KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

Transkriptio

1 KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento Susanna Hurme

2 Päivän aihe: Jäykän kappaleen tasapaino ja vapaakappalekuva (Kirjan luvut ) Osaamistavoitteet: 1. Ymmärtää, mitä tukireaktiot ovat ja mitä tukireaktioita syntyy eri tyyppisistä tuennoista 2. Osata piirtää vapaakappalekuvio jäykälle kappaleelle 3. Osata ratkaista vapaakappalekuvion tuntemattomat voimat tasapainoyhtälön avulla Sisältö: Mikä on jäykkä kappale? Kappaleen tuenta ja sen aiheuttamat tukivoimat eli tukireaktiot tasossa Joitakin yleisiä tukityyppejä Vapaakappalekuvion piirtäminen jäykälle kappaleelle Tuntemattomien voimien ratkaiseminen jäykän kappaleen tasapainon periaatteen avulla

3 Mikä on jäykkä kappale? Kappale, jossa ei tapahdu mitään muodonmuutoksia Kappaleen voi ajatella koostuvan partikkeleista, joiden välinen etäisyys ei muutu, vaikka kappaleeseen kohdistetaan voimia Mekaniikassa käytetty idealisoitu malli, joka yksinkertaistaa teoriaa Materiaalin ominaisuuksia ei tarvita Käyttökelpoinen malli, kun halutaan selvittää voimien ulkoiset vaikutukset kappaleeseen Yleensä rakennemateriaalien muodonmuutokset ovat hyvin pieniä

4 Taustaa Viime viikolla opimme samanarvoisen voimasysteemin merkityksen, sekä opimme yksinkertaistamaan voimasysteemin yhdeksi resultanttivoimaksi ja yhdeksi voimaparin momentin resultantiksi Mitä tarkoittaa voimasysteemien samanarvoisuus? Voimasysteemien samanarvoisuus tarkoittaa sitä, että molemmat systeemit aiheuttavat kappaleeseen saman liikkeen tai samat tukireaktiot Tänään opimme mitä tukireaktiot ovat Tukireaktiot ja kuormitukset ovat kappaleeseen kohdistuvia ulkoisia voimia, jotka piirretään vapaakappalekuvioon Sen jälkeen tuntemattomat voimat voidaan ratkaista tasapainoyhtälöiden avulla

5 Tukireaktiot Kappaleeseen kohdistuvat voimat voidaan jakaa kuormituksiin ja tukireaktioihin Tukireaktiot ovat kappaleen tuennan aiheuttamia voimia Jos tuki estää siirtymän suuntaan y, tuki aiheuttaa kappaleeseen voiman suuntaan y Jos tuki estää rotaation, se aiheuttaa kappaleeseen voimaparin momentin

6 Tukireaktiot

7 Vapaakappalekuva Käydään läpi muutama asia, jotka pitää ymmärtää vapaakappalekuvaa piirtäessä: 1. Sisäisiä voimia ei piirretä vapaakappalekuvaan 2. Jos kappaleen paino otetaan huomioon, se piirretään pistevoimana kappaleen massakeskipisteeseen 3. Ennen vapaakappalekuvan piirtämistä, todellisesta rakenteesta tehdään idealisoitu malli

8 Vapaakappalekuva Jäykän kappaleen vapaakappalekuva piirretään samalla tavalla kuin partikkelin vapaakappalekuva 1. Piirretään kappaleen ääriviivat 2. Piirretään kuvaan kaikki ulkoiset voimat ja voimaparin momentit 1. kuormitukset 2. tukivoimat sekä 3. kappaleen paino 3. Merkitään kaikki voimat (suunnat ja suuruudet) Tunnetut ja tuntemattomat

9 Esimerkki Kuvan ristikko on tuettu kiinteällä niveltuella pisteestä A ja siirtyvällä niveltuella pisteestä B. Piirrä ristikon vapaakappalekuva. Ratkaisu: Tarkastellaan koko ristikkoa, kuin se olisi jäykkä kappale. Kiinteä niveltuki pisteessä A aiheuttaa kaksi tukireaktiota, A x ja A y Siirtyvä niveltuki pisteessä B aiheuttaa yhden tukireaktion, B y B y A x A y

10 Jäykän kappaleen tasapaino Miten tukivoimat ratkaistaan? Käytetään tasapainoyhtälöä F R = ΣF = 0 (M R ) O = ΣM O = 0 Tasossa on yleensä helpointa jakaa voimat x- ja y-akselin suuntaisiin komponentteihinsa ΣF x = 0 ΣF y = 0 ΣM O = 0

11 Esimerkki Ratkaisu: Vapaakappalekuva piirrettiin jo Kuvan ristikko on tuettu kiinteällä niveltuella pisteestä A ja siirtyvällä niveltuella pisteestä B. Ratkaise ristikon tukivoimat. A x A y Ratkaistaan tasapainoyhtälöt B y + ΣF x = 0 A x + 5kN cos 45 = 0 6m cos 45 = 3 2 m A x = 3.54 kn + ΣM A = 0 5kN 4m 10kN(( ) m)) + B y (( ) m) = 0 B y = kn = 8.05 kn + ΣF y = 0 A y 5kN sin 45 10kN kN = 0 A y = 5.49 kn

