KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

Transkriptio

1 KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento Susanna Hurme

2 Päivän aihe: Normaalivoiman, leikkausvoiman ja taivutusmomentin käsitteet (Kirjan luku 7.1) Osaamistavoitteet: Ymmärtää, millaisia sisäisiä voimia kuormitetussa palkissa vaikuttaa Osata piirtää sisäiset voimat kappaleen leikkauksen vapaakappalekuvaan Osata laskea sisäisten voimien suuruudet leikkauksen tasapainoyhtälöitä soveltaen Sisältö: Sisäisten voimien määrittely kaksi- ja kolmiulotteisissa tapauksissa Sisäisten voimien laskeminen kappaleen leikkauksen vapaakappalekuvan ja tasapainoyhtälöiden avulla

3 Sisäiset voimat Edellisellä luennolla käytimme leikkausmenetelmää ristikon sauvavoimien ratkaisemiseen Sauvavoima on itse asiassa sauvan sisäinen normaalivoima Olemme siis jo soveltaneet sisäisen voiman käsitettä Katsotaan seuraavaksi tarkemmin, mitä se tarkoittaa

4 Sisäiset voimat A a F B F a p B F F F R = N B = p B F R = N B F F

5 Sisäisen voimat Jos voimat eivät ole akselin suuntaisia, ne aiheuttavat kappaleeseen normaalivoiman (N B ) lisäksi leikkausvoiman (V B ) ja taivutusmomentin (M B ). Sisäiset voimat piirretään leikkauksen vapaakappalekuvaan ikään kuin ne olisivat ulkoisia.

6 Sauva vs. palkki Sauvassa vaikuttaa vain akselin suuntaisia voimia Palkki kantaa taivuttavaa kuormitusta. Palkin kuormitus on kohtisuorassa sen akselia vastaan. Palkin rasitukset, eli sisäiset voimat, ovat tasokuormituksessa leikkausvoima ja taivutusmomentti.

7 Sauva vs. palkki Mitkä rakenteen osista ovat sauvoja ja mitkä ovat palkkeja?

8 Esimerkki Ratkaisusuunnitelma: Leikataan palkki kohdasta C ja piirretään palkin oikean puoleisen puoliskon vapaakappalekuva. Ratkaistaan siis ensin tukireaktio pisteessä B. Sen jälkeen ratkaistaan tuntemattomat voimat tasapainoyhtälöiden avulla. Määritä normaalivoima, leikkausvoima ja taivutusmomentti pisteessä C. A x B y A y + ΣM A = 0 B y 6m 9kN 3m 4.5m 12kN 1.5m = 0 B y = kn

9 Esimerkki Määritä normaalivoima, leikkausvoima ja taivutusmomentti pisteessä C. Leikataan palkki kohdasta C ja piirretään oikeanpuoleisen leikkauksen vapaakappalekuva. N C M C V C 9 kn/m 23.25kN + ΣM C = m 9kN 1.5m (0.75m) M C = 0 M C = knm + ΣF x = 0 N C = 0 + ΣF y = kN 9kN(1.5m) + V C = 0 V C = 9.75 kn

10 Esimerkki Määritä normaalivoima, leikkausvoima ja taivutusmomentti pisteessä C. Ratkaisusuunnitelma: Leikataan palkki kohdasta C ja piirretään palkin oikean puoleisen puoliskon vapaakappalekuva. Ratkaistaan siis ensin tukireaktio pisteessä B. Sen jälkeen ratkaistaan tuntemattomat voimat tasapainoyhtälöiden avulla. Ratkaistaan tukireaktio pisteessä B koko palkin vapaakappalekuvasta. A x A y B y + ΣM A = 0 B y 6m 15kN 4.5m 10kN 1.5m = 0 B y = kn

11 Esimerkki Leikataan palkki kohdasta C ja piirretään oikeanpuoleisen leikkauksen vapaakappalekuva. Määritä normaalivoima, leikkausvoima ja taivutusmomentti pisteessä C. M C N C V C kn + ΣM C = m 15kN 1.5m M C = 0 M C = knm + ΣF x = 0 N C = 0 + ΣF y = kN 15kN + V C = 0 V C = 1.25 kn

12 Kolmiulotteiset sisäiset voimat Poikkileikkauksessa vaikuttavat resultanttivoima ja voimaparin momentti. Ne voidaan jakaa x- y- ja z-akseleiden suuntaisiin komponentteihinsa. F C = F x + F y + F z = V x + N y + V z = V x i + N y j + V z k M C = M x + M y + M z = M x i + M y j + M z k

13 Esimerkki Ratkaisusuunnitelma: Leikataan palkki kohdasta C ja piirretään palkin oikean puoleisen puoliskon vapaakappalekuva. Ratkaistaan sisäiset voimat vektorianalyysin avulla. z Määritä voiman ja momentin x-, y- ja z- akselien suuntaiset komponentit pisteessä C, kun voimat ovat F 1 = 80i + 200j 300k kn ja F 2 = 250i 150j 200k kn. x M C F C y Sisäisten voimien resultantti, F C, saadaan ratkaistua voimatasapainoyhtälöstä. ΣF = 0 F C + F 1 + F 2 = 0 F C = F 1 F 2 F C = 80i + 200j 300k kn 250i 150j 200k kn = 170i 50j + 500k kn Voiman komponentit ovat: F x = V x = 170 kn F y = N y = 50 kn F z = V z = 500 kn

14 z Esimerkki Määritä voiman ja momentin x-, y- ja z- akselien suuntaiset komponentit pisteessä C, kun voimat ovat F 1 = 80i + 200j 300k kn ja F 2 = 250i 150j 200k kn. x M C F C r 1 y Määritetään paikkavektorit r 1 ja r 2 pisteestä C voimien F 1 ja F 2 vaikutuspisteisiin. r 1 = 3i + 2j m r 2 = 2j m Lasketaan sisäinen resultanttimomentti, M C, momenttitasapainoyhtälöstä pisteen C ympäri. ΣM C = 0 (r 1 F 1 ) + (r 2 F 2 ) + M C = 0 M C = r 2 i j k i j k = i j + (600 ( 160)k i 0 0 j + (0 500)k = 1000i 900j 260k M Cx = 1 MN m M Cy = 900 kn m M Cz = 260 kn m

15 Yhteenveto Määrittelimme sisäiset voimat, jotka tasossa ovat Normaalivoima, N Leikkausvoima, V Taivutusmomentti, M Määrittelimme myös kolmiulotteiset sisäiset voimat Opimme, miten sisäiset voimat lasketaan Leikataan kappale kuvitteellisesti, Piirretään leikkauksen vapaakappalekuva, jossa sisäiset voimat ovat ikään kuin ulkoisia voimia Ratkaistaan sisäiset voimat tasapainoyhtälöiden avulla