KJR-C2003 Virtausmekaniikan perusteet, K2017 Tentti, perjantai :00-12:00 Lue tehtävät huolellisesti. Selitä tehtävissä eri vaiheet.
|
|
- Matti Jokinen
- 6 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 KJR-C2003 Virtausmekaniikan perusteet, K2017 Tentti, perjantai :00-12:00 Lue tehtävät huolellisesti. Selitä tehtävissä eri vaiheet. Pelkät kaavat ja ratkaisu eivät riitä täysiin pisteisiin. Arvioinnin pääpiirteet on kuvattu kunkin tehtävän osalta alla. Pienten virheiden osalta olen käyttänyt ns. miinusperiaatetta, jossa pieni virhe (tyypillisesti laskuvirhe) tuottaa yhden miinuksen. Jos saman päätehtävän alla (1-5) on useampi miinus, lähtee tehtävästä puoli pistettä jokaista kahta miinusta kohden (kahdesta puoli pistettä, neljästä piste jne.). 1. Vastaa lyhyesti (enintään muutama virke) seuraaviin kysymyksiin. Jokaisesta kohdasta 1p. a) Mitä ominaisuutta fluidin viskositeetti kuvaa? Viskositeetti liittyy fluidin juoksevuuteen eli sen kykyyn vastustaa muodonmuutosta. Jos tämä ajatus on tuotu järjellisesti esille, tulee tästä yksi piste. b) Mitä eroa on kontrollitilavuudella ja systeemillä? Kontrollitilavuus on valittu kuvitteellinen tilavuus, jonka läpi voi tapahtua virtausta. Systeemi on valittu osa virtaavaa ainetta. Pisteen vastaus edellyttää, että on tuotu selvästi esille se, että systeemi liittyy materiaaliin ja kontrollitilavuus on tästä riippumaton, vapaasti valittava tilavuus. c) Selitä, mistä termeistä Navier-Stokes yhtälöt koostuvat eli mitä eri termit kuvaavat. Navier-Stokes yhtälöt kuvaavat nestealkion liikemäärän tasetta eli Newtonin toista lakia eli nestealkion kiihtyvyyden ja siihen vaikuttavien voimien yhteyttä. Yhtälöissä on tyypillisesti toisella puolella nestealkion kiihtyvyys, joka Eulerin kuvaustavalla koostuu lokaali- ja konvektiokiihtyvyydestä. Toisella puolella on nestealkioon vaikuttavat voimat, joita ovat jännitysten (paine ja leikkausjännitykset) ja kenttävoiman (tyypillisesti painovoima) aiheuttamat voimat. Puoli pistettä saa yhtälön fysikaalisesta merkityksestä ja puoli pistettä oikeista termeistä. d) Miten virtausta kuvaavat yhtälöt ovat yksinkertaistettavissa, jos virtaus oletetaan pyörteettömäksi? Tässä on oleellista se, että virtausta kuvaava yhtälö on pyörteettömässä tapauksessa Laplacen yhtälö. Laplacen yhtälö seuraa potentiaalifunktion tapauksessa jatkuvuusyhtälöstä ja virtafunktion tapauksessa pyörteettömyysehdosta. Liikemäärän (tai energian) säilymistä kuvaa tällöin Bernoullin yhtälö, joka on pyörteettömässä tapauksessa sovellettavissa minkä tahansa kahden pisteen välillä. Pisteen vastaus edellyttää, että molemmat yhtälöt on huomioitu vastauksessa. e) Miten virtaviivaisen ja tylpän kappaleen vastukset eroavat paine- ja kitkavastusosuuksien osalta ja miksi? Tylpän kappaleen tapauksessa suuri osa vastuksesta muodostuu painevastuksesta, joka liittyy virtauksen irtoamiseen. Virtaviivaisen kappaleen tapauksessa painevastuksen merkitys on vähäisempi ja vastukseen vaikuttaa pääasiassa rajakerroksen aiheuttama kitkavastus. Tylpän ja virtaviivaisen kappaleen vastuksen kuvauksesta tulee puoli pistettä kummastakin. f) Miten rajakerros vaikuttaa virtaviivoihin rajakerroksen ulkopuolella? Rajakerros työntää virtaviivoja kauemmas kappaleen pinnasta siirtymäpaksuuden verran. Pisteen vastaukseen riittää, että virtaviivojen siirtyminen ulospäin on tuotu jotenkin järjellisesti esille.
2 2. Oletetaan, että putkessa virtaavan nesteen synnyttämä leikkausjännitys seinällä t riippuu putken halkaisijasta D, tilavuusvirrasta Q, fluidin tiheydestä r ja kinemaattisesta viskositeetista u. Laboratoriokokeet halkaisijaltaan 6 cm putkella antoivat kuvan mukaiset tiedot. a) Määritä dimensioton riippuvuus tässä tapauksessa käyttäen toistuvien muuttujien menetelmää. (4p) Tehtävä ratkeaa suoraan käymällä läpi toistuvien muuttujien menetelmän eri vaiheet. Oleellista on määrittää ensiksi muuttujien yksiköt oikein (1 piste) ja valita oikea määrä toistuvia muuttujia siten, että ne ovat riippumattomia ja että leikkausjännitystä ei valita toistuvaksi muuttujaksi (1 piste). Huomaa esimerkiksi, että halkaisija, tilavuusvirta ja kinemaattinen viskositeetti eivät ole riippumattomia. Tämän jälkeen tehdään ei-toistuvat muuttujat dimensiottomiksi. Tästä tulee yksi piste, jos periaate on oikein eli määritetty dimensiottomat muuttujat ei-toistuvien ja toistuvien muuttujien tulona, jossa on tuntemattomat potenssit. Oikeasta tuloksesta eli dimensiottomista muuttujista ja riippuvuudesta tulee yksi piste. b) Määritä dimensioanalyysin ja mallidatan avulla leikkausjännitys virtaukselle, jossa putken halkaisija on 9,1cm ja tilavuusvirta on 0,042 m³/s. Virtaava neste on molemmissa tapauksissa vettä. (2p) Tässä on kyse similaarisuudesta ja siitä, miten dimensiottomia suureita voidaan käyttää tulosten skaalaamiseen kahden mittakaavan välillä. Jos dimensioton tilavuusvirta on molemmissa tapauksissa sama, on myös dimensioton leikkausjännitys sama. Nämä ehdot antavat skaalauslait. Mallidatasta täytyy siis löytää ensiksi tilavuusvirta, joka vastaa kysyttyä tilannetta (0,5 pistettä), katsoa käyrästä tätä vastaava mallidatan leikkausjännitys (0,5 pistettä) ja skaalata tämä leikkausjännitys dimensiottoman leikkausjännityksen avulla kysytylle putkelle (1 piste). Leikkausjännityksen tulisi olla noin 0,6 Pa. Kuva 1: Tehtävä 2 (Young et al, 2012)
