KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

Transkriptio

1 KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento Susanna Hurme

2 Yleisen tasoliikkeen kinetiikka (Kirjan luku 17.5) Osaamistavoitteet Osata ratkaista voimia ja niiden aiheuttamia kiihtyvyyksiä tasoliikkeessä olevalle jäykälle kappaleelle Sisältö Liikeyhtälöt yleiselle tasoliikkeelle Sovelluksia

3 Jäykän kappaleen liikeyhtälöt Kirjoitetaan liikeyhtälöt jäykän kappaleen tasoliikkeelle. Liikeyhtälöt kirjoitetaan kappaleen massakeskipisteelle. ΣF x = m(a G ) x ΣF y = m(a G ) y ΣM G = I G α Huomataan, että jos kulmakiihtyvyys on nolla, kappale ei pyöri, ja liikeyhtälöt ovat samat kuin jäykän kappaleen translaatioliikkeelle. Resultanttimomentti on joskus hyödyllistä laskea muun pisteen kuin massakeskipisteen ympäri (esim. piste P). Silloin pitää huomioida, että momenttiresultantti on yhtä suuri kuin voimien aiheuttama kineettinen momentti. ΣM P = Σ(M k ) P = ym a G x + xm a G y + I G α

4 Jäykän kappaleen liikeyhtälöt Momenttiyhtälö hetkellisen nopeusnavan ympäri ΣM IC = Σ(M k ) IC = rm a G t + I G α m(a G ) t r I G α G = rm(rα) + I G α = (r 2 m + I G )α m(a G ) n ΣM IC = I IC α

5 Esimerkki Piirretään vapaakappalekuva ja kineettinen kuva. 200 N 100 kg painoinen sylinteri vierii luistamatta. Määritä sen massakeskipisteen kiihtyvyys sekä sylinterin kulmakiihtyvyys. F fric 981 N N y x I G α r IC m(a G ) x Kirjoitetaan momenttiyhtälö hetkellisen nopeusnavan suhteen. Siitä saadaan suoraan ratkaistua kulmakiihtyvyys. +ΣM IC = (r 2 m + I G )α 200 r = (r 2 m + I G )α Koska sylinteri vierii luistamatta, on voimassa (ks. kinematiikan luento): a G = αr Sylinterin hitausmomentti: I G = 1 2 mr2

6 Esimerkki Piirretään vapaakappalekuva ja kineettinen kuva. 200 N 100 kg painoinen sylinteri vierii luistamatta. Määritä sen massakeskipisteen kiihtyvyys sekä sylinterin kulmakiihtyvyys. F fric 981 N N y x I G α r IC m(a G ) x 200 r = (r 2 m mr2 )α α = 2 200N = 4.44 rad/s2 3mr a G = αr = 1.33 m/s 2

7 Esimerkki Piirretään vapaakappalekuva ja kineettinen kuva. 20 kg painoiseen pyörään kohdistuu 100 Nm suuruinen voimaparin momentti, jonka johdosta pyörä liukuu vieriessään. Pyörän hitaussäde keskipisteensä O suhteen on k 0 = 300mm ja liukukitkakerroin pyörän ja alustan välillä on μ k = 0.5. Määritä pyörän kulmakiihtyvyys sekä keskipisteen kiihtyvyys. y N F k = μ k N x N Kirjoitetaan liikeyhtälöt. I G α m(a O ) x + ΣF y = m(a O ) y N 196.2N = 0 + ΣF x = m(a O ) x μ k N = m(a O ) x + ΣM O = I O α (a O ) x = N 20kg 100Nm N (0.4m) = (20kg)(0.3m) 2 α α = 33.8 rad/s 2 = m s 2

8 Esimerkki Mikä olisi kulmakiihtyvyys ja keskipisteen kiihtyvyys, jos pyörä pyörisi luistamatta? 20 kg painoiseen pyörään kohdistuu 100 Nm suuruinen voimaparin momentti, jonka johdosta pyörä liukuu vieriessään. Pyörän hitaussäde keskipisteensä O suhteen on k 0 = 300mm ja liukukitkakerroin pyörän ja alustan välillä on μ k = 0.5. Määritä pyörän kulmakiihtyvyys sekä keskipisteen kiihtyvyys. y x F s N N I G α Kirjoitetaan momenttiyhtälö IC:n ympäri. + ΣM IC = (I O + mr 2 )α m(a O ) x 100Nm = ( 20kg 0.3m kg 0.4m 2 )α α = 20 rad/s 2 (a O ) x = αr = 20rad/s 2 (0.4m) = 8 m s 2

9 Piirretään vapaakappalekuva ja kineettinen kuva. Esimerkki Sauva, jonka massa on 12 kg, on kiinnitetty nivelellä rullaan A, joka liikkuu vapaasti kuvan aukossa. Sauva on aluksi levossa kulma-asemassa θ = 0, jonka jälkeen se päästetään irti. Määritä sauvan kulmakiihtyvyys sekä keskipisteen kiihtyvyys välittömästi irrottamisen jälkeen. y x A y W = N A G A 0.6 m 0.6 m I G α m(a G ) x m(a G ) y Kirjoitetaan liikeyhtälöt. + ΣF x = m(a G ) x 0 = 12kg(a G ) x (a G ) x = 0 G + ΣM A = Σ M k A W l 2 = 1 12 ml2 α m a G y l N 0.3m = kg 0.6m 2 α m a G y (0.3m) Nm = 0.36kg m 2 α 3.6 kg m (a G ) y

10 Esimerkki Sauva, jonka massa on 12 kg, on kiinnitetty nivelellä rullaan A, joka liikkuu vapaasti kuvan aukossa. Sauva on aluksi levossa kulma-asemassa θ = 0, jonka jälkeen se päästetään irti. Määritä sauvan kulmakiihtyvyys sekä keskipisteen kiihtyvyys välittömästi irrottamisen jälkeen. Pisteen A kiihtyvyydellä on vain x-akselin suuntainen komponentti. Piirretään kinemaattinen kuva. a α ω = 0 A G A r G/A 0.6 m (a G ) x = 0 (a G ) y Pisteiden A ja G kiihtyvyydet voidaan yhdistää suhteellisen kiihtyvyyden yhtälöllä. a G = a A + α r G/A ω 2 r G/A y x (a G ) y j = a A i + ( αk) (0.3mi) (a G ) y j = a A i α(0.3m)j (Huomataan, että a A = 0) (a G ) y = α(0.3m)

11 Esimerkki Sauva, jonka massa on 12 kg, on kiinnitetty nivelellä rullaan A, joka liikkuu vapaasti kuvan aukossa. Sauva on aluksi levossa kulma-asemassa θ = 0, jonka jälkeen se päästetään irti. Määritä sauvan kulmakiihtyvyys sekä keskipisteen kiihtyvyys välittömästi irrottamisen jälkeen. a α ω = 0 A G A r G/A 0.6 m (ag ) x = 0 (a G ) y Nm = 0.36kg m 2 α 3.6 kg m (a G ) y (a G ) y = α(0.3m) α = 24.5 rad/s 2 (a G ) y = 7.36 m/s 2 = 7.36m/s 2 Lisäksi voisimme ratkaista tukireaktion rullassa A + ΣF y = m(a G ) y A y N = 12kg(a G ) y A y = 29.4 N

12 Yhteenveto Esitimme liikeyhtälöt yleisen tasoliikkeen tapauksessa Sovelsimme liikeyhtälöitä sekä kinematiikkaa esimerkkitehtävien ratkaisemiseen