12 Ratkaisua yksinkertaistava tekniikka kahden ja kolmen voiman osat Kahden voiman osassa voimat vaikuttavat kahdessa pisteessä Kolmen voiman osassa vaikuttaa kolme voimaa kolmessa pisteessä

13 Piirretään rakenteen osien vapaakappalekuvat. Esimerkki Huomaa, että sauva CD on kahden voiman osa. F CD Määritä tukireaktiot tuessa A sekä palkkiin kohdistuva voima pisteessä C. A x F CD A y F CD Ratkaistaan tuntemattomat voimat palkin AB vapaakappalekuvasta tasapainoyhtälöiden avulla. + ΣM A = 0 F CD sin 45 (1.5m) 4kN(3m) = 0 F CD = kn = 11.3 kn

14 Esimerkki Ratkaistaan tuntemattomat voimat palkin AB vapaakappalekuvasta tasapainoyhtälöiden avulla. Määritä tukireaktiot tuessa A sekä palkkiin kohdistuva voima pisteessä C. A x A y F CD + ΣF x = 0 A x kn(cos 45 ) = 0 A x = 8 kn + ΣF y = 0 A y kn sin 45 4 kn = 0 A y = 4 kn

15 Kolmiulotteiset kuormitukset Kolmiulotteiset ongelmat ratkaistaan samalla tavalla kuin kaksiulotteiset: 1. Piirretään vapaakappalekuva 2. Ratkaistaan voimien ja momenttien tasapainoyhtälöt ΣF = ΣF x i + ΣF y j + ΣF z k = 0 ΣM O = ΣM x i + ΣM y j + ΣM z k = 0 ΣF x = 0 ΣF y = 0 ΣF Z = 0 ΣM x = 0 ΣM y = 0 ΣM z = 0

16 Kolmiulotteiset tuennat

17 Esimerkki (ei käydä luennolla) Radiaalilaakerin tukireaktiot ovat: Määritä tukireaktiot kitkattomissa radiaalilaakereissa A, B ja C. Huom. Yleensä laakeriin ei tule momenttia, jos rakenne on tuettu muualta ja tuet on asennettu oikein. Silloin tukien voimareaktiot estävät pyörimisen. Tehtävän tapauksessa tuet estävät rotaation kaikkien akselien ympäri, joten laakeriin ei kohdistu momenttia. Piirretään rakenteen vapaakappalekuva. A z A y B z B x C z C y

18 Esimerkki Määritä tukireaktiot kitkattomissa radiaalilaakereissa A, B ja C. Rakenteen vapaakappalekuva. Ratkaistaan kaikki tukireaktiot tasapainoyhtälöiden avulla. ΣF x = 0 ΣF y = 0 ΣF Z = 0 Summataan voimat x-akselin suuntaan: + ΣF x = 0 B x = 0 ΣM x = 0 ΣM y = 0 ΣM z = 0 A z A y Summataan momentit z-akselin ympäri: + ΣM z = 0 C y 1m = 0 C y = 0 B z B x C z C y Summataan voimat y-akselin suuntaan: + ΣF y = 0 A y = 0

19 Esimerkki Määritä tukireaktiot kitkattomissa radiaalilaakereissa A, B ja C. Rakenteen vapaakappalekuva. Ratkaistaan kaikki tukireaktiot tasapainoyhtälöiden avulla. ΣF x = 0 ΣF y = 0 ΣF Z = 0 Summataan momentit x-akselin ympäri: + ΣM x = 0 ΣM x = 0 ΣM y = 0 ΣM z = 0 A z A y B z 0.6m 450N 1.2m + C z (1.2m) = 0 Summataan momentit y-akselin ympäri: B z B x C z C y + ΣM y = 0 B z 0.6m + 450N 0.6m C z (1m) = 0 B z = 1800 N C z = 1350 N

20 Esimerkki Määritä tukireaktiot kitkattomissa radiaalilaakereissa A, B ja C. Rakenteen vapaakappalekuva. Ratkaistaan kaikki tukireaktiot tasapainoyhtälöiden avulla. ΣF x = 0 ΣF y = 0 ΣF Z = 0 Summataan voimat z-akselin suuntaan: + ΣF z = 0 ΣM x = 0 ΣM y = 0 ΣM z = 0 A z A y A z 1800N N 450N = 0 A z = 900 N B z B x C z C y

21 Yhteenveto Opimme, mitä ovat tukireaktiot ja mitä tukireaktioita erilaiset tuentatyypit aiheuttavat Tutustuimme erilaisiin tuentatyyppeihin tasossa. Harjoittelimme vapaakappalekuvan piirtämistä jäykälle kappaleelle tasossa Opimme ratkaisemaan tukireaktiot 1. Piirretään vapaakappalekuva 2. Ratkaistaan tuntemattomat voimat tasapainoyhtälöiden avulla