Ositetuista matriiseista

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Ositetuista matriiseista"

Transkriptio

1 TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Anja Kuronen Ositetuista matriiseista Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Joulukuu 2010

2 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos KURONEN, ANJA: Ositetuista matriiseista Pro gradu -tutkielma, 29 s Matematiikka Joulukuu 2010 Tiivistelmä Tutkielman aiheena on ositetut matriisit, joiden sovelluksia hyödynnetään paljon muun muassa tilastotieteessä Matriisit voidaan osittaa monella eri tavalla, mutta tässä työssä keskitytään 2 2 -muodostelmassa ositettuun matriisiin, koska se on todettu hyödyllisimmäksi ositetuista matriiseista Ositetun matriisin peruslaskutoimitukset ja alkeismuunnokset voidaan määritellä vastaavasti kuin tavalliselle matriisille Tutkielmassa esitetään ositetun matriisin determinanttiin ja käänteismatriisiin liittyviä tuloksia ja todistetaan niitä Ositettujen matriisien avulla voidaan todistaa myös yleisiä matriiseihin liittyviä tuloksia Työssä käsitellään tuloksia, jotka koskevat summan käänteismatriisia, summan ja tulon astetta sekä tulon ominaisarvoa Lopuksi käsitellään jatkuvuusperiaatetta, joka on eniten käytettyjä tekniikoita matriisiteoriassa Pääasiallisena lähdeteoksena tässä tutkielmassa on käytetty Fuzhen Zhangin kirjaa Matrix theory: basic results and techniques Toisena lähdeteoksena on käytetty Karim Abadirin ja Jan Magnusin kirjaa Matrix algebra 1

3 Sisältö 1 Johdanto 3 2 Esitietoja 4 21 Matriisi ja peruslaskutoimitukset 4 22 Matriisin alkeismuunnokset ja muita määritelmiä 5 3 Ositetut matriisit 8 31 Määrittely 8 32 Alkeismuunnokset Determinantti ja käänteismatriisi Summan käänteismatriisi Tulon ja summan aste Tulojen AB ja BA ominaisarvot Jatkuvuusperiaate 27 Viitteet 31 2

4 1 Johdanto Tämä tutkielma käsittelee ositettuja matriiseja ja niihin liittyviä tuloksia Ositettuja matriiseja sovelletaan muun muassa tilastotieteessä Ositetut matriisit määritellään ja niiden peruslaskutoimituksia tarkastellaan luvun kolme alussa Määritelmien jälkeen käsitellään ositetun matriisin alkeismuunnoksia, jotka voidaan määritellä vastaavasti kuin tavalliselle matriisille Tämän jälkeen todistetaan ositetun matriisin determinanttiin ja käänteismatriisiin liittyviä lauseita Ositettujen matriisien avulla voidaan todistaa myös yleisiä matriiseihin liittyviä tuloksia Tästä esimerkkinä todistetaan lauseita, jotka käsittelevät summan käänteismatriisia, summan ja tulon astetta sekä tulojen AB ja BA ominaisarvoja Lopuksi käsitellään jatkuvuusperiaatteen käyttämistä lauseiden todistamisessa Lauseita selvennetään esimerkkien avulla Pääasiallisena lähdeteoksena tässä tutkielmassa on käytetty Fuzhen Zhangin kirjaa Matrix theory: basic results and techniques [2] Zhangin kirjasta käsitellään tarkemmin lukua 2, Partitioned Matrices Toisena lähdeteoksena on käytetty Karim Abadirin ja Jan Magnusin kirjaa Matrix algebra [1] Tutkielman lukijalta edellytetään lineaarialgebran osaamista, ja joitakin perustuloksia oletetaan tunnetuiksi, kuten determinanttiin liittyviä laskusääntöjä Seuraavaksi luvussa kaksi käsitellään tarkemmin, mitä tietoja lukijalta odotetaan, ja annetaan jatkossa tarvittavia määritelmiä kertauksenomaisesti 3

5 2 Esitietoja Ositettujen matriisien ymmärtäminen edellyttää lineaarialgebran perusteiden hallintaa Lukijalta edellytetään matriisien ja niiden laskutoimitusten osaamista, sekä matriiseihin liittyvien käsitteiden hallitsemista Seuraavaksi käydään läpi niitä peruskäsitteitä, joita tässä tutkielmassa käytetään 21 Matriisi ja peruslaskutoimitukset Matriisien määrittelyssä tarvitaan kunnan käsitettä Oletetaan kunta-aksioomat tunnetuiksi Merkitään kuntaa symbolilla F Kun kunta F on tarpeen määritellä joksikin tietyksi joukoksi tässä tutkielmassa, niin se on yleensä reaalilukujen joukko, R, tai kompleksilukujen joukko, C Määritellään matriisi ja matriisien peruslaskutoimitukset Voidaan kuvailla, että m n -matriisi A on suorakulmainen taulukko a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A a m1 a m2 a mn Matriisista käytetään merkintää A (a ij ) Matriisin i rivin ja j sarakkeen alkiota merkitään symbolilla a ij Matriisin jokainen alkio a ij on kunnan F alkio, kun 1 i m ja 1 j n Alkiot a i1, a i2,, a in muodostavat matriisin i rivin ja alkiot a 1j, a 2j,, a mj muodostavat matriisin j sarakkeen Kaksi m n -matriisia A ja B ovat samat, jos matriisien kaikki vastinalkiot ovat yhtä suuria eli a ij b ij, kun 1 i m ja 1 j n Kaikkien m n -matriisien, joiden alkiot ovat kunnasta F, joukkoa merkitään symbolilla F m n Olkoot A, B F m n, ja olkoon skalaari c F Määritellään nyt matriisien yhteenlasku A + B ja skalaarilla kertominen ca seuraavasti: (a ij ) + (b ij ) (a ij + b ij ) ja c(a ij ) (ca ij ), kun 1 i m ja 1 j n Matriisia A + B sanotaan summamatriisiksi tai lyhyemmin summaksi Matriisien A ja B tulo AB C on matriisi, jonka alkio c ij saadaan a i1 b 1j + a i2 b 2j + + a in b nj Matriisilla A on oltava yhtä monta saraketta kuin matriisilla B on rivejä, jotta niiden tulo voidaan laskea Matriisia AB sanotaan tulomatriisiksi tai lyhyemmin tuloksi 4

6 22 Matriisin alkeismuunnokset ja muita määritelmiä Tässä kappaleessa annetaan matriiseihin liittyviä määritelmiä, joita tarvitaan seuraavassa luvussa Aloitetaan määrittelemällä alkeismuunnokset ja yleisesti käytettyjä matriisien erikoistapauksia, kuten yksikkö- ja nollamatriisi sekä alimatriisi Määritelmä 21 Matriisin alkeismuunnokset voidaan jakaa alkeisrivimuunnoksiin ja alkeissarakemuunnoksiin Alkeisrivimuunnoksia ovat I kaksi riviä vaihdetaan, II yksi rivi kerrotaan nollasta eroavalla vakiolla ja III yhteen riviin lisätään toinen rivi vakiolla kerrottuna Alkeismuunnokset määritellään sarakkeille vastaavasti kuin riveille Määritelmä 22 Yksikkömatriisi eli identiteettimatriisi on neliömatriisi, jonka alkiot a ii ovat ykkösiä ja alkiot a ij, kun i j, ovat nollia Merkitään yksikkömatriisia symbolilla I Nollamatriisi on m n -matriisi, jonka kaikki alkiot ovat nollia Merkitään nollamatriisia symbolilla Yksikkömatriisia voidaan merkitä symbolilla I n, kun halutaan korostaa sen olevan n n -matriisi Vastaavasti m n -nollamatriisia voidaan merkitä symbolilla 0 m n Määritelmä 23 Matriisin A alimatriisi saadaan poistamalla osa matriisiin riveistä ja sarakkeista Jos pois jätetään alimmat rivit ja oikeanpuoleisimmat sarakkeet, niin saadaan pääalimatriisi Määritellään seuraavaksi muutamia muita matriiseihin liittyviä käsitteitä, kuten transpoosi, determinantti ja kääntyvä matriisi Otetaan niihin liittyviä tuloksia käyttöön todistamatta niitä 5

7 Määritelmä 24 Matriisin A (a ij ) transpoosi A T (a ji ) saadaan muuttamalla rivit sarakkeiksi ja sarakkeet riveiksi Matriisi A on symmetrinen, jos A T A Määritelmä 25 Matriisin A (a ij ) C m n konjugaattitranspoosi, jota merkitään symbolilla A, on A (ā ji ) C n m, missä ā ji on alkion a ji kompleksikonjugaatti Määritelmä 26 Neliömatriisin A determinantti on luku, jota merkitään a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n det A a n1 a n2 a nn Kun n 1, det A a 11 Kun n 2, det A a 11 a 22 a 12 a 21 Yleisesti matriisin determinantti määritellään induktiivisesti kaavalla (21) det A n ( 1) i+j a ij det A(i j), j1 kun i 1,, n Kaavassa (21) symbolilla A(i j) merkitään matriisin A alimatriisia, joka saadaan matriisista A poistamalla rivi i ja sarake j Lause 21 Olkoot matriisit A ja B n n -matriiseja Tällöin Todistus Sivuutetaan det(ab) det A det B Määritelmä 27 Neliömatriisi A on kääntyvä, jos on olemassa sellainen matriisi B, että AB BA I Matriisia B sanotaan matriisin A käänteismatriisiksi ja sitä merkitään symbolilla A 1 Matriisia, joka ei ole kääntyvä, sanotaan singulaariseksi Määritelmä 28 Matriisin aste on matriisin lineaarisesti riippumattomien rivien lukumäärän Merkitään matriisin A astetta symbolilla rank(a) Jos A 0, niin rank(a) 0 6

8 Lause 22 Olkoon matriisi A F m n Silloin on olemassa sellaiset kääntyvät matriisit P F m m ja Q F n n, että Ir 0 P AQ 0 0 Yksikkömatriisin I r rivien lukumäärä r on matriisin A aste Todistus Sivuutetaan Oletetaan seuraava tulos tunnetuksi rank(a) rank(a T ) rank(ā) rank(a ) ja otetaan se käyttöön todistamatta sitä Tarvitaan vielä nolla-avaruuden ja kuva-avaruuden käsitteitä, joten kerrataan niiden määritelmät Määritelmä 29 Tulkitaan matriisi A F m n lineaarikuvaukseksi A : F n F m Määritellään lineaarikuvauksen A ydin eli nolla-avaruus Ker A {x F n : Ax 0} F m ja kuva-avaruus Im A {Ax : x F n } Oletetaan tunnetuksi seuraava tulos Olkoon A : V W lineaarikuvaus n-ulotteiselta vektoriavaruudelta V Silloin dim Im A + dim Ker A n 7