3 3. Keskipakopumpun impelleri pyörii nopeudella 1200 rpm kuvan mukaisesti. Fluidi tulee pumppuun pyörimisakselin suuntaisesti ja lähtee pumpusta 30 o asteen kulmassa säteeseen nähden. Absoluuttinen nopeus V 2 ulosvirtauksessa on 30 m/s. a) Piirrä nopeuskolmio ulosvirtauksessa ja arvioi, mikä on pumpun siiven kulma ulosvirtauksessa suhteessa kehän tangenttiin. (2p) Oikein piirretystä nopeuskolmiosta tulee yksi piste. Siiven kulma voidaan arvioida suhteellisen nopeuden suunnan avulla, koska voidaan olettaa, että virtaus suhteessa impelleriin on suurin piirtein siiven suuntainen. Tämän periaatteesta tulee puoli pistettä ja oikeasta vastauksesta puoli pistettä. Kulma on noin 82 tai 98 astetta. b) Laske pumpun momentti, jos fluidin tiheys on 1000 kg/m 3? (2p) Pumpun momentti voidaan määrittää kulmaliikemäärän säilymisen perusteella. Momentti on yhtä suuri kuin kulmaliikemäärävuon erotus ulos- ja sisäänvirtauksien välillä. Kulmaliikemäärävuo riippuu absoluuttisen nopeuden tangentiaalikomponenteista sekä massavirrasta, jotka tunnetaan. Kulmaliikemäärän taseen käyttämisestä, nopeuskomponenttien määrittämisestä, massavirran määrittämisestä ja oikeasta ratkaisusta tulee kustakin puoli pistettä. Momentti on noin 1,38 knm. c) Laske pumpun teho ja vastaava nostokorkeus? (2p) Pumpun teho saadaan kertomalla momentti kulmanopeudella. Nostokorkeus voidaan määrittää käyttäen energiayhtälöä, koska nostokorkeus kuvaa pumpun systeemiin tuomaa energiaa. Tämän perusteella nostokorkeus saadaan tehon ja tilavuusvirran avulla. Tehon laskennan ja nostokorkeuden laskennan periaatteesta saa kummastakin puoli pistettä ja oikeasta tehosta ja nostokorkeudesta kummastakin puoli pistettä. Pumpun teho on noin 173 kw ja nostokorkeus noin 28,8 m. Kuva 2: Tehtävä 3 (Young et al, 2012)
4 4. Vesi virtaa kuvan mukaisesti kahtena vapaana suihkuna putkeen kiinnitetyn t-liittimen kautta. Oletetaan, että viskositeetin ja painovoiman vaikutus on merkityksetön. Tehtävänäsi on ratkaista putken kohdistama tukivoima liittimeen. a) Piirrä kontrollitilavuus, jota voit käyttää voimien ratkaisemiseen. (1p) Tässä riittää, että kontrollitilavuus on järkevästi valittu. Tämä edellyttää, että kontrollitilavuus kulkee putken ja liittimen välistä. Liitin voi sisältyä kontrollitilavuuteen tai olla sisältymättä. Tämä valinta pitää kuitenkin osata ottaa huomioon kohdassa b tai tästä sakotetaan. b) Kuvaa kaikki valitsemaasi kontrollitilavuuteen vaikuttavat voimat. (1p) Jos kontrollitilavuudeksi on valittu fluidi ja liitin, vaikuttaa siihen ainoastaan painevoima sisäänvirtauksessa ja putken liittimeen kohdistama tukivoima. Jos kontrollitilavuudeksi on valittu pelkkä fluidi, vaikuttaa siihen sama painevoima sisäänvirtauksessa sekä liittimen fluidiin kohdistama voima. c) Määritä tukivoiman x- ja y-komponentit. (4p) Ratkaisu riippuu valitusta kontrollitilavuudesta. Jos liitin sisältyy kontrollitilavuuteen, on ratkaisu suoraviivainen ja liikemäärätase kontrollitilavuudelle antaa suoraan kysytyn tukivoiman. Jos kontrollitilavuus sisältää pelkän fluidin, pitää tämän lisäksi kirjoittaa liittimelle oma tasapainoyhtälö, jossa on fluidin liittimeen kohdistama voima ja putken liittimeen kohdistama kysytty tukivoima. Ratkaisu y- suunnassa on suoraviivainen, koska kaikki tarvittavat suureet on annettu tehtävänannossa. Tämän osalta puoli pistettä tulee oikeista voimakomponenteista, puoli pistettä oikeasta liikemäärävuosta ja puoli pistettä oikeasta ratkaisusta. Riippumatta lähestymistavasta, pitää x-suuntaista komponenttia varten tuntematon nopeus sisäänvirtauksessa osata ratkaista jatkuvuusyhtälöstä ja tuntematon paine sisäänvirtauksessa Bernoullin yhtälöstä. Molemmista saa puoli pistettä. Oikeista voimista tulee puoli pistettä, oikeista liikemäärävuotermeistä puoli pistettä ja oikeasta ratkaisusta puoli pistettä. Tukivoima on 72 kn vasemmalle ja 68 kn ylöspäin. Kuva 3: Tehtävä 4 (Young et al, 2012)
