Sormenjälkimenetelmät

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Sormenjälkimenetelmät"

Transkriptio

1 Sormejälkimeetelmät Matti Risteli Semiaariesitelmä T Satuaisalgoritmit Tietotekiika laitos Tekillie korkeakoulu Tiivistelmä Sormejälkimeetelmät ovat satuaisuutta hyväksikäyttäviä algoritmeja, joilla pyritää ratkaisemaa s. ekvivalessiogelmia. Nämä ovat ogelmia, joissa tietojoukkoje A ja B sisällö yhtäläisyyttä halutaa tutkia. Sormejälkimeetelmiä hyödytävät algoritmit voivat olla sekä Mote Carlo että Las Vegas -tyyppisiä. Satuaisalgoritmeilla voidaa pieetää tietojoukkoje vertailussa tarvittava tiedo määrää esim. tilateissa joissa jokaise tavu vertailu ei ole soveltuvaa(suuri tietomäärä hitaa yhteyde päässä toisistaa). Satuaiset sormejälkimeetelmät perustuvat todistajie rusaus -paradigmaa ja iide virhetodeäköisyyttä voidaa parataa helposti. 1 Johdato Tämä semiaarityö käsittelee satuaisuutee perustuvia sormejälkimeetelmiä. Sormejälkimeetelmillä pyritää ratkaisemaa s. ekvivalessiogelmia, joissa kahde tietojouko yhtäläisyys halutaa selvittää tilateissa joissa iide suora vertailu tai kryptografiste tiivisteide laskemie ei ole käytäöllistä esimerkiksi suure datamäärä vuoksi. Tällöi tietojoukkoje suora vertailu sijaa verrataa iide sormejälkiä. Sormejäljet ovat epätarkkoja kuvauksia, joilla alkuperäie tietojoukko esitetää pieemmässä tilassa. Tällä yhtäältä saavutetaa suorituskykyetua mutta toisaalta myös mahdollistetaa virheelliset päätelmät. Sormejälkimeetelmät voidaa ähdä yleisesti todistajie rusaus -paradigma erityistapauksea, joka virhetodeäköisyyttä voidaa pieetää amplifioimalla. Sormejälkimeetelmiä voidaa käyttää hyväksi sekä Las Vegas että Mote Carlo -algoritmeissa. Teksti perustuu Juraj Hromcovici kirjaa Desig ad Aalysis of Radomized Algorithms [1] ja mukailee pääpiirteissää kirja Figerpritig-luvu sisältöä. Aluksi esittele mitä ekvivalessiogelmalla tarkoitetaa ja mite sormejälkimeetelmät periaatteellisella tasolla toimivat. Se jälkee käydää läpi sekä Las Vegas että Mote Carlo -algoritmejä käyttävät esimerkkiogelmat ja lopuksi iide käytäö sovelluksia. 1

2 2 Ekvivalessiogelmista Ekvivalessiogelma o ogelma, joka muodostuu kahdesta tietojoukosta, joide yhtäläisyys halutaa selvittää. Yksikertaisilla tietojoukoilla tämä voidaa tehdä helposti vertailemalla tietoja toisiisa suoraa, mutta usei se ei ole soveltuvaa joko suure tietomäärä tai vertailu vaikeude aiheuttamie suorituskykyogelmie vuoksi. Yksikertaie esimerkki tällaisesta ogelmasta o polyomie ekvivalessi ts. mite ratkaista oko esimerkiksi polyomit (x 1)(x 2 + 4) ja x 3 + 4x 4 toistesa eri esitysmuotoja. Normaali lähestymistapa olisi tietysti johtaa molemmat polyomit jokilaisee ormaalimuotoo ja tarkistaa jokaise termi yhtäläisyys eriksee. Tämä ei kuitekaa moimutkaisemmissa tapauksissa ole järkevää, koska sekä vertailu että se valmistelut ovat hitaita. Sormejälkimeetelmällä tehty tarkistus o opeampi ja virhetodeäköisyys o joko hyvi piei tai virhettä ei ole ollekaa. Polyomiesimerki tapauksessa sormejälkimeetelmii perustuva tarkistus evaluoisi molemmat polyomit samalla syötteellä ja tutkisi vastauste yhtäsuuruutta. Virhetodeäköisyys olisi tässä tapauksessa yhtälö asteesta riippuva mutta tuettu. 3 Sormejälkimeetelmät Sormejälkimeetelmä voidaa ajatella todistajie joukkoa, joide avulla voidaa kuvata lähdetietojouko moimutkaise esitykse helpommi vertailtavaksi sormejäljeksi. Polyomiesimerkissä todistajia ovat satuaisesti valitut x: arvot ja sormejälkiä polyomeille valittuje x: arvoje perusteella saadut arvot. Triviaalisti voidaa saoa että x: arvo 0 o huoo todistaja. Yleisesti hyvä sormejälkimeetelmä täyttää seuraavat vaatimukset: Sormejälkie tulee olla tarpeeksi yksikertaisia ja pieiä että iitä voidaa vertailla tehokkaasti. Tämä saavuttamiseksi sormejälki saa olla jopa epätäydellie esitys alkuperäisestä tietojoukosta. Sormejälje tulee sisältää mahdollisimma paljo oleaista iformaatiota alkuperäisestä tietojoukosta. Yleisemmi sormejälkimeetelmää voidaa kuvata joukkoa M, joka jokaie alkio o fuktio, joka tuottaa tietojouko täydellisestä kuvauksesta sitä vastaava sormejälje. Yksittäisessä tapauksessa ogelmaa o löytää M, joka tarpeeksi moi fuktio f tuottaa kuvaukse, jolla erilaisille tietojoukoille O 1 ja O 2 pätee f(o 1 ) f(o 2 ). Tästä johtue sormejälkimeetelmä oki todistajie rusaus -meetelmä erityistapaus. Joukko M voidaa ajatella joukoksi todistajakadidaatteja, joilla pyritää todistamaa että O 1 O 2 ja h M yksittäiseksi todistajaksi sille että O 1 O 2, jos h(o 1 ) h(o 2 ). 3.1 Sormejälkimeetelmä toimita Tarkoitus o selvittää kahde suure tietojouko O 1 ja O 2 ekvivalessi. Sormejälkii perustuva ekvivalessitarkistus eteee seuraavasti: 2

3 1. Tuetaa joukko M, joka sisältää fuktioita, joista jokaie kuvaa tietojouko täydellise sisällö pieempää tilaa. Valitaa tästä joukosta yksi fuktio h satuaisesti. 2. Lasketaa h(o 1 ) ja h(o 2 ), h(o i ):tä kutsutaa O i : sormejäljeksi, i = 1,2 3. Verrataa h(o 1 ): ja h(o 2 ): arvoja. Jos h(o 1 ) = h(o 2 ), ovat O 1 ja O 2 ekvivaletit. Sormejälkimeetelmä suuittelussa oleaista o oikea jouko M löytämie. Yhtäältä tavoiteltavaa o että käytetyt meetelmät tuottavat mahdollisimma uiiki sormejälje ja täte M sisältää paljo todistajiksi sopivia kadidaatteja, toisaalta sormejälje täytyy olla mahdollisimma piei jotta sitä voidaa vertailla tehokkaasti. Nämä tavoitteet ovat selkeästi ristiriidassa, jote soveltuva kompromissi löytämie o tärkeää. 4 Esimerkkiogelmia Tässä kappaleessa kuvataa aluksi kaksi läheisesti toisiisa liittyvää ogelmaa ja iihi Mote Carlo -tyyppisee algoritmii perustuvat ratkaisut, jotka sallivat site pieellä todeäköisyydellä myös virhepäätelmät. Toisee ogelmatyyppii esitä Las Vegas -algoritmi, joka suorituksessa sormejälkiä käytetää hyväksi ilma virhee mahdollisuutta. Molemmat algoritmit käyttävät hyväksee samatyyppisiä sormejälkiä, mutta ovat silti hyvi erityyppiset. 4.1 Tietoliikee Tutkitaa skeaarioita, joissa kahde tietokoee, R 1 ja R 2, muistie sisältöä halutaa vertailla tehokkaasti. Koska tarkoitus o esitellä sormejälkimeetelmiä oletetaa, että jokaisessa ogelmassa tietokoeet ovat ii kaukaa, joko fyysisesti kaukaa tai muute vaa hitaa yhteyde päässä, toisistaa, ettei muistie sisällö suora vertailu ole tehokasta. Tästä syystä algoritmie tehokkuus mitataa iide siirtämä tiedo perusteella. Esimmäisessä tapauksessa halutaa tutkia oko tietokoee R 1 sisältämä bittijoo x {0,1} sama kui tietokoee R 2 sisältämä bittijoo y {0,1}. Determiistie algoritmi lähettäisi data kooaisuudessaa toiselta koeelta toiselle, mikä jälkee vertailu tehtäisii saa(word) kerrallaa. Lisäksi siirrety tiedo eheys aiheuttaa lisäkustauksia. Merkitää bittijooja x = x 1 x 2 x 3...x ja y = y 1 y 2 y 3... y, x i,y i 0,1, i = 1,...,. Number(x) tarkoittaa bittijoo x kymmekataista lukutulkitaa. Mahdolliste todistajie joukoksi otetaa kaikki alkuluvut < 2, merkitää tätä joukkoa Prim( 2 ). Sormejälkialgoritmi toimii seuraavasti 1. R 1 valitsee sormejälje geeroitia varte luvu p Prim( 2 ) 2. R 1 laskee valitu luvu avulla s = Number(x) mod p ja lähettää sekä s: että p: R 2 :lle 3

