4 Kaksi- ja kolmiulotteinen liike

Transkriptio

1 Mansfield and O Sullivan: Understandin physics, painos 1999, kpl 4. Näitä löytyy myös Youn and Freedman: University physics -teoksen luvuissa 4, osin myös luvuissa 3 ja 5. 4 Kaksi- ja kolmiulotteinen liike 4.1 Vektori Tähän asti olemme käsitelleen suureita vain skalaareina. Skalaareilla on vain suuruus. Itse asiassa paikka, nopeus, kiihtyvyys ja voima ovat vektoreita. Vektorilla on suunta ja suuruus. Vektori eli suuntajana oletetaan jo tunnetuksi. Aikaisemmin tarkasteltiin voimaa, joka vaikutti kappaleeseen sen liikkeen suuntaisesti. Yleisesti minkä suuntainen ja suuruinen voima tahansa voi vaikuttaa kappaleeseen. Tällöin kappale liikkuu jotain kolmiulotteista polkua pitkin. Jos seuraavat seikat eivät ole tuttuja tähän mennessä, ota niistä selvää sukkelasti: - vektori, merkitään jollain seuraavista tavoista: a, ā, a - vastavektori a - vektorin pituus a - vektorin komponentit a = a x i + a y j + a z k - vektorin kertominen skalaarilla ca - kahden vektorin yhteenlasku a + b - kahden vektorin välinen kulma (a, b) - kahden vektorin välinen pistetulo, a b - kahden vektorin välinen ristitulo, a b Lisäksi täytyy osata: - liitäntälaki - vaihdantalaki - pistetulon laskeminen - ristitulon laskeminen 4.2 Paikka, nopeus ja kiihtyvyys Olkoon meillä kolmiulotteinen karteesinen oikeakätinen koordinaatisto, jonka orio on O 1

2 Olkoon piste P tässä koordinaatistossa siten, että vektorin r alkupää on oriossa ja loppupää pisteessä P. Tällöin r on pisteen P paikkavektori Liikkukoon piste P kolmiulotteisesti siten, että se on hetkellä t pisteessä A ja hetkellä t + t pisteessä B. Tällöin sen siirtymä on r Nopeus määritellään näin v = r lim = dr t 0 t dt Nopeus on aina radan tanentin suuntainen! Nopeuden itseisarvon sanotaan usein vauhdiksi. Liikkukoon piste P kolmiulotteisesti siten, että sen nopeus hetkellä t pisteessä A on v ja hetkellä t + t pisteessä B on v + v. Tällöin nopeuden muutos on v Kiihtyvyys määritellään tällöin a = v lim = dv t 0 t dt Yleisesti kiihtyvyyden suunta ei ole nopeuden suunta! Se on nopeuden muutoksen suunta kun t Lineaarinen liike Lineaarisessa liikkeessä yleiset paikan ja nopeuden lausekkeet saadaan vektoriesityksenä seuraaviksi: v = v o + at r = r o + v o t at2 2

3 4.3 Heittoliike Tarkastellaan yleisesti kappaleen liikettä kun kiihtyvyys on vakio - tyypillinen tällainen tilanne on heittoliike Liikkukoon kappale ainoastaan ravitaatiovoiman vaikutuksen alaisena Olkoon kappaleen lähtönopeus v o ja lähteköön se positiiviseen kulmaan θ o (vaakasuoraan suuntaan nähden, tietysti!) Koska koordinaatiston voi valita mielivaltaisesti, valitaan heittopaikka (lähtöpiste) orioon eli hetkellä t = 0 r o = 0. Jaetaan v o kahteen komponenttiin: v ox = v o cosθ o v oy = v o sinθ o Kiihtyvyys a = j Nopeuden ja paikan lausekkeet: x-suuntaan: v x = v ox + a x t = v o cosθ o y-suuntaan: x = x o + v ox t a xt 2 = x 0 + v o cosθ o t v y = v oy + a y t = v o sinθ o t y = y o + v oy t a yt 2 = y o + v o sinθ o t 1 2 t2 Maksimikorkeus: maksimikorkeus saavutetaan kun y-suuntainen nopeus on nolla 3

