Sormenjälkimenetelmät
|
|
- Tauno Uotila
- 8 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Sormejälkimeetelmät Matti Risteli Semiaariesitelmä T Satuaisalgoritmit Tietotekiika laitos Tekillie korkeakoulu Tiivistelmä Sormejälkimeetelmät ovat satuaisuutta hyväksikäyttäviä algoritmeja, joilla pyritää ratkaisemaa s. ekvivalessiogelmia. Nämä ovat ogelmia, joissa tietojoukkoje A ja B sisällö yhtäläisyyttä halutaa tutkia. Sormejälkimeetelmiä hyödytävät algoritmit voivat olla sekä Mote Carlo että Las Vegas -tyyppisiä. Satuaisalgoritmeilla voidaa pieetää tietojoukkoje vertailussa tarvittava tiedo määrää esim. tilateissa joissa jokaise tavu vertailu ei ole soveltuvaa(suuri tietomäärä hitaa yhteyde päässä toisistaa). Satuaiset sormejälkimeetelmät perustuvat todistajie rusaus -paradigmaa ja iide virhetodeäköisyyttä voidaa parataa helposti. 1 Johdato Tämä semiaarityö käsittelee satuaisuutee perustuvia sormejälkimeetelmiä. Sormejälkimeetelmillä pyritää ratkaisemaa s. ekvivalessiogelmia, joissa kahde tietojouko yhtäläisyys halutaa selvittää tilateissa joissa iide suora vertailu tai kryptografiste tiivisteide laskemie ei ole käytäöllistä esimerkiksi suure datamäärä vuoksi. Tällöi tietojoukkoje suora vertailu sijaa verrataa iide sormejälkiä. Sormejäljet ovat epätarkkoja kuvauksia, joilla alkuperäie tietojoukko esitetää pieemmässä tilassa. Tällä yhtäältä saavutetaa suorituskykyetua mutta toisaalta myös mahdollistetaa virheelliset päätelmät. Sormejälkimeetelmät voidaa ähdä yleisesti todistajie rusaus -paradigma erityistapauksea, joka virhetodeäköisyyttä voidaa pieetää amplifioimalla. Sormejälkimeetelmiä voidaa käyttää hyväksi sekä Las Vegas että Mote Carlo -algoritmeissa. Teksti perustuu Juraj Hromcovici kirjaa Desig ad Aalysis of Radomized Algorithms [1] ja mukailee pääpiirteissää kirja Figerpritig-luvu sisältöä. Aluksi esittele mitä ekvivalessiogelmalla tarkoitetaa ja mite sormejälkimeetelmät periaatteellisella tasolla toimivat. Se jälkee käydää läpi sekä Las Vegas että Mote Carlo -algoritmejä käyttävät esimerkkiogelmat ja lopuksi iide käytäö sovelluksia. 1
2 2 Ekvivalessiogelmista Ekvivalessiogelma o ogelma, joka muodostuu kahdesta tietojoukosta, joide yhtäläisyys halutaa selvittää. Yksikertaisilla tietojoukoilla tämä voidaa tehdä helposti vertailemalla tietoja toisiisa suoraa, mutta usei se ei ole soveltuvaa joko suure tietomäärä tai vertailu vaikeude aiheuttamie suorituskykyogelmie vuoksi. Yksikertaie esimerkki tällaisesta ogelmasta o polyomie ekvivalessi ts. mite ratkaista oko esimerkiksi polyomit (x 1)(x 2 + 4) ja x 3 + 4x 4 toistesa eri esitysmuotoja. Normaali lähestymistapa olisi tietysti johtaa molemmat polyomit jokilaisee ormaalimuotoo ja tarkistaa jokaise termi yhtäläisyys eriksee. Tämä ei kuitekaa moimutkaisemmissa tapauksissa ole järkevää, koska sekä vertailu että se valmistelut ovat hitaita. Sormejälkimeetelmällä tehty tarkistus o opeampi ja virhetodeäköisyys o joko hyvi piei tai virhettä ei ole ollekaa. Polyomiesimerki tapauksessa sormejälkimeetelmii perustuva tarkistus evaluoisi molemmat polyomit samalla syötteellä ja tutkisi vastauste yhtäsuuruutta. Virhetodeäköisyys olisi tässä tapauksessa yhtälö asteesta riippuva mutta tuettu. 3 Sormejälkimeetelmät Sormejälkimeetelmä voidaa ajatella todistajie joukkoa, joide avulla voidaa kuvata lähdetietojouko moimutkaise esitykse helpommi vertailtavaksi sormejäljeksi. Polyomiesimerkissä todistajia ovat satuaisesti valitut x: arvot ja sormejälkiä polyomeille valittuje x: arvoje perusteella saadut arvot. Triviaalisti voidaa saoa että x: arvo 0 o huoo todistaja. Yleisesti hyvä sormejälkimeetelmä täyttää seuraavat vaatimukset: Sormejälkie tulee olla tarpeeksi yksikertaisia ja pieiä että iitä voidaa vertailla tehokkaasti. Tämä saavuttamiseksi sormejälki saa olla jopa epätäydellie esitys alkuperäisestä tietojoukosta. Sormejälje tulee sisältää mahdollisimma paljo oleaista iformaatiota alkuperäisestä tietojoukosta. Yleisemmi sormejälkimeetelmää voidaa kuvata joukkoa M, joka jokaie alkio o fuktio, joka tuottaa tietojouko täydellisestä kuvauksesta sitä vastaava sormejälje. Yksittäisessä tapauksessa ogelmaa o löytää M, joka tarpeeksi moi fuktio f tuottaa kuvaukse, jolla erilaisille tietojoukoille O 1 ja O 2 pätee f(o 1 ) f(o 2 ). Tästä johtue sormejälkimeetelmä oki todistajie rusaus -meetelmä erityistapaus. Joukko M voidaa ajatella joukoksi todistajakadidaatteja, joilla pyritää todistamaa että O 1 O 2 ja h M yksittäiseksi todistajaksi sille että O 1 O 2, jos h(o 1 ) h(o 2 ). 3.1 Sormejälkimeetelmä toimita Tarkoitus o selvittää kahde suure tietojouko O 1 ja O 2 ekvivalessi. Sormejälkii perustuva ekvivalessitarkistus eteee seuraavasti: 2
3 1. Tuetaa joukko M, joka sisältää fuktioita, joista jokaie kuvaa tietojouko täydellise sisällö pieempää tilaa. Valitaa tästä joukosta yksi fuktio h satuaisesti. 2. Lasketaa h(o 1 ) ja h(o 2 ), h(o i ):tä kutsutaa O i : sormejäljeksi, i = 1,2 3. Verrataa h(o 1 ): ja h(o 2 ): arvoja. Jos h(o 1 ) = h(o 2 ), ovat O 1 ja O 2 ekvivaletit. Sormejälkimeetelmä suuittelussa oleaista o oikea jouko M löytämie. Yhtäältä tavoiteltavaa o että käytetyt meetelmät tuottavat mahdollisimma uiiki sormejälje ja täte M sisältää paljo todistajiksi sopivia kadidaatteja, toisaalta sormejälje täytyy olla mahdollisimma piei jotta sitä voidaa vertailla tehokkaasti. Nämä tavoitteet ovat selkeästi ristiriidassa, jote soveltuva kompromissi löytämie o tärkeää. 