5 5. Vettä (tiheys 1000 kg/m 3 ) pumpataan suuresta tankista (kuva). Painehäviöiden tiedetään olevan 4rV 2 /2 ja pumpun nostokorkeus on h p = 20 40Q 2, jossa h p :n yksikkö on m ja Q:n m 3 /s. Tehtävänäsi on määrittää tilavuusvirta ja pumpun teho. a) Kuvaa tunnetut suureet ja yhtälöt, joita tarvitset tehtävän ratkaisemiseksi. (2p) Tunnettuja suureita ovat paine tankin pinnalla (ilmanpaine tai nolla), paine suihkussa (ilmanpaine tai nolla; vapaa suihku), nopeus tankin pinnalla, joka voidaan olettaa nollaksi, koska tankki on suuri, sekä asemakorkeudet. Ratkaisemiseen tarvitaan laajennettua Bernoullin yhtälöä sekä jatkuvuusyhtälöä. Suureista tulee piste ja yhtälöistä toinen piste. b) Määritä tilavuusvirta. (2p) Ratkaisu perustuu laajennetun Bernoullin yhtälön soveltamiseen. Periaatteen osalta on oleellista, että on osattu käyttää oikeaa muotoa laajennetusta Bernoullin yhtälöstä, asettaa oikeat termit nolliksi, käyttää häviötä ja nousukorkeutta oikein siten, että yksiköt täsmäävät yhtälön muiden termien kanssa sekä hyödyntää jatkuvuusyhtälöä tilavuusvirran sijoittamiseksi yhtälöön. Oikea tilavuusvirta on noin 0,087 m 3 /s. Puoli pistettä tulee siitä, että on osattu käyttää tunnettuja suureita laajennetussa Bernoullin yhtälössä, puoli pistettä tulee häviöiden ja puoli pistettä pumpun nostokorkeuden yhdistämisestä yhtälöön oikeassa muodossa yhden tuntemattoman funktiona ja oikeasta vastauksesta tulee vielä puoli pistettä. c) Määritä pumpun teho. (2p) Teho saadaan suoraviivaisesti nostokorkeuden ja massavirran avulla, kun tilavuusvirta tunnetaan. Teho on noin 16,8 kw. Tehon ja nostokorkeuden välisestä yhteydestä tulee yksi piste, nostokorkeuden laskemisesta tilavuusvirrasta tulee puoli pistettä ja oikeasta tehosta puoli pistettä. Kuva 4: Tehtävä 5 (Young et al, 2012)
KJR-C2003 Virtausmekaniikan perusteet, K2017 Tentti, pe :00-17:00 Lue tehtävät huolellisesti. Selitä tehtävissä eri vaiheet.
KJR-C2003 Virtausmekaniikan perusteet, K2017 Tentti, pe 16.2.2018 13:00-17:00 Lue tehtävät huolellisesti. Selitä tehtävissä eri vaiheet. Pelkät kaavat ja ratkaisu eivät riitä täysiin pisteisiin. Arvioinnin
LisätiedotKJR-C2003 Virtausmekaniikan perusteet, K2017 Tentti, perjantai klo 12:00-16:00 Lue tehtävät huolellisesti. Selitä tehtävissä eri vaiheet.
KJR-C2003 Virtausmekaniikan perusteet, K2017 Tentti, perjantai 1.9.2017 klo 12:00-16:00 Lue tehtävät huolellisesti. Selitä tehtävissä eri vaiheet. Pelkät kaavat ja ratkaisu eivät riitä täysiin pisteisiin.
LisätiedotKertaus 3 Putkisto ja häviöt, pyörivät koneet. KJR-C2003 Virtausmekaniikan perusteet
Kertaus 3 Putkisto ja häviöt, pyörivät koneet KJR-C2003 Virtausmekaniikan perusteet Käsitteelliset tehtävät Käsitteelliset tehtävät Ulkopuoliset virtaukset Miten Reynoldsin luku vaikuttaa rajakerrokseen?
Lisätiedot4. Kontrollitilavuusajattelu ja massan säilyminen. KJR-C2003 Virtausmekaniikan perusteet
4. Kontrollitilavuusajattelu ja massan säilyminen KJR-C2003 Virtausmekaniikan perusteet Päivän anti Miten partikkelisysteemiin liittyvän suuren säilyminen esitetään tarkastelualueen taseena ja miten massan
Lisätiedot17. Pyörivät virtauskoneet. KJR-C2003 Virtausmekaniikan perusteet
17. Pyörivät virtauskoneet KJR-C2003 Virtausmekaniikan perusteet Päivän anti Mikä on pyörivä virtauskone ja miten sen toimintaa ja suorituskykyä voidaan tarkastella opitun perusteella? Motivointi: pyörivät
Lisätiedot(b) Määritä pumpun todellinen nostokorkeus, jos pumpun hyötysuhde on 65 %. 160 mm. 100 mm. 650 rpm. Kuva 1: Tehtävän asettelu.
Tehtävä 1 Kuvan keskipakopumppu pumppaa vettä (ρ = 998 kg/m 3 ) tilavuusvirralla 180 l/s. Pumpun pesän korkeus on mm. Oletetaan, että sisäänvirtauksessa absoluuttisella nopeudella ei ole tangentiaalista
Lisätiedot7. Differentiaalimuotoinen jatkuvuusyhtälö. KJR-C2003 Virtausmekaniikan perusteet
7. Differentiaalimuotoinen jatkuvuusyhtälö KJR-C2003 Virtausmekaniikan perusteet Päivän anti Miten lähestymistapaa pitää muuttaa, jos halutaan tarkastella virtausta lokaalisti globaalin tasetarkastelun
Lisätiedot9. Kitkaton virtaus ja potentiaaliteoria. KJR-C2003 Virtausmekaniikan perusteet
9. Kitkaton virtaus ja potentiaaliteoria KJR-C2003 Virtausmekaniikan perusteet Päivän anti Miten ja millä edellytyksillä virtausongelmaa voidaan yksinkertaistaa? Motivointi: Navier-Stokes yhtälöiden ratkaiseminen
Lisätiedot14. Putkivirtausten ratkaiseminen. KJR-C2003 Virtausmekaniikan perusteet
14. Putkivirtausten ratkaiseminen KJR-C2003 Virtausmekaniikan perusteet Päivän anti Miten erilaisia putkistovirtausongelmia ratkaistaan? Motivointi: putkijärjestelmien mitoittaminen sekä painehäviöiden
Lisätiedot(c) Kuinka suuri suhteellinen virhe painehäviön laskennassa tehdään, jos virtaus oletetaan laminaariksi?
Tehtävä 1 Vettä (10 astetta) virtaa suorassa valurautaisessa (cast iron) putkessa, jonka sisähalkaisija on 100 mm ja pituus 70 m. Tilavuusvirta on 15 litraa minuutissa. (a) Osoita, että virtaus on turbulenttia.
Lisätiedot(b) Tunnista a-kohdassa saadusta riippuvuudesta virtausmekaniikassa yleisesti käytössä olevat dimensiottomat parametrit.
