Käyttämällä annettua kokoonpuristuvuuden määritelmää V V. = κv P P = P 0 = P. (b) Lämpölaajenemisesta johtuva säiliön tilavuuden muutos on

Koko: px

Aloita esitys sivulta:

Download "Käyttämällä annettua kokoonpuristuvuuden määritelmää V V. = κv P P = P 0 = P. (b) Lämpölaajenemisesta johtuva säiliön tilavuuden muutos on"

Iivari Kivelä
7 vuotta sitten
Katselukertoja:

1 766328A ermofysiikka Harjoitus no. 3, ratkaisut (syyslukukausi 201) 1. (a) ilavuus V (, P ) riippuu lämpötilasta ja paineesta P. Sen differentiaali on ( ) ( ) V V dv (, P ) dp + d. P Käyttämällä annettua kokoonpuristuvuuden määritelmää κ 1 ( ) ( ) V V κv (1) V ja tietoa siitä, että lämpötila on vakio, saadaan ( ) V dv (, P ) dp + 0 ( ) V V P κv P P P 0 P κv P. (b) Lämpölaajenemisesta johtuva säiliön tilavuuden muutos on V s β s V 0, missä V 0 on alkutilavuus ja lämpötilan muutos (paine ei muuta säiliön tilavuutta). Nesteen tilavuuden muutos on kohdan (a) perusteella V n β n V 0 κv 0 P. Oletetaan, että säiliö on myös lämpölaajenemisen jälkeen aivan täynnä nestettä. ällöin säiliön ja nesteen täytyy laajentua yhtä paljon eli V s V n ja β s V 0 β n V 0 κv 0 P P β n β s. κ Jos säiliö on aluksi paineeton, laajenemisen jälkeen paine P P. (c) Sijoittamalla (b)-kohdassa laskettuun yhtälöön arvot 10,0 10,0 K, β s 3, K 1, β n K 1 ja κ Pa 1 saadaan P (75 3,6) 10 5 K Pa 1 10,0 K 6, Pa 6,5 MPa. 2. (a) Kuparisauvan pituus l 1 1,00 m ja kummankin sauvan pinta-ala A,00 cm 2. Kuparin lämmönjohtavuus k 1 385,0 W/(m K) ja teräksen k 2 50,2 W/(m K). Stationaarisessa tilassa lämpövirta sauvojen läpi on paikasta riippumaton vakio H. Se voidaan määrittää kuparisauvan avulla, kun tunnetaan sen päiden lämpötilat H ja C, H k 1 A H C l 1 385,0 W m 1 K 1,00 10 m 2 5,39 W. 373,15 K 338,15 K 1 m 1

2 (b) Kun H tunnetaan, terässauvan pituus l 2 voidaan määrittää lämpövirran yhtälöstä, missä H ja C ovat nyt terässauvan päiden lämpötilat, H k 2 A H C l 2 l 2 k 2 A H C H 50,2 W m 1 K 1,00 10 m 2 0,222 m 2,2 cm. 338,15 K 273,15 K 5,39 W 3. Auringon irradianssi h W/m 2 ja suurin korkeus horisontista α 8,5. uleva irradianssi voidaan jakaa pinnan suuntaiseen (ei lämmitä) ja pintaa vastaan kohtisuoraan (lämmittää) komponenttiin, joista jälkimmäinen on h h 0 sin α. h 0 h α Kuva 1: Kesäinen auringonpaiste Oulussa. Oletetaan, että absorptiokerroin on yksi. Käyttämällä Stefan-Boltzmannin lakia h σ, missä Stefan-Boltzmannin vakio σ 5, W/(m 2 K ), saadaan vaakasuoran mustan kappaleen lämpötilaksi h0 sin α σ 1000 W m 2 sin 8,5 5, W m 2 K 339,01 K 66.. Käytetään tähden pinnan emissiivisyydelle approksimaatiota ɛ 1. ällöin tähden säteilemisvoimakkuus h ɛσ σ. Säteilemisteho P ha, missä A on tähden pinta-ala. Jos tähdet oletetaan pallon muotoisiksi, niin A πr 2, missä r on tähden säde. ällöin P πr 2 h P r πσ. (a) Rigel, K ja P 2, W, 2,7 10 r 32 W π 5, W m 2 K (11000 K) 1, m. 2