4 Esimerkkiogelmia Tässä kappaleessa kuvataa aluksi kaksi läheisesti toisiisa liittyvää ogelmaa ja iihi Mote Carlo -tyyppisee algoritmii perustuvat ratkaisut, jotka sallivat site pieellä todeäköisyydellä myös virhepäätelmät. Toisee ogelmatyyppii esitä Las Vegas -algoritmi, joka suorituksessa sormejälkiä käytetää hyväksi ilma virhee mahdollisuutta. Molemmat algoritmit käyttävät hyväksee samatyyppisiä sormejälkiä, mutta ovat silti hyvi erityyppiset. 4.1 Tietoliikee Tutkitaa skeaarioita, joissa kahde tietokoee, R 1 ja R 2, muistie sisältöä halutaa vertailla tehokkaasti. Koska tarkoitus o esitellä sormejälkimeetelmiä oletetaa, että jokaisessa ogelmassa tietokoeet ovat ii kaukaa, joko fyysisesti kaukaa tai muute vaa hitaa yhteyde päässä, toisistaa, ettei muistie sisällö suora vertailu ole tehokasta. Tästä syystä algoritmie tehokkuus mitataa iide siirtämä tiedo perusteella. Esimmäisessä tapauksessa halutaa tutkia oko tietokoee R 1 sisältämä bittijoo x {0,1} sama kui tietokoee R 2 sisältämä bittijoo y {0,1}. Determiistie algoritmi lähettäisi data kooaisuudessaa toiselta koeelta toiselle, mikä jälkee vertailu tehtäisii saa(word) kerrallaa. Lisäksi siirrety tiedo eheys aiheuttaa lisäkustauksia. Merkitää bittijooja x = x 1 x 2 x 3...x ja y = y 1 y 2 y 3... y, x i,y i 0,1, i = 1,...,. Number(x) tarkoittaa bittijoo x kymmekataista lukutulkitaa. Mahdolliste todistajie joukoksi otetaa kaikki alkuluvut < 2, merkitää tätä joukkoa Prim( 2 ). Sormejälkialgoritmi toimii seuraavasti 1. R 1 valitsee sormejälje geeroitia varte luvu p Prim( 2 ) 2. R 1 laskee valitu luvu avulla s = Number(x) mod p ja lähettää sekä s: että p: R 2 :lle 3
4 3. R 2 vastaaottaa s: ja p: ja laskee q = Number(y) mod p Jos q = s, todetaa että x = y, muute x y. Algoritmi toimia kaalta oleaista ovat siirrety tiedo määrä ja algoritmi virhetodeäköisyys. Tiedo määrästä tiedetää, että s p < 2. Tästä seuraa että s tai p vie maksimissaa log 2 2 bittiä, jote koko viesti pituudeksi tulee 2 log log 2. Jos = saadaa siirrettävä tiedo määräksi 4 16 log 2 10 = 256 bittiä, joka o huomattava väheys bittii ähde. Virhetodeäköisyyde arvioitia varte jaetaa kaikki p: mahdolliset arvot(alkuluvut jotka ovat pieempiä kui 2, merkitää Prim( 2 )) kahtee joukkoo, iihi jotka aiheuttavat virhee ja iihi jotka eivät). Koska jokaise p Prim( 2 ) valitatodeäköisyys o sama o virhetodeäköisyys huootluvutprim( 2 ) : ssa Prim( 2. ) Alkulukuteoreema perusteella tiedetää, että Prim( 2 ) > 2 2 l. Bad(2 ): maksimiarvoksi voidaa l 2 äyttää 1. Tästä saadaa, että kuvatu algoritmi virhetodeäköisyys o. Tapuksessa = 10 16, virhetodeäköisyydeksi saadaa 0, , mikä ei ole todellie riski. Toie tapaus o laajeettu esimmäisestä. Tässä koee R 1 muistissa o bittijoo x {0,1}. Toise koee R 2 muistissa o bittijoojoukko U = {u 1,u 2,u 3,...,u k },u i {0,1},i = 1,...,k. Halutaa selvittää kuuluuko joo x joukkoo U. Determiistisellä algoritmillä aioa tapa olisi lähettää joo x kokoaisuudessaa koeelle R 2, joka se jälkee vertaisi x:ää jokaisee U: alkioo. Satuaisalgoritmi PSet eteee esimmäisessä tapauksessa kuvatu mukaisesti mutta R 2 laskee p: avulla q i = Number(u i ) mod p, i = 1,...,k, mikä jälkee jos s {q 1,q 2,...,q k } todetaa että x U, muute x U. Kuvatu protokolla vaatima tiedosiirto o triviaalisti sama kui aiemmassa esimerkissä(4 log 2 ), jote tutkitaa järjestelmä virhetodeäköisyyttä. Tilae jaetaa kahtee tapauksee Jos x U, tiedetää että o olemassa j {1,...,k} jolla x = u j ts. Number(x) = Number(u j ) mod m, jote algoritmi toimii varmasti ku x U. Jos x U, merkitää A i sitä tapausta ku ja Number(x) mod p = Number(u i ) mod p,i = 1,...,k A = k i=1 A i, joka o tapaus, jossa PSet tuottaa väärä vastaukse x U. Aiemma esimerki perusteella tiedetää, että ja täte P(A i ) 1 Prim(2) 2 l, kaikille i {1,...,k}. 4
5 josta seuraa että V irhet PSet (x,u) = V irhet PSet (x,u) 1 2, ku k P(A) = P( k i=1a i ) Σ k i=1p(a i ) Σ k 2 l i=1 = k 2 l, 4 l. Täte PSet o yksipuolise virhee(oe-sided error) Mote Carlo -algoritmi, joka tarkistaa kuuluuko x joukkoo U, ku k 4 l. Molemmissa kuvatuissa ogelmissa algoritmi virhetodeäköisyyttä voidaa pieetää käyttämällä useampaa alkulukua todistajaa. Lisäksi voidaa äyttää, että virhee aiheuttavie alkulukuje määrä o aia maksimissaa 1, jote virheelliste ja hyvie alkulukuje suhdetta voidaa parataa myös kasvattamalla joukkoa, josta alkulukuja valitaa. Algoritmia voidaa amplifioida jopa ii että hyötyje katoamatta algoritmi virhetodeäköisyys saadaa ii pieeksi että muista syistä(rautavika, luoo katastrofi tms.) johtuvie virheide todeäköisyys o suurempi. 4.2 Alimerkkijoo-ogelma Hahmotuistus(patter matchig) o yksi yleisimmistä tekstikäsittelyy ja algoritmeihi liittyvistä ogelmista. Sillä o myös käytäö sovellutuksia yleisesti molekyylibiologiassa. Hahmotuistamise perusteella voidaa jaotella asioita eri kategorioihi tai tehdä hakuja tietojoukosta. Tässä kappaleessa kuvataa sormejälkiä käyttävä tapa tuistaa alimerkkijooja tehokkaasti. Aluksi tuetaa merkkijoo x = x 1 x 2 x 3...x ja teksti y = y 1 y 2...y m aakkostossa Σ(ts. x i Σ, i = 1,..., ja y j Σ, j = 1,...,m). Halutaa selvittää sisältääkö y merkkijoo x. Lisäksi, mikäli x o y: alimerkkijoo, halutaa tietää myös piei ideksi r, jolla x 1 x 2...x = y r y r+1...y r+ 1. Selvyyde vuoksi tässä esimerkissä valitaa aakkostoksi Σ = {0,1}. Jokaiselle k {1,...,m 1} ja r 1,...,m k + 1 merkitä y(r,k) = y r y r+1... y r+k 1 tarkoittaa sitä k-pituista alimerkkijooa, joka alkaa ideksistä r. Aetuille x = x 1 x 2... x ja y = y 1 y 2... y m yksikertaie determiistie algoritmi vertaa x:ää jokaisee y(r,):ää, r = 1, 2,..., m +1. Yksikertaie, jokaise merki vertailuu vasemmalta oikealle perustuva algoritmi suorittaa O( + m) operaatiota etsiessää x:ää y:stä. Alla esitellää sormejälkiä hyväksikäyttävä algoritmi, joka suoriutuu tehtävästä opeammi. Algoritmi suorittamista varte määritellää fuktio f : N N N, joka arvoa pieempiä alkulukuja algoritmissa käytetää. STRING(f)-algoritmi eteee seuraavasti 5
