Latinalaiset neliöt ja taikaneliöt

Transkriptio

1 Latinalaiset neliöt ja taikaneliöt LuK-tutkielma Aku-Petteri Niemi Matemaattisten tieteiden tutkinto-ohjelma Oulun yliopisto Kevät 2018

2 Sisältö Johdanto 2 1 Latinalaiset neliöt Latinalainen neliö Ortogonaali latinalainen neliö Pareittain ortogonaalisten latinalaisten neliöiden joukko Taikaneliöt 8 Lähdeluettelo 10 1

3 Johdanto Lähdetään liikkeelle yksinkertaisesta ongelmasta. Tutkija on kehittänyt kolme (3) erilaista lannoitetta ja hän haluaa testata niitä kolmelle (3) eri vehnäkannalle, jotta voisi päätellä, mikä yhdistelmä antaa parhaan tuloksen. Kuinka hänen tulisi toteuttaa kokeensa? Loogisesti ajateltuna hän haluaa testata jokaiselle vehnäkannalle jokaista eri lannoitetta, joten hänen tulisi jakaa pelto yhdeksään (9) eri osaan. Pellosta muodostuu näin 3 3 -matriisi. Nyt hänen tulee istuttaa vehnänsä pellon eri riveille. Olkoon vehnäkannat a, b ja c. Saamme matriisin a a a b b b. c c c Seuraavaksi hänen tulee lannoittaa jokainen vehnäkanta eri lannoitteella. Olkoon lannoitteet 1, 2 ja 3. Lannoitetaan jokainen pellon eri sarake eri lannoitteella ja saamme matriisin a1 a2 a3 b1 b2 b3. c1 c2 c3 Jotta hän ei saisi vääristyneitä tuloksia maan vaihtelevasta ravintopitoisuudesta johtuen, hänen tulisi 1. istuttaa vehnät niin, että jokaista kantaa esiintyy kullakin rivillä/sarakkeella tismalleen yhden kerran. 2. katsoa, että samaa lannoitetta käytetään samalla rivillä/sarakkeella ainoastaan kerran. Eräs kohdan 1. matriisi on siis muotoa a b c b c a c a b ja eräs kohdan 2. matriisi on muotoa

4 Päällekkäin aseteltuna saamme haluamamme matriisin a1 b2 c3 b3 c1 a2. c2 a3 b1 Kohtien 1. ja 2. matriiseja kutsutaan latinalaisiksi neliöiksi ja päällekkäin asetettuna ne muodostavat ortogonaalisen latinalaisen neliön. 1 Latinalaiset neliöt 1.1 Latinalainen neliö Määritelmä 1.1. Olkoon S joukko, jossa on n kappaletta alkioita. Sanotaan, että n n -matriisi on kertaluvun n latinalainen neliö, mikäli siinä esiintyy kaikki n kappaletta alkioita joukosta S, ja jonka alkiot esiintyvät kullakin matriisin rivillä/sarakkeella täsmälleen kerran. Esimerkki 1.2. Johdannossa käyttämämme 3 3 -matriisi a b c b c a c a b on latinalainen neliö, sillä jokaisella rivillä/sarakkeella esiintyy kukin alkio täsmälleen kerran. Matriisi a a a b b b c c c ei ole latinalainen neliö, sillä siinä sama alkio esiintyy useammin kuin kerran yhdellä rivillä/sarakkeella. 1.2 Ortogonaali latinalainen neliö Käytetään seuraavassa määritelmässä aiemmin määrittelemäämme joukkoa S. Lisäksi sovitaan, että alkiota, joka esiintyy neliön i. rivillä ja j. sarakkeella kutsutaan a ij. Merkitään matriisia [a ij ]. 3

5 Määritelmä 1.3. Olkoot L 1 = [a ij ] ja L 2 = [b ij ] n n -latinalaisia neliöitä. Sanotaan että latinalaiset neliöt L 1 ja L 2 ovat ortogonaalit, mikäli joukko {(a ij, b ij ) 1 i n, 1 j n} sisältää kaikki n 2 järjestettyä paria joukosta S S. Esimerkki 1.4. Käytetään johdannossa määriteltyjä neliöitä a b c b c a ja c a b Neliöiden täytyy siis päällekkäin asetettuna sisältää kaikki 3 2 = 9 järjestettyä paria joukosta {a, b, c} {1, 2, 3}. Päällekkäin asetettuna ne muodostavat neliön a1 b2 c3 b3 c1 a2 c2 a3 b1 mikä on ortogonaali latinalainen neliö, sillä se sisältää kaikki järjestetyt parit joukosta {a, b, c} {1, 2, 3}, ja mikään alkio ei esiinny samalla rivillä/sarakkeella useammin kuin kerran. Täten neliöt ovat keskenään ortogonaalit. 1.3 Pareittain ortogonaalisten latinalaisten neliöiden joukko Määritelmä 1.5. Joukko latinalaisia n n -neliöitä muodostavat pareittain ortogonaalisten latinalaisten neliöiden joukon, mikäli kaikki neliöparit ovat keskenään ortogonaaliset. Lause 1.6. Kertalukua n olevien pareittain ortogonaalisten latinalaisten neliöiden joukossa on enintään n 1 neliötä. Todistus. On selvää, että jos järjestelemme uudelleen jokaisen neliön jokaisen rivin ja sarakkeen pareittain ortogonaalisten latinalaisten neliöiden joukossa 4

