TÄSSÄ ON ESIMERKKEJÄ SÄHKÖ- JA MAGNETISMIOPIN KEVÄÄN 2017 MATERIAALISTA

Transkriptio

1 TÄSSÄ ON ESMERKKEJÄ SÄHKÖ- JA MAGNETSMOPN KEVÄÄN 2017 MATERAALSTA a) Määritetään magneettikentän voimakkuus ja suunta q P = +e = 1, C, v P = (1500 m s ) i, F P = (2, N)j q E = e = 1, C, v E = ( 4750 m s ) k, F E = (8, N)j Magneettikenttä on tuntematon B = B y i + B y j + B z k Magneettikenttä vaikuttaa liikkuvaan varattuun hiukkaseen voimalla F = qv B Tässä tapauksessa protoniin vaikuttaa voima on i j k F P = q P [ v P 0 0 ] = q P [i 0 j (v P B z 0) + k (v P B y 0)] = F P j B x B y B z = q P [ j (v P B z ) + k (v P B y )] = F P j Koska protoniin vaikuttavalla voimalla F P ei ole z-akselin suuntaista komponenttia, yksikkövektorin k kerroin on nolla. v P B y 0 v P B y = 0 B y = 0

2 Tiedämme protoniin vaikuttavan voiman F P y-akselin suuntaisen komponentin, joten saamme q P [ j (v P B z )] = F P j q P v P B z = F P B z = F P 2, N = q P v P 1, C 1500 m s = 0,93621 T Yksikkötarkastelu Muista: C = As ja J = VAs N = Ns C m = As m s N A m = Nm A m 2 = J = VAs = Vs = T A m 2 A m 2 m 2 Elektroniin vaikuttaa voima i j k F E = q E [ 0 0 v E ] = q E {i 0 j [0 ( v E )B x ] + k 0} = B x 0 B z = q E [ j (v E B x )] = F E j q E v E B x = F E B x = F E 8, N = q E v E 1, C 4750 m s T = 1,11689 T B = (1,11689 T)i (0,93621 T)k B = (1,11689 T) 2 + ( 0,93621 T) 2 1, 46 T tanθ = B x B z θ = 50 B x θ z

3 b) Määritetään elektroniin vaikuttava voima, kun magneettikenttä pysyy samana, mutta elektronin nopeus on eri. q E = e = 1, C, v E = ( 3200 m s ) j, F E =? B = (1,11689 T)i (0,93621 T)k i j k F E = q E [ 0 v E 0 ] = q E {i [( v E )( B z ) 0] j 0 + k [0 ( v E )B x ]} B x 0 B z = q E {i [v E B z ] + k [v E B x ]} = q E v E {B z i + B x k } = 1, C (3200 m ) {(0,93621 T)i + (1,11689 T)k } s = [ (4, ) i (5, ) k ]N F E = (4, N) 2 + ( 5, N) 2 7, N tanθ = B x B z θ = 40 x z θ F

4 YLESTÄ MAGNEETTKENTÄN LKKUVAAN VARATTUUN PARTKKELN JA VRTAJOHTMEEN AHEUTTAMASTA VOMASTA Tehtävän no. 1 olisi voinut laskea myös päättelemällä oikean käden kolmisormisäännön avulla. Yleisesti ristitulon suunta saadaan alla olevan kuvan mukaisesti. Kuva sivulta: Right_hand_rule_cross_product.svg.png Sovelletaan kolmisormisääntöä magneettikentässä liikkuvaan varattuun partikkeliin. F B = qv B. Oletetaan, että varaus on positiivinen. (Jos varaus olisi negatiivinen, voima olisi vastakkaissuuntainen.) Nyt sormet asetetaan näin: v F B B Kun määritetään magneettikentän virtajohtimeen aiheuttamaa voimaa F B = l B, missä vektorin l pituus on johtimen pituus ja suunta virran suunta. Sormet asetetaan näin: F B B

5 Lainataanpa Anita Aikion Sähkö- ja magnetismiopin luentomateriaalia. Tästä selviää, miten ristikkäisten sähkö- ja magneettikenttien avulla voidaan erotella hiukkasvirrasta hiukkaset, jotka kulkevat tietyllä nopeudella. Muista edellä esitetty kolmisormisääntö magneettikentän aiheuttaman voiman suuntaa määritettäessä.