6 1. Valitaa satuaisesti alkuluku p joukosta P rim(f(, m)). 2. Lasketaa Figer p (x) = Number(X) mod p 3. Lasketaa järjestyksessä Figer p (y(r,)) = Number(y(r,)) mod p ja verrataa Figer p (y(r,)):ää Figer p (x):he, kaikille r {1,2,...,m + 1}.. Jos Figer p (y(r,)) = Figer p (x), verrataa x:ää y(r,):ää. Jokaiselle j {1,2,...,m + 1}, jolle pätee Figer p (y(j,)) = Figer p (x), tarkistetaa vielä että x vastaa oikeasti y(j, ):ää. Jos y(j, ) = x, algoritmi palauttaa j: pieimmäksi ideksiksi josta merkkijoo x löytyi. Muussa tapauksessa jatketaa vertailua Figer r (y(j + 1,)):ästä. Yllä esitelty algoritmi o Las Vegas -tyyppie, koska kaikki osumat tarkistetaa vielä alkuperäisiä merkkijooja käyttäe, mikä estää virheelliste osumie palauttamise. Algoritmi aikakompleksisuutta tutkitaa seuraavaksi. Triviaalisti Figer p (x) tai Figer p (1,) vie aikaa O(). Kaikki sormejäljet Figer p (y(r,)), ku r = 1,...,m + 1 voidaa laskea ajassa O(m). Tämä pitää paikkasa koska valitusta aakkostosta johtue Number(y(r + 1,)) = 2 [Number(y(r,)) 2 1 y r ] + y r+ ja tästä johtue sormejälki Figer p (y(r + 1,)) voidaa laskea Figer p (y(r + 1,)) = (2 [Figer p (y(r,)) (2 1 y r ) mod p] + y r+ ) mod p. Myös millä tahasa muulla aakkostolla voidaa alimerkkijooje lukuarvot laskea edellise alimerkkijoo arvo avulla. Tutkitaa tapaukse, jossa y ei sisällä alimerkkijooa x:ää, aikavaatimukse ylärajaa. Merkitää A r sitä tapausta, jossa silti Figer p (x) = Figer p (y(r,)). Edellisestä kappaleesta tiedetää että virheellise sormejälje todeäköisyys o P(A r ) Täte STRING(f)-algoritmi aikavaatimus o 1 Prim(f(,m)) lf(,m) f(,m) O(m) + Σ m +1 r=1 (1 + Prob(A r ) ), O(m)-ajassa saadaa laskettua Figer p (x) ja kaikki Figer p (y(r,)): arvot. O(m) + m 2 l f(,m) f(,m) Jos valitaa f(,m) = 2 m l( 2 m), saadaa Aikavaatimus STRING( 2 m l( 2 m))(x,y) O(m) Tilatee, jossa x löytyy y:stä aikavaatimus o pieempi, koska algoritmi suoritus loppuu tällöi aiemmi. 6
7 5 Käytäö sovelluksia Yllä kuvatut esimerkit ovat luoteeltaa hyvi teoreettisia, jote tässä kuvaa muutamia käytäö sovelluksia, missä sormejälkitekiikoista o hyötyä. Useat sormejälkitekiikoide käytäö sovellukset perustuvat Las Vegas -algoritmeihi, joissa jotai vaikeaa hakua opeutetaa filtteröimällä tietoa alimerkkijooesimerki(ks. 4.2) tapaisesti ja hakemalla tästä suppeammasta joukosta osumia tehokkaasti. Tällaisia ogelmia o usei esimerkiksi tekstikäsittelyssä. Mote Carlo -tyyppie esimerkki esitetää Idetifyig redudacy i source code usig figerprits -kofferessipaperissa[2] tapa käyttää sormejälkiä toisteisuude tutkimisee isossa lähdekoodimäärässä. Tämäki meetelmä perustuu osittai kappaleessa 4.2 esitety alimerkkijooogelma ratkaisuu. Tässä tapauksessa lähdekoodeista geeroidaa sormejäljet vastaavasti kui alimerkkijooesimerki tekstistä y. Toisi kui alimerkkijooesimerkissä tässä käytettyje alimerkkijooje pituus o joki rivimäärä lähdetiedostoissa, mikä aiheuttaa se että eri kohdissa syötettä sormejälki geeroidaa eri pituisista merkkijooista. Koska tietoa o huomattava määrä sormejälkie geeroimiseki jälkee, poimitaa kaikista geeroiduista sormejäljistä e, jotka kattavat pisimmät merkkijoot, kuvaamaa kaikkia merkkijooja, jotka sisältyvät sormejälkee. Jäljelle jääeistä sormejäljistä poistetaa vielä e jotka esiityvät vai kerra, sekä yhdistetää peräkkäiset sormejäljet, jotka esiityvät joka paikassa samalla tavalla peräkkäi. Nyt jäljelle jääeide sormejälkie perusteella voidaa tutkia mahdollisia toisteisuus tarkemmi. 6 Yhteeveto Sormejälkimeetelmiä voidaa käyttää hyväksi tietytyyppisissä päätösogelmissa. Sormejälkie tarkoituksea o kuvata iso tietojoukko pieempää tilaa, site että sormejälkie perusteella tehty vertailu o tehokkaampaa. Sormejälkitekiikoide käyttötapoja o sekä Mote Carlo -tyyppisissä että Las Vegas -tyyppisissä algoritmeissa. Mote Carlo -algoritmeissa ogelma ratkaisu perustuu suoraa tietojoukoista tuotettuu sormejälkee, mikä sormejälje omiaisuuksie vuoksi aiheuttaa virheitä tietyllä todeäköisyydellä. Usei kuiteki virhetodeäköisyys o ii piei(tai voidaa amplifioimalla saattaa hyvi pieeksi), että sitä ei tarvitse ottaa huomioo. Toie tapa käyttää sormejälkiä o käyttää iitä tiedo filtteröitii jolloi tarkempi vertailu voidaa tehdä sille tietojoukolle, joka sormejälki vastaa toista vertailtavaa. Tässä tapauksessa virheitä ei tule ja täte algoritmi o Las Vegas -tyyppie, mutta filtteröiti vähetää silti vaadittavie vertailuje määrää ja site tehostaa ogelma ratkaisua. 7
8 Viitteet [1] Juraj Hromkovic. Desig Ad Aalysis of Radomized Algorithms, Itroductio to Desig Paradigms, chapter 4. Spriger, [2] J. Howard Johso. Idetifyig redudacy i source code usig figerprits,
Tilastolliset menetelmät: Tilastolliset testit
Tilastolliset meetelmät Tilastolliset testit Tilastolliset meetelmät: Tilastolliset testit 8. Tilastollie testaus 9. Testejä suhdeasteikollisille muuttujille. Testejä järjestysasteikollisille muuttujille.
Lisätiedot4.3 Signaalin autokorrelaatio
5 4.3 Sigaali autokorrelaatio Sigaali autokorrelaatio kertoo kuika paljo sigaali eri illä korreloi itsesä kassa (josta imiki). Se o Fourier-muuokse ohella yksi käyttökelpoisimmista sigaalie aalysoitimeetelmistä.