6 samalla tavalla, niin saamme uuden joukon pareittain ortogonaalisia latinalaisia neliöitä. Voimme siis tämän nojalla olettaa, että ensimmäisen neliön rivit ja sarakkeet ovat muotoa 1 2 n L 1 = 2.. n Järjestelemällä rivit sopivasti uudelleen kaikille neliöille pareittain ortogonaalisten latinalaisten neliöiden joukossa, saamme joukon, jonka jokaisen neliön ensimmäinen rivi on muotoa ( 1 2 n ). Kaikkien operaatioiden jälkeen, saimme muodostettua uuden joukon pareittain ortogonaalisia latinalaisia neliöitä. Olkoon tämä joukko Ω. Otetaan nyt toinen neliö joukosta Ω ja olkoon se L 2. Koska L 2 on samasta joukosta kuin L 1, niin ne ovat ortogonaaliset keskenään. Tämän vuoksi, L 2 ensimmäisen sarakkeen ja toisen rivin alkio ei voi olla 1 eikä 2, koska jos alkio olisi 1, niin tällöin 1 2 n L 2 = 1. eli samalla sarakkeella esiintyisi sama alkio useammin kuin kerran, jolloin L 2 ei olisi latinalainen neliö. Jos taas alkio olisi 2, niin asettamalla L 1 ja L 2 päällekäin, saamme neliön nn 22. eli neliössä esiintyy sama alkiopari useammin kuin kerran, jolloin neliöt eivät olisi ortogonaaliset keskenään. Oletetaan siis, että alkio on 3. Otetaan sitten kolmas neliö joukosta Ω, olkoon se L 3. Koska L 3 on ortogonaalinen L 1 ja L 2 kanssa, niin samalla periaatteella sen ensimmäisen sarakkeen ja toisen rivin alkio ei voi olla 1, 2 eikä 3. Oletetaan siis, että alkio on 4. 5

7 Tätä jatkamalla, saadaan että joukon Ω neliön L n 1 alkio ensimmäisellä sarakkeella ja toisella rivillä on oltava n. Jos olisi neliö L n, sen ensimmäisen sarakkeen ja toisen rivin alkio ei voi olla mikään alkioista 1,, n, eli neliöitä voi olla enintään n 1 kappaletta. Lause 1.7. Jos kertaluku n = p m, missä p on jokin alkuluku, niin on olemassa n 1 pareittain ortogonaalista latinalaista neliötä. Todistus. Olkoon K = {a 1,..., a n } kertalukua n oleva kunta, missä a 1 = 1 K ja a n = 0 K ja joukko L k = [a k a i + a j ], k = 1,..., n 1, ovat n n - matriiseja yli kunnan K ja a i, a j K, missä i kertoo monennellako rivillä alkio on ja j kertoo monennellako sarakkeella alkio on. Osoitetaan aluksi, että jokainen matriisi L k on latinalainen neliö. Osoitetaan, että jokainen alkio matriisin rivillä on eri. Oletetaan, että a k a i + a j = a k a i + a s. Koska K on kunta ja kunnassa on käänteisalkio jokaiselle alkiolle yhteenlaskun suhteen, niin voimme supistaa a k a i pois yhtälöstä ja saamme a j = a s eli j = s. Näin ollen jokainen kunnan K alkio esiintyy ainoastaan kerran jokaisen matriisin L k riveillä. Osoitetaan sitten, että jokainen alkio matriisin sarakkeilla on eri. Oletetaan, että a k a i +a j = a k a t +a j. Edelleen, koska K on kunta ja kunnassa on käänteisalkio myös kertolaskun suhteen, voimme supistaa yhtälöstä pois a j sekä a k ja saamme a i = a t. Näin ollen jokainen kunnan K alkio esiintyy ainoastaan kerran jokaisen matriisin L k sarakkeilla. Täten jokainen matriisi L k on latinalainen neliö. Oletetaan nyt, että k s ja osoitetaan, että L k on ortogonaalinen L s kanssa. Jotta näin voidaan tehdä, on osoitettava, että kaikki parit (a k a i +a j, a s a i +a j ) ovat erisuuria. Oletetaan, että (a k a i + a j, a s a i + a j ) = (a k a u + a v, a s a u + a v ). Tällöin a k a i + a j = a k a u + a v ja a s a i + a j =, a s a u + a v. Vähentämällä yhtälöt puolittain toisistaan, saadaan (a k a s )a v = (a k a s )a u. Koska k s, niin a k a s eli a k a s 0, joten voimme supistaa yhtälö muotoon a v = a u eli v = u. Nyt supistamalla a k a i (= a k a u ) molemmin puolin ensimmäisestä yhtälöstä, saamme a j = a v eli j = v. Täten L k on ortogonaalinen L s kanssa. Esimerkki 1.8. Käytetään hyväksi Lausetta 1.7 ja muodostetaan kolme 4 4 pareittain ortogonaalista latinalaista neliötä. Koska 4 = 2 2 ja 2 on alkuluku, meidän pitäisi löytää 4 1 = 3 pareittain ortogonaalista latinalaista neliötä. Luodaan aluksi kunta jossa on neljä alkiota, johon käytämme jaotonta polynomia x 2 + x + 1 yli Z 2. Tiedämme että osamäärärengas K = Z 2 [x]/ x 2 +x+1 = {0, 1, x, x + 1} on kunta. 6

