kaikki ( r, θ )-avaruuden pisteet (0, θ ) - oli θ

Transkriptio

1 58 VEKTORIANALYYSI Luento 9 Ortogonaaliset käyräviivaiset koordinaatistot Olemme jo monta kertaa esittäneet karteesiset x, y ja z koordinaatit uusia koordinaatteja käyttäen: x= xuvw (,, ), y= yuvw (,, ), z= zuvw (,, ) Jos tämä kuvaus uvw-avaruuden ja xyz-avaruuden välillä on yksi-yhteen eli pistettä ( xyz,, ) vastaa yksikäsitteinen uvwavaruuden piste ( uvw,,, ) sanotaan muunnoksen määrittelevän ( xyz-avaruuteen,, ) käyräviivaisen koordinaattijärjestelmän Silloin uv, ja w ovat käyräviivaiset koordinaatit Käytännössä yksi-yhteen vaatimuksesta usein livetään ja pidetään riittävänä, että kuvaus on lokaalisti yksi-yhteen eli pisteen ( uvw,, ) välittömässä läheisyydessä ei ole toista pistettä, joka kuvautuisi samaan pisteeseen( xyz,, ) Esimerkiksi napakoordinaatiston pisteet (1, 0) ja (1, 2 π ) kuvautuvat samaan ( xy-tason, ) pisteeseen, mutta ne ovat kaukana toisistaan ( r, θ )-tasossa Tämänkin jälkeen kuvaukseen voi liittyä ns singulaarisia pisteitä, joissa kuvaus ei ole yksi-yhteen, esimerkiksi napakoordinaatistossa kaikki ( r, θ )-avaruuden pisteet (0, θ ) - oli θ mikä tahansa - kuvautuvat ( xy-avaruuden, ) origoon Tarkastellaan ( xyz-avaruuden,, ) ei-singulaarista pistettä P 0 Olkoon sen käyräviivaiset koordinaatit ( u0, v0, w 0) Ne

2 59 avaruuden pisteet, joissa u = u0, muodostavat ( xyzavaruudessa pinnan, u-pinnan, jota parametrisoivat v ja,, ) w: x= xu (, vw, ), y= yu (, vw, ), z= zu (, vw, ) Pinta kulkee pisteen P 0 kautta, samoin vastaavat v-pinta v= v 0 ja w-pinta w= w0 Jos kukin näistä kolmesta pinnasta on pisteessä P 0 kohtisuorassa kahta muuta pintaa vastaan, sanotaan että [ uvw,, ] muodostaa xyz-avaruudessa ortogonaalisen käyräviivaisen koordinaatiston Tasoparit leikkaavat koordinaattikäyriä pitkin Esimerkiksi tasot v= v0 ja w= w0 leikkaavat u-käyrää pitkin, jonka parametriesitys on x= xuv (,, w), y= yuv (,, w), w= wuv (,, w) Koska u-käyrä on v- ja w-tasoissa, on sen tangentin suuntainen yksikkövektori û pisteessä P 0 kohtisuorassa u-tasoa vastaan Samalla tavalla voidaan määritellä v- ja w- tasoja vastaan kohtisuorassa olevat yksikkövektorit vˆ ja w ˆ Nämä kolme yksikkövektoria û, vˆ ja w ˆ muodostavat pisteessä paikallisen suorakulmaisen kantavektorijärjestelmän Esimerkki: Sylinterikoordinaatiston koordinaattipinnat ja koordinaattikäyrät ovat (ks kuva)

3 60 - Sylinteripinnat, joiden akselina on z- akseli Näillä pinnoilla r on vakio r- koordinaattikäyrät ovat vaakatasoaa olevia puolisuoria, jotka lähtevät z- akselista - Pystysuorat puolitasot, jotka rajoittuvat z-akseliin Niillä pinnoilla φ on vakio φ - koordinaattikäyrät ovat vaakatasossa olevia ympyröitä, joiden keskipiste on z-akselilla - Vaakatasot, jotka ovat kohtisuorassa z- akselia vastaan Näillä pinnoilla on z vakio z-koordinaattikäyrät ovat z-akselin suuntaisia suoria Pisteen paikkavektori xyz-avaruudessa on käyräviivaisten koordinaattien avulla kirjoitettuna r= xuv (,,w)i ˆ+ yuv (,,w) ˆj + zuv (,,w) kˆ Sen osittaisderivaatta u:n suhteen jossain pisteessä P r x ˆ i y ˆ = + j+ z kˆ u u u u on u-koordinaattikäyrän tangentin suuntainen tässä pisteessä, koska se kertoo, mihin suuntaan siirrytään, kun u:ta muutetaan Vastaavasti r / v ja r / w ovat v- ja w- koordinaattikäyrien tangenttien suuntaisia vektoreita

4 61 Merkitään derivaattavektorien pituuksia r r r = hu, = hv, = hw u v w Niitä kutsutaan skaalaustekijöiksi Vektoreiden suunnat pisteessä P ilmaistaan yksikkövektoreilla uˆ, uˆ ja uˆ tai eˆ, eˆ ja e ˆ u v w u v w tai kaikista lyhyimmin yksikkövektoreilla uˆ, vˆ ja w ˆ Nämä vektorit muodostavat lokaalin oikeakätisen kantavektorijärjestelmän, olettaen että koordinaatit u, v ja w on valittu sopivassa järjestyksessä Voimme siis kirjoittaa r r r r r r = uˆ = huˆ, ˆ ˆ, ˆ ˆ u = v= hv v = w= hww u u v v w w Esimerkki: Paikkavektori on sylinterikoordinaateissa esitettynä r = xiˆ+ yj ˆ+ zkˆ = ρcosφiˆ+ ρsin φˆj + zkˆ Saamme r cos ˆ sin ˆ, r i j sin iˆ cos ˆj, r = φ + φ = ρ φ + ρ φ = kˆ ρ φ z

