit. Tilastollinen testaus KE (2014) 1

Tilastolliset menetelmät. Osa 3: Tilastolliset testit. Tilastollinen testaus KE (2014) 1 Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Tilastollinen testaus KE (2014) 1 Tilastolliset testit >> Tilastollinen testaus Tilastolliset hypoteesit Tilastolliset testit ja testisuureet Virheet

Lisätiedot

Harjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi

Harjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi Harjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Tilastollinen testaus Testaukseen

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 16. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 16. marraskuuta 2007 1 / 15 1 Epäparametrisia testejä χ 2 -yhteensopivuustesti Homogeenisuuden testaaminen Antti

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 11: Epäparametrinen vastine ANOVAlle

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 11: Epäparametrinen vastine ANOVAlle Tilastollisen analyysin perusteet Luento 11: Epäparametrinen vastine ANOVAlle - Sisältö - - - Varianssianalyysi Varianssianalyysissä (ANOVA) testataan oletusta normaalijakautuneiden otosten odotusarvojen

Lisätiedot

Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi

Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Estimointi >> Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 2: Tilastolliset testit

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 2: Tilastolliset testit Tilastollisen analyysin perusteet Luento 2: Tilastolliset testit Sisältö Tilastollisia testejä tehdään jatkuvasti lukemattomilla aloilla. Meitä saattaa kiinnostaa esimerkiksi se, että onko miesten ja

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 8. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 8. marraskuuta 2007 1 / 18 1 Kertausta: momenttimenetelmä ja suurimman uskottavuuden menetelmä 2 Tilastollinen

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Estimointi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus tilastotieteeseen Estimointi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus tilastotieteeseen Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Estimointi Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin ominaisuudet TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 2 Estimointi:

Lisätiedot

Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007

Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007 Mat-2.2104 Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007 4. luento: Jakaumaoletuksien testaaminen Kai Virtanen 1 Jakaumaoletuksien testaamiseen soveltuvat testit χ 2 -yhteensopivuustesti yksi otos otoksen

Lisätiedot

Tilastotieteen kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Tilastotieteen kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Tilastotieteen kertaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Reaalimaailman ilmiöihin liittyy tyypillisesti satunnaisuutta ja epävarmuutta Ilmiöihin liittyvien havaintojen ajatellaan usein olevan peräisin

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia Johdanto χ 2 -jakauma F-jakauma t-jakauma TKK (c) Ilkka Mellin

Lisätiedot

Estimointi. Estimointi. Estimointi: Mitä opimme? 2/4. Estimointi: Mitä opimme? 1/4. Estimointi: Mitä opimme? 3/4. Estimointi: Mitä opimme?

Estimointi. Estimointi. Estimointi: Mitä opimme? 2/4. Estimointi: Mitä opimme? 1/4. Estimointi: Mitä opimme? 3/4. Estimointi: Mitä opimme? TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus tilastotieteeseen TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 2 Mitä opimme? 1/4 Tilastollisen tutkimuksen tavoitteena on tehdä johtopäätöksiä prosesseista, jotka generoivat reaalimaailman

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 22. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 22. marraskuuta 2007 1 / 17 1 Epäparametrisia testejä (jatkoa) χ 2 -riippumattomuustesti 2 Johdatus regressioanalyysiin

Lisätiedot

Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007

Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007 Mat-.04 Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 007 4. luento: Jakaumaoletuksien testaaminen Kai Virtanen Jakaumaoletuksien testaamiseen soveltuvat testit χ -yhteensopivuustesti yksi otos otoksen vertaaminen

Lisätiedot

Tilastolliset testit. Tilastolliset testit. Tilastolliset testit: Mitä opimme? 2/5. Tilastolliset testit: Mitä opimme? 1/5

Tilastolliset testit. Tilastolliset testit. Tilastolliset testit: Mitä opimme? 2/5. Tilastolliset testit: Mitä opimme? 1/5 TKK (c) Ilkka Mellin (4) 1 Johdatus tilastotieteeseen TKK (c) Ilkka Mellin (4) : Mitä opimme? 1/5 Tilastollisessa tutkimuksessa tutkimuksen kohteena olevasta perusjoukosta esitetään tavallisesti väitteitä

