KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

Transkriptio

1 KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento Susanna Hurme

2 Dynamiikan välikoe Ajankohta ma klo 16:30 19:30 Salijako Aalto-Sali: A-P (sukunimen alkukirjaimen mukaan) Ilmoittautuminen B-Sali: Materiaali ja välineet Ei pakollinen Q-Ö (sukunimen alkukirjaimen mukaan) o Opiskelijalla saa tuoda mukanaan ainoastaan kirjoitusvälineet (kynät, pyyhekumi ja viivain) ja laskimen (kaikki laskintyypit hyväksytään) o Opiskelijalle jaetaan tehtävä- ja vastauspaperit o Tehtäväpapereissa kysymykset ovat suomeksi, ruotsiksi ja englanniksi Sisältö Koealue Yleisiä sääntöjä 3 tehtävää Dynamiikan luennot ja tehtävät ja kurssikirjan luvut kurssiesitteen mukaan ENGin tenttiohjesääntöä noudatetaan soveltuvin osin

3 Dynamiikka kertaus Oppimistavoitteet: Ymmärtää kurssin dynamiikan osio kokonaisuutena: Ymmärtää mitä tarkoittaa translaatioliike, rotaatioliike ja yleinen tasoliike, sekä osata tunnistaa liiketyyppi Ymmärtää liikettä kuvaavat kinemaattiset suureet sekä osata muodostaa niiden väliset yhteydet Asema, nopeus ja kiihtyvyys Kulma-asema, kulmanopeus ja kiihtyvyys Ymmärtää, miten liikeyhtälöiden avulla voidaan ratkaista kiihtyvässä liikkeessä olevassa kappaleessa vaikuttavia voimia. Osata soveltaa myös työn ja energian menetelmiä kinetiikan tehtävien ratkaisemiseen Kurssin sisältö: Viikko 4: Translaatioliike Kinematiikka Kinetiikka Energiamenetelmät Viikko 5: Rotaatioliike Kinematiikka Kinetiikka Energiamenetelmät Viikko 6: Yleinen tasoliike Kinematiikka Kinetiikka Saa kysyä!

4 Mitä on dynamiikka? Mekaniikka: Tutkii kappaleiden käyttäytymistä voimien vaikutuksen alaisena. Statiikka: Tutkii kappaleita tasapainossa. Dynamiikka: 1. Kinematiikka liikkeen geometrinen tarkastelu ilman vaikuttavia voimia 2. Kinetiikka tarkastelee voimia, jotka aiheuttavat liikkeen

5 Jäykän kappaleen tasoliike

6 Jäykän kappaleen translaatioliike = partikkelin translaatioliike Asema, s Nopeus, v Kinematiikan perusyhtälöt Nopeus v = ds dt Kiihtyvyys a = dv dt Kiihtyvyys, a Perusyhtälöistä johdettu kiihtyvyyden, aseman ja nopeuden yhteys a ds = v dv

7 Jäykän kappaleen translaatioliike = partikkelin translaatioliike Paikkavektori r osoittaa aseman Nopeus Käyräviivainen translaatioliike kuvataan vektoreiden avulla joko x, y, z koordinaatistossa v = dr dt = v xi + v y j + v z k = a = dv dt = a xi + a y j + a z k = Tai n, t koordinaatistossa v = vu t v = a = v = s vu t + v u t = a t u t + a n u n xi + yj + zk xi + yj + zk a t = v a n = v2 ρ v = dr dt Kiihtyvyys a = dv dt

8 Jäykän kappaleen rotaatioliike Jäykän kappaleen rotaatioliike kuvataan kappaleen jonkin viivan rotaationa ja jonkin pisteen translaatioliikkeenä ympyräradalla. Kulmanopeus ω = dθ dt Kulmakiihtyvyys α = dω dt Pisteen asema s = rθ Pisteen nopeus v = ω r v = rω s Kulmakiihtyvyyden, -aseman ja -nopeuden yhteys α dθ = ω dω Pisteen kiihtyvyys a = a t + a n = α r ω 2 r a t = v a n = v2 r