Tehtävä 1 Oletetaan, että ruiskutussuuttimen nestepisaroiden halkaisija d riippuu suuttimen halkaisijasta D, suihkun nopeudesta V sekä nesteen tiheydestä ρ, viskositeetista µ ja pintajännityksestä σ. (a)
Lisätiedot(a) Potentiaali ja virtafunktiot saadaan suoraan summaamalla lähteen ja pyörteen funktiot. Potentiaalifunktioksi
Tehtävä 1 Tornadon virtauskenttää voidaan approksimoida kaksiulotteisen nielun ja pyörteen summana Oleta, että nielun voimakkuus on m < ja pyörteen voimakkuus on > (a Määritä tornadon potentiaali- ja virtafunktiot
LisätiedotKJR-C2003 MAE130A UCI ME336 UTSA Summer2015 Lecture 01 Mitä tarkoittaa fluidi?
KJR-C2003 MAE130A UCI ME336 UTSA Summer2015 Lecture 01 Mitä tarkoittaa fluidi? Intro Fluid Mechanics Mitkä lait pitää toteutua virtauksessa? Aineominaisuudet Viskositeetti, liukumattomuusehto Leikkausjännitys
Lisätiedot0. Johdatus virtausmekaniikkaan ( , 1.11, 23 s.)
Kurssin keskeinen sisältö 0. Johdatus virtausmekaniikkaan (1.1-1.8, 1.11, 23 s.) Mitä virtaus on, miksi se on kiinnostavaa ja mitkä ovat siihen keskeisesti liittyvät käsitteet? Motivointi: Flows occur
Lisätiedoty 2 h 2), (a) Näytä, että virtauksessa olevan fluidialkion tilavuus ei muutu.
Tehtävä 1 Tarkastellaan paineen ajamaa Poisseuille-virtausta kahden yhdensuuntaisen levyn välissä Levyjen välinen etäisyys on 2h Nopeusjakauma raossa on tällöin u(y) = 1 dp ( y 2 h 2), missä y = 0 on raon
LisätiedotChapter 1. Preliminary concepts
Chapter 1 Preliminary concepts osaa kuvata Reynoldsin luvun vaikutuksia virtaukseen osaa kuvata virtauksen kannalta keskeiset aineominaisuudet ja tietää tai osaa päätellä näiden yksiköt osaa tarvittaessa
LisätiedotLuku 13. Kertausta Hydrostaattinen paine Noste
Luku 13 Kertausta Hydrostaattinen paine Noste Uutta Jatkuvuusyhtälö Bernoullin laki Virtauksen mallintaminen Esitiedot Voiman ja energian käsitteet Liike-energia ja potentiaalienergia Itseopiskeluun jää
Lisätiedot11. Dimensioanalyysi. KJR-C2003 Virtausmekaniikan perusteet
11. Dimensioanalyysi KJR-C2003 Virtausmekaniikan perusteet Päivän anti Miten yksittäisen virtaustapauksen tuloksia voidaan yleistää tarkastelemalla ilmiöön liittyvien suureiden yksiköitä? Motivointi: dimensioanalyysin
Lisätiedot15. Rajakerros ja virtaus kappaleiden ympäri. KJR-C2003 Virtausmekaniikan perusteet
15. Rajakerros ja virtaus kappaleiden ympäri KJR-C2003 Virtausmekaniikan perusteet Päivän anti Miten virtaus käyttäytyy fluidiin upotetun kappaleen ympärillä ja erityisesti sen välittömässä läheisyydessä?
LisätiedotEsim: Mikä on tarvittava sylinterin halkaisija, jolla voidaan kannattaa 10 KN kuorma (F), kun käytettävissä on 100 bar paine (p).
3. Peruslait 3. PERUSLAIT Hydrauliikan peruslait voidaan jakaa hydrostaattiseen ja hydrodynaamiseen osaan. Hydrostatiikka käsittelee levossa olevia nesteitä ja hydrodynamiikka virtaavia nesteitä. Hydrauliikassa
LisätiedotLuku 13. Kertausta Hydrostaattinen paine Noste
Luku 13 Kertausta Hydrostaattinen paine Noste Uutta Jatkuvuusyhtälö Bernoullin laki Virtauksen mallintaminen Esitiedot Voiman ja energian käsitteet Liike-energia ja potentiaalienergia Itseopiskeluun jää
LisätiedotFluidi virtaa vaakasuoran pinnan yli. Pinnan lähelle muodostuvan rajakerroksen nopeusjakaumaa voidaan approksimoida funktiolla
Tehtävä 1 Fluidi virtaa vaakasuoran pinnan yli. Pinnan lähelle muodostuvan rajakerroksen nopeusjakaumaa voidaan approksimoida funktiolla ( πy ) u(y) = U sin, kun 0 < y < δ. 2δ Tässä U on nopeus kaukana
Lisätiedot12. Mallikokeet. KJR-C2003 Virtausmekaniikan perusteet
12. Mallikokeet KJR-C2003 Virtausmekaniikan perusteet Päivän anti Miten sama virtausongelma voidaan mallintaa eri asetelmalla ja miten tämä on perusteltavissa dimensioanalyysillä? Motivointi: useissa käytännön
LisätiedotMekaniikan jatkokurssi Fys102
Mekaniikan jatkokurssi Fys10 Kevät 010 Jukka Maalampi LUENTO 10 Noste Nesteeseen upotettuun kappaleeseen vaikuttaa nesteen pintaa kohti suuntautuva nettovoima, noste F B Kappaleen alapinnan kohdalla nestemolekyylien
LisätiedotLuvun 12 laskuesimerkit