3 (b) Procyon B, K ja P 2, W, 2,1 10 r 23 W π 5, W m 2 K (10000 K) 5, m. Vertailuarvoja: r Maa 6, m, r Aurinko 6, m ja d Maa Aurinko 1, m. 5. Venuksen etäisyys auringosta d V 1, m. Auringon emissiivisyys ɛ A 1, säde r A 6, m ja pintalämpötila A 5780 K. Stefan-Boltzmannin vakio σ 5, W/(m 2 K ). (a) Jos aurinko oletetaan pallon muotoiseksi, sen säteilyteho P A h A (πra 2 ), missä r A on Auringon säde. Irradianssin h A ɛ A σa σ A avulla säteilytehoksi saadaan P A πσa r2 A, joka voidaan olettaa vakioksi. Venuksen aurinkovakio h V on Auringon irradianssi Venuksen radan kohdalla. Se saadaan laskemalla säteilyteho pinta-alayksikköä kohti Venuksen radan etäisyydellä Auringosta, h V P A πd 2 V πσ A r2 A πd 2 V σ A r2 A d 2 V 5, W m 2 K (5780 K) (6, m) 2 (1, m) ,27593 W m W m 2. (b) Venuksen albedo on 65 %, jolloin absorptiokerroin ɛ abs 1 0,65 0,35. Planeetan kokonaispinta-alalle absorboituva keskimääräinen irradianssi P V /(πrv 2 ), missä P V h V ɛπrv 2 on planeetan projektiolle absorboituva teho. Siis h V ɛ abs πr 2 V πr 2 V ɛ absh V 0, ,27593 W m 2 229,9871 W m W m 2. (c) Läpinäkyvä kaasukehä ei absorboi säteilyä (albedo on edelleen 65 %). Pinnan emissiivisyys 3

4 ɛ V 1, jolloin ɛ V σ 0 σ 0. ästä saadaan pinnan lämpötilaksi 0 hav σ 229,9871 W m 2 5, W m 2 K 252, K 21. (d) Kuvataan kaasukehää yhdellä absorboivalla kerroksella, joka emittoi säteilyä samalla voimakkuudella kaikkiin suuntiin. Venuksen pinnalle absorboituvan lämpövirran tiheydeksi tulee tällöin yhteensä 2. asapainossa pinnan lämpötilan 1 tulee olla sellainen, että pinnan säteilemisvoimakkuus on 2, jolloin Auringosta, λ 0,5 µm λ 10 µm Venuksen pinta 2 σ 1 2σ 0 σ (252, K) 300,10971 K 27. (e) Kuvataan kaasukehää n kerroksella, joista jokainen absorboi täydellisesti kuten (d)- kohdassa. ällöin ensimmäisen kerroksen alaspäin emittoima lämpövirta absorboituu toiseen kerrokseen, joka absorboi säteilyn ja emittoi sen edelleen alaspäin seuraavaan kerrokseen, kunnes n kerroksen jälkeen säteily absorboituu Venukseen. asapainossa siis (n + 1) σ n (n + 1)σ 0 σ n n (n + 1) 0 (n + 1) 0. (f) Havaintojen mukainen n 6 737,15 K. Kohdassa (c) lasketun lämpötilan 0 avulla saadaan kohdassa (e) lasketusta relaatiosta kerrosten lukumääräksi ( ) n n 1 0 ( ) 737,15 K 1 252, K 71,

5 6. Pallossa olevan heliumin paine P 130 kpa ja lämpötila ,15 K. Pallon säde r 10 cm ja sen kuoren paksuus d 0,085 mm. Heliumin diffuusiokerroin kuoressa on D m 2 /s. (a) Fickin 1. diffuusiolain mukaan hiukkasvirran tiheys j jossakin pisteessä on suoraan verrannollinen tässä pisteessä vallitsevaan hiukkastiheyden ϱ N/V gradienttiin, j D ϱ. (3.30) x Aluksi kaikki helium on pallon sisällä. arkastellaan tilannetta pisteeessä x kuoren sisäpinnalla ja tiheyden muutosta kuoressa matkalla x d, jonka ulkopuolella hiukkastiheys häviää. Derivaatan määritelmästä seuraa, että ϱ x ϱ(x + x) ϱ(x) x 0 N/V. d Olettamalla helium ideaalikaasuksi saadaan tilanyhtälöstä N/V P/(k ). Hiukkasvirran tiheydeksi saadaan siten j D P dk m 2 s Pa 0, m 1, J K 1 293,15 K 2, m 2 s 1 2, m 2 s 1. (b) yhjenemisnopeus saadaan kertomalla hiukkasvirran tiheys sillä pinta-alalla, jonka läpi diffuusio tapahtuu, v ja jπr 2 2, (m 2 s) 1 π (0,1 m) 2 2, s 1 2, s 1. (c) Jos hiukkasvirran oletetaan pysyvän koko ajan vakiona, tyhjenemisaika saadaan laskettua tyhjenemisnopeuden ja alkuperäisen kaasumäärän avulla. Pallossa ennen tyhjenemistä olevien heliumatomien lukumäärä saadaan kaasun tilanyhtälöstä, N P V /(k ), jolloin tyhjenemisajaksi saadaan t N v P V vk V πr3 3 πp r3 3vk π Pa (0,1 m) 3 3 2, s 1 1, J K 1 293,15 K 722 s 13 h. 5

Samankaltaiset tiedostot

kuvaava potentiaalienergiafunktio on kuvan 1(b) mukaisesti epäsymmetrinen (ainetta on helpompi laajentaa kuin puristaa kokoon).

kuvaava potentiaalienergiafunktio on kuvan 1(b) mukaisesti epäsymmetrinen (ainetta on helpompi laajentaa kuin puristaa kokoon). 30 3 Lämpölaajeneminen, lämmön siirtyminen ja diffuusio 3-1 Lämpölaajeneminen Useimmat aineet laajenevat niiden lämpötilan noustessa. Tätä lämpölaajenemista (engl. thermal expansion) käytetään hyväksi