Tarkastellaan tilannetta, jossa kappale B on levossa ennen törmäystä: v B1x = 0:

Koko: px

Aloita esitys sivulta:

Download "Tarkastellaan tilannetta, jossa kappale B on levossa ennen törmäystä: v B1x = 0:"

Veikko Jussi Sipilä
5 vuotta sitten
Katselukertoja:

1 8.4 Elastiset törmäykset Liike-energia ja liikemäärä säilyvät elastisissa törmäyksissä Vain konservatiiviset voimat vaikuttavat 1D-tilanteessa kappaleiden A ja B törmäykselle: 1 2 m Av 2 A1x m Bv 2 B1x = 1 2 m Av 2 A2x m Bv 2 B2x m A v A1x + m B v B1x = m A v A2x + m B v B2x Kaksi yhtälöä, joista voidaan ratkaista kaksi tuntematonta, esim. kappaleiden loppunopeudet v A2x ja v B2x Tarkastellaan tilannetta, jossa kappale B on levossa ennen törmäystä: v B1x = 0: Liike-energian ja määrän 1 2 m AvA1x 2 = 1 2 m AvA2x m BvB2x 2 säilyminen nyt:, m A v A1x = m A v A2x + m B v B2x mb vb2x 2 = m A va1x 2 va2x 2 = m A (v A1x v A2x )(v A1x + v A2x ) m B v B2x = m A (v A1x v A2x ) ( ) Jaetaan eo. yhtälöt puolittain: Kappaleen A loppunopeus: Kappaleen B loppunopeus: ) v B2x = v A1x + v A2x ( ) ) ( ) ) m B (v A1x + v A2x )=m A (v A1x v A2x ), v A2x (m A + m B )=v A1x (m A m B ) ) v A2x = m A m B v A1x (8.24) m A + m B ) ( ) ) v B2x = v A1x 1+ m A m B m A + m B ) v B2x = 2m A m A + m B v A1x (8.25) 1

2 Kun kappale A on hyvin kevyt verrattuna B:hen (esim. pingispallo osuu keilapalloon): m A << m B v A2x = m A m B v A1x = m A/m B 1 m A + m B m A /m B +1 v A1x v A1x v B2x = 2m A v A1x = 2m A/m B m A + m B m A /m B +1 v A1x 0 Kevyt kappale kimpoaa takaisin liki alkuperäisellä vauhdilla; raskas kappale pysyy käytännössä paikallaan Päinvastainen tilanne: hyvin raskas kappale B osuu hyvin keveään kappaleeseen A: m A >> m B v A2x = m A m B v A1x = 1 m B/m A v A1x v A1x m A + m B 1+m B /m A v B2x = 2m A 2 v A1x = v A1x 2v A1x m A + m B 1+m B /m A Raskaan kappaleen vauhti ei juuri muutu; kevyt kappale saa nopeuden joka on kaksinkertainen raskaan kappaleen alkunopeuteen verrattuna Kun törmäävät kappaleet ovat samanmassaisia: m A = m B m A v A2x = m A v A1x =0 m A + m A 2m A v A1x = v A1x m A + m A v B2x = Kappale A ( ammus ) pysähtyy; kappale B lähtee liikkeelle kappaleen A alkunopeudella Kappaleet vaihtavat liiketilaansa! 2

3 Palataan erimassaisiin kappaleisiin A ja B, yhtälö (**) edellä: v B2x = v A1x + v A2x Saadun yhtälön oikea puoli on kappaleen B suhteellinen nopeus kappaleeseen A nähden törmäyksen jälkeen = v B2/A2 Vasen puoli on kappaleen B suhteellinen nopeus kappaleeseen A nähden ennen törmäystä = -v B1/A1 (kappaleeseen A kiinnitetyssä koordinaatistossa B lähestyy A:ta nopeudella -v A1x ) Kirjoitetaan yhtälö koordinaatistossa, jossa molemmilla kappaleilla on nollasta eroava alkunopeus Yleistys 3D-tilanteeseen:, v A1x = v B2x v A2x v B2x v A2x = (v B1x v A1x ) (8.27) v B2 v A2 = (v B1 v A1 ) Elastisessa törmäyksessä kahden kappaleen suhteellinen nopeus ennen törmäystä on yhtä suuri mutta vastakkaismerkkinen verrattuna kappaleiden suhteelliseen nopeuteen törmäyksen jälkeen Voimassa myös silloin, kun molemmat kappaleet liikkeessä alussa [vrt. yhtälöissä (8.24) ja (8.25) kappale B oli levossa alussa] 2D-törmäyksissä liikemäärä säilyy! 2 yhtälöä (x, y-komponentit), energia säilyy! 1 yhtälö! voidaan ratkaista 3 tuntematonta suuretta (ilman jotain muuta lisätietoa) ESIM 3