9 3 Ositetut matriisit Aloitetaan luku määrittelemällä ositettu matriisi ja tarkastellaan ositetun matriisin peruslaskutoimituksia Tämän jälkeen käsitellään ositettujen matriisien alkeismuunnoksia, determinanttia ja käänteismatriisia, ja todistetaan niihin liittyviä lauseita Todistetaan myös summan käänteismatriisia, tulon ja summan astetta sekä tulon ominaisarvoa koskevia tuloksia hyödyntäen ositettuja matriiseja Luvun lopussa esitellään yleisesti käytetty jatkuvuusperiaate 31 Määrittely Määritelmä 31 Ositettu matriisi saadaan jakamalla matriisi alimatriiseihin Nämä erilliset alimatriisit, eli lohkot, muodostavat yhdessä alkuperäisen matriisin Ositetaan m n -matriisi M seuraavasti a 11 a 1p a 1,p+1 a 1n M missä alimatriisi a q1 a qp a q,p+1 a qn a q+1,1 a q+1,p a q+1,p+1 a q+1,n a m1 a mp a m,p+1 a mn A on q p -matriisi, B on q (n p) -matriisi, C on (m q) p -matriisi ja D on (m q) (n p) -matriisi A B, C D Tässä [ A B ] ja [ C D ] muodostavat ositetun matriisin M lohkorivit Vastaavasti ositetun matriisin M lohkosarakkeet ovat A B ja C D 2 2 -muodostelmassa ositetun matriisin lisäksi on olemassa myös muunlaisia ositettuja matriiseja Matriisin osittaminen sarakkeittain tai riveittäin on hyödyllistä joissakin tilanteissa Annetaan esimerkki sarakkeittain ositetusta matriisista A a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 a 41 a 42 a 43 a 51 a 52 a 53 8 S 1 S 2 S 3,

10 jossa alimatriisit ovat matriisin A sarakkeet a 11 a 12 a 21 S 1 a 31 a 41, S a 22 2 a 32 a 42 ja S a 23 3 a 33 a 43, a 51 a 52 a 53 ja esimerkki riveittäin ositetusta matriisista a 11 a 12 a 13 R 1 a 21 a 22 a 23 A a 31 a 32 a 33 a 41 a 42 a 43 R 2 R 3 R 4, a 51 a 52 a 53 R 5 jossa alimatriisit ovat matriisin A rivit R 1 a 11 a 12 a 13, R2 a 21 a 22 a 23, R3 a 31 a 32 a 33, R 4 a 41 a 42 a 43 ja R 5 a 51 a 52 a 53 Matriisin osittaminen neljään alimatriisiin 2 2 -muodostelmassa on kuitenkin osoittautunut hyödyllisimmäksi tavaksi osittaa matriisi Annetaan seuraavaksi laskusäännöt tällaisten ositettujen matriisien yhteenlaskulle ja tulolle Olkoot m n -matriisit A ja B ositettu seuraavasti A11 A A 12 B11 B ja B 12 A 21 A 22 B 21 B 22 Tällöin ositettujen matriisien summa on A11 + B A + B 11 A 12 + B 12 A 21 + B 21 A 22 + B 22 Olkoon A m n -matriisi kuten edellä ja olkoon n r -matriisi C, C11 C C 12, C 21 C 22 ositettu siten, että alla olevat tulot A ij C kl on määritetty Tällöin ositettujen matriisien tulo on A11 C AC 11 + A 12 C 21 A 11 C 12 + A 12 C 22 A 21 C 11 + A 22 C 21 A 21 C 12 + A 22 C 22 a 13 9

11 32 Alkeismuunnokset Määritelmässä 21 esitetyt matriisin alkeisrivi- ja alkeissarakemuunnokset voidaan yleistää koskemaan ositettuja matriiseja seuraavasti: I kaksi lohkoriviä vaihdetaan, II yksi lohkorivi kerrotaan vasemmalta sopivan kokoisella kääntyvällä matriisilla ja III yhteen lohkoriviin lisätään toinen lohkorivi kerrottuna vasemmalta jollakin matriisilla Alkeismuunnokset määritellään sarakkeille vastaavasti kuin riveille, mutta matriisien kertominen tapahtuu tällöin oikealta Määritelmä 32 Yksikkömatriisista I saadaan yleistetty alkeismuunnosmatriisi yksittäisellä alkeismuunnoksella Merkitään näin saatua matriisia symbolilla G Esimerkki 31 Olkoon yksikkömatriisi I ositettu seuraavasti Im 0 0 I n Tekemällä (I)-alkeisrivimuunnos saadaan G 1 [ 0 In I m 0 Tekemällä (II)-alkeisrivimuunnos kertomalla ensimmäinen rivi vasemmalta matriisilla X saadaan X 0 G 2 0 I n Tekemällä (III)-alkeisrivimuunnos lisäämällä toiseen riviin ensimmäinen rivi kerrottuna matriisilla X vasemmalta saadaan Im 0 G 3 X Matriisit G 1, G 2 ja G 3 ovat esimerkkejä yleistetyistä alkeismuunnosmatriiseista Lause 31 Olkoon G yleistetty alkeismuunnosmatriisi, joka on saatu yksikkömatriisista I yhdellä alkeisrivimuunnoksella Jos sama alkeisrivimuunnos tehdään ositetulle matriisille M, niin saadaan sama matriisi kuin tulosta GM Vastaavasti olkoon G yhdellä alkeissarakemuunnoksella yksikkömatriisista I saatu yleistetty alkeismuunnosmatriisi Jos sama alkeissarakemuunnos tehdään ositetulle matriisille M, niin saadaan sama matriisi kuin tulosta MG 10 I n ]

12 Todistus Esitetään todistuksen idea neljään alimatriisiin 2 2 -muodostelmassa ositetulle matriisille Olkoon ositettu matriisi A B M, C D missä matriisit A, B, C ja D ovat matriisin M alimatriiseja, A on m m- matriisi ja D on n n -matriisi Olkoon matriisille M tehtävä muunnos esimerkiksi (III)-alkeisrivimuunnos, jossa ensimmäinen rivi kerrottuna vasemmalta n m -matriisilla E lisätään toiseen riviin Kun sama alkeisrivimuunnos tehdään yksikkömatriisille I, saadaan yleistetty alkeismuunnosmatriisi Im 0 G E I n Nyt saadaan [ A C + EA ] B Im 0 A B GM D + EB E C D I n Muille alkeismuunnoksille todistus menee vastaavasti Esimerkki 32 Olkoon matriisi M F 3 3 ositettu matriisi a b c M d e f A B C D g h i ja olkoon yksikkömatriisi I 3 ositettu matriisi I1 0 I I 2 Tehdään matriisille M ensimmäinen alkeisrivimuunnos, jolloin saadaan d e f C D g h i A B a b c Tekemällä vastaava alkeismuunnos yksikkömatriisille I 3 saadaan alkeismuunnosmatriisi 02 1 I G 2 I

13 Tällöin tulosta GM saadaan sama matriisi kuin tekemällä alkeismuunnos suoraan matriisille M 02 1 I GM 2 A B I C D 02 1 A + I 2 C B + I 2 D I 1 A C I 1 B D d e f g h i a b c lauseen 31 mukaan Esimerkki 33 Olkoon ositettu matriisi A B M, C D missä A on kääntyvä matriisi Muunnetaan M alkeismuunnoksilla sellaiseksi, että alimatriisien B ja C paikalle saadaan nollamatriisit Lisätään ensin toiseen riviin ensimmäinen rivi kerrottuna vasemmalta matriisilla CA 1, jolloin saadaan [ A C CA 1 A ] B D CA 1 B A B 0 D CA 1 B Lisätään sitten toiseen sarakkeeseen ensimmäinen sarake kerrottuna oikealta matriisilla A 1 B, jolloin saadaan halutunlainen matriisi A B AA 1 B A 0 0 D CA 1 B 0A 1 B 0 D CA 1 B Vastaavilla yleistetyillä alkeismuunnosmatriiseilla kerrottaessa päästään samaan lopputulokseen [ ] I m 0 A B Im A 1 B A 0 CA 1 I n C D 0 I n 0 D CA 1 B Esimerkki 34 [2, Problems: 2, s 33] Olkoon matriisi X C n m Osoitetaan, että 1 Im 0 Im 0 X X I n Oletetaan, että matriisilla Im 0 X I n I n 12

14 on olemassa käänteismatriisi ja merkitään sitä ositetulla matriisilla 1 Im 0 A B X C D Käänteismatriisin määritelmän 27 mukaan voidaan kirjoittaa I n 1 Im 0 Im 0 Im 0 X I n X I n 0 I n Ositettujen matriisien kertolaskusäännöllä saadaan Im 0 Im 0 A B 0 I n X I n C D Im A + 0C I m B + 0D XA + I n C XB + I n D [ ] A B XA + C XB + D Yhtälöstä ratkaisemalla saadaan A I m, B 0, C X ja D I n, joten käänteismatriisi on 1 Im 0 Im 0 X I n X I n 33 Determinantti ja käänteismatriisi Olkoon seuraavissa tarkasteluissa M C (m+n) (m+n) ositettu matriisi A B (31) M, C D missä A on m m -neliömatriisi ja D on n n -neliömatriisi Käsitellään tällaisen ositetun matriisin M determinanttia ja käänteismatriisia Seuraavat tulokset ovat perustavanlaatuisia ja niitä hyödynnetään usein matriisilaskennassa ja matriisien epäyhtälöissä Lause 32 Olkoon M kaavan (31) mukainen ositettu matriisi ja olkoot alimatriisit A ja D neliömatriiseja Jos ositetun matriisin M alimatriisi B 0 tai C 0, niin det M det A det D Todistus [1, s 111] Oletetaan ensin, että B 0 Nyt matriisi M voidaan kirjoittaa tulona A 0 A 0 Im 0 Im 0 M C D 0 I n C I n 0 D 13

