dx = L2 (x + 1) 2 dx x ln x + 1 = L 2 1 L + 1 L ( = 1 ((L + 1)ln(L + 1) L) L k + 1 xk+1 = 1 k + 2 xk+2 = 1 10k+1 k + 2 = 7.

Transkriptio

1 BM2A582 - Integraalilaskenta ja sovellukset Harjoitus 5, Kevät 26. a Lumikuiorman massa-alkio kohdassa on λd L2 + 2 d, joten kokonaismassa on Momentti suoran suhteen on L L 2 L m d L2 + 2 d + 2 / L L 2 + L 2 L + + L 2 L + L L 2 M + 2 d / L L 2 + ln + + L 2 + lnl + L + Painopiste on siis c M m L2 L+ + lnl + L 2 + L+ + L + lnl + L L + L + lnl + L L b Nt massa-alkio on dm λd k d, joten kokonaismassa on m k d Momentti suoran suhteen on Painopiste on siten M k+ d M m k+2 k+2 k+ / / k + k+ k + k+ k + 2 k+2 k + 2 k+2 + k k+ k k + 7.5k k 5 k 2

2 2 6 4 Kuva : Tehtävä 2a 2. a Seinän pinta-ala-alkio on da hds h + 2 d d, joten pinta-ala välillä [, 4] on A 8 4 / 4 da d d b Aikavälillä [,5] ämpärin ja siinä olevan veden massa noudattaa funktiota mt 6 t. Olkoon ämpärin korkeus hetkellä t t. Ämpäriä nostetaan nopeudella v 2 min m, joten 2t ja t 2. Siten ämpärin massa korkeuden funktiona on m 6 2. Kun ämpäriä nostetaan d verran, tehdään tötä dw Fd mgd 6 2 gd. Nostettaessa ämpäri metrin korkeuteen tehdään tötä W g dw g / g g d

3 2,4, , Kuva 2: Tehtävä 3a 3. a Olkoon levn pinta-alatihes k. Kolmion pinta-ala on A / 3 d d d / 2 5 d Siten levn massa on m ka 7k. Levn momentti -suunnassa on M k k k d k 3 d + k 3 2 d d + k / / k k d d Ratkaistaan suorat, 2, 3 :n suhteen, jolloin saadaan, 2 2 ja Levn momentti -suunnassa on siis M k 2 d + k 2 3 d 4 k d + k d 3 / 7 / 4 k k k k

4 Levn painopisteen -koordinaatti on ja -koordinaatti c M m 7 3 k 7k 3 c M m 35 3 k 7k 5 3 Painopisteestä nähdään, että levn tihes k ei vaikuta siihen. Näin kä aina, kun painopistettä lasketaan homogeeniselle, tasapaksulle levlle, jolloin tihettä ei tarvitse ottaa huomioon ja massan tilalla painopisteen laskemisessa voi kättää suoraan pinta-alaa. a 2 a b Kuva 3: Tehtävä 3b b Oletetaan ksinkertaistamisen vuoksi, että a > ja b >. Levn pinta-ala on A b Levn momentti -akselin suunnassa on ja -suunnassa M M ab 2 / ab 2 b Painopisteen -koordinaatti on a 2 d a 2 d b b d a 2 b2 2 5 a 5 2 / b a 3 3 a 3 b3 a 3 d ab 2 / b a 4 4 a 4 b4 b 3 2 d a 2 a2 b a2 b 5 a2 b 5 ja -koordinaatti c M a A 4 b 4 a 3 3 b3 4 b c M A a 2 b 5 a 3 3 b3 ab2 Tulos pätee, vaikka a tai b olisivat negatiivisia.

5 5. Kuvassa 5 öljtankin keskikohta on sijoitettu origoon, joten tankki ja putki lttävät korkeudelle 3 ja tankin alin kohta on pisteessä,. 8 4 d Kuva 4: Tehtävä 4 4. a Kun nostetaan d osuus ketjua s matkan verran, tehdään tötä dw sdf sgdm sgρd.8gsd. Kun ketju nostetaan katolle, jokainen d nostetaan korkeudelta korkeudelle 8, joten s 8. Tehtävä tö on W 8.8g dw / g 576g.8g8 d b Nt ketjusta nostetaan katolle vain puolet. Voidaan ajatella, että alempi puolisko ketjusta nostetaan katolle ja lempi ps paikoillaan, joten tö on W.8g dw / g 432g.8g8 d 3, dv, Kuva 5: Tehtävä 5