4 ESIM 8.5 Massakeskipiste Määritellään hiukkassysteemin (massat m 1, m 2, ) massakeskipiste (mkp = cm) hiukkasten paikkavektorien r 1, r 2, massoilla painotettuna keskiarvona: r cm = m P 1r 1 + m 2 r 2 + m 3 r = P r i (8.29) m 1 + m 2 + m komponenteittain: x cm = m 1x 1 + m 2 x 2 + m 3 x m 1 + m 2 + m y cm = m 1y 1 + m 2 y 2 + m 3 y m 1 + m 2 + m z cm = m 1z 1 + m 2 z 2 + m 3 z m 1 + m 2 + m Kiinteissä kappaleissa materian jakauma on jatkuva ja edelläolevat summaukset on korvattava integraaleilla. Yleisiä havaintoja: (a) mkp on geometrisessa keskipisteessä (b) tai ainakin symmetria-akselilla (c) mkp:n ei tarvitse sijaita kappaleen sisällä = = = P P x i P P y i P P z i 4

ESIM Derivoidaan massakeskipisteen määritelmä ajan suhteen: v cm = m P 1v 1 + m 2 v 2 + m 3 v 3 +... = P v i P m 1 + m 2 + m 3 +.

32) Systeemin kokonaisliikemäärä voidaan siis ilmoittaa kokonaismassan M ja massakeskipisteen nopeuden v cm tulona Monimutkaisen muotoisen kappaleen tai

5 ESIM Derivoidaan massakeskipisteen määritelmä ajan suhteen: v cm = m P 1v 1 + m 2 v 2 + m 3 v = P v i P m 1 + m 2 + m M, Mv cm = m 1 v 1 + m 2 v 2 + m 3 v = P (8.32) Systeemin kokonaisliikemäärä voidaan siis ilmoittaa kokonaismassan M ja massakeskipisteen nopeuden v cm tulona Monimutkaisen muotoisen kappaleen tai hiukkassysteemin massakeskipiste on tasapainossa (tasaisessa suoraviivaisessa liikkeessä), silloin kuin systeemiin vaikuttavien ulkoisten voimien summa on nolla dp F = vakio = 0 ) v cm = P /M Esim. kitkattomalla pöytätasolla liukuvan, pyörivän jakoavaimen mkp (valkoinen piste) etenee suoraviivaisesti 5

6 ESIM Derivoidaan yhtälö (8.32) ajan suhteen: d Mv cm = m 1 v 1 + m 2 v 2 + m 3 v = P ) Ma cm = m 1 a 1 + m 2 a 2 + m 3 a = dp = F Systeemiin kohdistuva nettovoima voidaan jakaa sisäisiin ja ulkoisiin voimiin: F = Fint + F ext = Ma cm Systeemin sisäiset voimat koostuvat sen osasten toisiinsa kohdistamista voimavastavoimapareista, jotka ovat NIII:n mukaisesti yhtäsuuria ja vastakkaissuuntaisia! ne kumoavat toisensa koko systeemin tasolla: Systeemin massakeskipisteen liikeyhtälö ulkoisen nettovoiman vaikuttaessa (ikään kuin koko systeemin massa olisi keskittynyt massakeskipisteeseen) Fint = 0 ) Fext = Ma cm (8.34) Tämä järkeily on itse asiassa ollut koko kurssin ajan käytössä, kun erilaisten kappaleiden liikettä on analysoitu perustuen voimien kohdistamiseen niiden massakeskipisteeseen 6

Esim. ammus, joka hajoaa kahteen osaan kesken lentonsa (oletetaan ilmanvastus häviävän pieneksi) Osat jatkavat omilla parabolisilla radoillaan, mutta niiden massakeskipiste jatkaa alkuperäisellä

