Luku 8. Mekaanisen energian säilyminen. Konservatiiviset ja eikonservatiiviset. Potentiaalienergia Voima ja potentiaalienergia.

Transkriptio

1 Luku 8 Mekaanisen energian säilyminen Konservatiiviset ja eikonservatiiviset voimat Potentiaalienergia Voima ja potentiaalienergia Mekaanisen energian säilyminen Teho

2 Tavoitteet: Erottaa konservatiivinen ja ei-konservatiivinen voima Kuvailla potentiaalienergian käsitettä ja määrittää potentiaalienergia Tunnistaa tilanteita, jossa mekaanisen energian säilymislaki on voimassa ja käyttää mekaanisen energian säilymistä tehtävien ratkaisemisessa Kuvailla voiman ja potentiaalienergian välistä yhteyttä Esitiedot Selkeä kuva voimista Työn käsite Kineettisen energian käsite

3 8-1 Konservatiiviset ja ei-konservatiiviset voimat Kun voiman tekemä työ kappaleen liikkuessa mielivaltaisen suljetun polun ympäri on nolla, voima on konservatiivinen # F d l = 0 C Kaikki loput voimat ovat ei-konservatiivisia Konservatiivisen voiman tekemä työ ei riipu kuljetusta reitistä, vaan ainoastaan reitin alku- ja loppupisteestä. W = F d l 2 1

4 Esimerkki: Tiiliskiven nostaminen Nostetaan tiiliskivi lattialta pöydälle tasaisella nopeudella. Määritä jokaisen tiiliskiveen kohdistuvan voiman tekemä työ. Painovoima F G = m g y 2 W Tukivoima F G = F G d y 2 l = mgĵ dlĵ = mg y 2 y 1 ext y 1 y 1 ( ) Newtonin II lain perusteella F G + F ext = 0 F ext = m g Tukivoiman tekemä työ W ext = y 2 F ext d l = mgĵ dlĵ y 1 y 2 y 1 = mgh ĵ d l

5 8-2 Potentiaalienergia Tiiliskiven tapauksessa painovoiman tekemä työ W G = mgh Painovoiman kyky tehdä työtä kiveen on kasvanut määrällä mgh. Tämä on kiven potentiaalienergian muutos painovoimakentässä. Konservatiiviseen voimaan voidaan liittää potentiaalienergia. Potentiaalienergian muutos välillä 1->2 on ΔU = U 2 U 1 = F d l = W Potentiaalienergian muutokset ovat olennaisia ei sen absoluuttiarvo. Nollatason voi valita vapaasti. U G = mgh Ei-konservatiivisille voimille ei voi määritellä potentiaalienergiaa. 2 1 ĵ d l

6 Jousta puristava voima Jousivoima F S = kxî Jousen potentiaalienergia F p = kxî Jousivoiman tekemä työ puristettaessa W S = F S d l = kxî dxî 2 1 x 0 = kx dx x 0 Potentiaalienergian muutos puristettaessa ΔU = W S Elastisen kentän potentiaalienergia = 1 2 kx2 U ĵ d l U el ( x) = 1 2 kx2 Puristus Venytys

7 Korkeus tai Potentiaalienergia, U Potentiaalienergiasta voimaan Pohjalla ja huipuilla ei ole liikkeen suuntaista voimaa Paikka, x Jyrkässä kohdassa on suuri kiihtyvyys, siis suuri voima Kun käyrä nousee oikealle, voima osoittaa vasemmalle

8 Voima ja potentiaalienergia Potentiaalienergia U ( x) = F( x)dx + C Tästä voidaan ratkaista voima työn avulla pienen siirtymän rajalla yksiulotteisessa tapauksessa F( x) = d dx U ( x ) ja yleisesti F x, y,z ( ) = î F = U x U ĵ y U ˆk z U = î x ĵ y ˆk z

9 8-3 Mekaanisen energian säilyminen Työperiaate W net = ΔK Yleisesti työ W net = W c + W nc konservatiivisten voimien tekemä työ W c ei-konservatiivisten voimien tekemä työ W nc Koska W c = - U => ΔK + ΔU = W nc Määritellään mekaaninen energia liike- ja potentiaalienergian summaksi => Jos systeemissä on vain konservatiivisia voimia, systeemin mekaaninen energia säilyy. K +U = vakio

10 Esimerkki 8.4 Vuoristoradan vaunu lähtee paikaltaan radan korkeimmalta kohdalta (y= 40 m). a) Määritä sen vauhti radan alimmassa pisteessä. b) Määritä kuinka korkealla vaunun vauhti on puolet maksimivauhdista. Esimerkkien ratkaisut löytyvät kurssin oppikirjasta

11 Esimerkki 8.6 Määritä seiväshyppääjän (m= 70 kg) tarvitsema vauhti, jotta hän voi ylittää 5m korkeudella olevan riman. Oleta, että hyppääjän massakeskipiste on 0,90 m korkeudella maasta hänen juostessaan. Esimerkkien ratkaisut löytyvät kurssin oppikirjasta

12 Esimerkki 8.8 Pallo (m= 2,6 kg) putoaa hyllyltä matkan h = 55 cm pystysuorassa olevan lepopituudessaan olevan jousen päälle. Jousi puristuuu matkan Y = 15 cm kasaan. Määritä jousen jousivakio.