15 Yläkolmiomatriisin ja alakolmiomatriisin determinantti saadaan laskemalla diagonaalialkioiden tulo Nyt ottamalla yhtälöstä puolittain determinantti saadaan ( ) A 0 Im 0 Im 0 det M det 0 I n C I n 0 D A 0 Im 0 Im 0 det det det 0 I n C I n 0 D det A det D Oletetaan sitten, että C 0 Tällöin voidaan vastaavasti kirjoittaa matriisi M tulona A B Im 0 Im B A 0 M 0 D 0 D 0 I n 0 I n Nyt ottamalla yhtälöstä determinantti puolittain saadaan ( ) Im 0 Im B A 0 det M det 0 D 0 I n 0 I n Im 0 Im B A 0 det det det 0 D 0 I n 0 I n det D det A det A det D Esimerkki 35 Olkoon ositettu matriisi M kuten esimerkissä 32 Ratkaistaan matriisin M determinantti a b c det M d e f a(ei hf) b(di gf) + c(dh ge) g h i Jos matriisin M alimatriisi B 0, niin determinantti on a 0 0 det M det d e f a(ei hf) g h i Jos matriisin M alimatriisi C 0, niin determinantti on a b c det M det 0 e f a(ei hf) 0 h i Siis jos B 0 tai C 0, niin lauseen 32 mukaan saadaan det M det A det D det [ a ] e f det a(ei hf) h i 14

16 Lause 33 Olkoon matriisi M kaavan (31) mukainen ositettu neliömatriisi Jos matriisi A on kääntyvä, niin ja jos AC CA, niin det M det A det(d CA 1 B), det M det(ad CB) Todistus Todistetaan ensin lauseen alkuosa Oletetaan, että matriisi A on kääntyvä Kerrotaan matriisi M yleistetyllä alkeismuunnosmatriisilla seuraavasti (32) [ I m 0 CA 1 I n ] A B C D A B 0 D CA 1 B Koska (III)-alkeisrivimuunnos ei vaikuta matriisin determinantin arvoon, niin ([ ] ) I det m 0 A B CA 1 det M I n C D Kun otetaan determinantti puolittain yhtälöstä (32), niin lauseen 32 mukaan saadaan det M A B 0 D CA 1 B det A det(d CA 1 B) Todistetaan sitten lauseen toinen osa Oletetaan, että matriisit A ja C kommutoivat Tällöin matriisit A, B, C ja D ovat samankokoisia neliömatriiseja Oletetaan ensin, että A on kääntyvä Lauseen 21 mukaan saadaan det M det A det(d CA 1 B) det(a(d CA 1 B)) det(ad ACA 1 B) det(ad CAA 1 B) det(ad CB) Oletetaan sitten, että matriisi A on singulaarinen eli se ei ole kääntyvä Käytetään todistamisessa niin sanottua jatkuvuusperiaatetta Polynomifunktiolla det(a + εi) on äärellinen määrä nollakohtia, kun ε on muuttuja Tällöin voidaan valita sellainen nollakohta δ > 0, että det(a + εi) 0, kun 0 < ε < δ Toisin sanoen, A + εi on kääntyvä, kun ε (0, δ) Merkitään A + εi B M ε C D 15

17 Koska matriisien kertolasku noudattaa osittelulakia ja matriisit A ja C kommutoivat, niin saadaan (A + εi) C AC + εic CA + CεI C (A + εi) Havaitaan siis, että matriisit A + εi ja C kommutoivat Nyt saadaan (33) det M ε det((a + εi)d CB), kun 0 < ε < δ Yhtälön (33) molemmat puolet ovat jatkuvia funktioita, joissa muuttuja on ε Kun ε > 0 lähestyy nollaa, niin det M det(ad CB) Esimerkki 36 Olkoon ositettu matriisi M kuten esimerkissä 32, ja olkoon a 0 Matriisin M determinantti on a b c det M d e f a(ei hf) b(di gf) + c(dh ge) g h i Ratkaistaan luku det(d CA 1 B) Alimatriisin A käänteismatriisi on A 1 [ a 1] Ratkaistaan matriisi D CA 1 B e f d [a D CA 1 B ] [ 1 b c ] h i g e f da 1 b da 1 c h i ga 1 b ga 1 c e da 1 b f da 1 c h ga 1 b i ga 1 c Lasketaan matriisin D CA 1 B determinantti det(d CA 1 B) ( e da 1 b ) ( i ga 1 c ) ( h ga 1 b ) ( f da 1 c ) Nyt lauseen 33 mukaan saadaan ei ega 1 c ida 1 b + da 1 bga 1 c hf + hda 1 c + ga 1 bf ga 1 bda 1 c ei hf a 1 bdi + a 1 bgf + a 1 cdh a 1 cge det M det A det(d CA 1 B) aei ahf bdi + bgf + cdh cge a(ei hf) b(di gf) + c(dh ge) 16

18 Seuraavaksi käsitellään ositettujen matriisien käänteismatriiseja Todistetaan kaksi käänteismatriiseihin liittyvää lausetta Lause 34 Olkoon kaavan (31) mukainen matriisi A B M C D kääntyvä ja olkoon sen käänteismatriisi ositettu matriisi X Y M 1, U V missä A ja X sekä toisaalta D ja V ovat kertaluvuiltaan samoja neliömatriiseja Silloin (34) det A det V det M Todistus Olkoot matriisit M ja M 1 kuten edellä Käänteismatriisin määritelmän 27 mukaan voidaan kirjoittaa I 0 A B X Y AX + BU AY + BV, 0 I C D U V CX + DU CY + DV josta saadaan ratkaistua yhtälöt (35) (36) (37) (38) AX + BU I CX + DU 0 AY + BV 0 CY + DV I Kerrotaan matriisi M oikealta yleistetyllä alkeismuunnosmatriisilla, jolloin saadaan yhtälöiden (37) ja (38) perusteella A B I Y A AY + BV A 0 C D 0 V C CY + DV C I Otetaan edellisestä yhtälöstä determinantti puolittain, jolloin saadaan A B I Y det M det V det det C D 0 V ( ) A B I Y det C D 0 V A 0 det det A C I Siis saadaan yhtälö (34) det A det V det M 17

19 Huomautus 31 Yksikkömatriisit I voivat edellisessä todistuksessa olla eri kokoisia Huomautus 32 Matriisi A on singulaarinen, jos ja vain jos V on singulaarinen Esimerkki 37 Olkoon matriisi M ositettu matriisi a e 0 A B, C D 0 0 i missä a, e, i 0 Tällöin matriisin M käänteismatriisi on a M 1 0 e 1 0 X Y 0 0 i 1 U V Nyt saadaan lauseen 34 mukaan det A det V det M ( e 1 i 1) (aei) a Lause 35 Olkoot M ja M 1 määritelty kuten lauseessa 34 Jos A on matriisin M kääntyvä pääalimatriisi, niin X A 1 + A 1 B(D CA 1 B) 1 CA 1, Y A 1 B(D CA 1 B) 1, U (D CA 1 B) 1 CA 1, V (D CA 1 B) 1 Todistus Kääntyvät matriisit M ja M 1 voidaan lausua alkeismatriisien tulona Koska M [ 1 M I ] [ I M 1], niin saamme matriisin M käänteismatriisin tekemällä matriisille [ M rivimuunnoksia siten, että saamme matriisin [ I M 1] I ] Oletetaan, että matriisi A kääntyvä matriisi Aloitetaan kertomalla matriisin [ A B I ] 0 C D 0 I ensimmäinen rivi vasemmalta matriisilla A 1, jolloin saadaan I A 1 B A 1 0 C D 0 I Lisätään ensimmäinen rivi matriisilla C vasemmalta kerrottuna riviin kaksi I A 1 B A D CA 1 B CA 1 I 18

20 Matriisilla [ D CA 1 B ] on olemassa käänteismatriisi, koska det [ D CA 1 B ] 0 Voidaan siis kertoa toinen rivi matriisilla [ D CA 1 B ] 1, jolloin saadaan I A 1 B A I (D CA 1 B) 1 CA 1 (D CA 1 B) 1 Lisätään toinen rivi matriisilla A 1 B vasemmalta kerrottuna riviin yksi I 0 A 1 + A 1 B(D CA 1 B) 1 CA 1 A 1 B(D CA 1 B) 1 0 I (D CA 1 B) 1 CA 1 (D CA 1 B) 1 Nyt olemme saaneet ositetun matriisin M käänteismatriisin M 1, missä X A 1 + A 1 B(D CA 1 B) 1 CA 1, Y A 1 B(D CA 1 B) 1, U (D CA 1 B) 1 CA 1, V (D CA 1 B) 1 Esimerkki 38 Olkoot matriisit M ja M 1 kuten esimerkissä 37, ja olkoot a, e, i 0 Ratkaistaan ensin matriisi e 0 0 [a D CA 1 B ] [ ] e 0, 0 i 0 0 i jolloin matriisin D CA 1 B käänteismatriisi on e (D CA 1 B) i 1 Nyt voidaan ratkaista käänteismatriisin M 1 alimatriisit X, Y, U ja V Saadaan lauseen 35 mukaan X A 1 + A 1 B(D CA 1 B) 1 CA 1 [ a 1] + [ a 1] [ 0 0 ] e [a ] 0 i 1 1 [ a 0 1], Y A 1 B(D CA 1 B) 1 [ a 1] [ 0 0 ] e i 1 [ 0 0 ], U (D CA 1 B) 1 CA 1 e [a ] 0 i 1 1 0, 0 0 V (D CA 1 B) 1 e i 1 19