7 Esim. ammus, joka hajoaa kahteen osaan kesken lentonsa (oletetaan ilmanvastus häviävän pieneksi) Osat jatkavat omilla parabolisilla radoillaan, mutta niiden massakeskipiste jatkaa alkuperäisellä parabolisella radalla Ulkoinen voima (paino) vaikuttaa systeemiin ja systeemin massakeskipiste noudattaa liikeyhtälöä (8.34) Jäykkien kappaleiden tai hiukkassysteemien liikettä analysoidaan jakamalla liike massakeskipisteen translaatioon (siirtymään) ulkoisen nettovoiman vaikuttaessa ja rotaation (pyörimis)liikkeeseen massakeskipisteen ympäri Esim. Maa-Kuu systeemissä molemmat kappaleet kiertävät yhteistä massakeskipistettä 8.6 Raketin toiminta Raketin toiminta perustuu polttoaineen palamistuotteiden suihkuttamiseen etenemissuuntaan nähden vastakkaiseen suuntaan Koska raketin massa pienenee lennon aikana, Newtonin II lakia ei voida käyttää muodossa ΣF = ma vaan muodossa ΣF = dp/ Tarkastellaan (yksinkertaisuuden vuoksi) rakettiprobleemaa ulkoavaruudessa, jossa rakettiin ei kohdistu ulkoisia voimia (kuten lähistöllä olevista taivaankappaleista johtuvaa painovoimaa) Tällöin systeemin liikemäärä säilyy hetken t ja hetken t + välillä 7

8 Hetkellä t liikemäärä P 1 = mv 0 1 Ajan kuluttua raketin liikemäärä + dm A {z} (v + dv) <0 Polttoaineen palamistuotteet (massa positiivinen dm) suihkuavat liikesuuntaan nähden vastakkaiseen suuntaan nopeudella v ex mitattuna rakettiin kiinnitetyssä koordinaatistossa v fuel = v v ex Havaintokoordinaatistossa, jossa raketin nopeus on v: Systeemin kokonaisliikemäärä ajan kuluttua: Liikemäärä säilyy: Raketin toiminnan perusyhtälö : kiihtyvyys riippuu palokaasujen taaksepäin suihkuttamisen vauhdista v ex ja polttoaineen kulutusnopeudesta dm/ Raketin työntövoima ( thrust ) Rakettiin kohdistuva nettovoima P 2 =(m + dm)(v + dv) dm (v v ex ) P 1 = P 2 ) mv =(m + dm)(v + dv) dm (v v ex ) ) mv = mv + m dv + vdm+ dm {z dv } vdm+ v ex dm, 0 d m dv = v ex dm ) F = ma = dp F = = d (mv) = v dm + m dv = ma = a = v ex dm m v ex dm mdv {z } = vex dm =(v v dm ex ) (8.39) (8.38) v ex ) dm Nähdään, että suuri työntövoima saadaan, kun palamistuotteiden suhteellinen nopeus rakettiin nähden v ex sekä niiden polttonopeus dm/ ovat itseisarvoiltaan mahdollisimman suuria Jos v ex on vakiosuuruinen ) v v 0 = v ex ln m 0 (8.40) m m 0 /m on raketin alkuperäisen massan suhde massaan tarkasteluhetkellä, jossa raketti on saavuttanut nopeuden v m 0 /m (sekä v ex ) pyritään maksimoimaan suurimman mahdollisen nopeuden saavuttamiseksi Kun tarkastellaan raketin laukaisua planeetan pinnalta, tulee ottaa huomioon painovoiman vaikutus (ESIM) Z v v 0 dv 0 = v ex Z m dv = v ex dm m m 0 dm 0 m 0 = v ex [ln (m 0 )] m m 0 = v ex [ln (m) ln (m 0 )] Z, 8

9 Kappaleen 8 yhteenveto p = mv F = dp J = F t J = Z t2 t 1 F J = p 2 p 1 P = p A + p B +...= m A v A + m B v B +... F = 0 ) P = vakio Aina voimassa: Elastisessa törmäyksessä lisäksi: P 1 = P 2 K 1 = K 2 r cm = P P r i P = i m i v i = Mv cm Fext = Ma cm a = v ex m dm v v 0 = v ex ln m 0 m 9

Samankaltaiset tiedostot

Luento 8: Liikemäärä ja impulssi. Liikemäärä ja impulssi Liikemäärän säilyminen Massakeskipiste Muuttuva massa Harjoituksia ja esimerkkejä

Luento 8: Liikemäärä ja impulssi Liikemäärä ja impulssi Liikemäärän säilyminen Massakeskipiste Muuttuva massa Harjoituksia ja esimerkkejä 1 / 46 Luennon sisältö Liikemäärä ja impulssi Liikemäärän säilyminen