Luento 9: Potentiaalienergia
|
|
- Aki Katajakoski
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Luento 9: Potentiaalienergia Potentiaalienergia Konservatiiviset voimat Voima potentiaalienergiasta gradientti Laskettuja esimerkkejä ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op) Sami Kujala Syksy 2015 Mikro- ja nanotekniikan laitos
2 Luennon sisältö Potentiaalienergia Konservatiiviset voimat Voima potentiaalienergiasta gradientti Laskettuja esimerkkejä ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op) Sami Kujala Syksy 2015 Mikro- ja nanotekniikan laitos
3 Konseptitesti 1 Kysymys Erääseen kappaleeseen vaikuttaa nettovoima F net 6= 0. Mikä seuraavista suureista voi olla vakiosuuruinen? 1. Kappaleen kineettinen energia 2. Kappaleen nopeus 3. Kappaleen kineettinen energia ja sen nopeus 4. Kappaleen kineettinen energia ja sen nopeus eivät voi kumpikaan olla vakioita tässä tilanteessa Luento 9
4 Konseptitesti 1 Kysymys Erääseen kappaleeseen vaikuttaa nettovoima F net 6= 0. Mikä seuraavista suureista voi olla vakiosuuruinen? 1. Kappaleen kineettinen energia 2. Kappaleen nopeus 3. Kappaleen kineettinen energia ja sen nopeus 4. Kappaleen kineettinen energia ja sen nopeus eivät voi kumpikaan olla vakioita tässä tilanteessa Luento 9
5 Johdanto Tähän asti työ määriteltiin hiukkasen liikeradan kautta Usein kätevämpää käyttää potentiaalienergian (potential energy) käsitettä Potentiaalienergia riippuu vain hiukkasen paikasta voimakentässä Sen avulla päästään myös energian säilymisen periaatteeseen Energia voi muuttaa muotoaan, mutta sitä ei voi luoda eikä hävittää ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op) Sami Kujala Syksy 2015 Mikro- ja nanotekniikan laitos
6 Gravitaatiopotentiaalienergia Maan pinnan läheisyydessä liikkuva hiukkanen Kun se siirtyy korkeudelta y 1 korkeudelle y 2, niin siihen vaikuttavan maan vetovoiman tekemä työ on W grav = Fs = w(y 2 y 1 )=mgy 1 mgy 2 Määritellään gravitaatiopotentiaalienergia Nyt vetovoiman tekemä työ on U = mgy W grav = U 1 U 2 = (U 2 U 1 )= U ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op) Sami Kujala Syksy 2015 Mikro- ja nanotekniikan laitos
7 Käyräviivainen liike Jos hiukkanen liikkuukin käyräviivaisesti pisteestä P 1 pisteeseen P 2, on gravitaatiovoiman tekemä työ W grav = = Z P2 P 1 ~w d~ l = Z y2 Z P2 P 1 ( mgĵ) (dxî + dyĵ + dz ˆk) y 1 mgdy = mgy 1 mgy 2 = U Seuraus: potentiaalienergian käsitettä voidaan käyttää niin suora- kuin käyräviivaisessakin liikkeessä ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op) Sami Kujala Syksy 2015 Mikro- ja nanotekniikan laitos
8 Jousen potentiaalienergia Materiaali on elastista (elastic), jos se palautuu alkuperäiseen muotoonsa jännityksen purkauduttua Ideaalinen jousi on täydellisen elastinen. Aiemmin laskettiin jousta venyttävän voima tekemä työ Newtonin 3. laki =) jousen tekemä työ on sen vastaluku W el = 1 2 kx kx 2 2 Määritellään jousen (elastinen) potentiaalienergia U = 1 2 kx 2 ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op) Sami Kujala Syksy 2015 Mikro- ja nanotekniikan laitos
9 Jousen potentiaalienergia Jousen tekemä työ on tällöin W el = 1 2 kx kx 2 2 = U 1 U 2 = U Jousen potentiaalienergiaa laskettaessa venymä x mitataan jousen tasapainoasemasta. Jousta jännitettäessä W el < 0! potentiaalienergia U kasvaa Jännityksen purkautuessa, W el > 0! U pienenee. ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op) Sami Kujala Syksy 2015 Mikro- ja nanotekniikan laitos
10 Mekaanisen energian säilyminen Jos hiukkaseen ei vaikuta muita voimia kuin gravitaatiovoima, niin voiman tekemä työ on sekä kineettisen energian että potentiaalienergian muutos W tot = K 2 K 1 = K ja W tot = W grav = U 1 U 2 = U Tämä on mekaanisen energian säilymislaki: K = U, K 1 + U 1 = K 2 + U 2 Energia säilyy Sama pätee myös jousivoimalle: W tot = W el ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op) Sami Kujala Syksy 2015 Mikro- ja nanotekniikan laitos
11 Mekaaninen kokonaisenergia Määritellään systeemin mekaaninen kokonaisenergia E = K + U Nyt mekaanisen energian säilymislaki voidaan kirjoittaa E = K + U = vakio Huom! Mekaanisen energian säilyminen ei riipu potentiaalienergian nollatason määrittelystä Vain potentiaalienergioiden erotus ratkaisee ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op) Sami Kujala Syksy 2015 Mikro- ja nanotekniikan laitos
12 Muut voimat Mikäli kappaleeseen vaikuttaa jousivoiman ja graviaatiovoiman lisäksi muita voimia (F other 6= 0) Yleistetään edellä käsitellyt tapaukset W tot = W el + W grav + W other = K Toisaalta W el = U el ja W grav = U grav, joten W other = K + U el + U grav =) K 1 + U el,1 + U grav,1 + W other = K 2 + U el,2 + U grav,2 ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op) Sami Kujala Syksy 2015 Mikro- ja nanotekniikan laitos
13 Konseptitesti 2 Kysymys Levossa oleva kappale lähtee liukumaan pitkin kitkatonta tasoa. Tason alapäässä kappaleen nopeus on v. Kuinka paljon paljon korkeampi tason pitäisi olla jotta nopeus olisi 2v? 1. p 2-kertainen alkuperäiseen nähden 2. Kaksinkertainen alkuperäiseen nähden 3. Kolminkertainen alkuperäiseen nähden 4. Nelinkertainen alkuperäiseen nähden 5. Kahdenksankertainen alkuperäiseen nähden Luento 9
14 Konseptitesti 2 Kysymys Levossa oleva kappale lähtee liukumaan pitkin kitkatonta tasoa. Tason alapäässä kappaleen nopeus on v. Kuinka paljon paljon korkeampi tason pitäisi olla jotta nopeus olisi 2v? 1. p 2-kertainen alkuperäiseen nähden 2. Kaksinkertainen alkuperäiseen nähden 3. Kolminkertainen alkuperäiseen nähden 4. Nelinkertainen alkuperäiseen nähden 5. Kahdenksankertainen alkuperäiseen nähden Luento 9