4 3. R 2 vastaaottaa s: ja p: ja laskee q = Number(y) mod p Jos q = s, todetaa että x = y, muute x y. Algoritmi toimia kaalta oleaista ovat siirrety tiedo määrä ja algoritmi virhetodeäköisyys. Tiedo määrästä tiedetää, että s p < 2. Tästä seuraa että s tai p vie maksimissaa log 2 2 bittiä, jote koko viesti pituudeksi tulee 2 log log 2. Jos = saadaa siirrettävä tiedo määräksi 4 16 log 2 10 = 256 bittiä, joka o huomattava väheys bittii ähde. Virhetodeäköisyyde arvioitia varte jaetaa kaikki p: mahdolliset arvot(alkuluvut jotka ovat pieempiä kui 2, merkitää Prim( 2 )) kahtee joukkoo, iihi jotka aiheuttavat virhee ja iihi jotka eivät). Koska jokaise p Prim( 2 ) valitatodeäköisyys o sama o virhetodeäköisyys huootluvutprim( 2 ) : ssa Prim( 2. ) Alkulukuteoreema perusteella tiedetää, että Prim( 2 ) > 2 2 l. Bad(2 ): maksimiarvoksi voidaa l 2 äyttää 1. Tästä saadaa, että kuvatu algoritmi virhetodeäköisyys o. Tapuksessa = 10 16, virhetodeäköisyydeksi saadaa 0, , mikä ei ole todellie riski. Toie tapaus o laajeettu esimmäisestä. Tässä koee R 1 muistissa o bittijoo x {0,1}. Toise koee R 2 muistissa o bittijoojoukko U = {u 1,u 2,u 3,...,u k },u i {0,1},i = 1,...,k. Halutaa selvittää kuuluuko joo x joukkoo U. Determiistisellä algoritmillä aioa tapa olisi lähettää joo x kokoaisuudessaa koeelle R 2, joka se jälkee vertaisi x:ää jokaisee U: alkioo. Satuaisalgoritmi PSet eteee esimmäisessä tapauksessa kuvatu mukaisesti mutta R 2 laskee p: avulla q i = Number(u i ) mod p, i = 1,...,k, mikä jälkee jos s {q 1,q 2,...,q k } todetaa että x U, muute x U. Kuvatu protokolla vaatima tiedosiirto o triviaalisti sama kui aiemmassa esimerkissä(4 log 2 ), jote tutkitaa järjestelmä virhetodeäköisyyttä. Tilae jaetaa kahtee tapauksee Jos x U, tiedetää että o olemassa j {1,...,k} jolla x = u j ts. Number(x) = Number(u j ) mod m, jote algoritmi toimii varmasti ku x U. Jos x U, merkitää A i sitä tapausta ku ja Number(x) mod p = Number(u i ) mod p,i = 1,...,k A = k i=1 A i, joka o tapaus, jossa PSet tuottaa väärä vastaukse x U. Aiemma esimerki perusteella tiedetää, että ja täte P(A i ) 1 Prim(2) 2 l, kaikille i {1,...,k}. 4

5 josta seuraa että V irhet PSet (x,u) = V irhet PSet (x,u) 1 2, ku k P(A) = P( k i=1a i ) Σ k i=1p(a i ) Σ k 2 l i=1 = k 2 l, 4 l. Täte PSet o yksipuolise virhee(oe-sided error) Mote Carlo -algoritmi, joka tarkistaa kuuluuko x joukkoo U, ku k 4 l. Molemmissa kuvatuissa ogelmissa algoritmi virhetodeäköisyyttä voidaa pieetää käyttämällä useampaa alkulukua todistajaa. Lisäksi voidaa äyttää, että virhee aiheuttavie alkulukuje määrä o aia maksimissaa 1, jote virheelliste ja hyvie alkulukuje suhdetta voidaa parataa myös kasvattamalla joukkoa, josta alkulukuja valitaa. Algoritmia voidaa amplifioida jopa ii että hyötyje katoamatta algoritmi virhetodeäköisyys saadaa ii pieeksi että muista syistä(rautavika, luoo katastrofi tms.) johtuvie virheide todeäköisyys o suurempi. 4.2 Alimerkkijoo-ogelma Hahmotuistus(patter matchig) o yksi yleisimmistä tekstikäsittelyy ja algoritmeihi liittyvistä ogelmista. Sillä o myös käytäö sovellutuksia yleisesti molekyylibiologiassa. Hahmotuistamise perusteella voidaa jaotella asioita eri kategorioihi tai tehdä hakuja tietojoukosta. Tässä kappaleessa kuvataa sormejälkiä käyttävä tapa tuistaa alimerkkijooja tehokkaasti. Aluksi tuetaa merkkijoo x = x 1 x 2 x 3...x ja teksti y = y 1 y 2...y m aakkostossa Σ(ts. x i Σ, i = 1,..., ja y j Σ, j = 1,...,m). Halutaa selvittää sisältääkö y merkkijoo x. Lisäksi, mikäli x o y: alimerkkijoo, halutaa tietää myös piei ideksi r, jolla x 1 x 2...x = y r y r+1...y r+ 1. Selvyyde vuoksi tässä esimerkissä valitaa aakkostoksi Σ = {0,1}. Jokaiselle k {1,...,m 1} ja r 1,...,m k + 1 merkitä y(r,k) = y r y r+1... y r+k 1 tarkoittaa sitä k-pituista alimerkkijooa, joka alkaa ideksistä r. Aetuille x = x 1 x 2... x ja y = y 1 y 2... y m yksikertaie determiistie algoritmi vertaa x:ää jokaisee y(r,):ää, r = 1, 2,..., m +1. Yksikertaie, jokaise merki vertailuu vasemmalta oikealle perustuva algoritmi suorittaa O( + m) operaatiota etsiessää x:ää y:stä. Alla esitellää sormejälkiä hyväksikäyttävä algoritmi, joka suoriutuu tehtävästä opeammi. Algoritmi suorittamista varte määritellää fuktio f : N N N, joka arvoa pieempiä alkulukuja algoritmissa käytetää. STRING(f)-algoritmi eteee seuraavasti 5

6 1. Valitaa satuaisesti alkuluku p joukosta P rim(f(, m)). 2. Lasketaa Figer p (x) = Number(X) mod p 3. Lasketaa järjestyksessä Figer p (y(r,)) = Number(y(r,)) mod p ja verrataa Figer p (y(r,)):ää Figer p (x):he, kaikille r {1,2,...,m + 1}.. Jos Figer p (y(r,)) = Figer p (x), verrataa x:ää y(r,):ää. Jokaiselle j {1,2,...,m + 1}, jolle pätee Figer p (y(j,)) = Figer p (x), tarkistetaa vielä että x vastaa oikeasti y(j, ):ää. Jos y(j, ) = x, algoritmi palauttaa j: pieimmäksi ideksiksi josta merkkijoo x löytyi. Muussa tapauksessa jatketaa vertailua Figer r (y(j + 1,)):ästä. Yllä esitelty algoritmi o Las Vegas -tyyppie, koska kaikki osumat tarkistetaa vielä alkuperäisiä merkkijooja käyttäe, mikä estää virheelliste osumie palauttamise. Algoritmi aikakompleksisuutta tutkitaa seuraavaksi. Triviaalisti Figer p (x) tai Figer p (1,) vie aikaa O(). Kaikki sormejäljet Figer p (y(r,)), ku r = 1,...,m + 1 voidaa laskea ajassa O(m). Tämä pitää paikkasa koska valitusta aakkostosta johtue Number(y(r + 1,)) = 2 [Number(y(r,)) 2 1 y r ] + y r+ ja tästä johtue sormejälki Figer p (y(r + 1,)) voidaa laskea Figer p (y(r + 1,)) = (2 [Figer p (y(r,)) (2 1 y r ) mod p] + y r+ ) mod p. Myös millä tahasa muulla aakkostolla voidaa alimerkkijooje lukuarvot laskea edellise alimerkkijoo arvo avulla. Tutkitaa tapaukse, jossa y ei sisällä alimerkkijooa x:ää, aikavaatimukse ylärajaa. Merkitää A r sitä tapausta, jossa silti Figer p (x) = Figer p (y(r,)). Edellisestä kappaleesta tiedetää että virheellise sormejälje todeäköisyys o P(A r ) Täte STRING(f)-algoritmi aikavaatimus o 1 Prim(f(,m)) lf(,m) f(,m) O(m) + Σ m +1 r=1 (1 + Prob(A r ) ), O(m)-ajassa saadaa laskettua Figer p (x) ja kaikki Figer p (y(r,)): arvot. O(m) + m 2 l f(,m) f(,m) Jos valitaa f(,m) = 2 m l( 2 m), saadaa Aikavaatimus STRING( 2 m l( 2 m))(x,y) O(m) Tilatee, jossa x löytyy y:stä aikavaatimus o pieempi, koska algoritmi suoritus loppuu tällöi aiemmi. 6