4 Ehto: v y = 0 v o sinθ o t = 0 josta saadaan lentoaika alkupisteestä maksimikorkeudelle t = v osinθ o Sijoitetaan y:n lausekkeeseen ja saadaan h max = y = v o sinθ o v o sinθ o 1 ( ) 2 2 vo sinθ o Sievennetään, jolloin Kantama: h max = v2 osin 2 θ o v2 osin 2 θ o 2 = v2 osin 2 θ o 2 Jos lentoaika lähtöpisteestä maksimikorkeuteen kestää ajan t, on koko lentoaika 2t (miksi?, tarkista!). Tämä pätee VAIN, jos palataan lähtökorkeudelle! Muulloin täytyy lentoajan lasku järkeillä kussakin tapauksessa erikseen! Kuvan piirto kussakin tapauksessa auttaa hahmottamaan tilanteen. Siten vaakasuoraan kappale lentää matkan R, jota sanotaan kantamaksi ja se saadaan sijoittamalla lentoaika x:n lausekkeeseen. R = x = v o cosθ o 2t = 2v o cosθ o v o sinθ o = v2 o2sinθ o cosθ o eli R = v2 osin2θ o Näitä lausekkeita ei kannata opetella ulkoa, vaan parasta olisi ymmärtää koko homma! Ratayhtälö Heittoliikkeen ratayhtälö on muotoa missä a ja b ovat vakioita y = ax bx 2, kyseessä on siis alaspäin aukeava paraabeli 4

5 4.4 Voima vektorina Voima on vektorisuure, F Jos useampi voima vaikuttaa samaan pisteeseen, ne voidaan korvata yhdellä resultanttivoimalla, joka on näiden voimien summa. F = i F i Jos F = 0, on piste tasapainossa Newtonin II laki vektoreilla a = F m = F res m missä F res on voimien vektorisumma ja m on kappaleen massa. Kappaleen liikemäärä on p = mv ja edelleen dp dt = F Jos F ei ole vakio, vaan F = F(t), mutta kappaleen massa on vakio, saadaan a(t) = F(t) m Vastaavasti kappaleen paino on voima, jolla on suunta ja W = m 5

6 4.5 Reaktiovoima (constraint force) Jos kirja on paikallaan pöydällä, siihen vaikuttavien voimien resultantti on nolla - alaspäin vaikuttaa Maan vetovoima - ylöspäin vaikuttaa pöydän tukivoima Alaspäin vaikuttava voima on W. Ylöspäin vaikuttavan voiman tulee olla yhtä suuri, mutta vastakkaissuuntainen. Tätä voimaa kutsutaan tukivoimaksi tai normaalivoimaksi ja sitä merkitään yleisesti N:llä. Se on aina kohtisuoraan pintaa vastaan. Tällöin N = W = m Jos kappaletta vedetään narulla siten, että voiman F vetosuunta muodostaa kulman α vaakasuoran tason kanssa. Newtonin II lain mukaan saadaan: - vaakasuora komponentti: F x = F cosα i = ma - pystysuora komponentti: F y = m + F sinαj + N j = 0 ja skalaareina: - vaakasuora komponentti: F x = F cosα = ma - pystysuora komponentti: F y = m + F sinα + N = 0 Jännitys (tension) Kappale, jonka massa on m, roikkuu lanassa: siihen vaikuttaa alaspäin suuntautuva voima W = m Kappaleeseen vaikuttava ylöspäin suuntautuva voima on lanan jännitys T, eli T = W = m Jos kappale on tasapainossa ovat nämä voimat yhtä suuret, mutta vastakkaissuuntaiset Kappale kaltevalla tasolla Jos kappale on kaltevalla tasolla, paino ja pinnan tukivoima eivät enää kumoa toisiaan. Jos muita voimia ei ole, jäljelle jää nettovoima, joka aiheuttaa kappaleelle kiihtyvyyttä Olkoon tason ja vaakasuoran välinen kulma θ. Tällöin - pinnansuuntainen komponentti: F x = W sinθ = ma - kohtisuora komponentti: F y = W cosθ + N = 0 Kappaleen kiihtyvyys on skalaarina a = sinθ ja tukivoiman suuruus N = mcosθ 6