15 Konseptitesti 3 Kysymys Eräs kappale liukuu paineilmaradalla (lähes kitkatonta liikettä) nopeudella 0.5 m s 1 kun paineilma yhtäkkiä suljetaan. Ilman sulkemisen jälkeen kappale liukuu 1 m ennen pysähtymistään. Seuraavassa kokeessa kappaleen nopeus kaksinkertaistetaan. Kuinka pitkälle kappale liukuu uusintakokeessa ennen pysähtymistään? 1. 1m 2. 2m 3. 3m 4. 4m 5. 5m 6. Ratkaisua ei pysty määrittelemään annetuilla tiedoilla
16 Konseptitesti 3 Kysymys Eräs kappale liukuu paineilmaradalla (lähes kitkatonta liikettä) nopeudella 0.5 m s 1 kun paineilma yhtäkkiä suljetaan. Ilman sulkemisen jälkeen kappale liukuu 1 m ennen pysähtymistään. Seuraavassa kokeessa kappaleen nopeus kaksinkertaistetaan. Kuinka pitkälle kappale liukuu uusintakokeessa ennen pysähtymistään? 1. 1m 2. 2m 3. 3m 4. 4m 5. 5m 6. Ratkaisua ei pysty määrittelemään annetuilla tiedoilla
17 Luennon sisältö Potentiaalienergia Konservatiiviset voimat Voima potentiaalienergiasta gradientti Laskettuja esimerkkejä ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op) Sami Kujala Syksy 2015 Mikro- ja nanotekniikan laitos
18 Konservatiiviset voimat Mekaanisen (kineettisen ja potentiaali-) energian säilymislaki on voimassa gravitaatio- ja jousivoiman yhteydessä, mutta ei kitkavoiman. Mistä tiedetään voidaanko potentiaalienergiaa käyttää? Gravitaatio- ja jousivoimat ovat konservatiivisia voimia (conservative force), koska näiden voimien tekemä työ voidaan esittää potentiaalienergiafunktion avulla. Kitkavoima taas on dissipatiivinen, häviöllinen voima. Voimat jotka eivät ole konservatiivisia, ovat ei-konservatiivisia (nonconservative). ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op) Sami Kujala Syksy 2015 Mikro- ja nanotekniikan laitos
19 Konservatiivinen voima Voi varastoida energiaa joka on kokonaan käytettävissä takaisin liike-energiaksi. Voidaan ilmaista radan alku- ja päätepisteiden potentiaalienergian erotuksena On reversiibeli Ei riipu kuljetusta polusta, ainoastaan alku- ja päätepisteistä Jos alku- ja päätepisteet ovat samat, niin voiman tekemä työ on nolla I F ~ cons d ~` = 0 (Konservatiiviselle voimalle) ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op) Sami Kujala Syksy 2015 Mikro- ja nanotekniikan laitos
20 Ei-konservatiivinen voima Voi olla häviöllinen, jolloin systeemin mekaanista energiaa menetetään. Toisaalta voi myös tuoda systeemiin lisää mekaanista energiaa. Todellisuudessa energiaa ei häviä tai synny, vaan esim. systeemin kappaleet kuumenevat tai jäähtyvät, tai systeemissä vapautuu tai sitoutuu kemiallista energiaa.
21 Energian säilymisen laki Lämpö ja kemiallinen energia ovat eräitä systeemin sisäisen energian U int muotoja Kokeet! ei-konservatiivisten voimien tekemään työhön liittyy aina sisäisen energian muutos U int = W other Energian säilymislaki yleisessä muodossaan on K + U + U int = 0 missä U sisältää kaikkien konservatiivisten voimien potentiaalienergian. ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op) Sami Kujala Syksy 2015 Mikro- ja nanotekniikan laitos
22 Konseptitesti 3 Kysymys Työnnät kappaletta ylöspäin pitkin kaltevaa tasoa vakionopeudella. Kappaleen ja tason välissä on kitkaa. Millä nopeudella kappaleen ja tason sisäenergia kasvaa? 1. Nopeammin kuin kappaleelle tehty työ 2. Samalla nopeudella kuin kappaleelle tehty työ 3. Hitaammin kuin kappaleelle tehty työ 4. Ratkaisua ei pysty määrittelemään annetuilla tiedoilla Luento 9
23 Konseptitesti 3 Kysymys Työnnät kappaletta ylöspäin pitkin kaltevaa tasoa vakionopeudella. Kappaleen ja tason välissä on kitkaa. Millä nopeudella kappaleen ja tason sisäenergia kasvaa? 1. Nopeammin kuin kappaleelle tehty työ 2. Samalla nopeudella kuin kappaleelle tehty työ 3. Hitaammin kuin kappaleelle tehty työ 4. Ratkaisua ei pysty määrittelemään annetuilla tiedoilla Luento 9
24 Luennon sisältö Potentiaalienergia Konservatiiviset voimat Voima potentiaalienergiasta gradientti Laskettuja esimerkkejä ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op) Sami Kujala Syksy 2015 Mikro- ja nanotekniikan laitos
25 Voima potentiaalienergiasta Kuinka voidaan laskea voiman lauseke, jos potentiaalienergia tunnetaan? Työ määriteltiin potentiaalienergian negatiivisena muutoksena W = U Toisaalta pienelle potentiaalienergian muutokselle du pätee dw = ~ F d~s = Ft ds = du, joten voidaan kirjoittaa F t = du ds Tämä on suunnattu derivaatta eli funktion U muutosnopeus ~s:n suuntaan Se voidaan esittää toisaalta osittaisderivaattojen F t = ê s ru = ê ˆk tarkoittaa osittaisderivointia, eli monen muuttujan funktio U derivoidaan (tässä tapauksessa) x:n suhteen, pitäen samalla muut muuttujat vakioina
26 Voima potentiaalienergiasta gradientti Vektorin ru projektio vektorille F t = ê s ru = ê ˆk Toisaalta tarkasteltiin voimavektoria F ~, ~F = ru ˆk eli voima on konservatiivisen potentiaalin gradientti Konservatiivisessa voimakentässä hiukkaseen kohdistuva voima ajaa sitä kohti potentiaalienergiaminimiä
27 Mikä ihmeen gradientti? ~A = rv = Skalaarikentän V gradientti on vektorikenttä ~ A, joka osoittaa skalaarikentän suurimman kasvun suuntaan ja jonka suuruus on ko. kasvunopeus Taustaa ja kivoja kuvia Wikipediassa Esiintyy fysiikassa mm. mekaniikassa energian yhteydessä ja sähkömagnetiikassa Maxwellin lakien yhteydessä Mäen jyrkkyys ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op) Sami Kujala Syksy 2015 Mikro- ja nanotekniikan laitos