7 5 Käytäö sovelluksia Yllä kuvatut esimerkit ovat luoteeltaa hyvi teoreettisia, jote tässä kuvaa muutamia käytäö sovelluksia, missä sormejälkitekiikoista o hyötyä. Useat sormejälkitekiikoide käytäö sovellukset perustuvat Las Vegas -algoritmeihi, joissa jotai vaikeaa hakua opeutetaa filtteröimällä tietoa alimerkkijooesimerki(ks. 4.2) tapaisesti ja hakemalla tästä suppeammasta joukosta osumia tehokkaasti. Tällaisia ogelmia o usei esimerkiksi tekstikäsittelyssä. Mote Carlo -tyyppie esimerkki esitetää Idetifyig redudacy i source code usig figerprits -kofferessipaperissa[2] tapa käyttää sormejälkiä toisteisuude tutkimisee isossa lähdekoodimäärässä. Tämäki meetelmä perustuu osittai kappaleessa 4.2 esitety alimerkkijooogelma ratkaisuu. Tässä tapauksessa lähdekoodeista geeroidaa sormejäljet vastaavasti kui alimerkkijooesimerki tekstistä y. Toisi kui alimerkkijooesimerkissä tässä käytettyje alimerkkijooje pituus o joki rivimäärä lähdetiedostoissa, mikä aiheuttaa se että eri kohdissa syötettä sormejälki geeroidaa eri pituisista merkkijooista. Koska tietoa o huomattava määrä sormejälkie geeroimiseki jälkee, poimitaa kaikista geeroiduista sormejäljistä e, jotka kattavat pisimmät merkkijoot, kuvaamaa kaikkia merkkijooja, jotka sisältyvät sormejälkee. Jäljelle jääeistä sormejäljistä poistetaa vielä e jotka esiityvät vai kerra, sekä yhdistetää peräkkäiset sormejäljet, jotka esiityvät joka paikassa samalla tavalla peräkkäi. Nyt jäljelle jääeide sormejälkie perusteella voidaa tutkia mahdollisia toisteisuus tarkemmi. 6 Yhteeveto Sormejälkimeetelmiä voidaa käyttää hyväksi tietytyyppisissä päätösogelmissa. Sormejälkie tarkoituksea o kuvata iso tietojoukko pieempää tilaa, site että sormejälkie perusteella tehty vertailu o tehokkaampaa. Sormejälkitekiikoide käyttötapoja o sekä Mote Carlo -tyyppisissä että Las Vegas -tyyppisissä algoritmeissa. Mote Carlo -algoritmeissa ogelma ratkaisu perustuu suoraa tietojoukoista tuotettuu sormejälkee, mikä sormejälje omiaisuuksie vuoksi aiheuttaa virheitä tietyllä todeäköisyydellä. Usei kuiteki virhetodeäköisyys o ii piei(tai voidaa amplifioimalla saattaa hyvi pieeksi), että sitä ei tarvitse ottaa huomioo. Toie tapa käyttää sormejälkiä o käyttää iitä tiedo filtteröitii jolloi tarkempi vertailu voidaa tehdä sille tietojoukolle, joka sormejälki vastaa toista vertailtavaa. Tässä tapauksessa virheitä ei tule ja täte algoritmi o Las Vegas -tyyppie, mutta filtteröiti vähetää silti vaadittavie vertailuje määrää ja site tehostaa ogelma ratkaisua. 7

8 Viitteet [1] Juraj Hromkovic. Desig Ad Aalysis of Radomized Algorithms, Itroductio to Desig Paradigms, chapter 4. Spriger, [2] J. Howard Johso. Idetifyig redudacy i source code usig figerprits,

n = 100 x = 0.6 99%:n luottamusväli µ:lle Vastaus:

n = 100 x = 0.6 99%:n luottamusväli µ:lle Vastaus: 1. Tietyllä koeella valmistettavie tiivisterekaide halkaisija keskihajoa tiedetää oleva 0.04 tuumaa. Kyseisellä koeella valmistettuje 100 rekaa halkaisijoide keskiarvo oli 0.60 tuumaa. Määrää 95%: ja 99%:

Lisätiedot

Epäyhtälöoppia matematiikkaolympialaisten tehtäviin

Epäyhtälöoppia matematiikkaolympialaisten tehtäviin Epäyhtälöoppia matematiikkaolympialaiste tehtävii Jari Lappalaie ja Ae-Maria Ervall-Hytöe 0 Johdato Epäyhtälöitä reaaliluvuille Cauchy epäyhtälö Kaikille reaaliluvuille a, a,, a ja b, b,, b pätee Cauchy

Lisätiedot

2. Mittaus ja data 2.1. Johdanto. 2.2. Mittaustyypit

2. Mittaus ja data 2.1. Johdanto. 2.2. Mittaustyypit 2. Mittaus ja data 2.. Johdato Voidaksemme keksiä tosimaailma relaatioita tarkastelemme sitä kuvaavaa dataa, jote esiksi selvitämme, mitä data perimmiltää o. Data kerätää kuvaamalla mielekiitoaluee oliot

Lisätiedot

2.5. Eksponenttifunktio ja eksponenttiyhtälöt

2.5. Eksponenttifunktio ja eksponenttiyhtälöt Eksoettifuktio ja -htälöt Eksoettifuktio ja eksoettihtälöt Ku otessi käsitettä laajeetaa sallimalla eksoetille muitaki arvoja kui kokoaislukuja, tämä taahtuu ii, että ii saotut otessikaavat ovat voimassa,

Lisätiedot

Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku. Tilastolliset testit. Avainsanat:

Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku. Tilastolliset testit. Avainsanat: Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A 0. harjoituket Mat-.09 Sovellettu todeäköiyylaku 0. harjoituket / Ratkaiut Aiheet: Avaiaat: Tilatolliet tetit Aritmeettie kekiarvo, Beroulli-jakauma, F-jakauma, F-teti,

Lisätiedot

Solmu 3/2010 1. toteutuu kaikilla u,v I ja λ ]0,1[. Se on aidosti konveksi, jos. f ( λu+(1 λ)v ) < λf(u)+(1 λ)f(v) (2)

Solmu 3/2010 1. toteutuu kaikilla u,v I ja λ ]0,1[. Se on aidosti konveksi, jos. f ( λu+(1 λ)v ) < λf(u)+(1 λ)f(v) (2) Solmu 3/200 Epäyhtälöistä, osa 2 Markku Halmetoja Mätä lukio Välillä I määriteltyä fuktiota saotaa koveksiksi, jos se kuvaaja o alaspäi kupera, eli jos kuvaaja mitkä tahasa kaksi pistettä yhdistävä jaa

Lisätiedot

Harjoitustehtävien ratkaisuja

Harjoitustehtävien ratkaisuja 3. Mallitamie lukujooje avulla Lukujoo määritelmä harjoituksia Harjoitustehtävie ratkaisuja 3. Laske lukujoo viisi esimmäistä jäsetä, ku a) a 6 ja b) a 6 ja 3 8 c) a ja 3 a) 6,, 8, 4, 30. b) 8,, 6, 0,

Lisätiedot

SMG-4200 Sähkömagneettisten järjestelmien lämmönsiirto Ehdotukset harjoituksen 6 ratkaisuiksi

SMG-4200 Sähkömagneettisten järjestelmien lämmönsiirto Ehdotukset harjoituksen 6 ratkaisuiksi SMG-400 Sähkömageettiste järjestelmie lämmösiirto Ehdotukset harjoitukse 6 ratkaisuiksi Tarkastellaa suljetu järjestelmä tehotasaaioa joka o P + P P = P i g out st Oletetaa että verkotetussa alueessa jossa

Lisätiedot

Kuluttajahintaindeksi (KHI) Kuluttajahintaindeksi (KHI) Kysymys Miten mitata rahan arvon muutoksia?

Kuluttajahintaindeksi (KHI) Kuluttajahintaindeksi (KHI) Kysymys Miten mitata rahan arvon muutoksia? Kuluttajahitaideksi (KHI) Kysymys Mite mitata raha arvo muutoksia? Kuluttajahitaideksi (KHI) o sovittu kulutustavaroide ja palveluide hitakehitykse mittari. KHI muodostetaa paiotettua keskiarvoa eri pääryhmie

Lisätiedot

Valvontakortit. Sovelletun Matematiikan Erikoistyö. Pastinen Tommi 23.4.2010

Valvontakortit. Sovelletun Matematiikan Erikoistyö. Pastinen Tommi 23.4.2010 Valvotakortit Sovelletu Matematiika Erikoistyö Pastie Tommi 3.4. Tässä työssä perehdytää valvotakortteihi tilastollisessa laaduvalvoassa perusteoria ja esimerkkitapauste kautta. Sisältö Johdato... 3 Tilastollisesta

Lisätiedot

= true C = true) θ i2. = true C = false) Näiden arvot löydetään kuten edellä Kun verkko on opetettu, niin havainto [x 1

= true C = true) θ i2. = true C = false) Näiden arvot löydetään kuten edellä Kun verkko on opetettu, niin havainto [x 1 35 Naiivi Bayes Luokkamuuttua C o Bayes-verko uuri a attribuutit X i ovat se lehtiä Naiivi oletus o, että attribuutit ovat ehdollisesti riippumattomia toisistaa aettua luokka Ku käytössä o Boole muuttuat,

Lisätiedot

4.7 Todennäköisyysjakaumia

4.7 Todennäköisyysjakaumia MAB5: Todeäöisyyde lähtöohdat.7 Todeäöisyysjaaumia Luvussa 3 Tuusluvut perehdyimme jo jaauma äsitteesee yleesä ja ormaalijaaumaa vähä taremmi. Lähdetää yt tutustumaa biomijaaumaa ja otetaa se jälee ormaalijaauma

Lisätiedot

Kompleksiluvut. Johdanto

Kompleksiluvut. Johdanto Kompleksiluvut Johdato Tuomo Pirie tuomo.pirie@tut.fi Aikoje kuluessa o matematiikassa kohdattu tilateita, jolloi käytetyt määrittelyt ja rajoitukset (esimerkiksi käytetyt lukujoukot) eivät ole olleet

Lisätiedot

****************************************************************** ****************************************************************** 7 Esim.