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Tilastolliset testit. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus tilastotieteeseen Tilastolliset testit. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus tilastotieteeseen Tilastolliset testit TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Tilastolliset testit Tilastollinen testaus Tilastolliset hypoteesit Tilastolliset testit ja testisuureet Virheet testauksessa

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 8. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 8. marraskuuta 2007 1 / 15 1 Tilastollisia testejä Z-testi Normaalijakauman odotusarvon testaus, keskihajonta tunnetaan

Lisätiedot

χ = Mat Sovellettu todennäköisyyslasku 11. harjoitukset/ratkaisut

χ = Mat Sovellettu todennäköisyyslasku 11. harjoitukset/ratkaisut Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku /Ratkaisut Aiheet: Yhteensopivuuden testaaminen Homogeenisuuden testaaminen Riippumattomuuden testaaminen Avainsanat: Estimointi, Havaittu frekvenssi, Homogeenisuus,

Lisätiedot

Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia

Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia >> Johdanto χ 2 -jakauma F-jakauma

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Yhteensopivuuden, homogeenisuuden ja riippumattomuuden testaaminen. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1

Johdatus tilastotieteeseen Yhteensopivuuden, homogeenisuuden ja riippumattomuuden testaaminen. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus tilastotieteeseen Yhteensopivuuden, homogeenisuuden ja riippumattomuuden testaaminen TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Yhteensopivuuden, homogeenisuuden ja riippumattomuuden testaaminen Jakaumaoletuksien

Lisätiedot

Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi

Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 1 Estimointi >> Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin

Lisätiedot

Tilastolliset menetelmät: Tilastolliset testit

Tilastolliset menetelmät: Tilastolliset testit Tilastolliset meetelmät Tilastolliset testit Tilastolliset meetelmät: Tilastolliset testit 8. Tilastollie testaus 9. Testejä suhdeasteikollisille muuttujille. Testejä järjestysasteikollisille muuttujille.

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 10: Johdatus varianssianalyysiin

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 10: Johdatus varianssianalyysiin Tilastollisen analyysin perusteet Luento 10: Sisältö Varianssianalyysi Varianssianalyysi on kahden riippumattoman otoksen t testin yleistys. Varianssianalyysissä perusjoukko koostuu kahdesta tai useammasta

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 8: Lineaarinen regressio, testejä ja luottamusvälejä

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 8: Lineaarinen regressio, testejä ja luottamusvälejä Tilastollisen analyysin perusteet Luento 8: Lineaarinen regressio, testejä ja luottamusvälejä arvon Sisältö arvon Bootstrap-luottamusvälit arvon arvon Oletetaan, että meillä on n kappaletta (x 1, y 1 ),

Lisätiedot

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A TKK / Systeemianalyysin laboratorio Mat-.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A Harjoitus 11 (vko 48/003) (Aihe: Tilastollisia testejä, Laininen luvut 4.9, 15.1-15.4, 15.7) Nordlund 1. Kemiallisen prosessin

Lisätiedot

Johdatus varianssianalyysiin. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Johdatus varianssianalyysiin. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Johdatus varianssianalyysiin Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Luento 4: kahden riippumattoman otoksen odotusarvoja voidaan vertailla t-testillä H 0 : μ 1 = μ 2, T = ˉX 1 ˉX 2 s 2 1 + s2 2 n 1 n 2 a t(min[(n

Lisätiedot

Yhteensopivuuden, homogeenisuuden ja riippumattomuuden testaaminen

Yhteensopivuuden, homogeenisuuden ja riippumattomuuden testaaminen Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Yhteensopivuuden, homogeenisuuden ja riippumattomuuden testaaminen TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Yhteensopivuuden, homogeenisuuden ja riippumattomuuden

Lisätiedot

Hypoteesin testaus Alkeet

Hypoteesin testaus Alkeet Hypoteesin testaus Alkeet Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta Matematiikan jaos Johdanto Kokeellinen tutkimus: Varmennetaan teoreettista olettamusta fysikaalisen systeemin käyttäytymisestä

Lisätiedot

Mediaanikorko on kiinteäkorkoiselle lainalle korkeampi. Tämä hypoteesi vastaa taloustieteen käsitystä korkojen määräytymismekanismista.

