Ö Ñ Ø ÔÐÙ Ö ÑÑ ôò Ð Ö ôò ËÙ Ø Ñ ØÛÒ Ñ Ô Ò Ð ÔØ Å ÓÙ Å Ö Éº Ð Ò ÐÐ Á ÃÌÇÊÁÃÀ Á ÌÊÁ À Á ÌÅÀÅ ÌÁÃÇ Å Ì ÈÌÍÉÁ ÃÇ ÈÊÇ Ê ÅÅ ÌÅÀÅ Ì Å ÂÀÅ ÌÁÃÏÆ Ã Á ÊÅÇËÅ ÆÏÆ
|
|
- Krista Nieminen
- 5 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Ö Ñ Ø ÔÐÙ Ö ÑÑ ôò Ð Ö ôò ËÙ Ø Ñ ØÛÒ Ñ Ô Ò Ð ÔØ Å ÓÙ Å Ö Éº Ð Ò ÐÐ Á ÃÌÇÊÁÃÀ Á ÌÊÁ À Á ÌÅÀÅ ÌÁÃÇ Å Ì ÈÌÍÉÁ ÃÇ ÈÊÇ Ê ÅÅ ÌÅÀÅ Ì Å ÂÀÅ ÌÁÃÏÆ Ã Á ÊÅÇËÅ ÆÏÆ Å ÂÀÅ ÌÁÃÏÆ È Æ ÈÁËÌÀÅÁÇ ÃÊÀÌÀË Å Ó ¾¼¼
2 ii
3 Ø Å Ö Ð Ò ÐÐ Å Ñ Ø Ó À Ô ÖÓ ØÓÖ ØÖ Õ Ø Ø Ø Ò ØÑ Ñ Ø Ô ØÖÓÔ ØÛÒ ÌÑ Ñ ØÛÒ Å Ñ Ø ôò ÖÑÓ Ñ ÒÛÒ Å Ñ Ø ôò ØÓÙ È Ò Ô Ø ÑÓÙ ÃÖ Ø º
4 iv
5 Ô Ð ÔÛÒ ØÓÖ ØÖ Ã Ø Ô ØÓÐÓ É ØÞ ÑÓ À ØÓÖ ØÖ ÕÖ Ñ ØÓ ÓØ Ø Ò Ñ ÖÓ Ô ØÓ ÔÖ Ö ÑÑ ÀÖ Ð ØÓ ÍÔÓØÖÓ Ö ÙÒ Ñ ÔÖÓØ Ö Ø Ø Ø ³ Ö ÙÒ ¾¼¼¾¹ ¾¼¼ º v
6 vi
7 È Ö Õ Ñ Ò È Ö Õ Ñ Ò ÒØ ÈÖÓÐ ÓÙ vii ix Ã Ð Ó ½º Û ½ Ã Ð Ó ¾º Ç Ð Ö ÑÓ H Ó ÈÖÓØ Ò Ñ Ò È Ö ÐÐ ¹ ØÓÙ ½ ¾º½ Ç Ð Ö ÑÓ H º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾º¾ Ð Ö ÑÓ Ø ÔÓÙ Gauss-Seidel Ö Ó ÔÒ º º º º º º ½ ¾º ÃÖ Ø Ö Ó Å Ö Ç Gauss-Seidel º º º º º º º º º º º º ½ ¾º Ç ÌÖ Ô Ò Ð ÔØ Ó Ð Ö ÑÓ º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º Ò ÔØÙÜ Ð ÓÖ Ñ Ó ÍÐ Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º ËÕ Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º Ö Ñ Ø ÔÓØ Ð Ñ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ã Ð Ó º Ô Ò Ð ÔØ ÃÖ Ø Ö Ó Å ¹ Ò ô ÑÓ٠ȹ Ò º½ Û º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾ ÈÖÓ Ø ÖØ Ó ÌÖ Ð Ö ÑÓ ËÕ Ð º º º º º º º º º º ÈÖÓ Ø ÖØ Â ÛÖ Ø ÍÔ ÖÓ º º º º º º º º º º º º º º Ç Æ Ó Ð Ö ÑÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Å ËÙÒ ÖØ Matlab È Ö Ñ Ø ËÕ Ð º º º º º º º Ã Ð Ó º Ô Ò Ð ÔØ ÃÖ Ø Ö Ó Ò ô ÑÓÙ Å ÈÒ º½  ÛÖ Ø ØÓ Õ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾ À ÖÑÓ ØÓÙ Ð ÓÖ ÑÓÙ À Ñ ÔÐ Ò ô Ñ È ¹ ÖÔØÛ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º À Ò Ò ô Ñ È ÖÔØÛ º º º º º º º º º º º º º º º º º vii
8 º Ç Ð Ö ÑÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½ º Å ËÙÒ ÖØ Matlab È Ö Ñ Ø ËÕ Ð º º º º º º º ½½ Ð Ó Ö ½¾ viii
9 ÒØ ÈÖÓÐ ÓÙ À Ô Ò Ø Ô ÖÓ ØÖ Ø Ò Ò Ø ÕÛÖ Ø ÙÑÔ ¹ Ö Ø ÓÖ Ñ ÒÛÒ Ò ÖôÔÛÒ ØÓÙ ÓÔÓÓÙ Ð Ò ÙÕ Ö Ø Ûº ÖÕ Ð Ò Ö Û Ø Ð Ö Ò ÑÓÙ Ù ÒÛÑÓ Ò ØÓÒ Ô Ð ÔÓÒØ ÑÓÙ Ã Ø Ô ØÓÐÓ É ØÞ ÑÓ Ø Ò Ø Ò Ø Ö Ô Ö ØÖÙÒ ÔÖÓ ÛÔ ØÓÙ Ô Ð Ý ³ Ð Ø Ö Ø ¹ ØÖ Õ Ñ ÒÓº Â Ð Ñ Ò ØÓÒ ÙÕ Ö Ø Û Ø Ò Ó Ö Ø Ó ØÓÙ Ø ÙÑ ÓÙÐ Ø ÔÓ Ó ÓÑ Ø ØÓÙ Õ Ð ÔÓÙ ÔÓØ Ð Ò ØÓÒ Ó Ø Ò ÓÐÓ Ð ÖÛ Ø Ö ÙØ º Á Ø Ö ÙÕ Ö Øô Ø Ñ Ð Ø ØÖ Ñ ÐÓ ÙÑ ÓÙÐ ÙØ Ô ØÖÓÔ ØÓÙ Ò ÔÐ ÖÛØ Ã Ø ÑÑ ÒÓÙ Ð Ð Ñ ØÖ Ó ÆÓ Ø Ó Ø Ò Ù Ò ÙÑÔ Ö Ø Ó ØÓÙ ÐÐ Ø ÔÓÐ Ø Ñ ÔÖÓØ Ø Ò ÓÙ Ø ÐØÛ ØÓÙ Ô Ö ÕÓÑ ÒÓÙ Ø ØÖ º Ô ¹ ÔÐ ÓÒ ÖÑ ÙÕ Ö Ø Ó ÐÛ ÔÖÓ ØÓÙ Ã Ø Ð Ó ÓÙ Ð É Ö Ð ÑÔÓ Å Ö Â ÛÖÓ È Ô Ó ôöóù ÁÛ ÒÒ Ë Ö ØÓÒ Ô ÓÙÖÓ Ã Ø ôö Ó ÓÙÖ Ö ÔÓÙ Õ Ò Ñ ÔÖÓ ÙÑ Ò ÙÑÑ Ø ¹ ÕÓÙÒ Ø Ò ÔØ Ñ Ð Ü Ø Ø Ô ØÖÓÔ ØÓÙ ØÓÖ Ó ÑÓÙº Ì ÐÓ Ð Ò ÙÕ Ö Ø Û ØÓÙ ÓÒ ÑÓÙ Ø Ò ÙÐ ØÓÙ ÙÑÔ Ö Ø Ð ÙØ Ø ÕÖ Ò ô ØÓ ÒØÖÓ ÑÓÙ Å ÒÓ Ø ÙÒ Õ Ò ÖÖÙÒ ÙÔÓ Ø Ö Ü ØÓÙº ix
10 x
11 Ã Ð Ó ½ Û Â ÛÖÓ Ñ Ò Ø Ñ Ö ÑÑ ôò Ü ô ÛÒ Ø ÑÓÖ Ax = b, ½º½µ ÔÓÙ Ó ÔÒ A Ò Ò n n Ñ ¹ ÑÓÖ Ó Ñ Ò ÔÒ A C n,n det(a) 0µ x, b C n. ³ Ò Ø ØÓ Ó Ø Ñ ÔÖÓ ÖÕ Ñ ÒÓ ÙÖÛ Ô ÔÖ Ø ÖÑÓ Õ ÙÒ Û ÔÒ ÙÒØ Ð ØôÒ A ÔÓÙ Ø ØÓÙ n Ò Ñ Ð Ò Ö º ËØ Ò Ô ÖÔØÛ ÙØ Ò Ô ØÓÙ Ø ÕÓÙ Ø Ø Ò ÔÐÙ ØÓÙ ½º½µ Ò Ñ Ø ÐÐ Ù Ø Ö Ø ¹ Ø ØÓÙ ÔÒ ô Ø Ò Ñ Û Ò ØÓ ÔÐ Ó ØÛÒ ÔÐ ÖÓ ÓÖ ôò Ø Ø Ò ÔÓ Ù Ø Ø Ö ØÛÒ ÙÔÓÐÓ ÑôÒ ÐÐ Ó Ô ØÓ Ñ ÒÓ Ö Ñ ÔÖ Ü ÛÒ Ø Ò Ö ØÓÙ ÔÓØ Ð Ñ ØÓº Ì ØÓ ÓÙ ÓÙ Ù Ø Ñ ¹ Ø Ñ ÒÞÓÒØ ÔÓÐÐ ÖÑÓ Ø Ø Ò Ö Ñ Ø ÔÐÙ ÐÐ ÔØ ôò» Ô Ö ÓÐ ôò Ü ô ÛÒ Ø Ø Ö ØÓÔÓ Ñ Ô Ô Ö Ñ Ò ¹ ÓÖ Ô Ô Ö Ñ Ò ØÓ Õ Ô Ô Ö Ñ ÒÓÙ ÓÙ ÙÑÔØÛØ Ñ ÓÙ collocationµº Ì ÔÖÓ Ð Ñ Ø ÙØ Ñ ÒÞÓÒØ Ô Ö ÓÕ Ø Ô Ø Ñ Ø Ì ÕÒÓÐÓ ØÛÒ Ç ÓÒÓÑ ôò Ô Ø ÑôÒ Ø Á ØÖ ºÐÔº ³ÇÔÛ ÔºÕº Ø Ó ÖÑ Ø Ø Ø ÕÙ Ò ØÖÓÒÛÒ ØÓÙ ÔÙÖ Ò Ó ÒØ Ö Ø ¹ Ö Ø Ö Ù ØÓ ÙÒ Ñ Ø Ò Ð Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ù Ø Ò ½
12 ÔÖ ÒÛ ØÓÙ ÖÓ Ð Ô Young µ Ñ ÐÐ ÔÖÓ Ð Ñ Ø ÔÛ Ø Ð ØÖ Ù ÐôÑ Ø ØÓÑÓ Ö ºÐÔº Ð Ô Axelsson µº Ó ÔÒ A ÑÔÓÖ Ò Õ Ô ÔÐ ÓÒ Ñ ÒØ Ø Ø Ñ Ø ÐÐ Ù ØÛÒ ÓÔÓ¹ ÛÒ ÑÔÓÖ Ò Ò Ø Ø Ò ÔÐÙ ØÓÙ Ù Ø Ñ ØÓº ËØ Ò Ô ÖÓ ØÖ Ñ Ô ÕÓÐ ÓÙÒ ÙÖÛ ÔÒ A ÔÓÙ Ò M ÔÒ H ÔÒ º ËØÓ Ñ Ó ÙØ ÙÔ Ò ÙÑÞ Ø Ø ÇÖ Ñ ½º½º ³ Ò ÔÒ A R n,n Ð Ø Ñ ¹ ÑÓÖ Óµ M ÔÒ ¹ Ø Ò ÑÔÓÖ Ò Ö Ø ÑÓÖ A = si B ÔÓÙ s > 0 B 0 Ñ s > ρ(b) Ó Ò Ñ Ò a ij 0, i j = 1(1)n det(a) 0 A 1 0º Ë Ñ ô ½µ ËØÓÒ Ô Ö Ô ÒÛ ÓÖ Ñ ØÓ ρ( ) ÙÑ ÓÐÞ Ø Ñ Ø Ø¹ Ò Ò Ø ØÖ ÛÒ Ó ÔÒ Ö ÓÒØ A > 0 ( 0) ÒÒÓÓ Ñ Ø Ð Ø ØÓ Õ ØÓÙ A Ò Ø Ñ ¹ ÖÒ Ø µº ¾µ Ç Ô Ö Ô ÒÛ ÓÖ Ñ ¹ Õ ÔÖôØ ÓÖ Ô ØÓÒ Ostrowski ØÓ ½ º µ ³ Ò ÔÐ Ó Ô Ò ÒØ µ Ó Ò ÑÛÒ ÔÖÓØ ÛÒ ÔÓÙ ÑÔÓÖÓ Ò Ò ÔÓØ Ð ÓÙÒ Ò ÐÐ Ø Ó ÓÖ ÑÓ Ò Ñ ¹ ÑÓÖ ÓÙ M ÔÒ ÑÔÓÖ Ò Ö ØÓ ÐÓ ØÛÒ Berman Plemmons º µ ÈÒ Ø ÑÓÖ ½º½µ ÔÓÐ ÙÕÒ Ñ ÒÞÓÒØ Ù¹ Ø Ñ Ø Ö ÑÑ ôò ¹ ÔÛ ÔÖÓ Ò Ö ¹ ÐÐ Ñ ¹ Ö ÑÑ ôò Ü ô ÛÒ ÔÖÓ Ð Ñ Ø ÓØ ÑôÒ Ñ Ñ Ð ÔÓ Ð Ô Ö ÓÕôÒ ÔÓÙ Ô Ö Ð Ñ ÒÓÙÒ Ñ ÓÙ Ô Ô Ö Ñ ÒÛÒ ÓÖôÒ Ñ Ö ÓÖ Ü ô ÑÓÒØ Ð ÓÙ¹ Ü ÓÙ Ô Ö Û Ò ÔØÙÜ Ø Ó ÓÒÓÑ Ø Å Ö Ó Ò Ø Ô Ò Ø Ø Ø Ø Ø Ø º ¾
13 ÇÖ Ñ ½º¾º ³ Ò n n ÔÒ Ð Ø À¹ÔÒ Ø Ò Ó ÔÒ Ö Ò M ÔÒ º M(A) = (m) ij = { aii, Ò i = j = 1(1)n, a ij, Ò i j = 1(1)n, ½º¾µ Á Ó Ò Ñ Ò ÙÔ ÖÕ Ò ôò Ó ÔÒ D = diag(d 1,d 2,...,d n ), Ñ Ø ôò ØÓ Õ Ø ØÓ Ó ô Ø Ó ÔÒ AD Ò Ò Ù Ø Ö ¹ ôò ÙÔ ÖØ ÖÓ Ø Ö ÑÑ sddµ Ð Ò Ñ ÒÓ Ò n a ii d i > a ij d j, i = 1(1)n. ½º µ j=1, j i Ë Ñ ô ½µ À Ó Ó Ò ØÛÒ H Ô Ò ÛÒ Ò Ø Ò ÙÖ Ø Ø Ñ Ð ¹ Ø Ñ Ò Ó Ó Ò ÔÛ ÐÐÛ Ø Ò Ø Ô Ø Ô Ö Ô ÒÛ Ñ ô ØÛÒ Ñ ¹ ÑÓÖ ÛÒ M Ô Ò ÛÒ ÐÐ Ø Ò Ó Ó Ò ØÛÒ Ù Ø Ö ôò ÙÔ ÖØ ÖÛÒ Ô Ò ÛÒº ¾µ Ò ÙÔ ÖÕ ÔÒ D Ø ØÓ Ó ô Ø Ò ÒÓÔÓ Ø Ó ÓÖ Ñ Ó ÒØ ÔÒ A C n,n Ø Ø Ò ÔÖÓ Ò Ø ÙÔ ÖÕÓÙÒ Ô ÖÓ ÔÒ ÔÓÙ ÒÓÔÓ Ó Ò ØÓÒ ÓÖ Ñ ØÓ ÒÓÐ ØÓÙ ÙÑ ÓÐÞ Ø ÙÒ Û Ñ D A º Ç ÔÒ ÙØÓ Ô ÞÓÙÒ Ø Ö Ñ ÒØ Ö ÐÓ Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ö ÑÑ ÙÑÔÐ ÖÛÑ Ø Ø Ø ÙÖ Ø Ö ÒÛ Ø Û Linear Complementarity Problems (LCP)º  ÛÖÓ Ñ ØÓ Ø Ñ r = Ax b, r 0, x 0 x T r = 0.
14 ØÓ Ø Ñ ÙØ Þ Ø Ø ØÓ ÒÙ Ñ x ÔÓÙ ÒÓÔÓ Ø Ô Ö Ô ÒÛ Õ ¹ Ó Ñ ÒÓ b R n A R n,n º Á Ø Ö ÔÓ Ò Ø Ø b 0 ØÓ Ô Ö Ô ÒÛ Ø Ñ Õ Ñ Ñ ÒÓ Ð Ò Ñ ÒÓ Ò Ó Ò Ø ¹ ÓÖ Ñ ÒÓ ÙÔ Ø Ò ÒÒÓ Ø y T Ay > 0, y R n \{0}µº Ç ÔÖ Ñ Ø Ó H ÔÒ Ñ Ø ôò ØÓ Õ ÔÓØ ÐÓ Ò Ñ ÙÔÓ Ø ÓÖ ØÛÒ ¹ Ø ÓÖ Ñ ÒÛÒ Ô Ò ÛÒº ÌÓ ÔÖ Ð Ñ ÙØ Õ ÖÑÓ Ø Ò Ö Ò Nash Ñ ÓÙ ÓÖÖÓÔ Ò Ô ÒÓÙ Ó Ô ØôÒ bimatrix gameµ Lemke ¾ Cottle Dantzig µ Ö Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ð ÖÛÒ» ÒÓ Ñ ¹ ÒÛÒ ÙÒ ÖÛÒ Ø Ñ Õ Ò Ö Ù ØôÒ Cryer µ Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ö ÑÑ Ó µ ÙÖØÓ Ø ØÖ ÛÒ Ó ÔÖÓ Ö ÑÑ Ø ÑÓ Mangasarian ½ Murty ¾ µ ÔÖÓ Ð Ñ Ø ØÑ Ô ÐÓ ôò Ø Ò Ç ÓÒÓÑ Pantazopoulos Koulisianis Papatheodorou ¾ µº ÈÖÓ Ð Ñ Ø ÔÛ ØÓ Ô Ö Ô ÒÛ ÕÓÙÒ Ô ÐÙ Ñ Ø ÕÖ Ô Ò Ð ÔØ ôò Ñ ÛÒ Ô ØÓÙ Cryer Mangasarian ¼ Ahn ½ Pang º À ÔÐÙ Ù Ø Ñ ØÛÒ ÔÛ ØÓ ½º½µ Ò Ø ÙÕÒ Ñ Ø ÕÖ Ô ¹ Ò Ð ÔØ ôò Ñ ÛÒ ÔÖÓ Ø Ð ØÓÙº Ç Ñ Ó Ó ÙØ Ò Ù¹ Ò Û Ò Ñ Ð Ö Ù Ø Ñ Ø ÔÖÓØ ÑôÒØ Ø Ô Ö ¹ Ø Ö Ô Ö ÔØô ÒØ ØÛÒ Ñ ÛÒ Ñ ÛÒ ÔÛ Ô ÐÓ Gaussº Å ØÙÔ Ô Ò Ð ÔØ Ñ Ó Ó Ô Ö Ð Ñ Ò Ø Ò Ô ÐÓ Ñ ØÙÕ ÖÕ ÔÖÓ x (0) Ø Ð x ØÓÙ ½º½µ ØÓÒ ÓÖ Ñ Ñ ÓÐÓÙ x (0), x (1), x (2), x (3),..., Ñ ÔÓ Ó Ù Ö Ñ ÒÓ Ð Ö ÑÓ Ó ÓÔÓÓ Ò Ñ Ó Ó Ô Ð Ø ÐÐ Ð Ù ÐÒ Ø Ò Ö Ð ØÓÙ ½º½µº
15 Ø Ö ÛÖ ÓÙÑ Ø Ð Ñ Ò Ô ØÓÙ ÔÒ A A = M N, Ñ M Ò Ñ ¹ ÑÓÖ Ó ÔÒ º Ì Ø ØÓ ÖÕ Ø Ñ ½º½µ Ö Ø Ó¹ Ò Ñ Ø ÑÓÖ Mx = Nx + b x = M 1 Nx + M 1 b Ô ÔÓÙ ÔÖÓ ÔØ ØÓ ÐÓÙ Ó Ô Ò Ð ÔØ Õ Ñ x (k+1) = M 1 Nx (k) + M 1 b, k = 0, 1,..., Ó Ò Ñ x (k+1) = Tx (k) + c, k = 0, 1,..., ½º µ ÔÓÙ T = M 1 N Ò Ó Ô Ò Ð ÔØ ÔÒ ØÓÙ Õ Ñ ØÓ c = M 1 b x (0) ØÙÕ ÖÕ ÔÖÓ Ø Ð xº ÈÓÐÐ ÓÖ ÛÖÓ Ñ Ø Ó ÔÒ A Ö Ø Û A = D L U, ÔÓÙ D ôò Ó ÔÒ Ñ ôò ØÓ Õ Ø ÒØ ØÓ Õ ØÓ Õ ØÓÙ Ô¹ Ò A L U Ò ÒØ ØÓ Õ Ù Ø Ö ØÛ ÒÛ ØÖ ÛÒ Ó ÔÒ º ÈÖÓ Òô Ó Ô Ö Ô ÒÛ ØÖ ÔÓ Ö ØÓÙ A Ò ÑÓÒ º Ô Ð ÓÒØ ÔÓÑ ÒÛ ÔÒ M ØÓÙ ÔÒ D 1(D ωl) Ñ ω C\{0} ÕÓÙÑ ω ÒØ ØÓ Õ ØÓÙ Ô Ò Ð ÔØ Ó ÔÒ J A = D 1 (L+U) Ø Ñ ÓÙ Jacobi L ω = (D ωl) 1 ((1 ω)d+ωu) Ø Ñ ÓÙ ÓÕ ÍÔ ÖÕ Ð ÖÛ SORµ Ô ÔÓÙ ω = 1 ÔÖÓ ÔØ Ó Ô Ò Ð ÔØ ÔÒ Ø Ñ ÓÙ
16 Gauss-Seidel L 1 = (D L) 1 Uº Ç Ô Ö Ô ÒÛ Ñ Ó Ó Ò ÒÛ Ø Û Ð ¹ Ô Ò Ð ÔØ Ñ Ó Ó º Ø Ð ØÛÒ Ô Ò Ð ÔØ ôò Ñ ÛÒ ÔÓ Ò Ø ØÓ Ü Ä ÑÑ ½º½º ³ ØÛ A = M N C n,n Ñ A M Ñ ¹ ÑÓÖ ÓÙº Ì Ø T = M 1 N c = M 1 b Ô Ò Ð Ô Ñ Ó Ó ½º µ Ù ÐÒ Ø Ð x = A 1 b ØÓÙ ÖÕ Ó Ö ÑÑ Ó Ù Ø Ñ ØÓ ½º½µ x (0) Ò Ñ ÒÓ Ò ρ(t) < 1. Á Õ Ø Varga ½ µ  ôö Ñ ½º¾º ÓÔÓ Ó ÔÓØ ÔÒ A C n,n Ó Ô Ö ØÛ ÔÖÓØ Ò Ó Ò Ñ ½º Ç ÔÒ Ö M(A) Ò Ò Ñ ¹ ÑÓÖ Ó M ÔÒ º ¾º B Ω(A) = {B C n,n : M(B) = M(A)} ρ(j B ) ρ( J B ) = ρ(j M(A) ) < 1, ÔÓÙ J B ÙÑ ÓÐÞ ØÓÒ ÔÒ ÔÓÙ Õ ØÓ Õ Ø Ñ ØÖ ØÛÒ ÒØ ØÓ ¹ ÕÛÒ ØÓ Õ ÛÒ ØÓÙ J B º Ð Ñ Ó Ó Jacobi Ù ÐÒ B Ω(A)º º B Ω(A) 0 < ω < 2 1+ρ( J B ) ρ(l ω (B)) ωρ( J B ) + 1 ω < 1. Ò Ó Ñ ÒÓ ÔÒ A C n,n ÓÖÞÓÙÑ ØÓÒ ÔÒ A = ( aij ) R n,n º
17 Ð Ñ Ó Ó SOR Ù ÐÒ B Ω(A) 0 < ω < 2 º 1+ρ( J B ) Ø Ô Ø Ô Ö Ô ÒÛ Ñ ÓÙ ÑÛ Ù ÐÒ Ô Ò Ð ÔØ Ñ Ó Ó AOR Ô Ø ÕÙÑ Ò Å Ó Ó ÍÔ ÖÕ Ð ÖÛ µ ÓÔÓ ÔÓØ Ð Ñ Ô Ö Ñ ØÖ Ò Ù Ø Jacobi Ø SOR Ô Ø Ò ÓÔÓ Ó Ð Ô Ò Ð ÔØ Ñ Ó Ó ÔÖÓ ÔØÓÙÒ Ò Ô Ö ÔØô º ËÙ Ö Ñ Ò Ø Ð Ø Ñ ÓÙ ÔÓÙ Õ Ô ØÓÒ Hadjidimos ½ Õ ÔÓ Õ ØÓ Ô Ö ØÛ ÔÓØ Ð Ñ Basic Equivalence Theorem Hadjidimos ½ µ  ôö Ñ ½º º ÓÔÓ Ó ÔÓØ ÔÒ T C n,n Ó Ô Ö ØÛ ÔÖÓØ Ò Ó Ò Ñ ½º Ç ÔÒ Ö M(T ) ØÓÙ T = I T Ò Ò Ñ ¹ ÑÓÖ Ó M ÔÒ º ¾º B Ω(T), B = I B ρ(j B ) ρ( J B ) = ρ(j M(T )) < 1. º B Ω(T) 0 < ω < 2 1+ρ(J B ) ρ(l ω,b ) ωρ( J B ) + 1 ω < 1. ½ º Ø Ô Ö ÐÐ Ñ Ò Ñ ÓÙ ØÛÒ Ð ôò Ñ ÛÒ Ð Ô Hadjidimos Yeyios
18 º B Ω(T) 0 < r < 2 1+ρ( J B ) ρ(l r,r,b ) = ρ(l r,b ) rρ( J B ) + 1 r < 1. º B Ω(T) 0 < r < 2 1+ρ( J B ) 0 < ω < ρ(l r,ω,b ) ω r ρ( L r,r,b ) + 1 ω r < 1, 2r 1+ρ( L r,r,b ) ÔÓÙ Ó L r,ω,b = (D rl) 1 [(1 ω)d + (ω r)l + ωu] Ò Ó Ô Ò Ð ÔØ ÔÒ Ø Ñ ÓÙ AOR ÔÓÙ ÙÒ Ø Ñ ØÓÒ B º Ë Ñ Û Ç ÔÒ T ØÓÙ Ô Ö Ô ÒÛ ÛÖ Ñ ØÓ Ò Ó Ô Ò Ð ÔØ ÔÒ ¹ ØÓÙ Õ Ñ ØÓ ½º µ Ô Ö Ø Ö ÔÓÙ Ò ØÓ ÔÓØ Ð Ñ ÙØ Ò Ø ÖÓ ØÓÙ ÒØ ØÓ ÕÓÙ Ø Ö ½ º À ÕÖ Ø ØÓ ÛÒ Ô Ò Ð ÔØ ôò Ñ ÛÒ ÔÓÙ ÕÖÓÒÓÐÓ Ø ØÓÙ¹ Ð Õ ØÓÒ Ô Ø Ñ ØÓÙ ½ ÓÙ ôò Õ ØÓ ÔÐ ÓÒ Ø Ñ Ø Ó ÔÒ A ÓÖÓÔÓ Ø Ø Ø Ö ØÛÒ Ô Ò Ð Ý ÛÒº ³ Ø ØÓ ÔÖ Ð Ñ Ø Ù ôö Ù ØÛÒ ÐÑ ØÛÒ ØÖÓ Ð Ù Ò Ð Ø ÖÓ Ó Ö Ø Ñ ÓÙ ÙØ Ô Ø Ò Ø Ñ Ñ ÓÙ ÔÓÙ Ó ÔÒ Ñ Ø ¹ ÐÐ Ø Ø Ø Ø ÔÐÙ ØÓÙ Ö ÑÑ Ó Ù Ø Ñ ØÓº ³ÇÔÛ Ò Ô Ø Ô Ö Ô ÒÛ Òô Ø Ò ÔÒ A C n,n Ò H ÔÒ Ü ÐÞ Ø Ô Ò Ð ÔØ Ñ Ó Ó ÔÛ Ó ÔÖÓ Ò Ö
19 ÕÓÙÒ Ð Ù Ø Ø Ø Ð º ØÓ Ð Ó ÙØ ÔÖÓØ Ò Ø ¹ ÖÓ ÓÖ Ö Ø Ö Ñ Ô Ò Ð ÔØ Ø Ò Ò ÒôÖ Ø ¹ Ø Ø ØÓÙ H ÔÒ Ò Ó ÒØ ÔÒ A C n,n º ËØ Ò ÔÐ ÓÝ ØÓÙ Ø Ö Ø Ö ÙØ Ò Ô Ò Ð ÔØ Ð Ô ÔºÕº Ø Ö ½ ØÛÒ Harada, Usui Niki ¾ ØÛÒ Li Li Harada Niki Tsatsomeros ¾ ØÛÒ Kohno, Niki, Sawami Gao ¾ ØÓÙ Li ØÛÒ Ojiro, Niki Usui ½ ØÓÙ Hadjidimos ØÛÒ Cvetković Kostićµ Ø Ø Ñ Ð Ô ÔºÕº ½ ØÛÒ Gao Wang ¾¾ Huang ½ ØÛÒ Gao Wang ½¾ ØÛÒ Gan Huangµ ÕÓÙÒ ÙÝ Ð ÙÔÓÐÓ Ø ÔÓÐÙÔÐÓ Ø Ø º ËØÓ Ñ Ó ÙØ ÔÖ Ô Ò Ò Ö Ø ØÓ Ñ ÒÓ Ö Ø Ö Ó ÔÓÙ Ñ Ø ÐÐ Ø Ø Ò Ö Ø Ø ØÓÙ A ÙÒ Ñ Ò Ô ÖÔØÛ Ø Ô Ö Ø Ö ÖÑÓ Ò ÙØ ÔÓÙ ÔÖÓØ Ò Ø ØÓ ½ ÔÓÙ Ò ÔØ Õ Ñ Ô Ø Ø Ø ÕÒ ÙÑÔ Ó Ø ØÓÑ profileµ Ø Ö ¾ ØÛÒ Kincaid Repress Young Grimesº ËØÓ Ã Ð Ó ¾ Ô ÖÓÙ ÞÓÙÑ ÖÕ ØÓ Ô Ò Ð ÔØ Ö Ø Ö Ó ÔÓÙ Ô Ö Ð Ñ Ò Ø Ø Ò Ö ¾ ØÓ ÓÔÓÓ Û ØÓ Ô Ó ÓÐÓ Ð ÖÛÑ ÒÓ Ñ ¹ Ñ Ø Ø Ñ Ö ÛÑ ÒÓ Õ Ñ Ø ÐÐ Ø ÖÓ ÔÖÓØ ÒØ ÔÓØ Ð ØÓ Ò Ù Ñ Ô Ö Ø ÖÛ Ñ Ð Ø Ö ÙÒ Ø Ò Ö Ò Ô Ò Ð ÔØ Ó Ö Ø ÖÓÙ ÔÓÙ Ð ÔØ Ó ØÓ ÙÒ Ø Ô Ó Ò Ô Ö ÔØô Ò ÒôÖ H Ô Ò ÛÒº Ô ÔÐ ÓÒ Ô ÖÓÙ Þ Ø ØÓ Ô Ò Ð ÔØ Ö Ø Ö Ó ØÓ ÓÔÓÓ Ð Ñ Ò ÙÔ Ý Ø ÓÑ ØÓÙ ÖÕ Ó ÔÒ Ø Ö ½ ô Ø ÙÑÔ Ö Ñ Ø Ø º ËØ ÙÒ Õ Ò Ø ØÓ Ö Ø Ö Ó Ø Ö ¾