****************************************************************** ****************************************************************** 7 Esim. 8.3. Kombiaatiot MÄÄRITELMÄ 6 Merkitä k, joka luetaa yli k:, tarkoittaa lause- ketta k = k! ( k)! 6 3 2 1 6 Esim. 1 3 3! = = = = 3! ( 3)! 3 2 1 3 2 1 3 2 1 Laskimesta löydät äppäime, jolla kertomia voi

Lisätiedot

LASKENNALLISEN TIETEEN ERIKOISKURSSI kl 2000

LASKENNALLISEN TIETEEN ERIKOISKURSSI kl 2000 LASKENNALLISEN TIETEEN ERIKOISKURSSI kl 2000 Laskuharjoitus Detaljibalassi Osoita, että siirtymätodeäköisyydet π m α m ; ρ, m ρ α m ----- ; ρ < ρ, m m π m, m m ja π m ρ α m ------------------ ρ +, m π

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus tilastotieteeseen Yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus tilastotieteesee Yhde selittää lieaarie regressiomalli TKK (c) Ilkka Melli (2005) Yhde selittää lieaarie regressiomalli Yhde selittää lieaarie regressiomalli a sitä koskevat oletukset Yhde selittää

Lisätiedot

Talousmatematiikka (3 op) Sisältö. Tero Vedenjuoksu. Yhteystiedot: Tero Vedenjuoksu tero.vedenjuoksu@oulu.fi Työhuone M231

Talousmatematiikka (3 op) Sisältö. Tero Vedenjuoksu. Yhteystiedot: Tero Vedenjuoksu tero.vedenjuoksu@oulu.fi Työhuone M231 Talousmatematiikka (3 op) Tero Vedejuoksu Oulu yliopisto Matemaattiste tieteide laitos 2010 Sisältö Yhteystiedot: Tero Vedejuoksu tero.vedejuoksu@oulu.fi Työhuoe M231 Kurssi kotisivu http://cc.oulu.fi/~tvedeju/talousmatematiikka/

Lisätiedot

Kombinatoriikka. Iiro Honkala 2015

Kombinatoriikka. Iiro Honkala 2015 Kombiatoriikka Iiro Hokala 2015 Sisällysluettelo 1. Haoi torit 1 2. Lokeroperiaate 3 3. Tuloperiaate 3 4. Permutaatioista ja kombiaatioista 4 5. Toistokombiaatioista 5 6. Biomikertoimista 5 7. Multiomikertoimista

Lisätiedot

Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A

Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A / Ratkaiut Aiheet: Avaiaat: Tilatollite aieito keräämie ja mittaamie Tilatollite aieitoje kuvaamie Oto ja otojakaumat Aritmeettie

Lisätiedot

PUUNKORJUUN ERIKOISAMMATTITUTKINTO 2013

PUUNKORJUUN ERIKOISAMMATTITUTKINTO 2013 Näyttötutkio perusteet PUUNKORJUUN ERIKOISAMMATTITUTKINTO 2013 Määräys 8/011/2013 Määräykset ja ohjeet 2013:17 Opetushallitus ja tekijät Määräykset ja ohjeet 2013:17 ISBN 978-952-13-5458-8 (id.) ISBN 978-952-13-5459-5

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka IA

Insinöörimatematiikka IA Isiöörimatematiikka IA Harjoitustehtäviä. Selvitä oko propositio ( p q r ( p q r kotradiktio. Ratkaisu: Kirjoitetaa totuustaulukko: p q r ( p q r p q r ( p q r ( p q r 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Lisätiedot

tilavuudessa dr dk hetkellä t olevien elektronien

tilavuudessa dr dk hetkellä t olevien elektronien Semiklassie johtavuusmalli Metalleissa vastus aiheutuu virrakuljettajie törmäyksistä, joita karakterisoi relaksaatioaika τ Oletetaa, että ifiitesimaalisella aikavälillä dt elektroi törmäystodeäköisyys

Lisätiedot

Kun vuoden alussa varastossa oli 100 karaattia ja Antwerpenin ostot oheisen kuvan

Kun vuoden alussa varastossa oli 100 karaattia ja Antwerpenin ostot oheisen kuvan Optimoitimeetelmät Kirjallisuutta: Rardi Roald R.: Optimizatio i Operatios Research, 998 Wisto Waye L.: Operatios Research. Applicatios ad Algorithms, 3rd editio, 994. Matemaattie mallius ja ogelmie ratkaisu

Lisätiedot

C (4) 1 x + C (4) 2 x 2 + C (4)

C (4) 1 x + C (4) 2 x 2 + C (4) http://matematiialehtisolmu.fi/ Kombiaatio-oppia Kuia mota erilaista lottoriviä ja poeriättä o olemassa? Lotossa arvotaa 7 palloa 39 pallo jouosta. Poeriäsi o viide orti osajouo 52 orttia äsittävästä paasta.

Lisätiedot

Työ 55, Säteilysuojelu

Työ 55, Säteilysuojelu Työ 55, Säteilysuojelu Ryhmä: 18 Pari: 1 Joas Alam Atti Tehiälä Selostukse laati: Joas Alam Mittaukset tehty: 7.4.000 Selostus jätetty: 1.5.000 1. Johdato Tutkimme työssämme kolmea eri säteilylajia:, ja

Lisätiedot

10 Kertolaskusääntö. Kahta tapahtumaa tai satunnaisilmiötä sanotaan riippumattomiksi, jos toisen tulos ei millään tavalla vaikuta toiseen.

10 Kertolaskusääntö. Kahta tapahtumaa tai satunnaisilmiötä sanotaan riippumattomiksi, jos toisen tulos ei millään tavalla vaikuta toiseen. 10 Kertolaskusäätö Kahta tapahtumaa tai satuaisilmiötä saotaa riippumattomiksi, jos toise tulos ei millää tavalla vaikuta toisee. Esim. 1 A = (Heitetää oppaa kerra) ja B = (vedetää yksi kortti pakasta).

Lisätiedot

Lasketaan kullekin a euron maksuerälle erikseen, kuinka suureksi erä on n vuodessa kasvanut:

Lasketaan kullekin a euron maksuerälle erikseen, kuinka suureksi erä on n vuodessa kasvanut: Varsi arkiäiväisiä, geometrise joo teoriaa liittyviä käytäö sovellutuksia ovat jaksottaisii maksuihi ja kuoletuslaiaa (auiteettilaiaa) liittyvät robleemat. Tällaisii joutuu lähes jokaie yhteiskutakeloie

Lisätiedot

Oppimistavoite tälle luennolle

Oppimistavoite tälle luennolle Oppiistavoite tälle lueolle Yksikköoperaatiot ja teolliset prosessit CHEM-A00 (5 op) Tislaus ja uutto Yärtää erotusprosessie suuittelu perusteet Tutea tislaukse ja uuto toiitaperiaatteet Tutea tpillisipiä

Lisätiedot

TIIVISTELMÄRAPORTTI (SUMMARY REPORT)

TIIVISTELMÄRAPORTTI (SUMMARY REPORT) 2012/MAT814 ISSN 1797-3457 (vekkojulkaisu) ISBN (PDF) 978-951-25-2408-2 TIIVISTELMÄRAPORTTI (SUMMARY REPORT) Vaiheistettu heijastipita valemaalia Joha Ste, Päivi Koivisto, Ato Hujae, Tommi Dufva, VTT,

Lisätiedot

Tehtävä 1. Etsi Neperin luvulle e vaihtoehtoisia esitysmuotoja joko suppenevia lukujonoja tai päättymättömiä summia eli sarjamuotoja.