21 Esimerkki 39 [2, Problems: 5, s 40] Olkoon A F m n ja B F n m Osoitetaan, että det Z 1 det Z 2, kun In B Im A Z 1, Z A 2 B I m Matriisi Z 1 voidaan kirjoittaa tuloina In 0 In B In B In BA 0 Z 1 A I m 0 I m AB 0 I m A I m ja vastaavasti matriisi Z 2 voidaan kirjoittaa tuloina Im 0 Im B Im A Im AB 0 Z 2 B I n 0 I n BA 0 I n A I n Ottamalla yhtälöistä determinantti puolittain saadaan det Z 1 I m AB I n BA det Z2 34 Summan käänteismatriisi Kun matriisit A ja B ovat samankokoisia kääntyviä matriiseja, niin tulon AB käänteismatriisi on käänteismatriisien B 1 ja A 1 tulo (AB) 1 B 1 A 1 Summalle A + B ei kuitenkaan päde vastaava yleisesti, sillä esimerkiksi matriisi A A 0 ei ole kääntyvä, vaikka matriisi A olisikin kääntyvä Lause 36 Olkoot A F m m ja B F n n kääntyviä matriiseja ja olkoon C F m n ja D F n m Jos matriisi A + CBD on kääntyvä, niin (39) (A + CBD) 1 A 1 A 1 C(B 1 + DA 1 C) 1 DA 1 Todistus Oletetaan, että matriisit A, B ja A + CBD ovat kääntyviä matriiseja Esimerkin 39 perusteella saadaan det(b 1 + DA 1 C) det(b 1 B(B 1 + DA 1 C)) I n det(b 1 I n + B 1 BDA 1 C) det(b 1 (I n + BDA 1 C)) det B 1 det(i n + BDA 1 C) det B 1 det(i m + A 1 CBD) det B 1 det(a 1 A + A 1 CBD) det B 1 det A 1 det(a + CBD) 0 20

22 Siis matriisilla B 1 + DA 1 C on olemassa käänteismatriisi, koska sen determinantti on eri suuri kuin nolla Todistetaan sitten yhtälö (39) Saadaan yhtälöketju (A+CBD)(A + CBD) 1 (A + CBD) ( A 1 A 1 C(B 1 + DA 1 C) 1 DA 1) I m C(B 1 + DA 1 C) 1 DA 1 + CBDA 1 CBDA 1 C(B 1 + DA 1 C) 1 DA 1 I m + C( (B 1 + DA 1 C) 1 + B BDA 1 C(B 1 + DA 1 C) 1 )DA 1 I m + C ( (I n + BDA 1 C)(B 1 + DA 1 C) 1 + B ) DA 1 I m + C ( B(B 1 + DA 1 C)(B 1 + DA 1 C) 1 + B ) DA 1 I m + C ( B + B) DA 1 I m Siis käänteismatriisin määritelmän 27 perusteella yhtälö (39) pätee Esimerkki 310 Olkoot matriisit 3 0 A ja B [ 2 ] kääntyviä matriiseja, ja olkoon matriisi C ja D [ 3 5 ] Ratkaistaan 2 kääntyvä summamatriisi A + CBD annettujen matriisien avulla [2 ] 9 10 A + CBD Oletetaan, että summalla A + CBD on olemassa käänteismatriisi Ratkaistaan ensin matriisi B 1 + DA 1 C [ 7 2 2], 5 jolloin matriisin B 1 + DA 1 C käänteismatriisi on (B 1 + DA 1 C) 1 [ 2 7] Matriisin A + CBD käänteismatriisi on lauseen 36 mukaan (A + CBD) 1 A 1 A 1 C(B 1 + DA 1 C) 1 DA 1 [ 1 ] [ 0 1 ] [ 2 ] [ 5 ]

23 Tarkistetaan käänteismatriisin määritelmän 27 avulla [ (A + CBD)(A + CBD) ] Monet käänteismatriiseja koskevat tulokset voidaan johtaa yhtälöstä (39), kuten myös yhtälöt (A + B) 1 A 1 A 1 (B 1 + A 1 ) 1 A 1 ja (A + UV ) 1 A 1 A 1 U(I + V A 1 U) 1 V A 1 35 Tulon ja summan aste Tässä kappaleessa käsitellään tulon AB ja summan A + B astetta Lause 37 (Sylvester) Olkoon A C m n ja B C n p Silloin (310) rank(ab) rank(b) dim(im B Ker A) Erityisesti pätee rank(a) + rank(b) n rank(ab) min{rank(a), rank(b)} Todistus Kun matriisi A on lineaarikuvaus kompleksiavaruudelta C n, niin rank(a) dim Im A Olkoon nyt lineaarikuvaus tulo AB vektoriavaruudelta Im B Silloin kuvauksen kuva-avaruus on Im(AB) ja kuvauksen nolla-avaruus on Im B Ker A Saadaan rank(b) dim Im B dim Im(AB) + dim Ker(AB) rank(ab) + dim(im B Ker A), josta seuraa, että rank(ab) rank(b) dim(im B Ker A) Todistetaan seuraavaksi epäyhtälöt Aloitetaan ensimmäisestä epäyhtälöstä rank(a) + rank(b) n dim Im A + dim Im B n dim Im A + rank(ab) + dim(im B Ker A) n rank(ab) n + dim Im A + dim(im B Ker A) 22

24 Koska dim Im A + dim(im B Ker A) n, niin rank(a) + rank(b) n rank(ab) Koska rank(ab) dim Im(AB) dim Im A rank A, niin saadaan toinen epäyhtälö rank(ab) min(rank(a), rank(b)) Lause 38 Olkoon A m n -matriisi, B n p -matriisi ja C p q -matriisi Tällöin kolmen matriisin tulon asteelle pätee (311) rank(abc) rank(ab) + rank(bc) rank(b) Todistus [1, s ] Esitetään todistuksen keskeinen idea Tiedetään, että 0 X rank rank(x) + rank(y ) Y Z kaikilla sopivan kokoisilla matriiseilla Z, ja yhtäsuuruus on voimassa, kun Z 0 Tarkastellaan yhtälöä Im A 0 AB Iq 0 0 ABC AB AB Iq 0 0 I n BC B C I p BC B C I p ABC 0 0 B Tästä ratkaisemalla saadaan epäyhtälö 0 AB rank(ab) + rank(bc) rank rank(abc) + rank(b), BC B mistä epäyhtälö (311) seuraa rank(abc) rank(ab) + rank(bc) rank(b) Lause 39 Olkoot A ja B m n -matriiseja Olkoon ositettu matriisi C [ ] A I m I m ja D B 23

25 Silloin rank(a + B) rank(a) + rank(b) dim(im D Ker C) dim(im A Im B ) Erityisesti pätee rank(a + B) rank(a) + rank(b) Todistus Oletusten perusteella A + B [ I m ] A I m CD B Lauseen 37 perusteella saadaan (312) rank(a + B) rank(cd) rank(d) dim(im D Ker C) Saadaan rank(d) rank(d ) rank [ A B ] dim Im [ A B ] dim(im A + Im B ) dim Im A + dim Im B dim(im A Im B ) rank(a ) + rank(b ) dim(im A Im B ) rank(a) + rank(b) dim(im A Im B ) Sijoitetaan saatu tulos yhtälöön (312), jolloin saadaan eli rank(a + B) rank(a) + rank(b) dim(im A Im B ) dim(im D Ker C) rank(a + B) rank(a) + rank(b) dim(im D Ker C) dim(im A Im B ) 24

26 36 Tulojen AB ja BA ominaisarvot Aloitetaan tarvittavilla ominaisarvon ja similaarisuuden määritelmillä Määritelmä 33 Skalaari λ C on neliömatriisin A ominaisarvo, jos on olemassa sellainen vektori x 0, että Ax λx Silloin vektori x on ominaisarvoa λ vastaava ominaisvektori Määritelmä 34 Olkoot A, B F n n Matriisit A ja B ovat similaariset, jos on olemassa sellainen kääntyvä matriisi Q, että B Q 1 AQ Huomautus 33 Similaarisilla matriiseilla A ja B on samat ominaisarvot Samankokoisten neliömatriisien A ja B tulot AB ja BA eivät välttämättä ole yhtä suuret, eivätkä similaariset keskenään Lause 310 Olkoon A C m n ja B C n m Tulojen AB ja BA nollasta poikkeavat ominaisarvot ovat samat ja useampikertaiset ominaisarvot esiintyvät kummassakin täsmälleen yhtä monta kertaa Zhang esittää kirjassaan [2, s 51-53] lauseelle 310 neljä erilaista todistusta Käsitellään niistä seuraavaksi kolme ja käsitellään neljäs seuraavassa kappaleessa Todistus 1 Todistetaan determinanttien avulla Kerrotaan matriisi λim A kahdella eri alkeismuunnosmatriisilla Saadaan matriisit Im A λim A λim AB 0 0 λi n B I n λb λi n ja Im 0 λim A B λi n B I n B I n λim A 0 λi n BA Koska alkeismuunnosmatriisilla kertominen ei muuta determinantin arvoa, ottamalla determinantti yhtälöistä saadaan (313) λ n det(λ m I m AB) det(λi n ) det(λi m AB) λim AB 0 det λb λi n λim A det 0 λi n BA det(λi m ) det(λi n BA) λ m det(λ n I n BA) 25

27 Oletetaan, että ominaisarvo λ 0 Tällöin yhtälöstä (313) saadaan, että det(λi m AB) 0, jos ja vain jos det(λi n BA) 0 Tästä seuraa, että tuloilla AB ja BA on samat nollasta poikkeavat ominaisarvot Todistus 2 Todistetaan matriisien similaarisuuden avulla Aloitetaan tarkastelemalla ositettua matriisia 0 0 B 0 Tehdään matriisille alkeisrivimuunnos lisäämällä ensimmäiseen riviin toinen rivi kerrottuna vasemmalta matriisilla A, jolloin saadaan Im A 0 0 AB 0 (314), 0 I n B 0 B 0 ja tekemällä vastaava alkeissarakemuunnos saadaan 0 0 Im A 0 0 (315) B 0 0 I n B BA Yhtälöstä (314) saadaan Im A AB 0, B 0 0 I n B 0 ja sijoittamalla tämä yhtälöön (315) saadaan 1 Im A AB 0 Im A I n B 0 0 I n B BA Siis matriisit [ AB ] 0 B 0 ja [ 0 0 ] B BA ovat similaariset Siis matriiseilla AB ja BA on samat nollasta eroavat ominaisarvot Todistus 3 Osoitetaan, että matriisi λi m AB on singulaarinen, jos ja vain jos matriisi λi n BA on singulaarinen Voidaan oletetaan, että ominaisarvo λ 1, koska jos λ 1, niin kerrotaan se termillä 1 λ Oletetaan ensin, että I m AB on kääntyvä ja merkitään käänteismatriisia symbolilla X (I m AB) 1 Todistetaan sitten, että I n BA on kääntyvä Ratkaistaan lauseke (I n BA)(I n BXA) I n + BXA BA BABXA I n + (BXA BABXA) BA I n + B(I m AB)XA BA I n + BA BA I n 26