20 Û Ø ÔÓÙ Jacobi Ô Ò Ð Ý ÒØ Ñ ÙØ Ø ½ ØÓ ÓÔÓÓ ÓÖ¹ Þ Ø Û Ø ÔÓÙ Gauss-Seidel Ô Ò Ð Ý ÉÛÖ Ç µ µº ÓÐÓ Û Ñ Ø ÙÓ ÔÖÓ Ó Ñ Ò Ö Ø Ö Ò Ø Ò Ò Ó Ô Ò Ð ÔØ Ö Ø Ö Ó Ø ÔÓÙ Gauss-Seidel Ñ Å Ö Ç H Ñ H ÔÒ ØÓ ÓÔÓÓ ÔÓ Ò Ø Ø Ù ÐÒ ØÓÙÐ Õ ØÓÒ Ø Ó Ö ÓÖ Ó ØÓ Ô Ò Ð ÔØ ¹ Ö Ø Ö Ó Gauss-Seidel ÉÛÖ Ç µ Ø Ö ½ º ËØ Ò ÖÕ ØÓÙ Ã Ð Ó Ô Ö Ø ÒØ Ó ØÖ Ð Ö ÑÓ ØÛÒ Ö ¹ ôò ¾ ¾ ÔÓÙ ÙÑ ÓÐÞÓÒØ Ñ H, L B ÒØ ØÓ Õ Ô ÔÓÙ Ñ Ø Ó ÓÖ Ñ ÒÛÒ Ô Ö Ñ ØÛÒ Ø Ø Ò Ö Ø ÙÔ ÖÕÓÙÒ Ô Ö ÔØô ÔÓÙ Ó Ð Ö ÑÓ L B Ò ÑÔÓÖ Ò Ø ÖÑ ØÞÓÒØ Ô Ô ¹ Ö Ñ ÒÓ Ö Ñ Ô Ò Ð Ý ÛÒ ÔÛ ÙØ Õ ÕÙÖ Ø Ô ØÓÙ Ù Ö ØÛÒ ÒØ ØÓ ÕÛÒ Ö ôòº Ò ÙÒ Õ Ñ Ø ÛÖ ÔÓÙ Ò ÔØ ¹ Ø ØÓ Ã Ð Ó Ò Ø Ò Ò Ó Ø ÔÓÙ Jacobi Ô Ò Ð ÔØ Ö Ø Ö Ó Ø Ò Ò ÒôÖ H Ô Ò ÛÒ Ð Ö ÑÓ AHµ Ô Ø ÖÕ ØÛÒ Ð Ü ÛÒ Algorithm H matrix Ý Ù Ó ô ÔÓ Ò Ø Ð ØÓÙ Ò Ô Ô Ö Ñ ÒÓ Ö Ñ Ñ ØÛÒ Ñ ¹ Ò ô ÑÓÙ ÔÒ Ø Ô Ñ ÔÓÐ Ô ÖÔØÛ º ÍÔ Ò ÙÑÞ Ø Ø ÇÖ Ñ ½º º ³ Ò ÔÒ A C n,n Ð Ø Ò ô ÑÓ Ò ÙÔ ÖÕ Ò ÒÒÓ Ø ÓÔÓ Ñ Ó Ø ÙÒ Õ ÒÒÓ Ø ÓÔÓ Ñ Ó Ø ÙÒ Õ ÒÒÓ Ø ÓÔÓ Ñ Ó Ø ÙÒ Õ Â ÔÖ Ô Ò Ñ Û Ø Ó ÙÑ ÓÐ ÑÓ H B Ò Ô ØÓÙ Ù Ö ØÛÒ ÒØ ØÓ ÕÛÒ Ö ôò Òô Ó ÙÑ ÓÐ Ñ L Ô Ñ º ½¼
21 ÔÒ Ñ Ø P R n,n Ø ØÓ Ó ô Ø [ PAP T A11 A = 12 O A 22 ], ÔÓÙ A 11 C r,r, 1 r n 1, O C n r,r Ò Ó Ñ Ò ÔÒ º Ò Ò Ø ØÓ Ó Ñ Ø Ø ÔÒ Ò ÙÔ ÖÕ Ó A Ð Ø Ñ ¹ Ò ô ÑÓº ËØÓ Ã Ð Ó Ô ÖÓÙ Þ Ø Ò Ò Ó Ð Ö ÑÓ ÔÓÙ ÔÓØ Ð Ô ¹ Ø ØÓÙ Ð ÓÖ ÑÓÙ AH ØÓÙ Ã Ð ÓÙ ÔÓÙ Ô Ö Õ Ø Ø Ò Ö ¾ ØÛÒ º Hadjidimosµ ô Ø Ò Ð Ý Ô ÔÐ ÓÒ Ø Ò Ò ô Ñ Ô ÖÔØÛ¹ º ØÓ ÓÔ ÙØ Ü Ø Þ Ø ÔÐ ÖÛ ÖÑÓ ØÓÙ Ð ÓÖ ÑÓÙ AH Ø 2 2 block Ò ô Ñ Ô ÖÔØÛ ÓÐÓ Û Ñ Ø Ó Ø ÙÒ Ù ¹ Ø ÛÖ Ô Ò ÛÒ Ñ Ð Ø Ø Ò p p block Ò ô Ñ Ô ÖÔØÛ Ñ ÖÑÓ ØÓÙ Ð ÓÖ ÑÓÙ AHº Ô Ø Ò Ô Ö Ô ÒÛ Ò ÐÙ ÔÖÓ ÔØ ØÓ Ò Ó Ø ÔÓÙ Jacobi Ô Ò Ð ÔØ Ö Ø Ö Ó Ø Ò Ò ÒôÖ H Ô Ò ÛÒ Ý Ù Ó ô Ð Ö ÑÓ AH¾µ Ó ÓÔÓÓ ÒØ Ñ ØÓÒ Ð Ö ÑÓ AH Ù Ø Ø Ò Ò ÒôÖ ØÛÒ H Ñ H Ô Ò ÛÒ ô Ø Ð ¹ ØÓÙ Ô Ô Ö Ñ ÒÓ Ö Ñ Ô Ò Ð Ý ÛÒ ÐÓÙ ØÓÙ Ò ô ÑÓÙ Ñ ¹ Ò ô ÑÓÙµ ÔÒ º Ë Ñ ôò Ø Ø ÐÓ Ø ÐÓ Ó Ô Ö Ô ÒÛ Õ ÒØ Ð Ö ÑÓ ÙÐÓÔÓ Ó ÒØ Ñ Û ÒØ ØÓ ÕÛÒ Matlab ÙÒ ÖØ ÛÒ ÖÑ ¹ ÞÓÒØ Ñ ÔÐ ôö Ö Ñ Ø ôò Ô Ö Ñ ØÛÒ ô Ø Ò Ø Ø Ò Ö ÙÖ Ø Ø ØÛÒ Ô Ö ÔØô ÛÒ Ô Ò ÛÒ ÔÓÙ Ð ÔØÓÙÒº Â ÔÖ Ô Ò Ñ Û Ø Ò Ó Ð Ö ÑÓ AH AH¾ Ô ÖÓÙ¹ ÞÓÒØ Û Ø ÔÓÙ Jacobi Ò ÔÐ Ò Ó Ó Ò Ø Û Ø ÔÓÙ Gauss-Seidel ÉÛÖ Ç µ Ø Ñ Û Gauss-Seidel Ñ Å Ö Ç º Ô ÔÐ ÓÒ ½½
22 Ñ ôò Ø Ø Ø Ã Ð Ñ Ô ÕÓÐ Ö Ø Ø ØÛÒ Ô Ò ¹ ÛÒ ÓÔÓ ÓÐ ÑÔÓÖ Ò ÙÐÓÔÓ Ñ Ø ÛÖ ØÓÙ Ã Ð ÓÙ ¾ Ò Ü Ø Ø Ø Ò ÔÖ Ü ØÓ ÔÓ Ô Ð Ø Ü ÙÒ Ø Ô Ò Ð ÔØ ÃÖ Ø Ö ØÓÙ Ð ÓÖ ÑÓÙ AH¾ Ò ÙÒ Ø Ò Ò ÙÒ Ø Ø Ø ÖÑÓ º ½¾
23 Ã Ð Ó ¾ Ç Ð Ö ÑÓ H Ó ÈÖÓØ Ò Ñ Ò È Ö ÐÐ ØÓÙ ¾º½ Ç Ð Ö ÑÓ H ÈÖ Ò ÔÖÓÕÛÖ ÓÙÑ Ø Ô Ò Ð ÔØ Ö Ø Ö ÔÓÙ ÔÖ Ø Ò ÔÖÓ¹ Ø ÒÓÙÑ Ø ÓÔÓ Ñ Ø ÐÐ ÓÒØ Ø Ò Ö Ø Ø ØÓÙ Ó Ñ ÒÓÙ ÔÒ Ô Ö ØÓÙÑ ØÓ Ô Ò Ð ÔØ Ö Ø Ö Ó Ø Ö ¾ Ð Ö ÑÓ Hµ ¹ ô Ø ÔÓØ Ð Ñ Ø Ø Ö ÙØ º ³ ÕÓÒØ ÙÔ Ý ØÓÒ ÇÖ Ñ ½º¾ Ø ÕÓ Ø Ö ¾ Ø Ò Ò ÔÖÓØ Ð Ö ÑÓ Ó ÓÔÓÓ Ò ÒôÖ Þ ØÓÒ H Õ Ö Ø Ö Ò ÔÒ A C n,n ÓÒ Ó ÔÒ A Ø Ò H ÔÒ º ³ÇÔÛ Ò ÒÛ Ø ØÓ Ò Ò Ò ÔÒ A H ÔÒ Ò Ó Ò ÑÓ Ñ Ø Ò Ô ÖÜ Ò Ø Ó ôò ÓÙ ÔÒ D Ô ØÓÙ Ô ÖÓÙ ÔÐ Ó D D A ØÓÙ ÇÖ ÑÓ ½º¾µ Ø ØÓ Ó ô Ø Ó AD Ò Ò Ø Ö ÑÑ Ù Ø Ö ôò ÙÔ ÖØ ÖÓ Ò¹ Ø ØÖÓ º ÓÐÓÙ ôòø ØÓÒ Ð Ö ÑÓ H Ø Ò Ô ÖÔØÛ ÔÓÙ ÙØ Ø ÖÑ ØÞ Ø Ó Ô¹ Ò D ÑÔÓÖ Ò Ø Ù Ø Ô Ò Ô Ô Ö Ñ ÒÓ Ò Ñ ÒÓ Ô Ø Ó ôò ÓÙ ÔÒ ½
24 D (k), k = 0, 1, 2,..., D (0) = I. ¾º½µ Ð ÓÙ ÙÑ ÓÐ ÑÓ ØÓÙÑ Ô ÔÐ ÓÒ A (k) = A (k 1) D (k 1), k = 1, 2,..., A (0) = A. ¾º¾µ Ø Ò Ð Ø Ö Ø Ò ØÓÙ Ö Ø ÖÓÙ Ò Ò Û Ô ÔÐ ÓÒ ÓÖ ÑôÒ ÙÑ ÓÐ ÑôÒº Ø Ö ³ ØÛ N := {1, 2,...,n} s (k) i = n j=1, j i a (k) ij, i = 1(1)n, k = 0, 1, 2,... ¾º µ ³ ØÛ Ô { } N (k) 1 N 1 (A (k) ) = i N : a (k) ii > s (k) i, ¾º µ n (k) 1 := n 1 (A (k) ) Ò ÙÑ ÓÐÞ ØÓ ÔÐ Ó ØÛÒ ØÓ Õ ÛÒ ØÓÙº Ð Ö ÑÓ Hº ÁËÇ ÇË ³ Ò ÔÒ A := [a ij ] C n,n ÓÔÓ Ó ÔÓØ ε > 0º Ç ÇË D = D (0) D (1) D (k) D A Ò Ó A Ò H ÔÒ º ½º Ò a ii = 0 ÔÓ Ó i N N 1 (A) = Ó A Ò Ò H ÔÒ Ì ÄÇË ÐÐ ô ¾º  A (0) = A, D (0) = I, k = 1 º ÍÔÓÐ A (k) = A (k 1) D (k 1) = [a (k) ij ] º ÍÔÓÐ s (k) i = n j=1, j i a(k) ij, i = 1(1)n, Ò Ñ ÖÛ N(k) 1 n (k) 1 ½
25 º Ò n (k) 1 = n Ó A Ò H ÔÒ Ì ÄÇË ÐÐ ô º  d = [d i ] ÔÓÙ d i = s (k) i +ε a (k) +ε, ii Ò i N(k) 1 1, Ò i / N (k) 1 º  D (k) = diag(d), k = k + 1 È Ò ØÓ Ñ º À ÛÖ Ø Ø Ò ÖÑÓ Ñ Ø Ø ØÓÙ Ð ÓÖ ÑÓÙ H Û Ö ¹ Ø ÖÓÙ ØÓÙ H ÔÒ Ü ÐÞ Ø Ô ØÓ ôö Ñ Ø Ð ÑÑ Ø ÔÓÙ ÓÐÓÙ Ó Ò Ð Ô Ò ÐÙØ ¾ µº  ôö Ñ ¾º½º Ç ÔÒ A C n,n Ò Ò H ÔÒ Ò Ñ ÒÓ Ò Ó Ð ÓÖ ÑÓ H Ø ÖÑ ØÞ Ø Ñ Ø Ô Ò Ô Ô Ö Ñ ÒÓ Ö Ñ Ô Ò Ð Ý ÛÒ Ñ ÓÙÖ ôòø Ò Ò Ù Ø Ö ôò ÙÔ ÖØ ÖÓ ÔÒ º Ä ÑÑ ¾º¾º Ç Ð ÓÖ ÑÓ H Ø Ø ÖÑ ØÞ Ø Ø Ô Ö Ñ Ô Ö Ó¹ ÐÓÙ Ô Ö ØÓ ÔÒ {A (k) = (a (k) ij )} Ø ØÓ Ó ô Ø ØÓ lim k a (k) ij, Ò ÙÔ ÖÕ Ð Ø i, j N. Ä ÑÑ ¾º º Ò Ó Ð ÓÖ ÑÓ H Ô Ö Ø Ò Ô Ö ÓÐÓÙ ØÛÒ Ô Ò ÛÒ {A (k) = (a (k) ij )} Ø Ø i N(k) 1, lim k [ a(k) ii s i (A (k) )] = 0. Ë Ñ ô : ½µ Ç Ð Ö ÑÓ H ÑÔÓÖ Ò Õ Ö Ø Ö Ø Û Ø ÔÓÙ Jacobi ÙØ Ø Ø ØÓ Õ Ø k Ô Ò Ð Ý Ò ÙÒ ÖØ ØÛÒ ØÓ Õ ÛÒ Ø ÔÖÓ Ó Ñ Ò Ô Ò Ð Ý k 1 Ñ ÒÓº ¾µ Ç Ð Ö ÑÓ H Ð Ñ Ò Ø Ö ÔÖ ÒÓ Ø Ò Ô ÖÔØÛ ÔÓÙ Ó ÔÒ A Ò Ö º ½
26 ¾º¾ Ð Ö ÑÓ Ø ÔÓÙ Gauss-Seidel Ö Ó ÔÒ À Ñ Ð ÔÐ ÓÝ ØÛÒ Ô Ò Ð ÔØ ôò Ö Ø ÖÛÒ ÙÔÓ Ø ÕÛÖ Ò Ù Ö ÒÞ Ù Û Ø Ó ÖÕ ÔÒ ÔÓÙ ÛÖÓ Ò Ò ÔÙ Ò º ³ÇÑÛ Ø Ô Ö Ø Ö ÖÑÓ Ó ÔÒ ÔÓÙ Ô ÒØôÒØ Ò Ñ ÐÓ Ö Ó ÓÒ ÔÓÙ ÔÖ Ô Ò Ð ÙÔ Ý ô Ø Ò ÔÓ ÙÕ Ó Ò ÔÓ Ù Ó ÙÔÓÐÓ ÑÓ Ñ Ñ Ò ØÓ Õ ØÓÙ ÔÒ º ÙØ ÑÔÓÖ Ò Ô Ø ÙÕ Ñ ÒÓÔÓ Ø ØÖ ÔÓ Ò Ù Ó Ø Ø ÕÒ ÙÑÔ Ó Ø ØÓÑ profileµ ÔÓÙ Õ Õ Ø Ò Ö ¾ º ËØ Ò Ö ½ Õ Ò Ñ Ø Ò ¾ Ø Ó ØÓ Õ ÔÓÙ Ò Ö Ò Ø Ë Ñ ô Ø ÔÖÓ Ó Ñ Ò Ô Ö Ö ÓÙº Ð Ò Ñ Ô Ö ÐÐ ØÓÙ Ð ÓÖ ÑÓÙ H ô Ø ÙØ Ò ÕÖ ÑÓÔÓ Ø Ò k Ô Ò Ð Ý Ð Ø Ñ ØÓ Õ Ø ÔÖÓ ¹ Ó Ñ Ò k 1 Ô Ò Ð Ý ô Ø ØÖ ÕÓÙ kµ Ð Ö ÑÓ Ø ÔÓÙ Gauss-Seidelµ Ø ÖÓÙ Ò Ô Ø Ò Ø Ò Ø ÕÒ Ø ÙÑÔ Ó Ø ØÓÑ ô Ø Ò Ò Ø ÐÐ ÐÓ Ö Ó ÔÒ º Ô ÔÐ ÓÒ ÔÓ Õ Ø Ø Ò Ô ÖÔØÛ ØÛÒ H Ô Ò ÛÒ Ó Ð Ö ÑÓ Ø Ö ½ Ò ØÓÙÐ Õ ØÓÒ Ø Ó Ø Õ Ó Ó Ð Ö ÑÓ Hº Ë Ò Ö Ø Ö Ó Ô Ò Ð ÔØ Ñ ÓÙ ÔÛ ÙØ Ø Ö ¾ Ø ½ Õ ÐÓÙ ÔÖ Ø º  ôö Ñ ¾º º  ÛÖÓ Ñ ØÓÒ ÔÒ A C n,n º Ç Ð Ö ÑÓ Ø Ö ¾ Ø ½ µ Ø Ô Ø Ô Ö ÔØô a ii = 0 ÔÓ i {1, 2,...,n} N 1 (A) =, Ø ÖÑ ØÞ Ø Ñ Ø Ô Ò Ò Ô Ô Ö Ñ ÒÓ Ö Ñ Ô Ò Ð Ý ÛÒ Ò Ñ ÒÓ Ò Ó A Ò Ò H ÔÒ Ô Ö ÓÒØ Ò Ø ôò Ó ÔÒ D D A º ½
27 ¾º ÃÖ Ø Ö Ó Å Ö Ç Gauss-Seidel À Ò ÐÙ ØÓÙ Ô Ö ÒØÓ Ð ÓÙ Þ Ø ÙÖÛ Ô ÒÛ Ø ÔÓØ ¹ Ð Ñ Ø ØÛÒ Ö ôò ¾ ½ ÔÛ ØÓÒ Ø Ò ÐÙ Ø Õ Ð Ô ÒÛ ØÓÙ Ð ÓÖ ÑÓÙ ØÛÒ Ö ôò ¾ ØÓÒ Ð Ö ÑÓ Ø Ö ¾ ÓÐÓÙ ÓÙÒº Ü ÕÖ ÑÓÔÓ Ó Ñ ØÓÒ ÖÓ Jacobi Ô Ò Ð Ý ÃÖ Ø Ö Óµ Ò Ö ÞÓÙÑ Ø Ð Ø ôò ØÓ Õ ØÓÙ ÔÒ D (k) ÓÖÞÓÒØ Ô Ø ØÓ Õ ØÓÙ A (k 1) Ñ ÒÓÒº Ò Ó D (k) ÓÖÞ Ø Ô Ø ØÓ Õ ØÓÙ A (k 1) ØÓÙ A (k) Ø ÓÔÓ ÕÓÙÒ Ö Ø Ø Ò ØÖ ÕÓÙ k oστη µ Ô Ò Ð Ý Ø Ø ÕÖ ÑÓÔÓ Ó Ñ Ø Ò Ö Gauss-Seidel Ô Ò Ð Ý ÃÖ Ø Ö Óµº Ç ÖÓ Gauss-Sedel Ñ Å Ö Ç ÕÖ ÑÓÔÓ Ø Ø Ò Ø Ò ÖÕ k oστης Ô Ò Ð Ý Ó ÔÖôØ n (k 1) 1 Ö ÑÑ Ø Ð ØÓÙ A (k 1) Ø Ð Ñ ¹ ÒÓÒØ Ô ØÓ Õ Ø ÓÔÓ Ù Ø Ö Ò Ø Ø Ø ¾º µ Õ ºÍÔ³ ÙØ Ò Ø Ò ÒÒÓ ØÓ Ö Ø Ö Ó Ø Ò Ö ¾ Ò ÙÒ Ø Ò Ö Ø Û Jacobi Ô Ò Ð Ý Ò ÒØ Ñ ÙØ Ø ½ ØÓ ÓÔÓÓ ÓÖÞ Ø Û Gauss-Seidel Ô Ò Ð Ý ÉÛÖ Ç µ ÒØ ØÓ Õ º ÍÔ ÖÕ Ñ Ñ ÓÖ Ò Ñ ØÓÙ ÙÓ Ð ÓÖ ÑÓÙ Ø Ö¹ ¾ ½ º Ç ÔÖôØÓ Õ Ø ÔÙ ÒÓ ÔÒ ÕÛÖ Ñ ÔÖ Ð Ý ÓÒ ÓÖ Ø Ò Ö Ø Ø Òô Ó Ø ÖÓ Õ Ø Ö ô Ö Ó ÔÒ ÔÓ ÓÒØ Ø ÔÖ Ü Ñ Ñ Ò ØÓ Õ º Ò Ô Õ Ö Ø Ö Ø Ø Ò Ø ÐÐ ÐÓ ÔÙ ÒÓ ÔÒ º ³ Ò Ô ØÓÙ Ó Ø ÕÓÙ ÙØÓ ØÓ Ð ÓÙ Ò Ò ÔØÙÜ Ô Ø Ø Ñ ÒÛÒ ËÙÑÔ ôò Å ØÛÔ ôò (Extended Compact Profile) Ô Ò Ð ÔØ ôò ÃÖ Ø ÖÛÒ ½
28 H ÔÒ Ñ Ø ÓÖ Ñ H Ô Ò ÛÒ Ø ØÖ ÔÖÓ ¹ Ò Ö ÒØ Ô Ò Ð ÔØ Ö Ø Ö º ØÓÒ Ð Ö ÑÓ H Ø Ö ¾ ÛÖÓ Ñ s (k) i = s i (A (k) ) = n j=1, j i a (k) ij, i = 1(1)n, k = 0, 1, 2,..., Ð Ø r i (A (k) ) Ô Ð ÓÖÞÓÒØ Ô Ø Ö r i (A (k) ) = s i(a (k 1) ) + ε + ε a (k 1) ii (< 1), i N (k 1) 1, k = 1, 2, 3,..., ÔÓÙ ε Ò Ñ Ñ Ö Ø Ø Ö º ËØ ÙÒ Õ Ô Ð Ó r i (A (k) ), i N (k 1) 1, ÔÓÐÐ ÔÐ Þ Ø ØÓ Õ Ø ÒØ ØÓ Õ i oστης Ø Ð ØÓÙ A (k 1) Ò Õ Ñ Ø Ø Ó A (k) º ËÙ Ö Ñ Ò a (k) ji = r i (A (k) )a (k 1) ji, i N (k 1) 1, j = 1(1)n. ÔÓÑ ÒÛ Ó ÔÒ D (k) Ø ¾º½µ Ò Ó ÑÓÒ Ó ÔÒ Ñ Ø ÓÖ Ø Ó i oστες ÑÓÒ Ñ i N (k 1) 1 ÒØ Ø ÒØ Ô Ø ØÓ Õ d (k) ii = r i (A (k) ), i N (k 1) 1. Ô Ø Ò ÐÐ Ñ Ö Ó Ð Ö ÑÓ Ø Ö ½ ÙÒ ÕÞ Ø ÔÛ ÓÖ Ø º Ò ÒØ ØÓ Õ Ó ÙÑ ÓÐ Ñ Ñ Ñ ÙØ Ò Ø Ò ¾ ÔÖ Ô Ò ÐÐ ÜÓÙÑ Ð Õ Ø ÙØ Ò Ø ½ º Ã Ô Ò Ð Ý k = 1, 2, 3,..., Ð Ø ÜÛØ Ö Ô Ò Ð Ý ÒØ Ñ ØôÔ Ö ÑÑ Ø ÒØ ØÓ Õ Ø Ð µ ØÓÙ A (k 1), i = 1(1)n, ÛÖ Ø Û Ñ ÛØ Ö Ô Ò Ð Ý º Å Ø Ô Ø Ò ÓÐÓ Ð ÖÛ Ø i oστης ÛØ Ö Ô Ò Ð Ý Ø k oστης ÜÛØ ¹ Ö Ð Ó ÔÖÓ Ó Ñ Ò ÔÓ Ø Ø Õ Ö Ø ÖÞÓÒØ Ô ØÓ Þ Ó (k,i)º ½
29 ÇÔ Ø k = 1, 2, 3,..., Ó Ø ôò Ó ÔÒ D (k,i) Ó ÔÒ A (k,i) ÓÖÞÓÒØ Û Ü D (k,i) = D (k,i 1) D (k,i) i, i = 1(1)n, D (k,0) = I, D (k,n) = D (k) ÔÓÙ D (k,i) i Ò Ó ÑÓÒ Ó ÔÒ Ø Ô Ø Ò ió Ø i N (k,i 1) 1, ÔÓÙ Ò Ø Ô ØÓ Ð Ó d (k,i) ii = r(a (k,i) ) = s i(a (k,i 1) ) + ε + ε a (k,i 1) ii, Ò i N(k,i 1) 1. Ò ÐÓ Ô Ò Ò Ö Ø Ó ÔÒ A (k,i) ÑÔÓÖÓ Ò Ò ÓÖ ØÓ Ò Ñ Ö ØÓ ØÖ ÔÓÙº Ô Ö Ñ A (k,i) = A (k 1) D (k,i) = A (k 1) D (k,i 1) D (k,i) i = A (k,i 1) D (k,i) i,... A (k,0) = A (k 1), A (0) = A, A (k,n) = A (k). Ç Ð Ö ÑÓ Ø Ò Ö ½ Ù ÐÒ ØÓÙÐ Õ ØÓÒ Ø Ó Ö ÓÖ Ó Ó Ð Ö ÑÓ H Ø Ò ¾ º À Ô Ü ÓÔÓ Ò Ø ÔÐ ÖÛ Ø ½ ÓÐÓÙ ØÓ Ô Ñ ÒÓ ôö Ñ º  ôö Ñ ¾º º à ØÛ Ô Ø ÔÖÓÔÓ ØÓÙ Â ÛÖ Ñ ØÓ ¾º ØÓÙ ÙÑ Ó¹ Ð ÑÓ ÔÓÙ ÛÖ Ñ Ó Ð Ö ÑÓ Ø Ö ½ Ù ÐÒ ØÓÙÐ Õ ØÓÒ Ø Ó Ö ÓÖ Ó Ó Ð Ö ÑÓ H ÔÓÙ Ô ÖÓÙ Ø Ø Ò ¾ º Ô ÔÐ ÓÒ Ó Ð Ö ÑÓ Ø ½ Ø ÖÑ ØÞ Ø Ô Ô Ö Ñ ÒÓ Ö Ñ Ô Ò Ð Ý ÛÒ Ò Ñ ÒÓÒ Ò Ó ÔÒ A Ò Ò H ÔÒ ÓÔ Ø Ô Ö Ò Ø ôò Ó ÔÒ D D A. ½
30 Ô Ü º ÍÔÓ ØÓÙÑ Ø ÔÓ Ó k Ó A (k) ØÓÙ Ð Ö ÑÓÙ H Ø Ò ¾ Ò Ø ÙØÓØ Ó Ó Ñ ØÓÒ A (k) = A (k,n) Ø Ö ½ Ü A (k) J A (k) GS ÒØ ØÓ Õ Ø ô Ø a (k) ij,j = a(k) ij,gs, i,j = 1(1)n, ØÓ ÓÔÓÓ Õ ØÓÙÐ Õ ØÓÒ k = 0 Ð Ó ÔÓ Ø Ø ÔÓÙ Õ Ø¹ ÞÓÒØ Ñ ØÓÙ ÔÒ ÙØÓ Ò Ø ÙØÓØ Ó º ³ ØÛ Ø i 1,i 2 ( ) N (k) 1,J N (k) 1,GS Ò Ø Ñ Ö Ø Ö ÓÕ i Ñ 1 i 1 < i 2 n Ø ( ) ÓÔÓ a (k) i 2 i 1,J = a (k) i 2 i 1,GS 0º È Ö Ø Ö À Ô ÖÔØÛ n (k) 1,J = 1 Ü Ø ¹ Ø Ó ÓÐÓ Ð ÖÛ Ô ÖÔØÛ n (k) 1,J 2ºµ Ì Ø ØÓ Ø ÐÓ Ø (k+1)oστης Jacobi Ô Ò Ð Ý Ø ØÓ Õ Ø i oστης 1 i oστης 2 Ø Ð ØÓÙ A (k+1) J Ò a (k+1) ji,j = a (k) ji,j r i(a (k+1) J ), r i (A (k+1) J ) = s i(a (k) J ) + ε a (k) ii,j + ε (< 1), j = 1(1)n, i = i 1,i 2. Ø Ò Gauss-Seidel Ô Ò Ð Ý Ñ Ø Ø Ò i oστη 1 ÛØ Ö Ô Ò Ð Ý Ø ØÓ ¹ Õ Ø i oστης 1 Ø Ð Ò Ö ô Ø Ñ Ø ÒØ ØÓ Õ Ø Jacobi Ô Ò ¹ Ð Ý ÔÖÓ ÓÙÑ ÒÛ Ð ÔÓÙ a (k+1,i 1) ji 1,GS = a (k+1,i 1 1) ji 1,GS r i1 (A (k+1,i 1) GS ), j = 1(1)n, a (k+1,i 1) ji 1,GS = a (k+1) ji 1,J, r i 1 (A (k+1,i 1) GS ) = r i1 (A (k+1) J ). ÒØ Ø Ø ØÓ Õ Ø i oστης 2 Ø Ð ÐÐ ÞÓÙÒ Ø ØÓ ØÓ Õ Ó Ø Ò i 2,i 1 µ ØÓÙ A (k+1,i 1) GS r i2 Û Õ ÐÐ Ü º ÌÓ ÓÒ ÙØ ÓÖÞ Ø ÔÓ Ø Ø s i2 s i2 (A (k+1,i 2 1) GS ) = s i2 (A (k+1,i 1) GS ) = s i2 (A (k+1,i 1 1) GS ) a (k+1,i 1 1) i 2 i 1,GS + a (k+1,i 1) i 2 i 1,GS, r i2 (A (k+1,i 2) GS ) = s i 2 (A (k+1,i2 1) GS )+ǫ. a (k+1,i 2 1) i 2 i 2,GS +ǫ ¾¼
