KERTAUSTEHTÄVIÄ KURSSIIN A-01 Mekaniikka, osa 1

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "KERTAUSTEHTÄVIÄ KURSSIIN 766323A-01 Mekaniikka, osa 1"

Transkriptio

1 KERTAUSTEHTÄVIÄ KURSSIIN A-01 Mekaniikka, osa 1 Tässä materiaalissa on ensin helpompia laskuja, joiden avulla voi kerrata perusasioita, ja sen jälkeen muutamia vaikeampia laskuja. Laskujen jälkeen on pohdintatehtäviä. Niitäkin kannattaa miettiä, jos on aikaa. Pohdintatehtäviä tekemällä löytää aukkoja omassa tietämyksessään. Tässä materiaalissa viimeisenä on vastauksia laskuihin ja pariin pohdintatehtävään. Peruslaskuja T 1: Juna lähtee asemalta ja saavuttaa tasaisesti kiihdyttäen 5,0 minuutissa vauhdin 8,0 m/s. Tämän jälkeen juna kulkee tasaisella vauhdilla. Kuinka pitkän matkan juna kulkee 8,0 minuutissa lähtöhetkestä mitattuna? T 2: Kappale heitetään maan pinnalta suoraan ylöspäin alkunopeudella v y0 = 10 m/s. a) Kuinka kauan kappale nousee ennen kuin se alkaa jälleen pudota? b) Kuinka korkealle kappale nousee? c) Kuinka kauan kestää (heittämishetkestä alkaen) ennen kuin kappale tulee maahan takaisin? T 3: Kappale liikkuu pitkin x-akselia. Kappaleen nopeus ajan funktiona noudattaa yhtälöä v at 2 bt c missä a = 4,00 ms -3, b = -3,00 ms -2 ja c = -2,00 ms -1. Mikä on kappaleen kiihtyvyys ja paikka ajanhetkellä t = 2,00 s? Kappale on origossa, kun t = 0. Opastus: Nyt kiihtyvyys ei ole vakio. T 4: Vauhtipyörä (säde 0,300 m) aloittaa levosta ja pyörii vakiokulmakiihtyvyydellä 0,600 rad/s 2. Laske pyörän reunan pisteelle tangentiaalinen kiihtyvyys, normaalikiihtyvyys (= keskeiskiihtyvyys) ja kokonaiskiihtyvyys seuraavissa kohdissa: a) alussa b) kun pyörä on kääntynyt 60,0 o c) kun pyörä on kääntynyt 120,0 o. T 5: Ihminen heittää kiven kädellään 1,2 metrin korkeudelta maan pinnasta alkunopeudella 13,5 m/s ja kulmassa, joka on vaakatasosta 26 o ylöspäin. a) Mikä tulee olemaan kiven maksimikorkeus maan pinnasta? b) Mikä on kiven kantama, kun kivi putoaa vaakasuoralle maan pinnalle? c) Mikä on kiven lentoaika? d) Mikä on kiven nopeus, kun se osuu maahan? 3 2 T 6: Kappaleen paikka ajan funktiona on r [(2t 5t 3t)ˆ i (4t 2) ˆj ] m. Määritä nopeus ja kiihtyvyys ajan funktiona. Määritä kappaleen paikka, nopeus ja kiihtyvyys, kun t = 0 ja kun t = 5 s. T 7: Kappale, jonka massa on 2,2 kg, heitetään kaltevaa tasoa ylöspäin alkunopeudella 3,7 m/s. Tason kaltevuus on 20 o. Tason ja kappaleen välinen liikekitkakerroin 0,13. Laske Newtonin II lain avulla, kuinka pitkän matkan kappale liukuu tasoa pitkin ylöspäin, ennen kuin se pysähtyy.

2 T 8: Kappale, jonka massa on 2,9 kg, liikkuu siten että sen paikka ja nopeus ajanhetkellä t = 0 ovat r = (3i 4j 7k) m ja v = (2i + j + 3k) m/s. Ajanhetkellä t = 1,0 s voima F = (i 3j + 2k) N alkaa vaikuttaa kappaleeseen ja vaikutus kestää kaksi sekuntia. Laske kappaleen paikka, kun t = 4,5 s. T 9: Kappale on aluksi levossa korkeudella A (katso alla oleva kuva). Se päästetään vapaaksi ja liukuu ensin kitkatonta kaarevaa pintaa pitkin kohtaan B ja sen jälkeen vaakasuoraa pintaa pitkin kohtaan C, johon kappale pysähtyy. Mikä on kappaleen ja vaakasuoran pinnan välinen kitkakerroin, jos kaarevan pinnan säde R = 1,60 m, kappalen massa 0,200 kg ja vaakasuora väli BC 3,00 m? T 10: Alla olevan kuvan mukaisessa systeemissä jousi on aluksi puristuneena 0,220 m. Jousi vapautetaan ja kappale irtoaa siitä tasapainoaseman kohdalla. Kuinka korkealle kappale nousee tasoa pitkin, jos kitkaa ei ole? (Kappaleen massa on 2,00 kg, jousivakio 400 N/m ja tason kaltevuuskulma 37,0 o.) T 11: Kappale, jonka massa on m, liikkuu voimakentässä, jonka potentiaalienergia on muotoa U = ax 2 +bx. Olkoon massa m = 2,5 kg, vakio a = 3,2 J/m 2 ja vakio b = 1,1 J/m. a) Määritä tämän kentän kappaleeseen aiheuttama voima. b) Laske, minkä työn kappaleeseen vaikuttava voima tekee, kun kappale siirtyy kohdasta x = 0 kohtaan x = 2,0 m. c) Mikä on kappaleen nopeus b)-kohdassa esitetyn siirtymän jälkeen, jos origossa kappaleen nopeus v 0 oli (4,1 m) î? Oleta, että kappaleeseen ei vaikuta muita voimia. T 12: Systeemissä on neljä hiukkasta. Niiden massat ja paikat xy-koordinaatistossa ovat vastaavasti: 3,5 kg ja (1,0 m, 2,0 m), 2,8 kg ja (4,5 m, 0,3 m), 4,7 kg ja (2,7 m, 3,0 m) sekä 7,3 kg ja (6,1 m, 2,7 m). Laske muiden hiukkasten aiheuttama gravitaatiovoima ensimmäiseen 3,5 kg:n hiukkaseen (sekä voiman suunta että suuruus). T 13: Kappale, jonka massa on 3,0 kg, on kiinnitetty jouseen, jonka jousivakio on 22 N/m. Kappaletta poikkeutetaan 320 mm tasapainoasemastaan (jossa x = 0) eräällä ajanhetkellä t = 0 ja vapautetaan levosta. a) Mikä on liikkeen periodi? b) Mikä on syntyvän harmonisen liikkeen maksimikiihtyvyys?

3 T 14: Vaimenemattoman värähtelijän jaksonaika on 12.0 s. Vaimenevan värähtelijän kulmataajuus on 97 % vaimenemattoman värähtelijän kulmataajuudesta. a) Mikä on peräkkäisten maksimien amplitudien suhde? b) Missä ajassa värähtelijän amplitudi pienenee puoleen? Haastavampia laskuja T 15: Kun autoa lähdetään kiihdyttämään nopeudesta v 0 = 25,0 m/s, kiihtyvyys (samalla vaihteella ajettaessa) noudattaa yhtälöä a b ct dt 2 missä b = 1,00 m/s 2, c = 0,10 m/s 3 ja d = 0,01 m/s 4. Laske auton nopeus kymmenen sekunnin kuluttua kiihdytyksen aloittamisesta. Laske myös auton tänä aikana kulkema matka. T 16: Pistemäinen kappale liikkuu xy-tasossa siten, että sen kiihtyvyyden komponentit ovat: a a x y 4sin t 3cos t Hetkellä t = 0 kappaleen paikka on muotoinen tämä rata voisi olla? 3 ĵ ja nopeus 4 î. Johda kappaleen radan yhtälö. Mieti, minkä T 17: Kappale, jonka massa on m, lähtee liikkeelle paikasta x 0 pitkin x-akselia voiman F K 2 x vaikutuksen alaisena. Osoita, että kappaleen nopeus paikassa x noudattaa yhtälöä v 2K 1 m x x Opastus: Kiihtyvyys on a dv dt dv dx dx dt dv v dx T 18: Kappaleeseen vaikuttavan konservatiivisen voiman lauseke on F 2x 2 iˆ 2yj ˆ Määritä voimaan liittyvä potentiaalienergian lauseke. Valitse potentiaalienergian nollakohta origoon.

