Luku 7 Työ ja energia. Muuttuvan voiman tekemä työ Liike-energia

Transkriptio

1 Luku 7 Työ ja energia Muuttuvan voiman tekemä työ Liike-energia

2 Tavoitteet: Selittää työn käsite Mallittaa voiman tekemä työ Mallittaa liike-energian ja työn keskinäinen riippuvuus Esitiedot Newtonin lait ja selvä käsitys voimista

3 7.1-3 Työ Vakiovoiman tekemä työ on W = F d Yksikkö [W] = Nm = J Figure 7.1

4 Esimerkki 7-: Reppu Vaeltaja nousee 10.0 m korkean mäen päälle 15 kg:n reppu selässään. Oletetaan hänen kävelevän vakionopeudella. Määritä a) kuinka suuren työn vaeltaja tekee reppuun. b) kuinka suuren työn painovoima tekee reppuun. c) reppuun tehty kokonaistyö.

5 Työ ja pistetulo Vakiovoiman tekemä työ on W = F d W = Fd cosθ Figure 7.1

6 Esimerkki 7-4 Vaunua vedetään matka d = 100m î voimalla F = 0N cos30 î + sin 30 ĵ ( ) Määritä vetäjän vaunuun tekemä työ.

7 Usean voiman tekemä työ W = F 1 Δ r + F Δ r + F 3 Δ r = ( F 1 + F + F 3 ) Δ r = F tot Δ r Kokonaistyö saadaan kokonaisvoiman avulla Huomaa Työn etumerkki on tärkeä, joten katso, mikä voima tekee työtä ja mihin suuntaan. Tee itsellesi selväksi mitkä voimat vaikuttavat kappaleeseen. Huomaa ero Voiman tekemä työ Kappaleeseen tehty työ

8 Muuttuvan voiman tekemä työ Jos voiman suunta tai suuruus muuttuu W F b a ( ) W n i=1 F i Δl i cosθ i W n i=1 F i Δ l i W = b a F d l

9 Esimerkki 7-5: Jousivoiman tekemä työ Henkilö venyttää jousta 3.0 cm käyttäen suurimmillaan 75 N voimaa. Kuinka suuren työn henkilö tekee jouseen?

10 Esimerkki 7-6: Valvontakameran paikkaa hallitaan robottikäden avulla. Kameran liikuttamiseen tarvittava voima on F( x) = F o 1+ x 6x o Kun kameraa liikutetaan paikasta 0,010 m paikkaan 0,050 m, kuinka suuri työ tehdään?

11 Esimerkki Jousi puristetaan kappaleen avulla lepopituudestaan 5 cm lyhyemmäksi. Kun kappale vapautetaan, se lähtee liukumaan vaakasuoralla alustalla. Määritä, kuinka suuri työ kappaleeseen tehdään sen liikkuessa alkupisteestä jousen lepopituuteen. Alustan ja kappaleen välinen kitkakerroin on 0,0, kappaleen massa 1,5kg ja jousivakio 60,0 N/m.

12 Esimerkki Hahmotetaan kappaleeseen vaikuttavat voimat voimakuvion avulla. Newtonin II lain perusteella F D + F S + F N + m g = m a pystysuunnassa F N mg = 0 F N = mg Kitkavoima F D = µf N F D = µmg Kitkavoiman tekemä työ, kun alkupiste on -l ja loppupiste 0 W D = F D d x = F D î î dx 0 l 0 l 0 0 l W D = µmgdx = µmgl l Jousivoiman F S = kxî tekemä työ W S = F S î dx = kx dx = 1 kl 0 l Kappaleeseen tehty kokonaistyö W kok = W D + W S = µmgl + 1 kl W kok = 0,735 J +1,875 J = 1,1 J F D F N F S m g d x = îdx Jousi puristetaan kappaleen avulla lepopituudestaan 5 cm lyhyemmäksi. Kun kappale vapautetaan, se lähtee liukumaan vaakasuoralla alustalla. Määritä, kuinka suuri työ kappaleeseen tehdään sen liikkuessa alkupisteestä jousen lepopituuteen. Alustan ja kappaleen välinen kitkakerroin on 0,0, kappaleen massa 1,5kg ja jousivakio 60,0 N/m.