6 Nopeudenvalitsimen jälkeen meillä on hiukkasvirta, jossa kaikkien hiukkasten nopeus on sama. johdetaan tämä hiukkasvirta magneettikenttään, jonka avulla voidaan erotella erimassaiset hiukkaset. Alla on kerrottu, miten se tapahtuu. Lainaamme edelleen Anita Aikion luentomateriaalia. Nyt tiedetään ympyräradan säde, magneettikentän voimakkuus, sähkökentän voimakkuus, hiukkasen varaus ja hiukkasen nopeuden lauseke. Yllä olevasta yhtälöstä (27.10) voidaan ratkaista ionin massa: q vb = m v2 R m = q RB2 E q RB m = = q RB v E B = 1, C 0,310 m (0,540 T) 2 1, V m = 1, kg (Muista, että T = Vs/m 2 ja CV = J ja J = Nm = kgm2 s 2 ) Massaluku on A = m 1 u = 1, kg 1, kg 78

7 Magneettikentän B virtajohtimeen aiheuttama voima on F B = l B, missä vektorin l pituus on johtimen pituus ja suunta virran suunta. Alla olevassa kuvassa on hahmoteltu virtajohtimeen vaikuttavien voimien suunnat. Näitä voimia ovat maan vetovoima G, pinnan tukivoima N ja magneettikentän aiheuttama voima FB. Magneettikentän aiheuttaman voiman suunta saadaan tehtävän 1 lopussa esitetystä kolmisormisäännöstä. N B N FB G G F B Kun virta kulkee katsojaan päin Kun virta kulkee katsojasta poispäin Jo yllä olevasta kuvasta voidaan päätellä, että voiman suunnan pitää olla vasemmalle eli virran suunnan katsojaan päin. (Tehtävänannossa esitetyssä kuvassa virran suunnan pitää olla vasemmalle.) Piirretään vielä kuva, johon on merkitty voimien pinnan suuntaiset komponentit.

8 F Bx N B FB Gx G θ Virta kulkee katsojaan päin. Maan vetovoimalla ja magneettikentän aiheuttamalla voimalla on pinnan suuntainen komponentti. Näiden pitää kumota toisensa. F Bx = G x F B cosθ = Gsinθ Koska magneettikenttä on kohtisuorassa virtajohdinta vastaan F B = F B = l B = LBsin90 = LB Maan vetovoima on tunnetusti G = mg. LBcosθ = mgsinθ B = mg L tanθ

9 Magneettikentän virtajohtimeen aiheuttamaa voimaa käsiteltiin jo edellisessä tehtävässä: Magneettikentän virtasilmukkaan aiheuttamaa vääntömomenttia (voiman momenttia) käsitellään Anita Aikion materiaalissa seuraavasti:

10 a) Määritetään silmukkaan kohdistuva nettovoima Silmukkamme päältä päin katsottuna ja jokaiseen sivuun vaikuttavat voimat: x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x -F x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x F x x x x x x x x -F x x x x x x x x x x x F x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x B kohtisuoraan x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x paperin sisään eli x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x poispäin katsojasta. Voimien suunta on saatu kolmisormisäännön avulla: F B B Virtajohtimeen vaikuttavan voiman suuruus on nyt, kun magneettikenttä ja virtajohdin ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan F B = F B = l B = LBsin90 = LB Vastakkaisten sivujen pituus on yhtä suuri, mutta vektorisuunta vastakkainen. (Sivun vektorisuunta on sama kuin virran suunta.) Magneettikenttä ja virta ovat samat. Vastakkaisiin sivuihin vaikuttavat voimat ovat yhtä suuret mutta vastakkaissuuntaiset, joten voimat kumoavat toisensa. Virtasilmukkaan vaikuttavien voimien summa on nolla.