Lisätiedotn = 100 x = 0.6 99%:n luottamusväli µ:lle Vastaus:
1. Tietyllä koeella valmistettavie tiivisterekaide halkaisija keskihajoa tiedetää oleva 0.04 tuumaa. Kyseisellä koeella valmistettuje 100 rekaa halkaisijoide keskiarvo oli 0.60 tuumaa. Määrää 95%: ja 99%:
Lisätiedot( ) k 1 = a b. b 1) Binomikertoimen määritelmän mukaan yhtälön vasen puoli kertoo kuinka monta erilaista b-osajoukkoa on a-joukolla.
Kombiatoriikka, kesä 2010 Harjoitus 2 Ratkaisuehdotuksia (RT) (5 sivua) Käytä tehtävissä 1-3 kombiatorista päättelyä. 1. Osoita, että kaikilla 0 b a pätee ( ) a a ( ) k 1 b b 1 kb Biomikertoime määritelmä
Lisätiedot3 10 ei ole rationaaliluku.
Harjoitukset / 011 RATKAISUT Lukuteoria 1. Etsi Eratostheee seulalla samatie kaikki lukua 400 pieemmät alkuluvut. (Tai ohjelmoi tietokoeesi etsimää paljo lisää.) Kirjoita rivii kaikki luvut 1-00. Poista
LisätiedotEpäyhtälöoppia matematiikkaolympialaisten tehtäviin
Epäyhtälöoppia matematiikkaolympialaiste tehtävii Jari Lappalaie ja Ae-Maria Ervall-Hytöe 0 Johdato Epäyhtälöitä reaaliluvuille Cauchy epäyhtälö Kaikille reaaliluvuille a, a,, a ja b, b,, b pätee Cauchy
LisätiedotKertaa tarvittaessa induktiota ja rekursiota koskevia tietoja.
MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Aalyysi I Harjoitus 5. 0. 2009 alkavalle viikolle Ratkaisuehdotuksia ( sivua) (Rami Luisto) Laskuharjoituksista saa pistettä, jos laskettu vähitää 50 tehtävää; 3 pistettä,
Lisätiedot2. Mittaus ja data 2.1. Johdanto. 2.2. Mittaustyypit
2. Mittaus ja data 2.. Johdato Voidaksemme keksiä tosimaailma relaatioita tarkastelemme sitä kuvaavaa dataa, jote esiksi selvitämme, mitä data perimmiltää o. Data kerätää kuvaamalla mielekiitoaluee oliot
Lisätiedot811312A Tietorakenteet ja algoritmit, , Harjoitus 4, Ratkaisu
81112A Tietoraketeet ja algoritmit, 217-218, Harjoitus 4, Ratkaisu Harjoitukse aiheita ovat algoritmie aikakompleksisuus ja lajittelualgoritmit Tehtävä 4.1 Selvitä seuraavie rekursioyhtälöide ratkaisuje
LisätiedotBloom-filtterit. Juho Mäkinen jvmakine(at)cs.hut.fi
Bloom-filtterit Juho Mäkie jvmakie(at)cs.hut.fi Semiaariesitelmä 9.4.2008 T-106.5800 Satuaisalgoritmit Tietotekiika laitos Tekillie korkeakoulu Tiivistelmä Bloom-filtteri o probabilistie tietorakee, joho
LisätiedotSMG-4200 Sähkömagneettisten järjestelmien lämmönsiirto Ehdotukset harjoituksen 6 ratkaisuiksi
SMG-400 Sähkömageettiste järjestelmie lämmösiirto Ehdotukset harjoitukse 6 ratkaisuiksi Tarkastellaa suljetu järjestelmä tehotasaaioa joka o P + P P = P i g out st Oletetaa että verkotetussa alueessa jossa
LisätiedotMat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku. Tilastolliset testit. Avainsanat:
Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A 0. harjoituket Mat-.09 Sovellettu todeäköiyylaku 0. harjoituket / Ratkaiut Aiheet: Avaiaat: Tilatolliet tetit Aritmeettie kekiarvo, Beroulli-jakauma, F-jakauma, F-teti,
Lisätiedot2.5. Eksponenttifunktio ja eksponenttiyhtälöt
Eksoettifuktio ja -htälöt Eksoettifuktio ja eksoettihtälöt Ku otessi käsitettä laajeetaa sallimalla eksoetille muitaki arvoja kui kokoaislukuja, tämä taahtuu ii, että ii saotut otessikaavat ovat voimassa,
LisätiedotSolmu 3/2010 1. toteutuu kaikilla u,v I ja λ ]0,1[. Se on aidosti konveksi, jos. f ( λu+(1 λ)v ) < λf(u)+(1 λ)f(v) (2)
Solmu 3/200 Epäyhtälöistä, osa 2 Markku Halmetoja Mätä lukio Välillä I määriteltyä fuktiota saotaa koveksiksi, jos se kuvaaja o alaspäi kupera, eli jos kuvaaja mitkä tahasa kaksi pistettä yhdistävä jaa
Lisätiedot811312A Tietorakenteet ja algoritmit , Harjoitus 1 ratkaisu
83A Tietoraketeet ja algoritmit 06-07, Harjoitus ratkaisu Harjoitukse aiheea o algoritmie oikeellisuus. Tehtävä. Kahvipurkkiogelma. Kahvipurkissa P o valkoisia ja mustia kahvipapuja, yhteesä vähitää kaksi
Lisätiedotja läpäisyaika lasketaan (esim) integraalilla (5.3.1), missä nyt reitti s on z-akselilla:
10 a) Valo opeus levyssä o vakio v 0 = c / 0, jote ajaksi matkalla L laskemme L t0 = = 0 L. v0 c b) Valo opeus levyssä riippuu z:sta: c c v ( z) = = ( z ) 0 (1 + 3az 3 ) ja läpäisyaika lasketaa (esim)
LisätiedotKuluttajahintaindeksi (KHI) Kuluttajahintaindeksi (KHI) Kysymys Miten mitata rahan arvon muutoksia?