Luvun 12 laskuesimerkit Esimerkki 12.1 Mikä on huoneen sisältämän ilman paino, kun sen lattian mitat ovat 4.0m 5.0 m ja korkeus 3.0 m? Minkälaisen voiman ilma kohdistaa lattiaan? Oletetaan, että ilmanpaine
LisätiedotKuva 1. Virtauksen nopeus muuttuu poikkileikkauksen muuttuessa
8. NESTEEN VIRTAUS 8.1 Bernoullin laki Tässä laboratoriotyössä tutkitaan nesteen virtausta ja virtauksiin liittyviä energiahäviöitä. Yleisessä tapauksessa nesteiden virtauksen käsittely on matemaattisesti
Lisätiedot3. Bernoullin yhtälön käyttö. KJR-C2003 Virtausmekaniikan perusteet
3. Bernoullin yhtälön käyttö KJR-C2003 Virtausmekaniikan perusteet Päivän anti Mitä Bernoullin yhtälö tarkoittaa ja miten sitä voidaan käyttää virtausongelmien ratkaisemiseen? Motivointi: virtausnopeuden
LisätiedotViikon aiheena putkivirtaukset
Viikon aiheena putkivirtaukset Tänään keskitytään putkivirtausten luonteeseen ja keskeisiin käsitteisiin Seuraavalla kerralla putkivirtausongelmien ratkaisemisesta Putkivirtausten käytännön relevanssi
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 22.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Rotaatioliikkeen kinematiikka: kulmanopeus ja -kiihtyvyys (Kirjan luvut 12.7, 16.3) Osaamistavoitteet Osata analysoida jäykän
LisätiedotDiplomi-insinöörien ja arkkitehtien yhteisvalinta - dia-valinta 2013 Insinöörivalinnan fysiikan koe 29.5.2013, malliratkaisut
A1 Ampumahiihtäjä ampuu luodin vaakasuoraan kohti maalitaulun keskipistettä. Luodin lähtönopeus on v 0 = 445 m/s ja etäisyys maalitauluun s = 50,0 m. a) Kuinka pitkä on luodin lentoaika? b) Kuinka kauaksi
LisätiedotFysiikan perusteet. Voimat ja kiihtyvyys. Antti Haarto
Fysiikan perusteet Voimat ja kiihtyvyys Antti Haarto.05.01 Voima Vuorovaikutusta kahden kappaleen välillä tai kappaleen ja sen ympäristön välillä (Kenttävoimat) Yksikkö: newton, N = kgm/s Vektorisuure
Lisätiedot0. Johdatus virtausmekaniikkaan. KJR-C2003 Virtausmekaniikan perusteet
0. Johdatus virtausmekaniikkaan KJR-C2003 Virtausmekaniikan perusteet Päivän anti Mitä virtaus on, miksi se on kiinnostavaa ja mitkä ovat siihen keskeisesti liittyvät käsitteet? Motivointi: Flows occur
LisätiedotKULJETUSSUUREET Kuljetussuureilla tai -ominaisuuksilla tarkoitetaan kaasumaisen, nestemäisen tai kiinteän väliaineen kykyä siirtää ainetta, energiaa, tai jotain muuta fysikaalista ominaisuutta paikasta
LisätiedotMUISTIO No CFD/MECHA pvm 22. kesäkuuta 2011
Aalto yliopisto Insinööritieteiden korkeakoulu Virtausmekaniikka / Sovelletun mekaniikan laitos MUISTIO No CFD/MECHA-17-2012 pvm 22. kesäkuuta 2011 OTSIKKO Hilatiheyden määrittäminen ennen simulointia
LisätiedotFYSIIKKA. Mekaniikan perusteita pintakäsittelijöille. Copyright Isto Jokinen; Käyttöoikeus opetuksessa tekijän luvalla. - Laskutehtävien ratkaiseminen
FYSIIKKA Mekaniikan perusteita pintakäsittelijöille - Laskutehtävien ratkaiseminen - Nopeus ja keskinopeus - Kiihtyvyys ja painovoimakiihtyvyys - Voima - Kitka ja kitkavoima - Työ - Teho - Paine LASKUTEHTÄVIEN
LisätiedotMekaniikan jatkokurssi Fys102
Mekaniikan jatkokurssi Fys102 Kevät 2010 Jukka Maalampi LUENTO 2-3 Vääntömomentti Oletus: Voimat tasossa, joka on kohtisuorassa pyörimisakselia vastaan. Oven kääntämiseen tarvitaan eri suuruinen voima
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 30.3.2016 Susanna Hurme Yleisen tasoliikkeen kinetiikka (Kirjan luku 17.5) Osaamistavoitteet Osata ratkaista voimia ja niiden aiheuttamia kiihtyvyyksiä tasoliikkeessä
LisätiedotKJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet, tentti
KJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet, tentti 13.12.2017 1. Jos r θ on paikkavektori, niin mitä ovat r θ, esitksiä r θ ja r θ? Kätä Karteesisen koordinaatiston T θ θ r < j < j zθ θ k k z ja / θ < j
LisätiedotVanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016
Vanhoja koetehtäviä Analyyttinen geometria 016 1. Määritä luvun a arvo, kun piste (,3) on käyrällä a(3x + a) = (y - 1). Suora L kulkee pisteen (5,1) kautta ja on kohtisuorassa suoraa 6x + 7y - 19 = 0 vastaan.
