ELEMENTTIMENETELMÄN PERUSTEET SESSIO 14: Yleisen lujuusopin elementtimenetelmän perusteita.

Transkriptio

1 4/ LMNIMNLMÄN PRS SSSIO 4: Yleisen lujuusopin elementtimenetelmän perusteita. JOHDANO A A A A Yleinen elementtimenetelmä on osittaisdifferentiaalihtälörhmän reuna-arvotehtävän likimääräinen ratkaisumenetelmä. ällaisessa tehtävässä tarkastellaan kuvan mukaisesti tiettä fsikaalista materiaali-aluetta, jota rajoittaa sen reuna A. Materiaalille kätetään jatkuvan aineen mallia, jolloin aineen mikrorakennetta ei oteta huomioon. arkastelut suoritetaan jossakin koordinaatistossa, joksi valitaan seuraavassa karteesinen -koordinaatisto. Alueessa on määritelt kenttäfunktio, jonka saamista arvoista ollaan kiinnostuneita. Kenttäfunktio voi olla A u skalaariarvoinen d (,,) tai vekto- d (,, ). Reuna A ja- riarvoinen { } kaantuu osiin A u ja A, joista en- u siksi mainitulla on annettu oleellisia reunaehtoja ja jälkimmäisellä luonnollisia reunaehtoja. simerkkeinä Kuva. Alue ja sen reuna A. skalaariarvoisista kenttäfunktioista mainittakoon lämpötilakenttä (,,) ja vektoriarvoisista lujuusopin siirtmätilakenttä { u (,,), v(,,), w(,, ) }. Lujuusopin tehtävässä oleelliset reunaehdot liittvät kappaleen tuentaan ja luonnolliset reunaehdot sen kuormituksiin. untematon kenttäfunktio { d } toteuttaa alueessa tapaukseen liittvän osittaisdifferentiaalihtälörhmän ja reunalla A reunaehdot. Näiden asemasta tai lisäksi kenttäfunktiolle { d } voi olla voimassa jokin stationaarisuuslause, kuten esimerkiksi lujuusopissa potentiaalienergian minimin periaate. seimmissa tapauksissa osittaisdifferentiaalihtälörhmän reuna-arvotehtävän tai stationaarisuuslauseen tarkan analttisen ratkaisun lötäminen ei ole mahdollista, jolloin tavoitteeksi otetaan kenttäfunktion { d } likimääräinen määrittäminen alueessa. arkastellaan seuraavassa elementtimenetelmän mukaista likiratkaisua. lementtimenetelmässä alue jaetaan sopivan muotoisiin äärellisiin osiin, joita sanotaan elementeiksi. lementeistä valitaan tiett pisteet solmuiksi, jotka voivat sijaita elementin reunalla tai sisällä. Perustuntemattomat ovat kenttäfunktion { d } tai siitä johdettujen suureiden arvot solmujen kohdilla. Kenttäfunktion arvo mielivaltaisessa elementin alueen pisteessä (,,) lausutaan solmuarvojen funktiona. ämä tapahtuu kättämällä interpolointifunktioita, joita on htä monta kuin solmuarvojakin. Interpolointi on likimääräinen käsitteltapa, mutta sen tarkkuus on sitä parempi mitä useampia solmuja tai solmuarvoja käte-

2 4/ tään. Lopuksi muodostetaan tuntemattomien solmuarvojen välinen lineaarinen htälörhmä, jota sanotaan elementtiverkon perushtälöksi. ämä onnistuu parhaiten, jos kätettävissä on kenttäfunktiota koskeva stationaarisuuslause. Sen avulla voidaan muodostaa tuntemattomille solmuarvoille htälörhmä, jonka ratkaisuna saatavat solmuarvot ovat niin hviä kuin ne kseistä elementtiverkkoa kätettäessä voivat olla. Stationaarisuuslauseesta seuraava tai muulla tavoin saatava elementtiverkon perushtälö on muotoa [ K ]{ } { R} () jossa [ K ] on ssteemin ominaisuuksista saatava vakio kerroinmatriisi ja vektorin { } alkioina ovat kenttäfunktion solmuarvot ja siinä on otettu huomioon oleelliset reunaehdot. ektori { R } sisältää luonnollisten reunaehtojen vaikutukset eli kuormitustermit. Kullekin elementille on voimassa vastaavaa muotoa oleva elementin perushtälö [ k ]{ u} { f} () Osoittautuu, että elementtiverkon perushtälön kerroinmatriisi [ K ] saadaan muodostettua hdistämällä elementtien kerroinmatriisit [ k ] sijoittelusummauksella. Rhmästä () voidaan ratkaista solmuarvot { } ja niistä voidaan edelleen poimia kunkin elementin solmuarvot { u }. Näistä psttään edelleen ratkaisemaan interpolointifunktioiden avulla kenttäfunktion { d (,,)} arvo mielivaltaisen pisteen (,,) kohdalla. lementtimenetelmäratkaisussa kätetään kontinuumitehtävän diskretisointia, jossa kenttäfunktion äärettömän monen tuntemattoman arvon sijasta käsitellään sen diskreettejä solmuarvoja, joita on äärellinen määrä. Jos kenttäfunktio voidaan lausua tarkasti solmuarvojensa avulla kentän mielivaltaisessa pisteessä, johtaa elementtimenetelmä tarkkaan ratkaisuun. Näin on lujuusopin viivarakenteissa (ristikko- ja kehärakenteet). Yleensä kseessä on kuitenkin likimenetelmä. Lujuusopin tehtävien ratkaisumenetelmät voidaan jakaa kolmeen rhmään, nimittäin siirtmämenetelmät, voimamenetelmät ja sekamenetelmät. Menetelmät eroavat toisistaan lähinnä siinä, mitä tuntemattomia kenttäfunktioita kätetään laskennassa perussuureina. lementtimenetelmässä on aikojen kuluessa kätett näitä kaikkia, mutta ehdottomasti eniten siirtmämenetelmää, joten tässä esitksessä rajoitutaan siirtmätppisen elementtimenetelmän käsitteln. Siinä on perustuntemattomana materiaalipisteen (,,) siirtmätilakenttä { d (,,) } { u(,,), v(,,), w(,,) }. Solmuarvoina ovat solmujen siirtmät ja niiden lisäksi siirtmäfunktioiden derivaattojen solmuarvoja, kuten esimerkiksi kiertmiä.