Tehtävä 1. Etsi Neperin luvulle e vaihtoehtoisia esitysmuotoja joko suppenevia lukujonoja tai päättymättömiä summia eli sarjamuotoja. POHDIN rojekti Jatkuva korko ja e Eksoettifuktioille voidaa johtaa omiaisuus f ( x) f (0) f( x). Riittää ku oletetaa, että f (0) o olemassa. Nyt eksoettifuktioide f( x) 2 x ja gx ( ) 3 x välistä yritää

Lisätiedot

Aikaisemmat selvitykset. Hammaslääkäriliitto on selvittänyt terveyskeskusten. terveyskeskusten hammaslääkäritilannetta

Aikaisemmat selvitykset. Hammaslääkäriliitto on selvittänyt terveyskeskusten. terveyskeskusten hammaslääkäritilannetta S E L V I T Y S Terveyskeskuste hammaslääkäritilae lokakuussa 2005 ANJA EEROLA, TAUNO SINISALO Hammaslääkäriliitto selvitti julkise ja yksityise sektori hammaslääkärie työvoimatilatee lokakuussa 2005 kahdella

Lisätiedot

Sote-alueen muodostamisen tarkemmat kriteerit on todettu väliraportin luvussa 4.1.2. (sivut 18 19).

Sote-alueen muodostamisen tarkemmat kriteerit on todettu väliraportin luvussa 4.1.2. (sivut 18 19). KYSYMYKSET Sosiaali- ja terveydehuoltoalueet (sote-alue) Väliraporti perusteella kua tulee kuulua sote-alueesee, joka järjestää sille sosiaali- ja terveyspalvelut. Sote-alue muodostuu maakutie keskuskaupukie

Lisätiedot

Tietojärjestelmän kehittäminen syksy 2003

Tietojärjestelmän kehittäminen syksy 2003 Tietojärjestelmä kehittämie syksy 2003 Ryhmä C2 Väliraportti 5 2..2003 Päivi Laiterla Tomas Widahl Toi ikkae Atti Lehto Sisällysluettelo Johdato...3 2 Mittarit... 4 2. IO-taso mittarit...4

Lisätiedot

Todennäköisyys, että yhden minuutin aikana saapuu 2 4 autoa.

Todennäköisyys, että yhden minuutin aikana saapuu 2 4 autoa. Testimuuttuja kriittie arvo 5 %: merkitsevyystasolla katsotaa taulukosta. Kriittie arvo o 9,488. Koska laskettu arvo 4,35 o pieempi kui taulukosta saatu kriittie arvo 9,488, ii ollahypoteesi jää voimaa.

Lisätiedot

Turingin kone on kuin äärellinen automaatti, jolla on käytössään

Turingin kone on kuin äärellinen automaatti, jolla on käytössään 4 TUINGIN KONEET Ala Turg 1935 36 auha Koe vo srtää auha: T U I N G auhapää: ohjausykskkö: Turg koe o ku äärelle automaatt, jolla o käytössää auhapäätä vasemmalle ta okealle; se vo myös lukea ta krjottaa

Lisätiedot

Päähakemisto Tehtävien ratkaisut -hakemisto. 203. Vuosi Indeksi 2008 108,3 2012 116,7. a) Jakamalla 1,07756 7,76 %. c) Jakamalla 0,92802

Päähakemisto Tehtävien ratkaisut -hakemisto. 203. Vuosi Indeksi 2008 108,3 2012 116,7. a) Jakamalla 1,07756 7,76 %. c) Jakamalla 0,92802 Päähakemisto Tehtävie ratkaisut -hakemisto 2 Raha 202. Vuosi Ideksi 2007 104,1 2009 108,3 108,3 a) Jakamalla 1,040345 104,1 saadaa iflaatioprosetiksi 4,03 %. 104,1 b) Jakamalla 0,96121 saadaa, että raha

Lisätiedot

Päähakemisto Tehtävien ratkaisut -hakemisto. 203. Vuosi Indeksi 2003 105,1 2007 110,8. a) Jakamalla 110,8 1,05423 saadaan inflaatioprosentiksi noin

Päähakemisto Tehtävien ratkaisut -hakemisto. 203. Vuosi Indeksi 2003 105,1 2007 110,8. a) Jakamalla 110,8 1,05423 saadaan inflaatioprosentiksi noin Päähakemisto Tehtävie ratkaisut -hakemisto 2 Raha 202. Vuosi Ideksi 2002 104,2 2004 106,2 a) Jakamalla 106,2 1,01919 saadaa iflaatioprosetiksi 1,92 %. 104,2 b) Jakamalla 104,2 0,98116 saadaa, että raha

Lisätiedot

1 a) Eristeiden, puolijohteiden ja metallien tyypilliset energiakaistarakenteet.

1 a) Eristeiden, puolijohteiden ja metallien tyypilliset energiakaistarakenteet. a) ristid, puolijohtid ja talli tyypillist rgiakaistaraktt. i) NRGIAKAISTAT: (lktroi sallitut rgiatilat) Kaksiatoi systi: pottiaalirgia atoi väliatka fuktioa pot rpulsiivi kopotti -lktroit hylkivät toisiaa

Lisätiedot

Todennäköisyyslaskenta sivuaineopiskelijoille. Heikki Ruskeepää

Todennäköisyyslaskenta sivuaineopiskelijoille. Heikki Ruskeepää Todeäköisyyslasketa sivuaieopiskelijoille Heikki Ruskeepää 2012 Sisällys 2 1 Todeäköisyys 3 1.1 Klassie todeäköisyys 3 1.2 Kombiatoriikkaa 5 1.3 Aksiomaattie todeäköisyys 7 1.4 Ehdollie todeäköisyys 12

Lisätiedot

Tilastotieteen perusteet

Tilastotieteen perusteet VAASAN YLIOPISTO Tilastotieteeperusteet Luetoruko Christia Gustafsso SISÄLLYSLUETTELO 1. JOHDANTO... 3 1.1. Mitä tilastotiede o?... 3 1.. Tilastotietee historiaa... 4. HAVAINTOAINEISTO JA MITTAAMINEN...

Lisätiedot

Todennäköisyyslaskenta I. Heikki Ruskeepää

Todennäköisyyslaskenta I. Heikki Ruskeepää Todeäköisyyslasketa I Heikki Ruskeepää 2012 Sisällys 2 1 Todeäköisyys 3 1.1 Klassie todeäköisyys 3 1.2 Kombiatoriikkaa 4 1.3 Aksiomaattie todeäköisyys 8 1.4 Ehdollie todeäköisyys 13 1.5 Riippumattomuus

Lisätiedot

λ x = 0,100 nm, Eγ = 0,662 MeV, θ = 90. λ λ+ λ missä ave tarkoittaa aikakeskiarvoa.

λ x = 0,100 nm, Eγ = 0,662 MeV, θ = 90. λ λ+ λ missä ave tarkoittaa aikakeskiarvoa. S-114.46 Fysiikka V (Sf) Tetti 16.5.00 välikokee alue 1. Oletetaa, että protoi ja elektroi välie vetovoia o verraollie suureesee r ( F =- kr) eikä etäisyyde eliö kääteisarvoo ( F =-k / r ). Käytä kulaliikeäärä

Lisätiedot

Liike-elämän matematiikka Opettajan aineisto

Liike-elämän matematiikka Opettajan aineisto Liike-elämä matematiikka Opettaja aieisto Pirjo Saarae, Eliisa Kolttola, Jarmo Pösö ISBN 978-951-37-5741-0 Päivitetty 13.8.2014 Tehtävie ratkaisut - Luku 1 Verotus - Luku 2 Katelaskut ja talousfuktiot

Lisätiedot

Calculus. Lukion PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN. Trigonometriset funktiot ja lukujonot

Calculus. Lukion PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN. Trigonometriset funktiot ja lukujonot Calculus Lukio MAA9 Trigoometriset fuktiot ja lukujoot Paavo Jäppie Alpo Kupiaie Matti Räsäe Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Trigoometriset fuktiot ja lukujoot (MAA9) Pikatesti

Lisätiedot

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! Mite opit parhaite? Valmistaudu pitkä- tai lyhye matematiika kirjoituksii ilmaiseksi Mafyetti-ohjelmalla! Harjoittelu tehdää aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa tarvittavat

Lisätiedot

TYÖNTEKIJÄIN ELÄKELAIN MUKAISEN VAKUUTUKSEN YLEISET LASKUPERUSTEET. Kokooma 23.1.2008. Viimeisin perustemuutos on vahvistettu 3.2.1998.

TYÖNTEKIJÄIN ELÄKELAIN MUKAISEN VAKUUTUKSEN YLEISET LASKUPERUSTEET. Kokooma 23.1.2008. Viimeisin perustemuutos on vahvistettu 3.2.1998. TYÖNTEKIJÄIN ELÄKELAIN MUKAISEN VAKUUTUKSEN YLEISET LASKUPERUSTEET Kokooma 23.1.2008. Viimeisi perustemuutos o vahvistettu 3.2.1998. TYÖNTEKIJÄIN ELÄKELAIN MUKAISEN VAKUUTUKSEN YLEISET LASKUPERUSTEET Sisällysluettelo

Lisätiedot

Ekologiset mallit ja ekologisten riskien hallinta metsäsuunnittelussa

Ekologiset mallit ja ekologisten riskien hallinta metsäsuunnittelussa Kagas & Kagas Metsätietee aikakauskirja Ekologiset mallit ja ekologiste riskie hallita metsäsuuittelussa k a t s a u s Aika Kagas Aika Kagas ja Jyrki Kagas Ekologiset mallit ja ekologiste riskie hallita

Lisätiedot

Äärellisesti generoitujen Abelin ryhmien peruslause

Äärellisesti generoitujen Abelin ryhmien peruslause Tero Harju (2008/2010) Äärellisesti generoitujen Abelin ryhmien peruslause Merkintä X on joukon koko ( eli #X). Vapaat Abelin ryhmät Tässä kappaleessa käytetään Abelin ryhmille additiivista merkintää.