Mediaanikorko on kiinteäkorkoiselle lainalle korkeampi. Tämä hypoteesi vastaa taloustieteen käsitystä korkojen määräytymismekanismista. Mat-2.04 Tilastollisen analyysin perusteet / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Testit järjestysasteikollisille muuttujille Testit laatueroasteikollisille muuttujille Hypoteesi, Mannin ja Whitneyn testi (Wilcoxonin

Lisätiedot

Regressioanalyysi. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Regressioanalyysi. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Regressioanalyysi Vilkkumaa / Kuusinen 1 Regressioanalyysin idea ja tavoitteet Regressioanalyysin idea: Halutaan selittää selitettävän muuttujan havaittujen arvojen vaihtelua selittävien muuttujien havaittujen

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 6: Korrelaatio ja riippuvuus tilastotieteessä

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 6: Korrelaatio ja riippuvuus tilastotieteessä Tilastollisen analyysin perusteet Luento 6: Korrelaatio ja riippuvuus tilastotieteessä Sisältö Riippumattomuus Jos P(A B) = P(A)P(B), niin tapahtumat A ja B ovat toisistaan riippumattomia. (Keskustelimme

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 18. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 18. lokakuuta 2007 1 / 19 1 Tilastollinen aineisto 2 Tilastollinen malli Yksinkertainen satunnaisotos 3 Otostunnusluvut

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 5: Jakaumaoletuksien. testaaminen

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 5: Jakaumaoletuksien. testaaminen Tilastollisen analyysin perusteet Luento 5: Sisältö Tilastotieteessä tehdään usein oletuksia havaintojen jakaumasta. Useat tilastolliset menetelmät toimivat tehottomasti tai jopa virheellisesti, jos jakaumaoletukset

Lisätiedot

10. laskuharjoituskierros, vko 14, ratkaisut

10. laskuharjoituskierros, vko 14, ratkaisut 10. laskuharjoituskierros, vko 14, ratkaisut D1. Eräässä kokeessa verrattiin kahta sademäärän mittaukseen käytettävää laitetta. Kummallakin laitteella mitattiin sademäärät 10 sadepäivän aikana. Mittaustulokset

Lisätiedot

Kaksisuuntainen varianssianalyysi. Heliövaara 1

Kaksisuuntainen varianssianalyysi. Heliövaara 1 Kaksisuuntainen varianssianalyysi Heliövaara 1 Kaksi- tai useampisuuntainen varianssianalyysi Kaksi- tai useampisuuntaisessa varianssianalyysissa perusjoukko on jaettu ryhmiin kahden tai useamman tekijän

Lisätiedot

Tavanomaisten otostunnuslukujen, odotusarvon luottamusvälin ja Box ja Whisker -kuvion määritelmät: ks. 1. harjoitukset.

Tavanomaisten otostunnuslukujen, odotusarvon luottamusvälin ja Box ja Whisker -kuvion määritelmät: ks. 1. harjoitukset. Mat-.04 Tilastollisen analyysin perusteet Mat-.04 Tilastollisen analyysin perusteet / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Testit suhdeasteikollisille muuttujille Hypoteesi, Kahden riippumattoman otoksen t-testit,

Lisätiedot

Kaksisuuntainen varianssianalyysi. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Kaksisuuntainen varianssianalyysi. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Kaksisuuntainen varianssianalyysi Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Luennot 6 ja 7: yksisuuntaisella varianssianalyysilla testataan ryhmäkohtaisten odotusarvojen yhtäsuuruutta, kun perusjoukko on jaettu