28 Energiatasokaaviot Tarkastellaan potentiaalienergiafunktion U(x) kuvaajaa Tasapainopiste, du/dx = 0 Stabiili tasapainoasema: tasapainoaseman ympärillä palauttava voima (restoring force) Kuvaajasta voidaan lisäksi päätellä voiman suunta kussakin kuvaajan pisteessä Voidaan myös arvioida, jos kappaleen kokonaisenergia tiedetään, minkä koordinaattiarvojen välillä kappale liikkuu ja missä sen kineettinen energia on suurimmillaan. ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op) Sami Kujala Syksy 2015 Mikro- ja nanotekniikan laitos
29 Energiatasokaaviot
30 Konseptitesti 4 U Kysymys Viereisessä kuvassa on erään x-akselilla kulkevan kappaleen potentiaalienergia. Missä pisteissä kappaleeseen kohdistuva nettovoima on nolla? 1. Pisteissä x = a ja x = c 2. Vain pisteessä x = b 3. Vain pisteessä x = d 4. Pisteissä x = b ja x = d a b c d 5. Harhaanjohtava kysymys, jokaisessa pisteessä on nollasta poikkeava voima x
31 Konseptitesti 4 U Kysymys Viereisessä kuvassa on erään x-akselilla kulkevan kappaleen potentiaalienergia. Missä pisteissä kappaleeseen kohdistuva nettovoima on nolla? 1. Pisteissä x = a ja x = c 2. Vain pisteessä x = b 3. Vain pisteessä x = d 4. Pisteissä x = b ja x = d a b c d 5. Harhaanjohtava kysymys, jokaisessa pisteessä on nollasta poikkeava voima x
32 Luennon sisältö Potentiaalienergia Konservatiiviset voimat Voima potentiaalienergiasta gradientti Laskettuja esimerkkejä ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op) Sami Kujala Syksy 2015 Mikro- ja nanotekniikan laitos
33 Esimerkki 1 Laatikko lähetetään liukumaan ylöspäin pitkin kaltevaa tasoa (kulma ). Laatikko liukuu matkan L ennen pysähtymistään ja alkaa sen jälkeen liukua alaspäin. Laske a) kitkavoiman suuruus ja b) laatikon nopeus sen palatessa lähtöpisteeseen kun laatikon lähtönopeus on v 0.
34 Ratkaisu a)e 1 = 1 2 mv 2 1, E 2 = 1 2 mv mgy 2 = mgl sin E 2 = E 1 + W f =) W f = mgl sin 1 2 mv 2 1 = F f L =) F f = mv 2 1 2L mg sin b)e 3 = 1 2 mv 3 2 = E 2 + W f =) 1 2 mv 3 2 = mgl sin F f L r h F i f v 3 = 2L g sin m ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op) Sami Kujala Syksy 2015 Mikro- ja nanotekniikan laitos
35 Esimerkki 2 Onko tasossa xy vaikuttava voima ~F = Cxĵ konservatiivinen? Ratkaisu: Mikäli kiertointegraali pitkin mielivaltaista tason polkua on nolla, on voimakin konservatiivinen, muuten ei ole.
36 Ratkaisu ~F = Cxĵ d ~` = dxî + dyĵ Z =) W = c Z ~F d ~` = c Cx dy =) (0, 0)! (L, 0) :y = 0 =) dy = 0 =) W 1 = 0 (L, 0)! (L, L) :x = L =) W 2 = Z (L,L) Cx dy = CL 2 (L,0) (L, L)! (0, L) :y = L =) dy = 0 =) W 3 = 0 (0, L)! (0, 0) :x = 0 =) W 4 = 0 =) W = W 1 + W 2 + W 3 + W 4 = W 2 = CL 2 6= 0 Koska tehty työ ei ollut nolla, voima ei ole konservatiivinen
37 Esimerkki 3 Kysymys Eräs satelliitti (massa m) kiertää Maata ympyräradalla, jonka säde on -kertainen Maan säteeseen R nähden. Ilmakehä ja Maata myös kiertävä kosminen pöly aiheuttavat satelliittiin sen nopeutta vastustavan voiman F = v 2, missä v on satelliitin ratanopeus. Määritä kauanko satelliitilla kestää ennenkuin se törmää Maan pintaan. Voit olettaa että on niin pieni että satelliitin rata on koko ajan ympyrän muotoinen.
38 Ratkaisu
Luento 9: Potentiaalienergia
Luento 9: Potentiaalienergia Potentiaalienergia Konservatiiviset voimat Voima potentiaalienergiasta gradientti Laskettuja esimerkkejä Luennon sisältö Potentiaalienergia Konservatiiviset voimat Voima potentiaalienergiasta
LisätiedotLuento 11: Potentiaalienergia. Potentiaalienergia Konservatiiviset voimat Voima potentiaalienergiasta gradientti Esimerkkejä ja harjoituksia
Luento 11: Potentiaalienergia Potentiaalienergia Konservatiiviset voimat Voima potentiaalienergiasta gradientti Esimerkkejä ja harjoituksia 1 / 22 Luennon sisältö Potentiaalienergia Konservatiiviset voimat
LisätiedotLuento 11: Potentiaalienergia
Luento 11: Potentiaalienergia Potentiaalienergia Konservatiiviset voimat Voima potentiaalienergiasta gradientti Esimerkkejä ja harjoituksia Ajankohtaista Konseptitesti 1 Kysymys Levossa oleva kappale lähtee
LisätiedotW el = W = 1 2 kx2 1
7.2 Elastinen potentiaalienergia Paitsi gravitaatioon, myös materiaalien deformaatioon (muodonmuutoksiin) liittyy systeemin rakenneosasten keskinäisiin paikkoihin liittyvää potentiaalienergiaa Elastinen
LisätiedotLuento 10: Työ, energia ja teho. Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho
Luento 10: Työ, energia ja teho Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho 1 / 23 Luennon sisältö Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho 2 / 23 Johdanto Energia suure, joka voidaan muuttaa muodosta toiseen,
LisätiedotLuento 10: Työ, energia ja teho
Luento 10: Työ, energia ja teho Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho Ajankohtaista Konseptitesti 1 Kysymys Ajat pyörällä ylös jyrkkää mäkeä. Huipulle vie kaksi polkua, toinen kaksi kertaa pidempi kuin
Lisätiedotdl = F k dl. dw = F dl = F cos. Kun voima vaikuttaa kaarevalla polulla P 1 P 2, polku voidaan jakaa infinitesimaalisen pieniin siirtymiin dl
Kun voima vaikuttaa kaarevalla polulla P 2, polku voidaan jakaa infinitesimaalisen pieniin siirtymiin dl Kukin siirtymä dl voidaan approksimoida suoraviivaiseksi, jolloin vastaava työn elementti voidaan
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 17.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Energian, työn ja tehon käsitteet sekä energiaperiaate (Kirjan luku 14) Osaamistavoitteet: Osata tarkastella partikkelin kinetiikkaa
LisätiedotLuku 8. Mekaanisen energian säilyminen. Konservatiiviset ja eikonservatiiviset. Potentiaalienergia Voima ja potentiaalienergia.