28 Siis matriisi I n BA on kääntyvä määritelmän 27 mukaan Oletetaan sitten, että I n BA on kääntyvä, ja merkitään käänteismatriisia symbolilla Y (I n BA) 1 Todistetaan, että I m AB on kääntyvä Ratkaistaan lauseke vastaavasti kuin edellä (I m AB)(I m AY B) I m + AY B AB ABAY B I m + (AY B ABAY B) AB I m + A(I n BA)Y B AB I m + AB AB I m Nyt voidaan siis päätellä, että λi m AB on singulaarinen, jos ja vain jos matriisi λi n BA on singulaarinen Siis det(λi m AB) 0, jos ja vain jos det(λi n BA) 0 Tästä seuraa, että tuloilla AB ja BA on samat nollasta poikkeavat ominaisarvot 37 Jatkuvuusperiaate Jatkuvuusperiaate on yksi yleisimmin käytetyistä tekniikoista matriisiteoriassa Käytetään tätä tekniikkaa edellisen kappaleen lauseen 310 todistamiseen Esimerkki 311 [2, s 52-53] Osoitetaan, että matriiseilla AB ja BA on samat nollasta eroavat ominaisarvot, kun matriisit A ja B ovat samankokoiset neliömatriisit Oletetaan ensin, että A on kääntyvä Matriisit AB ja BA ovat similaariset [Ks lauseen 310 todistus], eli AB A(BA)A 1 Siis matriiseilla on samat ominaisarvot Oletetaan sitten, että A on singulaarinen Korvataan matriisi A matriisilla A + εi ja tarkastellaan polynomia det(a + εi) Valitaan sellainen nollakohta δ > 0, että A + εi on kääntyvä kaikilla muuttujan ε arvoilla, kun 0 < ε < δ Siis matriiseilla (A + εi)b ja B(A + εi) on samat ominaisarvot, kun ε (0, δ) Merkitsemällä karakteristiset polynomit yhtä suuriksi saadaan det(λi (A + εi)b) det(λi B(A + εi)), kun 0 < ε < δ Yhtälön molemmat puolet ovat muuttujan ε jatkuvia funktioita Kun ε > 0 lähestyy nollaa, niin det(λi AB) det(λi BA) Siis matriiseilla AB ja BA on samat nollasta poikkeavat ominaisarvot 27

29 Todistaminen jatkuvuusperiaatetta käyttäen tehdään kolmessa vaiheessa 1 osoitetaan, että väite pätee, kun A on kääntyvä, 2 korvataan singulaarinen A kääntyvällä matriisilla A + εi, 3 käytetään funktion jatkuvuutta halutun lopputuloksen saamiseen Kaikissa tapauksissa jatkuvuusperiaate ei kuitenkaan auta saamaan ratkaisua Seuraavaksi esimerkki tällaisesta tapauksesta Lause 311 Olkoot C ja D sellaisia n n -neliömatriiseja, että CD T + DC T 0 Jos D on kääntyvä, niin A C B D det(adt + BC T ), missä A ja B ovat n n -neliömatriiseja Yhtälö ei päde yleisesti, jos D ei ole kääntyvä Todistus Oletetaan, että matriisi D on kääntyvä Tarkastellaan seuraavaa yhtälöä A B D T 0 AD C D C T T + BC T B AD I CD T + DC T T + BC T B D 0 D Otetaan determinantti ensin yhtälön vasemmasta puolesta ( ) A B D T 0 A B D T 0 det C D C T det det I C D C T I A B det det D T C D ja sitten yhtälön oikeasta puolesta lauseen 33 perusteella AD det T + BC T B det(ad T + BC T ) det D 0 D Koska det D T det D, niin saadaan A B C D det(adt + BC T ) 28

30 Esimerkki 312 Olkoon M ositettu matriisi a b c d [ M 0 f g h A 0 0 k 0 C p ] B, D jossa alimatriisi D on kääntyvä matriisi Tällöin 0 0 k 0 C T ja D T, p joten saadaan 0 0 k 0 CD T + DC T p [ k 0 0 p Lasketaan matriisin M determinantti a b c d det 0 f g h 0 0 k 0 afkp p Lauseen 311 mukaan saadaan ] det M det(ad T + BC T ) ( ) a b k 0 c d 0 0 det + 0 f 0 p g h 0 0 ak bp akfp 0 fp Esimerkki 313 Olkoon matriisi M ositettu seuraavasti M A B C D Tällöin joten edelleen saadaan C T ja D T CD T + DC T 0 0 1, 0 0 Nyt alimatriisi D ei kuitenkaan ole kääntyvä Saadaan, että 0 1 det(ad T + BC T ) det 1,

31 mutta matriisin M determinantti on det M 1 Siis det M det(ad T + BC T ) 30

32 Viitteet [1] K Abadir and J Magnus, Matrix algebra, Cambridge University Press, New York, 2005 [2] F Zhang, Matrix theory: basic results and techniques, Springer-Verlag, New York,

Matematiikka B2 - TUDI

Matematiikka B2 - TUDI Matematiikka B2 - TUDI Miika Tolonen 3. syyskuuta 2012 Miika Tolonen Matematiikka B2 - TUDI 1 Kurssin sisältö (1/2) Matriisit Laskutoimitukset Lineaariset yhtälöryhmät Gaussin eliminointi Lineaarinen riippumattomuus

Lisätiedot

Matematiikka B2 - Avoin yliopisto

Matematiikka B2 - Avoin yliopisto 6. elokuuta 2012 Opetusjärjestelyt Luennot 9:15-11:30 Harjoitukset 12:30-15:00 Tentti Kurssin sisältö (1/2) Matriisit Laskutoimitukset Lineaariset yhtälöryhmät Gaussin eliminointi Lineaarinen riippumattomuus

Lisätiedot

9 Matriisit. 9.1 Matriisien laskutoimituksia

9 Matriisit. 9.1 Matriisien laskutoimituksia 9 Matriisit Aiemmissa luvuissa matriiseja on käsitelty siinä määrin kuin on ollut tarpeellista yhtälönratkaisun kannalta. Matriiseja käytetään kuitenkin myös muihin tarkoituksiin, ja siksi on hyödyllistä

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö

Lisätiedot

1.1. Määritelmiä ja nimityksiä

1.1. Määritelmiä ja nimityksiä 1.1. Määritelmiä ja nimityksiä Luku joko reaali- tai kompleksiluku. R = {reaaliluvut}, C = {kompleksiluvut} R n = {(x 1, x 2,..., x n ) x 1, x 2,..., x n R} C n = {(x 1, x 2,..., x n ) x 1, x 2,..., x

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M Hirvensalo mikhirve@utufi V Junnila viljun@utufi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M Hirvensalo mikhirve@utufi V Junnila viljun@utufi Luentokalvot 5 1

Lisätiedot

Matriisien tulo. Matriisit ja lineaarinen yhtälöryhmä

Matriisien tulo. Matriisit ja lineaarinen yhtälöryhmä Matriisien tulo Lause Olkoot A, B ja C matriiseja ja R Tällöin (a) A(B + C) =AB + AC, (b) (A + B)C = AC + BC, (c) A(BC) =(AB)C, (d) ( A)B = A( B) = (AB), aina, kun kyseiset laskutoimitukset on määritelty

Lisätiedot

1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät

1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät 1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät 11 Yhtälöryhmä matriisimuodossa m n-matriisi sisältää mn kpl reaali- tai kompleksilukuja, jotka on asetetettu suorakaiteen muotoiseksi kaavioksi: a 11 a 12 a 1n

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 6.6.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/22 Kertausta: Kääntyvien matriisien lause Lause 1 Oletetaan, että A on n n -neliömatriisi. Seuraavat ehdot ovat yhtäpitäviä.

Lisätiedot

A = a b B = c d. d e f. g h i determinantti on det(c) = a(ei fh) b(di fg) + c(dh eg). Matriisin determinanttia voi merkitä myös pystyviivojen avulla:

A = a b B = c d. d e f. g h i determinantti on det(c) = a(ei fh) b(di fg) + c(dh eg). Matriisin determinanttia voi merkitä myös pystyviivojen avulla: 11 Determinantti Neliömatriisille voidaan laskea luku, joka kertoo muun muassa, onko matriisi kääntyvä vai ei Tätä lukua kutsutaan matriisin determinantiksi Determinantilla on muitakin sovelluksia, mutta

Lisätiedot

BM20A0700, Matematiikka KoTiB2

BM20A0700, Matematiikka KoTiB2 BM20A0700, Matematiikka KoTiB2 Luennot: Matti Alatalo, Harjoitukset: Oppikirja: Kreyszig, E.: Advanced Engineering Mathematics, 8th Edition, John Wiley & Sons, 1999, luku 7. 1 Kurssin sisältö Matriiseihin

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä 1 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a

Lisätiedot

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a 21

Lisätiedot

5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit

5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit 5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin A

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

Ortogonaalinen ja ortonormaali kanta

Ortogonaalinen ja ortonormaali kanta Ortogonaalinen ja ortonormaali kanta Määritelmä Kantaa ( w 1,..., w k ) kutsutaan ortogonaaliseksi, jos sen vektorit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan eli w i w j = 0 kaikilla i, j {1, 2,..., k}, missä

Lisätiedot

1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit

1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit 1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) 1 missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin

Lisätiedot

Lineaarikuvauksen R n R m matriisi

Lineaarikuvauksen R n R m matriisi Lineaarikuvauksen R n R m matriisi Lauseessa 21 osoitettiin, että jokaista m n -matriisia A vastaa lineaarikuvaus L A : R n R m, jolla L A ( v) = A v kaikilla v R n. Osoitetaan seuraavaksi käänteinen tulos:

Lisätiedot

Matriisipotenssi. Koska matriisikertolasku on liitännäinen (sulkuja ei tarvita; ks. lause 2), voidaan asettaa seuraava määritelmä: ja A 0 = I n.

Matriisipotenssi. Koska matriisikertolasku on liitännäinen (sulkuja ei tarvita; ks. lause 2), voidaan asettaa seuraava määritelmä: ja A 0 = I n. Matriisipotenssi Koska matriisikertolasku on liitännäinen (sulkuja ei tarvita; ks. lause 2), voidaan asettaa seuraava määritelmä: Määritelmä Oletetaan, että A on n n -matriisi (siis neliömatriisi) ja k

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 30.5.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/19 Käytännön asioita Kurssi on suunnilleen puolessa välissä. Kannattaa tarkistaa tavoitetaulukosta, mitä on oppinut ja

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141 Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II LM2, Kesä 2012 1/141 Kertausta: avaruuden R n vektorit Määritelmä Oletetaan, että n {1, 2, 3,...}. Avaruuden R n alkiot ovat jonoja, joissa on n kappaletta reaalilukuja.