7 4.6 Kitka (friction) Vedämme pöydällä olevaa kappaletta vaakasuoralla voimalla F. Kappale ei liiku. Liikettä vastustava voima on lepokitkavoima F R. Jos kappale ei liiku, on F R = F Vastustava voima kasvaa vetävän voiman kanssa, kunnes kappale lähtee liikkeelle Vastustavan voiman maksimiarvo on F L (L = limitin friction). Liikkeellä ollessa kappaleen vastustava voima on vakio F K Kappaleen ollessa paikallaan F L = µ s N, missä µ s on lepokitkakerroin (s = static) Kappaleen liikkuessa F K = µ k N, missä µ k on liikekitkakerroin (k = kinetic) Enimmäkseen µ s > µ k Kappale paikallaan kaltevalla tasolla Olkoon kaltevan tason kaltevuuskulma vaakasuoraan suuntaan nähden θ Valitaan x-suunta kaltevan tason suuntaiseksi ja y-suunta sitä vastaan kohtisuoraan Tällöin x : F L msinθ = 0 y : N mcosθ = 0 Lisäksi F L = µ s N Rajatapauksessa, kun kappale juuri ja juuri lähtee liikkeelle µ s N = msinθ L N = mcosθ L Jaetaan yhtälöt puoliksi ja saadaan µ s = tanθ L 7

8 Ratkaistaan kulma θ L θ L = tan 1 (µ s ) Kappale pysyy paikallaan niin kauan kun 0 < θ < θ L Kappale liukuu kaltevaa tasoa alaspäin Jos θ > θ L, ei kappale enää pysy paikallaan. Vastustava kitkavoima F K kappaleeseen ja saadaan vaikuttaa x : F K msinθ = ma y : N mcosθ = 0 Lisäksi F K = µ k N µ k N msinθ = ma N = mcosθ µ k mcosθ msinθ = ma josta saadaan a = (sinθ µ k cosθ) Mikä onkaan a:n merkki? Jos θ > θ L sulkulauseke < vai > 0? Kappale liukuu kaltevaa tasoa ylöspäin Kitka on edelleen liikesuuntaa vastaan ja x : msinθ F K = ma y : N mcosθ = 0 F K = µ k N ja saadaan ma = msinθ µ k mcosθ ja supistamalla massa edelleen a = (sinθ + µ k cosθ) 8

9 Molemmissa jälkimmäisissä tapauksissa kiihtyvyys a = vakio, mutta eri suuri alaspäin kuin ylöspäin liukuvassa kappaleessa Kussakin tilanteessa on parasta järkeillä ja päätellä lausekkeet ja ratkaista niistä haluttu tuntematon OHJE: - piirrä tilanteesta selkeä kuva - piirrä kaikki voimat näkyviin - sovella Newtonin II lakia 4.7 Keskihakuisvoima (centripetal force) Kiertäköön kappale R:n pituisen lanan päässä pisteen C ympäri vaakasuoralla kitkattomalla tasolla. Olkoon kappaleen massa m Tällöin kappaleeseen vaikuttaa voima T, - jonka suunta muuttuu koko ajan - joka on aina C:tä kohti Tällöin kappaleen kiihtyvyys a = T m Kyseessä on keskeisliike ja voima on keskihakuisvoima 4.8 Tasainen ympyräliike Kiertäköön hiukkanen R-säteisen ympyrän kehää vakionopeudella v Ympyrän keskipisteestä piirretyn radiusvektorin kulmanopeus on tällöin vakio Hiukkasen nopeus v = ωr Olkoon hetkellä t hiukkasen nopeus v ja hetkellä t + t nopeus v = v + v Koska hiukkasen vauhti on vakio v = v v = v v Toisaalta v = v θ Hetkellinen kiihtyvyys on 9