Luku 8 Mekaanisen energian säilyminen Konservatiiviset ja eikonservatiiviset voimat Potentiaalienergia Voima ja potentiaalienergia Mekaanisen energian säilyminen Teho Tavoitteet: Erottaa konservatiivinen
LisätiedotLuento 10. Potentiaali jatkuu, voiman konservatiivisuus, dynamiikan ja energiaperiaatteen käyttö, reaalinen jousi
Luento 10 Potentiaali jatkuu, voiman konservatiivisuus, dynamiikan ja energiaperiaatteen käyttö, reaalinen jousi Tällä luennolla tavoitteena: Gravitaatio jatkuu Konservatiivinen voima Mitä eroa on energia-
LisätiedotMekaniikan jatkokurssi Fys102
Mekaniikan jatkokurssi Fys10 Kevät 010 Jukka Maalampi LUENTO 7 Harmonisen värähdysliikkeen energia Jousen potentiaalienergia on U k( x ) missä k on jousivakio ja Dx on poikkeama tasapainosta. Valitaan
LisätiedotVoima ja potentiaalienergia II Energian kvantittuminen
Voima ja potentiaalienergia II Energian kvantittuminen Mene osoitteeseen presemo.helsinki.fi/kontro ja vastaa kysymyksiin Tavoitteena tällä luennolla Miten määritetään voima kun potentiaalienergia U(x,y,z)
LisätiedotLuento 13: Periodinen liike
Luento 13: Periodinen liike Johdanto Harmoninen värähtely Esimerkkejä Laskettuja esimerkkejä ~F t m~g ~F r ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op) Sami Kujala Syksy 2016 Mikro- ja nanotekniikan laitos Ajankohtaista
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 24.3.2016 Susanna Hurme Rotaatioliikkeen liike-energia, teho ja energiaperiaate (Kirjan luku 18) Osaamistavoitteet Ymmärtää, miten liike-energia määritetään kiinteän
LisätiedotVoima F tekee työtä W vaikuttaessaan kappaleeseen, joka siirtyy paikasta r 1 paikkaan r 2. Työ on skalaarisuure, EI vektori!
6.1 Työ Voima F tekee työtä W vaikuttaessaan kappaleeseen, joka siirtyy paikasta r 1 paikkaan r 2. Työ on skalaarisuure, EI vektori! Siirtymä s = r 2 r 1 Kun voiman kohteena olevaa kappaletta voidaan kuvata
Lisätiedot3.4 Liike-energiasta ja potentiaalienergiasta
Työperiaatteeksi (the work-energy theorem) kutsutaan sitä että suljetun systeemin liike-energian muutos Δ on voiman systeemille tekemä työ W Tämä on yksi konservatiivisen voiman erityistapaus Työperiaate
LisätiedotFysiikan valintakoe 10.6.2014, vastaukset tehtäviin 1-2
Fysiikan valintakoe 10.6.2014, vastaukset tehtäviin 1-2 1. (a) W on laatikon paino, F laatikkoon kohdistuva vetävä voima, F N on pinnan tukivoima ja F s lepokitka. Kuva 1: Laatikkoon kohdistuvat voimat,
LisätiedotLuku 7 Työ ja energia. Muuttuvan voiman tekemä työ Liike-energia
Luku 7 Työ ja energia Muuttuvan voiman tekemä työ Liike-energia Tavoitteet: Selittää työn käsite Mallittaa voiman tekemä työ Mallittaa liike-energian ja työn keskinäinen riippuvuus Esitiedot Newtonin lait
LisätiedotErityinen suhteellisuusteoria (Harris luku 2)
Erityinen suhteellisuusteoria (Harris luku 2) Yliopistonlehtori, TkT Sami Kujala Mikro- ja nanotekniikan laitos Kevät 2016 Ajan ja pituuden suhteellisuus Relativistinen työ ja kokonaisenergia SMG-aaltojen
Lisätiedot5.9 Voiman momentti (moment of force, torque)
5.9 Voiman momentti (moment of force, torque) Voiman momentti määritellään ristitulona M = r F missä r on voiman F vaikutuspisteen paikkavektori tarkasteltavan pisteen suhteen Usean voiman tapauksessa
LisätiedotELEC-A3110 Mekaniikka (5 op)
ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op) Yliopistonlehtori, tkt Sami Kujala Elektroniikan ja nanotekniikan laitos (ELE) Syksy 2017 Luento 2: Kertausta ja johdantoa Suoraviivainen liike Jumppaa Harjoituksia ja oivalluksia
LisätiedotEnergia, energian säilyminen ja energiaperiaate
E = γmc 2 Energia, energian säilyminen ja energiaperiaate Luennon tavoitteet Lepoenergian, liike-energian, potentiaalienergian käsitteet haltuun Työ ja työn merkki* Systeemivalintojen miettimistä Jousivoiman
Lisätiedot5 Kentät ja energia (fields and energy)
5 Kentät ja energia (fields and energy) Mansfield and O Sullivan: Understanding Physics, kappaleen 5 alkuosa 5.1 Newtonin gravitaatiolaki Newton: vetovoima kahden kappaleen välillä on tai tarkemmin F m
LisätiedotELEC-A3110 Mekaniikka (5 op)
ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op) Yliopistonlehtori, tkt Sami Kujala Mikro- ja nanotekniikan laitos Syksy 2016 1 / 21 Luento 2: Kertausta ja johdantoa Suoraviivainen liike Jumppaa Harjoituksia ja oivalluksia
LisätiedotMonissa fysiikan probleemissa vaikuttavien voimien yksityiskohtia ei tunneta
8 LIIKEMÄÄRÄ, IMPULSSI JA TÖRMÄYKSET Monissa fysiikan probleemissa vaikuttavien voimien yksityiskohtia ei tunneta Tällöin dynamiikan peruslain F = ma käyttäminen ei ole helppoa tai edes mahdollista Newtonin
LisätiedotFysiikan perusteet. Työ, energia ja energian säilyminen. Antti Haarto 20.09.2011. www.turkuamk.fi
Fysiikan perusteet Työ, energia ja energian säilyminen Antti Haarto 0.09.0 Voiman tekemä työ Voiman F tekemä työ W määritellään kuljetun matkan s ja matkan suuntaisen voiman komponentin tulona. Yksikkö:
LisätiedotFr ( ) Fxyz (,, ), täytyy integroida:
15 VEKTORIANALYYSI Luento Vektorikentän käyräintegraali Voiman tekemä työ on matka (d) kertaa voiman (F) projektio liikkeen suunnassa, yksinkertaisimmillaan W Fd. Jos liike tapahtuu käyrää pitkin ja voima
LisätiedotELEC-A3110 Mekaniikka (5 op)
Yliopistonlehtori, tkt Sami Kujala Syksy 2016 Luento 2: Kertausta ja johdantoa Suoraviivainen liike Jumppaa Harjoituksia ja oivalluksia Ajankohtaista Presemokyselyn poimintoja Millä odotuksilla aloitat
Lisätiedot= ( F dx F dy F dz).