4 Pohdintatehtäviä T 19: Kappale lähtee levosta ja liikkuu pitkin x-akselia. Kappaleen paikka ajan funktiona on esitetty alla olevassa kuvassa. Numeroarvoja on taulukossa. t [s] x [m] t [s] x [m] ,5 2, ,5 6, ,5 12, ,5 20, a) Milloin kappaleen nopeus on nolla? b) Milloin kappaleen nopeus on vakio mutta eri kuin nolla? c) Milloin kappale on kiihtyvässä tai hidastuvassa liikkeessä? d) Mikä on kappaleen nopeus aikavälillä 9 s 17 s?

5 T 20: Kappale lähtee levosta ja liikkuu pitkin x-akselia. (Kyseessä on sama tapahtuma kuin tehtävässä T 19.) Kappaleen nopeus ajan funktiona on esitetty alla olevassa kuvassa. Numeroarvoja on taulukossa. t [s] v [m/s] t [s] v [m/s] , , , , a) Milloin kappaleen kiihtyvyys on nolla? b) Milloin kappaleen kiihtyvyys on vakio mutta eri kuin nolla? c) Mikä on kappaleen kiihtyvyys aikavälillä 0 s 4,5 s? T 21: Kappaleen paikka ajan funktiona on x = x 0 + v 0 t + ½at 2. a) Mikä on kappaleen nopeus ajan funktiona? b) Mikä on vakioiden x 0, v 0 ja a arvo tehtävässä T 19 ja T 20 esitetylle liikkeelle välillä 0 s 4,5 s? T 22: a) Kirjoita paikan ja nopeuden yhtälöt pystysuoralle heittoliikkeelle. Nyt kannattaa käyttää paikan muuttujana y-koordinaattia. b) Piirrä pystysuoran heittoliikkeen tapauksessa kuvaaja y(t) eli korkeus ajan funktiona. c) Piirrä pystysuoran heittoliikkeen tapauksessa kuvaaja v y (t) eli nopeus ajan funktiona. d) Piirrä pystysuoran heittoliikkeen tapauksessa kuvaaja a y (t) eli kiihtyvyys ajan funktiona.

6 T 23: Suoraviivaisen, tasaisesti kiihtyvän liikkeen perusyhtälö on: x = x 0 + v 0 t + ½at 2 Kirjoita tämän yhtälön avulla vinon heittoliikkeen yhtälöt: -korkeus y ajan funktiona -vaakasuora siirtymä x ajan funktiona -pystysuora nopeus v y ajan funktiona -vaakasuora nopeus v x ajan funktiona Oleta alkunopeus v 0 ja lähtökulma α tunnetuksi. T 24: Kappale heitetään maan pinnalta alkunopeudella v o kulmaan α maan pintaan nähden. Hahmottele seuraavat kuvaajat: a) korkeus ajan funktiona, b) pysty- ja vaakasuuntaiset nopeuden komponentit ajan funktiona, c) pysty- ja vaakasuuntaiset kiihtyvyyden komponentit ajan funktiona, d) korkeus y maan pintaa pitkin mitatun etäisyyden x funktiona. T 25: Kappale on vinossa heittoliikkeessä, jossa ilman vastusta ei ole. Oheisessa kuvassa on esitetty kappaleen paikka vaaka- ja pystysuunnassa (eli x- ja y-koordinaatit) 0,1 sekunnin välein. Vastaavat lukuarvot ovat taulukossa. Maanpinta on kohdassa y = 0. a) Miltä korkeudelta kappale lähtee eli mikä on vakion y 0 arvo? b) Mikä on x 0 eli lähtöpisteen x-koordinaatti? c) Arvioi kuvasta ja/tai taulukosta, mikä on nousuaika? d) Arvioi kuvasta ja/tai taulukosta, mikä on lentoaika? e) Arvioi kuvasta ja/tai taulukosta, mikä on nousukorkeus? f) Arvioi kuvasta ja/tai taulukosta, mikä on lentomatka eli kantama? g) Laske lähtökulma. h) Laske lähtönopeus.

7 T 26: Kappale (massa m) liikkuu pitkin ympyränmuotoista rataa (säde R) hetkellisen nopeuden ollessa v. Kappale on kiihtyvässä liikkeessä, kiihtyvyys on vakio a (> 0). a) Piirrä kuva, johon merkitset nopeusvektorin, tangentiaalisen kiihtyvyysvektorin, normaalikiihtyvyysvektorin, kokonaiskiihtyvyysvektorin, kulmanopeusvektorin ja kulmakiihtyvyysvektorin. b) Mikä edellisessä kuvassa muuttuu, jos a olisi < 0 eli liike olisi hidastuvaa? c) Määritä edellä annettujen tietojen perusteella itseisarvo kulmanopeudelle, kulmakiihtyvyydelle, ja normaalikiihtyvyydelle (= keskeiskiihtyvyydelle). T 27: Liikeyhtälöksi sanotaan yhtälöä, joka kirjoitetaan kappaleelle (tai useamman kappaleen systeemille) Newtonin toisen lain mukaisesti ΣF i = ma. a) Kirjoita liikeyhtälö peräkärrylle (massa m), jota kiihtyvässä liikkeessä oleva auto vetää voimalla F. Peräkärryyn vaikuttaa kitkavoiman F µ. b) Tilanne on muuten sama kuin a)-kohdassa, mutta nyt auton ja peräkärryn muodostama systeemi liikkuu eteenpäin tasaisella nopeudella v. Kirjoita liikeyhtälö peräkärrylle. c) Kirjoita liikeyhtälö kelkalle (massa m), jota lapsi vetää mäkeä (kaltevuuskulma α) ylöspäin voimalla F. Kitkakerroin kelkan ja lumen välillä on µ.

8 T 28: Kappale (massa m) on kaltevalla tasolla, jonka kaltevuuskulma on α. Lepokitkakerroin pinnan ja kappaleen välillä on μ s ja liukukitkakerroin μ k. Piirrä kuva tilanteesta ja merkitse siihen kaikki voimat, jotka vaikuttavat kappaleeseen kun: a) kappale on levossa b) kappale liikkuu ylämäkeen nopeudella v. Mikä on kappaleen kiihtyvyys? T 29: Kappale (massa m) ja massaton lanka (pituus l ) muodostavat heilurin. Eräällä hetkellä langan poikkeamakulma pystysuorasta suunnasta on. (Suurin poikkeama on θ 0.) Piirrä kuva tilanteesta ja merkitse kuvaan kaikki voimat, jotka vaikuttavat kappaleeseen. Määritä langan jännitys ääriasennossa. T 30: Kappale, jonka massa m on 50 g, liikkuu kuvan mukaisesti pitkin vaakasuoraa ympyrää langan varassa. Langan pituus L on 86 cm ja kaltevuuskulma α on 8,5 o. (Huomaa: α on vakio.) a) Piirrä kuva, johon merkitset kaikki kappaleeseen vaikuttavat voimat. b) Määritä kappaleeseen vaikuttavien voimien suuruus ja kappaleen nopeus. α

9 T 31: Määritä voiman F = 10,0 N kappaleeseen tekemä työ seuraavissa tapauksissa: (Kappale siirtyy jokaisessa tapahtumassa 3 m oikealle.) a) F s = 3 m b) 30 o F s = 3 m c) F s = 3 m d) F s = 3 m T 32: a) Minkä työn seuraavat voimat tekevät kuvan kappaleeseen? Ilmoita vastaus vain kaavana annettuja symboleja käyttäen, ei numeroarvoja paitsi jos vastaus on nolla. F α i) voima F ii) pinnan tukivoima eli normaalivoima N iii) painovoima G iv) kitkavoima F. (Kappaleen massa on m ja kitkakerroin kappaleen ja tason välillä on.)