31 ³ Ö a (k+1,i 1) i 2 i 1,GS < a(k+1,i 1 1) i 2 i 1,GS s i2 (A (k+1) J ) = s i2 (A (k+1,i 1) GS ) = s i2 (A (k+1,i 2 1) GS ) < s i2 (A (k) Ô ÔÓÙ ÔÖÓ ÔØ Ø r i2 (A (k+1,i 2) GS J ) ) < r i2 (A (k+1) J ). ÔÓÑ ÒÛ Ó Ô ÐÙØ Ø ¹ Ñ ÐÛÒ ØÛÒ Ñ Ñ Ò ôò ØÓ Õ ÛÒ Ø i oστης 2 Ø Ð ØÓÙ A (k+1,i 2) GS ¹ Ò Ù Ø Ö Ñ Ö Ø Ö Ô Ø Ô ÐÙØ Ø Ñ ØÛÒ ÒØ ØÓ ÕÛÒ ØÓ Õ ÛÒ ØÓÙ A (k+1) J º È Ö Ø Ö ËØ Ò Ô ÖÔØÛ Ø Gauss-Seidel Ô Ò Ð Ý ÙÒ Õ¹ ÞÓÒØ Ô Ø Ò i oστη 1 ÛØ Ö Ô Ò Ð Ý Ø Ò i oστη 2 Ò ÙÒ ÒØ Ñ Ò Ø i (i 1,i 2 ) Ø ØÓ ÓÒ ô Ø n (k+1,i ) 1,GS = n (k+1,i 1) 1,GS + 1 Ø Ø Ó i Ô Þ ØÓ Ö ÐÓ ØÓÙ i 2 ºÐÔºµ ÔÓÑ ÒÛ N (k+1) 1,J N (k+1) 1,GS n (k+1) 1,J n (k+1) 1,GS. Ò n (k) 1,J = 1 i 1 Ò Ó Ø Ø Ö ÑÑ ØÓÒ ÓÔÓÓ Ù Ø Ö Ò Ø ¹ Ø Ø ¾º µ Õ Ø Ø Ñ Ø Ø Ò Ø Ð Ø i oστης 1 ÛØ Ö Ô Ò Ð Ý Ø (k + 1) oστης ÜÛØ Ö Ø Gauss-Seidel Ô Ò Ð Ý Ø Ø ¹ Ò ÔÛ ÔÖ Òº ÇÔ Ø ÔÖÓ ÔØÓÙÒ ÙÓ Ô Ö ÔØô µ Ã Ñ Ô Ø Ô ÐÓÙ Ö ÑÑ Ò ÒÓÔÓ Ø Ò Ò Ø Ø Ø ¾º µº ÈÖÓ Òô Ø Ò Ô ÖÔØÛ ÙØ ØÓ Ø ÐÓ Ø (k + 1) oστης ÜÛØ Ö Ô Ò Ð Ý Õ ÓÙÒ A (k+1) GS = A (k+1) J N (k+1) 1,J N (k+1) 1,GS. µ ÌÓÙÐ Õ ØÓÒ Ñ Ô ÐÓÙ Ö Ñ¹ Ñ ÒÓÔÓ Ø ¾º µº Ì Ø ÙÑ ÓÐÞÓÙÑ Ñ i 2 ØÓ Ñ Ö Ø ÖÓ Ø ÙØ Ø Ö ÑÑ º ³ÇÔÛ Ò Ò Ö Ö Ñ Ø Ü Ò Ø Ô ÖÔØÛ ÔÛ ÙØ ÔÓÙ Ü Ø Ñ Ø Ò ÖÕ Ø Ô Ü º ÌÓ ÃÖ Ø Ö Ó Å Ö Ç Gauss-Seidel ÓÐÓÙ ØÓ ÔÒ Ñ ØÓÙ ÔÖÓ Ó Ñ ÒÓÙ Ö Ø ÖÓÙ Ø Gauss-Seidel ØÓ ÓÔÓÓ Ò ÛÑ ØôÒ Ø Ø ¾½
32 Ñ Ö Ó Ø Ð Ô ÐÓ ØÓÙ Gaussº ËÙ Ö Ñ Ò ÛÖÓ ¹ Ñ Ø Ð Ó n 1 (A) Ö ÑÑ ÔÓÙ ÒÓÔÓ Ó Ò Ø Ò Ò Ø Ø Ø ¾º µ ÒØ ØÓ ÕÓ Ò ØÓÙ Ø 1 i 1 < i 2 < < i n1,ppgs n Ó ÒØ ØÓ Õ Ø Ð ØÓÙ ÒØ Ñ Ø Ø ÒØ Ñ ÓÔ Ò Ø Ð ÓÙÒ Ø ÔÖôØ n (1,0) 1,PPGS n 1,PPGS º ËØÓÒ ÔÖÓ Ó Ñ ÒÓ ÙÑ ÓÐ Ñ ÕÖ ÑÓ¹ ÔÓ Ó Ñ ØÓ Ô ÔÖ ØÓ Ñ ÓÐÓ PP Ø Ò ÓÒØ Ñ ØÓ ØÖ ÔÓ ÙØ Ø Å Ö Ç Partial Pivotingµº Ç ÓÖ Ò ÐÐ ÔÓÙ ÕÖ Þ Ø Ò ÒÓÙÒ Ø Ö ÓÒØ ÔÛ Ø Ò Ô ÖÔØÛ Ø Å Ö Ç Ø Ð Ô ÐÓ ØÓÙ Gauss Ò n Ø ØÓ ÒÙ Ñ ÔÓÙ ÐÓ Ñ indexº ÙØ ÙÐÓÔÓ Ø Û Ü ËØ Ò ÖÕ Ó index(a) Ô Ö Õ Ø n ØÓÙ ØÓÙ Ö ÑÓ Ô 1 Û n ÜÓÙ Ö º Ô Ò Ð Ý Ó Ö ÑÓ i 1,i 2,...,i (1,0) n 1,PPGS ËØ ÙÒ Õ ÔÖÒ Ø Ð Ø ÔÖôØ ÜÛØ Ö ÒØ Ñ Ø Ø ÒØ Ñ ØÓÙ Ö ÑÓ 1(1)n (1,0) 1,PPGS, ÒØ ØÓ Õ Ø ô Ø Ó ÔÖôØÓ Ò Ø Ð Ñ ÒÓÙÒ Ø n(1,0) 1,PPGS ÔÖôØ ØÓÙ Ò Ñ ØÓ ÙØÓ º À ÔÖôØ ÛØ Ö Ô Ò Ð Ý Ô Ü Ö¹ Þ Ø Ø Ò i 1 Ö ÑÑ Ø Ð µ ØÓÙ ÔÒ ÓÔÓ Ö Ø ØôÖ Ø ÔÖôØ ØÓÙ index (1,0) PPGS º ÙÔÓ ÓÙÑ Ø Ø Ø Ò ÓÐÓ Ð ÖÛ Ø ÔÖôØ ( ) ÛØ Ö Ô Ò Ð Ý Ö Ø Ò Ø j /N (1,0) 1,PPGS Ò ÒÓÔÓ Ø Ò a (1,i 1) jj,ppgs > n l=1, l j a(1,i 1) lj,ppgs º Ç Ø ÙØ j ÒØ Ñ Ø Ø Ø Ñ ØÓÒ ÒØ ØÓ ÕÓ Ø Ò n (1,0) 1,PPGS +1 ØÓÙ Ò Ñ ØÓ index(1,0) PPGS ÒÓÑ Þ Ø index (1,1) PPGS º ÌÓ ÔÐ Ó n(1,0) 1,PPGS ØÓ ÓÔÓÓ Ñ ØÓ¹ ÙÜ Ò Ø Ø Ò Ó Ö Ñ ¾¾
33 j Ò ÛÑ ØôÒ Ø ØÓ ÒÓÐÓ N (1,0) 1,PPGS Ó ÙÓ ÔÓ Ø Ø Ñ ØÓÒÓÑ ÞÓÒØ Ø ÐÐ Ð º È Ö Ø Ö Ò ÖÓ Ñ Ô Ö Ø ÖÓÙ ØÓÙ Ò Ø ØÛ r ÔÓÙ ÒÓÔÓ Ó Ò Ø ¾º µ Ø Ø ÙØÓ Ó r Ø ÒØ Ñ Ø Ø ÒØ Ø ÐÐ ¹ Ð Ø ô Ø Ò Ø Ð ÓÙÒ Ø Ô Ñ Ò r ØÓ index (1,1) PPGS ÒÙ Ñ ºµ ÈÖÓ Òô Ò j > i 1 Ñ Ó Ó Ö ÓÙ Ø Ô Ø Ò Gauss-Seidel Ô Ò Ð Ý Ø Ó ÙÓ Ô Ü Ö ÞÓÒØ Ø Ö ÑÑ Ø Ð µ j Ø Ø Ö Ø ÔÖôØ ÜÛØ Ö Ô Ò Ð Ý º È Ö Ð ÙØ Ò j < i 1 Gauss- Seidel Ô Ò Ð Ý Ø Ö ½ Ô Ü Ö Þ Ø Ø Ö ÑÑ Ø Ð µ j Ø Ø Ö ÜÛØ Ö Ô Ò Ð Ý Òô Gauss-Seidel Ô Ò Ð Ý Ñ Å Ö ¹ Ç ÔÖ Ñ Ø Ô Ü Ö Þ Ø Ø Ö ÑÑ ÙØ Ø Ò ÔÖôØ ÜÛØ Ö Ô Ò Ð Ý º ÌÓ ÓÒ ÙØ Õ ØÓ ÔÖÓ Ò ÔÐ ÓÒ Ø Ñ Ø Ü Ø Ø Õ Ø Ø Ð Ò Ô Ò Ð Ý Ô Ñ Ø Ø Ò ÓÐÓ Ð ÖÛ ØÛÒ ÔÖôØÛÒ ÛØ Ö ôò Ô Ò Ð Ý ÛÒ Ø ÙÓ Ñ ÓÙ ÕÓÙÑ N (1,i 1) 1,GS N(1,1) 1,PPGS n(1,i 1) 1,GS n(1,1) 1,PPGS. ËØ ÙÒ Õ Ñ Ô Ö ÑÓ Ö ÔÖ Ñ ØÓÔÓ Ø Ñ Ø Ø Ö ÛØ Ö Ô Ò Ð Ý Ñ ØÓ Ø i 2 Û ØÓÙ ÔÖ Ñ ØÓÔÓ Ø Ð ÙØ ÛØ Ö Ô Ò Ð Ý ÔÓÙ ÒØ ØÓ Õ ØÓÒ Ø Ð ÙØ Ó Ò Ó Ø ÔÓÙ Õ ÔÓ ÙØ ØÓ Ô Ò Ò Ò Ó index (1,n 1) PPGS ÒÙ Ñ º ÓÐÓÙ ôòø Ø Ñ Ó Ó Ø Å Ö Ç ÕÓÙÑ Ñ Ø ØÓ Ø ÐÓ Ø ÔÖôØ ÜÛØ Ö Ô Ò Ð Ý Ø N (1,n) 1,GS N(1,n) 1,PPGS n(1,n) 1,GS n(1,n) 1,PPGS. Ô Û Ó Ô Ö Ô ÒÛ Õ Õ ÓÙÒ Ò Ó ÒÛ Ø 1 ÒØ Ø Ø Ô ÓÔÓ Ó ÔÓØ k 1º ÔÓÑ ÒÛ Ñ Ð ÔÓ Ü Ñ ØÓ ÐÓÙ Ó Â ôö Ñ ¾
34  ôö Ñ ¾º º à ØÛ Ô Ø ÙÔÓ ØÓÙ Â ÛÖ Ñ ØÓ ¾º Ñ ÛÒ Ñ ØÓÙ ÙÑ ÓÐ ÑÓ ÔÓÙ Õ Ò Õ Ø ØÓ ÃÖ Ø Ö Ó Å Ö Ç Gauss-Seidel Ù ÐÒ ØÓÙÐ Õ ØÓÒ Ø Ó Ö ÓÖ Ó ØÓ ÒØ ØÓ ÕÓ Ø Gauss-Seidelº Ô ÔÐ ÓÒ Ó ÒØ ØÓ ÕÓ Ð Ö ÑÓ Ø ÖÑ ØÞ Ø Ô Ô Ö Ñ ÒÓ Ö Ñ Ô Ò Ð Ý ÛÒ Ò Ñ ÒÓ Ò Ó A Ò Ò H ÔÒ Ô Ö Ò Ø ÔÒ D D A. ËØ ÙÓ Ô Ñ Ò Ô Ö Ö ÓÙ ÕÓÐ Ó Ñ Ñ ØÓÒ ØÖ ÔÓ ÔÖÓ Ó¹ Ö ÑÓ Ò H ÔÒ º Ç ÔÖÓ ÓÖ Ñ Ò Ñ H ÔÒ Ó Ñ Û Ñ Ø º ¾º Ç ÌÖ Ô Ò Ð ÔØ Ó Ð Ö ÑÓ ËØ Ò ÔÖÓ Ó Ñ Ò Ô Ö Ö Ó Ù Ö Ñ Ò Ø Â ÛÖ Ñ Ø ¾º ¾º Ü Ñ Ø Ó Ð Ö ÑÓ Ø Gauss-Seidel Ù ÐÒ Ö ÓÖ Ø Ö Ò Ô Ò Ð Ý Ô ØÓÒ ÒØ ØÓ ÕÓ Ø Jacobi Ó Ð Ö ÑÓ Ø Gauss-Seidel Ñ Å Ö Ç Ö ÓÖ Ø Ö Ô ÙØ Ò Ø Gauss-Seidelº ËØÓ ÙÔ ÐÓ ÔÓ Ø Ô Ö Ö ÓÙ Ô Ö Ö ÝÓÙÑ Ø ØÖ Ñ Ö ØÛÒ Ð ÓÖ ÑÛÒ Jacobi, Gauss- Seidel Å Ö Ç Gauss-Seidel ÔÓÙ Ø ÙÓ ÔÖôØ Ñ Ö Ò Ó Ò ØÓÙ ØÖ º ØÓ Ð Ó ÙØ Ó Ö ÓÖ ØÓÙ ÖÒÓÒØ ØÓ ØÖØÓ Ñ ÖÓº ÈÖÓ ØÓ Ô Ö Ò Ô ÒØÖÛ Ó Ñ ØÓ ÖôØ Ñ Ô Ø Ò Ó Ñ ÒÓ ÔÒ A C n,n Ò Ò H ÔÒ º Ë Ò Ö ÑÑ ÓÐÓÙ ÓÙÑ Ø Ò Ö Ô Û Ô ØÓÒ Ð Ö ÑÓ H Ø Ö ¾ ÔÓÙ Ñ ôò Ø Ø Ó Ð Ö ÑÓ Ø Ö ¾ ¾ Ò Õ Ò Ø Ò ÐÓ º  ÔÖ Ô Ô Ò Ñ Û Ø Ø Ð ÔÓÙÑ ÔÖÓ ØÓ ¾
35 Ô Ö Ò Ø Ò Ø Ñ Ø ÐÐ Ù ÓÔÓ ÔÓØ Ö Ø Ø º ÌÓ Ñ ÙØ Ô Ü Ö ØÓ Ñ Ø Ò Ô Ñ Ò Ô Ö Ö Ó ÔÓÙ Ò ÔØÙÕ Ô Ö Ø ÖÛ Ö Ø ½ º Å ÊÇË Á i = 1(1)n Ò Ò a ii = 0 Ø Ø Ó A Æ Ò H ÔÒ Ì ÄÇ˺ Ø ÐÓ Ò Ø ÐÓ È Ò Å ÊÇË ÁÁ Å ÊÇË ÁÁ n 1 = 0 i = 1(1)n Ò ÍÔÓÐ s i = j i a ij Ò a ii > s i Ø Ø n 1 = n Ø ÐÓ Ò Ø ÐÓ Ò n 1 = n Ø Ø Ó A ÁÆ Á H ÔÒ Ì ÄÇ˺ Ø ÐÓ Ò Ò n 1 = 0 Ø Ø Ó A Æ Ò H ÔÒ Ì ÄÇ˺ Ø ÐÓ Ò È Ò Å ÊÇË ÁÁÁ ¾
36 Å ÊÇË ÁÁÁ ØÓÙ Jacobi Ô Ò Ð ÔØ Ó ÃÖ Ø ÖÓÙµ  diag i = 1, i = 1(1)n N 1 = i = 1(1)n Ò Ò a ii > s i Ø Ø N 1 = N 1 {i} Ø ÐÓ Ò Ø ÐÓ k = 1(1)maxiter Ò i = 1(1)n Ò Ò i N 1 Ø Ø ÍÔÓÐ d i = s i+ε a ii +ε diag i = diag i d i a ji = a ji d i, Ø ÐÓ Ò Ø ÐÓ j = 1(1)n Ò Ñ ÖÛ s i i = 1(1)n i = 1(1)n Ò Ò i /N 1 Ø Ø Ò a ii > s i Ø Ø n 1 = n N 1 = N 1 {i} Ò n 1 = n Ø Ø Ó A ÁÆ Á H ÔÒ Ì ÄÇ˺ Ø ÐÓ Ò Ø ÐÓ Ò Ø ÐÓ Ò Ø ÐÓ Ø ÐÓ ¾
37 Ò ÔÓØ Ð Ñ Ø Ñ Û ε Ü maxiter Ì ÄÇ˺ Å ÊÇË ÁÁÁ ØÓÙ ÃÖ Ø ÖÓÙ Gauss Seidel Ô Ò Ð Ý µ  diag i = 1, i = 1(1)n N 1 = i = 1(1)n Ò Ò a ii > s i Ø Ø N 1 = N 1 {i} Ø ÐÓ Ò Ø ÐÓ k = 1(1)maxiter Ò i = 1(1)n Ò Ò i N 1 Ø Ø ÍÔÓÐ d i = s i+ε a ii +ε diag i = diag i d i ; a ji = a ji d i, j = 1(1)n j = 1(1)n j iµ Ò Ò Ñ ÖÛ s j = l j a jl Ò j /N 1 Ø Ø Ò a jj > s j Ø Ø n 1 = n N 1 = N 1 {j} Ò n 1 = n Ø Ø Ó A ÁÆ Á H ÔÒ Ì ÄÇ˺ Ø ÐÓ Ò Ø ÐÓ Ò Ø ÐÓ Ò Ø ÐÓ Ø ÐÓ Ò ¾
38 Ø ÐÓ Ø ÐÓ Ò ÔÓØ Ð Ñ Ø Ñ Û ε Ü maxiter Ì ÄÇ˺ Å ÊÇË ÁÁÁ Ø Gauss Seidel Ô Ò Ð Ý Ñ Å Ö Ç µ  diag i = 1, i = 1(1)n  index i = i, i = 1(1)n  l = 0 i = 1(1)n Ò Ò a ii > s i Ø Ø l = l + 1 ³ ÐÐ Ü Ø Ô Ö Õ Ñ Ò index i index l Ø ÐÓ Ò Ø ÐÓ k = 1(1)maxiter Ò i = 1 ÓÒ i n 1 Ò j = index i ÍÔÓÐ d j s j +ε a jj +ε diag j = diag j d j a mj = a mj d j, m = 1(1)n l = n m = l(1)n Ò Â p =index m Ò Ñ ÖÛ s p Ò a pp > s p Ø Ø n 1 = n N 1 = N 1 {p} ³ ÐÐ Ü Ø Ô Ö Õ Ñ Ò index n1 index m Ò n 1 = n Ø Ø Ó A ÁÆ Á H ÔÒ Ì ÄÇ˺ ¾
39 Ø ÐÓ Ò Ø ÐÓ Ò Ø ÐÓ i = i + 1 Ø ÐÓ ÓÒ Ø ÐÓ Ò ÔÓØ Ð Ñ Ø Ñ Û ε Ü maxiter Ì ÄÇ˺ ËØ Ò Ô Ñ Ò Ô Ö Ö Ó Ô ÖÓÙ ÞÓÙÑ Ø Ø Ò Ò ¹ ÔØÙÜ Ø Ô Ø Ø Ñ Ò ËÙÑÔ Ó Å ØÛÔ Extended Compact Profile) Ô Ò Ð ÔØ Å ÓÙ ÃÖ Ø ÖÓÙµ Ø Ö µ ØÓ Gauss-Seidel Ô ¹ Ò Ð ÔØ ÃÖ Ø Ö Ó Ð Ö ÑÓµ H ÔÒ ØÓ ÓÔÓÓ ÔÓØ Ð Ñ Ô Ö Ø ÖÛ Ô Ø ØÓÙ Ö Ø ÖÓÙ Ø Ö ½ º Â Ò Ô Ò Ö Ø ØÓ Ö Ø Ö Ó ÙØ Ò Ø ÐÐ ÐÓ Ñ ÐÓÙ Ö Ó ÔÒ Ò Õ Ø Ñ ÓÒ Ø Ñ Ø ÐÐÛÒ ÒÛ ØôÒ Ñ ÕÖ Ñ Ö ÒØ ØÓ ÕÛÒ Ñ ÛÒº ¾º Ò ÔØÙÜ Ð ÓÖ Ñ Ó ÍÐ Ó ³ÇÔÛ Ò Ö Ñ ÔÖÓ ÓÙÑ ÒÛ Ò ÐÙ Ñ Ô Ø Ò Ø Ñ Ó Ó Ø Ö ½ ÓÔÓ Ñ Ø Ö Ø ÔÓØ Ð Ò Ù Ø ÒØ ØÓ Õ Ø Ò Ö ¾ º Ø Ò Ð Ø Ö Ø Ò ØÓÙ Ô Ö ÕÓÑ ÒÓÙ Ø Ô Ö ¹ Ö ÓÙ ØÛÒ ØÓ Õ ÛÒ ÔÓÙ ÓÒØ ÙØ Ô Ö Ø ÒØ Ñ Þ Ñ Ò Ô ¹ Ü Ñ Ø Ô Ö Ñ º ³ ÙØ ÛÖÓ Ñ Ò Ò ÔÒ A C n,n Ñ n = 5 Ñ Ñ ¹ ÓÑ Ñ Ò Ñ ¹Ñ Ò Ø Ü ØÛÒ ØÓ Õ ÛÒ ØÓÙº ËÙÑ ÓÐ ÙØ Ô Ö ¹ ¾
40 Ø Ò Ø Ô Ö ØÛ Ø ÑÓÖ ÔÓÙ ÓÐÓÙ ÔÓÙ Ø Ñ ¹Ñ Ò ØÓÙ ØÓ Õ Ñ ôòóòø Ñ º Ã Ø ÖÕ ÓÐÓÙ ôòø Ø Ò ¾ Ñ ÓÙÖ Ó Ñ ØÖ Ò Ñ Ø Ò ¹ ÐÓ Ñ ÙØ Ø Ö ÙØ º Ç ÓÖ Ò Ø ÛÖÓ Ñ ØÓ Ñ ØÖÓ ØÛÒ Ñ ¹Ñ Ò ôò ØÓ Õ ÛÒ ÒØ ØÛÒ ÛÒ ØÛÒ ØÓ Õ ÛÒ Ô Ø Ø Ü Ø ÞÓÙÑ Ø Ø Ð ÒØ Ø Ö ÑÑ º ³ ØÛ ÐÓ Ô Ò A C n,n Ò Ó Ñ ÒÓ ÔÒ ÔÓÙ Ò Ö Õ Ò Ò Ñ Ñ ¹ ÓÑ Ñ Ò Ø Ü ØÛÒ Ñ Ò ôò ØÓ Õ ÛÒ ØÓÙº ÓÐÓÙ ôòø ÙÖÛ Ø Ò Ö ½ ÛÖÓ Ñ Ô Ö ØÛÒ ØÖ ôò Ø Ö ¾ ÔØ ÙÒÓÐ Ò Ñ Ø º ËÙ Ö Ñ Ò i) ³ Ò ÒÙ Ñ ØÓ ÓÔÓÓ ÙÑ ÓÐÞÓÙÑ Ñ ac Ñ ØÓ Õ Ø Ô ÐÙØ Ø Ñ ØÛÒ Ñ Ñ Ò ôò ØÓ Õ ÛÒ ØÓÙ Ó Ñ ÒÓÙ ÔÒ a ij 0, i,j = 1(1)n, Û ÔÖÓ Ø Ð Ñ Ù Ø Ü Ò Ñ Ô Ø Ò Ô ÒÛ Ö Ø Ö Û Ø ØÛ Ü ÛÒ º ³ ØÛ Ø nc Ò ØÓ ÔÐ Ó ØÓÙ ØÓ ÓÔÓÓ Ò Ô ØÓ Ñ Ó ØÓÙ Ò Ñ ØÓ acº ³ Ö Ø Ò Ô ÖÔØÛ ØÓÙ Ô Ö Ô ÒÛ ÔÒ nc = 15 ØÓ ÒÙ Ñ ac Ò ØÓ Ü ac a 11 a 21 a 51 a 22 a 32 a 52 a 23 a 33 a 43 a 53 a 24 a 44 a 15 a 45 a 55 º ¼
41 ii) ³ Ò ÒÙ Ñ iar Ñ ÓÙ nc ØÓÙ ÓÔÓÓÙ ØÓ Õ Ó Ò Ø ØÓ Ó ô Ø Ó iar i, i = 1(1)n, ÙÔÓ ÐôÒ Ø Ø Ð ÔÓÙ Ö Ø ØÓ ac i º ³ Ø Ø Ô ØÓÒ ÔÒ A ØÓ ÒÙ Ñ ac ØÓ ÒÙ Ñ iar Ò ØÓ ÐÓÙ Ó iar º iii) ³ Ò ÒÙ Ñ ic Ñ ÓÙ n + 1 ØÓÙ ÓÔÓÓÙ ØÓ Õ Ó ÓÖ¹ Þ Ø ØÓ ÒÙ Ñ ac ÔÓÙ Ø Ð Ñ Ò Ø Ô ØÓ ÔÖôØÓ Ñ Ñ Ò ØÓ Õ Ó Ø ÒØ ØÓ Õ Ø Ð Ñ ic 1 = 1 ic n+1 = nc + 1º ÈÖÓ Òô Ó ÓÖ ac i+1 ac i, i = 1(1)n, ÒÓÙÒ ØÓ ÔÐ Ó ØÛÒ Ñ Ñ Ò ôò ØÓ Õ ÛÒ Ø Ò i oστη Ø Ð ØÓÙ Aº ËØ Ò Ô ÖÔØÛ Ñ ÐÓ Ô Ò ÕÓÙÑ ic º Ô ØÓ ic Ô Ö Ô ÒÛ ic(3) = 7 ÙÔÓ ÐôÒ Ø ØÓ ÔÖôØÓ Ñ ¹Ñ Ò ØÓ Õ Ó Ø Ø Ð ØÓÙ A ÑÔÓÖ Ò Ö ØÓ ac(7) Ô ÔÖ Ø Ô iar(7) = 2 ÙÔÓ ÐôÒ Ø ØÓ ØÓ Õ Ó ÙØ Ò Ø ¾ Ö ÑÑ ØÓÙ Aº ³ Ø ØÓ ØÓ Õ Ó a 23 Ò ÒØÛ ØÓ ØÓ Õ Ó ac(7)º Ô ÔÐ ÓÒ Ô ØÓ ic ÕÓÙÑ Ø i = 3 ic(4) ic(3) = 11 7 = 4 к Ø Ñ ¹Ñ Ò ØÓ Õ Ø Ø Ð ØÓÙ A Ò Ø Ö º Ì Ñ ØÖ ØÓÙ ÑÔÓÖÓ Ò Ò Ö Ó Ò Ø ac(7) ac(8) ac(9) ac(10) ÒØ ØÓ Õ Ø ØÓ Õ ÙØ Ò ÓÙÒ Ø Ö ÑÑ iar(7) = 2 iar(8) = 3 iar(9) = 4 iar(10) = 5 ØÓÙ Aº ÙØ Ò ÔÖ Ñ Ø Ø ØÓ Õ a 23 a 33 a 43 a 53 º ½
42 iv) ³ Ò ÒÙ Ñ idiagc Ñ ÓÙ nº À ÙÒ Øô idiagc i, i = 1(1)n ÓÖÞ Ø ÔÓÙ Õ ØÓ ØÓ Õ Ó a ii Ò Ñ Ø ÙÒ Øô ic i (1) ic i+1 1 ØÓÙ ac ÓÖ Ø Ø ÔÓÙ Õ ØÓ a ii ØÓ ØÑ Ñ ØÓÙ ac ÔÓÙ Ô Ö Õ Ø Ñ ¹Ñ Ò ØÓ Õ Ø ÒØ ØÓ Õ Ø Ð º ËÙ Ö Ñ Ò idiagc º ³ Ø idiagc(4) = 2, ÙÔÓ ÐôÒ Ø ØÓ ¾Ó ØÓ Õ Ó Ñ Ø Ü ØÛÒ ÙÒ ØÛ ôò ic(4) = 11 ic(5) 1 = 13 1 = 12 ØÓÙ ac Ò ØÓ Þ ØÓ Ñ ÒÓ ôò Ó ØÓ Õ Óº ³ Ø ØÓ ¾Ó ØÓ Õ Ó 12 ÙÔÓÒÓ Ø ØÓ ôò Ó ØÓ Õ Ó a 44 Ò ½¾ ÙÒ Øô ØÓÙ acº v) ³ Ò ÒÙ Ñ sumr Ñ ÓÙ n ÖÕ Ñ Ò Ø ØÓ Ó ô Ø sumr i, i = 1(1)n, Ò Ô Ö Õ ØÓ ØÖ ÕÓÒ n j=1, j i, a ij =0 a ij. ËØ Ò Ô ÖÔØÛ Ñ ØÓ ÒÙ Ñ sumr Õ n = 5 ÙÒ Øô Ò ÖÕ ØÓ ÒÙ Ñ sumr º vi) ³ Ò ÒÙ Ñ boole Ñ n ÙÒ Øô Ñ Ó ÓÔÓ Ð Ñ ÒÓÙÒ Ø Ñ 1 0º Ø ØÓ Å ÊÇË ÁÁ Ø Ò ÖÕ ØÓÙ Å ÊÇÍË ÁÁÁº ÖÕ Ó ÙÒ Øô Ø ÒØ Ñ Ø Ø Ñ 1 0 Ò ÐÓ Ñ ØÓ Ò ÒØ ØÓ Õ Ö ÑÑ Ò Ù Ø Ö ôò ÙÔ ÖØ Ö Õ º Ã Ø Ø Ö Ø Ø Ð ØÓÙ Å ÊÇÍË ÁÁÁ ØÓÙ Ð ÓÖ ÑÓÙ boole i = 1 Ò Ñ ÒÓÒ Ò a ii > n j=1, j i, a ij =0 a ij. Ò Ó A Ò Ò H ÔÒ Ð Ø ØÓ Õ ØÓÙ ÕÓÙÒ Ø Ð Ø Ò Ø Ñ 1º ¾