11 Määritetään silmukkaan kohdistuva vääntömomentti Silmukkamme sivulta päin katsottuna ja magneettinen momentti: μ B Virtasilmukkaan vaikuttavan vääntömomentin (voiman momentin) lauseke on τ = μ B Tässä lausekkeessa μ on virtasilmukan magneettinen momentti, jonka suuruus on A (silmukassa kulkeva virta kertaa silmukan pinta-ala) ja suunta on kohtisuorassa silmukan tasoa vastaan siten, että suunta menee kuvan mukaisesti oikean käden peukalosäännöllä : Nyrkissä olevan käden sormet osoittavat virran suunnan ja pystyssä oleva peukalo magneettisen momentin suunnan. Kuva sivulta Tässä tapauksessa μ ja B ovat vastakkaissuuntaisia. Täten niiden ristitulo on nolla ja silmukkaan vaikuttava vääntömomentti on myös nolla.

12 b) Silmukkaa kierretään 30 o. Määritetään silmukkaan kohdistuva nettovoima. Nyt silmukkamme on vinosti magneettikenttään nähden, mutta päältä päin katsottuna tilanne on periaatteessa samanlainen kuin a)-kohdassa. Alla olevaan kuvaan on merkitty jokaiseen sivuun vaikuttavat voimat: x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x -F x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x -F x x x x x x x x x x x F x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x F x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x B kohtisuoraan x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x paperin sisään eli x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x poispäin katsojasta. Virtajohtimeen vaikuttavan voiman lauseke on edelleen F = l B Ristitulo ottaa huomioon silmukan sivuista vain sen komponentin, joka on kohtisuorassa magneettikenttää vastaan. Nämä komponentit ovat edelleen yhtä suuret vastakkaisilla sivuilla. Vastakkaisiin sivuihin vaikuttavat voimat ovat yhtä suuret mutta vastakkaissuuntaiset, joten voimat kumoavat toisensa. Virtasilmukkaan vaikuttavien voimien summa on nolla.

13 Määritetään silmukkaan kohdistuva vääntömomentti Silmukkamme sivulta päin katsottuna ja magneettinen momentti: μ B θ =150 o Virtasilmukkaan vaikuttavan vääntömomentin (voiman momentin) lauseke on τ = μ B Vääntömomentin suuruus on ristitulon ominaisuuksien mukaan τ = μbsinθ, missä θ on vektoreiden μ ja B välinen kulma. Kulma θ = 180 o 30 o = 150 o. (Silmukkaa käännettiin 30 o vaakasuorasta suunnasta, jolloin myös vektori μ kääntyi 30 o lähemmäksi B :n suuntaa. Aluksihan ne olivat vastakkaissuuntaiset.) τ = ABsin150 o = 1,40 A 0,22 m 0,35 m 1,50 T sin150 o = 0,081 Nm [Muista, että T = Vs/m 2 ja J = Nm = VAs]

14 Vääntömomentin suunta Katsotaan silmukkaa sivulta: F μ B X μ τ:n suunta ja kiertosuunta -F Koska τ = μ B, oikean käden kolmisormisäännön avulla saadaan, että vääntömomentin τ suunta on poispäin katsojasta. (Muista, että ristitulossa magneettisesta momentista μ otetaan huomioon vain se komponentti, joka on kohtisuorassa B :tä vastaan.) Kun τ :n suunta on poispäin katsojasta, se merkitsee, että kiertosuunta on myötäpäivään. Tässä voidaan käyttää oikean käden peukalosääntöä. τ (keskisormi) B (etusormi) μ (peukalo)