10 b) Mikä on a)-kohdan kappaleeseen tehty nettotyö ja kuinka paljon kappaleen kineettinen energia muuttuu? (Ilmoita tulokset kaavoina annettuja symboleja käyttäen.) T 33: Massa on kiinnitetty pystysuoran jouseen. Massaa poikkeutetaan niin, että se alkaa värähdellä. Massaan kiinnitetty kynä piirtää käyrää, joka esittää poikkeamaa ajan funktiona kuten videossa Tuloksena saadaan alla olevat kuvat. Määritä a) liikkeen amplitudi (sama jokaisessa kolmessa kuvassa), b) liikkeen periodi (sama jokaisessa kolmessa kuvassa), c) liikkeen kulmataajuus (sama jokaisessa kolmessa kuvassa), d) liikkeen vaihekulma (eri jokaisessa kuvassa). e) Kirjoita alimmalle liikkeelle yhtälö x = Asin(ωt +φ), johon sijoitat vakioiden arvot. Oleta, että liike on vaimentumatonta.

11

12 T 34: Harmonisen värähtelijän yhtälö on x = (0,10 m) sin 2 (rad/s) t + /4. a) Mikä on suurin poikkeama tasapainoasemasta? b) Montako edestakaista värähdystä tapahtuu sekunnissa? c) Mikä on liikkeen taajuus? d) Mikä on poikkeama ajanhetkellä t = 0? T 35: Harmonisen värähtelijän liikettä kuvataan yhtälöllä x = Asin( t + ). Määritä harmonisen värähtelijän nopeus ajan funktiona ja kiihtyvyys ajan funktiona. T 36: Kappale, jonka massa on m, liikkuu harmonisen voiman F = - kx vaikutuksen alaisena. a) Kirjoita differentiaaliyhtälö, josta saa ratkaisuna kappaleen poikkeaman tasapainoasemasta ajan funktiona: x = A sin(ωt + φ). Yhtälöä ei tarvitse ratkaista, mutta selvitä pääpiirteittäin (esimerkiksi Fysiikan matematiikan kurssilla oppimasi perusteella), miten kyseinen differentiaaliyhtälö ratkaistaan. b) Mitä yllä olevassa lausekkeessa tarkoittavat A, ω ja φ? c) Miten lasketaan värähdysliikkeen periodi? d) Mikä on kyseisen värähtelijän hetkellinen potentiaalienergia ja kokonaisenergia. T 37: Kappale, jonka massa on m, liikkuu harmonisen voiman F = - kx vaikutuksen alaisena. Lisätään systeemiin liikettä hidastava voima, joka riippuu kappaleen nopeudesta seuraavalla tavalla: F = - bv a) Kirjoita differentiaaliyhtälö, josta saa ratkaisuna kappaleen poikkeaman tasapainoasemasta ajan funktiona. Yhtälöä ei tarvitse ratkaista, mutta saa ratkaista, jos haluaa treenata laskemista. b) Differentiaaliyhtälön ratkaisu on: x = Ae -(b/2m)t sin(ωt + φ) Mitä tässä yhtälössä tarkoittavat A, b, m, ω ja φ? c) Milloin vaimennettu värähtelijä on ylivaimennettu? Mitä se käytännössä tarkoittaa? d) Jos piirtäisit tehtävän vaimentumattoman ja vaimennetun värähtelijän kuvaajan, miten ne eroaisivat toisistaan? Oleta, että m, k ja φ ovat samoja molemmille värähtelijöille. T 38: Koejärjestely on muuten samanlainen kuin tehtävässä T 33, mutta nyt kappaleeseen vaikuttaa hidastava voima. Kappale on esimerkiksi upotettu nesteeseen. Asiaa havainnollistaa videossa vasemmanpuoleisin kuva tai video Alla olevassa kuvassa on esitetty kappaleen poikkeama ajan funktiona. Määritä vakion b/2m arvo, jos liikettä kuvataan yhtälöllä x = Ae -(b/2m)t sin(ωt + φ).

13 Vastaukset T 1: 2,6 km T 2: a) 1,02 s, b) 5,10 m, c) 2,04 s T 3: a(2 s) = 13,0 m/s 2, x(2 s) = 0,667 m T 4: b) a TAN = 0,180 m/s 2, a RAD = 0,377 m/s 2, a TOT = 0,420 m/s 2 T 5: a) 2,99 m, b) 16,8 m, c) 1,4 s, d) 14,3 m/s T 6: t = 5 s r = 142 m, v = 103 m/s, a = 50,0 m/s 2. Anna tulokset (ensisijaisesti) vektoreina. T 7: 1,5 m T 8: r = (13,7i 4,67j + 9,95k) m T 9: 0,533 T 10: s = 0,820 m tai h = 0,493 m

14 T 11: a) [(6,4x + 1,1)i]N, b) 15 J, c) 2,2 m/s T 12: F KOK = (3,5i + 1,3j) N, F KOK = 3, N T 13: a) 2,32 s, b) 2,35 m/s 2 T 14: a) 0,21, b) 5,45 s T 15: v(10 s) = 36,7 m/s, x(10 s) = 308 m T 16: r = (4sint)i 3(cost -2)j T 18: T 30: G = 0,491 N, T = 0,496 N, v = 0,432 m/s T 38: noin 0,05 s -1

Kinematiikka -1- K09A,B&C Harjoitustehtäviä Kevät 2010 PARTIKKELI. Suoraviivainen liike

Kinematiikka -1- K09A,B&C Harjoitustehtäviä Kevät 2010 PARTIKKELI. Suoraviivainen liike Kinematiikka -1- K09A,B&C Harjoitustehtäviä Kevät 010 PARTIKKELI Suoraviivainen liike 1. Suoraviivaisessa liikkeessä olevan partikkelin asema on (järjestelmä m, s) 3 x ( = t 15t + 36t 10. Laske a) partikkelin

Lisätiedot

on radan suuntaiseen komponentti eli tangenttikomponentti ja on radan kaarevuuskeskipisteeseen osoittavaan komponentti. (ks. kuva 1).

on radan suuntaiseen komponentti eli tangenttikomponentti ja on radan kaarevuuskeskipisteeseen osoittavaan komponentti. (ks. kuva 1). H E I L U R I T 1) Matemaattinen heiluri = painottoman langan päässä heilahteleva massapiste (ks. kuva1) kuva 1. - heilurin pituus l - tasapainoasema O - ääriasemat A ja B - heilahduskulma - heilahdusaika

Lisätiedot

NEWTONIN LAIT MEKANIIKAN I PERUSLAKI MEKANIIKAN II PERUSLAKI MEKANIIKAN III PERUSLAKI

NEWTONIN LAIT MEKANIIKAN I PERUSLAKI MEKANIIKAN II PERUSLAKI MEKANIIKAN III PERUSLAKI NEWTONIN LAIT MEKANIIKAN I PERUSLAKI eli jatkavuuden laki tai liikkeen jatkuvuuden laki (myös Newtonin I laki tai inertialaki) Kappale jatkaa tasaista suoraviivaista liikettä vakionopeudella tai pysyy

Lisätiedot

Luvun 5 laskuesimerkit

Luvun 5 laskuesimerkit Luvun 5 laskuesimerkit Huom: luvun 4 kohdalla luennolla ei ollut laskuesimerkkejä, vaan koko luvun 5 voi nähdä kokoelmana sovellusesimerkkejä edellisen luvun asioihin! Esimerkki 5.1 Moottori roikkuu oheisen

Lisätiedot

Fysiikan valintakoe 10.6.2014, vastaukset tehtäviin 1-2

Fysiikan valintakoe 10.6.2014, vastaukset tehtäviin 1-2 Fysiikan valintakoe 10.6.2014, vastaukset tehtäviin 1-2 1. (a) W on laatikon paino, F laatikkoon kohdistuva vetävä voima, F N on pinnan tukivoima ja F s lepokitka. Kuva 1: Laatikkoon kohdistuvat voimat,

Lisätiedot

Pietarsaaren lukio Vesa Maanselkä

Pietarsaaren lukio Vesa Maanselkä Fys 9 / Mekaniikan osio Liike ja sen kuvaaminen koordinaatistossa Newtonin lait Voimavektorit ja vapaakappalekuvat Työ, teho,työ-energiaperiaate ja energian säilymislaki Liikemäärä ja sen säilymislaki,