Lisätiedot

Ominaisarvo ja ominaisvektori

Ominaisarvo ja ominaisvektori Ominaisarvo ja ominaisvektori Määritelmä Oletetaan, että A on n n -neliömatriisi. Reaaliluku λ on matriisin ominaisarvo, jos on olemassa sellainen vektori v R n, että v 0 ja A v = λ v. Vektoria v, joka

Lisätiedot

Matriisiteoria Harjoitus 1, kevät Olkoon. cos α sin α A(α) = . sin α cos α. Osoita, että A(α + β) = A(α)A(β). Mikä matriisi A(α)A( α) on?

Matriisiteoria Harjoitus 1, kevät Olkoon. cos α sin α A(α) = . sin α cos α. Osoita, että A(α + β) = A(α)A(β). Mikä matriisi A(α)A( α) on? Harjoitus 1, kevät 007 1. Olkoon [ ] cos α sin α A(α) =. sin α cos α Osoita, että A(α + β) = A(α)A(β). Mikä matriisi A(α)A( α) on?. Olkoon a x y A = 0 b z, 0 0 c missä a, b, c 0. Määrää käänteismatriisi

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet: Luento 10. Matriisien peruskäsitteet Yksinkertaiset laskutoimitukset Matriisitulo Determinantti

Talousmatematiikan perusteet: Luento 10. Matriisien peruskäsitteet Yksinkertaiset laskutoimitukset Matriisitulo Determinantti Talousmatematiikan perusteet: Luento 1 Matriisien peruskäsitteet Yksinkertaiset laskutoimitukset Matriisitulo Determinantti Viime luennolta Esim. Yritys tekee elintarviketeollisuuden käyttämää puolivalmistetta,

Lisätiedot

Similaarisuus. Määritelmä. Huom.

Similaarisuus. Määritelmä. Huom. Similaarisuus Määritelmä Neliömatriisi A M n n on similaarinen neliömatriisin B M n n kanssa, jos on olemassa kääntyvä matriisi P M n n, jolle pätee Tällöin merkitään A B. Huom. Havaitaan, että P 1 AP

Lisätiedot

Ominaisarvoon 4 liittyvät ominaisvektorit ovat yhtälön Ax = 4x eli yhtälöryhmän x 1 + 2x 2 + x 3 = 4x 1 3x 2 + x 3 = 4x 2 5x 2 x 3 = 4x 3.

Ominaisarvoon 4 liittyvät ominaisvektorit ovat yhtälön Ax = 4x eli yhtälöryhmän x 1 + 2x 2 + x 3 = 4x 1 3x 2 + x 3 = 4x 2 5x 2 x 3 = 4x 3. Matematiikan ja tilastotieteen laitos Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II Ylimääräinen harjoitus 6 Ratkaisut A:n karakteristinen funktio p A on λ p A (λ) det(a λi ) 0 λ ( λ) 0 5 λ λ 5 λ ( λ) (( λ) (

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö

Lisätiedot

MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta

MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta 4. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 4. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto..25 Tarkastellaan neliömatriiseja. Kun matriisilla kerrotaan vektoria, vektorin

Lisätiedot

Yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen ominaisuuksia

Yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen ominaisuuksia Yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen ominaisuuksia Voidaan osoittaa, että avaruuden R n vektoreilla voidaan laskea tuttujen laskusääntöjen mukaan. Huom. Lause tarkoittaa väitettä, joka voidaan perustella

Lisätiedot

Lineaariset yhtälöryhmät ja matriisit

Lineaariset yhtälöryhmät ja matriisit Lineaariset yhtälöryhmät ja matriisit Lineaarinen yhtälöryhmä a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2. a m1 x 1 + a m2 x 2 + + a mn x n = b m, (1) voidaan esittää

Lisätiedot

Lineaariset kongruenssiyhtälöryhmät

Lineaariset kongruenssiyhtälöryhmät Lineaariset kongruenssiyhtälöryhmät LuK-tutkielma Jesse Salo 2309369 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Sisältö Johdanto 2 1 Kongruensseista 3 1.1 Kongruenssin ominaisuuksia...................

Lisätiedot

Esimerkki 4.4. Esimerkki jatkoa. Määrää matriisin ominaisarvot ja -vektorit. Ratk. Nyt

Esimerkki 4.4. Esimerkki jatkoa. Määrää matriisin ominaisarvot ja -vektorit. Ratk. Nyt Esimerkki 4.4. Määrää matriisin 2 2 1 A = 1 3 1 2 4 3 ominaisarvot ja -vektorit. Ratk. Nyt det(a λi ) = 1 + 2 λ 2 1 + 1 λ 1 λ 1 3 λ 1 = 1 3 λ 1 2 4 3 λ 2 4 3 λ 1 λ = 1 4 λ 1 = (1 λ)( 1)1+1 4 λ 1 2 6 3

Lisätiedot

Matriisit, kertausta. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Aiheet. Määritelmiä ja merkintöjä. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Matriisin transpoosi

Matriisit, kertausta. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Aiheet. Määritelmiä ja merkintöjä. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Matriisin transpoosi Matriisit, kertausta Merkintöjä 1 Matriisi on suorakulmainen lukukaavio. Matriiseja ovat esimerkiksi: ( 2 0.4 8 0 2 1 ) ( 0, 4 ), ( ) ( 1 4 2, a 11 a 12 a 21 a 22 ) Kaavio kirjoitetaan kaarisulkujen väliin

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D, laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut

Insinöörimatematiikka D, laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut Insinöörimatematiikka D, 06 laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut Alla olevat esimerkkiratkaisut ovat melko ksitiskohtaisia Tenttivastauksissa ei leensä tarvitse muistaa lauseiden, määritelmien, esimerkkien

Lisätiedot

Kaksirivisen matriisin determinantille käytämme myös merkintää. a 11 a 12 a 21 a 22. = a 11a 22 a 12 a 21. (5.1) kaksirivine

Kaksirivisen matriisin determinantille käytämme myös merkintää. a 11 a 12 a 21 a 22. = a 11a 22 a 12 a 21. (5.1) kaksirivine Vaasan yliopiston julkaisuja 97 5 DETERMINANTIT Ch:Determ Sec:DetDef 5.1 Determinantti Tämä kappale jakautuu kolmeen alakappaleeseen. Ensimmäisessä alakappaleessa määrittelemme kaksi- ja kolmiriviset determinantit.

Lisätiedot

MATRIISIN HESSENBERGIN MUOTO. Niko Holopainen

MATRIISIN HESSENBERGIN MUOTO. Niko Holopainen MATRIISIN HESSENBERGIN MUOTO Niko Holopainen Matematiikan pro gradu Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Syksy 2013 Tiivistelmä: Niko Holopainen, Matriisin Hessenbergin muoto Matematiikan

Lisätiedot

Ortogonaalisen kannan etsiminen

Ortogonaalisen kannan etsiminen Ortogonaalisen kannan etsiminen Lause 94 (Gramin-Schmidtin menetelmä) Oletetaan, että B = ( v 1,..., v n ) on sisätuloavaruuden V kanta. Merkitään V k = span( v 1,..., v k ) ja w 1 = v 1 w 2 = v 2 v 2,

Lisätiedot

Matriisit, L20. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Aiheet. Määritelmiä ja merkintöjä. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Matriisin transpoosi

Matriisit, L20. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Aiheet. Määritelmiä ja merkintöjä. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Matriisin transpoosi Matriisit, L20 Merkintöjä 1 Matriisi on suorakulmainen lukukaavio. Matriiseja ovat esimerkiksi: ( 2 0.4 8 0 2 1 ) ( 0, 4 ), ( ) ( 1 4 2, a 11 a 12 a 21 a 22 ) Merkintöjä 1 Matriisi on suorakulmainen lukukaavio.

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet: Luento 10. Lineaarikuvaus Matriisin aste Determinantti Käänteismatriisi

Talousmatematiikan perusteet: Luento 10. Lineaarikuvaus Matriisin aste Determinantti Käänteismatriisi Talousmatematiikan perusteet: Luento 10 Lineaarikuvaus Matriisin aste Determinantti Käänteismatriisi Lineaarikuvaus Esim. Yritys tekee elintarviketeollisuuden käyttämää puolivalmistetta, jossa käytetään

Lisätiedot

5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT

5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT 5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT Ominaisarvo-ongelma Käsitellään neliömatriiseja: olkoon A n n-matriisi. Luku on matriisin A ominaisarvo (eigenvalue), jos on olemassa vektori x siten, että Ax = x () Yhtälön

Lisätiedot

Alkeismuunnokset matriisille, sivu 57

Alkeismuunnokset matriisille, sivu 57 Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/88 Alkeismuunnokset matriisille, sivu 57 AM1: Kahden vaakarivin vaihto AM2: Vaakarivin kertominen skalaarilla c 0 AM3: Vaakarivin lisääminen toiseen skalaarilla c kerrottuna

Lisätiedot

Ville Turunen: Mat Matematiikan peruskurssi P1 1. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007

Ville Turunen: Mat Matematiikan peruskurssi P1 1. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007 Ville Turunen: Mat-1.1410 Matematiikan peruskurssi P1 1. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007 Materiaali: kirjat [Adams R. A. Adams: Calculus, a complete course (6th edition), [Lay D. C. Lay: Linear

Lisätiedot

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Malliratkaisut 4 / vko 47

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Malliratkaisut 4 / vko 47 MS-A3/A5 Matriisilaskenta Malliratkaisut 4 / vko 47 Tehtävä 1 (L): Oletetaan, että AB = AC, kun B ja C ovat m n-matriiseja. a) Näytä, että jos A on kääntyvä, niin B = C. b) Seuraako yhtälöstä AB = AC yhtälö

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

Matikkapaja keskiviikkoisin klo Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/81

Matikkapaja keskiviikkoisin klo Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/81 Matikkapaja keskiviikkoisin klo 14-16 Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/81 Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/81 Operaatiot Vektoreille u = (u 1,u 2 ) ja v = (v 1,v 2 ) Yhteenlasku: u+v = (u 1 +v 1,u 2 +v 2 )

Lisätiedot

(1.1) Ae j = a k,j e k.