LisätiedotKitka ja Newtonin lakien sovellukset
Kitka ja Newtonin lakien sovellukset Haarto & Karhunen Tavallisimpia voimia: Painovoima G Normaalivoima, Tukivoima Jännitysvoimat Kitkavoimat Voimat yleisesti F f T ja s f k N Vapaakappalekuva Kuva, joka
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 15.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Translaatioliikkeen kinematiikka: asema, nopeus ja kiihtyvyys (Kirjan luvut 12.1-12.5, 16.1 ja 16.2) Osaamistavoitteet Ymmärtää
LisätiedotKJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet, tentti (esimerkki)
KJR-00 Kontinuumimekaniikan perusteet, tentti (esimerkki) 1. Liikemäärän momentin taseen periaatteen soeltaminen kappalealkioon johtaa lokaaliin muotoon σ θ ( ρ r ) < 0, jossa alaindeksi tarkoittaa akiota
Lisätiedot5-2. a) Valitaan suunta alas positiiviseksi. 55 N / 6,5 N 8,7 m/s = =
TEHTÄVIEN RATKAISUT 5-1. a) A. Valitaan suunta vasemmalle positiiviseksi. Alustan suuntainen kokonaisvoima on ΣF = 19 N + 17 N -- 16 N = 0 N vasemmalle. B. Valitaan suunta oikealle positiiviseksi. Alustan
LisätiedotHarjoitus 10. KJR-C2001 Kiinteän aineen mekaniikan perusteet, IV/2016
Kotitehtävät palautetaan viimeistään keskiviikkoisin ennen luentojen alkua eli klo 14:00 mennessä. Muistakaa vastaukset eri tehtäviin palautetaan eri lokeroon! Joka kierroksen arvostellut kotitehtäväpaperit
LisätiedotJännite, virran voimakkuus ja teho
Jukka Kinkamo, OH2JIN oh2jin@oh3ac.fi +358 44 965 2689 Jännite, virran voimakkuus ja teho Jännite eli potentiaaliero mitataan impedanssin yli esiintyvän jännitehäviön avulla. Koska käytännön radioamatöörin
LisätiedotKOE 3, A-OSIO Agroteknologia Agroteknologian pääsykokeessa saa olla mukana kaavakokoelma
KOE 3, A-OSIO Agroteknologia Agroteknologian pääsykokeessa saa olla mukana kaavakokoelma Sekä A- että B-osiosta tulee saada vähintään 10 pistettä. Mikäli A-osion pistemäärä on vähemmän kuin 10 pistettä,
LisätiedotMAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:
MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 16.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Translaatioliikkeen kinetiikka (Kirjan luvut 12.6, 13.1-13.3 ja 17.3) Oppimistavoitteet Ymmärtää, miten Newtonin toisen lain
LisätiedotLiike ja voima. Kappaleiden välisiä vuorovaikutuksia ja niistä aiheutuvia liikeilmiöitä
Liike ja voima Kappaleiden välisiä vuorovaikutuksia ja niistä aiheutuvia liikeilmiöitä Tasainen liike Nopeus on fysiikan suure, joka kuvaa kuinka pitkän matkan kappale kulkee tietyssä ajassa. Nopeus voidaan
LisätiedotLaskuharjoitus 7 Ratkaisut
Vastaukset palautetaan yhtenä PDF-tiedostona MyCourses:iin 25.4. klo 14 mennessä. Mahdolliset asia- ja laskuvirheet ja voi ilmoittaa osoitteeseen serge.skorin@aalto.fi. Laskuharjoitus 7 Ratkaisut 1. Kuvan
LisätiedotPHYS-A3121 Termodynamiikka (ENG1) (5 op)
PHYS-A3121 Termodynamiikka (ENG1) (5 op) Sisältö: Nestevirtaukset Elastiset muodonmuutokset Kineettinen kaasuteoria Termodynamiikan käsitteet Termodynamiikan pääsäännöt Termodynaamiset prosessit Termodynaamiset
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 31.3.2016 Susanna Hurme Dynamiikan välikoe 4.4.2016 Ajankohta ma 4.4.2016 klo 16:30 19:30 Salijako Aalto-Sali: A-P (sukunimen alkukirjaimen mukaan) Ilmoittautuminen
LisätiedotAUTON LIIKETEHTÄVIÄ: KESKIKIIHTYVYYS ak JA HETKELLINEN KIIHTYVYYS a(t) (tangenttitulkinta) sekä matka fysikaalisena pinta-alana (t,
AUTON LIIKETEHTÄVIÄ: KESKIKIIHTYVYYS ak JA HETKELLINEN KIIHTYVYYS a(t) (tangenttitulkinta) sekä matka fysikaalisena pinta-alana (t, v)-koordinaatistossa ruutumenetelmällä. Tehtävä 4 (~YO-K97-1). Tekniikan
LisätiedotLaskuharjoitus 1 Ratkaisut
Vastaukset palautetaan yhtenä PDF-tiedostona MyCourses:iin ke 28.2. klo 14 mennessä. Mahdolliset asia- ja laskuvirheet ja voi ilmoittaa osoitteeseen serge.skorin@aalto.fi. Laskuharjoitus 1 Ratkaisut 1.
LisätiedotKeski-Suomen fysiikkakilpailu
Keski-Suomen fysiikkakilpailu 28.1.2016 Kilpailussa on kolme kirjallista tehtävää ja yksi kokeellinen tehtävä. Kokeellisen tehtävän ohjeistus on laatikossa mittausvälineiden kanssa. Jokainen tehtävä tulee
LisätiedotLuento 16: Fluidien mekaniikka
Luento 16: Fluidien mekaniikka Johdanto ja käsitteet Sovelluksia Bernoullin laki Luennon sisältö Johdanto ja käsitteet Sovelluksia Bernoullin laki Jatkuvan aineen mekaniikka Väliaine yhteisnimitys kaasuilla
LisätiedotA B = (1, q, q 2 ) (2, 0, 2) = 2 2q q 2 = 0 q 2 = 1 q = ±1 A(±1) = (1, ±1, 1) A(1) A( 1) = (1, 1, 1) (1, 1, 1) = A( 1) A(1) A( 1) = 1
Mapu I Viikko 4 tehtävä malli Millä q:n arvoilla vektori A(q) (, q, q ) on kohtisuora vektorin B (, 0, ) kanssa? Ovatko A:n eri ratkaisut keskenään kohtisuoria? Jos eivät, määrää niiden välinen kulma!
Lisätiedota) Piirrä hahmotelma varjostimelle muodostuvan diffraktiokuvion maksimeista 1, 2 ja 3.
Ohjeita: Tee jokainen tehtävä siististi omalle sivulleen/sivuilleen. Merkitse jos tehtävä jatkuu seuraavalle konseptille. Kirjoita ratkaisuihin näkyviin tarvittavat välivaiheet ja perustele lyhyesti käyttämästi
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 2.3.2016 Susanna Hurme äivän aihe: Staattisesti määrätyn rakenteen tukireaktiot (Kirjan luvut 5.7 ja 6.6) Osaamistavoitteet: Ymmärtää, mitä tarkoittaa staattisesti
Lisätiedot2.3 Voiman jakaminen komponentteihin
Seuraavissa kappaleissa tarvitaan aina silloin tällöin taitoa jakaa voima komponentteihin sekä myös taitoa suorittaa sille vastakkainen operaatio eli voimien resultantin eli kokonaisvoiman laskeminen.