Lisätiedot

3.9. Mallintaminen lukujonojen avulla harjoituksia

3.9. Mallintaminen lukujonojen avulla harjoituksia 3.9 Mallitamie lukujooje avulla harjoituksia 3.9. Mallitamie lukujooje avulla harjoituksia Lukujoo määritelmä harjoituksia 3. Laske lukujoo viisi esimmäistä jäsetä, ku a) a 6 ja b) a 6 ja 3 8 c) a ja 3

Lisätiedot

Yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli

Yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli Ilkka Melli Tilastolliset meetelmät Osa 4: Lieaarie regressioaalyysi Yhde selittäjä lieaarie regressiomalli TKK (c) Ilkka Melli (007) Yhde selittäjä lieaarie regressiomalli >> Yhde selittäjä lieaarie regressiomalli

Lisätiedot

Luku 6. Dynaaminen ohjelmointi. 6.1 Funktion muisti

Luku 6. Dynaaminen ohjelmointi. 6.1 Funktion muisti Luku 6 Dynaaminen ohjelmointi Dynaamisessa ohjelmoinnissa on ideana jakaa ongelman ratkaisu pienempiin osaongelmiin, jotka voidaan ratkaista toisistaan riippumattomasti. Jokaisen osaongelman ratkaisu tallennetaan

Lisätiedot

2.3.1. Aritmeettinen jono

2.3.1. Aritmeettinen jono .3.1. Aritmeettie joo -joo, jossa seuraava termi saadaa edellisestä lisäämällä sama luku a, a + d, a+d, a +3d, Aritmeettisessa joossa kahde peräkkäise termi erotus o aia vakio: Siis a +1 a d (vakio Joo

Lisätiedot

Johtamisjärjestelmän uudistaminen

Johtamisjärjestelmän uudistaminen Helsigi kaupuki Johtamisjärjestelmä uudistamie Reuaehdot, vertailut ja mahdollisuudet Johtamisjärjestelmä uudistamie 1 Johtamisjärjestelmä uudistamie Reuaehdot, vertailut ja mahdollisuudet Sisällysluettelo

Lisätiedot

5.2 Ensimmäisen asteen yhtälö

5.2 Ensimmäisen asteen yhtälö 5. Ensimmäisen asteen ytälö 5. Ensimmäisen asteen yhtälö Aloitetaan antamalla nimi yhtälön osille. Nyt annettavat nimet eivät riipu yhtälön tyypistä tai asteesta. Tarkastellaan seuraavaa yhtälöä. Emme

Lisätiedot

Matematiikkalehti 1/2015. http://solmu.math.helsinki.fi

Matematiikkalehti 1/2015. http://solmu.math.helsinki.fi Matematiikkalehti /205 http://solmu.math.helsiki.fi 2 Solmu /205 Solmu /205 ISSN-L 458-8048 ISSN 459-0395 (Paiettu) ISSN 458-8048 (Verkkolehti) Matematiika ja tilastotietee laitos PL 68 (Gustaf Hällströmi

Lisätiedot

MATKAILUTEOLLISUUDEN HANKETARKASTELUT - OSTAJAN OPAS

MATKAILUTEOLLISUUDEN HANKETARKASTELUT - OSTAJAN OPAS MATKAILUTEOLLISUUDEN HANKETARKASTELUT - OSTAJAN OPAS Martti Paloperä Vespertie 8 A 8, 00320 Helsiki mobiili 040 555 4707 martti.palopera@hia.fi - www.hia.fi MATKAILUTEOLLISUUDEN HANKETARKASTELUT 2 Esimmäiset

Lisätiedot

TKK, TTY, LTY, OY, ÅA, VY, TY / Insinööriosastot Valintakuulustelujen matematiikan koe 31.5.2005

TKK, TTY, LTY, OY, ÅA, VY, TY / Insinööriosastot Valintakuulustelujen matematiikan koe 31.5.2005 TKK, TTY, LTY, OY, ÅA, VY, TY / Isiööriosastot Valitakuulusteluje matematiika koe.5.005 sarja A Ohjeita. Sijoita jokaie tehtävä omalle sivullee. Laadi ratkaisut selkeästi välivaiheiee, tarvittaessa kirjoita

Lisätiedot

1/5. Markkinointiinstituutti. Max pisteet Annettu tieto Pisteet Annettu tieto Pisteet. Max pisteet Annettu tieto Pisteet Annettu tieto Pisteet

1/5. Markkinointiinstituutti. Max pisteet Annettu tieto Pisteet Annettu tieto Pisteet. Max pisteet Annettu tieto Pisteet Annettu tieto Pisteet 1/5 TARJOUSTEN VERTAILUTAULUKKO H085-15 / Dro HEL 2015-005438 / Oppisopimuskoulutuksea järjestetettävä KIINTEISTÖNVÄLITYSALAN AMMATTITUTKINTOON valmistava koulutukse tietopuolise koulutukse ja äyttötutkio

Lisätiedot

- menetelmän pitää perustua johonkin standardissa ISO 140-5 esitetyistä menetelmistä

- menetelmän pitää perustua johonkin standardissa ISO 140-5 esitetyistä menetelmistä RAKENNUKSEN ULKOVAIPAN ÄÄNENERISTYSTÄ KOSKEVAN ASEMAKAAVAMÄÄRÄYKSEN TOTEUTUMISEN VALVONTA MITTAUKSIN Mikko Kylliäie, Valtteri Hogisto 2 Isiööritoimisto Heikki Helimäki Oy Piikatu 58 A, 3300 Tampere mikko.kylliaie@helimaki.fi

Lisätiedot

Mat-2.104 Tilastollisen analyysin perusteet. Testit suhdeasteikollisille muuttujille. Avainsanat:

Mat-2.104 Tilastollisen analyysin perusteet. Testit suhdeasteikollisille muuttujille. Avainsanat: Mat-.04 Tilastollise aalyysi perusteet / Ratkaisut Aiheet: Avaisaat: Testit suhdeasteikollisille muuttujille Hypoteesi, Kahde riippumattoma otokse t-testit, Nollahypoteesi, p-arvo, Päätössäätö, Testi,

Lisätiedot

110. 111. 112. 113. 114. 4. Matriisit ja vektorit. 4.1. Matriisin käsite. 4.2. Matriisialgebra. Olkoon A = , B = Laske A + B, 5 14 9, 1 3 3

110. 111. 112. 113. 114. 4. Matriisit ja vektorit. 4.1. Matriisin käsite. 4.2. Matriisialgebra. Olkoon A = , B = Laske A + B, 5 14 9, 1 3 3 4 Matriisit ja vektorit 4 Matriisin käsite 42 Matriisialgebra 0 2 2 0, B = 2 2 4 6 2 Laske A + B, 2 A + B, AB ja BA A + B = 2 4 6 5, 2 A + B = 5 9 6 5 4 9, 4 7 6 AB = 0 0 0 6 0 0 0, B 22 2 2 0 0 0 6 5

Lisätiedot

Kaksiulotteinen normaalijakauma Mitta-asteikot Havaintoaineiston kuvaaminen ja otostunnusluvut

Kaksiulotteinen normaalijakauma Mitta-asteikot Havaintoaineiston kuvaaminen ja otostunnusluvut Mat-2.09 Sovellettu todeäköisyyslasku /Ratkaisut Aiheet: Kaksiulotteie ormaalijakauma Mitta-asteikot Havaitoaieisto kuvaamie ja otostuusluvut Avaisaat: Ehdollie jakauma, Ehdollie odotusarvo, Ehdollie variassi,

Lisätiedot

VÄRISPEKTRIKUVIEN TEHOKAS SIIRTO TIETOVERKOISSA

VÄRISPEKTRIKUVIEN TEHOKAS SIIRTO TIETOVERKOISSA VÄRISPEKTRIKUVIEN TEHOKAS SIIRTO TIETOVERKOISSA Juha Lehtoe 0.3.00 Joesuu yliopisto Tietojekäsittelytiede Kadidaatitutkielma ESIPUHE Ole kirjoittaut tämä kadidaatitutkielma Joesuu yliopistossa Tietojekäsittelytietee

Lisätiedot

Kolmivaihejärjestelmän oikosulkuvirran laskemista ja vaikutuksia käsitellään standardeissa IEC-60909, 60909-1, 60909-2, 60781, 60865-1 ja 60865-2.

Kolmivaihejärjestelmän oikosulkuvirran laskemista ja vaikutuksia käsitellään standardeissa IEC-60909, 60909-1, 60909-2, 60781, 60865-1 ja 60865-2. Luu 7: Oiosulusuojaus 7. OIKOLKOJA 7.. Yleistä Vero laitteide mitoittamisessa, oiosulusuojause suuittelussa ja turvallise äytö suuittelussa o tuettava oiosuluvirrat eri tilateissa ja eri osissa veroa.