43 ËØ Ò Ô ÖÔØÛ Ñ ØÓ boole Õ n = 5 ÙÒ Øô º Ò Ô Ö Ñ Ù Ø Ö ôò ÙÔ ÖØ Ö Ö ÑÑ Ò ÔÖôØ ØÖØ Ô ÑÔØ Ö ÑÑ Ø Ø ØÓ boole Õ Ø ÑÓÖ boole ½ ¼ ½ ¼ ½ º vii) ³ Ò ÒÙ Ñ diag Ñ n ØÓ Õ º ÖÕ Ð ÙØ Ò Ñ 1º ÌÓ ÒÙ Ñ ÙØ Ò Ñ ÖôÒ Ø Ñ Ø Ô Ô Ò Ð Ý Ò Ó A Ò Ò H ÔÒ Ó Ð Ö ÑÓ Ø ÖÑ ØÞ Ø Ô ØÙÕô Ô Ö Õ Ø ØÓ Õ ØÓÙ Ø Ó ôò ÓÙ ÔÒ D D A Ø ô Ø Ó AD Ò Ø Ö ÑÑ Ù Ø Ö ôò ÙÔ ÖØ ÖÓº diag º Ô ÔÖ Ø ÛÖÓ Ñ Ñ Ò ÒÙ Ñ º viii) ËØ Ò Ô ÖÔØÛ ØÓÙ Gauss-Seidel Ñ Å Ö Ç Ô Ò Ð ¹ ÔØ Ó ÃÖ Ø ÖÓÙ ÛÖÓ Ñ Ò ÒÙ Ñ index Ñ ÓÙ n Ø Ò ÖÕ ØÓÙ Å ÊÇÍË ÁÁÁº ÖÕ Ô Ö Õ Ø n ØÓÙ Ö ÑÓ Ô 1 Û n Ñ ÜÓÙ Ö º ËØ ÙÒ Õ Ó n 1 ÔÖôØ ØÓÙ Ø ÒØ Ñ ØÓÙ Ø Ù Ø Ö ôò ÙÔ ÖØ ÖÛÒ Ö ÑÑôÒ ÔÖ Ñ ØÓÔÓ ôòø Ø Ð¹ Ð Ð ÒØ Ñ Ø ³ ÙØ ÕÖ ÑÓÔÓ ôòø Ø Ô Ö Õ Ñ Ò ØÓÙ Ò Ñ ØÓ booleº Ì Ø ÛØ Ö Ô Ò Ð Ý Ñ ÜÛØ Ö Ô Ò Ð Ý Ø Ò ÓÔÓ Ñ Ò Ö ÑÑ Ö ÑÑ µ Ö Ø Ò Õ Ø Ò Ù Ø Ö ôò ÙÔ ÖØ Ö Ø Ø Ó Ø Ö ÑÑ Ø ÒØ Ñ Ø Ø Ø Ñ ÙØ Ò Ø Ò ØÖ ¹ ÕÓÙ (n 1 + 1) oστη ØÓ n 1 ÙÜ Ò Ø Ø 1 ÒØ ØÓ Õ ØÓ
44 ÒÙ Ñ boole Ø Ø Ñ 1º Ò Ó A Ò Ò H ÔÒ Ø Ø Ü ÖÕ ¹ Ñ ÒÓ Ô ØÓ Å ÊÇË ÁÁÁ n 1 = n ØÓ boole Õ Ð Ø ØÓ Õ ØÓÙ Ñ 1 ØÓ index Ô Ö Õ ÐÓÙ ØÓÙ Ø Ö ÑÑôÒ Ô ØÓ 1 Û n Ñ Ø Ø Ü ÔÓÙ Ö Ò Ò ÒÓÔÓ Ó Ò Ø Ò Ù Ø Ö ôò ÙÔ ÖØ Ö Ø Ø º ¾º ËÕ Ð ËØ ÙÒ Õ Ô Ö ØÓÙÑ ÓÖ Ñ Ò Õ Ð Ô ÒÛ ØÓÙ ØÖ Ð ÓÖ ¹ ÑÓÙº i) Ã Ò Ô ØÓÙ ØÖ Ð ÓÖ ÑÓÙ ÔÛ Ò Ø ÖÑ Ø¹ Þ Ø Ô Ô Ö Ñ ÒÓ Ö Ñ Ô Ò Ð Ý ÛÒ Ò Ñ ÒÓÒ Ò Ó ÔÒ A Ò Ò H ÔÒ º ii) Ã Ó ØÖ Ð Ö ÑÓ ÑÔÓÖÓ Ò Ò ØÖÓÔÓÔÓ Ó Ò Ð Õ Ø Ø ô Ø Ò ÑÔÓÖÓ Ò Ò Ò ÒÛÖÞÓÙÒ Ù Ö Ñ Ò Ð Ñ ¹H¹Ô Ò ÛÒ A C n,n º Ì ØÓ Ó Ò Ó ÔÒ ØÓÙ ÓÔÓÓÙ ÙÔ ÖÕ Ø ôò Ó Ô¹ Ò D R n,n Ø ô Ø Ó AD Ò Ò Ø Ö ÑÑ µ Ù Ø Ö ôò Ñ ¹ÙÔ ÖØ ÖÓ Ð a ii d ii < n j=1, j i a ij d jj, i = 1(1)n. ¾º½µ ÈÖ Ô Ò Ô Ö Ø Ö ÓÙÑ ô Ø Ø ØÓ ÓÙ ÔÒ Ñ Ø Ô Ð Õ Ø ØÖÓÔÓÔÓ ØÓÙ Ð ÓÖ ÑÓÙ Ø Â ÛÖ Ñ Ø ¾º ¾º ¾º Õ ÓÙÒ Ð¹ Ð ÞÓÒØ Ø Ò Ö H ÔÒ Ñ Ø Ò Ñ H ÔÒ Ó ÓÔÓÓ Ò Ø Ö ÑÑ µ Ù Ø Ö ôò Ñ ¹ÙÔ ÖØ ÖÓº À ÛÖ Ø Ô Ü Ø Ò Ô ÖÔØÛ ØÓÙ Jacobi Ô Ò Ð ÔØ Ó ÃÖ Ø ÖÓÙ Õ Ò ÒØ Ö Ø Ò Ô ¹
45 Ü ØÓÙ Â ÛÖ Ñ ØÓ ¾º½ Ø Ö ¾ Ñ Ò Ø Ä ÑÑ Ø ¾º¾ ¾º Ø Ö ÙÒ Ôô Ô Ö Ð Ô Ø º Ì Ø Ø Ò Gauss-Seidel Ø Ò Gauss-Seidel Ñ Å Ö Ç Ô Ò Ð ÔØ Å Ó Ó Ó ÔÓ Ü ÓÐÓÙ Ó Ò Ò ÐÓ ÐÓ Ñ ÙØ ØÛÒ Â ÛÖ Ñ ØÛÒ ¾º ¾º º iii) Ç ÐÐ ÔÓÙ ÔÖ Ô Ò ÒÓÙÒ ØÓÙ Ð ÓÖ ÑÓÙ Ò Ó ¹ ÐÓÙ Å ÊÇË Á Ã Ñ º Å ÊÇË ÁÁ Å ÊÇË ÁÁÁ µ ÐÐ ÞÓÙÑ Ð Ø Ò Ø Ø a ii > s i Ñ a ii < s i. µ ÒØ Ñ Ø ØÓÙÑ Ø Ö Ó A ÁÆ Á Ò H ÔÒ Ó A Æ Ò Ò H ÔÒ ÓÔÓÙ ÔÓØ Ñ ÒÞÓÒØ º iv) Å Ð Ô Ò ÛÒ A ÔÓÙ ÒÓÔÓ Ó Ò Ø ÙÒ ¾º½µ Ò Ó Ñ ¹ ÑÓÖ Ó Ñ ¹ Ò ô ÑÓ ØÛÒ ÓÔÓÛÒ Ó ÔÒ Ö M(A) Ð Ô ÇÖ Ñ ½º¾µ Õ Ñ Ù ÐÒÓÒØ Jacobi Ô Ò Ð ÔØ ÔÒ º È Ö Ø Ö Ø Ò Ô Ü Ø Ò Ô ÖÔØÛ ÔÓÙ ε = 0 Ô Ö Ô ÑÔÓÙÑ ØÓÒ Ò Òô Ø Ø Ò Ö ¾ ºµ v) È Ö Ø ÖÓ Ñ Ø Ð ØÛÒ Ø Ö ÑÑ Ù Ø Ö ôò Ñ ¹ ÙÔ ÖØ ÖÛÒ Ô Ò ÛÒ Ò Ü ÒØÐ Ø Ô Ø Ò Ð ØÓ (iv) Ô Ö Ô ÒÛº ËØ Ò Ó Ó Ò Ò ÓÙÒ ÔÓ Ó Ò ô ÑÓ Ô Ò ØÓÙ ÓÔÓÓÙ Ñ Ð ¹ Ø ÓÙÑ ØÓ Ã Ð Ó º vi) Ò Ø Ð ÜÓÙÑ Å ÓÐÓ Ð ÖÛ Ø Ò ÖÑ ÓÙÑ ÔÓ ÓÒ Ô ØÓÙ ØÖ Ð ÓÖ ÑÓÙ Ø Ø ÔÖ Ò ØÓ Ñ Û ε Ü maxiter
46 Ø Ò ÕÖ ÑÓ Ò ÖÑ ÓÙÑ Ø Ñ H ÔÒ ÓÕ ØÓÙ ÒØ ØÓ ÕÓÙ Ð ÓÖ ÑÓÙº vii) Ì Ð ÔÖ Ô Ò Ô Ö Ø Ö ÓÙÑ Ø ØÓÙ ØÖ Ð Ó¹ Ö ÑÓÙ Ñ ÓÙÖ Ò Ö Ñ ÙÒ ÖØ ÛÒ Ø MATLAB º Ñ Ò Ø Å ÊÀ Á ÁÁ ÁÁÁ ÙØôÒ Ø ÙÓ ÑÓÖ H Ô Ò ÛÒ Ñ H Ô Ò ÛÒ Ñ ÛÒ Ñ Ø ÛÖ ØÛÒ È Ö Ö ÛÒ ¾º ¾º Ø Ô ÖÓ º ¾º Ö Ñ Ø ÔÓØ Ð Ñ Ø ËØ Ô Ö Ö Ó ÙØ Ô ÖÓÙ ÞÓÙÑ ÔÓ Ô Ö Ñ Ø Õ Ð Ô ÒÛ ³ ÙØ º ³ÇÐ Ø ÔÓØ Ð Ñ Ø ÕÓÙÒ Ø Ð Ø Ñ ε = 10 6 º È Ö Ñ ½ Ò Ò ÔÐ Ô Ö Ñ Ò ÙØ Ø Ò Ö ½ ØÓ ÓÔÓÓ Ô ÖÓÙ Þ Ø Ô Ò È Ö Ñ Ø ¾ º ô Ò Ö Ñ Ø Ø Ò ÖÑÓ ÙÓ Ø ÑôÒ ØÓÙ a 12 Ô Ö ØÛ Ø ÙÓ ÑÓÖ ØÛÒ ØÖ ôò Ð ÓÖ ÑÛÒº Ò Ð ÕÓÙÑ Ñ ÒÓ Ø Ò ÓÖ Ø Ø ÐÐ ØÛÒ Ö Ñ ØÛÒ Ô Ò Ð Ý ÛÒ ÔÓÙ ÕÖ ÞÓÒØ Ò Ô Ø ÕÓÙÑ Û Ø Ô ÒØ ô Ô ØÓÙ CPU ÕÖ ÒÓÙ ÔÓÙ Ô ØÓ ÒØ º 1 a A 1 = ËØ Ò Ö ½ a 12 = ØÓ ÔÓØ Ð Ñ Ø Ò Ø Ó A ÁÆ Á H ÔÒ Òô a 12 = ØÓ ÔÓØ Ð Ñ Ø Ò Ò ÔÓØ ¹
47 Ð Ñ Ø º ËØ ¾ ÔÓÙ Ñ MATLAB ÙÒ ÖØ Ö Ø Ñ Ñ ÓÖ Ø ÐÓ ÛÖ Ó ÒØ ØÓ Õ Û Ø µ Ô ÒØ ÔÓÙ Ö Ò Ø Ò Ø Ó A ÁÆ Á H ÔÒ Ó A Æ Ò H ÔÒ ÒØ ØÓÕÛº ÙØ Ô ôò Ø Ø Ò Ô ÖÔØÛ ÔÓÙ Ó ØÖ Ð Ö ÑÓ ÖÑÓ ØÓ Ò ÔÛ Ò Ø ØÓÒ ÔÒ ¾º½º Ë Ñ ôò Ø Ø Ø Ñ maxiter = 500 Ø Ò ÙØ ÔÓÙ ÕÖ ÑÓÔÓ Ø Ò Ô ÖÔØÛ Ñ º ÈÒ A 1 a 12 = a 12 = ÃÖ Ø Ö Ó H Õ ¹H H Õ H k 31 maxiter maxiter 877 J CPU ÔÓØ Ð Ñ H ÔÒ Ò ÔÓØ Ð Ñ Ø Ò ÔÓØ Ð Ñ Ø Ñ H ÔÒ k 18 maxiter maxiter 473 GS CPU ÔÓØ Ð Ñ H ÔÒ Ò ÔÓØ Ð Ñ Ø Ò ÔÓØ Ð Ñ Ø Ñ H ÔÒ k 13 maxiter maxiter 473 PPGS CPU ÔÓØ Ð Ñ H ÔÒ Ò ÔÓØ Ð Ñ Ø Ò ÔÓØ Ð Ñ Ø Ñ H ÔÒ k 13 maxiter maxiter 473 P P GS1 CPU ÔÓØ Ð Ñ H ÔÒ Ò ÔÓØ Ð Ñ Ø Ò ÔÓØ Ð Ñ Ø Ñ H ÔÒ ÈÒ ¾º½ ÈÒ A 1 CPU CPU time ËØ ÙÒ Õ Ô ÖÓÙ ÞÓÙÑ ØÖ Ô Ö Ñ Ø Ø ÓÔÓ Ð ØÛÒ H Ô Ò ÛÒ ÖÒ Ø Ü Ö Ô Ø Ò ÒØ ØÓ Õ ØÛÒ Ñ H Ô Ò ÛÒº ³ Ö ÑÔÓÖÓ Ñ Ò Ð ÜÓÙÑ Ò Ô Ð ÓÙÑ ØÓÙ Ð Ö ÑÓ Ñ Ø ÒØ ØÓ Õ ÙÒ ÖØ Ø MATLABº ÞÓÒØ Ø ÐÐ ØÓÙ ØÓ Õ ÓÙ a n,n 1 ØÓÙ ÔÒ A = tridiag( 1, 2, 1) R n,n, n = 5 l, l = 1(1)4º ³ÇÔÛ Ò ÒÛ Ø Ó A Ò Ò Ñ Ò ô ÑÓµ Ñ ÑÓÖ Ó M ÔÒ Ö Ð Ó Ö ÙÔÓÓÖÞÓÙ ØÓÙ Ò Ø º Ô ÔÐ ÓÒ ÑÔÓ¹ Ö Ò ÔÓ Õ ÕÖ ÑÓÔÓ ôòø Ô Û Ø det(a) = n + 1.  ØÓÒØ
48 a n,n 1 = x n Ö ÓÙÑ Ø Ò Ø Ñ ØÓÙ x n Ø Ò ÓÔÓ Ó A Ò Ø ¹ ÑÓÖ Óº Ò ÔØ ÓÒØ Ø Ò det(a(x n )) Û ÔÖÓ Ø Ò Ø Ð ÙØ Ö ÑÑ Ö¹ ÓÙÑ Ø x n = n 1 lim n x n = 2º Ø ÔÖÓ Ó Ñ Ò n Ø Ñ ÕÓÙÑ x 5 = 5 2 = 2.5 x 10 = x 15 = = x 20 = = º ÔÓÑ ÒÛ Ó A(x n) ÕÛÖÞ ØÓÙ M 0 a n,n 1 > x n µ Ô ØÓÙ Ñ M ÔÒ a n,n 1 < x n µº È Ö Ø Ö ¹ ÂÙÑÞÓÙÑ Ø Ó M ÔÒ ÔÓØ ÐÓ Ò Ñ ÙÔÓ Ð ØÛÒ H Ô Ò ÛÒºµ Ë Ô Ö Ñ a n,n 1 Ô ÖÒÓÙÑ Ø ÙÓ ÙÒ Õ Ñ Ò Ø Ñ Ñ ÔÖÓ¹ Ò Ó Ý ÓÙµ Ñ Ø Ü ØÛÒ ÓÔÓÛÒ Ö Ø ØÓ x n º ËØÓÙ Ô Ñ ÒÓÙ ØÖ ÔÒ Ô ÖÓÙ ÞÓÒØ Ø ÔÓØ Ð Ñ Ø Ñ ÒÓ n = 20 Ô Ö ØÓ ÓÒ Ø Ø ÒØ ØÓ Õ ÔÖÓ Ö ÑÑ Ø Ø Ð Ø Ò Ð Ø ÔÖÓ Ò Ö Ù Ö Ñ Ò Ø Ñ ØÓÙ nº È Ö Ñ ¾ A 2 = A(x 20 ) R 20,20 º ÈÒ A 2 a 20,19 = 2.1 a 20, ÃÖ Ø Ö Ó H Ñ ¹H H Ñ H k 301 maxiter maxiter 697 J CP U ÔÓØ Ð Ñ H ÔÒ Ò ÔÓØ Ð Ñ Ø Ò ÔÓØ Ð Ñ Ø Ñ H ÔÒ k 142 maxiter maxiter 358 GS CP U ÔÓØ Ð Ñ H ÔÒ Ò ÔÓØ Ð Ñ Ø Ò ÔÓØ Ð Ñ Ø Ñ H ÔÒ k 142 maxiter maxiter 358 P P GS CP U ÔÓØ Ð Ñ H ÔÒ Ò ÔÓØ Ð Ñ Ø Ò ÔÓØ Ð Ñ Ø Ñ H ÔÒ k 142 maxiter maxiter 358 P P GS1 CP U ÔÓØ Ð Ñ H ÔÒ Ò ÔÓØ Ð Ñ Ø Ò ÔÓØ Ð Ñ Ø Ñ H ÔÒ ÈÒ ¾º¾ ÈÒ A 2 È Ö Ñ A 3 = A(x 20 ) B ÔÓÙ A(x 20 ),B R 20,20 B Ò
49 Ò ôò Ó ÔÒ Ñ b ii > 0, i = 1(1)20. Ì ØÓ Õ b ii Ò ÓÑÓ ÑÓÖ¹ Ø Ò Ñ Ñ Ò ØÓ (0, 1) Ñ ÓÙÖ Ó ÒØ ÕÖ ÑÓÔÓ ôòø Ø rand ( seed,n) MATLAB ÙÒ ÖØ º ÌÓ Ò Ñ ÒÓ Ô Ò ÛÒ A(x 20 )B Õ ØÓÒ Ó H ÔÒ Õ Ö Ø Ö Ñ ÔÛ Ó A(x 20 ). ÙØ Õ Ø Ò Ó A(x 20 ) Ò Ò H ÔÒ ÓÔ Ø Ð Ó Ö ÙÔÓÓÖÞÓÙ ØÓÙ ÔÒ Ö ØÓÙ A(x 20 ) Ò Ø º ÔÓÑ ÒÛ Ö ÙÔÓÓÖÞÓÙ ØÓÙ ÔÒ Ö ¹ ØÓÙ A 3 Ò Ò Ø Ö ÙÔÓÓÖÞÓÙ ØÓÙ ÔÒ Ö ØÓÙ M(A(x 20 )) ÔÓÐÐ ÔÐ Ñ Ò Ô Ø ÒØ ØÓ Õ Ø ôò ØÓ Õ ØÓÙ B ÔÓÙ Ò ÔÓØ Ð Ñ Ø º ÈÒ A 3 a 20,19 = 2.1 a 20, ÃÖ Ø Ö Ó H Ñ ¹H H Ñ H k 419 maxiter maxiter 370 J CP U ÔÓØ Ð Ñ H ÔÒ Ò ÔÓØ Ð Ñ Ø Ò ÔÓØ Ð Ñ Ø Ñ H ÔÒ k 212 maxiter maxiter 191 GS CP U ÔÓØ Ð Ñ H ÔÒ Ò ÔÓØ Ð Ñ Ø Ò ÔÓØ Ð Ñ Ø Ñ H ÔÒ k 210 maxiter maxiter 187 P P GS CP U ÔÓØ Ð Ñ H ÔÒ Ò ÔÓØ Ð Ñ Ø Ò ÔÓØ Ð Ñ Ø Ñ H ÔÒ k 210 maxiter maxiter 187 P P GS1 CP U ÔÓØ Ð Ñ H ÔÒ Ò ÔÓØ Ð Ñ Ø Ò ÔÓØ Ð Ñ Ø Ñ H ÔÒ ÈÒ ¾º ÈÒ A 3 È Ö Ñ A 4 = PA(x 20 )P T ÔÓÙ P R 20,20 Ò Ò ÔÒ Ñ Ø ÔÓÙ Ñ ÓÙÖ Ô Ø ÙÒ ÖØ Ø MATLAB randpermº ÈÖ Ò ÓÐÓ Ð Öô ÓÙÑ Ø Ò Ô ÖÓ Ô Ö Ö Ó ØÓ Ô Ö Ò Ð Ó ÒÓÙÑ Ñ Ö Ô Ô Ö Ø Ö ÔÓÙ ÔÖÓ ÔØÓÙÒ Ô Ø Ñ Ð Ø ØÛÒ ÔÖÓ ¹ Ó Ñ ÒÛÒ Ô Ò ÛÒº
50 ÈÒ A 4 a 20,19 = 2.1 a 20, ÃÖ Ø Ö Ó H Ñ ¹H H Ñ H k 301 maxiter maxiter 697 J CP U ÔÓØ Ð Ñ H ÔÒ Ò ÔÓØ Ð Ñ Ø Ò ÔÓØ Ð Ñ Ø Ñ H ÔÒ k 152 maxiter maxiter 347 GS CP U ÔÓØ Ð Ñ H ÔÒ Ò ÔÓØ Ð Ñ Ø Ò ÔÓØ Ð Ñ Ø Ñ H ÔÒ k 142 maxiter maxiter 347 P P GS CP U ÔÓØ Ð Ñ H ÔÒ Ò ÔÓØ Ð Ñ Ø Ò ÔÓØ Ð Ñ Ø Ñ H ÔÒ k 142 maxiter maxiter 347 P P GS1 CP U ÔÓØ Ð Ñ H ÔÒ Ò ÔÓØ Ð Ñ Ø Ò ÔÓØ Ð Ñ Ø Ñ H ÔÒ ÈÒ ¾º ÈÒ A 4 i) ËÕ Ø Ò ÙÓ ÓÖ Ø Gauss Seidel Ñ Å Ö Ç Ô Ò Ð ÔØ ÃÖ Ø Ö Ø ÓÔÓ ÖÓÙÒ ÔÓ Ð ÔØÓÑ Ö Ó ÓÔÓ Ò Ô Ö ÞÓÙÒ ØÓ ÙÒÓÐ Ö Ñ ØÛÒ Ô Ò Ð Ý ÛÒº Ã Ø Ñ Ó ÖÓ Ò Ø Ø ØÓ Ø ÖÓ (PPGS1) ÙÑÔ Ö Ö Ø Ð Ø Ö Ô ØÓ ÔÖôØÓº ii) ³ÇÔÛ Ø Ò Ò Ñ Ò Ñ ÒÓ Ó Ö Ñ ØÛÒ Ô Ò Ð Ý ÛÒ ÔÓÙ Ô ØÓ ÒØ Ò Ô Ø ÕÓÙÑ Ð Ñ ôò Ø ô Ñ Ø ÒÓÙÑ Ô ØÓ Jacobi ØÓ Gauss Seidel Ñ Å Ö Ç ÃÖ Ø Ö Óº iii) Ç CPU ÕÖ ÒÓ ØÓÙ Ô Ö Ô ÒÛ ÔÒ Ò Ó Ñ Ó ÖÓ Ô Ô ÒØ ÓÖ Ø Ó ÔÓÙ ÔÖÓ ÙÝ Ò Ô Ô ÒØ Ø Ð º ÒØ ÔÖÓ ÛÔ ÓÙÒ ÒÓÙ ÔÓÙ ÕÖ ÞÓÒØ ØÓ Å ÊÇË ÁÁÁ Ñ Ô Ø Ó Øô Ù¹ Ò ÖØ ÔÓÙ Ø ÐÓ ÒØ º ÍÔ Ò ÙÑÞÓÙÑ Ø ô ÔÖÓÕÛÖ Ñ Ô Ø Ñ Ø Ð Ø Ò Ô Ñ Ò Ó ÔÒ B P ÔÓÙ ÕÖ ÑÓÔÓ Ò Ø È Ö ¹ Ñ Ø ÒØ ØÓ Õ Ò Ò Ó Ð Û Ø ØÙÕ Ô ÐÓ ØÓÙº È Ö Ø ÖôÒØ ØÓÙ ÕÖ ÒÓÙ CPU Ò Ø Ø ØÓ ÃÖ Ø Ö Ó Jacobi ÔÓÙ Ô ¹ ÖÓÙ Þ Ø Ø Ò Ö ¾ Ò Ö Ø ÒØ ÛÒ Ø Ñ Ñ Ø Ò ¼
51 PPGS1º iv) Ô Ø ÙÓ Ø Ñ ØÓÙ a 12 ÔÓÙ ÕÖ ÑÓÔÓ Ñ Ø È Ö Ñ Ø ¾¹ Ò ØÓÒ H ÔÒ Ò ØÓÒ Ñ H ÔÒ ÙÔ ÖÕ Ñ Ö ÓÖ Ñ Ö Ø Ñ Ð ÓÖ ØÓÒ Ö Ñ ØÛÒ Ô Ò Ð Ý ÛÒ ÔÓÙ Ô ¹ ØÓ ÒØ Ò Ø Ð ÜÓÙÑ ÔÓØ Ð Ñ º ÙØ ÑÔÓÖ Ò Ü Ô Ø Ñ Ñ Ò ÓÑ ØÓÙ ÔÒ ô Ô Ô ØÓ Ô Ð Ó r ÔÓÙ ÕÖ ÑÓ¹ ÔÓ Ñ Ø Ò ÖÕ ØÓÙ Ð ÓÖ ÑÓÙº Ø Ö ØÓ È Ö Ñ ½ µ a 12 = H ÔÒ µ ØÓ ÔÖôØÓ Ô Ð Ó ÔÓÙ ÔÖÓ ÔØ Ô Ø ØÖØ Ö ÑÑ Ò 0.6+ε 1+ε 0.6 Ö Ø Ñ Ö Ñ Ö Ø ÖÓµ ÔÓ ØÓ 1 ÒÓÒØ Ø ØÓ Õ Ø Ò Ø Ð Ö Ø Ñ Ö Ø Ö Ø Ò Ò Ô Ö ÓÒØ Ô ÖÔÓÙ 0.6º µ a 12 = Ñ H ÔÒ µ ØÓ ÒØ ØÓ ÕÓ Ô Ð Ó ÔÓÙ ÔÖÓ ÖÕ Ø Ô Ø ÔÖôØ Ö ÑÑ Ò r = ε 1+ε ØÓ ÓÔÓÓ Ò Ö Ø Ô Ó ÓÒØ ØÓ 1 Ñ Ø ØÖ ÔÓÒØ Ø ØÓ Õ Ø ÔÖôØ Ø Ð Ñ Ð Ø Ö Ø Ò Ò Ô Ö ÓÒØ º À Ø Ø ÒØ ØÖ Ø ØÓ È Ö Ñ Ô Ö ÐÓ ÔÓÙ Ø Ô ÒØ ô Ü ÖØôÒØ Ô ØÓÒ ØÙÕ Ø Ù Ñ ÒÓ ÔÒ Bº v) ³ Ò Ñ ÔÖÓ Ö ÑÑ ØÓ MATLAB Ñ Ð Ø ÕÖ ÑÓÔÓ ÙÒ ÖØ Ö Ø Ø Ð hadjidim/programs/alahad06 ½
52 ¾
53 Ã Ð Ó Ô Ò Ð ÔØ ÃÖ Ø Ö Ó Å ¹ Ò ô ÑÓÙ ÈÒ º½ Û Ò Ò H ÔÒ ÑÔÓÖ Ò ÓÖ Ø Ñ Û ØÓÙ ÓÖ ÑÓ ØÓÙ M Ô¹ Ò ÔÛ ØÓ Ã Ð Ó ½ Ø Û Ø ÓÐÓÙ ØÓÙ Ð ÓÖ ÑÓÙ ÔÓÙ Ô ÖÓÙ ØÓ Ò ÕÖ ÑÓÔÓ Ô Ö Ø ÖÓ Ó ÓÖ Ñ ÔÓÙ Ò Ö Ø ³ ÙØ Ò ØÓÙ Ù Ø Ö ôò ÙÔ ÖØ ÖÓÙ Ø Ö ÑÑ µ ÔÒ ¹ ÔÓÙ Ó Ø Ð ÙØ Ó ÓÖ Ñ Ò Ö Ô Ø Ò Û ÐÐ ÑÑ º Ç ÓÖ Ñ ØÓÙ Ù Ø Ö ôò ÙÔ ÖØ ÖÓÙ Ø Ö ÑÑ µ ÔÒ ¹ Ò Ø Ø ÙÒ Õ ÇÖ Ñ º½º ³ Ò ÔÒ X C n,n Ð Ø Ø Ò Ù Ø Ö ôò ÙÔ ÖØ ÖÓ Ø Ö ÑÑ Ò Ñ ÒÓ Ò n x ii > x ij, i = 1(1)n. º½µ j=1, j i ËØÓ Ô Ö Ò Ð Ó ØÓ Ò ÖÓÒ Ñ Ô ÒØÖôÒ Ø ØÓÙ ØÖ Ð¹ ÓÖ ÑÓÙ ØÛÒ Ö ôò ¾ ¾ ÔÓÙ ÙÑ ÓÐÞÓÒØ Ñ H, L B ÒØ ØÓ Õ º Ë Ñ Û Ç Ð Ö ÑÓ H Ô ÖÓÙ Þ Ø Ò ÓÙ Ø ÕÓÙÒ
54 Ò ÔÓ ØÖÓÔÓÔÓ ØÓÙ ÙÑ ÓÐ ÑÓ Ø ô Ø Ó ØÖ Ð¹ Ö ÑÓ Ò ÑÔÓÖÓ Ò Ò Ô ÖÓÙ ØÓ Ò Ñ Ò Ò Ò Ó ØÖ ÔÓºµ ËØ Ø Ö Ô Ö Ö Ó ÒÓÒØ ÔÓ Ó Û Ó ÙÑ ÓÐ ÑÓ Ô ÖÓÙ ÞÓÒØ Ó ØÖ Ð Ö ÑÓ Ñ Ø Ó ÓÖ Ñ ÒÛÒ Ô Ö Ñ ØÛÒ Ø Ø Ò Ö Ø ÙÔ ÖÕÓÙÒ Ô Ö ÔØô ÔÓÙ Ó Ð Ö ÑÓ L B Ò ÑÔÓÖ Ò Ø ÖÑ ØÞÓÒØ Ô ÒØÓØ Ô Ô Ö Ñ ÒÓ Ö Ñ Ô Ò Ð Ý ÛÒ ÔÛ ÙØ Õ ÕÙÖ Ø º ËØ Ò ØÖØ Ô Ö Ö Ó Ô Ö Ø ÒØ ÛÖ Ø ÔÓØ Ð Ñ Ø ÓÖ Ñ Ò Ô Ø ÓÔÓ¹ ÔÓ Ò ÓÒØ º ËØ Ò Ø Ø ÖØ Ô Ö Ö Ó Ò Ø ÒØÓÑ Ò Ò Ó Ø ÔÓÙ Jacobi Ô Ò Ð ÔØ Ö Ø Ö Ó ÔÒ Ð Ö ÑÓ AHµ Ý Ù Ó ô Ñ Ø ÕÖ Ø ÛÖ Ø È Ö Ö ÓÙ º ÔÓ Ò Ø ÙÖÛµ Ñ ¹ Ò ô ÑÓÙ ÔÒ Ø Ô Ñ ÔÓÐ Ô ÖÔØÛ Ð ØÓÙ Ò Ô Ô Ö Ñ ÒÓ Ö Ñ Ô Ò Ð Ý ÛÒº Ì ÐÓ Ø Ò È Ö Ö Ó Ó Ò Ó Ð Ö ÑÓ AH ÙÐÓÔÓ Ø Ñ Matlab ÙÒ ÖØ ÓÔÓ ÖÑ Þ Ø Ñ Ö Ö Ñ Ø ôò Ô Ö Ñ ØÛÒ ÙÒÓÝÞÓÙÑ Ñ ÔÓ Ô Ö Ø Ö ¹ º º¾ ÈÖÓ Ø ÖØ Ó ÌÖ Ð Ö ÑÓ ËÕ Ð ËØ Ò Ô ÖÓ Ô Ö Ö Ó Ô ÖÓÙ ÞÓÒØ ÔÓ Ó Û Ó ÙÑ ÓÐ ¹ ÑÓ Ó ÔÐ ÖÛ Ñ Ñ Ø Ø Ñ Ö ÛÑ ÒÓ Ð Ö ÑÓ H Ø Ö ¾ Ó Ñ Ñ Ø Ó Ñ ÒÓ Ð Ö ÑÓ L Ø Ö ¾ Ô ÔÐ ÓÒ Ó Ð¹ Ö ÑÓ B Ø Ö ô Ô ÒÓÒØ ÔÓ Õ Ð ÔÓÙ ÓÖÓ Ò Ø Ö Ø Ð ØÛÒ Ó Ø Ð ÙØ ÛÒº Ã Ò Ô ØÓ٠й ÓÖ ÑÓÙ Õ Ð Ö ØÖÓÔÓÔÓ ÓÒ ÓÖ ØÓÙ ÙÑ ÓÐ ÑÓ ô Ø Ó
55 ÓÑÓ Ø Ø Ó ÓÖ ØÓÙ Ò Ò ÓÐ Ò ÒÛÖ Ñ º ØÓÙ Ð ÓÖ ÑÓÙ ÙØÓ Ò ÕÖ ÑÓ Ó Ô Ö ØÛ ÓÖ ÑÓ ØÛÒ ÐÓÙ ÛÒ Ô Ò ÛÒ ÔÓ Ó Ô ØÓÙ ÓÔÓÓÙ ÕÓÙÒ Õ º ÖÕ ÓÖÞ Ø ÓÐÓÙ ØÛÒ Ø ÛÒÛÒ Ô Ò ÛÒ D (k), k = 0, 1, 2,..., D (0) = I, º¾µ Ô ÔÐ ÓÒ ØÛÒ Ô Ò ÛÒ A (k) = A (k 1) D (k 1), k = 1, 2, 3,..., A (0) = A, º µ ØÓÙ Ð Ö ÑÓÙ H Lº ØÓÒ Ð Ö ÑÓ B A (k) = ( D (k 1)) 1 A (k 1) D (k 1), k = 1, 2, 3,..., A (0) = (diag(a)) 1 A, E (k 1) = ( diag(a (k 1) D (k 1) ) ) 1, k = 1, 2, 3,..., E (0) = (diag(a)) 1. º µ Ô ØÓÙ ÓÖ ÑÓ Ø º¾µ º µ Ø Ð ÓÙÑ ØÓ ÙÑÔ Ö Ñ Ø ØÓÒ Ð Ö ÑÓ B Õ a (k) ii = 1, i = 1(1)n, k = 1, 2, 3,... º µ ³ ØÛ N := {1, 2,...,n} s (k) i = n j=1, j i a (k) ij, i = 1(1)n, k = 0, 1, 2,... º µ ³ ØÛ Ô { } N (k) 1 N 1 (A (k) ) = i N : a (k) ii > s (k) i,