Lisätiedot

HARMONISEN VÄRÄHTELIJÄN JAKSONAIKA JA HEILURIEN HEILAHDUSAJAT - johtaminen 1) VAIMENEMATON HARMONINEN VÄRÄHDYSLIIKE

HARMONISEN VÄRÄHTELIJÄN JAKSONAIKA JA HEILURIEN HEILAHDUSAJAT - johtaminen 1) VAIMENEMATON HARMONINEN VÄRÄHDYSLIIKE HARMONISEN VÄRÄHTELIJÄN JAKSONAIKA JA HEILURIEN HEILAHDUSAJAT - johtaminen 1) VAIMENEMATON HARMONINEN VÄRÄHDYSLIIKE Harmoninen voima on voima, jonka suuruus on suoraan verrannollinen poikkeamaan tasapainoasemasta

Lisätiedot

Luvun 10 laskuesimerkit

Luvun 10 laskuesimerkit Luvun 10 laskuesimerkit Esimerkki 10.1 Tee-se-itse putkimies ei saa vesiputken kiinnitystä auki putkipihdeillään, joten hän päättää lisätä vääntömomenttia jatkamalla pihtien vartta siihen tiukasti sopivalla

Lisätiedot

3.4 Liike-energiasta ja potentiaalienergiasta

3.4 Liike-energiasta ja potentiaalienergiasta Työperiaatteeksi (the work-energy theorem) kutsutaan sitä että suljetun systeemin liike-energian muutos Δ on voiman systeemille tekemä työ W Tämä on yksi konservatiivisen voiman erityistapaus Työperiaate

Lisätiedot

Liikkeet. Haarto & Karhunen. www.turkuamk.fi

Liikkeet. Haarto & Karhunen. www.turkuamk.fi Liikkeet Haarto & Karhunen Suureita Aika: tunnus t, yksikkö: sekunti = s Paikka: tunnus x, y, r, ; yksikkö: metri = m Paikka on ektorisuure Suoraiiaisessa liikkeessä kappaleen paikka (asema) oidaan ilmoittaa

Lisätiedot

Kitka ja Newtonin lakien sovellukset

Kitka ja Newtonin lakien sovellukset Kitka ja Newtonin lakien sovellukset Haarto & Karhunen Tavallisimpia voimia: Painovoima G Normaalivoima, Tukivoima Jännitysvoimat Kitkavoimat Voimat yleisesti F f T ja s f k N Vapaakappalekuva Kuva, joka

Lisätiedot

AUTON LIIKETEHTÄVIÄ: KESKIKIIHTYVYYS ak JA HETKELLINEN KIIHTYVYYS a(t) (tangenttitulkinta) sekä matka fysikaalisena pinta-alana (t,

AUTON LIIKETEHTÄVIÄ: KESKIKIIHTYVYYS ak JA HETKELLINEN KIIHTYVYYS a(t) (tangenttitulkinta) sekä matka fysikaalisena pinta-alana (t, AUTON LIIKETEHTÄVIÄ: KESKIKIIHTYVYYS ak JA HETKELLINEN KIIHTYVYYS a(t) (tangenttitulkinta) sekä matka fysikaalisena pinta-alana (t, v)-koordinaatistossa ruutumenetelmällä. Tehtävä 4 (~YO-K97-1). Tekniikan

Lisätiedot

Diplomi-insinöörien ja arkkitehtien yhteisvalinta - dia-valinta 2011 Insinöörivalinnan fysiikan koe 1.6.2011, malliratkaisut

Diplomi-insinöörien ja arkkitehtien yhteisvalinta - dia-valinta 2011 Insinöörivalinnan fysiikan koe 1.6.2011, malliratkaisut A1 Diplomi-insinöörien ja arkkitehtien yhteisvalinta - dia-valinta 2011 Täydennä kuhunkin kohtaan yhtälöstä puuttuva suure tai vakio alla olevasta taulukosta. Anna vastauksena kuhunkin kohtaan ainoastaan

Lisätiedot

BM30A0240, Fysiikka L osa 4. Värähtelyfysiikkaa. Luennot: Heikki Pitkänen

BM30A0240, Fysiikka L osa 4. Värähtelyfysiikkaa. Luennot: Heikki Pitkänen BM30A0240, Fysiikka L osa 4 Värähtelyfysiikkaa 1 Luennot: Heikki Pitkänen Oppikirja: Young & Freedman: University Physics Periodic motion Mechanical waves Sound and hearing Muuta - Diffraktio, interferenssi,

Lisätiedot

3 x 1 < 2. 2 b) b) x 3 < x 2x. f (x) 0 c) f (x) x + 4 x 4. 8. Etsi käänteisfunktio (määrittely- ja arvojoukkoineen) kun.

3 x 1 < 2. 2 b) b) x 3 < x 2x. f (x) 0 c) f (x) x + 4 x 4. 8. Etsi käänteisfunktio (määrittely- ja arvojoukkoineen) kun. Matematiikka KoTiA1 Demotehtäviä 1. Ratkaise epäyhtälöt x + 1 x 2 b) 3 x 1 < 2 x + 1 c) x 2 x 2 2. Ratkaise epäyhtälöt 2 x < 1 2 2 b) x 3 < x 2x 3. Olkoon f (x) kolmannen asteen polynomi jonka korkeimman

Lisätiedot

on hidastuvaa. Hidastuvuus eli negatiivinen kiihtyvyys saadaan laskevan suoran kulmakertoimesta, joka on siis

on hidastuvaa. Hidastuvuus eli negatiivinen kiihtyvyys saadaan laskevan suoran kulmakertoimesta, joka on siis Fys1, moniste 2 Vastauksia Tehtävä 1 N ewtonin ensimmäisen lain mukaan pallo jatkaa suoraviivaista liikettä kun kourun siihen kohdistama tukivoima (tässä tapauksessa ympyräradalla pitävä voima) lakkaa

Lisätiedot

a) Piirrä hahmotelma varjostimelle muodostuvan diffraktiokuvion maksimeista 1, 2 ja 3.

a) Piirrä hahmotelma varjostimelle muodostuvan diffraktiokuvion maksimeista 1, 2 ja 3. Ohjeita: Tee jokainen tehtävä siististi omalle sivulleen/sivuilleen. Merkitse jos tehtävä jatkuu seuraavalle konseptille. Kirjoita ratkaisuihin näkyviin tarvittavat välivaiheet ja perustele lyhyesti käyttämästi

Lisätiedot

Erityinen suhteellisuusteoria (Harris luku 2)

Erityinen suhteellisuusteoria (Harris luku 2) Erityinen suhteellisuusteoria (Harris luku 2) Yliopistonlehtori, TkT Sami Kujala Mikro- ja nanotekniikan laitos Kevät 2016 Ajan ja pituuden suhteellisuus Relativistinen työ ja kokonaisenergia SMG-aaltojen

Lisätiedot

Fysiikan perusteet. Liikkeet. Antti Haarto 22.05.2012. www.turkuamk.fi

Fysiikan perusteet. Liikkeet. Antti Haarto 22.05.2012. www.turkuamk.fi Fysiikan perusteet Liikkeet Antti Haarto.5.1 Suureita Aika: tunnus t, yksikkö: sekunti s Paikka: tunnus x, y, r, ; yksikkö: metri m Paikka on ektorisuure Suoraiiaisessa liikkeessä kappaleen paikka (asema)

Lisätiedot

Diplomi-insinöörien ja arkkitehtien yhteisvalinta - dia-valinta 2013 Insinöörivalinnan fysiikan koe 29.5.2013, malliratkaisut

Diplomi-insinöörien ja arkkitehtien yhteisvalinta - dia-valinta 2013 Insinöörivalinnan fysiikan koe 29.5.2013, malliratkaisut A1 Ampumahiihtäjä ampuu luodin vaakasuoraan kohti maalitaulun keskipistettä. Luodin lähtönopeus on v 0 = 445 m/s ja etäisyys maalitauluun s = 50,0 m. a) Kuinka pitkä on luodin lentoaika? b) Kuinka kauaksi

Lisätiedot

Luento 6: Liikemäärä ja impulssi

Luento 6: Liikemäärä ja impulssi Luento 6: Liikemäärä ja impulssi Liikemäärä ja impulssi Liikemäärän säilyminen Massakeskipiste Muuttuva massa Laskettuja esimerkkejä Luennon sisältö Liikemäärä ja impulssi Liikemäärän säilyminen Massakeskipiste