Kuluttajahitaideksi (KHI) Kysymys Mite mitata raha arvo muutoksia? Kuluttajahitaideksi (KHI) o sovittu kulutustavaroide ja palveluide hitakehitykse mittari. KHI muodostetaa paiotettua keskiarvoa eri pääryhmie
LisätiedotTehtäviä neliöiden ei-negatiivisuudesta
Tehtäviä epäyhtälöistä Tehtäviä eliöide ei-egatiivisuudesta. Olkoo a R. Osoita, että 4a 4a. Ratkaisu. 4a 4a a) a 0 a ) 0.. Olkoot a,, R. Osoita, että a a a. Ratkaisu. Kerrotaa molemmat puolet kahdella:
LisätiedotTILASTOT: johdantoa ja käsitteitä
TILASTOT: johdatoa ja käsitteitä TOD.NÄK JA TILASTOT, MAA10 Tilastotietee tehtävää o esittää ja tulkita tutkimuskohteesee liittyvää havaitoaieistoa eli tilastoaieistoa. Tutkitaa valittua joukkoa ja se
LisätiedotHarjoitustehtävien ratkaisuja
3. Mallitamie lukujooje avulla Lukujoo määritelmä harjoituksia Harjoitustehtävie ratkaisuja 3. Laske lukujoo viisi esimmäistä jäsetä, ku a) a 6 ja b) a 6 ja 3 8 c) a ja 3 a) 6,, 8, 4, 30. b) 8,, 6, 0,
LisätiedotBM20A Integraalimuunnokset Harjoitus 8
(b)...(d) eve + eve = eve eve eve = eve BM2A57 - Itegraalimuuokset Harjoitus 8. Vastaa jokaisessa kohdassa seuraavii kysymyksii: Oko fuktio parillie? Oko fuktio parito? Huomaatko polyomie kohdalla hyvi
Lisätiedot2 avulla. Derivaatta on nolla, kun. g( 3) = ( 3) 2 ( 3) 5 ( 3) + 6 ( 3) = 72 > 0. x =
TAMMI PYRAMIDI NUMEERISIA JA ALGEBRALLISIA MENETELMIÄ PARITTOMAT RATKAISUT 7 Tiedosto vai hekilökohtaisee käyttöö. Kaikelaie sisällö kopioiti kielletty. a) g( ) = 5 + 6 Koska g o eljäe astee polyomi, ii
Lisätiedot4.7 Todennäköisyysjakaumia
MAB5: Todeäöisyyde lähtöohdat.7 Todeäöisyysjaaumia Luvussa 3 Tuusluvut perehdyimme jo jaauma äsitteesee yleesä ja ormaalijaaumaa vähä taremmi. Lähdetää yt tutustumaa biomijaaumaa ja otetaa se jälee ormaalijaauma
Lisätiedot= true C = true) θ i2. = true C = false) Näiden arvot löydetään kuten edellä Kun verkko on opetettu, niin havainto [x 1
35 Naiivi Bayes Luokkamuuttua C o Bayes-verko uuri a attribuutit X i ovat se lehtiä Naiivi oletus o, että attribuutit ovat ehdollisesti riippumattomia toisistaa aettua luokka Ku käytössä o Boole muuttuat,
Lisätiedot3.2 Polynomifunktion kulku. Lokaaliset ääriarvot
3. Polyomifuktio kulku. Lokaaliset ääriarvot Tähäastiste opitoje perusteella osataa piirtää esiasteise polyomifuktio kuvaaja, suora, ku se yhtälö o aettu. Osataa myös pääpiirtei hahmotella toise astee
LisätiedotT Datasta tietoon, syksy 2005 Laskuharjoitus 8.12., ratkaisuja Jouni Seppänen
T-1.1 Datasta tietoo, syksy 5 Laskuharjoitus.1., ratkaisuja Joui Seppäe 1. Simuloidaa tasoittaista algoritmia. Esimmäisessä vaiheessa ehdokkaia ovat kaikki yhde muuttuja joukot {a}, {b}, {c} ja {d}. Aaltosulkeide
Lisätiedot5.3 Matriisin kääntäminen adjungaatilla
Vaasa yliopisto julkaisuja 08 Sec:MatIvAdj 53 Matriisi käätämie adjugaatilla Määritelmä 3 -matriisi A adjugaatti o -matriisi adj(a) (α i j ), missä α i j ( ) i+ j det(a ji ) (, joka o siis alkioo a ji
LisätiedotStokastiikan perusteet Harjoitukset 1 (Todennäköisyysavaruus, -mitta ja -funktio) 2.11.2015
Stokastiika perusteet Harjoitukset (Todeäköisyysavaruus, -mitta ja -fuktio) 2..205. Määritä potessijoukko 2,ku (a) {0, } (b) {(0, ]} ja ku (c) (0, ]. Ratkaisu: (a) 2 {;, {0}, {}, {0, }} (b) 2 {;, {(0,
LisätiedotKompleksiluvut. Johdanto
Kompleksiluvut Johdato Tuomo Pirie tuomo.pirie@tut.fi Aikoje kuluessa o matematiikassa kohdattu tilateita, jolloi käytetyt määrittelyt ja rajoitukset (esimerkiksi käytetyt lukujoukot) eivät ole olleet
LisätiedotTehtävä 1. Voidaanko seuraavat luvut esittää kahden neliön summina? Jos voidaan, niin kuinka monella eri tavalla? (i) n = 145 (ii) n = 770.
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 07) HARJOITUS 0, MALLIRATKAISUT Tehtävä. Voidaako seuraavat luvut esittää kahde eliö summia? Jos voidaa, ii kuika moella eri tavalla? (i) = 45 (ii) = 770. Ratkaisu. (i) Jaetaa
LisätiedotMATA172 Sami Yrjänheikki Harjoitus Totta vai Tarua? Lyhyt perustelu tai vastaesimerkki!
MATA17 Sami Yrjäheikki Harjoitus 7 1.1.018 Tehtävä 1 Totta vai Tarua? Lyhyt perustelu tai vastaesimerkki! (a) Jokaie jatkuva fuktio f : R R o tasaisesti jatkuva. (b) Jokaie jatkuva fuktio f : [0, 1[ R
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteesee Yhde selittää lieaarie regressiomalli TKK (c) Ilkka Melli (2005) Yhde selittää lieaarie regressiomalli Yhde selittää lieaarie regressiomalli a sitä koskevat oletukset Yhde selittää
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiika tukikurssi Kurssikerta 3 1 Lisää iduktiota Jatketaa iduktio tarkastelua esimerki avulla. Yritetää löytää kaava : esimmäise (positiivise) parittoma luvu summalle eli summalle 1 + 3 + 5 + 7 +...
LisätiedotMS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Luennot, osa II
Otokset MS-A050 Todeäköisyyslaskea ja tilastotietee peruskurssi Lueot, osa II Kaksi hyödyllista jakaumaa 3 Estimoiti G. Gripeberg 4 Luottamusvälit Aalto-yliopisto. helmikuuta 05 5 Hypoteesie testaus 6
LisätiedotOtantajakauma. Otantajakauman käyttö päättelyssä. Otantajakauman käyttö päättelyssä
Otatajakauma kuvaa tarkasteltava parametri jakauma eri otoksista laskettua parametria o joki yleesä tuusluku, esim. keskiarvo, suhteellie osuus, riskisuhde, korrelaatiokerroi, regressiokerroi, je. parametria
Lisätiedot****************************************************************** ****************************************************************** 7 Esim.
8.3. Kombiaatiot MÄÄRITELMÄ 6 Merkitä k, joka luetaa yli k:, tarkoittaa lause- ketta k = k! ( k)! 6 3 2 1 6 Esim. 1 3 3! = = = = 3! ( 3)! 3 2 1 3 2 1 3 2 1 Laskimesta löydät äppäime, jolla kertomia voi
LisätiedotRyhmän osajoukon generoima aliryhmä ja vapaat ryhmät
Ryhmä osajouko geeroima aliryhmä ja vapaat ryhmät LuK-tutkielma Joose Heioe Matemaattiste tieteide tutkito-ohjelma Oulu yliopisto Kevät 2017 Sisältö Johdato 2 1 Ryhmät ja aliryhmät 2 1.1 Ryhmä.................................