(1.1) Ae j = a k,j e k. Lineaarikuvauksen determinantti ja jälki 1. Lineaarikuvauksen matriisi. Palautetaan mieleen, mikä lineaarikuvauksen matriisi annetun kannan suhteen on. Olkoot V äärellisulotteinen vektoriavaruus, n = dim

Lisätiedot

Ominaisarvo ja ominaisvektori

Ominaisarvo ja ominaisvektori Määritelmä Ominaisarvo ja ominaisvektori Oletetaan, että A on n n -neliömatriisi. Reaaliluku λ on matriisin ominaisarvo, jos on olemassa sellainen vektori v R n, että v 0 ja A v = λ v. Vektoria v, joka

Lisätiedot

Matriisit, L20. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Aiheet. Määritelmiä ja merkintöjä. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Matriisin transpoosi

Matriisit, L20. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Aiheet. Määritelmiä ja merkintöjä. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Matriisin transpoosi Matriisit, L20 Merkintöjä 1 Matriisi on suorakulmainen lukukaavio. Matriiseja ovat esimerkiksi: ( 2 0.4 8 0 2 1 ( 0, 4, ( ( 1 4 2, a 11 a 12 a 21 a 22 Kaavio kirjoitetaan kaarisulkujen väliin (amer. kirjoissa

Lisätiedot

Matriisinormeista. Sanni Carlson. Matematiikan pro gradu

Matriisinormeista. Sanni Carlson. Matematiikan pro gradu Matriisinormeista Sanni Carlson Matematiikan pro gradu Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kevät 2015 Tiivistelmä: Sanni Carlson, Matriisinormeista (engl On matrix norms), matematiikan

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Ominaisarvoteoriaa Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 22 R. Kangaslampi matriisiteoriaa Kertaus: ominaisarvot

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja

MS-C1340 Lineaarialgebra ja MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Ominaisarvoteoriaa Riikka Kangaslampi Kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Ominaisarvot Kertaus: ominaisarvot Määritelmä

Lisätiedot

Demorastitiedot saat demonstraattori Markus Niskaselta Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/104

Demorastitiedot saat demonstraattori Markus Niskaselta Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/104 Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/104 Ensi viikolla luennot salissa X Torstaina 7.12. viimeiset demot (12.12. ja 13.12. viimeiset luennot). Torstaina 14.12 on välikoe 2, muista ilmoittautua! Demorastitiedot

Lisätiedot

Määritelmä Olkoon T i L (V i, W i ), 1 i m. Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L (V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m )

Määritelmä Olkoon T i L (V i, W i ), 1 i m. Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L (V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m ) Määritelmä 519 Olkoon T i L V i, W i, 1 i m Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m h v 1 v 2 v m T 1 v 1 T 2 v 2 T m v m 514 sanotaan olevan kuvausten T 1,, T m indusoima ja sitä

Lisätiedot

Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja

Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja 7 NELIÖMATRIISIN DIAGONALISOINTI. Ortogonaaliset matriisit Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja A - = A T () Muistutus: Kokoa n olevien vektorien

Lisätiedot

Determinantti. Määritelmä

Determinantti. Määritelmä Determinantti Määritelmä Oletetaan, että A on n n-neliömatriisi Merkitään normaaliin tapaan matriisin A alkioita lyhyesti a ij = A(i, j) (a) Jos n = 1, niin det(a) = a 11 (b) Muussa tapauksessa n det(a)

Lisätiedot

Päättelyn voisi aloittaa myös edellisen loppupuolelta ja näyttää kuten alkupuolella, että välttämättä dim W < R 1 R 1

Päättelyn voisi aloittaa myös edellisen loppupuolelta ja näyttää kuten alkupuolella, että välttämättä dim W < R 1 R 1 Lineaarialgebran kertaustehtävien b ratkaisuista. Määritä jokin kanta sille reaalikertoimisten polynomien lineaariavaruuden P aliavaruudelle, jonka virittää polynomijoukko {x, x+, x x }. Ratkaisu. Olkoon

Lisätiedot

Kurssin loppuosassa tutustutaan matriiseihin ja niiden käyttöön yhtälöryhmien ratkaisemisessa.

Kurssin loppuosassa tutustutaan matriiseihin ja niiden käyttöön yhtälöryhmien ratkaisemisessa. 7 Matriisilaskenta Kurssin loppuosassa tutustutaan matriiseihin ja niiden käyttöön yhtälöryhmien ratkaisemisessa. 7.1 Lineaariset yhtälöryhmät Yhtälöryhmät liittyvät tilanteisiin, joissa on monta tuntematonta

Lisätiedot

Matriisi-vektori-kertolasku, lineaariset yhtälöryhmät

Matriisi-vektori-kertolasku, lineaariset yhtälöryhmät Matematiikan peruskurssi K3/P3, syksy 25 Kenrick Bingham 825 Toisen välikokeen alueen ydinasioita Alla on lueteltu joitakin koealueen ydinkäsitteitä, joiden on hyvä olla ensiksi selvillä kokeeseen valmistauduttaessa

Lisätiedot

Osoita, että täsmälleen yksi vektoriavaruuden ehto ei ole voimassa.

Osoita, että täsmälleen yksi vektoriavaruuden ehto ei ole voimassa. LINEAARIALGEBRA Harjoituksia 2016 1. Olkoon V = R 2 varustettuna tavallisella yhteenlaskulla. Määritellään reaaliluvulla kertominen seuraavasti: λ (x 1, x 2 ) = (λx 1, 0) (x 1, x 2 ) R 2 ja λ R. Osoita,

Lisätiedot

Matikkapaja keskiviikkoisin klo Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/210

Matikkapaja keskiviikkoisin klo Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/210 Matikkapaja keskiviikkoisin klo 14-16 Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/210 Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/210 Operaatiot Vektoreille u = (u 1,u 2 ) ja v = (v 1,v 2 ) Yhteenlasku: u+v = (u 1 +v 1,u 2 +v 2

Lisätiedot

3.1 Lineaarikuvaukset. MS-A0007 Matriisilaskenta. 3.1 Lineaarikuvaukset. 3.1 Lineaarikuvaukset

3.1 Lineaarikuvaukset. MS-A0007 Matriisilaskenta. 3.1 Lineaarikuvaukset. 3.1 Lineaarikuvaukset 3 MS-A7 Matriisilaskenta 3 Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 925 Lineaariset yhtälöt ovat vektoreille luonnollisia yhtälöitä, joita ratkotaan

Lisätiedot

1. LINEAARISET YHTÄLÖRYHMÄT JA MATRIISIT. 1.1 Lineaariset yhtälöryhmät

1. LINEAARISET YHTÄLÖRYHMÄT JA MATRIISIT. 1.1 Lineaariset yhtälöryhmät 1 1 LINEAARISET YHTÄLÖRYHMÄT JA MATRIISIT Muotoa 11 Lineaariset yhtälöryhmät (1) a 1 x 1 + a x + + a n x n b oleva yhtälö on tuntemattomien x 1,, x n lineaarinen yhtälö, jonka kertoimet ovat luvut a 1,,

Lisätiedot

Determinantti. Määritelmä

Determinantti. Määritelmä Determinantti Määritelmä Oletetaan, että A on n n-neliömatriisi. Merkitään normaaliin tapaan matriisin A alkioita lyhyesti a ij = A(i, j). (a) Jos n = 1, niin det(a) = a 11. (b) Muussa tapauksessa n det(a)

Lisätiedot

Käänteismatriisin ominaisuuksia

Käänteismatriisin ominaisuuksia Käänteismatriisin ominaisuuksia Lause 1.4. Jos A ja B ovat säännöllisiä ja luku λ 0, niin 1) (A 1 ) 1 = A 2) (λa) 1 = 1 λ A 1 3) (AB) 1 = B 1 A 1 4) (A T ) 1 = (A 1 ) T. Tod.... Ortogonaaliset matriisit

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 4.6.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/19 Käytännön asioita Viimeiset harjoitukset on palautettava torstaina 13.6. Laskaripisteensä ja läsnäolonsa voi kukin tarkistaa

Lisätiedot

Matriisialgebra harjoitukset, syksy 2016

Matriisialgebra harjoitukset, syksy 2016 Matriisialgebra harjoitukset, syksy 6 MATRIISIALGEBRA, s. 6, Ratkaisuja/ M.Hamina & M. Peltola 8. Olkoon 4 A 6. 4 Tutki, onko A diagonalisoituva. Jos on, niin määrää matriisi D T AT ja siihen liittyvä

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44

Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44 Tehtävät 1-3 lasketaan alkuviikon harjoituksissa, verkkotehtävien dl on lauantaina aamuyöllä. Tehtävät 4 ja 5 lasketaan loppuviikon harjoituksissa.

Lisätiedot

Informaatiotieteiden yksikkö. Lineaarialgebra 1A. Pentti Haukkanen. Puhtaaksikirjoitus: Joona Hirvonen

Informaatiotieteiden yksikkö. Lineaarialgebra 1A. Pentti Haukkanen. Puhtaaksikirjoitus: Joona Hirvonen Informaatiotieteiden yksikkö Lineaarialgebra 1A Pentti Haukkanen Puhtaaksikirjoitus: Joona Hirvonen . 2 Sisältö 1 Matriisit, determinantit ja lineaariset yhtälöryhmät 4 1.1 Matriisit..............................