13 Esimerkki Pudotetaan lentopallo stadionin tornista (h=7 m). Määritä palloon putoamisen aikana tehty työ. Pallon massa on 70 g ja pallon havaittiin osuvan maahan vakionopeudella 16 m/s.

14 Esimerkki Pudotetaan lentopallo stadionin tornista (h=7 m). Määritä palloon putoamisen aikana tehty työ. Pallon massa on 70 g ja pallon havaittiin osuvan maahan vakionopeudella 16 m/s. Newtonin II lain mukaan pallon painon ja ilmanvastuksen FD=bv erotus aiheuttaa kiihtyvyyden a: mg F D = ma Koska a = dv/dt => m dv = mg bv Saatiin differentiaaliyhtälö, joka pitää ratkaista dt Pallo osuu maahan vakionopeudella, joten se on saavuttanut rajanopeutensa. Rajanopeuden avulla saadaan mg bv T = 0 b = mg / => m dv v = mg mg Ratkaistaan differentiaaliyhtälö dv dt dt = g 1 v ( t ) käyttämällä WolframAlphaa solve v (t)=g*(1-(v(t)/v)ˆ)

15 Käytetään hyväksi tietoa, jonka voi päätellä tehtävästä, eli, että nopeus hetkellä t=0 on nolla, eli v(0)=0 Ratkaisu v(t) = tanh gt Kiihtyvyys ei ole tasaista

16 Ratkaistaan seuraavaksi paikka ajan funktiona v = dy dy = v(t)dt dt dy = v(t)dt = tanh gt dt ( ) = v T y t g ln 1 e gt + e Valitaan koordinaatisto siten, että y(0)=0 gt + C y(0) = v T g ln g ln 1 ( ) = v T y t ( ) ( ) + C = 0 C = 0 g ln 1 e gt + C = 0 + e gt Nopeus lopussa lähes vakio

17 Tarvitaan vielä putoamisaika, eli ratkaistaan, millä hetkellä t ( ) = v T y t g ln 1 e gt + e gt = 7 m t = 5,63 s

18 Nopeus v(t) = tanh gt Ilmanvastuksen tekemä työ W D = h 0 t F D dy = mg ( v v t)v( t)dt 0 T W D = 156 J Painovoiman tekemä työ W G = 0 h mgdy W G = 190 J t = F D (t)vdt 0 = mg = mgh Palloon tehty työ W = -156 J J = 34 J Ilman vastus F D = mg v v = mg tanh gt T dy = v(t)dt t gt v 3 T tanh 3 dt t gt = mg tanh 3 0 dt 0 Putoamisaika t = 5,63 s

19 7.4 Työpeeriaate ja liike-energia Työperiaate: kappaleeseen tehty kokonaistyö on yhtä suuri kuin sen liike-energian muutos W = l a F d l W = K K = 1 mv l 1 mv a K = K l K a K = 1 mv

20 Esimerkki 7-7: Pesäpalloa heitetään siten, että se saavuttaa nopeuden 5 m/s. Määritä pallon liike-energia. Määritä kuinka suuri nettotyö palloon tehdään, jos se lähtee levosta liikeelle. Pallon massa on 145 g.

21 Esimerkki Pudotetaan lentopallo stadionin tornista (h=7 m). Määritä palloon putoamisen aikana tehty työ. Pallon massa on 70 g ja pallon havaittiin osuvan maahan vakionopeudella 16 m/s. Työperiaatteen mukaan ΔK = W Koska ΔK = 1 mv l 1 mv a = 1 mv l Työ on W = 1 mv l = 34 J

22 Esimerkki 7-10: Määritä, kuinka suuri työ tarvitaan puristamaan jousi, jonka jousivakio on 360 N/m, 11 cm lepopituuttaan lyhyemmäksi? Puristetun jousen eteen tuodaan 1,85 kg:n kappale, joka pääsee liukumaan kitkatta vaakasuoralla alustalla. Määritä kappaleen nopeus sen irrotessa jousesta.