LisätiedotTilastollinen todennäköisyys
Tilastollie todeäköisyys TOD.NÄK JA TILASTOT, MAA10 Klassisessa todeäköisyydessä oli ehdot: äärellisyys ja symmetrisyys. Tämä tilae o usei mahdoto ts. alkeistapauksia o usei ääretö määrä tai e eivät ole
LisätiedotLASKENNALLISEN TIETEEN ERIKOISKURSSI kl 2000
LASKENNALLISEN TIETEEN ERIKOISKURSSI kl 2000 Laskuharjoitus Detaljibalassi Osoita, että siirtymätodeäköisyydet π m α m ; ρ, m ρ α m ----- ; ρ < ρ, m m π m, m m ja π m ρ α m ------------------ ρ +, m π
LisätiedotRATKAISUT x 2 3 = x 2 + 2x + 1, eli 2x 2 2x 4 = 0, joka on yhtäpitävä yhtälön x 2 x 2 = 0. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla saadaan
RATKAISUT 8 17 8 a) Paraabelie y x ja y x + x + 1 leikkauspisteet saadaa määritettyä, ku esi ratkaistaa yhtälö x x + x + 1, eli x x, joka o yhtäpitävä yhtälö x x. Toise astee yhtälö ratkaisukaavalla saadaa
LisätiedotValvontakortit. Sovelletun Matematiikan Erikoistyö. Pastinen Tommi 23.4.2010
Valvotakortit Sovelletu Matematiika Erikoistyö Pastie Tommi 3.4. Tässä työssä perehdytää valvotakortteihi tilastollisessa laaduvalvoassa perusteoria ja esimerkkitapauste kautta. Sisältö Johdato... 3 Tilastollisesta
Lisätiedot811312A Tietorakenteet ja algoritmit, , Harjoitus 3, Ratkaisu
111A Tietoraketeet ja algoritmit, 016-017, Harjoitus, Ratkaisu Harjoitukse aiheita ovat algoritmie aikakompleksisuus ja lajittelualgoritmit Tehtävä.1 Selvitä seuraavie rekursioyhtälöide ratkaisuje kompleksisuusluokat
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Otos ja otosjakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus tilastotieteesee Otos ja otosjakaumat TKK (c) Ilkka Melli (004) 1 Otos ja otosjakaumat Yksikertaie satuaisotos Otostuusluvut ja otosjakaumat Aritmeettise keskiarvo otosjakauma Otosvariassi otosjakauma
LisätiedotSatunnaisalgoritmit. Topi Paavilainen. Laskennan teorian opintopiiri HELSINGIN YLIOPISTO Tietojenkäsittelytieteen laitos
Satunnaisalgoritmit Topi Paavilainen Laskennan teorian opintopiiri HELSINGIN YLIOPISTO Tietojenkäsittelytieteen laitos Helsinki, 23. helmikuuta 2014 1 Johdanto Satunnaisalgoritmit ovat algoritmeja, joiden
Lisätiedot1 Eksponenttifunktion määritelmä
Ekspoettifuktio määritelmä Selvitimme aikaisemmi tällä kurssilla, millaie potessisarja säilyy derivoiissa muuttumattomaa. Se perusteella määritellää: Määritelmä. Ekspoettifuktio exp : R R määritellää lausekkeella
Lisätiedot811312A Tietorakenteet ja algoritmit II Algoritmien analyysi
811312A Tietoraketeet ja algoritmit 2016-2017 II Algoritmie aalyysi Sisältö 1. Algoritmie oikeellisuus 2. Algoritmie suorituskyvy aalyysi 3. Master Theorem 811312A TRA, Algoritmie aalyysi 2 II.1. Algoritmie
LisätiedotKombinatoriikka. Iiro Honkala 2015
Kombiatoriikka Iiro Hokala 2015 Sisällysluettelo 1. Haoi torit 1 2. Lokeroperiaate 3 3. Tuloperiaate 3 4. Permutaatioista ja kombiaatioista 4 5. Toistokombiaatioista 5 6. Biomikertoimista 5 7. Multiomikertoimista
LisätiedotMATP153 Approbatur 1B Harjoitus 1, ratkaisut Maanantai
MATP53 Approbatur B Harjoitus, ratkaisut Maaatai..05. (Lämmittelytehtävä.) Oletetaa, että op = 7 tutia työtä. Kuika mota tutia Oili Opiskelija työsketelee itseäisesti kurssilla, joka laajuus o 4 op, ku
LisätiedotDiskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuja viikolle 4. ( ) Jeremias Berg. n(n + 1) 2. k =
Diskreeti Matematiika Paja Ratkaisuja viikolle 4. (7.4-8.4) Jeremias Berg. Osoita iduktiolla että k = ( + ) Ratkaisu: Kute kaikissa iduktiotodistuksissa meidä täytyy siis osoittaa asiaa. Ns. perustapaus,
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa I
MS-A0402 Diskreeti matematiika perusteet Yhteeveto, osa I 1 Joukko-oppi ja logiikka Iduktioperiaate G. Gripeberg 2 Relaatiot ja fuktiot Aalto-yliopisto 3. huhtikuuta 2014 3 Kombiatoriikka ym. G. Gripeberg
LisätiedotMat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A
Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A / Ratkaiut Aiheet: Avaiaat: Tilatollite aieito keräämie ja mittaamie Tilatollite aieitoje kuvaamie Oto ja otojakaumat Aritmeettie
LisätiedotAlgebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 5 (6 sivua)
Algebra I Matematiika ja tilastotietee laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksii 5 (6 sivua) 14.2. 17.2.2011 1. Määritellää kuvaus f : S 3 S 3, f(α) = (123) α. Osoita, että f o bijektio. Mikä o se kääteiskuvaukse
LisätiedotLIITTEET Liite A Stirlingin kaavan tarkkuudesta...2. Liite B Lagrangen kertoimet...3
LIITTEET... 2 Liite A Stirligi kaava tarkkuudesta...2 Liite B Lagrage kertoimet... 2 Liitteet Liitteet Liite A Stirligi kaava tarkkuudesta Luoollista logaritmia suureesta! approksimoidaa usei Stirligi
LisätiedotTalousmatematiikka (3 op) Sisältö. Tero Vedenjuoksu. Yhteystiedot: Tero Vedenjuoksu tero.vedenjuoksu@oulu.fi Työhuone M231
Talousmatematiikka (3 op) Tero Vedejuoksu Oulu yliopisto Matemaattiste tieteide laitos 2010 Sisältö Yhteystiedot: Tero Vedejuoksu tero.vedejuoksu@oulu.fi Työhuoe M231 Kurssi kotisivu http://cc.oulu.fi/~tvedeju/talousmatematiikka/
LisätiedotMatematiikan tukikurssi. Kertausta 1. välikokeeseen. Tehtävät
Matematiika tukikurssi Kertausta. välikokeesee Tehtävät Algebraa Tämä kappale sisältää rusaasti harjoitustehtäviä. Suurimpaa osaa tehtävistä löytyy ratkaisut lopusta. Syyä rusaasee tehtävämäärää o, että
LisätiedotInsinöörimatematiikka IA
Isiöörimatematiikka IA Harjoitustehtäviä. Selvitä oko propositio ( p q r ( p q r kotradiktio. Ratkaisu: Kirjoitetaa totuustaulukko: p q r ( p q r p q r ( p q r ( p q r 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiika tukikurssi Kurssikerta 1 Iduktiotodistus Iduktiotodistukse logiikka Tutkitaa tapausta, jossa haluamme todistaa joki väittee P() site, että se pätee kaikilla luoollisissa luvuilla. Eli halutaa
Lisätiedottilavuudessa dr dk hetkellä t olevien elektronien
Semiklassie johtavuusmalli Metalleissa vastus aiheutuu virrakuljettajie törmäyksistä, joita karakterisoi relaksaatioaika τ Oletetaa, että ifiitesimaalisella aikavälillä dt elektroi törmäystodeäköisyys
LisätiedotMATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS
f ( ) JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO Harjoituste 3 ratkaisut MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Topologiset vektoriavaruudet 3.1. Jokaie kompakti joukko K R määrää fuktioavaruudessa E = C(R ) = {f : R R f o jatkuva}
LisätiedotTunnuslukuja 27 III TUNNUSLUKUJA
Tuuslukuja 27 III TUNNUSLUKUJA Tuuslukuja 28 Tuuslukuja käytetää, ku tilastoaieistoa havaiollistetaa tiivistetysti yksittäisillä luvuilla. Tuusluvut lasketaa muuttujie arvoje perusteella ja e kuvaavat
Lisätiedotpq n s n Kyllä Ei N Jäsenyys 5,4% 94.6 % 1500 Adressi 21,6% 78.4 % 1495 Lahjoitus 23,7% 76.3 % 1495 Mielenosoitus 1,1% 98.9 % 1489
Perusjoukko ja otos Kvatitatiiviset meetelmät Sami Fredriksso Yleie valtio-oppioppi Havaitoyksikkö o empiirise mittaukse kohde Perusjoukko o kaikkie havaitoyksiköide muodostama kokoaisuus Otos o perusjoukkoa
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0501 Todeäköisyyslaskea ja tilastotietee peruskurssi 4A Satuaisotata ja parametrie estimoiti Lasse Leskelä Matematiika ja systeemiaalyysi laitos Perustieteide korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016,
Lisätiedot8. laskuharjoituskierros, vko 11, ratkaisut
Mat-2.091 Sovellettu todeäköisyyslasku, kevät -05 Heliövaara, Palo, Melli 8. laskuharjoituskierros, vko 11, ratkaisut D1. Oletetaa, että havaiot X i, i = 1, 2,..., 100 muodostavat yksikertaise satuaisotokse
LisätiedotOppimistavoite tälle luennolle
Oppiistavoite tälle lueolle Yksikköoperaatiot ja teolliset prosessit CHEM-A00 (5 op) Tislaus ja uutto Yärtää erotusprosessie suuittelu perusteet Tutea tislaukse ja uuto toiitaperiaatteet Tutea tpillisipiä
Lisätiedot811312A Tietorakenteet ja algoritmit, 2015-2016, Harjoitus 2, Ratkaisu
8111A Tietoraketeet ja algoritmit, 15-16, Harjoitus, Ratkaisu Harjoituksessa käsitellää asymptoottista merkitätapaa ja algoritmie aikakompleksisuutta. Tehtävä.1 a Oko f ( O( tai f (, ku 1 f ( f, 4 ( 5
LisätiedotPseudoalkuluvuista ja alkulukutestauksesta
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Mia Salmi Pseudoalkuluvuista ja alkulukutestauksesta Luootieteide tiedekuta Matematiikka Kesäkuu 2017 Tamperee yliopisto Luootieteide tiedekuta SALMI, MINNA: Pseudoalkuluvuista
LisätiedotT TESTAUSRAPORTTI - MedicMinder "!! # $! %!!# & #
T-76.115 TESTAUSRAPORTTI - MedicMider! " " #!! $ % % $! " " #! &! #! $ $ ' % ( %!! % # ) # #! $ $! * +! " " #! $ ' % ( " &! " $!! $ $ $ % % )! #! % % ) $ % # #! + +! " " #! &! $, $ $ $!! "!! # $! %!!#
LisätiedotPUUNKORJUUN ERIKOISAMMATTITUTKINTO 2013
Näyttötutkio perusteet PUUNKORJUUN ERIKOISAMMATTITUTKINTO 2013 Määräys 8/011/2013 Määräykset ja ohjeet 2013:17 Opetushallitus ja tekijät Määräykset ja ohjeet 2013:17 ISBN 978-952-13-5458-8 (id.) ISBN 978-952-13-5459-5
LisätiedotHY, MTL / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIb, syksy 2018 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia.
HY, MTL / Matemaattiste tieteide kadiohjelma Todeäköisyyslasketa IIb, syksy 08 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Olkoot X ja X riippumattomia satuaismuuttujia, joille ja olkoo X EX, EX, var
Lisätiedot9.7 Matriisinormit. Vaasan yliopiston julkaisuja 225. Ei siis lainkaan ongelmia defektiivisyydestä.
Vaasa yliopisto julkaisuja 225 U = 0.1213-0.9359-0.3307-0.1005-0.3430 0.9339 0.9875 0.0801 0.1357 S = V = >> 4.5221 0 0 0 2.2793 0 0 0 1.1642 0.0537-0.8212-0.5681 0.4414-0.4908 0.7512 0.8957 0.2911-0.3361
LisätiedotOtantajakauman käyttö päättelyssä
Keskiarvo otatajakauma Toisistaa tietämättä kaksi tutkijaa tutkii samaa ilmiötä, jossa perusjoukko koostuu kuudesta tutkittavasta ja tarkoituksea o laskea keskiarvo A: Kokoaistutkimus B: Otatatutkimus
Lisätiedot10 Kertolaskusääntö. Kahta tapahtumaa tai satunnaisilmiötä sanotaan riippumattomiksi, jos toisen tulos ei millään tavalla vaikuta toiseen.
10 Kertolaskusäätö Kahta tapahtumaa tai satuaisilmiötä saotaa riippumattomiksi, jos toise tulos ei millää tavalla vaikuta toisee. Esim. 1 A = (Heitetää oppaa kerra) ja B = (vedetää yksi kortti pakasta).
LisätiedotTilastollinen päättömyys, kevät 2017 Harjoitus 5b
Tilastollie päättömyys, kevät 07 Harjoitus b Heikki Korpela 3. helmikuuta 07 Tehtävä. a Olkoot Y,..., Y Bθ. Johda uskottavuusosamäärä testisuuree ry, Waldi testisuuree wy ja Rao pistemäärätestisuuree uy
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Otos ja otosjakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteesee Otos ja otosjakaumat TKK (c) Ilkka Melli (005) 1 Otos ja otosjakaumat Yksikertaie satuaisotos Otostuusluvut ja otosjakaumat Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi otosjakaumat
LisätiedotEX1 EX 2 EX =
HY, MTL / Matemaattiste tieteide kadiohjelma Todeäköisyyslasketa IIb, syksy Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I. Olkoot X ja X riippumattomia satuaismuuttujia, joille ja olkoo X EX, EX, var X,
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiika tukikurssi Kertauslueto. välikokeesee Algebraa Tämäkertaie kurssimoiste sisältää rusaasti harjoitustehtäviä. Syyä tähä o se, että matematiikkaa oppii parhaite itse tekemällä ja laskemalla.
LisätiedotMat Sovellettu todennäköisyyslasku A. Otos- ja otosjakaumat Estimointi Estimointimenetelmät Väliestimointi. Avainsanat:
Mat-.090 Sovellettu todeäköisyyslasku A Mat-.090 Sovellettu todeäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avaisaat: Otos- ja otosjakaumat Estimoiti Estimoitimeetelmät Väliestimoiti Aritmeettie keskiarvo, Beroulli-jakauma,
LisätiedotOsa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi
Ilkka Melli Tilastolliset meetelmät Osa : Otokset, otosjakaumat ja estimoiti Otokset ja otosjakaumat TKK (c) Ilkka Melli (007) 1 Otokset ja otosjakaumat >> Satuaisotata ja satuaisotokset Otostuusluvut
LisätiedotÄärettämän sarjan (tai vain sarjan) sanotaan suppenevan eli konvergoivan, jos raja-arvo lims
75 4 POTENSSISARJOJA 4.1 ÄÄRETTÖMÄT SARJAT Lukujoo { a k } summaa S a a a a a k 0 1 k k0 saotaa äärettömäksi sarjaksi. Summa o s. osasumma. S a a a a a k 0 1 k0 Äärettämä sarja (tai vai sarja) saotaa suppeeva
LisätiedotTyö 55, Säteilysuojelu
Työ 55, Säteilysuojelu Ryhmä: 18 Pari: 1 Joas Alam Atti Tehiälä Selostukse laati: Joas Alam Mittaukset tehty: 7.4.000 Selostus jätetty: 1.5.000 1. Johdato Tutkimme työssämme kolmea eri säteilylajia:, ja
Lisätiedot3 x < < 3 x < < x < < x < 9 2.