3 4/3 PONIAALINRGIAN MINIMIN PRIAA Lujuusopin elementtimenetelmä voidaan kimmoisen materiaalin tapauksessa perustaa tarkasteltavan kappaleen kokonaispotentiaalienergian Π stationaarisuuslauseeseen. oinen mahdollisuus on kättää virtuaalisten siirtmien periaatetta, joka sopii mös materiaali- ja geometrisesti epälineaarisiin tapauksiin. ieläkin leisempi käsitteltapa on Galerkinin menetelmä, jota voidaan kättää kaikkien osittaisdifferentiaalihtälörhmien reuna-arvotehtävien htedessä. Kappaleen kokonaispotentiaalienergia Π koostuu sen kimmoenergiasta ja ulkoisten kuormitusten töstä W. dl Lepotila ε dl ε ε dl εdl Kuva. Aksiaalisen jännitstilan kimmoenergiatihes. sijännitstila sijännitstila sivenmätila sijännitstila sivenmätila Jännitstila arkastellaan aluksi aksiaaliseen jännitstilaan liittvää kimmoenergiatihettä kuvan tapauksessa, jossa materiaali oletetaan isotrooppiseksi ja lineaarisesti kimmoiseksi. sijännits voi johtua valmistusprosessista ja esivenmä ε lämpötilan muutoksesta ( α ) tai valmistusvirheestä. Suureet ja ε ovat kokonaisjännits ja -venmä, mutta ε ei sisällä esijännitkseen liittvää venmää ε. Kun lopullinen jännitstila on muodostunut kuvan järjestksessä vasemmalta oikealle, on varastoitunut kimmoenergiatihes ε ( )( ε ε ) (3) Kun kaavaan (3) sijoitetaan Hooken lain mukainen htes ( ε ) ε, seuraa tulos ε ε [ ( ε ε )]( ε ε ) ε ε ε ε vakio ε ε ε ε (4)

4 4/4 Koska kimmoenergian nollakohdalla ei ole stationaarisuuslauseessa merkitstä, voidaan ne termit, jotka eivät sisällä muuttujaa ε, jättää kimmoenergiatiheden lausekkeesta pois, jolloin sen lausekkeeksi aksiaalisessa jännitstilassa tulee ( ) ε ε ε (5) Yleisen jännitstilan ja muodonmuutostilan tapauksessa on edellä olevat suureet ja ε korvattava vektoreilla { } { τ τ τ } { ε } { ε ε ε γ γ γ } (6) Kun kseessä on lineaarisesti kimmoinen materiaali, konstitutiivinen htälö on { } [ ] ({ ε } { ε }) { } (7) on 66-kimmomatriisi eli materiaalin jäkksmatriisi, joka isotrooppisella materiaalilla on missä { ε } on esimuodonmuutostila ja { } esijännitstila. [ ] ν ν ν ν ν ν ν ν ν (8) ( ν)( ν) ( ν)/ ( ν)/ ( ν)/ [ ] missä on kimmomoduuli ja ν Poissonin vakio. Kimmoenergiatihedelle tulee leisessä tapauksessa kaavan (5) kanssa analoginen lauseke { ε } ({ } [ ]{ ε} ) { ε } [ ]{ ε } (9) Kappaleeseen varastoituva kimmoenergia saadaan tästä integroimalla d () Merkitään kappaleeseen vaikuttavien ulkoisten tilavuusvoimien ja pintavoimien vektoreita { g } { g g g } { p } { p p p } () jolloin ulkoisten jakaantuneiden kuormitusten tekemälle tölle W voidaan kirjoittaa lauseke

5 4/5 { d} { g} d { d} { p } W da () A Kaava () ei sisällä mahdollisten pistevoimien ja -momenttien tötä, mutta ne on tarvittaessa helppo ottaa mukaan lausekkeeseen. Kappaleen kokonaispotentiaalienergian Π lausekkeeksi tulee edellä olevan perusteella { d } { g } d { d } { p } Π W d da (3) Kokonaispotentiaalienergialle (3) on voimassa seuraava stationaarisuuslause Kaikkien kinemaattisesti käpien siirtmäkenttien { } { u v w } A d joukosta se, joka antaa kokonaispotentiaalienergialle (3) stationaariarvon, vastaa tasapainotilaa. Jos tämä stationaariarvo on minimi, on tasapaino stabiili. Siirtmäkenttä on kinemaattisesti käpä, jos se toteuttaa kinemaattiset jatkuvuusehdot (on jatkuva kappaleen kaikissa pisteissä) ja siirtmille asetetut eli kinemaattiset reunaehdot (potentiaalienergian stationaarisuuslauseen oleelliset reunaehdot).