Lisätiedot

Ongelma(t): Miten merkkijonoja voidaan hakea tehokkaasti? Millaisia hakuongelmia liittyy bioinformatiikkaan?

Ongelma(t): Miten merkkijonoja voidaan hakea tehokkaasti? Millaisia hakuongelmia liittyy bioinformatiikkaan? Ongelma(t): Miten merkkijonoja voidaan hakea tehokkaasti? Millaisia hakuongelmia liittyy bioinformatiikkaan? 2012-2013 Lasse Lensu 2 Ihmisen, eläinten ja kasvien hyvinvoinnin kannalta nykyaikaiset mittaus-,

Lisätiedot

Polynomien laskutoimitukset

Polynomien laskutoimitukset Polyomie lskutoimitukset Polyomi o summluseke, joss jokie yhteelskettv (termi) sisältää vi vkio j muuttuj välisiä kertolskuj. Esimerkki 0. Mm., 6 j ovt polyomej. Polyomist, joss o vi yksi termi, käytetää

Lisätiedot

Vastaus: Kertymäfunktio on F( x) = x, kun 0 x 20. Todennäköisyydet ovat molemmat 1. Frekvenssi f

Vastaus: Kertymäfunktio on F( x) = x, kun 0 x 20. Todennäköisyydet ovat molemmat 1. Frekvenssi f 0, ku x < 0 Vastaus: Kertymäfuktio o F( x) = x, ku 0 x 0 0, ku x > 0 Todeäköisyydet ovat molemmat 0. Laudatur MAA ratkaisut kertausharjoituksii Tilastoje esittämie 3. a) Tietty kasvi b) Kukkie lukumäärä

Lisätiedot

Pythagoraan polku 16.4.2011

Pythagoraan polku 16.4.2011 Pythagoraan polku 6.4.20. Todista väittämä: Jos tasakylkisen kolmion toista kylkeä jatketaan omalla pituudellaan huipun toiselle puolelle ja jatkeen päätepiste yhdistetään kannan toisen päätepisteen kanssa,

Lisätiedot

Hyvä säätiötapa. www.saatiopalvelu.fi

Hyvä säätiötapa. www.saatiopalvelu.fi Hyvä säätiötapa SÄÄTIÖIDEN JA RAHASTOJEN NEUVOTTELUKUNTA RY DELEGATIONEN FÖR STIFTELSER OCH FONDER RF www.saatiopalvelu.fi 1 Cotets Hyvä säätiötapa 1 Johdato 2 Hyvä säätiötava oudattamie Apurahat ja palkiot

Lisätiedot

PAIKALLISTOIMIJOIDEN KOULUTUSTARPEET KESKI-SUOMESSA 2007

PAIKALLISTOIMIJOIDEN KOULUTUSTARPEET KESKI-SUOMESSA 2007 PAIKALLISTOIMIJOIDEN KOULUTUSTARPEET KESKI-SUOMESSA 007 Maaseudu Muutos Mahdollisuudeksi hake Haa Parkkola Joulukuu 007 TIIVISTELMÄ Suomessa toimii oi 7 000 rekisteröityä yhdistystä ja iso määrä rekisteröimättömiä

Lisätiedot

Ohjelmoinnin perusteet Y Python

Ohjelmoinnin perusteet Y Python Ohjelmoinnin perusteet Y Python T-106.1208 15.3.2010 T-106.1208 Ohjelmoinnin perusteet Y 15.3.2010 1 / 56 Tiedostoista: tietojen tallentaminen ohjelman suorituskertojen välillä Monissa sovelluksissa ohjelman

Lisätiedot

Java-kielen perusteet

Java-kielen perusteet Java-kielen perusteet String-merkkijonoluokka 1 Ohjelmointikielten merkkijonot Merkkijonot ja niiden käsittely on välttämätöntä ohjelmoinnissa Valitettavasti ohjelmointikielten tekijät eivät tätä ole ottaneet

Lisätiedot

Algoritmit 1. Luento 13 Ti 23.2.2016. Timo Männikkö

Algoritmit 1. Luento 13 Ti 23.2.2016. Timo Männikkö Algoritmit 1 Luento 13 Ti 23.2.2016 Timo Männikkö Luento 13 Suunnittelumenetelmät Taulukointi Kapsäkkiongelma Ahne menetelmä Verkon lyhimmät polut Dijkstran menetelmä Verkon lyhin virittävä puu Kruskalin

Lisätiedot

15 MEKAANISET AALLOT (Mechanical Waves)

15 MEKAANISET AALLOT (Mechanical Waves) 3 15 MEKAANISET AALLOT (Mechaical Waves) Luoto o täyä aaltoja. Aaltoliikettä voi sytyä systeemeissä, jotka poikkeutettua tasapaiotilastaa pyrkivät palaamaa siihe takaisi. Aalto eteee, ku poikkeama (häiriö)

Lisätiedot

Funktion määrittely (1/2)

Funktion määrittely (1/2) Funktion määrittely (1/2) Funktio f : A B on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon A alkioon a täsmälleen yhden B:n alkion b. Merkitään b = f (a). Tässä A = M f on f :n määrittelyjoukko, B on f :n maalijoukko.

Lisätiedot

Huom 4 Jaksollisten suoritusten periaate soveltuu luonnollisesti laina- ja luottolaskelmiin. Lähtökohtaisena yhtälönä on yhtälö (14).

Huom 4 Jaksollisten suoritusten periaate soveltuu luonnollisesti laina- ja luottolaskelmiin. Lähtökohtaisena yhtälönä on yhtälö (14). Auiteettiperiaate Huom 4 Jaksolliste suorituste periaate soveltuu luoollisesti laia- ja luottolaskelmii. Lähtökohtaisea yhtälöä o yhtälö (14). Auiteetti Nimellisarvoltaa K 0 suuruise laia maksuerä k, joka

Lisätiedot

Esimerkki 2 (Kaupparatsuongelma eli TSP)

Esimerkki 2 (Kaupparatsuongelma eli TSP) 10 Esimerkki 2 (Kaupparatsuogelma eli TSP) Kauppamatkustaja o kierrettävä kaupukia site, että hä lähtee kaupugista 1 ja palaa sie sekä käy jokaisessa muussa kaupugissa täsmällee kerra. Matka kaupugista

Lisätiedot

10. Painotetut graafit

10. Painotetut graafit 10. Painotetut graafit Esiintyy monesti sovelluksia, joita on kätevä esittää graafeina. Tällaisia ovat esim. tietoverkko tai maantieverkko. Näihin liittyy erinäisiä tekijöitä. Tietoverkkoja käytettäessä

Lisätiedot

LOAD R1, =2 Sijoitetaan rekisteriin R1 arvo 2. LOAD R1, 100

LOAD R1, =2 Sijoitetaan rekisteriin R1 arvo 2. LOAD R1, 100 Tiedonsiirtokäskyt LOAD LOAD-käsky toimii jälkimmäisestä operandista ensimmäiseen. Ensimmäisen operandin pitää olla rekisteri, toinen voi olla rekisteri, vakio tai muistiosoite (myös muuttujat ovat muistiosoitteita).

Lisätiedot

JÄRJESTELMÄTARKASTELU JA OPTIMOINTI VAIMENNINAKUSTIIKASSA

JÄRJESTELMÄTARKASTELU JA OPTIMOINTI VAIMENNINAKUSTIIKASSA JÄRJESTELMÄTARKASTELU JA OPTIMOINTI VAIMENNINAKUSTIIKASSA Jukka Tattari ja Jari Kataja VTT Tuotteet ja tuotato PL 137, 3311 TAMPERE etuimi.sukuimi@vtt.fi 1 JOHDANTO Esitemässä tarkasteaa reaktiivisii kompoetteihi

Lisätiedot

Sisällys. Kaavioiden rakenne. Kaavioiden piirto symboleita yhdistelemällä. Kaavion osan toistaminen silmukalla. Esimerkkejä. 2.2

Sisällys. Kaavioiden rakenne. Kaavioiden piirto symboleita yhdistelemällä. Kaavion osan toistaminen silmukalla. Esimerkkejä. 2.2 2. Vuokaaviot 2.1 Sisällys aavioiden rakenne. aavioiden piirto symboleita yhdistelemällä. aavion osan toistaminen silmukalla. simerkkejä. 2.2 Vuokaaviot Graafinen kieli algoritmien kuvaamiseen. Muodostetaan

Lisätiedot

Nimittäin, koska s k x a r mod (p 1), saadaan Fermat n pienen lauseen avulla

Nimittäin, koska s k x a r mod (p 1), saadaan Fermat n pienen lauseen avulla 6. Digitaalinen allekirjoitus Digitaalinen allekirjoitus palvelee samaa tarkoitusta kuin perinteinen käsin kirjotettu allekirjoitus, t.s. Liisa allekirjoittaessaan Pentille lähettämän viestin, hän antaa

Lisätiedot

YKSIULOTTEINEN JÄNNITYSTILA

YKSIULOTTEINEN JÄNNITYSTILA YKSIULOTTEINEN JÄNNITYSTILA Normaalijäits N N Leikkausjäits Q Q KAKSIULOTTEINEN JÄNNITYSTILA Lerakee STRE SS CONTOURS OF SE 4.4483 8.8966 4.345 65.793 7.4 48.69 9.38 33.586 373.35 Ma 45.4 At Node 438 Mi.9