Lisätiedot

tilastotieteen kertaus

tilastotieteen kertaus tilastotieteen kertaus Keskiviikon 24.1. harjoitukset pidetään poikkeuksellisesti klo 14-16 luokassa Y228. Heliövaara 1 Mitä tilastotiede on? Tilastotiede kehittää ja soveltaa menetelmiä, joiden avulla

Lisätiedot

Latinalaiset neliöt. Latinalaiset neliöt. Latinalaiset neliöt. Latinalaiset neliöt: Mitä opimme? Latinalaiset neliöt

Latinalaiset neliöt. Latinalaiset neliöt. Latinalaiset neliöt. Latinalaiset neliöt: Mitä opimme? Latinalaiset neliöt TKK (c) Ilkka Mellin (005) Koesuunnittelu TKK (c) Ilkka Mellin (005) : Mitä opimme? Tarkastelemme tässä luvussa seuraavaa kysymystä: Miten varianssianalyysissa tutkitaan yhden tekijän vaikutusta vastemuuttujaan,

Lisätiedot

Yksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Kuusinen/Heliövaara 1

Yksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Kuusinen/Heliövaara 1 Yksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Kuusinen/Heliövaara 1 Odotusarvoparien vertailu Jos yksisuuntaisen varianssianalyysin nollahypoteesi H 0 : µ 1 = µ 2 = = µ k = µ hylätään, tiedetään, että ainakin

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 30. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 30. lokakuuta 2007 1 / 23 1 Otos ja otosjakaumat (jatkoa) Frekvenssi ja suhteellinen frekvenssi Frekvenssien odotusarvo

Lisätiedot

Estimointi. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Estimointi. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Estimointi Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Tilastollisessa tutkimuksessa oletetaan jonkin jakauman generoineen tutkimuksen kohteena olevaa ilmiötä koskevat havainnot Tämän mallina käytettävän todennäköisyysjakauman

Lisätiedot

r = 0.221 n = 121 Tilastollista testausta varten määritetään aluksi hypoteesit.

r = 0.221 n = 121 Tilastollista testausta varten määritetään aluksi hypoteesit. A. r = 0. n = Tilastollista testausta varten määritetään aluksi hypoteesit. H 0 : Korrelaatiokerroin on nolla. H : Korrelaatiokerroin on nollasta poikkeava. Tarkastetaan oletukset: - Kirjoittavat väittävät

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Väliestimointi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus tilastotieteeseen Väliestimointi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus tilastotieteeseen Väliestimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Väliestimointi Todennäköisyysjakaumien parametrien estimointi Luottamusväli Normaalijakauman odotusarvon luottamusväli Normaalijakauman

Lisätiedot

¼ ¼ joten tulokset ovat muuttuneet ja nimenomaan huontontuneet eivätkä tulleet paremmiksi.

¼ ¼ joten tulokset ovat muuttuneet ja nimenomaan huontontuneet eivätkä tulleet paremmiksi. 10.11.2006 1. Pituushyppääjä on edellisenä vuonna hypännyt keskimäärin tuloksen. Valmentaja poimii tämän vuoden harjoitusten yhteydessä tehdyistä muistiinpanoista satunnaisesti kymmenen harjoitushypyn

Lisätiedot

edellyttää valintaa takaisinpanolla Aritmeettinen keskiarvo Jos, ½ Ò muodostavat satunnaisotoksen :n jakaumasta niin Otosvarianssi Ë ¾

edellyttää valintaa takaisinpanolla Aritmeettinen keskiarvo Jos, ½ Ò muodostavat satunnaisotoksen :n jakaumasta niin Otosvarianssi Ë ¾ ËØÙ ÓØÓ Ø Mitta-asteikot Nominaali- eli laatueroasteikko Ordinaali- eli järjestysasteikko Intervalli- eli välimatka-asteikko ( nolla mielivaltainen ) Suhdeasteikko ( nolla ei ole mielivaltainen ) Otos