Lisätiedot

FYSIIKAN HARJOITUSTEHTÄVIÄ

FYSIIKAN HARJOITUSTEHTÄVIÄ FYSIIKAN HARJOITUSTEHTÄVIÄ MEKANIIKKA Nopeus ja keskinopeus 6. Auto kulkee 114 km matkan tunnissa ja 13 minuutissa. Mikä on auton keskinopeus: a) Yksikössä km/h 1. Jauhemaalaamon kuljettimen nopeus on

Lisätiedot

1.4 Suhteellinen liike

1.4 Suhteellinen liike Suhteellisen liikkeen ensimmäinen esimerkkimme on joskus esitetty kompakysymyksenäkin. Esimerkki 5 Mihin suuntaan ja millä nopeudella liikkuu luoti, joka ammutaan suihkukoneesta mahdollisimman suoraan

Lisätiedot

KALTEVA TASO. 1. Työn tavoitteet. 2. Teoria

KALTEVA TASO. 1. Työn tavoitteet. 2. Teoria Oulun yliopisto Fysiikan opetuslaboratorio Fysiikan laboratoriotyöt 1 1. Työn tavoitteet Tämän työn ensimmäisessä osassa tutkit kuulan, sylinterin ja sylinterirenkaan vierimistä pitkin kaltevaa tasoa.

Lisätiedot

Muunnokset ja mittayksiköt

Muunnokset ja mittayksiköt Muunnokset ja mittayksiköt 1 a Mitä kymmenen potenssia tarkoittavat etuliitteet m, G ja n? b Mikä on massan (mass) mittayksikkö SI-järjestelmässäa? c Mikä on painon (weight) mittayksikkö SI-järjestelmässä?

Lisätiedot

Luvun 8 laskuesimerkit

Luvun 8 laskuesimerkit Luvun 8 laskuesimerkit Esimerkki 8.1 Heität pallon, jonka massa on 0.40 kg seinään. Pallo osuu seinään horisontaalisella nopeudella 30 m/s ja kimpoaa takaisin niin ikään horisontaalisesti nopeudella 20

Lisätiedot

Havainnoi mielikuviasi ja selitä, Panosta ajatteluun, selvitä liikkeen salat!

Havainnoi mielikuviasi ja selitä, Panosta ajatteluun, selvitä liikkeen salat! Parry Hotteri tutki näkymättömiä voimia kammiossaan Hän aikoi tönäistä pallon liikkeelle pöydällä olevassa ympyrän muotoisessa kourussa, joka oli katkaistu kuvan osoittamalla tavalla. Hän avasi Isaac Newtonin

Lisätiedot

Liike ja voima. Kappaleiden välisiä vuorovaikutuksia ja niistä aiheutuvia liikeilmiöitä

Liike ja voima. Kappaleiden välisiä vuorovaikutuksia ja niistä aiheutuvia liikeilmiöitä Liike ja voima Kappaleiden välisiä vuorovaikutuksia ja niistä aiheutuvia liikeilmiöitä Tasainen liike Nopeus on fysiikan suure, joka kuvaa kuinka pitkän matkan kappale kulkee tietyssä ajassa. Nopeus voidaan

Lisätiedot

Funktion derivoituvuus pisteessä

Funktion derivoituvuus pisteessä Esimerkki A Esimerkki A Esimerkki B Esimerkki B Esimerkki C Esimerkki C Esimerkki 4.0 Ratkaisu (/) Ratkaisu (/) Mielikuva: Funktio f on derivoituva x = a, jos sen kuvaaja (xy-tasossa) pisteen (a, f(a))

Lisätiedot

2.3 Voiman jakaminen komponentteihin

2.3 Voiman jakaminen komponentteihin Seuraavissa kappaleissa tarvitaan aina silloin tällöin taitoa jakaa voima komponentteihin sekä myös taitoa suorittaa sille vastakkainen operaatio eli voimien resultantin eli kokonaisvoiman laskeminen.

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

Diplomi-insinöörien ja arkkitehtien yhteisvalinta - dia-valinta 2012 Insinöörivalinnan fysiikan koe 30.5.2012, malliratkaisut

Diplomi-insinöörien ja arkkitehtien yhteisvalinta - dia-valinta 2012 Insinöörivalinnan fysiikan koe 30.5.2012, malliratkaisut A1 Kappale, jonka massa m = 2,1 kg, lähtee liikkeelle levosta paikasta x = 0,0 m pitkin vaakasuoraa alustaa. Kappaleeseen vaikuttaa vaakasuora vetävä voima F, jonka suuruus riippuu paikasta oheisen kuvan

Lisätiedot

TKK, TTY, LTY, OY, ÅA, TY ja VY insinööriosastojen valintakuulustelujen fysiikan koe 1.6.2005, malliratkaisut.

TKK, TTY, LTY, OY, ÅA, TY ja VY insinööriosastojen valintakuulustelujen fysiikan koe 1.6.2005, malliratkaisut. 1 Kuvaan 1 on piiretty kahden suoraviivaisesti samaan suuntaan liikkuvan auton ja B nopeudet ajan funktiona. utot ovat rinnakkain ajanhetkellä t = 0 s. a) Kuvaile auton liikettä ajan funktiona. Kumpi autoista

Lisätiedot

TKK, TTY, LTY, OY, ÅA, TY ja VY insinööriosastojen valintakuulustelujen fysiikan koe 31.5.2006, malliratkaisut ja arvostelu.

TKK, TTY, LTY, OY, ÅA, TY ja VY insinööriosastojen valintakuulustelujen fysiikan koe 31.5.2006, malliratkaisut ja arvostelu. 1 Linja-autoon on suunniteltu vauhtipyörä, johon osa linja-auton liike-energiasta siirtyy jarrutuksen aikana Tätä energiaa käytetään hyväksi kun linja-autoa taas kiihdytetään Linja-auto, jonka nopeus on

Lisätiedot

Diplomi-insinöörien ja arkkitehtien yhteisvalinta - dia-valinta 2009, insinöörivalinnan fysiikan koe 27.5.2009, malliratkaisut

Diplomi-insinöörien ja arkkitehtien yhteisvalinta - dia-valinta 2009, insinöörivalinnan fysiikan koe 27.5.2009, malliratkaisut Diplomi-insinöörien ja arkkitehtien yhteisvalinta - dia-valinta 2009, insinöörivalinnan fysiikan koe 27.5.2009, malliratkaisut 1 Huvipuiston vuoristoradalla vaunu (massa m v = 1100 kg) lähtee levosta liikkeelle

Lisätiedot

Mekaniikka 1 Lukion fysiikan kertausta

Mekaniikka 1 Lukion fysiikan kertausta Mekaniikka 1 Lukion fysiikan kertausta 21.7.2009 Pietarsaaren lukio Vesa Maanselkä Kiihdyttäviä autoja, lipsuvia hihnoja, loistavia tehtäviä, loistavaa filosofiaa LAske! Sisältö Alustavia lähtökohtia mekaniikkaan...

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät Pekka Vienonen

Numeeriset menetelmät Pekka Vienonen Numeeriset menetelmät Pekka Vienonen 1. Funktion nollakohta Newtonin menetelmällä 2. Määrätty integraali puolisuunnikassäännöllä 3. Määrätty integraali Simpsonin menetelmällä Newtonin menetelmä Newtonin

Lisätiedot

Lineaarialgebra MATH.1040 / voima

Lineaarialgebra MATH.1040 / voima Lineaarialgebra MATH.1040 / voima 1 Seuraavaksi määrittelemme kaksi vektoreille määriteltyä tuloa; pistetulo ja. Määritelmät ja erilaiset tulojen ominaisuudet saattavat tuntua, sekavalta kokonaisuudelta.

Lisätiedot

5.3 Ensimmäisen asteen polynomifunktio

5.3 Ensimmäisen asteen polynomifunktio Yllä olevat polynomit P ( x) = 2 x + 1 ja Q ( x) = 2x 1 ovat esimerkkejä 1. asteen polynomifunktioista: muuttujan korkein potenssi on yksi. Yleisessä 1. asteen polynomifunktioissa on lisäksi vakiotermi;

Lisätiedot

Liike pyörivällä maapallolla

Liike pyörivällä maapallolla Liike pyörivällä maapallolla Voidaan olettaa: Maan pyöriminen tasaista Maan rataliikkeen näennäisvoimat tasapainossa Auringon vetovoiman kanssa Riittää tarkastella Maan tasaisesta pyörimisestä akselinsa

Lisätiedot

2 x 5 4x + x 2, [ 100,2].