17 VEKTORIANALYYSI Luento 2 3.4 Vektorikentän käyräintegraali Voiman tekemä työ on matka (d) kertaa voiman (F) projektio liikkeen suunnassa, yksinkertaisimmillaan W Fd. Jos liike tapahtuu käyrää pitkin
Lisätiedotg-kentät ja voimat Haarto & Karhunen
g-kentät ja voimat Haarto & Karhunen Voima Vuorovaikutusta kahden kappaleen välillä tai kappaleen ja sen ympäristön välillä (Kenttävoimat) Yksikkö: newton, N = kgm/s Vektorisuure Aiheuttaa kappaleelle
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 16.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Translaatioliikkeen kinetiikka (Kirjan luvut 12.6, 13.1-13.3 ja 17.3) Oppimistavoitteet Ymmärtää, miten Newtonin toisen lain
LisätiedotMekaaninen energia. Energian säilymislaki Työ, teho, hyötysuhde Mekaaninen energia Sisäenergia Lämpö = siirtyvää energiaa. Suppea energian määritelmä:
Mekaaninen energia Energian säilymislaki Työ, teho, hyötysuhde Mekaaninen energia Sisäenergia Lämpö = siirtyvää energiaa Suppea energian määritelmä: Energia on kyky tehdä työtä => mekaaninen energia Ei
LisätiedotH7 Malliratkaisut - Tehtävä 1
H7 Malliratkaisut - Tehtävä Eelis Mielonen 7. lokakuuta 07 a) Palautellaan muistiin Maclaurin sarjan määritelmä (Taylorin sarja origon ympäristössä): f n (0) f(x) = (x) n Nyt jos f(x) = ln( + x) saadaan
LisätiedotLuento 3: Käyräviivainen liike
Luento 3: Käyräviivainen liike Kertausta viime viikolta Käyräviivainen liike Heittoliike Ympyräliike Kulmamuuttujat,! ja Yhdistetty liike 2015-09-14 13:50:32 1/40 luentokalvot_03_combined.pdf (#36) Luennon
LisätiedotKERTAUSTEHTÄVIÄ KURSSIIN 766323A-01 Mekaniikka, osa 1
KERTAUSTEHTÄVIÄ KURSSIIN 766323A-01 Mekaniikka, osa 1 Tässä materiaalissa on ensin helpompia laskuja, joiden avulla voi kerrata perusasioita, ja sen jälkeen muutamia vaikeampia laskuja. Laskujen jälkeen
LisätiedotLuento 5: Käyräviivainen liike
Luento 5: Käyräviivainen liike Käyräviivainen liike Heittoliike Ympyräliike Kulmamuuttujat,! ja Yhdistetty liike Ajankohtaista Konseptitesti 1 Kysymys Viereisessä kuvassa leppäkerttu istuu karusellissa,
Lisätiedotkertausta Esimerkki I
tavoitteet kertausta osaat määrittää jäykän kappaleen hitausmomentin laskennallisesti ymmärrät kuinka vierimisessä eteneminen ja pyöriminen kytekytyvät osaat soveltaa energiaperiaatetta vierimisongelmiin
LisätiedotTEHTÄVIEN RATKAISUT. b) 105-kiloisella puolustajalla on yhtä suuri liikemäärä, jos nopeus on kgm 712 p m 105 kg
TEHTÄVIEN RATKAISUT 15-1. a) Hyökkääjän liikemäärä on p = mv = 89 kg 8,0 m/s = 71 kgm/s. b) 105-kiloisella puolustajalla on yhtä suuri liikemäärä, jos nopeus on kgm 71 p v = = s 6,8 m/s. m 105 kg 15-.
LisätiedotMekaniikan jatkokurssi Fys102
Meaniian jatourssi Fys10 Sysy 009 Jua Maalampi LUENTO 6 Harmonisen värähdysliieen energia Jousen potentiaalienergia on U ( x missä on jousivaio ja Dx on poieama tasapainosta. Valitaan origo tasapainopisteeseen,
LisätiedotTyö ja kineettinen energia
Työ ja kineettinen energia Kaikki mekaniikan probleemat voidaan periaatteessa ratkaista Newtonin lakien avulla, liikeyhtälöistä. Työ- ja energiakäsitteiden käyttöönottaminen kuitenkin yksinkertaistaa monia
LisätiedotLuento 11: Periodinen liike
Luento 11: Periodinen liike Johdanto Harmoninen värähtely Esimerkkejä Laskettuja esimerkkejä ~F t m~g ~F r Konseptitesti 1 Tehtävänanto Kuvassa on jouseen kytketyn massan sijainti ajan funktiona. Kuvaile
LisätiedotDYNAMIIKKA II, LUENTO 8 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi
DYNAMIIKKA II, LUENTO 8 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi LUENNON SISÄLTÖ Kertausta edelliseltä luennolta: Määritelmiä: yleistetyt koordinaatit, virtuaaliset siirtymät Liike-energian lausekkeita erilaisille
LisätiedotJakso 6: Värähdysliikkeet Tämän jakson tehtävät on näytettävä viimeistään torstaina
Jakso 6: Värähdysliikkeet Tämän jakson tehtävät on näytettävä viimeistään torstaina 31.5.2012. T 6.1 (pakollinen): Massa on kiinnitetty pystysuoran jouseen. Massaa poikkeutetaan niin, että se alkaa värähdellä.