56 n (k) 1 := n 1 (A (k) ) Ò ÙÑ ÓÐÞ ØÓ ÔÐ Ó ØÛÒ ØÓ Õ ÛÒ ØÓÙ N (k) 1 º ÓÐÓ Û Ô ÖÓÙ ÞÓÒØ Ó ØÖ Ð Ö ÑÓ º Ð Ö ÑÓ Hº ÁËÇ ÇË ³ Ò ÔÒ A := [a ij ] C n,n ÓÔÓ Ó ÔÓØ ε > 0º Ç ÇË D = D (0) D (1) D (k) D A Ò Ó A Ò H ÔÒ º ½º Ò a ii = 0 ÔÓ Ó i N N 1 (A) = Ó A Ò Ò H ÔÒ ËÌÇÈ; ÐÐ ô ¾º  A (0) = A, D (0) = I, k = 1 º ÍÔÓÐ A (k) = A (k 1) D (k 1) = [a (k) ij ] º ÍÔÓÐ s (k) i = n j=1, j i a(k) ij, i = 1(1)n, Ò Ñ ÖÛ N(k) 1 n (k) 1 º Ò n (k) 1 = n Ó A Ò H ÔÒ ËÌÇÈ; ÐÐ ô º  d = [d i ] ÔÓÙ d i = s (k) i +ε a (k) +ε, ii Ò i N(k) 1 1, Ò i / N (k) 1 º  D (k) = diag(d), k = k + 1; È Ò ØÓ Ñ º Ð Ö ÑÓ Lº ÁËÇ ÇË ³ Ò ÔÒ A := [a ij ] C n,n ÓÔÓ Ó ÔÓØ ε > 0º Ç ÇË D = D (0) D (1) D (k) D A / D A Ò Ó A Ò Ò Ò H ÔÒ ÒØ ØÓ Õ º
57 ½º Ò a ii = 0 ÔÓ Ó i N Ó A Ò Ò H ÔÒ ËÌÇÈ; ÐÐ ô ¾º  A (0) = A, D (0) = I, k = 1 º ÍÔÓÐ A (k) = A (k 1) D (k 1) = [a (k) ij ] º ÍÔÓÐ s (k) i = n j=1, j i a(k) ij º Ò a (k) ii > s (k), n (k) 1 = n (k) 1 + 1, i = 1(1)n i, i = 1(1)n,  n(k) 1 = 0 º Ò n (k) 1 = n Ó A Ò H ÔÒ ËÌÇÈ; ÐÐ ô º Ò n (k) 1 = 0 Ó A Ò Ò H ÔÒ ËÌÇÈ; ÐÐ ô º  d = [d i ] ÔÓÙ d i = s(k) i + ε a (k) ii + ε, i = 1(1)n º  D (k) = diag(d), k = k + 1; È Ò ØÓ Ñ º Ð Ö ÑÓ Bº ÁËÇ ÇË ³ Ò ÔÒ A := [a ij ] C n,n º Ç ÇË D = D (0) D (1) D (k) D D 1 A D A / D A Ò Ó A Ò Ò Ò H ÔÒ ÒØ ØÓ Õ ½º Ò a ii = 0 ÔÓ Ó i N N 1 (A) = Ó A Ò Ò H ÔÒ ËÌÇÈ; ÐÐ ô ¾º ÍÔÓÐ s i = n j=1,= j i a ij, i = 1(1)n º Ò s i = 0, i = 1(1)n, Ó A Ò H ÔÒ ËÌÇÈ; ÐÐ ô º  A (0) = (diag(a)) 1 A, D (0) = I, k = 1
58 º ÍÔÓÐ A (k) = ( D (k 1)) 1 A (k 1) D (k 1) = [a (k) ij ] º ÍÔÓÐ s (k) i º Ò s (k) i = n j=1, j i a(k) ij 1, i = 1(1)n s (k) i H ÔÒ ËÌÇÈ; ÐÐ ô º Ò s (k) i, i = 1(1)n < 1 Ò ØÓÙÐ Õ ØÓÒ i N, Ó A Ò 1, i = 1(1)n, Ó A Ò Ò H ÔÒ ËÌÇÈ; ÐÐ ô º ÈÖÓ Ö m Ø ØÓ Ó ô Ø s (k) m ½¼º  d = [d i ] ÔÓÙ = min i=1(1)n s (k) i s (k) i 0 d i = { (k) s m, Ò i = m 1, Ò i m ½½º  D (k) = diag(d), k = k + 1; È Ò ØÓ Ñ º ËÙÒ ÕÞÓÙÑ Ñ ÔÓ Ô Ö Ø Ö Ô ÒÛ ØÓÙ ØÖ Ð ÓÖ ÑÓÙº Ë Ñ ÛÒ Ñ Ø ÛÖ ÔÓÙ Ò ÔØ Õ Ø Ö ¾  ôö Ñ ¾º½µ ¾  ÛÖ Ñ Ø ½ ¾ µ Ò Ó ÔÒ A Ò H ÔÒ Ø ¹ Ó Ó Ð Ö ÑÓ H Ó Ó L Ø ÖÑ ØÞÓÒØ Ò Ô Ô Ö Ñ ÒÓ Ö Ñ Ô Ò Ð Ý ÛÒº Ü ÐÐÓÙ Ò Ó Ð Ö ÑÓ H Ø ÖÑ ØÞ Ø Ó ÔÒ A Ò H ÔÒ Òô Ò Ó Ð Ö ÑÓ L Ø ÖÑ ØÞ Ø Ø Ø Ó A ÑÔÓÖ Ò Ò Ò Ñ Ò Ò H ÔÒ ÔÖ Ñ ÔÓÙ Ü ÖØ Ø Ô ØÓ ÔÓØ Ð Ñ Ø Ü ÓÙ ØÓÙ Ð ÓÖ ÑÓÙº ³Ç ÓÒ ÓÖ ØÓÒ Ð Ö ÑÓ L ÑÔÓÖ Ò Ô Ö Ø Ö Ò Ø Ø Ò Ô ÖÔØÛ Ò Ñ H ÔÒ Ó Ø ÖÑ Ø Ñ ØÓÙ Ð ÓÖ ÑÓÙ Ò ÑÔÓÖ Ò Ù Ô ÒØ º ³ÇØ Ò Ó A Ò Ò ô ÑÓ ÑÔÓÖ Ò ÙÔ ÖÜÓÙÒ ÔÖÓ Ð Ñ Ø
59 ÔÛ ÕÒ ØÓ ÐÓÙ Ó Ô Ö Ñ º ³ ØÛ A = º µ Ó ÓÔÓÓ Ò Ò H ÔÒ º Ò ÖÑÓ Ø Ó Ð Ö ÑÓ L ØÓÒ A Ó ÓÔÓÓ Õ ÖÕ n 1 (A) = 2 Ö ÓÙÑ Ø Ó Ð Ö ÑÓ Ò ÑÔÓÖ Ò Ø ÖÑ Ø Ø º Ò Ü ÖØ Ø Ô Ø Ò Ø Ñ ØÓÙ ε > 0 Õ Ô ÒØ Ø n 1 (A (k) ) = 2, k = 0, 1, 2,... ÙØ Õ Ø ØÓÒ A (k) ÓÔÓ Ó ÔÓØ k Ù Ø Ö ôò ÙÖ ÖÕ Õ Ø Ó Ø Ð ÙØ Ö ÑÑ Ñ ¹ Ù Ø Ö ôò ÙÖ ÖÕ Õ Ø Ó ÔÖôØ º Ç Ñ Ø ÖÑ Ø Ñ ØÓÙ Ð ÓÖ ÑÓÙ L Ø Ò Ô ÖÔØÛ ØÛÒ Ñ ¹ Ò ô¹ ÑÛÒ Ô Ò ÛÒ Ò Ò ÙÒ Ø Ò Ò Ù Ø Ô ÒØÓØ ÔÛ Ø Ó Ô Ö ØÛ Ô Ö Ñ Ø ÙÔÓ Ò ÓÙÒº ³ ØÛ Ø ÒÓÒØ Ó Ô Ö ØÛ ÔÒ A 1 A 2 : A 1 = , A 2 = , º µ ÔÓÙ Ó A 1 Ò H ÔÒ Òô Ó A 2 Ò Ò º Ô Ô Ü ØÓÙ Â Û¹ Ö Ñ ØÓ ¾ Ø Ò Ö ¾ ÔÖ Ñ ØÓÔÓ Ø Ñ ε = 0, ÖÑ ÞÓÙÑ ØÓÒ Ð Ö ÑÓ L Ò Ô ØÓÙ Ô Ö Ô ÒÛ ÔÒ Ñ ÙØ Ò Ø Ò Ø Ñ ØÓÙ εº À Ð Ø ÙÓ Ô Ö ÔØô ÔÓØÙ Õ Ò ÙØ Ô n 1 (A (k) 1 ) = 2 n 1 (A (k) 2 ) = 1 k 1º Ø Ö A (2) 1 = , A (2) 2 = , º µ
60 A (3) 1 = , A (3) 2 = , º½¼µ A (4) 1 = , A (4) 2 = , º½½µ ØÖ Ù Ð ÓÑ patternµ Ò ÔÖÓ Ò Ø Ô Ò Ð Ñ Ò Ø Ô³ Ô ¹ ÖÓÒº ÙØ ÔÐ Ñ Ò Ø ÙÔ ( lim lim ε 0 + k D(k) ) = lim k ( lim ε 0 + D(k) Ð ØÓ Ò ÛÖ ØÓ ε Ó Ñ Ñ Ò Ò ÑÔÓÖ Ò Ù Ø Ó Ñ Ø ØÓ Ø Ø Õ ÙÔ Ù Ö Ñ Ò ÔÖÓÔÓ ÔÓÑ ÒÛ Ò ÙØ ÒØÛ Õ ÓÙÒ ÔÖ Ô Ò ÔÓ Õ Ó Òº ÍÔ ÖÕ Ò Ñ ÓÙ ô Ñ Ó Ø Ò Ô Ü ØÓÙ ÓÙ ÛÖ Ñ ØÓº ÔÓ Ò Ø Ø ÓÔÓ Ó ÔÓØ Ó ÓÕ Ó Jacobi ÔÒ B (k), k = 0, 1, 2,... ÔÓÙ ÙÒ ÓÒØ Ñ ØÓÒ ÔÒ Ö ØÛÒ A (k) Ð Ô ÇÖ Ñ ½º¾µ ÒÓÔÓ Ó Ò Ø Õ ), B (k+1) = ( D (k)) 1 B (k) D (k), k = 0, 1, 2,... º½¾µ Ã Ø Ø Ö Ô Ò Ð Ý Ñ Ñ Ø Ø ÓÑÓ Ø Ø ØÓÒ D (k) ÔÓÙ ÔÖ Ô Ò ÖÑÓ Ø Ô ØÓÙ ÔÒ A (k) B (k) µ Ø Ø d (k) i Ñ Ñ ¹ ÒÓÙ Ø Ü º Ì Ø ÔÓ Ò Ø Ø ÓÔÓ ÔÓØ b (k) ij i < jµ Õ b (k) ij b (k+1) ij Òô ÓÔÓ ÔÓØ b (k) ij i > jµ b (k) ij b (k+1) ij º È Ö Ð Ù¹ Ø Ø Ò Ô Ñ Ò Ô Ò Ð Ý Ø d (k+1) i ÑÔÓÖ Ò Ö ÓÒØ Ñ ÓÖ Ø ¼
61 Ø Ü ô Ø Ø b (k+1) ij i < jµ ÑÔÓÖ Ò Ö Ó Ò Ñ (l,m), l > m, Ö Ò ÙÒ Ø Ò Ø Ü ØÓÙ Ò Ñ Ò Ò ÔÐ ÓÒ Ñ ¹ ÒÓÙ º ÔÓÑ ÒÛ ÓÐÓÙ ØÛÒ b (k) ij Ò Ò ÑÓÒ ØÓÒ Ð Ò Ü ÐÞ Ø Ô Ü ØÛÒ ÒØ ØÓ ÕÛÒ ÔÖÓØ ÛÒ Ø Ò Ö ¾ Ò Ò ÔÐ Ö º Ô Ö Ñ ØÓÒ A 1 Ø Ò º µ Ò B (1) = D (1) = diag (0.5, 0.5, 2). Ô Ø ØÓ Õ ØÓÙ D (1) Ò Ñ ¹ ÒÓÙ Ö Ó ÔÒ Ñ Ø ¹ Ò Ó P (1) = I 3 º½¾µ Ò B (2) = D (2) = diag (2, 0.5, 0.5). ÙØ Ø ÓÖ P (2) = [e 2 e 3 e 1 ] Ñ e i, i = 1, 2, 3, Ø Ø Ð ØÓÙ ÑÓÒ ÓÙ ÔÒ º Å Ø ØÓÒØ ÕÖ ÑÓÔÓ ôòø ØÓÙ ÓÙ Ø ÕÓÙÑ Ø B (2) B (1), ÙØ ØÓ ÔÖ ØÙÔÓ patternµ Ô Ò Ð Ñ Ò Ø Ô³ Ô ÖÓÒº À ÓÐÓÙ ØÛÒ ÓÖôÒ max i=1,2,3 d(k) i min i=1,2,3 d(k) i = = 1.5, k = 1, 2, 3,..., Ò Ø Ò ØÓ Ñ Ò ô k º È Ö Ø ÖÓ Ñ Ô Ø ØÓ ØÓ Õ Ó b (1) 13 = 0.5 Ò Ø b (2) 13 = 2 ÐÐ Ñ Ø Ô Ø Ñ Ø Ò Ø Ô Ð 0.5º ³ Ö Ñ Ø Ò Ô ÖÔØÛ ØÛÒ Ñ ¹ Ò ô ÑÛÒ Ô Ò ÛÒ Ò Õ Ó Ð Ö ÑÓ L ÔÖ Ô Ò Ó Ñ Ô Ü ØÓÙ Â ÛÖ Ñ ØÓ ¾ Ø Ö ¾ Ø Ò ÓÔÓ ÔÓ Ø Ø ε > 0 ÔÖ Ô Ò ÕÖ ÑÓÔÓ Ø ³ Ð Ø Ö Ø Ô Ü º ½
62  ÛÖôÒØ ØôÖ ØÓÒ Ð Ö ÑÓ B Ø Ö Ñ Ø ØÓ ÙÑÔ Ö ¹ Ñ ÔÓÙ ÓÐÓÙ ØÓÒ Ô Ö ÓÖ Ñ ØÓ Ñ ÔÓÙ Õ Ò Ñ ÒÓ Ò Ó A Ò Ñ ¹ Ò ô ÑÓ ÑÔÓÖÓ Ò Ò Ü Õ Ó Ò Ô Ö ÑÓ ÙÑÔ Ö Ñ Ø Ñ ÙØ Ø Ô ÖÔØÛ ØÓÙ Ð ÓÖ ÑÓÙ L. Ò Õ ØÓÙ Ð ÓÙ ØÓ Ð Ö Ò Ü Ø ÓÙÑ ØÓÙ Ó ÔÒ ÔÓÙ ÓÐÓÙ Ó Ò ÔÓÙ Ó ÔÖôØÓ Ò Ò ô ÑÓ Ó Ø ÖÓ Ñ ¹ Ò ô ÑÓº A 3 = , A 4 = º½ µ ØÓÙ Ó ÔÒ s (1) 3 = s (1) 4 = min i=1(1)4 s (1) i = 3, Ô ÖÓÙÑ m = 3º Å Ø 4 Ô Ø Ò ÔÖôØ Ô Ò Ð Ý ÕÓÙÑ A (2) 3 = , A(2) 4 = Ø Ø Ö Ô Ò Ð Ý s (2) m = s (2) 4 = 5 8 A (3) 3 = , A(3) 4 = Ö º½ µ º½ µ Ø Ø ÓÐÓÙ ØÛÒ s m Ò s (3) 3 = 3 4 s(4) 4 = s(5) 3 = Ó ØÛ Ü º Ò ÔÖÓ Ò ÔÓ Ó Ô Ø Ó Ô Ö Ñ Ø Ò Ò Ö Ó Ñ Ø Ó Ð Ö ÑÓ Ò Ø ÖÑ ØÞ Ø º ¾
63 Þ Ñ ÒÓ Ð Ø ÔÖÓ Ó Ñ Ò Ô Ö ÔØô ÒØ ¹Ô Ö Ñ Ø Ø Ø Ø ÒÓ Ø Ø ÔÖ Ô Ò Ò Ø Ö Ñ Ø Ü Ò ô ÑÛÒ Ñ ¹ Ò ô ÑÛÒ Ô Ò ÛÒº È Ö Ð ÙØ Ô Ø Ò Ô ÖÔØÛ Ò Ñ ÐÓÙ ÔÒ Ñ Ñ ¹ ÓÑ Ñ Ò Ö Ø Ø Ó Ð ÕÓ Ø Ñ ¹ Ò Û Ñ Ø Ø ÑÔÓÖ Ò Ò Ô ÓÖ ÙØ ÙÔÓÐÓ Ø ÔÓÐÙÔÐÓ Ø Ø ÒÓÙÑ ÙØ ØÓ Ñ ÔÖÓ ØÓ Ô Ö Òº º ÈÖÓ Ø ÖØ Â ÛÖ Ø ÍÔ ÖÓ Ø Ò Ò ÐÙ ÔÓÙ ÓÐÓÙ Ò Ð ÓÙÑ ÔÓ ÓÙ ÓÖ ¹ ÑÓ Ô Ö ÓÙÑ Ñ Ö Ô ÕÖ Ñ ÔÖÓØ Ó Ô Ö Ø Ö Ô Ø ÓÔÓ ÑÔÓÖÓ Ò Ò Ö Ó Ò Ø Ð Ò ÓÖ ØÛÒ Berman Plemmons Horn Johnson ¾½ º Å ØÓÙ ÓÖ ÑÓ ØÓÙ M H ÔÒ ÔÓÙ ÒÓÒØ ØÓÙ ÇÖ ÑÓ ½º½ ½º¾ ÒØ ØÓ Õ ØÙÔôÒÓÒØ Ó ÔÖÓØ ÔÓÙ ÓÐÓÙ Ó Òº Ë Ñ Û Ü ØÓ Ô Ö Ò Ñ ÒÓ Ò M ÔÒ ÛÖ Ø Ø Ò Ñ ¹ ÑÓÖ Óº Ä ÑÑ º½º Ò A R n,n Ò M ÔÒ ØÓ Ó Õ ØÓÒ ÔÒ PAP T ÔÓÙ P Ò Ò ÔÒ Ñ Ø º Ä ÑÑ º¾º ³ Ò ÔÒ A C n,n Ò H ÔÒ Ò Ñ ÒÓ Ò Ó Jacobi Ô Ò Ð ÔØ ÔÒ ÔÓÙ ÙÒ Ø Ñ ØÓÒ ÔÒ Ö ØÓÙ Ò Ù ÐÒÛÒº
64 Ë Ñ Û ÌÓ Ä ÑÑ º¾ ÑÔÓÖ Ò ÕÖ ÑÓÔÓ Û Ò ÐÐ Ø Ó¹ Ò ÑÓ ÓÖ Ñ ØÓÙ ÇÖ ÑÓ ½º¾ ØÓÒ H ÔÒ º Ä ÑÑ º º ³ ØÛ Ø A C n,n, Ñ a ii 0, i = 1(1)n, B = EA ÔÓÙ E = diag(e 1,e 2,...,e n ) C n,n, e i C Ò ÓÔÓ Ó ÔÓØ Ñ ¹ ÑÓÖ Ó ôò Ó ÔÒ º ³ ØÛ J A J B Ó Jacobi Ô Ò Ð ÔØ Ó ÔÒ ÔÓÙ ÙÒ ÓÒØ Ñ ØÓÙ A B ÒØ ØÓ Õ º Ì Ø Ó J A J B Ò Ø ÙØ ÑÓ º Ô Ü º Á Õ b ij = e i a ij, i,j = 1(1)n. ÔÓÑ ÒÛ ÕÓÙÑ J B J EA := I (diag(ea)) 1 EA = I diag(a) 1 E 1 EA = I diag(a) 1 A = J A. Þ Ñ ÒÓ Ø Ø Ð ÙØ Ó Ð ÑÑ Ø Ó Ø ÕÓ Ñ Ò Ò ÔÖÓ¹ ÓÙÑ Ø Ñ Ø ØÒ ØÓÙ Jacobi Ô Ò Ð ÔØ Ó ÔÒ B = J M(A) ÔÓÙ ÙÒ Ø Ñ ØÓÒ ÔÒ Ö Ò Ó Ñ ÒÓÙ ÔÒ A C n,n. ËØ Ò ÔÖ Ñ Ø Ø Ø ÑÔÓÖÓ Ñ Ò ÔÓ ÜÓÙÑ Ø Ò Ó A Ò Ñ ¹ Ò ô ÑÓ ρ(b) < 1 Ó A Ò H ÔÒ µ ρ(b) > 1 Ó A Ò Ò H ÔÒ µ ÙÔ ÖÕ Ò Ð Ö ÑÓ ÔÓÙ Ø ÖÑ ØÞ Ø Ô Ô Ö Ñ ÒÓ Ö Ñ Ô Ò Ð ¹ Ý ÛÒº Ô Ó Ó Ð Ö ÑÓ Ø ÖÑ ØÞ Ø Ô Ô Ö Ñ ÒÓ Ö Ñ Ô Ò ¹ Ð Ý ÛÒ Ø Ò Ô ÖÔØÛ ÔÓÙ Ó A Ò Ñ ¹ Ò ô ÑÓ H ÔÒ º ÍÔ ÖÕ Ñ ÓÖ µ Ô ÖÔØÛ ÔÓÙ Ó A Ò Ò H ÔÒ Ó Ð Ö ÑÓ ÑÔÓ¹ Ö Ò Ñ Ò Ø ÖÑ ØÞ Ø Ô Ô Ö Ñ ÒÓ Ö Ñ Ô Ò Ð Ý ÛÒº ˳ ÙØ Ò Ò Ö Ó Ñ Ø Ò ÔÖÓ Ý Ø Ô Ñ Ò º ³ÇÐÓ Ó Ô Ò Ð ÔØ Ó Ð Ö ÑÓ ÔÓÙ ÕÓÙÒ ÔÖÓØ Ø ÖÓ Ø Ò Ò ÒôÖ ØÛÒ H Ô Ò ÛÒ ÙÑÔ Ö Ð Ñ ÒÓÑ ÒÛÒ ØÛÒ Ð ÓÖ ÑÛÒ
65 H L B Ò Ü Ø ØÓ Ò Ó ÔÖ Ñ ÔÓÙ Ò Ò ÔÖÓ Ò Ô ¹ Øô Ò Ø ÞÓÒØ Ô Ö ÐÐ Ø Å ÓÙ ØÛÒ ÙÒ Ñ ÛÒº ³ Ø Ó Ð Ö ÑÓ ÔÓÙ ÔÖÓØ Ô Ñ Ø Ñ ÓÖÓÔÓ ¹ Ø Å ÓÙ ØÛÒ ÙÒ Ñ ÛÒ Ð Ô ÔºÕº Wilkinson Ô Ó Fadeev Fadeeva ½½ Horn Johnson ¾¼ Demmel ½¼ µ Ø Ò ÓÔÓ ÕÓÙÒ ÑÑ Û Ø Ö Ð Ø Ô Ò Ð ÔØ Ö Ø Ö H ÔÒ º À Å Ó Ó ØÛÒ ÙÒ Ñ ÛÒ Ñ Ñ ÔÓÐ ÙÒÓÔØ Ô ÖÓÙ Ø Ô Ü Ø Ø Ò Ô ÖÔØÛ Ò Ø Ñ Û Ñ Ø Ñ ÖÓ Ø ÓÔÓ ÕÖ ÑÓÔÓ Ø Ø ÙÒ Õ º  ôö Ñ º º Å Ó Ó ØÛÒ ÙÒ Ñ ÛÒµ ³ ØÛ A C n,n Ñ Ø ÓØ Ñ ØÓÙ λ i, i = 1(1)n Ò ÒÓÔÓ Ó Ò Ø Õ λ 1 > λ j, j = 2(1)n. ÇÖÞÓÙÑ x (k) = Ax (k 1), k = 1, 2, 3,..., x (0) C n \{0}. º½ µ ÍÔÓ ØÓÙÑ Ø ØÓ x (0) Õ Ñ Ñ ¹Ñ Ò ÙÒ Øô Ø Ñ Ó ØÓÙ Ó¹ Ò Ñ ØÓ ÔÓÙ ÒØ ØÓ Õ Ø λ 1 º Ì Ø (Ax (k) ) i λ 1 = lim k x (k) i x (k) i 0, i = 1(1)n. º½ µ Ô Ü º ³ ØÛ Ø A = SJS 1 Ò Jordan ÒÓÒ ÑÓÖ ØÓÙ A ÔÓÙ S Ò Ó ÔÒ ØÛÒ Ò ÙÑ ÒÛÒ Ó ÒÙ Ñ ØÛÒ s i, i = 1(1)n, ØÓÙ A
66 J = diag(j 1,J 2,...,J p ) Ñ λ m 1 λ m 1 J m = º ºº º º º C nm,nm, m = 2(1)p, λ m 1 λ m n m = n 1, m=2(1)p º½ µ s s 1n º º º º º S = [s 1 s 2..., s n ] = s i1... s ii... s in. º½ µ º º º º º s n s nn ÉÖ ÑÓÔÓ ôòø Ø Ò Jordan ÒÓÒ ÑÓÖ ÑÔÓÖÓ Ñ Ò Ô ÖÓÙÑ x (k) = A k x (0) = S J k S 1 x (0) ØÓÒØ x (0) = S y = S [y 1 y 2... y n ] T ÕÓÙÑ Ø x (k) = λ k 1y 1 s 1 + [s 2 s 3... s n ] x (k) = S diag(j k 1,J k 2,...,J k p )y ÙÔÓ ØÓÒØ Ø p = 2 Ø Ò ÔÐÓÔÓ Ø Ò ÐÙ k > n 2 Õ Ø ( ) ( ) k λ k 2y 2 + λ k 1 k 1 2 y λ k (n 2) n 2 2 y n λ k 2y ( k n 3 ÔÓÑ ÒÛ i¹ó Ø ÙÒ Øô ØÓÙ Ò Ñ ØÓ x (k) Ò ) λ k (n 3) 2 y n º λ k 2y n. x (k) i = ( λ k 1y ) 1 s i1 + λ k 2(y 2 s i2 + y 3 s i3 + + y n s in ) k + λ2 k 1 (y 1 3 s i2 + y 4 s i3 + + y n s i,n 1 ) + + ( k n 2 ) λ k (n 2) 2 y n s i2. º¾¼µ
67  ØÓÙÑ z 1 = y 1 s i1 z j = m=j(1)n y ms i,m j+2, j = 2(1)n, Õ Ñ ØÞÓÙÑ ØÓ Ô Ð Ó ØÛÒ i¹ó ØôÒ ÙÒ ØÛ ôò ØÛÒ Ó ÓÕ ôò ÒÙ Ñ ØÛÒ x (k+1) x (k), Ô Ø Ò º¾¼µ ÓÔ Ø ÕÓÙÑ x (k+1) i x (k) i = ( k + 1 z 1 λ k z 2 λ k z 3 1 z 1 λ k 1 + z 2 λ k 2 + z 3 ( k 1 À Ô Ö Ô ÒÛ Õ Ö Ø Ó Ò Ñ Û Ü ) ( k + 1 λ k z n n 2 ) λ k z n ( k n 2 ) λ k+1 (n 2) 2 ) λ k (n 2) 2 º¾½µ. (Ax (k) ) i x (k) i ( ) ( k+1 z 1 + z λ2 2 λ + z 3 k λ 1 1 = λ 1. ( ) ( k z 1 + z λ2 2 λ + z 3 k 1 λ 1 1 ) ( λ2 ) ( λ2 λ 1 ) k + + z n λ n 2 1 λ 1 ) k z n λ n 2 1 ( ) k + 1 ( λ2 n 2 ( k n 2 λ 1 ) k+1 (n 2) ) ( λ2 λ 1 ) k (n 2). º¾¾µ Ã Ò Ô ØÓÙ ÖÓÙ ØÛÒ ÖÓ Ñ ØÛÒ ØÓÙ Ö Ñ Ø ØÓÙ Ô ÖÓÒÓÑ Ø ØÓÙ Ð Ñ ØÓ ØÓÙ Ü Ó Ñ ÐÓÙ Ø Ô ØÓÙ Ó ÔÖôØÓÙ ÑÔÓÖÓ Ò Ò Ò ÔØÙÕ Ó Ò Ò ÖÓ Ñ ØÓÙ ÓÔÓÓÙ Ó ÖÓ ÕÓÙÒ Ñ ØÖ Ø ÑÓÖ ck l a k Ñ c Ò Ò Ñ Ø Ø Ö l = 1(1)n 1 a = λ 2 λ 1 < 1º Ô Ó ÙÒ ÖØ x l a x x [1, + ), Ò Ô Ö ÓÖ ÙÒ Õô Ô Ö Û Ñ Ñ ÖÑÓ ØÓÙ Ò Ò ØÓÙ de l Hospital l ÓÖ ÕÓÙÑ Ø lim x + x l a x = lim x + (x l ) (l) lim x + (a x ) (l) = l! log l ( 1 a ) lim x + ax = 0. Ä Û ÙØ Ø Ô Ö Ø Ö º¾¾µ Ò Ñ Û (Ax (k) ) i lim k + x (k) i = λ 1, x (k) i 0, i = 1(1)n. º¾ µ Ë Ñ ôòóùñ Ø Ò ÒØ ØÓÙ Ò Jordan block J 2 Õ Ñ p 1 blocks J m, m = 2(1)p Ø Ñ Ø Ø Ô Ü Ô Ö Ñ Ò Ò Ø Ø Ô ØÓ Ø ÒØ Ò ÕÓÙÑ Ò ÖÓ Ñ ØÛÒ n 1 ÖÛÒ ÔÓÙ Õ ØÞÓÒØ Ñ Ø Ò ÓØ Ñ