2 x 5 4x + x 2, [ 100,2]. 7. Derivaatan sovellutuksia 7.1. Derivaatta tangentin kulmakertoimena 6. Määritä a, b ja c siten, että käyrät y = x + ax + b ja y = cx x sivuavat toisiaan pisteessä (1,). a = 0, b =, c = 4. 6. Määritä

Lisätiedot

On määritettävä puupalikan ja lattian välinen liukukitkakerroin. Sekuntikello, metrimitta ja puupalikka (tai jääkiekko).

On määritettävä puupalikan ja lattian välinen liukukitkakerroin. Sekuntikello, metrimitta ja puupalikka (tai jääkiekko). TYÖ 5b LIUKUKITKAKERTOIMEN MÄÄRITTÄMINEN Tehtävä Välineet Taustatietoja On määritettävä puupalikan ja lattian välinen liukukitkakerroin Sekuntikello, metrimitta ja puupalikka (tai jääkiekko) Kitkavoima

Lisätiedot

SEISOVA AALTOLIIKE 1. TEORIAA

SEISOVA AALTOLIIKE 1. TEORIAA 1 SEISOVA AALTOLIIKE MOTIVOINTI Työssä tutkitaan poikittaista ja pitkittäistä aaltoliikettä pitkässä langassa ja jousessa. Tarkastellaan seisovaa aaltoliikettä. Määritetään aaltoliikkeen etenemisnopeus

Lisätiedot

MAA7 HARJOITUSTEHTÄVIÄ

MAA7 HARJOITUSTEHTÄVIÄ MAA7 HARJOITUSTEHTÄVIÄ Selvitä, mitä -akselin väliä tarkoittavat merkinnät: a) < b) U(, ) c) 4 < 0 0 Ilmoita väli a) 4 < < b) ] 5, 765[ tavalla 7 tehtävän a)-kohdan mukaisella kana, kana 0 Palautetaan

Lisätiedot

Harjoitustyö Hidastuva liike Biljardisimulaatio

Harjoitustyö Hidastuva liike Biljardisimulaatio Harjoitustyö Hidastuva liike Biljardisimulaatio Tietotekniikka Ammattialan matemaattiset menetelmät Tommi Sukuvaara Nico Hätönen, Joni Toivonen, Tomi Poutiainen INTINU13A6 Arviointi Päiväys Arvosana Opettajan

Lisätiedot

2 Keskeisvoimakenttä. 2.1 Newtonin gravitaatiolaki

2 Keskeisvoimakenttä. 2.1 Newtonin gravitaatiolaki 2 Keskeisvoimakenttä 2.1 Newtonin gravitaatiolaki Newton oletti, että kappale, jolla on massa m 1, vaikuttaa etäisyydellä r 12 olevaan toiseen kappaleeseen, jonka massa on m 2, gravitaatiovoimalla, joka

Lisätiedot

1 Oikean painoisen kuulan valinta

1 Oikean painoisen kuulan valinta Oikean painoisen kuulan valinta Oheisessa kuvaajassa on optimoitu kuulan painoa niin, että se olisi mahdollisimman nopeasti perillä tietyltä etäisyydeltä ammuttuna airsoft-aseella. Tulos on riippumaton

Lisätiedot

Diplomi-insino o rien ja arkkitehtien yhteisvalinta - dia-valinta 2015 Insino o rivalinnan fysiikan koe 27.5.2015, malliratkaisut

Diplomi-insino o rien ja arkkitehtien yhteisvalinta - dia-valinta 2015 Insino o rivalinnan fysiikan koe 27.5.2015, malliratkaisut Diplomi-insino o rien ja arkkitehtien yhteisalinta - dia-alinta 15 Insino o rialinnan fysiikan koe 7.5.15, malliratkaisut A1 Pallo (massa m = 1, kg, sa de r =, cm) nojaa kur an mukaisesti pystysuoraan

Lisätiedot

1.3 Kappaleen tasaisesta liikkeestä

1.3 Kappaleen tasaisesta liikkeestä Arkikielen sana vauhti (speed) tarkoittaa fysiikassa nopeuden (velocity) suuruutta (magnitude of velocity). Kun nopeus on fysiikassa vektorisuure, niin vauhti taas on vain luku skalaari johon liittyy yksikkö.

Lisätiedot

1 Laske ympyrän kehän pituus, kun

1 Laske ympyrän kehän pituus, kun Ympyrään liittyviä harjoituksia 1 Laske ympyrän kehän pituus, kun a) ympyrän halkaisijan pituus on 17 cm b) ympyrän säteen pituus on 1 33 cm 3 2 Kuinka pitkä on ympyrän säde, jos sen kehä on yhden metrin

Lisätiedot

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA EB-TUTKINTO 2008 MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA PÄIVÄMÄÄRÄ: 5. kesäkuuta 2008 (aamupäivä) KOKEEN KESTO: 4 tuntia (240 minuuttia) SALLITUT APUVÄLINEET: Europpa-koulun antama taulukkovihkonen Funktiolaskin,

Lisätiedot

Matti A Ranta Rakenteiden Mekaniikka, Vol. 40 Ulf Holmlund Nro 3, 2007, s. 7-14

Matti A Ranta Rakenteiden Mekaniikka, Vol. 40 Ulf Holmlund Nro 3, 2007, s. 7-14 ERÄÄN ONNETTOMUUDEN ANALYSOINTI Matti A Ranta Rakenteiden Mekaniikka, Vol. 4 Ulf Holmlund Nro 3, 7, s. 7-14 TIIVISTELMÄ Ajoneuvon tieltä suistuttua pyritään sen vauhti määrittämään maastosta löytyvien

Lisätiedot

4.1 Kaksi pistettä määrää suoran

4.1 Kaksi pistettä määrää suoran 4.1 Kaksi pistettä määrää suoran Kerrataan aluksi kurssin MAA1 tietoja. Geometrisesti on selvää, että tason suora on täysin määrätty, kun tunnetaan sen kaksi pistettä. Joskus voi tulla vastaan tilanne,

Lisätiedot

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 23.9.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 23.9.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 3.9.05 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa

Lisätiedot

x = π 3 + nπ, x + 1 f (x) = 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 = 2x2 + 2x x 2 = x2 + 2x f ( 3) = ( 3)2 + 2 ( 3) ( 3) + 1 3 1 + 4 2 + 5 2 = 21 21 = 21 tosi

x = π 3 + nπ, x + 1 f (x) = 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 = 2x2 + 2x x 2 = x2 + 2x f ( 3) = ( 3)2 + 2 ( 3) ( 3) + 1 3 1 + 4 2 + 5 2 = 21 21 = 21 tosi Mallivastaukset - Harjoituskoe F F1 a) (a + b) 2 (a b) 2 a 2 + 2ab + b 2 (a 2 2ab + b 2 ) a 2 + 2ab + b 2 a 2 + 2ab b 2 4ab b) tan x 3 x π 3 + nπ, n Z c) f(x) x2 x + 1 f (x) 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 2x2

Lisätiedot

2.5 Liikeyhtälö F 3 F 1 F 2

2.5 Liikeyhtälö F 3 F 1 F 2 Tässä kappaleessa esittelen erilaisia tapoja, joilla voiat vaikuttavat kappaleen liikkeeseen. Varsinainen kappaleen pääteea on assan liikeyhtälön laatiinen, kun assaan vaikuttavat voiat tunnetaan. Sitä

Lisätiedot

Vektorilla on suunta ja suuruus. Suunta kertoo minne päin ja suuruus kuinka paljon. Se on siinä.