LisätiedotFysiikan perusteet. Voimat ja kiihtyvyys. Antti Haarto
Fysiikan perusteet Voimat ja kiihtyvyys Antti Haarto.05.01 Voima Vuorovaikutusta kahden kappaleen välillä tai kappaleen ja sen ympäristön välillä (Kenttävoimat) Yksikkö: newton, N = kgm/s Vektorisuure
LisätiedotLuento 3: Liikkeen kuvausta, differentiaaliyhtälöt
Luento 3: Liikkeen kuvausta, differentiaaliyhtälöt Suoraviivainen liike integrointi Digress: vakio- vs. muuttuva kiihtyvyys käytännössä Kinematiikkaa yhdessä dimensiossa taustatietoa ELEC-A3110 Mekaniikka
LisätiedotSuhteellinen nopeus. Matkustaja P kävelee nopeudella 1.0 m/s pitkin 3.0 m/s nopeudella etenevän junan B käytävää
3.5 Suhteellinen nopeus Matkustaja P kävelee nopeudella 1.0 m/s pitkin 3.0 m/s nopeudella etenevän junan B käytävää P:n nopeus junassa istuvan toisen matkustajan suhteen on v P/B-x = 1.0 m/s Intuitio :
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 15.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Translaatioliikkeen kinematiikka: asema, nopeus ja kiihtyvyys (Kirjan luvut 12.1-12.5, 16.1 ja 16.2) Osaamistavoitteet Ymmärtää
LisätiedotMassakeskipiste Kosketusvoimat
Massakeskipiste Kosketusvoimat Luennon tavoitteet Kosketusvoimia Kitka Tukivoima Jännitys Jousivoima Massakeskipisteen käsite ja sillä laskeminen (Resonanssi tiedottaa tarjoavansa kahvia luentotauolla)
Lisätiedotinfoa Viikon aiheet Potenssisarja a n = c n (x x 0 ) n < 1
infoa Viikon aiheet Tentti ensi viikolla ma 23.0. klo 9.00-3.00 Huomaa, alkaa tasalta! D0 (Sukunimet A-) E204 (Sukunimet S-Ö) Mukaan kynä ja kumi. Ei muuta materiaalia. Tentissä kaavakokoelma valmiina.
LisätiedotDerivoimalla kerran saadaan nopeus ja toisen kerran saadaan kiihtyvyys Ña r
Vuka HT 4 Tehtävä. Lyhyenä alustuksena tehtävään johdetaan keskeiskiihtyvyys tasaisessa pyörimisessä. Meillä on ympyräradalla liikkuva kappale joka pyörii vakiokulmanopeudella ω dϕ säteellä r origosta.
LisätiedotLuento 5: Käyräviivainen liike
Luento 5: Käyräviivainen liike Käyräviivainen liike Heittoliike Ympyräliike Kulmamuuttujat,! ja Yhdistetty liike Ajankohtaista Konseptitesti 1 http://presemo.aalto.fi/mekaniikka2017 Kysymys Sotalaivasta
LisätiedotMiltä työn tekeminen tuntuu
Työ ja teho Miltä työn tekeminen tuntuu Millaisia töitä on? Mistä tiedät tekeväsi työtä? Miltä työ tuntuu? Mitä työn tekeminen vaatii? Ihmiseltä Koneelta Työ, W Yksikkö 1 J (joule) = 1 Nm Työnmäärä riippuu
LisätiedotNEWTONIN LAIT MEKANIIKAN I PERUSLAKI MEKANIIKAN II PERUSLAKI MEKANIIKAN III PERUSLAKI
NEWTONIN LAIT MEKANIIKAN I PERUSLAKI eli jatkavuuden laki tai liikkeen jatkuvuuden laki (myös Newtonin I laki tai inertialaki) Kappale jatkaa tasaista suoraviivaista liikettä vakionopeudella tai pysyy
LisätiedotLuento 13: Periodinen liike. Johdanto Harmoninen värähtely Esimerkkejä F t F r
Luento 13: Periodinen liike Johdanto Harmoninen värähtely Esimerkkejä θ F t m g F r 1 / 27 Luennon sisältö Johdanto Harmoninen värähtely Esimerkkejä 2 / 27 Johdanto Tarkastellaan jaksollista liikettä (periodic
Lisätiedot6 Monen kappaleen vuorovaikutukset (Many-body interactions)
6 Monen kappaleen vuorovaikutukset (Many-body interactions) 6.1 Newtonin III laki Voimme laskea kappaleen liiketilan Newtonin II lain avulla, jos tunnemme kaikki kappaleeseen vaikuttavat voimat. Jos kappaleita
LisätiedotLuento 6: Liikemäärä ja impulssi
Luento 6: Liikemäärä ja impulssi Liikemäärä ja impulssi Liikemäärän säilyminen Massakeskipiste Muuttuva massa Laskettuja esimerkkejä Luennon sisältö Liikemäärä ja impulssi Liikemäärän säilyminen Massakeskipiste
LisätiedotLuento 12: Keskeisvoimat ja gravitaatio
Luento 12: Keskeisvoimat ja gravitaatio Gravitaatio Liike keskeisvoimakentässä Keplerin lait Laskettuja esimerkkejä Ajankohtaista Luennon sisältö Gravitaatio Liike keskeisvoimakentässä Keplerin lait Laskettuja
LisätiedotBM30A0240, Fysiikka L osa 4
BM30A0240, Fysiikka L osa 4 Luennot: Heikki Pitkänen 1 Oppikirja: Young & Freedman: University Physics Luku 14 - Periodic motion Luku 15 - Mechanical waves Luku 16 - Sound and hearing Muuta - Diffraktio,
LisätiedotLuento 5: Käyräviivainen liike. Käyräviivainen liike Heittoliike Ympyräliike Kulmamuuttujat θ, ω ja α Yhdistetty liike
Luento 5: Käyräviivainen liike Käyräviivainen liike Heittoliike Ympyräliike Kulmamuuttujat θ, ω ja α Yhdistetty liike 1 / 29 Luennon sisältö Käyräviivainen liike Heittoliike Ympyräliike Kulmamuuttujat
LisätiedotCopyright 2008 Pearson Education, Inc., publishing as Pearson Addison-Wesley.