9 Yleinen tasoliike Yleinen tasoliike voidaan kuvata kahdella menetelmällä: 1. Absoluuttinen liike Geometrian avulla yhteys pisteen translaation ja kappaleen rotaation välille 2. Suhteellinen liike Pisteen liike = referenssipisteen translaatio + rotaatio referenssipisteen ympäri v B = v A + ω r B/A = ω r B/IC a B = a A + (a B/A ) t +(a B/A ) n = a A + α r B/A ω 2 r B/A

10 Jäykän kappaleen tasoliike Mikä liikkeen tyyppi on kyseessä? Sauva AB: Nivel B: Sauva BC: Kappale C: Rotaatioliike pisteen A ympäri. Translaatioliike ympyräradalla, jonka keskipiste on piste A ja kaarevuussäde sauvan AB pituus. Yleinen tasoliike. Suoraviivainen translaatioliike.

11 Kinetiikka: liikeyhtälö Liikeyhtälöt kappaleen massakeskipisteelle. Rotaatioliikkeessä massakeskipiste on ympyräliikkeessä, joten on hyvä käyttää (n,t)-koordinaatteja. Translaatioliikkeessä kulmakiihtyvyys on nolla. ΣF x = m(a G ) x ΣF y = m(a G ) y ΣM G = I G α ΣF n = m(a G ) n ΣF t = m(a G ) t ΣM G = I G α ΣF x = m(a G ) x ΣF y = m(a G ) y ΣM G = 0 = mω 2 r G = mαr G Resultanttimomentti on joskus hyödyllistä laskea muun pisteen kuin massakeskipisteen ympäri (esim. piste P). Silloin pitää huomioida, että momenttiresultantti on yhtä suuri kuin voimien aiheuttama kineettinen momentti. ΣM P = Σ(M k ) P = ym a G x + xm a G y + I G α

12 Kinetiikka: energiamenetelmät Työn ja energian periaate T on liike-energia T = 1 2 mv G I Gω 2 T 1 + ΣU 1 2 = T 2 V on potentiaalienergia U on voimien tekemä kokonaistyö U F = F dr Energian säilymisen periaate T 1 + V 1 = T 2 + V 2 Sovelletaan työn ja energian periaatetta, kun systeemiin vaikuttaa ei-konservatiivisia voimia. Sovelletaan energian säilymisen periaatetta, kun systeemiin vaikuttaa vain konservatiivisia voimia. Energiamenetelmillä voidaan ratkaista ongelmia, joissa esiintyy siirtymä, nopeus ja voima. Kiihtyvyyttä ei voida ratkaista. Vain yksi skalaariyhtälö, joten vain yksi tuntematon ratkeaa.

13 Kinetiikan tehtävän ratkaiseminen 1. Piirrä vapaakappalekuva 2. Piirrä kineettinen kuva 3. Ratkaise tuntemattomat voimat ja kiihtyvyydet liikeyhtälöistä Jos kiihtyvyyttä ei tarvita, voidaan soveltaa energiamenetelmiä voiman, nopeuden ja siirtymän ratkaisemiseen 4. Jos tuntemattomia on enemmän kuin liikeyhtälöitä, ratkaise loput kinematiikan yhtälöillä Suhteellinen kiihtyvyys kinemaattisten rajoitteiden avulla Nopeus, asema, kulmanopeus, kulma-asema jne

14 Esimerkki Määritä sauvan kulmakiihtyvyys, kun köysi-väkipyöräsysteemi on vetänyt sauvaa kulman θ verran. 1. Piirretään vapaakappalekuva ja kineettinen kuva kulmassa θ t y F m(a G ) t I G α β n m(a G ) n θ x A n A t W

15 Yhteenveto Kertasimme tasoliikkeen kinematiikkaa Translaatioliike Rotaatioliike Yleinen tasoliike Kertasimme tasoliikkeen kinetiikkaa Liikeyhtälöt translaatio-, rotaatio- ja yleiselle tasoliikkeelle Energiamenetelmät