= 6, Nm 2 /kg kg 71kg (1, m) N. = 6, Nm 2 /kg 2 7, kg 71kg (3, m) N

Transkriptio

1 t. 1 Auringon ja kuun kohdistamat painovoimat voidaan saada hyvin tarkasti laksettua Newtonin painovoimalailla, koska ne ovat pallon muotoisia. Junalle sillä saadaan selville suuruusluokka, joka riittää selvittämään voimien suuruusjärjestyksen. Painovoimalaki: F = G Mm r Kaavassa on joitain muuttujia, joita emme tiedä tarkasti: Auringon etäisyys muuttuu Maan pyöriessä itsensä ympäri ja maan ollessa eri etäisyyksillä Auringosta. Samoin Kuun etäisyys muuttuu. Nämä eivät ole mittaskaalaan nähden kovinkaan merkittäviä muutoksia ja suuruus järjestyksen saakin laskettua käyttämällä Maan etäisyyttä Auringosta ja Kuusta. Junan massaakaan ei ole kerrottu tehtävänannossa, joten arvioin sen olevan noin 3, kg F A = G M Am ra F K = G M Km rk F J = G M Jm r J = 6, Nm /kg kg 71kg (1, m) N = 6, Nm /kg 7, kg 71kg (3, m) 10 3 N = 6, Nm /kg 3,1 106 kg 71kg (100m) N Aurinko vaikuttaa voimakkaimmin. Mahdollista ekstrapohdittavaa: Miksi Kuu aiheuttaa voimakkaammin vuoroveden kuin Aurinko, vaikka se kohdistaa heikomman voiman? 1

2 Tehtävä Kiinnitetään koordinaatisto siten, että tutkija on origossa ja x-akseli kasvaa oikealle ja y-akseli ylöspäin mentäessä. Tiedetään, että kiihtyvyys on nopeuden aikaderivaatta, ja nopeus paikan. Tätä tietoa apuna käyttäen saadaan integroitua paikan ja nopeuden yhtälöt kun tiedetään kiihtyvyys, lähtönopeus ja lähtöpaikka: dv dt = a v = at + v 0 dr dt = v r = 1 at + v 0 t + r 0 Nyt voimme määrittää tähän tapaukseen liittyvät nopeudet ja paikan. Nuoli on laukaisun jälkeen vapaassa pudotuksessa, joten sen nopeus on v(t) = v 0xˆx + (v 0y gt)ŷ, ja paikka, kun origona on tutkija, on r(t) = v 0x tˆx + (v 0y t 1 gt )ŷ. Olkoon apinan korkeus aluksi y 0 ja etäisyys x-suunnassa d. Tällöin nuoli saapuu apinan kohdalle hetkellä t 1 = d/v 0x. Apinaan tähtääminen taas merkitsee sitä, että v 0y t 1 = y 0, eli ilman putoamiskiihtyvyyttä nuoli osuisi apinaan. Apina kuitenkin putoaa, joten sen sijainti on r apina (t) = dˆx + (y 0 1 gt )ŷ. Nuolen sijainti kun se on saapunut apinan kohdalle taas on r(t 1 ) = v 0x t 1 + (v 0y t 1 1 gt 1 ) = d + (y 0 1 gt 1 ) = r apina (t 1 ), eli nuoli osuu apinaan.

3 1 Tehtävä 4 15 kg massainen kuvaputkitelevisio pudotetaan 35 m korkuisesta hotellihuoneesta Maaplaneetalla. Selvitetään, kauan television putoamisessa kestää. a. Oletetaan, että ilmanvastuksen vaikutus on pieni. Tällöin televisioon vaikuttaa vain painovoima, jonka seurauksena se on tasaisesti kiihtyvässä putoamisliikkeessä. Näin voimme muodostaa lausekkeen sen kiihtyvyydelle, ja integroimalla kahdesti ajan suhteen saamme paikan lausekkeen, joka lienee tuttu lukiosta. Koska tehtävä on yksiulotteinen, suunta selviää etumerkistä: a(t) = g h(t) = g dt = gt + v 0 dt = 1 gt + v 0 t + h 0 h(t) = h 0 1 gt v 0 on alkuehtojen perusteella 0, joten sen kantaminen lausekkeessa on turhaa. Nyt, kun meillä on television korkeuden lauseke, ratkaistaan t. h(t) = h 0 1 gt 0 = h 0 1 gt 1 gt = 35m t = 70m g 70m t = g t =, 671s