68 λ 2 Õ Ñ p 1 ÖÓ Ñ Ø Ò Ñ n m ÖÓÙ ÔÓÙ Õ ØÞÓÒØ Ò Ñ Ø Ò ÓØ Ñ λ m, m = 2(1)p. Ô Ø ÙÒ Õ ÔÖ Ñ Ø ÙØÓ Ñ ÓÐÓÙ ÔÖ Ñ Ø ôò Ö ¹ ÑôÒ ÙÔ Ò ÙÑÞÓÙÑ Ñ Ö ÒÒÓ ÔÓÙ ÕÖ Ñ ÓÙÒ Ø Ò Ò ÐÙ¹ ÔÓÙ ÓÐÓÙ º Ä ÑÑ º º ³ ØÛ α p, p = 1, 2, 3,..., Ñ ÓÐÓÙ ÔÖ Ñ Ø ôò Ö ÑôÒº Ä Ñ Ø Ó ÔÖ Ñ Ø Ö Ñ α Ò ØÓ Ö Ó Ø ÓÐÓÙ ÙØ Ö ¹ ÓÙÑ Ø lim α p = α p Ò Ñ ÒÓ Ò ε > 0 ÙÔ ÖÕ Ò Ù Ö Ñ p 0 := p 0 (ε), ÔÓÙ Ü ÖØ Ø Ô ØÓ ε, Ø ØÓ Ó ô Ø p p 0 ÕÓÙÑ Ø α p α < ε. È Ö Ø Ö º º½º Ø ÙØ Ñ Ò Ø Ø Ð Ð Ø ØÓ Õ Ø ÓÐÓÙ Ø Ô Ò Ô Ô Ö Ñ ÒÓ ÔÐ Ó Ô ÙØ Ò ÓÙÒ ÓÔÓ ¹ ÔÓØ Ô Ö ÓÕ ØÓÙ ÓÖÓÙ Ô Ö ÓÕ ØÓÙ ÓÖÓÙ ÙÔ ÖÕ Ò Ô Ô Ö Ñ ÒÓ Ö Ñ ØÓ Õ ÛÒ Ø ÓÐÓÙ ÔÓÙ Ö Ø ÜÛ Ô ÙØ º ÌÓ Ø ÖÓ Ñ ¹ ÖÓ Ø Ô ÖÓ Ô Ö Ø Ö ÕÖ ÑÓÔÓ Ô Ò Ð ÑÑ Ò Ø ÙÒ Õ º Ä ÑÑ º º ³ ØÛ α (i) p, p = 1, 2, 3,..., i = 1, 2, 3,...,n Ó Ù ÐÒÓÙ ÓÐÓÙ Ó ÓÔÓ ÕÓÙÒ ØÓ Ó Ö Óº Ð lim p α (i) p Ø Ò ÓÐÓÙ = αº Â ÛÖÓ Ñ β p = α (ip) p, p = 1, 2, 3,..., i p {1, 2,...,n},
Ð ØÖÓÒ Ø Ñ ÙÚÐ Ò Ø Ì ÑÙ Ê ÒØ ¹ Ó À Ð Ò ¾ º ÐÓ ÙÙØ ½ Ë Ò ÙÔ Ò ÝÒÒ Ò Ñ Ò Ö À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Å Ù Ö Ø ÐÑØ ¾ ¾º½ ÆÝ Ý Ø Ñ Ù Ö Ø ÐÑØ º º º º º º º º º º º º º º º º
LisätiedotÈÖÓ Ð Ø Ø ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Ø ÅÖ Ø ÐÑ ÈÖÓ Ð Ø Ò Ò ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Å ÓÒ ÖÒÐ Ò Ò Ô Ø ÖÑ Ò Ø Ò Ò ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Ó Ô Ø ÖÑ Ò Ø Ø ÐØ ÙØ ÙØ Ò ÓÐ ÓÒ ØØÓ ¹ Ð º ÂÓ Ò Å Ò Ö Ò Ý
ÈÖÓ Ð Ø Ø Ð ÓÖ ØÑ Ø Î Ñ Ø ÐÐÒ ÔÖÓ Ð Ø Ð ÓÖ ØÑ º ÌÐÐ Ð ÓÖ ØÑ ÖÚ Ø Ò Ø Ø ØÒ ÓÐ Ó ØÙÐÓ Ò ÑÙ Ò Ö Ù ÙØ Òº ÖÓÒ Ô Ø ÖÑ Ò Ñ Ò ÓÒ ØØ ÒÝØ Ø Ö Ø ÐÐ ÖÓ Ú Ò Ð ÒØ ØÓ Ø Ø Ò ÙÙ ÐÐ ÖÚ Ù ÐÐ Ø ÖÚ ØØ º Ä ÓÒ Ö ØØ Ø ØÓ ÒÒ ÝÝ
LisätiedotKuvan piirto. Pelaaja. Maailman päivitys. Syötteen käsittely
ØÙغ Ø Ò ÐÐ Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò È Ð Ó ÐÑÓ ÒØ È Ð Ó ÐÑ Ò Ö ÒÒ ÒØØ ÈÙ ÒØØ ºÔÙ Ç ÐÑ ØÓØ Ò Ò Ø ÐРؽ ؾ Ø È Ð Ó ÐÑ Ò Ô ÖÙ Ö ÒÒ Ì ØÓ ÓÒ Ô Ð Ò ÝØ Ñ Ò ÓÒ Ñ ÐÐ Ó Ø Ò ÙÚ ØØ ÐÐ Ø Ñ ÐÑ Ø ÚÓ ÓÐÐ Ú Ò Ý Ò ÖØ Ò Ò Ð
Lisätiedotp q = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2 + (z 1 z 2 ) 2. x 1 y 1 z 1 x 2 y 2 z 2
º ÅÓÒ ÙÐÓØØ Ø Ö ÒØ Ð Ð ÒØ º½ Â Ø ÙÚÙÙ Ó ØØ Ö Ú Ø Ø Ù Ò ÑÙÙØØÙ Ò ÙÒ Ø Ó Ò Ö ÒØ Ð Ð ÒØ ÐÑÔ Ø Ð ÓÒ Ò Ô Ò ÙÒ Ø Ó T(x, y, z.t) ÄÑÔ Ø Ð Ö ÒØØ ÐÑÓ ØØ Ñ Ò ÙÙÒØ Ò ÐÑÔ Ø Ð Ú ÚÓ Ñ ÑÑ Ò Ù Ò Ð ÐÑÔ Ø Ð Ö ÒØØ ½½ ÃÓÓÖ
LisätiedotÌ Ð Ú Ø ÚÙÙ ÐÙÓ Ø Á ÅÖ Ø ÐÑ ÇÐ ÓÓÒ : Æ Ê ÙÒ Ø Óº Ì Ð Ú Ø ÚÙÙ ÐÙÓ Ø ËÈ ( (Ò)) ÆËÈ ( (Ò)) ÑÖ Ø ÐÐÒ ÙÖ Ú Ø ËÈ ( (Ò)) ÓÒ Ò Ò ÐØ Ò Ä ÓÙ Ó ÓØ ÚÓ Ò ØÙÒÒ Ø Ø
Ì Ð Ú Ø ÚÙÙ Á ÅÖ Ø ÐÑ ÇÐ ÓÓÒ Å Ø ÖÑ Ò Ø Ò Ò ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Ó ÔÝ ØÝÝ ÐÐ Ý ØØ Ðк Å Ò Ø Ð Ú Ø ÚÙÙ ÓÒ ÙÒ Ø Ó : Æ Æ Ñ (Ò) ÓÒ Å Ò Ð Ñ Ò ÑÙ Ø Ô Ó Ò Ñ Ñ ÐÙ ÙÑÖ ÙÒ Ø Ö Ø ÐÐ Ò Ò Ò Ô ØÙ Ý ØØ Øº ÂÓ Å Ò Ø Ð Ú Ø ÑÙ ÓÒ
LisätiedotSymmetriatasot. y x. Lämmittimet
Ì Ò ÐÐ Ò Ò ÓÖ ÓÙÐÙ ¹ÖÝ ÑĐ» ËÓÚ ÐÐ ØÙÒ Ø ÖÑÓ ÝÒ Ñ Ò Ð ÓÖ ØÓÖ Ó ÅÍÁËÌÁÇ ÆÓ»Ì ÊÅǹ ¹¾¼¼¼ ÔÚÑ ½¼º Ñ Ð ÙÙØ ¾¼¼¼ ÇÌËÁÃÃÇ Ø Ú ÒعØÙÐÓ ÐÑ Ð ØØ Ò ¹Ñ ÐÐ ÒÒÙ Ò ÖØ Ø ØÙØ ØÙÐÓ ÐÑ Ð Ø Ñ ÐÐ Ø Ä ÌÁ ̵ ÂÙ Ú Ó Ð ¹ÂÙÙ Ð
LisätiedotÐ ØÖÓÒ Ò Ú Ø Ò Ô ÓÒ Ö Ø Ð ØÖÓÒ Ò Ò Ú Ð ÙÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ ÖÑ Ò ØÙØ ÑÙ ¹ Ð ØÓ ½ ¼¹ÐÙÚÙÐÐ Ù Ø Ó ÐÙ Ð ØÖÓÒ Ô Ð ºËº ÓÙ Ð Ø ½ ¾ Ñ Ö Ú Ø Ö Ò Ñ Ò ÓÒ Ò ÚÙÓÖÓÚ ÙØÙ Ø
ØÙغ Ø Ò ÐÐ Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò È Ð Ó ÐÑÓ ÒØ È Ð Ó ÐÑÓ ÒÒ Ò ØÓÖ ÒØØ ÈÙ ÒØØ ºÔÙ Ç ÐÑ ØÓØ Ò Ð ØÖÓÒ Ò Ú Ø Ò Ô ÓÒ Ö Ø Ð ØÖÓÒ Ò Ò Ú Ð ÙÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ ÖÑ Ò ØÙØ ÑÙ ¹ Ð ØÓ ½ ¼¹ÐÙÚÙÐÐ Ù Ø Ó ÐÙ Ð ØÖÓÒ Ô Ð ºËº ÓÙ Ð
LisätiedotÍÐ ÓØ ÐÓ Ò Ô ÖØÓ ÃÙÒ Ô ÖÖ ØÒ Ð Ó ÙÐ ÓÒ ÝÑ ÓÒ Ò ØØ Ú Ñ ÐÐ Ñ ØÓ Ø ØÝÝÔ ÐÐ Ø Ú Ò Ð Ò ÙÙÖ ÓÚ ÐØÙ Ò Ö Ð Ò Ô ÖØÑ Ò Ñº Ó Ñ ÐÐ ÒÒ Ø Ò ½¼ Ü ½¼ Ñ ÐÙ ½¼ Ñ Ø Ö Ù
ØÙغ Ø Ò ÐÐ Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò È Ð Ó ÐÑÓ ÒØ ÍÐ ÓØ ÐÓ Ò Ô ÖØÓ ÒØØ ÈÙ ÒØØ ºÔÙ Ç ÐÑ ØÓØ Ò ÍÐ ÓØ ÐÓ Ò Ô ÖØÓ ÃÙÒ Ô ÖÖ ØÒ Ð Ó ÙÐ ÓÒ ÝÑ ÓÒ Ò ØØ Ú Ñ ÐÐ Ñ ØÓ Ø ØÝÝÔ ÐÐ Ø Ú Ò Ð Ò ÙÙÖ ÓÚ ÐØÙ Ò Ö Ð Ò Ô ÖØÑ Ò Ñº
Lisätiedotel. konsentraatio p puolella : n p = N c e (E cp E F ) el. konsentraatio n puolella : n n = N c e (E cn E F ) n n n p = e (Ecp Ecn) V 0 = kt q ln (
ÈÙÓÐ Ó ÓÑÔÓÒ ÒØØ Ò Ô ÖÙ Ø Ø À Ì Øº ½º È ÖÖ ÔÒ¹ÔÙÓÐ Ó Ð ØÓ Ò Ò Ö ÚÝ Ñ ÐÐ ÙÒ ÙÐ Ó Ò Ò ÒØØ ÓÒ ÒÓÐÐ º ÂÓ ÓÒØ Ø ÔÓØ ÒØ Ð Ò V 0 Ý ØÐ µ ÃÙÚ Ò ÚÙÐÐ µ Ù ÓÚ ÖØ Ý ØÐ Ø Ô¹ Ò¹ØÝÝÔ Ø Ò Ñ Ø Ö Ð Ò Ò Ö Ø ÓØ Ô¹ÔÙÓÐ ÐÐ ÙÙÖ
LisätiedotÀ Ö Ö Ð Ù Ø ÅÖ Ø ÐÑ ÙÒ Ø Ó : Æ Æ Ñ (Ò) = O(ÐÓ Ò) ÓÒ Ø Ð ÓÒ ØÖÙÓ ØÙÚ Ó ÐÐ Ò Ò ÙÒ Ø Ó Ó ÙÚ Ñ Ö ÓÒÓÒ ½ Ò (Ò) Ò ÒÖ ØÝ ÐÐ ÓÒ Ð ØØ Ú Ø Ð O( (Ò))º Ä Ù Å Ø Ø
Ì ÔÙÑ ØØÓÑÙÙ Ì Ó Ø ÐÐÒ ÓÒ ÐÑ ÓØ ÓÚ Ø Ô Ö ØØ Ö Ø Ú ÑÙØØ Ó Ò Ö Ø Ù Ú Ø Ò Ò Ô Ð ÓÒ Ø Ø Ð ØØ Ö Ø Ù ÓÐ ÝØÒÒ ÐÚÓÐÐ Ò Òº Í ÑÑ Ø ÓÐ ØØ Ú Ø ØØ ÆȹØÝ ÐÐ Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ø ÓÚ Ø Ø ÔÙÑ ØØÓÑ ÒØÖ Ø Ð µ ÑÙØØ ØØ ÓÐ ØÓ Ø ØØÙº
LisätiedotÁÒ Ù Ø Ú Ø ØÝÝÔ Ø º Ñ Ö ÒÖ ÔÙÙÒ ÑÖ Ø ÐÑ Ú ØØ Ø Ò ÒÖ ÔÙÙ ÓÒ Ó Ó ØÝ Ø ÓÐÑÙ Ó ÓÒ Ð Ó ÓÒ Ú Ò Ó Ð ÔÙÙ ÓÚ Ø ÑÝ ÒÖ ÔÙ Ø º Ë ÚÓ Ò Ö Ó ØØ ÙÓÖ Ò Ø Ò ÖÝÌÖ ÑÔØÝ Æ
ÁÒ Ù Ø Ú Ø ØÝÝÔ Ø º º ÁÒ Ù Ø Ú Ø ØÝÝÔ Ø Ø ¹ÑÖ ØØ ÐÝ º¾µ ÚÓ Ú Ø Ø ÑÝ Ø Ò ÑÖ Ø ÐØÚ Æ Ñ ÒØÝ ÑÝ ³ ³¹Ñ Ö Ò Ó ÐÐ ÔÙÓÐ ÐÐ º Ë Ò ÓÐ ÐÐ ØØÝ ØÝÔ ¹ÐÝ ÒØ º½µº ¾ ÁÒ Ù Ø Ú Ø ØÝÝÔ Ø º Ñ Ö ÒÖ ÔÙÙÒ ÑÖ Ø ÐÑ Ú ØØ Ø Ò ÒÖ
LisätiedotE d f = 1 ε 0. E d r = t A. E d f
Ö ÍÒ Ú Ö ØØ ÖÐ Ò Ö È Ý Ë Ñ Ò Ö ¾¼½ ¼ Ë ËË ¾¼¼ ÜÔ Ö Ñ ÒØ ÐÐ Ä Ö Ñ Ò Ö Æ ØÐ Ò Ö ÇÔØ ÙÒ ÍÐØÖ ÙÖÞÞ Ø Ô ØÖÓ ÓÔ ÒÛ Ò ÙÒ Ò ÓÐÓ Ò ËÝ Ø Ñ Ò ÓÞ ÒØ ÈÖÓ º Öº Ã Ö Ø Ò À ÝÒ Ï ÐÛ Ö ÙÒ ÚÓÒ Å Ø Ö Ñ Ø Ð ØÖÓÑ Ò Ø Ò Ð ÖÒ
LisätiedotT 2. f T (x)e i2π k T x dx. c k e i2π k T x = x dx. c k e i2π k T x = k Z. f T (x) =
º ÓÙÖÖ¹ÑÙÙÒÒÓ ÓÙÖÖ Ò ÒØÖÐ Ð Ù ¹ ÓÐÐ Ò ÙÒ Ø ÓÒ f(x) PC(R) º½ ÓÙÖÖ¹ Ò ÐÝÝ º ÒÐ Òµ ÅÖ Ø ÐÐÒ T ¹ ÓÐÐ Ò Ò ÙÒ Ø Ó f T (x) = f(x), T 2 < x < T 2, ÃÓÑÔÐ Ò Ò ÓÙÖÖ¹ÖÖÓ Ò c k = 1 T T 2 T 2 f T (x)e i2π k T x dx.
LisätiedotË ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ç Å ÓÐ ÓØ ØÓ ÒØ Ø Ò Ö ¾ ¾º½ ÇÅ ÓÐ ÓÑ ÐÐ Ç Ä ÓÐ ÓÒÑÖ ØÝ Ð º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º¾ ÇÉÄ ÓÐ Ó Ý ÐÝ Ð º º º º º º º º º º º º
ÝÚ ÝÑ Ô Ú ÖÚÓ Ò ÖÚÓ Ø Ð ÇÐ ÓÔÓ Ø Ø ØÓÑ ÐÐ Ø Ø ØÓ ÒÒ Ò ÐÐ ÒØ Ö Ø ÐÑ ÖØÓ ÖÐÙÒ À Ð Ò ¾ º½¼º¾¼¼ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ç Å ÓÐ ÓØ ØÓ ÒØ Ø Ò Ö ¾ ¾º½ ÇÅ ÓÐ ÓÑ ÐÐ Ç Ä ÓÐ ÓÒÑÖ
LisätiedotM Pv + q = 0, M = EIκ = EIv, (EIv ) + Pv = q. v(x) = Asin kx + B cos kx + Cx + D + v p. P kr = π2 EI L n
ÄÙ Ù ½ ËØ Ð Ù Ú Ó Ó ÐÑ ½º½ ÈÙÖ Ø ØØÙ Ø ÚÙØ ØØÙ ÙÚ Ì Ô ÒÓ ÓØ Q v + q =, M = Q, ½º½µ ÑÑÓ ÐÐ ÙÚ ÐÐ M v + q =, M = EIκ = EIv, (EIv ) + v = q. ½º¾µ ½º µ ½º µ EI = Ú Ó ÆÙÖ Ù ÚÓ Ñ v (4) + k v = q EI, k = EI,
Lisätiedotd 00 = 0, d i0 = i, 1 i m, d 0j
¾º¾º ÁÌÇÁÆÌÁ Ì ÁË Æ Ä Ëà ÅÁÆ Æ ¾ º ÇÔ Ö Ø Ó ÓÒÓ ÌÌÈÈÈÌÄÌÅÈÈ Ò Ù Ø¹Öݹ¹ Ò¹¹¹Ø Ö Ø º ÇÔ Ö Ø Ó Ò ÐÙ ØØ ÐÓ Ò Ù ØÖÝ d ǫ ÒØ ÖÝ ǫ e ÒÙ ØÖÝ u ǫ ÒØ Ö Ý y s Ò ØÖÝ s ǫ ÒØ Ö ǫ t ÒØÖÝ ǫ e ÒØ Ö Ø ¾º¾ ØÓ ÒØ Ø ÝÝ Ò Ð
LisätiedotÅ Ø Ñ ØØ ¹ÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò Ò Ì Ö ØØ Ö ÙØ ÓÖ Á Å Ö Ò Ò ÌÝ Ò Ò Ñ Ö Ø Ø Ø Ø Ì Ø Ì ØÓ Ò ØØ ÝØ Ø Ò ØÓ Ò ËÖ ÔØ ¹Ô Ó Ñ ÇÔÔ Ò ÄÖÓÑÒ ËÙ Ø Ì ØÓ Ò ØØ ÝØ ÌÝ Ò Ö Ø Ø ÖØ
Ò ËÖ ÔØ ¹Ô Ó Ñ Á Å Ö Ò Ò À Ò ½½º º¾¼¼ Ç Ñ ØÓØÙÓØ ÒØÓ Ø ØÓ ÓÒ Ô Ø ¹ Ñ Ò Ö À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÝØ Ø Ò ØÓ Å Ø Ñ ØØ ¹ÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò Ò Ì Ö ØØ Ö ÙØ ÓÖ Á Å Ö Ò Ò ÌÝ Ò Ò Ñ Ö Ø Ø Ø Ø Ì Ø Ì ØÓ Ò ØØ ÝØ Ø Ò
LisätiedotÄ ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙ٠̺ à ÖÚ º º¾¼¼ ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ º º¾¼¼ ½»
Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙ٠̺ à ÖÚ º º¾¼¼ ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ º º¾¼¼ ½» Î Ø ÚÙÙ Ò Ñ ØØ Ñ Ò Ò Ì Ö Ø ÐÐ Ò ÓØ Ò ÐØ º Å Ø Ò Ô Ð ÓÒ ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ ÙÐÙØØ ØÙÒÒ Ø Ò Ò Á Ä Ø Ò Ð Ò ØÙÒÒ Ø Ú ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Ô Ù Ó Ð Ö Øصº Ä Ø Ò
Lisätiedot{(x, y) x {1,2,3,... }, y {2,4,6,...,10}, x < y}.
Ä Ø ÓÓ Ø Ø º º Ä Ø ÓÓ Ø Ø Å Ø Ñ Ø ÓØ ÑÖ ØØ Ð ÚØ Ù Ò ÓÙ Ó ÑÔÐ ØØ ÐÐ ÒÓØ Ø ÓÐÐ Ò ÙØ Ò {(x, y) x {1,2,3,... }, y {2,4,6,...,10}, x < y}. À ÐÐ Ø Ö Ó Ú Ø Ú Ò ÒÓØ Ø ÓÒ Ð ØÓ ÐÐ Ò Ú ØÓ ØÓ Ò ÝÒØ Ò Ø Ú ÐÐ ÐÐ Ð Ø
LisätiedotÄ ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙ٠̺ à ÖÚ ¾º º¾¼¼ ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ ¾º º¾¼¼ ½»
Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙ٠̺ à ÖÚ ¾º º¾¼¼ ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ ¾º º¾¼¼ ½» ÃÙÖ Ò ÐØ Ø ÐØÙ ÐØ ½ ¾ Î Ø ÚÙÙ Ò Ñ ØØ Ñ Ò Ò ÄÙÓ È ÄÙÓ ÆÈ ÆȹØÝ ÐÐ ÝÝ ÆȹØÝ ÐÐ ÔÖÓ Ð ÑÓ Ì Ð Ú Ø ÚÙÙ ÄÙÓ ÈËÈ Ë Ú Ø Ò Ð Ù Ñ Ö ÈËÈ ¹ØÝ ÐÐ Ø
LisätiedotË Ò Ö Û Ã Ò ½½ ¼¾ ÇÒ Ö Ä ÓØ ¼ ¼ ¼ ÔÖ Ð ¾¼¼¼
Ë Ò Ö Û Ã Ò ½½ ¼¾ ÇÒ Ö Ä ÓØ ¼ ¼ ¼ ÔÖ Ð ¾¼¼¼ ÓÒØ ÒØ ½ Í Ö ÓÙÑ ÒØ Ø ÓÒ ½º½ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º¾ ÓÑÑ Ò Ä Ò ÇÔØ ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
LisätiedotË ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ç ÐÑ ØÓ Ò ÑÓ ÙÐ Ö Ó ÒØ ½ ÄÔ Ð Ú Ø ÓÑ Ò ÙÙ Ø Ô Ø Ó ÐÑÓ ÒØ Ô Ø º½ Ä ØÓ Ó Ø Ð ØÓ Ó Ø ÑÖ ØØ ÐÝØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾
Ô Ø Ó ÐÑÓ ÒØ ÐÔ Ð Ú Ò ÓÑ Ò ÙÙ Ò ÑÓ ÙÐ ¹ Ö Ó ÒØ Ì ÑÓ ÌÙÓÑ Ò Ò À Ð Ò ½º º¾¼¼ Ë Ñ Ò Ö Ø ÐÑ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ç ÐÑ ØÓ Ò ÑÓ ÙÐ Ö Ó ÒØ ½ ÄÔ Ð Ú Ø ÓÑ Ò ÙÙ Ø Ô Ø Ó ÐÑÓ
Lisätiedoton ØØÔ»» ÙÖ¹Û ºÓÖ Trends in Information Processing, Dombai, Russian Federation, May 16 20, 2017, published at
Ì È͹ÇÖ ÒØ ÌÖ Ê ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ ÓÒ Ø Å Ø Ó Ó Ò Ò Ø Ê Ñ Ò Ö ÎÐ Ñ Ö ÎÓÖÓÒ Ò ÚкÚÓÖÓÒ ÒÖ ÜÔ Ö ºÓÑ Ò Ö Ý Å Ð ÓÚ Ñ Ð ÓÚÒ ØÙºÖÙ Ð Ý Ë ÓÐ Ú ºÛ ÓÐ Ú Ñ ÐºÓÑ ÐÑ Ö Þ ÖÓÚ ÐÑ Ö º Þ ÖÓÚ Ñ ÐºÖÙ ÆÓÖØ ¹ Ù Ù Ö Ð ÍÒ Ú Ö ØÝ ÁÒ
Lisätiedota b = abº Z Q R C + : N N N, +(m,n) = m + n ( Ð (m,n) m + n), : N N N, (m,n) = m n (= mn) ( Ð (m,n) mn). A B (A,B) A Bº
ÄÙ Ù ÐÙ Ø ÂÙ Ä Ö ÂÓÙÒ È Ö ÓÒ Ò ÄÙ ÐÐ ÌÑ ÑÓÒ Ø Ô ÖÙ ØÙÙ ÂÓÙÒ È Ö Ó Ò ÚÙÓ Ò ¾¼¼ ¾¼¼ ÂÙ Ä Ö Ò ÚÙÓÒÒ ¾¼¼ Ô ØÑ Ò ÄÙ Ù Ð٠ع ÙÖ Ò ÐÙ ÒØÓ Òº ÅÓÒ Ø Ò Ò Ò Ñ Ø ¹ Ö Ð ÓÒ Ø Ö Ó Ø ØØÙ Ú ÓÒ Ñ ØØ ÐÐ ÐÙ ÒØÓ ÙÖ ÐÐ Ð ÑÙ
Lisätiedot1, x 0; 0, x < 0. ε(x) = p i ε(x i).