8 Saamme muodostettua kaikki pareittain ortogonaaliset latinalaiset neliöt laskemalla kaikki neliön alkiot seuraavalla menetelmällä: Asetetaan a 1 = 0, a 2 = 1, a 3 = x ja a 4 = x+1. Jokainen neliön alkio on muotoa a k a i + a j, missä a k, a i, a j käyvät läpi kaikki alkiot kunnassa K. Olkoon neliöt L 1, L 2, L 3 ja L 4. Ensimmäisen neliön alkiot ovat muotoa 0 a i + a j, missä i on rivi ja a i käy läpi kaikki kunnan K alkiot ja j on sarake ja a j käy läpi kaikki kunnan K alkiot. Näin ollen ensimmäinen neliö on muotoa 0 1 x x + 1 L 1 = 0 1 x x x x x x + 1 mikä selvästi ei ole latinalainen neliö, eikä siis kuulu pareittain ortogonaalisten latinalaisten neliöiden joukkoon. Toisen neliön alkiot ovat muotoa 1 a i + a j, joten toinen neliö on L 2 = 0 1 x x x + 1 x x x x + 1 x 1 0. Kolmannen neliön alkiot ovat muotoa xa i +a j ja neljännen neliön alkiot muotoa (x + 1)a i + a j, joten kolmas neliö on 0 1 x x + 1 L 3 = x x x + 1 x x + 1 x ja neljäs neliö on 0 1 x x + 1 L 4 = x + 1 x x + 1 x. x x Asettamalla 1 = 1, x = 2, x + 1 = 3 ja 0 = 4 saamme neliöt 7

9 L 2 = , L 3 = , L 4 = Neliöt L 2, L 3 ja L 4 ovat selvästi ortogonaaliset keskenään. 2 Taikaneliöt Määritelmä 2.1. Kertaluvun n taikaneliö on n n -matriisi, jonka alkioina esiintyvät kaikki luvut 1, 2,, n 2 ja jonka jokaisen rivin, sarakkeen ja diagonaalin alkiot summautuvat samaksi luvuksi. Esimerkki 2.2. Matriisi on 3 3 taikaneliö. Huomataan, että: 1. neliössä esiintyy kaikki alkiot 1,, 3 2 = 9; 2. jokaisen rivin alkioiden summa on 15; 3. myös jokaisen sarakkeen alkioiden summa on 15; 4. sekä jokaisen diagonaalin alkioiden summa on 15. Oletetaan, että meillä on kaksi n n -latinalaista neliötä joukosta {0, 1,, n 1}. Asetetaan neliöt päällekkäin siten, että saamme n n - matriisin, jonka alkiot ovat joukosta {(a ij, b ij ) 0 i n 1, 0 j n 1}. Latinalaisen neliön määritelmän nojalla, jokaisella rivillä/sarakkeella esiintyy jokainen alkio täsmälleen kerran, joten rivien/sarakkeiden alkioiden summaksi täytyy tulla n 1 = n(n 1). 2 Ajatellaan alkiot n-kantaisiksi luvuiksi. Jos siis kirjoitamme parit ilman sulkeita ja pilkkuja, jäljelle jäävät parit voimme muuttaa kantalukuun 10. Näin 8

10 saamme neliön, jonka alkiot ovat kaikki kokonaisluvut joukosta {0, 1,, n 2 1}, mikä on rivi- ja saraketaikaa. Lopuksi lisäämme jokaiseen alkioon luvun 1, jotta saamma taikaneliön, jonka alkiot ovat luvut joukosta 1,, n 2. Otetaan tästä esimerkki. Esimerkki 2.3. Käytetään meidän Esimerkissä 1.8 kehitettyjä ortogonaalisia latinalaisia neliöitä L 2 = , L 3 = Vähennetään molempien neliöiden jokaisesta alkiosta 1, ja saamme neliöt ˆL 2 = , ˆL3 = Asettamalla neliöt päällekäin, saamme ortogonaalisen latinalaisen neliön Ajatellaan neliö 4 kantaisena ja muuntamalla neliö kantalukuun 10, saamme Lisäämällä 1 jokaiseen alkioon, saamme oikeat alkiot ja kantalukua 4 olevan taikaneliön

11 Lähdeluettelo [1] C. Reis: ABSTRACT ALGEBRA; An Introduction to Groups, Rings and Fields. University of Western Ontario, Canada,