W el = W = 1 2 kx2 1

Transkriptio

1 7.2 Elastinen potentiaalienergia Paitsi gravitaatioon, myös materiaalien deformaatioon (muodonmuutoksiin) liittyy systeemin rakenneosasten keskinäisiin paikkoihin liittyvää potentiaalienergiaa Elastinen materiaali palautuu deformaation jälkeen alkuperäiseen muotoonsa ja kokoonsa Tällaiseen materiaaliin, esim. jouseen, voidaan tehdä työtä, joka varastoituu potentiaalienergiaksi Elastinen potentiaalienergia voi muuttua myöhemmin kineettiseksi energiaksi, jota voi edelleen käyttää työn tekemiseen Kun deformaatio (esim. jousen poikkeama tasapainopituudesta) on pieni, sen kuvaamiseen voidaan käyttää ideaalisen jousen Hooken lakia: Venytyksen x ylläpitämiseksi kappaleeseen, esim. jouseen, pitää kohdistaa voima F = kx Aiemmasta: jouselle tehdään työ W, kun venymästä x 1 siirrytään venymään x 2 Newtonin III laki! jousi tekee päähänsä kiinnitettyyn kappaleeseen yhtäsuuren, mutta vastakkaissuuntaisen työn W el W = 1 2 kx2 2 W el = W = 1 2 kx kx kx2 2 Kun jousta venytetään x 1! x 2 ja x 2 > x 1, jousi tekee negatiivisen työn kappaleeseen [kuvan (b)-paneeli] Kun jousta puristetaan x 1! x 2 ja x 2 < x 1, jousi tekee positiivisen työn kappaleeseen [kuvan (c)-paneeli] Vastaavasti, kun annetaan valmiiksi puristetun jousen venyä x 1! x 2, jousi tekee taas positiivisen työn kappaleeseen [(d)-paneeli] Määritellään jousen voiman kappaleelle tekemä työ elastisen potentiaalienergian el muutoksen avulla, analogisesti gravitaatiopotentiaalienergian kanssa: W el = kx2 1 2 kx2 2 = el (7.10) Tästä elastinen potentiaalienergia: el = 1 2 kx2 (7.9) Huom: gravitaatiopotentiaalienergian tapauksessa y-koordinaatin nollakohdan sai valita vapaasti Elastisen potentiaalienergian tapauksessa kohdan x = 0 pitää olla deformaation nollakohdassa 1

2 Kun vain (*) elastiset voimat tekevät työtä (oletus: massaton jousi): ( ) W tot = K 2 K 1 = W el = ( el,2 el,1 ) Mekaaninen energia säilyy, jos vain gravitaatio- ja/tai elastiset voimat vaikuttavat Jos myös muita voimia:, K 1 + el,1 = K 2 + el,2, E 1 = E 2 ) 1 2 mv kx2 1 = 1 2 mv kx2 2 (7.12) W tot = Tässä = grav + el on (kokonais)potentiaalienergia Esimerkki tilanteesta, jossa on sekä gravitationaalista, että elastista potentiaalienergiaa JA kineettistä energiaa: trampoliinilla hyppely W grav + W el +W {z } {z} other = K 2 K 1 = grav = el ) W other = K 2 + grav,2 + el,2 (K 1 + grav,1 + el,1 ) = (K + ) (7.14) ESIM 2

3 ESIM 3

4 7.3 Konservatiiviset ja ei-konservatiiviset voimat Vain gravitaatio- ja/tai elastisten voimien vaikuttaessa vastaava(t) potentiaalienergia(t) voi(vat) muuttua kineettiseksi energiaksi ja päinvastoin, ilman häviöitä Tällaisia voimia sanotaan konservatiivisiksi voimiksi (kolmas esimerkki: sähköiset voimat) Konservatiivisten voimien tekemä työ (a) voidaan ilmaista potentiaalienergiafunktion muutoksen avulla: W =-Δ = 1 2 (b) on palautuvaa (=reversiibeliä) ja häviötöntä (c) ei riipu siitä, mitä reittiä pitkin prosessi tapahtuu, vaan vain reitin alku- ja loppupisteistä (d) on nolla, jos prosessin alku- ja loppupiste on sama Mekaaninen energia säilyy, jos vain konservatiiviset voimat vaikuttavat Kitkavoimien tekemä työ ei ole reversiibeliä: kitka tekee aiemman esimerkin laatikkoon negatiivisen työn laatikon liukuessa sekä ylös- että alaspäin Kitkavoima ei ole konservatiivinen (toinen esimerkki: väliaineen vastus) Ei-konservatiivisiin voimiin ei liity potentiaalienergiaa Dissipatiivisten voimien (kuten kitka ja väliaineen vastus) tekemä työ pienentää systeemin mekaanista energiaa Dissipatiivisten voimien vaikutuksesta menetettyä mekaanista energiaa ei voi palauttaa ja käyttää työn tekemiseen Kemiallisen räjähteen räjähdys on esimerkki ei-konservatiivisista (irreversibeeleistä) voimista, jotka lisäävät räjähteen osien kineettistä (ja mekaanista) energiaa 4