ËÁË ÄÌ Ö ØØ Ý ÙÐÓØØ ÙÑ ½½½ º½ Ö ØØ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½½ º¾ ÖÒÓÙÐÐ Ò Ó Ø ÒÓÑ ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º ½½ º¾º½  ÙÑ Ò ÝÑÑ ØÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½
LisätiedotÃÙ ÖÓ ÚÙ ÓÔ Ø ØºÒ Ø ½ Ì ÓØ Ò Ù Ú Ö ÚÓÒ Ð Þ Ò Ð Ò ÚÙÒ¹ ÒÙ ¾ ÇÐ ÑÑÓ Ö ÒÒÝ ØÙ Ù ÖÙ ÓÔ ØÙÒ ÙÑ Ø Ö Ù ÐÙ Ý Ø Ò Ú Ö ÚÓÒ Ð Þ Ò Ð Ò Ö Ð Ò Ò Ò Ò ØÙÚ º Ê Ó Ø ØØÙ
½ Ì ÓØ Ò Ù Ú Ö ÚÓÒ Ð Þ Ò Ð Ò ÚÙÒ¹ ÒÙ ¾ ÇÐ ÑÑÓ Ö ÒÒÝ ØÙ Ù ÖÙ ÓÔ ØÙÒ ÙÑ Ø Ö Ù ÐÙ Ý Ø Ò Ú Ö ÚÓÒ Ð Þ Ò Ð Ò Ö Ð Ò Ò Ò Ò ØÙÚ º Ê Ó Ø ØØÙÐÓ Ò Ö ÙÖ Ó Ò ÖÙ ÚÓ ÔÖ ÒØ Ô ÒÒÙ ÓÒ ÓÐÐÙ ØÝ Ô ÐÓ ÖÙ ÑÙ Ý Ò Ö Þ Ø Ù ÚÓ Ø
LisätiedotÄÙ ÙØ ÓÖ Ë Ô Ö ÒØ ÐÐ Ò ÝÑÑ ØÖ Ò Ð Ù Ò ØØ ÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ð Ù Ò Ý Ø Ý Ø ÖÚ Ø Ò Ø ØÓ ÑÓ ÙÐÓ Ö ØÑ Ø Ø Ö ÐÐ Ø ÙÒÒ Ø º Ì ÐÙÚÙ ÐÙÓ Ò Ø Ù Ò Ò ÐÙ Ò ØÖ ÑÔ Ò ØØ Òº Ø
ÃÖÝÔØÓ Ö Ò Ô ÖÙ Ø Ø Ìº à ÖÚ Ë ÔØ Ñ Ö ¾¼¼ ̺ à ÖÚ µ ÃÖÝÔØÓ Ö Ò Ô ÖÙ Ø Ø Ë ÔØ Ñ Ö ¾¼¼ ½» ½½ ÄÙ ÙØ ÓÖ Ë Ô Ö ÒØ ÐÐ Ò ÝÑÑ ØÖ Ò Ð Ù Ò ØØ ÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ð Ù Ò Ý Ø Ý Ø ÖÚ Ø Ò Ø ØÓ ÑÓ ÙÐÓ Ö ØÑ Ø Ø Ö ÐÐ Ø ÙÒÒ Ø º Ì
LisätiedotA B P(A B) = P(A B) P(K) = 4 ( 52 5) =
ËÁË ÄÌ ¾º º½ ÀÝÔ Ö ÓÑ ØÖ Ò Ò ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º ¾º º¾ Ì Ö ØÙ ÓØ ÒØ Ø ÓÐÐ ÙÙ º º º º º º º º º º º º º º ¾º ÇØ ÒØ Ô Ð ÙØØ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º ÒÓÑ ÙÑ º º º
Lisätiedotf(x 1,x 2 ) = f 1 (x 1 )f 2 (x 2 ) x 2 f(x 1,x 2,...,x n ) = f 1 (x 1 )f 2 (x 2 ) f n (x n ) f 1 (x 1 ) = 1 6, ÙÒ x 1 S 1 f 2 (x 2 ) = = 2 x 2
Ú ËÁË ÄÌ ÅÓÒ ÙÐÓØ Ø ÙÑ Ø ½ º½ à ÙÐÓØØ Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º½º½ Ê ÙÒ ÙÑ Ø ÓÐÐ Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º ½ º½º¾ ÓÐÐ Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓÒ ÓÑ Ò ÙÙ º º º º º º º º º ½ º½º À Ö Ö Ø Ñ ÐÐ
LisätiedotÈ Ú Ö Ù ÆÈ ÁÁ Ë ÑÓ Ò Ó Ò Ý ÝÑÝ ÚÙØ ØØ Ò ØÝ Ø ÙÒ ËØ Ô Ò ÓÓ Ä ÓÒ Ä Ú Ò ØØ Ð ÚØ ÆȹØÝ ÐÐ ÝÝ Ò ØØ Òº µ º Ù Ø ÙÙØ ¾¼¼ ¾»
È Ú Ö Ù ÆÈ Á à РÐÙÓ Ø È ÆÈ ÒÝØØÚØ ØÝ Ò Ö Ð ÐØ Ë ÐÚ Ø È ÆȺ µ È ÓÒ Ð ÐÙÓ Ó Ð ÓÒ ÙÙÐÙÑ Ò Ò Ð Ò ÚÓ Ò Ö Ø Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ø ÖÑ Ò Ø ÐÐ ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ ÐÐ º µ ÆÈ ÓÒ Ð ÐÙÓ Ó Ð ÓÒ ÙÙÐÙÑ Ò Ò Ð Ò ÚÓ Ò Ú Ö Ó ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ð ÓÒ
Lisätiedot:: γ1. g 1. :: γ2. g 2
ÌÝÝÔÔ Ú ØØ Ø ¹ Ý ÝÑÝ Ø º º¾ Ò ÑÙÙØØÙ Ò Ý ÝÑÝ Ð Ø x g Ò e? :: α Ö Ø Ø Ò ÓÐ ÐÐ Ø ÑÓ Ò Ô Ö Ñ ØÖ ØØ ÑÒ ÙÒ Ø ÓÒ ÑÙØØ À ÐÐ ÝÐ Ø Ò ÐÐ ÑÙÙØØÙ Ó ÐÐ ÐÑ ÒØÙ ØÝÝÔÔ ÐÙÓ Ð Ó º Ë Ø ÑÙØ ÑÑ Ò ÑÓÒ Ý ÝÑÝ Ð Ø p g Ò e? ::
Lisätiedot½µ newstate := 0. µ state := goto[state,p i [j]] µ state := 0;j := 0. µ j := j + 1 µ newstate := newstate + 1
½º º Àǹ ÇÊ ËÁ ù Ä ÇÊÁÌÅÁ ½ à ÖÔ Ê Ò Ø Ö Ø Ð Ú Ø ÑÝ ÙÒ Ú Ö Ð Ò ÙØÙ Ò Ô ÖÙ ØÙÚ Ú Ö Ó Ø Ð ÓÖ ØÑ Ø Î Ð Ø Ò q ØÙÒÒ Ø ÐÙ Ù ÓÙ Ó Ø Qº Q Ò ÐÙÚÙØ ÚÓ Ú Ø ÓÐÐ Ô Ò Ò Ò Ò Ø ÖÚ Ø ÓÐÐ Ð ÙÐÙ Ù º ÎÖÒ Ø ÑÝ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ
LisätiedotÀ ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç ØÓ ÙÐØ Ø»Ë Ø ÓÒ ÙÐØÝ Ä ØÓ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ô ÖØÑ ÒØ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ì Ö
ÝÚ ÝÑ Ô Ú ÖÚÓ Ò ÖÚÓ Ø Ð Ä Ù ÓÑÔÓÒ ÒØ Ø Ã Ö Ì ÑÓÒ Ò À Ð Ò º º¾¼¼ Ç ÐÑ ØÓØÙÓØ ÒØÓ Ø ØÓ ÓÒ Ô Ð Ø ¹ Ñ Ò Ö À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ
Lisätiedotx 1 x 2 x n u 1 + v 1 u 2 + v 2 u n + v n λu 1 λu 2 λu n
ÇÈÌÁÅÇÁÆÆÁÆ È ÊÍËÌ Ì Ã Ó ÊÙÓØ Ð Ò Ò ¾ º ÝÝ ÙÙØ ¾¼¼ ¾ ÂÓ ÒØÓ ÃÙÖ Ò Ø ÚÓ ØØ Ò ÓÒ ØÙØÙ ØÙØØ Ø Ú ÐÐ ÑÔ Ò ÓÔØ ÑÓ ÒØ ¹ Ð ÓÖ ØÑ Ò Ò Ò ÝØØ Ò ÓÚ ÐÐÙØÙ º ÃÙÖ Ñ Ø Ö Ð ÒØÙÙ Ò Ð Ò Ö Ó Òº ÐÙ ÐÝ Ý Ø ÖÖ Ø Ò Ñ ØÖ Ð Ö Ø
LisätiedotABTEKNILLINEN KORKEAKOULU TEKNISKA HÖGSKOLAN HELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY
ÆÖÒÒ ÂÖÓ ÓÖÓÙÐÙ ÌÒÐÐÒÒ ABTEKNILLINEN KORKEAKOULU TEKNISKA HÖGSKOLAN HELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY ÔÖÓÖ¹ ÔÓ ØÖÓÖ ¹ÚÖÒÐÝÝ ÐØØÑÐÐÒ ÐÑÒØØÑÒØÐÑÐÐ ÄØÓ ÔÖÙÖ ÓÖ º½½º¾¼¼ ÅØÑØÒ ÐØÓ Ë ÐØ ½ ÂÓÒØÓ ¾ ÑÐÐÒÒÙ ÄØØÖÒØÒ
LisätiedotF n (a) = 1 n { i : 1 i n, x i a }, P n (a, b) = F n (b) F n (a). P n (a, b) = 1 n { i : 1 i n, a < x i b }.
Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ½º½ ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ø Ð ØÓØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º¾ À Ú ØÙØ Ö Ú Ò Ø ÑÔ Ö Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º º º ½ ½º ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ñ ÐÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º º½
LisätiedotF n (a) = 1 n {i : 1 i n, x i a}, P n (a,b) = F n (b) F n (a). P n (a,b) = 1 n {i : 1 i n, a < x i b}.
Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ½º½ ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ø Ð ØÓØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º¾ À Ú ØÙØ Ö Ú Ò Ø ÑÔ Ö Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º º º ½ ½º ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ñ ÐÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º º½
LisätiedotÂÓ ÒØÓ ½ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ ÓÖ Ø ÒÒÓ ØÙÒ ÐÐ ÙÖ ØØ Ð Ö Ð Ø Ð ÒØ Ñ ÐÐ º ØÝ Ó Ø ÚÙÙØ Ø Òºµ Ç ÐÑÓ ÒÒ Ø ÒÒÓ ØÙÒ ÐÐ ØØ Ð Ö Ð Ø Ó ÐÑÓ ÒØ ¹ Ó ÐÑ Ò ÙÙÒÒ ØØ ÐÙØ Ô º
ÂÓ ÒØÓ ½ ½ ÂÓ ÒØÓ ÃÙÖ ÐÐ ØÙØÙ ØÙØ Ò Ô ÖÙ Ø Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ð Ø Ó ÐÑÓ ÒÒ Ø Ö ØÝ Ø Ñ Ø Ò ÖÓ ØÙØÙ Ø Ø Ð Ô ÖÙ Ø Ø Ó ÐÑÓ ÒÒ Ø Ó ÐÑÓ ÒØ Ð Ø À ÐÐ ÓÐÐ ÓÒ Ô Ó Ó ÐÑÓ ÙÒ Ø ÓÒ Ð Ø º ½ ÂÓ ÒØÓ ½ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ ÓÖ Ø ÒÒÓ ØÙÒ
Lisätiedotλ (i,j) (i 1,j) = µ R j, i = 1,... N B, j = 0,... N R λ (i,j) (i,j 1) = µ B i, i = 0,... N B, j = 1,... N R λ (i,j) (k,l) = 0, muulloin.
Šع¾º½¼ ËÓÚ ÐÐ ØÙÒ Ñ Ø Ñ Ø Ò Ö Ó ØÝ Ø ¾¼¼ ¹¼¾¹½¾ Ì Ø ÐÙÒ Ñ ÐÐ ÒÒÙ Ø Å Ö ÓÚ Ò Ø ÙÐÐ Ì Ò ÐÐ Ò Ò ÓÖ ÓÙÐÙ Ì Ò ÐÐ Ò Ý Ò Ñ Ø Ñ Ø Ò Ó ØÓ ËÝ Ø Ñ Ò ÐÝÝ Ò Ð ÓÖ ØÓÖ Ó Ä ÙÖ ÂÙ Ò Ã Ò ¼¼ È Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ì Ø ÐÙÑ
LisätiedotP F [L θ U] P F [L θ U] 1 α, 0 < α < 1,
ËÁË ÄÌ º º½ º º¾ º º º º Ú Å Ö ÓÚ Ò Ì Ý Ú Ò ÔÝ ØÐ Ø ÙÙÖØ Ò ÐÙ Ù¹ Ò Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ Â Ò Ò Ò ÔÝ ØÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ËØÓ Ø Ò Ò ÙÔÔ Ò Ñ Ò
Lisätiedotq(x) = T n (x, x 0 ) p(x) =
ÎÁÁ Ì ÝÐÓÖ Ò Ð Ù ÎÁÁ Ì ÝÐÓÖ Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ø Ì ÝÐÓÖ Ò Ð Ù Ì ÐÙÚÙ Ø Ö Ø ÐÐ Ò ÙÒ Ø Ó Ø ÓØ ÓÚ Ø ÒÒ ØÙÒ Ô Ø Ò x 0 ÝÑÔÖ ¹ Ø Ö ØØÚÒ Ð Ø Ð Ö ØØÚÒ ÑÓÒØ ÖØ Ø ÙÚ Ø µ Ö ÚÓ ØÙÚ ÅÖ Ø ÐÑ ÎÁÁ ½ ÙÒ Ø ÓÒ f : D f R D f R Ó ÓÒ
LisätiedotÁÁ Ì Ö Ø Ó ÌÙÖÙÒ Ò Ì Ö Ø ÝÚ ÝØØÝ ÄÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò ÝÑÔÖ Ø Ø Ò Ò Ø ÙÒÒ Ò Ø ÙÒØ Ò ÙÚÓ ØÓÒ Ó ÓÙ ½ º¼ º¾¼¼
Å Ð Ë Ú Ð ÂÓ ÒØÓ Ð Ø ÓÖ Òº ØÖ ÙØ Ú Ø Ð Ø ÔÐÓÑ ØÝ ÁÁ Ì Ö Ø Ó ÌÙÖÙÒ Ò Ì Ö Ø ÝÚ ÝØØÝ ÄÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò ÝÑÔÖ Ø Ø Ò Ò Ø ÙÒÒ Ò Ø ÙÒØ Ò ÙÚÓ ØÓÒ Ó ÓÙ ½ º¼ º¾¼¼ ÁÁÁ ÌÁÁÎÁËÌ ÄÅ Ì ÅÈ Ê Æ Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì Ò ¹ ÐÙÓÒÒÓÒØ
LisätiedotÂÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ò Ö ØÖÙ ØÙÙÖ Ø ÇÒ ØÖ Ý Ø ØÓÑ Ò ÙÐ Ò Ò Ú Ò Ò ØÓ ÐÐ Ò Ò ÐØ ÐÙÓØ ØØ Ú Ø ØÓ Ò º ÃÓ Ò Ð Ö ÓÒ ½ Ò ÑÑ Ò ÓØØ ÒÙØ Ú ÖÑ ÒØ Ø Ó ÓÒ ÙÐ Ò Ò Ú Ò Ò ÐØ Ð
ÌÁ ÌÇÌÍÊÎ ÇË ÁÁÁ ÂÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ò Ö ØÖÙ ØÙÙÖ Ì ÑÓ Ã ÖÚ ¾º½½º¾¼¼ Ì ÑÓ Ã ÖÚ µ ÌÁ ÌÇÌÍÊÎ ÇË ÁÁÁ ÂÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ò Ö ØÖÙ ØÙÙÖ ¾º½½º¾¼¼ ½» ÂÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ò Ö ØÖÙ ØÙÙÖ Ø ÇÒ ØÖ Ý Ø ØÓÑ Ò ÙÐ Ò Ò Ú Ò Ò ØÓ ÐÐ Ò Ò ÐØ ÐÙÓØ
LisätiedotÌ ØÓØÙÖÚ Ò ÓØØ ÐÙØ Ì ØÓØÙÖÚ ÓÒ Ð º Ë ÙÖ Ú Ð Ø ÓÒ ÐÙ Ø ÐØÙ Ø ØÓØÙÖÚ Ò Ö Ó ¹ ÐÙ Ø º Â ÓØØ ÐÙ ÓÒ Ñ Ð Ó ÝÐ Ò Ò Ø ØÒ ÝÐ Ø ØÓØÙÖÚ Ò ÓÔÔ Ö¹ Ó º À ÐÐ ÒÒÓÐÐ Ò
Ì ØÓØÙÖÚ Ò ÓØØ ÐÙØ Ì ØÓØÙÖÚ ÓÒ Ð º Ë ÙÖ Ú Ð Ø ÓÒ ÐÙ Ø ÐØÙ Ø ØÓØÙÖÚ Ò Ö Ó ¹ ÐÙ Ø º Â ÓØØ ÐÙ ÓÒ Ñ Ð Ó ÝÐ Ò Ò Ø ØÒ ÝÐ Ø ØÓØÙÖÚ Ò ÓÔÔ Ö¹ Ó º À ÐÐ ÒÒÓÐÐ Ò Ò ØÙÖÚ ÐÐ ÙÙ ØØ Ò ØÓ Ñ ÒÔ Ø Ø Ó ÐÐ ÑÖØÒ ÓÖ ¹ Ò Ø Ó
Lisätiedotx = [ x 1 x 2 x n (x i K) x = K (n) = {(x 1, x 2,...,x n ) : x i K} e 1 = (1, 0,..., 0) Ø, e 2 = (0, 1,..., 0) Ø,..., e n = (0, 0,...
¼¼ Ë Å ØÖ Ø ÓÖ Ì ÖÓ Î Ò ÙÓ Ù ¾º ØÓÙ Ó ÙÙØ ¾¼¼ Ë ÐØ ½ Ä Ò Ö Ð Ö ½º½ Å Ö ÒØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º¾ È ÖÙ ÓÑ Ò ÙÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º Å
LisätiedotÈ ÌÀÇƹÇÀ ÄÅÇÁÆÆÁÆ ËÇÎ ÄÄÍÃËÁ Å ÌÊÁÁËÁÄ Ëà ÆÌ Æ ÌÁÄ ËÌÇÌÁ Ì Ë Æ Â ÆÍÅ ÊÁË Æ Å Ì Å ÌÁÁÃÃ Æ ÄÍÃÁÇÄ ÁËÁÄÄ Ì Ò Ï ÐÐ Ö ¹Ä Ò ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Å ÖÖ ÙÙ ¾¼¼ Å Ì Å ÌÁÁÃ Æ Ä ÁÌÇË ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å
LisätiedotA c t a U n i v e r s i t a t i s T a m p e r e n s i s 1061
JORMA JOUTSENLAHTI Lukiolaisen tehtäväorientoituneen matemaattisen ajattelun piirteitä 1990-luvun pitkän matematiikan opiskelijoiden matemaattisen osaamisen ja uskomusten ilmentämänä AKATEEMINEN VÄITÖSKIRJA
Lisätiedot2x1 + x 2 = 1 x 1 + x 2 = 3. x1 = 2 x 2 = 5. 2 ( 2)+5 = = 3. 5x1 x 2 = 1 10x 1 2x 2 = 2. ax1 +bx 2 = e cx 1 +dx 2 = f
Ä Ò Ö Ð Ö Á ÇÙÐÙÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ ØØ Ø Ò Ø Ø Ò Ð ØÓ ¾¼½½ ÂÖÚ ÒÔ Ã Ö Ó ØØ ÒÙØ ÌÙÙÐ Ê Ô ØØ ¾ ½ Ä Ò Ö Ò Ò Ý ØÐ ÖÝ Ñ ½½ Ñ Ö µ Ê Ø Ý ØÐ 5x = 7 Ã ÖÖÓØ Ò Ý ØÐ ÔÙÓÐ ØØ Ò ÐÙÚÙÐÐ 5 1 ÓÐÐÓ Ò Ò 5 1 5x = 5 1 7 Ð x =
LisätiedotÌ ØÓØÙÖÚ Ò ÓØØ ÐÙØ Á Ì ØÓØÙÖÚ ÓÒ Ð º Ë ÙÖ Ú Ð Ø ÓÒ ÐÙ Ø ÐØÙ Ø ØÓØÙÖÚ Ò Ö Ó ¹ ÐÙ Ø º Â ÓØØ ÐÙ ÓÒ Ñ Ð Ó ÝÐ Ò Ò Ø ØÒ ÝÐ Ø ØÓØÙÖÚ Ò ÓÔÔ Ö Ó º À ÐÐ ÒÒÓÐÐ Ò
ÌÁ ÌÇÌÍÊÎ Ó Á ̺ à ÖÚ ËÝÝ ÙÙ ¾¼¼ ̺ à ÖÚ µ ÌÁ ÌÇÌÍÊÎ Ó Á ËÝÝ ÙÙ ¾¼¼ ½» ½ Ì ØÓØÙÖÚ Ò ÓØØ ÐÙØ Á Ì ØÓØÙÖÚ ÓÒ Ð º Ë ÙÖ Ú Ð Ø ÓÒ ÐÙ Ø ÐØÙ Ø ØÓØÙÖÚ Ò Ö Ó ¹ ÐÙ Ø º  ÓØØ ÐÙ ÓÒ Ñ Ð Ó ÝÐ Ò Ò Ø ØÒ ÝÐ Ø ØÓØÙÖÚ Ò
LisätiedotÁÁ ÌÁÁÎÁËÌ ÄÅ Ì ÅÈ Ê Æ Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì Ò ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò ÓÙÐÙØÙ Ó ÐÑ ÄÌÁÇ ËÍÎÁ È Ö ÒÑ ÐÐ ¾¼¼ ¾¼¼ Ø Ô ØÙÒ Ò Ð ÒÒ ÓÒÒ ØØÓÑÙÙ ¹ Ò Ò ÐÝ Ó ÒØ Ý Ú
ËÍÎÁ ÄÌÁÇ ÈÁÊÃ ÆÅ ÄÄ ¾¼¼ ¾¼¼ Ì È ÀÌÍÆ Á Æ ÄÁÁÃ ÆÆ ¹ ÇÆÆ ÌÌÇÅÍÍÃËÁ Æ Æ Ä ËÇÁÆÌÁ ËÎ ÊÃÃÇÂ Æ ÎÍÄÄ ÔÐÓÑ ØÝ Ì Ö Ø Ð ÓÔ ØÓÒÐ ØÓÖ Ó ÌÙÖÙÒ Ò Ì Ö Ø ÝÚ ÝØØÝ ÄÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò ÝÑÔÖ Ø Ø Ò Ò Ø ÙÒÒ Ò Ø ÙÒØ Ò ÙÚÓ ØÓÒ Ó ÓÙ
LisätiedotF(x) = P(X x), x R. F(x) = 1º
ËÁË ÄÌ Ö ØØ Ý ÙÐÓØØ ÙÑ ½¼ º½ Ö ØØ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ º¾ ÖÒÓÙÐÐ Ò Ó Ø ÒÓÑ ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ º¾º½  ÙÑ Ò ÝÑÑ ØÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½
Lisätiedot139/ /11034 = 0.58
ÄÙ Ù ÂÓ ÒØÓ Ø Ð ØÓÐÐ Ò ÔØØ ÐÝÝÒ º½ Ì Ð ØÓÐÐ Ò ÓÒ ÐÑ Ò ÐÙÓÒÒ Ì Ð ØÓÐÐ Ò Ñ ÐÐ ÒØ Ñ Ò Ò ÔØØ ÐÝ ØØ Ð Ú ÒØÓ Ò Ú Ø ÐÙ ÔÚ ÖÑÙÙØØ º ÓÐ Ø ØÒ ÐÚ ØØ ØÙÓÐÐ Ø Ø ÚÓ Ò Ø¹ Ø Ñ ØÒ Ø ÑÐÐ Ø Ø Ø Ø ÐРغ Ì Ð ØÓØ Ø Ò ÓÒ ÓÑ
LisätiedotËÁË ÄÌ ¾º º½ ÀÝÔ Ö ÓÑ ØÖ Ò Ò ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º ¾º º¾ Ì Ö ØÙ ÓØ ÒØ Ø ÓÐÐ ÙÙ º º º º º º º º º º º º º º ¾º ÇØ ÒØ Ô Ð ÙØØ Ò º º º º º º º
Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ½º½ ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ø Ð ØÓØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º¾ À Ú ØÙØ Ö Ú Ò Ø ÑÔ Ö Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º º º ½ ½º ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ñ ÐÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º º½
Lisätiedotx (t) = f(x(t)) u B δ (p) = ϕ t (v) = p, v B d (p) = lim e t AT e t A dt W =
Á Ê ÆÌÁ ÄÁ ÀÌ Ä Ë ËÌ ÅÁÌ º Ì Ô ÒÓÔ Ø Ø Ø Ð ÙÙ Ì ÐÙÚÙ Ø ÑÑ Ö ÒØ Ð Ý ØÐ Ò Ø Ô ÒÓÖ Ø Ù Ò Ø Ð ÙÙ Ø Ö Ø ÐÙ¹ ÒÝØ ÔÐ Ò Ö ÐÐ Ý Ø Ñ ÐÐ º ÌÐÐ ÓÚ Ø Ñ Ö ÐÙÖ Ý Ø Ñ ÐÐ Ô ÐÐ Ò ÔÝ ØÝ ÙÓÖ Ò Ó Ó Ð Ø ÝÐ Ô Ò ÓÐ Ú ÐÙÖ º ÂÓ
LisätiedotReferenced. Object. StateSet. Node. Geode
ÇÔ ÒË Ò Ö Ô ¹Ó Ø Ì ÑÓºÌÓ Ú Ò ÒØѺ Ùغ ÌÑ Ó ÙÑ ÒØØ ÓÒ ØÝ Ò Ø Ô Ú Ø ØÒ Ø ÖÔ Ò ÑÙ Òº ½ Ø ÇÔ ÒË Ò Ö Ô ÇË µ ÓÒ ÇÔ Ò Ä Ò Ô Ö ÒÒ ØØÙ ¹ÙÓ Ö¹ ØÓ Ó ÓÒ Ú Ô Ø Ø Ú Ó ØÓ Ñ ÑÓÒ ÝÑÔÖ Ø º ÇË Ó¹ ÙÑ ÒØÓ ØÙ ÓÜÝ Ò¹Ó Ñ ØÓÒ
LisätiedotÌ Å ÈÙÐ Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ Ñ ºÔÙÐ Ò Ò ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ ÙØÓÑ Ø Ó ØÙ Ý Ø Ø Ù ÆÍÒ Ø¹Ø Ø Ù ÝÑÔÖ Ø Ì ØÐ Ò Ò Ð ÙØÓÑ Ø ÍÒ Ø Ì Ø Ò Ò ÆÍÒ Ø Ì Ø Ò ÒÚ ÖÓÒÑ ÒØ ÌÝ Ì ØÓØ Ò Ò
Å ÈÙÐ Ò Ò ÙØÓÑ Ø Ó ØÙ Ý Ø Ø Ù ÆÍÒ Ø¹Ø Ø Ù ÝÑÔÖ Ø Ì ØÓØ Ò Ò Ò Ø ÒØÙØ ÐÑ ¾ º ÐÑ ÙÙØ ¾¼¼ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ØÓØ Ò Ò Ð ØÓ ÂÝÚ ÝÐ Ì Å ÈÙÐ Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ Ñ ºÔÙÐ Ò Ò ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ ÙØÓÑ Ø Ó ØÙ Ý Ø Ø Ù ÆÍÒ Ø¹Ø Ø Ù
LisätiedotX = 0I A0 +1I A1 +2I A2 +3I A3 = 1I A1 +2I A2 +3I A3. {X(ω) = r}º
ËÁË ÄÌ ¾º º½ ÀÝÔ Ö ÓÑ ØÖ Ò Ò ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º ¾º º¾ Ì Ö ØÙ ÓØ ÒØ Ø ÓÐÐ ÙÙ º º º º º º º º º º º º º º ¾º ÇØ ÒØ Ô Ð ÙØØ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º ÒÓÑ ÙÑ º º º
LisätiedotÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÃÁÆÆÍÆ Æ ÌÇÈÁ Ê ÒÒÙ Ø Ò Ø Ò ÓÐÓ Ø Ò ÐÑ ØÓÐÐ Ø Ò Ø Ò Ú ÙØÙ ÙÒØÓ Ò ÐÑ Ò Ö ÓÒÔ ØÓ ÙÙØ Òº ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º ½
Ê Ã ÆÆÍËÌ ÃÆÁËÌ Æ ÇÄÇ ÁËÌ Æ Â ÁÄÅ ËÌÇÄÄÁËÌ Æ Ì ÃÁ Á Æ Î ÁÃÍÌÍË ËÍÆÌÇÂ Æ ËÁË ÁÄÅ Æ Ê ÇÆÈÁÌÇÁËÍÍÌ Æ ÌÓÔ Ã ÒÒÙÒ Ò Ì Ð ØÓØ Ø Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ¾¼¼ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ
LisätiedotË ÐØ ½ Ð Ø Ê Ø ¾ ¾ Ê Ò ÝÒØ ØÝ ÒØ ÐÝÒ ÐÓ ØØ Ñ Ò Ò ¾º½ Ç Ò ÝØØ Ê¹ ØÙÒÒÓÒ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º¾ Ä Ô Ø Ø Ò ØÓØ º º º º º º º º º º º º º º
ÂÓ ÒØÓ Ñ ØÖ Ò Ð Ò Ö Ø Ò Ñ ÐÐ Ò ØØ ÐÝÝÒ Ê¹Ó ÐÑ ØÓÐÐ ÒÒ Ç Ö Ò Ò Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò ÐÓ Ó Ò Ð ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ ÐÓ ÙÙ ¾¼¼ Ë ÐØ ½ Ð Ø Ê Ø ¾ ¾ Ê Ò ÝÒØ ØÝ ÒØ ÐÝÒ ÐÓ ØØ Ñ Ò Ò ¾º½ Ç Ò ÝØØ Ê¹ ØÙÒÒÓÒ Ò º º
LisätiedotSpin Dependent transport in Graphene
Aalto University School of Science Degree Programme in Engineering Physics and Mathematics Ville Vierimaa Spin Dependent transport in Graphene Master s Thesis Espoo, March 14, 216 Supervisor: Thesis advisor(s):
LisätiedotÌ ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÆÁ Å Ä ÊÇ ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ø ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º Å Ø Ñ Ø ÀÙ Ø ÙÙ ¾¼¼ Ì Ú Ø ÐÑ ÌÙØ ÐÑ Ò Ò ÓÒ ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ò ØØ Ð
Ì ÅÈ Ê Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ÖÓ Æ Ñ Ð ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ø Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ Å Ø Ñ Ø ÀÙ Ø ÙÙ ¾¼¼ Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÆÁ Å Ä ÊÇ ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ø ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º Å Ø Ñ Ø
LisätiedotË ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ì Ø ÐÙÑ ÐÐ ÒÒÙ ½ ¾º½ Ì Ø ÐÙÑ ÐÐ ÒÒÙ Ò ØÓÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º¾ ËØÓ Ø Ò Ò Ø Ø ÐÙÑ ÐÐ ÒÒÙ º º º º º º º º º º º º
Šع¾º ½¼ ËÓÚ ÐÐ ØÙÒ Ñ Ø Ñ Ø Ò Ö Ó ØÝ Ø º½º¾¼¼ Ì Ø ÐÙÒ ÑÙÐÓ ÒØ ÑÔÙÑ Ø ÖÚ Ò Ö Ø ÐÑ Ò Ù Ø ÒÒÙ Ø Ó ÙÙ Ì Ò ÐÐ Ò Ò ÓÖ ÓÙÐÙ Ì Ò ÐÐ Ò Ý Ò Ñ Ø Ñ Ø Ò Ó ØÓ ËÝ Ø Ñ Ò ÐÝÝ Ò Ð ÓÖ ØÓÖ Ó Â ÒÒ Ä ØÓÒ Ò ¼¾ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ
Lisätiedot139/ /11034 = 0.58
Ú ËÁË ÄÌ ÅÓÒ ÙÐÓØ Ø ÙÑ Ø ½ º½ à ÙÐÓØØ Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º½º½ Ê ÙÒ ÙÑ Ø ÓÐÐ Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º ½ º½º¾ ÓÐÐ Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓÒ ÓÑ Ò ÙÙ º º º º º º º º º ½ º½º À Ö Ö Ø Ñ ÐÐ
LisätiedotC A B, A D B A B E. A B C, A C B Ø B A C.