10 v a c = lim t 0 t = lim t 0 v θ t θ a c = v lim t 0 t = v ω = ω2 R a r = v 2 R ˆr = ω2 Rˆr missä ˆr on radiaaalinen yksikkövektori Käytän mieluummin radiaalista a r :ää kuin centraalista a c :tä 4.9 Kiihtyvyyden komponentit Jos R-säteistä ympyrärataa pitkin liikkuvan hiukkasen nopeus v muuttuu, myös sen kulmanopeus ω muuttuu Jaetaan kiihtyvyys kahteen komponenttiin, tanentiaaliseen ja radiaaliseen Hetkellinen tanentiaalinen kiihtyvyys on missä v = v v Muistamme, että v = ωr a t = v lim t 0 t = dv dt missä α on hetkellinen kulmakiihtyvyys ω a t = R lim t 0 t = Rdω dt = Rα Yleisesti mielivaltaista rataa liikkuvan hiukkasen kiihtyvyys on a = v lim t 0 t = a tˆt a rˆr missä ˆt on käyrän tanentin suuntainen yksikkövektori ja ˆr on kohtisuorassa sitä vastaan oleva yksikkövektori 10

11 Tasaisessa ympyräliikkeessä a t = 0 ja α = 0 Siis tasoliikkeessä kiihtyvyys on yleisesti a = a tˆt a rˆr = αrˆt ω 2 Rˆr = d2 s dt 2 ˆt v 2 R ˆr 4.10 Matemaattinen heiluri (The simple pendulum) Matemaattinen heiluri: - l:n pituinen venymätön lanka on kiinnitetty päästään - lanan toisessa päässä roikkuu pistemäinen hiukkanen, jonka massa on m Poikkeutetaan heiluria kulman θ verran Valitaan y-akseliksi lanan suunta ja x-akseliksi kohtisuora suunta Newtonin II laki komponenteittain x : msinθ = ma x y : T mcosθ = ma y = 0 Saadaan a x = sinθ = d2 s dt 2 Approksimaatio: kulma θ on pieni sinθ θ = s/l = d2 s dt 2 + l s = 0 Lauseke on harmonisen värähtelijän lauseke ja s:n kerroin /l = ω 2 Koska T = 2π ω = T = 2π l Heilurille saadaan poikkeaman ja nopeuden lausekkeet: 11

12 ( ) s Asin l t ( ) v A l cos l t Jos approksimaatiota sinθ θ ei tehdä, tulee sinθ kehittää sarjaksi sinθ = θ θ3 3! + θ5 5!... Tällöin ratkaisu menee esim. peräkkäisten approksimaatioiden avulla ja ( ) l T = 2π 1 + θ Lanan jännitys vaihtelee (siksi tulee olla venymätön) T = ma y + mcosθ = m v2 l + mcosθ 4.11 Kulmat vektoreina Kulma: Koska θ = s R saadaan s = θ R missä θ on kohtisuoraan kulman tasoa vastaan oleva vektori ja R on radiusvektori. s on kaaren pätkä, mutta lyhyt sellainen voidaan tulkita vektorielementiksi Kulmanopeus: Koska nopeus ympyräliikkeessä on saadaan v = ds dt = dθ dt R v = ω R 12

13 Kulmakiihtyvyys: Koska kiihtyvyys yleisesti on a = dv dt = d(ω R) dt = dω dt R + ω dr dt eli a = α R + ω v = α R + ω (ω R) eli komponenteittain a = αrˆt ω 2 Rˆr = a tˆt a rˆr 13