Lisätiedot

Jos nyt on saatu havaintoarvot Ü ½ Ü Ò niin suurimman uskottavuuden

Jos nyt on saatu havaintoarvot Ü ½ Ü Ò niin suurimman uskottavuuden 1.12.2006 1. Satunnaisjakauman tiheysfunktio on Ü µ Üe Ü, kun Ü ja kun Ü. Määritä parametrin estimaattori momenttimenetelmällä ja suurimman uskottavuuden menetelmällä. Ratkaisu: Jotta kyseessä todella

Lisätiedot

Yksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Heliövaara 1

Yksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Heliövaara 1 Yksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Heliövaara 1 Odotusarvoparien vertailu Jos yksisuuntaisen varianssianalyysin nollahypoteesi H 0 : µ 1 = µ 2 = = µ k = µ hylätään tiedetään, että ainakin kaksi

Lisätiedot

χ 2 -yhteensopivuustestissä käytetään χ 2 -testisuuretta χ = Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A

χ 2 -yhteensopivuustestissä käytetään χ 2 -testisuuretta χ = Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Yhteensopivuuden testaaminen Homogeenisuuden testaaminen Riippumattomuuden testaaminen Estimointi, Havaittu frekvenssi, Heterogeenisuus,

Lisätiedot

Odotusarvoparien vertailu. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Odotusarvoparien vertailu. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Odotusarvoparien vertailu Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Viime luennolta: yksisuuntaisella varianssianalyysilla testataan nollahypoteesia H 0 : μ 1 = μ 2 = = μ k = μ Jos H 0 hylätään, tiedetään, että

Lisätiedot

FoA5 Tilastollisen analyysin perusteet puheentutkimuksessa. 6. luento. Pertti Palo

FoA5 Tilastollisen analyysin perusteet puheentutkimuksessa. 6. luento. Pertti Palo FoA5 Tilastollisen analyysin perusteet puheentutkimuksessa 6. luento Pertti Palo 1.11.2012 Käytännön asioita Harjoitustöiden palautus sittenkin sähköpostilla. PalautusDL:n jälkeen tiistaina netistä löytyy

Lisätiedot

Kvantitatiiviset tutkimusmenetelmät maantieteessä

Kvantitatiiviset tutkimusmenetelmät maantieteessä Kvantitatiiviset tutkimusmenetelmät maantieteessä Harjoitukset: 2 Muuttujan normaaliuden testaaminen, merkitsevyys tasot ja yhden otoksen testit FT Joni Vainikka, Yliopisto-opettaja, GO218, joni.vainikka@oulu.fi

Lisätiedot

Tilastollinen aineisto Luottamusväli

Tilastollinen aineisto Luottamusväli Tilastollinen aineisto Luottamusväli Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta Matematiikan jaos Tilastollinen aineisto p.1/20 Johdanto Kokeellisessa tutkimuksessa tutkittavien suureiden

Lisätiedot

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 7.6.2011 Ratkaisut ja arvostelu

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 7.6.2011 Ratkaisut ja arvostelu VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 7.6.2011 Ratkaisut ja arvostelu 1.1 Noudattakoon satunnaismuuttuja X normaalijakaumaa a) b) c) d) N(5, 15). Tällöin P (1.4 < X 12.7) on likimain

Lisätiedot

Jos nollahypoteesi pitää paikkansa on F-testisuuren jakautunut Fisherin F-jakauman mukaan

Jos nollahypoteesi pitää paikkansa on F-testisuuren jakautunut Fisherin F-jakauman mukaan 17.11.2006 1. Kahdesta kohteesta (A ja K) kerättiin maanäytteitä ja näistä mitattiin SiO -pitoisuus. Tulokset (otoskoot ja otosten tunnusluvut): A K 10 16 Ü 64.94 57.06 9.0 7.29 Oletetaan mittaustulosten

Lisätiedot

6. laskuharjoitusten vastaukset (viikot 10 11)