LisätiedotSorptiorottorin ja ei-kosteutta siirtävän kondensoivan roottorin vertailu ilmanvaihdon jäähdytyksessä
Sorptiorottorin ja ei-kosteutta siirtävän kondensoivan roottorin vertailu ilmanvaihdon jäähdytyksessä Yleista Sorptioroottorin jäähdytyskoneiston jäähdytystehontarvetta alentava vaikutus on erittän merkittävää
LisätiedotL a = L l. rv a = Rv l v l = r R v a = v a 1, 5
Tehtävä a) Energia ja rataliikemäärämomentti säilyy. Maa on r = AU päässä auringosta. Mars on auringosta keskimäärin R =, 5AU päässä. Merkitään luotaimen massaa m(vaikka kuten tullaan huomaamaan sitä ei
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 29.3.2016 Susanna Hurme Yleisen tasoliikkeen kinematiikka: absoluuttinen ja suhteellinen liike, rajoitettu liike (Kirjan luvut 16.4-16.7) Osaamistavoitteet Ymmärtää,
LisätiedotLaskun vaiheet ja matemaattiset mallit
Laskun vaiheet ja matemaattiset mallit Jukka Sorjonen sorjonen.jukka@gmail.com 26. syyskuuta 2016 Jukka Sorjonen (Jyväskylän Normaalikoulu) Mallit ja laskun vaiheet 26. syyskuuta 2016 1 / 14 Hieman kertausta
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 23.2.2016 Susanna Hurme Tervetuloa kurssille! Mitä on statiikka? Mitä on dynamiikka? Miksi niitä opiskellaan? Päivän aihe: Voiman käsite ja partikkelin tasapaino
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka
K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π
LisätiedotMAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:
MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: 1 Funktio 1.1 Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet: 1 1. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä.
LisätiedotLaskun vaiheet ja matemaattiset mallit
Laskun vaiheet ja matemaattiset mallit Jukka Sorjonen sorjonen.jukka@gmail.com 28. syyskuuta 2016 Jukka Sorjonen (Jyväskylän Normaalikoulu) Mallit ja laskun vaiheet 28. syyskuuta 2016 1 / 22 Hieman kertausta
LisätiedotTEHTÄVIEN RATKAISUT. b) 105-kiloisella puolustajalla on yhtä suuri liikemäärä, jos nopeus on kgm 712 p m 105 kg
TEHTÄVIEN RATKAISUT 15-1. a) Hyökkääjän liikemäärä on p = mv = 89 kg 8,0 m/s = 71 kgm/s. b) 105-kiloisella puolustajalla on yhtä suuri liikemäärä, jos nopeus on kgm 71 p v = = s 6,8 m/s. m 105 kg 15-.
LisätiedotLuvun 5 laskuesimerkit
Luvun 5 laskuesimerkit Esimerkki 5.1 Moottori roikkuu oheisen kuvan mukaisessa ripustuksessa. a) Mitkä ovat kahleiden jännitykset? b) Mikä kahleista uhkaa katketa ensimmäisenä? Piirretäänpä parit vapaakappalekuvat.
LisätiedotPHYS-A3121 Termodynamiikka (ENG1) (5 op)
PHYS-A3121 Termodynamiikka (ENG1) (5 op) Sisältö: Nestevirtaukset Elastiset muodonmuutokset Kineettinen kaasuteoria Termodynamiikan käsitteet Termodynamiikan pääsäännöt Termodynaamiset prosessit Termodynaamiset
LisätiedotLuento 10. Virtaventtiilit Vastusventtiilit Virransäätöventtiilit Virranjakoventtiilit. BK60A0100 Hydraulitekniikka
Luento 10 Virtaventtiilit Vastusventtiilit Virransäätöventtiilit Virranjakoventtiilit BK60A0100 Hydraulitekniikka 1 Yleistä Toimilaitteen liikenopeus määräytyy sen syrjäytystilavuuden ja sille tuotavan
LisätiedotLineaarialgebra MATH.1040 / voima
Lineaarialgebra MATH.1040 / voima 1 Seuraavaksi määrittelemme kaksi vektoreille määriteltyä tuloa; pistetulo ja. Määritelmät ja erilaiset tulojen ominaisuudet saattavat tuntua, sekavalta kokonaisuudelta.
Lisätiedotx + 1 πx + 2y = 6 2y = 6 x 1 2 πx y = x 1 4 πx Ikkunan pinta-ala on suorakulmion ja puoliympyrän pinta-alojen summa, eli
BM0A5810 - Differentiaalilaskenta ja sovellukset Harjoitus, Syksy 015 1. a) Funktio f ) = 1) vaihtaa merkkinsä pisteissä = 1, = 0 ja = 1. Lisäksi se on pariton funktio joten voimme laskea vain pinta-alan
Lisätiedotax + y + 2z = 0 2x + y + az = b 2. Kuvassa alla on esitetty nesteen virtaus eräässä putkistossa.
BM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 7, Syksy 206 Tutkitaan yhtälöryhmää x + y + z 0 2x + y + az b ax + y + 2z 0 (a) Jos a 0 ja b 0 niin mikä on yhtälöryhmän ratkaisu? Tulkitse ratkaisu
LisätiedotErään piirikomponentin napajännite on nolla, eikä sen läpi kulje virtaa ajanhetkellä 0 jännitteen ja virran arvot ovat. 500t.
DEE- Piirianalyysi Harjoitus / viikko 4 Erään piirikomponentin napajännite on nolla, eikä sen läpi kulje virtaa ajanhetkellä jännitteen ja virran arvot ovat t Kun t, v te t 5t 8 V, i te t 5t 5 A, a) Määritä
Lisätiedoton radan suuntaiseen komponentti eli tangenttikomponentti ja on radan kaarevuuskeskipisteeseen osoittavaan komponentti. (ks. kuva 1).