Vektorilla on suunta ja suuruus. Suunta kertoo minne päin ja suuruus kuinka paljon. Se on siinä. Koska varsinkin toistensa suhteen liikkuvien kappaleiden liikkeen esittäminen suorastaan houkuttelee käyttämään vektoreita, mutta koska ne eivät kaikille ehkä ole kuitenkaan niin tuttuja kuin ansaitsisivat,

Lisätiedot

Voiman ja liikemäärän yhteys: Tämä pätee kun voima F on vakio hetken

Voiman ja liikemäärän yhteys: Tämä pätee kun voima F on vakio hetken Liikemäärä Henkilöauto törmää tukkirekkaan, miksi henkilöautossa olijat loukkaantuvat vakavasti, mutta rekan kuljettaja selviää yleensä aina vammoitta? Mihin suuntaan ja millä nopeudella rekka ja henkilöauto

Lisätiedot

PAINOPISTE JA MASSAKESKIPISTE

PAINOPISTE JA MASSAKESKIPISTE PAINOPISTE JA MASSAKESKIPISTE Kappaleen painopiste on piste, jonka kautta kappaleeseen kohdistuvan painovoiman vaikutussuora aina kulkee, olipa kappale missä asennossa tahansa. Jos ajatellaan kappaleen

Lisätiedot

KIERTOHEILURI JA HITAUSMOMENTTI

KIERTOHEILURI JA HITAUSMOMENTTI 1 KIERTOHEILURI JA HITAUSMOMENTTI MOTIVOINTI Tutustutaan kiertoheiluriin käytännössä. Mitataan hitausmomentin vaikutus värähtelyyn. Tutkitaan mitkä tekijät vaikuttavat järjestelmän hitausmomenttiin. Vahvistetaan

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 24.9.2014 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 24.9.2014 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 4.9.04 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa

Lisätiedot

B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja?

B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja? Nimi Koulutus Ryhmä Jokaisessa tehtävässä on vain yksi vastausvaihtoehto oikein. Laske tehtävät ilman laskinta.. Missä pisteessä suora y = 3x 6 leikkaa x-akselin? A. 3 D. B. E. en tiedä C. 6. Mitkä luvuista,,,

Lisätiedot

FYSA220/K2 (FYS222/K2) Vaimeneva värähtely

FYSA220/K2 (FYS222/K2) Vaimeneva värähtely FYSA/K (FYS/K) Vaimeneva värähtely Työssä tutkitaan vaimenevaa sähköistä värähysliikettä. Erityisesti pyritään havainnollistamaan kelan inuktanssin, konensaattorin kapasitanssin ja ohmisen vastuksen suuruuksien

Lisätiedot

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa

Lisätiedot

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA. PÄIVÄMÄÄRÄ: 8. kesäkuuta 2009

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA. PÄIVÄMÄÄRÄ: 8. kesäkuuta 2009 EB-TUTKINTO 2009 MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA PÄIVÄMÄÄRÄ: 8. kesäkuuta 2009 KOKEEN KESTO: 4 tuntia (240 minuuttia) SALLITUT APUVÄLINEET: Eurooppa-koulun antama taulukkovihkonen Funktiolaskin, joka ei saa

Lisätiedot

FYSIIKAN LABORATORIOTYÖT 2 MAGNEETTIKENTTÄTYÖ

FYSIIKAN LABORATORIOTYÖT 2 MAGNEETTIKENTTÄTYÖ FYSIIKAN LABORATORIOTYÖT 2 MAGNEETTIKENTTÄTYÖ MIKKO LAINE 2. kesäkuuta 2015 1. Johdanto Tässä työssä määritämme Maan magneettikentän komponentit, laskemme totaalikentän voimakkuuden ja monitoroimme magnetometrin

Lisätiedot

FY6 - Soveltavat tehtävät

FY6 - Soveltavat tehtävät FY6 - Soveltavat tehtävät 21. Origossa on 6,0 mikrocoulombin pistevaraus. Koordinaatiston pisteessä (4,0) on 3,0 mikrocoulombin ja pisteessä (0,2) 5,0 mikrocoulombin pistevaraus. Varaukset ovat tyhjiössä.

Lisätiedot

Vino heittoliike ja pyörimisliike (fysiikka 5, pyöriminen ja gravitaatio) Iina Pulkkinen Iida Keränen Anna Saarela

Vino heittoliike ja pyörimisliike (fysiikka 5, pyöriminen ja gravitaatio) Iina Pulkkinen Iida Keränen Anna Saarela 19.11.2015 Vino heittoliike ja pyörimisliike (fysiikka 5, pyöriminen ja gravitaatio) Iina Pulkkinen Iida Keränen Anna Saarela Iina Pulkkinen, Iida Keränen, Anna Saarela HEITTOLIIKE Työn tarkoitus: Määrittää

Lisätiedot

DYNAMIIKKA II, LUENTO 5 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi

DYNAMIIKKA II, LUENTO 5 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi DYNAMIIKKA II, LUENTO 5 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi LUENNON SISÄLTÖ Kertausta edelliseltä luennolta: Suhteellisen liikkeen nopeuden ja kiihtyvyyden yhtälöt. Jäykän kappaleen partikkelin liike. Jäykän

Lisätiedot

Pythagoraan polku 16.4.2011

Pythagoraan polku 16.4.2011 Pythagoraan polku 6.4.20. Todista väittämä: Jos tasakylkisen kolmion toista kylkeä jatketaan omalla pituudellaan huipun toiselle puolelle ja jatkeen päätepiste yhdistetään kannan toisen päätepisteen kanssa,

Lisätiedot

Luvun 10 laskuesimerkit

Luvun 10 laskuesimerkit Luvun 10 laskuesimerkit Esimerkki 11.1 Sigge-serkku tasapainoilee sahapukkien varaan asetetulla tasapaksulla puomilla, jonka pituus L = 6.0 m ja massa M = 90 kg. Sahapukkien huippujen välimatka D = 1.5

Lisätiedot

a) Kun skootterilla kiihdytetään ylämäessä, kitka on merkityksettömän pieni.

a) Kun skootterilla kiihdytetään ylämäessä, kitka on merkityksettömän pieni. AVOIN SARJA Kirjoita tekstaten koepaperiin oma nimesi, kotiosoitteesi, sähköpostiosoitteesi, opettajasi nimi sekä koulusi nimi. Kilpailuaikaa on 1 minuuttia. Sekä tehtävä- että koepaperit palautetaan kilpailun

Lisätiedot

Diplomi-insinöörien ja arkkitehtien yhteisvalinta - dia-valinta 2014 Insinöörivalinnan fysiikan koe 28.5.2014, malliratkaisut

Diplomi-insinöörien ja arkkitehtien yhteisvalinta - dia-valinta 2014 Insinöörivalinnan fysiikan koe 28.5.2014, malliratkaisut A1 Diplomi-insinöörien ja arkkitehtien yhteisvalinta - dia-valinta 014 Insinöörivalinnan fysiikan koe 8.5.014, malliratkaisut Kalle ja Anne tekivät fysikaalisia kokeita liukkaalla vaakasuoralla jäällä.

Lisätiedot

FYSA242 Statistinen fysiikka, Harjoitustentti

FYSA242 Statistinen fysiikka, Harjoitustentti FYSA242 Statistinen fysiikka, Harjoitustentti Tehtävä 1 Selitä lyhyesti: a Mikä on Einsteinin ja Debyen kidevärähtelymallien olennainen ero? b Mikä ero vuorovaikutuksessa ympäristön kanssa on kanonisella

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 18.3.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 18.3.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 8..05 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa

Lisätiedot

FYSIIKKA (FY91): 9. KURSSI: Kertauskurssi KOE 30.01.2014 VASTAA KUUTEEN (6) TEHTÄVÄÄN!!

FYSIIKKA (FY91): 9. KURSSI: Kertauskurssi KOE 30.01.2014 VASTAA KUUTEEN (6) TEHTÄVÄÄN!! FYSIIKKA (FY91): 9. KURSSI: Kertauskurssi KOE 30.01.2014 VASTAA KUUTEEN (6) TEHTÄVÄÄN!! 1. Vastaa, ovatko seuraavat väittämät oikein vai väärin. Perustelua ei tarvitse kirjoittaa. a) Atomi ei voi lähettää

Lisätiedot

Integraalilaskenta. Markus Hähkiöniemi Satu Juhala Petri Juutinen Sari Louhikallio-Fomin Erkki Luoma-aho Terhi Raittila Tommi Tikka

Integraalilaskenta. Markus Hähkiöniemi Satu Juhala Petri Juutinen Sari Louhikallio-Fomin Erkki Luoma-aho Terhi Raittila Tommi Tikka Integraalilaskenta 9 Markus Hähkiöniemi Satu Juhala Petri Juutinen Sari Louhikallio-Fomin Erkki Luoma-aho Terhi Raittila Tommi Tikka Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava Kirjan rakenne Aiemmin opiskeltua

Lisätiedot

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3.