Matematiika johdatokurssi Kertaustehtävie ratkaisuja 1. Ratkaise epäyhtälöt: a) 3 x < 3, b) 5x + 1. Ratkaisu. a) Ratkaistaa epäyhtälö poistamalla esi itseisarvot: 3 x < 3 3 < 3 x < 3 9 < x < 3 3 < x
LisätiedotC (4) 1 x + C (4) 2 x 2 + C (4)
http://matematiialehtisolmu.fi/ Kombiaatio-oppia Kuia mota erilaista lottoriviä ja poeriättä o olemassa? Lotossa arvotaa 7 palloa 39 pallo jouosta. Poeriäsi o viide orti osajouo 52 orttia äsittävästä paasta.
LisätiedotLasketaan kullekin a euron maksuerälle erikseen, kuinka suureksi erä on n vuodessa kasvanut:
Varsi arkiäiväisiä, geometrise joo teoriaa liittyviä käytäö sovellutuksia ovat jaksottaisii maksuihi ja kuoletuslaiaa (auiteettilaiaa) liittyvät robleemat. Tällaisii joutuu lähes jokaie yhteiskutakeloie
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet, ORMS1030
Vaasa yliopisto, kevät 04 Talousmatematiika perusteet, ORMS030 6. harjoitus, viikko 0 3. 7.3.04 R ma 0 D5 R5 ti 4 6 C09 R ma 4 6 D5 R6 to 4 C09 R3 ti 08 0 D5 R7 pe 08 0 D5 R4 ti 4 C09 R8 pe 0 D5. Laske
Lisätiedot2. Algoritmien analyysi
. Algoritmie aalyysi Tässä osassa käsitellää algoritmie aalyysia, joka tarkoittaa algoritmie oikeellisuustarkasteluja sekä iide suorituskyvy aalysoitia. Joskus algoritmie aalyysi katsotaa sisältävä aioastaa
LisätiedotTIIVISTELMÄRAPORTTI (SUMMARY REPORT)
2012/MAT814 ISSN 1797-3457 (vekkojulkaisu) ISBN (PDF) 978-951-25-2408-2 TIIVISTELMÄRAPORTTI (SUMMARY REPORT) Vaiheistettu heijastipita valemaalia Joha Ste, Päivi Koivisto, Ato Hujae, Tommi Dufva, VTT,
LisätiedotMS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto ja esimerkkejä ym., osa I
MS-A040 Diskreeti matematiika perusteet Yhteeveto ja esimerkkejä ym., osa I G. Gripeberg Aalto-yliopisto 8. syyskuuta 06 Joukko-oppi ja logiikka Todistukset logiikassa Predikaattilogiikka Iduktioperiaate
LisätiedotTehtävä 1. Etsi Neperin luvulle e vaihtoehtoisia esitysmuotoja joko suppenevia lukujonoja tai päättymättömiä summia eli sarjamuotoja.
POHDIN rojekti Jatkuva korko ja e Eksoettifuktioille voidaa johtaa omiaisuus f ( x) f (0) f( x). Riittää ku oletetaa, että f (0) o olemassa. Nyt eksoettifuktioide f( x) 2 x ja gx ( ) 3 x välistä yritää
Lisätiedot410014Y Tieto- ja viestintätekniikka pedagogisena työvälineenä
410014Y Tieto ja viestitätekiikka pedagogisea työvälieeä 1. Opiskelijaryhmäsi 0 1 2 3 4 5 6 7 8 KAKO LO MUKO TAIKA TEKNO VAKA ITE MUU 2. Pieryhmäsi (esim. LO12A ryhmä A kirjai ;)) Vastaajie määrä: 19 0
LisätiedotSote-alueen muodostamisen tarkemmat kriteerit on todettu väliraportin luvussa 4.1.2. (sivut 18 19).
KYSYMYKSET Sosiaali- ja terveydehuoltoalueet (sote-alue) Väliraporti perusteella kua tulee kuulua sote-alueesee, joka järjestää sille sosiaali- ja terveyspalvelut. Sote-alue muodostuu maakutie keskuskaupukie
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa I
MS-A0402 Diskreeti matematiika perusteet Yhteeveto, osa I G. Gripeberg Aalto-yliopisto 12. maaliskuuta 2015 G. Gripeberg (Aalto-yliopisto) MS-A0402 Diskreeti matematiika perusteet Yhteeveto, 12. osa maaliskuuta
LisätiedotPerusraportti. 1. Mitä tahoa / sektoria edustat?
Perusraportti Järjestöt mukaa muutoksessa -ohjelma Maakualliste Järjestö 2.0 -hakkeide yhteiste tavoitteide toteutumise seuratakysely Näytetää 3 vastaajaa kysely vastaajie kokoaismäärästä 390 1. Mitä tahoa
LisätiedotHEIJASTUMINEN JA TAITTUMINEN
S-08-0 OPTIIKKA /6 HEIJASTUMINEN JA TAITTUMINEN Laboratoriotyö S-08-0 OPTIIKKA /6 Sisällysluettelo Teoria... 3 Työ suoritus... 4. Kokoaisheijastus... 4. Brewsteri kulma... 5 3 Mittauspöytäkirja... 6 S-08-0
LisätiedotKun vuoden alussa varastossa oli 100 karaattia ja Antwerpenin ostot oheisen kuvan
Optimoitimeetelmät Kirjallisuutta: Rardi Roald R.: Optimizatio i Operatios Research, 998 Wisto Waye L.: Operatios Research. Applicatios ad Algorithms, 3rd editio, 994. Matemaattie mallius ja ogelmie ratkaisu
LisätiedotAikaisemmat selvitykset. Hammaslääkäriliitto on selvittänyt terveyskeskusten. terveyskeskusten hammaslääkäritilannetta
S E L V I T Y S Terveyskeskuste hammaslääkäritilae lokakuussa 2005 ANJA EEROLA, TAUNO SINISALO Hammaslääkäriliitto selvitti julkise ja yksityise sektori hammaslääkärie työvoimatilatee lokakuussa 2005 kahdella
Lisätiedot1 a) Eristeiden, puolijohteiden ja metallien tyypilliset energiakaistarakenteet.
a) ristid, puolijohtid ja talli tyypillist rgiakaistaraktt. i) NRGIAKAISTAT: (lktroi sallitut rgiatilat) Kaksiatoi systi: pottiaalirgia atoi väliatka fuktioa pot rpulsiivi kopotti -lktroit hylkivät toisiaa
LisätiedotTuringin kone on kuin äärellinen automaatti, jolla on käytössään
4 TUINGIN KONEET Ala Turg 1935 36 auha Koe vo srtää auha: T U I N G auhapää: ohjausykskkö: Turg koe o ku äärelle automaatt, jolla o käytössää auhapäätä vasemmalle ta okealle; se vo myös lukea ta krjottaa
LisätiedotTodennäköisyys, että yhden minuutin aikana saapuu 2 4 autoa.
Testimuuttuja kriittie arvo 5 %: merkitsevyystasolla katsotaa taulukosta. Kriittie arvo o 9,488. Koska laskettu arvo 4,35 o pieempi kui taulukosta saatu kriittie arvo 9,488, ii ollahypoteesi jää voimaa.
Lisätiedot3 Lukujonot matemaattisena mallina
3 Lukujoot matemaattisea mallia 3. Aritmeettie ja geometrie joo 64. a) Lukujoo o aritmeettie joo, joka yleie jäse o a 3 ( ) 4 34 4 4 b) Lukujoo o geometrie joo, joka yleie jäse o c) Lukujoo o geometrie
Lisätiedot