5 ESIM ESIM 5

6 Kitka- tai muiden ei-konservatiivisten voimien tekemä työ lisää systeemin sisäenergiaa int Esimerkiksi toisiaan vastaan liukuvien pintojen lämpötila (ja sisäenergia) nousee negatiivisen kitkatyön ansiosta: W other = int ) W other = E = K + = int K + + int =0 (7.15) Saatiin energian säilymislaki: energia voi muuttaa muotoaan mutta sitä ei voi luoda eikä hävittää Voimassa kaikissa luonnonilmiöissä, yksi fysiikan suurista periaatteista Yhtälössä (7.15) ei ole mukana työn käsitettä eksplisiittisesti, se on mukana välillisesti potentiaalienergian (konservatiivisia voimia vastaten) ja sisäenergian int (ei-konservatiivisia voimia vastaten) muutoksissa Termodynamiikka on fysiikan ala, joka tutkii sisäenergian suhdetta lämpötilanmuutoksiin, lämpöenergiaan ja työhön 7.4 Voima ja potentiaalienergia Gravitaatio- ja jousivoimien tapauksessa päättelimme edellä ao. voimien tekemästä työstä vastaavan potentiaalienergian funktionaalisen muodon grav = mgy ; el = 1 2 kx2 Hyvin usein fysiikassa esiintyy tilanne, jossa potentiaalienergian funktionaalinen muoto = (x,y,z) on tiedossa, ja siitä pitäisi voida laskea systeemiin vaikuttava voima 1D-tilanteessa: W = F x(x) x = ) F x(x) = F x(x) = lim x!0 x = d(x) dx (Konservatiivinen) voima saadaan siis vastaavan potentiaalienergian negatiivisena derivaattana Voima pyrkii siirtämään systeemiä kohti matalampaa potentiaalienergiaa F x (x) = d 1 dx 2 kx2 = Esim. jousivoima elastisesta potentiaalienergiasta kx F y (y) = d dy (mgy) = Painovoima gravitaatiopotentiaalienergiasta mg x (7.16) (ESIM) 6

7 3D-tilanteessa: r! 0 ) F ; F ; F z Voiman karteesiset komponentit saadaan potentiaalienergiafunktion (x,y,z) osittaisderivaattoina kunkin koordinaatin suhteen Voima vektorinotaatiolla F = r = {z } gradientti) =r + Esim. painovoima gravitaatiopotentiaalienergiasta 2 F = r (mgy) = (ESIM) F x = (mgy) {z } =0 x ; F y = y ; F z = + z = mgy ) (mgy) ˆk 5 = mgĵ {z } =0 7.5 Energia(taso)kaaviot Piirretään potentiaalienergian (x) kuvaaja x:n funktiona, esim. jouseen kiinnitetty kappale ilmaradalla (kuvan mukaisesti) Kun kitka (tai muukaan ei-konservatiivinen voima) ei vaikuta, mekaaninen energia E = K + säilyy Piirretään vakiona pysyvä E vaakasuorana viivana kuvaan! energiakaavio E:n ja :n pystysuora erotus kuvaajassa = kineettinen energia K kullakin x:n arvolla Elastisen potentiaalienergian tapauksessa K on suurimmillaan kohdan x = 0 ympärillä K saa arvon 0 käännepisteissä x = ±A, joiden väliin jää (klassisen fysiikan mukaan) kappaleen mahdollinen liikkuma-alue Esimerkkisysteemi oskilloi käännepisteiden välillä 7

8 Kun F = 0 eli kohdissa, joissa d/dx = 0, systeemi on tasapainossa Kun pieni poikkeama tasapainoasemasta tuottaa palauttavan voiman, joka suuntautuu takaisin kohti tasapainoasemaa, kyseessä oleva tasapainoasema on stabiili Stabiili tasapainoasema esiintyy potentiaalienergian minimikohdassa (esim. kuvan kohdat x 1 ja x 3 ) Epästabiili tasapainoasema esiintyy potentiaalienergiafunktion maksimikohdissa (kuvassa x 2 ja x 4 ) Epästabiilissa tasapainossa pieni paikan poikkeama johtaa voimaan, joka suuntautuu tasapainoasemasta poispäin Kappaleeseen kohdistuva voima riippuu potentiaalifunktion derivaatasta kussakin pisteessä, ei potentiaalifunktion arvosta Vain potentiaalienergiafunktion eroilla eri paikkojen välillä on fysikaalista merkitystä Mielivaltaisen vakioarvon lisääminen potentiaalienergiafunktioon ei muuta fysiikan ilmiöitä millään tavalla 8

9 Kappaleen 7 yhteenveto W grav = grav = grav,1 grav,2 = mgy 1 mgy 2 1 W el = el = el,1 el,2 = 1 mv2 mv2 2 kx2 1 2 kx2 2 E 1 = E 2 K = K W other = E =(K ) (K ) K + + int =0 F = F x (x) = d(x) 9