6. laskuharjoitusten vastaukset (viikot 10 11) 6. laskuharjoitusten vastaukset (viikot 10 11) 1. a) Sivun 102 hypergeometrisen jakauman määritelmästä saadaan µ µ 13 39 13! 13 12 11 10 9 µ 0! 8! 1! 2 2! 2 1 0 49 48! 47!! 14440 120 31187200 120 1287

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Tilastollisten aineistojen kerääminen ja mittaaminen. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus tilastotieteeseen Tilastollisten aineistojen kerääminen ja mittaaminen. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus tilastotieteeseen Tilastollisten aineistojen kerääminen ja mittaaminen TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 ja mittaaminen Tilastollisten aineistojen kerääminen Mittaaminen ja mitta-asteikot TKK (c)

Lisätiedot

Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia

Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia >> Multinomijakauma Kaksiulotteinen

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: Lokaatio ja hajonta

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: Lokaatio ja hajonta Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: ja hajonta Sisältö Havaittujen arvojen jakauma Havaittujen arvojen jakaumaa voidaan kuvailla ja esitellä tiivistämällä havaintoarvot sopivaan muotoon. Jakauman

Lisätiedot

Tilastollisten aineistojen kerääminen ja mittaaminen

Tilastollisten aineistojen kerääminen ja mittaaminen Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 1: Johdanto Tilastollisten aineistojen kerääminen ja mittaaminen TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 ja mittaaminen >> Tilastollisten aineistojen kerääminen Mittaaminen

Lisätiedot

Mat-2.104 Tilastollisen analyysin perusteet. Testit suhdeasteikollisille muuttujille. Avainsanat:

Mat-2.104 Tilastollisen analyysin perusteet. Testit suhdeasteikollisille muuttujille. Avainsanat: Mat-.04 Tilastollise aalyysi perusteet / Ratkaisut Aiheet: Avaisaat: Testit suhdeasteikollisille muuttujille Hypoteesi, Kahde riippumattoma otokse t-testit, Nollahypoteesi, p-arvo, Päätössäätö, Testi,

Lisätiedot

11. laskuharjoituskierros, vko 15, ratkaisut

11. laskuharjoituskierros, vko 15, ratkaisut 11. laskuharjoituskierros vko 15 ratkaisut D1. Geiger-mittari laskee radioaktiivisen aineen emissioiden lukumääriä. Emissioiden lukumäärä on lyhyellä aikavälillä satunnaismuuttuja jonka voidaan olettaa

Lisätiedot

Tutkimusongelmia ja tilastollisia hypoteeseja: Perunalastupussien keskimääräinen paino? Nollahypoteesi Vaihtoehtoinen hypoteesi (yksisuuntainen)

Tutkimusongelmia ja tilastollisia hypoteeseja: Perunalastupussien keskimääräinen paino? Nollahypoteesi Vaihtoehtoinen hypoteesi (yksisuuntainen) 1 MTTTP3 Luento 29.1.2015 Luku 6 Hypoteesien testaus Tutkimusongelmia ja tilastollisia hypoteeseja: Perunalastupussien keskimääräinen paino? H 0 : µ = µ 0 H 1 : µ < µ 0 Nollahypoteesi Vaihtoehtoinen hypoteesi

Lisätiedot

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE Ratkaisut ja arvostelu < X 170

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE Ratkaisut ja arvostelu < X 170 VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 4.6.2013 Ratkaisut ja arvostelu 1.1 Satunnaismuuttuja X noudattaa normaalijakaumaa a) b) c) d) N(170, 10 2 ). Tällöin P (165 < X < 175) on likimain

Lisätiedot

Lisää Diskreettejä jakaumia Lisää Jatkuvia jakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia

Lisää Diskreettejä jakaumia Lisää Jatkuvia jakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Lisää Diskreettejä jakaumia Lisää Jatkuvia jakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia KE (2014) 1 Hypergeometrinen jakauma Hypergeometrinen jakauma

Lisätiedot

Gripenberg. MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Tentti ja välikoeuusinta

