MEI Kontinuumimekaniikka

Transkriptio

1 MEI Kontinuumimekaniikka 1 MEI Kontinuumimekaniikka 6. harjoitus jännitysmitat Ratkaisut T 1: Ohuen suoran sauvan pituus referenssitilassa on 0 ja poikkipinta-ala on A 0. Sauvan akselin suuntaisen voiman N vaikutuksesta sauva deformoituu tasaisesti pituuteen, jolloin poikkipinta-ala on A. Määritä Cauchyn sekä Piolan-Kirchhon 1. ja 2. lajin jännitystensorit. Ratkaisu. Referenssitilassa sauvan tilavuus on V = A 0 0 ja muodonmuutoksen jälkeen v = A. Deformaatiogradientin determinantti on tilavuuksien suhde J = det F = v V = A A 0 0. Oletetaan sauvan akselin yhtyvän x 1 -akseliin. Oletetaan poikkileikkaus suorakaiteen muotoiseksi. Sivumitat olkoot referenssitilassa a 0 ja b 0 ja vastaavasti a, b deformoituneessa tilassa. iikkeen kuvaus on x 1 = 0 X 1, x 2 = a a 0 X 2, x 3 = b b 0 X 3. Muodonmuutosgradientin matriisi on / [F] = 0 a/a b/b 0 Ainoa nollasta poikkeva todellisen, eli Cauchyn jännitystensorin komponenteista on σ 11 = N/A. Piolan (tai 1. lajin Piolan-Kirchhon) jännitystensorin 11-komponentti on todellinen voima jaettuna referenssitilan pinta-alalla P 11 = N/A 0. Piolan jännitystensori P ja Cauchyn jännitystensorin välinen relaatio on P = JσF T, josta saadaan tietenkin Piolan jännityksen matriisiesitys [P] = A N/A / a 0 /a 0 = A b 0 /b N/A. Piolan-Kirchhon jännitys (tai 2. lajin Piolan-Kirchhon) jännitys on 0 / 0 0 N/A [S] = [F 1 ][P] = 0 a 0 /a 0 = N/A b 0 /b PK2:lle ei löydy yksinkertaista fysikaalista tulkintaa. T 2: (Holzapfel, tehtävä 1 sivu 128) Tarkastellaan innitesimaalista (pseudo)voimavektoria df B = (T B N)dS, jossa T B N on Biot'n traktiovektori. Osoita, että df B = R T df.. Ohje. Käytä hyväksi tuloksia T B = R T P, T = PN ja df = TdS. 1

2 MEI Kontinuumimekaniikka 2 Ratkaisu. Referenssitilan dierentiaalinen voimavektori on df = TdS = PNdS, josta saadaan operoimalla vasemmalta R T :lla R T df = R T PNdS = T B NdS = df B. T 3: (Holzapfel teht. 2 sivu 129) Cauchyn jännitystensorin komponentit karteesisen kannan e α, α = 1, 2 suhteen ovat [σ] = [ ] σ 0, jossa σ 0 on jokin viitejännitys. Kanta e α, α = 1, 2 kierretään uudeksi ortonormeeratuksi kannaksi ẽ α, α = 1, 2 siten että ẽ 1 = ( e e 2 )/3. Määritä korotationaalinen Cauchyn jännitystensori σ u. Ratkaisu. Määritetään ensin kiertymätensori R. Uudet kantavektorin ovat ẽ i = Re i, i = 1, 2 ja e 3. Koska ẽ 1 = ( e e 2 )/3, on kiertymämatriisin komponentit R 11 = 1/3 ja R 12 = 2 2/3. Koska kiertymämatriisi on ortogonaalinen RR T = I saadaan ehdot R R 2 12 = 1, R 11 R 21 + R 12 R 22 = 0, R R 2 22 = 1, josta havaitaan, etä ylin yhtälö toteutuu. Keskimmäisestä yhtälöstä saadaan R 22 = R 11 R 21 /R 12, joka sijoittamalla alinpaan yhtälöön antaa R 21 = (R11 /R 12 )2 = 2 2 3, R 22 = 1 3. Täten siis R = 1/3 2 2/ Korotationaalinen Cauchyn jännitystensori on σ u = R T σr = σ ij e i e j, ja Cauchyn jännitystensori kierretyn koordinaatiston kannassa lausuttuna on σ = Rσ u R T = σ ij ẽ i ẽ j ja Cauchyn jännitystensori alkuperäisen kannan suhteen on tietenkin σ = σ kl e k e l 2