6 Kun tankissa korkeudella oleva tilavuus dv nostetaan korkeudelle 3, tehtävä tö on dw sdf sgdm sgρdv sgρ π 2 d gρπ3 2 d gρπ d. Kun kaikki ölj nostetaan maanpinnalle, tehdään tö W dw gρπ d 4 2 d 2 2 Kuva 6: Tehtävä 6 6. Koska kappale on -akselin suhteen smmetrinen, sijaitsee sen painopiste -akselilla. -koordinaatin selvittämiseksi lasketaan kappaleen massa ja momentti -suunnassa. Kappaleen massa-alkio on dm ρda k 2d 2k 4 d, joten kokonaismassa on Kappaleen momentti on M m 2k 2k / 4 / 4 Painopisteen -koordinaatti on siten dm 2k 24 3/2 5 4 d dm 2k 2 4 d 24 3/2 5 c M m 8 2k k k 5 2k a Smmetrian perusteella voidaan todeta painopisteen - ja z-koordinaattien olevan nolla. - koordinaatin laskemiseksi on selvitettävä paaden tilavuus koska paasi on homogeeninen, ei tarvitse laskea massaa ja paateen -suunnassa vaikuttava momentti eli momentti suoran suhteen. Paaden tilavuus on V 2 d 4 2d / π

7 Momentti on M / 2 Painopisteen -koordinaatti on siten ja painopiste on, 2 3,. π 2 d π c M V 8 3 π 4π d b Edelleen smmetrian perusteella ja z. Nt on laskettava paaden massa, sillä vuori ei ole homogeeninen. m ρdv + 4 2d d + Momentti on M / 2 / 2 6πln3 dm ln + 2 ln d d ln ln3 Painopisteen -koordinaatti on ja painopiste on, 6 9ln3,. 2 c M m ln3 6 6π ln3 9ln ln + 8. a P kαa k π 3

8 α Kuva 7: Tehtävä 8b r 2 b Tapaus : Auringonsäteet tulevat vaakasuoraan luotaimen vaippaan nähden: Säteet tulevat vaakasuoraan lieriön vaippaan nähden, joten niitä osuu vain puolikkaalle vaipasta. Kuvassa 7 on esitett neljäsosa vaipasta ja tulokulman α muodostuminen. Koska vaippa on smmetrinen -akselin suhteen, voidaan laskea teho neljäsosalle vaipasta ja kertoa se kahdella. Koska säteet tulevat -akselin suuntaisesti, on tanα f, joten α arctan, r 2 2 missä vaipan säde r.5 m. Kun auringonsäteet osuvat pinta-alaan da, tuotetaan tehoa dp kαda kαhds kharctan + 2 r 2 2 r 2 2 d missä h.6 m on luotaimen korkeus. Luotaimen aurinkopaneelit tuottavat siis tehon r r P 2 dp 2kh arctan + 2 r 2 2 r 2 2 d Tapaus 2: Auringonsäteet tulevat 4 kulmassa luotaimen kattoon nähden: Nt on ajateltava auringonsäteitä suorina l avaruudessa. Tulokulma α on tämän suoran ja luotaimen vaipan tangenttitason välinen kulma. Kulma voidaan laskea vähentämällä suorasta kulmasta tangenttitason normaalivektorin ja suoran l suuntavektorin välinen kulma. Tangenttitason normaalivektori on samalla tangenttisuoran normaalivektori. Eräs tangenttisuoran suuntavektori on i + f j, joten eräs normaalivektori on n f i + j. Jos tahdotaan pitää laskelmat mahdollisimman samanlaisena kuin edellisessä tapauksessa, oletetaan että suoran l suuntavektorin v v i + v 2 j + v 3 k j komponentin kerroin v 2. Tällöin suuntavektorin ja vektorin i välinen kulma on 4 2π 9. Olkoon v, jolloin v cos 2π 9 ja v3 cos 2 2π 9. Siten kulmalle α saadaan vektoreiden n ja v välisen kulman kosinin kaavaa kättäen π f cos 2 α cos 2π 9 + f 2 α f 2 arccos cos 2π 9 + f 2 2 arccos cos 2π r r 2 2

9 Vaipassa olevien paneelien tuottama teho on siis r r P 2 dp 2kh π 2 arccos cos 2π r r 2 2 d r 2 2 Lisäksi luotaimen kattoon tulevat auringon säteet tuottavat tehon P kαa k 2 9 π π.52 8 kπ2