Gripenberg. MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Tentti ja välikoeuusinta MS-A00 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Tentti ja välikoeuusinta 7.. Gripenberg Kirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi ym. tiedot ja minkä kokeen suoritat! Laskin,

Lisätiedot

1. Normaalisuuden tutkiminen, Bowmanin ja Shentonin testi, Rankit Plot, Wilkin ja Shapiron testi

1. Normaalisuuden tutkiminen, Bowmanin ja Shentonin testi, Rankit Plot, Wilkin ja Shapiron testi Mat-2.2104 Tilastollisen analyysin perusteet / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Yhteensopivuuden ja homogeenisuden testaaminen Bowmanin ja Shentonin testi, Hypoteesi, 2 -homogeenisuustesti, 2 -yhteensopivuustesti,

Lisätiedot

Regressioanalyysi. Kuusinen/Heliövaara 1

Regressioanalyysi. Kuusinen/Heliövaara 1 Regressioanalyysi Kuusinen/Heliövaara 1 Regressioanalyysin idea ja tavoitteet Regressioanalyysin idea: Oletetaan, että haluamme selittää jonkin selitettävän muuttujan havaittujen arvojen vaihtelun joidenkin

Lisätiedot

031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 5

031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 5 031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 5 Jukka Kemppainen Mathematics Division Hypoteesin testauksesta Tilastollisessa testauksessa on kyse havainnoista tapahtuvasta päätöksenteosta. Kokeellisen tutkimuksen

Lisätiedot

Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat

Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Satunnaismuuttujien muunnokset ja

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Tilastollinen riippuvuus ja korrelaatio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus tilastotieteeseen Tilastollinen riippuvuus ja korrelaatio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus tilastotieteeseen Tilastollinen riippuvuus ja korrelaatio TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Tilastollinen riippuvuus ja korrelaatio Tilastollinen riippuvuus, korrelaatio ja regressio Kahden muuttujan

Lisätiedot

Tilastollisia peruskäsitteitä ja Monte Carlo

Tilastollisia peruskäsitteitä ja Monte Carlo Tilastollisia peruskäsitteitä ja Monte Carlo Hannu Toivonen, Marko Salmenkivi, Inkeri Verkamo Tutkimustiedonhallinnan peruskurssi Tilastollisia peruskäsitteitä ja Monte Carlo 1/13 Kevät 2003 Tilastollisia

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa : Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (7) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio

Lisätiedot

Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007

Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007 Mat-.04 Tilastollisen analsin perusteet, kevät 007. luento: Kaksisuuntainen varianssianalsi Kai Virtanen Kaksisuuntaisen varianssianalsin perusasetelma Jaetaan perusjoukko rhmiin kahden tekän A ja B suhteen

Lisätiedot

Sisältö. Perusteiden Kertaus. Tilastollinen analyysi. Peruskäsitteitä. Peruskäsitteitä. Kvantitatiivinen metodologia verkossa

Sisältö. Perusteiden Kertaus. Tilastollinen analyysi. Peruskäsitteitä. Peruskäsitteitä. Kvantitatiivinen metodologia verkossa Sisältö Kvantitatiivinen metodologia verkossa Perusteiden Kertaus Pekka Rantanen Helsingin yliopisto Tilastollinen analyysi Tilastotieteen tavoitteet Kvantitatiivisen tutkimuksen peruskäsitteitä Tilastollisten

Lisätiedot

2. TILASTOLLINEN TESTAAMINEN...

2. TILASTOLLINEN TESTAAMINEN... !" # 1. 1. JOHDANTO... 3 2. 2. TILASTOLLINEN TESTAAMINEN... 4 2.1. T-TESTI... 4 2.2. RANDOMISAATIOTESTI... 5 3. SIMULOINTI... 6 3.1. OTOSTEN POIMINTA... 6 3.2. TESTAUS... 7 3.3. TESTIEN TULOSTEN VERTAILU...