3 MEI Kontinuumimekaniikka 3 ja korotationaalinen Cauchyn jännitystensori σ ij -komponentit matriisimuodossa [σ u ] = 1/3 2 2/ σ u = σ kl e i e j = 1 9 1/3 2 2/ T 4: Alla olevan kuvan sauvan pää B siirtyy matkan u alaspäin. Määritä sauvan pään ˆB jännityskomponenttien väliset tasapainoyhtälöt käyttämällä Cauchyn jännityskomponentteja σ ij, Piolan-Kirchhon 1. lajin jännityskomponentteja P ij ja Piolan-Kirchhon 2. lajin jännityskomponentteja S IJ. Ratkaisu. Kuvasta merkinnöin voimavektorit ovat: p = P e 1, r = Re 2, f = F n, (1) jossa n on sauvan suuntainen yksikkövektori sauvan deformoituneessa tilassa n = b + u e 1 + a e 2, (2) jossa = a 2 + (b + u) 2 on sauvan pituus deformoituneessa tilassa. Nivelen ˆB tasapainoyhtälö on p + p + f = P e 1 + Re 2 F e 1 + a ) e 2 = 0, 3

4 MEI Kontinuumimekaniikka 4 josta sauvan normaalivoiman F ja tukireaktion R lausekkeisksi saadaan Cauchyn jännitystensori on F = b + u P, R = a b + u P. σ = σ ij e i e j, joka voidaan lausua kyseisen aksiaalisen jännitystilan tapauksessa lausua muodossa σ = F A n n = F A e 1 + a e 2 = F ( (b + u) 2 A 2 e 1 e 1 + = P A ) e 1 + a ) e 2 a(b + u) 2 e 1 e 2 + ( (b + u) e 1 e 1 + a e 1 e 2 + a e 2 e 1 + a(b + u) 2 e 2 e 1 + a2 a 2 (b + u) e 2 e 2 Täten Cauchyn jännitystensorin komponentit kannassa e i ovat 2 e 2 e 2 ). ) σ 11 = (b + u) P A, σ 12 = a P A, σ 22 = a 2 P (b + u) A. (3) Sauvan vapaakappalekuvasta saadaan tasapainoehto σn ds + f = At + f = 0. (4) A Cauchyn traktiovektori on t = σn = (σ 11 e 1 e 1 + σ 12 e 1 e 2 + σ 21 e 2 e 1 + σ 22 e 2 e 2 ) = b + u σ 11e 1 + b + u σ 21e 2 + a σ 12e 1 + a σ 22e 2 = σ 11 + a ) σ 12 e 1 + σ 21 + a ) σ 22 e 2. e 1 + a ) e 2 Ottamalla huomioon yhtälöt (1) ja (2), saadaan jännityskomponenttien tasapainoyhtälöt b + u σ 11 + a σ 12 = P A, b + u σ 21 + a σ 22 = a P (b + u) A. Heti havaitaan, että ratkaisu (3) toteuttaa yllä olevat tasapainoyhtälöt kun otetaan huomioon Cauchyn jännitystensorin symmetrisyys, eli σ 12 = σ 21. Piolan (tai Piolan-Kirchhon 1. lajin) jännitys määriteltiin siten, että deformoituneen tilan traktiovektori t siirretään suuntansa ja suuruutensa säilyttäen deformoitumattomaan alkutilaan, jossa määritellään traktiovektori T seuraavasti ta = TA 0 = PNA 0, (5) 4

5 MEI Kontinuumimekaniikka 5 jossa A 0 on alkutilan poikkileikkauspinta-ala ja N on sauvan suuntainen yksikkövektori alkutilassa N = b 0 e 1 + a 0 e 2, (6) jossa 0 = a 2 + b 2 ja P on Piolan jännitystensori P = P ij e i e j. Traktiovektoriksi T saadaan ( b T = P 11 + a ) ( b P 12 e 1 + P 21 + a ) P 22 e Toisaalta TA 0 = ta = f = josta saadaan tasapainoyhtälöt (b + u) P e 1 + a ) e 2, b P 11 + a P 12 = P, 0 0 A 0 b P 21 + a a P 22 = 0 0 (b + u) P, A 0 Kesken, täydennän lähiaikoina. RK 5