Lisätiedot

Palmikkoryhmät kryptografiassa

Palmikkoryhmät kryptografiassa Palmikkoryhmät kryptografiassa Jarkko Peltomäki 27. marraskuuta 2010 Palmikkoryhmät ovat epäkommutatiivisia äärettömiä ryhmiä. Niillä on monimutkainen rakenne, mutta toisaalta niillä on geometrinen tulkinta

Lisätiedot

Valo-oppia. Haarto & Karhunen. www.turkuamk.fi

Valo-oppia. Haarto & Karhunen. www.turkuamk.fi Valo-oia Haarto & Karhue Valo sähkömageettisia aaltoia Sähkömageettiste aaltoje teoria erustuu Maxwelli yhtälöihi S S E da 0 B da Q (Gaussi laki) 0 (Gaussi laki magetismissa) dφb E ds dt (Faraday laki)

Lisätiedot

Kanavamallien vertailu LTE-järjestelmissä

Kanavamallien vertailu LTE-järjestelmissä Juha Jäämaa Kaavamallie vertailu LTE-järjestelmissä Elektroiika, tietoliiketee ja automaatio tiedekuta Diplomityö, joka o jätetty opiäytteeä tarkastettavaksi diplomi-isiööri tutkitoa varte Espoossa 0.5.00.

Lisätiedot

Osa 1(2) s. 1-51(106) https://stanforduniversity.qualtrics.com/se/?sid=sv_dgtsxmboa9tfovf. Mikä on nimesi? Mikä on sähköpostiosoitteesi?

Osa 1(2) s. 1-51(106) https://stanforduniversity.qualtrics.com/se/?sid=sv_dgtsxmboa9tfovf. Mikä on nimesi? Mikä on sähköpostiosoitteesi? Osa 1(2) s. 1-51(106) https://staforduiversity.qualtrics.com/se/?sid=sv_dgtsxmboa9tfovf Mikä o imesi? Mikä o sähköpostiosoitteesi? Mikä o tittelisi ja asemasi? Mikä o osaamisalueesi? ja maastoliikeelaki

Lisätiedot

Ongelma(t): Miten tietokoneen komponentteja voi ohjata siten, että ne tekevät yhdessä jotakin järkevää? Voiko tietokonetta ohjata (ohjelmoida) siten,

Ongelma(t): Miten tietokoneen komponentteja voi ohjata siten, että ne tekevät yhdessä jotakin järkevää? Voiko tietokonetta ohjata (ohjelmoida) siten, Ongelma(t): Miten tietokoneen komponentteja voi ohjata siten, että ne tekevät yhdessä jotakin järkevää? Voiko tietokonetta ohjata (ohjelmoida) siten, että se pystyy suorittamaan kaikki mahdolliset algoritmit?

Lisätiedot

Korkojen aikarakenteen ja tulevan inflaation välinen yhteys

Korkojen aikarakenteen ja tulevan inflaation välinen yhteys Korkoje aikaraketee ja tuleva iflaatio välie yhteys Perttu Tuomi Pro gradu -tutkielma Kasataloustietee laitos Tamperee yliopisto Toukokuu 2000 1 Tamperee yliopisto Kasataloustietee laitos TUOMI PERTTU:

Lisätiedot

A274101 TIETORAKENTEET JA ALGORITMIT

A274101 TIETORAKENTEET JA ALGORITMIT A274101 TIETORAKENTEET JA ALGORITMIT ALGORITMIEN ANALYYSISTÄ 1.ratkaisu Laskentaaika hakkeri - optimoitu ALGORITMIANALYYSIÄ hyvä algoritmi hakkeri -optimoitu hyvä algoritmi Tehtävän koko Kuva mukailtu

Lisätiedot

Esimerkki A1. Jaetaan ryhmä G = Z 17 H = 4 = {1, 4, 4 2 = 16 = 1, 4 3 = 4 = 13, 4 4 = 16 = 1}.

Esimerkki A1. Jaetaan ryhmä G = Z 17 H = 4 = {1, 4, 4 2 = 16 = 1, 4 3 = 4 = 13, 4 4 = 16 = 1}. Jaetaan ryhmä G = Z 17 n H = 4 sivuluokkiin. Ratkaisu: Koska 17 on alkuluku, #G = 16, alkiona jäännösluokat a, a = 1, 2,..., 16. Määrätään ensin n H alkiot: H = 4 = {1, 4, 4 2 = 16 = 1, 4 3 = 4 = 13, 4

Lisätiedot

Palaset irroittaa toisistaan voidaan järjestää uudestaan siten, että ne muodostavat seuraavan laisen

Palaset irroittaa toisistaan voidaan järjestää uudestaan siten, että ne muodostavat seuraavan laisen Seeia Torstai. 8. 000 iboacci lukujoolla tarkoitetaa jooa, joka. ja. luku ovat ykkösiä, ja uut luvut saadaa laskealla kaksi edellistä lukua yhtee. Se o saaut iesä 00 luvulla eläee iboaccicsi kutsutu Leoardo

Lisätiedot

SALAUSMENETELMÄT. Osa 2. Etätehtävät

SALAUSMENETELMÄT. Osa 2. Etätehtävät SALAUSMENETELMÄT Osa 2 Etätehtävät A. Kysymyksiä, jotka perustuvat luentomateriaaliin 1. Määrittele, mitä tarkoitetaan tiedon eheydellä tieoturvan yhteydessä. 2. Määrittele, mitä tarkoittaa kiistämättömyys

Lisätiedot

MAB7 Talousmatematiikka. Otavan Opisto / Kati Jordan

MAB7 Talousmatematiikka. Otavan Opisto / Kati Jordan 3.3 Laiat MAB7 Talousmatematiia Otava Opisto / Kati Jorda Laia ottamie Suuri osa ihmisistä ottaa laiaa jossai elämävaiheessa. Pailaiaa tarvitaa yleesä vauusia ja/tai taausia. Laiatulle pääomalle masetaa

Lisätiedot

Kuva 22: Fraktaalinen kukkakaali. pituus on siis 4 AB. On selvää, että käyrän pituus kasvaa n:n kasvaessa,

Kuva 22: Fraktaalinen kukkakaali. pituus on siis 4 AB. On selvää, että käyrän pituus kasvaa n:n kasvaessa, Tortai 6..999 = Geometria o hyvä tapa kuvata ykikertaiia kappaleita, mutta kappaleie tullea äärettömä moimutkaiiki, käy iie kuvaamie klaie geometria avulla mahottomaki. Eimerkiki rataviiva pituue määrittämie

Lisätiedot

Yhteisvoimin. Pohjoismaiden ministerineuvoston Ruotsin-puheenjohtajakauden ohjelma 2008

Yhteisvoimin. Pohjoismaiden ministerineuvoston Ruotsin-puheenjohtajakauden ohjelma 2008 Yhteisvoimi Pohjoismaide miisterieuvosto Ruotsi-puheejohtajakaude ohjelma 2008 Yhteisvoimi Pohjoismaide miisterieuvosto Ruotsipuheejohtajakaude ohjelma 2008 ANP 2007:742 Pohjoismaide miisterieuvosto, Kööpehamia

Lisätiedot

Aamukatsaus 03.06.2002

Aamukatsaus 03.06.2002 Ideksit & korot New Yorki päätöskurssit, euroa Muutos Päätös Muutos-% Helsiki New York (NY/Hel) Dow Joes 9925,3 +0,14 Nokia 15,36 14,87-3,20 % S&P 500 1067,1 +0,23 Soera 3,97 3,78-4,75 % Nasdaq 1615,7-0,99

Lisätiedot

Ongelma 1: Miten tieto kannattaa koodata, jos sen halutaan olevan hyvin vaikeasti luettavaa?

Ongelma 1: Miten tieto kannattaa koodata, jos sen halutaan olevan hyvin vaikeasti luettavaa? Ongelma 1: Miten tieto kannattaa koodata, jos sen halutaan olevan hyvin vaikeasti luettavaa? 2012-2013 Lasse Lensu 2 Ongelma 2: Miten tietoa voidaan (uudelleen)koodata tehokkaasti? 2012-2013 Lasse Lensu

Lisätiedot

a b c d + + + + + + + + +

a b c d + + + + + + + + + 28. 10. 2010!"$#&%(')'+*(#-,.*/1032/465$*784 /(9:*;9."$ *;5> *@9 a b c d 1. + + + 2. 3. 4. 5. 6. + + + + + + + + + + P1. Valitaan kannaksi sivu, jonka pituus on 4. Koska toinen jäljelle jäävistä sivuista

Lisätiedot

Kantobiomassan määrän mallintaminen leimikoissa hakkuukonemittausten avulla

Kantobiomassan määrän mallintaminen leimikoissa hakkuukonemittausten avulla Metsätietee päivä, 6.0.0 Katobiomassa määrä mallitamie leimikoissa hakkuukoemittauste avulla Heikki Ovaskaie, Itä Suome yliopisto Pirkko Pihlaja, UPM Kymmee Teijo Palader, Itä Suome yliopisto Johdato Suomessa

Lisätiedot