5 62 Skaalaustekijät ovat r r r hρ = = 1, hφ = = ρ, hz = = 1, ρ φ z ja lokaalit kantavektorit ovat ˆ ρ = cosφiˆ+ sin φˆj, ˆ φ = sinφiˆ+ cos φˆj, zˆ = kˆ Gradientti, divergenssi ja roottori käyräviivaisissa koordinaateissa Olkoon f jokin funktio ja C käyrä, jolla on parametriesitys r = r() s Funktion suunnattu derivaatta käyrää pitkin f / s voidaan ketjusäännön mukaan kirjoittaa f f u f v f w = + + s u s v s w s (*)

6 63 Toisaalta suunnatun derivaatan määritelmän mukaan (ks s 36) f = Tˆ f, s jossa T ˆ on käyrän C tangentin suuntainen yksikkövektori, ˆ dr r u r v r w T = = + + ds u s v s w s u v w = ( huˆ) ( ˆ) ( ˆ u + hv v + hww) s s s Tästä seuraa suunnatulle derivaatalle lauseke f = Tˆ f s u v w = ( huˆ) ( ˆ) ( ˆ) ( ) ˆ ( ) ˆ ( ) ˆ u + hv v + hww f uu+ f vv+ f ww s s s du dv dw = ( hu )( f) u + ( hv )( f) v + ( hw )( f) w ds ds ds [ ] Vertaamalla kaavaan (*) saamme gradientille ortogonaalisten käyräviivaisten koordinaattien avulla esityksen f = ( f) ˆ ( ) ˆ ( ) ˆ uu+ f vv+ f ww 1 f 1 f 1 f = uˆ+ vˆ+ wˆ h u h v h w u v w

7 64 Skalaarikentän f(, r φ,) z gradientti sylinterikoordinaateissa on tämän kaavan perusteella f 1 f (,, ) ˆ ˆ f f ρφz = ρ+ φ+ kˆ ρ ρ φ z ˆ 1 ˆ ρ φ kˆ = + + f ρ ρ φ z Pallokoordinaateissa saadaan puolestaan f 1 f ˆ 1 f f(, r θφ, ) = rˆ + θ+ ˆ φ r r θ rsinθ φ ˆ1 ˆ 1 = rˆ + θ + φ f r r θ rsinθ φ Esimerkki: Skalaarikentällä u on sylinterikoordinaatistossa lauseke u( ρφ,, z) = ρsin φ Lasketaan u:n gradientti: ˆ 1 ˆ ˆ u = ρ + φ + k ( rsin φ) ρ ρ φ z = sinφρˆ + cos φφˆ Koska ˆ ρ = cosφiˆ+ sin φˆj, ˆ φ = sinφiˆ+ cosφˆj (ks s 62 kaavat) huomataan että gradientti on ijk-järjestelmässä 2 2 yksinkertaisesti u = (sin φ + cos φ) ˆj = ˆj Tulos ei hämmästytä, kun huomaa, että u = ρsin φ = y

8 65 Ilman johtoa annamme vektorikentän Fuvw (,, ) divergenssin ja roottori lausekkeet ortogonaalisissa käyräviivaisissa koordinaateissa (ks Adams 167): 1 F= ( hh v wfu) ( hwhf u v) ( hhf u v w), hhh + + u v w u v w huˆ ˆ ˆ u hv v hww F = u v w Fh Fh F h u u v v w w Fysiikassa tulee usein vastaan divergenssi ja roottori pallokoordinaateissa Pallokoordinaateissa skaalaustekijöillä on lausekkeet (harj teht) r r r hr = = 1, hθ = = r, hφ = = rsin θ r θ φ Yllä annetuista kaavoista voidaan silloin johtaa divergenssin ja roottorin lausekkeet pallokoordinaateissa Esimerkiksi vektorin F= Frˆ + F ˆ θ + F ˆ φ divergenssi on r F F= rf + θ F + sin sin θ 2 φ ( ) (sin ) 2 r θ r r r θ θ r θ φ φ Divergenssin ja roottorin lausekkeet voi annetussa käyräviivaisessa koordinaatistossa johtaa myös ketjusäännön avulla Esimerkiksi divergenssin johto pallokoordinaatistossa lähtee liikkeelle muodosta F= ( iˆ + ˆj + kˆ ) ( Frˆ + F ˆ θ + F ˆ φ) x y z r θ φ

9 66 Sitten kirjoitetaan pallokoordinaatiston yksikkövektorit yksikkövektoreiden iˆ, ˆj ja k ˆ avulla, kehitetään pistetulot ja suoritetaan derivoinnit ketjusääntöä noudattaen, esim r θ φ x = = + + x x r x θ x φ jne Saatte tehdä tätä harjoituksissa Menetelmä on suoraviivainen, mutta saattaa koetella jonkin verran kärsivällisyyttä (Ks harj)