Lisätiedot

Determinantit. Kaksirivinen determinantti. Aiheet. Kaksirivinen determinantti. Kaksirivinen determinantti. Kolmirivinen determinantti

Determinantit. Kaksirivinen determinantti. Aiheet. Kaksirivinen determinantti. Kaksirivinen determinantti. Kolmirivinen determinantti Determinantit 1 2 2-matriisin ( A = on det(a) = a 11 a 12 a 21 a 22 a 11 a 12 a 21 a 22 ) = a 11a 22 a 12 a 21. 1 2 2-matriisin on det(a) = Esim. Jos A = ( a 11 a 12 a 21 a 22 A = a 11 a 12 a 21 a 22 )

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 29.5.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/26 Kertausta: Kanta Määritelmä Oletetaan, että w 1, w 2,..., w k W. Vektorijono ( w 1, w 2,..., w k ) on aliavaruuden

Lisätiedot

2.5. Matriisin avaruudet ja tunnusluvut

2.5. Matriisin avaruudet ja tunnusluvut 2.5. Matriisin avaruudet ja tunnusluvut m n-matriisi A Lineaarikuvaus A : V Z, missä V ja Z ovat sopivasti valittuja, dim V = n, dim Z = m (yleensä V = R n tai C n ja Z = R m tai C m ) Kuva-avaruus ja

Lisätiedot

802320A LINEAARIALGEBRA OSA I

802320A LINEAARIALGEBRA OSA I 802320A LINEAARIALGEBRA OSA I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 72 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä

Lisätiedot

2.8. Kannanvaihto R n :ssä

2.8. Kannanvaihto R n :ssä 28 Kannanvaihto R n :ssä Seuraavassa kantavektoreiden { x, x 2,, x n } järjestystä ei saa vaihtaa Vektorit ovat pystyvektoreita ( x x 2 x n ) on vektoreiden x, x 2,, x n muodostama matriisi, missä vektorit

Lisätiedot

x 2 x 3 x 1 x 2 = 1 2x 1 4 x 2 = 3 x 1 x 5 LINEAARIALGEBRA I Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2014 Esa Järvenpää, Hanna Kiili

x 2 x 3 x 1 x 2 = 1 2x 1 4 x 2 = 3 x 1 x 5 LINEAARIALGEBRA I Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2014 Esa Järvenpää, Hanna Kiili 6 4 2 x 2 x 3 15 10 5 0 5 15 5 3 2 1 1 2 3 2 0 x 2 = 1 2x 1 0 4 x 2 = 3 x 1 x 5 2 5 x 1 10 x 1 5 LINEAARIALGEBRA I Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2014 Esa Järvenpää, Hanna Kiili Sisältö

Lisätiedot

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus

Lisätiedot

Yleiset lineaarimuunnokset

Yleiset lineaarimuunnokset TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Kari Tuominen Yleiset lineaarimuunnokset Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Toukokuu 29 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos

Lisätiedot

Kuvaus. Määritelmä. LM2, Kesä /160

Kuvaus. Määritelmä. LM2, Kesä /160 Kuvaus Määritelmä Oletetaan, että X ja Y ovat joukkoja. Kuvaus eli funktio joukosta X joukkoon Y on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon X alkioon täsmälleen yhden alkion, joka kuuluu joukkoon Y. Merkintä

Lisätiedot

Lineaarialgebra (muut ko)

Lineaarialgebra (muut ko) Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/103 Lineaarialgebra (muut ko) Tero Laihonen Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/103 Operaatiot Vektoreille u = (u 1,u 2 ) ja v = (v 1,v 2 ) Yhteenlasku: u+v = (u 1 +v 1,u 2 +v

Lisätiedot

HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina klo

HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina klo HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina 10.8.2015 klo 16.15. Tehtäväsarja I Tutustu lukuun 15, jossa vektoriavaruuden

Lisätiedot

802320A LINEAARIALGEBRA OSA III

802320A LINEAARIALGEBRA OSA III 802320A LINEAARIALGEBRA OSA III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 56 Määritelmä Määritelmä 1 Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V

Lisätiedot

Informaatiotieteiden yksikkö. Lineaarialgebra 1A. Pentti Haukkanen. Puhtaaksikirjoitus: Joona Hirvonen

Informaatiotieteiden yksikkö. Lineaarialgebra 1A. Pentti Haukkanen. Puhtaaksikirjoitus: Joona Hirvonen Informaatiotieteiden yksikkö Lineaarialgebra 1A Pentti Haukkanen Puhtaaksikirjoitus: Joona Hirvonen . 2 Sisältö 1 Matriisit, determinantit ja lineaariset yhtälöryhmät 4 1.1 Matriisin määritelmä.......................

Lisätiedot

Informaatiotieteiden yksikkö. Lineaarialgebra 1A. Pentti Haukkanen. Puhtaaksikirjoitus: Joona Hirvonen

Informaatiotieteiden yksikkö. Lineaarialgebra 1A. Pentti Haukkanen. Puhtaaksikirjoitus: Joona Hirvonen Informaatiotieteiden yksikkö Lineaarialgebra 1A Pentti Haukkanen Puhtaaksikirjoitus: Joona Hirvonen . 2 Sisältö 1 Matriisit, determinantit ja lineaariset yhtälöryhmät 4 1.1 Matriisin määritelmä.......................

Lisätiedot

Seuraava luento ti on salissa XXII. Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/117

Seuraava luento ti on salissa XXII. Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/117 Seuraava luento ti 31.10 on salissa XXII Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/117 Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/117 Operaatiot Vektoreille u = (u 1,u 2 ) ja v = (v 1,v 2 ) Yhteenlasku: u+v = (u 1 +v 1,u 2 +v

Lisätiedot

Johdatus lineaarialgebraan

Johdatus lineaarialgebraan Johdatus lineaarialgebraan Osa II Lotta Oinonen, Johanna Rämö 28. lokakuuta 2014 Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Sisältö 15 Vektoriavaruus....................................

Lisätiedot

Inversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 2

Inversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 2 Inversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 2 Kevät 2012 1 Lineaarinen inversio-ongelma Määritelmä 1.1. Yleinen (reaaliarvoinen) lineaarinen inversio-ongelma voidaan esittää muodossa m = Ax +

Lisätiedot

Ratkaisuehdotukset LH 3 / alkuvko 45

Ratkaisuehdotukset LH 3 / alkuvko 45 Ratkaisuehdotukset LH 3 / alkuvko 45 Tehtävä : Olkoot A, B, X R n n, a, b R n ja jokin vektorinormi. Kätetään vektorinormia vastaavasta operaattorinormista samaa merkintää. Nätä, että. a + b a b, 2. A

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Lineaarikuvaukset Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 16 R. Kangaslampi Vektoriavaruudet Lineaarikuvaus

Lisätiedot

Määritelmä 1. Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V. Termejä: Lineaarikuvaus, Lineaarinen kuvaus.

Määritelmä 1. Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V. Termejä: Lineaarikuvaus, Lineaarinen kuvaus. 1 Lineaarikuvaus 1.1 Määritelmä Määritelmä 1. Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V W on lineaarinen, jos (a) L(v + w) = L(v) + L(w); (b) L(λv) = λl(v) aina, kun v, w V ja λ K. Termejä:

Lisätiedot

Esimerkki 19. Esimerkissä 16 miniminormiratkaisu on (ˆx 1, ˆx 2 ) = (1, 0).

Esimerkki 19. Esimerkissä 16 miniminormiratkaisu on (ˆx 1, ˆx 2 ) = (1, 0). Esimerkki 9 Esimerkissä 6 miniminormiratkaisu on (ˆx, ˆx (, 0 Seuraavaksi näytetään, että miniminormiratkaisuun siirtyminen poistaa likimääräisongelman epäyksikäsitteisyyden (mutta lisääntyvän ratkaisun

Lisätiedot

Sisätuloavaruudet. 4. lokakuuta 2006

Sisätuloavaruudet. 4. lokakuuta 2006 Sisätuloavaruudet 4. lokakuuta 2006 Tässä esityksessä vektoriavaruudet V ja W ovat kompleksisia ja äärellisulotteisia. Käydään ensin lyhyesti läpi määritelmiä ja perustuloksia. Merkitään L(V, W ) :llä

Lisätiedot

6 MATRIISIN DIAGONALISOINTI

6 MATRIISIN DIAGONALISOINTI 6 MATRIISIN DIAGONALISOINTI Ortogonaaliset matriisit Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja A - = A T Muistutus: vektorien a ja b pistetulo (skalaaritulo,

Lisätiedot

Bijektio. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin jokaiselle alkiolle kuvautuu tasan yksi lähdön alkio.

Bijektio. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin jokaiselle alkiolle kuvautuu tasan yksi lähdön alkio. Määritelmä Bijektio Oletetaan, että f : X Y on kuvaus. Sanotaan, että kuvaus f on bijektio, jos se on sekä injektio että surjektio. Huom. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin

Lisätiedot

Tällä viikolla viimeiset luennot ja demot. Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/162

Tällä viikolla viimeiset luennot ja demot. Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/162 Tällä viikolla viimeiset luennot ja demot Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/162 Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/162 Kertausta Vektorin u = (u 1,u 2 ) R 2 pituus u = u 2 1 +u2 2 Vektorien u ja v = (v 1,v 2

Lisätiedot

110. 111. 112. 113. 114. 4. Matriisit ja vektorit. 4.1. Matriisin käsite. 4.2. Matriisialgebra. Olkoon A = , B = Laske A + B, 5 14 9, 1 3 3

110. 111. 112. 113. 114. 4. Matriisit ja vektorit. 4.1. Matriisin käsite. 4.2. Matriisialgebra. Olkoon A = , B = Laske A + B, 5 14 9, 1 3 3 4 Matriisit ja vektorit 4 Matriisin käsite 42 Matriisialgebra 0 2 2 0, B = 2 2 4 6 2 Laske A + B, 2 A + B, AB ja BA A + B = 2 4 6 5, 2 A + B = 5 9 6 5 4 9, 4 7 6 AB = 0 0 0 6 0 0 0, B 22 2 2 0 0 0 6 5

Lisätiedot

Johdatus lineaarialgebraan. Juha Honkala 2017

Johdatus lineaarialgebraan. Juha Honkala 2017 Johdatus lineaarialgebraan Juha Honkala 2017 Sisällysluettelo 1 Lineaariset yhtälöryhmät ja matriisit 11 Lineaariset yhtälöryhmät 12 Matriisit 13 Matriisien alkeismuunnokset ja porrasmatriisit 14 Yhtälöryhmien

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja

MS-C1340 Lineaarialgebra ja MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Lineaarikuvaukset Riikka Kangaslampi Kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Lineaarikuvaukset Lineaarikuvaus Olkoot U ja V

Lisätiedot

Tiivistelmä matriisilaskennasta

Tiivistelmä matriisilaskennasta Tiivistelmä matriisilaskennasta v 35, 2122008, Ossi Pasanen Nimityksiä ja merkintätapoja m n -matriisi on reaali- tai kompleksiluvuista koostuva lukukaavio, jossa on m vaakariviä ja n saraketta pystyriviä)

Lisätiedot

Johdatus lineaarialgebraan

Johdatus lineaarialgebraan Johdatus lineaarialgebraan Lotta Oinonen ja Johanna Rämö 6. joulukuuta 2012 Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos 2012 Sisältö 1 Avaruus R n 4 1 Avaruuksien R 2 ja R 3 vektorit.....................

Lisätiedot