Ù Ð Ò ÝÔ Ö ÓÐ Ò ÓÑ ØÖ Ò Ñ ÐÐ Ö Ë ÐÑ Ð ÈÖÓ Ö Ù ØÙØ ÐÑ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ Ã ÚØ ¾¼¼ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ À Ð ÖØ Ò ÓÓÑ Ö Ø ÐÑ ¾ ¾º½ À Ð ÖØ Ò Ò Ò ÓÓÑ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º
Lisätiedotf(x) =, x = 0,1,...,100. P(T 20) = P( X 50 20) 0.
Ú ËÁË ÄÌ ½¾º ËÙ Ø ÐÐ Ø Ò Ó ÙÙ Ò ÐÙÓØØ ÑÙ ÚÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½¾º ÇØÓ Ó Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ ½¾º Å Ò Ò ÙÑ Ø Ú Ô ÐÙÓØØ ÑÙ ÚÐ º º º º º º º º º º
Lisätiedot½ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ ¹ÔÙÙ ¾ ¾º½ Ì Ø ÝØ ØØÝ ¹ÔÙÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÌÖ ¹ØÖ º½ ÑÔÖ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
¹ØÖ Ø Ø Ø ÓÒ Ø ÐÐ ÒØ Ñ Ð ÚÝÐÐ Â Ó Å ÐÚ Ö À Ð Ò ¾¾º½¼º¾¼¼ Ë Ñ Ò Ö ØÝ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ ½ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ ¹ÔÙÙ ¾ ¾º½ Ì Ø ÝØ ØØÝ ¹ÔÙÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
Lisätiedot¾º C A {N A } K N A º A B N B
Ú ÒØ Ò ÐÐ ÒØ ØÓ ÒÒÙ Ø Ì ÐÙÚÙ Ø Ö Ø ÐÐ Ò ÔÖÓØÓ ÓÐÐ Ó Ò ÚÙÐÐ Ó ÔÙÓÐ Ø ÚÓ Ú Ø Ó¹ Ô Ð Ø Ú Ñ Ø ØÓ ÒØ ØÓ Ò º ÌÐÐ Ò Ò ØÓ Ñ ÒÔ Ð ØØÝÝ Ù ÑÔ Ò Ø ØÓØÙÖÚ ÔÖÓØÓ ÓÐÐ Ò Ò ÑÑ ¹ Ò Ú Ò ÒÒ Ò Ù Ò Ú Ö Ò Ò Ò ØÓ Ñ ÒØ Ñ Ö Ø Ó
LisätiedotN = A A A S(A) Aº 0 = 1 = { } 2 = {, { }} 3 = {, { }, {, { }}} 4 = {, { }, {, { }}, {, { }, {, { }}}} A = Nº. i=1 n N n > 0º
Å Ì ¾¾ ÄÙ ÙØ ÓÖ Ã ¾¼½¼ ÌÑ ÐÙ ÒØÓÑÓÒ Ø Ô ÖÙ ØÙÙ ÙÙÖ ÐØ Ó ÐØ Ä ÃÙÖ ØÙÒ Ô ÖÙ ¹ Ø ÐÐ Ò ÐÙ ÒØÓÑÓÒ Ø Ò ÓØ ÒÒ ØØ ÐÙ Ñ Ð Ô ØÓ¹ ØÙ Ò Ð Ý ØÝ Ó Ø º Ë ÐØ ½º ÄÙÓÒÒÓÐÐ Ø ÐÙÚÙØ ½º½º ÄÙ Ù Ö Ø ÐÑØ ½º¾º  ÓÐÐ ÙÙ ½º º Ð
LisätiedotÝÚ ÝÑ Ô Ú ÖÚÓ Ò ÖÚÓ Ø Ð Ä Ô ÐÚ ÐÙÚÝÐ Ò Ñ Ö ØÝ Ô ÐÚ ÐÙ ÙÙÒØ ÙØÙÒ Ö Ø ÐÑ ÒØØ Ë Ù Ó À Ð Ò º¾º¾¼¼ Ë Ñ Ò Ö ØÝ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ
ÝÚ ÝÑ Ô Ú ÖÚÓ Ò ÖÚÓ Ø Ð Ä Ô ÐÚ ÐÙÚÝÐ Ò Ñ Ö ØÝ Ô ÐÚ ÐÙ ÙÙÒØ ÙØÙÒ Ö Ø ÐÑ ÒØØ Ë Ù Ó À Ð Ò º¾º¾¼¼ Ë Ñ Ò Ö ØÝ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç
Lisätiedot0 ex x = e 1. x + 3a 2x a = 2a xº. 1 3 (uvy) 3 (uxy) 3 (wxy) uvwxy (uvw) 1 3 (vwx)
Å ÌȽ ¼ ËÝÑ ÓÐ Ò Ò Ð ÒØ ¾ ÓÔ ½ Ð Ø ÃÙÖ Ò Ø ÚÓ Ø ÐØ ËÝÑ ÓÐ Ò Ð ÒÒ Ò ÙÖ ÐÐ ÓÔ Ø Ò Ø ØÓ ÓÒ Ò ÝØØÑ Ø ÔÙÚÐ Ò Ò Ñ Ø Ñ ØØ ÓÒ ÐÑ Ò¹ Ö Ø Ù º ÃÙÖ Ò Ø ÚÓ ØØ Ò ÓÒ ÒØ Ô ÖÙ Ú ÐÑ Ù Ø ÝÑ ÓÐ Ò Ð ÒØ Ò Ö Ó ØÙÒ Ò Å Ø Ñ ¹
LisätiedotÓÑ ØÖ Ò Ø Ò Ø ØÓÖ ÒØ Ø Ã ÙÖ Ú Ø ÐØÚØ Ø ØÓÖ ÒØ Ø Ô ÖÙ ØÙÚ Ø Ñ ÒØÝÝÔ¹ Ô Ò Ò ÖÓØ ÐÐ Ò Ú ÖÙÙ Ø Ó Ó Ò ÐÐ ÓÒ Ô Ò ÑÔ Ó Ò Ò ÐÐ Ú Ð Ô Ò ÑÔ Ó Ò º ÒÑ Ö Ø ØÒ Ö Ö
ØÙغ Ø Ò ÐÐ Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò È Ð Ó ÐÑÓ ÒØ È Ð Ó ÐÑÓ ÒÒ Ý ÝÐÐ Ø ØÓÖ ÒØ Ø ÒØØ ÈÙ ÒØØ ºÔÙ Ç ÐÑ ØÓØ Ò ÓÑ ØÖ Ò Ø Ò Ø ØÓÖ ÒØ Ø Ã ÙÖ Ú Ø ÐØÚØ Ø ØÓÖ ÒØ Ø Ô ÖÙ ØÙÚ Ø Ñ ÒØÝÝÔ¹ Ô Ò Ò ÖÓØ ÐÐ Ò Ú ÖÙÙ Ø Ó Ó Ò ÐÐ
LisätiedotÐ Ù Ò Ø ÌÑ ÔÐÓÑ ØÝ ÓÒ Ø Ó Ì ÑÔ Ö Ò Ø Ò ÐÐ Ò ÝÐ ÓÔ ØÓÒ Å Ø Ñ Ø Ò Ð ØÓ Ò ÀÝÔ ÖÑ Ð ÓÖ ØÓÖ ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø Ò ÓÔ ØÙ Ò ØØÑ ØÙع ÑÙ ÐÐ º ÌÝ Ý ØÝÚØ Ø Ò ÒÒÓ Ø Ú Ø Ø
Ä Æ Ä ÍÃÃÇÆ Æ Å Ø Ñ Ø Ò Ô ÖÙ Ø ØÓØ Ø Ò Ú Ö Ø Ö Ø ÐÙ ÓÔ ÒØÓ¹ Ñ Ò ØÝ Ò Ú ÙØØ Ú Ò Ø Ò Ò ÐÝ Ó ÒØ ÁÈÄÇÅÁÌ ÝÚ ÝØØÝ Ì Ò ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ó ØÓÒ ÙÚÓ ØÓÒ Ó ÓÙ º½½º¾¼¼ º Ì Ö Ø Ø ÔÖÓ ÓÖ Ë ÔÔÓ ÈÓ ÓÐ Ò Ò ØÙØ Å ÀÙ ÓÐ
Lisätiedotº ÖØØ ÓÙÖÖ¹ÑÙÙÒÒÓ ÌÓ ØÙ º ÄÙ Ò ÙÓÖÐÐ Ð ÙÐÐ ÙÒ ÓØØÒ ÙÓÑÓÓÒ ØØĐ Ó ÒÒ ½ Ó ½ ½ ½ ¼ ½ Ô ¼ Ó ½ Ô Ò ½ ËÙÖÚ ÑĐĐÖØÐÐĐĐÒ ÓÒÚÓÐÙÙØÓØÙÐÓ Ò º ÀÑÖ¹ØÙÐÓ Đº ÅĐĐÖØÐÑĐ
ÄÙÙ ÖØØ ÓÙÖÖ¹ÑÙÙÒÒÓ ÇÐÓÓÒ ÔÓ ØÚÒÒ ÓÓÒ ÐÙÙº ÅĐĐÖØÐÑĐ º Ñ µ ѵ ÐÐ Ñ º ÇÒ ÐÚĐĐ ØØĐ ÓÒ ¹ÙÐÓØØÒÒ ÐÒÖÒÒ ÚØÓÖÚÖÙÙ ÙÒ Ð ÙØÓÑØÙ Ø ÑĐĐÖØÐÐĐĐÒ ÐÙÓÒÒÓÐÐ ÐÐ ØÚÐк ÅĐĐÖØÐÑĐ º ÂÓ ÒÒ µ ѵ ½ ½ ¼ Ñ µ ѵ ½ Ñ ½ Ñ Đ ÂÓÒÓ ÓÒ
Lisätiedotarvostelija Elliptisen käyrän salauksen perusteita Mikko Alakunnas Helsinki HELSINGIN YLIOPISTO Tietojenkäsittelytieteen laitos
hyväksymispäivä arvosana arvostelija Elliptisen käyrän salauksen perusteita Mikko Alakunnas Helsinki 12.4.2007 HELSINGIN YLIOPISTO Tietojenkäsittelytieteen laitos HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET
Lisätiedot(a,b)(c,d) = (ac bd,ad + bc).
ÃÓÑÔÐ ÐÙÚÙ Ø ½ ½º ÂÓ ÒØÓ ØÐ ÐÐ x + 1 = 0 ÓÐ Ö Ø Ù Ö Ð ÐÙ Ù Ò ÓÙ Ó Ó Ó Ò Ö Ð ÐÙ¹ ÚÙÒ ØÓ Ò Ò ÔÓØ Ò ÓÒ ÔÓ Ø Ú Ò Òº ÂÓØØ ØÐÐ Ý ØÐ ÐÐ Ø Ò Ö Ø Ù Ñ Ò ØÝØÝÝ Ð ÒØ Ö Ð ÐÙ Ù Ò ÓÙ Ó Ð ÑÐÐ Ò ÙÙ Ð Ó Ñ Ö ØÒ Ø¹ Ø ØÓ Ø
LisätiedotË Ø ÐÓ Ò Ô ÖØÓ Á ÔÖÓ Ó ÒØ ÃÙÒ Ð ÙØ Ò ÓÒ Ò Ö ÒÒÙ Ò ÐÐ ÓÒ ÝÐ Ò ÖÖ ÐÐ Ò Ú Ò Ô Ò Ó Ö ÒÒÙ Ò Ø ÐÓ Ø Ò ÝÚ Ñ ÐÐ ÓÒ Ù Ø ÐÐ Ò ÙÙÖ ÑÖ Ò Ø Ø ÓÐÙ Ö µ Ã ÙÐÓØØ Ò Ò Ñ
ØÙغ Ø Ò ÐÐ Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò È Ð Ó ÐÑÓ ÒØ Ë Ø ÐÓ Ò Ô ÖØÓ Ò ÝÚÝÝ Ð ÒØ ÒØØ ÈÙ ÒØØ ºÔÙ Ç ÐÑ ØÓØ Ò Ë Ø ÐÓ Ò Ô ÖØÓ Á ÔÖÓ Ó ÒØ ÃÙÒ Ð ÙØ Ò ÓÒ Ò Ö ÒÒÙ Ò ÐÐ ÓÒ ÝÐ Ò ÖÖ ÐÐ Ò Ú Ò Ô Ò Ó Ö ÒÒÙ Ò Ø ÐÓ Ø Ò ÝÚ Ñ
Lisätiedotº F(+, + ) = 1 F(, ) = F(, y) = F(x, ) = 0 й
ËÁË ÄÌ Ö ØØ Ý ÙÐÓØØ ÙÑ ½¼ º½ Ö ØØ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ º¾ ÖÒÓÙÐÐ Ò Ó Ø ÒÓÑ ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º ½½½ º¾º½  ÙÑ Ò ÝÑÑ ØÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½
LisätiedotMSE(ˆθ) = Var(ˆθ)+[E(ˆθ) θ] 2,
ËÁË ÄÌ Ú º º½ Å Ö ÓÚ Ò Ì Ý Ú Ò ÔÝ ØÐ Ø ÙÙÖØ Ò ÐÙ Ù¹ Ò Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º º¾ Â Ò Ò Ò ÔÝ ØÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º º ËØÓ Ø Ò Ò ÙÔÔ Ò Ñ Ò Ò º
LisätiedotÐ Ø Ù ÁÈË Ò ÁÈË ÓÒ ÁÈ¹Ú Ö ÓÔÖÓØÓ ÓÐÐ Ò Ð ÒÒÙ Ñ ÐÐ Ø ØÒ ÁÈ¹Ô ØØ Ò ÙÖ Ñ Ò Ò ÑÙÙÒØ Ñ Ò Òº ÁÈË ÓÒ ÝÒØÝÒÝØ ÙÙ Ò ÁÈÚ ¹ÔÖÓØÓ ÓÐÐ Ò Ý Ø Ý ÁÈÚ ÓÒ Ò ÁÈË Ò ÐÙÓÒØ
ÌÁ ÌÇÌÍÊÎ ÇË ÁÎ ÁÈË Ì ÑÓ Ã ÖÚ º½¾º¾¼¼ Ì ÑÓ Ã ÖÚ µ ÌÁ ÌÇÌÍÊÎ ÇË ÁÎ ÁÈË º½¾º¾¼¼ ½» Ð Ø Ù ÁÈË Ò ÁÈË ÓÒ ÁÈ¹Ú Ö ÓÔÖÓØÓ ÓÐÐ Ò Ð ÒÒÙ Ñ ÐÐ Ø ØÒ ÁÈ¹Ô ØØ Ò ÙÖ Ñ Ò Ò ÑÙÙÒØ Ñ Ò Òº ÁÈË ÓÒ ÝÒØÝÒÝØ ÙÙ Ò ÁÈÚ ¹ÔÖÓØÓ ÓÐÐ
Lisätiedoty t = X t β + u t, u t NID(0, 1) t = 1, 2,..., n ½µ
ÇÊ Ê ÈÊÇ ÁÌ Â Â ÄÃ È ÄÄǹÇÌÌ ÄÍÆ Å ÄÄÁÆÌ ÅÁÆ Æ Ê Ò ÓÑ Î Ö Ð ½º Ò ÙÙØ ¾¼¼ ËÁË ÄÌ ½ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ¾ ¾ ÇÖ Ö ÔÖÓ Ø ¾º½ Å ÐÐ Ò ÑÖ ØØ ÐÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Â Ð Ô ÐÐÓ¹ÓØØ ÐÙÒ Ò
Lisätiedotà ÑÖ Ò ÙÙ Ò ÙÒØÓÐ Ò Ò ÓÖ ÓØ ÓÒ ÓÖ ÓÑ Ö Ò Ð Ò ÑÖÝØÝÑ Ò Ò ËÁË ÄÌ ËÁË ÄÌ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½º½ ÌÙØ ÑÙ Ý ÝÑÝ ØÙØ ÐÑ Ò Ö ÒÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º¾ ÙÒØÓÐ Ò Ñ Ö Ò Ø ËÙÓÑ º º º º º º º º º º º º º
LisätiedotÀ ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç ØÓ ÙÐØ Ø»Ë Ø ÓÒ ÙÐØÝ Ä ØÓ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ô ÖØÑ ÒØ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ì Ö
ÁÖÖÐ Ø Ò Ò ¹ Ö ÑÓÓØØÓÖ Â ÒÒ Ä Ù Ö Ò Ò À Ð Ò ¾ º º¾¼¼ Ç ÐÑ ØÓØÙÓØ ÒØÓ Ø ØÓ ÓÒ Ô Ð Ø Ñ Ò Ö À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç
LisätiedotË ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ý ÒØØ Ð Ò Ò ÓÒ Ò Ù ÓÒ ÐÑ ¾ ¾º½ ÅÖ Ø ÐÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º¾ Ý ÒØØ Ð Ø Ò ÒÖ Ð Ò ÓÒ Ð
Ý ÒØØ Ð Ø ÒÖ Ð Ø ÒØØ Ì Ò À Ð Ò ¾ º½¼º¾¼¼ ÌÙØ ÐÑ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ý ÒØØ Ð Ò Ò ÓÒ Ò Ù ÓÒ ÐÑ ¾ ¾º½ ÅÖ Ø ÐÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
LisätiedotÀ ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç ØÓ ÙÐØ Ø»Ë Ø ÓÒ ÙÐØÝ Ä ØÓ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ô ÖØÑ ÒØ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ø ÙÒ
ÝÚ ÝÑ Ô Ú ÖÚÓ Ò ÖÚÓ Ø Ð ÄÙÓØØ ÑÙ Ò ÑÖ ØØ ÐÝ Ò ÐÝ Ó ÒØ ÁÒØ ÖÒ Ø¹ ÓÚ ÐÐÙ ÐÐ È Ø Ö Ë ÐÓÒ Ò À Ð Ò º º¾¼¼ Ë Ñ Ò Ö ÖØ Ð À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ
LisätiedotF(x) = P(X x), x R. F(x) = 1º
ËÁË ÄÌ Ö ØØ Ý ÙÐÓØØ ÙÑ ½½½ º½ Ö ØØ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½½ º¾ ÖÒÓÙÐÐ Ò Ó Ø ÒÓÑ ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º ½½ º¾º½  ÙÑ Ò ÝÑÑ ØÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½
Lisätiedot3D piirron liukuhihna (3D Graphics Pipeline) Sovellus/mallinnus Geometrian käsittely Rasterointi/piirto
ØÙغ Ø Ò ÐÐ Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò È Ð Ó ÐÑÓ ÒØ Ö Ò Ô ÖØÓ ÒØØ ÈÙ ÒØØ ºÔÙ Ç ÐÑ ØÓØ Ò ¹ Ö Ò Ô ÖØÑ Ò Ò ÙÚ Ø Ò Ù Ò Ð Ù Ù Ò Ò Ô Ô Ð Ò µ ÚÙÐÐ Ö Ð Ù Ù Ò Ö Ø ØÓ ÙÐ Ð Ù Ù Ò Ò Ö Ú Ò ÙØØ ÒÒ Ò Ù Ò Ô ÖÖ ØÒ ÖÙÙ ÙÐÐ Ö
LisätiedotÌÑ ØÙØ ÐÑ ØØ Ð Ð Ô Ò ÐÙ Ù ØØ Ò ØØÝÑ Ø ØØÑ Øº ÐÙ ¹ ØØ Ð ÑÑ Ñ Ø Ñ ØØ Ø Ñ ÐÐ Ó Ò ÚÙÐÐ Ñ Ø Ñ Ø Ò ÓÔÔ Ñ ÐÐ ÚÐØØÑØØ ÑØ ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ø ÐÙÚÙØ ÚÓ Ò ÓÒ ØÖÙÓ ÓÐÑ Ô Ý
Ä Ô Ò ÐÙ Ù ØØ Ò ØØÑ Ò Ò Ð Ñ Ô Ð Ò ÚÙÐÐ Î ÐÐ Ã ÒÒÙÒ Ò Å Ø Ñ Ø Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ËÝ Ý ¾¼¼ ÌÑ ØÙØ ÐÑ ØØ Ð Ð Ô Ò ÐÙ Ù ØØ Ò ØØÝÑ Ø ØØÑ Øº ÐÙ ¹ ØØ Ð ÑÑ Ñ Ø Ñ ØØ Ø
LisätiedotÀ ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç ØÓ ÙÐØ Ø»Ë Ø ÓÒ ÙÐØÝ Ä ØÓ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ô ÖØÑ ÒØ Ì Ö ØØ Ö ÙØ ÓÖ ÇÐÐ ÇÖ ÖÚ ÌÝ Ò Ò
ÝÚ ÝÑ Ô Ú ÖÚÓ Ò ÖÚÓ Ø Ð Ã ÒÓØ Ó Ø Ò Ò ÙÖÓÚ Ö Ó Ò ØÝ ØØ Ø ÇÐÐ ÇÖ ÖÚ À Ð Ò ¾º º¾¼¼ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç ØÓ ÙÐØ
LisätiedotAktiivisten DNA-muutosten seulonta riippuvuusmalleilla Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta
ÇÐÐ ¹È ÀÙÓÚ Ð Ò Ò Aktiivisten DNA-muutosten seulonta riippuvuusmalleilla Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta ÔÐÓÑ ØÝ Ó ÓÒ Ø ØØÝ ÓÔ ÒÒÝØØ Ò Ø Ö Ø ØØ Ú ÔÐÓÑ ¹ Ò Ò Ö Ò ØÙØ ÒØÓ Ú ÖØ Ò
LisätiedotÌ ÂÙ Ò Ä ÑÑ Ö Ø Ý Ø ÓØ ÈÙ Ð Ò ¼ ¼½¾ ½ ÔÓ Ø ÒÙÐ º ÌÝ Ò Ò Ñ ÅÓ Ð ÓÚ ÐÐÙ Ø Ò ÖÖ ØØÚÝÝ ØÓØ ÙØÙ Ò ØÖ Ø ÓØ Ó Ì ØÐ Ò Ò Ð ÈÓÖØ Ð ØÝ Ó ÅÓ Ð ÔÔÐ Ø ÓÒ Ò ÁÑÔÐ Ñ Ò
ÂÙ Ò Ä ÑÑ Ö ÅÓ Ð ÓÚ ÐÐÙ Ø Ò ÖÖ ØØÚÝÝ ØÓØ ÙØÙ Ò ØÖ Ø ÓØ Ó Ì ØÓØ Ò Ò Ó ÐÑ ØÓØ Ò µ ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ½º ÐÓ ÙÙØ ¾¼¼ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ØÓØ Ò Ò Ð ØÓ ÂÝÚ ÝÐ Ì ÂÙ Ò Ä ÑÑ Ö Ø Ý Ø ÓØ ÈÙ Ð Ò ¼ ¼½¾ ½ ÔÓ Ø ÒÙÐ º ÌÝ
LisätiedotÌ Ú Ø Ñ Ò Ó ÔÓÒ ÒØØ Ò Ô Ö Ò Ø ¹ Ú ÖÙÙ Ñ Ò ÓÚ Ù Ó Ó ÙÓ ÙÙ ¹ Ò ØÓÓÒº Ì ØÓØ Ø Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ Ñ ÂÝÚ ÝÒ Ý ÓÔ ØÓ ½º Ó ÙÙØ ¾¼¼ º Ë ÚÙ ½ Ø º Ì ¹ Ú ÖÙÙ Ñ Ò Ý Ó
ÔÓÒ ÒØØ Ò Ô Ö Ò Ø ¹ Ú ÖÙÙ Ñ Ò ÓÚ Ù Ó Ó ÙÓ ÙÙ Ò ØÓÓÒ Ò Ó Ì ØÓØ Ø Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ Ñ ÂÝÚ ÝÒ Ý ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø ØÓØ Ø Ò ØÓ ½º Ó ÙÙØ ¾¼¼ Ì Ú Ø Ñ Ò Ó ÔÓÒ ÒØØ Ò Ô Ö Ò Ø ¹ Ú ÖÙÙ Ñ Ò ÓÚ Ù Ó Ó ÙÓ ÙÙ ¹ Ò ØÓÓÒº Ì
LisätiedotÇ Ø ØÙØ ÐÑ Ò Ð Ø Ó ÐÐ Ã Ö ¹ÂÓÙ Ó Ê Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓØ Ø Ò Ý»Ø Ó Ø ÚØ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Ç Å ÖØØ Ì Ò Ö ¾ º½º¾¼½½ Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓØ Ø Ò Ý»Ø Ó Ø ÚØ Ã Ö ¹ÂÓÙ Ó Ê Ç Ø ØÙØ ÐÑ Ò Ð Ø Ó ÐÐ
LisätiedotÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ Ø Ò Ð ØÓ ÃÍÄ ÊÁÁÃà ÔÝ ØÐ Ø ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º ¾ Ð Ø º Å Ø Ñ Ø ÀÙ Ø ÙÙ ¾¼¼ ÌÙØ ÐÑ Ò Ò ÓÒ ÔÝ ØРغ Ì Ö Ó ØÙ Ò ÓÒ Ø Ö Ø ÐÐ Ö Ð ÔÝ ¹ Ø
È ÀÌ Ä Ì Ê ÙÐ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ÀÙ Ø ÙÙ ¾¼¼ Å Ì Å ÌÁÁÃ Æ Ä ÁÌÇË ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ Ø Ò Ð ØÓ ÃÍÄ ÊÁÁÃà ÔÝ ØÐ Ø ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º ¾ Ð Ø º Å Ø Ñ Ø ÀÙ Ø ÙÙ ¾¼¼ ÌÙØ ÐÑ Ò Ò ÓÒ ÔÝ ØРغ Ì Ö Ó ØÙ
LisätiedotË ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ½º½ È ÖÙ ØØ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º¾ Ò ÖØ Ø Ö ÒÒ Ñ ÐÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º
Ê ÒØ Ò Ø Ð ÙÙ Ø ÓÖ ÐÙ ÒØÓÑÓÒ Ø Å Ö Ù ÌÙÓÑ Ð ϕ v N N Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ½º½ È ÖÙ ØØ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º¾ Ò ÖØ Ø Ö ÒÒ Ñ ÐÐ Ø º º º º º º º º º º º º º
LisätiedotÌ Đ Á ÑÓ ÀÓÖÔÔÙ Ø Ý Ø ÓØ ÓÖÔÔÙº ÝÙº ÌÝĐÓÒ Ò Ñ Ç ÐÑ ØÓÒ ØØĐ Ñ Ò Ò ÔÙÙØØ ÐÐ Ò Ú Ö ÐÐ Ò Ú ÒØÓ Ò ØÓÒ Đ ØØ ÐÝÝÒ Ì ØÐ Ò Ò Ð ËÓ ØÛ Ö Ú ÐÓÔÑ ÒØ ÓÖ Ñ Ò Ò ÖÖÓÒ
Ç ÐÑ ØÓÒ ØØĐ Ñ Ò Ò ÔÙÙØØ ÐÐ Ò Ú Ö ÐÐ Ò Ú ÒØÓ Ò ØÓÒ Đ ØØ ÐÝÝÒ Á ÑÓ ÀÓÖÔÔÙ Ì ØÓØ Ò Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Ç ÐÑ ØÓØ Ò Ò Ð Ò ½½º ÐÑ ÙÙØ ¾¼¼¾ ÂÝÚĐ ÝÐĐ Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ØÓØ Ò Ò Ð ØÓ Ì Đ Á ÑÓ ÀÓÖÔÔÙ Ø Ý Ø ÓØ ÓÖÔÔÙº ÝÙº
Lisätiedot ΠËÃ Ä Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ø ÙÒØ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ Ð Ø ÐÓ ÒÒ ¹Ã Ë ÐÑÒÐ Ò Ø Ó Ò Ø Ð ØÓÐÐ Ò Ò Ñ ÐÐ ÒØ Ñ Ò Ò ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ Ð
Ì Ð ØÓØ Ø Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Ë ÐÑÒÐ Ò Ø Ó Ò Ø Ð ØÓÐÐ Ò Ò Ñ ÐÐ ÒØ Ñ Ò Ò ÒÒ ¹Ã Ð Ø ÐÓ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ º ÓÙÐÙ ÙÙØ ¾¼¼  ΠËÃ Ä Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ø ÙÒØ Å Ø Ñ
Lisätiedotf(x;n,θ) = θ x (1 θ) n x, x = 0,1,...,n; 0 θ 1. Θ = {θ 0 θ 1}. ˆθ = x n.
ËÁË ÄÌ Ú º º½ Å Ö ÓÚ Ò Ì Ý Ú Ò ÔÝ ØÐ Ø ÙÙÖØ Ò ÐÙ Ù¹ Ò Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º º¾ Â Ò Ò Ò ÔÝ ØÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º º ËØÓ Ø Ò Ò ÙÔÔ Ò Ñ Ò Ò º
Lisätiedotk(x,x ) K N(µ, Σ) GP(m(x), k(x,x )) X x p diag(x)
Ì ÊÅÇ ÁÂ ÍËËÁÆ ÈÊÇË ËËÁÌ Ê Ê ËËÁÇ Æ Ä ËÁËË Ã Ò Ø ÒØÝ Ç ÝÐ Ø ÒØØ À ÖÖ Ä Ñ Ì Ö Ø Ð ØÓÖ À ÀÙØØÙÒ Ò ÁÁ ÌÁÁÎÁËÌ ÄÅ Ì ÅÈ Ê Æ Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓØ Ò Ò ÓÙÐÙØÙ Ó ÐÑ Ì ÊÅÇ ÁÂ Ù Ò ÔÖÓ Ø Ö Ö Ó Ò ÐÝÝ Ã Ò Ø ÒØÝ
Lisätiedotº A, B E A B E. A B = A B. A k E, k N k=0 A k E. p(b) = m N,
Ì Ð ØÓÑ Ø Ñ Ø Ã Ó ÊÙÓØ Ð Ò Ò ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó ÇÙÐÙ ÙÐØÝ Ó Ì ÒÓÐÓ Ý Ú ÓÒ Ó Å Ø Ñ Ø Â ÒÙ ÖÝ ¾¼¼ ¾ ÔØ Ö ½ ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ò Ø ½º½ Ë ØÙÒÒ Ó ÓØÓ Ú ÖÙÙ ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ð ÒÒ Ò Ø Ö Ó ØÙ Ò ÓÒ ØØ Ñ Ø Ñ ØØ Ñ Ò Ø Ð¹ Ñ ÙÚ Ñ Ò Ø Ø Ó Ø
LisätiedotÌ ÓÚ Ö ÓØ Ð Ò Ã ÐÐÙÒ Å Ø Ñ Ø Ò ÈÖÓ Ö Ù¹ØÙØ ÐÑ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ ËÝ Ý ¾¼¼ Ë ÐØ ÂÓ ÒØÓ ½ ½ À ØÓÖ ¾ Î Ö ÓØ ÓÖ ¾º½ Î Ö ÓÒ ÚÖ ØÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
Lisätiedot