13 Esimerkki 8.9 Massattomaan naruun kiinnitetty kuula päästetään heilahtamaan, kun narun ja pystysuoran välinen kulma on θo. Määritä kuulan vauhti ja narun jännitys heilahduskuman funktiona.

14 Got It? 7.3 Leikki keilapallolla

15 Esimerkki 8.11 Kappale, jonka massa on m, osuu liukuessaan vaakasuoralla tasolla jouseen, joka puristuu kasaan. Kappaleen vauhti juuri ennen osumista on v o, jousen jousivakio k ja jousen puristuma X. Määritä kappaleen ja alustan välinen kitkakerroin.

16 8-8 Teho Keskimääräinen teho P = W t Hetkellinen teho P = δw dt tai P = de dt P = δw dt = F d l dt = F d l dt = F v

17 Esimerkki 8.15 Määritä kuinka suuren tehon tarvitsee auto, jonka massa on 1400 kg, seuraavissa tilanteissa. Oleta, että ilmanvastus näissä nopeuksissa on likimain vakio F D = 700 N. a) Auto nousee mäkeä, jonka kaltevuus on 10, tasaisella nopeudella 80 km/h. b) Auto nostaa nopeuttaan vaakasuoralla tiellä 90 km/h:sta 110 km/h:iin.

18 8-9 Potentiaalienergiakäyrät Mekaaninen energia E = K + U Kun E = E3, kappale on vapaa ja sen energia riittää liikkumiseen minne vain Kun E = E2, kappale on loukkuuntunut jompaan kumpaan potentiaalikuopista. Se ei pääse vaihtamaan kuoppaa, koska potentiaalivalli estää. Potentiaalienergia paikan funktiona tasapainoasema du(x)/dx = F = 0 x 0 stabiili x 4 epästabiili Jos E = E 1 x 3 x x 2

19 Vetyatomin potentiaalienergiakäyrä vetymolekyylissä Energian nollakohta valittu vastaamaan äärettömän kaukana olevia atomeja Atomien etäisyys Energia Potentiaalienergian minimi kertoo tasapainoetäisyyden 0.2 Kun kokonaisenergia on negatiivinen, atomit pysyvät molekyylinä

20 Esimerkki: Vetymolekyyli Vetyatomin potentiaalienergia vetymolekyylissä on esitetty oheisessa kuvassa. Vetyatomien tasapainoetäisyys vetymolekyylissä on x o = 0,0741 nm. Lähellä potentiaalikuopan pohjaa potentiaalienergia on likimain paraabelin U = U o + a(x-x o ) 2 muotoinen, missä U o = -0,760 aj, a = 286 aj/nm 2. Määritä, kuinka kauas toisistaan atomit pääsevät, kun kokonaisenergia on 0,717 aj. Arvioi myös jousivakion suuruus. Energia (10-19 J) Atomien etäisyys (nm) 0.2

21 Piirretään parabeeli U = U o + a(x-x o ) 2, jolla approksimoidaan potentiaalienergian minimiä Sidosta voidaan approksimoida kahden pallon välisellä jousella Havaitaan, että sidoksen potentiaalienergia U = U o + a(x-x o ) 2 on samaa muotoa kuin Energia (aj) Esimerkki: Vetymolekyyli jousivoiman potentiaalienergia U= ½kx 2. Sidosta voidaan approksimoida kahden pallon välisellä jousella Määritetään poikkeaman suuruus tasapainosta U = U o + a( x x o ) 2 a( x x o ) 2 = U U o x x o = U U o a = 12 pm Koska jousivakio on d 2 U dx = d 2 dx H H Kokonaisenergian ollessa -0,717 aj, atomien liikkumisvapaus on näiden pisteiden välillä, ja atomien maksimietäisyys 24 pm Atomien etäisyys (nm) d 2 U dx 2 d 2 U dx 2 = d dx d dx 1 ( 2 kx 2 ) = d ( dx kx) = k Vetymolekyylin jouselle jousivakio on d dx U o + a x x o ( ) = d dx 2a x x o k = 2a k = J ( 10 9 m) 2 k = 572 N/m ( ) 2 = 2a Ratkaisu