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3. Integraalilaskenta. a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. b) Mitä määrätty integraali tietyllä välillä x tarkoittaa? Vihje: * Integraali * Määrätyn integraalin

Lisätiedot

XXIII Keski-Suomen lukiolaisten matematiikkakilpailu 23.1.2014, tehtävien ratkaisut

XXIII Keski-Suomen lukiolaisten matematiikkakilpailu 23.1.2014, tehtävien ratkaisut XXIII Keski-Suomen lukiolaisten matematiikkakilpailu 23.1.2014, tehtävien ratkaisut 1. Avaruusalus sijaitsee tason origossa (0, 0) ja liikkuu siitä vakionopeudella johonkin suuntaan, joka ei muutu. Tykki

Lisätiedot

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 10.6.2013 klo 10-13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 10.6.2013 klo 10-13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe.6. klo - Ratkaisut ja pisteytysohjeet. Ratkaise seuraavat epäyhtälöt ja yhtälö: a) x+ x +9, b) log (x) 7,

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009 Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka..9 x x a) Ratkaise yhtälö =. 4 b) Ratkaise epäyhtälö x > x. c) Sievennä lauseke ( a b) (a b)(a+ b).. a) Osakkeen kurssi laski aamupäivällä,4 % ja keskipäivällä 5,6 %.

Lisätiedot

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2.

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2. MAA4 Koe 5.5.01 Jussi Tyni Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Ota kokeesta poistuessasi tämä paperi mukaasi! Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse

Lisätiedot

(µ 2 sg 2 a 2 t )r2. t = a t

(µ 2 sg 2 a 2 t )r2. t = a t Fysiikan valintakokeen 11.6.2013 klo 10-13 ratkaisut 1. Auto lähtee levosta hetkellä t = 0 ympyrän muotoiselle vaakasuoralle radalle tasaisella tangenttikiihtyvyydellä a t = 2,34 m/s 2. Oleta, että tien

Lisätiedot

Harjoituksia MAA4 - HARJOITUKSIA. 6. Merkitse lukusuoralle ne luvut, jotka toteuttavat epäyhtälön x 2 < ½.

Harjoituksia MAA4 - HARJOITUKSIA. 6. Merkitse lukusuoralle ne luvut, jotka toteuttavat epäyhtälön x 2 < ½. MAA4 - HARJOITUKSIA 1 Esitä lauseke 3 x + x 4 ilman itseisarvomerkkejä Ratkaise yhtälö a ) 5x 9 = 6 b) 6x 9 = 0 c) 7x 9 + 6 = 0 3 Ratkaise yhtälö x 7 3 + 4x = 4 Ratkaise yhtälö 5x + = 3x 4 5 Ratkaise yhtälö

Lisätiedot

FY9 Fysiikan kokonaiskuva

FY9 Fysiikan kokonaiskuva FY9 Sivu 1 FY9 Fysiikan kokonaiskuva 6. tammikuuta 2014 14:34 Kurssin tavoitteet Kerrata lukion fysiikan oppimäärä Yhdistellä kurssien asioita toisiinsa muodostaen kokonaiskuvan Valmistaa ylioppilaskirjoituksiin

Lisätiedot

* Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa * Trigonometristen funktioiden kuvaajat

* Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa * Trigonometristen funktioiden kuvaajat Trigonometria. a) Määrittele trigonometriset funktiot. b) Vertaa trigonometristen funktioiden ominaisuuksia määritys- ja arvojoukko sekä perusjakso). * Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa

Lisätiedot

Kuvan 4 katkoviivalla merkityn alueen sisällä

Kuvan 4 katkoviivalla merkityn alueen sisällä TKK, TTY, LTY, OY ja ÅA insinööriosastojen valintakuulustelujen fysiikan koe 28.5.2003 Merkitse jokaiseen koepaperiin nimesi, hakijanumerosi ja tehtäväsarjan kirjain. Laske jokainen tehtävä siististi omalle

Lisätiedot

ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna

ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna Suomessa sallittiin CAS (Computer Algebra System) laskimien käyttö keväästä 2012 alkaen ylioppilaskirjoituksissa. Norjassa ja Ruotsissa vastaava kehitys

Lisätiedot

a) Kuinka pitkän matkan punnus putoaa, ennen kuin sen liikkeen suunta kääntyy ylöspäin?

a) Kuinka pitkän matkan punnus putoaa, ennen kuin sen liikkeen suunta kääntyy ylöspäin? Luokka 3 Tehtävä 1 Pieni punnus on kiinnitetty venymättömän langan ja kevyen jousen välityksellä tukevaan kannattimeen. Alkutilanteessa punnusta kannatellaan käsin, ja lanka riippuu löysänä kuvan mukaisesti.

Lisätiedot

Aaltoliike ajan suhteen:

Aaltoliike ajan suhteen: Aaltoliike Aaltoliike on etenevää värähtelyä Värähdysliikkeen jaksonaika T on yhteen värähdykseen kuluva aika Värähtelyn taajuus on sekunnissa tapahtuvien värähdysten lukumäärä Taajuuden ƒ yksikkö Hz (hertsi,

Lisätiedot

ja J r ovat vektoreita ja että niiden tulee olla otettu saman pyörimisakselin suhteen. Massapisteen hitausmomentti on

ja J r ovat vektoreita ja että niiden tulee olla otettu saman pyörimisakselin suhteen. Massapisteen hitausmomentti on FYSA210 / K1 HITAUSMOMENTTI Työn tavoitteena on opetella määrittämään kappaleen hitausmomentti kappaletta pyörittämällä ja samalla havainnollistaa kitkan vaikutusta. Massapisteinä toimivat keskipisteestään

Lisätiedot

Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s001.doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia.

Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s001.doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia. Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s00doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia Yleistä Ratkaise yhtälöt n n n n n 5 a) 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 5 b) ( ) ( ) > 0 + = + c) ( ) Suureet ja

Lisätiedot

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa

Lisätiedot

RATKAISUT: 22. Vaihtovirtapiiri ja resonanssi

RATKAISUT: 22. Vaihtovirtapiiri ja resonanssi Physica 9. painos (0) RATKAST. Vaihtovirtapiiri ja resonanssi RATKAST:. Vaihtovirtapiiri ja resonanssi. a) Vaihtovirran tehollinen arvo on yhtä suuri kuin sellaisen tasavirran arvo, joka tuottaa vastuksessa

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta Eksponenttifuntio Palautetaan mieliin, että Neperin luvulle e pätee: e ) n n n ) n n n n n ) n. Tästä määritelmästä seuraa, että eksponenttifunktio e x voidaan määrittää

Lisätiedot

6. TAIVAANMEKANIIKKA. Antiikki: planeetat = vaeltavia tähtiä jotka liikkuvat kiintotähtien suhteen

6. TAIVAANMEKANIIKKA. Antiikki: planeetat = vaeltavia tähtiä jotka liikkuvat kiintotähtien suhteen 6. TAIVAANMEKANIIKKA Antiikki: planeetat = vaeltavia tähtiä jotka liikkuvat kiintotähtien suhteen Näennäinen liike voi olla hyvinkin monimutkaista: esim. ulkoplaneetan suunta retrograadinen opposition

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Analyyttinen geometria. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Analyyttinen geometria. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion MAA Analttinen geometria Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Analttinen geometria (MAA) Pikatesti ja Kertauskokeet Tehtävien

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 1 Suunnattu derivaatta Aluksi tarkastelemme vektoreita, koska ymmärrys vektoreista helpottaa alla olevien asioiden omaksumista. Kun liikutaan tasossa eli avaruudessa

Lisätiedot

ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna

ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna Suomessa sallittiin CAS (Computer Algebra System) laskimien käyttö keväästä 2012 alkaen ylioppilaskirjoituksissa. Norjassa ja Ruotsissa vastaava kehitys

Lisätiedot