Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Laskuharjoitus 7 /

Transkriptio

1 M-A3x Differentiaali- ja integraalilaskenta 3, IV/216 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Laskuharjoitus 7 / Harjoitustehtävät 37-4 lasketaan alkuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät käsitellään loppuviikon harjoituksen aluksi. Pintaintegraalit Tehtävä 37: Laske pintaintegraali y + zd, missä pinta on tason 3x + y z 1 sylinterin x 2 + y 2 4 sisäpuolelle jäävä osa. Ratkaisemalla tason yhtälöstä z voidaan pinnalle kirjoittaa parametrisointi Tälle pinnalle saadaan normaalivektori rx, y xi + yj + 3x + y 1k. n r y i j + k. Nyt pintaintegraali voidaan kirjoittaa muodossa y + z d 3x + 2y 1 n dx dy 11 x 2 +y 2 4 iirtymällä napakoordinaatteihin saadaan r3r cos ϕ + 2r sin ϕ 1 dr dϕ / 2 / 2π r 3 cos ϕ + 23 r3 sin ϕ 12 r2 8 cos ϕ sin ϕ 2 8 sin ϕ 16 cos ϕ 2ϕ 3 dϕ x 2 +y 2 4 dϕ dϕ 4π 11. 3x + 2y 1 dx dy. 1

2 M-A3x Differentiaali- ja integraalilaskenta 3, IV/216 Tehtävä 38: Parametrisoitu pinta r ru, v : x u cosv, y u sinv, z v esittää kierteisen liukumäen yhtä kierrosta, kun u 1 ja v 2π. Määritä pinnan normaalivektori N r u r v pisteessä, joka vastaa parametrien arvoja u 1/2, v π. Lasketaan normaalivektori yleisesti. Nu, v r u r v cos v sin v sin vi cos vj + uk u sin v u cos v 1 Parametrien arvoilla u 1/2, v π saadaan N N1/2, π j k. Tehtävä 39: Laske edellisen tehtävän liukumäen pinta-ala. Pinta-ala voidaan laskea pintaintegraalin avulla. A 2π 1 d 1 + u2 du N du dv 1 + u2 du dv Tehdään nyt sijoitus u sinh t, jolloin du cosh t dt. Alaraja pysyy ennallaan, mutta olkoon vielä toistaiseksi yläraja a lasketaan tämä myöhemmin. Kun muistetaan, että cosh 2 t sinh 2 t 1, saadaan 2π cosh t 1 + sinh 2 t dt 2π cosh 2 t dt π 2 π 2 / a e t + e t 2 dt π e2t 1 2 e 2t + 2t Ratkaistaan nyt a toisen asteen yhtälöstä e a suhteen. e 2t + e 2t + 2 dt π e2a 1 2 e 2a + 2a. sinh a ea e a 2 1 e 2a 2e a 1 e a 1 ± 2 2

3 M-A3x Differentiaali- ja integraalilaskenta 3, IV/216 Koska 1 2 <, saadaan a ln1+ 2. ijoitetaan tämä nyt saatuun pinta-alan lausekkeeseen ja sievennetään. A π 1 e 2 ln1+2 e 2 ln ln π π ln π π ln1 + 2 π π ln1 + 2 π 2 + ln1 + 2 Tehtävä 4: Laske pintaintegraali A F n d, missä A { x, y, z R 3 z x 1y 2, x [, y], y [, 1] }, vektorikenttä Fx, y, z yi xk ja n on normaali ylöspäin. Pinnalle A voidaan kirjoittaa parametrisointi rx, y xi + yj + x 1y 2 k. Tälle saadaan normaalivektori n r y 1 y 2 1 2x 1y y2 i 2x 1yj + k. Koska vektori n on ylöspäin, voidaan jatkaa laskua normaalisti. y F n d yi xk y 2 i 2x 1yj + k dx dy A y 11 3 y 3 x dx dy y 4 12 y2 dy / 1 / y xy 3 12 x2 15 y5 16 y3 dy Kotitehtävä 41: Etsi pinnan {x, y, z R 3 x 2, y 1, z 2xy} massa, kun massatiheys on σx, y, z 2z pinta-alayksikköä kohden. 3