Newtonin painovoimateoria Knight Ch. 13 Saturnuksen renkaat koostuvat lukemattomista pölyhiukkasista ja jääkappaleista, suurimmat rantapallon kokoisia. Lisäksi Saturnusta kiertää ainakin 60 kuuta. Niiden
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät
MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 2016 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2016
LisätiedotAntti Rasila. Kevät Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0204 Kevät / 16
MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio. Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos
LisätiedotSuhteellisuusteorian perusteet 2017
Suhteellisuusteorian perusteet 017 Harjoitus 5 esitetään laskuharjoituksissa viikolla 17 1. Tarkastellaan avaruusaikaa, jossa on vain yksi avaruusulottuvuus x. Nollasta poikkeavat metriikan komponentit
LisätiedotLuvun 10 laskuesimerkit
Luvun 10 laskuesimerkit Esimerkki 10.1 Tee-se-itse putkimies ei saa vesiputken kiinnitystä auki putkipihdeillään, joten hän päättää lisätä vääntömomenttia jatkamalla pihtien vartta siihen tiukasti sopivalla
LisätiedotKerrataan harmoninen värähtelijä Noste, nesteen ja kaasun aiheuttamat voimat Noste ja harmoninen värähtelijä (laskaria varten)
Noste Ympyräliike I Luennon tavoitteet Kerrataan harmoninen värähtelijä Noste, nesteen ja kaasun aiheuttamat voimat Noste ja harmoninen värähtelijä (laskaria varten) Aloitetaan ympyräliikettä Keskeisvoiman
LisätiedotNyt kerrataan! Lukion FYS5-kurssi
Nyt kerrataan! Lukion FYS5-kurssi Vaakasuora heittoliike Heittoliikettä voidaan tarkastella erikseen vaaka- ja pystysuunnassa v=(v x,v y ) Jos ilmanvastausta ei oteta huomioon (yleensä ei), vaakasuunnalle
Lisätiedot4) Törmäysten lisäksi rakenneosasilla ei ole mitään muuta keskinäistä tai ympäristöön suuntautuvaa vuorovoikutusta.
K i n e e t t i s t ä k a a s u t e o r i a a Kineettisen kaasuteorian perusta on mekaaninen ideaalikaasu, joka on matemaattinen malli kaasulle. Reaalikaasu on todellinen kaasu. Reaalikaasu käyttäytyy
LisätiedotMekaniikan jatkokurssi Fys102
Mekaniikan jatkokurssi Fys10 Kevät 010 Jukka Maalampi LUENTO 8 Vaimennettu värähtely Elävässä elämässä heilureiden ja muiden värähtelijöiden liike sammuu ennemmin tai myöhemmin. Vastusvoimien takia värähtelijän
LisätiedotLuento 12: Keskeisvoimat ja gravitaatio. Gravitaatio Liike keskeisvoimakentässä Keplerin lait Laskettuja esimerkkejä
Luento 12: Keskeisvoimat ja gravitaatio Gravitaatio Liike keskeisvoimakentässä Keplerin lait Laskettuja esimerkkejä 1 / 46 Luennon sisältö Gravitaatio Liike keskeisvoimakentässä Keplerin lait Laskettuja
LisätiedotSMG-4500 Tuulivoima. Ensimmäisen luennon aihepiirit. Ilmavirtojen liikkeisiin vaikuttavat voimat TUULEN LUONNONTIETEELLISET PERUSTEET
SMG-4500 Tuulivoima Ensimmäisen luennon aihepiirit Tuuli luonnonilmiönä: Ilmavirtojen liikkeisiin vaikuttavat voimat 1 TUULEN LUONNONTIETEELLISET PERUSTEET Tuuli on ilman liikettä suhteessa maapallon pyörimisliikkeeseen.
Lisätiedot:37:37 1/50 luentokalvot_05_combined.pdf (#38)
'VLTJ,)Ł /Ł 2015-09-21 13:37:37 1/50 luentokalvot_05_combined.pdf (#38) Luento 5: Voima ja Liikemäärä Superpositio Newtonin lait Tasapainotehtävät Kitkatehtävät Ympyräliike Liikemäärä 2015-09-21 13:37:37
LisätiedotLuento 7: Voima ja Liikemäärä
Luento 7: Voima ja Liikemäärä Superpositio Newtonin lait Tasapainotehtävät Kitkatehtävät Ympyräliike Liikemäärä Ajankohtaista Konseptitesti 1 Kysymys Viereisessä kuvaajassa on kuvattu kappaleen nopeutta
LisätiedotHARJOITUS 4 1. (E 5.29):
HARJOITUS 4 1. (E 5.29): Työkalulaatikko, jonka massa on 45,0 kg, on levossa vaakasuoralla lattialla. Kohdistat laatikkoon asteittain kasvavan vaakasuoran työntövoiman ja havaitset, että laatikko alkaa
Lisätiedot2 Keskeisvoimakenttä. 2.1 Newtonin gravitaatiolaki
2 Keskeisvoimakenttä 2.1 Newtonin gravitaatiolaki Newton oletti, että kappale, jolla on massa m 1, vaikuttaa etäisyydellä r 12 olevaan toiseen kappaleeseen, jonka massa on m 2, gravitaatiovoimalla, joka
LisätiedotPakotettu vaimennettu harmoninen värähtelijä Resonanssi
Pakotettu vaimennettu harmoninen värähtelijä Resonanssi Tällä luennolla tavoitteena Mikä on pakkovoiman aiheuttama vaikutus vaimennettuun harmoniseen värähtelijään? Mikä on resonanssi? Kertaus: energian
LisätiedotViikon aiheet. Funktion lineaarinen approksimointi
Viikon aiheet Funktion ääriarvot Funktion lineaarinen approksimointi Vektorit, merkintätavat, pituus, yksikkövektori, skalaarilla kertominen, kanta ja kannan vaihto Funktion ääriarvot 6 Väliarvolause Implisiittinen
LisätiedotDissipatiiviset voimat
Dissipatiiviset voimat Luennon tavoitteena Mitä on energian dissipaatio? Ilmanvastus ja muita vastusvoimia, analyyttinen käsittely Toinen tärkeä differentiaaliyhtälö: eksponentiaalinen vaimeneminen Vaimennettu
LisätiedotNopeus, kiihtyvyys ja liikemäärä Vektorit
Nopeus, kiihtyvyys ja liikemäärä Vektorit Luento 2 https://geom.mathstat.helsinki.fi/moodle/course/view.php?id=360 Luennon tavoitteet: Vektorit tutuiksi Koordinaatiston valinta Vauhdin ja nopeuden ero
LisätiedotMekaniikan jatkokurssi Fys102
Mekaniikan jatkokurssi Fys102 Kevät 2010 Jukka Maalampi LUENTO 2-3 Vääntömomentti Oletus: Voimat tasossa, joka on kohtisuorassa pyörimisakselia vastaan. Oven kääntämiseen tarvitaan eri suuruinen voima