Lisätiedot

Mitä tarvitsee tietää biostatistiikasta ja miksi? Matti Uhari Lastentautien klinikka Oulun yliopisto

Mitä tarvitsee tietää biostatistiikasta ja miksi? Matti Uhari Lastentautien klinikka Oulun yliopisto Mitä tarvitsee tietää biostatistiikasta ja miksi? Matti Uhari Lastentautien klinikka Oulun yliopisto Tutkimusaineistomme otantoja Hyödyt Ei tarvitse tutkia kaikkia Oikein tehty otanta mahdollistaa yleistämisen

Lisätiedot

HAVAITUT JA ODOTETUT FREKVENSSIT

HAVAITUT JA ODOTETUT FREKVENSSIT HAVAITUT JA ODOTETUT FREKVENSSIT F: E: Usein Harvoin Ei tupakoi Yhteensä (1) (2) (3) Mies (1) 59 28 4 91 Nainen (2) 5 14 174 193 Yhteensä 64 42 178 284 Usein Harvoin Ei tupakoi Yhteensä (1) (2) (3) Mies

Lisätiedot

Mat Tilastollisen analyysin perusteet. Tilastollisten aineistojen kerääminen ja mittaaminen Tilastollisten aineistojen kuvaaminen Väliestimointi

Mat Tilastollisen analyysin perusteet. Tilastollisten aineistojen kerääminen ja mittaaminen Tilastollisten aineistojen kuvaaminen Väliestimointi Mat-2.104 Tilastollisen analyysin perusteet / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Tilastollisten aineistojen kerääminen ja mittaaminen Tilastollisten aineistojen kuvaaminen Väliestimointi Diskreetit muuttujat,

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 11. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 11. lokakuuta 2007 1 / 15 1 Johdantoa tilastotieteeseen Peruskäsitteitä Tilastollisen kuvailun ja päättelyn menetelmiä

Lisätiedot

Geenikartoitusmenetelmät. Kytkentäanalyysin teoriaa. Suurimman uskottavuuden menetelmä ML (maximum likelihood) Uskottavuusfunktio: koko aineisto

Geenikartoitusmenetelmät. Kytkentäanalyysin teoriaa. Suurimman uskottavuuden menetelmä ML (maximum likelihood) Uskottavuusfunktio: koko aineisto Kytkentäanalyysin teoriaa Pyritään selvittämään tiettyyn ominaisuuteen vaikuttavien eenien paikka enomissa Perustavoite: löytää markkerilokus jonka alleelit ja tutkittava ominaisuus (esim. sairaus) periytyvät

Lisätiedot

Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia: Mitä opimme?

Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia: Mitä opimme? TKK (c) Ilkka Mellin (4) Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (4) Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia: Mitä

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat Satunnaismuuttujien muunnosten jakaumat

Lisätiedot

Ongelma: Poikkeaako perusjoukon suhteellinen osuus vertailuarvosta?

Ongelma: Poikkeaako perusjoukon suhteellinen osuus vertailuarvosta? Yhden otoksen suhteellisen osuuden testaus Ongelma: Poikkeaako perusjoukon suhteellinen osuus vertailuarvosta? Hypoteesit H 0 : p = p 0 H 1 : p p 0 tai H 1 : p > p 0 tai H 1 : p < p 0 Suhteellinen osuus

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (005) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia Multinomijakauma Kaksiulotteinen normaalijakauma TKK (c) Ilkka

Lisätiedot

MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Viikko 5 Tilastollisten hypoteesien testaaminen Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto

Lisätiedot

TUTKIMUSAINEISTON ANALYYSI. LTKY012 Timo Törmäkangas

TUTKIMUSAINEISTON ANALYYSI. LTKY012 Timo Törmäkangas TUTKIMUSAINEISTON ANALYYSI LTKY012 Timo Törmäkangas Keskivirheyksiköllä ilmaistuna voidaan erottaa otantajakaumalta kriittisiä kohtia: Keskimmäinen 95 % otoskeskiarvoista välillä [-1.96,+1.96] Keskimmäinen

Lisätiedot