4 M-A3x Differentiaali- ja integraalilaskenta 3, IV/216 Pinta voidaan parametrisoida muodossa rx, y xi+yj+ 2xyk. Tälle saadaan normaalivektori n r y 1 2y 2 2y 2x xy 1 2x 2 xy i 2 xy j + k. Nyt massa voidaan laskea pintaintegraalin avulla. Pinnalla tiheys on σx, y 2 2xy. 2 m σx, y d 2 y 2xy 2x + x + 1 dx dy 2y x + y2 dx dy 2 x + y dx dy 2 / 2 2 xy 1 2 x2 + xy dy 2 2y / 1 y 2 + 2y 6 Kotitehtävä 42: Olkoon sylinteripinnan y 2 + z 2 16 se osa, joka sijaitsee ensimmäisessä oktantissa eli alueessa, jossa x, y ja z pintojen x ja x 5 välissä. Laske vektorikentän 3z 2 xi xj yk vuo läpi pinnan, poispäin x-akselista. Vuo pinnan läpi saadaan laskettua vuointegraalin avulla. Pinta voidaan parametrisoida sylinterikoordinaatistossa muodossa ru, v ui + 4 cos vj + 4 sin vk, missa u [, 5] ja v [, π/2]. Tälle saadaan normaalivektori n r y 1 4 cos vj 4 sin vk. 4 sin v 4 cos v aatu normaalivektori osoittaa nyt väärään suuntaan, joten korvataan se vastakkaissuuntaisella vektorilla n n. Nyt saadaan π/2 5 Φ F n d 48u sin 2 vi uj 4 cos v 4 cos vj + 4 sin vk du dv π/2 5 4u cos v 8 sin2v du dv 2 π/2 / 5 u 2 cos v + 4u sin2v dv 1 9. π/2 5 cos v + 4 sin2v dv 1 / π/2 5 sin v 2 cos2v 4

5 M-A3x Differentiaali- ja integraalilaskenta 3, IV/216 Kotitehtävä 43: Laske kentän Fx, y, z 2xi yj + 3zk vuo ulospäin läpi a pallopinnan x 2 + y 2 + z 2 1, b suorakulmaisen särmiön {x, y, z R 3 x [, 1], y [, 2], z [, 3]} pinnan. a Pinta voidaan parametrisoida pallokoordinaateilla muodossa Tälle saadaan normaalivektori rφ, θ sin φ cos θi + sin φ sin θj + cos φk. n r φ r θ cos φ cos θ cos φ sin θ sin φ sin φ sin θ sin φ cos θ sin 2 φ cos θi + sin 2 φ sin θj + sin φ cos φk. Nyt vuo saadaan laskettua vuointegraalin avulla. Φ F d 2 π π π 2 sin φ cos θi sin φ sin θj + 3 cos φ sin 2 φ cos θi + sin 2 φ sin θj + sin φ cos φk dθ dφ 2 sin 3 φ cos 2 θ sin 3 φ sin 2 θ + 3 sin φ cos 2 φ dθ dφ π π sin 3 φ dφ cos 2 θ dθ sin 3 φ dφ sin 2 θ dθ + 6π sin φ cos 2 φ dφ 8 3 π 4 16 π + 4π 3 3 π Huom: Integraali π sin3 φ dφ on laskettu aiemmissa laskareissa. Integrointi onnistuu sijoituksella t cos φ. b Lasketaan vuo jokaisen särmiön sivun läpi ja summataan nämä yhteen. Vuo läpi yhdestä sivusta on Φ F n d, missä D on kyseinen sivu ja n on sivun normaalivektori. D Nyt vuo koko pinnan läpi on Φ F n d D 1, x, n 1 i, F n 1 x D 2, x 1, n 2 i, F n 2 x1 2 D 3, y, n 3 j, F n 3 y D 4, y 2, n 4 j, F n 4 y1 2 D 5, z, n 5 k, F n 5 z D 6, z 3, n 6 k, F n 6 z3 9 6 i1 D i F n i d