LisätiedotLuento 10: Keskeisvoimat ja gravitaatio
Luento 10: Keskeisvoimat ja gravitaatio Gravitaatio Liike keskeisvoimakentässä Keplerin lait Laskettuja esimerkkejä Luennon sisältö Gravitaatio Liike keskeisvoimakentässä Keplerin lait Laskettuja esimerkkejä
LisätiedotLuento 6: Suhteellinen liike ja koordinaatistomuunnoksia
Luento 6: Suhteellinen liike ja koordinaatistomuunnoksia Suhteellinen translaatioliike Suhteellinen pyörimisliike Tyypillisiä koordinaatistomuunnoksia extraa 1 / 31 Luennon sisältö Suhteellinen translaatioliike
LisätiedotLuento 11: Periodinen liike
Luento 11: Periodinen liike Johdanto Harmoninen värähtely Esimerkkejä Laskettuja esimerkkejä θ F t m g F r Luennon sisältö Johdanto Harmoninen värähtely Esimerkkejä Laskettuja esimerkkejä Johdanto Tarkastellaan
LisätiedotPietarsaaren lukio Vesa Maanselkä
Fys 9 / Mekaniikan osio Liike ja sen kuvaaminen koordinaatistossa Newtonin lait Voimavektorit ja vapaakappalekuvat Työ, teho,työ-energiaperiaate ja energian säilymislaki Liikemäärä ja sen säilymislaki,
LisätiedotLuento 4: Suhteellinen liike ja koordinaatistomuunnoksia
Luento 4: Suhteellinen liike ja koordinaatistomuunnoksia Suhteellinen translaatioliike Pyörimisliikkeestä Suhteellinen pyörimisliike Tyypillisiä koordinaatistomuunnoksia extraa Konseptitesti 1 Kysymys
LisätiedotLuento 8: Liikemäärä ja impulssi. Liikemäärä ja impulssi Liikemäärän säilyminen Massakeskipiste Muuttuva massa Harjoituksia ja esimerkkejä
Luento 8: Liikemäärä ja impulssi Liikemäärä ja impulssi Liikemäärän säilyminen Massakeskipiste Muuttuva massa Harjoituksia ja esimerkkejä 1 / 46 Luennon sisältö Liikemäärä ja impulssi Liikemäärän säilyminen
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause.
MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause. Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015
LisätiedotMekaniikan jatkokurssi Fys102
Mekaniikan jatkokurssi Fys10 Kevät 010 Jukka Maalampi LUENTO 10 Noste Nesteeseen upotettuun kappaleeseen vaikuttaa nesteen pintaa kohti suuntautuva nettovoima, noste F B Kappaleen alapinnan kohdalla nestemolekyylien
LisätiedotMatematiikka B1 - avoin yliopisto
28. elokuuta 2012 Opetusjärjestelyt Luennot 9:15-11:30 Harjoitukset 12:30-15:00 Tentti Nettitehtävät Kurssin sisältö 1/2 Osittaisderivointi Usean muuttujan funktiot Raja-arvot Osittaisderivaatta Pinnan
LisätiedotLuento 4: Suhteellinen liike ja koordinaatistomuunnoksia
Luento 4: Suhteellinen liike ja koordinaatistomuunnoksia Suhteellinen translaatioliike Pyörimisliikkeestä Suhteellinen pyörimisliike Tyypillisiä koordinaatistomuunnoksia Luennon sisältö Suhteellinen translaatioliike
LisätiedotLuento 9: Pyörimisliikkeen dynamiikkaa
Luento 9: Pyörimisliikkeen dynamiikkaa Johdanto Vääntömomentti Hitausmomentti ja sen määrittäminen Liikemäärämomentti Gyroskooppi Harjoituksia ja laskettuja esimerkkejä ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op) Sami
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt, osa 1 Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 20 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista
LisätiedotLuento 3: Käyräviivainen liike
Luento 3: Käyräviivainen liike Kertausta viime viikolta Käyräviivainen liike Heittoliike Ympyräliike Kulmamuuttujat θ, ω ja α Yhdistetty liike Luennon sisältö Kertausta viime viikolta Käyräviivainen liike
LisätiedotLuvun 5 laskuesimerkit
Luvun 5 laskuesimerkit Huom: luvun 4 kohdalla luennolla ei ollut laskuesimerkkejä, vaan koko luvun 5 voi nähdä kokoelmana sovellusesimerkkejä edellisen luvun asioihin! Esimerkki 5.1 Moottori roikkuu oheisen
LisätiedotMS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio.
MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio. Riikka Korte Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto
LisätiedotL a = L l. rv a = Rv l v l = r R v a = v a 1, 5
Tehtävä a) Energia ja rataliikemäärämomentti säilyy. Maa on r = AU päässä auringosta. Mars on auringosta keskimäärin R =, 5AU päässä. Merkitään luotaimen massaa m(vaikka kuten tullaan huomaamaan sitä ei
LisätiedotLuvun 8 laskuesimerkit
Luvun 8 laskuesimerkit Esimerkki 8.1 Heität pallon, jonka massa on 0.40 kg seinään. Pallo osuu seinään horisontaalisella nopeudella 30 m/s ja kimpoaa takaisin niin ikään horisontaalisesti nopeudella 20
LisätiedotKitka ja Newtonin lakien sovellukset
Kitka ja Newtonin lakien sovellukset Haarto & Karhunen Tavallisimpia voimia: Painovoima G Normaalivoima, Tukivoima Jännitysvoimat Kitkavoimat Voimat yleisesti F f T ja s f k N Vapaakappalekuva Kuva, joka
LisätiedotLuvun 5 laskuesimerkit
Luvun 5 laskuesimerkit Esimerkki 5.1 Moottori roikkuu oheisen kuvan mukaisessa ripustuksessa. a) Mitkä ovat kahleiden jännitykset? b) Mikä kahleista uhkaa katketa ensimmäisenä? Piirretäänpä parit vapaakappalekuvat.
Lisätiedot4 Kaksi- ja kolmiulotteinen liike
Mansfield and O Sullivan: Understandin physics, painos 1999, kpl 4. Näitä löytyy myös Youn and Freedman: University physics -teoksen luvuissa 4, osin myös luvuissa 3 ja 5. 4 Kaksi- ja kolmiulotteinen liike
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 7: Pintaintegraali ja vuointegraali
MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 7: Pintaintegraali ja vuointegraali Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015 1 / 24 Mikä on pinta?
Lisätiedot