4 b. Oletetaan muotoa D = bv oleva ilmanvastus, jossa b = 0, 1Ns /m. Newtonin II lain mukaan television kiihtyvyyttä voidaan kuvata lausekkeella F = m a G + D = m a m g bv v = m a a(t) = b m v(t) g Differentiaaliyhtälön ratkaisemisen sijaan käytetään numeerista menetelmää putoamisajan ratkaisemiseen. Valitaan aika-askeleksi yksi sekunti ja aproksimoidaan kiihtyvyyden ja nopeuden olevan vakio tämän aika-askelen yli. Tiedetään siis, että kappaleen nopeus on v(t + t) = v(t) + a(t) t, ja paikkaa siten kuvaa lauseke h(t + t) = h(t) + v(t)+v(t+ t) t (Käytetään uuden ja vanhan nopeuden keskiarvoa tarkkuuden parantamiseksi). Näin voidaan ketjuttaa kiihtyvyys-, nopeus- ja paikkalaskuja, kunnes televisio on pudonnut maahan (h = 0m). Käydään toimeen: h(0s) = 35m v(0s) = 0 m s a(0s) = g = 9, 81 m s v(1s) = v(0s) + a(0s) t = 0 m s 9, 81m s 1s = 9, 81m s v(0s) + v(1s) h(1s) = h(0s) + t = 35m 4, 905 m 1s = 30, 095m s a(1s) = b m v(1s) g = 0, 1Ns /m ( 9, 81 m 15kg s ) 9, 81 m s = 9, 04m s v(s) = 18, 85 m s h(s) = 30, 095m + 9, 81 m s 18, 85 m s 1s = 15, 765m a(s) = 6, 97 m s v(3s) = 5, 8 m s h(3s) = 6, 57m Huomataan, että televisio on iskeytynyt maahan. Loppuvauhdin ja yli menneen matkan perusteella arvioidaan, että putoamisessa kesti kokonaisuudessaan,73s. Pystymme kyllä parempaan.

5 3 Millisekkunnin aika-askel on epäinhimillinen fyysikolle, mutta python-ohjelmalle se on arkipäivää. Pythonin osaamista ei odoteta vielä, ja vaihtoehtoisia koneellisia ratkaisuja voi tehdä muilla koodikielillä tai taulukko-ohjelmilla (Excel, OpenOffice, etc.) import matplotlib.pyplot as mpl #Ladataan kuvaajan piirtämiseen paketti m=15.0 #Luodaan tarvittavat muuttujat ja listat h=35.0 g=-9.81 b=0.1 a=0.0 v1=0.0 v=0.0 dt=0.001 T=0.0 ajanhetket=[] korkeudetvastuksella=[] korkeudeteivastusta=[] while h>0: #Luodaan looppi, joka hoitaa laskemisen a=g+b/m*v1** v=v1+dt*a h=h+(v1+v)/*dt T=T+dt korkeudetvastuksella.append(h) korkeudeteivastusta.append(35+0.5*g*t**) ajanhetket.append(t) v1=v print Putoamisaika ilmanvastuksella:,t, s #Tulostetaan vastaus mpl.plot(ajanhetket,korkeudeteivastusta, r- ) #Piirretään kuvaaja mpl.plot(ajanhetket,korkeudetvastuksella, b- ) mpl.ylim(0,36) mpl.grid() mpl.xlabel( t(s) ) mpl.ylabel( h(m) ) mpl.savefig( VuKaLaskaritTehtava4.pdf ) mpl.show()

6 4 Yllä oleva koodi myöskin piirtää tehtävässä pyydetyn kuvaajan h(m) t(s) Kuva 1: Tehtävässä pyydetty kuvaaja, jossa television korkeus ajan funktiona. Punainen käyrä on putoaminen ilman vastusvoimaa, sinisessä vastusvoima mukana.