H E I L U R I T 1) Matemaattinen heiluri = painottoman langan päässä heilahteleva massapiste (ks. kuva1) kuva 1. - heilurin pituus l - tasapainoasema O - ääriasemat A ja B - heilahduskulma - heilahdusaika
LisätiedotLuento 10: Työ, energia ja teho. Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho
Luento 10: Työ, energia ja teho Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho 1 / 23 Luennon sisältö Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho 2 / 23 Johdanto Energia suure, joka voidaan muuttaa muodosta toiseen,
LisätiedotLuvun 10 laskuesimerkit
Luvun 10 laskuesimerkit Esimerkki 10.1 Tee-se-itse putkimies ei saa vesiputken kiinnitystä auki putkipihdeillään, joten hän päättää lisätä vääntömomenttia jatkamalla pihtien vartta siihen tiukasti sopivalla
LisätiedotLuvun 5 laskuesimerkit
Luvun 5 laskuesimerkit Huom: luvun 4 kohdalla luennolla ei ollut laskuesimerkkejä, vaan koko luvun 5 voi nähdä kokoelmana sovellusesimerkkejä edellisen luvun asioihin! Esimerkki 5.1 Moottori roikkuu oheisen
LisätiedotJuuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) sin 50 = sin ( ) = sin 130 = 0,77
Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty.5.07 Kertaus K. a) sin 0 = 0,77 b) cos ( 0 ) = cos 0 = 0,6 c) sin 50 = sin (80 50 ) = sin 0 = 0,77 d) tan 0 = tan (0 80 ) = tan 0 =,9 e)
Lisätiedot= 6, Nm 2 /kg kg 71kg (1, m) N. = 6, Nm 2 /kg 2 7, kg 71kg (3, m) N
t. 1 Auringon ja kuun kohdistamat painovoimat voidaan saada hyvin tarkasti laksettua Newtonin painovoimalailla, koska ne ovat pallon muotoisia. Junalle sillä saadaan selville suuruusluokka, joka riittää
LisätiedotHarjoitus 3: Hydrauliikka + veden laatu
Harjoitus 3: Hydrauliikka + veden laatu 14.10.015 Harjoitusten aikataulu Aika Paikka Teema Ke 16.9. klo 1-14 R00/R1 1) Globaalit vesikysymykset Ke 3.9 klo 1-14 R00/R1 1. harjoitus: laskutupa Ke 30.9 klo
LisätiedotMekaniikan jatkokurssi Fys102
Mekaniikan jatkokurssi Fys10 Kevät 010 Jukka Maalampi LUENTO 8 Vaimennettu värähtely Elävässä elämässä heilureiden ja muiden värähtelijöiden liike sammuu ennemmin tai myöhemmin. Vastusvoimien takia värähtelijän
Lisätiedotg-kentät ja voimat Haarto & Karhunen
g-kentät ja voimat Haarto & Karhunen Voima Vuorovaikutusta kahden kappaleen välillä tai kappaleen ja sen ympäristön välillä (Kenttävoimat) Yksikkö: newton, N = kgm/s Vektorisuure Aiheuttaa kappaleelle
LisätiedotVirtaus ruiskutusventtiilin reiästä
Jukka Kiijärvi Virtaus ruiskutusventtiilin reiästä Kaasu- ja polttomoottorin uudet tekniset mahdollisuudet Polttomoottori- ja turbotekniikan seminaari 2014-05-15 Otaniemi Teknillinen tiedekunta, sähkö-
Lisätiedot5.3 Ensimmäisen asteen polynomifunktio
Yllä olevat polynomit P ( x) = 2 x + 1 ja Q ( x) = 2x 1 ovat esimerkkejä 1. asteen polynomifunktioista: muuttujan korkein potenssi on yksi. Yleisessä 1. asteen polynomifunktioissa on lisäksi vakiotermi;
Lisätiedoton hidastuvaa. Hidastuvuus eli negatiivinen kiihtyvyys saadaan laskevan suoran kulmakertoimesta, joka on siis
Fys1, moniste 2 Vastauksia Tehtävä 1 N ewtonin ensimmäisen lain mukaan pallo jatkaa suoraviivaista liikettä kun kourun siihen kohdistama tukivoima (tässä tapauksessa ympyräradalla pitävä voima) lakkaa
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 1.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Jäykän kappaleen tasapaino ja vapaakappalekuva (Kirjan luvut 5.1-5.4) Osaamistavoitteet: 1. Ymmärtää, mitä tukireaktiot ovat
Lisätiedot3 Määrätty integraali
Määrätty integraali. a) Muodostuva alue on kolmio, jonka kanta on. Kolmion korkeus on funktion arvo kohdassa, eli f() = = 6. Lasketaan A() kolmion pintaalana. 6 A() 6 Vastaus: A() = 6 b) Muodostuva alue
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 4.9.09 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alustavat hyvän vastauksen piirteet on suuntaa-antava kuvaus kokeen tehtäviin odotetuista vastauksista ja tarkoitettu ensisijaisesti
LisätiedotMateriaalien mekaniikka
Materiaalien mekaniikka 3. harjoitus jännitys ja tasapainoyhtälöt 1. Onko seuraava jännityskenttä tasapainossa kun tilavuusvoimia ei ole: σ x = σ 0 ( 3x L + 4xy 8y ), σ y = σ 0 ( x L xy + 3y ), τ xy =
Lisätiedot4. Funktion arvioimisesta eli approksimoimisesta
4. Funktion arvioimisesta eli approksimoimisesta Vaikka nykyaikaiset laskimet osaavatkin melkein kaiken muun välttämättömän paitsi kahvinkeiton, niin joskus, milloin mistäkin syystä, löytää itsensä tilanteessa,
Lisätiedotv = Δs 12,5 km 5,0 km Δt 1,0 h 0,2 h 0,8 h = 9,375 km h 9 km h kaava 1p, matkanmuutos 1p, ajanmuutos 1p, sijoitus 1p, vastaus ja tarkkuus 1p
2. Pyöräilijä lähti Pietarsaaresta kohti Kokkolaa, jonne on matkaa 33 km. Hän asetti tavoitteeksi ajaa edestakaisen matkan keskinopeudella 24 km/h. Vastatuulen takia hän joutui käyttämään menomatkaan aikaa
LisätiedotBM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 4, Syksy 2016
BM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 4, Syksy 2016 1. Hahmottele karkeasti funktion f : R R 2 piirtämällä sen arvoja muutamilla eri muuttujan arvoilla kaksiulotteiseen koordinaatistoon
Lisätiedot1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot
Helsingin yliopisto, Itä-Suomen yliopisto, Jyväskylän yliopisto, Oulun yliopisto, Tampereen yliopisto ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe (Ratkaisut ja pisteytys) 500 Kustakin tehtävästä saa maksimissaan
Lisätiedot763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 2 Kevät 2017
763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 2 Kevät 207. Nelinopeus ympyräliikkeessä On siis annettu kappaleen paikkaa kuvaava nelivektori X x µ : Nelinopeus U u µ on määritelty kaavalla x µ (ct,
LisätiedotSMG-4500 Tuulivoima. Neljännen luennon aihepiirit. Tuulivoimalan rakenne. Tuuliturbiinin toiminta TUULIVOIMALAN RAKENNE
SMG-4500 Tuulivoima Neljännen luennon aihepiirit Tuulivoimalan rakenne Tuuliturbiinin toiminta Turbiinin teho Nostovoima ja vastusvoima Suhteellinen tuuli Pintasuhde Turbiinin tehonsäätö 1 TUULIVOIMALAN
Lisätiedot